BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI THỊ THU HƯƠNG NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG LÊN SỰ TỰ KHUẾCH TÁN TRONG Ge BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: TS. Phan Thị Thanh Hồng
HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Phan Thị Thanh Hồng người đã định hướng chọn đề tài và
tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, Ban Chủ
Nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết
và Vật lý toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2017
Tác giả
Bùi Thị Thu Hương
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của TS. Phan Thị Thanh Hồng. Tất cả các số liệu và kết quả
nghiên cứu trong luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.
Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2017
Học viên
Bùi Thị Thu Hương
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CÁC NGHIÊN CỨU VỀ KHUẾCH TÁN TRONG TINH
THỂ Ge ............................................................................................................. 4
1.1. Tinh thể Ge ............................................................................................. 4
1.1.1. Cấu trúc tinh thể của Ge .................................................................. 4
1.1.2. Một vài thuộc tính của Ge ............................................................... 5
1.1.3. Các khuyết tật trong tinh thể Ge ...................................................... 5
1.1.4. Các ứng dụng quan trọng của Ge .................................................... 8
1.2. Các nghiên cứu về khuếch tán trong tinh thể Ge .................................... 9
1.2.1. Khuếch tán và các cơ chế khuếch tán chủ yếu trong tinh thể
rắn ............................................................................................................... 9
1.2.2. Các nghiên cứu về khuếch tán trong tinh thể Ge ........................... 11
1.3. Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu tinh thể bán dẫn ...... 14
1.3.1. Độ dời của hạt khỏi nút mạng ........................................................ 14
1.3.2. Năng lượng tự do Helmholtz .......................................................... 19
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ............................................................................ 22
CHƯƠNG 2. ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG LÊN SỰ TỰ
KHUẾCH TÁN TRONG TINH THỂ BÁN DẪN ......................................... 23
2.1. Lí thuyết tự khuếch tán trong tinh thể bán dẫn ..................................... 23
2.2 . Ảnh hưởng của biến dạng lên sự tự khuếch tán .................................. 31
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ............................................................................ 37
CHƯƠNG 3. TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN KẾT QUẢ ................................. 38
3.1. Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể .................................... 38
3.2. Các đại lượng khuếch tán của Ge dưới ảnh hưởng của biến dạng ....... 39
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ............................................................................ 47
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 49
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Giá trị các thông số thế Stillinger – Webercủa Ge ........................ 39
Bảng 3.2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của aLT , aKT, Vr, năng lượng kích hoạt Q và
hệ số khuếch tán D trong sự tự khuếch tán của Ge ........................ 41
Bảng 3.3. Ảnh hưởng của độ biến dạng ε lên năng lượng kích hoạt Q ở nhiệt
độ T trong sự tự khuếch tán của Ge ( Đơn vị của Q là eV) ........... 42
Bảng 3.4. Ảnh hưởng của độ biến dạng ε lên hệ số khuếch tán D ở nhiệt độ T
trong sự tự khuếch tán của Ge ( Đơn vị của D là cm2/s) ................ 43
Bảng 3.5. So sánh năng lượng kích hoạt của Ge với thực nghiệm và các tính
toán khác ...................................................................................... 44
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1.Mạng tinh thể Ge ............................................................................... 4
Hình 1.2. Khuyết tật nút khuyết trong tinh thể Ge ........................................... 7
Hình 1.3. Khuyết tật tự xen kẽ (self-interstitial) trong tinh thể Ge .................. 7
Hình 1.4. Khuyết tật tạp xen kẽ (dopant-interstitial) trong tinh thể Ge ........... 8
Hình 2.1. Mẫu chịu tác dụng của ứng suất lưỡng trục ................................... 31
Hình 2.2. Lược đồ sự thay đổi thể tích trong lúc hình thành và dịch
chuyển khuyết tật ............................................................................ 32
Hình 3.1 . Biểu đồ sự phụ thuộc độ biến dạng của năng lượng kích hoạt
tại T=1000K, T=1100K .................................................................. 45
Hình 3.2. Biểu đồ sự phụ thuộc dộ biến dạng của hệ số khuếch tán tại
T=1000K và T=1100K .................................................................... 46
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay do nhu cầu phát triển của khoa học kỹ thuật, đặc biệt là công
nghệ chế tạo vật liệu mới đòi hỏi chế tạo được các vật liệu có các tính chất cơ
học, lý học đáp ứng các yêu cầu của khoa học công nghệ. Chẳng hạn, những
vật liệu có tính dẫn điện, dẫn nhiệt tốt, độ bền cơ học cao, tỷ trọng nhỏ, chống
được sự ăn mòn của các chất hóa học,…Vì vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ
giữa các tính chất lý học với các quá trình vật lý xảy ra bên trong các tinh thể
rắn là một trong những vấn đề lý thú, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà
khoa học.
Trong nhiều chu trình của công nghệ chế tạo vật liệu rắn, đặc biệt là
bán dẫn, hiện tượng khuếch tán đóng một vai trò quan trọng. Có thể nói, tất cả
các quá trình chế tạo và sử dụng bán dẫn đều liên quan ít nhiều đến khuếch
tán. Hiện tượng khuếch tán đã được biết đến và nghiên cứu từ hơn 100 năm
nay. Các nghiên cứu cả lý thuyết và thực nghiệm đã thừa nhận rộng rãi là hiện
tượng khuếch tán tuân theo định luật Arrenhius:
,
trong đó, D là hệ số khuếch tán của tinh thể ở nhiệt độ T, D0 là hệ số có dạng
hàm mũ, Q là năng lượng kích hoạt, kB là hằng số Boltzmann.
Khi vật thể bị biến dạng, mọi tính chất của nó sẽ thay đổi, nhất là các
tính chất cơ học của vật liệu. Trong những năm gần đây, vấn đề ảnh hưởng
của biến dạng lên các tính chất khuếch tán của vật liệu cũng là đề tài mang
tính thời sự của vật lý hiện đại.
Người ta đã đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để xác định năng
lượng kích hoạt Q, hệ số trước hàm mũ D0 và hệ số khuếch tán D dưới ảnh
hưởng của nhiệt độ, áp suất và độ biến dạng như: Phương pháp ab-initio,
2
phương pháp gần đúng liên kết chặt, phương pháp mô hình hóa trên máy tính,
phương pháp thống kê mômen,… Phương pháp thống kê mômen đã được áp
dụng nghiên cứu thành công đối với các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các
tinh thể phi điều hòa có cấu trúc lập phương tâm diện, lập phương tâm khối,
cấu trúc kim cương và cấu trúc zinc blend (ZnS). Phương pháp này cũng đã
được sử dụng có hiệu quả trong nghiên cứu về hiện tượng khuếch tán trong các
kim loại, hợp kim và bán dẫn Si. Việc tiếp tục áp dụng phương pháp này để
nghiên cứu sự tự khuếch tán và khuếch tán của các tạp chất vào bán dẫn Ge
dưới ảnh hưởng của nhiệt độ, áp suất và độ biến dạng vẫn chưa được thực hiện.
Với tất cả những lí do như đã trình bày ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài
của luận văn là “Nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng lên sự tự khuếch tán
trong Ge bằng phương pháp thống kê mômen”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là sử dụng phương pháp thống kê mômen nghiên
cứu ảnh hưởng của biến dạng lên sự tự khuếch tán trong tinh thể Ge.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng các biểu thức giải tích xác định sự phụ thuộc độ biến dạng ε
của năng lượng kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D.
Áp dụng các biểu thức giải tích thu được để tính số cho Ge tự khuếch
tán. Các kết quả số thu được sẽ được so sánh với thực nghiệm và các tính toán
bằng lí thuyết khác để khẳng định mức độ tin cậy của phương pháp đã chọn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hưởng của độ biến dạng lên các tính chất khuếch tán
của Ge theo cơ chế nút khuyết.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp thống kê mômen trong vật lý thống kê, xác định
độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng, năng lượng tự do Helmholtz và các biểu
3
thức xác định năng lượng kích hoạt Q, hệ số trước hàm mũ D0 và hệ số
khuếch tán D phụ thuộc vào độ biến dạng ε.
6. Dự kiến đóng góp mới
Thu được các kết quả số mô tả sự phụ thuộc độ biến dạng ε của năng
lượng kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D cho Ge tự khuếch tán ở nhiệt độ T.
Các kết quả tính số sẽ được so sánh với thực nghiệm và các tính toán bằng lí
thuyết khác.
4
CHƯƠNG 1
CÁC NGHIÊN CỨU VỀ KHUẾCH TÁN
TRONG TINH THỂ Ge
1.1. Tinh thể Ge
1.1.1. Cấu trúc tinh thể của Ge
Các chất bán dẫn thông dụng thường kết tinh theo mạng tinh thể lập
phương tâm diện. Trong đó, mỗi nút mạng được gắn với một gốc (basis) gồm
hai nguyên tử. Hai nguyên tử đó cùng loại nếu là bán dẫn đơn chất như Si, Ge
và hai nguyên tử đó khác loại nếu là bán dẫn hợp chất như GaAs, CdS,...
