Một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ

Chia sẻ: Pham Yen | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

1.485
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học là chìa khóa của mọi nghành khoa học. Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người. Nói đến môn toán chúng ta không thể không nhắc tới phần hình học. Với một xã hội mà khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán nói chung và hình học nói riêng lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 1. DẪN NHẬP Toán học là chìa khóa của mọi nghành khoa học. Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người. Nói đến môn toán chúng ta không thể không nhắc tới phần hình học. Với một xã hội mà khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán nói chung và hình học nói riêng lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu. Khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là mảng kiến thức rất quan trọng trong phần hình học. nó có mặt hầu hết trong các kì thi đặc biệt là kì thi đại học. Các bài toán về khoảng cách và góc rất đa dạng. Vì vậy việc nghiên cứu phân loại và đưa ra phương pháp giải một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là hết sức cần thiết nhằm giúp cho người học tiếp nhận kiến thức một cách đầy đủ, có hệ thống, tránh được cảm giác mơ hồ, chán nản, lười suy nghĩ của người học. Với mục đích đó, em sẽ tập trung nghiên cứu các vấn đề như sau: Tóm tắt lí thuyết liên quan Phân loại các dạng bài tập. Mỗi dạng đưa ra một số bài toán theo độ khó tăng dần với nhiều cách giải khác nhau. Từ đó thấy được ưu nhược điểm của mỗi phương pháp để vận dụng cho phù hợp. Trong quá trình nghiên cứu sẽ không tránh khỏi những sai xót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy và các bạn để bài nghiên cứu của em được hoàn thiện hơn. 2. NỘI DUNG
2.1. Tóm tắt lí thuyết 2.1.1. Khoảng cách 2.1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm M( ; ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức | | d(M ; ∆) = . √ Hình 1 2.1.1.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia hoặc ngược lại. Hình 2 2.1.1.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng. ; ; Cho hai điểm M( ), N( ) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Khi đó: • M và N nằm cùng phía đối với ∆ ( )( ) > 0; Hình 3 • M và N nằm khác phía đối với ∆
( )( ) < 0. Hình 4 2.1.1.4. Công thức đường phân giác. Cho hai đường thẳng ∆ : = 0 và ∆ : x+ y+ x+ y+ = 0. Khi đó: Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆ là =± 2.1.2. Góc giữa hai đường thẳng 2.1.2.1. Định nghĩa Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 . Hình 5 Kí hiệu: góc giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu là ( , ), hay đơn giản là (a, b). 2.1.2.2. Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ Gọ i , lần lượt là hai VTCP của đường thẳng a và đường thẳng b. Nếu ( , ) ≤ 90 thì (a, b) = ( , )
Nếu ( , ) > 90 thì (a, b) = 180 - ( , ) 2.1.2.3. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆ : = 0 và ∆ : x+ y+ x+ y+ = 0. Khi đó góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ được xác định bởi công thức | | cos ∆ , ∆ = (5) . Chú ý: ∆ ∆ = 0. Nếu đường thẳng cho dưới dạng ∆ : y = kx + b, ∆ : y = k’x + b’ ( k, k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng ∆ và ∆ ) thì ∆ ∆ k.k’ = 1. 2.2. Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ. Dạng 1: tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Phương pháp: áp dụng linh hoạt các công thức sau: • Khoảng cách giữa hai điểm A( ; ; ), B( ) là: AB = . (1) • Khoảng cách từ điểm M( ; ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức | | d(M ; ∆) = . (2) √
• Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành. , , Gọ i lần lượt là các VTCP; lần lượt là các VTPT của hai đường thẳng ∆ và ∆ thì: cos ∆ ; ∆ = |cos | = |cos |. ; ; (3) Chú ý: • góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 . • Góc A của ∆ABC là góc giữa hai vectơ và . • Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì đường thẳng phải viết dưới dạng phương trình tổng quát Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:(SBT hình học 10- cơ bản) a) A(3 ; 5) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 1 2 1 b) B(-1 ; 2) và ∆’: 2 2 Giải a) Áp dụng công thức tính khoảng cách |. | . Ta có d(A , ∆) = = . √ b) Từ phương trình (2) suy ra: t = - , thay vào phương trình (1) ta được x = -1 + 2(- ) = -1 y. vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆’ là: x + y + 1 = 0. Do đó áp dụng công thức (2) ta có: d(B; ∆’’) = = √2 √
Bài toán 2: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh tam giác đó là: x + 2y = 0; 2x + y = 0; x+ y = 1. ( SBT hình học 10- nâng cao) Giải Xét tam giác ABC với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho. Khi đó tọa độ các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ phương trình sau: 2 0 2 0 2 0 ; ; 2 0 1 0 1 0 Giải các hệ này ta được tọa độ các đỉnh tam giác là (0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2). Giả sử A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2). Suy ra =(2; -1), =(-1 ; 2), =(-3 ; 3). Vì AB = AC = √5 nên tam giác ABC cân tại A. . . cosA = cos ; ~ 143 8′ =√ = .√ ~ 18 26′ = Dạng 2: vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng . Phương pháp: để xét vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với đường thẳng (d) ta làm như sau: Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái của phương trình đường thẳng (d) • Nếu được hai giá trị cùng dấu thì kết luận A, B cùng phía đối với (d). • Nếu được hai giá trị khác dấu thì kết luận A, B khác phía đối với (d). Bài toán 1: : Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình:
a) Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC. AB: x – y + 4 = 0; BC: 3x + 5y + 4 =0; AC: 7x + y – 12 = 0. Giải Thay lần lượt tọa độ của O vào vế trái của ptdt BC, AC, AB ta được: 3.0 + 5.0 + 4 = 4; 7.0 + 0 – 12 = -12; 0 – 0 + 4 = 4. Thay tọa độ của A, B, C lần lượt vào vế trái của phương trình đường thẳng: BC, AC, AB ta được: 3 + 5.5 + 4 = 32; 7.(-3) + 1 – 12 = 32; 2 + 2 + 4 = 8. Như vậy : O và A nằm cùng phía đối với BC, O và B nằm cùng phía đối với AC, O và C nằm cùng phía đối với AB. Vậy O nằm trong tam giác ABC. Nhận xét: Hai dạng toán trên là những dạng toán cơ bản với mục đích để cho người làm toán nhớ được các công thức cơ bản cũng như rèn kĩ năng tính toán. Tuy nhiên, ta không thể bỏ qua bởi nó là cơ sở giúp chúng ta hình thành những ý tưởng mới trong việc giải các bài toán phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về cực trị, bài toán quỹ tích mà ta sẽ xét ở phần sau. Khi làm gặp bài toán dạng này ta chỉ việc sử dụng công thức, tính chất đã nêu ở phần phương pháp hoặc nếu cần thì chỉ vẽ hình phác họa, mà không cần phải biểu diễn một cách chính xác tọa độ từng điểm hay từng đường thẳng lên mặt phẳng tọa độ. Đây cũng là ưu điểm của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Dạng 3: một số bài toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách Bài toán 1: viết phương trình đường phân giác của các góc trong một tam giác. Phương pháp:
cách 1: Để tìm đường phân giác trong AD của tam giác ABC ta làm như sau: • Lập phương trình hai cạnh AB, AC. • Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC theo công thức đã biết. • Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C đối với một trong hai đường phân giác vừa tìm. Giả sử là đường thẳng ( ). Nếu B, C khác phía đối với ( )thì ( ) là đường phân giác trong góc A. Ngược lại ta kết luận là đường phân giác ngoài góc A. cách 2: • Tìm tọa độ ba đinh của tam giác A, B, C. Gọi D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài kẻ từ A của tam giác ABC. • Tính tọa độ của , = , = . • Để tìm D ta áp dụng hệ thức: = =- . =- . . Từ hệ thức này ta tìm được tọa độ của D. Khi đó viết phương trình đường thẳng AD đi qua hai điểm A, D. Hình 6 • Để tìm tọa độ điểm E ta áp dụng hệ thức: = = . = . . Từ hệ thức này tìm được tọa độ của E. Khi đó viết phương trình đường thẳng AE. cách 3: • Tính tọa độ của , = , = .
