Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM TUẤN VINH

NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG

ELECTRON-PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG

TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Huế, 2021

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM TUẤN VINH

NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG

ELECTRON-PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG

TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 9 44 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. LÊ ĐÌNH PGS. TS. LƯƠNG VĂN TÙNG

Huế, 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và

kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho

phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu

nào khác.

Huế, tháng 08 năm 2021

Tác giả luận án

Phạm Tuấn Vinh

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận án này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến

PGS.TS. Lê Đình và PGS.TS. Lương Văn Tùng. Đây là những người thầy đã

tận tình dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập cũng

như nhiều đóng góp quý báu để tác giả hoàn thành luận án. Qua đây, tác giả

cũng gửi lời tri ân đến GS. TS. Trần Công Phong người đã dẫn dắt và truyền

nhiệt huyết để tác giả vào hướng nghiên cứu này. Xin chân thành cảm ơn PGS.

TS. Huỳnh Vĩnh Phúc là một người anh, người thầy đã động viên để tác giả

hoàn thiện bản thân như hôm nay.

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại học

của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế; Ban đào tạo Sau đại học, Ban

Giám đốc Đại học Huế đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả được học tập,

nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Đồng

Tháp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian và kinh phí để tác giả học tập

nâng cao trình độ chuyên môn và hoàn thành luận án. Cảm ơn quý Thầy, Cô,

và các đồng nghiệp trong và ngoài khoa Sư phạm Khoa học Tự nhiên đã động

viên tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận án.

Đây cũng là cả một sự cống hiến thầm lặng, thông cảm và lâu dài của những

thành viên thân yêu trong gia đình nhỏ; xin cảm ơn rất rất nhiều vì tất cả. Luận

án được hoàn thành tại Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý của Trường Đại

học Sư phạm, Đại học Huế./.

Tác giả luận án

Phạm Tuấn Vinh

MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Danh mục các từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Danh mục một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Danh mục các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

PHẦN MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PHẦN NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Tổng quan về đối tượng và phương pháp

nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử . . . . . . . .

1.1.1 Bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Cấu trúc giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng

lượng tử với thế giam giữ bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng

lượng tử khi có mặt từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5 Giếng lượng tử thế tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.6 Giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt . . . . . 13

1.2 Tổng quan về phương pháp chiếu toán tử . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon . . . . . 16

1.2.2 Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn khi có điện trường

xoay chiều cao tần đặt vào hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Biểu thức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ tuyến tính . 21

1.2.4 Biểu thức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ phi tuyến . . 24

iii

1.3 Phương pháp hàm Green biểu diễn qua lý thuyết nhiễu loạn . . . 28

1.3.1 Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . 28

1.3.2 Xác suất dịch chuyển dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn . . . 29

1.3.3 Tương tác electron-phonon-photon . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.4 Xác suất dịch chuyển và hệ số hấp thụ quang từ khi có

mặt từ trường biểu diễn qua hàm Green . . . . . . . . . . . 33

1.4 Phương pháp profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Chương 2. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng lượng tử thế

tam giác

2.1 Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng tử

thế tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 Biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . . . . . . 44

2.2 Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODEPR . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2

Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào

điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.3

Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào

nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Chương 3. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng lượng tử thế

hyperbol bất đối xứng đặc biệt

3.1 Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng tử

thế hyperbol bất đối xứng đặt biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODEPR . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2

Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào thông số a 57

3.2.3

Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào

nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Chương 4. Cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử thế tam

giác

4.1 Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng

tử thế tam giác

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODMPR . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2

Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ

vào điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.3

Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ

vào từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.4

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch

phổ vào nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Chương 5. Cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử thế hy-

perpol bất đối xứng đặc biệt

5.1 Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng

tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

. . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODMPR . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.2

Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ

vào thông số a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.3

Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ

vào nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.4

Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ

vào từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

KẾT LUẬN CHUNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt

MBE Molecular beam epitaxy Epitaxy chùm phân tử

MOVPE Metal organic vapor phase epitaxy Epitaxy pha hơi kim loại

hữu cơ

MOCVD Metal organic chemical vapor deposition Lắng đọng hơi kim

loại hữu cơ

2DEG Two dimensional electron gas Khí điện tử hai chiều

QW Quantum well Giếng lượng tử

TrQW Triangular quantum well Giếng lượng tử thế tam giác

SAsHQW Special asymmetric hyperbolic-type quantum well Giếng lượng tử thế hyperbol

bất đối xứng đặc biệt

EPR Electron-phonon resonance Cộng hưởng electron-phonon

ODEPR Optically detected Cộng hưởng electron-phonon

electron-phonon resonance dò tìm bằng quang học

MPR Magneto-phonon resonance Cộng hưởng từ-phonon

ODMPR Optically detected Cộng hưởng từ-phonon

magneto-phonon resonance dò tìm bằng quang học

AP Absorption power Công suất hấp thụ

MOAC Magneto-optical absorption coefficient Hệ số hấp thụ quang từ

FWHM Full-width at half maximum Độ rộng phổ toàn phần ở nửa

cực đại (Độ rộng vạch phổ)

DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU

Kí hiệu Đại lượng tương ứng

Hamiltonian của hệ

Thể tích của hệ

Khối lượng của electron tự do

m0 m∗

Khối lượng hiệu dụng của electron

(cid:15)0

Hằng số điện trong chân không

χ0

Hằng số điện môi tĩnh

χ∞

Hằng số điện môi cao tần

Số lượng tử

Chỉ số mức Landau

ωc

Tần số cyclotron

Bán kính cyclotron

Cảm ứng từ

Cường độ điện trường

Biên độ điện trường

Năng lượng photon

E0 (cid:126)Ω (cid:126)ωLO

Năng lượng phonon quang dọc

B0(Ω)

B1,2(2Ω) Phần ảo của hàm dạng phổ phi tuyến

Phần ảo của hàm dạng phổ tuyến tính

P0(Ω)

Công suất hấp thụ tuyến tính

P1(Ω)

K(Ω)

Công suất hấp thụ phi tuyến

“X”

vii

Hệ số hấp thụ quang từ. Vectơ X ( (cid:126)X) .

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Minh họa hình dạng và mật độ trạng thái của bán dẫn khối (3D),

giếng lượng tử (2D), dây lượng tử (1D) và chấm lượng tử (0D). . . . . 9

10 Hình 1.2 Mô hình cấu trúc giếng lượng tử GaAlAs/GaAs/GaAlAs . . . . .

Hình 1.3 Sự phụ thuộc của thế giam giữ tam giác theo hướng z vào các giá

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 trị khác nhau của điện trường F .

Hình 1.4 Hình dạng giếng lượng tử thế kiểu hyprebol bất đối xứng đặc biệt

. . . . . . . . . . . . . . . . . 13 với ba giá trị khác nhau của thông số a.

Hình 1.5 Độ rộng vạch phổ được xác định từ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc

của công suất hấp thụ vào năng lượng photon. . . . . . . . . . . . . . . 36

Hình 2.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng

48 photon. Ở đây, T = 200 K và F = 10 × 105 V/m. . . . . . . . . . . . .

Hình 2.2 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng photon.

. . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ở đây, T = 200 K và F = 10 × 105 V/m.

Hình 2.3 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với

3 giá trị khác nhau của điện trường nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính

và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường

gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương

ứng với F = 5 × 105 V/m, F = 10 × 105 V/m và F = 15 × 105 V/m. Ở

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 đây, T = 200 K.

Hình 2.4 Sự phụ thuộc của FWHM vào điện trường. Các chấm vuông (đặc,

màu xanh) và (rỗng, màu đen) lần lượt tương ứng với quá trình hấp thụ

tuyến tính và phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Hình 2.5 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với

3 giá trị khác nhau của nhiệt độ nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và

b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường

gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương

viii

ứng với T = 100 K, T = 200 K và T = 300 K. Ở đây, F = 10 × 105 V/m. 51

Hình 2.6 Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ tại F = 10 × 105 V/m. Các

chấm tròn (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đen) lần lượt tương ứng với

quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Hình 3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng

. . . . . . . . . . . . . . . . 55 photon. Ở đây, T = 300 K và a = 20 nm.

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng

. . . . . . . . . . . . . . . . 56 photon. Ở đây, T = 300 K và a = 20 nm.

Hình 3.3 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với

các giá trị khác nhau của thông số a nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính

và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Đường liền nét (màu đen), đường

gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương

. . . 57 ứng với a = 18 nm, a = 20 nm và a = 22 nm. Ở đây, T = 300 K.

Hình 3.4 Sự phụ thuộc của FWHM vào thông số a tại T = 300 K. Các chấm

vuông (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đỏ) lần lượt mô tả quá trình hấp

thụ tuyến tính và phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Hình 3.5 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối

với các giá trị khác nhau của nhiệt độ nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến

tính và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen),

đường gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt

58 tương ứng với T = 77 K, T = 150 K và T = 300 K. Ở đây, a = 20 nm.

Hình 3.6 Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ tại a = 20 nm. Các chấm

tròn (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đỏ) lần lượt mô tả quá trình hấp

thụ tuyến tính và phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Hình 4.1 MOAC như một hàm của năng lượng photon tại các giá trị F = 1.0 × 105 V/m,

T = 300 K và B = 10 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.2 MOAC như một hàm của năng lượng photon với các giá trị khác

. . . . . . . 66 nhau của điện trường F . Ở đây, T = 300 K và B = 10 T.

Hình 4.3 Sự phụ thuộc của FWHM vào điện trường F tại T = 300 K và

B = 10 T.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Hình 4.4 MOAC như một hàm của năng lượng photon tại các giá trị khác

nhau của từ trường B. Kết quả được tính tại T = 300 K và F =

1.0 × 105 V/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.5 Sự phụ thuộc của FWHM vào từ trường B tại T = 300 K và

F = 1.0 × 105 V/m.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Hình 4.6 MOAC như một hàm của năng lượng photon với các giá trị khác

69 nhau của nhiệt độ T . Ở đây B = 10 T và F = 1.0 × 105 V/m. . . . . .

Hình 4.7 Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ T tại B = 10 T và F =

1.0 × 105 V/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 5.1 MOAC như một hàm của năng lượng photon (cid:126)Ω tại a = 10 nm,

B = 10 T và T = 77 K.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Hình 5.2 Biểu đồ đường đồng mức của tích số f0,0(1 − f1,1) như một hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 của thông số a và T tại B = 10 T.

Hình 5.3 Năng lương ngưỡng ∆E = E1,1 − E0,0 như một hàm của từ trường

với 3 giá trị a = 10 nm, 12 nm và 14 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 5.4 MOAC như một hàm của năng lượng photon (cid:126)Ω đối với các giá

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 trị khác nhau của thông số a.

Hình 5.5 FWHM như một hàm của thông số a. Các kí hiệu đặc (rỗng) tương

ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến). . . . . . . . . . . . . Hình 5.6 MOAC như một hàm của năng lượng photon (cid:126)Ω đối với 3 giá trị

khác nhau của nhiệt độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Hình 5.7 FWHM như một hàm của nhiệt độ. Các kí hiệu đặc (rỗng) tương

ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến). . . . . . . . . . . . . 80

Hình 5.8 MOAC như một hàm của năng lượng photon với các giá trị khác

nhau của từ trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Hình 5.9 FWHM như một hàm của từ trường B. Các kí hiệu đặc (rỗng)

tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến). . . . . . . . . 82

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Ngày nay cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học kỹ thuật, việc nghiên cứu

trên các thiết bị và bán dẫn có cấu trúc nano đã và đang là một xu hướng thiết yếu

trong cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ tư (Công nghiệp 4.0). Để sản xuất các linh

kiện quang điện tử và quang tử có kích thước vài nanomet, các nhà khoa học đã không

ngừng nghiên cứu về các vật liệu mới để tìm hiểu các đặc tính chuyển tải của điện tử

cũng như các hiệu ứng động trong những mô hình này khi có mặt trường điện từ. Các

bán dẫn có cấu trúc nano được chế tạo bằng cách áp dụng các phương pháp epitaxy

hiện đại như epitaxy chùm phân tử (MBE), epitaxy pha hơi kim loại hữu cơ (MOVPE)

bao gồm cả lắng đọng hơi kim loại hữu cơ (MOCVD),. . . để hình thành các dị tiếp xúc

giữa các bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau, chẳng hạn như AlGaAs và GaAs.

Việc hình thành hệ bán dẫn mới này cho thấy rằng ngoài điện trường của thế tuần

hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể còn xuất hiện thêm một trường điện thế

phụ trong mạng tinh thể. Trường điện thế phụ này cũng tuần hoàn trong không gian

mạng nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của trường điện thế tuần hoàn.

Tùy thuộc vào trường điện thế phụ, hệ bán dẫn nano được tạo ra sẽ có các cấu trúc

giếng lượng tử, siêu mạng, dây lượng tử, hay chấm lượng tử. Với những cấu trúc này,

các hạt tải bị định xứ mạnh và hàm sóng của electron sẽ bị phản xạ tại các thành của

cấu trúc nên phổ năng lượng của nó bị lượng tử hóa thành các mức năng lượng gián

đoạn. Hiệu ứng giam giữ lượng tử trong các vật liệu nano bán dẫn thấp chiều mạnh

hơn so với các vật liệu khối. Đây chính là nguyên nhân hình thành các đặc tính quang

tuyến tính và phi tuyến. Hơn thế nữa, khi nhiệt độ T > 50 K các electron linh động hơn

và ảnh hưởng đến quá trình tán xạ của các electron với các phonon. Do đó, một số đặc

tính quang điện tử mới và thú vị xuất hiện cũng như phản ứng của hệ electron-phonon

dưới ảnh hưởng của trường điện từ được nhiều kỳ vọng trong những hệ này.

Ở đây, đối tượng của luận án hướng đến khảo sát là các tính chất động xảy ra trong

vật liệu bán dẫn có cấu trúc giếng lượng tử khi electron bị giới hạn chuyển động theo

một chiều và chuyển động hoàn toàn tự do theo hai chiều còn lại hay còn gọi là khí điện

tử 2 chiều (2DEG) với hai hiệu ứng đặc trưng:

1. Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon (EPR)

Bryskin và Firsov đã tiên đoán rằng EPR xuất hiện trong các loại bán dẫn không

suy biến dưới tác dụng của một điện trường cao tần (trường laser). EPR là công cụ hữu

ích để xác định khoảng cách giữa hai mức năng lượng vùng con thấp nhất cũng như

khối lượng hiệu dụng. Bên cạnh đó, độ rộng vạch phổ (FWHM) được biết như là một

công cụ tốt để khảo sát cơ chế tán xạ của hạt mang và được sử dụng để nghiên cứu quá

trình tán xạ electron-phonon. Phổ hấp thụ được tạo thành do electron hấp thụ năng lượng photon (cid:126)Ω để chuyển sang trạng thái năng lượng cao hơn kèm theo quá trình hấp thụ hoặc phát xạ phonon thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = ∆Eλ,λ(cid:48) ± (cid:126)ωLO với (cid:126)ωLO là năng lượng phonon quang dọc và ∆Eλ,λ(cid:48) là hiệu giữa hai mức năng lượng liền kề. Vấn đề này có liên quan mật thiết đến hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon (EPR) và hiệu ứng

cộng hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang học (ODEPR). Những kết quả này đã

được kiểm chứng qua các công trình trong hệ chuẩn một chiều [38, 60, 64, 94] và hệ

chuẩn hai chiều [31, 34, 43, 35, 81]. Cụ thể hơn, Lee và cộng sự [43] đã công bố hiệu

ứng ODEPR cho giếng lượng tử với thế giam giữ vuông góc và thế parabol. Kết quả

cho thấy, độ dẫn quang phụ thuộc vào tần số giam giữ và độ rộng của giếng. Kang và

cộng sự [31] đã chứng minh rằng FWHM phụ thuộc vào nhiệt độ, mật độ electron và

điện trường do tán xạ electron-phonon quang dọc trong TrQW. Duan và cộng sự [16]

mô tả tốc độ tán xạ electron-phonon do dịch chuyển nội vùng và ngoại vùng con gia tăng cùng với sự gia tăng của độ rộng giếng cho tới 110 ˚A. Bên cạnh đó, khi xét đến

trường hợp phonon giam giữ, kết quả thu được cho thấy, các đỉnh ODEPR và FWHM

trong trường hợp phonon giam giữ lớn hơn trong trường hợp phonon khối [26].

Tuy nhiên, những công trình nghiên cứu cũng chỉ đề cập đến hiệu ứng xảy ra trong

các cấu trúc bán dẫn thấp chiều với một số thế giam giữ truyền thống như thế vuông

góc sâu vô hạn, thế parabol, thế hình trụ, thế hình chữ nhật,. . . mà chưa đề cập đến

những dạng thế giam giữ khác. Ngoài ra, phần lớn các công bố trước đây còn hạn chế

vì chỉ xét đến quá trình hấp thụ một photon (hấp thụ tuyến tính) còn quá trình hấp

thụ phi tuyến (hấp thụ hai photon trở lên) tuy quan trọng nhưng vẫn chưa được nhiều

tác giả quan tâm.

Bài toán cộng hưởng electron-phonon có tính đến quá trình hấp thụ phi tuyến được

nhóm tác giả Lee, Kang và cộng sự [41, 33] nghiên cứu gần đây nhưng kết quả chưa

bao hàm cả hai thành phần độ dẫn tuyến tính và phi tuyến vào một biểu thức chung.

Để khắc phục nhược điểm này, nhóm tác giả Phong và Phuc [60] đã đề xuất cách thiết

lập biểu thức độ dẫn phi tuyến do tương tác electron-phonon nhờ quá trình hấp thụ hai

photon cùng tần số và thu được biểu thức giải tích tường minh của công suất hấp thụ

trong dây lượng tử hình chữ nhật bằng phương pháp chiếu toán tử, trong giếng lượng

tử [3] và khi xét đến hiệu ứng này có tính đến sự giam giữ phonon [2, 26, 38].

2. Hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon

Hiệu ứng này đã được chứng minh là một trong những kỹ thuật tốt nhất, công cụ

phổ mạnh để khảo sát trực tiếp các tính chất của vật liệu bán dẫn như tiết diện bề mặt

Fermi, khối lượng hiệu dụng của electron và năng lượng phonon quang dọc [30, 54, 91].

Nguồn gốc của hiệu ứng này đến từ cơ chế tán xạ electron-phonon gây ra bởi sự hấp

thụ hoặc/và phát xạ phonon khi khoảng cách giữa hai mức Landau bằng năng lượng phonon quang dọc dưới tác dụng của trường điện từ thỏa mãn điều kiện s(cid:126)ωc = (cid:126)ωLO với s = N (cid:48) − N là một số nguyên và (cid:126)ωc là năng lượng cyclotron. Trong khi đó, nếu quá trình hấp thụ năng lượng photon (cid:126)Ω xảy ra thì ta có thể xác định được điều kiện cộng hưởng cyclotron (cid:126)Ω = s(cid:126)ωc và được chứng minh chiếm ưu thế hơn trong việc đo

hiệu số các mức năng lượng trong chất rắn khi có mặt từ trường [7]. Tuy nhiên, trong

phép gần đúng lưỡng cực do quy tắc lọc lựa, sự hấp thụ ở các giá trị khác của năng

lượng không thỏa mãn điều kiện trên. Để khắc phục, ta bắt buộc cần xét đến tương

tác electron-phonon quang dọc [28]. Điều này có nghĩa quy tắc lọc lựa phải được xác định theo công thức (cid:126)Ω = s(cid:126)ωc ± (cid:126)ωLO. Đây chính là hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon

dò tìm bằng quang học (ODMPR). Hiệu ứng quan trọng thích hợp để khảo sát bất kỳ

loại tương tác electron-phonon khi có mặt từ trường. Bên cạnh đó, nếu hệ có thêm quá

trình dịch chuyển giữa 2 mức vùng con thì điều kiện cộng hưởng ODMPR trở thành (cid:126)Ω = s(cid:126)ωc ± (En(cid:48) − En) ± (cid:126)ωLO. Như vậy, khi điều kiện này được thỏa mãn, electron thực hiện dịch chuyển giữa 2 mức Landau N, N (cid:48) và 2 mức vùng con n, n(cid:48) bằng cách hấp thụ hay phát xạ một photon có năng lượng (cid:126)Ω kèm theo hấp thụ hoặc/và phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ωLO (đối với trường hợp tổng quát kí hiệu (cid:126)ωq).

Kết quả thu được trong [1] đã chứng minh sự phụ thuộc của độ dẫn vào từ trường,

tần số giam giữ và nhiệt độ của hệ bằng phương pháp chiếu toán tử khi khảo sát dây

lượng tử với thế giam giữ hình trụ và thế hình chữ nhật. Điển hình với những công bố

gần đây của nhóm tác giả Phong, Phuc và cộng sự [60, 62, 73], trong giếng lượng tử với

thế giam giữ parabol [70, 72, 76], trong graphene [65, 66, 69], trong giếng lượng tử với

thế Gauss bất đối xứng [75], thế kiểu P¨oschl-Teller [40] cũng như có tính đến quá trình

hấp thụ hai photon.

Trong khi đó, Barns và cộng sự [6] đã công bố kết quả thực nghiệm khi nghiên cứu

ODMPR trong hệ bán dẫn hai chiều của các lớp chuyển tiếp dị cấu trúc GaAs/AlxGa1−xAs.

Ryu và cộng sự [82] đã nghiên cứu về cộng hưởng từ-phonon trong dây lượng tử đặt

trong từ trường xiên. Bhat và cộng sự đã nghiên cứu ODMPR do sự tán xạ giữa electron

và các phonon LO giam giữ, phonon bề mặt [8] và phonon âm giam giữ [9] trong giếng

lượng tử vuông góc, Lee và cộng sự [42] đã khảo sát chi tiết các hiệu ứng ODMPR trong

giếng lượng tử bán dẫn. Những công bố này chỉ mới đề cập đến quá trình hấp thụ tuyến

tính, chẳng hạn xét đến bài toán hấp thụ phi tuyến khi có mặt từ trường, Duque và

cộng sự [18] đã xác định rằng sự hấp thụ quang phi tuyến liên quan đến electron và sự

tách sóng quang tuyến tính phi tuyến bị ảnh hưởng bởi cường độ laser khi có điện-từ

trường đặt vào giếng lượng tử. Hệ số hấp thụ quang tuyến tính và phi tuyến và sự thay

đổi tương đối của chỉ số khúc xạ cũng như sự hiệu chỉnh phi tuyến bậc ba tương ứng

của chúng trong các giếng lượng tử dưới tác dụng của điện trường và từ trường cũng đã

được nghiên cứu [52]. Guo và cộng sự [23] đã tính toán ảnh hưởng của bán kính trong,

bán kính ngoài và góc cắt của vỏ vòm hình cầu lên hệ số hấp thụ quang và chứng minh

ảnh hưởng của tạp chất hydro lên hệ số hấp thụ quang tuyến tính và phi tuyến và sự

thay đổi chỉ số khúc xạ trong chấm lượng tử [24]. Về bài toán có xét đến sự giam giữ

phonon, Hien và cộng sự [25] đã nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon trong

các mô hình Huang-Zhu, mô hình mode dẫn sóng của Ridley và mô hình mode phân

lớp Fuchs-Kliewer lên ODMPR và độ rộng phổ [61].

Các hiệu ứng chuyển tải trong giếng lượng tử thế tam giác (TrQW) và thế hyperbol

được các nhà nghiên cứu quan tâm trong những năm gần đây vì gần với thực tiễn hơn.

Kastalsky và cộng sự nghiên cứu hiện tượng chuyển tải tuyến tính và phi tuyến trong

TrQW [37], Chen và cộng sự nghiên cứu sự hấp thụ quang trong giếng lượng tử thế tam

giác kép [13], nhóm nghiên cứu của Kang và cộng sự đã áp dụng phương pháp chiếu

toán tử để khảo sát độ dẫn và độ rộng vạch phổ do dịch chuyển nội vùng bởi tương tác

giữa electron và phonon quang dọc trong TrQW [31].

Li và Weiss cũng đã nghiên cứu hệ số hấp thụ do chuyển tải liên vùng con bằng

cách sử dụng hàm điện môi trong giếng thế hyperbol [45], Chen và cộng sự khảo sát các

tính chất quang phi tuyến trong giếng hyperbol [14], giếng lượng tử thế hyperbol dạng

P¨oschl-Teller được đề xuất bởi G. P¨oschl và E. Teller [78]. Một số công trình nghiên cứu

khác liên quan đến thế giam giữ này, chẳng hạn Radovanovic và cộng sự [80] cho thấy

hiện tượng hấp thụ liên vùng con từ đó ứng dụng trong chế tạo máy dò quang học hoạt

động ở vùng hồng ngoại. Le và cộng sự [40] đã nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số

đặc trưng của giếng thế, từ trường và nhiệt độ lên hệ số hấp thụ quang từ (MOAC) và

FWHM do tương tác electron-phonon quang dọc.

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng bài toán ODEPR và ODMPR được nhiều quan

tâm nghiên cứu nhưng chỉ xét đến quá trình hấp thụ một photon (tuyến tính). Trong

khi đó, phần lớn các công bố khảo sát đến quá trình hấp thụ nhiều photon (phi tuyến)

cũng chỉ tập trung vào những mô hình thấp chiều với các thế giam giữ truyền thống (thế

vuông góc, thế parabol, thế chữ nhật, thế hình trụ). Trong khi đó, hiệu ứng này xảy ra

đối với thế giam giữ tam giác cũng như thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt tuy quan

trọng nhưng chưa được chú ý. Hai thế giam giữ này có tính chất vượt trội là rất nhạy

với trường ngoài và dễ dàng điều chỉnh được khi thay đổi các thông số đặc trưng của

chúng. Vì vậy, chúng tôi đề xuất hướng: “Nghiên cứu cộng hưởng electron-phonon

và cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử ” cho hai thế giam giữ tam giác

và thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt. Những kết quả thu được sẽ hứa hẹn nhiều tiềm

năng và dự đoán xuất hiện các tính chất quang, điện tử mới, thú vị trong các vật liệu

có cấu trúc nano cũng như nhiều ứng dụng quan trọng đối với lĩnh vực chế tạo các linh

kiện dựa trên đặc tính quang phi tuyến.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận án là tìm độ dẫn, công suất và/hoặc hệ số hấp thụ tuyến tính

và phi tuyến trong giếng lượng tử thế tam giác và thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

(SAsHQW) do tương tác electron-phonon đặt trong điện trường xoay chiều cao tần và

từ trường tĩnh. Xác định điều kiện để có cộng hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang

học, cộng hưởng từ-phonon dò tìm bằng quang học và khảo sát độ rộng vạch phổ tương

ứng với các đỉnh cộng hưởng.

3. Nội dung nghiên cứu

- Áp dụng phương pháp chiếu toán tử và phương pháp hàm Green thông qua lý

thuyết nhiễu loạn để tính biểu thức độ dẫn, xác suất dịch chuyển và công suất hoặc hệ

số hấp thụ quang trong TrQW và SAsHQW;

- Từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất hoặc hệ số hấp thụ sóng điện từ vào

năng lượng photon, xác định được điều kiện cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng

từ-phonon;

- Khảo sát sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ, các đặc trưng của giếng và trường ngoài.

5. Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung chủ yếu khảo sát công suất và/hoặc hệ số hấp thụ ODEPR và

ODMPR cũng như FWHM tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng tử với thế tam

giác và thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt dưới ảnh hưởng của trường ngoài, các thông

số đặc trưng của mô hình giam giữ và điều kiện vật lý. Tương tác chủ yếu được xét đến

là do cơ chế tán xạ electron-phonon quang dọc với giả thiết phonon khối.

6. Ý nghĩa khoa học của luận án

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng khi thay đổi giá trị của các thông số trong mô

hình với hai thế giam giữ tam giác và thế kiểu hyperpol bất đối xứng đặc biệt sẽ làm

thay đổi lớn đến tính chất quang, điện của vật liệu có cấu trúc nano. Ngoài ra, chúng

phụ thuộc mạnh vào trường điện từ đặt vào hệ và điều kiện vật lý (nhiệt độ). Kết quả

cũng cho thấy rằng sự giam giữ electron trong các giếng này mạnh hơn so với các công

bố trước đây với những mô hình thế giam giữ truyền thống khác. Do đó, giếng lượng

tử này hứa hẹn nhiều đặc trưng vật lý mới, thú vị;

Luận án đã tìm được các quy luật phụ thuộc mới của độ rộng vạch phổ tuyến tính

và phi tuyến vào từ trường, thông số của giếng và nhiệt độ bằng các công thức tường

minh. Những kết quả chính của luận án sẽ cung cấp nhiều thông tin mới và hữu ích của

khí electron trong các hệ bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng của trường ngoài;

Ngoài ra, kết quả thu được đã khẳng định tính đúng đắn, ưu thế của từng phương

pháp chiếu toán tử, phương pháp hàm Green và phương pháp profile cho từng bài toán

cụ thể khi nghiên cứu các tính chất chuyển tải lượng tử trong bán dẫn thấp chiều nói

chung và giếng lượng tử nói riêng.

7. Cấu trúc của luận án

Nội dung chính của luận án gồm 05 chương ngoài phần mở đầu, mục lục, phụ lục và

tài liệu tham khảo. Cụ thể như sau:

Chương 1: Tổng quan về đối tượng và phương pháp nghiên cứu;

Chương 2: Cộng hưởng electron–phonon trong giếng lượng tử thế tam giác;

Chương 3: Cộng hưởng electron–phonon trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối

xứng đặc biệt;

Chương 4: Cộng hưởng từ–phonon trong giếng lượng tử thế tam giác;

Chương 5: Cộng hưởng từ–phonon trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng

đặc biệt;

Phần kết luận chung sẽ trình bày các kết quả thu được của luận án.

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1. Tổng quan về đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về bán dẫn thấp chiều và

giếng lượng tử; hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử

với thế tam giác và thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt khi có điện trường và

khi có cả điện trường và từ trường tĩnh đặt vào hệ; tổng quan về phương pháp

chiếu toán tử trong lý thuyết phản ứng tuyến tính và phi tuyến; tổng quan về

phương pháp hàm Green được biểu diễn qua lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc

thời gian. Tính toán được biểu thức giải tích tường minh của công suất/hệ số

hấp thụ cũng như điều kiện để có cộng hưởng electron phonon và cộng hưởng

từ–phonon; độ rộng vạch phổ được xác định bằng phương pháp profile.

1.1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử

1.1.1. Bán dẫn thấp chiều

Các dị cấu trúc bán dẫn được tìm ra từ những năm 1970 do hai nhà Vật lý Zhores

Alferov và Herbert Kroemer với công trình cơ bản về công nghệ thông tin và truyền

thông, đặc biệt đã phát minh ra dị cấu trúc bán dẫn dùng trong các thiết bị quang

lượng tử tốc độ cao. Cho đến năm 2000, sự đóng góp này được công nhận bằng một

nửa giải Nobel vật lý. Cùng chia sẽ với giải thưởng này có Jack S. Kilby với công trình

phát minh ra mạch tích hợp [39].

Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian mà hạt mang

điện có thể chuyển động tự do. Từ đó, ta có các hệ bán dẫn thấp chiều sau:

- Hệ cấu trúc hai chiều (2D-giếng lượng tử và siêu mạng). Trong hệ này, các hạt tải

bị giam giữ theo một hướng và chuyển động tự do theo hai hướng còn lại.