Hình 1.1.Mạng tinh thể Ge
Germanium (Ge) là vật liệu bán dẫn điển hình. Đơn tinh thể Ge có cấu
trúc kim cương (Hình 1.1) gồm hai phân mạng lập phương tâm diện lồng vào
nhau, phân mạng này nằm ở 1/4 đường chéo chính của phân mạng kia. Trong
một ô cơ sở có 8 nguyên tử Ge, mỗi nguyên tử Ge là tâm của một hình tứ diện
đều cấu tạo từ bốn nguyên tử lân cận gần nhất xung quanh. Độ dài cạnh của ô
cơ sở (còn gọi là hằng số mạng tinh thể) ở 300K là a0 = 5,658Ǻ [5].
5
1.1.2. Một vài thuộc tính của Ge [7]
Ge là nguyên tố thuộc nhóm IV của bảng tuần hoàn Mendeleev. Những
tính chất lý hóa của Ge đã được Mendeleev tiên đoán từ năm 1771, rất lâu
trước khi Ge được Vineder phát hiện vào năm 1866. Ge chiếm khoảng 0,7%
khối lượng của vỏ trái đất, cỡ tương tự như các nguyên tố Zn, Pb.
Ge hầu như không có quặng riêng. Một loại quặng duy nhất chứa Ge là
Germanhit chứa các chất Đồng, Sắt, Kẽm nhiều hơn Ge rất nhiều. Khai thác
Ge là một công nghệ phức tạp.
Ge là một bán dẫn được nghiên cứu và ứng dụng từ rất sớm cùng với
Silic để chế tạo các linh kiện điện tử như điốt, tranzitor, các mạch tích hợp,…
Ge có những ưu điểm sau :
- Ge có nhiều tính chất cơ, lý tốt, ổn định, đặc biệt là tính chất áp điện
trở thường được ứng dụng làm cảm biến do biến dạng.
- Có độ ổn định cao.
- Độ linh động của hạt dẫn lớn hơn của Silic nhiều lần.
Nhược điểm của Ge:
- Lớp oxit trên bề mặt Ge không bền như oxit Silic nên không thể
dùng làm mặt nạ trong công nghệ planar.
- Bề rộng vùng cấm của Ge cỡ 0,66 eV nhỏ hơn Silic, vùng cấm cũng
thuộc loại vùng cấm xiên vì vậy linh kiện điện tử chế tạo từ Ge không thể làm
việc ở nhiệt độ cao hơn 1000C.
1.1.3. Các khuyết tật trong tinh thể Ge
Đa số vật rắn có cấu trúc mạng tinh thể và chúng gồm một số rất lớn các
nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách tuần hoàn trong không gian để tạo
thành mạng tinh thể lí tưởng. Thực tế, mạng tinh thể lí tưởng thường không có
thực. Các tinh thể thực luôn chứa đựng bên trong nó những khuyết tật (còn gọi
là sai hỏng). Có nhiều loại khuyết tật [2, 4] với những đặc điểm khác nhau như:
6
- Khuyết tật điểm có kích thước cỡ nguyên tử theo ba chiều không gian.
- Khuyết tật đường có kích thước cỡ nguyên tử theo hai chiều và rất lớn
theo chiều thứ ba.
- Khuyết tật mặt có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều thứ ba.
- Khuyết tật khối có kích thước lớn theo cả ba chiều không gian.
Trong số các loại khuyết tật kể trên, khuyết tật điểm có cấu trúc đơn
giản nhất và tồn tại nhiều nhất trong các tinh thể rắn. Các khuyết tật điểm có
thể được phát sinh trong tinh thể bằng quá trình Schottky hoặc Frenkel [4].
Trong quá trình Schottky, một xen kẽ (Iterstitial- kí hiệu là I) được tạo ra bởi
sự di chuyển của một nguyên tử từ bề mặt vào một lỗ hổng nào đó bên trong
tinh thể hay ngược lại một nút khuyết (Vacancy- kí hiệu là V) được hình
thành khi một nguyên tử rời khỏi nút mạng để di chuyển ra mặt ngoài của tinh
thể. Trong quá trình Frenkel, một nguyên tử sẽ rời khỏi vị trí nút mạng của nó
để tới một vị trí lỗ hổng mạng, tạo ra một xen kẽ và một nút khuyết. Khi
nghiên cứu hiện tượng khuếch tán của các nguyên tử trong tinh thể, người ta
đã chỉ ra rằng các khuyết tật điểm trong tinh thể đóng vai trò quyết định trong
sự khuếch tán của các nguyên tử. [1, 2, 4]. Các khuyết tật điểm có thể được
phân làm hai loại là khuyết tật điểm tự nhiên và khuyết tật điểm gắn liền với
tạp. Khuyết tật điểm tự nhiên tồn tại trong tinh thể Ge tinh khiết. Khuyết tật
điểm gắn liền với tạp xuất hiện từ việc đưa các tạp chất từ bên ngoài vào
trong tinh thể. Khuyết tật điểm tự nhiên tồn tại trong tinh thể Ge là nút khuyết
(vacancy) và xen kẽ (interstitial)
Nút khuyết được định nghĩa đơn giản là một vị trí nút mạng tinh thể bị
bỏ trống (Hình 1.2).
7
V
Hình 1.2. Khuyết tật nút khuyết trong tinh thể Ge
Xen kẽ được hiểu là một nguyên tử cư trú ở một lỗ hổng (kẽ hở) bên trong
mạng tinh thể Ge. Có hai loại xen kẽ là xen kẽ do các nguyên tử Ge-tự xen kẽ
(self-interstitial) (Hình 1.3) và xen kẽ do nguyên tử tạp chất (dopant-
interstitial) (Hình 1.4).
Ge
Hình 1.3. Khuyết tật tự xen kẽ (self-interstitial) trong tinh thể Ge
8
TẠP
Hình 1.4. Khuyết tật tạp xen kẽ (dopant-interstitial) trong tinh thể Ge
1.1.4. Các ứng dụng quan trọng của Ge
Vật liệu bán dẫn (Ge, Si,…) được nghiên cứu và ứng dụng rất nhiều
trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và công nghiệp. Tuy nhiên, ứng dụng
quan trọng nhất và phổ biến nhất của chúng chính là dùng để chế tạo các linh
kiện điện tử bán dẫn. Sự phát triển của các linh kiện bán dẫn như điốt, tranzito
và mạch tích hợp (IC-Integrated Circuit) đã dẫn đến những ứng dụng vô cùng
lớn trong công nghệ thông tin. Không những thế IC còn thâm nhập vào hầu
hết mọi mặt của đời sống hàng ngày, chẳng hạn cảm biến nhiệt độ được dùng
trong điều hòa không khí được làm từ vật liệu bán dẫn. Nồi cơm điện có thể
nấu cơm một cách hoàn hảo là nhờ hệ thống điều khiển nhiệt độ chính xác có
sử dụng chất bán dẫn. Bộ vi xử lý của máy tính CPU cũng được làm từ các
nguyên liệu chất bán dẫn. Nhiều sản phẩm tiêu dùng kỹ thuật số như điện
thoại di động, máy ảnh, TV, máy giặt, tủ lạnh và bóng đèn LED cũng sử dụng
vật liệu bán dẫn. Ngoài lĩnh vực điện tử tiêu dùng, chất bán dẫn cũng đóng
một vai trò trung tâm trong hoạt động của các máy ATM, xe lửa, internet,
9
truyền thông và nhiều thiết bị khác trong cơ sở hạ tầng xã hội, chẳng hạn như
trong mạng lưới y tế được sử dụng để cung cấp dịch vụ chăm sóc sức khỏe
người cao tuổi, vv…Thêm vào đó, hệ thống hậu cần hiệu quả sẽ giúp tiết
kiệm năng lượng, thúc đẩy việc bảo tồn môi trường toàn cầu. Với phạm vi
ứng dụng của mình, các chất bán dẫn đã mang lại cho chúng ta cuộc sống
thoải mái.
Để có được các linh kiện bán dẫn kể trên, từ chất bán dẫn tinh khiết ban
đầu (Si hoặc Ge), người ta phải tạo ra hai loại bán dẫn là bán dẫn loại n (dẫn
điện chủ yếu bằng điện tử) và bán dẫn loại p (dẫn điện chủ yếu bằng lỗ trống)
bằng cách pha các nguyên tử tạp chất vào Si (hay Ge). Sau đó, ghép hai loại
bán dẫn đó lại với nhau để được điốt hay tranzito. Công nghệ pha tạp nói chung
rất đa dạng và cũng là một công nghệ rất cơ bản được sử dụng thường xuyên từ
xa xưa. Có nhiều phương pháp pha nguyên tử tạp chất vào vật liệu bán dẫn như
phương pháp nuôi đơn tinh thể, phương pháp cấy ion, phương pháp khuếch tán.