• Đặt = = . = (* ; *) ; = = . = (*; *). • Khi đó VTCP của đường phân giác trong góc A là: phương trình đường phân giác trong góc A. • VTCP của đường phân giác ngoài góc A là: phương trình đường phân giác trong góc A. Ví dụ: Viết phương trình đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC với: A(2 ; 6), B(-3 ; -4), C(5 ; 0). Giải Cách 1: Phương trình đường thẳng AB là: = 2x – y + 2 = 0. Phương trình đường thẳng AC là: 2x + y – 10 = 0. Áp dụng công thức phương trình đường phân giác ta có phương trình hai đường phân giác của góc A là: =± y – 6 = 0 ( ) hoặc x – 2 = 0 ( ). Thay toạ độ của B vào vế √ √ trái của phương trình đường thẳng ( ), ta có: -4 – 6 = -10 < 0. Thay tọa độ điểm C vào vế trái phương trình đường thẳng ( ), ta có: 0 – 6 = -6 < 0. Suy ra B. C nằm cùng phía đối với ( ( ) là đường phân giác ngoài của góc A. Vậy phương trình của đường phân giác trong góc A là: x – 2 = 0. Cách 2: AB = 5√5; AC = 3√5. Gọi D là chân Ta có: = ( -5 ; -10) = ( 3 ; -6) đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC.
Ta có hệ thức: = =- . (-3 – x ; -4 – y) = - (5 –x; -y) 3 2 4 Vậy D(2 ; - ). Khi đó đường phân giác trong góc A cần tìm là: AD: x- 2 = 0. Hình 7 Cách 3 Gọ i , lần lượt là vectơ đơn vị trên trục AB và AC, ta có: √ √ .( -5 ; -10) = ( - √5 ; -2√5) = = . = = (√5 ; -2√5). Khi đó ta đặt = (0 ; -4√5) // (0 ; 1) thì chính là VTCP của đường phân giác trong góc A. Do đó phương trình của đường phân giác này là: = x–2 = 0. Bài toán 2: a) Cho hai điểm A(1 ; 1) và B(3 ; 6), Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2. b) Cho đường thẳng d có phương trình 8x – 6y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d và cách d một khoảng bằng 5. Bài toán 3: viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A và tạo với đường thẳng (d) một góc α
Phương pháp: gọi VTPT của đường thẳng (∆) là = (a ; b) ∆ • Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A. • Dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng (∆) và (d), từ đó tìm được biểu thức liên hệ giữa a và b, • Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ a, b thỏa mãn biểu thức vừa tìm được. Thay a, b vào phương trình tổng quát ban đầu ta tìm được phương trình đường thẳng cần tìm. Ví dụ: viết phương trình đường thẳng a) Qua A(-2 ; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 45 ; 2 3 một góc 60 . b) Qua B(-1; 2) và tạo với đường thẳng d: 2 ( SBT hình học 10 nâng cao) Phương pháp: Giải a) Đường thẳng ∆ qua A(-2 ; 0) với VTPT ∆ (a ; b) có phương trình : 0; a(x +2) + by = 0 hay ax + by + 2a = 0 ( VTPT của đường thẳng (d): (1 ; 3). Theo gt: ∆ tạo với (d) góc 45 | | Nên cos45 = √ 2 - 3ab -2 =0 .√ Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2 ta được đường thẳng ∆ : 2x + y +4 = 0. Với a = - , chọn b = -2, a = 1, ta được đường thẳng ∆ : x - 2y + 2 = 0. (a ; b) là VTCP của đường thẳng ∆ cần tìm ( 0 ). b) Gọi Đường thẳng (d) có VTCP = (3; -2). | | ∆ tạo với (d) góc 60 khi và chỉ khi cos 60 √ .√
