Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

---------------------

Nguyễn Thị Quyên

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG

GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM

(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ

HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số:

60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Quang Báu

Hà Nội -2011

Mục lục

Lời cảm ơn.

Mục lục.

Danh mục các hình vẽ.

MỞ ĐẦU… .………………………………………………………………………...1

CHƯƠNG 1.

LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG BÁN DẪN KHỐI

VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ (NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM

PHONON) ………………………………………………………………………………....4

1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối ………………....4

1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối khi có

1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp

mặt trường sóng điện từ .…………………………………………………….4

1.1.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm

thụ một photon) ……………………………...……………………………...6

(phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối………………………………………………………………………….10

1.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng không kể

1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử .......13

1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) …………......17

1.2.3. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một photon……… ...…………………………………………………………….20

1.2.4. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ nhiều photon…. …………………………………………………………....…...…22

1.2.5. Hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn …………………………………………...25

đến giam cầm phonon) ……………………………….……………………….13

CHƯƠNG 2.

HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC ẢNH HƯỞNG LÊN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA

ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON GIAM CẦM TRONG

DÂY LƯỢNG TỬ …………………………………...…………………………………..28

2.1. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn ……………...……....28

2.1.1. Sự lượng tử hóa do giảm kích thước …………………………………...….28

2.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật

hố thế cao vô hạn ………………………………………………………......32

2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm trong dây

lượng tử …………………………………………………………….…….....34

CHƯƠNG 3.

ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN TỐC ĐỘ GIA TĂNG

SÓNG ÂM (PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ

NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN ………………………………………………………..53

3.1. Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng (sóng âm) phonon âm giam cầm

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức

3.1.1. Mối liên hệ giữa phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm) giam cầm và tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây

xạ laser...........................................................................................................53

lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser…53 3.1.2. Tính toán tốc độ thay đổi phonon …………………………..…………...…59 3.2. Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết, bàn luận kết quả cho dây

lượng tử GaAs/GaAsAl ..............................……………………………….….71

KẾT LUẬN .............................................................................................................80

TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................81

PHỤ LỤC ................................................................................................................83

Danh mục các hình vẽ

Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang

Phổ năng lượng của màng mỏng lượng tử hóa do giảm kích 28 Hình 2.1 thước

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc 72 Hình 3.1 vào số sóng qz với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc

Hình 3.2 vào cường độ trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau 73

của tần số trường bức xạ laser.

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc 74 Hình 3.3 vào nhiệt độ với các giá trị khác nhau của số sóng qz

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc

Hình 3.4 vào kích thước lượng tử Lx với các giá trị khác nhau của 75

chỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc

Hình 3.5 vào kích thước lượng tử Ly với các giá trị khác nhau của 75

chỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc

Hình 3.6 vào tần số trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau của 76

nhiệt độ.

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào số

Hình 3.7 sóng ứng với nhiệt độ T=25K, T=77K, T=300K (trường 78

hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm).

Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào

Hình 3.8 79 cường độ trường bức xạ laser ứng với tần số trường bức xạ laser Ω=1.1014 Hz, Ω=2.1014 Hz, Ω=4.1014 Hz (trường

hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm).

Luận văn tốt nghiệp 2011

MỞ ĐẦU

Trong hai thập kỉ cuối thế kỉ XX, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và

thực nghiệm được đặc trưng bởi việc chuyển đối tượng nghiên cứu chính từ các

khối tinh thể sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều (các hố lượng tử

(quantum wells), các cấu trúc siêu mạng (supelattices), các dây lượng tử (quantum

wires), các chấm lượng tử (quantum dots)…). Trong đó hệ một chiều đã và đang

được nghiên cứu và đã có được những kết quả có ứng dụng thực tế.

Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể

được chế tạo nhờ phương pháp epytaxi chùm phân tử (MBE), hoặc kết tủa hóa hữu

cơ kim loại MOCVD, hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng

trường (bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai

chiều)[1,2].

Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn

hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện

tử trong hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của chúng [7]. Điều này dẫn đến

xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu

ứng này rất khác so với trong bán dẫn khối thông thường.

Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất vật lý của bán dẫn nói

chung. Khi chuyển từ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều [2 chiều (2D), 1 chiều (1D),

không chiều (0D)], hay chuyển từ hệ điện tử 3D sang 2D cũng như từ 2D sang 1D

đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật

lý trong đó có tính chất quang của vật liệu do hiệu ứng giảm kích thước gây lên đã

làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý. Chính những sự thay đổi vể tính chất vật

lý cả vể định tính và định lượng do hiệu ứng giảm kích thước đã giúp tạo ra các

thiết bị, linh kiện điện tử hiện đại, công nghệ cao có tính chất cách mạng về khoa

học, đồng thời là cơ sơ tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng,

thông minh như hiện nay và trong tương lai.

Nguyễn Thị Quyên 1

Luận văn tốt nghiệp 2011

Trong hệ bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng giảm kích thước làm biến đổi các đại

lượng vật lý trong đó có làm thay đổi tốc độ thay đổi phonon âm (gia tăng phonon,

hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương tác điện tử - phonon gây ra.

Hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối đã được nghiên

cứu [4,5,9,11,13,14,19,27], các công trình này đã xét các cấu trúc bán dẫn suy biến

[13,14] và bán dẫn không suy biến [4,5,9,11,27]…. Trong hố lượng tử, bài toán

cũng đã được giải quyết [6,21].

Trong hệ một chiều, hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam

cầm đã được nghiên cứu [8, 24]. Nhưng hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm)

giam cầm trong dây lượng tử thì cả thực nghiệm và bài toán vật lý (lý thuyết) vẫn

còn bỏ ngỏ. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu bài toán vật lý (lý thuyết) còn bỏ

ngỏ đó, đó là: Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm

(phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

 Phương pháp nghiên cứu:

Để giải quyết những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương

pháp lý thuyết khác nhau. Để tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam

cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn từ góc độ lý thuyết cổ điển

ta sử dụng phương trình động cổ điển Boltzmann…còn từ góc độ lượng tử ta sử

dụng phương pháp hàm Green, phương trình động lượng tử, phương pháp tích phân

phiếm hàm… Khi nghiên cứu và tính toán ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước

lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật

hố thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử.

 Mục đích nghiên cứu:

Tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ

laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn trên cơ sơ phương trình

động lượng tử cho phonon, thu được biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm

(phonon âm) giam cầm, phân tích sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm

(phonon âm) giam cầm vào vectơ sóng của phonon (qz) , tần số (Ω), cường độ (E0)

của trường bức xạ laser, nhiệt độ (T) của hệ và các tham số đặc trưng cho dây lượng

Nguyễn Thị Quyên 2

tử (Lx, Ly), chỉ số đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k). Tốc độ gia tăng sóng

Luận văn tốt nghiệp 2011

âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc không tuyến tính vào các đại lượng vật lý

trên. Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl và so sánh kết quả

chính thu được với tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình

chữ nhật hố thế cao vô hạn nhưng chưa kể đến giam cầm phonon.

 Cấu trúc luận văn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối và

trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm phonon).

Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của

điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn và phương trình động

lượng tử cho phonon giam cầm trong dây lượng tử.

Chương 3:Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng

âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

Trong đó, chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng kết quả chính của

luận văn. Các kết quả đều được tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử

GaAs/GaAsAl.

Kết quả thu được của luận văn đã báo cáo ở hội nghị Vật lý lý thuyết toàn

quốc tháng 8 năm 2011 (Quy Nhơn/2011) và gửi đăng ở Tạp chí Nghiên cứu Khoa

học và Công nghệ Quân sự, viện Khoa học và Công nghệ Quân sự.

Nguyễn Thị Quyên 3

Luận văn tốt nghiệp 2011

CHƯƠNG 1.

LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG

BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ

(NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM PHONON).

1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối.

1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn

khối khi có mặt trường sóng điện từ.

0

 EE

sin(

 t

)

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường

2

H t ( )



 p



 A t ( )



 





)

  1.1

 a a   p p

 b b    q q q

  C a a b (      q q p q p  

b  q







1 m 2

e  c

 p

 q

  , p q

  

  



bức xạ laser :

pa (

a  và p

b ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của q

b và q

Trong đó

)

 p  p

)(q là vectơ sóng của điện

điện tử (phonon);   p q và ( là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;

2

tử (phonon) trong bán dẫn khối;

 p

 (

)



 A t ( )

1 m 2

e  c

  p  

  

là năng lượng điện tử;

 q

là năng lượng của phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng

C là hằng số tương tác điện tử - phonon;

q

)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi

là khối lượng và điện tích của điện tử;

0



 E



sin(



t

)

 d A t ( ) dt

1 c

biểu thức:

(1.2)

Nguyễn Thị Quyên 4

Từ Hamilton (1.1) ta có:

2

i

b





 p



 A t ( )

b a a ,



 q

b H t ( ) ,  q

 q

  p

 p



 

 

 

 

t

t

t

  t

1 m 2

e  c

 p

  





C



b

)

.

 q

b a ,  q

   k

b b b ,  k

  k

 k

   p k 

a b (  p

  k 

 k



   

 

 

t

 

 

t

 k

 , p k

Luận văn tốt nghiệp 2011

(1.3)

i





C

a

a

b  q

  q

b  q

 q

   p q 

 p



t

t

t

  t

 p

Thực hiện phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:

a

(1.4)

a   p q 

 p t

i



,



 '

,



 a a    p q p 

 a a    p q p 

 a a   p p '

'

t

t

 

  ( ) a a H t     p q p  t

 

 

t

t

  t

1 m 2

e  c

 p

'

   p  

 2  A t ( )  



,



,



  . 1.5

 a a    p q p 

 a a    p q p 

 b b   k k

  a b a (     k '  ' p k p



b  k

 h   k

 C  k

t

t

 

 

 

 ) 

t

t

 k

 ', p k

Ta thiết lập phương trình cho :

i

a

a





a

a

   p q 

 p

   p q 

 p

t

t

  t

  eq A t ( ) mc

  

C





)



a



)

 a a  p

  p k 

 b (  k 

   p k 

 a b (   p k 

 k

b  k

b  k

        p q p   

 

 

 

 





t

t

 k

t

Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được:

(1.6)

 



)



a





)

 a a    p q p 

 a a  p

C  k

  p k 

 b (  k 

b  k

   p k 

 a b (   p k 

b  k

t

 

 

 

 





t

t

 k

t  i dt 1 

t 1



  ) t

i

Từ (1.6) ta tìm được:

    p

  p q 

t )( 1

 qA t dt ( ) 2

2



e mc

t

  exp ( i   

    

(1.7)

Nguyễn Thị Quyên 5

Thay (1.7) vào (1.4), ta có:













b  q

 i  q

b  q

 q

 p

t C C dt  1 k

  p k 

 b (  k 

b  k

b  k



t

t

  a a   p

 ) 

   a a b (     p k k  

 ) 

 



t

t

  t

  p k ,

 k



t 1



  t )

i

  1.8

    p

  p q 

t )( 1

 qA t dt ( ) 2 2



e mc

t

  exp ( i   

    

Luận văn tốt nghiệp 2011

qC  , ta có thể bỏ qua

b 

 q t 1

t





C

(

n



n

)



b  q

 i  q

b  q

2  q

 p

  p q 

dt b  q 1



t

t



t 1

  t

 , p k



t 1



  t )

i

)

      p q p 

t )( 1

 qA t dt ( 2

2



e mc

t

  exp ( i   

    

Trong gần đúng bậc hai của , và sẽ thu được:

(1.9)

0

 A t (

 cE

)

 

sin(





c

os(



t

)

Với:

0

2

t dt ) 2

2

2



 cE 

(1.10)



exp(



iz sin )=



z



 in )

J ( ) exp( n



n=-



z là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có : ( )

nJ

t

b



b



C

(

n



n

)



 q

 i  q

 q

2  q

 p

  p q 

dt b  q 1



t

t



t 1

  t

 p



Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:





  

)(



t

)

is

il

t

J

J

 p

  p q 

t 1

    t 1

l

s

 i exp (





  eE q 0 2  m

  eE q 0 2  m

l s ,

 

  

  

  

  

(1.11)

Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong

bán dấn khối [3]

1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp

hấp thụ một photon).

Nguyễn Thị Quyên 6

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

 

 i

t

B

(



)



b

e

d t

 q

 q

t



 

 



 i

t

b



B

(



)

e

d



 q

 q

t



1  2

 

      

 

 i

Luận văn tốt nghiệp 2011

b  q

b  q

t

t

  t

(1.12)

t



 i





C

(

n



n

)



b  q

 i  q

b  q

2  q

 p

  p q 

dt b  q 1



t

t



t 1

 p





J



J

)(

    

is

il

)

t

t

s

l

      p q p 

t 1

t 1

 i exp (





  eE q 0 2  m

  eE q 0 2  m

l s ,



  

  

  

  

Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có

(1.13)

 

 



 i

t



 i t



 i

B

 (

)

e

d

i

B

 (

)

e

d





 q

    q

 q





1  2

 

 

 



C

(

n



n

)

J

J



2  q

 p

  p q 

l

s





1  2   e E q 0 2  m

  e E q 0 2  m

 p

l s ,

  

  

  

  

  

t

 



 i t



d t

B

 (

)

e

d



e x p

(







)(

t



t

)

is

il

t

1

 q

 p

  p q 

1

    t 1

 i







1  2

 

 



(

n



n

)

J



J



C

 p

  p q 

l

s

2  q





  eE q 0 2  m

  eE q 0 2  m

l s ,

 

 p

  

  

  

   íl     t

il

t





B

d







 q 

 i t ( e )     l

i

 (

  

i

)

1  2

  p q 

 p



Hay viết dưới dạng khác:

( )x là hàm Delta-Dirac.

Trong đó:







 i t

    t

ís

il

t



 i t

B

 ( )

e

d





B



(

s

  ) l

e

d



 



 q

 q









Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:

Nguyễn Thị Quyên 7

Nên:

 

 



 i

t



 i

t



 i

B

(



)

e

d

  

i

B

(



)

e

d



 q

 q

 q





1  2

 

 

 



C

(

n



n

)

J

J



2  q

 p

 p

 q



l

s





1  2   e E q 0 2  m

  e E q 0 2  m

 p

l s ,

  

  

  

  

 i



t

 

B



(

s

  ) l

 q

Luận văn tốt nghiệp 2011



d





1  2

i

(



  



  

l

    e   

i

)

 p

 p

 q



 

(1.14)

n



n

 p



     i B )

(

)

(



C



i B  q

 q

 q

2  q



i

  p q     l

  

i

)

 p

 p

  p q 





J

J

B



(

s

  ) l

l

s

 q

 





  eE q 0 2  m

   (   eE q 0 2  m

l s ,

 

  

  

  

  

Từ phương trình (1.14) ta có:

n



n

 p

 a



(1.15)

 ( )



 ;

 

0





 eE 0 2  m

  p q     

l

  )

i

 p

 q

   (    p q p 

Từ (1.15) đặt , (1.16)



2





(



 (

  

s

(

)

l







 



   ( ) )  q

B  q

C  q

  J aq J aq l

s

  ) l B  q





Ta sẽ có:

l s ,



 q

(1.17)

s bên vế phải sẽ

Nhận xét rằng trong phương trình (1.17) các số hạng với l

s .

cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l



2

)

B

 ( )



C

 (

  

)

l

0

  aq

J



   (  q

 q

 q

2 l



 

Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:

l

 

 q

(1.18)

 ( ) q



 

Im(

 )



2

Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:

 



 aq

J

n



n



   l



C  q

2 l

 p

  p q 

  q



        p q p 





 

l



 p

(1.19)

 ( )q

Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính hệ

số hấp thụ sóng âm cho bán dẫn.

Nguyễn Thị Quyên 8

Luận văn tốt nghiệp 2011

F 

Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một

2

2

2

 q



(

)







p





F

 4

m 

  e E q 0 2 

q 2

q 2

 m q

  

 m  q 

  s m 

  

  

  



, thu được hệ số hấp thụ sóng âm: photon, với giả thiết q>>pF;

 0eE  m

( )z lầ hàm có bước nhảy:

Trong đó là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,



(

z

)

1 , 0 ,

z z

 

0 0 .

   

 ( )q

q

m 2

PF là xung lượng Fermi của điện tử;

 ,

 ( ) 0 q 

2

m

 

p



p



q



2

m



F

F

 sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm 

Ở điểm sẽ đổi dấu và với:

 

  aq





1

Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối số của

 e E 0  m

 

hàm Bessel rất nhỏ sao cho với .

3 / 2

2

n



A

e x p

;

A



n

 p

0

Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:

 p 2 m k T

 2 m k T

  

  

  

  

(1.20)

2

2



C

 q

Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:

q 

s

V

 0 2

(1.21)

Vói V0 thể tích của tinh thể, thương chọn V0=1;  - hằng số thế biến dạng.

 Chuyển từ tổng sang tích phân theo p

S – vận tốc sóng âm.  - mật độ tinh thể. Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19).

, thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ

sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:

Nguyễn Thị Quyên 9

2

2

 

 ( ) q





S



sh



   q q

 exp 2



m kT

  2

  q 2

kT

  n  0   s 2 

1/ 2   

  

  

  

  

  

Luận văn tốt nghiệp 2011

4



exp



2

S



sh

exp



S

2   

   q q

 q

2   q

2





q m 4

  q 2

kT

  

  

  

  

       

  

S

 q

(1.22)

m 22 q k T

Ở đây :

K là hằng số Boltzmann;

N0 là mật độ điện tử;



q  

T là nhiệt độ của hệ.

 ( ) q 

0

Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức được thực hiện, ta



 ( ) 0 q 

q  

có và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng

1/ 2

2

2

 q

 (

)



sh

sh

2

S

   q q



  

m kT

  2

 2 kT

  n  0   2 s 

  

  

  

  

  

   

âm thỏa mãn bất đẳng thức ta có và có dạng tường minh sau:

4



exp



S

2   

 q

2   q

2

q m 4

  

  

        

 ( ) q 

0

(1.23)

 ( ) q 

0

Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm ( ) đã chuyển

thành hệ số gia tăng sóng âm ( ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi

trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một

photon [3].

1.1.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng

âm (phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán

dẫn khối.



2

 ( ) q







n



   l



   l

C  q

  2 J aq l

 p

  p q 

  p

 q

  p q 

  p

  q

     

Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:



 

   

 

l



 p



  l



1

     p q



  p

  q

(1.24)

 

Đặt trong trường hợp , dùng công thức biến đổi:

Nguyễn Thị Quyên 10





2 2    





J

l

   

2 l



l



   

      



2 2    

Luận văn tốt nghiệp 2011





2

2 2    

2 2    









 q



(

)



C

n



q

 p



Ta sẽ thu được:

 p





2 2    

2 2    

    

    



(1.25)

 0eE  m

Trong đó:

2

2



   l













     p q 



  p

  q

  q

  q

q m 2

  pq m 2

q m 2

p q z m 2

2

2



   l













     p q 



  p

  q

  q

  q

q m 2

  pq m 2

q m 2

p q z m 2

Sử dụng:

 2



1

.

....

 . d dP P 



.

.

dP z

3

 ...





 p

 2

0







Công thức biến đổi tổng thành tích phân

2

2







 q

 q

 (

)



 . d

.

exp

exp



dP P   .

.

dP z

3







2  P  2 mkT

2  P z 2 mkT

 2

0

0

0

  

  

  

  

A C 



2

2

2

2













  q

  q

q m 2

p q z m 2

q m 2

p q z m 2

Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:

  

  

  

  

   

 2     

   





2

2

2

2

2 







2 







  q

  q

q m 2

p q z m 2

q m 2

p q z m 2

  

  

  

  

  2            

      

(1.26)

Nguyễn Thị Quyên 11

Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.26), ta nhận được:

2

2

2

2

 q



(

)



e x p













 q

m 2 q k T

2

q m 2

 k T

m n . 2

.2

0 

s

  

  

   

   

   

   

    



2















I









 q

2



 

1 / 2 !

 m 2 q k T

q m 2

l



0

  

  

  

  





 q

q m 2

     

     

2

2

2



e x p













 q

m 2 q k T

2

q m 2

  

  

   

   

   

   



Luận văn tốt nghiệp 2011

2







1 / 2









I







 q

2



 

!

 m 2 q k T

q m 2

l



0

  

  





 q

q m 2

     

     

            

(1.27)

Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn

1/ 2

2

1/ 2

2

2

 q

 (

)



exp



exp







  q

 2

n 0  s

m kT 2

2  m 2 q kT 2

m 2 q kT

2

q m 2

  

  

  

  

  

  

   

   



2















I







  q

2



 

1 / 2 !

 2 q kT

m

l



0

 m q  2 

  

  

  



  q

q m 2

     

         



2



bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:



exp



I





  q

2

  q kT

 2 q kT

m

  

  

 m q  2 

  



  q

q m 2

     

     

           

(1.28)



2

2





I





I







  q

  q

2

2

Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:

  m q  2 q kT m 2 

  

  m q  2 q kT m 2 

  

  

  

  

  





  q

  q

q m 2

q m 2

     

      

     

     

 ( ) q 

0

(1.29)

Thì ,còn nếu:

Nguyễn Thị Quyên 12





2

2





I





I







  q

  q

2

2

Luận văn tốt nghiệp 2011

 m q   2 q kT m 2 

  

 m q   2 q kT m 2 

  

  

  

  

  





  q

  q

q m 2

q m 2

     

     

     

     

 ( ) q 

0

(1.30)

2

2

 ( ) q



 

exp



exp







  q

2  2

n 0  s

m kT 2

2  m 2 q kT 2

m 2 q kT

2

q m 2

  

1/ 2   

  

1/ 2   

  

  

   

    

2









exp



I







  q

2



    

1 / 2 !

  q kT

 2 q kT

m

l



0

  

  

 m q  2 

  

  

  



  q

q m 2

     

     

      



2



Ta có và có dạng tường minh như sau:

I





  q

2

 m 2 q kT

q m 2

  

  



  q

q m 2

      

     

          

 ( ) q 

0

(1.31)

 ( ) q 

0

Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm đã

chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm . Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận

được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường

bức xạ Laser [3]



q  

Vậy: các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối là

và hệ số gia tăng sóng âm (1.23) trong quá trình hấp thụ một photon, cũng

như các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong quá trình hấp thụ nhiều

photon (1.30),(1.31) được thu nhận dưới dạnh giải tích.

