intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Một phân lớp theo một số lớp con của các toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn trên các tập mờ trực cảm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
34
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết giới thiệu lần đầu một phân lớp theo các lớp con của các toán tử t-chuẩn biểu diễn được và t-đối chuẩn biểu diễn được cho các tập mờ trực cảm. Các tính chất của các lớp con này cũng được trình bày.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một phân lớp theo một số lớp con của các toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn trên các tập mờ trực cảm

  1. UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC MỘT PHÂN LỚP THEO MỘT SỐ LỚP CON CỦA CÁC TOÁN TỬ T-CHUẨN VÀ T-ĐỐI CHUẨN TRÊN CÁC TẬP MỜ TRỰC CẢM Nhận bài: 16 – 02 – 2016 Roãn Thị Ngân Chấp nhận đăng: 18 – 06 – 2016 Tóm tắt: Sự phân lớp theo các lớp con các toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn là một kết quả quan trọng http://jshe.ued.udn.vn/ trong lôgic mờ. Toán tử t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được và t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được đã được định nghĩa và tìm hiểu bởi Deschrijver G cùng cộng sự [8]. Trong bài báo này, tôi giới thiệu lần đầu một phân lớp theo các lớp con của các toán tử t-chuẩn biểu diễn được và t-đối chuẩn biểu diễn được cho các tập mờ trực cảm. Các tính chất của các lớp con này cũng được trình bày. Từ khóa: tập mờ trực cảm; toán tử lôgic mờ trực cảm; t-chuẩn mờ trực cảm; t-đối chuẩn mờ trực cảm; t-chuẩn mờ trực cảm t- biểu diễn được; t-đối chuẩn mờ trực cảm t- biểu diễn được; Định nghĩa 1.1. [3] Xét X là một tập không rỗng, 1. Giới thiệu một tập mờ trực cảm A trên không gian nền X cho bởi: Năm 1983, K.T. Atanassov đã đề xuất khái niệm tập mờ trực cảm là một mở rộng trực tiếp của khái niệm A=  x,  A ( x), A ( x) x X ,  tập mờ Lotfi Zadel (1965). Tiếp nối các thành tựu ứng dụng quan trọng của lý thuyết mờ, lý thuyết mờ trực ở đó các hàm  A : X →0,1 ,  A : X →  0,1 cảm cũng dần khẳng định tính hữu hiệu trong các bài lần lượt là hàm thuộc và hàm không thuộc thỏa mãn toán thực tế như trong chẩn đoán y khoa, bầu cử, ước điều kiện: lượng rủi ro trong kinh doanh,… Trong lý thuyết tập 0   A ( x) + A ( x)  1, x  X mờ, toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn đóng vai trò rất quan trọng, chúng được sử dụng để định nghĩa tổng quát phép và  A ( x), A ( x) lần lượt là độ thuộc và độ không toán giao, hợp của các tập mờ, từ đó góp phần xây dựng thuộc của x vào A. các luật thành phần trong một hệ thống suy diễn. Vì thế  cần nghiên cứu sâu sắc các tính chất của các toán tử Định nghĩa 1.2. [2] Tập L và quan hệ thứ tự  này. Trong lý thuyết mờ trực cảm cũng vậy, báo cáo này  L trên L được định nghĩa như sau: đề cập tới các các t-chuẩn, t-đối chuẩn mờ trực cảm t- biểu diễn được, tức là được hình thành từ các t-chuẩn và L = {( x1 , x2 ) | x1 , x2 [0,1], x1 + x2  1} t-đối chuẩn mờ. Dựa trên các tính chất Archimedean, ( x1 , x2 )  L ( y1 , y2 )  x1  y1 , x2  y2 , lũy linh, chặt của các t-chuẩn, t-đối chuẩn mờ, bài báo ( x1 , x2 ) = L ( y1 , y2 )  x1 = y1 , x2 = y2 , này đưa ra một phân lớp quan trọng trên các t-chuẩn, t- đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được.  x  y1 , x2  y2 ( x1 , x2 )  L ( y1 , y2 )   1  x1 = y1 , x2  y2 ( x1 , x2 ),( y1 , y2 )  L . * Liên hệ tác giả Roãn Thị Ngân Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội Email: rtngan@hunre.edu.vn Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 2 (2016),19-28 | 19