- Hệ cấu trúc một chiều (1D-dây lượng tử). Trong hệ này, các hạt tải bị giam giữ

Hình 1.1: Minh họa hình dạng và mật độ trạng thái của bán dẫn khối (3D), giếng lượng tử (2D), dây lượng tử (1D) và chấm lượng tử (0D).

theo hai hướng và chuyển động tự do theo một hướng còn lại.

- Hệ cấu trúc không chiều (0D-chấm lượng tử). Trong hệ này, các hạt tải bị giam giữ

theo cả ba hướng và không thể chuyển động tự do theo bất kì hướng nào.

1.1.2. Cấu trúc giếng lượng tử

Trong thời gian gần đây, người ta quan tâm hơn đến cấu trúc điện tử hai chiều vì

mô hình được tạo nên bởi một lớp mỏng (bề dày cỡ vài nm) gồm một bán dẫn có độ

rộng vùng cấm bé, nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn. Sự

khác biệt của các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn đã hình thành một giếng (thế

năng) lượng tử. Chuyển động của các electron theo một hướng nào đó (thường chọn

hướng z) bị giới hạn rất mạnh và chỉ chuyển động tự do trong mặt phẳng (x - y). Do

đó, các electron thể hiện như một hệ hạt hai chiều thực sự và các hệ điện tử này gọi là

các hệ điện tử chuẩn hai chiều.

Trong thực tế, người ta thường tạo ra các cấu trúc hai chiều nhiều lớp gọi là đa giếng

lượng tử (multiple quantum well) hoặc siêu mạng (superlattice). Trong đa giếng lượng

tử, khoảng cách giữa các giếng lượng tử là đủ lớn (lớn hơn bước sóng DeBroglie của

electron) để ngăn không cho các electron xuyên qua hàng rào thế bằng hiệu ứng đường

hầm sang giếng khác. Theo cách làm tương tự, các nhà khoa học đã tạo thành cấu trúc

một chiều và cấu trúc không chiều. Hệ bán dẫn giếng lượng tử thông dụng nhất như hệ

gồm hai chất bán dẫn GaAs và AlxGa1−xAs. Sự chênh lệch vùng cấm giữa các lớp của

Hình 1.2: Mô hình cấu trúc giếng lượng tử GaAlAs/GaAs/GaAlAs .

hai chất bán dẫn này phụ thuộc vào lượng nhôm (chỉ số x) chứa trong chất bán dẫn.

Bằng cách thay đổi thành phần cấu tạo của mạng, ta cũng có thể tạo ra mô hình giếng

lượng tử với các thế giam giữ khác nhau.

1.1.3. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử với

thế giam giữ bất kỳ

Xét một giếng lượng tử trong đó electron bị giam giữ theo hướng z . Hàm sóng và

phổ năng lượng trong gần đúng khối lượng hiệu dụng được xác định bằng cách giải

phương trình Schr¨odinger ba chiều cho electron, có dạng

∆ψ(r) +

2m∗ (cid:126)2 [E − U (r)]ψ(r) = 0,

(1.1)

trong đó U (r) là thế năng tương tác giữa electron và trường mạng tinh thể, m∗ = 0.067 m0 [4]

là khối lượng hiệu dụng electron với m0 là khối lượng của electron tự do.

Đối với mô hình giếng lượng tử, electron chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y)

và bị giam giữ theeo hướng z . Do đó thế năng, hàm sóng và năng lượng của electron

U (r) ≡ U (x, y, z) = U (x, y) + U (z);

ψ(r) ≡ ψ(x, y, z) = ψ(x, y) + φn(z);

E ≡ E(x, y, z) = Ex,y + εn.

được tách thành hai thành phần như sau:

Cho nên, phương trình (1.1) được viết lại thành hai phương trình

ψ(x, y) +

2m∗ (cid:126)2 [Ex,y − U (x, y)]ψ(x, y) = 0;

∂2 ∂x∂y

(1.2)

2m∗ (cid:126)2 [εn − U (z)]φn(z) = 0.

∂2 ∂z2 φn(z) +

(1.3)

Khi giải phương trình Schr´’odinger (1.2), ta thu được hàm sóng và năng lượng của

electron chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y) có dạng

(cid:115)

eik⊥r⊥,

ψk⊥(r⊥) =

1 LxLy

(1.4)

Ek⊥ =

(1.5) (cid:126)2k2 ⊥ 2m∗ ,

trong đó kí hiệu r⊥ = xi + yj và k⊥ = kxi + kyj lần lượt tương ứng với vectơ vị trí và

vectơ sóng của electron trong mặt phẳng (x − y). Lx và Ly là chiều dài chuẩn hóa của

giếng theo phương x, y.

Phương trình (1.3) chỉ giải được khi biết thế giam giữ U (z) lúc đó hàm sóng φn(z) và

phổ năng lượng εn theo hướng z sẽ hoàn toàn được xác định. Vì vậy, kết quả thu được

năng lượng và hàm sóng tổng quát của electron trong giếng lượng tử với thế bất kỳ

(cid:115)

eik⊥r⊥φn(z),

ψ(k⊥,n) =

1 LxLy

(1.6)

Ek⊥,n =

(1.7) (cid:126)2k2 ⊥ 2m∗ + εn,

1.1.4. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử khi

có mặt từ trường

Xét mô hình giếng lương tử với thế giam giữ bất kỳ. Khi đặt vào hệ một từ trường

tĩnh B = (0, 0, B) song song với trục giam giữ z với thế vectơ được chọn theo chuẩn

Landau có dạng A = (0, Bx, 0). Khi đó, hàm sóng và năng lượng của một electron được

cho dưới dạng [7, 11, 67]

|λ(cid:105) = |N, n, ky(cid:105) =

exp(ikyy)ψN (x − x0)φn(z),

1 (cid:112)Ly (cid:18)

(1.8)

N +

Eλ ≡ EN,n =

1 2

(cid:19) (1.9) (cid:126)ωc + εn, N = 0, 1, 2, . . . ,

1√

e−(x−x0)/2a2

√

c HN

x−x0 ac

2N N !ac

trong đó φn(z) và εn là nghiệm của phương trình (1.3) được xác định tùy thuộc vào (cid:18) (cid:19) là các hàm sóng thế giam giữ. Ở đây, ψN (x − x0) =

dao động điều hòa có tâm tại vị trí cân bằng x0 = −a2 cky, ky là thành phần vectơ sóng của electron theo trục y. Ta kí hiệu ac = ((cid:126)/m∗ωc)1/2 là bán kính cyclotron với ωc = eB/m∗ là tần số cyclotron và N = 0, 1, 2, . . . là chỉ số mức Landau.

1.1.5. Giếng lượng tử thế tam giác

Xét cấu trúc giếng lượng tử mà ở đó các electron chuyển động tự do trong mặt phẳng

∞,

z ≤ 0,

(x - y) và bị giam giữ theo hướng z với thế tam giác có dạng [31, 44]

U (z) =

eFz, z > 0,

  (1.10) 

Hình 1.3: Sự phụ thuộc của thế giam giữ tam giác theo hướng z vào các giá trị khác nhau của điện trường F.

biểu diễn như hình 1.3.

Từ hình vẽ ta thấy rằng khi điện trường F tăng thì độ rộng giếng giảm nên thông số

đặc trưng này có liên hệ mật thiết với độ rộng của giếng. Giải phương trình Schr¨odinger

εn có dạng [31]

một chiều theo hướng z , kết quả thu được hàm sóng φn(z) và năng lượng tương ứng

3 z −

φn(z) = CnAi

(cid:20) (cid:21) (1.11)

K 2 M 2 3 (cid:18)

3 (cid:20)3πeF

n −

, n = 1, 2, . . . ,

εn =

1 4

(cid:19) 1 (cid:19)(cid:21) 2 (1.12) (cid:18) (cid:126)2 2m∗

trong đó e là điện tích của electron tự do, Ai là hàm Airy. Ở đây, kí hiệu M = 2m∗eF/(cid:126)2 và K 2 = 2m∗εn/(cid:126)2. Hằng số Cn được xác định từ điều kiện chuẩn hóa có dạng như sau:

Cn =

3 Ai(cid:48)

K 2Ai

+ M 2

2 3

− K2 M

(1.13) (cid:104) (cid:104) (cid:105)2 (cid:105)2 , (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)

với Ai(cid:48) là đạo hàm của hàm Airy.

1.1.6. Giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

Xét một cấu trúc giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt có dạng [22, 20]

−

U (z) = U0

z a

(cid:19)2 (1.14) (cid:18) a z

trong đó U0 là độ cao của thế giam giữ và a là thông số đặc trưng của giếng lượng tử

này mà có đơn vị của độ dài. Từ hình 1.4 cho thấy rằng khi thông số a tăng lên thì độ

rộng giếng cũng tăng và sự bất đối xứng càng thể hiện rõ hơn. Cho nên, thông số a có

Hình 1.4: Hình dạng giếng lượng tử thế kiểu hyprebol bất đối xứng đặc biệt với ba giá trị khác nhau của thông số a.

liên quan đến độ rộng của giếng thế.

Hàm sóng và phổ năng lượng tương ứng theo hướng z được giải từ phương trình

α+1

Schr¨odinger được cho bởi [22, 20] là

2 e−βz2

1F1

(1.15) (cid:0) − n, α + 1, 2βz2(cid:1)

− a2β(cid:1), n = 0, 1, 2, · · · .

εn =

φn(z) = Cnz 2(cid:126) a

1 2

α 2

(1.16) (cid:0)n + (cid:114) 2U0 m∗

Ở đây, ta đã đặt α = (16a4β2 + 1)1/2/2 là một số hạng có đại lượng không thứ nguyên, β = (m∗U0/2(cid:126)2a2)1/2 là số hạng có đơn vị m−2 và 1F1 là dạng tổng quát của hàm siêu

bội suy biến. Hằng số chuẩn hóa Cn cho hai trạng thái đầu tiên có giá trị lần lượt như sau: C0 = 2α/2+1β(α+1)/2/(Γ(α + 1)1/2) và C1 = C0(α + 1)1/2.

1.2. Tổng quan về phương pháp chiếu toán tử

Khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt, Hazime Mori đã đề xuất phương

pháp tính bằng phép chiếu toán tử [53] hay còn gọi là phép chiếu toán tử kiểu Mori.

Trong quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử kiểu Mori đã được hoàn thiện qua nhiều

cách định nghĩa chiếu toán tử khác nhau tùy vào cách giải bài toán cụ thể. Chẳng hạn,

đối với bài toán tìm độ dẫn quang, chúng ta khai triển biểu thức

σij(Ω) =

(cid:104)· · · Ji(cid:105)µν,

i Ω

µν

(cid:88) (1.17)

trong đó Ji là phần tử thứ i của dòng điện trung bình.

P X ≡ (cid:104)X(cid:105)µνJi/(cid:104)Ji(cid:105)µν,

Nhóm tác giả A. Suzuki và M. Ashikawa [87] đã định nghĩa hai chiếu toán tử có dạng

Q ≡ 1 − P,

(1.18)

µ (aν) là toán tử sinh (hủy) electron ở các trạng thái tương ứng. Nếu khai triển toán tử dòng

với X là toán tử bất kì, (cid:104)X(cid:105)µν = TR{ρeq(H0)}, TR là phép lấy vết nhiều hạt, ρeq(H0) là toán tử mật độ cân bằng của hệ, H0 là Hamiltonian của hệ electron-phonon, a+

Ji =

(ja)αβa+

α aβ,

αβ

một chiều thành (cid:88) (1.19)

trong đó ja = jx + ijy, thay vào (1.17), ta được kết quả

σij(Ω) =

(ja)αβ(cid:104)(· · · )a+

α aβ(cid:105)αβ.

i Ω

αβ

(cid:88) (1.20)

P X ≡ (cid:104)X(cid:105)µνa+

α aβ/(cid:104)a+

α aβ(cid:105)µν,

Vì vậy, ta có thể định nghĩa các chiếu toán tử theo cách khác

Q ≡ 1 − P,

(1.21)

Hay nói cách khác, phương chiếu sẽ được chọn sao cho toán tử P luôn là phương của

toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại là phương vuông góc với

phương chiếu của P , Q ≡ 1 − P . Chính vì vậy P tác dụng lên toán tử chọn làm phương

chiếu A bằng chính toán tử A, Q tác dụng lên toán tử A bằng không, tích của hai chiếu

toán tử bằng không (do chiếu theo hai phương vuông góc nhau). Mặc khác, A. Suzuki

P Ji = (cid:104)Ji(cid:105)µνJi/(cid:104)Ji(cid:105)µν = Ji,

và M. Ashikawa đã định nghĩa kỹ thuật chiếu toán tử có dạng

QJi = (1 − P )Ji = 0,

P Q = QP = 0.

(1.22)

Phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu là toán tử dòng điện, không phụ thuộc trạng

thái, nên có thể gọi là phép chiếu không phụ thuộc trạng thái, phép chiếu thứ hai phụ

thuộc vào hai trạng thái α và β của toán tử chọn làm phương chiếu nên gọi là phép

chiếu phụ thuộc trạng thái.

Badjou và cộng sự [5] là nhóm tác giả đầu tiên áp dụng phép chiếu phụ thuộc trạng

thái để tính toán công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn do tương tác

P (k)

electron-phonon. Nhóm tác giả này định nghĩa phép chiếu phụ thuộc trạng thái như sau:

αβ X ≡ (cid:104)X(cid:105)αβJk/(cid:104)Jk(cid:105)αβ, Q(k)

αβ ≡ 1 − P (k) αβ ,

(1.23)

α aβ]}, Jk là thành phần thứ k của toán tử dòng của αβ tác dụng lên toán tử

trong đó (cid:104)X(cid:105)αβ ≡ TR{ρeq(Heq)[X, a+ hệ. Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái | α(cid:105), | β(cid:105), toán tử P (k)

X sẽ chiếu X lên phương của toán tử Jk. Phép chiếu này được gọi là phép chiếu phụ

thuộc trạng thái loại I.

Đồng thời, nhóm Kang. N. L. và Choi. S. D. đã định nghĩa phép chiếu phụ thuộc

γ aδ/(cid:104)a+

α aβ(cid:105)γδ,

trạng thái loại II [32] theo cách khác

P γδ αβX ≡ (cid:104)X(cid:105)γδa+ αβ ≡ 1 − P γδ Qγδ αβ,

(1.24)

γ aδ]}. Phép chiếu này phụ thuộc các trạng thái αβ tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử

a+ α aβ.

trong đó (cid:104)X(cid:105)γδ ≡ TR{ρeq(Heq)[X, a+ |α(cid:105), |β(cid:105), |γ(cid:105), |δ(cid:105), toán tử P γδ

Vì vậy, kỹ thuật chiếu hệ nhiều electron sẽ được áp dụng rộng rãi hơn. Tùy vào

bài toán cụ thể mà ta áp dụng kỹ thuật chiếu nào cho phù hợp; trong đó kỹ thuật

chiếu phụ thuộc trạng thái tỏ ra chiếm ưu thế hơn khi nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng

electron-phonon.

1.2.1. Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon

Xét hệ electron và phonon trong giếng lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến

3 (cid:88)

thiên theo thời gian, có dạng

EjeiΩtej,

j=1

E(t) =

với ej là vectơ đơn vị của trường ngoài theo phương (j=x, y, z), Ej là biên độ theo

phương j và Ω là tần số của điện trường ngoài. Hamiltonian toàn phần của hệ lúc này

sẽ gồm Hamiltonian cân bằng của hệ electron-phonon và Hamiltonian không cân bằng

do tương tác của hệ với trường ngoài,

H(t) = Heq + Hint(t).

(1.25)

Giả sử mật độ electron trong bán dẫn đủ bé để ta có thể bỏ qua tương tác electron-

electron, Hamiltonian cân bằng của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ electron-phonon tự

Heq = Hd + U = He + Hp + U,

do có dạng chéo Hd và Hamiltonian tương tác electron-phonon không chéo V :

He =

Eαa+

α aα,

(cid:88)

α (cid:88)

Hp =

q bq,

q (cid:88)

(1.26) (cid:126)ωqb+

U =

Cαµ(q)a+

−q).

α aµ(bq + b+

α,µ

(cid:88)

Trong các biểu thức trên, He và Hp là Hamiltonian của hệ electron và hệ phonon

|α(cid:105) với năng lượng Eα = (cid:104)α|he|α(cid:105), he là Hamiltonian của một electron, b+

α và aα lần lượt là toán tử sinh và toán tử hủy electron ở trạng thái q và bq là các toán tử sinh và toán tử hủy phonon ở trạng thái |q(cid:105) = |q, s(cid:105), q là vectơ sóng phonon, s là chỉ số phân cực, (cid:126)ωq là năng lượng của phonon. Cαµ(q) là yếu tố ma trận tương

không tương tác; a+

V (q) là hằng số tương tác electron-phonon phụ thuộc vào loại phonon.

tác electron-phonon, Cαµ(q) = V (q)(cid:104)α| exp(iq.r)|µ(cid:105), với r là vectơ vị trí của electron và

Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo thời gian được

3 (cid:88)

cho bởi [33] như sau:

Hint(t) = e

(rj)α,βa+

α aβEjeiΩt,

j=1

α,β

(cid:88) (1.27)

trong đó kí hiệu (X)αβ ≡ (cid:104)α|X|β(cid:105) đối với toán tử X bất kỳ. Áp dụng giả thiết đoạn

nhiệt, tức là xét tại thời điểm t → −∞ trường ngoài bắt đầu đặt vào hệ. Khi đó,

biểu thức Hamiltonian tương tác sẽ xuất hiện thêm thừa số e∆t với ∆ → 0+. Cho nên,

3 (cid:88)

phương trình (1.27) được viết lại dưới dạng

¯Ω = Ω − i∆.

(rj)α,βa+

α aβEjei ¯Ωt,

Hint(t) = lim ∆→0+

j=1

α,β

(cid:88) với (1.28)

1.2.2. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn khi có điện trường xoay chiều

cao tần đặt vào hệ

Biết rằng, giá trị trung bình của một đại lượng bất kỳ theo phương pháp thống kê

ρeq là toán tử mật độ cân bằng của hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động thì khi có mặt

lượng tử bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng này với toán tử mật độ. Do đó, nếu đặt

trường ngoài phụ thuộc thời gian đặt vào hệ, toán tử mật độ lúc này sẽ thay đổi theo

thời gian và có thể khai triển thành hai số hạng

ρ(t) = ρeq + ρint(t),

(1.29)

trong đó ρint(t) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn. Do đó, phương trình Liouville cho

toán tử mật độ được viết dưới dạng

= [H(t), ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t),

i(cid:126) ∂ρ(t) ∂t

(1.30)

với L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa L(t)X ≡ [H(t), X], với X là

toán tử tuyến tính bất kỳ, kí hiệu [A, B] ([A, B]+) chỉ giao hoán tử (phản giao hoán

L(t) = Leq + Lint(t), tương ứng với các thành phần Heq và Hint(t).

tử) của hai toán tử. Toán tử Liouville cũng có thể phân tích thành hai thành phần,

Thay biểu thức H(t) và ρ(t) trong (1.25) và (1.29) vào biểu thức (1.30) và khai triển

+ i(cid:126) ∂ρint(t)

=[Heq, ρeq] + [Heq, ρint(t)] + [Hint(t), ρeq]

i(cid:126)∂ρeq ∂t

∂t

+ [Hint(t), ρint(t)].

các số hạng, ta được

Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian nên

= [Heq, ρeq] = 0,

i(cid:126)∂ρeq ∂t

(1.31)

hay phương trình Liouville được viết lại như sau

= [Heq, ρint(t)] + [Hint(t), ρeq] + [Hint(t)ρint(t)].

i(cid:126)∂ρint(t) ∂t

(1.32)

Giải phương trình này, ta tìm được ρint(t) (Phụ lục 1) có dạng

∞ (cid:88)

ρint(t) =

dt1

dt2 · · ·

dtne−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)

1 (i(cid:126))n

n=1

× e−iLeqt2/(cid:126)Lint(t − t1 − t2) · · · e−iLeqtn/(cid:126)Lint(t − t1 − · · · − tn)ρeq

(cid:90) ∞ (cid:90) ∞ (cid:90) ∞

≡ ρ(1)(t) + ρ(2)(t) + · · · + ρ(n)(t) = ρ(k)(t),

(1.33)

trong đó ρ(k)(t), với k = 1, . . . , n, là ma trận thứ k trong khai triển.

Từ khai triển của toán tử mật độ, ta có thể tìm giá trị trung bình của một đại lượng

động lực bất kỳ một cách chính xác (khai triển đến bậc n). Đối với bài toán này, khi hệ

electron-phonon trong bán dẫn được đặt trong điện trường biến thiên theo thời gian,

trong hệ sẽ xuất hiện độ dẫn quang. Vì vậy, để tính được độ dẫn này, ta khai triển

trung bình theo tập hợp thống kê của thành phần thứ k (k ≡ x, y, z) của toán tử mật

∞ (cid:88)

độ dòng điện J như sau:

(cid:104)J (n)

TR{Jkρ(n)(t)},

(cid:104)Jk(cid:105)ens =

k (cid:105) =

n=1

k=1

(1.34)

trong đó TR là phép lấy vết nhiều hạt (many-body trace) kí hiệu (cid:104)...(cid:105) là trung bình

thống kê và toán tử dòng của hệ nhiều electron Jk được viết dưới dạng khai triển theo

các toán tử dòng của một electron jk

(jk)αβa+

Jk =

α aβ,

αβ

(cid:88) (1.35)

với (jk)αβ ≡ (cid:104)α | jk | β(cid:105).

Từ đó ta tìm được số hạng trung bình bậc một của toán tử mật độ dòng sẽ có dạng

∞ (cid:90)

(cid:104)J (1)

dt1e− iLeq

(cid:126) t1Lint(t − t1)ρeq

k (cid:105) = TR{Jkρ(1)(t)} =

1 i(cid:126) TR

(cid:27) (cid:26) (1.36)

Theo [86], Hamiltonian tương tác phụ thuộc trường ngoài biến thiên theo thời gian

được cho bởi

Hint(t) = −

Eje−i ¯ΩtJj.

i Ω

(1.37) E(t)J = −

Do đó

Hint(t − t1) = −

Eje−i ¯Ω(t−t1)Jj.

i Ω

(1.38) E(t)J = −

Từ (1.36) và (1.38) ta tìm được

(cid:104)J (1)

TR{Eje−i ¯Ωt((cid:126) ¯Ω − Leq)−1Jk[Jj, ρeq]}.

k (cid:105) =

i Ω

(1.39)

Áp dụng TR{A, [B, C]} = TR{C[A, B]}, ta viết lại (1.39) như sau

(cid:104)J (1)

TR{ρeq[((cid:126) ¯Ω − Leq)−1Jk, Jj]Eje−i ¯Ωt}.

k (cid:105) =

i Ω

(1.40)

Ej( ¯Ω) = Eje−i ¯Ωt,

σkj(Ω) =

TR{ρeq[((cid:126) ¯Ω − Leq)−1Jk, Jj]},

i Ω

Để tìm được biểu thức độ dẫn ta đặt

trong đó Ω = Ω − i∆, (∆ → 0+). Vì vậy, (1.40) được viết lại thành

(cid:104)J (1)

k (cid:105) = σkj(Ω)Ej( ¯Ω).

(1.41)

Đại lượng σkj(Ω) được gọi là độ dẫn tuyến tính. Thay mật độ dòng của hệ vào ta

được biểu thức tổng quát của độ dẫn

σkj(Ω) =

(jk)αβ(jj)νδAαβ( ¯Ω),

i Ω

αβ

ν,δ

(cid:88) (cid:88) (1.42)

với

Aαβ( ¯Ω) = TR{ρeq[((cid:126) ¯Ω − Leq)−1a+

ν aδ, a+

α aβ]}.

(1.43)

k (cid:105) tức số hạng bậc 2 của độ dẫn (độ dẫn phi tuyến),· · · . Ta thay lần lượt (1.33) và (1.35) vào (1.34) và thực hiện lấy tổng các số hạng này, kết quả

Để tìm biểu thức (cid:104)J (2)

3 (cid:88)

thu được dưới dạng

(cid:104)J (2)

σkjp(Ω1, Ω2)Ej(Ω1)Ep(Ω2).

k (cid:105) =

j,p=1

(1.44)

Như vậy, tính toán tương tự ta sẽ được biểu thức khai triển của trung bình thống kê

3 (cid:88)

thành phần thứ k của toán tử mật độ dòng điện như sau

(cid:104)Jk(cid:105)ens =

σkj(Ω)Ej( ¯Ω) +

σkjp(Ω1, Ω2)Ej( ¯Ω1)Ep( ¯Ω2) + · · · .

j=1

j,p=1

(1.45)

trong đó kí hiệu “· · · ” chỉ các số hạng khai triển bậc cao hơn của mật độ dòng điện, ¯Ω1 = Ω1 − ib với (b → 0+) và ¯Ω2 = Ω1 − ic với (c → 0+). Các số hạng σkj(Ω) và σkjp(Ω1, Ω2) lần lượt là tenxơ độ dẫn tuyến tính ứng với sóng tới có tần số Ω và tenxơ

độ dẫn bậc hai (phi tuyến) ứng với sóng tới có tần số Ω1 và Ω2. Vì vậy, các biểu thức

tenxơ độ dẫn này được viết lại dưới dạng

(rj)αβ(jk)νδAαβ( ¯Ω),

σkj(Ω) = −e lim ∆→0+

α,β

ν,δ

(cid:88) (cid:88) (1.46)

(rj)αβ(rp)νδ(jk)ζ(cid:15)U νδ

αβ( ¯Ω1, ¯Ω2),

σkjp(Ω1, Ω2) = e2 lim ∆→0+

lim b→0+c→0+

α,β

ν,δ

ζ,(cid:15)

(cid:88) (cid:88) (cid:88) (1.47)

với Aαβ( ¯Ω) được xác định như trong (1.43), ¯Ω12 = ¯Ω1 + ¯Ω2 và

αβ( ¯Ω1, ¯Ω2) = TR U νδ

ν aδ], a+

α aβ]}.

ξ a(cid:15), a+

(1.48) (cid:8)ρeq[((cid:126) ¯Ω2 − Leq)−1[((cid:126) ¯Ω12 − Leq)−1a+

1.2.3. Biểu thức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ tuyến tính

Để tính được biểu thức cụ thể của σkj(Ω), ta cần xác định Aαβ( ¯Ω) trong (1.43) bằng cách sử dụng kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái với các toán tử P0 và Q0 theo Kang

và cộng sự [33] như sau:

Q0 ≡ 1 − P0.

P0X ≡

a+ ν aδ,

(cid:104)a+

(cid:104)X(cid:105)αβ ν aδ(cid:105)αβ

(1.49)

α aβ]}, có giá trị phụ thuộc vào hai trạng thái α và β. Toán tử P0 tác dụng lên toán tử X bất kì sẽ chiếu toán tử đó lên “phương” tích của hai toán tử a+

α aβ. Thực hiện các tính toán cần thiết rồi thay vào (1.46), kết quả

trong đó kí hiệu (cid:104)X(cid:105)αβ = TR{ρeq[X, a+

thu được biểu thức độ dẫn tuyến tính có dạng

σkj(Ω) = −e

(rj)αβ(jk)βα

fβ − fα (cid:126) ¯Ω − Eβα − Γβα( ¯Ω)

αβ

(cid:88) (1.50)

trong đó fβ và fα là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron ở trạng thái có năng lượng Eβ và Eα tương ứng, Eβα = Eβ − Eα. Trong biểu thức (1.50), Γαβ( ¯Ω) được gọi là hàm dạng phổ có dạng

−

Γβα( ¯Ω) =

|Cβζ(q)|2

1 (fβ − fα)

(cid:88)

Nqfα(1 − fζ) (cid:126) ¯Ω − Eζα + (cid:126)ωq

q,ζ

(cid:26) (1 + Nq)fζ(1 − fα) (cid:126) ¯Ω − Eζα + (cid:126)ωq

−

(1 + Nq)fα(1 − fζ) (cid:126) ¯Ω − Eζα − (cid:126)ωq

(cid:27) (1.51)

−

|Cζα(q)|2

1 (fβ − fα)

Nqfζ(1 − fα) (cid:126) ¯Ω − Eζα − (cid:126)ωq (cid:26)(1 + Nq)fβ(1 − fζ) (cid:126) ¯Ω − Eβζ + (cid:126)ωq

Nqfζ(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω − Eβζ + (cid:126)ωq

q,ζ

(cid:88)

−

(1 + Nq)fζ(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω − Eβζ − (cid:126)ωq

Nqfβ(1 − fζ) (cid:126) ¯Ω − Eβζ − (cid:126)ωq

(cid:27)

trong các biểu thức (1.50) và (1.51), Nq gọi là hàm phân bố phonon có năng lượng (cid:126)ωq.

Chúng ta thấy rằng các số hạng trong biểu thức (1.51) chứa đầy đủ thông tin quá trình

tương tác giữa các hạt cũng như sự dịch chuyển electron giữa các mức trong bán dẫn

dưới tác dụng của điện trường ngoài. Chẳng hạn như số hạng đầu tiên trong biểu thức

này có ý nghĩa mô tả sự dịch chuyển của một electron từ trạng thái trung gian ζ về trạng thái cơ bản α đồng thời phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ωq.

Ở đây, (1 + Nq) xuất hiện như điều kiện phát xạ phonon và fζ(1 − fα) thể hiện dịch chuyển ζ → α. Số hạng ((cid:126) ¯Ω − Eζα + (cid:126)ωq) ở mẫu số bắt buộc sự dịch chuyển phải tuân theo định luật bảo toàn năng lượng hay Eζ − (cid:126)ωq − (cid:126) ¯Ω = Eα. Đại lượng còn lại |Cζα(q)|2 mô tả trạng thái trung gian ζ bị nhiễu loạn bởi tương tác với các phonon. Bảy số hạng

còn lại trong biểu thức (1.51) được giải thích tương tự. Đây chính là ưu điểm của phương

pháp chiếu toán tử được lựa chọn để giải bài toán do tương tác electron-phonon đối với

các hệ thấp chiều khi có mặt điện trường.