1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng

không kể đến giam cầm phonon).

1.2.1.

Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử.

Nguyễn Thị Quyên 13

0

 EE

sin(

 t

)

Luận văn tốt nghiệp 2011

Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser: ),





+

C

n l ,

b b    q q q

n l n l , , ', '

b ( +b ).  q

+  q 

 + (q) a a   n,l,k+q n',l',k

 H(t)= ε

  ω +



 e k- A(t)  c

 q

 n,l,k

  

 + a a    n,l,k n,l,k 

, , n l n l ', '   q k,

sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:



(1.32)



 A t ( )

n l ,

, ,n l ka

e  c

  k  

  

Trong đó: là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.

, ,n l ka  ( 

b ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon); q

b và q

và

 là tần số của phonon ứng với vecto sóng q

q

, c là vận tốc ánh sáng.  là hằng số

)(tA là thế vectơ

Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ;

0



E

sin(



t

)



1 c

tAd )( dt

 ( q )

C

và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:

n l n l , ',

,

'

là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính

C

)= C

I

 q

(

 q

(

)

n l n l , ',

,

'

 q

n l n l , ',

,

'

R



iq r

  iqr

I

(

)



n l k e ,

,

 q

 ' n l k ',

',





* (

,

  

e

)

(

,

 r

 dr )

 r

bởi công thức:

2 n l n l ', , ,

'



2 R

0

2

2



C

 q

  2

  q v V s

sv là tốc độ sóng

Với:

 A t ( )











i

b a ,  q

b H t ( ) ,  q

b  q

n l ,

  n l k , ,

a  n l k , ,



 

 

t

 

t

t

e  c

  t

 n l k , ,

    

  







C

 p

)

(



b

)

.

   p

b b b ,  q

  p

 p

n l n l , ,

', ',

b a ,  q

 b ( 

 p

 p

 a   n l k p n l k , , ', ',







 

 

t

 

 

t

 p

n l n l , , ', '  , p k

Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa;  là hằng số thế biến dạng; âm,  là mật độ tinh thể. Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:  k

(1.33)

Nguyễn Thị Quyên 14

Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:







C

.

 i

b  q

   q

b  q

n l n l , , ', '

  )  ( a q a   n l k q n l k ', ', , ,



Luận văn tốt nghiệp 2011



t

t

t

  t

 n l n l k , , ', ',

a

a

(1.34)

  n l k , ,

 q



 n l k ',

',

t

 i





 a a   n l k q n l k , , ', ',

 

 

   ( ) a a H t ,     n l k q n l k , , ', ',

t

t

  t







 p



 A t ( )

,



,



 b b   j j

 

 n l , 1

 a a  n l p n l p , , 1 1

, , 1 1



    j

 

  a a    n l k q n l k  , , ', ',

 

t

t

Ta thiết lập phương trình cho :

 j

  

   a a     n l k q n l k , , ', ', 

 n l p , , 1 1



C

e  c  ( ) j

,

.

'

',

 b (  j 

 

n l n l ', , , 1 1 1 1

a  n l p ', 1 1



 a   n l p j  , , 1 1

  a a   l k q n l k , ', ', , n

 b )   j

t

'

 n l n l ', , ,  1 1 1 1 p j ,

(1.35)





 qA t ( )

 i



 ( ) k



  ) k q   (



 n l ,

 a a   n l k q n l k , , ', ',



 a a   n l k q n l k , , ', ',



t

t

  t

  

   n l ', ' 

Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:











)







a

n l n l , , ', '

b  j

  ( ) ( b j  j 

 a a  n l k q n l k j  , ,

', ',



 a  n l k q j n l k ', ', ', ',

  

 C

 e * m c 



t

 j

0

0









(1.36)

 qA t ( )

 ( ) k

 i





 n l ,

 a a   n l k q n l k , , ', ',



', ',



 a a , , n l k q n l k t

t

 e * m c

  t

   n l ', ' 

  

Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:   )   k q ( (1.37)

tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm

của phương trình (1.37).



a

a



0

b  q

   n l k q , ,



 n l k ', ',

t



t



Giải thiết ở t   hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:

t













 



)



a



n l n l ', ' , ,

  ( ) ( b j  j 

b  j

 a a   n l k q n l k , , ', ',



 a a  n l k q n l k j  , ,

', ',



 a  n l k q j n l k ', ', ', ',

  





 C

t

t 1

i 

 j



t 1

Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):





exp

 ( ) k



t



 n l ,

n l ', '

   t 1

 qA t dt dt 1

( ) 2

2



   k q )  ( 

  

i 

ie * m c

t

    

    

(1.38)

Nguyễn Thị Quyên 15

Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:



i





C

 q C )

(



 ( ) j



b  q

   q

b  q

n l n l , , ', '

n l n l , , ', '



t

t

i 

  t

', ',

n l n l , ,   , k j

t



(



b

)

a

a



a

a



 b 

 j

 j

   n l k q , ,



 n l k ', ',



 j

   n l k q j

  

', ',

 n l k ', ',







t 1



Luận văn tốt nghiệp 2011

t 1





exp

 ( ) k





 k

(

 q



t





)

)





n l ', '

n l ,

t 1

 q A t dt ( 2

2

1dt



 

ie * m c

t

 i       

   

2

C

 q C )

(



 q

(

)



C

 q

(

)

(1.39)

n l n l , ',

,

'

n l n l ', ,

,

'

n l n l , ',

,

'

* C q

 nên q

2

Vì

C  Chỉ lấy j

 q

qC , bỏ qua sự đóng

và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác

b   q 

t

góp của .

2



i





C

 q

)

(





b  q

   q

b  q

n l n l , , ',

'



t

t

i 

  t

 n l n l k ',

, ,

',

t



a

a



a

a



b  q

   n l k q , ,



 n l k ',

',



 j

   n l k q   ', ',

 j

 n l k ',

',







t 1

t 1



Từ (2.8) ta được:

t 1





exp

 k

(

 k

(

 q



)





t





)

)





n l ',

'

n l ,

t 1

 q A t dt ( 2

2

dt 1



  

 

i 

ie * m c

t

    

    

 ( ) k



(1.40)

n n l ,

a a   n l k n l k , , , ,

t

Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là

A t ( )



t



c

os





t 1

t 1

)



c

os(



dt



sin(

sin(



t

)





c   q A t dt ( 2

2

t ) 2

2

  t ) 1

t

t





ie * m c

 ieE q 0 *  m

 ieE q 0 * 2  m

zq

 

Do nên:

 e E * m

0 

Đặt (1.41)

Áp dụng công thức:

Nguyễn Thị Quyên 16





iz

sin(



t

)

is



t

e

J

z e ( ).

s

 

s

 

Luận văn tốt nghiệp 2011

( )

i



exp



)



exp



sin(

sin(



t

)





  ( q A t d t ) ( 1 1

  ) t 1

t 1  t



Với sJ z là hàm Bessel đối số thực. Ta được:



 

ie * m c

  





 





J

(

)

J

(

) exp(

  is

) exp(

il

  t )

s

l

t 1

s

       l













J

(

)

J

(

) exp

i l (

)

s

il

(



t

)

s

l

    t 1

t 1

 

 

  

s l ,





Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng

2



 

C

 ( ) q



b  q

 i  q

b  q

n l n l , , ', '



t

t

i 2 

  t

n l n l , , ', '







J

(

)

J

(

n

 k

(



)

n

)

n l ', '

n l ,

   k q  



s

l

 

 

s l ,

  







  k

t

tử:

  ( ) k



exp

 k

(

 q







t



)

is

il

t





n l ', '

n l ,

t 1

    t 1

dt 1

  

 



b  q t 1

i 

  

  



(1.42)

Đây là phương trình động lương tử tổng quát cho sóng âm (phonon âm)

trong dây lượng tử [8]. Từ phương trình này, ta tiếp tục biến đổi để thu được biểu

thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử.

1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm).



 i t

B

 ( )



b

e

dt

 q

 q

t









 i t

b



B

 ( )

e

d



 q

 q

t



1  2



      

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

Nguyễn Thị Quyên 17

b

 

 i

b

 q

 q

Luận văn tốt nghiệp 2011

t

t

  t

(1.43)

 

 



 i

t



 i

t



(

)

e

d

i

B

 (

)

e

d



  B  q

    q

 q





i 

2

1  2

 

 

2

n

 k

 q





n

 k

(

)



C

 q

(

)



n l ,

n l ',

'

n l n l , ',

,

'







 

 

1 2 

  k

n l n l , ',

,

'

t

 







 i

t

J

(

)

J

(

)



B

 (

)

e

d





 q

s

l





    

s l ,







 

Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có



e x p



(

  k

1 2   k



   q

)

)





(

t



t

  

is

t

il







n l ',

'

n l ,

1

1

1

 

 

i 

  

 t d t  

(1.44)

te , trong đó:

  

0

b  q t



Do , thêm thừa số



2



 i t

B

 ( )

e

d





C

 q

(

)





i

 q

n l n l , , ',

'

     q







1 2 

n l n l , , ',

'







J

(

)

J

(

)

  k q 

n



n

 k

(



)



n l ,

n l ', '





s

l

 

 

   

s l ,









  k

t



 k

(

 q



 k

(

)





)

   l

B

 ( )

exp

t





n l ,

n l ',

'

 q





  

 

i 

  





(1.44) được viết lại ở dạng:





 k

(

 q







)





   s



i







exp

(

    k

)

n l ,

dt d 1.

n l ',

'

t 1

  

 

i 

  

  

(1.45)



2



 i t

B

 ( )

e

d





C

 ( ) q





i

 q

n l n l , , ',

'

     q







1 2 

n l n l , , ', '







J

(

)

J

(

)

n

n

 k

(



)



n l ,

n l ', '

   k q  



s

l

 

 

  

s l ,









  k



i l (

    

s

)

t

e



B

 ( )

 d

 q



Tính tích phân theo dt1 ta có:



 k

(

)





 k

(

 q



)



 

   

s

i

 

n l ', '

n l ,

  

 

i 

(1.46)

Nguyễn Thị Quyên 18

Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:

 

 



i

(





(

s

  ) l

) t



i



t

B

(



)

e

d





B



(

s

  ) l

e

d



 



 q

 q





 

 

Luận văn tốt nghiệp 2011



2



 i t

 ( )

e

 d



C

 ( ) q



B  q

n l n l , , ', '

     q







1 

n l n l , , ', '







J

(

)

J

(

)

(

 k



)

n n l ,

n n l ', '

   k q  



s

l

 

 

  

s l ,





 

  k



 i t



(

s

  ) l

 d



 



B  q

Nên:



 ( ) k







 e  q 

 k

(

)



 

   

s

i

 



n l ', '

n l ,

(1.47)

2

(

 k

)

 ( )



C

 ( ) q



n n l ,

n n l ', '

B  q

n l n l , , ', '

   k q  



     q





 

  

1 

  k

n l n l , , ', '

)





 

 B q

J

(

)

J

(

)



s

l

(    s l     ) k q

     

s

i

 

 k

(



)

 

(

  

s l ,

n l ', '

n l ,









Hay:

B

   s l

(

)

(1.48)

 

 

 q

Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier và không

thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao

động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai)

q   , khi đó (1.48) có dạng:

2

n

  k q 



n

 k

(



)



C

 q

(

)



n l ,

n l ', '

n l n l , , ',

'





     q





 

 

1 

  k

n l n l , , ',

'



J

(

)



2 s

 k

(



)





(

1   k q 

)



 

   

s

i

 

  

s

n l ',

'

n l ,





s=l và lấy

(1.49)

Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.

Sử dụng công thức:

Nguyễn Thị Quyên 19







 i

 x x



0

Luận văn tốt nghiệp 2011

   0



 i

1  x x 0

1  x x 0

với

 q



(

)

 

Im (



)

2

n

 k

 q





n

 k

(



)

 

C

 q

(

)



n l ,

n l ',

'

n l n l , ',

,

'







 

 

 

  k

n l n l , ',

,

'

Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:





J

(

 k

(

)





 k

(

 q



)





   s

.



n l ',

'

n l ,

   )



2 s

    

s





(1.50)

Đây là biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử [8].

Biểu thức này là chung cho cả khí điện tử suy biến và khí điện tử không suy biến.

1.2.3. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một photon.

Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho đối



 qE



1

0

2

  

 e * m 

số của hàm Bessel rất nhỏ (do chứa số hạng E0 – trường bức xạ laser là yếu)



J







J

J

2 s

2  1

2 1

2 0

  

  

  



s

   J  Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.

i

s



2

i



J



  x

s



Ta có gần đúng:

i

i

x 2

i



0

  

  1           s 1

  1



s

J

x ( )

 

( 1)



J

(



s

J x ( ) s

s

Theo định nghĩa:

 ) x

2

J



J

2  1

2 1

Và tính chất hàm Bessel:

 

  

  



2

   

  

2

2

 ( ) k

 ( ) q



 ( ) q

C

n n l ,

n l ', '

n l n l ', ' , ,

   k q n  





  

 

n l n l , , ', '

  



        2       k q ( ) k   )

 

(

    k q   )

  

 

(

.

  k  ( ) k

n l ', '

n l ,

n l ', '

n l ,

   

  



Ta có:

    

 

(1.51)

Nguyễn Thị Quyên 20

Sử dụng:

 + Chọn chiều vecto q

 trùng với chiều vecto k

Luận văn tốt nghiệp 2011

(trùng với trục của dây).

2

2

 k



exp



 k



exp







n n l ,

 n l .

c  n l ,









 2

k * m

1 k T B

  

  

  

  

 

,Bk T

+ Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:

Trong đó: kB là hằng số Boltzmann.

dk

k

L    2  

+ Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân: 

Với L là chiều dài dây;



(

z

)

1, 0,

z z

 

0 0 .

   

+ Sử dụng tính chất của hàm Delta:

Thực hiện tính toán ta thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với

2

*

2

 q



(

)



C

 q

(

)



 q

(

,

  )

n l n l ', ,

,

'

n l n l , ',

,

'

2



L m 5  q 4

 

n l n l ', ,

,

'

*

2



e x p







a

2   

.

c n l ',

'

2





  2

m 2 q

trường hợp hấp thụ một photon như sau:

  

  

(1.52)

2

2



a











c n l ,

c n l ',

'

  q

* ;

 2

q m

 

/2



  q

   q



 ( , q

  )

e

exp





sh

 



n l n l , , ', '

Trong đó:

   2

2

  

  

  

    

/ 2



  q

   q

.



e

exp



sh

 

*  m a 2  q

2

* m a  2  q

   2

  

  

  

  

(1.53)

Nguyễn Thị Quyên 21



q  

Luận văn tốt nghiệp 2011

2

l



 ( , q

      ) e q

sh

 









exp





n l n l , , ', '

* m a   2  q

   2

* m a   2  q

   2

  

  

  

  

  / 2 exp  

  

2

l

     e q

sh

 



/ 2

sh



.





Từ công thức (1.53) ta thấy, trong trường hợp giới hạn , ta được:

* m a   2  q

   2

  

  

(1.54)

k





  q

 c c    , n l n l ', '



* q m  2  q 2

* m    q

Điều kiện xung lương k:

 ( ) 0 q 

Thay công thức (1.54) vào (1.52) ta được biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (do

2

2



 ( ) q



 

 ( ) q

C



exp





a

2   

n l n l , , ', '

c  n l ', '







* 2  Lm 2 5  2  q

*  m 2 2  2 q

n l n l , , ', '

  

  

   q

exp

sh



.

 c c    , n l n l ', '



) [8]:

1 

2

*  m 2 q

     q 

  

  

  

(1.55)

1.2.4. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hâp thụ nhiều photon.

 q



 q





 q

.













 1

 2

Xuất phát từ biểu thức (1.50), viết lại nó ở dạng:

(1.56)



2



J

(

)



 q

)



(

C

(

 q

)



 1

'





2 s



 

n l n l ', ,

,

'

s



    k

(

  k

(

 q



)





)





   s



n

, n l n l ', ,  k



(

 q

n l ',

'

n l ,

 )  



n l ',

'



k

Trong đó:



2



J

(

)



 q

)





(

C

 q

(

)



2

'





2 s





 

n l n l ', ,

,

'

s

  



 k

(

)





 k

(

 q



)





   s

.



n

, n l n l ', ,  k

(

n l ',

'

n l ,

n l ',

'

 )  





k

(1.57)

(1.58)

Nguyễn Thị Quyên 22



1

Luận văn tốt nghiệp 2011

 

2



E



   

E s

J





2 s

Khi hấp thụ nhiều photon (trường laser mạnh), đối số của hàm Bessel lớn: .



2

s

    

   



E



z ( )

z z

 

0 0.

1,    0, 

(1.59) Sử dụng biểu thức biến đổi:  2   2  

2

2











 k

k *





n l ,





c n l ,

2

m

 k



e



e

e .

.

n ln

,





Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi:

(1.60)



...

dk







  ...



L  2

 k



Sử dụng công thức chuyển tổng thành tich phân:

*

2

2







c n l N M ,

 q

)



(

C

 q

(

)



e



 1

n l n l , ',

,

'



 

L N

2

n l n l , ',

,

'



s



s

*





I

2

M N



.

s







 s

1/ 2 !

  

 M

  

s



0

Thực hiện biến đổi phương trình (1.57), (1.58). ta được:

2

2

2



M













N



c n l ,

c n l ',

'

  q

*

q *

(1.61)

 2

q m

 m

Trong đó:

*



k

 













c n l ,

c n

',

l

'

 q

 



Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

m 2 

q 2

q

(1.62)

*

2

2







c n l N M

,

1

 q

)





(

C

 q

(

)



e



2

n l n l , ',

,

'



 

L N

2

n l n l , ',

,

'

s





s

*





I

2



.

s

M N 1







 s

1 / 2 !

 M

   

1

   

s



0

Mới đóng góp vào (1.61)

(1.63)

Nguyễn Thị Quyên 23

2

2

2



M













N



1

c n l ,

c n l ',

'

  q

q *

Luận văn tốt nghiệp 2011

 q *2 m

 m

Trong đó:

*

k

 









 

c n l ,

c n l ',

'

 q

 



Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

m 2 

q 2

q

(1.64)

mới đóng góp vào (1.63)

*

2

 q

 (

)



exp

C

 q

(

)



n l n l , , ',

'



Lm  3  2 q

* 2 m   2 2  q 2

n l n l , , ',

'

  

  

s

















n l ,

n l ', '



2 2 q *

2 2 q *

   s 1/ 2 s !

 M

1

   

m

2

m

2

s



0

   

   

   

   

           

Kết hợp (1.61), (1.63) và thay vào (1.56) ta được [8]:

(1.65)

*

2





exp







  x



  x

c  n l ,

c  n l ', '

   q

2

 c  n l ,



m  2  2 q

  

  

s



I



  x

s

c  n l ', '

   q

 c  n l ,





   x

*   m 2 2  q

c  n l ,

c  n l ', '

   q

  

  

   

   

Với:

(1.66)

k



   q

 c c    , n l n l ', '



Bất đẳng thức xung lượng của điện tử kết hợp từ (1.62), (1.64) là:

* q m    2  q 2



 

th ì

 q



0



 

n l ,

n l ', '

(1.67)

2 2   q * 2 m

2 2  q * m

  

  

  

  

nghĩa là ta có hệ số Dễ thấy từ (1.65)

gia tăng sóng âm.

Như vậy thông qua Hamiltonian tương tác của hệ điện tử - phonon, sau khi

tính toán ta thu được biểu thức giải tích tổng quát của hệ số gia tăng sóng âm, hệ số

gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ 1 photon, trong trường hợp hấp thụ

nhiều photon, và điều kiện xung lượng của điện tử tham gia phải thỏa mãn, điều

kiện xảy ra gia tăng sóng âm.

Nguyễn Thị Quyên 24

Luận văn tốt nghiệp 2011

1.2.5. Hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

  x

  y

L y

U

x y ( ,

)

L ,0 x  y L

khi x>L , x

y

0 khi 0     

Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:



 y L

0 khi x L , x



x y z ( , , )

ik zz

n l k , ,

e

sin(

)

sin(

) khi 0 x

 

, 0

 

y L

z

L x

y

y  n y L

2 L

 n x L x

y

1 L z

2 L x

y

     

Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng:

n n ( )    kz  n nx , y  2  2 2 2 k z m e 2 2  m e 2 x 2 L x 2 y 2 L y        

2

 n n

'

32

4 

'

c





    1

 os q



q L nn x

x

L x

x

I





n l n l , , ', '

2

2

4

2

2

2

2

2

q



2  2

q



n

'



4 

n



n

'







L x

x

L x

x







  

  

2

l



l

'

32

4 

'

L

    1

q L ll y y

y

y





 c os q





.

2

4

2

2

2

2

2

Thừa số dạng được cho bởi:

q

L



2  2

q

L

l



l

'



4 

l



 n  2 l '

y

y

y

y











 1    1  



  

  

(1.68)

Thay vào biểu thức (1.55) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp

2

*

2

 q



(

)

 

C

 q

(

)



n l n l , ',

,

'

2



 L m 5   q 2

n l n l , ',

,

'

2

2

2

2

*



  q

2

2





ex p









a





   

*

2

 2

 m

n L

l L

  2

m 2 q

2

2 x

2 y

   

   

   

   

 





  q





ex p





sh





* m a  2  q

  2

2

thụ một photon như sau:

  

  

  

  

  





  q





exp



sh



* m a  2  q

  2

2

  

  

  

       

(1.69)

Nguyễn Thị Quyên 25

Trong đó :

2

/2

2

2

2

n



l



a







 



n 2

2' l 2

2 2   2 * m

 q z m 2 *

L

L x

y

   

   

Luận văn tốt nghiệp 2011

*

*

2

/2

2

n



l



k











Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ một photon như sau:

n 2

2' l 2

  q 

q m  q 2

2  m 2 *

m  q

L

L

x

y

   

   

   

   

(1.70)

Thay vào biểu thức (1.65) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp

*

2

 q



(

)



ex p



L m  3  2 q

* m   2 2  q 2

  

  













 

n l ,

n l ',

'

 

2 2 q *

2 2 q *

   s s

1/ 2 !

m

2

m

2

s



0

   

   

   

   

   

   

thụ nhiều photon như sau [8]:

(1.71)

s









  x

n l ,

2

/2

2

n



l





  x

   q

n 2

2' l 2

2 2   2 * m

L

L x

y

   

   

       

       

2

*

2

2

2

/2

2

n

l

n



l





exp











  x



   q

2

2

2

n 2

2' l 2

2   2 * m

 m 2  2 q

2 2   2 * m

L

L

L x

y

L x

y

   

   

   

   

   

   

    

    

*

2

/2

2

n

l



I



s

  q

2

n 2

2 ' l 2

 Lx

 Ly

   

    x  

 2 2     m   2  2 * q m 

   

    

    

Trong đó :

2

/2

2

n



l



k





   

 q

Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ nhiều photon là:

n 2

2' l 2

* q m    2  2 q

2 2   2 * m

L

L x

y

   

   

   

   

(1.72)

Nguyễn Thị Quyên 26

Luận văn tốt nghiệp 2011

 Khi tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình

chữa nhât hố thế cao vô hạn (chưa kể đến giam cầm phonon) và sử dụng biểu





J

   l

 

,



   

  



2 l



    

 

1 2

l



   

     

thức gần đúng [10,16,17]

2

2





 G q

 ( ) C q  , '

      q



  



2  * 2 m

m * 2  q

q 2

 , '

L m * z 3  q 2 z

  

  

   

       F '   

       

 1   1    

  exp    

2





      q



  

2  * 2 m

m * 2  q

q 2

  

  

   

       F   

       

  exp   

1      1      

cho trường hợp hấp thụ nhiều photon. Ta có [24]:

(1.73)

C

)



  ,

' (

 q

  

q V

2

s

 

Trong đó:

  e q E 0  m *

n

'

n

'

2 y

2 y

2 x

2 x

 







     '

2 2   2 * m

 n 2 L x

 n 2 L y

   

   

;

(với nx, ny là chỉ số giam cầm điện tử theo hai phương x,y).