So với các phương pháp khác thì phương pháp khuếch tán có nhiều ưu điểm [1]
như không làm thay đổi cấu trúc tinh thể, có thể pha tạp với chiều sâu tùy ý,
cho phép điều khiển tốt hơn các tính chất của tranzito và đã thu được những
thiết bị có thể hoạt động ở tần số cao. Đó là những lí do chính khiến cho kĩ
thuật khuếch tán các nguyên tử tạp chất vào vật liệu bán dẫn đã và đang phát
triển nhanh chóng nhằm chế tạo các tranzito, các vi mạch điện tử và ngày nay
là các mạch điện có các cấu hình với kích thước nanô, nanô sensor,...
1.2. Các nghiên cứu về khuếch tán trong tinh thể Ge
1.2.1. Khuếch tán và các cơ chế khuếch tán chủ yếu trong tinh thể rắn
Theo tài liệu [1], khuếch tán là một quá trình di chuyển ngẫu nhiên của
một hay một số loại nguyên tử vật chất nào đó trong một môi trường vật chất
khác (gọi là vật chất gốc) dưới tác dụng của các điều kiện đã cho như nhiệt
độ, áp suất, điện- từ trường và građiên nồng độ tạp chất... Nguyên tử pha vào
10
được gọi là nguyên tử pha (dopant) hoặc nguyên tử tạp chất (impurity).
Nguyên tử được pha vào bằng khuếch tán thường có nồng độ rất bé cỡ (10-3 ÷
10-4)% so với nồng độ nguyên tử gốc và vì vậy, chúng thường được gọi là tạp
chất. Nếu chính các nguyên tử vật chất của môi trường gốc khuếch tán trong
chính môi trường vật chất đó thì được gọi là sự tự khuếch tán (self- diffusion).
Ví dụ như chính nguyên tử Ge khuếch tán trong tinh thể Ge hay các nguyên
tử Ga hoặc As khuếch tán trong tinh thể GaAs chẳng hạn.
Trong giới hạn luận văn này chúng tôi chỉ trình bày về sự tự khuếch tán
trong bán dẫn Ge.
Cơ chế khuếch tán là cách thức di chuyển của các nguyên tử bên trong
mạng tinh thể. Cho đến nay, người ta vẫn chưa biết rõ về quá trình khuếch tán
và tương tác của các nguyên tử với nhau trong quá trình khuếch tán. Tuy
nhiên, có một điều chắc chắn là các nguyên tử trong quá trình khuếch tán sẽ
nhảy từ vị trí này sang vị trí kia trong mạng tinh thể. Dựa trên cơ sở lí thuyết
về tính năng lượng hình thành và năng lượng dịch chuyển cũng như dựa trên
các suy luận có thể đưa ra các cơ chế khuếch tán chủ yếu của nguyên tử trong
tinh thể rắn.
Các nghiên cứu về khuếch tán trong bán dẫn đã chỉ ra rằng, trong tinh
thể bán dẫn bình thường có ba cơ chế khuếch tán chính là khuếch tán theo cơ
chế nút khuyết (vacancy mechanism), cơ chế xen kẽ (interstitial mechanism)
và cơ chế hỗn hợp (interstitialcy mechanism).
Khuếch tán theo cơ chế nút khuyết xảy ra khi một nguyên tử ở vị trí nút
mạng đổi chỗ với một nút khuyết ở vị trí liền kề (Hình 1.5a).
Khuếch tán theo cơ chế xen kẽ xảy ra khi một nguyên tử cư trú ở một
kẽ hở bên trong mạng tinh thể nhảy tới một vị trí kẽ hở khác (Hình 1.5b).
Khuếch tán theo cơ chế hỗn hợp xảy ra khi nguyên tử khuếch tán thông
qua một số bước di chuyển vào vị trí xen kẽ và một số bước di chuyển vào vị
trí nút mạng (Hình 1.5c).
11
a) Cơ chế nút khuyết
b) Cơ chế xen kẽ
c) Cơ chế hỗn hợp
Hình 1.5. Các cơ chế khuếch tán chủ yếu trong tinh thể rắn
1.2.2. Các nghiên cứu về khuếch tán trong tinh thể Ge
Có thể nói, lí thuyết khuếch tán bắt đầu ra đời sau khi các kết quả của
A. Fick được công bố vào năm 1885. Fick coi quá trình khuếch tán giống như
quá trình truyền nhiệt trong chất rắn và từ đó ông phát biểu hai định luật về
khuếch tán gọi là định luật Fick I và định luật Fick II như sau:
Định luật Fick I: Mật độ dòng khuếch tán tỷ lệ thuận với građiên nồng độ
. (1.1)
Từ (1.1) suy ra thứ nguyên của hệ số khuếch tán D là cm2/s. Dấu “– ” biểu thị
sự khuếch tán theo chiều giảm dần của nồng độ.
Định luật Fick II: Tốc độ thay đổi nồng độ chất khuếch tán tỷ lệ thuận
với đạo hàm bậc hai của nồng độ theo tọa độ không gian
. (1.2)
Định luật Fick I và định luật Fick II chỉ mô tả quá trình khuếch tán trên
cơ sở hiện tượng luận. Chính vì thế, lí thuyết khuếch tán mô tả bằng hai định
luật Fick là lí thuyết khuếch tán đơn giản. Trong một vài trường hợp đặc biệt
với các điều kiện ban đầu đã cho, có thể giải bài toán để tìm phân bố nồng độ
tạp chất.
12
Các nghiên cứu cả về mặt lí thuyết và thực nghiệm sau này đã thừa
nhận rộng rãi rằng, sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số khuếch tán được mô tả
bằng định luật Arrhenius như sau:
, (1.3)
trong đó Q là năng lượng kích hoạt của hệ (nó bao gồm năng lượng hình
thành và dịch chuyển của nguyên tử trong mạng tinh thể), D0 là hệ số trước
hàm mũ phụ thuộc vào tính chất của hệ đã cho, kB là hằng số Boltzmann, T là
nhiệt độ tuyệt đối.
Dưới đây, chúng tôi giới thiệu một số nghiên cứu lí thuyết và thực
nghiệm về sự khuếch tán trong bán dẫn Ge.
Các nghiên cứu lí thuyết về khuếch tán trong bán dẫn hầu như chỉ sử
dụng phương pháp từ Các nguyên lý đầu tiên (First-Principles) hoặc các
phương pháp ab initio dựa trên cơ sở Lý thuyết phiếm hàm mật độ (Density
Functional Theory-DFT). Khi sử dụng Lý thuyết phiếm hàm mật độ dựa trên
cơ sở định lý Hohenber –Kohn, người ta có thể tính được các hằng số lực giữa
các nguyên tử từ Các nguyên lý đầu tiên và từ đó có thể thu được cả tần số và
phổ độ dời chính xác mà không cần các đầu vào thực nghiệm. Các phép gần
đúng thường được sử dụng trong phương pháp ab initio là phương pháp Gần
đúng mật độ địa phương (Local-Density Approximation - LDA), phương
pháp Gần đúng građiên suy rộng (Generalized Gradient Approximation -
GGA), phương pháp Sóng phẳng giả thế (Pseudo-potential plane-wave -
PPPW),... Trong quá trình sử dụng, phương pháp này đã bộc lộ cả những mặt
tích cực và những mặt hạn chế. Các ưu điểm chính của phương pháp này là:
có khả năng nghiên cứu nhiều pha vật liệu khác nhau, có thể được sử dụng để
mô hình hóa các vật liệu không có sẵn số liệu thực nghiệm. Các lực giữa các
nguyên tử, các trị riêng và véc tơ riêng của điện tử tạo ra thường rất chính
13
xác; nhiều loại nguyên tử khác nhau có thể dễ dàng được bao hàm vào trong
các tính toán nhờ sử dụng các giả thế thích hợp. Tuy nhiên phương pháp này
cũng còn một số hạn chế như: Khả năng tính toán phức tạp đòi hỏi giới hạn áp
dụng cho các hệ tương đối nhỏ; các số liệu của ab initio thường tập trung vào
vùng nhiệt độ thấp (chủ yếu ở 0K).
Cùng với kết quả các nghiên cứu lí thuyết kể trên, rất nhiều công trình
thực nghiệm quan sát sự khuếch tán trong Ge đã được tiến hành với nhiều
phương pháp đo như phương pháp Phóng xạ (Radioactive), phương pháp Phổ
học khối ion thứ cấp (Secondary Ion Mass Spectrometry- SIMS),... Trong tài
liệu [10], bằng phương pháp phóng xạ, C. Volgel và các cộng sự đã tiến hành
thí nghiệm quan sát sự tự khuếch tán trong Ge. Kết quả đo được cho thấy,
trong khoảng nhiệt độ từ 822K-1164K năng lượng kích hoạt là 3,14eV và hệ
số khuếch tán của chúng tăng cùng với nhiệt độ theo quy luật Arrhenius.