Trong biểu thức (1.51), hàm dạng phổ là một hàm phức vì phụ thuộc vào ¯Ω = Ω−i∆

với (∆ → 0+). Cho nên, ta phân tích được

Γβα( ¯Ω) = A0(Ω) + iB0(Ω),

(1.52)

trong đó, đại lượng A0(Ω) = Re(Γβα( ¯Ω)) là hàm dịch phổ biểu diễn tốc độ dịch chuyển đỉnh cộng hưởng và B0(Ω) = Im(Γβα( ¯Ω)) là hàm độ rộng của phổ đặc trưng cho tốc độ

hồi phục trong quá trình tương tác. Áp dụng đồng nhất thức Dirac

(x − is)−1 = P

+ iπδ(x),

lim s→0+

(cid:19) (1.53) (cid:18) 1 x

với P (1/x) là hàm lấy giá trị chính Cauchy của (1/x) và δ(x) là hàm delta-Dirac. Kết

quả thu được như sau:

A0(Ω) =

| Cβζ(q) |2

[(1 + Nq)fα(1 − fζ) − Nqfζ(1 − fα)]

1 (fα − fβ)

q,ζ

(cid:40) (cid:88)

× P

1 (cid:126)Ω − Eζ + Eα + (cid:126)ωq

(cid:17) (cid:16)

+ [Nqfα(1 − fζ) − (1 + Nq)fζ(1 − fα)]P

1 (cid:126)Ω − Eζ + Eα − (cid:126)ωq

(cid:41) (cid:16) (cid:17)

| Cαζ(q) |2

[(1 + Nq)fζ(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fζ)]

1 (fα − fβ)

q,ζ

(cid:40) (cid:88)

× P

1 (cid:126)Ω − Eβ + Eζ − (cid:126)ωq

(cid:16) (cid:17) (1.54)

+ [Nqfζ(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fζ)]P

1 (cid:126)Ω − Eβ + Eζ − (cid:126)ωq

(cid:16) (cid:17) (cid:41) ,

và

)

B0(Ω) =

| Cβζ(q) |2

[(1 + Nq)fα(1 − fζ) − Nqfζ(1 − fα)]δ(Y (−)

π (fβ − fα)

q,ζ

(cid:40) (cid:88)

)

+ [Nqfα(1 − fζ) − (1 + Nq)fζ(1 − fα)]δ(Y (+)

(cid:41)

| Cαζ(q) |2

[(1 + Nq)fζ(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fζ)]δ(Y (−)

π (fβ − fα)

q,ζ

(cid:40) (cid:88) (cid:1)

+ [Nqfζ(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fζ)]δ(Y (+)

1,2 ) là hàm delta-Dirac với Y (±)

1 = (cid:126)Ω − Eζα ± (cid:126)ωq và Y (±)

(1.55) (cid:41) )

trong đó, ta kí hiệu δ(Y (±) 2 = (cid:126)Ω − Eβζ ± (cid:126)ωq, Cβζ(q) là thành phần ma trận tương tác electron-phonon tùy thuộc

vào cơ chế tán xạ.

Khi một sóng điện từ biến thiên theo thời gian có tần số Ω, biên độ E0 đặt vào hệ

thì biểu thức giải tích công suất hấp thụ (AP) tuyến tính do quá trình hấp thụ photon

kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ phonon liên hệ với tenxơ độ dẫn (1.50) được cho bởi

[77]

P0(Ω) =

Re[σkj(Ω)].

E2 0 2

(1.56)

Như vậy, biểu thức tường minh AP tuyến tính sẽ thu được bằng cách nhân tử và

(fβ − fα)[(cid:126)Ω − Eβα + iB0(Ω)]

mẫu công thức (1.50) với thành phần liên hợp phức (cid:126)Ω − Eβα + iB0(Ω)

σkj(Ω) = −e

(rj)αβ(jk)βα

0(Ω)

αβ

(cid:88) (1.57)

= −e

(rj)αβ(jk)βα

i(fβ − fα)B0(Ω) ((cid:126)Ω − Eβα)2 + B2

((cid:126)Ω − Eβα)2 + B2 (cid:20) (fβ − fα)[(cid:126)Ω − Eβα] ((cid:126)Ω − Eβα)2 + B2 0(Ω)

0(Ω)

αβ

(cid:21) (cid:88)

đồng thời cần tính các phần tử ma trận (rj)αβ, (jk)βα và hàm độ rộng phổ B0(Ω). Đây

là các đại lượng hoàn toàn được xác định khi xét một cấu trúc bán dẫn thấp chiều với

năng lượng và hàm sóng cụ thể.

1.2.4. Biểu thức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ phi tuyến

Biểu thức độ dẫn phi tuyến đã được Lee và cộng sự [41, 33] đề xuất khi nghiên cứu

bài toán độ dẫn quang phi tuyến cho hệ electron-phonon. Kết quả cho thấy rằng khi

một trường laser đặt vào hệ, các electron sẽ hấp thụ hai photon có năng lượng lần lượt là (cid:126)Ω1 và (cid:126)Ω2 để dịch chuyển từ trạng thái ban đầu |α(cid:105) tới trạng thái cuối |β(cid:105). Bằng

kỹ thuật chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái với các toán tử chiếu được định nghĩa

P1X ≡

a+ ζ a(cid:15),

(cid:104)X(cid:105)νδ αβ ζ a(cid:15)(cid:105)γδ (cid:104)a+

αβ

(1.58)

Q1 ≡ 1 − P1

(1.59)

αβ trong các biểu thức trên có dạng

và trị trung bình (cid:104)X(cid:105)ζδ

(cid:104)X(cid:105)νδ

α aβ]}.

ν aδ], a+

αβ ≡ TR{ρeq[((cid:126) ¯Ω2 − Leq)−1[X, a+

(1.60)

Kết quả thu được

(cid:104)((cid:126) ¯Ω12 − Leq)−1a+

αβ = U νδ

αβ(¯ω1, ¯ω2).

ζ a(cid:15)(cid:105)νδ

(1.61)

|δ(cid:105). Toán tử P1 chiếu toán tử X bất kỳ lên phương a+

ξ a(cid:15), tức là luôn phụ thuộc vào hai

Như vậy, trị trung bình của toán tử “X” phụ thuộc vào bốn trạng thái α, β, ν và

trạng thái |ξ(cid:105) và |(cid:15)(cid:105).

Thực hiện các tính toán tương tự như trong phần độ dẫn tuyến tính, nhóm tác giả

này cũng thu được biểu thức tường minh của giá trị trung bình mật độ dòng điện bao

gồm cả số hạng phi tuyến như biểu thức (1.45). Trong đó, biểu thức độ dẫn phi tuyến

được cho bởi biểu thức (4.19) của tài liệu [41] có dạng

(rj)αβ(rp)νδ(jk)ξ(cid:15)

σkjp(Ω1, Ω2) = e2 lim ∆→0+

ξ,(cid:15)

α,β ν,δ (fβ − fα)

(cid:88) (cid:88) (cid:88)

0 ( ¯Ω2)

(1.62)

δνβδ(cid:15)αδξδ

−

(cid:35) (cid:126) ¯Ω2 − Eβα − Γαβ (cid:34) δξβδδαδ(cid:15)ν

( ¯Ω12)

( ¯Ω12), Γαβδ

( ¯Ω12) là hàm suy giảm (hàm dạng

(cid:126) ¯Ω12 − Eβν − Γαβν (cid:126) ¯Ω12 − Eδα − Γαβδ

Ở đây, Ω12 = Ω1 + Ω2. Các số hạng Γαβν phổ) đối với tenxơ độ dẫn. Các số hạng này lần lượt được xác định bởi

( ¯Ω12) =

Γαβν 1

Cν,η(q)Cη,ν(−q) (fβ − fα)

q,η

−

(cid:88)

−

(Nq)fη(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη + (cid:126)ωq Nqfη(1 − fα) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη + (cid:126)ωq (Nq)fα(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη − (cid:126)ωq (Nq)fβ(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη − (cid:126)ωq

(cid:27)

−

q,η

−

(Nq)fη(1 − fα) (cid:126) ¯Ω12 − Eην(cid:126)ωq

(cid:88) (1.63)

−

(cid:27)

(Nq)fα(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eην + (cid:126)ωq

(cid:26) (1 + Nq)fβ(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη + (cid:126)ωq (1 + Nq)fα(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη + (cid:126)ωq (1 + Nq)fη(1 − fα) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη − (cid:126)ωq (1 + Nq)fη(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω12 − Eβη − (cid:126)ωq Cη,β(q)Cβ,η(−q) (fβ − fα) (cid:26) (1 + Nq)fα(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eην − (cid:126)ωq (1 + Nq)fη(1 − fα) (cid:126) ¯Ω12 − Eην + (cid:126)ωq

và

( ¯Ω12) =

Γαβδ 2

Cη,δ(q)Cδ,η(−q) (fβ − fα)

q,η

−

(cid:88)

−

(Nq)fβ(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα + (cid:126)ωq Nqfα(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα + (cid:126)ωq (Nq)fη(1 − fα) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα − (cid:126)ωq (Nq)fη(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα − (cid:126)ωq

(cid:27)

q,η

−

(Nq)fβ(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eδη(cid:126)ωq

(cid:88) (1.64)

−

(cid:27)

(Nq)fη(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω12 − Eδη + (cid:126)ωq

(cid:26)(1 + Nq)fη(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα + (cid:126)ωq (1 + Nq)fη(1 − fα) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα + (cid:126)ωq (1 + Nq)fα(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα − (cid:126)ωq (1 + Nq)fβ(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eηα − (cid:126)ωq Cα,η(q)Cη,α(−q) (fβ − fα) (cid:26)(1 + Nq)fη(1 − fβ) (cid:126) ¯Ω12 − Eδη − (cid:126)ωq (1 + Nq)fβ(1 − fη) (cid:126) ¯Ω12 − Eδη + (cid:126)ωq

Tuy nhiên, từ biểu thức giá trị trung bình của mật độ dòng điện, ta không thể xác định

biểu thức tenxơ độ dẫn với các số hạng phi tuyến chỉ phụ thuộc vào trường ngoài. Cho

nên, ta không thể thu được biểu thức phi tuyến tổng quát của công suất hấp thụ.

Để khắc phục khó khăn trên, nhóm tác giả T. C. Phong và cộng sự [60] đã đề xuất

một phương pháp mới để thu được biểu thức tường minh của tenxơ độ dẫn với các số

hạng phi tuyến bằng cách giả sử hai tần số tương ứng với số hạng phi tuyến thì bằng

nhau (tức là chọn Ω1 = Ω2 = Ω khi đó Ω12 = 2Ω). Điều này có ý nghĩa nhóm tác giả

đã sử dụng một sóng tới có cường độ mạnh, số hạng tuyến tính của tenxơ độ dẫn tương

ứng với tần số Ω (đây là quá trình hấp thụ một photon). Số hạng phi tuyến của tenxơ

độ dẫn tương ứng với tần số Ω12 = 2Ω (đây là quá trình hấp thụ hai photon). Vì vậy,

biểu thức mật độ dòng (1.45) sẽ được viết lại như sau:

3 (cid:88)

(cid:104)Jk(cid:105)ens =

σkj(Ω) +

Ep(Ω)

p=1

k=1

(cid:104) (cid:105) σkjp(Ω)Ej(Ω)

= σpt(Ω)Ep(Ω),

(1.65)

trong đó, độ dẫn phi tuyến được xác định theo [41, 60] có dạng

3 (cid:88)

σkjp(Ω)Ej(Ω).

σpt(Ω) = σkj(Ω) +

k=1

(1.66)

Bằng phương pháp này, nhóm tác giả Phong và cộng sự đã áp dụng rất thành công để

xác định công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ do tương tác electron-phonon tính đến

quá trình hấp thụ hai photon trong các mô hình như dây lượng tử hình chữ nhật [60],

hình trụ [63, 77] và giếng lượng tử thế vuông góc [26].

Vậy, biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến sẽ được viết như [26]

PN Ln(Ω) =

Re[σpt(Ω)],

E2 0 2

(1.67)

trong đó “Re” kí hiệu là “phần thực” và σpt(Ω) là độ dẫn quang phi tuyến, có dạng công

thức (1.62) với số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai tương ứng là độ dẫn tuyến tính và

phi tuyến, các kí hiệu k, j và p dùng để kí hiệu các trục x, y và z tương ứng của hệ tọa

độ Đề-Các.

Thay biểu thức (1.62) vào biểu thức (1.67), kết quả thu được biểu thức giải tích của

công suất hấp thụ phi tuyến bậc thấp nhất như sau:

PN Ln(Ω) = P0(Ω) + P1(Ω),

(1.68)

với P0(Ω) và P1(Ω) lần lượt tương ứng với công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến

theo phương giam giữ z. Ta thu được

(z)αβ|(jz)βα|

P0(Ω) =

e2E2 0 2

(fβ − fα)B0(Ω) ((cid:126)Ω − Eβα)2 + [B0(Ω)]2 ,

αβ

(cid:88) (1.69)

P1(Ω) =

e3E3 0 2

(z)αβ(fβ − fα) ((cid:126)Ω − Eβα)2 + [B0(Ω)2]

αβ

(cid:88) (cid:88)

(cid:40)

−(z)ζα|(jz)βζ| (2(cid:126)Ω − Eβζ)2 + [B1(2Ω)2] ×[((cid:126)Ω − Eβα)B1(2Ω) + (2(cid:126)Ω − Eβζ)B0(Ω)]

(z)βζ|(jz)ζα| (2(cid:126)Ω − Eζα)2 + [B2(2Ω)2]

(1.70)

×[((cid:126)Ω − Eβα)B2(2Ω) + (2(cid:126)Ω − Eζα)B0(Ω)]

(cid:41) ,

ở đây Eβα = Eβ − Eα, với Eα là năng lượng của electron ở trạng thái α, fα là hàm phân

(X)αβ ≡ (cid:104)α|X|β(cid:105) đối với toán tử bất kỳ X, (z)αβ và (jz)βα là thành phần toán tử ma

bố Fermi-Dirac đối với một electron có năng lượng Eα được cho trong biểu thức (1.9),

trận vị trí và toán tử dòng điện có dạng

(z)αβ ≡ (cid:104)k⊥α, nα|z|k⊥β, nβ(cid:105),

(1.71)

|k⊥α, nα(cid:105).

(jz)βα ≡

ie(cid:126) m∗ (cid:104)k⊥β, nβ|

∂ ∂z

(1.72)

Những kết quả giải tích bài toán ở trên là rất phức tạp. Tuy nhiên, các kết luận vật

lý có thể được giải thích một cách tường minh bằng kết quả tính số và vẽ đồ thị dưới

sự hỗ trợ của phần mềm Mathematica.

1.3. Phương pháp hàm Green biểu diễn qua lý thuyết

nhiễu loạn

1.3.1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Trong cơ học lượng tử, nếu toán tử nhiễu loạn là một hàm phụ thuộc thời gian (cid:98)V (t)

thì Hamlitonian của hệ sẽ có dạng

(1.73) (cid:98)H = (cid:98)H0 + (cid:98)V (t),

do đó năng lượng của hệ không bảo toàn hay không có các trạng thái dừng. Vì vậy,

Dirac đưa ra phương pháp tính gần đúng các hàm sóng của hệ nhiễu loạn theo hàm sóng

n (x, t) = ψ(0)

trạng thái dừng của hệ không nhiễu loạn bằng cách áp dụng phương pháp biến thiên n (x)e(−iEnt/(cid:126)) là hằng số để giải cácphương trình vi phân tuyến tính. Gọi ψ(0)

các hàm sóng trạng thái dừng đã biết của hệ không nhiễu loạn. Các hàm này thỏa mãn

phương trình Schr¨odinger không nhiễu loạn

= (cid:98)H0ψ(0)

n (x).

i(cid:126) ∂ψ(0) n (x, t) ∂t

(1.74)

Giới hạn ở trường hợp khi các trạng thái của hệ không nhiễu loạn ứng với phổ gián

đoạn. Giả sử có nhiễu loạn nhỏ (cid:98)V (t) tác dụng lên hệ. Hàm sóng ψ cần tìm của hệ nhiễu

loạn thỏa mãn biểu thức

ak(t)ψ(0)

= ( (cid:98)H0 + (cid:98)V )ψ, trong đó ψ =

k (x, t).

i(cid:126)∂ψ ∂t

(cid:88) (1.75)

Các hệ số khai triển ak(t) phụ thuộc vào t và không phụ thuộc vào tọa độ. Thay biểu

thức ψ vào (1.75) và chú ý đến (1.74) ta thu được

i(cid:126) (cid:88)

ψ(0) k

ak (cid:98)V ψ(0) k ,

dak dt

(cid:88) (1.76)

m rồi lấy tích phân ta thu được

Nhân trái hai vế của đẳng thức với ψ(0)∗

akVmk(t),

i(cid:126) dam dt

m (cid:98)V (t)ψ(0) ψ(0)∗

k (x)dV = vmk(t)eiΩmkt, Ωmk =

(cid:88) (1.77)

m − E(0)

k )/(cid:126), vmk(t) =

k (x)dV.

(cid:90) trong đó, đại lượng Vmk(t) = ei(Em−En)t/(cid:126) (cid:90) (E(0) m (cid:98)V (t)ψ(0) ψ(0)∗

Theo Phụ lục 2, ta tìm được

vmn(t)eiΩmnt,

a(1) m (t) =

0 (cid:90) t

(cid:90) t (1.78)

vmn(t)eiΩmnta(1)

a(2) m (t) =

m (t).

1 i(cid:126) 1 i(cid:126)

(1.79)

1.3.2. Xác suất dịch chuyển dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn

Nhiễu loạn là nguyên nhân gây ra sự dịch chuyển của hệ từ một trạng thái lượng tử

m (x)

này sang trạng thái lượng tử khác. Sự chuyển dời này không được thực hiện bằng bước

n (x), (n (cid:54)= m) trong khoảng thời gian từ 0 → t có nhiễu loạn

nhảy mà diễn ra trong thời gian. Xác suất dịch chuyển được xác định bằng tính chất của nhiễu loạn và sự phụ thuộc vào thời gian. Khi hệ chuyển từ trạng thái dừng ψ(0) sang trạng thái dừng ψ(0)

tác động thì xác suất dịch chuyển của hệ là

Wnm = |a(1)(t)|2 =

vmn(t)eiΩmntdt|2.

1 (cid:126)2 |

(cid:90) t (1.80)

Nếu (cid:98)V (0) = (cid:98)V (t) = 0 thì (1.80) có thể được biến đổi bằng cách lấy tích phân từng phần

eiΩmnt|t

eiΩmntdt.

vmn(t)eiΩmntdt =

0 −

dvmn dt

1 iΩmn

(cid:90) t (cid:90) t (1.81)

eiΩmntdt|2.

Wnm =

1 (cid:126)2Ω2

dvmn dt

Ta có thể viết (cid:90) t (1.82)

Nếu (cid:98)V (t) là hàm điều hòa theo thời gian thì phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn

cũng là một hàm tuần hoàn theo thời gian

Vmn(t) = Vmn(0) cos Ωt,

n . Thực hiện một số tính toán cần thiết, ta được

(1.83)

trong đó Ω thỏa mãn (cid:126)Ω > E0 − E(0)

|a(1)

mn|2 =

(cid:19)

π 4(cid:126)2 |Vmn(0)|2tδ π 2(cid:126) |Vvn(0)|2tδ(Em − E(0)

(1.84) (cid:18) Ωmn − Ω 2 n − (cid:126)Ω).

sang trạng thái có phổ Xác suất dịch chuyển từ trạng thái lượng tử có năng lượng E(0) n

liên tục trong khoảng dv tính cho một đơn vị thời gian được xác định bởi

|a(1)

dWmn =

mn|2 =

n − (cid:126)Ω)dv

1 t

π 2(cid:126)|Vmn(0)|2δ(Em − E(0)

(1.85)

Công thức trên chứng tỏ, dưới tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, hệ chỉ có

thể thực hiện chuyển dời sang trạng thái có mức năng lượng thỏa mãn điều kiện

Ev = E(0)

n + (cid:126)Ω.

(1.86)

Khoảng các giá trị năng lượng dE tương ứng với khoảng các giá trị chỉ số v

dv = g(E)dE,

(1.87)

trong đó g(E) là hàm mật độ trạng thái, g(E)dE là số các trạng thái năng lượng trong

khoảng E và E +dE. Lấy tích phân theo các thông số còn lại, biểu thức (1.85) trở thành

dWEn =

n − (cid:126)Ω)dE,

π 2(cid:126) |VEn(0)|2g(E)δ(E − E(0)

(1.88)

trong đó đã đưa ký hiệu

= |VEn|2g(E)dE.

|Vvn|2 dv dE

(cid:90) (1.89)

sang trạng thái của phổ năng lượng Lấy tích phân theo năng lượng, ta tìm được xác suất dời chuyển toàn phần trong một đơn vị thời gian từ trạng thái có năng lượng E(0) n

dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn điều hòa

W =

π 2(cid:126) |VEn(0)|2g(E),

(1.90)

n + (cid:126)Ω. Nếu phần tử nhiễu loạn khác với (1.80)và ta lấy ký hiệu phần

trong đó E = E(0)

tử nhiễu loạn bằng cách đưa vào hàm mũ như

Vkn(t) = Vkn(0)(eiΩt + e−iΩt),

(1.91)

thì hệ số trong các biểu thức trên sẽ thay đổi gấp bốn lần. cụ thể, biểu thức (1.85) sẽ

được viết dưới dạng

dWvn =

n − (cid:126)Ω)dv.

2π (cid:126) |Vvn(0)|2δ(Ev − E(0)

(1.92)

1.3.3. Tương tác electron-phonon-photon

Trong mục này, tôi trình bày tóm tắt phương pháp để thu được hàm mật độ trạng

thái của khí electron chuẩn 2 chiều (2DEG) khi có mặt đồng thời cả từ trường mạnh

và trường laser trong mô hình Faraday [93]. Xét các trường hợp

(i) 2DEG chuyển động trong mặt phẳng (x − y) và bị giam giữ theo phương z,

(ii) Từ trường B được đặt dọc hướng z ,

(iii) Trường laser A(t) được đặt dọc hướng z và bị phân cực dọc theo x.

φ(R, t) = 0 và A(R, t) = (Ax(t), −Bx, 0), với R = (r⊥, z) = (x, y, z) là vectơ vị trí. Ở

Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron được biểu hiện rõ trong mô hình nghiên cứu. Ta có

đây, chuẩn Landau và chuẩn Coulomb được áp dụng cho thế vectơ và thế vô hướng gần

như gây ra bởi từ trường dừng và trường bức xạ điện từ. Chú ý rằng chuẩn Coulomb cho

trường bức xạ cũng được thỏa mãn đối với electron tự do cũng như mật độ điện tích và

mật độ dòng sẽ bằng không khi trường ngoài kích thích và trường tán xạ có mặt không

đồng thời. Trong gần đúng lưỡng cực cho trường điện từ, biểu thức Ax(t) = A0 sin(Ωt)

với Ω là tần số sóng điện từ (trường laser) và A0 = E0/Ω, E0 là biên độ điện trường

của trường điện từ. Do đó, Hamiltonian của electron cho 2DEG trở thành

(1.93)

Hxy(t) =

(1.94)

Hz =

H(t) = Hxy(t) + Hz, 1 2m∗ [(px − eAx(t))2 + (py + eBx)2], p2 z 2m∗ + U (z),

(1.95)

với px = −i(cid:126)∂/∂x là toán tử xung lượng dọc theo phương x và Uz là thế năng giam giữ

của 2DEG. Phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian có dạng như sau

= H(t)ψ(R, t).

i(cid:126)∂ψ(R, t) ∂t

(1.96)

Giải phương trình trên ta được

(1.97)

ψN,ky,n(R, t) = φN,ky,n(r, t)ψn(z), φN,ky,n(r, t) = eikyye−iEemτ0(t)/(cid:126)e−i(EN +ε+Eem)t/(cid:126) × ψN (x − X)eix0(x−X)/a2 c ,

(1.98)

ở đây, ky là vectơ sóng của electron dọc theo phương y và ta đã đặt số hạng X ≡ cky + x1(t) với ac = ((cid:126)/eB)1/2 là bán kính cyclotron và EN = (N + 1/2)(cid:126)ωc X(t) = −a2 là năng lượng mức Landau thứ N với N = 0, 1, 2, ... và ωc = eB/m∗ là tần số cyclotron.

x0 = x0(t) =

ωc sin(Ωt) − Ω sin(ωct) Ω2 − ω2 c

Các đại lượng khác trong biểu thức (1.98) có dạng sau

x1 = x1(t) =

(1.99)

−eE0 m∗Ω eE0 m∗ ω2

sin(2Ωt) +

sin(2ωct) − 4 sin(Ωt) cos(Ωt)

Ω ωc

cos(Ωt) − cos(ωct) Ω2 − ω2 c (cid:20)3ω2 c − Ω2 2ω2 c

c /Ω Ω2 − ω2 c

(cid:21)

ω2

sin(2ωt) +

τ0(t) =

c − Ω2 2ωc

Ω ωc

c /Ω Ω2 − ω2 c

(cid:20)3ω2 (cid:21) sin(2ωct) − 4 sin(Ωt) cos(ωct)

(eE0)2) 4m∗(Ω − ωc)

là năng lượng gây ra bởi trường bức xạ và từ trường, và với Eem =

c )/2HN (x/ac),

ψN (x) = (2N N !π1/2ac)−1/2e(−x/a2

(1.100)

với HN (x) là đa thức Hermite. Hơn nữa, vì từ trường và trường laser không liên kết để

ψn(z) và năng lượng mức điện tử thứ n là εn được xác định bởi biểu thức Schr¨odinger

tạo nên thế giam giữ cho hệ electron hai chiều nên hàm sóng eletron theo hướng z là

không phụ thuộc thời gian theo hướng z có dạng

|Hz − εn|ψn(z) = 0.

(1.101)

1.3.4. Xác suất dịch chuyển và hệ số hấp thụ quang từ khi có mặt từ

trường biểu diễn qua hàm Green

Bằng cách áp dụng công trình của W. Xu và cộng sự [93], ta thiết lập biểu thức tổng

quát của xác suất dịch chuyển khi có mặt cả điện trường và từ trường. Khi từ trường và

điện từ trường được bao hàm bởi Hamiltonian cho hệ electron hai chiều (2DEG) trong

mô hình Faraday, chuẩn Landau và chuẩn Coulomb gần như có thể mô tả hiệu chỉnh

từ trường và điện từ trường. Trường laser chuẩn Coulomb và trường điện từ theo chuẩn

Landau, Hamiltonian cho 2DEG chịu tác dụng của từ trường B (đặt dọc theo hướng z

) và trường laser A(t) (phân cực dọc theo phương z) khi không có tán xạ với tạp chất

được xác định như sau

H0(t) =

z] + U (z),

1 2m∗ [px − eA2(t) + (py + eBx)2 + p2

(1.102)

với px = −i(cid:126)∂/∂x là toán tử xung lượng dọc theo phương x, A(t) = A0 sin(Ωt) là thế

vectơ của trường điện từ, Ω là tần số bức xạ và U (z) là thế năng giam giữ của 2DEG.

Phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian

= H0(t)ψ(R, t),

i(cid:126) ∂ψ(R, t) ∂t

(1.103)

có thể giải được, với R = (x, y, z). Hàm sóng phụ thuộc thời gian ψ(R, t) có thể thu

(cid:48)

được hàm Green trễ cho electron trong biểu diễn (R, t)

, t(cid:48)) =

ψ∗

G0(R, t; R

N,ky,n(R, t),

φ(t − t(cid:48)) i(cid:126)

N,ky,n

(cid:88) (1.104)

(cid:48)

, t(cid:48)) = δ(R − R

)δ(t − t(cid:48)).

G0(R, t; R

i(cid:126) ∂ ∂t

(cid:20) (1.105) (cid:21) − H0(t)

Áp dụng phương pháp tiệm cận Green vào lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian khi

có mặt của thế tán xạ V (R, t) đóng góp bậc 1 cho xác suất dịch chuyển ở trạng thái

∂[G∗

dừng có thể tính bởi biểu thức

Wα(cid:48),α =

1 (cid:126)2

lim t,t(cid:48)→+∞

α(cid:48),αGα(cid:48),α] ∂(t, t(cid:48))

(1.106)

∂[G∗

α(cid:48),αGα(cid:48),α]

Theo Phụ lục 3, đóng góp bậc một nếu xét trong dịch chuyển, ta được

W (1)

α(cid:48),α =

1 (cid:126)2

lim t,t(cid:48)→+∞

∂(t − t(cid:48))

(1.107)

dτ (cid:104)α(cid:48), τ |V (R, τ )|α, τ (cid:105),

Gα(cid:48),α(t, t(cid:48)) =

t(cid:48)

trong đó (cid:90) t (1.108)

và |α, τ (cid:105) là hàm sóng phụ thuộc thời gian. Thế tán xạ do tương tác electron-phonon như sau

V (R, t) =

[Vqaqei(qR+ωqt) + V ∗

q a+

q e−i(qR+ωqt)].

(cid:88) (1.109)

Ở đây q = (q⊥, qz) = (qx, qy, qz) là vectơ sóng của phonon, ωq là tần số phonon, (a+ q , aq) là tọa độ liên hợp chính tắc của hệ phonon và Vq là hệ số tương tác electron-phonon.

Đóng góp bậc 1 của xác suất dịch chuyển ở trạng thái dừng được bao hàm bởi tán xạ

từ phonon-photon trong 2DEG có dạng

∞ (cid:88)

W m1,m2

WN (cid:48),N,n(cid:48),n =

N (cid:48),N,n(cid:48),n,

[Nq + 1/2 ∓ 1/2]|Vq|2In(cid:48),n(qz)

m1,m2 2π (cid:126)

(cid:88) (1.110)

× JN (cid:48),N (a2

cq2/2)J 2

x + (ωcqy/Ω)2 q2

m2(r0q)J 2

× δ(EN (cid:48) − EN + εn(cid:48) − ε − m1(cid:126)Ω + m2(cid:126)ωc ∓ (cid:126)ωq),

(cid:20) (cid:21) (cid:113)

N (x)]2 được gây ra bởi tương tác electron với từ trường, với LJ

với m1, m2 tương ứng với quá trình hấp thụ (phát xạ) của photon. Ta kí hiệu dấu (“–”) và (“+”) lần lượt biểu diễn sự hấp thụ hoặc phát xạ phonon với năng lượng (cid:126)ωq, Nq = [e((cid:126)ωq/KBT −1)]−1 là hàm phân bố của phonon, Jn(cid:48),n(qz) = |(cid:104)n(cid:48)|eiqzz|n(cid:105)|2 là thừa số dạng do tương tác electron-phonon, |n(cid:105) là hàm sóng của electron, CN,N +J (x) = [N !/(N +J)!]e−xxJ [LJ

N (x) c )]. Trong tính toán ở trên, kết quả đã bỏ qua ảnh hưởng của hiệu ứng Zeeman do bài toán được

là đa thức liên kết Laguerre, Jm(x) là hàm Bessel và a0 = (eE0)/[m∗(Ω2 − ω2

xét trong điều kiện nhiệt độ tương đối cao. Xác suất dịch chuyển cho quá trình hấp thụ

i được cho bởi phương pháp nhiễu loạn

photon kèm hấp thụ hoặc phát xạ phonon W ∓

và hàm Green như sau:

+∞ (cid:88)

W ∓

|(cid:104)f |Hep|i(cid:105)|2

x + (ωcqy/Ω)2 q2

J 2 m(cid:48)(r0q)J 2 m

i =

2π (cid:126)

m,m(cid:48)=−∞

(cid:21) (cid:113) (cid:88) (cid:88) (cid:20) r0

× δ(EN (cid:48) − EN + εn(cid:48) − εn − m1(cid:126)Ω + m2(cid:126)ωc ∓ (cid:126)ωq),

(1.111)

trong đó |(cid:104)f |Hep|i(cid:105)| là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon, Ei và Ef là năng

lượng của electron ở trạng thái đầu và trạng thái cuối. Ở đây, tổng tính theo tất cả

trạng thái cuối f của hệ.