Nguyễn Thị Quyên 27

Luận văn tốt nghiệp 2011

CHƯƠNG 2.

HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC ẢNH HƯỞNG LÊN PHỔ NĂNG LƯỢNG

CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ

CAO VÔ HẠN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON

GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ

2.1. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

2.1.1. Sự lượng tử hóa do giảm kích thước.

Trong các cấu trúc bán dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một tọa độ với một vùng rất hẹp không quá vài trăm A0 và nếu chiều

rộng này so sánh được với chiều dài bước sóng De Broglie của hạt dẫn thì một loạt

các hiệu ứng vật lý mới được gọi là hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện, làm biến

đổi hầu hết tính chất điện tử của hệ và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện

làm theo các nguyên lí hoàn toàn mới.

Xét ví dụ, tính chất của điện tử trong vùng dẫn (gọi là điện tử dẫn) trong một

màng mỏng với chiều dày a . Vật liệu của màng (kim loại hoặc bán dẫn) đóng vai

 . Cơ học lượng tử cho thấy rằng năng lượng của điện tử trong hố đó bị lượng tử

trò hố lượng tử đối với điện tử chiều rộng a và chiều sâu có giá trị bằng công thoát

hóa, và chỉ có một số các mức năng lượng gián đoạn En (n=1,2…) được gọi là các

mức lượng tử hóa do giảm kích thước. Vì giá trị thông thường của  khoảng 4 – 5

eV, lớn hơn năng lượng nhiệt kBT (kB là hằng số Boltzmann; T là nhiệt độ của hệ)

của hạt dẫn vài ba bậc, hố lượng tử trong ví dụ đang xét có thể được coi là sâu vô

hạn (hình 2.1).

Nguyễn Thị Quyên 28

Luận văn tốt nghiệp 2011

Hình 2.1: Phổ năng lượng của màng mỏng lượng tử hóa do giảm kích thước.

Hàm sóng của điện tử trong trường hợp này cho các trạng thai En được xác





sin

  z

n

2 a

 n z a

  

 .  

đinh bởi biểu thức:

(2.1)

2

2

2

E



n

2 .

 2

m

 *

n a

Và các mức năng lượng tương ứng:

(2.2)

ở đây m* là khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn.

Trong các dạng cấu trúc lượng tử hóa do giảm kích thước khác, hố thế giới

hạn có chiều sâu xác định và nói chung, độ dốc không tạo thành với chiều tọa độ

giới hạn một góc vuông. Do đó, mặc dù kết luận chung về sự lượng tử do giảm kích

thước vẫn có giá trị nhưng không thể áp dụng biểu thức (2.2). Trong trường hợp

chung như là hệ quả của nguyên lý bất định, ta dùng biểu thức đánh giá định tính

2

~nE

2

 m a

cho các mức năng lượng như sau:

(2.3)

Như vậy ta thấy biểu thức (2.2) chính là trường hợp riêng của biểu thức (2.3).

Nguyễn Thị Quyên 29

Luận văn tốt nghiệp 2011

Kết luận về sự lượng tử hóa năng lượng, cũng như biểu thức cho En nêu ở

trên chỉ đặc trưng cho chuyển động dọc theo phương pháp tuyến với mặt phẳng của

hố thế năng (dọc theo tọa độ trục 0z). Chuyển động trong mặt phẳng xy (song song

với mặt phẳng hố thế năng) không bị ảnh hưởng bởi hố thế năng. Trong mặt phẳng

đó, các hạt dẫn chuyển động giống như các hạt tự do và được đặc trưng tương tự

như trong vật liệu khối bởi dạng parabolic của phổ năng lượng liên tục với khối

lượng hiệu dụng m*. Năng lượng tổng cộng của hệ lượng tử hóa kích thước là phổ

kết hợp gián đoạn - liên tục, thành phần gián đoạn mô tả theo hướng có sự lượng tử

hóa, còn thành phần liên tục có quan hệ với chuyển động trong mặt phẳng của hố

p

p



2 y



,

 E E n

2 x m 2 *

thế:

(2.4)

Với px, py là các thành phần động lượng tương ứng. Sự biến đổi phổ năng

lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kểt trong tất cả tính chất điện tử của hệ

p



p

2 y

so với các mẫu khối. Lưu ý rằng do có thành phần liên tục của phổ năng lượng

2 x 2

m

*

các điện tử thuộc về cùng một mức năng lượng En có thể có giá trị năng

lượng bất kì trong khoảng En tới vô cực (hình 2.1). Tất cả các trạng thái có cùng giá

trị n xác định đã cho thường được gọi là thuộc về vùng con lượng tử hóa do giảm

kích thước.

Ta thấy, để sự lượng tử hóa phổ năng lượng trong các cấu trúc thấp chiều có

thể tồn tại trong mọi hiệu ứng quan sát được thì khoảng cách giữa các mức năng

E

E



lượng En+1 – En phải đủ lớn. Trước hết giá trị này phải lớn hơn đáng kể năng lượng

 

1n

n

k T B

nhiệt của hạt dẫn: (2.5)

Vì trong trường hợp ngược lại, sự lấp đầy hầu hết các mức lân cận và các

chuyển mức của điện tử thường xảy ra giữa chúng sẽ ngăn cản quan sát các hiệu

fE , điều kiện

E



E



E

ứng lượng tử. Nếu khí điện tử suy biến và có mức năng lượng Fermi

2

f

1 .

sau cần có: (2.6)

Nguyễn Thị Quyên 30

E



E



Luận văn tốt nghiệp 2011

f

E n

n

 1

Trong trường hợp giới hạn ngược lại, khi về nguyên tắc có

thể quan sát được hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước, nhưng biên độ tương

đối thu được rất nhỏ. Còn tồn tại thêm một điều kiện cần thiết để hiệu ứng lượng tử

hóa do giảm kích thước có thể thấy được. Trong các cấu trúc thực tế, hạt dẫn luôn

luôn bị tán xạ bởi tạp chất, phonon…Xác suất tán xạ được đặc trưng bởi thời gian



phục hồi động lượng  , là đại lượng tỉ lệ thuận với một đặc trưng khác của hạt dẫn,

 e * m

,

độ linh động của hạt dẫn . Thời gian phục hồi , được định nghĩa là thời

n p p ,x

y



 

. Theo nguyên lý bất định, giá trị hữu hạn của gây ra trong gian sống trung bình của hạt dẫn ở trạng thái lượng tử với bộ các số lượng tử xác định đã cho 

 

việc xác định giá trị năng lượng ở trạng thái đã cho sai số vào cỡ E . Tất nhiên

việc tính toán dựa trên cơ sở các mức năng lượng gián đoạn phân cách nhau trong

E

E



.

  1

n

n

  e  * m 

hệ đang xét chỉ có nghĩa khi khoảng cách giữa hai mức liên tiếp thỏa mãn:

(2.7)

Có thể thấy biểu thức (2.7) tương đương như điều kiện quãng đường tự do

trung bình của hạt dẫn phải lớn hơn chiều dày của màng mỏng a . Theo cơ học

lượng tử, sự lượng tử hóa các mức năng lượng xảy ra đảm bảo các hạt chuyển động

tuần hoàn. Tuy nhiên, điều này chỉ xảy ra khi tán xạ đủ yếu sao cho khoảng cách

giữa hai lần tán xạ, hạt dẫn đã kịp thực hiện vài dao động, nghĩa là hạt dẫn đã vượt

qua chiều dày màng mỏng vài lần. Từ biểu thức (2.3), ta thấy khoảng cách giữa các

1 2 a

mức lượng tử hóa do giảm kích thước tỉ lệ với . Do đó, để quan sát các hiệu ứng

lượng tử hóa do giảm kích thước đòi hỏi màng mỏng có chiều dày nhỏ, nhiệt độ đủ

thấp, độ linh động hạt dẫn cao và mật độ hạt dẫn đủ thấp [1,12].

Ngoài ra còn phải thỏa mãn thêm một điều kiện của hiệu ứng lượng tử hóa do

giảm kích thước, đó là chất lượng bề mặt cao. Sự phản xạ của hạt dẫn tại bề mặt của

màng mỏng phải gần như là phản xạ gương, hay nói cách khác, thành phần của hạt

Nguyễn Thị Quyên 31

dẫn song song với bề mặt phải được bảo toàn trong phản xạ. Để đảm bảo hạt dẫn

Luận văn tốt nghiệp 2011

phản xạ gương trên bề mặt màng mỏng, chiều dài bước sóng De Broglie D của

chúng phải lớn hơn kích thước đặc trưng của độ gồ ghề, đặc điểm mà bất kì bề mặt

nào cũng khó tránh khỏi. Ngoài ra, bề mặt của màng mỏng không được chứa mật độ

cao các tâm tích điện, nguyên nhân gây thêm các tán xạ phụ đối với hạt dẫn.

2.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ

nhật hố thế cao vô hạn.

Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể được

chế tạo nhờ phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCDV.

Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng

trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai

chiều. Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử có thể được giải dễ dàng

2



H



2  

E

   V r U r 





 2 * m

    

    .  

nhờ giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:

(2.8)

  U r

  V r

Trong đó là thế năng tương tác của điện tử, là thế năng giam giữ điện tử

do sự giảm kích thước; m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử (ta giả thiết rằng z là

chiều không bị lượng tử hóa).

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được

đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Với mô hình dây lượng tử hình

chữ nhật có các kích thước ba trục lần lượt là Lx, Ly, Lz (Lz >> Lx, Ly). Giả sử thế

giam cầm điện tử cao vô hạn theo cả hai hướng vuông góc x và y:

  x

  y

L y

V x y ( ,

)

L ,0 x  y L

khi x>L , x

y

0 khi 0     

Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:

(2.9)

Nguyễn Thị Quyên 32

Luận văn tốt nghiệp 2011



 y L

y



x y z ( , , )

  , , n p

 ipz e

sin(

)

sin(

) khi 0 x

 

,0

 

L x

y L y

  y L

 n x L x

y

2 L y

2 L x

1 L z

0 khi x L ,  x     

Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng [21]

(2.10)

2

2

2

2

2

 p

)



(







 n

,

 p 2 * m

2   2 * m

n 2 L x

 2 L y

   

   

Và phổ năng lượng của điện tử:

0, 0,



p





z

Trong đo: n, ℓ là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y,  p là vecto sóng của điện tử,

R

iq r

I

e





r d r

  r

  r









n

,

,

n

',

'

* n

',

'

n

,

 

0

Thừa số dạng được cho bởi [26]:

Lấy tích phân theo toàn bộ thể tích dây lượng tử và bỏ qua quá trinh

2

 n n

'

4

32



'

1

c

L





  



 os q



q L nn x

x

x

x

I









n

,

,

n

',

'

2

2

4

2

2

2

2

4

2

2

q

L



 2

q

L



n

'





n



n

 n







x

x

x

x







  

  

2

  

'

4



32



'

1

c

L

  



q L y

y

y

y





 os q



.



2

4

2

2

2

2

2

4

2

2







q

L



 2

q

L



'







'   '

y

y

y

y











 1    1  



  

  

Umklapp, trong trường hợp không kể đến giam cầm phonon, chúng ta được:

2.11)

2

I

(

q

)



 ( 2 )

1

6

P

/

q

, m k   ,

'

z

2 m k ,



m k ,



1

2

2

2

q



q



(

m



/

L

)



(

 k

/

L

)

Khi kể đến giam cầm phonon, ta có [18]

2 z

x

y

L

/2

/2

y

L x



n

y

dx

d y

c os

(

( ) os c

( ) c os

( ) cos

( ) c os

( ) c os

) .

P m k ,

 



 ' L

2 L x

2 L y

 n x L x

  x L y

 ' x L x

y

 m y L x

 k y L y



Lx

/2



Ly

/

2

Trong đó:

Nguyễn Thị Quyên 33

Luận văn tốt nghiệp 2011

2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm trong dây

lượng tử.

Hamilton của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế

 H t H H

( )





cao vô hạn trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai được biểu diễn như sau :

e

H 

e ph

ph

(2.12)

He : là năng lượng của các điện tử không tương tác.

Hph : là năng lượng của các phonon không tương tác.

0

 EE

sin(

 t

)

He-ph : là năng lượng tương tác điện tử- phonon.

Khi có mặt trường sóng điện từ . Hamiltonian của hệ điện tử



H

=

ε

p

-

A(t)

a

+

ωb

+

  t

α

z

+ α,p

α,p

z

z

b m,k,q m,k,q z

z





e  c

α,p

 m,k,q

  

 a  

z

,



γ

a

a

b (

+b

).

, m k m k I   q ,

'

(q ) z

α,p

m,k,q

+ m,k,-q

z

+ α,p +q z

z

z

z

z



m k q ,

,

α,α',p , z

z

- phonon giam cầm trong dây lượng tử là:

(2.13)

k



Trong đó:

  A t



z

e  c

  

  

: là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài;

: số lượng tử của điện tử. ( Gồm số lượng tử theo phương x và theo phương y)



b

pz :là xung lượng của điện tử theo phương z.

,

m k q ,

,

,

b  m k q ,

,

zka (

z

zka

z

và và ): tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của

điện tử (phonon)

m, k: là số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.



 : là hằng số Planck, e: là điện tích của điện tử;

2





m k , q

: là tần số của phonon âm, c: là vận tốc ánh sáng.

z

m k ,γ q

z

  2 

q V

s

2

2

2

q



q



(

m



/

L

)



(

k



/

L

)

: hệ số tương tác điện tử - phonon âm [18]:

2 z

x

y

(với )

Nguyễn Thị Quyên 34

I

q

)

Luận văn tốt nghiệp 2011

k m ,   ,

' (

z

2

I

(

q

)



 ( 2 )

1

6

P

/

q

, m k   ,

'

z

2 m k ,



m k ,



1

: thừa số dạng, cho bởi [18]:

/2

/2

L y

L x

dx

dy

) ( c os

P m k ,

Trong đó:

 



2 L x

2 L y

   x n x ( ( ) c os os c L L y x

  n x ' ( ( ) ) c os cos L x

  m y y ' ( ) c os L L x y

 k y ) . L y



Lx

/2



Ly /

2

)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu

0





E

sin(



t

)

(2.14)

1 c

tAd )( dt

thức:

Với mục đích thiết lập những phương trình động lượng tử cho phonon giam

cầm trong dây lượng tử khi có mặt của trường bức xạ laser, chúng tôi dùng phương

N

=

b

b

m ,k,q (t)

+ m ,k,q

m ,k ,q

z

z

z

t

trình lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt.

Đặt :

Thiết lập phương trình động cho số phonon ở tại thời điểm t:

 N

t ( )

 i



,

H



(



A t ( )

,



p z

+ a a α,p z

α,p z

  

+  b b  m,k,q m,k,q z z

 

+  b b  m,k,q m,k,q z z

 

t

t

, , m k q z  t

e  c

 ,

  

  

p z



 

,



+ b b m',k',q' m',k',q' z z



+  b b  m,k,q m,k,q z z

 

t

m k ',

q ', ' z



')

,

.

k m ', ' I  , '

q ( z

 a ', 

b a (

,

q 

m k ', ' γ ' q z

p z

m',k',q' z

p z

' z

+ +b m',k',q' z



+  b b  m,k,q m,k, q z z

 

t

 , p ', z ', ' m k q ', z t ( )



N

z





i



I



I



I

Ta có:

1

2

3

, , m k q  t

(2.15)

I



(

p



A t ( )

b

b

,

a

a

1

 

z

+ m ,k,q

m ,k,q

+ α,p

α,p

z

z

z

z



 

t

e  c



,

p

  

    

z

Trong đó:

Nguyễn Thị Quyên 35

I



b

b

,

b

b

.

2

+ m ,k ,q

m ,k ,q

+ m ',k ',q '

m ',k ',q '

z

z

z

z

 

  

 

t

m k q ',

',

'

z

'

'

I



γ

,

+b

3

m k ', q '

m k , ' I  , '

q ( ' ) z

 a  ',

a  ,

p

p



q

'

+ m',k',q'

z

z

z

b ( m',k',q' z

z

z

z



+  b b  m,k,q m,k,q z

 

t

 p ', , m k q ', ',

z ' z



 ab ba

Luận văn tốt nghiệp 2011

,a b

là giao hoán tử của hai toán tử a và b  Tính I1, I2, I3: chú ý 







;



0;



0;

 a a , l k

 a a k l

 a a l k

 k l ,

  a a , l k

 

 

 







;



0;



0;

 b b k l

 b b l k

 k l ,

    b b ,  l k

   

 a a ,  k l  b b ,  k l

 

   b b ,  l k

 

Và các hệ thức toán tử:



,

(*)

,

,

,

,

a a

p

,

 ,

p

 b b m k q m k q z

z

z

z

,

a

a

0

là các toán tử sinh hủy hạt khác loại - Tính I1: Vì

+ α,p

α,p

+ b b m,k,q m,k,q z

z

z

z

 

  

nên chúng giao hoán với nhau, nên:



I

,

.

2

+ b b m,k,q m,k,q z

z

+ b b m',k',q' m',k',q' z z

Ta có I1=0

  

 

t

m k q ',

',

'

z

- Tính I2:  

 ( a a -a a k

  k l

l

lk

,



 b

b

b

b

,

,

,

,

',

',

',

',

'

',

',

',

',

,

,

,

'

'

,

,

,

,

',

',

',

',

  b b m k q m k q m k q m k q

 b b m k q m k q ' z

z

 b m k q m k q m k q m k q ' , z

z

z

z

' z

z

z

z

  b b  m k q m k q z z

  







'

'

,

',

',

'

,

,

',

q q , z z

 b m k q , , z

 b b m k q m k q ' z z

z





'

'

'

,

',

 b b m k q m k q

',

,

,

',

z

q q , z z

b m k q , , z

' z

z







b     ' m m k k ,     ' m m n k ,  b b m k q m k q

',

',

',

,

,

'

 b m k q ',     ' m m k k ,

,

'

'

',

,

,



z

z

q q , z

z

 b b m k q m k q ' z z

 b

b





 b

b

',

',

',

',

,

,

,

,

'

',

',

',

',

,

,

,

,

z

z

 b b m k q m k q m k q m k q ' z

z

z

' z

' z





 b b m k q m k q

',

',

',

,

,

'

',

,

,

  k k , , m m '

q q

,

'

'



z

z

 b b m k q m k q ' z z

z

z

 b m k q ',   b b m k q m k q m k q m k q z  0



Sử dụng hệ thức toán tử cho toán tử sinh hủy ) ta có :

vậy I2=0.

Nguyễn Thị Quyên 36

'

'



γ

I

,

3

m k ', q '

' m k , I  ' ,

q ( ' ) z

 a  ',

a  ,



q

'

z

z

p z

b ( m',k',q' z

p z

z

+ +b m',k',q' z

Luận văn tốt nghiệp 2011

+  b b  m,k,q m,k,q z

 

t

 p ', , z m k q ' ', ', z

- Tính I3: 

b

,

(

b

+b

)

m,k,q

 a 

',

p



q

'

a 

,

p

m',k',q'

+ m,'k',-q'

z

z

z

z

z

z

z

 

b

b

+b

)

+ m,k,q

m,k,q

m',k',q'

+ m,'k',-q'

 a 

',

p



q

'

a 

,

p

z

z

z

z

z

z

z

 

b

b



b

b

b



Áp dụng hệ thức toán tử, ta có:

',

p



q

'

a 

,

p

+ m,k,q

m,k,q

m ',k',q'

+ m,k,q

m ,k,q

+ m ',k',-q'

b , (  b

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+



b

b



b

b

m',k

b ',q' m,k,q

m ,k,q

m,k,q

z

z

z

+ b m',k',-q' m,k,q z

z

z



b

b



    (

)



 a  ',

a  ,

'

p z

 p q z

z

z

z

+ b m,k,q z

m,m' k,k' q ,-q' z

z

 (   

b

b ) m,k,q

+ + b b - m',k',-q' m,k,q m,k,q

+ b +b m',k',-q' m,k,q z z 

m,m' k,k' q ,q' z

z

 + b m,k,q m,k,q m',k',q' z + b +b m,k,q m',k',q' z

z

z

z

z

z



  

-

b

  

 a 

',

p



q

'

a 

,

p

+ m ,k ,q

m ,m '

k,k'

m ,k ,q

m ,m '

k ,k'

 b



z

z

z

z

q ,q ' z

z

z

q ,-q' z

z

'

'

γ

,

m k ', q '

m k ', I  ,  '

q ( ' ) z

 a  ',

a  ,

'

  I 3

z

p z

b ( m',k',q' z

 p q z

z

+ +b m',k',q' z



+  b b  m,k,q m,k,q z z

 

t

 , ', p z m k q ' ', ', z





m k , I  ' ,

 q a ( )  z ',

, k m I   ' ,

  ( q a ) ',  z

 .

 m k ,  γ q z

a b  p , m,k,q z z

m k , γ  q z

p z

 q z

 p q z z

+ a b  p , m,k,q z z



 ,  , '

p z

+  b  m ,k,q      a 

t ( )

 N



 i



, mk I  ' ,

 q a ( ) ',  z

, mk I  ' ,

  ( q a ) ',  z

a b  p , m,k,q z z

 p q z z

mk , γ q z

 p q z z

 a a , m,k,q  p z z



t

t

 mk ,  γ  q z

 

 , ',

p z



mk q t ( , ,

* mk q t ( , , , )



 2.16

, mk I  ' ,

, k m I  ' ,

z

z

 p q  ', q F ( ) z z  , z p z

mk ,  , ) γ q z

 , p  ( q F ) z   ' z q p , z z

, , mk q z  t 

mk ,   γ  q z

 . 

zp , ',

*

*

z

(

m k q t , ) ,

,



b

.