  2. Roãn Thị Ngân Mệnh đề 1.3. [2] Tập L ,  L (  ) là một dàn đầy đủ S ( x, y ) = N (T ( N ( x ) , N ( y ))). với các phần tử trung hòa 0L = (0,1),1L = (1,0). Định nghĩa 1.9. [6] Một t-chuẩn mờ trực cảm  T được gọi là t-biểu diễn được nếu và chỉ nếu tồn tại Chú ý: Từ giờ trở đi, nếu x  L thì ta kí hiệu một t-chuẩn T và một t-đối chuẩn S trên [0,1] thỏa mãn, x = ( x1 , x2 )  L và pr1 x, pr2 x lần lượt là ánh xạ với mọi x, y  L : chiếu lên thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai của T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )). x. Ta có pr1 x = x1 , pr2 x = x2 . Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S được gọi là t-biểu Định nghĩa 1.4. [2] Phủ định mờ trực cảm là một diễn được nếu và chỉ nếu tồn tại một t-chuẩn T và một t-  ánh xạ N : L − L không tăng và  đối chuẩn S trên [0,1] thỏa mãn, với mọi x, y  L : N ( 0L ) = 1L , N (1L ) = 0L .     S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )). Định nghĩa 1.10. [6] T-đối chuẩn mờ trực cảm đối Phủ định N là cuộn nếu và chỉ nếu  ngẫu qua một phủ định mờ trực cảm cuộn N trên L N ( N ( x ) ) = x, x  L . của một t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được là t-biểu Ví dụ 1.5. Phủ định chuẩn N s được cho bởi: diễn được. N s ( x ) = N s ( x1, x2 ) = ( x2 , x1 ) , x  L. T-chuẩn mờ trực cảm đối ngẫu qua một phủ định  mờ trực cảm cuộn N trên L của một t-đối chuẩn mờ Định nghĩa 1.6. [2] Một t-chuẩn mờ trực cảm là trực cảm t-biểu diễn được là t-biểu diễn được. một ánh xạ T:: ( L )2 − L thỏa mãn, với mọi Định nghĩa 1.11. Một t-chuẩn mờ trực cảm T x, y, z  L* : được gọi là Archimedean nếu và chỉ nếu với * T ( x,1L ) = x (điều kiện biên); mọi x  L \ {0L ,1L }: T ( x, x) L x. * T ( x, y ) = T ( y , x) (điều kiện giao hoán); Định nghĩa 1.12 Một t-đối chuẩn mờ trực cảm * T ( x, T ( y, z )) = T (T ( x, y ), z ) (điều kiện kết hợp); S:được gọi là Archimedean nếu và chỉ * T ( x, y) L T ( x, y), x L x, y L y. nếu với mọi x  L \ {0L ,1L }: S:( x, x) L x. (điều kiện tăng). Định nghĩa 1.13. Một t-chuẩn mờ trực cảm T Định nghĩa 1.7. [2] Một t-đối chuẩn mờ trực cảm được gọi là: là một ánh xạ S:: ( L )2 − L thỏa mãn, * lũy linh nếu và chỉ nếu: với mọi x, y, z  L :* x, y  L \ {0L }, T ( x, y) = 0L . * S ( x,0L ) = x (điều kiện biên); * chặt nếu và chỉ nếu: x, y  L \ {0L }, T ( x, y)  0L . * S ( x, y) = S ( y, x) (điều kiện giao hoán); * S ( x, S ( y, z)) = S (S ( x, y), z) (điều kiện kết hợp); Định nghĩa 1.14. Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S: * S ( x, y)  L S ( x, y), x L x, y L y được gọi là: * lũy linh nếu và chỉ nếu: (điều kiện tăng). Định nghĩa 1.8. [2] Một t-chuẩn mờ trực cảm T x, y  L \ {1L }, S:( x, y) = 1L . được gọi là đối ngẫu với t-đối chuẩn S và ngược lại, * chặt nếu và chỉ nếu: nếu tồn tại một phủ định mờ trực cảm N sao cho một x, y  L \ {1L }, S:( x, y)  1L .  trong hai điều sau được thỏa mãn, với mọi x, y  L : Tôi đưa ra hai định lý như sau: T ( x, y ) = N (S ( N ( x ) , N ( y ))) , 20