Trong trường hợp, xác suất dịch chuyển có dạng công thức (1.111) thì biểu thức hệ

số hấp thụ quang từ được tính theo [15, 55] như sau

Kν((cid:126)Ω) =

W ±,νfi(1 − ff ),

1 NΩV0

i,f

(cid:88) (1.112)

ở đây, NΩ là số photon, ν là số nhánh phonon, i (f ) lần lượt là trạng thái đầu (cuối) của electron.

1.4. Phương pháp profile

Các nghiên cứu cho thấy rằng độ rộng vạch phổ có quan hệ mật thiết đến tốc độ

hồi phục cũng như phụ thuộc vào cơ chế tán xạ của hạt tải trong chất rắn. Vì vậy việc

nghiên cứu độ rộng vạch phổ sẽ thu được các thông tin về quá trình tương tác giữa các

hat mang điện cũng như cấu trúc của vật liệu. Tuy nhiên, độ rộng vạch phổ trong các

mô hình giam giữ khác nhau thì hoàn toàn không giống nhau.

Để xác định độ rộng vạch phổ có rất nhiều phương pháp khác nhau, riêng nhóm tác

giả Tran Cong Phong, H. V. Phuc và cộng sự đã áp dụng rất thành công phương pháp

profile để xác định độ rộng vạch phổ trong các hệ chuẩn một chiều [60, 64, 71, 77] và

Hình 1.5: Độ rộng vạch phổ được xác định từ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon.

các hệ chuẩn hai chiều [55, 61, 67, 70, 72].

Bằng phương pháp này, xác định khoảng cách giữa hai giá trị của biến phụ thuộc

(cụ thể như tần số và năng lượng photon tới) mà tại đó giá trị của công suất hấp thụ

sẽ bằng một nửa giá trị cực đại của nó. Hơn thế nữa, độ rộng vạch phổ được xác định

từ đồ thị của công suất hấp thụ (hoặc hệ số hấp thụ) như một hàm của năng lượng

P = Pmax/2 song song với trục hoành cắt đồ thị của đường cong cộng hưởng tại hai

photon. Tiếp theo, xác định giá trị cực đại của công suất hấp thụ sau đó kẻ đường thẳng

điểm. Khoảng cách giữa hai điểm này chính là độ rộng vạch phổ cần tìm. Ví dụ: Để tìm

sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào một đại lượng X bất kỳ, sử dụng phần mềm

Mathematica để tính số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào

năng lượng photon theo các giá trị khác nhau của X. Từ đồ thị này, xác định giá trị

của công suất hấp thụ cực đại Pmax bằng lệnh F indM axV alue và tiếp theo dùng lệnh F indRoot[Pmax((cid:126)Ω)/2] để tìm hai giá trị năng lượng photon (cid:126)Ω1 và (cid:126)Ω2 ứng với một nửa giá trị của công suất hấp thụ cực đại. Sau đó, ta tính được ∆(cid:126)Ω = (cid:126)Ω2 − (cid:126)Ω1,

đây chính là độ rộng vạch phổ cần tìm. Cuối cùng, đơn giản ứng với mỗi cặp giá trị (X, ∆(cid:126)Ω), ta xác định được một điểm trên đồ thị; nối các điểm này lại với nhau, ta sẽ

thu được độ rộng vạch phổ theo đại lượng X cần tìm. Đây cũng chính là phương pháp

profile được áp dụng trong đề tài luận án này.

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận án đã trình bày chi tiết về đối tượng và phương pháp nghiên

cứu. Kết quả cụ thể như sau:

1. Đã mô tả về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử; biểu thức tính năng lượng và

hàm sóng của electron trong giếng lượng tử với thế tam giác và thế hyperbol bất đối

xứng đặc biệt khi có mặt điện trường xoay chiều cao tần cũng như có cả điện trường và

từ trường tĩnh;

2. Đã áp dụng phương pháp chiếu toán tử trong lý thuyết phản ứng tuyến tính và

phi tuyến để tính biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ tuyến

tính và phi tuyến;

3. Đã kết hợp lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian và phương pháp hàm Green

thông qua xác suất dịch chuyển tìm được biểu thức tường minh hệ số hấp thụ quang

từ;

4. Đã sử dụng phương pháp profile, chúng tôi xác định được độ rộng vạch phổ tương

ứng với các đỉnh cộng hưởng.

Chương 2. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng

lượng tử thế tam giác

Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu thức giải tích và kết quả tính số, vẽ đồ

thị của công suất hấp thụ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến các đỉnh

cộng hưởng electron–phonon dò tìm bằng quang học trong giếng lượng tử thế tam giác

vào các thông số đặc trưng của thế giam giữ và nhiệt độ.

2.1. Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế tam giác

2.1.1. Biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính

Áp dụng công thức (1.69) cho mô hình giếng lượng tử tam giác theo hướng z, kết

quả thu được biểu thức tường minh của công suất hấp thụ tuyến tính có dạng

P0(Ω) =

Re[σzz(Ω)].

E2 0z 2

(2.1)

Bằng cách thay hàm sóng ở công thức (1.11) vào các yếu tố ma trận (z)αβ, (jz)βα

(z)αβ ≡ (cid:104)k⊥α, nα|z|k⊥β, nβ(cid:105)

trong (1.57), ta được

+∞ (cid:90)

z −

e−i((cid:126)k⊥α−(cid:126)k⊥β )(cid:126)r⊥d(cid:126)r⊥Cnβ Cnα

εnα eF

1 (cid:112)LxLy

−∞

(cid:35) (cid:90) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:17) (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2

× zAi

z −

Gnα,nβ Cnβ Cnα,

dz = δ(cid:126)k⊥α,(cid:126)k⊥β

εnβ eF

(cid:35) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:17) (2.2) (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2

trong đó, ta đã đặt

Gnα,nβ =

φ∗ nα(z)zφnβ (z)dz,

(cid:90) −∞ (2.3)

−∞ +∞ (cid:90)

z −

zAi

dz,

z −

εnα eF

εnβ eF

−∞

|k⊥α, nα(cid:105)

(cid:35) (cid:35) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:17) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:17) (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2 (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2

∂ ∂z

Cnβ Cnα

và (jz)βα ≡

ie(cid:126) m∗ (cid:104)k⊥β, nβ| ie(cid:126) m∗ δ(cid:126)k⊥α,(cid:126)k⊥β +∞ (cid:90)

Ai(cid:48)

z −

εnβ eF

εnα eF

(cid:35) (cid:35) (cid:17) (cid:17) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2 (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2

−∞ ie(cid:126) m∗ δk⊥α,k⊥β Lnα,nβ ,

(2.4)

+∞ (cid:90)

z −

Ai(cid:48)

z −

dz.

Lnβ ,nα =

εnβ eF

εnα eF

−∞

với (cid:35) (cid:35) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:17) (cid:19)1/3 (cid:16) (cid:17) (2.5) (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2 (cid:34)(cid:18) 2m∗eF (cid:126)2

Tiếp theo, ta lần lượt thay các yếu tố ma trận (z)αβ, (jz)βα vào biểu thức tenxơ độ dẫn

(1.57) và lấy phần thực của σkj(Ω) theo hướng z. Kết quả thu được biểu thức công suất

(fβ − fα)B0(Ω)

hấp thụ tuyến tính có dạng

P0(Ω) =

δk⊥α,k⊥β Gnα,nβ Lnβ ,nα. (2.6)

E2 0 2

e(cid:126) m∗

[(cid:126)Ω − (Enβ − Enα)]2 + B2

0(Ω)

k⊥α,nα

k⊥β ,nβ

(cid:88) (cid:88)

B0(Ω) trong biểu thức giải tích của hàm độ rộng phổ ở công thức (1.55). Thực hiện lần

Để tính toán công suất hấp thụ tuyến tính trong biểu thức (2.6), ta cần xác định

lượt các phép tính chuyển tổng theo q và |ζ(cid:105) = |k⊥ζ, nζ(cid:105) thành tích phân như trong [35]

∞ (cid:90)

có dạng

· · · −→

q⊥dq⊥

dqz · · · ,

V0 4π2

−∞

(cid:88)

0 (cid:88)

· · · −→

· · · ,

nζ

k⊥ζ

∞ (cid:90)

(cid:88) (cid:88) (2.7)

· · · −→

k⊥ζdk⊥ζ · · · .

LxLy (2π)2

nζ

k⊥ζ

(cid:88) (cid:88)

Cβζ(q) = V (q)(cid:104)k⊥β, nβ | eiqr | k⊥ζ, nζ(cid:105)

= V (q)(cid:104)k⊥β | eiq⊥r⊥ | k⊥ζ(cid:105)(cid:104)nβ | eiqzz | nζ(cid:105)

∞ (cid:90)

= V (q)

dr⊥ei(q⊥+k⊥ζ −k⊥β )r⊥

(z)e±iqzzφnζ (z)

dzφ∗ nβ

1 LxLy

−∞

Thế nên, thành phần ma trận tương tác electron-phonon được viết lại như sau

= V (q)δk⊥ζ +q⊥,k⊥β Jnβ ,nζ (qz),

(2.8)

∞ (cid:90)

với

Jnβ ,nζ (qz) =

(z)e±iqzzφnζ (z),

dzφ∗ nβ

−∞

(2.9)

khi đó

|Cβζ(q)|2 = |Vq|2|Jnβ nζ (qz)|2δk⊥ζ ±q⊥,k⊥β .

(2.10)

Thực hiện tương tự với

|Cαζ(q)|2 = |Vq|2|Jnαnζ (qz)|2δk⊥α±q⊥,k⊥ζ ,

(2.11)

trong đó |V (q)|2 là hệ số tương tác electron-phonon. Trong đề tài luận án này, cơ chế tán

xạ chủ yếu được xét đến là do tương tác electron–phonon quang dọc. Cho nên |V (q)|2

được cho bởi [50, 51, 62], như sau:

(cid:115) (cid:33)2 (cid:32)

|V (q)|2 =

− i

1 q2 ≈

2πe2χ∗(cid:126)ωLO (cid:15)0V0

D q2 ⊥

∞ − χ−1

(2.12)

⊥ + q2

z , 0 ≤ q⊥ ≤ ∞, −∞ < qz < +∞, ở đây q⊥ là thành phần vectơ sóng trong mặt phẳng (x − y), qz là thành phần theo hướng z và thể tích trong giếng là V0 = SL.

với χ∗ = χ−1 0 ; χ∞ và χ0 lần lượt là hằng số điện môi tĩnh và cao tần, (cid:15)0 là hằng số điện môi, D = 2πe2χ∗(cid:126)ωLO/(cid:15)0V0 và (cid:126)ωLO là năng lượng phonon quang dọc, q = (cid:112)q2

Thực hiện các tính toán, kết quả thu được là

|Jnβ nζ (qz)|2dqz

(k2

LxLyDV0m∗ 16π3(cid:126)2(fβ − fα)

−∞

2λ1(−) ⊥β − λ2

1(−))

nζ

(cid:90) +∞ (cid:88) B01 =

× [(1 + Nq)fα(1 − f 1(−)

) − Nqf 1(−)

(1 − fα)],

(2.13)

|Jnβ nζ (qz)|2dqz

(k2

LxLyDV0m∗ 16π3(cid:126)2(fβ − fα)

−∞

2λ1(+) ⊥β − λ2

1(+))

nζ

(cid:90) +∞ (cid:88) B02 =

× [Nqfα(1 − f 1(+)

) − (1 + Nq)f 1(+)

(1 − fα)],

(2.14)

|Jnαnζ (qz)|2dqz

(k2

LxLyDV0m∗ 16π3(cid:126)2(fβ − fα)

−∞

2λ2(−) ⊥α − λ2

2(−))

nζ

(cid:90) +∞ (cid:88) B03 =

)],

× [(1 + Nq)f 2(−)

(1 − fβ) − Nqfβ(1 − f 2(−)

(2.15)

|Jnαnζ (qz)|2dqz

(k2

LxLyDV0m∗ 16π3(cid:126)2(fβ − fα)

−∞

2λ2(+) ⊥α − λ2

2(+))

nζ

(cid:90) +∞ (cid:88) B04 =

)].

× Nqf 2(+)

(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − f 2(+)

(2.16)

Bằng cách thay các biểu thức (2.13), (2.14) (2.15) và (2.16) vào biểu thức (1.55), kết

quả thu được biểu thức giải tích tường minh của số hạng tuyến tính B0(Ω) có dạng

B0(Ω) = HSB0× (cid:18)

[(1 + Nq)fα(1 − f 1(−)

) − Nqf 1(−)

(1 − fα)]

Inβ nζ

(k2

λ1(−) ⊥β − λ2

1(−))

nζ

(cid:40) (cid:88)

[Nqfα(1 − f 1(+)

) − (1 + Nq)f 1(+)

(1 − fα)]

(k2

λ1(+) ⊥β − λ2 1(+)) (cid:18)

(cid:19) (2.17)

)]

[(1 + Nq)f 2(−)

(1 − fβ) − Nqfβ(1 − f 2(−)

Inαnζ

(k2

λ2(−) ⊥α − λ2

2(−))

nζ

)]

(cid:88)

(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − f 2(+)

[Nqf 2(+) ζ

(k2

λ2(+) ⊥α − λ2

2(+))

(cid:19)(cid:41) ,

trong đó, ta đã đặt

LxLyDV0m∗ 8π3(cid:126)2(fβ − fα) (cid:18)

HSB0 =

λ1(±) =

k2 ⊥α +

2m∗ (cid:126)2

(cid:19)1/2 (cid:2)(cid:126)(Ω ± ωLO) − (εnζ − εnα)(cid:3)

λ2(±) =

k2 ⊥β −

2m∗ (cid:126)2

f 1(±) ζ

(cid:19)1/2 (cid:18) (cid:2)(cid:126)(Ω ± ωLO) − (εnβ − εnζ )(cid:3)

((cid:126)2λ2

1(±)/2m∗)+εnζ −EF

1 kB T

1 + exp

f 2(±) ζ

(cid:104) (cid:1)(cid:105) , (cid:0)

((cid:126)2λ2

2(±)/2m∗)+εnζ −EF

1 kB T

1 + exp

(cid:104) (cid:1)(cid:105) . (cid:0)

Inβ nζ =

|Jnβ nζ (qz)|2dqz,

−∞ (cid:90) +∞

|Jnαnζ (qz)|2dqz,

Inαnζ =

−∞

và (cid:90) +∞ (2.18)

nếu xét dịch chuyển từ trạng thái ban đầu nα ≡ n đến trạng thái cuối nβ ≡ n(cid:48) thì tích

phân bao phủ In(cid:48) n trong (2.18) được tính cụ thể như sau:

*Trước hết ta cần phải tính tích phân:

φn(cid:48) (z)eiqzφn(z) +

φn(cid:48) (z)e−iqzφn(z)dz.

In(cid:48) n =

(cid:90) ∞ (cid:90) ∞ (2.19)

Chú ý rằng:

eiqz + e−iqz = 2 cos(qz),

(2.20)

nên tích phân trên được viết lại là:

In(cid:48) n = 2

φn(cid:48) (z) cos(qz)ϕn(z)dz.

(cid:90) ∞ (2.21)

e±iqzAi

dz.

In(cid:48) n = CnCn(cid:48)

Hay: (cid:21) (cid:21) (cid:90) ∞ (2.22) (cid:20)M z − K 2 n M 2/3 (cid:20)M z − K 2 n(cid:48) M 2/3

Nếu ta đặt

x = M z ⇒ z =

dz =

dx M

x M

(2.23)

khi đó, cận của tích phân không thay đổi nên tích phân trên trở thành:

q M

±i e

dx.

In(cid:48) n =

CnCn(cid:48) M

(cid:35) (cid:21) (cid:90) ∞ (2.24) (cid:20)x − K 2 n M 2/3 (cid:34)x − K 2 n(cid:48) B2/3

Áp dụng công thức (3.127) trong [57], có dạng

e±iGxdx

(a − b)2

−

−i

4β3 G +

G(a + b) 2

π 4

|β|1/2 π|G|1/2

√ 2

(cid:21) (cid:21) (cid:90) ∞ (2.25) (cid:20)x + a β (cid:21)(cid:27) (cid:26) exp sgn(βG) (cid:20)x + b β (cid:20)β3G3 12

ta suy ra:

In(cid:48) n =

CnCn(cid:48) M

|β|1/2 π|G|1/2

(2.26)

(a − b)2

−

× exp

−i

√ 2 (cid:20)β3G3 12

4β3 G +

G(a + b) 2

π 4

(cid:21)(cid:27) (cid:26) sgn(βG)

C 2

Tiếp theo, bình phương module biểu thức này ta được:

|In(cid:48) n|2 =

nC 2 n(cid:48) M 2

|β| 4π|G|

(2.27)

B và β = M 2/3 nên kết quả tích phân (2.24) là:

C 2

Ở đây, G = q

|In(cid:48) n|2 =

nC 2 n(cid:48) M 1/34π|q|

(2.28)

Thực hiện tính tích phân theo q. Kết quả thu được là

C 2

dq ≈ 9, 21 × 106 ×

In(cid:48) n =

nC 2 n(cid:48) M 1/34π|q|

nC 2 C 2 n(cid:48) M 1/34π

−∞

(cid:90) ∞ (2.29)

≈ 3, 14 × 106 × F 1/3.

M 1/3 =

với (cid:19)1/3 (2.30) (cid:18) 2m∗eF (cid:126)2

Cuối cùng, thay B0(Ω) vào (2.6), ta thu được biểu thức tường minh công suất hấp

thụ tuyến tính của sóng điện từ do tương tác electron-phonon quang dọc trong TrQW.

2.1.2. Biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến

Để thu được biểu thức tường minh công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng

tử tam giác, ta cần sử dụng biểu thức hàm sóng và năng lượng lần lượt từ công thức

(1.11), (1.12) vào (1.62) và (1.70) theo hướng z để tính các yếu tố ma trận có dạng

Gnα,nβ Cnβ Cnα,

(z)αβ ≡ (cid:104)k⊥α, nα|z|k⊥β, nβ(cid:105) = δ(cid:126)k⊥α,(cid:126)k⊥β

Gnν ,nαCnν Cnα,

Gnβ ,nδ Cnβ Cnδ ,

(z)να ≡ (cid:104)k⊥ν, nν|z|k⊥α, nα(cid:105) = δ(cid:126)k⊥ν ,(cid:126)k⊥α (z)βδ ≡ (cid:104)k⊥β, nβ|z|k⊥δ, nδ(cid:105) = δ(cid:126)k⊥β ,(cid:126)k⊥δ

(jz)βν ≡

|k⊥ν, nν(cid:105) =

Lnβ ,nν Cnβ Cnν ,

(jz)δα ≡

|k⊥δ, nα(cid:105) =

Lnδ,nαCnδ Cnα.

ie(cid:126) m∗ (cid:104)k⊥β, nβ| ie(cid:126) m∗ (cid:104)k⊥δ, nα|

∂ ∂z ∂ ∂z

ie(cid:126) m∗ δ(cid:126)k⊥β ,(cid:126)k⊥ν ie(cid:126) m∗ δ(cid:126)k⊥δ,(cid:126)k⊥α

giống như (z)αβ, (jz)βα. Thực hiện tính tương tự như (2.2),(2.3), (2.4) và (2.5), ta được

Thay các số hạng ở trên vào (1.62), ta thu được thành phần phi tuyến của tenxơ độ

dẫn. Bằng cách tính toán tương tự như phần tuyến tính, kết quả tìm được biểu thức

tổng quát thành phần phi tuyến P1(Ω) theo hướng z công suất hấp thụ sóng điện từ

trong TrQW như sau:

P1(Ω) =

e3E3 0 2m∗

(fβ − fα)B0(Ω) ((cid:126)Ω − Eβα)2 + B2

0(Ω)

nν

nα

nβ

(cid:126) (cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88) HSP0

nδ ((cid:126)Ω − Eβα)B1(2Ω) + (2(cid:126)Ω − Eβν)B0(Ω)

(cid:40)

−

(2(cid:126)Ω − Eβν)2 + B2

1(2Ω)

(2.31)

((cid:126)Ω − Eβα)B2(2Ω) + (2(cid:126)Ω − Eδα)B0(Ω)

(2(cid:126)Ω − Eδα)2 + B2

2(2Ω)

× δnα,nβ δnν ,nαδnβ ,nν δnβ ,nδ δnδ,nα × Knα,nβ Knν ,nαKnβ ,nδ Knβ ,nν Knδ,nα

× Lnα,nβ Lnν ,nαLnβ ,nδ Lnβ ,nν Lnδ,nα,

(cid:41)

Eβα = Eβ − Eα = Enβ (k⊥β) − Enα(k⊥α),

ở đây

Eβν = Eβ − Eν = Enβ (k⊥β) − Enν (k⊥ν),

Eδα = Eδ − Eα = Enδ (k⊥δ) − Enα(k⊥α).

(2.32)

Như vậy, ta cần xác định hai hàm độ rộng phổ phi tuyến B1(2Ω) và B2(2Ω) trong công

thức (2.31). Thực hiện tính tương tự như thành phần độ rộng phổ tuyến tính B0(Ω),

các đại lượng này lần lượt có dạng

B1(2Ω) =

|Cνζ(q)|2

π fβ − fα

q,ζ

× {[(1 + Nq)fβ(1 − fζ) − Nqfζ(1 − fβ)]δ(2(cid:126)Ω − Eβζ + (cid:126)ωLO)

− [(1 + Nq)fζ(1 − fβ) + Nqfζ(1 − fζ)] δ(2(cid:126)Ω − Eβζ − (cid:126)ωLO)

− [(1 + Nq)fα(1 − fζ) − Nqfζ(1 − fα)] δ(2(cid:126)Ω − Eαζ + (cid:126)ωLO)

+ [(1 + Nq)fζ(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fζ)] δ(2(cid:126)Ω − Eαζ − (cid:126)ωLO)}

(cid:88)

|Cζβ(q)|2

π fβ − fα

q,ζ

× {[(1 + Nq)fζ(1 − fα) − Nqfα(1 − fζ)] δ(2(cid:126)Ω − Eζα − (cid:126)ωLO)

+ [Nqfζ(1 − fα) − (1 + Nq)fα(1 − fζ)] δ(2(cid:126)Ω − Eζα + (cid:126)ωLO)} ,

(cid:88) (2.33)

và

|Cδζ(q)|2

B2(2Ω) =

π fβ − fα

q,ζ

× {[(1 + Nq)fζ(1 − fα) − Nqfα(1 − fζ)] δ(2(cid:126)Ω − Eζα + (cid:126)ωLO)

+ [Nqfβ(1 − fζ) − (1 + Nq)fζ(1 − fβ)] δ(2(cid:126)Ω − Eζβ + (cid:126)ωLO)

+ [(1 + Nq)fβ(1 − fζ) − Nqfζ(1 − fβ)] δ(2(cid:126)Ω − Eζβ − (cid:126)ωLO)

− [(1 + Nq)fα(1 − fζ) + Nqfζ(1 − fα)] δ(2(cid:126)Ω − Eζα − (cid:126)ωLO)}

(cid:88)

−

|Cβζ(q)|2

π fβ − fα

q,ζ

× {[(1 + Nq)fβ(1 − fζ) − Nqfζ(1 − fβ)] δ(2(cid:126)Ω − Eβζ + (cid:126)ωLO)

+ [Nqfβ(1 − fζ) − (1 + N1)fζ(1 − fβ)] δ(2(cid:126)Ω − Eβζ − (cid:126)ωLO)} .

(cid:88) (2.34)

Tiếp theo, ta thực hiện phép tính chuyển tổng theo q và ζ thành tích phân như phần

tuyến tính, kết quả thu được các biểu thức của độ rộng phổ phi tuyến lần lượt là

B1(2Ω) = HSB0

|Jnζ nν (qz)|2dqz

−∞

nν ,nζ

(cid:90) +∞ (cid:88)

(cid:40)

) − Nqf (11+)

(1 − fβ)

λ11(+) ⊥β − λ2 k2

11(+)

− (1 + Nq)fα(1 − f (11+)

) + Nqf (11+)

(cid:104) (1 + Nq)fβ(1 − f (11+)

(cid:105) (1 − fα)

)

(1 + Nq)f (11−)

(1 − fα) − Nqfα(1 − f (11−)

11(−)

(cid:104)

(1 − fβ) − Nqfβ(1 − f (11−)

λ11(−) ⊥β − λ2 k2 − (1 + Nq)f (11−) ζ (cid:90) +∞

(2.35) (cid:105)(cid:111) )

− HSB0

|Jnβ nζ (qz)|2dqz

−∞

nζ

(cid:88)

(1 + Nq)fα(1 − f (12−)

) − Nqf (12−)

λ12(−) ⊥α − λ2 k2

12(−)

(cid:40) (cid:104) (cid:105) (1 − fα)

−

(1 + Nq)f (12+)

(1 − fα) − Nqfα(1 − f (12+)

λ12(+) ⊥α − λ2 k2

12(+)

(cid:41) (cid:104) (cid:105) )

B2(2Ω) = HSB0

|Jnζ nδ (qz)|2dqz

−∞

nζ ,nδ

(cid:90) +∞ (cid:88)

(cid:40)

(1 − fα) − Nqfα(1 − f 21(+)

(cid:105) ) (cid:104) (1 + Nq)f 21(+)

21(+) (cid:104)

Nqfβ(1 − f 22(+)

) − (1 + Nq)f 22(+)

(1 − fβ)

(cid:105)

22(+) (1 + Nq)fβ(1 − f 22(−)

) − Nqf 22(−)

(1 − fβ)

λ21(+) ⊥β − λ2 k2 λ22(+) ⊥β − λ2 k2 (cid:104) 1 λ22(−)

(cid:105)

−

(1 + Nq)fα(1 − f 21(−)

) + Nqf 21(−)

(1 − fα)

22(−)

(cid:105)(cid:111) (cid:104)

λ22(−) ⊥β − λ2 k2 (cid:88)

− HSB0

|Jnβ nζ (qz)|2dqz

−∞

nζ

(cid:90) +∞ (2.36)

(1 + Nq)fβ(1 − f 22(−)

) − Nqf 22(−)

(1 − fβ)

λ22(−) ⊥α − λ2 k2

22(−)

(cid:40) (cid:105) (cid:104)

Nqfβ(1 − f 22(+)

) − (1 + N1)f 22(+)

λ22(+) ⊥α − λ2 k2

22(+)

(cid:41) (cid:104) (cid:105) (1 − fβ)

HSP0 = trong đó, ta đã đặt các số hạng tương ứng như sau: 0 e(cid:126) E2 2m∗ (z)αβ(jz)αβ,

λ12(±) = λ21(±) =

(cid:114) 2m∗ (cid:126) (2(cid:126)Ω ± (cid:126)ωLO),

λ11(±) =

k2 ⊥α +

2m∗ (cid:126)2

f 11(±) ζ

(cid:19)1/2 (cid:18) (cid:2)(2(cid:126)Ω ± (cid:126)ωLO) − (εnβ − εnζ )(cid:3)

11(±)/2m∗)+εnζ −EF

1 kB T

1 + exp

(cid:104) (cid:1)(cid:105) , (cid:0) ((cid:126)2λ2

f 12(±) ζ

= f 21(±) ζ

1 (cid:126)2λ2

12(±) 2m∗ +εnζ −EF )]

kB T (

và

λ22(±) =

k2 ⊥β −

1 + exp[ 1 2m∗ (cid:126)2

f 22(±) ζ

(cid:18) (cid:19)1/2 (cid:2)(2(cid:126)Ω ± (cid:126)ωLO) − (εnζ − εnα)(cid:3)

((cid:126)2λ2

22(±)/2m∗)+εnζ −EF

1 kB T

1 + exp

(cid:104) (cid:0) (cid:1)(cid:105) .

Bằng cách thay thế các biểu thức (2.35) và (2.36) vào biểu thức (2.31), kết quả sẽ

thu được biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến P1(Ω). Cuối cùng, ta thế (2.6) và (2.31)

vừa tìm được vào (1.68), kết quả thu được biểu thức giải tích tổng quát công suất hấp

thụ phi tuyến bậc một trong TrQW.

2.2. Kết quả tính số và thảo luận

Bằng cách sử dụng phần mềm Mathematica, kết quả tính số và vẽ đồ thị công suất

hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong TrQW với các thông số vật liệu được cho bởi [4]

như sau: χ∞ = 10.89, χ0 = 13.18, m∗ = 0.067m0 với m0 là khối lượng của electron tự do, EF = 50 meV là mức năng lượng Fermi, (cid:15)0 = 8.85 × 1012 F·m−1 là hằng số điện môi trong chân không và (cid:126)ωLO = 36.25 meV là năng lượng phonon quang dọc. Chúng tôi

chỉ nghiên cứu sự dịch chuyển từ trạng thái đầu nα = 1 đến trạng thái cuối nβ = 2.

2.2.1. Điều kiện cộng hưởng ODEPR

Từ hình 2.1, ta nhận thấy rằng có 3 đỉnh cộng hưởng trên đường cong thỏa mãn điều

kiện ODEPR

(cid:96) = 1.

(cid:96)(cid:126)Ω ± Eβα ± (cid:126)ωLO = 0,

với (2.37)

Hình 2.1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng photon. Ở đây, T = 200 K và F = 10 × 105 V/m.

+ Đỉnh 1a định vị tại (cid:126)Ω = 14.58 meV, thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = Eβ − Eα. Đây là

quá trình mà trong đó các electron từ trạng thái α hấp thụ một photon để dịch chuyển

tới trạng thái β không kèm theo bất kỳ quá trình hấp thụ và/hoặc phát xạ phonon nào.

+ Đỉnh 1b định vị tại (cid:126)Ω = 36.25 meV, tương ứng quá trình hấp thụ một photon

thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = (cid:126)ωLO. Đây là đỉnh do các dịch chuyển nội vùng con.

36.25 + 14.58 meV. Đây là đỉnh ODEPR , tương ứng với electron ở trạng thái năng

+ Đỉnh 1c định vị tại (cid:126)Ω = 50.83 meV, thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = (cid:126)ωLO + Eβα =

lượng Eα hấp thụ môt photon để nhảy lên trạng thái năng lượng Eβ. Quá trình này kèm với phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ωLO.

Hình 2.2 cho thấy có 7 đỉnh cộng hưởng trên đường cong. Các đỉnh 1a, 1b và 1c

tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính đã được giải thích cụ thể, trong khi các

đỉnh 2a, 2b, 2c và 2d tương ứng với quá trình hấp thụ hai photon thỏa mãn điều kiện

cộng hưởng

(cid:96) = 2,

(cid:96)(cid:126)Ω ± Eβα ± (cid:126)ωLO = 0,

với (2.38)

được giải thích cụ thể như sau:

+ Đỉnh 2a tương ứng với giá trị (cid:126)Ω = 7.29 meV, thỏa mãn điều kiện 2(cid:126)Ω = Eβ − Eα.

Đỉnh này mô tả sự dịch chuyển của các electron từ trạng thái |α(cid:105) tới trạng thái |β(cid:105) bằng cách hấp thụ hai photon có cùng năng lượng (cid:126)Ω và không kèm theo quá trình hấp

thụ và/hoặc phát xạ phonon.

Hình 2.2: Sự phụ thuộc công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng photon. Ở đây, T = 200 K và F = 10 × 105 V/m.

+ Các đỉnh 2b và 2d định vị tại (cid:126)Ω = 10.825 meV và (cid:126)Ω = 25.425 meV tương ứng

thỏa mãn các điều kiện ODEPR 2(cid:126)Ω = Eβα ± (cid:126)ωLO.