Thay I1, I2, I3 thu được vào (2.15)) ta được:

 , F  ',

p p



q

z

 a 

,

p

a 

',

p



q

m ,k,q

z

z

z

z

z

z

t

Trong đó :

Nguyễn Thị Quyên 37

F

(

m k q t , ) ,

,

Luận văn tốt nghiệp 2011

z

x P , 1 y P , 2

 F m k q t , ) ( ,

,

z

, x P 1 y P , 2

 i

,

H

y,p 2

m k q , , z

+    a a b x,p 1

 

t

 t



(



A t ( )

,



+ a 

a 

  1

p z 1

+ a a b x,p 1

y,p 2

m k q , , z



,p 1 z 1

,p 1 z 1

 

t

e  c

,

  

    

 1

p z 1

 

,





+ b m

b m k q , , z

y,p 2



b q m ,k , 1 1 z 1

q ,k , 1 1 z 1

 + a a  x,p 1

 

t

,

m k q , 1 1 z 1



)

,



.(2.17)

'

b ( m

k m , I 1 1   , 1 1

q ( z 1

y,p 2

m k q , , z

a  1



m k , γ 1 1 q z 1

+ a  ' ,p 1 z 1

,p z 1

 q z 1

q ,k , z 1 1 1

 b m k q , , 1 1 z 1

 + a a b  x,p 1

 ) 

t

  p ', , 1 z 1 1 m k q , , z 1 1 1

 F

(

m k q t , ) ,

,

z

x P , 1 y P , 2





i



.

  T T 1 2

T 3

 t

 Tương tự ta viết phương trình động cho:



(

p



A t ( )

a

a

,

(2.18)

T 1

y,p

b mnq

,p

,p

  1

z 1

+ x,p 1

2

z

+ a  1

a  1



z 1

z 1

 

t

e  c

,

p

  

    

 1

z 1



a

a

,

T 2

y,p

b m k q ,

,

q

q

+ x,p 1

2

z

+ b m 1

b m 1

,k , 1

,k , 1

Trong đó :

z 1

z 1

  

 

t

,

m k q , 1

1

z 1



γ

(

)

,



)

.

T 3

m k , I 1 1  , '

m k q ,

,

+ a 



,p

q z 1

+ a a b x,p 1

y,p 2

z

' ,p 1

a  1

b ( m 1

,k , 1

 b m 1

,k , 1



m k , 1 1 q z 1

q z 1

z 1

z 1

q z 1

q z 1

 

 

t

  p , ', 1 1 z 1 k q m , , z 1 1 1

 

 Tính T1, T2, T3 (chú ý các hệ thức toán tử (*)).

,

(



)

,

y,p

,p

,p

b m k q ,

,

y,p

,p

,p

,p

,p

y,p

+ a a x,p 1

b m k q , z

+ a  1

2

a  1

z

+ a a xp 1

2

+ a  1

a  1

+ a  1

a  1

+ a a xp 1

2

z 1

z 1

z 1

z 1

z 1

z 1

 

  



a



a

)





a

)

a

b m k q ,

,

,p

y,p

,

,

,

yp

,p

z

+ xp 1

  ( y ,  1

p p , 2

+ a  1

2

a  1

+ a  1

  ( , x  p 1

p 1

+ x p , 1

a  1

2

z 1

z 1

p z 1

p z 1

z 1

z 1

 

 





b m k q , ,

p p ,

,p

,p

a y,p

,

z

+ a a  x,p 1 1

  ,  x p 1

+ a  1

2

p 1

z 1

z 1

z 1

z 1

    ,  y 1

 

(



A t ( )

,

  T 1

y,p

m k q ,

,

,p

,p

  1

p z 1

+ a a b x,p 1

2

z

+ a  1

a  1



z 1

z 1

 

t

e  c

,

p

  

    

 1

z 1



(



A t ( )



b m k q ,

,

p p ,

,

,p

a y,p

,

  1

p z 1

z

+ a a  x,p 1 1

  , x p  1

+ a  1

2

p 1



z 1

p z 1

z 1

z 1

    ,  y 1

 

t

e  c

,

p

  

  

 1

z 1

- Tính T1: Ta biến đổi:

Nguyễn Thị Quyên 38



(



A t ( )



(



A t ( )

.

p 2

,

y,p

 x

p 1

b m k q ,

,









b m k q , z

+ a a x,p 1

2

+ a a x,p 1

z

y,p 2

e  c

e  c

  

  

  

  

   y 

t

Luận văn tốt nghiệp 2011

,

b

+ b



b

b

)

, ,

m k q , , z

+ b b m k q m k q , 1 z 1 1, 1 z

, 1 1,

y,p 2

+ a a x,p 1

b ( m k q m k q m k q , , , z 1 1 1

, 1 1

z 1

z

+ b m k q m k q m k q , , , , , , 1 1 z 1 1

z 1

z 1

 + a a b  x,p y,p 1 2







,

,

+ a a x,p 1

y,p 2

m m k k q q , , z 1

1

1

z

   + b b m k q m k q , , , 1 1 1 z z

b ) m k q , , 1 1 z 1

+ b b b k q , , m k q m k q m , , z 1 1

, , 1 1

z 1

z 1

 



 (     (   

b

),

,

,

,

+ a a x,p 1

y,p 2

m m k k q q m k q , z 1 z

, 1 1

z 1

1

1



  T



a

a

b

,

b

b

2

+ x ,p

y,p

m k q ,

,

+ m

q

m

q

1

2

z

,k , 1

1

z

1

,k , 1



1

z 1

 

 

t

,

q

m k , 1

1

z 1







a

a

   (

b

)

+ x ,p

y,p

m m ,

k k ,

q

,

q

,

q

1

2

1

1

z

z

1

m k , 1

1

z

1



t

m k q ,

,

1

1

z 1

 

a

a

b

+ x , p

y , p

m k q ,

,

1

2

z

- Tính T2: Ta có:

- Tính T3:

a

a

,



)

b m k q ,

,

y,p

,

,



q

+ x,p 1

z

2

a z ,p 1

z1

b m k q , 1

1

z

1

 b m k , 1 1

z

1

,p



q

+ a '  1

z1

z

1

  

a

a

a



  

)

y,p

b m k q ,

,

,

,



q

+ x,p 1

2

z

b ( m k q , 1

1

z

1

z ,p 1

z1

 b m k , 1 1

z

1

,p



q

+ a '  1

z1

z

1



a

a

a



y,p

,

,



q

b ) m k q ,

,

z ,p 1

z1

+ x,p 1

2

b ( m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z

,p



q

z 1

z 1

+ a '  1

z1

z

1



a



a



)



y,p

b m k q ,

,

,

,



q

+ ,p x 1

p

,

p



q

2

a z ,p 1

z1

z

b ( m k q , 1

1

z

1

 b m k , 1 1

z

1

,p



q

  ' ,  y 1

+ a '  1

z1

z

1

(



2

z 1

z 1







a

)

a

(



)

,

,

p

,



q

b m k q ,

,

p

,

 , x p 1

a  1

y p , 2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z

,p



q

p 1

z 1

z 1

z 1

+ a '  1

z1

z

1

  (  , x 1

z 1





)



,

,

 a a x p  , 1 1

 b m k , 1 1

b p m k q . , z z 1

b ( m k q , 1 1 z 1

 , q z 1

  ' ,  y 1

 q p p , z 1 z 1 2





,

,

a y p , 2

 b m k , 1 1

b ) m k q , , z

,

p 1

b ( m k q , , 1 1 z 1

 q z 1

   , x  1

 a '  1

 q z 1

p z 1

p z 1







,

,

,

+ a a  x,p 1 1

a y p , 2

b ( m k q , , z

 b m k , 1 1

 ) ( b m k , 1 1

 b m k , 1 1

b ) m k q , , z

,

b ( m k q , , z 1 1 1

p z 1

q , z 1

 q z 1

 q z 1

 q z 1

p z 1

  

  a  '   1 T

Nguyễn Thị Quyên 39



a

b

(



b

)



+ x,p

,

p

m k q ,

,

,

,



q

a  1

1

z

b m k q , 1

1

 m k , 1 1

p

,

p



q

z 1

z 1

z 1

z

1

  ' ,  y 1

2

z 1



a

(

b



b

)

b



y p ,

,

,



q

m k q ,

,

p

,

2

m k q , 1

1

 m k , 1 1

z

,

p



q

p 1

z 1

z 1

   , x 1

 a '  1

z

1

z 1

z 1



a

a

.

    m m k k

,

,

q

,

q

+ x,p

,

p

y p ,

1

1

z

a  1

1

2

,

p



q

z 1

z 1

 a '  1

z

1

z 1

)

,



.

  T 3

+ a 

a 

m k , I 1 1   , ' 1 1

q ( z 1

m k q , , z



m k , γ 1 1 q z 1

' ,p 1 z 1

 q z 1

,p 1 z 1

b ( m q ,k , 1 1 z 1

 + a a b  x,p y,p 1 2

 ) 

 b m q ,k , 1 1 z 1

t

  p ', , 1 1 z 1 m k q , , z 1 1 1



)



)



,

,

m k , I 1 1   ' , 1 1

q ( z 1

+ a a  x,p 1 1

 b m k , 1 1



m k , γ 1 1 q z 1

b p m k q , , z z 1

b ( m k q , 1 1 z 1

 , q z 1

  ' ,  y 1

 q p p , z 1 z 1 2

  p ', , 1 1 z 1 m k q , , z 1 1 1



.

     m m k k ,

,

,

,

a y p , 2

 b m k , 1 1

b ) m k q , , z

1

1

+ a a  x,p 1 1

a y p , 2

,

,

p 1

b ( m k q , , 1 1 z 1

 , q z 1

q q , z z 1

p z 1

   ,  x 1

 a '  1

 q z 1

 a '  1

 q z 1

p z 1

p z 1

p z 1



γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

+ x,p

,

p



q

b m k q ,

,

,

,



q

, m k 1 1  y , 1

z 1

a  1

1

2

z

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

m k q , 1

1

 , 1

z 1



γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

' ,



q

y p ,

,

,



q

b m k q ,

,

m k , 1 1  x ' , 1

z 1

 a  1

p 1

2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1



γ

(



q

)

a

a

m mk , I  q

'

z

,

p

y p ,

k ,   , 1 1

z

+ x,p 1

a  1

2

,

p



q



z 1

 a '  1

z

t

z 1

,

p

'   , 1 1

z 1

Luận văn tốt nghiệp 2011

 F

(

m k q t , ) ,

,

z

x P , 1 y P , 2





i

 t



(



A t ( )



(



A t ( )



p 2

b m k q ,

,

y,p

 x

p 1

b m k q , ,

y,p









+ a a x,p 1

z

2

+ a a x,p 1

z

2

e  c

e  c

  

  

  

  

t

   y 



 



γ

(

)



)



y,p

,

m k , 1 1 q

b q m k q

,

,

,



,

,



q

+ a a x,p 1

2

b m k q , z

k m , I 1 1  y , 1

q z 1

+ a a  x,p 1 1

b ( m 1

z

p 2

 b m k , 1 1



z 1

z 1

k q , 1 z 1

z 1

t

,

m k q , 1

1

 , 1

z 1



γ

I

(

)

a





m k , 1 1 q

, '

,

 b m

,



q

,

m k , 1 1  x ' , 1

q z 1

 a  1

 p q 1

y p , 2

1

k , 1 1

b ) m k q , z



z 1

z 1

b ( m k q , 1 z 1

z 1

t

,

'

m k q , 1 1

 , 1

z 1

γ

(

)

a

.

 q z

'

,

p

m k ,  q z

m k , I   , 1 1

+ a a  x,p 1 1

y p , 2

,

p



q



z 1

 a '  1

z

t

z 1

,

 '   , 1 1

p z 1

Thay T1, T2, T3 vừa tính vào phương trình (2.18) ta có:

Nguyễn Thị Quyên 40



F

(

m k q t , ) ,

,

z

x P , 1 y P , 2





i



t



(

p



A t ( )



(



A t ( )



F

(

m k q t , , )

,



2

 x

p 1

z

x P , 1 y P , 2

e  c

e  c

  

  

  

   y 

    



γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

,

p



q

b m k q ,

,

,

,



q

m k , 1 1  y , 1

z 1

+ x,p 1

a  1

2

b m k q , 1

1

z

 b m k , 1 1

   

z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

,

q

m 1

k 1

 , 1

z 1



γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

' ,



q

y p ,

,

,



q

b m k q ,

,

k , m 1 1 '  x , 1

z 1

 a  1

p 1

2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1



γ

I

(



q

)

a

a

m k ,  q

'

z

,

p

y p ,

z

m k ,   , 1 1

+ x,p 1

a  1

2

,

p



q



z 1

 a '  1

z

t

z 1

,

p

 1

'  , 1

z 1

Luận văn tốt nghiệp 2011

2

2

(

p

)





(2.19)

 x

c  x

 p 2 * m

Trong đó: ta có

2 

2 

A t ( )



A t ( )



p 2

p 1

  

2   

  

2   





A t ( )





A t ( )





 y

p 2

 x

p 1

c    y

c  x

e  c

e  c

e  c 2 * m

e  c 2 * m

  

  

  

  

     

     









c c      y x

2 p 2

2 p 1

p 1

 p A t ( ) 2

2  2 * m

 e * m c



















 y

p 2

 x

p 1

p 1

 p A t ( ) 2















 y

p 2

 x

p 1

q A t ( ) z

2  2 * m  e m c *  e * m c

(





p

),

zq

p 1

2

Với m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử.

(2.20)

Thay (2.20) vào (2.19) ta có:

Nguyễn Thị Quyên 41



F

(

m k q t , ) ,

,

z

x P , 1 y P , 2





i



t







(

p

)



(

p

)



A t ( )





F

(

m k q t , ) ,

,



y

 x

1

2

z

x P , 1 y P , 2

 eq z m c *

 

  

1

1



b

γ

(

q

)

a

a

(

b



b

)



m k , 1 q

m k , I 1 y ,

+ x ,p

,

p



q

m k q ,

,

m k q ,

,

,



q

1

z 1

1

 1

2

z

1

1

 m k , 1

1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

m k q ,

,

1

1

 , 1

z 1

1



γ

I

(

q

)

a

a

(

b



b

)

b



m k , 1 q

'

,

p



q

y p ,

m k q ,

,

,



q

m k q ,

,

m k , 1 1  x ' , 1

z 1

  1

1

2

1

1

 m k , 1

1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

q

'

m k , 1

1

 , 1

z 1



γ

I

(



q

)

a

a

a

a

m k ,  q

'

z

+ x,p

,

p

y p ,

z

m  1

k ,  , 1

1

 1

2

,

p



q



z 1

 '  1

z

t

z 1

,

p

'   , 1 1

z



F

(

m k q t , ) ,

,

z

x P , 1 y P , 2





t







(

p

)





(

p

)







F

(

m k q ,

,

t , )



x

1

2

y

q A t ( ) z

z

x P , 1 y P , 2

 

 e * m c

  

  

  

1

1



γ

I

(

q

)

a

a

b

(

b



b

)



m k , 1 q

+ x ,p

,

p



q

m k q ,

,

m k q ,

,

,



q

, m k 1  y , 1

z 1

1

 1

2

z

1

1

 m k , 1

1

i     

z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

q

m k , 1

1

 , 1

z 1

1



γ

I

(

q

)

a

a

(

b



b

)

b



m k , 1 q

'

,



q

y p ,

m k q ,

,

,



q

m k q ,

,

m k , 1 1  x ' , 1

z 1

  1

p 1

2

1

1

 m k , 1

1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

m k q ,

,

'

1

1

 , 1

z 1

1



γ

(



q

)

a

a

a

m k ,  q

'

z

+ x ,

p

y p ,

a

,

p

z

mI k ,   , 1 1

1

2

1

,

p



q



z 1

 '  1

z

z 1

t

,

p

'   , 1 1

z 1

  

Luận văn tốt nghiệp 2011



F

(

m k q t , , )

,

z

x P , 1 y P , 2

t





(

p

)





(

p

)







F

(

m k q t , , )

,



 x

1

2

y

q A t ( ) z

z

x P , 1 y P , 2

 

i 

 e * m c

  

  

  

   



γ

I

(



q

)

a

a



m k ,  q

'

z

+ x ,p

,

p

y p ,

z

m k ,   , 1 1

1

a  1

3

2

,

p



q



 a '  1

3

z

t

,

p

'  , 1

 1

3



γ

I

(

q

)

a

b

(

b



b

)



m k , 1 1 q

+ x,p

,

p



q

m k q ,

,

m k q ,

,

,



q

, m k 1 1  y , 1

z 1

a  1

1

2

z

1

1

 m k , 1

1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

m k q ,

,

1

1

 , 1

z 1

1



γ

I

(

q

)

a

a

(

b



b

)

b

m k , 1 q

k 1 '

' ,

p



q

y p ,

m k q ,

,

,



q

m k q ,

,

m , 1  x , 1

z 1

  1

1

2

1

1

 m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

m

,

k

,

q

'

1

1

 , 1

z 1

  

Hay:

(2.21)

Nguyễn Thị Quyên 42

F

(

m k q t , , )

,



Luận văn tốt nghiệp 2011

  F t

z

x P , 1 y P , 2

Đặt:

0

0

(

)



(

)







F

 Giải phương trình không thuần nhất (2.21), trước hết ta giải phương trình

p 1

 y

p 2

q A t ( ) z

i 

F   t

 e * m c

  

    

     x  

(

thuần nhất: (2.22)

F   . ) 0

0

0



(

)



(

p

)





F

p 1

 y

2

q A t ( ) z

i 

F   t

 e * m c

  

    

     x  

0







(

p

)





(

p

)









t

.

1

2

y

q A t ( ) z

i 

 e * m c

  

  

 F F 0

     x  

Với điều kiện ban đầu đoạn nhiệt:

(2.23)

  , ta có: t

t

t



ln

F





(

p

)





(

p

)



q A t

( )





t

0

x

1

2

y

z

 

i 

 e * m c

  

  

     

 

t

t







(

p

)





(

p

)





d t



q A t d t (

)

x

1

2

y

1

1

z

1

 

 

 





i 

 e * m c

  

 

     

  

t

t

F M

.exp

(

)



(

p

)





  0

p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( ) 1 1

z

  x

  









i 

 e * m c

  

     

  

  

  

Lấy tích phân hai vế (2.23) từ

Trong đó M: là hằng số.

Phương trình (2.21) là phương trình vi phân không thuần nhất, ta giải bằng

phương pháp biến thiên hằng số nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (2.22):

t

t

0

M t F t ( ) ( )



F t ( )



M t

( ).exp

(

)



(

)





p 1

 y

p 2

dt 1

q A t dt ( ) 1 z 1

  x

  









i 

 e * m c

     

  

     

  



(

F t

( ) )

'

'

'





F

t ( )



M t F t ( )

( )



M t F ( )

t ( )



t

Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta có M phụ thuộc thời gian thành M(t) :

Nguyễn Thị Quyên 43

t

t



(

)



(

p

)







q A t dt (

)





' M t

( ).exp

p 1

 y

2

dt 1

1

z

1



  x









i 

 e * m c

  

  

     

  

  

'

t

t



(

)



(

p

)







)



M t

p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( 1

1

z



  x









i 

 e * m c

  

  

     

  

  

  

 ( ). exp  

t

t







' M t

( ).exp

(

)



(

p

)







)

p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( 1

1

z



  x









i 

 e * m c

  

  

  

  

  

  

t

t



(

)



(

p

)







)





M t

( ).

p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( 1

1

z



  x









i 

 e * m c

  

  

     

  

  

t



(

)





(

p

)







exp

p 1

2

y

dt 1

dt 1

 

  x





  

i 

  

     

  

  

  

  

t

t



' M t

( ).exp

(

)



(

)







p 1

 y

p 2

dt 1

q A t dt ( ) 1 1

z

  x

  









i 

 e * m c

     

  

     

  



(

)



(

p

)





F t

( ).

 x

p 1

 y

2

q A t ( ) z

i 

 e * m c

     

    

     

  

Luận văn tốt nghiệp 2011

(2.24)

t

' M t

( ).exp

(

)



(

p

)





)



p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( 1 1

z

  x

  





i 

 e * m c

  

     

  

  

  

(

)



(

p

)





F

(

m k q t ,

, ).