  3. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 2 (2016),19-28 Định lý 1.15. Cho T là một t-chuẩn mờ trực cảm S( x, y ) = x + y − xy là một t-đối chuẩn mờ có tính  t-biểu diễn được, với mọi x, y  L : chặt (xem [1]). Do đó, toán tử đã cho thuộc lớp  SS . T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )), Ví dụ 2.3. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp  SS : Nếu T và S là Archimdean thì T là Archimedean.   0, T ( x, y) =  Chứng minh: Với mọi x  L \{0L ,1L }:  x1 y1 x + y2 + (  − 2) x2 y2  , 2 T ( x, x) = (T ( x1, x1 ), S ( x2 , x2 )).   + (1 −  )( x + y − x y ) 1 + (  − 1) x2 y2   1 1 1 1  Do toán tử T và S là Archimdean nên (xem [5]). Ví dụ 2.4. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp T ( x1, x1 )  x1, S ( x2 , x2 )  x2 , kéo theo  SS : T ( x, x) L x. 1  2  0, T ( x, y) = Định lý 1.16. Cho S là một t-đối chuẩn mờ trực  x1 y1 x + y2 + ( 2 − 2) x2 y2   , 2  cảm t-biểu diễn được, với mọi x, y  L :  1 (  + 1 − 1 )( 1 x + y1 − x1 1) y 1 + ( 2 − 1) x2 y2  S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )). Chứng minh: Nếu T và S là Archimdean thì S là Archimedean. Ta chứng minh 1, 2  ( 0, + ) ; 1  2 : Chứng minh: Tương tự phần chứng minh của Định  x2 + y2 + ( 2 − 2 ) x2 y2  / 1 + ( 2 − 1) x2 y2   lý 1.15, ta có Định lý 1.16 được chứng minh.  x2 + y2 + ( 1 − 2 ) x2 y2  / 1 + ( 1 − 1) x2 y2  . (2.1) Sau đây, tôi đưa ra một phân lớp các toán tử, các ví Thật vậy, ta có dụ với các họ toán tử quan trọng. Sau đó tôi trình bày các mệnh đề liên quan. 1 + (  − 1) x2 y2  0,   0  1 + ( 2 − 1) x2 y2  1 + ( 1 − 1) x2 y2   0 2. Một số lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được Ta lại có, 1, 2  ( 0, + ) ; 1  2 : a. Lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được chặt- (2.1)   x2 + y2 + ( 2 − 2 ) x2 y2  1 + ( 1 − 1) x2 y2  chặt, kí hiệu  SS   x2 + y2 + ( 1 − 2 ) x2 y2  1 + ( 2 − 1) x2 y2  Định nghĩa 2.1. Một t-chuẩn mờ trực cảm T  ( 1 − 1) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 2 − 2 ) x2 y2 được gọi là chặt-chặt, t-biểu diễn được nếu và chỉ nếu + ( 2 − 2 )( 1 − 1) x22 y22 tồn tại một t-chuẩn chặt T và một t-đối chuẩn chặt S trên   ( 2 − 1) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 1 − 2 ) x2 y2 [0,1] sao cho, với mọi x, y  L : + ( 1 − 2 )( 2 − 1) x22 y22 T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )).  ( 1 − 2 ) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 2 − 1 ) x2 y2 + Ví dụ 2.2. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp ( 2 − 2 )( 1 − 1) − ( 1 − 2 )( 2 − 1)  x22 y22  0  SS :  ( 1 − 2 ) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 2 − 1 ) x2 y2 T ( x, y ) = ( x1 y1, x2 + y2 − x2 y2 ) + ( 2 − 1 ) x22 y22  0  ( 2 − 1 ) x2 y2 (1 − x2 − y2 + x2 y2 )  0 Chứng minh: Toán tử đã cho là một t-chuẩn mờ trực cảm (xem [3]). Toán tử T ( x, y ) = xy là một t-  ( 2 − 1 ) x2 y2 (1 − x2 )(1 − y2 )  0 (luôn đúng). chuẩn mờ có tính chặt (xem [1]). Toán tử Kết hợp (2.1) với Ví dụ 2.3, ta có điều phải chứng minh. 21
  4. Roãn Thị Ngân Ví dụ 2.5. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp Thật vậy, (2.3) tương đương với:  SS : x k +1 + x k y − x k +1 y + xy k + y k +1 − xy k +1 − x k +1 y k 0    1, − x k y k +1 + x k +1 y k +1  x k +1 + y k +1 − x k +1. y k +1 ( x1 − 1)( y1 − 1)  x k y − x k +1 y + xy k − xy k +1 − x k +1 y k − x k y k +1 T ( x, y ) = (log  (1 + ),  −1 + 2 x k +1 y k +1  0 (1− x2 − 1)(1− y2 − 1)  x k −1 − x k + y k −1 − y k − x k y k −1 − x k −1 y k + 2 x k y k  0 1 − log  (1 + )),  −1 ( ) ( ) (  x k −1 − x k + y k −1 − y k + x k y k − x k y k −1 ) + (x )0 (xem [5]). k −1 k y −x k k y Ví dụ 2.6. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp x (1 − x ) + y (1 − y ) + x k y k −1 ( y − 1) k −1 k −1  SS : + x k −1 y k ( x − 1)  0  1   x k −1 (1 − x ) (1 − y k ) + y k −1 (1 − y ) (1 − x k )  0 T ( x, y ) =  x1 y1, x22 + y22 − x22 y22  ( ) 2   (luôn đúng).   