| | 43 2 13( ) .√ √ 48 3 23 =0 √ √ . hoặc a = . a= √ √ . , chọn b = 1, a = . , được VTPT của ∆ là ′ = ( -1 ; Vớ i a = √ √ ) và được đường thẳng ∆ : - (x + 1) + 2 =0 √ √ -x+ .y– = 0. √ √ . , chọn b = 1, a = . , ta được đường thẳng Vớ i a = √ √ ∆ :-x+ .y - = 0. Bài toán 4: trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1 ; 2) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho bé nhất. Cách 1:
H ạ OH (d). trong tam giác vuông OAB, ta có: ô đổ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: H M OM (d). Hình 8 Do đó đạt giá trị bé nhất khi đường thẳng (d) đi qua điểm M (1 ; 2) và có VTPT là (1 ; 2). Vậy đường thẳng (d) cần tìm là: 1(x – 1) + 2(y – 2) = 0 x + 2y – 5 = 0. Nhận xét: • Phép biến đổi là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại lượng biến thiên OA, OB về biểu thức còn một đại lượng biến thiên OH. • Cách giải trên không mở rộng được cho bài toán tổng quát hơn: xác định vị trí 0 . Cách làm sau đây tổng của đường thẳng (d) để nhỏ nhất. (a, b quát hơn. Cách 2: đường thẳng (d) đi qua M(1 ; 2), cắt các trục tọa độ và không đi qua gốc nên nó là đường thẳng có hệ số góc k với k ≠ 0, k ≠ 2 có dạng: y – 2 = k(x – 1) y = kx – k + 2. ; 0 , B(0 ; 2 – k) và Ta có: A( Xét hàm số: f(k) = (k ≠ 0, k ≠ 2 ) có: f’(k) =
f’(k) = 0 -4 + 6k + 4 = 0 k = 2 hoặc k = - Ta có bảng biến thiên của hàm số f(k): Vậy f(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = - . Do đó nhỏ nhất khi k = - (d): x + 2y – 5 = 0. Cách 3: Giả sử A(m ; 0), B(0 ; n), (m , n ≠ 0). Khi đó (d): = 1đi qua M(1 ; 2) nên: =1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ≤1 2. 1= Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 1 2 5 1 1 5 1 2 2 1 2 Vậy . Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi m = 5, n = , tức là (d): x + 2y – 5 = 0.
Bài toán 4 :(vở ) Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; 1) sao cho cùng với 2 đường thẳng (d): 2x – y + 5 = 0 và (d’): 3x + 6y – 1 = 0 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d) và (d’). Giải Cách 1: Từ phương trình đường thẳng (d) và (d’) ta có: VTPT của (d) là (2 ; -1) VTPT của (d’) là ′(3 ; 6) Vì 2.3 + (-1).6 = 0 nên (d) (d’) Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng cần tìm (d’’)là tam giác vuông cân, suy ra (d’’) tạo với (d) một góc 45 Hình 9 Gọi ′′(a, b) là VTPT của (d’’) cần tìm. Khi đó |2 | cos 45 √5. √ 3 8 3 0 a = 3b hoặc a = - ,
Với a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình đường thẳng (d’’) là: 3(x – 2) + (y – 1) = 0 3x + y – 7 = 0 (d’’) Vớ i a = , chọn b = - 3, a = 1 ta được phương trình đường thẳng (d’’) là: (x – 2) – 3(y – 1) = 0 x – 3y + 1 = 0 (d’’). Vậy có hai đường thẳng (d’’) thỏa mãn bài toán là: 3x + y – 7 = 0 và x – 3y + 1 = 0 Hình 10 Cách 2: Từ phương trình đường thẳng (d) và (d’) ta có:
VTPT của (d) là (2 ; -1) VTPT của (d’) là ′(3 ; 6) Vì 2.3 + (-1).6 = 0 nên (d) (d’) Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng cần tìm (d’’)là tam giác vuông cân, suy ra (d’’) sẽ vuông góc với hai đường phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’). (H.11, H.12) Hình 11 Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) là: | | | | √ √ 3(2 5) = (3 6 1) 3x – 9y + 16 = 0 (∆ hoặc 9x + 3y +14 = 0 (∆’).Gọi ′′(a, b) là VTPT của (d’’) cần tìm. Đường thẳng (d’’) ∆) khi và chỉ khi 3a – 9b = 0 a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình đường thẳng (d’’) là: 3(x – 2) + (y – 1) = 0 3x + y – 7 = 0 (d’’) Hình 12 Đường thẳng (d’’) ∆’) khi và chỉ khi 9a + 3b = 0 a= ,
Dạng 3: Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Đây là dạng toán có rất nhiều bài tập hay và hay và khó và cũng rất khó để có thể đưa ra phương pháp giải cụ thể. Tuy nhiên ta có thể thấy hướng giải chung nhất thường là: Gọi điểm cần tìm là M( ; ), sau đó dựa vào giả thiết của từng bài toán cụ thể để thiết lập phương trình, biểu thức liên hệ giữa và một cách hợp lí, suy ra tọa độ M. Bài toán 1: (KA-2006)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: : x + y + 3 = 0, : x − y − 4 = 0, : x − 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng . Giải Vì M thuộc nên M(2y ; y). | | | | | | | | Ta có: d(M ; )= = ; d(M ; )= = √ √ √ | | | | Theo giả thiết: d(M ; ) = 2 d(M ; ) = 2. y = -11, y = 1. √ √ Với y = -11 ta được điểm (-22 ; -11). Với y = 1 ta được điểm (2 ; 1). Bài toán 2: (KB – 2007)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: : x + y – 2 = 0, : x + y – 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc và sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Giải
Vì B thuộc ; C thuộc nên B(b ; 2 – b), C(c ; 8-c). vì tam giác ABC vuông cân tại 1 4 2 4 2 0 . 0 A nên: 10 4 3 2 8 18 2 Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ 3 Giải hệ trên ta được x = -2, y = -1 hoặc x = 2, y = 1 Suy ra: B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5 ; 3) Bài toán 2: Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hai điểm B(2 ; -1) và C (1 ; -2). Trọng tâm G của tam giác ABC ở tren đường thẳng ∆: x + y – 2 = 0. Diện tích tam giác ABC bằng . Tìm tọa độ điểm A. (toán bồi dưỡng học sinh THPT hình giải tích) Giải ; Gọ i ( ) là tọa độ của G. G ở trên đường thẳng ∆:x + y -2 = 0 , nên ta có 2 0. (1) Đường thẳng BC đi qua B(2 ; -1) và C(1 ; -2)có phương trình: = x – y – 3 = 0. ; Khoảng cách từ G( ) tới BC: | | d(G ; BC) = . √ 2 1 1 2 2 Mặt khác: Suy ra BC = √2
| 3| 1 1 .| 3| . √2. ∆ 2 2 √2 Lại có = . Do đ ó ∆ ∆ .| 3| 3 3 0 TH1: (2) Giải hệ (1), (2) ta được , . Hay G( ; ). 3 3 Theo công thức trọng tâm: , Thay tọa độ B, C, G vào ta được 5, -2. Vậy A(5 ; -2). 3 0. TH2: (3) Giải hệ (1), (3) ta được G( ; ). Tính toán tương tự theo công thức trọng tâm ta được tọa độ điểm A(4 ; 2). Chú ý: khi giải toán không nhất thiết phải vẽ hình chính xác Bài toán 2: trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A(1 ; 0), B(-2 ; 4), C(-1 ; 4), D(3 ; 5). Một đường thẳng (∆) có phương trình là 3x – y -5 = 0. Tìm điểm M trên (∆) sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. Giải 3 4 25 Ta có: AB = 5, 16 1 17 CD = √17.