,



 x

p 1

 y

2

q A t ( ) z

z

x P , 1 y P , 2

i 

 e * m c

  

     

    

  

  





(

)





(

p

)





F

(

m k q t , ) ,

,



p 1

y

2

q A t ( ) z

z

x P , 1 y P , 2

i 

 e * m c

   x 

  

   

  



γ

I

(



q

)

a

a



m k ,  q

'

z

+ x,p

,

p

y p ,

z

m k ,   , 1 1

1

a  1

3

2

,

p



q

   

 a '  1

3

z

t

,

p

'   , 1 1

3



γ

I

(

q

)

a

b

(



)



m k , 1 1 q

+ x,p

,

p



q

m k q ,

,

,

,



q

, m k 1 1  y , 1

z 1

a  1

1

2

z

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

q

m k , 1 1

 , 1

z 1

1



γ

(

q

)

a

(

b



b

)

m k , 1 q

I 

m k , 1 1 x ' ,

, '



q

y p ,

,

b m k q ,

,

,



q

1

z 1

 a  1

p 1

2

m k q , 1

1

 m k , 1

1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1

  

Thay (2.24) vào (2.21), ta có:

Nguyễn Thị Quyên 44



' M t ( )



γ

I

(



q

)

a

a



m k ,  q

'

z

,

p

y p ,

z

m k ,   , 1 1

+ x,p 1

a  1

3

2

,

p



q



 a '  1

3

z

t

i 

  

,

p

3

      '   , 1 1

γ

I

(

q

)

a

(



)





m k , 1 1 q

+ x,p

,

p



q

b m k q ,

,

,

,



q

m k , 1 1  y , 1

z 1

a  1

1

2

z

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

m k q , 1

1

 , 1

z 1

γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q



q

y p ,

,

,



q

b m k q ,

,

m k , 1 1  x ' , 1

z 1

 a 1 ,  '

p 1

2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

q

'

m k , 1 1

 , 1

z 1

t

t



exp



(

)



(

p

)





.(2.25)

p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( ) 1 1

z

  x

  









i 

 e * m c

  

     

  

  

     

Luận văn tốt nghiệp 2011

  ta có: t

t



M t ( )



γ

I

(



q

)

a

a



m k ,  q

'

z

,

y p ,

z

m k ,   , 1 1

+ x,p 1

a  1

p 3

2

,



q

 a '  1

p 3

z

t

2

i 

  

  

,



'  , 1

p 3

q

(

)

I

γ

a

(



)





m k , 1 1 q

,

p



q

b m k q ,

,

,

,



q

     1 m k , 1 1  y , 1

z 1

+ x,p 1

a  1

2

b m k q , 1

1

z

 b m k , 1 1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

2

,

m k q , 1

1

 , 1

z 1

γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

' ,



q

y p ,

,

,



q

b m k q ,

,

m k , 1 1  x ' , 1

z 1

 a  1

p 1

2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

2

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1

t

t

2

2



exp



(

)



(

p

)





dt

.

p 1

 y

2

dt 1

q A t dt ( ) 1 1

z

2

  x

  









i 

 e * m c

  

     

  

  

     

Lấy tích phân hai vế phương trình (2.25) từ

t

0

F t M t F

( )

( )





γ

(



q

)

a

a



m k ,  q

'

z

,

y p ,

z

m k , I   , 1 1

+ x,p 1

a  1

p 3

2

,



q

 a '  1

p 3

z

t

2

i 

  

  

,



p 3

    '   , 1 1



γ

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

,

p



q

b m k q ,

,

,

,



q

, m k I 1 1  y , 1

z 1

+ x,p 1

a  1

2

z

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

2

,

m k q , 1

1

 , 1

z 1

,

k 1



γ

I

(

q

)

a

(



)

m 1 q

' ,



q

y p ,

,

,



q

b m k q ,

,

k m , 1 1 '  x , 1

z 1

 a  1

p 1

2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

2

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1

  

t



exp

(

)



(

p

)



(

t



t

)



dt

.

p 1

 y

2

2

q A t dt ( ) 1 1

z

2

  x

  

t



2

i 

 e * m c

     

  

     

  

Ta có:

Nguyễn Thị Quyên 45

Vậy:

t

F t ( )



γ

I

(



q

)

a

a



m k ,  q

'

z

,

y p ,

z

m k ,   , 1 1

+ x,p 1

a  1

p 3

2

,



q

 a '  1

p 3

z

t

2

i 

  

  

,



p 3

    '   , 1 1



γ

I

(

q

)

a

(



)



m k , 1 1 q

, k 1 y

,

p



q

b m k q ,

,

,

,



q

m 1  , 1

z 1

+ x,p 1

a  1

2

z

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1



z 1

z 1

z 1

z 1

t

2

,

m k q , 1

1

 , 1

z 1



γ

I

(

q

)

a

(



)

m k , 1 1 q

' ,



q

y p ,

,

,



q

b m k q ,

,

m k , 1 1  x ' , 1

z 1

 a  1

p 1

2

b m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



z 1

z 1

z 1

z 1

t

2

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1

  

t



exp

(

)



(

p

)



(

t



t

)



dt

.

p 1

 y

2

2

q A t dt ( ) 1 1

z

2

  x

  

t



2

i 

 e * m c

  

     

  

  

  

Luận văn tốt nghiệp 2011

t

F

(

m n q t , , )

,



γ

(



q

)

a



z

m k ,  q

'

z

,

x P , 1 y P , 2

z

m k , I   , 1 1

a  1

p 3

y p , 2

,



 + a a x,p '  1 1

p 3

q z

t

i 

  

,



p 3

       '   , 1 1



γ

(

q

)



)



b m k q ,

,

,

,



q

,



, m k I 1 1  y , 1

z 1

+ a a  x,p 1 1

z

1

 b m k , 1 1

p 2



m k , 1 1 q z 1

b ( m k q , 1 z 1

z 1

q z 1

t

,

1

 , 1

m k q , 1 z 1



γ

I

)

a



' ,

,

,



q

b ) m k q ,

,

m k q , ( 1 1  , x ' 1

z 1

 a  1

 p q 1

y p , 2

b ( m k q , 1

1

 b m k , 1 1

z



m k , 1 1 q z 1

z 1

z 1

z 1

t

,

'

m k q , 1

1

 , 1

z 1

t

(

)



(

)



t (



t

)



dt



exp

 . 2.26



p 1

 y

p 2

2

q A t dt ( ) 1 1

z

2

  

  x

t



2

i 

 e * m c

  

     

     

     

Hay:

t

 p q z z

*

m k q t ( , , ) ,



)



z

m k , γ  q

'

 ( q z

a  ,

,

'  , F  , p z

z

k m , I   , 1 1

a  1

p z

p 3

+ a ' 

,

,

 a '  1

 p q z z

 p q 3 z

t

2

i 

  

,



'  , 1

p 3

        1



)



)



m k , γ 1 1 q

,



,

,

,

,



q

m k , I 1 1  ,  1

q ( z 1

a  1

 b m k , 1 1

+ a ' 

,



z 1

b p q m k q z z z 1

b ( m k q , 1 1 z 1

z 1

 p q z z

t

2

,

 , 1

m k q , 1 1 z 1



)



a  ,

,



q

k m , I 1 1   ', ' 1

q ( z 1

p z

 b m n , 1 1

b ) m n q , , z

 a ' 

,



m k , γ 1 1 q z 1

b ( m n q , , 1 1 z 1

z 1

  p q q z z z 1

t 2

'

 , 1

m k q , , 1 1 z 1

t

 exp

(



)



(

)



t (



)



.

  

p z

q z

 

p z

t 2

q A t dt ( ) z 1 1

dt 2



t 2

i 

 e * m c

     ' 

  

     

     

Do đó:

Nguyễn Thị Quyên 46

t

*

m k q t ( , , ) ,



)



z

 ( q z

'

,

m k , γ  q z

m k , I   , 1 1

a  1

p 3

 , F '  ,

a ' 

,

,

p z  p q z z

 + a a  , p '  z 1

 p q 3 z

 p q z z

t 2

,



p 3

 i           '   , 1 1

)

b



)



+ a  ,

,

,

k m , I 1 1   ' , 1

q ( z 1

a  1

p z

  z

 b m k , 1 1



m k , γ 1 1 q z 1

p q q m k q , , z z z 1

b ( m k q , , 1 1 z 1

 q z 1

t 2

 , 1

 m k q , , 1 1 z 1

)



' ,

a  ',

,

 ,

m k , I 1 1  ' , 1

q ( z 1

 a  1

 p q z z

 b m k , 1 1

b ) m k q , , z



m k , γ 1 1 q z 1

 p q z z 1

b ( m k q , 1 1 z 1

q z 1

t 2

'

 , 1

 m k q , , 1 1 z 1

t

 exp

)



(

)



t (

.

  

p z

  '

 p q z z

  t ) 2

q A t dt ( ) z 1 1

dt 2



t 2

 e * m c

  

     

 i     (        

t

*

*



m k q t ( , , ) ,



z

 ( q z

'

,

a  ,

m k , γ  q z

m k , I   , 1 1

 a  1

p 3

p z



 )

 a ' 

,

,





 p , F z '  p q  , z z

a '  1

 p q z z

 p q 3 z

t 2

i 

    

,



'  , 1

p 3

        1

*

 b (



 b )



,

a  ,

,

m k , I 1 1   ' , 1

q ( z 1

 a  1

p z

b m k , 1 1

m k ,



 )



m k , γ 1 1 q z 1

  p q q z z z 1

 q z 1

qz ,

m k q , , z 1 1 1

t 2

,

 , 1

 m k q , 1 1 z 1

*

 a

 b

 b (



)



' ,

,

k q m , I ( 1 1  ' , z 1 1

 ',

a  1

b m k , 1 1



m k , γ 1 1 q z 1

 p q z z

 p q z z 1

m k q , , z

 q z 1

 )



m k q , , z 1 1 1

t 2

,

'

 , 1

m k q , 1 1 z 1

  

t

 exp



)



(

)



t (

.

  

p z

  '

 p q z z

  t ) 2

q A t dt ( ) 1 z 1

dt 2



t 2

i 

 e * c m

   (   

  

     

  

*

k



q

z

z

z

(

m k q t , ) ,

,

Luận văn tốt nghiệp 2011

(

m k q t , , )

,

' ,  F  , k

z

z

z

 , k F '  k ,



q



z

z

*

 N

t ( )

 i



m k q t ( , ,

, m k I   , '

, m k I  ' ,

z

z

 p q  ', q F ( ) z z  , z p z

m k ,  , ) γ  q z

  , p  ( q F ) z   ', z p q z z

 m k q t ( , , , )



 m k ,  γ  q  z

  

m k q , , z  t

 , ',

p z

t



)



, m k I   , '

q ( z

'

a , 

,

m k , γ  q z

k m , I   , 1 1

a  1

p z

3

+  ( q a ) ' z 

,

,





 a '  1

 p q z z

 p q 3 z

p t



2

 , ',

i       

,

p z



'  , 1 1

p 3

     

  m k ,  γ  q z  

)



)



,



,

m k , I 1 1   , 1

q ( z 1

a  1

 b m k , 1 1

+ a ' 

,



m k , γ 1 1 q z 1

b p q m k q , , z z z 1

b ( m k q , , 1 1 z 1

 q z 1

 p q z z

t 2

 , 1

 m k q , , 1 1 z 1



)



a  ,

m k , I 1 1  ' ', 1

q ( z 1

p z

b ) m n q , , z

 a ' 

,



m k , γ 1 1 q z 1

b ( m n q , , 1 1 z 1

 b  m n q , , 1 1 z 1

  p q q z z z 1

t 2

'

 , 1

m k q , , 1 1 z 1

 exp

(

)



)



t (



 p q z z

 ( 

p z

  t ) 2

( ) 1

dt 2

  

t  q A t dt z t 1

2

 e * m c

 i        '     

        

Thay vào phương trình (2.16) ta có: ; 

Nguyễn Thị Quyên 47

t

*

 γ

)



)



, m k I  ' ,

 ( q z

 ( q z

'

,

a  ,





m k ,  q z

m k , γ  q z

m k , I   , 1 1

 a  1

p 3

p z

 a ' 

,

,

a '  1

 p q z z

 p q 3 z

t 2

i 

  

,



p 3

*



γ

)

 b (



 b )



,

a  ,

 ,

m k , I 1 1   ' , 1

q ( z 1

 a  1

p z

b m k , 1 1

,



       '   , 1 1 



m k , 1 1 q z 1

  p q q z z z 1

q z 1

m k q , z

m k q , , z 1 1 1

t 2

 , 1

m k q , , 1 1 z 1

*



γ

)

 a

 b

 b (



)

' ,

,



m k , I 1 1  ' , 1

q ( z 1

 ',

a  1

b m k , 1 1







m k , 1 1 q z 1

 p q z z

 p q z z 1

m k q , , z

q z 1

m k q , , z 1 1 1

t 2

'

 , 1

m k q , , 1 1 z 1

  

t

 exp



(

)



(



)



t (



)



2.27

  





p z

  '

p z

q z

t 2

q A t dt ( ) 1 1 z

d t 2



t 2

i 

 e * c m

     

  

     

  

  

t

 N

t ( )







m k , I  , '

q ( z

'

,

m k , γ  q z

m k , I   , 1 1

a a   , p 1 z

p 3

+  ( q a ) z ' 

,

,



 a '  1

 p q z z

 p q 3 z

t 2

1 2 

, m k q , z  t

 , ',

,

) 

p z

p 3

      '   , 1 1

  m k ,  γ  q z  

)



)



,



,

,

k m , I 1 1   , 1

q ( z 1

a  1

 b m k , 1 1

+ a ' 

,



m k , γ 1 1 q z 1

b p q m k q , z z z 1

b ( m k q , , z 1 1 1

 q z 1

 p q z z

t 2

,

 , 1

 m k q , 1 1 z 1



)



a  ,

,

,

m k , I 1 1   ' ', 1

q ( z 1

p z

 b m n , 1 1

b ) m n q , , z

 a ' 

,



m k , γ 1 1 q z 1

b ( m n q , 1 1 z 1

 q z 1

p z

  q q z z 1

t 2

,

'

 , 1

m k q , 1 1 z 1

t

 exp

(

)



)



t (



 p q z z

 ( 

p z

  t ) 2

q A t dt z 1

( ) 1

dt 2

  



t 2

 e * m c

i         '     

        

t

*

)



m k , I  ' ,

 ( q z

 ( q z

'

,

a  ,





m k , -γ  q z

m k , γ  q z

m k , I   , 1 1

 a  1

p 3

p z

 a ' 

,

,

a '  1

 p q z z

 p q 3 z

t 2

,

) 

p 3

    '   , 1 1

*



)

 b (



 b )



,

a  ,

,



m k , I 1 1   ' , 1

q ( z 1

 a  1

p z

b m k , 1 1







m k , γ 1 1 q z 1

  p q q z z z 1

q z 1

m k q , , z

m k q , , z 1 1 1

t 2

,

 , 1

m k q , 1 1 z 1

*



k , 1



)

a

 b

 b (



)

' ,

 ,

m k , I 1 1  ' , 1

q ( z 1

 ',

a  1

,

b m k , 1 1







m γ 1 q z 1

 p q z z

 p q z z 1

m k q , , z

q z 1

m k q , z 1 1 1

t 2

'

m k , 1 1

 , 1

q , z 1

  

t



exp



)



(



)



t (



)



  



 2.28

p z

  '

p z

q z

t 2

q A t dt ( ) 1 1 z

t d 2



t 2

i 

 e * m c

   (   

  

     

  

  

Luận văn tốt nghiệp 2011

,



'

'

',

b m k q , , 1 1 z 1

b m k q , , ' 1 1 z 1

    m m k k q q ', ', z 1 1 1

z 1

1

1

 b m k q ', ', 1 1 z 1

 b m k q ', ', 1 1 z 1

 b m k q ', ', 1 1 z 1

 b  m k q , ,  1 1 z 1

   

t

t

t

Tính tổng trong (2.28) cần lưu ý:

Nguyễn Thị Quyên 48



N

,

,

 b m k q , 1

1

m k q , 1

1

,

,

,

,

q

z 1

z 1

b ' m k q , 1

' 1

t    ( ). m m k k q 1 1

' 1

' 1

' z

1

z

1

' z 1

t



b

b



1



N

t ( )

 .

m k q ,

,

,

q

1

1

m k , 1

1

,

q

  , k q

k

,

q

z 1

z 1

 ' m k , 1

' 1

' 1

1

' m m , 1

1

' z

1

z

1

 

 

' z 1

t

a

a



f

t ( )

.

 

,

p



',

p

'

  ,  

'

p

,

p

'



,

p

z

z

z

z

z

t

Luận văn tốt nghiệp 2011

(2.29)

Khi xét hệ phonon không cân bằng, ta giả thiết rằng hệ điện tử ở trạng thái



,

p

,

p

,

,

,

p

,

,

p

,

p

 a  1

z 1

 a  2

a  3

a  4

p z

4

p z

 a  1

a  4

z 1

p z

4

 a  2

a  3

z 3

2

z 3

z 2

t

cân bằng, nghĩa là hàm phân bố Fermi-Dirac của điện tử không phụ thuộc vào thời



(

p

.

p

t (

t .

,

,

p

f  1

  ) ,   p 1 4

z 1

f  2

z 2

  ) ,   p 2 3 z

p z 3

2

z 4

z 1

gian:

(2.30)

 N

t ( )

z



γ

)



m k , I  , '

q ( z

 

m k , q z



1 2 

, m k q ,  t

 ', ,

p z

t

γ

 (

(



(





dt 2

q f )  ' z

p z

'

'

p 3

q z



,

m k ,  q z

m k , I   , 1 1

q f )  z 1

  ) ',   p 1 z

  ',   1

q p , 3 z

 p q p 3 z z





 

,

p 3

   '   , 1 1



γ

(





N



p z

q z

  ) k  , ' 

,

,



t ( ) 2

,

,



m k , I 1 1   ' ', 1

q f ( )  ' z 1

q z 1

  q q z

z

p z

m k , 1 1

   m m k k , q 1 1 z



m k , 1 1 q z 1

z 1

q z 1

q z 1

,

'

m k , 1 1

 , 1

q z 1



γ

)

k (





N



f  '

z

q z

,



t ( ) 2

,

,



q

m k , I 1 1   , 1

q ( z 1

  )   ', 1

 p q z

p z

q z

m k q , , z

   m m k k , q 1 1

z



m k , 1 1 q z 1

z 1

z 1

 1 

 



 

,

 , 1

m k q , 1 1 z 1

t

 exp

(



)



(

)



t (



)





p z

q z

 

p z

t 2

q z

A t dt ( ) 1 1

dt 2

  

t



2

i 

 e * m c

  

    '  

  

     

  

t

*

 γ

)

(

)

(





m k , I  ' ,

 ( q z

 ( q z

'

p f p  ' 3 z

q z







m k , q z

m k , γ  q z

m k , I   , 1 1

f  1

    )  , , p p 1 3 z

  ' ', 1

 p q p q , z z z

3



,

p 3

  )   '   , 1 1

*



γ

)



N



f p (  ' z

q z

'



t ( ) 2

m k , I 1 1  , ' 1

q ( z 1

  ) ',   1

z

m k q , , z







m k , 1 1 q z 1

 p q p q , z z z 1

'

 , 1

m k q , , 1 1 z 1

*

,

k 1



)

(



N

p z

  q z

,

,



,

m k q , I ( 1 1   ' , z 1 1

f  1

q z 1

  ) ,  1

  p q q p z z z

m k , 1 1

1

1







m γ 1 q z 1

z 1

q z 1

q q , z z 1

 1 

 ( )    t   2 m m k k ,

,

 , 1

m k q , 1 1 z 1

  

t

exp



)



(



)



t (



)



p z

p z

q z

t 2

( ) 1

dt 2

  

 ' 

 q A t dt z t 1

2

i 

 e * m c

   (   

  

     

  

 .  

Tính (2.28) với các lưu ý (2.29) và (2.30), ta có:

Nguyễn Thị Quyên 49



N

t ( )

z





γ

I

(

q

)





m k , q

m k ,   ,

'

z



z



1 2 

  ,

',

p

z

t



γ

dt

I

(



q

)

(

p



q

)

(

p

)



γ

(



q

)

(

(

t

)

2

m k ,  q

k m ,   ,

'

z

f 

'

z

f 

z

z

m k ,  q

k m , I   ,

'

f 

p N ) z

z

2

m k q ,

,

z

z

z

, , m k q  t 



 γ 

I

(



q

)

(

k



q



N

(

t

)



m k ,  q

, m k   ,

'

f 

'

z

z

z

m k ,

,

q

2

z

z

 ) 1 

 

t



exp

(

p



q

)



(

p

)



(

t



t

)



q

dt



z



z

z

2

z

A t dt ( ) 1 1

2

  

  ' 

t



2

i 

 e * m c

  

  

  

  

  

  

t

*

)



γ

(



q

γ

(



q

)

(

(

p



q

)



m k ,  q

m k , I  , '

z

m k ,  q

m k , I  , '

z

f 

p f )  ' z

z

z





z

z





*

*

)



γ

(



q

(

p



t (

)



γ

(



q

)

(

p

N

m k ,  q

, k m I  , '

z

f  '

z

q N ) z

m k q ,

,

2

m k ,  q

, m k I  ' ,

z

f 

z

m k q ,

,

t ( ) 2









z

z

z

z

  ) 1

 



t



exp



(

p

)



(



q

)



t (



t

)



q

dt

.

z

p z

z

2

z

t dt ( ) A 1 1

2

  

  

 ' 

t



2

i 

 e * m c

  

  

  

  

  

  

  

*

γ

I

(

q

)



γ

I

(



q

)

m k , q

, m k   ,

'

z

m k ,  q

, m k   ,

'

z

z

z

*

2

γ

I

(

q

)

γ

I

(

q

)



γ

I

(

q

)

m k , q

, m k   ,

'

z

m k , q

, m k   ,

'

z

m k , q

, m k   ,

'

z

z

z

z

2

k

,

γ

I

(

q

)

γ

I

(



q

)



γ

I

(

q

)

m q

, m k   ,

'

z

m k ,  q

, m k   ,

'

z

m k , q

, m k   ,

'

z

z

z

z

   

 

Luận văn tốt nghiệp 2011

2

t



N

t ( )

z



 

γ

I

(

q

)

f

(

p



q

)

f

(

p

)



m k , q

m k ,   ,

'

z

z

z



z



'



z







1 2 

, , m k q  t

  ,

',

p

z



(

(

t

)



f

(

p



q



N

(

t

)



f 

p N ) z

m k q ,

,

2



'

z

z

m k q ,

,

2

z

z



 ) 1 

 

t



exp

(

p



q

)



(

p

)



 

(

t



t

)



q

(



'

z

 

z

z

2

z

A t dt ) 1 1



  

t



2

i 

 e * m c

  

     

  

  

  



)

(

)



)

(





N



f p f p q (  '  z

z

z

 f p q N  ' z

z

t ( ) 2

f p (  z

 

m k q , , z

m k q , , z

 ) 1 

t

 exp



)



(

)



t (

(2.31)

p z

 p q z z

  t ) 2

( ) 1

dt 2

  

 ' 

 q A t dt z t 1

2

i 

 e * m c

   (   

  

     

  ( ) t  2   

 .  