1 Do đó, từ (2.2) và (2.3) suy ra Chứng minh: x2 + y 2 − x2 y 2 ( ) 2  x + y − xy, thật vậy: x k +1 + y k +1 − x k +1. y k +1  ( x + y − xy ) k +1 1 (x 2 + y 2 − x2 y 2 ) 2  x + y − xy  x 2 + y 2 − x 2 y 2  hay 1 x 2 + y 2 + 2 xy + x 2 y 2 − 2 xy ( x + y ) (x k +1 + y k +1 − x k +1. y k +1 ) k +1  x + y − xy , k  2, k  N .  0  2 xy + 2 x y − 2 xy ( x + y )  x + y − xy  1 2 2 (luôn đúng). Kết hợp (*) với Ví dụ 2.2, ta có điều phải chứng Kết hợp điều vừa được chứng minh với Ví dụ 2.2, minh. ta có điều phải chứng minh. b. Lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được lũy Ví dụ 2.7. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp linh-lũy linh,  NN  SS : Định nghĩa 2.8. Một t-chuẩn mờ trực cảm T được  1  ( T ( x, y) =  x1 y1, x2a + y2a − x2a y2a )  a ,a   1, a  N . gọi là lũy linh-lũy linh, t-biểu diễn được nếu và chỉ nếu tồn tại một t-chuẩn lũy linh T và một t-đối chuẩn lũy x, y  L : 1 Chứng minh: xa + y a − xa y a ( ) a  x + y − xy (*) bằng linh S trên [0,1] sao cho, với mọi phương pháp qui nạp: T ( x, y ) = (T ( x1, y1 ), S ( x2 , y2 )). * Với a=2, (*) đúng. Ví dụ 2.9. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp * Giả sử (*) đúng với a = k, k  2, k  N , tức là  NN : x k + y k − x k y k  ( x + y − xy ) , ta phải chứng k T ( x, y ) = ( 0  ( x1 + y1 − 1) ,1  ( x2 + y2 ) ) minh (*) đúng với a=k+1. Thật vậy, ta có: Chứng minh: Toán tử đã cho là một t-chuẩn mờ ( x + y − xy )k +1 = ( x + y − xy )k ( x + y − xy ) , trực cảm (xem [3]). Toán tử T ( x, y ) = 0  ( x + y − 1) kết hợp với điều giả sử (*) đúng với a=k, suy ra: là một t-chuẩn mờ có tính lũy linh (xem [1]). Toán tử ( x + y − xy )k +1  ( x k + y k − x k y k ) ( x + y − xy ) ( 2.2 ) S( x, y ) = 1  ( x + y ) là một t-đối chuẩn mờ có tính lũy Bây giờ ta chứng minh: linh (xem [1]). Do đó toán tử đã cho thuộc lớp  NN . (x k + y k − xk y k ) ( x + y − xy ) Ví dụ 2.10. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp  x k +1 + y k +1 − x k +1. y k +1 ( 2.3)  NN : 22
  5. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 2 (2016),19-28 4 x1 + 4 y1 − 3x1 y1 − 4 (xem [5]). T ( x, y) = (0  , x1 + y1 − x1 y1 Ví dụ 2.13. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp x2 + y2 + 2 x2 y2  NN : 1 ). 1 − x2 y2 a  0, T ( x, y ) = ( ( )) Chứng minh:  ( )  1 1  0  x1 + y1 − 1 ,1  x2a + y2a a a a a - Không khó để kiểm tra pr1T ( x, y ) là một t-    chuẩn mờ (thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa t-chuẩn Chứng minh: Ta chứng minh pr1T + pr2T  1, thật mờ) và pr2 T ( x, y ) là một t-đối chuẩn mờ (thỏa mãn 4 vậy: điều kiện của định nghĩa t-đối chuẩn mờ). - Nếu x1a + y1a  1 và x2a + y2a  1 ta có: - Dễ thấy t-chuẩn pr1T ( x, y ) và t-đối chuẩn pr1T ( x, y ) + pr2T=( x, y ) = 1. pr2 T ( x, y ) có tính lũy linh. - Nếu x1a + y1a  1 và x2a + y2a  1 ta có: - Với mọi x, y  L* , ta kiểm tra được ( ) 1 pr1T ( x, y ) + pr2T=( x, y ) = x2a + y2a  1. a pr1T ( x, y ) + pr2T ( x, y )  0,1. - Nếu x1a + y1a  1 và x2a + y2a  1 ta có Do ta có: x1a + y1a + x2a + y2a  2 , vô lý vì : x1 + y1 − x1 y1 = 1 − (1 − x1 )(1 − y1 )  1 − x2 y2 x1a + y1a + x2a + y2a  ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) = 2 4 x1 + 4 y1 − 3x1 y1 − 4 x2 + y2 + 2 x2 y2 Không xảy ra trường hợp này.  + x1 + y1 − x1 y1 1 − x2 y2 - Nếu x1a + y1a  1 và x2a + y2a  1 ta có 4 x1 + 4 y1 − 3 x1 y1 − 4 + x2 + y2 + 2 x2 y2  ( ) ( ) 1 1 pr1T ( x, y ) + pr2T=( x, y ) = x1a + y1a − 1 + x2a + y2a . a a x1 + y1 − x1 y1 4 x1 + 4 y1 − 3 x1 y1 − 2 − x1 − y1 + 2(1 − x1 )(1 − y1 ) - Ta chứng minh:  x1 + y1 − x1 y1 (x ) 1 a + y a − 1  x + y − 1, a 3x1 + 3 y1 − 3x1 y1 − 2 + 2(1 − x1 )(1 − y1 ) = =1 x1 + y1 − x1 y1 tức là x a + y a − 1  ( x + y − 1) a (2.4) . Vậy T  NN . Với a=1, (2.4) hiển nhiên đúng. Giả sử (2.4) đúng với a = k  1, k N, nghĩa là x k + y k − 1  ( x + y − 1) . k Ví dụ 2.11. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp  NN : Ta phải chứng minh (2.4) đúng với a=k+1. Thật vậy, ( x + y − 1)k +1 = ( x + y − 1)k ( x + y − 1)  ( x k + y k − 1) ( x + y − 1) 1  2  −1, T ( x, y) = Ta lại có: ( 0  (( x1 + y1 − 1)(1 + 1 ) − 1x1 y1 ) ,1  ( x2 + y2 + 2 x2 y2 )) ( x + y − 1) ( x + y − 1) − ( x k k k +1 + y k +1 − 1) (xem [5]). = ( x + x y − x + xy + y k +1 k k k k +1 − y − x − y +1 k ) Ví dụ 2.12. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp − ( x + y − 1) k +1 k +1  NN : = x k y − x k + xy k − y k − x − y + 2 a  0, T ( x, y ) = = x k ( y − 1) + y k ( x − 1) + (1 − x ) + (1 − y ) ( ) = (1 − y ) 1 − x k + (1 − x ) 1 − y k  0 ( )  ( ) ,1  ( )  1 1  0  1 − (1 − x1 ) + (1 − y1 ) a a + a x2a y2a a ,   23
  6. Roãn Thị Ngân Do đó ( x + y − 1)k +1  xk +1 + y k +1 − 1 hay (2.4) Chứng minh: Ta có với mọi x, y  [0,1], 1  được chứng minh. T ( x, y) = max  ( x + y − 1 + ( a − 1) xy ) ,0  a  (x ) 1 a + ya  x + y , tức là a - Ta chứng minh: Là họ những t-chuẩn lũy linh Jane Doe [1] và: x + y  ( x + y) a ( x1 + y1 − 1 + ( a − 1) x1 y1 ) + x2 + y2 − x2 y2 a a (2.5) . Ta có 1 a −1 a (2.5)  x a + y a  x a + y a +  Cak x a −k y k k =1 = 1 a ( x1 + y1 − 1 + ( a − 1) x1 y1 ) + 1 − (1 − x2 )(1 − y2 ) a −1  1 1 a −1  0   Cak x a − k y k  1 −  + ( x1 + y1 ) + x1 y1 − x1 y1 k =1  a a a (luôn đúng).  1 1  1 1 = 1 −  + ( x1 + y1 − x1 y1 )  1 −  + = 1. Do vậy, từ (2.4) và (2.5) suy ra:  a a  a a pr1T ( x, y ) + pr2 T=( x, y )  x1 + y1 − 1 + x2 + y2  Vậy T ( x, y ) là t-chuẩn mờ trực cảm lũy linh-chặt, ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) − 1  1. t-biểu diễn được. Hơn nữa, pr1T và pr2T là các toán tử lôgic mờ có Ví dụ 2.17. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp tính lũy linh (xem [5]).  NS : Do đó T  NN . a  ( 0,1) , T ( x, y) = c. Lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được lũy (( −a + a ( x + y ) + (1 − a ) x y )  0, x 1 1 1 1 2 + y2 − x2 y2 . ) linh-chặt, kí hiệu  NS Chứng minh: Định nghĩa 2.14. Một t-chuẩn mờ trực cảm T Xét T f = f −1 ( f ( x ) f ( y )  a ) với: được gọi là lũy linh-chặt, t-biểu diễn được nếu và chỉ x−a f ( x ) = a + (1 − a ) x, f −1 ( x ) = , a  ( 0,1) . nếu tồn tại một t-chuẩn lũy linh T và một t-đối chuẩn 1− a chặt S trên [0,1] sao cho, với mọi x, y  L : Ta có: Tf là một t-chuẩn lũy linh, T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )). ( ) T f = f −1 ( a + (1 − a ) x ) ( a + (1 − a ) y )  a f −1 ( f ( x ) f ( y )  a ) Ví dụ 2.15. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp  = (  a 2 + ( a − a 2 ) ( x + y ) + (1 − a )2 xy  a  − a  )  NS : 1− a (a 2 − a + ( a − a 2 ) ( x + y ) + (1 − a ) xy  0 2 ) T ( x, y) = ( 0  ( x1 + y1 − 1) , x2 + y2 − x2 y2 ) = 1− a = ( −a + a ( x + y ) + (1 − a ) xy )  0 Chứng minh: Toán tử đã cho là một t-chuẩn mờ trực cảm (xem [3]). Toán tử T ( x, y ) = 0  ( x + y − 1) Xét 1  a  0, T ( x, y) = là một t-chuẩn mờ có tính lũy linh (xem [1]). Toán tử (( −a + a ( x + y ) + (1 − a ) x y )  0, x 1 1 1 1 2 + y2 − x2 y2 .) S( x, y ) = x + y − xy là một t-đối chuẩn mờ có tính Ta có: chặt (xem [1]). Do đó toán tử đã cho thuộc lớp  NS . −a + a ( x1 + y1 ) + (1 − a ) x1 y1 + x2 + y2 − x2 y2 = −a + a ( x1 + y1 ) + (1 − a ) x1 y1 + 1 − (1 − x2 )(1 − y2 ) Ví dụ 2.16. Toán tử T sau đây là toán tử thuộc lớp  −a + a ( x1 + y1 ) + (1 − a ) x1 y1 + 1 − x1 y1  NS : = −a + 1 + a ( x1 + y1 − x1 y1 ) a  0, T ( x, y) = = −a + 1 + a (1 − (1 − x1 )(1 − y1 ) ) = 1 − a (1 − x1 )(1 − y1 )  1  1    0   ( x1 + y1 − 1 + ( a − 1) x1 y1 )  , x2 + y2 − x2 y2 . Vậy T ( x, y ) là một t-chuẩn mờ trực cảm và là một   a   lũy linh-chặt t-biểu diễn được. 24