Cũng với phương pháp đó H. Letaw và các cộng sự đã đo được năng lượng
kích hoạt là 2,95eV trong khoảng nhiệt độ 1039K-1201K. Khoảng hơn 20
năm trở lại đây, phương pháp SIMS được áp dụng phổ biến trong nghiên cứu
khuếch tán. Năm 1995 H. D. Fuchs và các cộng sự [12] đã sử dụng phương
pháp SIMS đo được năng lượng kích hoạt của Ge tự khuếch tán trong vùng
nhiệt độ 816K - 963K là 3,0(5) eV. Năm 1985, M Wener và các cộng sự [14]
khi nghiên cứu về ảnh hưởng của áp suất, nhiệt độ và các chất pha tạp trong
sự tự khuếch tán của Ge đã chỉ ra rằng thể tích kích hoạt tăng theo nhiệt độ từ
0,24 Ω ở 876K tới 0,41 Ω ở 1086K (Ω - thể tích nguyên tử). Năm 2002,
Vaisily Cherepanov và các cộng sự trong nghiên cứu ảnh hưởng của biến
dạng đối với bề mặt Ge đã chỉ ra rằng rào khuếch tán tăng khi biến dạng nén
tăng. [15]
Trên đây là các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về khuếch tán
trong tinh thể Ge mà chúng tôi cập nhật được. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày
14
phương pháp thống kê mômen (TKMM) trong nghiên cứu tinh thể bán dẫn
mà chúng tôi sẽ sử dụng cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi.
1.3. Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu tinh thể bán dẫn
1.3.1. Độ dời của hạt khỏi nút mạng
Với bán dẫn có cấu trúc kim cương, tương tác giữa các nguyên tử (còn
gọi là hạt) ngoài tương tác cặp là chủ yếu còn phải kể đến đóng góp của tương
tác ba hạt. Do đó, khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương
tác của hạt thứ i có dạng [3]:
, (1.4)
trong đó, là thế năng tương tác cặp giữa hạt thứ i (hạt chọn làm gốc) và
hạt thứ j, Wijk là thế năng tương tác giữa các hạt thứ i, j và k.
Khi các nguyên tử trong tinh thể dao động, chúng ta có thể khai triển
thế năng của hạt theo độ dời uj. Ở phép gần đúng đến cấp 4, thế năng tương
tác của hạt thứ i có dạng [3]:
α, β, γ, η, trùng với x, y , z ,
. (1.6)
Ở đây, aj là vị trí cân bằng của hạt thứ j.
Dạng của các đạo hàm , ,... được xác định
như sau:
15
(1.7)
trong đó
(1.8)
Các chỉ số trên (1), (2), (3), (4) ở các hàm , là kí hiệu đạo
hàm các cấp tương ứng theo aj.
Như vậy, tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i theo phương
β là [3]:
16
Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi Pβ theo phương β
thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động, ta có phương trình:
(1.9)
Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cương và cấu trúc
ZnS, các số hạng sau đây đều bằng không:
, (1.10)
( ).
Biểu diễn các mônmen cấp 2 , mômen cấp 3 và
mômen cấp 4 qua mômen cấp 1 theo công thức tổng quát
về mômen, ta có [4]:
(1.11)
17
Sử dụng (1.11), chú ý tới tính chất đối xứng (1.10) và coi:
,
phương trình (1.9) được viết lại thành:
,
(1.12)
trong đó
, , , , (1.13)
, . (1.14)
Để giải phương trình (1.12), ta thực hiện phép đổi biến số:
. (1.15)
Khi đó phương trình (1.12) được đưa về dạng:
, (1.16)
Với : . (1.17)
Ở vùng nhiệt độ cao sao cho X ≈ 1, phương trình (1.16) trở về dạng
quen thuộc trong [6]:
. (1.18)
(1.18) là một phương trình vi phân tuyến tính và ta tìm nghiệm của nó dưới
dạng gần đúng. Vì ngoại lực p* là tùy ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm của
nó dưới dạng đơn giản như sau:
, (1.19)
18
trong đó là độ dời ứng với trường hợp không có ngoại lực (p*= 0).
Nghiệm của phương trình (1.18) đã được đưa ra trong [6]:
, (1.20)
trong đó
,
. (1.21)
Khi không có ngoại lực tác dụng (P = 0), từ (1.15) và (1.19) ta tìm
được nghiệm của phương trình (1.12) có dạng:
(1.22)
Biểu thức (1.22) cho phép ta xác định được độ dời của hạt khỏi vị trí
cân bằng ở nhiệt độ T nếu biết giá trị của các thông số k, γ, β ở nhiệt độ 0K.
Gọi r0 là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ 0K (được xác
định từ điều kiện cực tiểu của thế năng tương tác hoặc từ phương trình trạng
19
thái). Ta có thể tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T theo
biểu thức:
. (1.23)
1.3.2. Năng lượng tự do Helmholtz
Trong phép gần đúng đến cấp 4, biểu thức khai triển của thế năng tương
tác giữa các nguyên tử trong tinh thể bán dẫn theo độ dời của nó có dạng [3]:
(1.24)
Khi tính tới tính chất đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim
cương, biểu thức của thế năng tương tác trung bình của tinh thể có thể được
viết dưới dạng:
, (1.25)
trong đó
, , . (1.26)
Từ biểu thức (1.25), ta có thể tìm được năng lượng tự do của tinh thể
theo [3]. Ta phải tính các tích phân sau:
và . (1.27)
Khi thay các biểu thức của các mômen theo (1.11)
vào (1.27) và tiến hành tính các tích phân trên, ta thu được biểu thức gần đúng
của năng lượng tự do cho bán dẫn có cấu trúc kim cương như sau:
20
trong đó, .
Như vậy, từ công thức (1.28), ta tìm được năng lượng tự do của hệ ở
nhiệt độ T nếu biết giá trị của các thông số k, γ1, γ2, γ, β ở nhiệt độ T0 (chẳng
hạn chọn T0 = 0K).
Nếu nhiệt độ T0 không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động của hạt
xung quanh vị trí cân bằng mới (tương ứng với T0) là dao động điều hòa. Khi
đó, năng lượng tự do của hệ có dạng như năng lượng tự do của hệ N dao động
tử điều hòa, nghĩa là:
(1.29)
trong đó
, (1.30)
u0 là thế năng tương tác trung bình của một nguyên tử trong tinh thể. Khi sử
dụng các biểu thức này cần chú ý là các thông số k, γ1, γ2, γ, β và u0 phụ thuộc
vào nhiệt độ.
21
Nếu bỏ qua tương tác ba hạt và áp dụng phương pháp quả cầu phối vị,
ta có:
. (1.31)
Khi đó các thông số k, γ, β được xác định như sau:
, , (1.32)
22
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày những vấn đề chủ yếu sau:
Thứ nhất, chúng tôi trình bày một cách tóm tắt về cấu trúc tinh thể bán
dẫn Ge, các ứng dụng quan trọng của bán dẫn Ge và các khuyết tật thường tồn
tại trong tinh thể bán dẫn. Từ đó đưa ra ba cơ chế khuếch tán chủ yếu trong
bán dẫn là cơ chế nút khuyết, cơ chế xen kẽ và cơ chế hỗn hợp.
Thứ hai, chúng tôi trình bày các nghiên cứu lí thuyết và một số quan
sát thực nghiệm về sự khuếch tán trong bán dẫn đặc biệt là bán dẫn Ge dưới
ảnh hưởng của nhiệt độ, áp suất và độ biến dạng.
Thứ ba, chúng tôi trình bày nội dung của phương pháp thống kê
mômen trong nghiên cứu tinh thể bán dẫn để làm cơ sở cho những nghiên cứu
tiếp theo của chúng tôi.
23
Chương 2
ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG LÊN SỰ TỰ KHUẾCH TÁN
TRONG TINH THỂ BÁN DẪN
2.1. Lí thuyết tự khuếch tán trong tinh thể bán dẫn
Như chúng tôi đã trình bày ở mục 1.2.1, có ba cơ chế khuếch tán chủ
yếu trong bán dẫn là khuếch tán theo cơ chế nút khuyết, cơ chế xen kẽ và cơ
chế hỗn hợp. Nguyên tử khuếch tán theo cơ chế nào phụ thuộc chủ yếu vào
kích thước của nó so với kích thước của nguyên tử mạng gốc [1]. Đối với sự
tự khuếch tán, bán kính của nguyên tử khuếch tán đúng bằng bán kính của
nguyên tử mạng gốc. Do đó, cơ chế phổ biến của sự tự khuếch tán là cơ chế
nút khuyết và cơ chế xen kẽ.
Các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm đã chứng tỏ rằng, sự tự khuếch
tán trong Ge chủ yếu thông qua cơ chế nút khuyết [8, 10, 11, 12]. Vì vậy
trong luậnvăn này, chúng tôi xin trình bày cách xác định các đại lượng tự
khuếch tán của Ge theo cơ chế nút khuyết.