0





E

sin(



t

)

Chú ý:    Ta có:

1 c

tAd )( dt

Vì:

Nguyễn Thị Quyên 50

t

 

c

E

sin(



t dt ')

'



0





( ) A t Ta có:

t

t

t



sin(





A t dt ( ) 1 1

t dt dt ') ' 1

 os( t ) c 1

dt 1



t 1  c E  0 





Luận văn tốt nghiệp 2011





t 2

t 2

t 2

ieq z m c *

ieE q 0 z  m *

ieq z m c *

t



sin(

  t )

sin(

 t

)



sin(

  t )

sin(

 t

)











A t dt ( ) 1 1

2

2

z 2

t

2

ieE q 0  m *

i   

 

ieq  z m c *  q e E 0 z m  *

 



iz

sin (



t

)

  is

t

e

J

(

z e ).

s

 

s

  

t



exp



(



exp

sin(

  t )

sin(



t

)





A t dt ) 1 1

2



ieq z m c

 i     

  

t

2

    







J

J

exp(

  is

t ) exp(

il



s

l

t ) 2

 

  

      

s

    l

  

  







J

J

exp(

i(l-s)

    il

(

t

t

t

)).

s

l

2



     

     

l s ,

 

  

  

  

  

Áp dụng công thức [10,15,16,17,20]

(2.32)

N

).

(

)



).





(

 f p q f p  ' z z

( 

z

f p N (  z

t ( ) 2

f p q  ' z z

m k q , , z

m k q , , z

 ( ) t  2

N





(

N





(

)

  ). 1 ( f p N ).  z

t ( ) 2

 f p q  ' z z

f p q f p N ).  ' z

z

z

  ( ) 1 t 2

mk q , , z

m k q , , z

m k q , , z

m k q , , z

 ( ) t  2

 ). 1  

 ( ) t  2

 



(



N



).

(

)



).

)

(



 )

 )

f  '

 p q z z

 f p q f p  ' z z

( 

z

f p (  z

 t ( ) 2

 f p q f p  ' z z

( 

z

m k q , , z

m k q , , z

 N 

N



(



(



   ) 1

  ) 1

 )

t ( ) 2

 f p f p q ) (  '  z

z

z

( 

z

mn q , , z

m k q , , z

(    ( ) 1  t 2  ( ) 1  f p q f p t   2 ' z z

 N 

Đồng thời để có dạng đối xứng hơn, ta biến đổi như sau:

(



)



).

(



N

f p f p ) (  z z

 '

q z

 f p q N  '

z

z

t ( ) 2

f p (  z

t ( ) 2

m k q , , z

m k q , , z

 



N



(

N



)

f p (  z

f p q  ' z z

  ). 1 ( f p q  ' z z

t ( ) 2

f p (  z

 )

   ) 1



  ) 1

m k q , , z

m k q , , z

 

 ( ) 1  t  2

Tương tự:

(2.33)

Nguyễn Thị Quyên 51

Thay (2.32),(2.33) vào (2.31), ta có:



2

2

 N

t ( )

z

 

γ

(

q

)

J

J



m k , q

, m k I  , '

z

s

l





z





1 2 

  

  

 , ',

l s ,



  

  

  

  

p z

t

N

t (

(

p



q

)

N

t (

)

)

(









   ) 1



m k q ,

,

2

f  '

z

z

f p ( 

z

2

f p ( 

z

f  '

p z

q z

m k q ,

,

  ) 1

z

z

 ) 1  

 

, , m k q  t  





(

p



q

)



(

p

)



 

 l

t (

t

)



i l (



)s



exp

z

 

z

z

2

   

 

i 

      '  

   t  

     

)

(

p



q

N

(

p



q

)





N

f p ( 

z

f  '

z

z

t ( ) 2

f  '

z

z

,

f p ( 

z

,

2



   ) 1



  ) 1

m k q , z

m k q , z



 

 ( ) 1  t 

(

p

)



(

p



q

)



 

 l

t (

t

)



i l (

  ) t s

dt

.



exp



z

z

z

2

2

   

 ' 

 

i 

       

     

   

Luận văn tốt nghiệp 2011



2

2

 N

t ( )





)



, m k I   , '

q ( z

J s

J l





m k , γ q z





1 2 

, , m k q z  t

  

  

 , ',

l s ,



  

  

  

  

p z

t

N



(

)

N

)







   ) 1



f p q  ' z z

f p (  z

t ( ) 2

f p (  z

f p (  ' z

q z

   ) 1

m k q , , z

m k q , , z



 

 ( ) 1  t  2





 exp(i(l-s) t)   

(

)

)



  



 exp

 p q z z

  ( 

p z

t 2

dt 2

    ( t l

 ' 

 

 

  )   

 i        

t

 exp -i(l-s) t 

(

N



(



    ) 1

 )

  ( ) 1 ( f p f p q ) t  '  2 z

z

z

t ( ) 2

f p q f p  ' z z

( 

z

   ) 1

mk q , , z

mk q , , z

 N 

 

  





)

(

 l

t (

)

(2.35)

p z

p q z z

       t 2



  ' 

i 

   (   

   exp    

   dt )    2  

(2.34)

Phương trình (2.35) là phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm

trong dây lượng tử khi có mặt trường laser. Trên cơ sở phương trình động lượng tử (2.35) ta tìm được tốc độ gia tăng phonon. Những tính toán này sẽ được trình bày ở

chương sau.

Nguyễn Thị Quyên 52

Luận văn tốt nghiệp 2011

CHƯƠNG 3.

ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN TỐC ĐỘ

GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY

LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN.

3.1. Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm)

giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô

hạn khi có mặt trường bức xạ laser

3.1.1. Mối liên hệ giữa phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm)

giam cầm và tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử

N

  1

N

  1

N

hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser.

,

m k q , , z

m k q , , z

m k q , z

Vì



2

2

 N

t ( )

γ

)

J





m k , I  , '

q ( z

s

J l





m k , q z





1 2 

  

  

, , m k q z  t

l s ,



 , ',

  

  

  

  

p z

t

(







N



(







 t

N

 ) 1

 )

 ) 1



t ( ) 2

f  '

p z

q z

f p (  z

t ( ) 2

f p (  z

f  '

p z

q z

m n q , ,

 )

m n q , , z

z







  exp i(l-s)  

(



)



(

)



 

 l

t (



 exp

p z

q z

 

p z

t 2

2dt

   

i 

    '  

  )  

     

t



 exp -i(l-s) t

N







N

(









 ) 1

 )

 ) 1

t ( ) 2

f p (  z

f p (  ' z

q z

t ( ) 2

f  '

p z

q z

f p (  z

 )

m n q , , z

m n q , , z

  



)



(



)



 

 l

t (

)

(3.1)



 exp

p z

p z

q z

t 2

dt 2

   

 ' 

 

i 

   (   

  

    

2

2

       N

t ( )

z

γ

I

(

q

)

J

J







m k , q

, m k   ,

'

z

s

l

z









1 2 

  

  

, , m k q  t

  ,

',

p

l s ,

  

  

  

  

  

z

t





t

N

(

t

)

f

(

p



q

)



f

(

p

)





 ex p i(l-s )



m n q ,

,

2

z

z



'

z





z



 

  





e x p

(

p



q

)



(

p

)





   l

(

t



t

d t



)

'

z

 

z

z

2

2



  

 

i 

  

    

  

  

Khi đó phương trình (2.35) có dạng:

Nguyễn Thị Quyên 53

t





t

N

(

t

)

(

p

)



(

p



q

)





m n q ,

,

2

f 

z

f 

'

z

z

 exp -i(l-s)





z









exp



(

p

)



(

p



q

)



 

(

l

t

t

)

dt

.

z

z

z

2

2

  

   

 ' 

 

i 

  

    

  

  

  

Luận văn tốt nghiệp 2011



 i

'

t

N

N

 (

')



t e ( )

dt

m k q ,

,

m k q ,

,

z

z









 i

'

t

N

t ( )



N

 (

')

e

d



'

m k q ,

,

m k q ,

,

z

z



1  2



      

 Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:





2

2



 ' i

t

N

 ( e ')

 ' d



γ

q (

)

J

J



m k q ,

,

m k , q

, k m I  , '

z

s

l





z

z







1 2 

  t

1  2

  

  

 ', ,

k

l s ,



  

  

  

  

z



  

  

t





 ' i

t 2



 t

N

 ( e ')

 ' d

(



)



f

(



 )

m k q ,

,

f  '

p z

q z

p z







z





1  2





  

  

   exp i(l-s)   

 exp

(



q

)



(

)



 

 l

t (

t

)

dt



p z

 

zp

z

2

2

   

    ' 

 

i 

  

     

  

t





 ' i

t

2





t

N

 ( ')

e

 ' d

(

p

)



(

p



q



 )

 exp -i(l-s)



m k q ,

,

f 

z

f 

'

z

z



z





1  2





  

  





exp



(

p

)



(

p



q

)



 

t (

l

t

)

dt

.

z

z

z

2

2

  

   

 ' 

 

i 

  

    

  

  

  





2

2

t

N

 i  '  ( ') e



)

J



     i '

, m k I   ' ,

q ( z

s

J l





m k q , , z

m k , γ q z







1 2 

1  2

  

  

l s ,



  

  

  

  



 , k ', z

  

 '  d  

t



t 2



N

 i  '  ( ') e

 ' d



(

)



f p q  ' z z

f p (  z





 )

m k q , , z





1  2





  

       

     

    exp i(l-s) t   

 exp

(

)

)



 

 l

t (



 p q z z

  ( 

p z

t 2

dt 2

   

 ' 

 i          

  )   

Thay vào phương trình (3.1), ta có:

Nguyễn Thị Quyên 54

t





 ' i

t

2





t

N

 ( ')

e

d

 '

(

p

)



(

p



q

)



m k q ,

,

f 

z

f 

'

z

z

 exp -i(l-s)







z





1  2





  

     





exp



(

p

)



(

p



q

)



 

(

l

t

t

)

dt

.

z

z

z

2

2

  

   

 ' 

 

i 

  

    

  

  

  

Luận văn tốt nghiệp 2011

(3.2)

0

)

Đổi thứ tự lấy tích phân bên vế phải phương trình trên.

2te (hằng

t    , nên khi lấy tích phân theo dt2 thêm vào thừa số: (

m k qN

,

,

z

Do:

 

0

khi

t

  )

2

số đoạn nhiệt tương tác:





2

2



 i '

t



 ' i

N

 ( ')

e

 ' d



γ

(

q

)

J



J





m k q ,

,

m k , q

, k m I   ,

'

z

l

s





z

z







1 2 

1  2

  

  

  ,

',

k

l s ,



  

  

  

  

z



  

  





 i '

t

N

 ( ')

e

 ' d

(

p



q

)



(

p

)





 t





m k q ,

,

f  '

z

z

f 

z

z



1  2



  

       

     

   exp i(l-s)   

i





exp

(

p



q

)



(

p

)



t

l

z

 

z

z

        ' 

 ' 

 

  

  

  

  

t







exp

(

p

)



(

p



q

)



    '





i

 l  

t

dt



z

z

z

2

2

 ' 

 



i 

      

     

  







 i

'

t





t

N

 (

')

e

d



'

f

(

p

)



f

(

p



q

)



 exp -i(l-s)







m k q ,

,



z



'

z

z

z



1  2



  

  

    

    



(

p

)



(

p



q

)



   

'

   l

t





exp



z

z

z

 ' 

 

i 

  

      

  

  

t







(

p

)



(

p



q

)



   '





i

   l

t

dt



exp

z

z

z

2

2

 ' 

 



i 

  

      

  

  



 .  

Khi đó, biểu thức có dạng:

(3.3)

t







(

p

)



(

p



q

)



  





i

'

   l

dt



t

exp

'

z

z

z

2

2

 

 



i 

  

  

  









(

p

)



(

p



q

)



  





i

'

   l

t

exp

'

z

z

z

 

 

  









p

)



(

p



q

)



  





i

'

   l

(

'

z

z

z

 

 

   i 

     

       i               

Lại có:

Nguyễn Thị Quyên 55



exp

(

p



q

)



(

p

)



    

'

   l

t



z

 

z

z

   ' 

 

i 

  

  

  

  

t







exp

(

p

)



(

p



q

)



    '





i

   l

t

dt



z

z

z

2

2

 ' 

 



i 

  

      

  

  



1

2 *











(

p

)



(

p



q

)



    '





i

   l

z

z

z

 ' 

 

i 

  

      

Luận văn tốt nghiệp 2011

t





exp

(

p

)



(

p



q

)



    '





i

   l

t

dt



z

z

z

2

2

 ' 

 



i 

  

  

  







exp

(

p

)



(

p



q

)



    '





i

   l

t

z

z

z

 ' 

 

  







(

p

)



(

p



q

)



     '



i

   l

z

z

z

 ' 

 

   i 

     

       i               



exp



(

p

)



(

p



q

)



    

'

   l

t



'

z

z

z

 

 

i 

  

  

  

t







exp

(

p

)



(

p



q

)



    '





i

   l

t

dt



'

z

z

z

2

2

 

 



i 

  

             

  

  



  

1



(3*)





(

p

)



(

p



q

)



    '





i

   l

z

z

z

 ' 

 

i 

  

      

Tương tự:





2

2

t

 i  '

N

 i  '  ( e ')



γ

)

J

J







,

, k m I   , '

q ( z

s

l

m k q , z

m k , q z











 d '

1 2 

1  2

  

  

 , ',

k

l s ,



  

  

  

  



z

  

  



t



 t

N

 i  '  ( e ')

 ' d

(



)









 )

f  '

p z

q z

f p (  z

m k q , , z



1  2



  

       

    

   exp i(l-s)   





(

)



(



)



     '

 i





p z

p z

q z

 ' 

   

    l 

i 

  

     

 1   

Thay (2*), (3*) vào (3.3) ta có:

Nguyễn Thị Quyên 56





 ' i

t





t

N

 ( ')

e

 ' d

(

p

)



(

p



q

)



m k q ,

,

f 

z

f  '

z

z

 exp -i(l-s)







z



1  2



  

       

    

 1







(

p

)



(

p



q

)



     '



i

   l

z

z

z

 ' 

 

i 

      

     

  





2

2

t



)

J

J



N

 i  '  ( e ')

    i '



, m k I  ' ,

q ( z

s

l





m k , γ q z

m k q , , z







1 2 

  

  

1  2

 , ',

k

l s ,



  

  

  

  

z



 '  d  

   

(

)



)



f  '

p z

q z

f p (  z





s-l







 exp -i

  

 ' t  



N

 ( ')

'd

m k q , , z



1  2





)



(



)



     '

 i



p z

p z

q z

 ' 

  l   

      

)



(



f p (  z

f  '

p z

          

i    (         q ) z





  '

  exp -i (l-s)

 t



N

 ( ')

 ' d

3.4





m k q , , z



1  2







(

)

(



)



     '

 i



p z

p z

q z

 ' 

   

  l   

i 

  

     

          

   Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:





N

 (

s-l

 

d



 ' d N

s-l



 't







 exp -i



m k q ,

,

,

z

m k q , z

 ')exp -i

  

   ' 

 

 ' t    ' 













N

 (

l-s

 

d



 d N '

l-s

 't







 exp -i



,

,

m k q , z

m k q , z

 ')exp -i

  

 ' t    ' 

  '  

  









Luận văn tốt nghiệp 2011





2

2

N

 i  ' t  ( ') e



)





  i  '

m , k I  , '

q ( z

J s

J l





m k q , , z

m k , γ q z







1 2 

1  2

  

  

l s ,



  

  

  

  

 k ', , z



  

 '  d  

 -i 't



N

s-l

e





m n q , , z

   ' 

  





(

)



 )

f p q  ' z z

f ( 

p z



1  2





)

(

)



     '

 i



p z

 p q z z

  ' 

'd   l   

i    (      

     

     

       

Ta có:

Nguyễn Thị Quyên 57

 -i 't



N

e



 l-s

zm n q , ,

   ' 

  

)





(

 ' d



 3.5

f p (  z

f p q  ' z z

 

 )



1  2





)

(

)



     '

 i



p z

 p q z z

  ' 

  (  

    l 

i       

     

     

Luận văn tốt nghiệp 2011

s trong vế phải của (3.5) sẽ cho đóng góp bậc

Nhận thấy rằng với những l

γ

I

(

q

)

cao hơn hai của hằng số tương tác điện tử - phonon. Vì vậy ta chỉ lấy l=s và thực

m k , q

, k m   ,

'

z

z

hiện ngắt chuỗi ở bậc hai đối với . Đồng thời thực hiện chuyển phổ



2

2

 N

t ( )



γ

)

J

t ( )



m k , q

m k , I  , '

q ( z

2 l

m k q ,

,

z

z









1 2 

, m k q , z  t

 ', ,

p

l



   

 N  

z





(



)



(

)



(



)



     '

 i



 l  

)





f  '

p z

q z

f p (  z

p z

p z

q z

 ' 

 

i 

      

     

 1   

    





)



(



)

(

)



(



)



     '

 i



f p (  z

f  '

p z

q z

p z

p z

q z





 ' 

  l   

i 

      

     

  1      

Furier cho phương trình (3.5), ta có:

(3.6)



2

2

G



γ

)

J



, k m I  , '

q ( z

2 l





m k , q z





1 2 

 , ' ,

l



   

  

p z







(



)



(

)



(



)



     '



i

 l  

)



f  '

p z

q z

f p (  z

p z

p z

q z



 ' 

 

i 

      

     

 1   

    





)





)



(



)



     '

 i



3.7





f p (  z

f p (  ' z

q z

p z

p z

q z



 )

 ' 

  l   

 i    (        

  1      

Đặt:

 N

t ( )

z



G

N

t ( )

m k q ,

,

m k q ,

,

z

z

, m k q ,  t

G

Ta có:

m k q ,

,

z

Trong đó: : là tốc độ thay đổi phonon.

Nguyễn Thị Quyên 58

Nếu

Luận văn tốt nghiệp 2011

m k qG

,

,

z

>0: gia tăng phonon.

m k qG

,

,

z

G

Nếu <0: hấp thụ phonon.

m k q ,

,

z

 

';

p

  p

q

3.1.2.Tính toán tốc độ thay đổi phonon .

z

z

z

Đổi biến trong số hạng thứ 2:



2

2

G



γ

I

(

q

)

J

f

(

p



q

)



(

p

)



m k q ,

,

m k , q

, m k   ,

'

z

2 l



'

z

z

f 

z





z

z









1 2 

  ,

',

p

l

 

   

  

z



1





(

p



q

)



(

p

)



    '





i

   l







z

 

z

z

 

i 

     '  

  

       





(

p



q

)



(

p

)



    '





i

   l



z

 

z

z

 

i 

  

     '  

  

1        

(

p



q

)



(

p

)



    

   ' l

z

 

z

z

  1

 

   ' 

Phương trình (3.7) có dạng:

(

p



q

)



(

p

)



    

   ' l

z

 

z

z

  2

 

   ' 

1  1 

Đặt:



2

2

G



γ

I

(

q

)

J

f

(

p



q

)



(

p

)



m k q ,

,

m k , q

, m k   ,

'

z

2 l



'

z

z

f 

z





z

z









1 2 

  ,

',

p

l

 

   

  

z



1



1



i

 i



i

 i

.

   







1

  2

 

 

 

 







2

2

(





 3.8

, mk I   ' ,

q ( ) z

  ) f p q z  ' z

 f p i ( )  z





  G , , mk q z

mk , γ q z



 2 J l

1 2 

 ,  ',

 l

        

p z

 1    i   1

 1     i  2

Khi đó:

 e E 1



 ,

(

p

)



.

p

'

Vì trường laser có tần số cao nên hoàn toàn có thể thực hiện được điều kiện:

,  có thể bỏ qua

1

2

)zp (

     2

1

Vì vậy trong so với  và

Khi đó :

Nguyễn Thị Quyên 59

Sử dụng biến đổi:







 i

(

x

)

1 

x

 i

1 x









 i

x ( )

1 

x

 i

1 x





  2 i

x ( )

Luận văn tốt nghiệp 2011

x

 i

x

 i

1 

1 



 

 2 i

(

p



q

)



(

p

)



 

 l  

.

z

 

z

z

Ta có:

   ' 

 

1 

 i

 i

  

  

1   1

1   2

  

  

Vậy:



2

2

G



γ

(

q

)

J

(

p



q

)



(

p

)



m k q ,

,

m k , q

m , k I  ,

'

z

2 l

f  '

z

z

f 

z





z

z









 2 2 

  , , '

p

l



   

  

z

Thay vào (3.8), ta có:

 

(

p



q

)



(

p

)



 

   l

z

 

z

z

   ' 

 

1 

  

  



ax





  x

(3.9)

1  a

(

)



)



 

 l

(



)



)



 

Áp dụng công thức:

p z

q z

 ( 

p z

p z

q z

 ( 

p z

 

     ' 

  l   



    

1     '   

  



2

2



G



γ

I

(

q

)

J



m k q ,

,

m k , q

m k ,   ,

'

z

2 l

z

z









2  

  ,

',

p

l

 

   

  

z

Ta có:





f

(

p



q

)



f

(

p

)

(

p



q

)



(

p

)





   l

'



'

z

z



z

z

 

z

z



     

 

(3.10)

 

 e E zq 0  m *

Trong đó:



J

 l   

 

,



   

  



2 l



    

 

1 2

l



   

     

 Xét trong giới hạn trường mạnh:    , ta có gần đúng [10,16,17,20]

p



q

)



)

 



(3.11)

z

 p (

z

z

   ' (

với:

Nguyễn Thị Quyên 60

Luận văn tốt nghiệp 2011

2

2

γ

)

(



)





G



I

, m k  ' ,

q ( z

f  '

p z

q z

f p (  z

,



 )

m k , q z

m k q , z





 , , '

p

z

)



(

)



 

(



)



(

)



 

 

.

  ( p q  z z

 

p z

p z

q z

 

p z

      ' 

    

    ' 

  

Thay (3.11) vào (3.10), ta có:

(3.12)

  

  

Số hạng chứa hàm  thứ nhất trong (3.12) thể hiện sự hấp thụ

  

  



1

photon, còn số hạng thứ hai thể hiện sự phát xạ photon. Khi xét trong giới

   

  

hạn trường bức xạ laser mạnh, ta có sự phát xạ và hấp thụ photon. Như

vậy tốc độ thay đổi phonon có cả sự đóng góp của quá trình hấp thụ và phát xạ

photon gây ra.