  7. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 2 (2016),19-28 Mệnh đề 2.18. Không tồn tại t-chuẩn mờ trực cảm T ( x, y) = (T (u, v), S (a, b)) = (0,1) = 0L* ,  t-biểu diễn được T sao cho với mọi x, y  L : Vậy T là lũy linh. T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) với T là t-chuẩn chặt và S là t-đối chuẩn lũy linh. 3. Một số lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được Chứng minh: Giả sử với mọi x, y  L : a. Lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) chặt-chặt, kí hiệu  SS với T là t-chuẩn chặt và Định nghĩa 3.1. Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S x2 , y2  (0,1) | S( x2 , y2 ) = 1. được gọi là chặt-chặt, t-biểu diễn được nếu và chỉ nếu tồn tại một t-chuẩn chặt T và một t-đối chuẩn chặt S trên Chọn x1  0 | x1 + x2  1, y1  0 | y1 + y2  1, thì [0,1] sao cho, với mọi x, y  L : T ( x1 , y1 )  0, do T chặt. S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )). Với x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) xét T (x, y) : Ví dụ 3.2. Một số toán tử thuộc lớp  SS : T ( x1 , y1 ) + S( x2 , y2 )  1, mâu thuẫn. * S ( x, y) = ( x1 + y1 − x1 y1 , x2 y2 ). Mệnh đề 2.19. Nếu T thuộc vào lớp  SS hoặc * 2  1  0, S * ( x, y ) =  NS , khi đó T là một t-chuẩn mờ trực cảm chặt.  x1 + y1 + ( 1 − 2) x1 y1 x2 y2   . Chứng minh: Giả sử T   NS và với mọi  1 + ( 1 − 1) x1 y1 , 2 + (1 − 2 )( x2 + y2 − x2 y2 )  x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) * 0    1, (1− x1 − 1)(1− y1 − 1) sao cho x, y  L \ {0L }| T ( x, y ) = 0L . S ( x, y ) = (1 − log  (1 + ),  −1 Ta có T ( x1 , y1 ) = 0, S ( x2 , y2 ) = 1, do S chặt nên ( x2 − 1)( y2 − 1) log  (1 + )). x2 = 1 hoặc y2 = 1, mâu thuẫn.  −1 * a  1, Vậy T là một t-chuẩn mờ trực cảm chặt. 1 Tương tự, T   SS là t-chuẩn mờ trực cảm chặt. S ( x, y ) = (( x1a + y1a − x1a y1a ) a , x2 y2 ). Mệnh đề 2.20. Nếu T thuộc vào lớp  NN , khi Chứng minh: Các toán tử S ở Ví dụ 3.2 được suy đó T là một t-chuẩn mờ trực cảm lũy linh. ra từ các Ví dụ 2.2 -2.7. Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Chứng minh: Giả sử T   NN , b. Lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được lũy x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) . linh-lũy linh  NN Do T lũy linh nên: u , v  0 | T (u , v) = 0 Định nghĩa 3.3. Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S Do T không giảm nên: được gọi là lũy linh-lũy linh, t-biểu diễn được nếu và u  u, v  v, T (u , v) = 0. chỉ nếu tồn tại một t-chuẩn lũy linh T và một t-đối chuẩn  Do S là lũy linh nên a, b  1| S (a, b) = 1 . lũy linh S trên [0,1] sao cho, với mọi x, y  L : Ta chọn: S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )). x = (u , a) u  + a  1, y = (v, b) v + b  1 Ví dụ 3.4. Một số S   NN : Khi đó: 25