+ Đỉnh 2c định vị tại 18.125 meV là do dịch chuyển nội vùng con thỏa mãn điều

kiện 2(cid:126)Ω = (cid:126)ωLO.

Hình 2.3: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với 3 giá trị khác nhau của điện trường nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương ứng với F = 5 × 105 V/m, F = 10 × 105 V/m và F = 15 × 105 V/m. Ở đây, T = 200 K.

2.2.2. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào điện trường

Từ hình 2.3. a) và hình 2.3. b), ta thấy rằng khi điện trường tăng lên thì độ lớn của

AP đối với cả trường hợp tuyến tính và phi tuyến đều gia tăng cũng như vị trí các đỉnh

cộng hưởng dịch chuyển về phía năng lượng cao hơn (hiện tượng dịch chuyển xanh). Lý

do chính của hiện tượng dịch chuyển xanh này đến từ sự gia tăng của năng lượng dịch

chuyển Eβα. Những kết quả này cũng được giải thích khi điện trường tăng dẫn đến sự

Hình 2.4: Sự phụ thuộc của FWHM vào điện trường. Các chấm vuông (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đen) lần lượt tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến.

giam giữ của electron trong TrQW tăng nên năng lượng dịch chuyển cũng tăng lên.

Từ hình vẽ biểu diễn sự phụ thuộc của AP vào năng lượng photon, bằng phương

pháp profile, ta thu được FWHM của đỉnh ODEPR như hình 2.4. FWHM như một

hàm của cường độ điện trường F trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Khi

thông số đặc trưng của TrQW này tăng lên thì FWHM cũng gia tăng. Điều này chính

là do F tăng dẫn đến độ rộng giếng giảm như được minh họa trong hình 1.3. Vì vậy,

xác suất tán xạ electron–phonon quang dọc tăng lên thì FWHM cũng gia tăng.

2.2.3. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ

Hình 2.5 a) và hình 2.5 b) cho thấy rằng khi nhiệt độ tăng lên thì vị trí đỉnh ODEPR

không bị ảnh hưởng nhưng cường độ của nó lại tăng lên. Nhiệt độ càng cao thì giá trị

đỉnh cộng hưởng càng lớn trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Với sự gia

tăng của nhiệt độ, hàm phân bố phonon Nq tăng lên dẫn đến độ lớn của AP cũng tăng.

Trong khi đối số của hàm delta không phụ thuộc nhiệt độ vì thế năng lượng hấp thụ

photon vẫn được giữ nguyên so với sự thay đổi nhiệt độ. Kết quả này phù hợp tốt với

các nghiên cứu trong mô hình với các thế giam giữ truyền thống trước đây [26, 60].

Hình 2.5: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với 3 giá trị khác nhau của nhiệt độ nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương ứng với T = 100 K, T = 200 K và T = 300 K. Ở đây, F = 10 × 105 V/m.

Hình 2.6: Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ tại F = 10 × 105 V/m. Các chấm tròn (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đen) lần lượt tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến.

Hình 2.6 biểu diễn FWHM như một hàm của nhiệt độ T . Dựa vào hình vẽ,ta thấy

FWHM tăng lên cùng với sự gia tăng của nhiệt độ đối với cả hai quá trình hấp thụ

tuyến tính và phi tuyến. Về ý nghĩa vật lý, kết quả này đến từ FWHM tỉ lệ với xác suất

tán xạ electron–phonon quang dọc. Do đó, khi nhiệt độ tăng lên thì xác suất tán xạ

cũng gia tăng. Bên cạnh đó, từ hình vẽ ta nhận thấy rằng, FWHM của đỉnh ODEPR

phi tuyến luôn nhỏ hơn trong trường hợp tuyến tính. Kết quả này được giải thích là do

xác suất tán xạ của quá trình hai photon nhỏ hơn quá trình một photon.

Kết luận chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã khảo sát độ rộng vạch phổ và công suất hấp thụ tuyến

tính và phi tuyến do tương tác electron-phonon quang dọc trong trong giếng lượng tử

thế tam giác khi có mặt điện trường cao tần xoay chiều. Kết quả cho thấy rằng:

1. Khi nhiệt độ tăng lên thì công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ cũng tăng nhưng

vị trí các đỉnh cộng hưởng không thay đổi trong cả hai quá trình hấp thụ tuyến tính và

phi tuyến.

2. Công suất hấp thụ, độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến phụ thuộc mạnh

vào thông số đặc trưng (điện trường F ) của mô hình nên: vị trí các đỉnh cộng hưởng

electron-phonon dò tìm bằng quang học biểu hiện dịch chuyển về phía năng lượng cao

hơn khi điện trường gia tăng (dịch chuyển xanh) và độ rộng vạch phổ cũng tăng lên

cùng với sự gia tăng của điện trường.

3. Những kết quả nghiên cứu chứng tỏ phù hợp tốt với nhiều công bố trước đây cho

mô hình các thế giam giữ truyền thống. Mặc khác, do đặc tính dễ dàng điều chỉnh khi

thay đổi giá trị thông số điện trường nên cấu trúc này được ứng dụng nhiều trong lĩnh

vực chế tạo các linh kiện quang, điện tử và quang tử hiện đại.

Chương 3. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng

lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu thức giải tích và kết quả tính số, vẽ đồ

thị công suất hấp thụ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến các đỉnh cộng

hưởng electron–phonon dò tìm bằng quang học trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối

xứng đặc biệt vào các thông số đặc trưng của thế giam giữ và nhiệt độ.

3.1. Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặt biệt

Biểu thức giải tích tổng quát của công suất hấp thụ phi tuyến trong SAsHQW cũng

tính được tương tự như trong TrQW, có dạng

PN Ln(Ω) =

Re[σzz(Ω)] + Re[σzzz(Ω)E0z]

E2 0z 2

(cid:111) (cid:110)

= P0(Ω) + P1(Ω).

(3.1)

Ta cũng lần lượt thay các công thức (1.15) và (1.16) vào độ dẫn tuyến tính (1.57)

cũng như độ dẫn phi tuyến (1.62) để tính các yếu tố ma trận (z)αβ, (jz)βα. Kết quả thu

Gnα,nβ Cnβ Cnα,

(z)αβ ≡ (cid:104)k⊥α, nα|z|k⊥β, nβ(cid:105) = δ(cid:126)k⊥α,(cid:126)k⊥β

Gnν ,nαCnν Cnα,

Gnβ ,nδ Cnβ Cnδ ,

(z)να ≡ (cid:104)k⊥ν, nν|z|k⊥α, nα(cid:105) = δ(cid:126)k⊥ν ,(cid:126)k⊥α (z)βδ ≡ (cid:104)k⊥β, nβ|z|k⊥δ, nδ(cid:105) = δ(cid:126)k⊥β ,(cid:126)k⊥δ

|k⊥ν, nν(cid:105) =

(jz)βν ≡

Lnβ ,nν Cnβ Cnν ,

|k⊥δ, nα(cid:105) =

(jz)δα ≡

Lnδ,nαCnδ Cnα,

ie(cid:126) m∗ (cid:104)k⊥β, nβ| ie(cid:126) m∗ (cid:104)k⊥δ, nα|

∂ ∂z ∂ ∂z

ie(cid:126) m∗ δ(cid:126)k⊥β ,(cid:126)k⊥ν ie(cid:126) m∗ δ(cid:126)k⊥δ,(cid:126)k⊥α

được như sau:

trong đó, ta đã đặt các Gn,n(cid:48) bất kì có dạng

Gn,n(cid:48) =

φ∗ n(z)zφn(cid:48) (z)dz

−∞ +∞ (cid:90)

α+1

(cid:90) −∞

2 e−βz2

1F1

−∞

α+1

× zz

2 e−βz2

(3.2) (cid:0) − n, α + 1, 2βz2(cid:1)

1F1

(cid:0) − n(cid:48), α + 1, 2βz2(cid:1),

và các Ln,n(cid:48) bất kì được tính theo

Ln,n(cid:48) =

φ∗ n(z)zφn(cid:48) (z)dz

−∞ +∞ (cid:90)

α+1

(cid:90) −∞

2 e−βz2

1F1

α+1

(3.3) (cid:0) − n, α + 1, 2βz2(cid:1)

2 e−βz2

1F1

−∞ ∂ ∂z

(cid:0) − n(cid:48), α + 1, 2βz2(cid:1)(cid:105) (cid:104) z

Bên cạnh, để tính tích phân bao phủ In(cid:48) n trong (2.18), năng lượng có dạng giống như năng lượng của một dao động điều hòa với tần số ωz = (8U0/m∗a2)1/2. Trong quan

điểm gần đúng này, tích phân trong công thức (2.18) trở nên có giá trị và kết quả tính

√

I01 =

π 2

số thu được là (cid:19)1/4 (3.4) (cid:18) 2m∗U0 (cid:126)2a2

với các dịch chuyển được xét ở hai trạng thái thấp nhất (n = 0, n(cid:48) = 1). Khi đó, giá trị

năng lượng ngưỡng trong gần đúng này sẽ có dạng

∆ε01 = ε1 − ε0 =

2(cid:126) a

(3.5) (cid:114) 2U0 m∗ .

Thay thế tất cả các công thức vừa tìm được vào (1.69) và (1.70), kết quả xác định

được biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong SAsHQW. Các kết quả

giải tích ở trên thì rất phức tạp tuy nhiên những tính chất vật lý sẽ được giải thích cụ

thể khi ta thực hiện tính số và vẽ đồ thị ở phần tiếp theo.

3.2. Kết quả tính số và thảo luận

Chúng tôi sẽ thảo luận hiệu ứng ODEPR tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng tử

thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt GaAs thông qua khảo sát AP và FWHM. Các thông

số vật liệu được sử dụng để tính số có dạng [46]: mật độ electron ne = 3×1016 cm−3 tương ứng với mức năng lượng Fermi EF = 83.08 meV, biên độ điện trường E0 = 4 × 105 V/m,

và U0 = 228 meV. Ở đây, chúng tôi chỉ xét dịch chuyển giữa hai trạng thái đầu tiên tức

là dịch chuyển từ trạng thái nα = 0 tới trạng thái nβ = 1.

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng photon. Ở đây, T = 300 K và a = 20 nm.

3.2.1. Điều kiện cộng hưởng ODEPR

Chúng ta thấy rằng có 3 đỉnh cộng hưởng trên đường cong được biểu diễn như hình

3.1 và thỏa mãn điều kiện ODEPR tuyến tính

(cid:96) = 1.

(cid:96)(cid:126)Ω ± Eβα ± (cid:126)ωLO = 0,

với (3.6)

+ Đỉnh 1a định vị tại (cid:126)Ω = 36.04 meV, thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = Eβ − Eα − (cid:126)ωLO.

α hấp thụ một photon để dịch chuyển tới trạng thái β kèm theo hấp thụ một phonon

Đây là đỉnh ODEPR tuyến tính trong đó mô tả quá trình các electron từ trạng thái

quang dọc.

+ Đỉnh 1b định vị tại (cid:126)Ω = 72.29 meV, tương ứng quá trình hấp thụ một photon thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = Eβ − Eα. Đây là quá trình mà trong đó các electron từ trạng

thái α hấp thụ một photon để dịch chuyển tới trạng thái β không kèm theo bất kỳ quá

trình hấp thụ và/hoặc phát xạ phonon nào.

+ Đỉnh 1c định vị tại (cid:126)Ω = 108.54 meV, thỏa mãn điều kiện (cid:126)Ω = (cid:126)ωLO + Eβα. Đây

cũng là đỉnh ODEPR tuyến tính, tương ứng với electron ở trạng thái năng lượng Eα

hấp thụ môt photon để nhảy lên trạng thái năng lượng Eβ. Quá trình này kèm với phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ωLO.

Từ hình 3.2, ta thấy có 5 đỉnh cộng hưởng trên đường cong thỏa mãn điều kiện

(cid:96) = 2.

(cid:96)(cid:126)Ω ± Eβα ± (cid:126)ωLO = 0,

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng photon. Ở đây, T = 300 K và a = 20 nm.

ODEPR phi tuyến với (3.7)

+ Đỉnh 2a định vị tại (cid:126)Ω = 18.02 meV, thỏa mãn điều kiện 2(cid:126)Ω = Eβ − Eα − (cid:126)ωLO.

Đây là đỉnh ODEPR phi tuyến trong đó mô tả quá trình các electron từ trạng thái α hấp

thụ hai photon để dịch chuyển tới trạng thái β kèm theo hấp thụ một phonon quang dọc.

+ Đỉnh 2b định vị tại (cid:126)Ω = 36.15 meV, tương ứng quá trình hấp thụ hai photon thỏa mãn điều kiện 2(cid:126)Ω = Eβ − Eα. Đây là quá trình mà trong đó các electron từ trạng

thái α hấp thụ hai photon để dịch chuyển tới trạng thái β không kèm theo bất kỳ quá

trình hấp thụ và/hoặc phát xạ phonon nào.

+ Đỉnh 2c định vị tại (cid:126)Ω = 54.27 meV, thỏa mãn điều kiện 2(cid:126)Ω = (cid:126)ωLO + Eβα. Đây

là đỉnh ODEPR phi tuyến, tương ứng với electron ở trạng thái năng lượng Eα hấp thụ

hai photon để nhảy lên trạng thái năng lượng Eβ. Quá trình này kèm với phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ωLO.

3.2.2. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào thông số a

Trên mỗi đường cong trong hình 3.3 a) và hình 3.3 b) có 5 cực đại thỏa mãn điều kiện ODEPR (cid:96)(cid:126)Ω ± Eβα ± (cid:126) ωLO = 0, với (cid:96) = 1, 2. Chúng tôi nhận thấy rằng các đỉnh cộng

hưởng dịch chuyển về phía năng lượng thấp (hiện tượng dịch chuyển đỏ) khi giá trị của

thông số a giảm. Các kết quả này phù hợp tốt với công bố trước đây [22]. Hiện tượng

dịch chuyển đỏ này của các đỉnh cộng hưởng nguyên nhân chính đến từ sự giảm của

năng lượng ngưỡng so với sự tăng lên của thông số a đặc trưng của mô hình giam giữ.

Điều này cho thấy khi thông số a càng lớn, hiệu ứng giam giữ lượng tử càng giảm, dẫn

đến khoảng cách giữa các mức năng lượng hẹp hơn ∆ε01 = ε1 − ε0 do đó năng lượng

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với các giá trị khác nhau của thông số a nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương ứng với a = 18 nm, a = 20 nm và a = 22 nm. Ở đây, T = 300 K.

ngưỡng ∆E giảm.

Hình 3.4 mô tả FWHM như một hàm của thông số a tại T = 300 K. Từ hình vẽ,

ta thấy FWHM of ODEPR giảm xuống cùng với sự gia tăng của thông số a trong

cả hai quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến. Kết quả này có nghĩa là FWHM

phụ thuộc vào xác suất tán xạ electron–phonon quang dọc mà thông số a tăng tương

ứng với độ rộng giếng tăng. Vì vậy, xác suất tán xạ electron-phonon quang dọc giảm

nên FWHM cũng bị giảm.

Hình 3.4: Sự phụ thuộc của FWHM vào thông số a tại T = 300 K. Các chấm vuông (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đỏ) lần lượt mô tả quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến.

3.2.3. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ

Từ hình 3.5 a) và hình 3.5 b), ta nhận thấy nhiệt độ không ảnh hưởng đến vị trí của

các đỉnh ODEPR nhưng làm thay đổi giá trị đỉnh. Nhiệt độ càng cao thì cường độ đỉnh

cộng hưởng càng lớn trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Điều này có ý

nghĩa vật lý chính là trong đối số hàm delta không có chứa thông số nhiệt độ nên nhiệt

Hình 3.5: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với các giá trị khác nhau của nhiệt độ nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và b) quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương ứng với T = 77 K, T = 150 K và T = 300 K. Ở đây, a = 20 nm.

độ không ảnh hưởng đến đỉnh cộng hưởng và độ lớn của AP tỷ lệ thuận với hàm phân

bố phonon mà nhiệt độ tăng thì Nq cũng tăng. Vì vậy, cường độ đỉnh ODEPR tăng, kết

Hình 3.6: Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ tại a = 20 nm. Các chấm tròn (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đỏ) lần lượt mô tả quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến.

quả này phù hợp tốt với các công trình nghiên cứu được công bố trước đây [26, 60].

Cuối cùng, sự ảnh hưởng của nhiệt độ lên FWHM của ODEPR được biễu diễn trong

hình 3.6. Ta thấy rằng FWHM tăng cùng với sự gia tăng của nhiệt độ đối với cả hai

quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến. Điều này được giải thích là do FWHM liên

quan mật thiết đến tốc độ hồi phục, chúng phụ thuộc mạnh vào cơ chế tán xạ. Do đó,

Khi nhiệt độ tăng lên thì xác suất tán xạ electron–phonon quang dọc gia tăng. Vì vậy,

FWHM cũng gia tăng cùng với nhiệt độ.

Kết luận chương 3

Trong chương này, chúng tôi đã khảo sát công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ

tuyến tính và phi tuyến do electron bị giam giữ tương tác với phonon quang dọc trong

giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt khi có mặt điện trường cao tần xoay

chiều. Kết quả thu được:

1. Đã chứng minh rằng công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ của các đỉnh cộng

hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang học tăng lên với sự gia tăng của nhiệt độ

nhưng vị trí các đỉnh này không thay đổi trong cả hai trường hợp hấp thụ tuyến tính

và phi tuyến.

2. Đã cho thấy công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ tuyến tính cũng như phi

tuyến phụ thuộc mạnh vào thông số đặc trưng của thế giam giữ (thông số a) như: vị trí

các đỉnh cộng hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang học dịch chuyển về phía năng

lượng photon thấp hơn (dịch chuyển đỏ) khi thông số a tăng lên nhưng độ rộng vạch

phổ lại giảm cùng với sự gia tăng của thông số này.

3. Đã chứng minh sự phù hợp tốt với các công trình đã công bố trước đây cho mô

hình những thế truyền thống cũng như thế tam giác. Những kết quả này sẽ mở ra định

hướng cho các nhà thực nghiệm kiểm chứng trong tương lai và có những ứng dụng quan

trọng trên các thiết bị công nghệ hiện đại.

Chương 4. Cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

thế tam giác

Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu thức giải tích và kết quả tính số, vẽ đồ

thị của hệ số hấp thụ quang từ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến các

đỉnh cộng hưởng từ–phonon dò tìm bằng quang học trong giếng lượng tử thế tam giác

vào các thông số đặc trưng của thế giam giữ, từ trường và nhiệt độ.

4.1. Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế tam giác

Biểu thức hệ số hấp thụ quang từ (MOAC) được tính cho ν-nhánh phonon trong

2DEG do tương tác electron-photon-phonon thông qua xác suất dịch chuyển từ trạng

thái ban đầu λ đến trạng thái cuối λ(cid:48) bằng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp hàm

Green có dạng [15, 55] có dạng

Kν =

W ±,ν

λ(cid:48),λfλ(1 − fλ(cid:48)),

1 NΩV0

λ(cid:48),λ

(cid:88) (4.1)

trong đó NΩ là số photon, V0 là thể tích của hệ, fλ (λ(cid:48)) là hàm phân bố Fermi và thành

phần ma trận dịch chuyển do tương tác electron-photon-phonon được cho bởi quy tắc

vàng bậc hai của Born [85] có tính đến quá trình hấp thụ (cid:96)-photon [92, 93] như sau

∞ (cid:88)

W ±,ν

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)Mer (cid:12)

λ(cid:48)(cid:48),λ

λ(cid:48),λ =

2π (cid:126)3Ω2

(cid:96)=1,2

(cid:88) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)M±,ν λ(cid:48),λ(cid:48)(cid:48)

λ(cid:48)(cid:48),q (α0q⊥)2(cid:96) ((cid:96)!)222(cid:96) δ(Eλ(cid:48) − Eλ ± (cid:126)ωq,ν − (cid:96)(cid:126)Ω),

(4.2)

với α0 là một thông số, dấu (+) và (-) tương ứng với quá trình phát xạ và hấp thụ

Mer

(cid:104)λ(cid:48)(cid:48)|px|λ(cid:105)

λ(cid:48)(cid:48),λ = (cid:104)λ(cid:48)(cid:48)|Her|λ(cid:105) = −

eA0 2me

phonon. Thành phần ma trận đối với tương tác electron-photon được tính bởi

= −

BN (cid:48)(cid:48),N δn(cid:48)(cid:48),nδk(cid:48)(cid:48)

y ,ky ,

eA0 2me

(4.3)

√

i(cid:126) √

trong đó A0 là biên độ của thế vectơ Apt và mômen lưỡng cực được kí hiệu BN (cid:48)(cid:48),N = (cid:104)N (cid:48)(cid:48)|px|N (cid:105) là

(

N + 1δN (cid:48)(cid:48),N +1 −

N δN (cid:48)(cid:48),N −1),

BN (cid:48)(cid:48),N =

αc

(4.4)

với αc = ((cid:126)/m∗ωc)1/2 là bán kính cyclotron.

λ(cid:48),λ(cid:48)(cid:48) theo [7] có dạng

= |(cid:104)λ(cid:48)|Hep|λ(cid:48)(cid:48)(cid:105)|2 = |Vq,ν|2|Jn(cid:48),n(cid:48)(cid:48)(±qz)|2

λ(cid:48),λ(cid:48)(cid:48)

Thành phần ma trận tương tác electron–phonon M±

(cid:12) (cid:12)M±,ν (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12)

× |JN (cid:48),N (cid:48)(cid:48)(q⊥)|2 N ±

q,νδk(cid:48)

y,k(cid:48)(cid:48)

y ∓qy

(4.5)

(cid:126)q,ν = N(cid:126)q,ν + 1/2 ± 1/2 với N(cid:126)q,ν là hàm phân bố Bose đối với các nhánh

trong đó N ±

phonon ((cid:126)q, ν) và

e±iqzzφ∗

Jn(cid:48),n(cid:48)(cid:48)(±qz) =

n(cid:48)(z)φn(cid:48)(cid:48)(z)dz,

(cid:90) ∞ (4.6)

e−uuj[Lj

|JN (cid:48),N (cid:48)(cid:48)(q⊥)|2 =

k(u)]2,

k! (k + j)!

(4.7)

cq2

j (u) là các đa thức Laguerre liên

⊥/2, k = min[N (cid:48), N (cid:48)(cid:48)], j = |N (cid:48)(cid:48) − N (cid:48)| và Lk

với u = α2

kết.

Thay thế tất cả các phương trình trên vào phương trình (4.1), ta thu được biểu thức

MOAC có dạng

Kν =

C(λ)

dqz|Vq,ν|2|Jn(cid:48),n(cid:48)(cid:48)(±qz)|2

−∞

N,n

N (cid:48)(cid:48),n(cid:48)(cid:48)

N (cid:48),n(cid:48) (cid:90) +∞

N ±

)

dq⊥q3

q,νδ(X ±,ν

⊥ |JN (cid:48),N (cid:48)(cid:48)(q⊥)|2 (cid:110) (cid:111)

(cid:90) +∞ (cid:88) (cid:88) (cid:88)

)

N ±

δn(cid:48)(cid:48),n,

q,νδ(X ±,ν

0 0q2 α2 ⊥ 16

(4.8)

Đây là biểu thức MOAC đã tính đến quá trình hấp thụ hai photon và ta đã kí hiệu

C(λ) =

fN,n(1 − fN (cid:48),n(cid:48)),

e2(cid:126)S2|BN (cid:48)(cid:48),N |2α2 0 8(2π(cid:126)Ω)3nrc(cid:15)0m∗2α4 c

(4.9)

= ∆E ± (cid:126)ωq,ν − (cid:96)(cid:126)Ω, ((cid:96) = 1, 2)

X ±,ν (cid:96)

(4.10)

với S = V0/L là diện tích của hệ và hiệu năng lượng giữa hai mức (năng lượng ngưỡng)

∆E = EN (cid:48),n(cid:48) − EN,n = (N (cid:48) − N )(cid:126)ωc + ∆εn(cid:48)n,

(4.11)

trong đó ∆εn(cid:48)n = εn(cid:48)−εn là sự tách mức năng lượng vùng con của TrQW được tính như sau:

3πeF/2

∆εn(cid:48)n =

1 4

(cid:20) (cid:21)2(cid:33)1/3 (cid:1)2/3(cid:105) (4.12) (cid:1)2/3 − (cid:0)n − (cid:104)(cid:0)n(cid:48) − (cid:32) (cid:126)2 2m∗

Do xét tương tác electron-phonon quang dọc nên kí hiệu nhánh phonon (ν = LO),

hệ số tương tác của nó sẽ có dạng

|Vq,LO|2 =

4πe2(cid:126)ωLO (cid:15)0χ∗V0q2 ⊥

(4.13)

trong đó (χ∗)−1 = (χ∞)−1 − (χ0)−1 với χ∞ (χ0) là hằng điện môi cao tần (tĩnh), (cid:126)ωLO

là năng lượng phonon quang và (cid:15)0 là hằng số điện môi trong chân không. Thay thế

phương trình (4.13) vào phương trình (4.8) và thực hiện một số tính toán (theo Phụ lục

4), kết quả thu được là

KLO =

C(λ)In(cid:48),n(P1 + P2),

4πe2(cid:126)ωLO (cid:15)0χ∗V0α2 c

N,n

N (cid:48),n(cid:48)

N (cid:48)(cid:48)

(cid:88) (cid:88) (cid:88) (4.14)

In(cid:48),n =

|Jn(cid:48),n(cid:48)(cid:48)(±qz)|2 dqz

δn(cid:48)(cid:48),n =

C 2 nC 2 n(cid:48) 12πF 1/3

−∞

n(cid:48)(cid:48)

trong đó (cid:19) (cid:18)(cid:90) +∞ (cid:88) (4.15)

là tích phân bao phủ của TrQW đang xét như (2.29) và ta đã đặt

(4.16)

q δ(X + 1 ) + N + 1 ), (N (cid:48) + N (cid:48)(cid:48) + 1)(cid:2)N −

P2 =

q δ(X −

2 ) + N +

q δ(X +

2 )(cid:3),

P1 = N − q δ(X − α2 0 8α2 c

(4.17)

N (cid:48),N [12], cụ thể như sau:

với Nq liên hệ với Nq,ν do tương tác electron–phonon quang dọc. Hàm δ-Dirac được thay thế bởi hàm Lorentz có độ rộng Γ±

Γ±

|M±

|In(cid:48)n| N ± q .

N (cid:48),N

λ(cid:48),λ|2 =

e2χ∗(cid:126)ωLO 4π2(N (cid:48) − N )(cid:15)0

(cid:16) (cid:17)2 (cid:88) (4.18)

λ(cid:48),λ|2 được biểu diễn trong phương trình (4.5) khi đó chỉ số λ(cid:48)(cid:48) được thay thế

Ở đây |M±

bằng λ.

Cuối cùng, thực hiện lần lượt thay các phương trình vừa tìm được vào phương

trình (4.14). Kết quả thu được biểu thức tường minh của hệ số hấp thụ quang từ trong

TrQW do tương tác electron-photon-phonon quang dọc dưới tác dụng của trường điện từ.

4.2. Kết quả tính số và thảo luận

Trong phần này, để làm rõ hơn kết quả thu được, chúng tôi thực hiện tính số đối

với hệ số hấp thụ (MOAC) bằng phần mềm Mathematica trong giếng tam giác đối

với vật liệu GaAs/Ga0.7A(cid:96)0.3As (tương ứng với nồng độ A(cid:96) là x = 0.3). Các thông số được chúng tôi sử dụng để tính số là [4]: nr = 3.2, ne = 5 × 1016 cm−3, a0 = 5 nm và (cid:126)ωLO = 36.25 meV. Ở đây, chúng tôi chỉ xét trong giới hạn cực trị lượng tử N = 0 và N (cid:48) = 1.

4.2.1. Điều kiện cộng hưởng ODMPR

F = 1.0 × 105 V/m, T = 300 K và B = 10 T đối với các dịch chuyển liên vùng con

n, n(cid:48) = 1 ÷ 2. Từ hình vẽ, ta thấy rằng xuất hiện hai đỉnh cộng hưởng trên đường cong định vị tại các giá trị năng lượng (cid:126)Ω = 56.79 meV và 28.395 meV tương ứng với quá

Hình 4.1 biểu diễn sự phụ thuộc của MOAC vào năng lượng photon tại các giá trị

trình hấp thụ một photon (tuyến tính) và hai photon (phi tuyến). Những đỉnh này luôn

thỏa mãn điều kiện ODMPR

(cid:96)(cid:126)Ω = (cid:126)ωc + ε21 ± (cid:126)ωLO.

(4.19)

17.39 + 3.15 + 36.25. Đây là đỉnh đóng góp của quá trình hấp thụ một photon (ứng với

(cid:96) = 1) và biểu diễn sự dịch chuyển của electron từ mức Landau N = 0 đến mức Landau

N (cid:48) = 1 kèm theo dịch chuyển liên vùng con từ trạng thái có năng lượng ε1 đến trạng

+ Đỉnh 1 định vị tại (cid:126)Ω = 56.79 meV thỏa mãn điều kiện (cid:96)(cid:126)Ω = (cid:126)ωc + ε21 + (cid:126)ωLO =

Hình 4.1: MOAC như một hàm của năng lượng photon tại các giá trị F = 1.0 × 105 V/m, T = 300 K và B = 10 T.

thái có năng lượng ε2 bằng cách hấp thụ một photon đồng thời phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ωLO. Đỉnh này thỏa mãn điều kiện cộng hưởng từ-phonon dò tìm bằng

quang học.

+ Đỉnh 2 định vị tại (cid:126)Ω = 28.395 meV cũng thỏa mãn điều kiện dò tìm cộng hưởng từ-phonon dò tìm bằng quang học (cid:96)(cid:126)Ω = (cid:126)ωc + ε21 + (cid:126)ωLO = 17.39 + 3.15 + 36.25. Đây

là đỉnh đóng góp của quá trình hấp thụ hai photon (ứng với (cid:96) = 2). Như vậy các sự

dịch chuyển luôn tuân theo định luật bảo toàn năng lượng.

4.2.2. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ vào

điện trường

Hình 4.2 biễu diễn sự phụ thuộc của MOAC vào năng lượng photon tại các giá trị

khác nhau của điện trường F trong TrQW. Trên mỗi đường cong đều xuất hiện hai

đỉnh cộng hưởng thỏa mãn điều kiện ODMPR. Ý nghĩa vật lý của quá trình này mô

tả sự dịch chuyển của các electron từ trạng thái ban đầu hấp thụ (cid:96)-photon để nhảy lên

trạng thái cuối kèm theo phát xạ một phonon quang.

Bên cạnh đó, khi cường độ điện trường tăng lên thì độ lớn của MOAC cũng tăng

theo và đồng thời các đỉnh cộng hưởng bị dịch chuyển về phía năng lượng photon lớn

hơn (hiện tượng dịch chuyển xanh). Lý do chính của hiện tượng dịch chuyển xanh này

đến từ sự tăng lên của giá trị năng lượng ngưỡng εn(cid:48)n trong công thức (4.12). Kết quả

Hình 4.2: MOAC như một hàm của năng lượng photon với các giá trị khác nhau của điện trường F. Ở đây, T = 300 K và B = 10 T.

này nguyên nhân là do khi cường độ điện trường tăng lên dẫn đến sự giam giữ electron

trong TrQW trở nên mạnh hơn và kết quả dẫn đến năng lượng dịch chuyển gia tăng.