G



G

m k qG , , z

,

,

m k q , z

m k q , z

Ta có thể viết:

(3.13)

2

2



)



(

)



(

)



)



 

, m k I  ' ,

q ( z

f p q  ' z z

f p (  z

 p q z z

 ( 

p z



 )





 G , , m k q z

m k , γ q z



     ' 

  

 

 , ',

p z

2

2



(

(

)

, mk I  , '

q ( ) z

  ) f p q z  ' z

f p (  z

  ) p q z z

 ( 

p z



 )

 G , , mk q z

mk , γ q z







     ' 

     

 

 , ',

p z

Trong đó:

(3.14)



dp

...

z

 ...



L  2

p

z



Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:



2

2

(

(

)

 G , , mk q

, k m I  ' ,

q ( ) z

  ) f p q z  ' z

f p (  z

p z

  ) q z

 ( 

p z



 )

mk , γ q z



     ' 

     

L z   2z

  dp z  , '



Ta có:

(3.15)

Nguyễn Thị Quyên 61

Luận văn tốt nghiệp 2011

2

2

(

q

)

 Xét dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, ta có:

m k ,γ q

, m k I   ' ,

z

z







2

2



)

(



)



(



)



)



 

.

, m k I  ,  '

q ( z

p z

q z

f p (  z

p z

q z

 ( 

p z

 dp f  ' z

 )



 G , m k q , z

m k , γ q z

 

     ' 

  



L z  2

 ,  '



không phụ thuộc vào pz, nên:





G





)



)

(

p



q

)



(

p

)



 

 

(3.16)

'(

p z

q z

f p (  z

z

 

z

z

 dp f  z

     ' 

 







z



G

γ

2 q G )

(

.

 m k q ,

,

m k , q

mI k ,   ,

'

z



2

z

z

L   2

  ,

'

Đặt:

(3.17)

2

2

2

2

2

2

(

p

)











 

z

c  

z *

z *

 2

p m

 2

 2

p m

l 2 L y

 2 2  n   * 2 m L  x

   

2

2

2 

2 









q z

q z

(



)











p z

q z

c   '

 ' 

 p z * m 2

 p z * m 2

2 l ' 2 L y

 2 2 2   n '   * 2 m L 2  x

   

Ta có [18]:

(3.18)



1

2

a) Trường hợp tổng quát:







(

p

)



   F

c 

f 

z

 2

2 p z * m

1 p

(

exp

)





1

 F

z

Sự phân bố của điện tử tuân theo hàm phân bố Fermi – Dirac:

 

  

  

  

  

  = exp   

  1   

2

2 





q z



)





f p (  ' z

q z

c    '  F

 p z * m 2

(

)



 1

1 

p z

q z

 F

    exp  '

 

        

       

  = exp   

 1   1    

b)     



'

(

p



q

)



(

p

)





  

z

 

z

z

 

2

2

2

2



p

q





z













 



c  

'

c  

 *

z *

z m 2

 2

p m

  

  

   

   

2

2

2



z















 

c  

'

c  

z *

 2

q m

2



z

A





 

p q z * m p q z * m

(3.19)

(3.20)

Nguyễn Thị Quyên 62

2

2

2

2

2

n

2 '

2 n

l

2 '

l

A







 









 

Luận văn tốt nghiệp 2011

c c     ' 

 q z * 2 m

2 2   * 2 m

 q z * 2 m

 2 L y

 2 L x

   

   

Trong đó:

(3.21)



1



2

2



(

q

)



z

G



dp

exp











z

c  

'

 F



 p z * m 2



  

  

  

  

  1   

     

2

2



z



exp







A

  



.

   F

c 

 2

2 p z * m

p q z * m

  

  

  

  

  

  

    

1      1      



1



2

2



(

q

)

z



dp

exp











z

c  

'

 F



 p z * m 2



  

  

  

  

    

  1   

   



1

*

2

2



A

m









z



exp







p



.

   F

c 

z

  2



 2

2 p z * m

 q * m

q

z

  

  

  

  

    

   

   

    

      1          



1



*

2

2



(

q

)

z



dp

exp











z

c  

'

 F



m 2  q

 p z * m 2

z



  

  

  

  

  1   

     

*

2



A

m











exp









p





   F

c 

z

  2



q

 2

2 p z * m

z

  

  

  

  

    

   

   

1      1      

Tính G 

(3.22)



f x ( )





.







 x x 0

 f x 0





Áp dụng công thức:



 G



 q z

c      ' F

c      F

2  * 2 m

2  * 2 m

 *  A m 2  q z

 *  A m 2  q z

* m 2  q z

     

2    

   

2    

       

     exp    

1        1      

1           1 .          

* m

A



exp









A

 G





2    

q z

c    '  F

c   F 

2  * 2 m

  2  q z

* m 2 2  q 2 z

* m 2  q z

   

      

     

2    

        

       

  exp   

 1     . 1      

 1   1    

        exp              

Ta có:

(3.23)

Nguyễn Thị Quyên 63

Thay (3.23) vào (3.17), ta được:

2

2





m k , I  , '

q ( ) z



 G m k q , , z

m k , γ q z

 , '

L m *   z 3 2 q z

* m

A



exp







A



2    

q z

c     '  F

c   F 

2  * 2 m

  2  q z

* m 2 2  q 2 z

  

2   

      

     

        

       

  exp   

 1     . 1      

 1   1    

       ha

2

2



G



)



, m k I  ,  '

q ( z



m k q , , z

m k , γ q z

 ,  '

* L m   z 3 q 2 z

A

* m





exp







A

2   









q z

c    '  F

c   F 

2  * 2 m

  2  q z

* m 2 2  q 2 z

  

2   

      

     

  exp   

 1   1    

        

       

 1   1    

     

A

* m













A

2   





q z

c   '

c   F 

2  * 2 m

  2  q z

* m 2 2  2 q z

  

2   

      

     

        

     F    

  exp   

  exp   

 1   1    

1      . 1       (3.24)

Luận văn tốt nghiệp 2011

Biểu thức (3.24) là biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm)

giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô

hạn trường hợp hấp thụ nhiều photon.

2

2

A

* m

2













A

A

q





   



   

q z

c    '  F

2 z

c    '  F

 * 2 m

2  * 2 m

  2  q z

m * 2 2  2 q z

  

  

2



A



A





2    



   

c     F

2 q z

c c    '  

 * 2 m

* m 2 2  2 q z

  

  



A

 



2    

    



c     F

* m 2 2  2 q z

     

     

Ta có:

Nguyễn Thị Quyên 64

Vậy:

* m

A









A

exp



2    

q z

c     '  F

c   F 

2  * 2 m

  2  q z

* m 2 2  2 q z

  

2   

      

     

       

  exp   

1       1     

        

 1    1   

     



A

2   

.exp







    

c    F



* m 2 2  q 2 z

      

     

  exp   

 1     1     

c



A

2   





 

F

* m 2 2  q 2 z

      

     

  exp   

 1    1   

*

2

exp



A

 

Luận văn tốt nghiệp 2011



   

   F

c 

m 2 

q

2

2 z

  

  

  

  

Đặt:

2

2

*

G



γ

I

(

q

)



m k , q

m k ,   ,

'

z

z

z







L m z 3  q 2

  ,

'

 m k q , ,

z

Ta có:



1



1



X

. e x p





1



X



1

   











 

 





0

(3.25)

 luôn cho ta sự hấp thụ sóng âm (phonon âm),

m k qG 

,

,

z

Từ (3.25) ta thấy: với

 , 0

m k qG 

,

,

z

 

      0

 

vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì tức là

Vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì trường bức xạ laser phải thỏa mãn

0



 





điều kiện:

 e q E z m  *

(3.26)

b) Xét trường hợp khí điện tử không suy biến:

(

p

)





exp



(

p

)

f 

z

z



    F 

 

exp

(

)





1

1 p

 F

z

    

 

(

p



q

)





exp



(

p



q

)

f 

'

z

z

'

z

z



    F 

 

exp

(

p

q

)





1

1 

'

z

z

 F

    

 

Hàm phân bố Fermi – Dirac trở thành hàm phân bố Boltzmann [25]

(3.27)

Kết hợp (3.27) và (3.18), ta có:

Nguyễn Thị Quyên 65

2

(

p

)



exp



(

p







f 

z

z

c  

    F 

  ) =exp

 2

2 p z * m

    F 

  

  

  

2



2



q z

(



q

)



exp



(

p



q







f  '

p z

z

z

z

c   '

    F  '

  ) =exp

 p z * m 2

   

      F    

   

Luận văn tốt nghiệp 2011



(

p



q

)



(

p

)





  

'

z

 

z

z

 

2

2

2

2



q

p





z















 

c  

'

c  

 *

z *

z m 2

 2

p m

  

  

   

   

2



z



A



 

p q z * m

(3.28)

2

2

2

2

2

2

n

2 '

n

l

2 '

l

A







 









 

(3.29)

c c    '  

 q z * 2 m

 2

2 2  * m

 q z * 2 m

 2 L y

 2 L x

   

   

Trong đó:

(3.30)



2

2

2 

2 

(

)



q z

G









exp









A



 

.

dp z

c   '

c  



 p z * m 2

2  p z * 2 m

p q z z * m



  

  

  

  

      F  

  

      F  

  

  exp   

    

Khi đó:

 

2

2



(

q

)



z

G



d p

e x p







z

F

c  

'



p z 2

 * m

 

    

  

  

  

    

2

2



z



e x p









A



 

.

F

c  

2 z *

 2

p m

p q z * m

    

  

  

  

  

       

 

2

2



(

q

)

z



d p

e x p







z

F

c  

'



p z 2

 * m

 

    

  

  

  

    

*

2

2



A

m





z

 

 

p





e x p









.

z

F

c  

2 z *

  2



 2

p m

 q * m

q

z

    

  

          

   

   

   

   

 

*

2

2



(

q

)

z



d k

e x p







z

F

c  

'

*



m 2  q

k z 2

 m

z

 

    

  

  

  

    

*

2



A

m





 

 



e x p









k



.

F

c  

z

2 z *

  2



 2

k m

q

z

    

  

          

   

   

   

   

*) Tính G 

(3.31)

Nguyễn Thị Quyên 66



f x ( )



.

 





 x x 0

 f x 0

Luận văn tốt nghiệp 2011





Áp dụng công thức:

m *

m *

     A 

 

     A 

 

 G









exp



q z

c    '

c   

2  * 2 m

2  * 2 m

m * 2  q z

2  q z

2  q z

   

2    

   

2    

      F     

        

      F     

  exp   

             

2

 G





A



exp



A



      A





2   

c    '

c  

2 2  q z m 2 *

m * 2  q z

* m 2 2  q 2 z

* m 2 2  q 2 z

     

      F  

  exp   

          



 

G



exp



A





2    

  

c  

 exp

 1

 

    

m * 2  q z

* m 2 2  q 2 z

  

      F          F   

    

Ta có:

(3.32)

2

2



)



exp



A



2   

I

m k , ,

'

q ( z

c  



 G m k q , , z

m k , γ q z

 

       

     1 

 , '

L m * z 3  q 2 z

* m 2 2  q 2 z

  

       F   

   exp   

Thay (3.32) vào (3.17) ta có:

0

0

(3.33)

 , vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì

, ,

, ,

zm k qG

zmk qG  ,

Từ (3.33) ta thấy

 



 

 e q E 0 z  m *

tức là trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện: (3.34)

2

2

G





A



2   

, k m I  , '

q ( ) z



m k q , , z

m k , γ q z

 

      

      1 

 , '

L m * z 3  q 2 z

* m 2 2  q 2 z

       F   

    c  exp      

  exp    



exp



A



2   



 3.35

      

     1 

* m 2 2  q 2 z

       F   

    c  exp      

    

Thay (3.33) vào (3.13) ta có:

Biểu thức (3.35) là biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon

âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao

vô hạn trường hợp hấp thụ nhiều photon với khí điện tử không suy biến.

Nguyễn Thị Quyên 67

c) Trường hợp khí điện tử suy biến mạnh, hàm phân bố Fermi – Dirac được lấy gần

Luận văn tốt nghiệp 2011

khi

)

(

)







(



 )

f p (  z

   F 

p z

khi

(

)

exp

(

)



 1

   F     

F

p z p z

 F

1 p z

    

 

1    0 

khi

(



)





(



)

(



)



   F  '

p z

q z

f  '

p z

q z





khi

(



)

1 

(

)





1

exp

   F  '     '

F

p z p z

q z q z

p z

q z

 F

1   0 

 

     ' Vậy ta có thể viết:

2

(

p

)



đúng là hàm bước nhảy như sau [25]:



f 

z

c  

 2

2 p z * m

    F 

  

2



q

p

2



z

(

p



q

)







f 

'

z

z

c   '

 *

z m 2

    F  

   





2 

2 

2



q z

 G











A



.

dp z

c      ' F



 p z * m 2

2 2  p z * m 2

p q z z * m



   

  

    c          

   

       F    

2



* m

2 





q z

 

 G













.

dp z

c      ' F

p q z z



     A  2 

 p z * m 2

2 2  p z * 2 m

2  * m



  

   

   

    c          

       

       F    

2

2



2



A

* m



q

p









z



 

 

G



dp













.

z

c   '

p q z

z



  2

* m 2 



 z * m 2

 2

2 p z * m



    F 

   c       

   

   

       

   

       F    

Tính G 

*



A

m





 

 

*

khi



p q z

z

  2



A

m





 

 







p q z

z

  2

*



A



m





   

   

 

 

   

   

0

khi



p q z

z

   2



 1     

Theo tính chất hàm δ, ta có:

Nguyễn Thị Quyên 68

Ta có:



A

* m





2

 

 



p



q



2

2 z

2 z

  2



2





   

   

.

G



dp











z

c   '

c  



m * 2 

2

* m

 2

2 p z * m



  

    F 

      

        

           F       



2

2



.

G



dp



p



q



A









   

z

2 z

2 z

c   '

c  







m * 2 

 * 2 m

 2

2 p z * m



  

  

    F 

    

       F   

Luận văn tốt nghiệp 2011

2

khi



p



q



A

2



   

 F

2 z

2 z

c   '







p



q



A



   

2 z

2 z

c   '





 * 2 m

    F 

khi



p



q



A



   

 F

2 z

2 z

c   '





 * 2 m 2  * 2 m

 1         0 

2

khi





2

 F

c  





c  

 2

2 p z * m

    F 

  

0

khi





 F

c  

 2  2

2 p z * m 2 2 p z * m

 1      

*

2







A



q

Theo tính chất hàm bước nhảy θ





F

c 

'

2 z

 



m 2 



G



d p

.

z

* 2

 

m 

*

2







c 

F

 



m 2 



G





A

q





F

2 z

F

 c     '

    

 c    



m * 2 

2 * m 2 

2 * m 2 

   

   

3/2

2

2

*







G





A

q





F

'

2 z

F

 c    

    

 c    



m 3 

 2 * m

   

   

Ta có

3/2

2

2

2

 L m z



γ

)



A





 G m n q , ,

m k , q

, k m I  ' ,

q ( z

2 q z

 c     ' F

    

 c     F







z

z

 * 4



 2 * m

 2

 , '

   

   

(3.36)

Nguyễn Thị Quyên 69

Ta có:



A







  





  

2 q z

 c    F  '

   

 c     F



 c     F



 c    F 



2  2 * m

3/2

2

2

 L m z

G



γ

(

q

)



  



  

 m n q ,

,

I

, k m  , '

z

F

F

 c    



 c    







z

m k , q z

 * 4



 2

 , '

Luận văn tốt nghiệp 2011

0

(3.37)

 , vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì

 , 0

, ,

, ,

zmk qG

zm k qG

Từ (3.37) ta thấy

 



 

 e q E 0 z  m *

tức là trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện:

3/2

2

2

 L m z

G



(3.38)

 





  

q ( I

, m k  ' ,

 c    F 



 c    F 





m n q , , z

 

   , '

 * 4  2





 



   

 c    F 



 c    F 



 

 ) z m k , γ q z (3.39)

Như vậy từ biểu thức (3.26), (3.34), (3.38) ta có điều kiên để có sự gia tăng sóng âm

0

 

 e q E z m  *

(phonon âm) là:

(3.40)

Biểu thức (3.39) là biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon

âm) giam cầm bởi cường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao

vô hạn trường hợp hấp thụ nhiều photon với khí điện tử suy biến mạnh.

Vậy bằng phương pháp phương trình động lượng tử, chúng tôi đã tìm ra biểu

thức giải tích của tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng

tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường laser trong trường hợp tổng

quát (3.24), trường hợp khí điện tử không suy biến (3.35) và trường hợp khí điện tử

suy biến mạnh (3.39), và điều kiện để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam

cầm (3.40).

Nguyễn Thị Quyên 70

Luận văn tốt nghiệp 2011

3.2. Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết, bàn luận kết quả cho dây

lượng tử GaAs/GaAsAl.

Để làm rõ kết quả lý thuyết đã tìm được ở mục (3.1), trong phần này ta tính

toán số cho tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn cho dây lượng tử

GaAs/GaAsAl. Tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) là hàm của cường độ E0,

nhiệt độ T, tần số trường Ω, kích thước Lx ,Ly của dây lượng tử, số sóng qz, lượng

tử số giam cầm phonon (m, k). Ta tính toán cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl với

những thông số cụ thể như sau [22, 24]:

Khối lượng điện tử hiệu dụng: m*=0.067 x 9.1095 x 10-31 (kg)

Điện tích điện tử :

Hằng số Boltzman:

Hằng số planck:

Hằng số biến dạng: e=1.60219 x 10-19 (C) Kb=1.3807 x 10-23 (J/K)  =1.05459 x 10-34 (J/s) =2.2 x 10-18 ( J)

Mật độ tinh thể:  =5300 kg/m3

sv =5200m/s

Vận tốc sóng âm:

Chiều dài của dây: Lz=10000x 10-10 (m)

Năng lượng phonon:  =36.25 meV

0.05

F 

Năng lượng Fermi: eV

2

2

G





, m k I  ' ,

q ( ) z



m k q , , z

mk , γ q z

 , '

Lm *   z 3 2 q z

* m









A



2    

q z

c     '  F

c   F 

2  * 2 m



  A 2  q z

* m 2 2  2 q z

  

2   

     

    exp        

 1    1   

       

     exp    

 1    1   

      









A



2    

q z

c    '

c   F 

2  * 2 m

 *  A m 2  q z

* m 2 2  q 2 z

  

2   

     

     F    

    exp        

 1     . 1      

 1   1    

      exp         

Ta có biểu thức giải tích:

Trong đó:

Nguyễn Thị Quyên 71

2

2

2



q



Luận văn tốt nghiệp 2011

m k ,  q

2 z

z

2

 m L

 k L

   V s

x

y

  

  

    

   

là hằng số tương tác điện tử- phonon âm.

2

2

2

2

I

(

q

)



 (2 )

6

/

q

q



q



(

m



/

L

)



(

k



/

L

)

Thừa số dạng:

, m k   ,

'

z

2 P m k ,

2 z

x

y



1  1

m k ,

L

/2

/2

y

L x



dx

d y

( c os

( ) os c

( ) c os

( ) cos

( ) c os

( ) c os

) .

P m k ,

 



2 L x

2 L y

 n x L x

 ' n x L x

 ' y L y

 m y L x

 k y L y

  x L y



Lx

/2



Ly

/

2

và:

2

2

2

2

2









c  

c  

'

 2

2  * m

 2

2  * m

n 2 L x

l 2 L y

n ' 2 L x

2 l ' 2 L y

   

   

   

   

2

2

A







 

=1/(Kb.T)

c    ' 

c 

 zq *2 m

. Trong đó:

6

5

T=25K T=77K T=300K

4

3

)

1 -

2

s

5 1

0 1

1

 (

0

G

-1

-2

-3

-4

10

15

20

30

35

25 ( 108 m-1)

q z

Kết quả tính số được trình bày từ hình 3.1 đến hình 3.6:

Hình 3.1:Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào số sóng qz

với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Hình 3.1 cho thấy: tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ

thuộc phi tuyến vào số sóng qz. Có vùng tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam

Nguyễn Thị Quyên 72

cầm nhận giá trị âm, tức là có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm) giam cầm. Tương

Luận văn tốt nghiệp 2011

ứng với sự tăng của nhiệt độ, các giá trị cực đại giảm và có sự dịch chuyển trong

một vùng nhỏ số sóng qz, khi có sự gia tăng sóng âm (phonon âm), giá trị cực đại

dịch chuyển về phía số sóng nhỏ, ngược lại, khi có sự hấp thụ sóng âm (phonon

âm) giá trị cực đại dịch chuyển về phía số sóng lớn. Nhiệt độ càng thấp, sự thay đổi

sóng âm (phonon âm) giam cầm càng nhạy với số sóng qz.

Từ đồ thị ta thấy, với những điều kiện đặt vào vật liệu ở hình 3.1 sự gia tăng sóng âm (phonon âm) xảy khi số sóng thuộc khoảng 10. 108 m-1 đến 24,5 .108m-1, khi số sóng qz lớn hơn 24,5 .108 m-1 bắt đầu có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm).

Sự hấp thụ sóng âm (phonon âm) cũng tăng dần đến một giá trị cực đại rồi giảm

đến bằng không, và sau đó hầu như không có sự thay đổi sóng âm (phonon âm).

Như vậy trong cùng một điều kiện đặt vào vật liệu, sóng âm (phonon âm)

10

8

 =0,8.1014Hz  =1.1014Hz  =1,2.1014Hz

6

4

)

1 -

s

2

5 1

0 1

0

-2

 (

G

-4

-6

-8

-10

1

2

3

5

6

7

E

4 ( 107 V/m) 0

gia tăng mạnh ở miền số sóng này và bị hấp thụ mạnh ở miền số sóng khác.

Hình 3.2: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào cường độ

trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau của tần số trường bức xạ laser.

Hình 3.2 cho thấy: tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ

thuộc phi tuyến vào cường độ trường bức xạ laser E0. Có những vùng tốc độ thay

đổi sóng âm (phonon âm) nhận giá trị âm, tức là có sự hấp thụ sóng âm (phonon

Nguyễn Thị Quyên 73

âm). Tương ứng với sự tăng của tần số trường bức xạ laser, các giá trị cực đại có sự

Luận văn tốt nghiệp 2011

dịch chuyển theo chiều tăng cường độ trường bức xạ laser, tuy nhiên, giá trị cực đại

này lại không phụ thuộc vào tần số trường bức xạ. Sự hấp thụ sóng âm (phonon

âm) đạt một giá trị cực đại rồi sau đó giảm dần đến một giá trị bão hòa, giá trị bão

hòa này rất nhỏ, gần như bằng không.