  8. Roãn Thị Ngân ( * S ( x, y ) = 1  ( x1 + y1 ) ,0  ( x2 + y2 − 1) . ) Mệnh đề 3.7. Không tồn tại t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được S sao cho * 2  1  −1, S ( x, y ) = ( S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )), x, y  L với T là t- S ( x, y) = (1  ( x1 + y1 + 1x1 y1 ), chuẩn chặt và S là t-đối chuẩn lũy linh. 0  (( x2 + y2 − 1)(1 + 2 ) − 2 x2 y2 )). Mệnh đề 3.8. Nếu S thuộc vào lớp  SS hoặc * a  0, S ( x, y ) =  SN , thì S là một t-đối chuẩn mờ trực cảm chặt.  ( ) ( )   NN , thì S 1 1 ,0  1 − (1 − x2 ) + (1 − y2 ) a a Mệnh đề 3.9. Nếu S thuộc vào lớp 1  x1 + y1 a a a a  là một t-đối chuẩn mờ trực cảm lũy linh. * a  0, S ( x, y ) =  SS Định lý 3.10. Giả sử toán tử T thuộc  ( ) ,(0  ( x ))  1 1 1  x1 + y1 + y2a − 1 (  NN ,  NS ) và S là đối ngẫu với T qua phủ định a a a a a 2    mờ trực cảm N cuộn, giảm chặt, thì S thuộc  SS x + y + 2 x1 y1 * S ( x, y ) = (1  1 1 , (  NN ,  SN ). 1 − x1 y1 4 x2 + 4 y2 − 3x2 y2 − 4 Đặc biệt nếu N = N s = và T = (T , S ) thì 0 ). x2 + y2 − x2 y2 S = ( S , T ). Chứng minh: Các toán tử S ở Ví dụ 3.2 được suy ra Chứng minh: Giả sử T   NN , với mọi từ các Ví dụ 2.9 -2.13. Từ đó, ta có điều phải chứng minh. x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )), và c. Lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được chặt- N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) . lũy linh,  SN Từ định nghĩa 1.8, ta thu được toán tử đối ngẫu với Định nghĩa 3.5. Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S T qua N : được gọi là chặt-lũy linh, t-biểu diễn được nếu và chỉ S ( x, y) = ( N (1 − S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 ))), nếu tồn tại một t-chuẩn lũy linh T và một t-đối chuẩn 1 − N (T ( N (1 − x2 ), N (1 − y2 )))). chặt S trên [0,1] sao cho, với mọi x, y  L : Do S lũy linh, nên tồn tại a, b  (0,1) sao S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )). cho S (a, b) = 1 , kéo theo: Ví dụ 3.6. Một số S   SN : x1 , y1  (0,1) | a = 1 − N ( x1 ), b = 1 − N ( y1 ), ( * S ( x, y ) = x1 + y1 − x1 y1 ,0  ( x2 + y2 − 1) , ) S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 )) = 1 * a  0, S ( x, y) = nên N (1 − S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 ))) = N (0) = 1   1   x1 + y1 − x1 y1,  0   ( x2 + y2 − 1 + ( a − 1) x2 y2 )   . * và pr1 S ( x, y ) là một t-đối chuẩn lũy linh.   a  1  a  0, S ( x, y) = Do T lũy linh, nên tồn tại c, d  (0,1) sao cho ( x + y − x y , ( −a + a ( x 1 1 1 1 2 + y2 ) + (1 − a ) x2 y2 )  0 .) T (c, d ) = 0, kéo theo: x2 , y2  (0,1) sao cho Chứng minh: Các toán tử S ở Ví dụ 3.2 được suy ra từ c = 1 − N ( x2 ), d = 1 − N ( y2 ) và các Ví dụ 2.14 -2.17. Từ đó, ta có điều phải chứng minh. 1 − N (T ( N (1 − x2 ), N (1 − y2 ))) = 0 Tương tự, như phần trên, những mệnh đề sau được chứng minh. 26
  9. ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 2 (2016),19-28 Do đó pr2 S ( x, y) là một t-chuẩn lũy linh. Vậy T ( x, y ) = (0  ( x1 + y1 − 1),1  ( x2 + y2 ))   NN , S ( x, y)  NN . N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) 1− a Tương tự, điều ngược lại được chứng minh. với N ( a ) = , a  0,1. 1+ a Giả sử T   SS , do S là chặt, nên Khi đó ta có: a, b  (0,1) | S (a, b)  1 , kéo theo: x1 + y1 + 2 x1 y1 S ( x, y ) = (1  , x1 , y1  (0,1), S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 ))  1 . 1 − x1 y1 4 x2 + 4 y2 − 3x2 y2 − 4 Do N giảm chặt nên với mọi x1 , y1  (0,1) thì 0 )   NN . x2 + y2 − x2 y2 N (1 − S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 )))  1 . (xem Ví dụ 3.4) Ví dụ 3.14. Với mọi x, y  L : Do đó pr1 S ( x, y ) là một t-đối chuẩn chặt. T ( x, y) = (0  ( x1 + y1 − 1), x2 + y2 − x2 y2 ) Tương tự, pr2 S ( x, y) là một t-chuẩn chặt. Vậy  NS , S ( x, y )  SS . N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) Định lý 3.11. Giả sử toán tử S = ( S1 , T1 ) thuộc 1− a với N ( a ) = , a  0,1.  