Khi nghiên cứu hiện tượng tự khuếch tán trong tinh thể thông qua cơ
chế nút khuyết thì hệ số khuếch tán D của tinh thể tỉ lệ với nồng độ cân bằng
của nút khuyết (n) và tần số bước nhảy (Г) của nguyên tử [4]:
, (2.1)
trong đó r1 là độ dài bước nhảy khuếch tán ở nhiệt độ T, g là hệ số phụ thuộc
vào cấu trúc tinh thể, nhiệt độ, cơ chế khuếch tán và được xác định như sau:
, (2.2)
với n1 là số nguyên tử lân cận gần nhất bao quanh một nút khuyết, f là thừa số
tương quan. Trong tinh thể bán dẫn, n1 = 4.
Theo [4], thừa số tương quan có thể xem bằng một (f = 1) khi tính tần số
các bước nhảy của nguyên tử trong gần đúng đầu tiên, nếu coi tất cả các
nguyên tử bao quanh một nút khuyết đều có các bước nhảy hiệu dụng như
24
nhau. Tuy nhiên, các nguyên tử ở gần nút khuyết nhất sẽ có xác suất nhảy lớn
hơn so với các nguyên tử ở lân cận xa hơn. Điều đó dẫn tới các bước nhảy của
các nguyên tử đến vị trí nút khuyết không cùng một xác suất, nghĩa là thừa số
tương quan f nhỏ hơn một (f < 1). Trong gần đúng đầu tiên, xác suất để một
nguyên tử trong mạng tinh thể đổi hai lần liên tiếp vị trí của nó với nút khuyết
và sau đó trở về vị trí ban đầu gộp lại thành:
.
(2.3)
Như vậy, thừa số tương quan f xuất hiện do các nguyên tử trao đổi vị
trí với các nút khuyết lớn hơn một lần liên tiếp. Trong công thức (2.3), thừa số
tương quan f chỉ phụ thuộc vào cấu trúc hình học của mạng tinh thể (cụ thể là
phụ thuộc vào n1) mà không phụ thuộc vào nhiệt độ. Tuy nhiên, khi nhiệt độ
tăng, người ta thấy f giảm . Sự giảm của f liên quan đến đóng góp của các nút
khuyết điểm cặp đôi vào quá trình khuếch tán ở nhiệt độ cao.
Từ điều kiện cực tiểu của năng lượng tự do Gibbs trong tinh thể khi
có nút khuyết, ta xác định được biểu thức của nồng độ nút khuyết cân bằng
dưới dạng:
(2.4)
trong đó là sự thay đổi năng lượng tự do Gibbs của tinh thể bán dẫn
khi hình thành (formation – kí hiệu là f ) một nút khuyết (Vacancy- kí hiệu là
V ) ở áp suất p và nhiệt độ T và được xác định như sau:
, (2.5)
trong đó là năng lượng liên kết của một nguyên tử trong hệ ở vị trí nút
mạng và được xác định theo (1.30), là thể tích hình thành (là sự thay đổi
25
thể tích của mạng tinh thể khi hình thành một nút khuyết), là sự thay đổi
năng lượng tự do Helmholtz của một nguyên tử trong tinh thể sau khi hình
thành một nút khuyết và được xác định như sau:
, (2.6)
là với ψ0 là năng lượng tự do của một nguyên tử trong tinh thể lí tưởng,
năng lượng tự do của một nguyên tử trong tinh thể sau khi hình thành nút
được xác định theo cùng biểu thức sau: khuyết. ψ0 và
, (2.7)
trong đó là năng lượng tự do Helmholtz của hệ có dạng (1.29). Sự khác
nhau giữa và được thể hiện qua tổng số hạt trên các quả cầu phối vị
trong tinh thể lí tưởng và tinh thể có nút khuyết.
Trong hệ thức (2.1), tần số bước nhảy của nguyên tử tỉ lệ với tần số
dao động của nó và xác suất vượt qua hàng rào thế, nghĩa là:
. (2.8)
Ở đây, ta xem dao động của các nguyên tử tuân theo thống kê
Boltzmann và xác suất vượt qua hàng rào thế liên quan đến sự thay đổi năng
lượng tự do Gibbs( ) của nguyên tử khi tham gia dịch chuyển (migration- kí
hiệu là m) khuếch tán.
Thay các biểu thức (2.2), (2.4) và (2.8) vào (2.1), biểu thức của hệ số
khuếch tán D trở thành:
. (2.9)
Mặt khác, năng lượng tự do Gibbs (G) của tinh thể khuyết tật có dạng:
, (2.10)
26
với H là entanpi và S là entrôpi của hệ. Như vậy, ta có thể viết sự thay đổi
năng lượng tự do Gibbs khi hình thành và dịch chuyển một nút khuyết ( và
) trong tinh thể dưới dạng tương tự (2.10):
(2.11)
. (2.12)
Ở đây, và là entanpi và entrôpi hình thành một nút khuyết trong
tinh thể, còn và là entanpi và entrôpi dịch chuyển một nút khuyết trong
tinh thể.
Thay (2.11) và (2.12) vào (2.9), ta thu được :
(2.13)
Ở đây, ta đã bỏ qua entrôpi dịch chuyển nút khuyết vì nó có giá trị rất bé.
Năng lượng kích hoạt gồm năng lượng hình thành nút khuyết và năng
lượng dịch chuyển nút khuyết:
(2.14)
Nhờ các biểu thức (2.5) và (2.11), ta viết lại biểu thức của năng lượng
kích hoạt Q dưới dạng:
. (2.15)
Sự phụ thuộc áp suất của năng lượng kích hoạt Q ngoài số hạng còn
thông qua các số hạng , , và (phụ thuộc áp suất qua
hằng số mạng a(p,T)). Tuy nhiên, đóng góp chính vào sự phụ thuộc áp suất
của Q là số hạng . Do đó, khi p = 0 biểu thức (2.15) được viết lại thành:
. (2.16)
Thay θ = kBT vào (2.13) và chú ý tới (2.14), ta có:
27
. (2.17)
Đây chính là biểu thức quen thuộc mô tả định luật Arrhenhius, trong đó hệ số
trước hàm mũ có dạng:
. (2.18)
Trong biểu thức (2.18), entrôpi hình thành một nút khuyết trong
tinh thể được xác định như sau [4]: Sự thay đổi entrôpi cấu hình và
entrôpi dao động của mạng tinh thể tạo nên n nút khuyết được kí hiệu là
. Theo định nghĩa,
. (2.19)
Ở đây, G0 là năng lượng tự do Gibbs của tinh thể lí tưởng và G là năng lượng
tự do Gibbs của tinh thể khuyết tật:
. (2.20)
Thay (2.20) vào (2.19), ta dễ dàng tìm được:
, (2.21)
trong đó là entrôpi cấu hình của hỗn hợp gồm N nguyên tử và n khuyết tật:
. (2.22)
Lấy đạo hàm (2.4) theo T rồi thay vào (2.21) và chú ý tới (2.22), ta thu
được:
. (2.23)
Như vậy, entrôpi hình thành một khuyết tật trong tinh thể có dạng:
28
, (2.24)
trong đó
. (2.25)
Mặt khác, theo [4] entrôpi hình thành một nút khuyết được đóng góp
chủ yếu bởi các nguyên tử lân cận gần nút khuyết nhất. Nếu chỉ tính đến
tương tác giữa các nguyên tử gần nhất nằm trong hai quả cầu phối vị đầu tiên
của tinh thể gồm N nguyên tử và một nút khuyết, ta có thể tìm được entrôpi
hình thành một nút khuyết dưới dạng tính trung bình đối với (n1+n2)
nguyên tử ở lân cận nút khuyết như sau:
(2.26)
Khi p=0 thì trở thành:
(2.27)
trong đó n1, n2 là số nguyên tử nằm trên quả cầu phối vị thứ nhất và thứ hai có
tâm là nút khuyết.
𝜓0 là năng lượng tự do của một nguyên tử trong tinh thể lí tưởng.
𝜓1, 𝜓2 là năng lượng tự do của một nguyên tử trên quả cầu phối vị
thứ nhất và thứ hai có tâm là nút khuyết.
B là hệ số tỉ lệ
Trong công thức (2.16), các đại lượng và được xác định như sau:
* Với giả thiết là sau khi dịch chuyển sang vị trí mới để hình thành một
nút khuyết, nguyên tử có năng lượng trung bình là thì ta có thể viết
biểu thức của như sau:
29
(2.28)
* Sự thay đổi năng lượng tự do Gibbs khi dịch chuyển một nút khuyết
( ) có thể xem như bằng sự thay đổi năng lượng tự do của nguyên tử nằm
trên quả cầu phối vị thứ nhất có tâm là nút khuyết dịch chuyển vào vị trí của
nút khuyết ( ) nhưng trái dấu, nghĩa là:
, (2.29)
trong đó là năng lượng tự do của nguyên tử đó trên quả cầu phối vị
thứ nhất sau khi di chuyển đến vị trí mới, B’ cũng là hệ số tỉ lệ được xác định
tương tự như B.