Chú ý rằng, trong biểu thức (4.14), chúng tôi cũng nhận thấy độ lớn của MOAC cũng

phụ thuộc vào điện trường theo tích phân bao phủ I21 (quan sát hình thu nhỏ trong

hình 4.2 hay nói cách khác I21 gia tăng cùng với sự tăng lên của F . Vì vậy, độ lớn của

MOAC gia tăng cùng với sự tăng lên của điện trường như được thấy ở hình 4.2.

Hơn thế nữa, từ hình vẽ ta thấy rằng độ lớn của đỉnh cộng hưởng do quá trình hấp

thụ hai photon có giá trị bằng khoảng 20% so với trường hợp hấp thụ một photon. Kết

quả thu được thì lớn hơn so với giếng lượng tử parabol sâu vô hạn [72].

Từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của MOAC vào năng lượng phonon, ta sử dụng phương

pháp profile như trong công trình [60] để thu được FWHM của các đỉnh cộng hưởng

ODMPR trong TrQW.

Bằng cách thay đổi giá trị của điện trường, ta xác định được FWHM như một hàm

tăng đơn điệu theo F như hình 4.3. Từ đồ thị, ta thấy rằng FWHM rất nhạy với thông

số F vì khi điện trường tăng lên thì FHWM càng gia tăng trong cả hai trường hợp hấp

thụ tuyến tính và phi tuyến. Điều này có nghĩa là sự tăng lên của điện trường dẫn đến

xác suất tán xạ electron–phonon tăng lên. Do đó, ta có thể điều chỉnh thông số này để

chế tạo ra vật liệu có tính chất quang, điện tử tối ưu nhất.

Hình 4.3: Sự phụ thuộc của FWHM vào điện trường F tại T = 300 K và B = 10 T.

4.2.3. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ vào

Hình 4.4: MOAC như một hàm của năng lượng photon tại các giá trị khác nhau của từ trường B. Kết quả được tính tại T = 300 K và F = 1.0 × 105 V/m.

từ trường

B được biểu diễn trong hình 4.4 trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Từ

Sự phụ thuộc của MOAC vào năng lượng photon với 3 giá trị khác nhau của từ trường

hình vẽ, ta nhận thấy đỉnh cộng hưởng MOAC tăng lên với sự gia tăng của từ trường

và vị trí đỉnh hấp thụ dịch chuyển về phía năng lượng cao. Kết quả này phù hợp tốt

với các công trình đã công bố như: hệ số hấp thụ quang tuyến tính và phi tuyến trong

chuông lượng tử hai chiều parabol [17], trong chấm lượng tử hình dạng cái đĩa [48, 49]

và trong giếng lượng tử parabol và parabol nghịch đảo [59] bằng phương pháp gần đúng

ma trận mật độ, trong giếng lượng tử vuông góc [74] và trong giếng lượng tử parabol

sâu vô hạn [70]. Hiện tượng dịch chuyển xanh này được chứng minh là do sự giảm xuống

của bán kính cyclotron khi từ trường tăng lên; đồng thời các đỉnh cộng hưởng trở nên

mở rộng hơn bởi sự gia tăng của FWHM. Điều này, chúng tôi sẽ khảo sát chi tiết hơn

Hình 4.5: Sự phụ thuộc của FWHM vào từ trường B tại T = 300 K và F = 1.0 × 105 V/m.

trong hình 4.5.

Trong hình 4.5, FWHM được biểu dễn như một hàm tăng đơn điệu theo từ trường

trong cả hai quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến. Điều này có thể giải thích rằng:

FWHM tỷ lệ thuận với tích phân bao phủ I21 như trong biểu thức (4.14). Do đó, cùng

√

với sự gia tăng của từ trường, cơ chế tán xạ electron-phonon quang dọc tăng lên dẫn

B, điều này

đến sự gia tăng của FWHM. Rõ ràng, FWHM được tìm thấy tỷ lệ với

được giải thích do sự mở rộng của các mức Landau [11]. Như vậy, kết quả thu được

hoàn toàn phù hợp với các công trình [70] trong giếng lượng tử và graphene [47, 58].

4.2.4. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ vào

nhiệt độ

Hình 4.6 mô tả sự phụ thuộc của MOAC vào năng lượng photon với các giá trị khác

nhau của nhiệt độ. Từ hình vẽ ta thấy rằng nhiệt độ không ảnh hưởng đến vị trí của

các đỉnh cộng hưởng nhưng có ảnh hưởng đến độ lớn các đỉnh trong cả hai trường hợp

tuyến tính và phi tuyến. Mặc dù khối lượng hiệu dụng của electron phụ thuộc vào nhiệt

độ [10, 89] tuy nhiên trong nghiên cứu hiện tại chúng tôi không quan tâm đến vấn đề

này; vì sự ảnh hưởng này rất yếu. Qua hình 4.6, ta cũng thấy khi nhiệt độ càng cao thì

giá trị của đỉnh cộng hưởng càng lớn. Về ý nghĩa vật lý, độ lớn của MOAC tỷ lệ thuận

với nhiệt độ mà nhiệt độ lại phụ thuộc vào hàm phân bố phonon Nq (như hình thu nhỏ

Hình 4.6: MOAC như một hàm của năng lượng photon với các giá trị khác nhau của nhiệt độ T . Ở đây B = 10 T và F = 1.0 × 105 V/m.

trong hình 4.6).

Bên cạnh đó, vị trí của đỉnh cộng hưởng phụ thuộc chủ yếu vào đối số của hàm delta

trong biểu thức (4.14). Với sự gia tăng của nhiệt độ, hàm phân bố phonon tăng lên, kết

quả dẫn đến độ lớn của MOAC cũng gia tăng. Trái lại, đối số của hàm delta không phụ

thuộc vào nhiệt độ nên sự thay đổi của nhiệt độ không ảnh hưởng đến vị trí của các

đỉnh cộng hưởng mà nguyên nhân chính đến từ sự hấp thụ năng lượng photon. Tính

chất này phù hợp tốt với kết quả các công trình đã công bố trước đây [72].

Hình 4.7: Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ T tại B = 10 T và F = 1.0 × 105 V/m.

Cuối cùng, ta khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ lên FWHM được minh họa trong

hình 4.7. Từ hình vẽ ta thấy rằng khi nhiệt độ tăng lên dẫn đến FWHM cũng tăng lên

đáng kể trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Tính chất này chính là do

FWHM tỷ lệ với xác suất tán xạ electron-phonon quang dọc; do đó khi nhiệt độ càng

cao thì FWHM càng tăng. Kết quả khảo sát phù hợp tốt với công trình đã công bố [70].

Kết luận chương 4

Trong chương này, chúng tôi đã khảo sát cộng hưởng từ-phonon dò tìm bằng quang

học trong giếng lượng tử thế tam giác. Các kết quả chính thu được như sau:

1. Hệ số hấp thụ quang từ cũng như độ rộng vạch phổ trong giếng lượng tử thế tam

giác đối với quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến tăng lên không những cùng với

điện trường (một thông số đặc trưng của giếng thế tam giác) mà cường độ đỉnh hấp thụ

quang từ còn tăng về đồ lớn đồng thời vị trí các đỉnh cộng hưởng dịch chuyển về phía

năng lượng cao hơn (dịch chuyển xanh). Do đó, ta có thể sử dụng điện trường để điều

khiển sự giam giữ electron dẫn đến sự thay đổi các tính chất quang, điện trong giếng

lượng tử thế tam giác.

2. Từ trường và nhiệt độ ảnh hưởng mạnh đến hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng

vạch phổ, chẳng hạn: các đỉnh cộng hưởng của hệ số hấp thụ quang từ tăng về độ lớn và

dịch chuyển về phía năng lượng cao hơn (dịch chuyển xanh) khi từ trường tăng nhưng

không thay đổi với sự gia tăng của nhiệt độ. Trong khi đó, độ rộng vạch phổ tăng lên

cùng với từ trường và nhiệt độ trong cả hai quá trình hấp thụ tuyến tính và phi tuyến.

√

3. Đã tìm ra quy luật phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào từ trường trong cả hai

B. Kết quả cũng cho

trường hợp tuyến tính và phi tuyến bằng công thức FWHM ∼

thấy hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon dò tìm bằng quang học trong giếng lượng tử thế

tam giác chiếm ưu thế hơn so với các thế truyền thống.

Rất tiếc, những kết quả này chưa có dữ liệu thực nghiệm để kiểm chứng. Chúng tôi

hy vọng rằng, vấn đề này sẽ được khảo sát bằng thực nghiệm trong tương lai gần cũng

như đóng góp vào trong sản xuất các thiết bị dựa trên tính chất quang phi tuyến.

Chương 5. Cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

thế hyperpol bất đối xứng đặc biệt

Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu thức giải tích và kết quả tính số, vẽ đồ

thị của hệ số hấp thụ quang từ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến các

đỉnh cộng hưởng từ–phonon trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt vào

các thông số đặc trưng của thế giam giữ, từ trường và nhiệt độ.

5.1. Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

Để thu được biểu thức MOAC đối với thế giam giữ này, ta thực hiện tính toán

tương tự như trong giếng lượng tử thế tam giác. Kết quả tìm được biểu thức giải tích

MOAC trong SAsHQW đối với trường hợp dịch chuyển giữa hai trạng thái thấp nhất

(n, n(cid:48) = 0 ÷ 1) và đã bao gồm quá trình hấp thụ phi tuyến

K LO((cid:126)Ω) = A((cid:126)Ω)

N −

|Bλλ(cid:48)|2I01fN,0(1 − fN (cid:48),1)

q δ(Y −

1 ) + N +

q δ(Y + 1 )

N,N (cid:48)

(cid:110) (cid:88)

(N + N (cid:48) + 1)(cid:2)N −

q δ(Y −

2 ) + N +

q δ(Y +

2 )(cid:3)(cid:111) ,

α2 0 8α2 c

(5.1)

√

trong đó, chúng tôi đã kí hiệu

N δN (cid:48),N −1 +

N + 1δN (cid:48),N +1

Bλλ(cid:48) = (cid:104)λ|x|λ(cid:48)(cid:105) = (cid:2)x0δN (cid:48),N + (αc/

(cid:16)√ (cid:17) (cid:3),

A((cid:126)Ω) =

S2e4α2 32π2nrc(cid:15)2

0χ∗(cid:126)ωLO 0V0α6 c

(cid:96) = 1, 2.

(cid:96) = ∆Eλλ(cid:48) ± (cid:126)ωLO − (cid:96)(cid:126)Ω, Y ±

(5.2) (cid:126)2Ω

Bên cạnh đó, độ lớn của tích phân bao phủ |I01| cũng như năng lượng ngưỡng ε01

trong SAsHQW tính được dựa trên biểu thức hàm sóng, năng lượng trong các công thức

(1.15) và (1.16), cụ thể như sau:

I01 =

|J01(qz)|2dqz,

J01(qz) =

1(z)e±iqzzφ0(z)dz. φ∗

−∞

(cid:90) +∞ (cid:90) +∞

Nói chung, tích phân theo qz trong biểu thức trên là rất phức tạp và không tính giải

tích được. Tuy nhiên theo đề xuất từ Gol’dman và cộng sự [20], đối với trường hợp chọn

thông số U0 = 228 meV và a = (9.72 ÷ 37.14) nm sẽ được sử dụng để tính số trong phần tiếp theo, số hạng 16a4β2 sẽ lớn hơn rất nhiều so với 1.

Vì vậy, chúng có mối quan hệ α/2−a2β ≈ 0 và phổ năng lượng trong biểu thức (1.16)

n +

εn =

2(cid:126) a

1 2

sẽ được viết lại (cid:18) (cid:19) (5.3) (cid:114) 2U0 m∗

giống như năng lượng của một dao động điều hòa với tần số ωz = (8U0/m∗a2)1/2. Trong

quan điểm gần đúng này, tích phân trong biểu thức (5.1) trở nên có giá trị và kết quả

√

I01 =

π 2

thu được là (cid:19)1/4 (5.4) (cid:18) 2m∗U0 (cid:126)2a2

và biểu thức hiệu năng lượng giữa hai mức vùng con thấp nhất có dạng

∆ε01 = ε1 − ε0 =

2(cid:126) a

(5.5) (cid:114) 2U0 m∗ .

Như vậy, ta thay lần lượt (5.2), (5.4) và (5.5) vào (5.1). Kết quả thu được công thức

tường minh của MOAC tuyến tính và phi tuyến trong SAsHQW.

(cid:96) ) = (Γ±/π)/[(Y ±

bởi hàm Lorentz có độ rộng Γ±, được viết dưới dạng δ(Y ± Cuối cùng, để tránh sự phân kỳ, các hàm delta trong biểu thức (5.1) sẽ được thay thế (cid:96) )2 + (Γ±)2],

|M±

(Γ±)2 =

λ(cid:48),λ|2 =

e2χ∗V0(cid:126)ωLO 16π3/2(cid:15)0(N (cid:48) − N )Sαc

khi đó (cid:114) 2m∗U0 (cid:88) (5.6) (cid:126)2a2 N ± q ,

có nguồn gốc từ biểu thức (A6) của tài liệu tham khảo [12]

(γ±

]

N )2 =(cid:126)−2

1 2

(2π)3 [N0(Q) + × |V (Q)|2|IN N (X)|2|F11(qz)|2.

(cid:90) d3Q

5.2. Kết quả tính số và thảo luận

Chúng tôi sẽ thảo luận hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử thế

hyperbol bất đối xứng đặc biệt GaAs thông qua khảo sát MOAC và FWHM. Các thông

số vật liệu được sử dụng để tính số như sau [46, 89]: m∗ = 0.067m0 với m0 là khối lượng của electron tự do, ne = 3 × 1016 cm−3 là nồng độ của electron tương ứng với mức năng

lượng Fermi EF = 84.57 meV, a0 = 7.5 nm, nr = 3.2, và U0 = 228 meV. Ở đây, các

dịch chuyển chỉ được xét trong giới hạn lượng tử từ trạng thái cơ bản (N = 0, n = 0) đến trạng thái kích thích thứ nhất (N (cid:48) = 1, n(cid:48) = 1).

Hình 5.1: MOAC như một hàm của năng lượng photon (cid:126)Ω tại a = 10 nm, B = 10 T và T = 77 K.

5.2.1. Điều kiện cộng hưởng ODMPR

Từ hình 5.1, ta thấy rằng có bốn cực đại xuất hiện trên đường cong; các đỉnh được

đánh dấu bằng các chữ số từ “1” đến “4”. Đây là kết quả từ sự dịch chuyển cộng hưởng

phải thỏa mãn điều kiện ODMPR, cụ thể như sau:

(cid:96)(cid:126)Ω = ∆E ± (cid:126)ωLO.

(5.7)

Trong biểu thức (5.7), (cid:96) = 1 và 2 tương ứng với quá trình hấp thụ (cid:96)-photon kèm theo hấp thụ (–) hoặc phát xạ (+) một phonon quang dọc có năng lượng (cid:126)ωLO. Về ý nghĩa

vật lý, các đỉnh này mô tả sự dịch chuyển cộng hưởng của các electron giữa hai trạng

thái cơ bản do hấp thụ một hoặc hai photon kèm theo hấp thụ (các đỉnh “1” và “3”)

và phát xạ (các đỉnh “2” và “4”) một phonon quang dọc, cụ thể như sau:

161.97 − 36.25 với (cid:96) = 2. Đây là đỉnh dò tìm cộng hưởng ODMPR do đóng góp của quá

+ Đỉnh “1” định vị tại (cid:126)Ω = 62.86 meV thỏa mãn điều kiện (cid:96)(cid:126)Ω = ∆E − (cid:126)ωLO =

trình hấp thụ phi tuyến.

161.97 − 36.25 với (cid:96) = 1. Đây cũng là đỉnh dò tìm cộng hưởng ODMPR do đóng góp

+ Đỉnh “3” định vị tại (cid:126)Ω = 125.72 meV thỏa mãn điều kiện (cid:96)(cid:126)Ω = ∆E − (cid:126)ωLO =

của quá trình hấp thụ tuyến tính. Hay nói cách khác, hai đỉnh này còn được gọi là đỉnh

hấp thụ phonon.

161.97 + 36.25 với (cid:96) = 2. Đây cũng là đỉnh dò tìm cộng hưởng ODMPR do đóng góp

+ Đỉnh “2” định vị tại (cid:126)Ω = 99.11 meV thỏa mãn điều kiện (cid:96)(cid:126)Ω = ∆E + (cid:126)ωLO =

của quá trình hấp thụ phi tuyến.

161.97 + 36.25 với (cid:96) = 1. Đây cũng là đỉnh dò tìm cộng hưởng ODMPR do đóng góp của

+ Đỉnh “4” định vị tại (cid:126)Ω = 198.22 meV thỏa mãn điều kiện (cid:96)(cid:126)Ω = ∆E + (cid:126)ωLO =

quá trình hấp thụ tuyến tính. Do đó, hai đỉnh này được gọi là đỉnh phát xạ phonnon.

5.2.2. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ vào thông

Hình 5.2: Biểu đồ đường đồng mức của tích số f0,0(1 − f1,1) như một hàm của thông số a và T tại B = 10 T.

số a

Từ biểu thức tính MOAC ở trên, ta thấy rằng cường độ (hay giá trị) của MOAC phụ

thuộc mạnh vào tích số fn,0(1 − fn(cid:48) ,1). Vì vậy, hình 5.2 mô tả sự phụ thuộc của tích số này vào các thông số đặc trưng như: thông số a và nhiệt độ T đối với trường hợp n = 0 và n(cid:48) = 1. Mặc dù, tương tác electron-phonon có vai trò quan trọng trong vùng nhiệt

độ cao. Tuy nhiên, ở đây, ta làm rõ ảnh hưởng của nhiệt độ lên tích số này trong một

khoảng nhiệt độ rộng thậm chí xuống gần tới 0 K. Khi T → 0 K, tất cả các đường đồng

mức có xu hướng hội tụ tại a1 = 9.72 nm và a2 = 37.14 nm. Tại hai giá trị đặc biệt

này của thông số a, các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích

thứ nhất tương đương với mức năng lượng Fermi. Hơn thế nữa, khi giá trị của thông

số a nằm trong khoảng từ a1 đến a2 thì giá trị của tích số f0,0(1 − f1,1) lớn hơn trong

những khoảng khác. Vì thế, nghiên cứu MOAC và FWHM trong mô hình này, ta cần

chọn giá trị của thông số a nằm trong khoảng từ a1 đến a2. Bên cạnh đó, khi nhiệt độ

Hình 5.3: Năng lương ngưỡng ∆E = E1,1 − E0,0 như một hàm của từ trường với 3 giá trị a = 10 nm, 12 nm và 14 nm.

tăng lên, các hàm phân bố Fermi fn,0 và fn(cid:48) ,1 sẽ truyền nhiệt do sự giảm xuống của tích số f0,0(1 − f1,1).

Hơn thế nữa, tích số f0,0(1 − f1,1) và năng lượng ngưỡng cũng là một trong những

yếu tố đặc trưng ảnh hưởng trực tiếp đến MOAC, đặc biệt là vị trí các đỉnh cộng hưởng.

Trong hình 5.3, năng lượng ngưỡng được biểu diễn như một hàm của từ trường tại các

giá trị khác nhau của thông số a. Ta thấy rằng ∆E tăng một cách tuyến tính với từ

trường nhưng giảm không tuyến tính với thông số a. Các khảo sát trong hình 5.2 và 5.3

sẽ được sử dụng để giải thích sự thay đổi cường độ cũng như hiện tượng dịch chuyển vị

trí của các đỉnh cộng hưởng.

Hình 5.4: MOAC như một hàm của năng lượng photon (cid:126)Ω đối với các giá trị khác nhau của thông số a.

Trong hình 5.4, MOAC mô tả như một hàm của năng lượng photon tại 3 giá trị khác

T = 77 K nhằm để so sánh với các công trình được công bố trước đây [67, 68, 74].

nhau của thông số a. Ở đây, để thuận lợi, chúng tôi chọn các giá trị của B = 10 T và

Ở đây, không giống như trong các loại giếng lượng tử khác [67, 68, 74], các đỉnh cộng

hưởng do quá trình phát xạ phonon trong SAsHQW được quan sát một cách đáng kể.

Một tính chất quan trọng khác tại các giá trị cố định của B và T , khi thông số a

tăng lên thì các đỉnh cộng hưởng dịch chuyển về phía vùng năng lượng thấp (hiện tượng

dịch chuyển đỏ) và cường độ đỉnh tương ứng trở nên lớn hơn. Những kết quả này phù

hợp rất tốt với công trình trước đây khi khảo sát độ cảm sự phát sóng hài bậc ba [22].

Điều đáng chú ý là trong công trình được đề cập ở trên, Guang-Hui và cộng sự chỉ tính

toán với các giá trị của thông số a nhỏ hơn (a = 1.5, 1.8 và 2.0 nm) nhiều so với a1 được

đề cập trong phần thảo luận của hình 5.2. Trong luận án này, chúng tôi chọn các giá

a1 đến a2.

trị của thông số a là a = 10, 12 và 14 nm để đảm bảo rằng chúng nằm trong khoảng từ

Từ hình 5.4, ta thấy rằng hiện tượng dịch chuyển đỏ của các đỉnh cộng hưởng là do

sự giảm xuống của năng lượng ngưỡng cùng với sự gia tăng của thông số a (hình 5.3). Ý

nghĩa vật lý của hiện tượng này là khi thông số a càng tăng thì hiệu ứng giam giữ càng

giảm, dẫn đến sự tách mức năng lượng giữa hai trạng thái mở rộng hơn ∆ε01 = ε1 − ε0

và vì thế năng lượng ngưỡng ∆E cũng giảm.

Bên cạnh đó, ta cũng thấy rằng cường độ các đỉnh do quá trình hấp thụ phonon

“4”). Đây là do hàm phân bố phonon Nq nhỏ hơn nhiều so với 1 tại các giá trị cố định

(các đỉnh “1” và “3”) nhỏ hơn nhiều so với quá trình phát xạ phonon (các đỉnh “2” và

Hình 5.5: FWHM như một hàm của thông số a. Các kí hiệu đặc (rỗng) tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến).

của B và T .

Trong hình 5.5, FWHM được biểu diễn như một hàm của thông số a đối với cả hai

quá trình một photon (các kí hiệu đặc) và hai photon (các kí hiệu rỗng) cũng như đối

với cả quá trình phát xạ và hấp thụ phonon quang dọc. Vì FWHM có mối quan hệ chặt

chẽ với xác suất tán xạ electron-phonon cho nên sự giảm phi tuyến của FWHM cùng

với sự gia tăng của thông số a cho thấy rằng quá trình tán xạ electron–phonon quang

dọc trong SAsHQW cũng giảm khi thông số a tăng lên.

Bên cạnh đó, vì hàm phân bố phonon quang dọc Nq nhỏ hơn nhiều so với 1 nên

FWHM do quá trình phát xạ phonon (trục tung bên trái) sẽ lớn hơn đáng kể so với quá

trình hấp thụ phonon (trục tung bên phải).

Để có cái nhìn trực quan hơn, chúng tôi tìm được quy luật sự phụ thuộc của FWHM

vào a bằng công thức tường minh

(5.8) FWHM (meV) = β1 + β2a + β3a−1,

trong đó β1, β2, và β3 được liệt kê trong bảng 5.1 cho bốn đường cong biểu diễn từ trên

xuống dưới theo hình 5.5. Quy luật phụ thuộc này được minh họa bằng đường màu đỏ

liền nét trong hình 5.5. Rất tiếc, hiện tại chưa có kết quả thực nghiệm nào để so sánh

với kết quả nghiên cứu của chúng tôi.Vì vậy, hy vọng rằng những dự đoán trên sẽ hữu

Bảng 5.1: Giá trị các thông số β1, β2 và β3 trong biểu thức (5.8) tương ứng với đồ thị ở hình 5.5.

5.34

ích cho các nghiên cứu thực nghiệm trong tương lai.

Đường 1 Đường 2 Đường 3 Đường 4 0.31 −0.03 −0.001 0.995

20.78 −0.12 44.93

1.38 −0.01 2.72

9.98

Các thông số β1 (meV) β2 (meV nm−1) β3 (meV nm)

5.2.3. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ vào

Hình 5.6: MOAC như một hàm của năng lượng photon (cid:126)Ω đối với 3 giá trị khác nhau của nhiệt độ.

nhiệt độ

Hình 5.6 mô tả sự phụ thuộc của MOAC vào năng lượng photon với 3 giá trị khác

nhau của nhiệt độ trong cả trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Từ hình vẽ ta thấy

khi T tăng lên thì vị trí các đỉnh cộng hưởng không đổi nhưng cường độ của chúng

thì được tăng cường. Những tính chất này có thể được giải thích cụ thể như sau: vị trí

các đỉnh cộng hưởng được xác định bởi điều kiện cộng hưởng trong biểu thức (4.16)

trong khi cường độ các đỉnh phụ thuộc vào nhiệt độ được điều khiển bởi hai số hạng Nq

và f0,0(1 − f1,1). Nhiệt độ T không phụ thuộc quy tắc lọc lựa dẫn đến vị trí các đỉnh

không thay đổi với sự thay đổi của nhiệt độ. Nhưng trái lại, sự gia tăng cường độ các

f0,0(1 − f1,1) giảm xuống (hình 5.2), trong lúc đó Nq lại tăng lên và đóng vai trò chủ

đỉnh này được giải thích một cách phức tạp hơn. Vì khi nhiệt độ tăng lên dẫn đến tích

yếu. Thế nên, cường độ các đỉnh tăng khi nhiệt độ tăng. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng

thấy rằng ảnh hưởng của nhiệt độ lên các dịch chuyển do quá trình hấp thụ phonon

mạnh hơn nhiều so với quá trình phát xạ phonon. Những kết quả này phù hợp tốt với

kết quả nghiên cứu trong giếng lượng tử parabol [72] nhưng trái ngược với kết quả thu

Hình 5.7: FWHM như một hàm của nhiệt độ. Các kí hiệu đặc (rỗng) tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến).

được trong giếng lượng tử với thế phức tạp [88].

Hình 5.7 biểu diễn sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ cho cả hai quá trình phát

xạ và hấp thụ phonon. FWHM tăng lên cùng với sự tăng của nhiệt độ trong tất cả các

trường hợp: hoặc là quá trình hấp thụ tuyến tính (các kí hiệu đặc) hoặc là quá trình

hấp thụ phi tuyến (các kí hiệu rỗng) cũng như cả quá trình phát xạ và hấp thụ phonon.

Sự tăng của FWHM có thể được giải thích bằng sự mở rộng nhiệt do cơ chế tán xạ

electron–phonon quang dọc.

+ Đối với quá trình phát xạ phonon, chúng tôi tìm được quy luật sự phụ thuộc

FWHM vào nhiệt độ, tương tự như kết quả của D. Gammon và cộng sự [19], có dạng

(5.9) FWHM (meV) = aT + bT Nq(T ).

bT = 11.92 meV đối với quá trình hấp thụ tuyến tính. Trong trường hợp hấp thụ phi

Ở đây aT là thành phần ổn định và bT chỉ thành phần mở rộng nhiệt của FWHM. Với sự phụ thuộc của hàm phân bố phonon vào nhiệt độ Nq(T ) = [e(cid:126)ωLO/kBT − 1]−1, các giá trị phù hợp nhất của aT và bT lần lượt được xác định là: aT = 24.26 meV và

tuyến, các giá trị phù hợp nhất của hai thành phần này lần lượt là aT = 6.06 meV

và bT = 2.81 meV. Chúng đã được minh họa bằng các đường liền nét (màu đỏ) trong

hình 5.7. Như vậy, FWHM trong trường hợp này lớn hơn so với giếng lượng tử với thế

phức tạp [88] cũng như dữ liệu thực nghiệm đã được công bố bởi Gammon và cộng

sự [19].

+ Tương tự, đối với quá trình hấp thụ phonon, chúng tôi cũng tìm được công thức

biểu diễn sự phụ thuộc của FWHM vào thông số T . Công thức (5.9) sẽ được thay thế bằng

(5.10) FWHM (meV) = cT N 1/2

6.04 meV cho quá trình hấp thụ phi tuyến.

trong đó cT = 24.18 meV lần lượt tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính và cT =

5.2.4. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ vào

từ trường

Hình 5.8 mô tả ảnh hưởng của từ trường lên các đỉnh cộng hưởng trong SAsHQW.

Ta nhận thấy rằng từ trường càng mạnh thì cường độ các đỉnh cộng hưởng càng lớn

và hiện tượng dịch chuyển xanh càng rõ ràng hơn. Tính chất các đỉnh cộng hưởng phụ

thuộc vào B này phù hợp tốt với các công bố trước trong các giếng lượng tử [7, 8, 9,

59, 68, 84, 88], trong dây lượng tử [36], trong chấm lượng tử [48, 49] và trong chuông

lượng tử [17, 56].

Hình 5.8: MOAC như một hàm của năng lượng photon với các giá trị khác nhau của từ trường.

Kết quả sự tăng lên của cường độ các đỉnh cộng hưởng nguyên nhân do sự giảm của

độ dài từ αc khi từ trường B tăng lên. Trái lại, khi từ trường tăng lên thì các đỉnh cộng

hưởng cho thấy hiện tượng dịch chuyển xanh. Đây chính là do sự mở rộng năng lượng

ngưỡng như hình 5.3. Bên cạnh đó, sự gia tăng của từ trường cũng dẫn tới sự mở rộng

Hình 5.9: FWHM như một hàm của từ trường B. Các kí hiệu đặc (rỗng) tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến).

các đỉnh cộng hưởng và có liên quan chặt chẽ đến sự tăng lên của FWHM.

Hình 5.9 biểu diễn sự ảnh hưởng của từ trường lên FWHM tại các giá trị a và T cố

định đối với cả quá trình hấp thụ và phát xạ phonon cũng như cả quá trình hấp thụ một

photon (các kí hiệu đặc) và hấp thụ hai photon (các kí hiệu rỗng). Nói chung, FWHM

thể hiện như một hàm tăng không tuyến tính theo B trong tất cả các trường hợp. Kết

quả này phù hợp tốt với những công bố trước cho các vật liệu khối bằng phương pháp

kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng [86], cũng như các kiểu giếng lượng tử khác [11, 88],

trong dây lượng tử hình trụ [71] và trong graphene [27].

Để có kết quả chính xác hơn, chúng tôi tìm được quy luật phụ thuộc của FWHM

vào B bằng công thức tường minh, có dạng

(5.11) FWHM (meV) = aB + bB(B[T ])1/2.

Các thành phần aB và bB này sẽ có giá trị phù hợp nhất như sau:

+ Đối với quá trình phát xạ phonon: aB = 9.17 (2.30) meV và bB = 4.64 (1.15) meV

cho quá trình hấp thụ tuyến tính (phi tuyến).

+ Tương tự, đối với quá trình hấp thụ phonon: các thành phần này được xác định

lần lượt tương ứng là aB = 0.60 (0.15) meV và bB = 0.30 (0.07) meV cho quá trình hấp

thụ tuyến tính (phi tuyến).