SS (tương ứng  NN ,  SN ) và T là đối ngẫu với 1+ a Khi đó ta có: S ( x, y ) = S qua phủ định mờ trực cảm N cuộn, giảm chặt, thì  x1 + y1 4 x + 4 y2 − 3x2 y2 − 4  T = (T2 , S2 ) thuộc  SS (tương ứng  NN ,  NS ).  ,0  2   SN .  1 + x1 y1 x2 + y2 − x2 y2  Đặc biệt nếu N =N s = và S = ( S1, T1 ) thì (Do kết quả của Ví dụ 3.12, 3.13 và do T = (T1, S1 ). x1 + y1 x1 + y1 + 2 x1 y1  ). 1 + x1 y1 1 − x1 y1 Ví dụ 3.12. Với mọi x, y  L : T ( x, y) = ( x1 y1, x2 + y2 − x2 y2 )   SS , 4. Kết luận N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) Trong bài báo này, tôi đã trình bày khá hoàn chỉnh một phân lớp theo một số lớp con của các t-chuẩn và t- 1− a với N ( a ) = , a  0,1. đối chuẩn t-biểu diễn được trực cảm phát triển, mở rộng 1+ a một số kết quả đã có trong [6,7] cho các tập mờ trực Khi đó ta có: cảm, chuẩn bị cho các nghiên cứu tiếp cho các tập mờ  x +y x2 y2  bức tranh – một khái niệm mới được đề xuất bởi Bùi S ( x, y) =  1 1 , .  1 + x1 y1 2 − x2 − y2 + x2 y2  Công Cường năm 2013, là một mở rộng, tổng quát hóa của khái niệm tập mờ và tập mờ trực cảm. Ta thấy S ( x, y) là một toán tử cụ thể thuộc họ toán tử S * ( x, y) ở Ví dụ 3.2 với 1 = 0, 2 = 2. Do đó S ( x, y) SS . Tài liệu tham khảo  [1] Hung T. Nguyen, Elbert A. Walker (2005), First Ví dụ 3.13. Với mọi x, y  L : Course in Fuzzy Logic - second edition, Department of Mathematical Sciences New Mexico State University Las Cruces, New 27
  10. Roãn Thị Ngân Mexico. Chapman and hall/crc, Boca Raton [6] Desch Glad Deschrijver, Chris Cornelis, Etienne London NewYork Washington, D.C.. E.Kerre (February 2004), On the Representation of [2] Erich Peter Klement and Radco Mesiar (2005), Intuitionistic Fuzzy t-Norms and t-Conorms, IEEE Logical, Algebraic, Analytic and Probabilistic Transactions on Fuzzy Systems, Vol. 12, No.1. Aspects of Triangular Norms, 1st Edition, [7] B.C. Cuong, N.Q. Thang, R.T. Ngan and N.D. Elsevier. Hai (2014), A remark on some classes of t- [3] K.T. Atanassov (1983), Intiuitonistic fuzzy sets, representable intuitionistic fuzzy t-norms and t- VII ITKR's Section, Sofia. conorms, Seminar “Neuro-Fuzzy Systems with [4] K.T. Atanassov (1999), Intiuitonistic fuzzy sets, Applications” Preprint 03/2014, Institute of Phisica-Verlag, NewYork. Mathematics, June 2014, Hanoi. [5] Adrian I Ban (2006), Intiuitonistic Fuzzy [8] Deschrijver G. et al. [2003], Fuzzy Sets and Measures, Theory and Applications, Nova science Systems, v.133, 227-235. publishers, Inc. NewYork. A CLASSIFICATION INTO SUBCLASSES OF INTUITIONISTIC T-NORMS AND T-CONORMS FOR INTUITIONISTIC FUZZY SETS Abstract: A classification into subclasses of t-norm operators and t-conorm operators is an important result of fuzzy logics. T- representable intuitionistic t-norms and t-representable intuitionistic t-conorms were defined and examined by Deschrijver G. et al. in [8]. In this paper, I introduce for the first time a classification into subclasses of t-representable t-norm operators and t-representable t- conorm operators for intuitionistic fuzzy sets. Some properties of these subclasses are also presented. Key words: intuitionistic fuzzy sets; intuitionistic fuzzy logic operators; intuitionistic fuzzy t-norm; intuitionistic fuzzy t-conorms; t- representable intuitionistic t-norms; t-representable intuitionistic t-conorms. 28
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2