Từ (2.12) và (2.29), ta tìm được:
. (2.30)
Ở đây, ta cũng bỏ qua entrôpi dịch chuyển nút khuyết vì nó có giá trị rất bé.
Thay (2.28) và (2.30) vào (2.16), ta viết lại được biểu thức của năng
lượng kích hoạt dưới dạng:
. (2.31)
Để đánh giá các hệ số B, B’ trong [4] tác giả đã đưa ra giả thiết rằng,
nguyên tử trung tâm lúc đầu ở vị trí nút khuyết và dịch chuyển tới các vị trí
đặc biệt, nghĩa là các vị trí nút trên bề mặt hoặc trong lõi của lệch mạng mà
chúng tương đương với các nguyên tử khối về phương diện nhiệt động. Giả
thiết này dẫn tới kết quả B = 1. Mặt khác một nửa liên kết bị phá vỡ được
khôi phục lại tại vị trí nút khuyết và khi đó, giá trị trung bình của B là:
, (2.32)
Có một cách khác để đánh giá các hệ số B, B’ đã được trình bày trong [4]
như sau: Sự thay đổi năng lượng tự do Gibbs khi hình thành một nút khuyết ở
nhiệt độ T (áp suất không) luôn dương, tức là: mà
30
nên suy ra:
. (2.33)
Mặt khác, ta giả thiết rằng ở trạng thái cân bằng nhiệt động, hệ nằm
trong trạng thái năng lượng thấp nhất. Do đó, năng lượng tự do của nguyên tử
trung tâm tạo ra nút khuyết sau khi dịch chuyển sang vị trí mới ( ) sẽ nhỏ
hơn năng lượng tự do của nó trước khi tạo ra nút khuyết (𝜓0), tức là
hay mà do đó:
. (2.34)
Kết hợp (2.33) và (2.34), ta có thể xác định gần đúng giá trị trung bình
của B như sau:
. (2.35)
Hệ số B’ được xác định tương tự như hệ số B. Sự thay đổi năng lượng
tự do Gibbs khi dịch chuyển một nút khuyết cũng luôn dương, tức là
mà nên:
. (2.36)
Mặt khác, đối với các tinh thể rắn ta luôn có hay
, suy ra:
. (2.37)
Kết hợp (2.36) với (2.37), ta thu được điều kiện đối với B’ là:
. (2.38)
Với cách làm tương tự như B, giá trị trung bình của B’ cũng được xác định
gần đúng theo công thức sau:
31
. (2.39)
Thay (2.35) và (2.39) vào (2.31), ta có thể viết lại biểu thức xác định
năng lượng kích hoạt theo cơ chế nút khuyết dưới dạng đơn giản như sau:
. (2.40)
Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ áp dụng các biểu thức giải tích thu
được ở trên để tính số các đại lượng khuếch tán trong tinh thể bán dẫn Ge.
2.2 . Ảnh hưởng của biến dạng lên sự tự khuếch tán
Theo [4], hệ số khuếch tán luôn tỉ lệ với nồng độ khuyết tật và độ linh
động của chúng. Trong trường hợp tổng quát, độ linh động M của khuyết tật
điểm theo các hướng khác nhau là khác nhau. Ở đây, chúng ta chỉ quan tâm
đến độ linh động của các khuyết tật điểm theo hướng vuông góc với bề mặt tự
do (M33) (xem Hình 2.1) đã được nhiều thực nghiệm đo đạc.
Hình 2.1. Mẫu chịu tác dụng của ứng suất lưỡng trục
Khi hệ số khuếch tán tỉ lệ với tích số của nồng độ và độ linh động của
các khuyết tật điểm thì ảnh hưởng của ứng suất σ lên hệ số khuếch tán D theo
phương vuông góc với bề mặt tự do được cho bởi biểu thức:
32
, (2.41)
với
. (2.42)
Trong đó Vr là thể tích hồi phục mạng tinh thể ở nhiệt độ T, tức là phần
thể tích trùng vào trong bề mặt mẫu (hoặc phình ra ngoài) do khuyết tật điểm
tạo ra (xem Hình 2.2) ; Vm là thể tích hình thành (formation volume) , nghĩa
là sự thay đổi thể tích thêm vào khi khuyết tật đi tới điểm yên ngựa trong
đường dịch chuyển (xem Hình 2.2) và có biểu thức như sau :
. (2.43)
Ở đây, Gm là sự thay đổi bổ sung trong năng lượng tự do khi khuyết tật
dịch chuyển.
Hình 2.2. Lược đồ sự thay đổi thể tích trong lúc hình thành và
dịch chuyển khuyết tật
33
Từ (2.41) và (2.42), ta có:
, (2.44)
trong đó là hệ số khuếch tán ở nhiệt độ T khi chưa có ứng suất ngoài tác
dụng và được xác định theo (2.17 ).
Từ các phương trình (2.17) và (2.44), hệ số khuếch tán của tinh thể bị
biến dạng có thể được viết lại thành:
(2.45)
với (2.46)
Như vậy, sự phụ thuộc ứng suất σ của hệ số khuếch tán được thể
hiện thông qua năng lượng kích hoạt .
Mặt khác, giữa ứng suất σ và độ biến dạng ε của vật rắn biến dạng đàn
hồi lại liên hệ với nhau theo định luật Hooke:
, (2.47)
với E là môđun Young của vật.
Từ các biểu thức (2.45) và (2.47), chúng ta có thể biểu diễn hệ số
khuếch tán D phụ thuộc độ biến dạng ε theo các hệ thức sau:
(2.48)
. (2.49)
34
Như vậy, để xác định ảnh hưởng của độ biến dạng ε lên năng lượng
kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D, ta cũng phải xác định được thể tích hồi
phục và thể tích dịch chuyển của tinh thể ở nhiệt độ T.
Theo M. Tang [16], thể tích hồi phục với đơn vị là Ω (Ω là thể tích
nguyên tử ở nhiệt độ T) được xác định theo công thức:
, (2.50)
trong đó lI,V là chiều dài hộp khi có khuyết tật xen kẽ (I) hoặc khuyết tật nút
khuyết (V), leq là chiều dài hộp gốc (khi không có khuyết tật) và N là tổng số
hạt trong hộp.
Trong trường hợp hộp là một ô mạng hình lập phương có cạnh là hằng
số mạng a thì đối với tinh thể Ge, biểu thức (2.50) có thể được viết lại thành:
. (2.51)
Ở đây, aKT và aLT là hằng số mạng của tinh thể Ge khi có khuyết tật và khi lí
tưởng ở nhiệt độ T.
Từ lược đồ sự thay đổi thể tích (xem đường đứt nét trên Hình 2.2) trong
lúc hình thành và dịch chuyển khuyết tật theo cơ chế nút khuyết (vacancy),
chúng ta thấy rằng thể tích dịch chuyển có thể được xác định gần đúng
theo biểu thức có dạng tương tự (2.51):
, (2.52)
với là hằng số mạng của tinh thể Si sau khi khuyết tật dịch chuyển.
Trong công trình [9] nghiên cứu về các tính chất nhiệt động của sự
khuếch tán dưới ảnh hưởng của áp suất và ứng suất, tác giả cho rằng hầu hết
các tính toán bằng lí thuyết và các phép đo thực nghiệm trước đây đều giả sử
là thể tích dịch chuyển có giá trị không đáng kể. Với sự tự khuếch tán
35
trong tinh thể Ge theo cơ chế nút khuyết, hằng số mạng của tinh thể khi có
′ ), do đó Vm coi như bằng 0.
khuyết tật (aKT) có thể coi như bằng hằng số mạng của tinh thể sau khi khuyết
tật dịch chuyển (𝑎𝐾𝑇
36
37
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày lý thuyết về sự tự khuếch tán
trong tinh thể bán dẫn theo cơ chế nút khuyết.
Chúng tôi đã đưa ra công thức xác định các đại lượng khuếch tán của
bán dẫn ở nhiệt độ T theo cơ chế nút khuyết là năng lượng kích hoạt Q (công
thức (2.40)),và hệ số khuếch tán D (công thức (2.17))
Chúng tôi cũng đã trình bày được các biểu thức giải tích khép kín xác
định sự phụ thuộc độ biến dạng ε của năng lượng kích hoạt Q và hệ số khuếch
tán D ở nhiệt độ T trong tinh thể bán dẫn (Công thức (2.48) và (2.49) ). Từ đó
cho thấy, hệ số khuếch tán D phụ thuộc độ biến dạng 𝜀 thông qua năng lượng
kích hoạt Q.