Từ đồ thị ta thấy với những điều kiện đặt vào vật liệu trong hình 3.2, sự gia

tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm xảy khi cường độ trường laser thuộc khoảng 2,7.107 m-1 đến 6,7.107m-1, khi cường độ trường bức xạ laser lớn hơn 6,7 .107 m-1

tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) đạt một giá trị bão hòa, giá trị bão hòa này rất

nhỏ, tuy nhiên cường độ trường bức xạ laser để đạt giá trị bão hòa này sẽ tăng cùng

với sự tăng của tần số trường bức xạ laser.

Như vậy trong cùng một điều kiện đặt vào vật liệu, sóng âm (phonon âm)

gia tăng mạnh ở miền cường độ trường bức xạ laser này và bị hấp thụ mạnh ở miền

cường độ trường bức xạ laser khác, miền giá trị cường độ trường bức xạ laser để

xảy ra sự gia tăng hay suy giảm sóng âm (phonon âm) giam cầm còn phụ thuộc vào

20

=7.108 m-1

q z

=9.108 m-1

q z

15

=13.108 m-1

q z

10

)

1 -

s

5 1

0 1

5

 (

G

0

-5

-10

50

100

150

200

250

300

350

400

T (K)

các điều kiện khác đặt vào vật liệu.

Hình 3.3: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào nhiệt độ

với các giá trị khác nhau của số sóng qz.

Nguyễn Thị Quyên 74

5

4

m,k:1->3 m,k:1->5 m,k:1->7

3

)

1 -

s

2

5 1

0 1

1

 (

G

0

-1

-2

15

20

25

35

40

45

50

10

30 Lx (nm)

Luận văn tốt nghiệp 2011

Hình 3.4: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào

kích thước lượng tử Lx với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng tử

5

4

m,k:1->3 m,k:1->5 m,k:1->7

3

)

1 -

2

s

5 1

0 1

1

 (

G

0

-1

-2

10

15

20

25

35

40

45

50

30 (nm)

L y

đặc trưng cho sự giam cầm phonon

Hình 3.5: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào

kích thước lượng tử Ly với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng tử

đặc trưng cho sự giam cầm phonon

Nguyễn Thị Quyên 75

Luận văn tốt nghiệp 2011

Hình 3.3 cho thấy với những điều kiện mà ta đặt vào vật liệu: tốc độ thay đổi

sóng âm (phonon âm) phụ thuộc phi tuyến vào nhiệt độ của hệ và giảm cùng với sự

tăng của nhiệt độ. Tùy thuộc vào giá trị số sóng qz mà với cùng một nhiệt độ ta có

sự gia tăng hay hấp thụ sóng âm (phonon âm) giam cầm.

Hình 3.4 và hình 3.5 cho thấy với những điều kiện đặt vào vật liệu mà ta

khảo sát: tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc phi tuyến vào

kích thước dây lượng tử Lz,Ly có dạng tương tự nhau. Tốc độ thay đổi sóng âm

(phonon âm) nhận cả giá trị dương và âm, tức là có sự gia tăng và hấp thụ sóng âm

(phonon âm). Khi kích thước lượng tử Lx, Ly đạt giá trị khoảng 10nm bắt đầu có sự

thay đổi sóng âm (phonon âm). Tốc độ hấp thụ sóng âm (phonon âm) đạt cực đại

khi Lx, Ly đạt giá trị khoảng 16nm, và tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) đạt cực

20

15

T=25K T=77K T=300K

10

)

5

1 -

s

5 1

0 1

0

 (

-5

G

-10

-15

-20

1

2

3

5

6

7

4  ( 1014 Hz)

đại khi Lx, Ly đạt giá trị khoảng 37nm.

Hình 3.6: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào

tần số trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Nguyễn Thị Quyên 76

Luận văn tốt nghiệp 2011

Hình 3.6 cho thấy: tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ

thuộc phi tuyến vào tần số trường bức xạ laser  . Có vùng tốc độ thay đổi phonon

âm nhận giá trị âm, tức là có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm) giam cầm. Tương

ứng với sự tăng của nhiệt độ, các giá trị cực đại giảm và có sự dịch chuyển trong

một vùng nhỏ tần số trường bức xạ laser Ω, khi có sự gia tăng sóng âm (phonon

âm), giá trị cực đại dịch chuyển về phía tần số Ω nhỏ, ngược lại, khi có sự hấp thụ

sóng âm (phonon âm) giá trị cực đại dịch chuyển về phía tần số Ω lớn.

Từ hình (3.6) ta thấy, với những điều kiện đặt vào vật liệu trong hình 3.6 sự

gia tăng sóng âm (phonon âm) xảy khi tần số trường bức xạ laser  thuộc khoảng 1. 1014 Hz đến 2,4. 1014 Hz , khi tần số trường bức xạ laser  lớn hơn 2,4. 1014 Hz bắt đầu có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm). Sự hấp thụ cũng tăng dần đến một giá

trị cực đại rồi giảm xuống.

Như vậy trong cùng một điều kiện đặt vào vật liệu, sóng âm (phonon âm)

gia tăng mạnh ở miền tần số trường bức xạ laser này và bị hấp thụ mạnh ở miền tần

số trường bức xạ laser khác.

Nhận xét sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) vào chỉ số

lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k): qua biểu thức (3.39) và quá

trình tính số thể hiện ở các hình 3.4 và hình 3.5 ta nhận thấy tốc độ thay đổi sóng

âm (phonon âm) phụ thuộc phi tuyến vào m, k.

So sánh kết quả nhận được khi tính toán tốc độ thay đổi sóng âm (phonon

âm) giam cầm với trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây

lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn:

2

2

2





 ( ) q

C





 





 G q

 , '

   q



  



m 2 

 * 2 m

* q

q 2

 , '

L m * z 3  q 2 z

  

  

   

   

      ' F  

   

 1   1   

  exp    

2

2









 



   q



  

m 2 

 * 2 m

* q

q 2

  

  

   

   

      F  

   

  exp   

 1     1      

Biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm là: [24]

Nguyễn Thị Quyên 77

G



G G 

q

q

 q



 

Luận văn tốt nghiệp 2011

 ' ( ) q

  ,

  e q E 0  m *

2

  q  V s

C

n

'

n

2 y

2 y

2 x

2 ' x

Trong đó: ;







    

'

2 2   2 * m

 n 2 L x

 n 2 L y

   

   

 

(với nx, ny là chỉ số giam cầm điện tử theo hai phương x,y)

Như vậy: so sánh biểu thức tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong

trường hợp sóng âm (phonon âm) giam cầm và sóng âm (phonon âm) không giam

cầm, ta thấy có sự khác biêt là trong trường hợp giam cầm phonon âm, biểu thức

q

)

của tốc độ gia tăng phonon âm đã thể hiện sự phụ thuộc vào chỉ số lượng tử đặc

m k ,γ q

, k m I   ,

' (

z

z

trưng cho sự giam cầm phonon qua biểu thức tường minh của và .

Đồ thị tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình chữ

nhật hố thế cao vô hạn (không kể đến sự giam cầm phonon) qua [24] như sau:

Hình 3.7: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào số sóng ứng với

nhiệt độ T=25K (đường chấm), T=77K (đường gạch), T=300K (đường liền)

(trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm)[24]

Nguyễn Thị Quyên 78

Luận văn tốt nghiệp 2011

Hình 3.8: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào cường độ trường bức xạ laser ứng với tần số trường bức xạ laser Ω=1. 1014 Hz (đường liền) , Ω=2. 1014 Hz (đường gạch), Ω=4. 1014 Hz (đường chấm)

(trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm) [24]

Như vậy so sánh hình 3.1, hình 3.2 (ứng với trường hợp phonon âm giam

cầm) với hình 3.7, hình 3.8 (ứng với trường hợp chưa kể đến sự giam cầm phonon)

thì tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm có nhiều sự khác biệt với tốc độ

thay đổi sóng âm (phonon âm) khi chưa kể đến giam cầm phonon và đặc biệt là: khi

có sự giam cầm sóng âm (phonon âm) tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) nhận

cả giá trị âm và dương, tức là có sự gia tăng và hấp thụ sóng âm (phonon âm) (hai

miền gia tăng và hấp thụ liền kề nhau), còn trong trường hợp sóng âm (phonon âm)

không giam cầm thì ta chỉ có một miền gia tăng sóng âm (phonon âm).

Nguyễn Thị Quyên 79

Luận văn tốt nghiệp 2011

KẾT LUẬN.

Trong luận văn này, bằng phương pháp sử dụng phương trình động lượng tử

cho hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao

vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser, chúng tôi thu được kết quả sau:

1) Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser, lần đầu tiên tìm

được biểu thức giải tích tường minh của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam

cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn, cho cả hai trường hợp khí

điện tử không suy biến và khí điện tử suy biến, cùng với điều kiện để có sự gia tăng

sóng âm (phonon âm) giam cầm. Chỉ ra được sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng

âm (phonon âm) giam cầm (G) vào số sóng (qz), cường độ (E0 ) và tần số (Ω) của

trường bức xạ laser, kích thước lượng tử (Lx, Ly) của dây lượng tử, nhiệt độ của hệ

(T), số lượng đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k).

2) So sánh với trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm ta thấy:

Biểu thức của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) còn phụ thuộc thêm vào

chỉ số giam cầm của phonon âm.

Kết quả tính số từ biểu thức tổng quát cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl thể

hiện được rõ sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm vào

các đại lượng kể trên, đồng thời chỉ ra rằng có sự gia tăng và suy giảm sóng âm

(phonon âm) trong hai miền liền kề nhau (điều này là khác biệt so với trường hơp

phonon âm không giam cầm chỉ có một miền gia tăng).

Qua kết quả tính số từ biểu thức tổng quát cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl

cho thấy có sự xuất hiện trường ngưỡng: chẳng những khi tần số hoặc cường độ

trường bức xạ laser phải đạt đến một giá trị nào đó mới xảy ra gia tăng sóng âm

(phonon âm) (ta gọi là ngưỡng dưới) mà còn tìm thấy, khi tần số hoặc cường độ

trường bức xạ laser lớn hơn một giá trị khác thì hiện tượng gia tăng cũng mất (ta gọi

là ngưỡng trên).

Nguyễn Thị Quyên 80

Luận văn tốt nghiệp 2011

Tµi liÖu tham kh¶o

1. Tiếng Việt.

[1]Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), Lý thuyết

bán dẫn, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[2]Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2007), Vật lý bán dẫn

thấp chiều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[3]Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng ( 2002 ), Lý thuyết trường lượng tử cho hệ

nhiều hạt, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[4]Nguyễn Quang Báu, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Vũ Nhân (1990), tạp trí nghiên cứu

khoa học kĩ thuật quân sự, số 24, Hà Nội.

[5]Nguyễn Quang Báu, Choumm Navy, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Mạnh Trình

(1997), báo cáo hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 22, Đồ Sơn.

[6]Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Mạnh Trình

(1998), báo cáo hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 23, TP Hồ Chí

Minh.

[7]Nguyễn văn Hùng (2000), Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[8]Nguyễn Quốc Hưng (2002), phương trình động lượng tử và sự gia tăng sóng âm

(phonon âm) trong hệ điện tử chuẩn một chiều, khóa luận tốt nghiệp, trường

Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[9]Đinh Quốc Vượng (1999), tính toán hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong

hố lượng tử với khí điện tử suy biến bằng phương pháp phương trình động

lượng tử, luận văn thạc sĩ Vật lý, Hà Nội.

2. Tiếng Anh

[10]A. L. Troncini and O. A. C. Nunes (1986), Phys. Rev. B33, 4125.

[11]N. Q. Bau, N. V. Nhan, C. Navy (1999), VNU. Journal of Science, Nat.

Sci.,tXV,n2.

[12]C.Kittel, Quantum theory of Solids, John Wiley & Sons, Inc. 1987

[13]E.M.Epstein, Radio in Physics, 18 (1975), 785.

Nguyễn Thị Quyên 81

[14]E.M.Epstein, Lett. JEPT, 13 (1971), 511.

Luận văn tốt nghiệp 2011

[15]J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat. Comm. 74 (1990), 397

[16]J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat.Comm. 64 (1987),1396

[17]L. C. Miranda, J. Phys, C 9 (1976),2971

[18] M. A. Stroscio, Phys. Rev. B 40 (1989) 6428.

[19] N. Nishiguchi, Phys. Rev. B 52 (1995) 5279.

[20]O. A. C. Nunes, Phys. Rev. B 29(1984), 5679

[21]Peiji Zhao, Phys. Rev, B49 (1994), 13589.

[22]L. T. T. Phuong, N. V. Nhan, N. T. Linh, N. Q. Bau (2010), Proc. Natl. Conf.

Theor. Phys. 35, pp. 153-160

[23]T. C. Phong, L. V. Tung, N. Q. Bau, J. Korean Phys. Soc. 53 (2008) 1971.

[24]T. C. Phong, L. Dinh, N. Q. Bau, D. Q. Vuong (2006), Journal of the Korean

Physical Society, Vol. 49, No. 6, December 2006, pp. 2367 ~ 2372

[25]Pagiotis Vasilopoulos and Carolyn M. Van Vliet (1983), J. Math. Phys. 25(5).

[26]R. Mickevicius and V. Mitin, Phys. Rev. B 48, 17194(1993).

[27]N. H. Son, ShmelevG.M, Epstein E.M.,Izv.VUZov USSR , Physics,5(1984),19.

Nguyễn Thị Quyên 82

Luận văn tốt nghiệp 2011

PHỤ LỤC

Phần tính số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số gia tăng sóng âm (phonon

âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô được thực hiện bằng

ngôn ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows.

Phụ lục 1

Lập hàm tính tốc độ gia tăng phonon âm ( sóng âm) giam cầm trong dây

lượng tử hình chữ nhật dưới dạng tổng quát.

%Ham tinh toc do thay doi phonon am duoi dang tong quat:

function ham=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1)

syms x y

m=(9.1095*1e-31).*0.067;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

e1=2.2*10^(-18);

ro=5300;

vs=5200;

Lz=1000e-10; %do dai day

a=36.25*1.6*10^(-22);

eF=0.05*1.6*10^-19;

beta=1./(kb.*T);

V=Lx*Ly*Lz;%the tich day hinh chu nhat

hesoI=(m.*Lz)./(2.*h^3.*qz);

mu=(e.*h.*qz.*E0)./(m.*om);

ham1=0;

for l=1:4

for n=1:4

for lphay=1:4

for nphay=1:4

Nguyễn Thị Quyên 83

for m0=1:m1

Luận văn tốt nghiệp 2011

for k=1:k1

q=sqrt(qz.^2+(m0.*pi./Lx).^2+(k.*pi./Ly).^2);

gama=sqrt((h.*e1^2).*q.^2./(2.*ro.*vs.*V));

P=int(((2./Lx).*int(((2.*Ly).*cos(n.*pi.*x./Lx).*cos(l.*pi.*y./Ly)*cos(nphay.*pi.*x

./Lx)...

.*cos(lphay.*pi.*y./Ly).*cos(m0.*pi.*x./Lx).*cos(k.*pi.*y./Ly)),y,(-

Ly./2),(Ly./2))),x,(-Lx./2),(Lx./2));

I=(2.*pi).^2.*16.*P.^2./q;

eanpha=h.^2.*pi.^2./(2.*m).*(n.^2./(Lx.^2)+l.^2./(Ly.^2));

eanphaphay=h.^2.*pi.^2./(2.*m).*(nphay.^2./(Lx.^2)+lphay.^2./(Ly.^2));

A=(h.^2.*pi.^2./(2.*m)).*((nphay.^2-n.^2)./(Lx.^2)+(lphay.^2-

l.^2)./(Ly.^2))+(h.^2.*qz.^2)./(2.*m)-a;

Ic=((exp(beta.*((h.^2)./(2.*m).*(m./(h.^2.*qz).*(A+mu)-

qz).^2+eanphaphay-eF))+1).^(-1)-

(exp(beta.*(m./(2.*h.^2.*qz.^2).*(A+mu).^2+eanpha-eF))+1).^(-1));

It=((exp(beta.*((h.^2)./(2.*m).*(m./(h.^2.*qz).*(mu-

A)+qz).^2+eanphaphay-eF))+1).^(-1)-(exp(beta.*(m./(2.*h.^2.*qz.^2).*(mu-

A).^2+eanpha-eF))+1).^(-1));

ham1=ham1+gama.^2.*I.^2.*(Ic+It);

end

end

end

end

end

end

ham=hesoI.*ham1;

Nguyễn Thị Quyên 84

Luận văn tốt nghiệp 2011

Phụ lục 2

Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam cầm

vào số sóng ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

%hinh2: su phu thuoc G vao vecto song theo phuong z: qz;

clear all;close all;clc;

T1=25;

T2=77;

T3=300;

E0=8e+7;

m1=2;k1=2;

Lx=150e-10;

Ly=200e-10;

om=1e+14;

figure(1)

qz=linspace(10e8,35e+8,500);

y1=chuan(E0,T1,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y2=chuan(E0,T2,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y3=chuan(E0,T3,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

plot(qz/1e8,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(qz/1e8,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5)

plot(qz/1e8,y3/1e15,':k','linewidth',1.5)

legend('T=25K','T=77K','T=300K')

xlabel('q_z (\times 10^{8} m^{-1})')

ylabel('G (\times 10^{15} s^{-1})')

Nguyễn Thị Quyên 85

Luận văn tốt nghiệp 2011

Phụ lục 3.

Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam

cầm vào cường độ trường bức xạ laser ứng với các giá trị khác nhau của tần số

trường bức xạ laser.

%hinh3: su phu thuoc G vao E

clear all;close all;clc;

T=77;

Lx=150e-10;

Ly=200e-10;

m1=2;k1=1;

qz=10e8;

om1=0.8e14;

om2=1e14;

om3=1.2e14;

E0=linspace(1e7,7e7,1000);

y1=chuan(E0,T,om1,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y2=chuan(E0,T,om2,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y3=chuan(E0,T,om3,Ly,Lx,qz,m1,k1);

figure(4)

plot(E0/1e7,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(E0/1e7,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5);

plot(E0/1e7,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('\Omega=0,8.10^{14}Hz','\Omega=1.10^{14}Hz','\Omega=1,2.10^{14}Hz')

xlabel('E_0 (\times 10^{7} V/m)')

ylabel('G (\times 10^{15} s^{-1})')

Nguyễn Thị Quyên 86

Luận văn tốt nghiệp 2011

Phụ lục 4

Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam cầm

vào nhiệt độ ứng với các giá trị khác nhau của số sóng.

%hinh4: su phu thuoc G vao nhiet do voi 3 gia tri khac nhau cua m,k

clear all;close all;clc;

Lx=150e-10;

E0=8e7;

om=2.3e+14;

m1=2;k1=2;

Ly=200e-10;

qz1=7e8;

qz2=9e8;

qz3=13e8;

T=linspace(50,400,500);

y1=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz1,m1,k1);

y2=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz2,m1,k1);

y3=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz3,m1,k1);

figure(5)

plot(T,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(T,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5);

plot(T,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('q_z=7.10^8 m^{-1}','q_z=9.10^8 m^{-1}','q_z=13.10^8 m^{-1}')

xlabel('T (K)')

ylabel('G (\times 10^{15} s^{-1})')

Nguyễn Thị Quyên 87

Luận văn tốt nghiệp 2011

Phụ lục 5

Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam

cầm vào kích thước lượng tử Lx ứng với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng

tử giam cầm phonon.

%hinh5: su phu thuoc G vao kich thuoc luong tu cua day luong tu Lx với 3 gia trị

m,k;

clear all;close all;clc;

T=77;

E0=3e+7;

Ly=150e-10;

m1=3;k1=3;

m2=5;k2=5;

m3=7;k3=7;

qz=10e+8;

om=1e+14;

figure(3)

Lx=linspace(100e-10,500e-10,500);

y1=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y2=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m2,k2);

y3=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m3,k3);

plot(Lx/1e-9,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(Lx/1e-9,y2/1e15,'k--','linewidth',1.5);

plot(Lx/1e-9,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('m,k:1->3','m,k:1->5','m,k:1->7')

xlabel('L_x (nm)')

ylabel('G (\times 10^{15} s^{-1})')

Nguyễn Thị Quyên 88

Luận văn tốt nghiệp 2011

Phụ lục 6

Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam

cầm vào kích thước lượng tử Ly ứng với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng

tử giam cầm phonon.

%hinh6: su phu thuoc G vao kich thuoc luong tu cua day luong tu Ly voi 3 gia tri

m,k;

clear all;close all;clc;

T=77;

E0=3e+7;

Lx=150e-10;

m1=3;k1=3;

m2=5;k2=5;

m3=7;k3=7;

qz=10e+8;

om=1e+14;

figure(3)

Ly=linspace(100e-10,500e-10,500);

y1=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y2=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m2,k2);

y3=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m3,k3);

plot(Ly/1e-9,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(Ly/1e-9,y2/1e15,'k--','linewidth',1.5);

plot(Ly/1e-9,y3/1e15,'k.','linewidth',1.5);

legend('m,k:1->3','m,k:1->5','m,k:1->7')

xlabel('L_y (nm)')

ylabel('G (\times 10^{15} s^{-1})')

Nguyễn Thị Quyên 89

Luận văn tốt nghiệp 2011

Phụ lục 7

Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam cầm

vào tần số trường bức xạ laser ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

%hinh7: su phu thuoc G vao tan so photon voi 3 gia tri nhiet do;

clear all;close all;clc;

h=1.05459*1e-34;

e=1.60219*1e-19;

T1=25;

T2=77;

T3=300;

E0=8e+7;

Lx=150e-10;

Ly=200e-10;

m1=2;k1=2;

qz=10e8;

figure(5)

om=linspace(1e14,7e14,500);

y1=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y2=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

y3=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);

plot(om/1e14,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(om/1e14,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5);

plot(om/1e14,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('T=25K','T=77K','T=300K')

xlabel('\Omega (\times 10^{14} Hz)')

ylabel('G (\times 10^{15} s^{-1})')

Nguyễn Thị Quyên 90