BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Cao Thắng
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH
ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ
KỸ THUẬT
Hà Nội – 2019
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lưu Xuân Hùng
GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh
Phản biện 1: …
Phản biện 2: …
Phản biện 3: ….
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng
… năm 2019.
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò quan trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như tuổi thọ của các công trình, máy móc. Hiện nay, hệ nhiều bậc tự do được sử dụng trong hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx] trong tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC). Qua đó đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng hoặc ồn màu. Đánh giá sai số của tiêu chuẩn thông qua việc so sánh các mô men đáp ứng bậc hai gần đúng với các giá trị chính xác hoặc thu được bằng các phương pháp tin cậy khác.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mô phỏng Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số: dựa trên quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa. Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm
2
nghiệm mô phỏng đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Đã phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương - một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất của Dao động ngẫu nhiên. Cụ thể đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do.
- Đã xây dựng hệ phương trình khép kín để xác định các mô men đáp ứng bậc hai. Khảo sát và đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn nói trên cho nhiều hệ phi tuyến chịu kích động ồn trắng hoặc ồn màu.
- Kết quả của luận án có khả năng sử dụng trong việc tính toán
các hệ kỹ thuật phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên.
5. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương nội dung, phần kết luận, danh mục công trình công bố, tài liệu tham khảo và phụ lục.
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT
XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO
ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực
hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện
biến cố M, ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số
f M P M
)
(
)
lim ( n
phép thử n tăng vô hạn.
(1.1)
3
Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r
của phép thử, ta liên kết nó với một số thực X(r) sao cho:
a) tập hợp X x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,
b) xác suất của biến cố X = bằng không:
PX = = 0 (1.2)
Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của X là
xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x:
F(x) = P[X x] (1.3)
1.2 Quá trình ngẫu nhiên
Trong mục này trình bày các nội dung sau: Hàm mật độ xác suất;
Mô men bậc cao; Kỳ vọng toán; Trung bình bình phương; Phương
sai; Hàm tự tương quan và hiệp phương sai.
1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Trong mục này trình bày các nội dung sau: Quá trình ngẫu nhiên
dừng và Ergodic; Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss; Quá trình
ồn trắng; Quá trình ồn màu; Quá trình Wiener và quá trình Markov.
1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động
ngẫu nhiên
Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là
các phương pháp rất có hiệu quả. Trong luận án đã lựa chọn một số
phương pháp liên quan để trình bày chi tiết [29-31]:
- Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé).
- Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK).
4
- Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên.
- Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên.
1.5 Phương pháp phương trình Fokker – Planck - Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên
1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên
Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu và được trình bày trong nhiều sách giáo khoa [26–33]. Việc phân tích dao động dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp thích hợp. Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính tương đương là một phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo tồn một số tính chất thiết yếu của hệ phi tuyến gốc. Phương pháp này đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42, 43] và được tóm tắt trong các chuyên khảo [29] và [44]. Mặc dù độ chính xác của của phương pháp TTHTĐ có thể không cao, nhưng điều này được khắc phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43]. Canor et al. [45] cũng đã viết: Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất chung phổ quát để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn. Phương pháp TTHTĐ đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên cứu. Một cách TTHTĐ dựa trên phương pháp giải tích được phát triển trong [46, 47] để phân tích các hệ khai thác năng lượng phi tuyến. Hệ dao động phi tuyến của thiết diện cánh được nghiên cứu trong [48, 49] bằng cách sử dụng phương pháp TTHTĐ. Silva - Gonzlez và cs. [52] đã sử dụng phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên để nghiên cứu hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn.
Tại Việt Nam luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4] đã phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương
5
pháp TTHTĐ ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Trong Luận án của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp TTHTĐ cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên. Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án tiến sĩ về vấn đề phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó nghiên cứu dao động tuần hoàn phi tuyến bằng phương pháp TTHTĐ [6]. Trong luận án tiến sĩ năm 2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi tập trung đáp ứng của hệ. Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này, trong luận án do NCS thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Trong việc phát triển này sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx].
Kết luận chương 1
Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản
của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một số phương pháp phân
tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Một số kết quả nghiên cứu về
dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được
tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo.
6
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG
ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG
BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ
2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển
Ta trình bày phương pháp TTHTĐ cho hệ dao động ngẫu nhiên
phi tuyến một bậc tự do dạng [9, 29, 44]:
x
2
hx
x
( , ) g x x
t ( )
2 0
(2.10)
( )t
trong đó x , x và x là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc; h là hệ
( , )
g x x là hàm phi tuyến, 2 ;
số giảm chấn,
là kích động ồn trắng 0 là tần số dao động riêng ứng với
( , ) 0
. Phương trình TTHTĐ của (2.10) như sau: dừng Gauss có cường độ g x x 0h ,
x
2
hx
x bx
kx
t ( )
2 0
(2.11)
trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình
giữa (2.10) và (2.11) phải thỏa mãn tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung
S
( , ) g x x
bx
kx
2
k d
min b k ,
bình bình phương sai số phương trình do Caughey [10] đề nghị: (2.14)
0;
0
S kd b
S kd k Giả thiết nghiệm là quá trình ngẫu nhiên dừng nên đáp ứng x , x
Từ đó: (2.15)
,
là độc lập, nghĩa là
k
b
2
2
xx , giải hệ phương trình (2.15) thu được: 0 xg x x , xg x x x x
, (2.17)
Phương trình (2.11) và (2.17) lập thành hệ phương trình xác định
3 ẩn số x(t), b, k. Thuật toán lặp thường được áp dụng được
7
2
2
x
,
x
đề xuất bởi Atalik và Utku [59] như sau:
a) Gán giá trị ban đầu cho các mô men bậc hai .
b) Dùng (2.17) để xác định các hệ số tuyến tính.
2
2
x
,
x
c) Giải phương trình (2.11) để tìm mô men bậc hai tức thời mới
.
d) Lặp lại b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định.
Ta xét hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên:
,
,
(2.20)
Mx + Cx + Kx + Φ x, x x = Q t
chuyển dịch
M
K
C
m
k
,
,
n n
n n
n n
ij trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng;
,
trong đó x - véc tơ gia tốc, x - véc tơ vận tốc và x - véc tơ là các ma c ij
ij Φ x, x x - véc tơ là véc tơ quá trình ồn trắng có trung bình
Q t
hàm phi tuyến,
không và ma trận mật độ phổ trong đó
ijS là hàm S S ij n n jQ . Ta có hệ TTHTĐ như iQ và mật độ phổ chéo của hai phần tử
sau:
e
e
,t
(2.21)
e M + M q C + C q K + K q Q
e
e
e
trong đó
M , C , K là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng
tương đương. Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký hiệu để
q t trong phương
x t
chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của
trình phi tuyến gốc (2.20). Sai số giữa hệ (2.20) và hệ (2.21) là
e
e
e
(2.22)
e Φ q, q, q M q + C q + K q
.
Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa
e
e
của trung bình bình phương sai số e theo
e M , C , K :
(2.24)
T e e
min .
e
e
e
E
M ,C , K
8
Trong đó kỳ vọng trong vế trái của (2.24) được tính theo hàm
mật độ xác suất đồng thời của (2.21). Atalik và Utku (1976) [59] cho
thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau:
T
T
e
e
(2.25)
e zz M C K
E
E
T zΦ z
,
2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến
Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến
tính hóa tương đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24, 20-24, 67, 68].
2.3 Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể
Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới
gọi là Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng
thể. Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do dạng:
x
2
hx
( , ) x g x x
t ( )
2 0
(2.47)
trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương
trình tuyến tính hóa tương đương của (2.47) có dạng:
x
2
hx
x
x
x
t ( )
2 0
(2.48)
trong đó λ, μ là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình
giữa (2.47) và (2.48) sẽ là:
x
x
, xxe
, xxg
(2.49)
2
e
x x P x x dxdx ( , ( ,
)
)
min ,
Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44] (2.51)
P x x là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x :
Trong đó ( , )
9
)
(
)
(
,
.
xxxg , 2
x
, xxxg 2 x
(2.53)
,
Do khoảng tích phân trong (2.51) là ( ), tiêu chuẩn
(2.51) được gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể.
Với giả thiết rằng phép lấy tích phân cần tập trung để cho nghiệm
chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số bình
x
0
0
2
e
x x P x x dxdx ( , ( ,
)
)
min ,
x
x
0
0
phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]: x (2.54)
0, xx
r
0 đổi cho các biến không thứ nguyên
trong đó
x 0
r x x là độ lệch chuẩn của x và x :
x và
với r là một là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến 0,x x
r
r
x
x
2
2
[
e
(
x x ,
)]
e
(
x x P x x dxdx ,
)
(
)
,
m in ,
r
r
x
x
số dương nào đó, (2.55)
r
r
x
x
[ . ]
( . )
P x x d x d x )
(
,
r
r
x
x
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương: (2.56)
)
Tương tự ta có:
r ( )
,
r ( )
.
g x x x ( , 2
) g x x x ( , 2
x
x
(2.57)
( ), r
r ( )
Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là hàm số của r, .
Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị cho r thay đổi trên ,có thể chọn bằng toàn miền giá trị không âm và các hệ số TTH
giá trị trung bình toàn thể như sau [24]:
10
s
r ( )
r dr ( )
,
Lim s
1 s
0
s
r ( )
r dr ( )
.
Lim s
1 s
0
(2.60)
Ta thu được từ LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC).
Tiếp theo, ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do:
z
zg
tf
T
z
z
,...,
2
z z , 1
n
(2.61)
là vec tơ các biến trạng thái, n là số tự nhiên, g là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu nhiên chuẩn có giá trị trung bình bằng không.
Ký hiệu:
ze
zgz
tf
(2.62)
Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong (2.62) như sau:
z
Az
Az
zg
tf
(2.64)
A
ze ija dừng của phương trình tuyến tính sau:
Trong đó là ma trận n×n. Gọi vector y là một lời giải
y
Ay
0 tf
(2.65)
Ay
yg
(2.66) Từ (2.64) và (2.65) ta có: ye
Ký hiệu p(y) hàm mật độ PDF của véctơ đáp ứng y của phương
y
y
1
0 n
yn
0 y 1
trình (2.65). Theo tiêu chuẩn LOMSEC ta có:
e
dyypy
i,j = 1,…,n
y
2 i
2 i
y
n
0 y 1 y
1
0 n
yn
,min a ij
e Ta có:
11
T
T
A
yy
yyg
1
(2.72)
Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề
a
a
(
,
y
,.....
y
)
ij
ij
0 y 1
0 2
0 n
0 n
....
a
(
,
y
,.....
y
)
.....
dy
ij
0 y 1
0 2
0 n
0 dy dy 1
0 2
0 n
Lim ,..... y
0 y y , 1
0 2
0 n
.....
y
1 0 0 y y 2 1
0 n
0 y 1 0
y 0
xuất bởi Atalik và Utku [59]. Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC), các hệ số TTH aij có thể chọn bằng giá trị trung bình toàn thể như sau:
Kết luận chương 2
Chương hai đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ một
và nhiều bậc tự do. Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong
các bài báo [1,6] trong Danh sách các công bố của luận án.
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG
PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO
3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ phi tuyến
3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng
2
2
3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
x
1
x
d
x
x
x
t
(3.6) Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng:
Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ [29, 44]:
12
2
2
2
2
C
exp
x
x
0.5
x
x
p x x ,
2
d
Prob
(3.7)
a
trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu được chọn a x a
,
aa, x a
sẽ được xác định theo công thức: p x x dx dx
a
a
(3.8) trước khi đó vùng Prob
Prob
0.98
và xét tham số d = 2 trong a x a khi tham số phi tuyến thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (Bảng 3.2). Từ Bảng 3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a]
Giả sử ta chọn
trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98. Các quan sát cho thấy miền đáp ứng co lại khi tham số phi tuyến tăng thể hiện trên Bảng 3.2. và Hình 3.2 như sau.
Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo
0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100
4
0.04 p 0.02
1
2
0
0.4 0.3 p 0.2 0.1 0
0
0
x(cid:0)
-4 -4
x(cid:0)
-1 -1
-2 -2
-2
0 0
0 0
-1
x x
2 2
x x
-4
1 1
4 4
a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07
của hệ cản phi tuyến, (=0.1; 100) a. =0.1 b. =100 Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF
13
3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC)
3
3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba
x
x
2
x
t
2 o
(3.11) Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:
h x
h là các số thực dương,
,
,
,o
t
trong đó là ồn trắng.
x
2
x
Hệ phi tuyến sẽ thay bằng phương trình tuyến tính tương đương
h b x
t
2 o
(3.12)
với b là hệ số tuyến tính hóa.
2
x
2 h b
2 2
2 o
Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của (3.12) là
(3.13)
Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển:
b
x h
6
2
(3.15)
s
r
2
2
dr
2.4119 * 2
h
x
b
b r ( )
2
h
x
Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ bằng:
Lim s
r
T 1 2, s T 1, 0
(3.22)
2
h
h
2
Thay hệ số tuyến tính hóa (3.22) vào công thức nghiệm (3.13) ta có:
x
GL
2 * 2.4119
2 2.4119 h 2 h o
(3.23)
Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm xác định bằng
14
2
x
ENL
2
2
phương pháp phi tuyến hóa tương đương [29]. Sai số tương
x
x
kd
GL
2
đối giữa tính theo phần trăm giữa các nghiệm xấp xỉ ,
x
ENL
2
2
2
2
x
x
x
x
cx
cx
*100%,
*100%
Err (
C
)
Err (
GL
)
2
2
kd x
GL x
cx
cx
so với nghiệm chính xác tính theo công thức (3.24):
2
(3.24)
x
GL
2
Trong Bảng 3.4, kết quả cho thấy nghiệm có độ chính
x
kd
xác tốt hơn so với nghiệm , cụ thể sai số lớn nhất của
GLOMSEC chỉ là 1.93%.
h
0.05,
1,
h 4
Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi
o
(
)
Err (
GL
)
2
2
2
x
x
x
tuyến với , và γ thay đổi
ENL
kd
GL
CErr %
%
γ
1 0.4603 0.4342 5.61 0.4692 1.93
3 0.3058 0.2824 7.65 0.3090 1.05
5 0.2479 0.2270 8.32 0.2495 0.77
8 0.2025 0.1844 8.99 0.2032 0.35
10 0.1835 0.1667 9.16 0.1839 0.22
3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ồn trắng
2
Xét dao động Van der Pol được mô tả bởi phương trình
x
x
x
t
2 o
x
(3.25)
15
,
,
là các số thực dương,
t
,o
trong đó là kích động ồn
2
bằng hàm tuyến tính bx , trong đó b là hệ số TTH.
,
g x x
x x
trắng Gauss cường độ đơn vị. Ta thay hàm phi tuyến của lực cản
x
x
b x
t
2 o
2
x
b
(3.26)
(3.29)
Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển sẽ bằng
s
r
2
2
Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ bằng:
b
b r ( )
x
dr
0.8371
x
Lim s
r
T 1 1, s T 0, 0
2
(3.34)
x
GL
của hệ Van der Pol Dịch chuyển bình phương trung bình
1
2
2
x
(3.25) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC:
GL
1,6742
2 1,6742 2 o
2
2
(3.36)
x
GL
2
2
Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng , Monte Carlo, [29]. Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ
x
x
kd
MC
so với nghiệm mô phỏng tính theo công thức (3.24).
(
)
Err (
GL
)
2
2
2
x
x
x
2
MC
kd
GL
CErr %
%
der Pol với α*ε=0.2; Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van 0 =1; * =2; σ2 thay đổi.
0.02 0.2081 0.1366 34.33 0.1574 24.32
0.20 0.3608 0.2791 22.46 0.3113 13.52
16
1.00 0.7325 0.5525 24.58 0.6095 16.79
2.00 1.0310 0.7589 26.40 0.8349 19.02
2
4.00 1.4540 1.0513 27.70 1.1544 20.61
x
GL
2
Trong bảng 3.5, kết quả có độ chính xác tốt hơn so với
x
kd
, trong đó các giá trị sai số lớn nhất tương ứng là 24.32% so
với 34.33%.
3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên
3
Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:
x
2
hx
x
x
t
2 o
(3.37)
2
2
4
x
exp
x
x
dx
2 o
h 4 2
1 2
1 4
2
x
Các ký hiệu giống như ví dụ trước. Nghiệm chính xác [29, 44]
c x
2
4
exp
x
x
dx
2 o
4 h 2
1 2
1 4
(3.39)
x
2
hx
x
kx
Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là:
t
2 o
(3.40)
Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình
s
s
r
2
k
k r ( )
k r dr ( )
x
dr
Lim s
Lim s
1 s
1 s
T 2, T 1,
r
0
0
s
r
2
2
x
dr
2.4119
x
Lim s
r
T 1 2, s T 1, 0
địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng:
(3.48)
17
2
x
GL
Dịch chuyển bình phương trung bình của hệ Duffing
2
x
2.4119
(3.37) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC::
4 o
2 o
GL
1 2 * 2.4119
2 h
2
2
(3.49)
x
x
GL
kd
2
Sai số tương đối giữa nghiệm xấp xỉ , với nghiệm
x
xc
h
0.25,
1,
chính xác được tính theo (3.24) và trình bày trong Bảng 3.6.
o
(
)
Err (
GL
)
2
2
2
x
x
x
xc
kd
GL
CErr %
%
Duffing với Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động ;theo hệ số đàn hồi phi tuyến 1
0.8176 0.8054 1.49 0.8327 1.857 0.1
0.4680 0.4343 7.194 0.4692 0.263 1.0
0.1889 0.1667 11.768 0.1839 2.626 10
100 0.0650 0.0561 13.704 0.0624 4.076
Kết quả cho thấy nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh điển có độ chính xác tốt với hệ số đàn hồi phi tuyến nhỏ, sai số tăng lên trên 13% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên. Độ chính xác
của tiêu chuẩn GLOMSEC là tốt hơn với sai số lớn nhất là 4.1%.
3.2. 4. Hệ Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
3.2.5. Dao động của tàu thủy
Chuyển động lăn của tàu trong sóng ngẫu nhiên đã được xét bởi
2
[55], [56], [57]. Phương trình chuyển động của tàu có dạng [56-57]
( )D t
2
(3.63)
18
ec
D t ( )
2
Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay bằng hệ tuyến tính (3.66)
ec theo tiêu chuẩn GLOMSEC:
s
s
r
e
2 1/ 2
c
e c r ( )
e c r dr ( )
{ } E
dr
1.49705
E {
2 1/ 2 }
Lim s
Lim s
1 s
r
0
T 1 3 , t s T 1, 0
Hệ số tuyến tính hóa
2/3
E
E
0.76415
2 1/ 2
2
2
GL
GL
D e c
D { } E
1.49705
D
Mô men bậc 2 của đáp ứng theo tiêu chuẩn GLOMSEC là:
2/3
E
E
0.7323
2 1/2
2
2
C
C
D e c
D { } E
1.5958
D
Mô men bậc 2 của đáp ứng theo tiêu chuẩn kinh điển là:
2/3
E
E
0.765
2
2
ENL
ENL
D
Mô men bậc 2 theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương là:
4.314%;
0.130%
Err (
C
)
Err (
GL
)
Sai số tương đối của nghiệm tính theo tiêu chuẩn kinh điển và tiêu chuẩn GLOMSEC so với nghiệm tính theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương theo công thức (3.24), ta có:
Kết quả cho thấy rằng lời giải của GLOMSEC phù hợp với lời
giải của ENL. Như vậy GLOMSEC mang lại một sự cải thiện đáng
kể về tính chính xác của lời giải so với tiêu chuẩn kinh điển.
Kết luận chương 3
Trong chương 3 đã ứng dụng Tiêu chuẩn GLOMSEC để phân
tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến ngẫu
nhiên một bậc tự do. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi
19
bật của kỹ thuật được đề xuất trong tiêu chuẩn GLOMSEC. Các kết
quả được trình bày trong [1,3,5], Danh sách các công bố của luận án.
CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG
PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO
4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do
Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do được mô tả bởi hệ
3
3 x 1 1
x 2
3
1 0
1 0 0 1
x 1 x 2
0 1 2
x 1 x 2
x 1 x 2
w t ( ) 1 w t ( ) 2
a 2 2
2 1 a
3 x 2 22
b x 1 b x 2
x 1
(4.1)
,
,
phương trình sau [77]
(i=1, 2) là các hằng số.
w t w t ( ) ( ),
1
2
i
i
i
trong đó:
a b , , trình ồn ) ( ) 2 S i
i
2
1
là trung bình bằng không và ,S S = ( ) là hàm Delta Dirac,
1 0
e c 11
x 1 x
0 1
2
x 1 x 2
w t ( ) 1 w t ( ) 2
1 e c 21
e c 12 2
1
e c 22
e k 11 e 21
a k 2 2
e 12 e k 22
2 1 a k
(4.4)
,
k
;
i j ( ,
1,2)
các quá trắng, (i=1, 2), E w t w t ( ( ) i const. Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là
x 1 x 2 e trong đó c ij
e ij
là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số
giữa hệ phi tuyến gốc và hệ tuyến tính hóa tương đương sẽ là
e
e
x x ( ,
)
(4.5)
C X K X
3
3 x 1 1
x 2
( , ) x x
3
2
1
3 x 2 22
b x 1 b x 2
x 1
e
e
(4.6)
X
C
;
X
;
K
;
x 1 x
x 1 x 2
2
e c 11 e c 21
e c 12 e c 22
e k 11 e k 21
e k 12 e k 22
;
20
2
n
m
1
,x x là độc lập với . Áp dụng
i 0 (
)
j
1 2 x j
2 E x i
Để đơn giản hóa việc tính toán, ta giả thiết 1 nhau. Sử dụng phụ lục và lưu ý
s
r
Tiêu chuẩn GLOMSEC ta xác định:
r ( )
dr
e c 11
e c 11
1
2 E x Lim 1
s
r
T 1 2, s T 1, 0
s
r
c
c
r ( )
dr
e 22
e 22
2
2 E x Lim 2
s
r
T 1 2, s T 1, 0
s
s
r
r
r ( )
dr
3
dr
.
e k 11
e k 11
2 b E x Lim 1
s
2 E x Lim 2
s
r
r
T 1 2, s T 1, 0
T 1 1, s T 0, 0
s
s
r
r
r ( )
dr
3
dr
.
e k 12
e k 12
2 b E x Lim 2
s
2 E x Lim 1
s
r
r
T 1 2, s T 1, 0
T 1 1, s T 0, 0
s
s
r
r
k
k
r ( )
dr
3
dr
.
e 21
e 21
2 b E x Lim 1
s
2 E x Lim 2
s
r
r
T 1 2, s T 1, 0
T 1 1, s T 0, 0
,
s
s
r
r
k
k
r ( )
dr
3
dr
.
e 22
e 22
2 b E x Lim 2
s
2 E x Lim 1
s
r
r
T 1 2, s T 1, 0
T 1 1, s T 0, 0
(4.11)
s
s
r
r
dr
0.83706
dr
2.41189
lim s
lim s
r
r
T 1 2, s T 1, 0
T 1 1, s T 0 0
Các giới hạn trong (4.11) sẽ bằng:
(4.12) ,
Để đánh giá lời giải gần đúng trong khi hệ phi tuyến gốc không
có lời giải chính xác, ta sử dụng hàm mật độ xác suất gần đúng theo
phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL) [77]. Bảng 4.1 trình
bày các mô men đáp ứng bậc hai gần đúng cũng như các sai số tương
đối của chúng so với các lời giải theo phương pháp ENL
21
2
1
,x x theo
2
1
. 0 1
2
1
2
)
)
(
)
(
Err (
GL
)
2 E x
2 E x
2 ENL
1 ENL
2 E x 1 GL
2 E x 2 GL
CErr %
CErr ( %
GLErr %
2 E x 1 C
%
2 E x 2 C
, 1 2
0.1 1.573
1.216
22.68 1.407
10.54
1.573
1.151 26.83 1.327
15.64
1
0.496
0.422
15.07 0.488
1.59
0.496
0.370 25.51 0.419
15.50
5
0.253
0.220
13.19 0.254
0.268
0.253
0.205 19.19 0.234
7.573
10 0.194
0.171
12.07 0.197
1.533
0.194
0.162 16.48 0.186
4.178
Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của a b S với 1
Ta thấy rằng GLOMSEC mang lại sự cải thiện tốt về độ chính
xác của lời giải, đặc biệt khi tính phi tuyến vừa và mạnh.
4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
Việc đưa hệ 1 bậc tự do chịu kích động ồn màu vào Chương 4 là
vì quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả là một quá trình ồn trắng
đi qua bộ lọc vi phân bậc hai. Phương trình dao động được giải cùng
với phương trình bộ lọc do vậy có thể xem như hệ nhiều bậc tự do.
4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu
nhiên ồn màu
3
4.2.2. Hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
z
z
z
)
f
f
f
f
w
Ta xét hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như sau 2 z ( (4.41)
. (4.22) với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu 2 2 f f
cx
x
f
Phương trình phi tuyến dược thay thế bằng phương trình TTHTĐ (4.27) kx
22
Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC:
k
2
2.41189
,
c
.
2 2 x
(4.45)
2 2
3
k
c
,x
2
(4.46) Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển: 2
2.5
k
c
2
2
(4.50) Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn cân bằng năng lượng: 2 2 ,x
2
Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2 ,x C so với ,x GL ,
2
và trình bày trong bảng 4.3. Kết quả cho thấy nghiệm
,x E ,x GL có độ ,x C , cụ thể đối với sai số lớn
chính xác tốt hơn nhiều so với nghiệm
2
, ,S,
,
1
nhất tương ứng là 2.392% so với 11.398%.
2 f
2
2
2
,x C
,x E
%GLErr
,x GL
%CErr
Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với , thay đổi.
0.1 1.86038 1.75024 5.920 1.88195 1.159
0.66376 0.60015 9.583 0.67688 1 1.977
0.16687 0.14855 10.979 0.17072 10 2.307
100 0.03720 0.03296 11.398 0.03809 2.392
4.2.3. Hệ Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ồn màu
Ta xét hệ Duffing có cản phi tuyến bậc 3 chịu kích động ngẫu
3
3
z
z z
z
f
nhiên ồn màu như sau
(4.51)
với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác định bởi (4.22).
Phương trình phi tuyến được thay thế bằng phương trình TTHTĐ
(4.27).
23
Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC:
k
2
2.41189
,
c
2.41189
.
2 x
2 x
(4.54)
Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển:
k
2
,
c
.
2 3 x
2 3 x
2
2
(4.55)
2
Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ
2
nghiệm mô phỏng Monte Carlo
,x C so với ,x GL , ,x MC và trình bày trong Bảng 4.4. ,x GL có độ chính xác tốt hơn so với
2
Kết quả cho thấy nghiệm
,x C thu được bằng phương pháp kinh điển.
1
,
nghiệm
2 , , ,S, f
Bảng 4.4. Mô men bậc hai của đáp ứng với
2
2
2
,x C
thay đổi.
,x MC 2.62060 0.82554 0.22073 0.05138
%CErr 18.302 20.084 25.642 30.841
,x GL 2.46218 0.76111 0.19043 0.04067
%GLErr 6.045 7.805 13.727 20.845
0.1 1 10 100 2.14097 0.65974 0.16413 0.03502
Kết luận chương 4
Trong chương 4 đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều bậc tự do và hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Các kết quả trong chương 4 được trình bày trong [1,2,4,6] trong Danh sách các công bố của luận án.
24
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận của luận án
Kết luận chung
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) là một trong
những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất, một phương pháp hữu
hiệu đối với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi
tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này
giảm đáng kể. Luận án tập trung nghiên cứu phát triển phương pháp
TTHTĐ để cải thiện sai số khi phân tích dao động phi tuyến.
Những đóng góp mới của luận án
- Đã xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
- tổng thể (GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự
do chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng.
- Đã ứng dụng tiêu chuẩn trên để phân tích mô men đáp ứng bậc hai
cho một số hệ dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích
động ngẫu nhiên ồn trắng.
- Đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương
– tổng thể (GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc
tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp.
- Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của tiêu chuẩn
GLOMSEC là tiêu chuẩn GLOMSEC cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ
khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu
nhiên có tính phi tuyến trung bình và lớn.
2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Các kết quả nghiên cứu của luận án có thể được phát triển cho các
hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ồn màu, hệ dao động chịu
đồng thời kích động ngẫu nhiên và kích động tham số, hệ cơ điện tử.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
1. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Performance analysis of global-local mean square error criterion of stochastic linearization for nonlinear oscillators, Vietnam Journal of Mechanics, 2019, Vol. 41, No. 1, pp.1-15, DOI: https://doi.org/10.15625/0866-7136/12015.
2. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, A new stochastic linearization technique for nonlinear oscillators under colored noise excitation, 10th National Conference on Mechanics, 2017, Vol. 1, pp.211-220, Hanoi.
3. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Analysis of randomly excited nonlinear oscillators by the global-local mean square error criterion, 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), 2016, pp.197-204, Hanoi.
4. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Extension of Global-local mean square error criterion to nonlinear oscillators under narrow band excitation, J. of Multidisciplinary Engineering Science Technology, 2016¸ 3, Iss. 11, pp.6000-6005 (Tạp chí quốc tế).
linearization for
5. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, A new improvement of stochastic nonlinear Gaussian equivalent oscillators, 2nd National Conference on Mechanical Engineering and Automation, 2016, pp.274-280, Hanoi.
6. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, N.C. Thang, Global-local mean square error criterion for equivalent linearization of nonlinear systems under random excitation, Acta Mechanica, 2015, 226, N9, pp.3011-3029, DOI: 10.1007/s00707-015-1332-4 (Tạp chí SCI).