38
CHƯƠNG 3
TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN KẾT QUẢ
3.1. Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể
Đối với các tinh thể rắn, thế tương tác giữa các nguyên tử được xác định
bởi tương tác giữa các ion với ion, giữa các đám mây điện tử với nhau và giữa
các đám mây điện tử với ion. Các nghiên cứu trước nay đã chỉ ra rằng, năng
lượng tương tác giữa các nguyên tử có thể biểu diễn bằng công thức gần đúng
sau:
, (3.1)
trong đó rij là khoảng cách giữa hai nguyên tử i và j, V là thể tích của hệ.Như
vậy, tương tác giữa các nguyên tử gồm hai phần: phần thứ nhất chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách giữa hai nguyên tử gọi là thế cặp, phần thứ hai
phụ thuộc vào mật độ của vật liệu gọi là thế tương tác nhiều hạt (còn gọi là
thế tương tác ba hạt).
Dựa vào tính chất của mỗi loại vật liệu, người ta đã tìm ra được những
dạng thế phù hợp cho từng loại vật liệu. Trong luận văn này chúng tôi sử
dụng thế Stillinger – Weber được trình bày trong công trình [3]. Thế này là
tổng của các đóng góp hai hạt và ba hạt. Phần tương tác hai hạt có dạng:
(3.2)
(3.2) mô tả tương tác hai hạt. (3.2) phù hợp đối với kim loại và hợp kim còn
đối với bán dẫn, vì là liên kết chặt nên ta phải tính đến cả phần tương tác ba
hạt.
Phần tương tác ba hạt có dạng:
, (3.3)
39
trong đó, là góc giữa các liên kết dij và dik; dij và dik là khoảng cách giữa
các hạt i, j và i, k.
Các thông số làm khớp A, B, b, ε, λ, γ, σ được xác định từ các tính
chất cơ bản của vật liệu. Giá trị của các thông số này đối với Ge được cho
trong Bảng 3.1.
Bảng 3.1. Giá trị các thông số thế Stillinger – Webercủa Ge [13]
Đại lượng Ge
ε(eV) 1,93
A 7,049556277
B 0.6022245584
σ(Ǻ) 2,181
b 1,8
γ 1,2
λ 31,0
3.2. Các đại lượng khuếch tán của Ge dưới ảnh hưởng của biến dạng
Sử dụng thế Stillinger – Weber với các thông số thế trong Bảng 3.1, ta
tính số các đại lượng khuếch tán như năng lượng kích hoạt Q, hệ số trước
hàm mũ D0 và hệ số khuếch tán D của Ge ở nhiệt độ T và độ biến dạng 𝜀.
Trước hết, ta cần xác định khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ 0K
(r0). Từ phương trình trạng thái [4]:
, (3.4)
trong đó r là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt, p là áp suất và v là thể tích
nguyên tử của Ge :
. (3.5)
40
Giải phương trình (3.4) với u0 được xác định theo (1.30), ω và k được
xác định theo (1.13), φi được xác định theo (3.1), ta tìm được khoảng lân cận
gần nhất giữa 2 hạt ở áp suất p và nhiệt độ 0K (r(p,0)). Khi p = 0, ta có được
khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở áp suất không và nhiệt độ 0K (r0).
Sau khi tìm được r0, ta tìm được giá trị của các thông số k, K, γ và β
của Ge ở nhiệt độ 0K nhờ các công thức (1.13), (1.14) và (1.17). Biết giá trị
của các thông số này, ta tìm được độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng
ở nhiệt độ T (y0) theo công thức (1.22) và từ đó tìm được khoảng lân cận gần
nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T (r1) theo công thức (1.23).
Tiếp theo, chúng tôi xác định các hằng số mạng aLT của tinh thể Ge ở
nhiệt độ T theo công thức:
, (3.6)
Để xác định aKT ta làm tương tự như xác định aLT. Tuy nhiên, khi giải
phương trình trạng thái (3.4), để xác định r0KT và công thức (1.22) để xác định
y0KT, ta phải xác định lại các thông số k, K, γ, β và các đại lượng ω, u0 ứng với
tinh thể có khuyết tật. Thay các giá trị của aLT và aKT tìm được vào (2.51), ta
xác định được thể tích hồi phục Vr của tinh thể Ge ở nhiệt độ T.
Sau khi tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T, với
cách làm tương tự như trên, ta tìm được giá trị của các thông số k, K, γ và β ở
nhiệt độ T và từ đó tìm được sự phụ thuộc nhiệt độ của các các đại lượng
. Nhờ các công thức (2.35) và (2.27), ta tìm được hệ số B và
entrôpi . Sau đó, sử dụng các công thức: (2.18), (2.40) và (2.17) ta thu
được các kết quả số đối với hệ số trước hàm mũ D0, năng lượng kích hoạt Q
và hệ số khuếch tán D của Ge ở nhiệt độ T . Các kết quả này được chúng tôi
trình bày trong Bảng 3.2
41
Bảng 3.2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của aLT , aKT, Vr, năng lượng kích hoạt Q và
hệ số khuếch tán D trong sự tự khuếch tán của Ge
T (K) aLT (Ǻ) aKT (Ǻ) Vr (Ω) Q(0,T) D(0)(cm2/s)
5,6616 5,6724 0,0459 2,9867 1,3089.10-51 300
5,6717 5,6850 0,0564 3,0178 1,9257.10-39 400
5,6812 5,6967 0,0656 3,0490 3,8624.10-32 500
5,6903 5,7076 0,0732 3,0800 2,8606.10-27 600
5,6989 5,7176 0,0790 3,1110 8,6247.10-24 700
5,7070 5,7269 0,0839 3,1419 3,5147.10-21 800
5,7146 5,7358 0,0893 3,1728 3,7712.10-19 900
5,7218 5,7443 0,0947 3,2035 1,5895.10-17 1000
5,7286 5,7531 0,1031 3,2342 3,3956.10-16 1100
5,7352 5,7627 0,1156 3,2648 4,3569.10-15 1200
Tiếp theo sử dụng công thức (2.48) và (2.49), ta xác định được ảnh
hưởng của độ biến dạng 𝜺 lên năng lượng kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D
ở nhiệt độ T. Các kết quả số này được chúng tôi trình bày trong Bảng 3.3 và
Bảng 3.4
42
Bảng 3.3 : Ảnh hưởng của độ biến dạng 𝛆 lên năng lượng kích hoạt Q ở nhiệt
độ T trong sự tự khuếch tán Ge.( Đơn vị của Q là eV)
Biến dạng nén Biến dạng giãn 𝜺(%)
-0,2% -0,4% -0,6% -0,8% 0,2 % 0,4% 0,6% 0,8% T(K)
300 2,9880 2,9894 2,9907 2,9921 2,9854 2,9840 2,9827 2,9813
400 3,0195 3,0212 3,0228 3,0245 3,0162 3,0146 3,0129 3,0112
500 3,0509 3,0529 3,0548 3,0567 3,0471 3,0451 3,0432 3,0412
600 3,0822 3,0844 3,0866 3,0887 3,0779 3,0757 3,0735 3,0714
700 3,1134 3,1158 3,1181 3,1205 3,1087 3,1063 3,1039 3,1016
800 3,1445 3,1469 3,1495 3,1520 3,1395 3,1369 3,1344 3,1319
900 3,1755 3,1782 3,1809 3,1835 3,1701 3,1674 3,1648 3,1621
1000 3,2064 3,2093 3,2122 3,2150 3,2007 3,1979 3,1950 3,1922
1100 3,2374 3,2405 3,2436 3,2468 3,2312 3,2280 3,2249 3,2218
1200 3,2684 3,2719 3,2754 3,2789 3,2614 3,2579 3,2543 3,2508
43
Bảng 3.4. Ảnh hưởng của độ biến dạng 𝜀 lên hệ số khuếch tán D ở nhiệt độ T
trong sự tự khuếch tán của Ge ( Đơn vị của D là cm2/s)
Biến dạng nén Biến dạng giãn ε (%)
T (K) - 0,2% -0,4% -0,6% - 0,7% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8%
300
1,2449 . 10-51 1,1820 .10-51 1,1223 .10-51 1,0655 .10-51 1,3810 .10-51 1,4546 .10-51 1,5320 .10-51 1,6136 .10-51
400
1,8354 .10-39 1,7493 .10-39 1,6672 .10-39 1,5889 .10-39 2,0206 .10-39 2,1201 .10-39 2,2245 .10-39 2,3340 .10-39
500 3,6926 .10-32 3,5330 .10-32 3,3752 .10-32 3,2268 .10-32 4,0399 .10-32 4,2257 .10-32 4,4199 .10-32 4,6232 .10-32
600 2,7430 .10-27 2,6301 .10-27 2,5220 .10-27 2,4183 .10-27 2,9833 10-27 3,1113 .10-27 3,2447 .10-27 3,3839 .10-27
700 8,2947 .10-24 7,9772 .10-24 7,6719 10-24 7,3782 .10-24 8,9680 .10-24 9,3249 .10-24 9,6960 .10-24 1,0082 .10-23
800 3,3890 .10-21 3,2678 .10-21 3,1509 .10-21 3,0382 .10-21 3,6451 .10-21 3,7803 10-21 3,9205 .10-21 4,0659 .10-21
900 3,6429 .10-19 3,5191 .10-19 3,3995 .10-19 3,2839 .10-19 3,9039 .10-19 4,0414 .10-19 4,1836 .10-19 4,3309 .10-19
1000 1,5377 .10-17 1,487 .10-17 1,4391 .10-17 1,3922 .10-17 1,6431 .10-17 1,6985 .10-17 1,7558 .10-17 1,8149 .10-17
1100 3,2857 .10-16 3,1793 .10-16 3,0763 .10-16 2,9767 .10-16 3,5093 .10-16 3,6267 .10-16 3,7481 .10-16 3,8736 .10-16
1200 4,2115 .10-15 4,0109 .10-15 3,9350 .10-15 4,5074 .10-15 4,6631 .10-15 4,8241 .10-15 4,9907 .10-15
3,8037 .10-15
44
Từ Bảng 3.2 , ta có nhận xét sau:
- Khi nhiệt độ tăng , hằng số mạng a và thể tích hồi phục đều tăng. Sự
tăng này có thể được giải thích là do khi nhiệt độ tăng thì các nguyên tử dao
động mạnh hơn làm cho độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng (y0) tăng.