Như vậy, FWHM trong SAsHQW lớn hơn nhiều so với giếng lượng tử thế vuông

góc [67] hoặc so với giếng lượng tử với thế phức tạp [88] cũng như trong TrQW. Các

kết quả này cho thấy rằng xác suất tán xạ electron–phonon quang dọc trong SAsHQW

mạnh hơn giếng lượng tử với các thế giam giữ khác.

Kết luận chương 5

Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu chi tiết hệ số hấp thụ quang từ và độ

rộng vạch phổ trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt do tương tác

electron–phonon quang dọc. Kết quả thu được là:

1. Xác định được điều kiện cộng hưởng từ–phonon dò tìm bằng quang học. Việc

nghiên cứu hệ số hấp thụ quang từ và độ rộng vạch phổ sẽ tốt hơn khi chọn giá trị

thông số a nằm trong khoảng từ 9.72 nm đến 37.14 nm trong trường hợp B = 10 T.

Năng lượng ngưỡng giảm không tuyến tính với thông số a nhưng tăng một cách tuyến

tính với từ trường.

2. Hệ số hấp thụ quang từ biểu hiện dịch chuyển đỏ với sự gia tăng của thông số a

và biểu hiện dịch chuyển xanh với sự tăng lên của từ trường nhưng không thay đổi theo

nhiệt độ. Trong khi đó, cường độ của hệ số hấp thụ quang từ tăng lên với sự gia tăng

của các thông số này. Độ rộng vạch phổ giảm với sự gia tăng của thông số a nhưng tăng

lên cùng với sự gia tăng của nhiệt độ và từ trường.

3. Các đỉnh cộng hưởng do quá trình phát xạ phonon được quan sát rõ ràng hơn

trong mô hình giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt so với thế tam giác

cũng như các thế giam giữ khác.

4. Những kết quả khác của chúng tôi cũng cho thấy rằng tương tác electron–phonon

quang dọc trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt thì mạnh hơn so

với các hình dạng giếng lượng tử khác (kể cả giếng lượng tử thế tam giác). Kết quả này

chính là do sự mở rộng độ rộng vạch phổ phù hợp tốt với dữ liệu thực nghiệm trước đây.

5. Đặc biệt, chúng tôi tìm được quy luật sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào các

thông số đặc trưng của thế giam giữ, vào từ trường và nhiệt độ cho cả hai quá trình

hấp thụ (phát xạ) phonon trong trường hợp tuyến tính lẫn phi tuyến bằng công thức

tường minh.

Chúng tôi cũng hy vọng rằng kết quả nghiên cứu sẽ có một đóng góp đáng kể cho

việc nghiên cứu lý thuyết về các tính chất chuyển tải, tính chất quang, điện trong các

hệ thấp chiều nói chung và được kiểm chứng bằng thực nghiệm trong thời gian tới.

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án đã nghiên cứu về hai hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng

từ-phonon tuyến tính và phi tuyến trong mô hình giếng lượng tử với hai thế giam giữ

khác nhau (thế tam giác và thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt) trong trường hợp có và

không có mặt của từ trường do tương tác electron-phonon quang dọc bằng hai phương

pháp (phương pháp chiếu toán tử và phương pháp hàm Green). Các kết quả chính của

luận án cho thấy rằng:

1. Công suất và hệ số hấp thụ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến

đều phụ thuộc mạnh vào các thông số đặc trưng của mô hình thế giam giữ, vào trường

ngoài và vào điều kiện vật lý khi hệ được đặt trong điện trường ngoài xoay chiều cao

tần và từ trường tĩnh. Với kết quả này, ta có thể dễ dàng điều chỉnh được tính chất

quang, điện tử của vật liệu như mong muốn.

2. Điều kiện cộng hưởng được tìm thấy là tường minh và vị trí các đỉnh cộng hưởng

electron–phonon dò tìm bằng quang học tuyến tính và phi tuyến dịch chuyển xanh khi

điện trường tăng lên do đó độ rộng vạch phổ của chúng cũng tăng theo. Trái ngược lại,

các đỉnh cộng hưởng và độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến giảm xuống khi thông

số a tăng lên đối với giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt; nhưng vị trí

các đỉnh cộng hưởng đều không thay đổi khi nhiệt độ tăng.

3. Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến biểu hiện dịch chuyển xanh và

có độ lớn đỉnh cộng hưởng cũng như cường độ các đỉnh tăng lên cùng với sự gia tăng

của từ trường; nhiệt độ đối với cả hai giếng thế tam giác và thế hyperbol bất đối xứng

đặc biệt. Kết quả khảo sát cũng chứng minh rằng độ rộng vạch phổ của quá trình phát

xạ phonon luôn luôn lớn hơn quá trình hấp thụ phonon cho cả quá trình tuyến tính lẫn

phi tuyến.

4. Sự ảnh hưởng các đặc trưng của mô hình thế giam giữ vào tính chất quang, điện

tử của vật liệu là rõ ràng. Kết quả thu được của luận án cũng chứng minh rằng công

suất hoặc hệ số hấp thụ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến trong giếng

lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt lớn hơn và đóng góp của đỉnh hấp thụ

rõ ràng hơn so với thế tam giác khi có và không có từ trường (bao gồm các thế giam

giữ truyền thống).

5. Luận án đã tìm được những quy luật mới về sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ

tuyến tính và phi tuyến vào từ trường, thông số đặc trưng của giếng và nhiệt độ bằng

biểu thức giải tích tường minh khi khảo sát hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon trong giếng

lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt và giếng lượng tử thế tam giác.

Cuối cùng, những kết quả thu được góp phần khẳng định tính đúng đắn của phương

pháp chiếu toán tử, phương pháp hàm Green và phương pháp profile khi nghiên cứu

các tính chất chuyển tải lượng tử trong bán dẫn thấp chiều nói chung và hệ chuẩn hai

chiều nói riêng.

Danh mục các công trình khoa học đã công bố liên quan

đến kết quả nghiên cứu của luận án

[1]. Luong V. Tung, Pham T. Vinh, Le Dinh, Huynh V. Phuc (2018),“Linear and non-

linear magneto-optical absorption in a triangular quantum well”, International Journal

of Modern Physics B, 32, pp. 1850162(1-9).

[2]. Khang D. Pham, Le Dinh, Pham T.Vinh, C. A. Duque, Huynh V. Phuc, Chuong

V. Nguyen (2018), “LO-phonon assisted cyclotron resonance in a special asymmetric

hyperbolic-type quantum well”, Superlattices and Microstructures, 120, pp. 738–746.

[3]. Pham Tuan Vinh, Le Dinh, Luong Van Tung (2018), “Optically detected elec-

trophonon resonance and linewidths in triangular quantum wells”, Hue University Jour-

nal of Science: Natural Science, 127 (1A), pp. 119–124.

[4]. Pham Tuan Vinh, Le Dinh (2019), “Optically detected electrophonon resonance in

a special asymmetric hyperbolic-type quantum well”, Journal of Sciences and Education,

Hue Universitys College of Education, 4(52)A, pp. 7–14.

[5]. Le Dinh, Tran Thi Ngoc Anh, Pham Tuan Vinh (2018), “Optically detected

electron-phonon resonances in hyperbolic p¨oschl-teller quantum wells”, Journal of Sci-

ences and Education, Hue Universitys College of Education, 01 (45), pp. 15–23.

[6]. Le Dinh, Tran Thi Thu Nguyet, Pham Tuan Vinh (2018), “Absorption power and

linewidths in quantum wells with p¨oschl-teller hyperbolic potential in magnetic fields”,

Journal of Sciences and Education, Hue Universitys College of Education, 01 (45), pp.

24–31.

[7]. Le Dinh, Pham Tuan Vinh, Huynh Vinh Phuc (2017), “Magnetophonon resonance

in quantum wells with hyperbolic potentials”, SPMS Conference Proceedings, pp. 155–

158.

[8]. Phạm Tuấn Vinh, Lê Đình, Lương Văn Tùng (2017), “Sự hấp thụ quang – từ

trong giếng lượng tử thế tam giác nhờ quá trình hấp thụ hai photon”, Hội nghị vật lý

chất rắn và khoa học vật liệu toàn quốc lần thứ 10, trang 159–162.

[9]. Luong V Tung, Pham T Vinh, Huynh V Phuc (2018), “Magneto-optical proper-

ties of semi-parabolic plus semi-inverse squared quantum wells”, Physica B: Condensed

Matter, 539, pp. 117–122.

[10]. PTT Le, Pham T Vinh, Le TN Tu, Huynh V Phuc, Chuong V Nguyen, Nguyen

N Hieu, Le T Hoa (2020), “Magneto-optical absorption in P¨oschl-Teller-like quantum

well”, Physica B: Condensed Matter, 592, pp. 412279(1-6).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

[1] Huỳnh Vĩnh Phúc (2012), Nghiên cứu chuyển tải thống kê lượng tử đối với

hệ chuẩn một chiều, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm Huế.

[2] Nguyễn Đình Hiên (2018), Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon

lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác của electron-phonon trong

giếng lượng tử, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm Huế.

[3] Võ Thành Lâm (2011), Nghiên cứu một số hiệu ứng cộng hưởng do tương

tác của electron-phonon trong các hệ chuẩn hai chiều, Luận án Tiến sĩ,

Trường Đại học Sư phạm Huế.

Tiếng Anh:

[4] Adachi S. (1985), “GaAs, AlAs, and AlxGa1−xAs: Material parameters for

use in research and device applications”, J. Appl. Phys., 58, R1–R29.

[5] Badjou S. and Argyres P. N. (1987), “Theory of cyclotron resonance in an

electron-phonon system”, Phys. Rev. B, 35, pp. 5964–5968.

[6] Barnes D. J., Nicholas R. J., Peeters F. M., Wu X.-G., Devreese J. T.,

Singleton J., Langerak C. J. G. M., Harris J. J., and Foxon C. T. (1991),

“Observation of optically detected magnetophonon resonance”, Phys. Rev.

Lett., 66, pp. 794–797.

[7] Bhat J. S., Kubakaddi S. S., and Mulimani B. G. (1991), “Cyclotron-

phonon resonance in quasi-two-dimensional semiconducting structures”, J.

Appl. Phys., 70, pp. 2216–2219.

[8] Bhat J. S., Mulimani B. G., and Kubakaddi S. S. (1994), “Localized phonon-

assisted cyclotron resonance in GaAs/AlAs quantum wells”, Phys. Rev. B,

49, pp. 16459–16466.

[9] Bhat J. S., Nesargi R. A., and Mulimani B. G. (2006), “Confined-acoustic-

phonon-assisted cyclotron resonance in free-standing semiconductor quan-

tum well structures”, Phys. Rev. B, 73, pp. 235351(1–9).

[10] Bouzaiene L., Alamri H., Sfaxi L., and Maaref H. (2016), “Simultaneous

effects of hydrostatic pressure, temperature and electric field on optical

absorption in InAs/GaAs lens shape quantum dot”, J. Alloys Compd., 655,

pp. 172–177.

[11] Chaubey M. P. and Van Vliet C. M. (1986), “Theory of cyclotron resonance

of a quasi-two-dimensional electron gas in a quantum well”, Phys. Rev. B,

34, pp. 3932–3938.

[12] Chaubey M. P. and Van Vliet C. M. (1986), “Transverse magnetocon-

ductivity of quasi-two-dimensional semiconductor layers in the presence of

phonon scattering”, Phys. Rev. B, 33, pp. 5617–5622.

[13] Chen B., Guo K.-X., Wang R.-Z., Zhang Z.-H., and Liu Z.-L. (2009), “Lin-

ear and nonlinear intersubband optical absorption in double triangular

quantum wells”, Solid State Commun., 149, pp. 310–314.

[14] Chen T., Xie W., and Liang S. (2012), “Nonlinear optical properties in

a quantum well with the hyperbolic confinement potential”, Physica B:

Condensed Matter, 407(2), pp. 263–267.

[15] Chuang S. L. (1995), Physics of optoelectronic devices, Wiley New York.

[16] Duan W., Zhu J.-L., Gu B.-L., and Wu J. (2000), “Electron-optical-phonon

scattering in non-square quantum-well structures”, Solid State Commun.,

114, pp. 101–106.

[17] Duque C. M., Morales A. L., Mora-Ramos M. E., and Duque C. A. (2013),

“Optical nonlinearities associated to applied electric fields in parabolic two-

dimensional quantum rings”, J. Lumin., 143, pp. 81 –88.

[18] Duque C., Kasapoglu E., Sakiroglu S., Sari H., and S¨okmen I. (2011), “In-

tense laser effects on nonlinear optical absorption and optical rectification

in single quantum wells under applied electric and magnetic field”, Appl.

Surf. Sci., 257, pp. 2313–2319.

[19] Gammon D., Rudin S., Reinecke T. L., Katzer D. S., and Kyono C. S.

(1995), “Phonon broadening of excitons in GaAs/Alx Ga1−x As quantum

wells”, Phys. Rev. B, 51, pp. 16785–16789.

[20] Goldman I. I., Krivchenkov V. D., Geilikman B. T., Marquit E., and Lepa

E. (1961), Problems in quantum mechanics, Authorized rev., Addison–

Wesley Pub. Co.

[21] Gradshtein I. S., Ryzhik I. M., Zwillinger D., and Scripta Technica i. (2014),

Table of integrals, series, and products, ed. by 8, Academic Press, Elsevier

Inc.

[22] Guang-Hui W., Kang-Xian G., and Qi G. (2003), “Third-Order Nonlinear

Optical Susceptibility of Special Asymmetric Quantum Wells”, Commun.

Theor. Phys., 39, pp. 377–380.

[23] Guo K., Liu G., Huang L., and Zheng X. (2015), “Linear and nonlinear

optical absorption coefficients of spherical dome shells”, Opt. Mater., 46,

pp. 361–365.

[24] Guo K., Zhang Z., Mou S., and Xiao B. (2015), “Effect of hydrogenic im-

purity on linear and nonlinear optical absorption coefficients and refractive

index changes in a quantum dot”, J. Optics, 17(5), p. 055504.

[25] Hien N. D. (2019), “Magnetophonon resonance in quantum wells due to

absorption and emission of confined phonon”, Physica E: Low-dimensional

Systems and Nanostructures, 114, pp. 113608(1–5).

[26] Hoi B. D., Phuong L. T. T., and Phong T. C. (2016), “Optically de-

tected electrophonon resonance in quantum wells via two-photon absorp-

tion processes under the influence of phonon confinement”, Superlattices

Microstruct., 100, pp. 365 –374.

[27] Hoi B. D., Phuong L. T. T., and Phong T. C. (2018), “Magneto-optical ab-

sorption and cyclotron-phonon resonance in graphene monolayer”, J. Appl.

Phys., 123, pp. 094303(1–6).

[28]

Ivanov-Omskii V. I., Korovin L. I., and Shereghii E. M. (1978), “Phonon-

assisted cyclotron resonance in semiconductors”, Phys. Status Solidi B, 90,

pp. 11–32.

[29] Jo S., Kang N., Cho Y., Choi D.-S., Kim S., and Ryu J. (1997), “Modeling of

the cyclotron transition theory for quasi-two-dimensional electron systems

by the isolation-projection technique”, J. Korean Phys. Soc., 30, pp. 103–

110.

[30] Johnson E. J. and Dickey D. H. (1970), “Infrared Cyclotron Resonance and

Related Experiments in the Conduction Band of InSb”, Phys. Rev. B, 1,

pp. 2676–2692.

[31] Kang N. L., Lee H. M., Lee S. C., and Choi S. D. (2008), “Theory of

intraband transition linewidths due to LO phonon scattering in triangular

well based on the many body projection method”, Eur. Phys. J. B, 63(1),

pp. 59–63.

[32] Kang N. L. and Choi S. D. (2008), “Comparison of Two State-Dependent

Projection Techniques for Optical Transitions in Solids”, J. Korean Phys.

Soc., 52(4), pp. 1159–1163.

[33] Kang N. L., Lee H. J., and Choi S. D. (2004), “A new theory of nonlinear

optical conductivity for an electron-phonon system”, J. Korean Phys. Soc.,

44, pp. 938–943.

[34] Kang N. L., Ryu J. Y., and Choi S. D. (2002), “Derivation of linewidths

for optical transitions in quantum wells due to longitudinal optical phonon

scattering”, J. Phys. Condens. Matter, 14(41), pp. 9733–9742.

[35] Kang N. L., Shin D. H., Yi S. N., and Choi S. D. (2005), “Prediction

of Intraband Transition Linewidths due to Longitudinal Optical Phonon

Scattering in GaN for Electrons in Quantum Wells”, J. Korean Phys. Soc.,

46(4), pp. 1040–1044.

[36] Karaaslan Y., Gisi B., Sakiroglu S., Kasapoglu E., Sari H., and Sokmen

I. (2016), “Rashba spin-orbit coupling effects on the optical properties of

double quantum wire under magnetic field”, Superlattices Microstruct., 93,

pp. 32–39.

[37] Kastalsky A., Peeters F., Chan W. K., Florez L. T., and Harbison J. P.

(1991), “Nonlinear transport phenomena in a triangular quantum well”,

Appl. Phys. Lett., 59(14), pp. 1708–1710.

[38] Khoa D. Q., Phuong L. T. T., and Hoi B. D. (2017), “Nonlinear absorp-

tion coefficient and optically detected electrophonon resonance in cylin-

drical GaAs/AlAs quantum wires with different confined phonon models”,

Superlattices Microstruct., 103, pp. 252 –261.

[39] Kilby J. S. (1959), “Miniaturized electronic circuits”, Texas Instruments

Incorporated, Dallas, 791602, pp. 3138743 (1–10).

[40] Le P., Vinh P. T., Tu L. T., Phuc H. V., Nguyen C. V., Hieu N. N.,

and Hoa L. T. (2020), “Magneto-optical absorption in P¨oschl Teller-like

quantum well”, Physica B: Condensed Matter, 592, pp. 412279(1–6).

[41] Lee H. J., Kang N. L., Sug J. Y., and Choi S. D. (2002), “Calculation of

the nonlinear optical conductivity by a quantum-statistical method”, Phys.

Rev. B, 65, pp. 195113(1–7).

[42] Lee S. C. (2007), “Optically detected magnetophonon resonances in quan-

tum wells”, J. Korean Phys.Soc., 51, pp. 1979–1986.

[43] Lee S. C., Kang J. W., Ahn H. S., Yang M., Kang N. L., and Kim S. W.

(2005), “Optically detected electrophonon resonance effects in quantum

wells”, Physica E, 28, pp. 402 –411.

[44] Lee S., Park M., Ihm G., Falk M., Noh S., Kim T., and Choe B. (1993),

“Electronic structure of the triangular quantum well in a tilted magnetic

field”, Physica B: Condensed Matter, 184(1), pp. 318 –322.

[45] Li E. and Weiss B. (1993), “Analytical solution of the subbands and ab-

sorption coefficients of AlGaAs-GaAs hyperbolic quantum wells”, IEEE J.

Quantum Electron., 29(2), pp. 311–321.

[46] Li E. (2000), “Material parameters of InGaAsP and InAlGaAs systems for

use in quantum well structures at low and room temperatures”, Physica E,

5, pp. 215–273.

[47] Li G., Luican A., and Andrei E. Y. (2009), “Scanning Tunneling Spec-

troscopy of Graphene on Graphite”, Phys. Rev. Lett., 102, pp. 176804(1–

4).

[48] Liu G., Guo K., Hassanabadi H., and Lu L. (2012), “Linear and nonlinear

optical properties in a disk-shaped quantum dot with a parabolic potential

plus a hyperbolic potential in a static magnetic field”, Physica B, 407,

pp. 3676–3682.

[49] Liu G., Guo K., and Wang C. (2012), “Linear and nonlinear intersubband

optical absorption in a disk-shaped quantum dot with a parabolic potential

plus an inverse squared potential in a static magnetic field”, Physica B,

407(12), pp. 2334–2339.

[50] Masale M. and Constantinou N. C. (1993), “Electron–LO-phonon scat-

tering rates in a cylindrical quantum wire with an axial magnetic field:

Analytic results”, Phys. Rev. B, 48, pp. 11128–11134.

[51] Michael A. Stroscio M. D. (2001), Phonons in nanostructures, 1st, Cam-

bridge University Press.

[52] Mora-Ramos M., Duque C., Kasapoglu E., Sari H., and S¨okmen I. (2012),

“Linear and nonlinear optical properties in a semiconductor quantum well

under intense laser radiation: Effects of applied electromagnetic fields”, J.

Lumin., 132(4), pp. 901–913.

[53] Mori H. (1965), “A Continued-Fraction Representation of the Time-Correlation

Functions”, Prog. Theor. Phys., 34(3), pp. 399–416.

[54] Ngai K. L. and Johnson E. J. (1972), “Two-Phonon Deformation Potential

in InSb”, Phys. Rev. Lett., 29, pp. 1607–1610.

[55] Nguyen C. V., Hieu N. N., Poklonski N. A., Ilyasov V. V., Dinh L., Phong

T. C., Tung L. V., and Phuc H. V. (2017), “Magneto-optical transport

properties of monolayer MoS2 on polar substrates”, Phys. Rev. B, 96, pp.

125411(1–14).

[56] Niculescu E. C. and Bejan D. (2017), “Off-centre impurity-related non-

linear optical absorption, second and third harmonic generation in a two-

dimensional quantum ring under magnetic field”, Philos. Mag., 97, pp.

1323130 (1–19).

[57] Olivier Vallee M. S. (2010), Airy Functions and Applications to Physics,

ed. by 2nd, Imperial College Press.

[58] Orlita M., Faugeras C., Plochocka P., Neugebauer P., Martinez G., Maude

D. K., Barra A.-L., Sprinkle M., Berger C., de Heer W. A., and Potem-

ski M. (2008), “Approaching the Dirac Point in High-Mobility Multilayer

Epitaxial Graphene”, Phys. Rev. Lett., 101, pp. 267601 (1–4).

[59] Ozturk E. and Sokmen I. (2014), “Nonlinear intersubband transitions in a

parabolic and an inverse parabolic quantum well under applied magnetic

field”, J. Lumin., 145, pp. 387 –392.

[60] Phong T. C. and Phuc H. V. (2011), “Nonlinear absorption line-widths in

rectangular quantum wire”, Mod. Phys. Lett. B, 25, pp. 1003–1011.

[61] Phong T. C., Phuong L. T. T., Hien N. D., and Lam V. T. (2015), “In-

fluence of phonon confinement on the optically detected magneto-phonon

resonance line-width in quantum wells”, Physica E, 71, pp. 79–83.

[62] Phong T. C., Phuong L. T. T., and Phuc H. V. (2012), “Cyclotron-resonance

line-width due to electron-LO-phonon interaction in cylindrical quantum

wires”, Superlattices Microstruct., 52(1), pp. 16 –23.

[63] Phong T. C., Phuong L. T. T., and Phuc H. V. (2012), “Cyclotron-resonance

line-width due to electron-LO-phonon interaction in cylindrical quantum

wires”, Superlattices Microstruct., 52, pp. 16 –23.

[64] Phong T. C., Thu Phuong L. T., Phuc H. V., and Vinh P. T. (2013),

“Influence of phonon confinement on the optically-detected electrophonon

resonance linewidth in rectangular quantum wires”, J. Korean Phys. Soc.,

62, pp. 305–310.

[65] Phuc H. V. (2015), “SA-phonon-assisted cyclotron resonance via two-photon

process in graphene on GaAs substrate”, Superlattices Microstruct., 88,

pp. 518–526.

[66] Phuc H. V. and Dinh L. (2015), “Surface optical phonon-assisted cyclotron

resonance in graphene on polar substrates”, Mater. Chem. Phys., 163,

pp. 116–122.

[67] Phuc H. V., Dinh L., and Phong T. C. (2013), “Phonon-assisted cyclotron

resonance in quantum wells via the multiphoton absorption process”, Su-

perlattices Microstruct., 59, pp. 77–86.

[68] Phuc H. V., Hien N. D., Dinh L., and Phong T. C. (2016), “Confined

optical-phonon-assisted cyclotron resonance in quantum wells via two-photon

absorption process”, Superlattices Microstruct., 94, pp. 51–59.

[69] Phuc H. V. and Hieu N. N. (2015), “Nonlinear optical absorption in graphene

via two-photon absroption process”, Opt. Commun., 344, pp. 12–16.

[70] Phuc H. V., Hieu N. N., Dinh L., and Phong T. C. (2015), “Nonlinear

optical absorption in parabolic quantum well via two-photon absorption

process”, Opt. Commun., 335, pp. 37 –41.

[71] Phuc H. V., Hue L. T. M., Dinh L., and Phong T. C. (2013), “LO-phonon-

assisted cyclotron resonance linewidth via multiphoton absorption process

in cylindrical quantum wire”, Superlattices Microstruct., 60, pp. 508–515.

[72] Phuc H. V., Khoa D. Q., Hieu N. V., and Hieu N. N. (2016), “Linear and

nonlinear magneto-optical absorption in parabolic quantum well”, Optik,

127(22), pp. 10519 –10526.

[73] Phuc H. V., Phong T. C., and Hieu N. N. (2014), “Nonpolar Optical

Phonon-Assisted Cyclotron Resonance Via Multiphoton Absorption Pro-

cess in Cylindrical Quantum Wire”, Integr. Ferroelectr., 155(1), pp. 1–8.

[74] Phuc H. V., Thao N. T. T., Dinh L., and Phong T. C. (2014), “Confined-

acoustic-phonon-assisted cyclotron resonance via multi-photon absorption

process in GaAs quantum well structure”, J. Phys. Chem. Solids, 75,

pp. 300 –305.

[75] Phuc H. V., Tung L. V., Vinh P. T., and Dinh L. (2015), “Nonlinear opti-

cal absorption via two-photon process in asymmetrical Gaussian potential

quantum wells”, Superlattices Microstruct., 77, pp. 267–275.

[76] Phuc H. V. and Van Tung L. (2014), “Linear and nonlinear phonon-assisted

cyclotron resonances in parabolic quantum well under the applied electric

field”, Superlattices Microstruct., 71, pp. 124–133.

[77] Phuong L. T. T., Phuc H. V., and Phong T. C. (2014), “Influence of phonon

confinement on the optically-detected electrophonon resonance line-width

in cylindrical quantum wires”, Physica E, 56, pp. 102 –106.

[78] P¨oschl G. and Teller E. (1933), “Bemerkungen zur Quantenmechanik des

anharmonischen Oszillators”, Z. Phys., 83, pp. 143–151.

[79] Poularikas A. D. (1999), The handbook of formulas and tables for signal

processing, 1st ed., The electrical engineering handbook series, CRC Press;

Springer; IEEE Press.

[80] Radovanovic J., Milanovic V., Ikonic Z., and Indjin D. (2000), “Intersub-

band absorption in P¨oschl–Teller-like semiconductor quantum wells”, Phys.

Lett. A, 269(2), pp. 179–185.

[81] Ridley B. K. (1982), “The electron-phonon interaction in quasi-two-dimensional

semiconductor quantum-well structures”, J. Phys. C: Solid State Phys.,

15(28), pp. 5899–5917.

[82] Ryu J. Y., Hu G. Y., and O’Connell R. F. (1994), “Magnetophonon res-

onances of quantum wires in tilted magnetic fields”, Phys. Rev. B, 49,

pp. 10437–10443.

[83] Ryu J. Y., Yi S. N., and Choi S. D. (1990), “Cyclotron transition linewidths

due to electron-phonon interaction via piezoelectric scattering”, J. Phys.

Condens. Matter., 2(15), pp. 3515–3527.

[84] Sari H., Kasapoglu E., Sakiroglu S., Yesilgul U., Ungan F., and S¨okmen I.

(2017), “Combined effects of the intense laser field, electric and magnetic

fields on the optical properties of n-type double δ-doped GaAs quantum

well”, Physica E, 90, pp. 214–217.

[85] Seeger K. (1985), Semiconductor physics: An introduction, vol. 40, Springer-

Verlag Berlin Heidelberg.

[86] Sug J. Y., Jo S. G., Kim J., Lee J. H., and Choi S. D. (2001), “Quantum

transition processes in deformation potential interacting systems using the

equilibrium density projection technique”, Phys. Rev. B, 64, pp. 235210(1–

9).

[87] Suzuki A. and Ashikawa M. (1998), “Quantum-statistical theory of nonlin-

ear optical conductivity for an electron-phonon system”, Phys. Rev. E, 58,

pp. 4307–4320.

[88] Tung L. V., Vinh P. T., and Phuc H. V. (2018), “Magneto-optical properties

of semi-parabolic plus semi-inverse squared quantum wells”, Physica B:

Condensed Matter, 539, pp. 117 –122.

[89] Ungan F., Yesilgul U., Sakiroglu S., Mora-Ramos M. E., Duque C. A.,

Kasapoglu E., Sari H., and S¨okmen I. (2013), “Simultaneous effects of

hydrostatic pressure and temperature on the nonlinear optical properties

in a parabolic quantum well under the intense laser field”, Opt. Commun.,

309, pp. 158–162.

[90] Vasilopoulos P. (1986), “Magnetophonon oscillations in quasi-two-dimensional

quantum wells”, Phys. Rev. B, 33, pp. 8587–8594.

[91] Weiler M., Aggarwal R., and Lax B. (1974), “Magnetoabsorption in n-type

InSb from 8 to 15 µm”, Solid State Commun., 14, pp. 299–302.

[92] Xu W. (1998), “Nonlinear optical absorption and LO-phonon emission in

steady-state terahertz-driven three-dimensional electron gases”, Phys. Rev.

B, 57, pp. 12939–12950.

[93] Xu W, Lewis R. A., Koenraad P. M., and Langerak C. J. G. M. (2004),

“High-field magnetotransport in a two-dimensional electron gas in quantiz-

ing magnetic fields and intense terahertz laser fields”, J. Phys.: Condens.

Matter, 16, pp. 89–101.

[94] Yu S., Pevzner V., Kim K., and Stroscio M. (1998), “Electrophonon reso-

nance in cylindrical quantum wires”, Phys. Rev. B, 58(7), pp. 3580–3583.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1. Chứng minh biểu thức (1.33)

Để giải tìm ρint(t), ta định nghĩa toán tử mật độ trong biểu diễn Dirac có dạng [41]

(PL1.1)

int(t) = eiHeqt/(cid:126)ρint(t)e−iHeqt/(cid:126). ρD

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (PL1.1) theo thời gian

e−iHeqt/(cid:126).

= −eiHeqt/(cid:126)[Heq, ρint(t)]e−iHeqt/(cid:126) + i(cid:126)eiHeqt/(cid:126) ∂ρint(t)

i(cid:126) ∂ρD int(t) ∂t

∂t

Thay biểu thức (1.32) vào số hạng thứ hai ở vế phải và rút gọn thành

= eiHeqt/(cid:126)[Hint(t), ρeq]e−iHeqt/(cid:126)

i(cid:126) ∂ρD int(t) ∂t

(PL1.2)

+ eiHeqt/(cid:126)[Hint(t), ρint(t)]e−iHeqt/(cid:126).

Ta chứng minh được: eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126) = eiLeqt/(cid:126)A, cụ thể như sau:

* Giả sử xét toán tử A bất kỳ không phụ thuộc tường minh vào thời gian, phương trình

Liouville cho A sẽ có dạng i(cid:126) ∂A

|t=0 = 0 thì ta chứng

∂t = [Heq, A] = LeqA và thỏa mãn: ∂A(t)

∂t

minh được biểu thức cần tìm.