- Ở dải nhiệt độ rộng (từ 300K – 1200K), năng lượng kích hoạt Q thay
đổi rất ít theo nhiệt độ nhưng hệ số khuếch tán D lại tăng rất mạnh đặc biệt là
ở vùng nhiệt độ cao. Điều này hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm và cũng
giải thích lí do các phép đo thực nghiệm thường chỉ tiến hành ở dải nhiệt độ
cao, từ khoảng 800K – 1200K ( Xem Bảng 3.5)
Bảng 3.5. So sánh năng lượng kích hoạt của Ge với thực nghiệm và các tính
toán khác
Phương pháp Q(eV) T (K)
TKMM 3,11 – 3,26 700 – 1200
Thực nghiệm [11] 3,13 ± 0,03 702 – 1177
[12] 3,0(5) 816 – 963
DFT [8] 3,1 -
Từ Bảng 3.3, ta có thể nhận xét như sau:
- Khi nhiệt độ không đổi, năng lượng kích hoạt tăng theo biến dạng nén
và giảm theo biến dạng giãn. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với các nghiên
cứu thực nghiệm của Vasily Cherepanov và Bert Voigtländer [15]. Các kết
quả này được chúng tôi minh hoạ trong đồ thị Hình 3.1.
Từ Bảng 3.4, ta có nhận xét như sau: Khi nhiệt độ không đổi, hệ số
khuếch tán giảm theo biến dạng nén và tăng theo biến dạng giãn (Hình 3.2).
Sự phụ thuộc độ biến dạng 𝜀 của năng lượng kích hoạt Q và hệ số
khuếch tán D được chúng tôi mô tả trên đồ thị Hình 3.1 và Hình 3.2 dưới đây.
45
32.6
T=1000K
T=1100K
32.5
32.4
32.3
32.2
.
32.1
Q 1 0 - 1
32
( e V )
31.9
31.8
31.7
31.6
ε (%)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Hình 3.1 . Biểu đồ sự phụ thuộc độ biến dạng của năng lượng kích hoạt tại
T=1000K, T=1100K
46
-33
ε(%)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-34
-35
log D (cm2/s) -36
T=100K
T=1100
-37
-38
-39
-40
Hình 3.2. Biểu đồ sự phụ thuộc dộ biến dạng của hệ số khuếch tán tại
T=1000K và T=1100K
47
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương này, chúng tôi đã áp dụng các công thức lí thuyết xây
dựng được để tính số các hằng số mạng aLT , aKT, thể tích kích hoạt, năng
lượng kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D cho sự tự khuếch tán trong Ge. Các
kết quả tính toán được trình bày trong các Bảng 3.2, Bảng 3.3, Bảng 3.4 và so
sánh với thực nghiệm Bảng 3.5.
Các kết quả tính số thu được cho thấy có sự phù hợp với thực nghiệm
và các tính toán bằng lí thuyết khác.
48
KẾT LUẬN
Sử dụng phương pháp thống kê mômen với khai triển đến gần đúng bậc
bốn của thế năng tương tác, tức là có kể đến hiệu ứng phi điều hòa của dao
động mạng tinh thể để nghiên cứu sự tự khuếch tán của tinh thể bán dẫn Ge.
Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:
1. Trình bày các biểu thức giải tích xác định lượng kích hoạt Q, hệ số
trước hàm mũ D0 và hệ số khuếch tán D của nguyên tử tự khuếch tán trong
tinh thể bán dẫn theo cơ chế nút khuyết.
2. Tìm hiểu được các biểu thức giải tích khép kín về sự phụ thuộc độ
biến dạng ε của năng lượng kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D. Các biểu thức
thu được mang tính tổng quát và có thể áp dụng cho các hệ khác nhau.
3. Áp dụng các biểu thức giải tích thu được để tính số các đại lượng
khuếch tán của Ge dưới ảnh hưởng của nhiệt độ và độ biến dạng 𝜀.
4. Các kết quả tính số bằng phương pháp TKMM đã được so sánh với các
giá trị thực nghiệm và tính toán bằng lí thuyết khác cho thấy có sự phù hợp tốt.
Sự thành công của luận văn góp phần hoàn thiện và phát triển việc áp
dụng phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu các tính chất của tinh
thể. Chúng tôi sẽ tiếp tục áp dụng lý thuyết này để nghiên cứu sự tự khuếch
tán và khuếch tán trong tạp vào Ge dưới ảnh hưởng của nhiệt độ, áp suất và
biến dạng.
49
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đào Khắc An (2009), Công nghệ micro và nano điện tử, Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.
[2]. Vũ Bá Dũng (2011), Nghiên cứu khuếch tán đồng thời tạp chất và sai
hỏng điểm trong silic, Luận án Tiến sỹ Vật lý, Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Hà Nội.
[3]. Phạm Thị Minh Hạnh (2006), Nghiên cứu các tính chất nhiệt động và
môđun đàn hồi của tinh thể và hợp chất bán dẫn bằng phương pháp mômen,
Luận án Tiến sỹ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội.
[4]. Phan Thị Thanh Hồng (2013), Nghiên cứu sự tự khuếch tán và khuếch
tán của tạp chất trong bán dẫn bằng phương pháp thống kê mômen,
Luận án Tiến sĩ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội.
[5]. Phùng Hồ và Phan Quốc Phô (2001), Giáo trình Vật lý bán dẫn, Nhà
xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[6]. Vũ Văn Hùng (2009), Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu
tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể, Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm, Hà Nội.
[7] Đào Thị Quỳnh (2016), Nghiên cứu sự tự khuếch tán trong Ge bằng
phương pháp thồng kê momen, Luận án Thạc sĩ Vật lý, Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, Hà Nội
[8]. A. Chroneos, H. Bracht, R. W. Grimes, and B. P. Uberuaga (2008),
“Vacancy-mediated dopant diffusion activation enthalpies for
germanium”, Applied Physics Letters 92, p.172103.
[9] Aziz M. J. (1997), "Thermodynamics of diffusion under pressure and
stress: Relation to point defect mechanisms", Applied Physics Letters
70(21), pp.2810-2812.
50
[10]. David R. Lide (1997-1998), Hand Book of Chemistry and Physics,
78th edition, p. 12-104.
[11]. E. Hüger, U. Tietze, D. Lott, H. Bracht, D. Bougeard, E. E. Haller, and
H. Schmidt (2008), “Self-diffusion in germanium isotope multilayers at
low temperatures”, Applied Physics Letters 93, p.162104.
[12]. H. D. Fuchs,W. Walukiewicz, E,E. Haller, W. Donl, R. Schorer,
G.Abstreiter, A.I.Rudnev, A.V. Tikhomirov, and V.I. Ozhogin (1995),
“Germanium isotope heterostructures: An approach to self-
diffusion studies”, Phys.Rev.B 51(23),p.16817.
[13]. Kejian Ding and Hans C. Andersen (1986), “Molecular-dynamics
simulation of amorphous germanium”, Phys. Rev.B 34(10), p.6987.
[14] M. Werner and H. Mehrer, H. D. Hochheimer ( 1985), “Effect of
hydrostatic pressure, temperature, and doping on self-diffusion in
germanium” , Physical review B.
[15] Vasily Cherepanov and Bert Voigtländer , “Influence of strain on
diffusion at Ge(111) surfaces” , Appl. Phys. Lett. 81, 4745 (2002);
[16] Tang M., Colombo L., Zhu J., and Diaz de la Rubia T. (1997),
"Intrinsic point defects in crystalline silicon: Tight-binding molecular
dynamics studies of self-diffusion, interstitial-vacancy recombination,
and formation volumes", Phys. Rev. B 55(21), pp.14279-14289.