Trước tiên, thực hiện khai triển Maclaurin vế trái (ML) biểu thức trên, ta được:

∞ (cid:88)

M L =

M Li

∂n ∂tn (eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126))|t=0

tn n!

n=0

i=0

M L0 = A(0),

M L1 =

∂ ∂t i

e−iHeqt/(cid:126) + eiHeqt/(cid:126)A

= (

−i (cid:126) Heqe−iHeqt/(cid:126))|t=0t

∂t

(eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126))|t=0t (cid:126) HeqeiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126) + eiHeqt/(cid:126) ∂A i (cid:126) {eiHeqt/(cid:126)(HeqA − AHeq)e−iHeqt/(cid:126)}|t=0t i (cid:126) {eiHeqt/(cid:126)[Heq, A]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0t i i (cid:126) LeqAt, (cid:126) [Heq, A]t =

M L2 =

t2 2!

{eiHeqt/(cid:126)[Heq, A]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0

t2 2!

= (

t2 2!

= (

t2 2!

= (

∂2 ∂t2 (eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126))|t=0 i ∂ (cid:126) ∂t i (cid:126) )2{eiHeqt/(cid:126)(Heq[Heq, A] − [Heq, A]Heq)e−iHeqt/(cid:126)}|t=0 i (cid:126) )2{eiHeqt/(cid:126)[Heq, [Heq, A]]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0 t2 i (cid:126) )2{eiHeqt/(cid:126)[Heq, LeqA]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0 2! t2 i (cid:126) )2{eiHeqt/(cid:126)Leq[Heq, A]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0 2! t2 i (cid:126) )2{eiHeqt/(cid:126)LeqLeqAe−iHeqt/(cid:126)}|t=0 2! i (cid:126) )2LeqLeqA

t2 2!

Tính toán tương tự cho M L3, M L4, . . .. Kết quả

+ · · · .

M L = A(0) +

i (cid:126) LeqAt + (

i (cid:126) )2LeqLeqA

t2 2!

Tiếp theo, ta khai triển Maclaurin vế phải (MR) của biểu thức trên, ta được:

∞ (cid:88)

M R =

(iLeqt/(cid:126))n n!

n=0

= A(0) +

+ · · · .

i (cid:126) LeqAt + (

i (cid:126) )2LeqLeqA

t2 2!

hay ta suy ra ML =MR (đpcm).

Cho nên biểu thức (PL1.2) có thể viết lại thành

= eiLeqt/(cid:126)Lint(t)ρeq + eiLeqt/(cid:126)Lint(t)ρint(t).

i(cid:126) ∂ρD int(t) ∂t

Tích phân hai vế của biểu thức này từ −∞ đến t với điều kiện ban đầu ρD

int|t→−∞ = 0, ta

được

(cid:90) t

i(cid:126)ρD

(PL1.3)

dueiLequ/(cid:126)Lint(u)ρeq +

dueiLequ/(cid:126)Lint(u)ρint(u).

int(t) =

−∞

Tiếp tục, thay ρD

int(t) = eiLeqt/(cid:126)ρint(t). vào vế trái của (PL1.3) rồi nhân bên trái của hai vế

với e−iLeqt/(cid:126), ta được kết quả

(cid:90) t

i(cid:126)ρint(t) =

dueiLeq(u−t)/(cid:126)Lint(u)ρeq

−∞

(cid:90) t

(PL1.4)

dueiLeq(u−t)/(cid:126)Lint(u)ρint(u).

−∞

Đổi biến tích phân t1 = t − u và các cận, ta được

(cid:90) ∞

ρint(t) =

dt1e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)ρeq

0 (cid:90) ∞

dt1e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)ρint(t − t1).

1 i(cid:126) 1 i(cid:126)

Đây là biểu thức của toán tử mật độ nhiễu loạn khi có trường ngoài tại thời điểm t. Toán

tử mật độ lúc này được phân tích thành tổng hai thành phần, một thành phần chứa toán tử

mật độ trung bình và thành phần kia chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm t − t1. Viết

biểu thức này cho ρint(t − t1) bằng cách thay t bởi (t − t1), sau đó thay biểu thức thu được

vào biểu thức của ρint(t), ta được

(cid:90) ∞

ρint(t) =

1 i(cid:126) (cid:90) ∞

dt1e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)ρeq (cid:90) ∞

dt1

dt2e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)e−iLeqt2/(cid:126)Lint(t − t1 − t2)ρeq

0 (cid:90) ∞

dt1

dt2e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)e−iLeqt2/(cid:126)Lint(t − t1 − t2)

1 (i(cid:126))2 1 (i(cid:126))2

× ρint(t − t1 − t2).

Tiếp tục thay biểu thức của ρint(t − t1 − t2) . . . cho đến ρint(t − t1 − . . . − tn), ta được biểu

thức khai triển của ma trận mật độ đến số hạng thứ n, có dạng

(cid:90) ∞

∞ (cid:88)

ρint(t) =

dt1

dt2 · · ·

dtne−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)

1 (i(cid:126))n

n=1

× e−iLeqt2/(cid:126)Lint(t − t1 − t2) · · · e−iLeqtn/(cid:126)Lint(t − t1 − · · · − tn)ρeq

≡ ρ(1)(t) + ρ(2)(t) + · · · + ρ(n)(t) = ρ(k)(t).

(đpcm)

Phụ lục 2. Chứng minh biểu thức (1.78) và (1.79)

Để đơn giản hóa biểu thức (1.77), ta dùng tính chất nhiễu loạn (cid:98)V rất bé. Giả sử, ban đầu

khi t ≤ 0 hệ ở trạng thái ứng với hàm ψ(0)

n . Khi đó

(PL2.1)

ak(0) = δkn,

Khi t = 0, hệ chịu tác dụng của một nhiễu loạn nhỏ, do đó hàm sóng ψ(0)

n phụ thuộc ít vào

thời gian. Vì vậy các hệ số ak(t) tại thời điểm t >0 được tìm dưới dạng

(PL2.2)

ak(t) = a(0)

k (t) + a(1)

k (t) + a(2)

k (t) + ...,

trong đó a(0)

k (t) = a(0)

k = δnk. Hiệu chỉnh a(1)

k (t) có cùng cấp độ bé với nhiễu loạn, a(2)

k (t) là

bậc hai đối với nhiễu loạn,... Thay (PL2.2) vào (1.77) ta được

(cid:88)

(PL2.3)

kVmk(t)eiΩmntdt. a0

i(cid:126) da(1) m dt

Khi đó bỏ tất cả số hạng có độ bé cấp hai và cao hơn của nhiễu loạn, lấy tích phân (PL2.3) ta

được

(cid:90) t

(đpcm)

vmn(t)eiΩmnt và a(2)

vmn(t)eiΩmnta(1)

a(1) m (t) =

m (t) =

m (t).

1 i(cid:126)

Phụ lục 3. Chứng minh biểu thức (1.107)

Trong lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, xem xét cách tiếp cận thông thường để

tính toán xác suất chuyển dời trạng thái dừng của electron trong biểu diễn V (R, t). Khi tâm

tán xạ không có mặt, nếu ψ(α, t) = ψα(R, t) là nghiệm của biểu thức Schr¨odinger

(PL3.1)

(cid:21) − H0(t)

ψα(R, t) = 0,

(cid:20) i(cid:126) ∂ ∂t

với α là số lượng tử, hàm trễ Green G0(R, t; R(cid:48), t(cid:48)) thì hàm chuyển dời U0(R, t; R, t(cid:48)) có thể được xác định từ

(cid:48)

, t(cid:48)) =

, t(cid:48)),

(PL3.2)

G0 = (R, t; R

U0(R, t; R

(cid:48)

(cid:88)

, t(cid:48)) =

φ(t − t(cid:48)) i(cid:126) ψ∗

(PL3.3)

U0(R, t; R

α(R, t)ψα(R, t).

Hàm Green và hàm chuyển dời thỏa mãn các điều kiện sau

(cid:48)

)δ(t − t(cid:48)),

, t(cid:48)) = δ(R − R

(PL3.4)

(cid:21) − H0(t)

G0(R, t; R

(cid:21)

(cid:48)

, t(cid:48)) = δ(R − R

(PL3.5)

− H0(t)

U0(R, t; R

(cid:20) i(cid:126) ∂ ∂t (cid:20) i(cid:126) ∂ ∂t

Hơn nữa, hàm chuyển dời có tính chất như sau

(cid:48)

U0(R, t; R

) = ψα(R, t)

, t(cid:48)) = δ(R − R (cid:90)

(cid:48)

, t(cid:48))

d3R

U0(R, t; R

, t(cid:48))ψα(R

(cid:90)

(cid:48)

U ∗

, t(cid:48))

d3R

(PL3.6)

, t(cid:48))U0(R, t; R

0 (R, t; R

(cid:90)

(cid:48)

, t(cid:48)) = 1,

d3R

U0(R1t1; R

(cid:90)

(cid:48)

, t(cid:48)).

(PL3.7)

d3R1U ∗

, t(cid:48)) = U0(R, t; R

0 (R, t; R1, t1)U0(R1, t1; R

Khi có mặt thế tán xạ V (R, t), hàm Green G(R, t; R(cid:48), t(cid:48)) và hàm chuyển dời U (R, t; R(cid:48), t(cid:48))

thỏa mãn:

(cid:48)

φ(t, t(cid:48))

, t(cid:48))

, t(cid:48)) =

G(R, t; R

i(cid:126) U (R, t; R

(cid:21)

(cid:48)

)δ(t − t(cid:48)),

G(R, t; R

, t(cid:48)) = δ(R − R

(PL3.8)

− H0(t) − V (R, t)

(cid:48)

U (R, t; R

, t(cid:48)) = δ(R − R

(PL3.9)

(cid:21) − H0(t) − V (R, t)

(cid:20) i(cid:126) ∂ ∂t (cid:20) i(cid:126) ∂ ∂t

Bên cạnh đó, hàm chuyển dời phải có tính chất tương tự như biểu thức (PL3.2). Do đó, hàm U (R, t; R(cid:48), t(cid:48)) có thể thu được từ G(R, t; R(cid:48), t(cid:48)) được xác định bởi biểu thức Dyson trong biểu

diễn (R1, t)

(cid:48)

, t(cid:48))

G(R, t; R

(PL3.10)

, t(cid:48)) =G0(R, t; R (cid:90)

d3R1dt1G(R, t; R1, t1)V (R, t; R1, t1; R, t)

Tích phân được cho bởi biểu thức (PL3.10) có thể giải qua việc sử dụng phương pháp lặp

(cid:48)

∞ (cid:88)

, t(cid:48)) =

, t(cid:48)),

G(R, t; R

(PL3.11)

Un(R, t; R

φ(t − t(cid:48)) i(cid:126)

n=0

với

(cid:88)

ψ∗

(PL3.12)

U1 =

α(R, t)ψα(R, t)Gα(cid:48),α

1 i(cid:126)

(cid:88)

ψ∗

(PL3.13)

U2 =

α(R, t)ψα(R, t)Gα,α1Gα1,α(cid:48)

α(cid:48),α 1 (i(cid:126))2

α(cid:48),α1,α

(cid:88)

ψ∗

Un =

α(R, t)ψα(R, t)

1 (i(cid:126))n

α,α1...αn−1,α

(PL3.14)

× Gα,α1Gα1,α2...Gαn−1α(cid:48)(t − t(cid:48)),

và

(cid:90) t

ψ(α(cid:48), τ )V (R, t)ψ(α, τ )dτ.

(PL3.15)

Gα,α1 =

t(cid:48)

Do đó, trong sự có mặt của tâm tán xạ, hàm chuyển dời thu được

(cid:48)

∞ (cid:88)

, t(cid:48)) =

, t(cid:48)).

U (R, t; R

(PL3.16)

Un(R, t; R

n=0

Từ hàm chuyển dời, biên độ xác suất trung bình cho chuyển dời electron từ trạng thái ban

đầu α ở thời điểm t đến trạng thái cuối α ở thời điểm t’ đạt được như

(cid:90)

(cid:48)

ψ∗

, t(cid:48))

d3Rψ∗

d3R

, t(cid:48))U (R, t; R

Pα(cid:48),α(t, t(cid:48)) =

α(R, t)

α(cid:48)(R

∞ (cid:88)

= 1 +

(PL3.17)

α,α(cid:48)(t, t(cid:48)), P n

n=1

α(cid:48),α(t, t(cid:48)) = P 1

Gα(cid:48),α(t, t(cid:48)) i(cid:126) (cid:88)

Gα(cid:48),α1(t, t(cid:48))Gα1,α(t − t(cid:48)),

α(cid:48),α(t, t(cid:48)) = P 2

1 (i(cid:126))2

α1

(cid:88)

Gα,α1Gα1,α2...Gαn−1α(cid:48)(t − t(cid:48)).

α(cid:48),α(t, t(cid:48)) = P n

1 (i(cid:126))n

α,α1...αn−1

Hơn nữa, theo định nghĩa xác suất chuyển dời electron ở trạng thái dừng cho tán xạ của

electron từ trạng thái α đến trạng thái α(cid:48) được cho bởi

(PL3.18)

Wα(cid:48),α = lim

t,t(cid:48)→+∞

∂|Pα(cid:48),α(t, t(cid:48))|2 ∂(t − t(cid:48))

Khi đó, đóng góp bậc một nếu xét trong dịch chuyển, ta được

∂[G∗

W (1)

(đpcm)

α(cid:48),α =

1 (cid:126)2

lim t,t(cid:48)→+∞

α(cid:48),αGα(cid:48),α] ∂(t − t(cid:48))

Phụ lục 4. Chứng minh biểu thức (4.14)

Xuất phát từ biểu thức xác suất chuyển dời lượng tử (4.3)

(cid:88)

W ±

|M±

α,α(cid:48) |2 (a0q⊥)2(cid:96)

α,α(cid:48) =

α,α(cid:48) |2|Mrad

2π (cid:126)3Ω2

((cid:96)!)222(cid:96) δ (εα(cid:48) − εα − (cid:96)(cid:126)Ω ∓ (cid:126)ωq) ,

q,(cid:96)

ở đây, tôi đã đặt α ≡ λ, α(cid:48) ≡ λ(cid:48), thành phần ma trận tương tác của electron-phonon do quá

trình phát xạ hoặc hấp thụ phonon có dạng

|M±

(PL4.1)

)δk(cid:48)

y,ky±qy

α,α(cid:48) |2 = |Vq|2|JN N (cid:48) (u)|2|Fn(cid:48) n(qz)|2(Nq +

1 2

với |JN N (cid:48) (u)|2 được xác định như trong [29, 83], cụ thể như sau:

(cid:90) +∞

(cid:48)

) ≡

)dx

JN N (cid:48) (X, qx, X

φ∗ N (x − X) exp(iqxx)φN (cid:48) (x − X

−∞

(cid:33)

(cid:32)

(cid:90) +∞

dx exp

−

+ iqxx

(cid:112)

−∞

1 2N +N (cid:48) N !N (cid:48)!acπ

(cid:19)

(PL4.2)

× HN

HN (cid:48)

(cid:18) x − X ac

(x − X)2 + (x − X (cid:48))2 2ac (cid:18) x − X (cid:48) 2a2 c

Từ biểu thức (PL4.2), ta thấy rằng JN N (cid:48) (X, qx, X (cid:48)) sẽ thõa mãn biểu thức sau:

(cid:48)

) = J ∗

(PL4.3)

, qx, X) = J ∗

, −qx, X),

JN N (cid:48) (X, qx, X

) = JN (cid:48) N (X

N N (cid:48) (X, −qx, X

N (cid:48) N (X

cqx)(cid:3)/ac kết hợp sử dụng

2 (X + X (cid:48) + ia2

với X = −ky/m∗ωc và thực hiện đổi biến số z = (cid:2)x − 1 mối liên hệ [21]

(cid:90) +∞

dze−z2

πN !bN (cid:48) −N L(N (cid:48) −N )

(−2ab).

(PL4.4)

HN (z + a)HN (cid:48) (z + b)dz = 2N (cid:48) √

−∞

Xét trường hợp N < N (cid:48), ta được

(cid:19)N>−N <

(cid:48)

(cid:19)1/2 (cid:18) X< − X> + iqxa2 c

√

) =

JN N (cid:48)(X, qx, X

(cid:18) N!

2ac (cid:19)2

(cid:20)

(cid:19)2

(cid:21)

× exp

−

iqx(X + X (cid:48)) 2

(cid:18) X − X (cid:48) 2ac

(cid:19)(cid:21)

(cid:18) (X − X (cid:48)) + a4

(cid:18) acqx 2 cq2 x

(PL4.5)

(cid:20) LN>−N< N<

2a2 c

trong đó, kí hiệu N> = max(N, N (cid:48)), N< = min(N, N (cid:48)), X> và X< tương ứng với N> và N<. Bây giờ, chúng tôi xác định hàm |JN,N (cid:48) (u)|2 như sau

(cid:48)

; u)

|JN,N (cid:48) (u)|2 ≡ K1(N, N

cqy, −qx, X)

cqy)JN N (cid:48) (X ± a2 (cid:105)2

≡ JN N (cid:48) (X, qx, X ± a2 e−uuN (cid:48)−N (cid:104)

(u)

, u = a2

(PL4.6)

cq2

⊥/2

LN (cid:48)−N N

N ! N (cid:48)!

trong đó, Mrad

α,α(cid:48) là thành phần ma trận ở trạng thái dừng do tương tác hạt mang-photon được

xác định như sau

|Mrad

(PL4.7)

|e.e.rαα(cid:48) |2,

α,α(cid:48) |2 =

Ω2A2 0 4

ở đây, e là vectơ lưỡng cực và e.rαα(cid:48) = e(cid:104)α(cid:48)|x|α(cid:105) là mômen lưỡng cực. Bây giờ, ta tính

(cid:48)

µαα(cid:48) = e(cid:104)α

|x|α(cid:105) = e(cid:104)φN (cid:48) (x − x0)|x|φN (x − x0)(cid:105)

(cid:90) +∞

= e

φ∗ N (cid:48) (x − x0)xφN (x − x0)dx,

−∞

với φN (x − x0) là hàm sóng dao động điều hòa có tâm tại x0 = −a2

cky. Biểu thức của chúng

được viết như sau

(cid:19)

e−(x−x0)/2a2

φN (x − x0) =

c HN

√

1 (cid:112)2N N !ac

(cid:19)

e−(x−x0)/2a2

c HN (cid:48)

φN (cid:48) (x − x0) =

(cid:113)

√

(cid:18) x − x0 ac (cid:18) x − x0 ac

2N (cid:48) N (cid:48)!ac

→ x = (ac.t + x0) nên dx = acdt;.

Để xác định φN (x − x0) và φN (cid:48) (x − x0), ta đặt t = x−x0 ac

Do đó, ta suy ra

φN (x − x0) = BN e−t2/2HN (t) N (cid:48) e−t2/2HN (cid:48) (t) φ∗ N (cid:48) (x − x0) = B∗

nên

(cid:90) +∞

µαα(cid:48) = eB∗

N (cid:48) BN

−∞ (cid:26)

(cid:90) +∞

e−t2/2HN (cid:48) (t)(ac.t + x0)e−t2/2HN (t)acdt (cid:90) +∞

= eB∗

te−t2

e−t2

(cid:27) .

HN (cid:48) (t)HN (t)dt + x0

HN (cid:48) (t)HN (t)dt

N (cid:48) BN ac

−∞

Ở đây, ta đã đặt

(cid:90) +∞

te−t2

I1 =

HN (cid:48) (t)HN (t)dt

−∞ (cid:90) +∞

e−t2

I2 =

HN (cid:48) (t)HN (t)dt.

−∞

Áp dụng các biểu thức tính tích phân trong [79] có dạng

(cid:90) +∞

(cid:18)√

(cid:48)

(cid:19)√

√

xe−x2

!)1/2

Hn(cid:48) (x)Hn(x)dx = (2n+n(cid:48) −1n!n

n + 1δn(cid:48) ,n+1 +

nδn(cid:48) ,n−1

−∞ (cid:90) +∞

(cid:48)

e−x2

n!n

!)1/2√

Hn(cid:48) (x)Hn(x)dx = (2n+n(cid:48)

πδn,n(cid:48) .

−∞

Từ đó, thực hiện tính được

(cid:90) +∞

√

(cid:18)√

(cid:48)

(cid:19)√

te−t2

!)1/2

I1 =

N + 1δN (cid:48) ,N +1 +

N δN (cid:48) ,N −1

HN (cid:48) (t)HN (t)dt = (2N +N (cid:48) −1N !N

−∞ (cid:90) +∞

(cid:48)

e−t2

N !N

!)1/2√

I2 =

HN (cid:48) (t)HN (t)dt = (2N +N (cid:48)

πδN,N (cid:48) ,

−∞

ở đây, tích số

√

1 √

B∗

N (cid:48) BN =

1 2N +N (cid:48) N !N (cid:48)!

Vì vậy, ta tính được mômen lưỡng cực

√

(cid:0)√

µαα(cid:48) = ex0δN (cid:48) ,N +

N δN (cid:48) ,N −1 +

N + 1δN (cid:48) ,N +1

√

(cid:16)√

(cid:1) = eBαα(cid:48) (cid:17) (cid:3),

(PL4.8)

eac√ 2 Bαα(cid:48) = (cid:2)x0δN (cid:48),N + (ac/

N δN (cid:48),N −1 +

N + 1δN (cid:48),N +1

Bên cạnh đó, ta cũng xác định được thành phần ma trận ở trạng thái dừng do tương tác hạt

mang-photon là

√

→ |Mrad

2)(

|e.e.rαα(cid:48) |2 =

(cid:2)x0δN (cid:48) ,N + (ac/

N δN (cid:48) ,N −1 +

N + 1δN (cid:48) ,N +1)(cid:3)2

α,α(cid:48) |2 =

Ω2A2 0 4

(PL4.9)

αα(cid:48)

e2Ω2A2 0 4 e2Ω2A2 0 4

Thay phương trình. (PL4.9), phương trình. (PL4.1) vào phương trình. (PL4.1). Tiếp theo,

thay kết quả thu được vào phương trình. (4.1). Đồng thời, ta xét quá trình hấp thụ 2 photon

(ứng với (cid:96)=1,2). Tức là

2 (cid:88)

(cid:1)2δ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω ∓ (cid:126)ωLO)

(cid:96)=1

(cid:1)4δ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω ∓ (cid:126)ωLO)

(a0q⊥)2(cid:96) ((cid:96)!)222(cid:96) δ (εα(cid:48) − εα − (cid:96)(cid:126)Ω ∓ (cid:126)ωLO) = (cid:0) a0q⊥ (cid:0) a0q⊥ 2

1 4

Vì vậy, biểu thức của hệ số hấp thụ quang từ sẽ có dạng

(cid:88)

K(Ω) =

|V(q)|2|JN N (cid:48) (u)|2|Fn(cid:48) n(qz)|2 e2Ω2A2

B2 αα(cid:48) fα(1 − fα(cid:48) )δk(cid:48)

y,ky±qy

2π (cid:126)3Ω2

1 V0(I/(cid:126)Ω)

α,α(cid:48)

(cid:40)

(PL4.10)

Nqδ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω − (cid:126)ωLO) + (Nq + 1)δ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω + (cid:126)ωLO)

α2 0q2 ⊥ 4

(cid:21)(cid:41) .

(cid:20) Nqδ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω − (cid:126)ωLO) + (Nq + 1)δ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω + (cid:126)ωLO)

0q2 a2 ⊥ 16

Bước tiếp theo, ta thực hiện chuyển tổng theo q, α, α(cid:48) thành tích phân

(cid:90) +∞

(cid:88)

(. . .) =

dqz

(. . .)q⊥dq⊥

V0 (2π)2

−∞

(cid:90) Lx/2a2

(cid:88)

. . . =

. . .

. . . =

. . . dky =

Ly 2π

LxLy 2πa2 c

S 2πa2 c

−Lx/2a2 c

N,n

(cid:90) Lx/2a2

(cid:48)

(cid:88)

. . . =

. . . dk

. . . =

. . .

y =

Ly 2π

LxLy 2πa2 c

S 2πa2 c

−Lx/2a2 c

α(cid:48)

N (cid:48) ,n(cid:48)

= 1 vì qy = 0 và

Giả sử, nếu ta xét bài toán tại tâm vùng Brilloun thì số hạng δk(cid:48) y,ky±qy ky(cid:48) = ky. Thế nên, biểu thức hệ số hấp thụ quang từ được viết lại như sau:

(cid:19)2

(cid:90) +∞

(cid:18) S

(cid:88)

K(Ω) =

|JN N (cid:48) (u)|2q⊥dq⊥×

2π (cid:126)3Ω2

V0 (2π)2

1 V0(I/(cid:126)Ω)

2πa2 c

2πe2χ∗(cid:126)ωLO V0(cid:15)0q2 ⊥

N,n

(cid:90) +∞

(PL4.11)

B2 αα(cid:48) fα(1 − fα(cid:48) )

N (cid:48) ,n(cid:48) e2Ω2A2 0 4

|Fn(cid:48) n(qz)|2dqz (cid:40)

Nqδ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω − (cid:126)ωLO) + (Nq + 1)δ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω + (cid:126)ωLO)

−∞ a2 0q2 ⊥ 4

(cid:21)(cid:41) .

(cid:20) Nqδ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω − (cid:126)ωLO) + (Nq + 1)δ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω + (cid:126)ωLO)

0q2 α2 ⊥ 16

Để đơn giản, ta đặt

HSK =

2π (cid:126)3Ω2

e2Ω2A2 0 4

V0 (2π)2 =

(cid:126)Ω

2πe2χ∗(cid:126)ωLO V0(cid:15)0

8V0π2nrc(cid:15)2

S2 4π2a4 c

1 V0(I/(cid:126)Ω) (cid:90) +∞

(cid:90) +∞

In(cid:48)n =

|Fn(cid:48)n(qz)|2dqz,

với Fn(cid:48) n(qz) =

S2e4χ∗ωLO 0a4 c n(cid:48) (z)e±iqzzφn(z)dz φ∗

−∞

P10

X ± (cid:96) = εα(cid:48) − εα − (cid:96)(cid:126)Ω ± (cid:126)ωLO, ((cid:96) = 1, 2).

Vì vậy, biểu thức trở thành

(cid:90) +∞

(cid:88)

K(Ω) =HSK

In(cid:48)nB2

|JN N (cid:48) (u)|2q⊥dq⊥×

αα(cid:48) fα(1 − fα(cid:48) )

−∞

N (cid:48) ,n(cid:48)

N,n (cid:40)

(cid:1)

(cid:21)(cid:41) .

Nqδ (cid:0)X −

(cid:1) + (Nq + 1)δ(X +

(cid:20) Nqδ (cid:0)X −

(cid:1) + (Nq + 1)δ (cid:0)X +

1 ) +

a2 0q2 ⊥ 4

0q2 α2 ⊥ 16

Để thu được biểu thức của hệ số hấp thụ quang từ, ta lần lượt tính các số hạng trong (PL4.11),

cụ thể như sau

(cid:19)N (cid:48) −N (cid:20)

(cid:19)(cid:21)2

(cid:90) +∞

cq2

⊥/2)

e−(a2

* Tính:

I3 =

q⊥dq⊥

LN (cid:48) N

q⊥dq⊥|JN N (cid:48) (u)|2 =

N ! N (cid:48)!

(cid:18) a2 cq2 ⊥ 2

Thực hiện đổi biến bằng cách ta đặt x = a2

= q⊥dq⊥, và áp dụng các biểu thức

cq2 2 → dx ⊥

a2 c

trong [90]. Kết quả thu được

(cid:21)2

(cid:90) +∞

(x)

dx. =

e−x(x)N (cid:48) −N

→ I3 =

(cid:20) LN (cid:48) −N N

N ! N (cid:48)!

(N + N (cid:48) − N )! N !

1 a2 c

Tương tự, ta cũng tính được các tích phân

(cid:19)N (cid:48) −N (cid:20)

(cid:19)(cid:21)2

(cid:90) +∞

cq2

⊥/2)

e−(a2

* Tính:

I4 =

LN (cid:48) N

⊥dq⊥|JN N (cid:48) (u)|2 = q3

q3 ⊥dq⊥

N ! N (cid:48)!

(cid:18) a2 cq2 ⊥ 2

(cid:48)

(N + N

+ 1),

0 2 a4 c

và tích phân bao phủ được cho bởi biểu thức

(cid:90) +∞

* Tính:

I5 = In(cid:48)n =

dqz|Jn(cid:48) n(qz)|2

−∞

Vậy, ta xác định được biểu thức của MOAC có dạng

(cid:88)

KLO =

C(λ)In(cid:48),n(P1 + P2)

4πe2(cid:126)ωLO (cid:15)0χ∗V0α2 c

N,n

N (cid:48),n(cid:48)

N (cid:48)(cid:48)

(cid:40)

(cid:88)

C(λ)|In(cid:48)n|

Nqδ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω − (cid:126)ωLO) + (Nq + 1)δ (εα(cid:48) − εα − (cid:126)Ω + (cid:126)ωLO)

4πe2(cid:126)ωLO (cid:15)0χ∗V0α2 c

N,n

(cid:48)

(cid:21)(cid:41) .

(N + N

+ 1)

N (cid:48) ,n(cid:48) (cid:20) Nqδ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω − (cid:126)ωLO) + (Nq + 1)δ (εα(cid:48) − εα − 2(cid:126)Ω + (cid:126)ωLO)

α2 0 8a2 c

P11

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM TUẤN VINH

NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG

ELECTRON-PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG

TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Huế, 2021

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM TUẤN VINH

NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG

ELECTRON-PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG

TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 9 44 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

PGS. TS. LÊ ĐÌNH PGS. TS. LƯƠNG VĂN TÙNG

Huế, 2021

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

2. Mục tiêu nghiên cứu

3. Nội dung nghiên cứu

5. Phạm vi nghiên cứu

6. Ý nghĩa khoa học của luận án

7. Cấu trúc của luận án

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1. Tổng quan về đối tượng và phương pháp nghiên cứu

1.1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử

1.2. Tổng quan về phương pháp chiếu toán tử

1.3. Phương pháp hàm Green biểu diễn qua lý thuyết

nhiễu loạn

1.4. Phương pháp profile

Kết luận chương 1

Chương 2. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng

lượng tử thế tam giác

2.1. Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế tam giác

2.2. Kết quả tính số và thảo luận

Kết luận chương 2

Chương 3. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng

lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

3.1. Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặt biệt

3.2. Kết quả tính số và thảo luận

Kết luận chương 3

Chương 4. Cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

thế tam giác

4.1. Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế tam giác

4.2. Kết quả tính số và thảo luận

Kết luận chương 4

Chương 5. Cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

thế hyperpol bất đối xứng đặc biệt

5.1. Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính và phi tuyến trong

giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt

5.2. Kết quả tính số và thảo luận

Đường 1 Đường 2 Đường 3 Đường 4 0.31 −0.03 −0.001 0.995

Các thông số β1 (meV) β2 (meV nm−1) β3 (meV nm)

Kết luận chương 5

KẾT LUẬN CHUNG

Danh mục các công trình khoa học đã công bố liên quan

đến kết quả nghiên cứu của luận án

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

Tiếng Anh:

PHỤ LỤC

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính