Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu khuếch tán đồng thời tạp chất và sai hỏng điểm trong silic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ BÁ DŨNG NGHIÊN CỨU KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI TẠP CHẤT VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG SILIC

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

HÀ NỘI - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ BÁ DŨNG

1

NGHIÊN CỨU KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI TẠP CHẤT VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG SILIC

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn

Mã số: 62 44 07 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

1. PGS. TS. Nguyễn Ngọc Long

2. GS. TSKH. Đào Khắc An

HÀ NỘI – 2011

2

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................... 1

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... 2

MỤC LỤC ................................................................................................................. 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ............................................... 6

DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU ......................................................................... 6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ............................................................... 6

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 8

Chƣơng I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN ......................................................... 11

1.1. Vật liệu bán dẫn silic ..................................................................................... 11

1.1.1. Một vài tính chất cơ bản của vậtt liệu bán dẫn silic ............................... 12

1.1.2. Sai hỏng điểm trong vật liệu bán dẫn Si ................................................. 13

1.1.3. Tự khuếch tán trong vật liệu bán dẫn Si ................................................. 14

1.2. Khuếch tán tạp chất trong vật liệu bán dẫn Si ............................................... 15

1.2.1. Cơ chế khuếch tán tạp chất trong Si ........................................................ 20

1.2.2. Khuếch tán B trong Si ............................................................................. 21

1.2.3. Sai hỏng điểm sinh ra do khuếch tán tạp chất trong Si ......................... 29

1.3. Hệ số khuếch tán phụ thuộc vào nồng độ và căng mạng ............................... 23

1.3.1. Mô hình khuếch tán của S. Hu ............................................................... 23

1.3.2. Mô hình khuếch tán của N. Thai ............................................................ 23

1.3.3. Mô hình khuếch tán của ĐK. An ............................................................ 24

1.4. Những kết quả thực nghiệm về khuếch tán tạp chất và sai hỏng .................. 25

1.5. Định luật Fick và định luật Onsager .............................................................. 27

1.5.1. Mật độ dòng khuếch tán ......................................................................... 27

1.5.2. Định luật Fick ........................................................................................ 28

1.5.3. Định luật lực tổng quát và định luật Onsager ........................................ 28

1.5.4. Những mâu thuẫn của định luật Fick và định luật Onsager ................... 38

1.5.5. Thảo luận ................................................................................................ 29

1.6. Khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm trong Si ....................................... 38

1.6.1. Mật độ dòng khuếch tán theo lý thuyết Onsager .................................... 29

1.6.2. Mật độ dòng khuếch tán đồng thời của B, I và V ................................... 31

KẾT LUẬN CHƢƠNG I ...................................................................................... 33

1

Chƣơng II. SỰ TƢƠNG THÍCH GIỮA ĐỊNH LUẬT ONSAGER

VÀ ĐỊNH LUẬT FICK ........................................................................ 34

2.1. Dòng tuyệt đối và dòng thực .......................................................................... 34

2.2. Các định luật khuếch tán tuyến tính .............................................................. 36

2.3. Định luật lực tổng quát phi tuyến .................................................................. 36

2.4. Định luật định luật Onsager phi tuyến .......................................................... 37

2.5. Nguồn gốc chung của định luật Fick và định luật Onsager ........................... 37

2.6. Sự đồng nhất giữa định luật Fick và định luật Onsager................................. 38

2.7. Thảo luận ....................................................................................................... 51

KẾT LUẬN CHƢƠNG II ..................................................................................... 39

Chƣơng III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI B VÀ SAI

HỎNG ĐIỂM TRONG Si ..................................................................... 40

3.1. Hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V dạng parabolic .................................. 40

3.1.1. Hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V ................................................... 40

3.1.2. Hệ quả ..................................................................................................... 47

3.1.3. Thảo luận ................................................................................................ 50

3.2. Hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V trong trƣờng hợp giới hạn ............... 51

3.2.1. Các giả thiết ............................................................................................ 52

3.2.2. Thảo luận ................................................................................................ 56

KẾT LUẬN CHƢƠNG III ................................................................................... 56

Chƣơng IV. LỜI GIẢI SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỒNG

THỜI B VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG Si ........................................ 57

4.1. Mô hình bài toán khuếch tán đồng thời B, I và V trong Si…………..73

4.2. Phƣơng pháp giải số hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V .......................... 58

4.3. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn ...................................................................... 59

4.3.1. Phƣơng pháp sai phân bốn điểm FTCS .................................................. 60

4.3.2. Phƣơng pháp sai phân ngƣợc dòng ........................................................ 62

4.4. Lời giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V ......................... 66

4.4.1. Chƣơng trình tính toán ........................................................................... 66

4.4.2. Kết quả .................................................................................................... 67

4.4.3. Thảo luận ................................................................................................ 75

KẾT LUẬN CHƢƠNG IV………………………………………………101

Chƣơng V. MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỘNG CỦA B

2

VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG Si ...................................................... 82

5.1. Mô hình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm trong Si ......................... 82

5.2. Tốc độ khuếch tán và tần số các bƣớc di chuyển của B, I và V .................... 85

5.3. Chƣơng trình mô phỏng khuếch tán động của B, I và V ............................... 87

5.4. Kết quả ........................................................................................................... 89

KẾT LUẬN CHƢƠNG V .................................................................................... 93

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 94

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ ................................................ 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 96

PHỤ LỤC ................................................................................................................ 107

P.1. Chƣơng trình giải số hệ phƣơng trình khuếch tán của B, I và V ................. 108

P.2. Chƣơng trình mô phỏng quá trình khuếch tán động của B, I và V ............. 116

P.3. Bảng số liệu kết quả giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời của B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở nhiệt độ 10000C .................................. 127

3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt

As Arsenic atom Nguyên tử arsen

Interstitial impurity Nguyên tử tạp chất điền kẽ Ai

Substitutional impurity Nguyên tử tạp chất thế chỗ As

B Boron atom Nguyên tử bo

B0 Neutral boron impurity Tạp chất B trung hòa

B+ Positively charged boron impurity Tạp chất B tích điện dƣơng

B- Negatively charged boron impurity Tạp chất B tích điên âm

Interstitial boron impurity Tạp chất B điền kẽ Bi

Substitutional boron impurity Tạp chất B thế chỗ Bs

C Concentration Nồng độ

Boron concentration Nồng độ tạp chất B CB

Silicon interstitial concentration Nồng độ điền kẽ Si CI

Vacancy concentration Nồng độ nút khuyết CV

Suface conentration of B Nồng độ bề mặt của B

Nồng độ cân bằng của điền kẽ Si Equilibrium concentration of silicon interstitial

Equilibrium concentration of vacancy Nồng độ cân bằng của nút khuyết

D diffusivity Hệ số khuếch tán

Boron diffusivity Hệ số khuếch tán của B DB

Silicon interstitial diffusivity Hệ số khuếch tán của điền kẽ Si DI

Vacancy diffusivity Hệ số khuếch tán của nút khuyết DV

Intrinsic diffusivity Hệ số khuếch tán nội Di

Extrinsic diffusivity Hệ số khuếch tán ngoại Dx

4

Emitter Dip Effect Hiệu ứng đẩy bởi Emitter

EDE Ef(I) Interstitial formation energy Năng lƣợng hình thành điền kẽ

Ef(V) Vacancy formation energy Năng lƣợng hình thành nút khuyết

Em(I) Interstitial migration energy Năng lƣợng di chuyển điền kẽ

Em(V) Vacancy migration energy Năng lƣợng di chuyển nút khuyết

EEE Emitter Edge Effect Hiệu ứng bờ Emitter

FTBS Forward Time Backward Space Sai phân tiến theo thời gian và lùi theo không gian

FTCS Forward Time Center Space Sai phân tiến theo thời gian và trung tâm không gian

Fractional diffusion interstitial Tỷ lệ khuếch tán điền kẽ fI

Fractional diffusion vacancy Tỷ lệ khuếch tán nút khuyết fV

Gibbs free energy Năng lƣợng tự do Gibbs G

GFL General Force Law Định luật lực tổng quát

Gallium atom Nguyên tử gali Ga

Germanium atom Nguyên tử gecmany Ge

Silicon self-interstitial Tự điền kẽ silic I

Neutral self-interstitial Tự điền kẽ trung hòa I0

Positively charged self-interstitial Tự điền kẽ tích điện dƣơng I+

Tự điền kẽ tích điên dƣơng kép I++ Double dositively charged self- interstitial

Negatively charged self-interstitial Tự điền kẽ tích điên âm I-

Diffusion density Mật độ dòng khuếch tán J

Diffusion density of bron Mật độ dòng khuếch tán B JB

Diffusion density of interstitial Mật độ dòng khuếch tán I JI

Diffusion density of vacancy Mật độ dòng khuếch tán V JV

Boltzmann constant Hằng số Boltzmann K

Phenomenogical coefficient Hệ số hiện tƣợng luận L

5

Hệ số hiện tƣợng luận đối với B LBB

LII

LVV

Hệ số hiện tƣợng luận đối với điền kẽ Si Hệ số hiện tƣợng luận đối với nút khuyết Hệ số tƣơng quan của B và I LBI, LIB Phenomenogical coefficient for boron Phenomenogical coefficient for interstitial Phenomenogical coefficient for vacancy Cross-coefficient for boron and interstitial

Hệ số tƣơng quan của B và V LBV, LVB Cross-coefficient for boron and

Hệ số tƣơng quan của I và V LIV, LVI

LDE vacancy Cross-coefficient for vacancy and interstitial Lateral Diffusion Effect Hiệu ứng khuếch tán ngang

P Phosphorus atom Nguyên tử phốt pho

REDE Sb Retardation Emiter Dip Effect Antimony atom Hiệu ứng hút ngƣợc Emiter Nguyên tử ăngtimon

SIMS Si Secondery ion mass spectroscopy Silicon atom Phép khối phổ ion thứ cấp Nguyên tử silic

T Absolute temperature Nhiệt độ tuyệt đối

Vacancy Nút khuyết

Neutral vacancy Nút khuyết trung hòa

Positively charged vacancy Nút khuyết tích điện dƣơng

Negatively charged vacancy Nút khuyết tích điên âm

V V0 V+ V- V= Nút khuyết tích điện âm kép Double negatively charged vacancy

DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU

Bảng 3.1. Các biểu thức hệ số khuếch tán B phụ thuộc vào nồng độ ................ 65

Bảng 4.1. Các trị số của điều kiện ban đầu và điều kiện biên .............................. 75

Bảng 4.2. Kết quả giải số hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V ........................ 85

Bảng 5.1. Vận tốc và tần số các bƣớc di chuyển của B và I trong Si ................ 106

Bảng 5.2. Tỷ lệ xác suất các bƣớc di chuyển của B và I trong Si ...................... 107

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Ô cơ sở của mạng tinh thể Si .............................................................. 16

6

Hình 1.2. Một cấu hình nút khuyết đơn (V) trong tinh thể Si .............................. 18

Hình 1.3. Một cấu hình sai hỏng tạp chất B thế chỗ trong Si ............................. 18

Hình 1.4. Một số cơ chế khuếch tán chính trong vật liệu bán dẫn ..................... 27

Hình 1.5. Hệ số khuếch B trong Si ở các nhiệt độ và nồng độ khác nhau ............. 29

Hình 1.6a. Hai cơ chế kick-out trong Si ................................................................ 30

Hình 1.6b. Cơ chế Frank-Tirnbull và cơ chế phân ly............................................. 30

Hình 1.7. Hình ảnh sai hỏng vùng Emitter ở 1,4 μm; 1,8 μm và 2,2μm ................ 33

Hình 1.8. SFs và ring - SFs do khuếch tán B trong Si........................................... 34

Hình 1.9. Hiệu ứng đẩy bởi Emitter ....................................................................... 34

Hình 1.10. Hiệu ứng khuếch tán ngang .................................................................. 35

Hình 1.11. Miền sai hỏng dƣới miền khuếch tán ................................................... 35

Hình 1.12. Miền sai hỏng-miền căng dƣới miền Emitter của transistor ................. 36

Hình 2.1. Dòng khuếch tán tuyệt đối xuôi chiều J1 và dòng khuếch tán

tuyệt đối ngƣợc chiều J2 ..................................................................... 45

Hình 3.1. Đồ thị sự biến thiên hệ số khuếch tán hiệu dụng của B phụ thuộc vào nồng độ ở 1000oC .......................................................... 61

Hình 3.2. Đồ thị sự biến thiên hệ số khuếch tán hiệu dụng của điền kẽ Si theo độ sâu ở 1000oC ............................................................................. 63

Hình 4.1. Mô hình khuếch tán B và sai hỏng điểm trong Si.......................73

Hình 4.2. Sơ đồ sai phân tiến theo thời gian trung tâm theo không gian. ............ 76

Hình 4.3. Sơ đồ sai phân ngƣợc dòng. .................................................................. 79

Hình 4.4. Sơ đồ khối chƣơng trình tính toán. ........................................................ 84 Hình 4.5. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 800oC. ............................. 86 Hình 4.6. Phân bố B, I và V sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC. ............................. 86 Hình 4.7. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC. .......................... 87 Hình 4.8. Phân bố B, I và V sau 15 phút khuếch tán ở 1000oC. .......................... 87

Hình 4.9. Phân bố B, I và V sau 5 phút (B1, I1, V1), 10 phút (B2, I2, V2) và 15 phút (B3, I3, V3) ở 1000oC. ....................................... 88 Hình 4.10. Phân bố tự điền kẽ I trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm) .................................................. 89

Hình 4.11. Phân bố nút khuyết V trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm). ................................................. 90

Hình 4.12. Phân bố B và I trong Si sau 10 phút khuếch tán ở

7

1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm). .................................................... 90

Hình 4.13. Phân bố B và V trong Si sau 10 phút khuếch tán B ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm). ................................................. 91

Hình 4.14. Phân bố B, I và V trong Si sau 10 phút khuếch tán B ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm). .................................................. 91

Hình 4.15. Phân bố I và V trong Si sau 10 phút khuếch tán B ở 1000oC và độ sâu (0,8 μm – 1,8 μm). ............................................... 92

Hình 4.16. Phân bố B và V trong Si sau 10 phút khuếch tán B ở 1000oC và độ sâu (1,8 μm – 3,8 μm). ............................................... 92

Hình 4.17. So sánh với kết quả của A. Ural, P. Griffin và J. Plummer, sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC. .......................................................... 96

Hình 4.18. Kết quả mô phỏng khuếch tán B và sai hỏng điểm trong Si sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC theo S. T. Duham. ............................ 96

Hình 4.19. Kết quả mô phỏng phân bố sai hỏng điểm (I và V) trong Si sau 5 phút khuếch tán B ở 1000oC theo H.H. Silvestri ........................ 97

Hình 4.20. Hiệu ứng đẩy bởi Emitter ..................................................................... 99

Hình 4.21. Hiệu ứng khuếch tán ngang .................................................................. 99 Hình 4.22. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 300oC. ........................ 100

Hình 5.1. Các cơ chế di chuyển của B và I trong Si ............................................ 104

Hình 5.2. Sơ đồ khối chƣơng trình mô phỏng khuếch tán động B, I và V

trong Si ............................................................................................... 109

Hình 5.3. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = 0 ................................. 111

Hình 5.4. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = t1 ................................ 112

Hình 5.5. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = t2 ................................. 113

Hình 5.6. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = t3 ................................. 114

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Khuếch tán là một quá trình cơ bản và phổ biến của tự nhiên. Khuếch tán có

mặt trong mọi lĩnh vực của cuộc sống. Khuếch tán có vai trò quan trọng trong hầu

hết các ngành khoa học nhƣ: vật lý, hóa học, y-sinh học v.v. Khuếch tán đã từng thu

hút sự quan tâm của những nhà bác học nổi tiếng nhƣ A. Fick và A. Eistein. Khuếch

tán đóng vai trò quyết định trong khoa học về vật liệu. Từ khi W. Shockley và J.

Bardeen khám phá ra hiệu ứng transistor vào năm 1948, cùng với sự phát triển mạnh

8

mẽ của ngành công nghiệp điện tử, vi điện tử, thì khuếch tán tạp chất trong các vật

liệu bán dẫn nhƣ Si, Ge, GaAs … đã trở nên đặc biệt quan trọng. Hiện nay trên thế

giới đang thực hiện ứng dụng mạnh mẽ khuếch tán trong các hợp chất cao phân tử,

trong bảo vệ môi trƣờng, trong y-sinh học, dƣợc phẩm, mỹ phẩm, chất dẻo, cao su,

gốm sứ, các màng bảo vệ hóa chất, màng bảo vệ oxi hoá, khuếch tán thuốc và chất

dinh dƣỡng qua lớp vỏ tế bào của sinh vật và cơ thể con ngƣời v.v...

Pha tạp chất vào các vật liệu bán dẫn là một bƣớc công nghệ quan trọng trong

công nghệ chế tạo linh kiện bán dẫn và mạch IC. Sự phân bố mồng độ tạp chất và sai

hỏng điểm trong vật liệu bán dẫn quyết định đến các đặc tính và chất lƣợng của linh

kiện và mạch IC.

Quá trình khuếch tán tạp chất (dù chỉ một loại tạp chất) thì cũng là quá trình

khuếch đa thành phần. Các bằng chứng thực nghiệm đã cho thấy quá trình khuếch tán

bất kỳ một loại tạp chất nào trong vật liệu bán dẫn đều làm sinh ra các sai hỏng điểm

(điền kẽ và nút khuyết), các sai hỏng điểm tƣơng tác với nguyên tử tạp chất, khuếch

tán đồng thời với tạp chất, làm cho phân bố tạp chất và sai hỏng điểm trở nên phức

tạp hơn và bị sai khác so với khuếch tán đơn thành phần. Ngoài ra trong quá trình chế

tạo linh kiện bán dẫn và mạch IC có nhiều bƣớc công nghệ cần phải pha đồng thời

nhiều loại tạp chất khác nhau. Nhƣ vậy, hầu hết các quá trình khuếch tán tạp chất

trong vật liệu bán là các quá trình khuếch tán đồng thời tạp chất và sai hỏng điểm.

Các kết quả thực nghiệm đã cho phép dự đoán quá trình khuếch tán đồng thời tạp

chất và sai hỏng điểm là nguyên nhân trực tiếp gây ra các hiện tƣợng khuếch tán dị

thƣờng trong vật liệu bán dẫn nhƣ EDE, REDE, LDE … là những hiệu ứng làm ảnh

hƣởng nghiêm trọng đến những đặc tính và chất lƣợng của linh kiện bán dẫn. Vì vậy,

nghiên cứu khuếch tán đồng thời tạp chất và sai hỏng điểm, cùng các hiệu ứng liên

quan trong vật liệu bán dẫn là cần thiết và có ích cho công nghệ pha tạp, nhằm đảm

bảo chế tạo đƣợc những linh kiện điện tử có những đặc tính nhƣ mong muốn. Đề tài

của luận án đã lựa chọn theo hƣớng nghiên cứu khuếch tán đa thành phần trong Si.

Tên đề tài của luận án là: Nghiên cứu khuếch tán đồng thời tạp chất và sai hỏng

điểm trong silic.

2. Mục tiêu và phạm vi của luận án

Đề tài nghiên cứu của luận án trong phạm vi lý thuyết về pha tạp và khuếch

trong vật liệu bán dẫn với các mục tiêu chính là: Nghiên cứu tổng quan lý thuyết và

9

thực nghiệm về khuếch tán đơn, khuếch tán đa thành phần trong vật liệu bán dẫn Si

và một số hiện tƣợng khuếch tán dị thƣờng trong quá trình khuếch tán tạp chất trong

Si. Nghiên cứu tính tƣơng thích và sự đồng nhất giữa định luật Fick và định luật

Onsager. Nghiên cứu phát triển bài toán khuếch tán đồng thời tạp chất B và sai

hỏng điểm trong Si. Tìm ra đƣợc phân bố của tạp chất B và sai hỏng điểm theo

chiều sâu và theo thời gian trong Si. Ứng dụng kết quả để lý giải các kết quả thực

nghiệm và giải thích một số hiện tƣợng khuếch tán dị thƣờng trong Si. Thực hiện

mô phỏng quá trình khuếch động của B và sai hỏng điểm trong Si.

Nội dung chính của luận án 3.

Nghiên cứu tổng quan về vật liệu Si và khuếch tán trong vật liệu Si. i)

Nghiên cứu mở rộng định luật lực tổng quát, định luật Onsager và định luật ii)

Fick, tìm ra sự tƣơng thích và đồng nhất giữa định luật Onsager và định luật

Fick làm cơ sở để áp dụng cho bài toán khuếch tán đồng thời B và sai hỏng

điểm trong Si.

iii) Phát triển, hoàn thiện bài toán và hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B và

sai hỏng điểm trong Si.

iv) Phát triển lý thuyết giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V

trong Si để tìm ra đƣợc phân bố cuả B và sai hỏng điểm trong Si. Thảo luận

kết quả, áp dụng để lý giải các kết quả thực nghiệm và các hiện tƣợng

khuếch tán dị thƣờng.

v) Mô phỏng quá trình khuếch tán động của B và sai hỏng điểm trong Si.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Các kết quả của luận án có ý nghĩa đối với lý thuyết pha tạp và

khuếch tán trong vật liệu bán dẫn với những ý nghĩa chính:

i. Sự tƣơng thích và đồng nhất giữa định luật Onsager và Fick đã đƣợc chứng

minh, làm cơ sở để có thể mô tả quá trình khuếch tán đồng thời B và sai

hỏng điểm trong Si rất phức tạp bằng một hệ phƣơng parabolic phi tuyến

dạng truyền tải – khuếch tán.

ii. Phát triển một phƣơng pháp nghiên cứu về phân bố tạp chất và sai hỏng điểm

trong chất bán dẫn, cụ thể là: Áp dụng lý thuyết nhiệt động lực học không

thuận nghịch (lý thuyết Onsager) để mô tả quá trình khuếch tán đồng thời tạp

10

chất và sai hỏng điểm bằng các biểu thức mật độ dòng khuếch tán. Áp dụng

định luật Fick II cho các mật độ dòng khuếch tán để thu đƣợc hệ phƣơng

trình loại parabolic phi tuyến, tìm lời giải để xác định phân bố tạp chất và sai

hỏng điểm.

iii. Bằng cách đƣa ra mô hình hợp lý, sử dụng các công cụ lập trình có thể mô

phỏng đƣợc quá trình khuếch tán động của tạp chất và sai hỏng điểm gần

đúng với quá trình thực trong chất bán dẫn.

iv. Có thể ứng dụng để khống chế các thông số của các mạch IC và linh kiện

bán dẫn một cách chính xác, đặc biệt là ở kích thƣớc nano hoặc kích thƣớc

siêu ngắn nhỏ hơn 1μm.

5. Cấu trúc của luận án

Luận án có 160 trang, 5 chƣơng với 23 mục, 5 bảng số liệu, 44 hình vẽ và đồ

thị, 145 tài liệu tham khảo và 3 phụ lục.

Chƣơng I. Một số vấn đề tổng quan.

Chƣơng II. Sự tƣơng thích và đồng nhất giữa định luật Onsager và định

luật Fick.

Chƣơng III. Hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm

trong Si.

Chƣơng IV. Lời giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng

điểm trong Si.

Chƣơng V. Mô phỏng quá trình khuếch tán động của B sai hỏng điểm trong

Si.

6. Các kết quả nghiên cứu của luận án đã đƣợc công bố

02 bài báo đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế. i)

02 bài báo đăng trên tạp chí chuyên ngành trong nƣớc. ii)

iii) 05 bài báo đăng trên proceedings các hội nghị quốc tế.

Chƣơng I

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

1.1. Vật liệu bán dẫn silic

11

1.1.1. Một vài tính chất cơ bản của vật liệu bán dẫn silic

Silic là vật liệu bán dẫn điển hình, và là vật liệu quan trọng nhất trong công

nghệ chế tạo, sản xuất linh kiện điện tử và vi điện tử. Nguyên tố silic (Si) thuộc

phân nhóm chính nhóm IV trong bảng tuần hoàn Mendelev. Đơn tinh thể Si có cấu

trúc kim cƣơng (hình 1.1), gồm hai phân mạng lập phƣơng tâm diện lồng vào nhau,

phân mạng này nằm ở 1/4 đƣờng chéo chính của phân mạng kia. Trong một ô cơ sở

có 8 nguyên tử silic, mỗi nguyên tử silic có 4 nguyên tử lân cận tạo thành một ô con

bốn mặt, độ dài cạnh của ô lập phƣơng cơ sở là 0,543 nm, bán kính nguyên tử Si là

0,118 nm. Bán kính của nguyên tử Si gần bằng khoảng cách giữa các nguyên tử lân

cận.

Hình 1.1. Ô cơ sở của mạng tinh thể Si.

Bán kính của các hốc điền kẽ trong silic bằng bán kính của nguyên tử silic, có

nghĩa là nguyên tử silic có thể di chuyển dễ dàng qua các vị trí điền kẽ mạng của

nó. Mạng tinh thể silic rất hở, chỉ có 34% thể tích là bị các nguyên tử silic chiếm

chỗ. Khoảng cách giữa hai mặt nguyên tử gần nhau nhất d theo từng phƣơng có giá

trị d(111) = 0,313 nm; d(100) = 0,542 nm; d(110) = 0,383 nm. Trong ô cơ sở của

mạng tinh thể silic có 5 hốc điền kẽ, mỗi hốc có bán kính đúng bằng bán kính tứ

diện (0,118nm), do vậy có thể chứa khít một nguyên tử silic. Nồng độ nguyên tử Si là 5.1022 cm-3.

12

1.1.2. Sai hỏng điểm trong vật liệu bán dẫn Si

Nhiều bằng chứng thực nghiệm và các tính toán lý thuyết cho thấy sai hỏng

điểm có vai trò quyết định đến quá trình khuếch tán tạp chất trong chất bán dẫn,

đồng thời các sai hỏng điểm cũng đƣợc sinh ra do khuếch tán tạp chất và các sai

hỏng điểm có thể là nguyên nhân trực tiếp gây ra các hiện tƣợng khuếch tán tán dị

thƣờng [105].

Tất cả các sự gián đoạn sinh ra trong mạng tinh thể tuần hoàn đều đƣợc gọi

là sai hỏng. Có nhiều loại sai hỏng khác nhau nhƣ sai hỏng điểm, sai hỏng đƣờng,

sai hỏng mặt v.v. Sai hỏng điểm có vai trò quyết định đến cơ chế khuếch tán và tốc

độ khuếch tán tạp chất trong chất bán dẫn [8, 105]. Sai hỏng điểm là một thực thể

gây ra sự gián đoạn tính chu kỳ của mạng tinh thể. Sai hỏng điểm bao gồm các loại

chính:

i) Nút khuyết (V- vacancy) là các chỗ trống mà ở đó nguyên tử mạng gốc

đã bị loại khỏi vị trí bình thƣờng của nó.

ii) Điền kẽ (I - interstitial) là các nguyên tử mạng gốc ở vào các vị trí khác

với vị trí bình thƣờng của nó. Có hai loại điền kẽ là các điền kẽ do các

nguyên tử mạng gốc (tự điền kẽ) và các điền kẽ do nguyên tử tạp chất.

Hình 1.2. Một cấu hình nút khuyết đơn (V) trong tinh thể Si.

13

iii) Sai hỏng điểm do tạp chất gồm hai loại: sai hỏng điền kẽ là do các

Hình 1.3. Một cấu hình sai hỏng tạp chất B thế chỗ trong Si.

nguyên tử tạp chất ở vào vị trí ngoài vị trí bình thƣờng của nguyên tử

mạng gốc và sai hỏng thế chỗ là do các nguyên tử tạp chất thay thế vào vị

trí bình thƣờng của nguyên tử mạng gốc.

Tập hợp một số nhỏ các sai hỏng điểm, vẫn có thể đƣợc coi nhƣ là các sai

hỏng điểm. Các sai hỏng điểm có thể đƣợc hình thành bằng cách liên kết giữa các tự

sai hỏng và sai hỏng do nguyên tử tạp chất hoặc sai hỏng thế chỗ và sai hỏng điền

kẽ nhƣ: một tự điền kẽ và một nút khuyết gần nhau liên kết thành một sai hỏng

Frankel, hai nút khuyết cạnh nhau liên kết tạo thành nút khuyết kép v.v. Hình 1.2

và hình 1.3 là hình ảnh một nút khuyết và một sai hỏng tạp chất B thế chỗ trong Si.

1.1.3. Tự khuếch tán trong vật liệu bán dẫn Si

Sự tự khuếch tán là các nguyên tử mạng gốc của chất bán dẫn tự khuếch tán

ngay bên trong mạng tinh thể của nó. Cơ chế phổ biến của sự tự khuếch tán là cơ

chế điền kẽ và nút khuyết [21, 129].

Sự tự khuếch tán trong Si thì phức tạp hơn nhiều so với tự khuếch tán trong

Ge. Tự khuếch tán trong Si có thể xảy ra theo nhiều cơ chế khác nhau nhƣ cơ chế

nút khuyết, cơ chế nút khuyết tách và cơ chế hỗn hợp, v.v. [21, 129]. Hệ số khuếch

14

tán của tự khuếch tán theo cơ chế nút khuyết phụ thuộc vào năng lƣợng kích hoạt Ea là tổng entanpi hình thành nút khuyết Ef và entanpi di chuyển nguyên tử Hm

Ea = Hf + Hm (1.1)

và hệ số khuếch tán của quá trình tự khuếch tán có dạng:

(1.2)

D0 là phần hằng số của hệ số khuếch tán.

1.2. Khuếch tán tạp chất trong vật liệu bán dẫn Si

Khi các nguyên tử tạp chất có cấu hình điện tử gần giống các nguyên tử

mạng gốc, thì cơ chế khuếch tán của chúng tƣơng tự nhƣ sự tự khuếch tán, có nghĩa

là cơ bản là theo cơ chế nút khuyết và năng lƣợng kích hoạt của quá trình khuếch tán Ea là tổng của entanpi hình thành nút khuyết và entanpi di chuyển nguyên tử tạp

chất. Khi các nguyên tử tạp chất khuếch tán theo cơ chế điền kẽ, năng lƣợng kích

hoạt chỉ bao gồm năng lƣợng dịch chuyển nguyên tử, nên năng lƣợng kích hoạt nhỏ

hơn năng lƣợng kích hoạt khuếch tán theo cơ chế nút khuyết. Kích thƣớc và khối

lƣợng của tạp chất ảnh hƣởng đến năng lƣợng kích hoạt. Tuy nhiên theo những số

liệu thực nghiệm cho thấy tạp chất có khối lƣợng nguyên tử và bán kính iôn lớn, có

thể khuếch tán với năng lƣợng kích hoạt nhỏ hơn năng lƣợng kích hoạt của những

nguyên tử tạp chất có khối lƣợng nguyên tử và bán kính iôn nhỏ hơn. Điều này cho

thấy, cả khối lƣợng nguyên tử và bán kính iôn của tạp chất, chƣa phải là những

thông số chi phối sự khuếch tán [19, 21]. Thực ra các thông số về trạng thái tích

điện của tạp chất và của sai hỏng là những thông số quan trọng chi phối mạnh đến

quá trình khuếch tán tạp chất trong tinh thể chất bán dẫn. Có nghĩa là cùng một loại

tạp chất, tuỳ theo trạng thái tích điện của tạp chất và sai hỏng mà quá trình khuếch

tán của chúng sẽ rất khác nhau [19, 21]. Khi tạp chất khuếch tán theo cơ chế hỗn

hợp thì các nguyên tử thực hiện một số bƣớc di chuyển theo cơ chế điền kẽ (fI %) và

một số bƣớc di chuyển theo cơ chế nút khuyết (fV %) trong tổng số n bƣớc di

chuyển. Các giá trị của fI và fV phụ thuộc vào loại mạng gốc, loại tạp chất và nhiệt

độ. Các giá trị của fI với các tạp chất B, P và As trong silic đƣợc tính theo các công

thức [44, 49, 88, 89]:

(1.3)

15

(1.4)

(1.5)

Tốc độ khuếch tán của mỗi loại tạp chất trong tinh thể silic là khác nhau, phụ

thuộc vào nhiều yếu tố, nhƣ trạng thái của mạng tinh thể silic (cấu trúc tinh thể, nhiệt

độ, sai hỏng …), phụ thuộc loại nguyên tử tạp chất và nồng độ của tạp chất …). Hệ

số khuếch tán D cho biết tốc độ khuếch tán, D càng lớn thì tốc độ khuếch tán càng

cao. Để có thể khuếch tán trong silic, tạp chất phải di chuyển quanh các nguyên tử

silic hoặc chiếm chỗ của các nguyên tử silic. Trong quá trình khuếch tán theo cơ chế

điền kẽ, nguyên tử khuếch tán sẽ nhảy từ một vị trí điền kẽ này đến vị trí điền kẽ

khác, với năng lƣợng kích hoạt tƣơng đối thấp, số các vị trí điền kẽ trong tinh thể silic

cao, nên quá trình di chuyển của nguyên tự tạp chất theo cơ chế này khá dễ dàng, tức

là hệ số khuếch tán khá lớn. Các nguyên tử thế chỗ đòi hỏi phải có mặt nút khuyết

hoặc tự điền kẽ silic, để có thể khuếch tán chúng phải phá vỡ các liên kết của mạng

tinh thể silic. Sự tạo thành nút khuyết và tự điền kẽ silic là những quá trình cần năng

lƣợng khá cao. Sự phá vỡ các liên kết mạng là quá trình tốn nhiều năng lƣợng, nên

các nguyên tử tạp chất thế chỗ khuếch tán với tốc độ thấp hơn nhiều so với các

nguyên tử tạp chất điền kẽ, tức là hệ số khuếch tán là khá nhỏ. Quá trình khuếch tán có thể đƣợc đặc trƣng bởi năng lƣợng kích hoạt Ea, là năng lƣợng cần để nguyên tử

có thể nhảy từ một vị trí này đến một vị trí tiếp theo. Tần số ν trung bình nguyên tử

tạp chất nhảy từ vị trí này đến vị trí khác liền kề, đƣợc xác định bởi [50, 73]:

(1.6)

với ν0 là hằng số, đối với các nguyên tử khuếch tán trong tinh thể silic thì ν0 có giá trị cỡ 1014s-1, exp(-Ea/kT) là xác suất nguyên tử tạp chất vƣợt qua hàng rào thế. Ở đây k

là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối. Từng nguyên tử có thể di chuyển đến

bất cứ vị trí liền kề nào, vì vậy phƣơng trình (1.6) cần phải đƣợc nhân với số các vị trí

liền kề và có giá trị là 4 đối với silic trong cả hai trƣờng hợp điền kẽ và thế chỗ. Đối

với trƣờng hợp điền kẽ, tần số của nguyên tử là [73]:

(1.7)

16

Đối với các nguyên tử thế chỗ, thì năng lƣợng kích hoạt gồm có: năng lƣợng hình thành nút khuyết Ef và năng lƣợng di chuyển nguyên tử tạp chất vào nút khuyết Em,

trong trƣờng hợp này tần số νsubst của nguyên tử đƣợc xác định bởi [50, 73]:

(1.8)

Hệ số khuếch tán D phụ thuộc vào quãng đƣờng tự do trung bình λ và tần số ν. Đối

với Si thì D đƣợc xác định theo công thức [73]:

(1.9)

ở đây d là khoảng cách giữa hai mặt phẳng nguyên tử.

Nếu thay phƣơng trình (1.7) vào phƣơng trình (1.9) ta có biểu thức của hệ số khuếch

tán theo cơ chế điền kẽ Dinst:

(1.10)

thế phƣơng trình (1.8) vào phƣơng trình (1.9) sẽ đƣợc hệ số khuếch tán đối với các

nguyên tử thế chỗ Dsubst [73]:

(1.11)

Trong các trƣờng hợp có điện trƣờng ngoài, kích thƣớc tạp chất, kích thƣớc mạng

tinh thể thay đổi, và nhiều cơ chế khuếch tán sẽ làm phức tạp các giá trị thực của hệ

số khuếch tán. Khuếch tán theo cơ chế nút khuyết sẽ phụ thuộc vào mật độ nút

khuyết, có nghĩa là phụ thuộc vào quá trình sinh và quá trình hủy nút khuyết. Ngƣợc

lại, sự khuếch tán điền kẽ sẽ nhạy cảm với nồng độ của tự điền kẽ silic, nó cũng phụ

thuộc vào nhiệt độ và các quá trình không cân bằng. Có nhiều quá trình chế tạo vật

liệu và linh kiện bán dẫn có thể tạo ra các sai hỏng điểm không cân bằng [73].

Việc cấy ion sẽ tạo ra các cặp nút khuyết- tự điền kẽ silic bằng cách đánh bật

các nguyên tử Si ra khỏi vị trí nút mạng của nó. Sự ôxy hóa đã đƣa các điền kẽ vào

silic, còn phản ứng nitrat hóa sẽ đƣa các nút khuyết vào trong silic. Vì vậy, để tính

toán chính xác hệ số khuếch tán thì điều quan trọng là phải hiểu cơ chế từng loại tạp

sẽ khuếch tán cũng nhƣ nồng độ các sai hỏng điểm. Các hệ số khuếch tán thực khi có

mặt các sai hỏng điểm có thể đƣợc viết dƣới dạng sau [50, 73]:

17

I là nồng độ

(1.12)

V là nồng độ cân

ở đây Deff là hệ số khuyếch tán thực, D0 là hệ số khuếch tán cân bằng, fI hệ số phụ thuộc vào cơ chế khuếch tán điền kẽ, CI là nồng độ tự điền kẽ silic, C0 cân bằng của tự điền kẽ trong silic, CV là nồng độ nút khuyết và C0

bằng của nút khuyết. Công thức (1.12) cho phép lập mô hình hệ số khuếch tán của tạp

chất khuếch tán theo cơ chế nút khuyết, cơ chế điền kẽ hoặc cơ chế hỗn hợp khi có

mặt các sai hỏng điểm. Phản ứng oxy hóa trên bề mặt Si trong quá trình khuếch tán

thƣờng không đầy đủ và khoảng 1 trong 1000 nguyên tử silic sẽ không phản ứng. Các

nguyên tử silic không phản ứng sẽ phá vỡ ra trở thành các tự điền kẽ silic. Mật độ

các tự điền kẽ silic ở vùng gần bề mặt cao hơn, và nếu các tự điền kẽ làm tăng hệ số

khuếch tán của tạp chất, thì tạp chất sẽ khuếch tán sâu hơn xuống dƣới. Ngƣợc lại,

nếu các tự điền kẽ làm chậm quá trình khuếch tán (nhƣ trƣờng hợp các tự điền kẽ tái

hợp với các nút khuyết làm hạn chế việc cung cấp nút khuyết cho sự khuếch tán theo

cơ chế nút khuyết, thì tạp chất sẽ khuếch tán nông hơn. Nhiều nhà nghiên cứu đã

khảo sát các cơ chế khuếch tán này [58]. Mô hình khuếch tán đầy đủ cần phải xét đến

các tƣơng tác của các sai hỏng điểm với các nguyên tử tạp chất và cũng phải xét đến

sự tạo thành các cụm sai hỏng điểm. Xét đầy đủ các tƣơng tác đối với B sẽ phải xét

đến tám tƣơng tác [52]:

1. Tƣơng tác điền kẽ trung hòa với một cụm, làm tăng hoặc làm co cụm:

I0 + C ↔ C (1.13)

2. Điền kẽ và nút khuyết tái hợp với nhau làm triệt tiêu cả điền kẽ và nút khuyết

hoặc tạo thành cặp Frenkel:

I0 + V0 ↔ 0 (1.14)

3. Điền kẽ trung hòa và lỗ trống tƣơng tác, tạo thành điền kẽ tích điện dƣơng,

hoặc ngƣợc lại điền kẽ tích điện dƣơng giải phóng lỗ trống trở thành điền kẽ trung

hòa:

I0 + h+ ↔ I+ (1.15)

Nguyên tử tạp chất tích điện âm A- kết hợp với điền kẽ trung hòa I0, tạo thành 4. cặp nguyên tử tạp chất-điền kẽ trung hòa (AI)0 và giải phóng điện tử, hoặc ngƣợc lại

18

cặp nguyên tử - điền kẽ trung hòa chiếm lấy điện tử và bị phân hủy thành nguyên tử

tích điện âm và điền kẽ trung hòa:

A- + I0 ↔ (AI)0 + e- (1.16)

Nguyên tử tạp chất tích điện âm A- kết hợp với điền kẽ trung hòa I0 và lỗ trống 5. h+ tạo thành cặp nguyên tử tạp chất-điền kẽ trung hòa (AI)0, hoặc ngƣợc lại cặp

nguyên tử tạp chất - điền kẽ trung hòa giải phóng lỗ trống và phân hủy thành nguyên

tử tạp chất tích điện âm và điền kẽ trung hòa:

A- + I0 + h+ ↔ (AI)0 (1.17)

Cặp nguyên tử tạp chất - điền kẽ trung hòa (AI)0 kết hợp với nút khuyết trung 6. hòa, giải phóng nguyên tử tạp chất tích điện âm A- và lỗ trống h+, hoặc lỗ trống và

nguyên tử tích điện âm kết hợp, tạo thành cặp nguyên tử tạp chất - điền kẽ trung hòa

và giải phóng nút khuyết:

(AI)0 + V0 ↔ A- + h+ (1.18)

7. Cặp nguyên tử tạp chất - điền kẽ tích điện dƣơng (AI)+ kết hợp với nút

khuyết làm giải phóng nguyên tử tạp chất tích điện âm và hai lỗ trống, hoặc ngƣợc lại

hai lỗ trống và nguyên tử tạp chất tích điện âm kết hợp với nhau, tạo thành cặp

nguyên tử tạp chât - điền kẽ tích điện dƣơng và giải phóng nút khuyết:

(AI)+ + V0 ↔ A- + 2h+ (1.19)

Nguyên tử tạp chất tích điện âm A- tƣơng tác với cặp nguyên tử tạp chất - 8. điền kẽ tích điện dƣơng (AV)+ tạo thành cụm nguyên tử tạp chất (AA)cls trung hòa,

hoặc cụm nguyên tử tạp chất trung hòa bị phân hủy thành nguyên tử tạp chất tích điện

âm và cặp nguyên tử tạp chất - điền kẽ tích điện dƣơng:

A- + (AV)+ ↔ (AA)cls (1.20)

Cho đến nay, đã có các tính toán về khuếch tán với độ chính xác hợp lý, trong đó có

mô hình hệ số khuyếch tán R.B. Fair, dựa trên các tƣơng tác của tạp chất với trạng

thái nút khuyết tích điện, phù hợp tốt với phần lớn các kết quả khuếch tán đã quan sát

thấy. Theo mô hình Fair, hệ số khuếch Di của tạp chất trong bán dẫn silic tinh khiết (n

hoặc p << ni), Di đƣợc cho bởi [44, 45]:

Di = D0 + D+ + D- + D= + … (1.21)

19

ở đây n là nồng điện tử tự do, p là nồng độ lỗ trống, ni là nồng độ hạt tải thuần, D0 là hệ số khuếch tán của nút khuyết-tạp chất trung hòa, D+ là hệ số khuếch tán của cặp nút khuyết-tạp chất tích điện dƣơng, D- là hệ số khuếch tán của cặp nút khuyết-tạp chất tích điện âm và D= là hệ số khuếch tán của cặp nút khuyết- tạp chất tích điện âm

kép. Hệ số khuếch tán D của tạp chất trong Si, đƣợc xác định bởi [44, 45]:

(1.22)

Đối với các tạp chất cụ thể, không phải là tất cả các kết hợp của các trạng thái

tích điện của nút khuyết - tạp chất đều tham gia vào hệ số khuếch tán. Cho dù hiện

nay chúng ta đã biết rằng sự khuếch tán thế chỗ không bị chi phối chặt chẽ bởi nút

khuyết, nhƣng mô hình Fair vẫn hữu ích, do các kết quả hợp lý mà nó thu đƣợc, mà

không phải dùng đến các mô phỏng phức tạp.

1.2.1. Cơ chế khuếch tán tạp chất trong Si

Cơ chế khuếch tán là cách thức di chuyển của các nguyên tử tạp chất bên

trong mạng tinh thể chất bán dẫn Si. Tuỳ theo cấu trúc của mạng tinh thể và loại tạp

chất đƣa vào mà cơ chế khuếch tán trong chất bán dẫn Si là khác nhau. Cho đến nay

ngƣời ta đƣa ra khá nhiều mô hình về cơ chế khuếch tán các tạp chất trong Si: cơ

chế trao đổi trực tiếp, cơ chế trao đổi gián tiếp, cơ chế điền kẽ, cơ chế nút khuyết,

cơ chế nhồi chặt, cơ chế quả tạ, cơ chế phân ly, cơ chế hồi phục v.v. Hình 1.4 là

một số cơ chế khuếch tán chính trong vật liệu bán dẫn Si [36, 110]. Khuếch tán của

các nguyên tử tạp chất nhóm III và V trong vật liệu Si có ba cơ chế dễ xảy ra hơn

cả, đó là: cơ chế nút khuyết (vacancy mechanism), cơ chế điền kẽ (interstitial

mechanism) và cơ hỗn hợp (interstitialcy mechanism).

Các nguyên tử tạp chất nhƣ bo (B), phốtpho (P), asen (As), ăngtimoan (Sb),

khi khuếch tán có thể chiếm các vị trí thế chỗ hoặc các vị trí điền kẽ trong mạng tinh

thể Si. Sự khuếch tán theo cơ chế điền kẽ xảy ra khi nguyên tử tạp chất ở vị trí điền

kẽ này nhảy đến vị trí điền kẽ khác (hình 1.4c). Sự khuếch tán theo cơ chế nút khuyết

xảy ra khi nguyên tử tạp chất thế chỗ trao đổi vị trí với nút khuyết (hình 1.4d), khuếch

tán kiểu này đòi hỏi sự có mặt của nút khuyết.

Khuếch tán theo cơ chế hỗn hợp xảy ra khi các nguyên tử tạp chất khuếch tán

thông qua một số bƣớc di chuyển vào vị trí điền kẽ và một số bƣớc di chuyển vào

các vị trí nút khuyết (hình 1.4e), tỷ lệ phần trăm các bƣớc di chuyển theo cơ chế điền

20

kẽ trong cơ chế hỗn hợp là fI đã đƣợc đánh giá bởi D. Mathiot và J.C. Pfister thì giá trị của fI ở 1000oC là vào khoảng 17% [89].

1.2.2. Khuếch tán B trong Si

Theo R. Fair thì tạp chất B khuếch tán trong Si chủ yếu theo cơ chế nút khuyết

trong điều kiện không oxy hóa. Trong mô hình khuếch tán của R. Fair thì B khuếch

tán bằng cách tạo cặp với nút khuyết BV có năng lƣợng di chuyển khoảng 0,5eV,

a. Cơ chế trao đổi trực tiếp b. Cơ chế trao đổi gián tiếp

thấp hơn năng lƣợng di chuyển của các cặp nút khuyết - ion khác. Khuếch tán của B

đƣợc tăng cƣờng bởi các tạp chất loại P khi p > ni, và giảm khi p < ni. Sự khuếch tán

của B thực tế bị cản trở trong silic loại n, khi n > ni. Theo mô hình này thì hệ số

khuếch tán của B trong điều kiện nồng độ thấp Di, đƣợc cho bởi (1.23) [73]:

(1.23)

và hệ số khuếch tán của B nồng độ cao Dx trong bán dẫn silic đƣợc cho bởi:

c. Cơ chế điền kẽ d. Cơ chế nút khuyết

(1.24)

trong đó D+ , D0 và D- đƣợc xác định theo các hệ thức:

(1.25)

(1.26)

e. Cơ chế hỗn hợp f. Cơ chế nhồi chặt

Hệ số khuếch tán của tạp chất B, phụ thuộc vào nhiệt độ và nồng độ đƣợc biểu diễn Hình 1.4. Một số cơ chế khuếch tán chính trong vật liệu bán dẫn [36]. trên đồ thị (hình 1.5). B là tạp chất khuếch tán nhanh hơn so với P và As. Nguyên tử B có bán kính 0,88 Ao so với bán kính tứ diện của Si là 1,18 Ao, hoặc tỷ số không

tƣơng ứng là 0,74 [50]. Sự không tƣơng ứng với kích thƣớc tƣơng đối lớn đối với B

so với Si tạo ra ứng suất trong mạng tinh thể Si, có thể dẫn đến tạo sự giảm hệ số

khuếch tán.

21

Hình 1.5. Hệ số khuếch tán trong Si ứng với các giá trị nồng độ khác nhau của B [73].

1.2.3. Sai hỏng điểm sinh ra do khuếch tán tạp chất trong Si

Trong quá trình di chuyển trong mạng tinh thể Si, các nguyên tử tạp chất

tƣơng tác với các nguyên tử Si ở nút mạng, kết quả là các sai hỏng điểm (tự điền kẽ

silic I và nút khuyết V) đƣợc sinh ra [8, 19, 53, 90]. Đồng thời với quá trình sinh là

quá trình tiêu huỷ sai hỏng điểm đƣợc thực hiện theo các cơ chế chính là: cơ chế

kick - out, cơ chế Frank - Tirnbull, cơ chế phân ly, cơ chế tạo cặp giữa sai hỏng

điểm-tạp chất v.v.

AI + Si ↔ AS + I (cơ chế kick - out) (1.27)

AI + V ↔ AS (cơ chế Frank - Tirnbull) (1.28) As ↔ Ai + V (cơ chế phân ly) (1.29)

Ai

As

Si

I

22

Trước kick-out Sau kick-out

ở đây Si là nguyên tử silic nằm ở nút mạng, As là nguyên tử tạp chất thế chỗ, Ai là

nguyên tử tạp chất điền kẽ, I là tự điền kẽ và V là nút khuyết. Hình 1.6a và 1.6b là

hình ảnh các cơ chế kick-out, cơ chế Frank-Tirnbull và cơ chế phân ly. Chú ý rằng

cơ chế Frank-Tirnbull và cơ chế phân ly là hai quá trình trái ngƣợc nhau. Tuỳ theo

cơ chế khuếch tán của nguyên tử tạp chất mà sai hỏng điểm có đƣợc sinh ra hay

không và sinh ra nhiều hay ít. Các cơ chế khuếch tán sinh ra sai hỏng điểm nhƣ cơ

chế thế chỗ, cơ chế kick-out, cơ chế phân ly.

Cần lƣu ý là không có kỹ thuật đo lƣờng trực tiếp nồng độ cân bằng của tự

điền kẽ và điền kẽ do nguyên tử tạp chất trong silic. Sự sinh sai hỏng điểm còn phụ

thuộc vào trạng thái khuếch tán nhƣ nồng độ tạp chất, trạng thái tích điện của tạp

chất, nhiệt độ khuếch tán hay các trạng thái bề mặt [53, 54, 142].

1.3. Hệ số khuếch tán phụ thuộc vào nồng độ và căng mạng

1.3.1. Mô hình khuếch tán của S. Hu

Theo mô hình của S. Hu thì khi nồng độ tạp chất khuếch tán thay đổi dẫn đến

sự thay đổi của hệ số khuếch tán D:

(1.30)

D0 lµ hÖ sè khuÕch t¸n thuÇn kh«ng phô thuéc vµo nång ®é t¹p chÊt, ni là nồng

độ hạt tải thuần và C là nồng độ tạp chất, có nghĩa là sự tăng hệ số khuếch tán tỷ lệ

tuyến tính với nồng độ tạp chất.

1.3.2. Mô hình khuếch tán của N. Thai

Theo mô hình N. Thai thì hệ số khuếch tán phụ thuộc vào sự biến dạng mạng

do khuếch tán nồng độ cao [125]:

trong đó D0 là hệ số khuếch tán không có sự biến dạng dẻo xảy ra, C là nồng độ, C0

là nồng độ cân bằng của nguyên tử khuếch tán .

Mô hình của S. Hu và của N. Thai chỉ thích hợp cho một dải hẹp của nồng độ

tạp chất.

23

1.3.3. Mô hình khuếch tán của ĐK. An

Trên cơ sở các số liệu thực nghiệm tác giả ĐK. An đã đƣa ra mô hình khuếch

tán thích hợp trong một dải rộng về nồng độ tạp chất và biểu thức của hệ số khuếch

tán cũng đã đƣợc đƣa ra [12]:

ở đây

(1.33)

Eg là độ thu hẹp vùng cấm, ni là nồng độ hạt tải thuần, L là hệ số co giãn mạng gây

ra do tạp chất, Y là suất Young,  là hệ số Possion, Di là hệ số khuếch tán không

phụ thuộc vào nồng độ, C là nồng độ B trong Si,  là thông số đặc trƣng cho cơ chế

khuếch tán có giá trị thay đổi tùy theo cơ chế khuếch tán. Biểu thức (1.32) mang ý

nghĩa tổng quát, nó chứa đựng nhiều quá trình vật lí xảy ra trong khuếch tán nhƣ: sự

hẹp vùng cấm gây ra do biến dạng mạng, vai trò của trƣờng nội, sự phụ thuộc vào

nồng độ của hệ số khuếch tán, sự giảm năng lƣợng kích hoạt…

Cũng từ mô hình này tác giả ĐK. An đã đƣa ra đƣợc phƣơng trình khuếch tán

tổng quát [12]:

(1.34)

Với hệ số khuếch tán D là một biểu thức phụ thuộc vào nồng độ và có dạng tổng

quát [12]:

(1.35)

f0 là hệ số tƣơng quan, ΔHm là etanpi di chuyển nguyên tử khuếch tán, Ea là năng

lƣợng kích hoạt, a là thông số mạng, Z = 4 đối với Si, ΔS đƣợc xác định bởi [12]:

ΔS = ΔSf + ΔSm (1.36)

và ΔSm Entropi hình thành và Entropi di chuyển thành phần khuếch tán.

ΔSf

24

1.4. Những kết quả thực nghiệm về khuếch tán tạp chất của ĐK. An

Hình 1.7. Hình ảnh sai hỏng điểm trong vùng Emitter [8].

Các kết quả thực nghiệm cho thấy quá trình khuếch tán tạp chất trong Si đã

làm sinh ra các sai hỏng điểm và xuất hiện các hiện tƣợng khuếch tán dị thƣờng

(stacking fault và ring stacking fault), hiệu ứng đẩy Emitter và hiệu ứng khuếch tán

ngang…). Hình 1.7 là hình ảnh sai hỏng điểm trong vùng Emitter của transistor ở

độ sâu: 1,4 μm; 1,8 μm và 2,2μm [8].

i. Các co cụm sai hỏng điểm do khuếch tán B trong Si

Khi khuếch tán B nồng độ cao đối với Si thì có thể quan sát thấy sự tích tụ co

cụm của các sai hỏng điểm (stacking fault - SFs) hoặc các co cụm sai hỏng điểm

thành vòng (ring stacking fault - ring SFs) (hình 1.8)

Hình 1.8. SFs và ring - SFs do khuếch tán B trong Si [14].

25

ii. Hiệu ứng đẩy bởi Emitter (Emitter Dip Efect - EDE)

Hình 1.9. Hiệu ứng đẩy bởi Emitter [4, 14].

Sau khi khuếch tán miền Base của transistor, khuếch tán tiếp miền Emitter,

thì miền Base dƣới Emitter bị đẩy lồi xuống dƣới một khoảng cỡ từ 100 nm trở lên.

Hiệu ứng EDE có thể làm hỏng transistor do thế hiệu đánh thủng rất nhỏ và hệ số

khuếch đại thấp (hình 1.9).

iii. Hiệu ứng khuếch tán ngang

Hình 1.10. Hiệu ứng khuếch tán ngang [4, 12].

Khi khuếch tán bằng phƣơng pháp đảo ngƣợc xuất hiện hiện tƣợng khuếch

tán ngang dƣới đáy miền Emitter. Hiệu ứng là bằng chứng về miền vật liệu dƣới

lớp khuếch tán xuất hiện nhiều sai hỏng nút khuyết (hình 1.10).

iv. Miền sai hỏng và miền căng dƣới miền khuếch tán

26

Hình 1.11. Miền sai hỏng dưới miền khuếch tán [4, 12].

Hình 1.12. Miền sai hỏng - miền căng dưới Emitter của transistor [4, 12].

Trong đa số các trƣờng hợp sau pha tạp thƣờng xuất hiện miền sai hỏng hoặc

miền căng mạng ở dƣới miền khuếch tán (hình 1.11 và hình 1.12).

1.5. Định luật Fick và định luật Onsager

Định luật khuếch tán đƣợc phát biểu theo hai cách khác nhau là các định luật

tuyến tính dạng Fick và định luật tuyến tính dạng định luật lực tổng quát của

Onsager. Hai dạng định luật khuếch tán có tồn tại những mâu thuẫn, điều này sẽ

đƣợc làm sáng tỏ sau đây.

1.5.1. Mật độ dòng khuếch tán

Cả lý thuyết Fick và lý thuyết Onsager đều định nghĩa mật độ dòng khuếch

tán J là số nguyên tử khuếch tán di chuyển qua một đơn vị diện tích vuông góc với

27

phƣơng khuếch tán, trong một đơn vị thời gian và biểu thức của mật độ dòng

khuếch tán tổng quát J đƣợc xác định là [2, 119]:

J = uC (1.37)

u là vận tốc trung bình của nguyên tử, C là nồng độ của nguyên tử khuếch tán.

1.5.2. Định luật Fick

Trên cơ sở những quan sát thực nghiệm A. Fick đã coi quá trình khuếch tán

giống nhƣ quá trình truyền nhiệt trong chất rắn và đã phát biểu hai định luật về

khuếch tán là định luật Fick I và định luật Fick II nhƣ sau:

a. Định luật Fick I: Mật độ dòng khuếch tán tỷ lệ thuận với gradient nồng độ

(1.38)

b. Định luật Fick II: Tốc độ thay đổi nồng độ chất khuếch tán tỷ lệ thuận với đạo

hàm bậc hai của nồng độ theo tọa độ không gian [46, 47,103]

(1.39)

D là một hằng số gọi là hệ số khuếch tán [46, 47]

1.5.3. Định luật lực tổng quát và định luật Onsager

Theo L. Onsager thì các mật độ dòng J (dòng nhiệt, dòng điện, dòng khuếch

tán) là hàm tuyến tính của lực nhiệt động X

(1.40) J = L.X

Hệ số tỷ lệ L là hằng số, gọi là hệ số tƣơng quan Onsager.

Áp dụng định luật lực tổng quát đối với quá trình khuếch tán, với lực nhiệt

động X là gradient của thế hóa học μ, khi đó ta có định luật Onsager: Các mật độ

dòng khuếch tán J là các hàm số tuyến tính của gradient thế hóa học [13, 32, 57,

80]

(1.41)

Phƣơng trình (1.41) là biểu thức của định luật Onsager.

28

1.5.4. Những mâu thuẫn của định luật Fick và định luật Onsager

Theo lý thuyết nhiệt động lực học thì dòng khuếch tán bị triệt tiêu khi

gradient của thế hóa học bị triệt tiêu. Nhƣng theo định luật Fick thì dòng khuếch tán

sẽ mất đi khi nồng độ cân bằng chứ không cần thế hóa học μ phải cân bằng. Có

nghĩa là định luật Onsager phù hợp với lý thuyết nhiệt động lực học còn định luật

Fick không phù hợp.

1.5.5. Thảo luận

Cả hệ thức Fick và hệ thức Onsager đều không phải là dạng tổng quát thống

nhất mô tả quá trình khuếch tán. Có nghĩa là định nghĩa về dòng khuếch tán, định

luật lực tổng quát cần phải đƣợc phát biểu theo cách tổng quát hơn.

1.6. Khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm trong Si

Những bằng chứng thực nghiệm và những dự đoán lý thuyết đều cho rằng

quá trình khuếch tán tạp chất trong Si là quá trình khuếch tán đồng thời tạp chất và

sai hỏng điểm. Quá trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm, có sự tƣơng tác

giữa các thành phần, cùng với quá trình sinh hủy sai hỏng điểm trong Si là một quá

trình rất phức tạp. Lý thuyết Fick là lý thuyết đơn giản, với hạn chế của nó đã không

thể mô ta đƣợc quá trình khuếch tán phức tạp này. Nhiệt động lực học không thuận

nghịch là một lý thuyết đi sâu vào bản chất và động lực của quá trình khuếch tán

đã cho phép mô tả đƣợc quá trình khuếch tán phức tạp này. Áp dụng lý thuyết

nhiệt động lực học không thuận nghịch có thể tìm ra đƣợc một hệ phƣơng trình mô

tả quá trình khuếch tán đồng thời B, I và V trong Si, dƣới dạng các biểu mật độ

dòng khuếch của B, I và V trong Si [4, 10]:

1.6.1. Mật độ dòng khuếch tán theo lý thuyết Onsager

Áp dụng lý thuyết nhiệt động lực học không thuận nghịch cho quá trình

khuếch tán đồng thời đa thành phần, Onsager cho rằng giữa mật độ dòng khuếch tán

Jk và lực nhiệt động Xk có quan hệ theo hệ thức [4, 10, 13, 57]:

(1.42)

29

các phƣơng trình khuếch tán dạng (1.42) có thể viết dƣới dạng ma trận [4, 57]

(1.43)

với J, X và L xác định bởi các ma trận:

và (1.44)

(1.45)

Biểu thức tổng quát của lực tác dụng Xk có dạng [4, 10, 13, 57]:

(1.46)

Xk là lực tác dụng vào phần tử khuếch tán k, Fk là ngoại lực tác dụng vào phần tử

khuếch tán k, là nhiệt rút gọn và k là thế hoá học. Khi không có ngoại lực tác

dụng vào các thành phần khuếch tán và quá trình khuếch tán là đẳng nhiệt thì lực

tác dụng lên thành phần thứ k là Xk có dạng [4, 10, 13, 57]:

(1.47)

hệ phƣơng trình khuếch tán (1.42) phải thoả mãn các điều kiện là tổng tất cả các

mật độ dòng tại mỗi nút mạng là bằng không [13, 16, 33, 35, 57, 122]:

(1.48)

từ (1.48) suy ra biểu thức liên quan giữa các hệ số hiện tƣợng luận:

(1.49)

30

i) Vì không có ngoại lực tác dụng nên ta có [10, 57]:

(1.50)

ii) Theo Onsager thì khi không có từ trƣờng, các hệ số tƣơng quan Lik và Lki

là [4, 13, 57]:

(1.51)

Trong đó các hệ số tƣơng quan đối xứng Lkk đƣợc xác định thông qua hệ số khuếch

tán Dk, nồng độ Ck và nhiệt độ T theo hệ thức [4, 10, 13, 57]:

(1.52)

1.6.2. Mật độ dòng khuếch tán đồng thời của B, I và V

Áp dụng hệ thức (1.42) cho bài toán khuếch tán đồng thời B, I và V trong Si

thì các mật độ dòng khuếch tán của B (JB), mật độ dòng khuếch tán của điền kẽ (JI)

và mật độ dòng khuếch tán của nút khuyết (JV) có dạng [13, 57]:

(1.53a) JB = LBBXB + LBIXI + LBVXV

(1.53b) JI = LIBXB + LIIXI + LIVXv

(1.53c) JV = LVBXB + LVIXI + LVVXv

các hệ số tƣơng quan liên hệ với nhau qua các phƣơng trình [4, 57]:

LBB + LBI + LBV = 0 (1.54a)

LIB + LII + LIV = 0 (1.54b)

LVB + LVI + LVV = 0 (1.54c)

trong đó các hệ số đối xứng thì bằng nhau [4, 13, 57]:

LBI = LIB, LBV = LVB, LVI = LIV (1.55)

Các hệ số LBB, LII và LVV đƣợc xác định bởi:

(1.56a)

31

(1.56b)

(1.56c)

XB, XI và XV đƣợc xác định bởi [4, 10, 13, 57]:

(1.57a)

(1.57b)

(1.57c)

trong đó CB và DB là nồng độ và hệ số khuếch tán của tạp chất B, CI và DI là nồng

độ và hệ số khuếch tán của tự điền kẽ Si, CV và DV là nồng độ và hệ số khuếch tán

của nút khuyết, T là nhiệt độ tuyệt đối, k là hằng số Boltzmann. Các hệ số tƣơng

quan đƣợc xác định bởi [4, 10, 57]:

(1.58a)

(1.58b)

(1.58c)

Thay các hệ số (1.58a), (1.58b) và (1.58c) vào hệ (1.53), đồng thời áp dụng định

luật bảo toàn dòng tại mỗi nút mạng ta có hệ [13, 57]:

(1.59a)

(1.59b)

(1.59c)

32

Thay các biểu thức của LBB, LII, LVB, LIB, LVI, và XB, XI vào (1.59a, 1.59b, 1.59c)

đƣợc hệ [4, 10, 13]:

(1.60a)

(1.60b)

(1.60c)

Hệ phƣơng trình (1.60a), (1.60b) (1.60c) là hệ phƣơng trình khuếch tán đồng

thời của B và sai hỏng điểm dƣới dạng các biểu thức mật độ dòng khuếch tán trong

Si. Tuy nhiên trên cơ sở hệ phƣơng trình này thì chƣa cho phép tìm ra đƣợc phân bố

nồng độ của B, I và V trong Si.

KẾT LUẬN CHƢƠNG I

1. Quá trình khuếch tán B trong Si là quá trình khuếch tán đồng thời B, I và V

có sự tƣơng tác lẫn nhau giữa các thành phần, cùng quá trình sinh hủy sai

hỏng điểm trong Si là một quá trình phức tạp. Lý thuyết nhiệt động lực học

không thuận nghịch đã mô tả đƣợc quá trình khuếch tán này bằng một hệ

phƣơng trình dạng mật độ dòng khuếch tán, nhƣng hệ phƣơng trình này

chƣa cho phép tìm ra đƣợc phân bố B, I và V trong Si.

2. Nội dung của chƣơng II và chƣơng III sau đây sẽ lần lƣợt giải quyết các vấn

đề nhằm đƣa ra đƣợc hệ phƣơng trình mô tả quá trình khuếch tán đồng thời

của B, I và V trong Si, đồng thời còn cho phép tìm ra đƣợc phân bố nồng độ

của B, I và V trong Si.

33

Chƣơng II

SỰ TƢƠNG THÍCH VÀ ĐỒNG NHẤT

GIỮA ĐỊNH LUẬT ONSAGER VÀ ĐỊNH LUẬT FICK

Định luật khuếch tán dạng Fick và định luật khuếch tán dạng Onsager có tồn

tại những mâu thuẫn, nhƣng có thể chứng minh đƣợc hai định luật này có cùng

chung một nguồn gốc và trong những điều kiện nhất định hai định luật này là đồng

nhất. Sự đồng nhất giữa định luật Fick và Onsager là cơ sở quan trọng cho việc phát

triển bài toán khuếch tán đồng thời tạp chất và sai hỏng điểm trong vật liệu bán dẫn.

2.1. Dòng tuyệt đối và dòng thực

Phần lớn các vấn đề tồn tại và mâu thuẫn của định luật Fick và Onsager là do

mật độ dòng khuếch tán J đƣợc định nghĩa là mật độ dòng tuyệt đối theo phƣơng

trình (1.37) là quá đơn giản. Thực chất dòng khuếch tán là kết quả của hai dòng

nguyên tử di chuyển ngƣợc chiều nhau. Tức là mật độ dòng khuếch tán thực J là

hiệu của mật độ dòng tuyệt đối thuận và mật độ dòng tuyệt đối ngƣợc.

Giả sử có hai lớp chất nền Si hình trụ mỏng 1 và 2, cùng diện tích đáy S = 1cm2, đƣờng cao bằng vận tốc chuyển động nhiệt của các nguyên tử là u (cm/s)

hình 2.1.

x

S

1

2

J1

J2

u

u

Nếu nồng độ nguyên tử tại lớp 1 và lớp 2 là C1 và C2 thì số nguyên tử di chuyển dọc

Hình 2.1. Dòng khuếch tán tuyệt đối thuận J1 và dòng khuếch tán tuyệt đối ngược J2

theo phƣơng trục tọa độ Ox qua điện tích S trong một giây theo chiều dƣơng là:

34

(2.1)

và theo chiều âm là:

(2.2)

J1 và J2 xác định bởi biểu thức (2.1) và (2.2) chính là mật độ dòng khuếch tán tuyệt

đối dọc theo phƣơng Ox theo chiều dƣơng và theo chiều âm. Trong điều kiện hệ ở

trạng thái cân bằng thì nồng độ nguyên tử ở lớp 1 và lớp 2 bằng nhau:

C1 = C2 (2.3)

dẫn tới mật độ dòng tuyệt đối thuận và ngƣợc bằng nhau:

J1 = J2 (2.4)

và mật độ dòng thực J là bằng không.

Khi hệ không cân bằng thì dòng J1 và J2 không bằng nhau. Dòng khuếch tán thực J

là:

J = J1 - J2 (2.5)

và

(2.6)

trong đó ΔC = (C2 - C1)

Tốc độ biến thiên nồng độ (độ biến thiên nồng độ trong 1 giây) tại hai lớp bằng

nhau và đƣợc xác định bởi phƣơng trình:

(2.7)

Phƣơng trình (2.6) và (2.7) mô tả quá trình khuếch tán thực, tuy nhiên hai phƣơng

trình này chƣa phải là các phƣơng trình vi phân.

Với cách mô tả vĩ mô, có thể sử dụng phép gần đúng hiệu số và gradient tỷ lệ

thuận với nhau:

(2.8)

35

ở đây hệ số tỷ lệ λ, đƣợc gọi là chiều dài đặc trƣng. Áp dụng (2.8) cho các phƣơng

trình (2.6) và (2.7) ta có thể tìm ra biểu thức của các định Fick, định luật lực tổng

quát và định luật Onsager.

2.2. Các định luật khuếch tán tuyến tính

Sử dụng phép gần đúng (2.8) cho các phƣơng trình (2.6) vào (2.7) thì các

phƣơng trình hiệu có thể đƣợc tính gần đúng bằng các phƣơng trình vi phân dạng

Fick I và Fick II:

(Fick I) (2.9)

(Fick II) (2.10)

ở đây biểu thức hệ số khuếch tán D đƣợc xác định bởi:

(2.11)

Nhƣ vậy định luật Fick là tuyến tính.

2.3. Định luật lực tổng quát phi tuyến

Theo nhiệt động lực học thì nồng độ C và thế hóa học μ liên hệ với nhau theo

hệ thức:

(2.12)

trong đó μ0 là hằng số, T là nhiệt độ tuyệt đối. Từ (2.12) ta có:

(2.13)

sử dụng gần đúng (2.8) và thay (2.13) vào (2.6) ta có:

(2.14)

hay là:

(2.15)

36

nếu đặt:

(2.16)

ta có:

(2.17)

Phƣơng trình (2.17) là biểu thức của định luật lực tổng quát. Nhƣ vậy, trƣờng hợp

tổng quát định luật lực tổng quát không phải là tuyến tính nhƣ (1.41) mà là phi

tuyến tính nhƣ (2.17).

2.4. Định luật Onsager phi tuyến

Từ (2.14) ta có:

(2.18)

hoặc biến đổi thành dạng:

(2.19)

cuối cùng thu đƣợc biểu thức định luật khuếch tán Onsager:

(2.20)

trong đó L0 là hằng số:

(2.21)

Phƣơng trình (2.20) là biểu thức của định luật Onsager. Nhƣ vậy trƣờng hợp tổng

quát định luật Onsager cũng không phải là tuyến tính nhƣ (1.41) mà là phi tuyến

nhƣ (2.20).

2.5. Nguồn gốc chung của định luật Fick và định luật Onsager

Từ biểu thức của định luật lực tổng quát (2.17) ta thể có:

37

(2.22)

nếu thay (2.11) và (2.13) thì hệ thức của định luật lực tổng quát (2.22) trở thành

biểu thức của định luật Fick I:

(2.23)

Thay biểu thức của J0 (2.16) vào biểu thức của định luật lực tổng quát (2.17)

ta đƣợc:

(2.24)

lấy đạo hàm vế phải theo tọa độ x ta có:

(2.25)

thì ta lại thu đƣợc biểu thức của định luật Onsager phi tuyến:

(2.26)

ở đây X là lực nhiệt động:

(2.27)

Nhƣ vậy định luật khuếch tán tuyến tính dạng Fick và định luật Onsager phi tuyến

có cùng chung một nguồn gốc là định luật lực tổng quát phi tuyến.

2.6. Sự đồng nhất giữa định luật Fick và định luật Onsager

Trong trƣờng hợp thế hóa học  của các thành phần khuếch tán là bé thì có

thể sử dụng các gần đúng:

(2.28)

(2.29)

38

khi đó ta có:

(2.30)

và biểu thức gần đúng của hóa học μ là:

(2.31)

thay (2.31) vào biểu thức của định luật Onsager (2.24) ta có:

(2.32)

Tức là biểu thức của định luật Onsager đã trở thành biểu thức của định luật Fick.

Nói cách khác thì lúc này thì định Onsager và Fick là đồng nhất:

(2.33)

Hệ số tƣơng quan L và hệ số khuếch tán D liên hệ với nhau qua biểu thức:

(2.34)

Nhƣ vậy khi thế hóa học bé thì định luật Onsager và định luật định luật Fick đều có

dạng tuyến tính, đồng thời định luật Onsager và định luật Fick là đồng nhất.

2.7. Thảo luận

Định luật lực tổng quát và định luật Onsager không phải là tuyến tính mà là

phi tuyến tính. Các định luật Fick và Onsager có cùng chung một nguồn gốc là định

luật lực tổng quát phi tuyến.

Khi thế hóa học của thành phần khuếch tán bé thì các định luật lực tổng quát

và định luật khuếch tán dạng Onsager là tuyến tính, đồng thời các định luật Fick và

Onsager là đồng nhất.

Hệ số tƣơng quan Onsager L phụ thuộc tuyến tính vào hệ số khuếch tán D và

nồng độ C.

KẾT LUẬN CHƢƠNG II

39

Trƣờng hợp tổng quát thì định luật lực tổng quát và định luật Onsager là phi

tuyến và các hệ thức Fick và Onsager là khác nhau.

Trƣờng hợp thế hóa học bé thì định luật lực tổng quát và Onsager là tuyến tính

và hệ thức Fick và Onsager là đồng nhất.

Sự đồng nhất giữa định luật Onsager và định luật Fick có thể cho phép chuyển

hệ phƣơng trình khuếch tán B và sai hỏng điểm trong Si từ dạng mật độ dòng thành

hệ phƣơng trình đạo hàm riêng phi tuyến dạng truyền tải- khuếch tán ở chƣơng III sau

đây.

Chƣơng III

HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI B

VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG SILIC

Sự đồng nhất giữa định luật Onsager và định luật Fick cho phép áp dụng

định luật Fick II đối với các mật độ dòng khuếch tán dạng Onsager của B, I và V để

tìm ra hệ phƣơng trình mô tả quá trình khuếch tán đồng thời B, I và V dƣới dạng hệ

phƣơng trình đạo hàm riêng parabolic phi tuyến. Trên cơ sở đó cũng có thể nhận

đƣợc các biểu thức của hệ số khuếch tán hiệu dụng của B và I cùng biểu thức hệ số

sinh - hủy điền kẽ do khuếch tán B trong Si.

3.1. Hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V dạng parabolic

3.1.1. Hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V

40

Để có thể tìm đƣợc sự phân bố của B, I và V thì hệ phƣơng trình khuếch tán

dạng Onsager (1.61a), (1.61b) và (1.61c) phải đƣợc đƣa về dạng hệ phƣơng trình

parabolic.

Sự đồng nhất giữa định luật Fick và định luật Onsager đã đƣợc chứng minh,

đã cho phép áp dụng các hệ thức Fick II cho các mật độ dòng khuếch tán JB, JI và JV

dạng Onsager theo các công thức:

(3.1a)

(3.1b)

(3.1c)

thay các biểu thức (1.61a), (1.61b) và (1.61c) của JB, JI và JV vào (3.1a), (3.1b) và

(3.1c) ta có:

(3.2a)

(3.2b)

(3.2c)

lấy đạo hàm vế phải của (3.2a), (3.2b) và (3.2c) thu đƣợc hệ phƣơng trình sau:

41

(3.3a)

(3.3b)

(3.3c)

Để xác định đƣợc ý nghĩa của hệ phƣơng trình (3.3a), (3.3b) và (3.3c) ta biến đổi

hệ này thành hệ sau:

(3.4a)

42

(3.4b)

(3.4c)

Hệ (3.4a), (3.4b và (3.4c) có thể viết dƣới dạng sau:

(3.5a)

(3.5b)

(3.5c)

eff, uB

eff σB, fB, DI

eff, uI

eff, σI, fI là các hệ số xác định bởi:

ở đây DB

43

(3.6a)

(3.6b)

(3.6c)

(3.6d)

(3.6e)

(3.6f)

(3.6g)

(3.6h)

eff là hệ số khuếch tán hiệu dụng của B; DI

DB

eff là vận tốc hiệu dụng dòng truyền tải đối với B; uI

eff là hệ số khuếch tán hiệu dụng của eff là vận tốc hiệu điền kẽ Si; uB

44

dụng dòng truyền tải đối với I; σB là hệ số sinh - hủy B; σI là hệ số sinh - hủy điền

kẽ I; fB hàm nguồn của B; fI hàm nguồn của điền kẽ I

Hệ phƣơng trình (3.5a), (3.5b) và (3.5c) với các hệ số (3.6a) và (3.6b) là hệ

phƣơng trình đạo hàm riêng prabolic phi tuyến tính dạng truyền tải-khuếch tán,

theo lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng parabolic thì:

eff đồng thời các nguyên eff, hệ

- B đã khuếch tán với hệ số khuếch tán hiệu dụng DB

tử B tạo ra một dòng chảy tập thể hiệu dụng với vận tốc hiệu dụng uB

số sinh - hủy B trong quá trình khuếch tán là σB và fB là hàm nguồn đối với

B.

eff đồng thời

- Điền kẽ silic I đã khuếch tán với hệ số khuếch tán hiệu dụng DI

các điền kẽ Si cũng tạo ra một dòng chảy tập thể hiệu dụng với vận tốc hiệu eff, hệ số sinh - hủy điền kẽ Si trong quá trình khuếch tán là σI và fI là dụng uI

hàm nguồn đối với điền kẽ Si.

Nhƣ vậy, sự tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V với nhau đã làm cho sự

khuếch tán của B và sai hỏng điểm sai khác nhiều so với khuếch tán đơn thành

và DI

phần. Sự tƣơng tác này đã làm cho quá trình khuếch tán của B và I tƣơng tự nhƣ eff một quá trình truyền tải - khuếch tán vật chất với hệ số khuếch tán hiệu dụng DB eff thay đổi theo nồng độ và dòng chảy hiệu dụng có vận tốc hiệu dụng uB eff eff cũng thay đổi theo nồng độ. Tuy nhiên do quá trình khuếch tán không có bất và uI

kỳ nguồn nào bơm thêm B và I vào Si nên:

fB = fI = 0 (3.7)

Vì quá trình khuếch tán chỉ có cơ chế sinh hủy I mà không có cơ chế sinh hủy B

nên :

σB = 0 và σI ≠ 0 (3.8)

Vì vậy mà hệ (3.5a), (3.5b) và (3.5c) trở thành :

(3.9a)

(3.9b)

45

(3.9c)

với các hệ số:

(3.10a)

(3.10b)

(3.10c)

(3.10d)

(3.10e)

Mặt khác có thể bỏ qua những số hạng nhỏ không phù hợp trong các biểu thức của

eff, uB

eff, DI

eff, uI

eff, σI ta có:

DB

(3.11a)

(3.11b)

(3.11c)

(3.11d)

46

(3.11e)

Cuối cùng thu đƣợc hệ phƣơng trình dạng parabolic phi tuyến mô tả quá trình

khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm trong Si nhƣ sau:

(3.12a)

(3.12b)

(3.12c)

3.1.2. Hệ quả

a. Sự phụ thuộc hệ số khuếch tán hiệu dụng của B vào nồng độ

Phƣơng trình mô tả quá trình khuếch tán của tạp chất B (3.9a) cho thấy hệ số

khuếch tán hiệu dụng của B trong Si đƣợc xác định bởi hệ thức:

(3.13)

Hệ thức (3.13) cho thấy hệ số khuếch tán hiệu dụng của B phụ thuộc vào nồng độ B

(đã đƣợc chứng tỏ bởi S. Hu, N. Thai, ĐK. An và một số tác giả khác [12, 125]).

Đồng thời do sự tƣơng tác giữa B với I và V mà hệ số khuếch tán của B còn bị phụ

thuộc vào hệ số khuếch tán đơn và nồng độ của I và V.

47

Hình 3.1. Đồ thị sự biến thiên hệ số khuếch tán hiệu dụng của B theo nồng độ ở 1000oC.

Hình 3.1 là đồ thị cho biết sự biến thiên hệ số khuếch tán hiệu dụng của B theo

nồng B. Ở đây có sự tăng hệ số khuếch tán của B khi khuếch tán ở nồng độ cao, có

nghĩa qua biểu thức này ta có thể lý giải về hiện tƣợng khuếch tán tăng cƣờng của

B do nồng độ cao (hiện tƣợng đã đƣợc xác định trong các công trình đã công bố của

R. Fair, S. Hu, N. Thai và ĐK. An [12, 69, 70, 125], A. Ural, P. Griffin, J.

Plummer [73, 129].

b. Sự phụ thuộc hệ số khuếch tán hiệu dụng của I vào nồng độ

Phƣơng trình mô tả quá trình khuếch tán của điền kẽ Si (3.9b) cho thấy hệ số

khuếch tán hiệu dụng của I trong Si đƣợc xác định bởi hệ thức:

(3.14)

Hệ thức (3.14) cho thấy hệ số khuếch tán hiệu dụng của I phụ thuộc vào hệ số

khuếch tán đơn và nồng độ của cả I, B và V (DB, DI, DV, CB, CI, CV ). Sự phức tạp

của hệ số khuếch tán hiệu dụng (3.14) của I là do sự tƣơng tác giữa các thành phần

khuếch tán B, I và V với nhau. Đồ thị hình 3.2 cho thấy ở độ sâu từ bề mặt khuếch

48

tán (x = 0) đến 0,1 μm hệ số khuếch tán hiệu dụng của I tăng nhƣng có giá trị âm là

do ở rất gần bề mặt B có nồng độ cao và sự tƣơng tác giữa I với B có thể là tƣơng

tác Coulomb theo theo các phản ứng [73]:

B- + I+ → (BI)0 (3.15) B- + I0 → (BI)0 + e- (3.16)

Trong đó B- là nguyên tử B tích điện âm, I+ và I0 là điền kẽ Si tích điện dƣơng và trung hòa, (BI)0 là cặp nguyên tử B - điền kẽ trung hòa, e- là điện tử tự do. Do tƣơng

tác đã làm cho I bị hút trở lại vùng có nồng độ B cao, có nghĩa là hệ số khuếch tán

hiệu dụng của I có dấu âm.

Hình 3.2. Đồ thị sự biến thiên hệ số khuếch tán hiệu dụng của điền kẽ Si theo độ sâu ở 1000oC.

c. Hệ số sinh - hủy điền kẽ trong Si

Cũng trong phƣơng trình mô tả quá trình khuếch tán của điền kẽ I (3.9b) cho

thấy hệ số sinh - hủy điền kẽ σI đƣợc xác định bởi:

(3.17)

49

Theo lý thuyết phƣơng trình parabolic thì quá trình sinh điền kẽ xảy ra khi σI < 0,

còn quá trình hủy điền kẽ xảy ra khi σI > 0. Do đạo hàm bậc hai của CB luôn dƣơng

nên tại những vùng nồng B cao thì quá trình sinh điền kẽ Si chiếm ƣu thế, còn tại

những vùng nồng B thấp thì quá trình hủy điền kẽ Si chiếm ƣu thế.

3.1.3. Thảo luận

Hệ phƣơng trình (3.9a), (3.9b) và (3.9c) đã mô tả đƣợc quá trình khuếch tán

đồng thời B và sai hỏng điểm có sự tƣơng tác giữa các thành phần, cùng quá trình

sinh hủy sai hỏng điểm trong Si.

 Phƣơng trình (3.9a) mô tả quá trình khuếch tán B trong Si cho thấy:

- Quá trình khuếch tán B trong Si phụ thuộc vào quá trình khuếch tán của cả

điền kẽ và nút khuyết.

- Sự tƣơng tác giữa B, I và V đã làm cho hệ số khuếch tán B trong Si trở nên

phức tạp hơn, nó phụ thuộc vào hệ số khuếch tán và nồng độ của điền kẽ và

nút khuyết DI, DV, CI và CV.

 Phƣơng trình (3.9b) mô tả quá trình khuếch tán I trong Si cho thấy:

- Quá trình khuếch tán điền kẽ silic trong Si phụ thuộc vào quá trình khuếch

tán của cả B và nút khuyết.

- Sự tƣơng tác giữa B, I và V đã làm cho hệ số khuếch tán của điền kẽ trở nên

rất phức tạp, nó phụ thuộc vào hệ số khuếch tán và nồng độ của B và nút

khuyết DB, DV, CB và CV.

 Đặc biệt là quá trình khuếch tán B trong Si đã tạo ra các quá trình sinh, hủy

sai hỏng điểm. Quá trình là sinh hay là hủy điền kẽ phụ thuộc vào nồng độ

của tạp chất B trong Si.

 So sánh hệ số khuếch tán hiệu dụng của B với các kết quả của tác giả S. Hu

và D. Thai (bảng 3.1) cho thấy:

- Hệ số khuếch tán hiệu dụng (3.13) của B cũng phụ thuộc vào nồng tạp

chất B trong Si (CB) tƣơng tự nhƣ các hệ số khuếch tán của S. Hu và

của D. Thai.

- Nhƣng hệ số khuếch tán hiệu dụng (3.13) còn phụ thuộc vào nồng độ

của điền kẽ (CI) và nồng độ của nút khuyết (CV) trong Si. Có nghĩa là

50

hệ số khuếch tán này đã chứa đựng cả sự tƣơng tác giữa B và sai hỏng

điểm trong quá trình khuếch tán.

Bảng 3.1. Các biểu thức hệ số khuếch tán B phụ thuộc vào nồng độ

của các tác giả S. Hu, N. Thai và của luận án.

Lý thuyết Biểu thức hệ số khuếch tán của B

S. Hu

N. Thai

Kết quả luận án

3.2. Hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V trong trƣờng hợp giới hạn

Trong những trƣờng hợp tƣơng tác giữa các thành phần là không đáng kể thì

sự khuếch tán của B, I và V xảy ra nhƣ thế nào, phƣơng trình mô tả quá trình

khuếch tán sẽ đƣợc đƣa ra dƣới dạng nào. Những vấn đề này sẽ đƣợc giải quyết sau

đây.

Nhƣ ta đã chứng minh đƣợc trong trƣờng hợp thế hóa học của các thành

phần khuếch tán là nhỏ thì hệ thức Fick và hệ thức Onsager là đồng nhất và khi đó

hệ số tƣơng quan L tỷ lệ thuận với hệ số khuếch tán D, gradient thế hóa học μ tỷ lệ

thuận với gradient nồng độ C theo các hệ thức:

(3.18a)

(3.18b)

Áp dụng cho trƣờng hợp khuếch tán B, I và V ta có:

(3.19a)

51

(3.19b)

(3.20a)

(3.20b)

(3.21a)

(3.21b)

Trong đó μB, μI và μV là thế hóa học của B, I và V trong Si.

3.2.1. Các giả thiết

Trên cơ sở lý thuyết nhiệt động lực học không thuận nghịch đã đƣa ra đƣợc

hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V tổng quát dạng Onsager [13, 57]:

(3.22a) JB = LBBXB + LBIXI + LBVXv

(3.22b) JI = LIBXB + LIIXI + LIVXv

(3.22c) JV = LVBXB + LVIXI + LVVXv

Từ các hệ thức này có thể tìm ra biểu thức của các mật độ dòng khuếch tán JB, JI và

JV và hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V trong một số trƣờng hợp giới hạn với

các giả thiết sau đây:

i) Khi sự tƣơng tác giữa I và V rất yếu có thể bỏ qua thì hệ số tƣơng quan

giữa I và V (LIV) và giữa V và I ( LVI) có giá trị rất nhỏ

(3.23) LVI = LIV ≈ 0

Thay (3.23) vào hệ (1.54) đƣợc:

LBI = LIB = - LII và LBV = LVB = - LVV (3.24)

Thay (3.24) vào hệ (3.22a), (3.22b) và (3.22c) ta có:

JB = LBBXB - LIIXI - LVVXV (3.25a)

JI = -LIIXB + LIIXI - LVVXV (3.25b)

52

JV = -LVVXB + LVVXV (3.25c)

khi đó các mật độ dòng khuếch tán của B, I và V trở thành:

(3.26a)

(3.26b)

(3.26c)

Hệ (3.26a), (3.26b) và (3.26c) cho thấy là mặc dù sự tƣơng tác giữa tự điền kẽ silic

và nút khuyết có thể bỏ qua thì sự khuếch tán của các thành phần (B, I và V) vẫn bị

ảnh hƣởng và phụ thuộc lẫn nhau. Tuy nhiên sự phụ thuộc, ảnh hƣởng lẫn nhau giữa

các thành phần đã trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

ii) Nếu tƣơng tác giữa I và V, giữa B và V là rất yếu, thì hệ số tƣơng quan

giữa I và V, giữa B và V là không đáng kể, có thể bỏ qua:

LIV = LVI = 0; LBV = LVB = 0 (3.27)

khi đó các mật độ dòng khuếch tán của B, I và V trở thành:

JB = LBBXB - LIIXI (3.28a)

JI = -LIIXB + LIIXI (3.28b)

JV = LVVXV (3.28c)

và hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V có dạng:

(3.29a)

(3.29b)

(3.29c)

Hệ (3.92a), (3.29b) và (3.29c) cho thấy khi tƣơng tác giữa B và V, giữa I và V là

không đáng kể thì chỉ có sự khuếch tán của B và I là bị ảnh hƣởng lẫn nhau, còn sự

khuếch tán của nút khuyết là độc lập không phụ thuộc vào B và I.

53

iii) Nếu tƣơng tác giữa I và V, giữa B và I là rất yếu, thì hệ số tƣơng quan

giữa I và V, giữa B và V là không đáng kể, có thể bỏ qua :

LIV = LVI = 0; LBI = LIB = 0 (3.30)

khi đó các mật độ dòng khuếch tán của B, I và V trở thành:

JB = LBBXB - LVVXV (3.31a)

JI = LIIXI (3.31b)

JV = -LVVXB + LVVXV (3.31c)

và hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V có dạng:

(3.32a)

(3.32b)

(3.32c)

Hệ phƣơng trình (3.32a), (3.32b) và (3.32c) cho thấy khi tƣơng tác giữa B và I, giữa

I và V là không đáng kể thì sự khuếch tán của B và V là bị ảnh hƣởng và phụ thuộc

lẫn nhau, còn sự khuếch tán của tự điền kẽ silic I là độc lập không phụ thuộc vào B

và V.

iv) Nếu tƣơng tác giữa I và V, giữa B và I, giữa B và V là rất yếu, thì hệ số

tƣơng quan giữa I và V, giữa B và V có thể bỏ qua:

LIV = LVI = 0; LBI = LIB = 0; LBV = LVB = 0 (3.33)

khi đó các mật độ dòng khuếch tán của B, I và V trở thành:

JB = LBBXB (3.34a)

JI = LIIXI (3.34b)

JV = LVVXV (3.34c)

và hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V có dạng:

(3.35a)

54

(3.35b)

(3.35c)

Hệ (3.35a), (3.35b) và (3.35c) cho thấy khi tƣơng tác giữa B, I và V với nhau là

không đáng kể thì quá trình khuếch tán của cả ba thành phần B và sai hỏng điểm là

độc lập, không phụ thuộc lẫn nhau và đƣợc mô tả bởi các hệ thức Fick tuyến tính.

Hệ (3.35a), (3.35b) và (3.35c) có thể đƣa về dạng phƣơng trình Fick II:

(3.36a)

(3.36b)

(3.36c)

Ở đây cần lƣu ý rằng, mặc dù tƣơng tác giữa các thành phần là không đáng kể,

nhƣng tƣơng tác giữa các các thành phần B, I và V với nút mạng tinh thể Si và quá

trình sinh hủy sai hỏng điểm trong Si vẫn xảy ra, nhƣ vậy trong hệ phƣơng trình

(3.36a), (3.36b) và (3.36c) cần đƣa phải đƣa vào thành phần sinh - hủy điền kẽ Si

với hệ số sinh - huỷ σI dạng (3.11b). Cuối cùng quá trình khuếch tán đồng thời B và

sai hỏng điểm khi tƣơng tác giữa các thành có thể bỏ qua, nhƣng vẫn xảy ra quá

trình sinh - hủy sai hỏng điểm đƣợc mô tả bởi hệ phƣơng trình sau:

(3.37a)

(3.37b)

(3.37c)

55

3.2.2. Thảo luận

Khi sự tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V là đáng kể thì sự khuếch tán

của các thành phần bị ảnh hƣởng lẫn nhau và quá trình khuếch tán có thể đƣợc mô

tả bằng hệ phƣơng trình đạo hàm riêng parabolic phi tuyến dạng truyền tải - khuếch

tán. Khi tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V là không đáng kể thì khuếch tán

của các thành phần là độc lập và có thể đƣợc mô tả bằng các phƣơng trình đạo hàm

riêng tuyến tính dạng Fick.

KẾT LUẬN CHƢƠNG III

1. Áp dụng lý thuyết nhiệt động lực học không thuận nghịch có thể mô tả đƣợc

quá trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm, có sự tƣơng tác giữa các

thành phần với nhau trong Si bằng một hệ phƣơng trình đạo hàm riêng

parabolic phi tuyến dạng truyền tải - khuếch tán. Hệ phƣơng trình khuếch tán

đồng thời B, I và V không những mô tả đƣợc quá trình khuếch tán của B, I

và V mà còn mô tả đƣợc sự phụ thuộc của tốc độ khuếch tán vào nồng độ,

đồng thời cũng mô tả đƣợc quá trình sinh hủy sai hỏng điểm do khuếch tán

tạp chất B trong Si

2. Sự tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V đã làm cho quá trình khuếch tán

của tạp chất B và điền kẽ I trong Si tƣơng tự nhƣ là một quá trình hỗn hợp

tuyền tải và khuếch tán trong Si. Sự tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V

là nguyên nhân làm cho hệ số khuếch tán hiệu dụng của B và I trở nên phức

tạp. Sự tƣơng tác giữa các thành phần cũng là nguyên nhân làm sinh - hủy sai

hỏng điểm trong Si.

56

3. Khi tƣơng tác giữa các thành phần là nhỏ thì quá trình khuếch tán đồng thời

B và sai hỏng điểm trong Si trở thành khuếch tán đơn thành phần, độc lập và

có thể mô tả đƣợc bằng các phƣơng trình khuếch tán tuyến tính dạng Fick.

4. Tốc độ khuếch tán hiệu dụng của B và của sai hỏng điểm cũng nhƣ tốc độ

quá trình sinh - hủy sai hỏng điểm trong Si phụ thuộc vào nồng độ tạp chất

B.

Chƣơng IV

LỜI GIẢI SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỒNG THỜI

B VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG Si

4.1. Mô hình bài toán khuếch tán B và sai hỏng điểm trong Si

Mô hình bài toán khuếch tán một chiều đƣợc lựa chọn là: Phiến Si có độ dày

L lớn hơn rất nhiều so với chiều sâu khuếch tán của B, nguồn khuếch tán B là vô

hạn trên bề mặt phiến Si. Nghiệm của bài toán là nồng độ của B, I và V phụ thuộc

vào tọa độ và thời gian CB(x, t), CI(x, t) và CV(x, t).

0 L x Hình 4.1. Mô hình khuếch tán đồng thời B, I và V trong Si.

Nguồn khuếch tán B là vô hạn với nồng độ , ngay từ khi chƣa khuếch tán trong

toàn bộ phiến Si đã có các sai hỏng điểm điền kẽ I và nút khuyết V cân bằng nồng

độ là và . Vì phiến Si có độ dày L lớn hơn rất nhiều so với độ sâu khuếch tán

57

của B, I và V, nên nồng độ B tại đây luôn bằng không, còn nồng độ I và V luôn là

giá trị cân bằng. Vì vậy ta có các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là:

(4.1) CB(0, t) = ; CI(0, 0) = ; CV(0, 0) =

(4.2) CB(L, t) = 0 ; CI(L, t) = ; CV(L, t) =

(4.3)

CB(0, 0) = ; CB(x , 0) = 0 ; CI(x, 0) = ; CV(x, 0) =

4.2. Phƣơng pháp giải số hệ phƣơng trình khuếch tán B, I và V

Vấn đề tìm nghiệm đúng của các phƣơng trình đạo hàm riêng phi tuyến

thƣờng là không thể thực hiện đƣợc, mà chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng.

Về phƣơng pháp số để giải gần đúng các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng

có thêm các điều kiện ban đầu và điều kiện biên có các phƣơng pháp nửa giải tích

nhƣ: phƣơng pháp tiệm cận, phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp phổ … và các

phƣơng pháp giải trực tiếp hệ phƣơng trình nhƣ: phƣơng pháp sai phân hữu hạn,

phƣơng pháp phần tử hữu hạn, phƣơng pháp phần tử biên, phƣơng pháp phần tử vô

định hình …

Tùy từng loại phƣơng trình hoặc hệ phƣơng trình khác nhau mà phƣơng pháp

giải số cũng đƣợc lựa chọn cho thích hợp. Phƣơng trình đạo hàm riêng nói chung và

phƣơng trình parabolic nói riêng có đặc điểm là nếu cho trƣớc tùy ý trạng thái của

hệ vật lý tại thời điểm ban đầu nào đó t = 0 thì nghiệm tồn tại với các thời điểm t >

0, và đƣợc xác định duy nhất qua điều kiện biên hay một vài điều kiện phụ khác.

Việc tìm nghiệm gần đúng đối với phƣơng trình đạo hàm riêng dạng parabolic hoặc

dạng truyền tải-khuếch tán thƣờng sử dụng phƣơng pháp sai phân hữu hạn, vì

phƣơng pháp này có một số ƣu điểm lớn là đơn giản về cách tiếp cận, đơn giản

trong việc thu nhận và giải hệ phƣơng trình sai phân, dễ dàng thay đổi bậc gần đúng

nhờ thay đổi bƣớc lƣới sai phân. Nhƣợc điểm lớn nhất của phƣơng pháp này là xử

lý điều kiện biên khi biên không là đƣờng thẳng hay mặt phẳng và các biên chuyển

động theo thời gian. Trong quá trình giải số bằng phƣơng pháp sai phân hữu hạn thì

việc lựa chọn sơ đồ sai phân, lƣới và kích thƣớc lƣới sai phân là rất quan trọng, nó

liên quan đến độ ổn định, sai số và sự hội tụ của nghiệm. Để thực hiện giải số hệ

phƣơng trình (3.9a), (3.9b) và (3.9c) cần phải thực hiện biến các phƣơng trình

(3.9a) và (3.9b) thành các phƣơng trình đạo hàm riêng phi tuyến độc lập theo cách

nhƣ sau :

58

- Đối với phƣơng trình (3.9a) thì tại mỗi bƣớc tính toán, các biến CI và CV

đƣợc coi là các hằng số.

- Đối với phƣơng trình (3.9b) thì tại mỗi bƣớc tính toán các biến CB và CV

đƣợc coi là các hằng số.

Nhƣ vậy tại mỗi bƣớc tính toán thì hệ phƣơng trình (3.12a), (3.12b) và (3.12c) trở

thành các phƣơng trình độc lập dạng:

(4.4a)

(4.4b)

(4.4c)

Điều kiện ban đầu và điều kiện biên đƣợc xác định theo (4.1), (4.2) và (4.3)

với các trị số đƣợc lựa chọn trên bảng 4.1. là đáng tin cậy nằm trong những công

trình tiêu biểu của 10 năm nghiên cứu khuếch tán trong Si của H. Mehrer và H.

Gossman.

Bảng 4.1. Các trị số của điều kiện biên và điều kiện ban đầu [22, 58, 73].

t (oC) DB (cm2s-1) DI (cm2s-1) DV (cm2s-1) (cm-3) (cm-3)

800 4,55.10-17 1.39.10-13 2,14.10-13 3,40.109 5,70.1013

1000 1,54.10-14 2,57.10-11 3,21.10-10 1,12.1012 1,04.1015

4.3. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn

Hiện nay có rất nhiều thuật toán với các sơ đồ sai phân khác nhau để thực

hiện giải hệ phƣơng trình đạo hàm riêng dạng parabolic phi tuyến hoặc dạng truyền

tải - khuếch tán phi tuyến. Về mặt lý thuyết ngƣời ta thƣờng cố gắng xây dựng các

thuật toán ổn định với bậc gần đúng càng cao càng tốt. Nhƣng trong thực tiễn tính

toán không phải bao giờ bậc gần đúng cao cũng tốt hơn bậc gần đúng thấp. Để giải

số các phƣơng trình dạng (4.4a), (4.4b) và (4.4c) có thể lựa chọn một số phƣơng

59

pháp sai phân nhƣ: Phƣơng pháp sai phân bốn điểm FTCS, phƣơng pháp sai phân

sáu điểm Crank-Nicolson hoặc phƣơng pháp sai phân ngƣợc dòng [5, 9, 93, 150].

4.3.1. Phƣơng pháp sai phân bốn điểm FTCS

Đây là phƣơng pháp sai phân tiến theo thời gian và trung tâm theo không

gian đƣợc thực hiện theo sơ đồ hình 4.2.

n, i+1

n-1, i n, i n+1, i

Hình 4.2. Sơ đồ sai phân tiến theo thời gian và trung tâm theo không gian. Sai phân thực hiện tại nút thứ n của lƣới không gian, nút thứ i của lƣới thời gian

theo các công thức sau:

(4.5a)

(4.5b)

(4.5c)

Điều kiện ổn định của sơ đồ này là:

(4.6)

Bậc sai số của phƣơng pháp là:

(4.7)

Thực hiện sai phân hệ phƣơng trình (4.4a), (4.4b) và (4.4c) ta có hệ phƣơng

trình sai phân dạng:

60

(4.8a)

(4.8b)

(4.8c)

với

(4.9a)

(4.9b)

(4.9c)

61

(4.9d)

Giải hệ phƣơng trình đại số (4.8a), (4.8b) và (4.8c) cho ta những nghiệm CB, CI và

CV gần đúng với nghiệm của phƣơng trình (4.4a), (4.4b) và (4.4c):

(4.10a)

(4.10b)

(4.10c)

Thực hiện giải số theo phƣơng pháp này khá đơn giản, tuy nhiên lại phải luôn phải

theo dõi và đảm bảo điều kiện ổn định trong mỗi bƣớc tính toán.

4.3.2. Phƣơng pháp sai phân ngƣợc dòng

Sai phân theo phƣơng pháp này đƣợc thực hiện theo sơ đồ (hình 4.3) và theo

c¸c c«ng thøc sau:

(4.11a)

(4.11b)

(4.11c)

n+1/2

n-1/2

n-1, i+1

n, i+1

n+1, n+1

v > 0

v < 0

62

Hình 4.3. Sơ đồ sai phân ngược dòng.

Phƣơng pháp sai phân ngƣợc dòng ổn định vô điều kiện với bậc sai số là:

ε = 0[τ] + [h2] (4.12)

Thực hiện sai phân hoá phƣơng trình (4.4a), (4.4b) và (4.4c) đƣợc hệ phƣơng trình

sai phân:

(4.13a)

(4.13b)

(4.13c)

Víi c¸c hÖ sè ® îc x¸c ®Þnh bëi c¸c hÖ thøc:

(4.14a)

63

(4.14b)

Hệ phƣơng trình sai phân (4.14a), (4.14b) và (4.14c) là gần đúng của hệ phƣơng trình (4.4a), (4.4b) và (4.4c) sai số bậc 0[τ, h2].

(4.15a)

(3.15b)

(4.15c)

Hệ (4.15) có thể viết dƣới dạng:

(4.16a)

(4.16b)

(4.16c)

64

với các hệ số đƣợc xác định bởi:

(4.17a)

(3.17b)

Giải phƣơng trình đại số (4.16a) và (4.16b) để tìm nghiÖm vµ theo

phƣơng pháp truy đuổi theo công thức sau:

(4.18a)

(4.18b)

Dựa vào điều kiện liên tục tại biên ta có

(4.19a)

(4.19b)

Ta có

65

= 0 (4.20b)

(4.20b)

Từ đó suy ra

và (4.21b)

và (4.21b)

Và cuối cùng có

và (4.22a)

và (4.22b)

và (4.23a)

và (4.23b)

Dùng sơ đồ sai phân ngƣợc dòng sẽ thu đƣợc hệ phƣơng trình đại số dạng

(4.18a) và (4.18b) luôn có nghiệm bằng số. Hơn nữa các hệ số của phƣơng trình này

bảo đảm để phép truy đuổi khi giải không tích luỹ sai số.

4.4. Lời giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, I và V

Thực hiện giải các hệ phƣơng trình sai phân để thu đƣợc nghiệm gần đúng

CB(x, t), CI(x, t) và CV(x, t) của hệ phƣơng trình (4.4a), (4.4b) và (4.4c). Số liệu

cần đƣợc đƣa vào gồm có: T(K) là nhiệt độ khuếch tán; Khg(cm) là độ dài không

gian; Nx là số bƣớc không gian; Tkt(s) là thời gian khuếch tán; Thg(s) là thời gian

khuếch tán lớn nhất chƣơng trình có thể tính; jj là số bƣớc thời gian tính toán.

4.4.1. Chƣơng trình tính toán

Chƣơng trình tính toán đƣợc lập bằng ngôn ngữ Tubo Pascal (phụ lục P.1).

Hình 3.3 là sơ đồ khối của chƣơng trình tính toán. Chƣơng trình gồm các phần

chính: Vào số liệu; phần tính toán; phần ghi lại kết quả tính toán, lƣu trữ kết quả

tính toán và vẽ đồ thị. Trong chƣơng trình tính toán đã sử dụng một số unite và

chƣơng trình chuẩn của một số tác giả khác.

66

BEGIN

Input data: T, Nx, Tkt, Cb0

x < 0, j j = 0, TT = 0

Calculate DB, DI, DV, CI0, CV0, fI, fV Boundary, initial condiction jj = jj + 1, TT =TT + 1

Calculation 4.4.2. Kết quả

CB[i+1], CI [i+1] , CV[i+1], i = 1 Nx Kết quả giải số hệ phƣơng trình sai phân đƣợc đƣa ra dƣới dạng số (bảng 4.2

và phụ lục P.3) và dƣới dạng đồ thị (hình 4.5 - hình 4.16). Trong đó đƣờng (B) là đồ

thị phân bố tạp chất B, đƣờng (I) là đồ thị phân bố điền kẽ Si và đƣờng (V) là đồ thị

phân bố nút khuyết.

x(cm) CB CI CV

ii mod j j =0 No Yes Save in data file, plot profile Bảng 4.2. Kết quả giải số hệ phương trình khuếch tán đồng thời B, I và V No trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0 - 1,2 μm). TT > Thg Yes

END

67

0.0000000000E+00 1.0E+19 1.1E+12 1.0E+15 5.2941176471E-06 6.5E+18 2.0E+13 5.8E+13 Hình 4.4. Sơ đồ khối chương trình tính toán. 1.0588235294E-05 4.4E+18 2.6E+13 4.5E+13 1.5882352941E-05 2.8E+18 2.6E+13 4.4E+13 2.1176470588E-05 1.6E+18 2.4E+13 4.8E+13 2.6470588235E-05 8.3E+17 2.0E+13 5.6E+13 3.1764705882E-05 4.0E+17 1.7E+13 6.9E+13 3.7058823529E-05 1.8E+17 1.3E+13 8.7E+13 4.2352941176E-05 7.2E+16 1.0E+13 1.1E+14 4.7647058823E-05 2.7E+16 7.6E+12 1.5E+14 5.2941176471E-05 9.6E+15 5.6E+12 2.0E+14 5.8235294118E-05 3.2E+15 4.0E+12 2.8E+14 6.3529411765E-05 9.8E+14 2.9E+12 4.0E+14 6.8823529412E-05 2.8E+14 2.0E+12 5.7E+14 7.4117647059E-05 7.8E+13 1.4E+12 8.2E+14 7.9411764706E-05 2.0E+13 9.8E+11 1.2E+15 8.4705882353E-05 5.0E+12 7.1E+11 1.6E+15 9.0000000000E-05 1.2E+12 5.4E+11 2.1E+15 9.5294117647E-05 2.6E+11 4.6E+11 2.5E+15 1.0058823529E-04 5.5E+10 4.5E+11 2.5E+15 1.0588235294E-04 1.1E+10 5.3E+11 2.1E+15

Hình 4.5. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 800oC.

68

Hình 4.6. Phân bố B, I và V sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC.

Hình 4.7. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC.

69

Hình 4.8. Phân bố B, I và V sau 15 phút khuếch tán ở 1000oC.

Hình 4.9. Phân bố B, I và V sau 5 phút (B1, I1, V1) và 15 phút (B3, I3, V3) ở 1000oC.

Hình 4.5 là đồ thị biểu diễn phân bố tạp chất B và sai hỏng điểm CB, CI và CV theo chiều sâu x, với thời gian khuếch tán 10 phút ở nhiệt khuếch tán là 800oC.

Hình 4.6, hình 4.7 và hình 4.8 là các đồ thị phân bố tạp chất B và sai hỏng điểm CB,

70

CI và CV theo chiều sâu x với thời gian khuếch tán tƣơng ứng là 5 phút 10 phút và 15 phút, ở nhiệt độ 1000oC. Hình 4.9 là đồ thị phân bố B và sai hỏng điểm trong Si ứng với thời gian khuếch tán khác nhau (5 phút và 15 phút) ở nhiệt độ 1000oC.

Trong bảng 4.2 và bảng P.3 (phần phụ lục) ghi lại các số liệu kết quả tính toán nồng độ của B và sai hỏng điểm trong Si ở nhiệt độ 1000oC và thời gian khuếch tán là 10

phút.

Kết quả trên hình 4.5 cho thấy khi nhiệt độ khuếch tán thấp 8000C thì B

khuếch tán khá chậm, đồng thời các tự điền kẽ silic I và nút khuyết V đã đƣợc sinh

ra nhƣng chƣa nhiều và mới chỉ tập trung trong miền khuếch tán của tạp chất B. Trên các hình 4.6, hình 4.7 và hình 4.8 cho thấy khi nhiệt độ tăng lên 1000oC thì

không những B khuếch tán nhanh hơn mà các sai hỏng điểm cũng đƣợc sinh ra

nhiều hơn và cũng bị đẩy vào sâu hơn, vƣợt qua miền khuếch tán của B khá xa.

Cũng trên các hình 4.5, hình 4.6, hình 4.7, hình 4.8 và hình 4.9 cho thấy sai hỏng

điểm sinh ra trong Si phụ thuộc vào thời gian và nhiệt độ khuếch tán:

Ở nhiệt độ 10000C, với thời gian khuếch tán 5 phút thì tự điền kẽ (I) bị đẩy -

sâu cỡ 5,5 m

Khi thời gian là 10 phút I đã bị đẩy vào tới độ sâu cỡ 7,5 m -

Khi thời gian là 15 phút thì I bị đẩy tới độ sâu tới hơn 8,5 m. -

Sai hỏng điểm sinh ra càng nhiều và bị đẩy vào càng sâu trong Si khi nhiệt -

độ khuếch tán càng cao và thời gian khuếch tán càng dài. Nồng độ sai hỏng

điểm sinh ra phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ.

Hình 4.10. Phân bố tự điền kẽ I trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm).

71

Hình 4.11. Phân bố nút khuyết V trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm).

Hình 4.12. Phân bố B và I trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm).

72

Hình 4.13. Phân bố B và V trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm).

Hình 4.14. Phân bố B, I và V trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,1 μm – 1 μm).

73

Hình 4.15. Phân bố I và V trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (0,8 μm – 1,8 μm).

Hình 4.16. Phân bố I và V trong Si sau 10 phút khuếch tán ở 1000oC và độ sâu (1,8 μm – 3,8 μm).

Hình 4.10 và hình 4.11 cho biết phân bố tự điền kẽ silic I và nút khuyết V, hình 4.12

cho biết phân bố B và I, hình 4.13 cho biết phân bố B và nút khuyết, hình 4.14 cho

74

biết phân bố B, I và V ở độ sâu dƣới 1 μm, với thời gian khuếch tán 10 phút ở nhiệt độ 1000oC. Kết quả trên các đồ thị này đã cho thấy nồng độ điền kẽ giảm còn nồng

độ nút khuyết tăng theo chiều sâu (theo chiều giảm nồng độ B). Hình 4.15 cho biết

phân bố sai hỏng điểm ở độ sâu từ 0,8 μm đến 1,8 μm, cho thấy ngay sau miền

khuếch tán B thì nồng độ nút khuyết V đạt cực đại còn nồng điền kẽ I đạt cực tiểu,

tiếp theo sau đó nồng độ V giảm dần và nồng độ I tăng dần. Hình 4.16 cho biết phân

bố sai hỏng điểm I và V ở độ sâu từ 1,8 μm đến 3,8 μm, cho thấy nồng độ V giảm

dần đến cực tiểu, còn nồng độ I tăng dần đến cực đại ở độ sâu cỡ 2,7 μm, sau đó thì

nồng độ V tăng dần và nồng độ I giảm đến giá trị cân bằng.

4.4.3. Thảo luận

i) Các kết quả giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng

điểm đã cho thấy:

- Khi khuếch tán tạp chất B trong Si ở nhiệt độ thấp (hình 4.5) do năng lƣợng

chuyển động nhiệt của các nguyên tử B còn nhỏ nên tốc độ khuếch tán B nhỏ, vì vậy B không vào sâu đƣợc trong Si (nồng độ 108 cm-3 chỉ đạt độ

sâu cỡ 0,8 μm sau 10 phút khuếch tán). Do tƣơng tác với nút mạng tinh thể

Si chƣa mạnh nên các sai hỏng điểm sinh ra còn ít, và không bị đẩy vào sâu

(miền có sự tăng nồng độ sai hỏng điểm chỉ nằm trong khoảng dƣới 0,9 m).

- Khi khuếch tán tạp chất B trong Si ở nhiệt độ cao hơn (hình 4.6 – hình 4.8),

do năng lƣợng của các nguyên tử B lớn hơn, nên các nguyên tử B khuếch tán nhanh hơn và vào sâu hơn trong Si (nồng độ B cỡ 108 cm-3 đã đạt độ sâu cỡ

1 μm sau 5 phút khuếch tán, đạt 1,2 μm sau 10 phút khuếch tán và đạt 1,5

μm sau 15 phút khuếch tán). Đồng thời cũng do năng lƣợng lớn hơn sự tƣơng

tác B với mạng tinh thể Si cũng mạnh hơn nên các sai hỏng điểm sinh ra

nhiều hơn, và bị đẩy vào sâu hơn trong Si (sau 5 phút khuếch tán đã bị đẩy

vào 5,5 m, sau 10 phút khuếch tán đã bị đẩy vào sâu cỡ 7,5 m và sau 15

phút khuếch tán đã bị đẩy vào sâu cỡ 8,5 m).

- Có thể cơ chế khuếch tán kick - out của B trong Si chiếm ƣu thế, nên tại

miền B có nồng độ cao (gần bề mặt Si), các sai hỏng điểm (điền kẽ I và nút

khuyết V) đã đƣợc sinh ra nhiều hơn những miền B có nồng thấp. Tuy nhiên

do điền kẽ khuếch tán nhanh nên các điền kẽ đi vào sâu hơn vƣợt qua miền

75

phân bố B khá xa và để lại các nút khuyết phân bố tập trung nhiều ngay sau

miền phân bố B.

- Càng gần bề mặt Si thì các sai hỏng điểm sinh ra càng nhiều do nồng độ B

cao, có nghĩa là càng gần bề mặt thì nồng độ nút khuyết càng cao, điều này

đã làm cho tạp chất B khuếch tán theo cơ chế nút khuyết chiếm ƣu thế (do

năng lƣợng kích hoạt của cơ chế này rất thấp), theo R. Fair [73] thì cơ chế

khuếch tán này đƣợc thực hiện theo các phản ứng:

→ B+V- → Bs

Bi + V → Bs B+ + V-

Những phản ứng kiểu này đã làm tiêu hủy nhiều nút khuyết dẫn tới những

miền có nồng độ B cao thì nồng độ nút khuyết nhỏ (hình 4.11 và hình 4.13).

Tại miền này, do nồng độ nút khuyết tăng dần theo độ sâu nên phản ứng tái

hợp giữa nút khuyết V và điền kẽ I cũng tăng dần theo độ sâu, kết quả là

nồng độ điền kẽ giảm theo chiều tăng của nồng độ nút khuyết (giảm theo

chiều sâu)

- Khi ra khỏi miền khuếch tán B, do không còn B (hoặc còn thì nồng độ B rất

thấp) nên các phản ứng tiêu hủy nút khuyết bởi các nguyên tử B cũng không

còn (hoặc không đáng kể) đã làm cho nồng độ nút khuyết đạt giá trị cao.

Ngay sau miền khuếch tán B đã có sự tập trung nhiều nút khuyết, nên sự tái

hợp giữa V và I lại xảy ra mạnh đã làm tiêu hủy nhiều điền kẽ, vì thế mà

nồng độ điền kẽ bị giảm mạnh tới cực tiểu tại vùng nồng độ nút khuyết đạt

cực đại (hình 4.14 và hình 4.15).

- Khi vào sâu hơn nữa thì các nút khuyết sinh ra trong miền khuếch tán B

khuếch tán chậm hơn điền kẽ, nên nút khuyết chƣa có mặt ở miền này, ở đây

chỉ tồn tại các nút khuyết cân bằng có sẵn trong Si từ trƣớc. Cũng tại miền

này, các điền kẽ sinh ra trong miền phân bố B đã khuếch tán nhanh và đến

miền này khá nhiều, chúng tái hợp với các nút khuyết cân bằng và làm nồng

độ của nút khuyết ở đây giảm xuống dƣới giá trị cân bằng. Tại những miền

không có B thì nồng độ điền kẽ và nút khuyết tuân theo định luật tác dụng

0 là

khối lƣợng [129, 130]

0 và CV

(CI và CV là nồng độ điền kẽ và nút khuyết không cân bằng, CI

nồng độ điền kẽ và nút khuyết cân bằng), vì vậy tại miền này nồng độ điền

76

kẽ tăng vƣợt qua giá trị cân bằng, đến độ sâu mà nồng độ nút khuyết đạt cực

tiểu thì nồng độ điền kẽ đạt cực đại, rồi sau đó cả điền kẽ và nút khuyết dần

trở về các giá trị cân bằng của chúng (hình 4.16).

Từ các hình 4.5, hình 4.6 và hình 4.9 cho thấy sai hỏng điểm sinh ra càng

nhiều và càng bị đẩy sâu vào trong Si khi nhiệt độ càng cao và thời gian

khuếch tán càng dài. Nồng độ sai hỏng điểm sinh ra phụ thuộc mạnh vào

nhiệt độ.

ii) So sánh với kết quả thực nghiệm và các kết quả của các tác giả khác:

Hình 4.17. So sánh phân bố B theo kết quả tính toán (a) với kết quả thực nghiệm của A. Ural, P. Griffin và J. Plummer (b) [130] sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC.

77

Kết quả giải số đã cho thấy quá trình khuếch tán B đã làm sinh ra các sai

Hình 4.18. Kết quả mô phỏng khuếch tán B và sai hỏng điểm trong Si sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC theo S. T. Duham [3].

hỏng điểm trong Si, kết quả này phù hợp với các kết quả thực nghiệm về

sai hỏng điểm và các SFs và ring-SFs do khuếch tán B trong Si của H.

Yoshida, J. Raebiger, N. Guillemot, T. Suzuki và ĐK. An (hình 1.7 và

hình 1.8) [4, 14].

Hình 4.19. Kết quả mô phỏng phân bố sai hỏng điểm (I và V) trong Si sau 5 phút khuếch tán B ở 1000oC theo H.H. Silvestri và cộng sự [119] Ceq và C là nồng độ cân bằng và không cân bằng của sai hỏng.

Kết quả tính toán xác định phân bố tạp chất B trong Si phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm về phân bố B trong Si ở nhiệt độ 1000oC với thời gian khuếch tán 5

phút của A. Ural, P. Griffin và J. Plummer (hình 4.17) [130]. So sánh kết quả

78

phân bố B và sai hỏng điểm trong Si, sau 5 phút khuếch tán ở 1000oC (hình 4.5)

với kết quả mô phỏng của S. T. Duham (hình 4.18) [3], cả hai kết quả này cùng

cho thấy trong quá trình khuếch tán tạp chất B, sai hỏng điểm đã đƣợc sinh ra và

bị đẩy sâu vào trong, tuy nhiên về phân bố sai hỏng điểm thì còn có sự khác biệt

khá lớn là:

- Theo kết quả của luận án thì nút khuyết đƣợc tập trung nhiều ở ngay sau

miền phân bố tạp chất B, còn điền kẽ thì bị đẩy sâu vào trong vƣợt qua miền

phân bố B khá xa.

- Theo kết quả của S. T. Duham thì điền kẽ không vƣợt qua đƣợc miền phân

bố B.

So sánh kết quả phân bố sai hỏng điểm I và V trong vùng độ sâu từ 0,1 dến 1,5

μm (hình 4.14) với kết quả mô phỏng của nhóm H.H. Silvestri (hình 4.19) [119],

đã cho thấy hai kết quả này khá giống nhau là trong miền độ sâu từ 0,1 dến 1,5

μm thì nồng độ nút khuyết tăng dần còn nồng độ điền kẽ Si giảm dần theo độ

sâu.

iii) Áp dụng giải thích một số hiệu ứng khuếch tán dị thƣờng, nhƣ hiệu ứng đẩy

Emitter, hiệu ứng khuếch tán ngang:

- Giải thích hiệu ứng đẩy bởi Emitter của transistor lƣỡng cực: Sau khi khuếch

tán B miền Base, khi khuếch tán As ở miền Emitter đã làm sinh ra các sai

hỏng điểm điền kẽ và nút khuyết, các sai hỏng điểm này khuếch tán nhanh

vƣợt ra khỏi miền Emitter tới tận miền Base, trong miền Base các sai hỏng

điểm tƣơng tác với tạp chất B làm cho các nguyên tử B bị khuếch tán tăng

cƣờng vào sâu hơn xuống phía dƣới (hình 1.9 và hình 4.20), những miền còn

lại không có miền Emitter ở phía trên, nên không có sai hỏng điểm khuếch

tán vào nên đã không xảy ra sự khuếch tán tăng cƣờng của B và miền Base ở

đây không bị đẩy lồi xuống dƣới.

- Giải thích hiệu ứng khuếch tán ngang trong quá trình khuếch tán đảo ngƣợc:

Khi khuếch tán As tại miền Emitter từ trƣớc đã làm cho các nút khuyết đƣợc

sinh ra và đƣợc tập chung ở ngay sau miền phân bố As (dƣới miền Emitter),

tức là ngay dƣới miền Emitter là miền giàu nút khuyết, sau đó khuếch tán tạp

chất B để tạo miền Base thì các nguyên tử B khi khuếch tán đến miền giàu

nút khuyết dƣới Emitter thì dễ dàng khuếch tán lan sang ngang vào miền

79

giàu nút khuyết dƣới vùng Emitter vì năng lƣợng kích hoạt khuếch tán theo

cơ chế nút khuyết là rất nhỏ (hình 1.10 và hình 4.21).

B

Si

As

Emitter

B

Si

Vùng B khuếch tán tăng cƣờng

Hình 4.20. Hiệu ứng đẩy bởi Emitter.

As

Vùng giàu nút khuyết

Si

B

Emitter

B

B

Si

Hình 4.21. Hiệu ứng khuếch tán ngang.

v) Khi khuếch tán ở nhiệt độ thấp (dƣới 3000C) thì tạp chất B khuếch rất

chậm (sau 10 phút chỉ vào sâu khoảng 0,05 μm), và sự tƣơng tác giữa B,

I, V với nhau và với mạng tinh thể Si cũng rất yếu, nên các hiệu ứng xảy

ra ở nhiệt độ cao (sự sinh hủy sai hỏng điểm và hiệu ứng đẩy) hầu nhƣ

không xảy ra (hình 4.22).

80

Hình 4.22. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 300oC. Hình 4.22. Phân bố B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở 300oC.

KẾT LUẬN CHƢƠNG IV

Kết quả giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm

trong Si đã cho thấy:

 Sự tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V đã làm cho phân bố tạp chất B và

sai hỏng điểm trong Si trở nên phức tạp hơn nhiều so với khuếch tán B đơn

thành phần.

81

 Trong quá trình khuếch tán B, sai hỏng điểm đã đƣợc sinh ra và khuếch tán

cùng với B trong Si, trong đó tự điền kẽ silic đã bị đẩy sâu vƣợt qua cả miền

phân bố B khá xa.

 Các nút khuyết đƣợc sinh ra phân bố nhiều ở ngay sau miền phân bố tạp

chất B.

 Sai hỏng điểm sinh ra do khuếch tán B trong Si càng nhiều khi nhiệt độ

khuếch tán càng cao và thời gian khuếch tán càng dài. Số lƣợng sai hỏng

điểm sinh ra phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ.

 Các hiệu ứng xảy ra ở nhiệt độ cao (800oC – 1000oC) thì hầu nhƣ không xảy

ra ở nhiệt độ thấp (dƣới 300oC).

 Các sai hỏng điểm sinh ra và khuếch tán đồng thời với B là nguyên nhân

trực tiếp gây ra các hiện tƣợng khuếch tán dị thƣờng trong Si.

 Kết quả phù hợp khá tốt với các kết quả thực nghiệm và các kết quả tính

toán, mô phỏng của A. Ural, P. Griffin, J. Plummer, S. Duham, A. Agarwal,

H. H. Silvestri, H. Yoshida, J. Raebiger, N. Guillemot, T. Suzuki và Đ.K.

An.

Chƣơng V

MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỘNG CỦA B

VÀ SAI HỎNG ĐIỂM TRONG Si

Trên cơ sở những kết quả nghiên cứu về khuếch tán và khuếch tán đồng thời

tạp chất B và sai hỏng điểm trong Si, có thể thực hiện mô phỏng quá trình khuếch

tán động các nguyên tử tạp chất B và sai hỏng điểm trong Si.

5.1. Mô hình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm trong Si

Bất cứ lý thuyết nào về khuếch tán nguyên tử cũng đều phải bắt đầu với việc

xem xét cơ chế khuếch tán và việc trả lời câu hỏi: một nguyên tử nhất định dịch

chuyển từ vị trí này đến vị trí khác nhƣ thế nào? Sự khuếch tán tạp chất trong vật

82

liệu Si là sự dịch chuyển trên quy mô lớn các nguyên tử tạp chất, quá trình này là

kết quả của nhiều bƣớc di chuyển nhỏ của các nguyên tử riêng biệt. Để mô phỏng

quá trình khuếch tán động, việc xác định tốc độ khuếch tán, cơ chế khuếch tán, mô

hình khuếch tán là cần thiết.

Hầu hết các trƣờng hợp khuếch tán tạp chất trong Si là khuếch tán đồng thời

tạp chất và sai hỏng điểm. Nếu thừa nhận sự khuếch tán B trong silic là cơ chế hỗn

hợp, và sự di chuyển của B luôn thực hiện theo các bƣớc nhảy ngẫu nhiên, luôn có

sự tƣơng tác với mạng tinh thể (gồm nguyên tử Si mạng gốc, điền kẽ silic I và nút

khuyết V). Cơ chế khuếch tán kiểu này luôn kèm theo các quá trình sinh, huỷ sai

hỏng điểm theo các phản ứng sau [8, 10, 88]:

Bi + V ↔ Bs (5.1)

Bi + Si ↔ Bs + I (5.2)

I + V ↔ Si (5.3)

I + Bs ↔ Si + Bi (5.4)

ở đây Bi và Bs là nguyên tử B ở vị trị điền kẽ và vị trí thế chỗ trong tinh thể silic. Si

là nguyên tử silic mạng gốc, I là tự điền kẽ silic và V là nút khuyết.

a. Quá trình di chuyển của nguyên tử B [8, 10, 88]

i) Nguyên tử B điền kẽ di chuyển vào ô điền kẽ lân cận (cơ chế

điền kẽ), cơ chế 1 (hình 5.1):

Bi → Bi (5.5)

ii) Nguyên tử B điền kẽ di chuyển vào một nút khuyết V tạo ra

một nguyên tử B thế chỗ (cơ chế nút khuyết), cơ chế 2 (hình

5.1):

Bi + V → BS (5.6)

iii) Nguyên tử B điền kẽ di chuyển vào nút mạng tinh thể trở thành

B thế chỗ và điền kẽ I (cơ chế kick-out), cơ chế 3 (hình 5.1):

Bi + Si → BS + I (5.7)

iv) Nguyên tử B thế chỗ di chuyển vào hốc điền kẽ tạo ra B điền

kẽ và nút khuyết (cơ chế phân ly), cơ chế 4 (hình 5.1):

83

Bs → Bi + V (5.8)

b. Quá trình di chuyển của điền kẽ silic I

i) Một điền kẽ Si di chuyển vào vị trí điền kẽ khác (cơ chế

điền kẽ), cơ chế 5 (hình 5.1):

I → I (5.9)

ii) Một điền kẽ Si di chuyển vào một nút khuyết tạo thành một

nút mạng hoàn chỉnh (cơ chế tái hợp) cơ chế này làm tiêu

hủy một điền kẽ và một nút khuyết, cơ chế 6 (hình 5.1):

I + V → Si (5.10)

4

Bi

1

2

3

V

Si

Si

8

I

5

7

6

Bs

V

84

iii) Một điền kẽ Si di chuyển vào một vị trí B thế chỗ tạo ra một

nút mạng hoàn chỉnh và một nguyên tử B điền kẽ (cơ chế kick-

out), cơ chế 7 (hình 5.1):

I + Bs → Si + Bi (5.11)

iv) Một nguyên tử Si ở nút mạng tinh thể di chuyển vào một hốc

điền kẽ, tạo ra một điền kẽ và một nút khuyết (cơ chế phân ly),

cơ chế 8 (hình 5.1):

Si → I + V (5.12)

Si là nguyên tử silic ở nút mạng tinh thể, I là nguyên tử silic ở vị trí điền kẽ (tự điền

kẽ silic), V là nút khuyết, Bs là nguyên tử B ở vị trí thế chỗ, Bi là nguyên tử B ở vị

trí điền kẽ trong silic.

c. Quá trình di chuyển của nút khuyết

Quá trình di chuyển và sinh hủy nút khuyết trong mạng tinh thể Si hoàn toàn

phụ thuộc vào quá trình di chuyển và tƣơng tác giữa tạp chất B, I, V với nhau và với

mạng tinh thể Si.

5.2. Tốc độ khuếch tán và tần số các bƣớc di chuyển của B, I và V

Các nguyên tử B và sai hỏng điểm di chuyển trong mạng tinh thể Si theo

những bƣớc nhảy liên tiếp vào những vị trí khác nhau, với mỗi loại bƣớc di chuyển

có tốc độ và xác suất khác nhau. Tốc độ trung bình u của các bƣớc nhảy đƣợc xác

định qua hệ số khuếch tán D

(5.13)

Trong Si mỗi bƣớc di chuyển của B và I có độ dài trung bình coi nhƣ là bằng nhau và bằng khoảng cách trung bình d giữa hai lớp nguyên tử Si và có giá trị là 5,43.10- 7cm.

85

Bảng 5.1. Vận tốc và tần số các bước di chuyển của B và I trong Si.

T (0C) DB (cm2s-1) uB (cm.s-1) νB (s-1)

800 4,32.10-17 7,96.10-11 1,50.10-4

1000 1,54.10-14 2,84.10-8 5,22.10-2

1200 1,11.10-12 2,04.10-6 3,81

T (0C) DI (cm2s-1) uI (cm.s-1) νI (s-1)

800 1,39.10-13 2,56.10-7 0,05

1000 2,57.10-11 4,73.10-5 87

1200 8,33.10-10 1,76.10-3 3241

Để xác định xác suất tƣơng đối giữa các bƣớc di chuyển theo mỗi cơ chế

khác nhau, cần phải dựa vào năng lƣợng kích hoạt cần thiết cho mỗi cơ chế Ea và

tần số những bƣớc di chuyển theo mỗi cơ chế ν đƣợc xác định theo Ea và nhiệt độ T

[73]:

(5.14)

ở đây k là hằng số Boltzmann. Bảng 5.2 là tỷ lệ xác suất của mỗi bƣớc di chuyển theo

mỗi cơ chế khác nhau P(x) so với xác suất các bƣớc di chuyển của I theo cơ chế điền

kẽ P(5), xác suất P(5) là lớn nhất vì có năng lƣợng kích hoạt thấp nhất 0,15 eV và

đƣợc chọn là P(5) = 1. Các tỷ số xác suất của mỗi cơ chế P(x) so với P(5) đƣợc đƣa ở

bảng 5.2. Trong bảng cho thấy xác suất mỗi bƣớc di chuyển theo cơ chế kick-out và

cơ chế phân ly là khá nhỏ P(3) = P(4) = 0,16; P(7) = 0,23 và P(8) = 0,048 do năng

lƣợng kích hoạt lớn. Ngƣợc lại các cơ chế tái hợp và điền kẽ có xác suất lớn hơn, do

năng lƣợng kích hoạt nhỏ P(1) = 0,7; P(2) = 0,64; P(5) = 1 và P(6) = 0,95.

Bảng 5.2. Tỷ lệ xác suất các bước di chuyển theo các cơ chế khác nhau so với cơ chế điền kẽ của I.

86

P(X) Cơ chế P(x)/P(5) Ea (eV)

P(1) 0,70 Bi → Bi 0,5 [139]

0,6 [139] P(2) 0,64 Bi + V → BS

2,0 [139] P(3) 0,16 Bi + Si → BS + I

P(4) 0,16 BS → Bi + V 2,0 [22]

P(5) 1,00 I → I 0,15 [124]

0,2 [83] P(6) 0,95 I + V → Si

P(7) 0,23 I + Bs → Si + Bi 1,6 [83]

P(8) 0,048 Si → I + V 3,18 [22]

5.3. Chƣơng trình mô phỏng khuếch tán động của B, I và V

Trên cơ sở mô hình lý thuyết đã lựa chọn chƣơng trình mô phỏng quá trình

khuếch tán động của B và sai hỏng điểm (I và V) trong mạng tinh thể Si đã đƣợc

viết bằng ngôn ngữ Matlab và Macromedia Flash (phụ lục P.2).

Mô hình xây dựng với nguồn B vô hạn, tinh thể Si hai chiều gồm các nguyên tử Si

ở các nút mạng, trong đó có những sai hỏng điểm tự điền kẽ I và nút khuyết V cân

bằng đƣợc phân bố một cách ngẫu nhiên.

Chƣơng trình gồm các phần:

1. Tạo ra mạng tính thể

2. Tạo ra các sai hỏng điểm I và V cân bằng trong silic, phân bố một cách ngẫu

nhiên

3. Tạo các bƣớc di chuyển của B, I và V trong mạng tinh thể Si, trong đó:

- Các bƣớc di chuyển của B và I cũng đƣợc tạo ra một cách ngẫu nhiên.

- Trƣớc mỗi bƣớc di chuyển thì các nguyên tử B và I đều đƣợc nhận biết

những vị trí có thể di chuyển vào đó và xác suất di chuyển vào mỗi vị trí

đó là bao nhiêu.

- Các nguyên tử di chuyển vào các vị trí cho phép nào đó một cách ngẫu

nhiên với xác suất khác nhau.

87

- Thứ tự ƣu tiên di chuyển vào các vị trí khác nhau của nguyên tử B điền

kẽ (Bi) là: nút khuyết, điền kẽ và thế chỗ.

- Thứ tự ƣu tiên di chuyển vào các vị trí khác nhau của nguyên tử Si điền

kẽ I là: điền kẽ, nút khuyết và kick - out.

- Sự di chuyển của nút khuyết hoàn toàn phụ thuộc vào sự di chuyển của B

và I trong Si.

4. Khi mỗi nguyên tử B trên bề mặt khuếch tán đi vào trong mạng tinh thể Si

thì một nguyên tử B đã đƣợc bổ sung vào vùng này để luôn đảm bảo điều

kiện nguồn khuếch tán B là vô tận.

Hình 5.2 là sơ đồ khối mô phỏng quá trình khuếch tán động của B và sai hỏng điểm

trong Si

Begin

Drawing the position of original atoms B, I and V at t=0

Choose random walk of B diffusion in silicon lattice

No

T = t +1 T < Td

Yes

No

Are B atoms nearly V site?

Yes

No

Does B atom push silicon atom ?

B atom jump to occupy in position of V site

Yes

B will push

B atom jump for an interstitial lattice to an other interstitial site

a silicon atom and created I

No

B jumped from substation site

88

Choose random I. Are I nearly V site ?

Yes

Yes

V site is created

I have jump to

I jump for an

5.4. Kết quả

Kết quả mô phỏng là hình ảnh động gồm liên tiếp tất cả các bƣớc di chuyển

của B, I và V trong Si có thể quan sát trên màn hình máy tính, bao gồm: quá trình di

chuyển của các nguyên tử B, của tự điền kẽ I và nút khuyết V, sự tƣơng tác giữa B,

I và V với nhau và với nút mạng tinh thể, quá trình sinh - hủy sai hỏng điểm trong

Si.

Hình 5.3 ghi lại phân bố ban đầu (thời điểm t = 0) của B, I và V trƣớc khi

thực hiện khuếch tán, trong đó mạng tinh thể Si đã tồn tại những tự điền kẽ Si và

nút khuyết cân bằng. Nguồn khuếch tán B đã tập trung trên bề mặt nhƣng chƣa

khuếch tán. Sau thời điểm t > 0 thì B bắt và liên tục khuếch tán vào trong Si. Trên

hình 5.4 cho biết sự phân bố của B, I và V tại thời điểm t1 > 0, với thời gian

khuếch tán còn nhỏ thì B chƣa đi vào đƣợc sâu trong Si (vào khoảng 5 lớp nguyên

tử Si). Tại thời điểm này sai hỏng điểm đã đƣợc sinh ra nhƣng chƣa nhiều và chƣa

bị đẩy sâu vào trong. Trên các hình 5.5 và hình 5.6 cho biết phân bố B, I và V tại

các thời điểm tiếp theo t2 và t3 ( t3 > t2 > t1). Kết quả cũng đã cho thấy thời gian

khuếch tán càng lớn thì các sai hỏng điểm sinh ra càng nhiều và và bị đẩy càng sâu

vào phía trong. Tại thời điểm t1 điền kẽ Si đã đi sâu vào qua khoảng 5 lớp nguyên tử

Si, còn tại thời điểm t3 thì điền kẽ Si đã vƣợt qua 10 lớp nguyên tử Si. Trên các

hình 5.4, hình 5.5 và hình 5.6 cho thấy nút khuyết cũng đã đƣợc sinh ra do khuếch

tán B trong Si, thời gian khuếch tán dài thì số lƣợng các các nút khuyết đƣợc sinh

ra càng nhiều, các nút khuyết sinh ra không bị đẩy sâu vào trong Si nhƣ điền kẽ mà

chỉ tập trung trong và ngay sau vùng khuếch tán B.

89

Nhƣ vậy, kết quả mô phỏng với những bƣớc nhảy ngẫu nhiên của B và điền

kẽ Si không những mô tả đƣợc quá trình di chuyển của B, I và V trong Si mà còn

mô tả đƣợc các quá trình tƣơng tác giữa B, I và V với nhau, tƣơng tác đã tạo ra hiệu

ứng đẩy (Push Effect) do khuếch tán B trong Si, đồng thời cũng mô tả đƣợc quá

trình sinh, hủy sai hỏng điểm do khuếch tán B trong Si.

Các ký hiệu

Nguyên tử B Điền kẽ Si Nút khuyết Nguyên tử Si ở nút mạng

Bề mặt Si

0

C h

i ề u s â u k h u ế c h t á n

Hình 5.3. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = 0.

90

Bề mặt Si

0

C h

i ề u s â u k h u ế c h t á n

. Hình 5.4. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = t1

91

Bề mặt Si

0

C h i ề u s â u k h u ế c h t á n

. Hình 5.5. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = t2

92

Bề mặt Si

0

C h

i ề u s â u k h u ế c h t á n

. Hình 5.6. Phân bố B và sai hỏng điểm tại thời điểm t = t3

KẾT LUẬN CHƢƠNG V

1. Chƣơng trình đã mô phỏng đƣợc quá trình khuếch tán động của B và sai

hỏng điểm gần đúng với quá trình thực bao gồm:

 Quá trình di chuyển của tạp chất B, điền kẽ Si và nút khuyết trong Si

 Quá trình tƣơng tác giữa các thành phần B, I và V với nhau

 Hiệu ứng đẩy do khuếch tán B trong Si

93

 Quá trình sinh hủy sai hỏng điểm do khuếch tán B trong Si

2. Kết quả mô phỏng phù hợp những kết quả giải số hệ phƣơng trình khuếch

tán đồng thời B, I và V trong Si trên cơ sở lý thuyết nhiệt động lực học không thuận

nghịch.

KẾT LUẬN Các kết quả đạt đƣợc của luận án có thể đƣợc tón tắt nhƣ sau:

1. Nghiên cứu khái quát khuếch tán đơn thành phần và đa thành phần có tƣơng

tác trong Si.

2. Nghiên cứu mở rộng định luật lực tổng quát, định luật Onsager và định luật

Fick:

i. Những ƣu, nhƣợc điểm và những mâu thuẫn của định luật Fick và định

luật Onsager.

ii. Sự tƣơng thích và đồng nhất giữa định luật Fick và Onsager.

3. Phát triển bài toán khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm trong Si:

i. Áp dụng lý thuyết nhiệt động lực học không thuận nghịch (lý thuyết

Onsager) để mô tả quá trình khuếch tán đồng thời B và sai hỏng điểm

trong Si bằng hệ phƣơng trình dạng mật độ dòng của B và sai hỏng

điểm.

ii. Trên cơ sở sự đồng nhất giữa định luật Onsager và định luật Fick, áp

dụng định luật Fick II cho các mật độ dòng khuếch tán dạng Onsager,

để thu đƣợc hệ phƣơng trình mô tả quá trình khuếch tán đồng thời tạp

chất B và sai hỏng điểm trong Si, dạng truyền tải-khuếch tán phi tuyến.

4. Phát triển phƣơng pháp giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, điền

kẽ và nút khuyết trong Si:

i. Phát triển phƣơng pháp sai phân ngƣợc dòng để thực hiện giải số hệ

phƣơng trình khuếch tán đồng thời B, điền kẽ và nút khuyết trong Si.

Tìm ra phân bố tạp chất B và sai hỏng trong Si theo chiều sâu, theo

nhiệt độ và theo thời gian.

ii. Ứng dụng kết quả để lý giải các kết quả thực nghiệm, các dự đoán lý

thuyết và các hiện tƣợng khuếch tán dị thƣờng trong Si.

94

5. Thực hiện mô phỏng quá trình khuếch tán động gần đúng với quá trình thực

của B và sai hỏng điểm trong Si gồm:

i. Các quá trình di chuyển các nguyên tử B sai hỏng điểm trong Si.

ii. Các quá trình tƣơng tác giữa B, điền kẽ và nút khuyết với nhau và với

mạng tinh thể Si.

iii. Hiệu ứng đẩy do khuếch tán B trong Si

iv. Quá trình sinh - hủy sai hỏng điểm trong Si.

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Vu Ba Dung and Dao Khac An (1999), “Numerical Solution of boron

dopant, self interstitial and vacancy depending on diffusion temperature theory”, Proceedings of The 3rd thermodynamics irreversible using

International Workshop on Materials Science IWOMS'99, pp. 529-532.

2. Vu Ba Dung, Dao Khac An (2000), “The irreversible thermodynamic theory

for solution of simultaneous multidiffusion of dopants and point defect in

silicon semiconductor material”, Proceedings The third Vietnam-German

seminar on Physics & Eng, HCM City, April 2000, pp. 201-206.

3. Vu Ba Dung (2000), “On the diffusion mechanism and diffusivities of the III

and V group dopant in silicon material”, Journal of science, Natural

sciences, t. XVI, (4), pp. 12-15.

4. Vu Ba Dung (2001), “On the simultanoeus diffusion equation system of

boron, arsenic and point defect in silicon material”, Journal of science,

Natural sciences, t. XVII, (3), pp. 1-6.

5. Vu Ba Dung and Dao Khac An (2001), “Preliminary Results of Numerical

Profiles for Simultaneous Diffusion of Boron and Point Defect in Silicon

using the Irreversible Thermodynamic Theory”, Defect and Diffusion Forum,

Vol. 194-199, pp. 647- 652.

6. Dao Khac An, Phan Anh Tuan, Vu Ba Dung and Nguyen Ngoc Long

(2005), “Some remarks of simultaneous diffusion of two dopant and point

95

defect: Theoretical-practical problems, modeling and application”,

Proceedings of The Osaka University-Asia Pacific-Vietnam National

University, Hanoi Forum, HaNoi, 27 - 29 September 2005, p. 92.

7. Dao Khac An, Phan Anh Tuan, Vu Ba Dung and Nguyen Van Truong

(2007), “On the Atomistic dynamic modeling of simultaneous diffusion of

dopant atom and point defect (B, V, I) in silicon material”, Defect and

Diffusion Forum, Vols. 258-260, pp.32-38.

8. Vu Ba Dung, Dao Khac An and Nguyen Ngoc Long (2010), “The

diffusivities of random walk, gradient concentration diffusion and simulation

of boron diffusion in silicon based on interstitialcy mechanism”,

Proceedings of The first Academic Conference on Natural Science for

Master and PhD Students from Cambodia - Laos - Vietnam, March 2010,

Vientiane, Laos, pp. 311-318.

9. Vu Ba Dung, Dao Khac An and Nguyen Ngoc Long (2010), “Compatible

investigation of the complex diffusion problem based on Fick theory,

irreversible thermodynamic theory and general force law”, Proceedings of

The first Academic Conference on Natural Science for Master and PhD

Students from Cambodia - Laos - Vietnam, March 2010, Vientiane, Laos,

pp. 319-325.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Abe S. and Thurner S. (2005), “Anomalous diffusion in view of Einstein's

1905 Theory of Brownian motion”, Physica A: Statistical Mechanics and its

Applications, Vol. 356, pp. 403-407.

2. Asano K. (2006), Mass Transfer, Wily-VCH, pp.10-11.

3. Agarwal A. M. and Dunham S. T. (1995), “Consistent Quantitative Model

for the Coupled diffusion of Point Defect Interactions in Silicon", J. Appl.

Phys. Vol.78, pp. 5313 – 5319.

4. Dao Khac An (1990), “Application of the thermodynamics of irreversible

processes for The simultaneous diffusion of Boron and Arsenic and point

96

defects in silicon Material”, Hungary Academy of KFKI-1990-28/E. Central

research institute for physics, pp. 1-43.

An D.K. (1993), “Numerical solution of the non-linear diffusion equation”, 5.

Phys. Stat. Sol. (a), p. 45.

6. An D.K. (1995), “On the train or/and defective region generated under the

diffused layer in silicon material”, Proceeding of the NCST of Viet Nam,

Vol.9, N1, p.90.

7. Dao Khac An (1985), “Numerical solution of the non-linear diffusion

equation for the anomalous boron diffusion in silicon”, Phys. Stat. Sol. (a)

90, p.173.

8. Dao Khac An, Konkoly A., Toth A.L. (1996), “Some features of defect

generation during the diffusion of impurity in silicon Material”,

Communications in Physics. Vol. 6, p. 25.

9. An D.K, Mai L.H., and Hoi P., (1983), “Concentration dependence of the

diffusion coeficient in silicon”, Physica Status Solidi, Sol. (a), Vol. 82, p.

144 - 148.

10. Dao Khac An and Vu Ba Dung (2001), “Preliminary Results of Numerical

Profiles for Simultaneous Diffusion of Boron and Point Defect in Silicon

using the Irreversible Thermodynamic Theory”, DEFECT and DIFFUSION

Forum, Vol. 194-199, pp. 647- 652.

11. D.K. An, V.B. Dung, P.A. Tuan and N.V. Truong (2007) “On the Atomistic

dynamic modeling of simultaneous diffusion of dopant atom and point

defect (B, V, I) in silicon material”, DEFECT and DIFFUSION Forum, Vol.

258-260, pp. 32-38.

12. Dao Khac An (2007), “Important features of anomalous single dopant

diffusion and simultaneous diffusion of multi dopants and point defect in

semicondurs”, Journal of defect and diffusion forum, TransTech Publication

Ltd, Switzerland. Vols 194 – 199, pp. 653 – 659.

13. Dao Khac An (1989) , Analysiss of the Elemental Diffusion profile

Simultaneous Diffusion of Two Dopants into Silicon Material and

97

Applications in Semiconductor Device Technogy, the Hungarian Academy

of Sciences.

14. An D.K., Barna A., Mald K., Battistig G. and Gyulai.J. (1989), The

simultaneous diffusion of Gold and Boron into silicon: Push effect of Gold to

Boron.", Phys. Stat. Sol. (a) Vol. 116, p. 561-568.

15. Ben-Avraham D. (1997), “Computer Simulation Methods for Diffusion-

Controlled Reactions”, Journal Chemical Physics, Vol. 88 (2), pp. 941-948.

16. Bernard L. (1978), Thermodynamics of irreversible processes, London-

Basingstoke-Mchil-lan.

17. Berg H. C. (1993), Random Walks in Biology, Princeton University Press,

Princeton, New York.

18. Beniere F. (2000), “Diffusion in and Through Polymers”, Defect and

Diffusion Forum, Vol. 194-199, pp. 897-908.

19. Boltack B.I. (1971), Diffusion and point defect in semiconductor, Published

“Science’’ Leningrad.

20. Bosworth R.C.L. (1958). “Transport Proc. in Appl. Chemisstry”, J. Chem.

Educ., Vol. 35 (3), p. A128.

21. Boorgoin J., Lannoo M. (1983), Point Defects in Semiconductors I-II,

Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York.

22. Bracht H., Stolwijk N.A. and Mehrer H. (1995), “Properties of intrinsic point

defects in silicon determined by zinc diffusion experiments under

nonequilibrium conditions”, Phys. Rev., B 52, 16542–16560.

23. Borisenko V.E. and Yudin S.G. (1987), “Steady-state solubility of

substitutional impurities in silicon”, Phys. Status Solidi, A 101(1), p.123.

24. Brogioli D. and Vaitali A. (2001), “Diffusive mass transfer by

nonequilibrium fluctuations: Fick's law revisited”, Phys. Rev. E63, pp.1- 4.

25. Brotzmann S. and Bracht H. (2008), “Intrinsic and extrinsic diffusion

of phosphorus, arsenic, and antimony in germanium” J. Appl. Phys.

Vol. 103, p. 33508.

26. Braun O.M. and Scholl C.A. (1998), “Diffusion in generalized lattice-

gas models”, Phys. Rew. B58, p. 14870.

27. Buchwald D.K. (2007), Collected papers of A. Eistein, Pricetion University

Press, Vol. 2.

98

28. Chapman S. and Cowling T.G. (1970), “The Mathematical Theory of

Non-Uniform Gases”, Cambridge Univ. Press, p.6.

29. Choi I.D., Matlok D.K. and Olson D.L. (1990), Material Science and

Engineering A, Vol. 124, pp. 15-18.

30. Cowen N.E.B., Teunuissen M.J.J., Roozeboom F. and Berkum J.G.M.

(1999), “ Boron-enhanced diffusion in silicon: bulk and surface layers”, App.

Phys. Lett., Vol. 75, pp. 181-183.

31. Crank J. (1975), The mathematics of diffusion, Oxford University press.

32. Denbingh K.G. (1951), “The Thermodynamics of the Steady State”, Wiley

London, pp. 65 - 84.

33. Vu Ba Dung and Dao Khac An (1999), “Numerical Solution of boron

dopant, self intersititial and vacancy depending on diffusion temperature

using irreversible thermodynamics theory”, The 3rd Inter. Workshop on

Materials Science IWOMS'99, Hanoi, Procee-dings, Part II, pp. 529-532.

34. Vu Ba Dung (2000), “On the diffusion mechanisms of the III and V group

dopant in silicon Material”, Proceedings of the Third Vietnamese-German

Workshop on Physics and Engineering, HCM city, pp.189-192.

35. V.B. Dung, D.K. An (2000), “The irreversible thermodynamic theory for

solution of simultaneous multidiffusion of dopants and point defect in silicon

semiconductor material”, Proceedings The third Vietnam- German seminar

on Physics & Eng, HCM City, April 2000. pp. 201-206.

36. V.B. Dung (2000), “On the diffusion mechanism and diffusivities of the III

and V group dopant in silicon material”, Journal of science, Natural

sciences, t. XVI, (4), pp. 12-15.

37. V.B. Dung (2001), “On the simultanoeus diffusion equation system of boron,

arsenic and point defect in silicon material”, Journal of science, Natural

sciences, ISSN 0866 – 8612, t. XVII, (3), pp. 1- 6.

38. Dunkel J., Talkner P. and Hanggi P. (2007), “Relativistic diffusion

processes and random walk models”, Physcal Review D 75, p. 43001-8

39. Eistein. A (1956), “Investigation on the Theory of the Brounian movement”,

New York: Dover palications, Inc., p. 119.

99

40. Fahey A.M., Griffin P.B. and Plummer J.D. (1989), “Point defects and

dopant diffusion in silicon”Rev. Mod. Phys. Vol. 61, pp. 289–384.

41. Fahey P., Dutton R.W. and Hu S.M. (1984), “Supersaturation of Self-

Interstitials and Undersaturation of Vacancies during Phosphorus Diffusion

in silicon’’, Appl. Phys. Lett., vol. 44, pp. 777-787.

42. Fahey P., Griffin P. and Plummer J. (1989), “Point Defects and Dopant

Diffusion in Silicon”, Rev. Modern Phys., Vol. 61 (2), pp. 289-384.

43. Fair R.B. (1979), “The Effect of Strain-Induced Bandgap Narrowing on High

Concentration Phosphorus in Silicon”, J. Appl. Phys., Vol. 50, p. 860.

44. Fair R.B. (1981), Impurrity Doping Processes in Silicon, North- Holland,

New York, p. 315.

45. Fair R.B. (1988), “Diffusion and Ion Implantation,” in Mc Guire G.E. Ed.

“Semiconductor Materials and Process Technology”, Noyes Publications.

46. Fick A. (1855), Poggendorff's Annel. Physik., Vol. 94, p. 59.

47. Fick A. (1855), Phil. Mag., Vol.10, p.30.

48. Frank W., Gosele U., Meherer H. and Seeger A. (1984) “Diffusion in Silicon

and Germanium”, Academic Press N.Y., pp. 63-142.

49. Frederickson A.R. and Karakashian A.S. (1992) “Recombination-induced

random walk diffusion of interstitial carbon in silicon”, Journal of Electronic

Materials, Volume 21, Number 7, pp. 745-752.

50. Ghandhi S.K. (1968), “The Theory and Practice of Microelectronics”,

John Wiley.

51. Garbaczewski P. (2008), “Entropy and time: Thermodynamics of diffusion

processes”, Acta. Phys. Pol. E39, pp. 1087-1101.

52. Giles M.D. (1993), “transient phosphorus from silicon and implantation

damage” Apld. Phys. Lett., 62, pp.1940-1942.

53. Gosele U. and Tan T.Y. (1983), Defects in Semeconductor II, North-

Holland, New York, p.153.

54. Gosele U., Mariopton B.P.R. and Tan T.Y. (1990), Defects Controll in

Semiconductors, North-Holland Amsterdam, p. 77.

55. Gosele U. and Tan T.Y. (1985), “Influence of point defects on diffusion and

gettering in silicon”, Impurity Diffusion and gettering in silicon, Materials

Researach Society Symposia Proseding, vol. 36, p. 105.

100

56. Gotrand C. (1993), “Co-Diffusion of As and B in polysilic on during

rapid thermal annealing”, Semicond. Sci. Technology, Vol. 8, p. 155.

57. Grood S.R., Marzur P. (1972), Non-equilibrium Thermodynamics, North

Holland, Amsterdam.

58. Gossman H.J., Rafferty C.S., Luftman H.S., Unterwald F.C., Boone T., Poate

J.M. (1993), “Oxidation enhanced diffusion in Si B-doping superlattices and

Si self-interstitial diffusivities”, App. Phys. Lett., Vol. 63, pp. 639- 641.

59. Guerrero E., Jungling W., Potzl H., Gosele U., Mader L., Grasserbauer L.

and Stingeder G. (1986), “Determination of the Retarded Diffusion of

Antimony by SIMS Measurement and Numerical Simulation”, J.

Electrochem. Soc., Vol. 133, p. 2181.

60. Hanggi P., Mokshin A. and Yulmetyev R. (2005), “Diffusion processes and

memory effects”, New J. Phys. Vol. 7, p.9.

61. Harris R.M. and Antoniadis D.A. (1983), "Silicon Self-Interstitial

Enhancement During Phosphorus Diffusion," Appl. Phys. Lett., Vol. 43, p.

937-939.

62. Hartley G. S. and Crank S. (1949), “ Some fundamental difinitions and

concepts in diffusion processes”, Trans. Far. Soc., Vol. 45, pp. 801-818.

63. Haynes T.E., Eagleham D.J., Stock P.A., Gossmann H.J., Jacobson D.C. and

Poate J.M. (1996), “Interactions of ion-implantation-induced interstitials with

boron at high concentrations in silicon”, Appl. Phys. Lett. 69, p. 1376.

64. Hoffmann J.D. (1993), “Numerical methods for engineers and scientists”,

In. Ed. Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 755. p. 524.

65. Hollis J.E.L. (1970), “Diffusion in materials”, Computer-Aided Design,

Vol. 2, pp. 3-10.

66. Hu S.M. (1973), Atomic Diffusion in Semiconductors, Plenum Press,

London and New York, p. 217.

67. Hu S.M. (1973), “On interaction potential, correlation factor vacancy

mobility and activation Energy of impurity diffusion in diamond lattice ”,

Phys. Stat. Sol. (b), p. 539.

68. Hu S.M. (1974), “Correlation factor vacancy mobility and activation Energy

of impurity diffusion in diamond lattice ”, Phys. Rew, Vol. 177, p. 1334.

69. Hu S.M. (1969), “General theory of impurity diffusion in semiconductorsvia

101

the Vacancy Mechanism”, Phys. Rew, Vol.180 (3), p. 773.

70. Hu S.M. (1973), Diffusion in Silicon and Germanium, Atomic Diffusion

in semiconductors, Plenum Press, London/New York, p. 217.

71. Janke C., Jones R., Coutinho J., Oberg S. and Briddon P.R (2008), “Ab

initio investigation of phosphorus and boron diffusion in germanium”,

Materials Science in Semiconductor Processing, Vol. 11, pp. 324 -327.

72. Janke C., Jones R., Oberg S., Briddon P.R. (2008), “Ab initio investigation

of phosphorus diffusion paths in germanium”, Phys. Rev. B 77, p. 195210.

73. Jones S.R. (2008), Diffusion in Silicon, IC Knowledge LC, USA.

74. Jones S.W. (1999), “Process technology for the 21st Century”,

Semiconductor Consulting Services.

75. Jost W. (1960). “Diffusion in Solids, Liquids and Gases”, Acad. Press,

NewYork.

76. Kalnin J.R., Kotomin E.A. and Kuzokov V.N. (2000), “Calculation of the

Effective Diffusion Coefficients in Inhomogeneous Solids”, Defect and

Diffusion Forum, Vol. 194-199, pp.163-168.

77. Keller H.B. (1970), A new Deference scheme of parabolic problem.

Numerical solution of partial differential equations, vol.2, Academic press,

New York.

78. Kim K., Chang K.H., Kong Y.S. (1999), “Decay process for tree-species

Reaction-diffusion system”, Journal of the Physical society of Japan.

Vol. 68, No. 4, p.1450.

79. Koch W. and Dohm V. (1997), “Finite-Size effects on critical diffusion and

relaxation towards metastable Equilibrium”, Phys. Rew, E58 (2-A), p.1179

80. Kuiken G.D.C. (1994), Thermodynamics of Irreversible Processes:

Applications to Diffusion and Rheology, Wiley, London.

81. Lannoo M., Bourgoin J. (1981), Point Defects in Semiconductor I-II ,

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.

82. Lee Y.J, Niemiem R.M (2000), “Defects and Diffusion: Principles

Modeling”, Forum, Vol. 194-199, pp. 261-278.

83. Lee W.C. (1998), “First-Principles of Self - Interstitial Diffusion Mechanism

in Silicon”, Conders. Master., Vol. 10, pp. 995-1002.

84. Lever R.F, Garben B., Hsieh C.M., Orr Arienzo W.A. (1985), “Diffusion

102

of Boron From Polysilicon at High Cocentration”, Impurity Diffusion and

gettering in silicon, Materials Researach Society Symposia Proseding, Vol.

36, Pittsburgh, Pennslvania, USA, p. 94.

85. Lin A.M., Dutton R.W., and Antoniadis D.A. (1979), Paper 133 presented at

the Electrochemical Society Meeting, Boston, Massachusetts.

86. Luthi P.O, Ramsden J.J, and Choprd B. (1997), “Role of Diffusion in

Irreversible deposition”, Phys. Rew, E55(3-B), p. 3111.

87. Marshak A.H. and Assaf D. (1973), “A generalized Einstein relation for

semiconductors”, Solid-State Electronics, Vol.16, pp. 675-679.

88. Mathiot D. and Pfister J.C. (1985), Diffusion mechanisms and

nonequilibrium defects in Si, Materials Researach Society, vol. 36, p.117.

89. Mathiot D. and Pfister J.C., (1984), “Dopant diffusion in silicon, A

consistent review involving nonequilibrium Defect”, J. Appl. Phys, 55(10),

p. 3518.

90. Mathiot D. and Pfister J.C. (1986), “Point defects kinetics and dopant

diffusion during silicon oxidation”, J. Appl. Phys, Lett, 48, p.627.

91. Matsui K., Hasiguti R.R, Shoji T., Ohkawa A. (1995), “In Lattice Defects in

Semiconductor”, Inst. Phys. London, Conf. Ser. 23, p. 523.

92. Mazo R.M. (2002), Brownian motion Fluctuations, Dynamics and

Applications, Oxford Science Publications, New York (2002).

93. Milne W.E. (1953), Numerical solution of differential equations, John

Wiley & Sons, New York.

94. Mishin Y., Vogl G., Cowern N., Catlow R., Farkas D. (1998), “Diffusion

mechanisms in Crystalline Materials”, The MRS Symposium. Proceedings

Series (MRS Spring Meeting, San Francisco, CA), Vol. 527, p. 210.

95. Miszuon S., Higuchi H. (1985), “Investigation of point defects in Si by

impurity diffusion”, Impurity Diffusion and gettering in silicon, Materials

Researach Society Symposia Proseding, vol.36, Pittsburgh, Pennslvania,

USA, p. 125.

96. Naeem M.D. (1996), “Evaluation of barriers for B and P diffusion into

103

As-doped polysilicon”, Thin Solid Films, Vol. 290-291, pp.485-492.

97. O’Brien G., Hyman M., Kaplan S. (1991), “A study of Numericalsolution of

partial differential equations”, J. Math. Pys, 29B, p. 4.

98. Okino T. and Shimozaki T. (1999), “Thermal equilibrium concentrations and

diffusivities of intrinsic point defects in silicon”, Physica B: Condensed

Matter, Vol. 273-274, pp. 509-511.

99. Oláh K. (2001). “Thermokinetics of the Equilibrium State”, Per. Polyt.

Chem. Eng., Vol. 45, pp.3-33.

100. Onsager L. (1931). “Reciprocal Relations in Irreversible Processes I-II”,

Phys. Rev., Vol. 37, p. 405, Vol. 38, p.2265.

101. Orlowski M., Mazure C. and Mader L., (1998), “Simulation of soure/drain

structure for submicron mosfets with and without preamorphization”,

Journal de Physique, Vol.49, No. C4, pp. 557 – 560.

102. Perrot P. (1998), A to Z of Thermodynamic, Oxford University Press.

103. Philibert J. (2005), “One and a Half Century of Diffusion: Fick, Eistein

before and beyond”, Diffusion Fundamantals 2(2006), pp. 1-10.

104. Philibert J. (2006), “One and half century of diffusion: Fick, Eisein

before and beyond”, Diffusion Fundamentals 4(2006), pp.1-19.

105. Pichler P. (2004), “Intrinsic Point Defects, Impurities and Their Diffusion in

Silicon”, Springter-Verlag Wien New York, pp.31-34.

106. Posselt M., Gao F., and Bracht H. (2009), “Correlation between self-

diffusion in Si and the migration mechanisms of vacancies and self-

interstitials: An atomistic study”, Phys. Rev. B79, p.119901.

107. Ratciff G. (1967), “Diffusion in semiconductor materials with a vapor

source”, Microelectronics and Reliability, Vol. 6, pp.331-332.

108. Rubia T.D. and Gilmer G.H. (1995), “Structural Trans-formation on

defect Production in implanted Silicon: A moleculer Dynamics simulation

Study”,Phys. Rev. Lett. Vol. 74, p.2507.

109. Rudnick J. and Gaspari G. (2004), Elements of the Random Walk, Cambridge

University Press.

110. Sadish B., Lenosky T.J., Theiss S.K., Caturla M.J., De la Rubia T.D (1999),

104

“Mechanism of Bron Diffusion in Silicon: An Bb Inito and and Kinetic

Monte Carlo Study”, Appl. Phys. Vol. 83, (21), pp.4341-4344.

111. Schaake H.F. (1985), “Impurity Diffusion and gettering in silicon”, J. Appl.

Phys, Vol. 55, (36) p.1280.

112. Schaake H. F. (1985), “The Diffusion of Phosphorus in Silicon from High

sureface Concentrations”, Impurity Diffusion and gettering in silicon,

Materials Researach Society Symposia Proseding, vol.36, Pittsburgh,

Pennslvania, USA. p.130.

113. Seto S., Sakaguchi T., Nakabayashi Y., Matsumoto S., Murota J., Wada K. and

Abe T. (2004), “Determination of Silicon self-interstitial diffusivity using

isotopically pure silicon multi-layer”, Materials Science and Engineering B,

Vol.114 - 115, p.334.

114. Seo J., Hwang C., Kwon, Kim K. and Won T., (2004) “Kinetic Monte Carlo

Modeling of Boron Diffusion in Si Crystalline Materials”, Technical

Proceedings of the 2004 NSTI Nanotechnology Conference and Trade Show,

Vol.3, pp. 141 – 148.

115. Sharma B.L. (1970), “Diffusion in Semiconductors”, Trans. Tech. Pub.

Germany, Vol.87.

116. Shaw D. (1990), “Diffusion mechanisms in II–VI materials”, Journal of

Crystal Growth, Vol.86, pp.778-796.

117. Sher A. (1990), “Modeling of mechanical properties of II–VI materials”,

Journal of Crystal Growth, Vol.86, pp.15-24.

118. Shibata Y., Hashimoto S., Taniguchi K. and Hamaguchi C. (1992),

“Oxidation Enhanced Diffusion of Phosphorus over a Wide Range of

Oxidation Rates”, J. Electrochem. Soc.Vol. 139, p.231.

119. Silvestri H. H., Sharp I., Bracht H., Nicols S. P., Beeman J. W., Hansen J. L.,

Larsen A. N, and Haller E. E. (2002) "Dopant and Self-Diffusion in Extrinsic

n-Type Silicon Isotopically Controlled Heterostructures" MRS Symp. F,

Spring 2002, San Francisco; Mat. Res. Soc. Proc. Vol. 719, pp. 427-32.

120. Singer A. and Schuss (2005), “Brownian simulations and unidirectional

flux in diffusion”, Phys. Rev. E 71, p.026115-1.

121. Stolwijk N.A, Bosker G., Propping J., “Hybrid Impurity and Self-Diffusion

GaAs Related Compounds: Recent Progress”, Defect and Diffusion Forum,

105

Vol. 194-199, pp.687-702.

122. Stratanovich R.L. (1985), Non-equiblibriun, Non-linear Thermodynamics,

Nauka, Moscow.

123. Suni I.I. (1997), “Mass transfer surface diffusion of noble gases”, Thin

Solid Films, Vol. 306, pp.62-66.

124. Tang M., Colombbo L., Zhu J. and De la Rubia D. (1997), “Intrinsic Point

Defects in Crystalline Si: Tight-Binding Molecular Dynamics Stadies of

Self-Diffusion, Interstitial-Vacanc Recombination and Formation Volumes”,

Phys. Rev. B. 55, Vol.11, pp.14279-14289.

125. Thai N.D. (1970), Solid State Electronics 13, p.165

126. Tsakalakos T. (1986), “Nonlinear diffusion”, Scripta Metallurgica, Vol. 20,

pp.471-478.

127. Toshiharu S. (2002), “Suppression of oxidation-induced stacking fault

generation in argon ambient annealing with controlled oxygen and the effect

upon bulk defects”, Materials Science in Semiconductor Processing, p.5.

128. Tuck B. (1988), Atomic Diffusion in semiconductor, IOP, Bristol.

129. Ural A., Griffin P.B. and Plummer J.D. (1999), “Self-diffusion in silicon:

Similarity between the properties of native point defects”, Phys. Rev. Lett.

Vol. 83, p.3454.

130. Ural A., Griffin P.B. and Plummer J.D. (1999), “Diffusion in silicon and the

predictive power of ab-initio calculations” J. Appl. Phys. Vol. 85, p. 6440.

131. Voronkov V.V, Falster R. (2002), “Intrinsic Point Defects and Impurities in

Silicon Crystal Growth” Journal of the Electrochemical Society, Vol. 149

(3), pp.167-174.

132. Yoshida M., Morooka M., Takahashi M., Tomokage H. (2000), “Controling

Process of P Diffusion in Si Based on the Pair Diffusion Model”, Defect and

Diffusion Forum, Vol.194-199, pp.617-622.

133. Watkins G.D. (1975), “Defects in irradiated silicon”, Phys. Rev. B 12, pp.

5824-5839.

134. Watkins G.D., Troxell and Chatterjee J.R. (1978), “Vacancies and interstitial

in silicon”, Inst. Phys. Conf. Ser. No.46 Chatter I, p.16.

135. Watkins G.D. (1994), Lattice Defects in Semiconductor, Inst. Conf. Ser. 23.

106

136. Watkins G.D. (1965), In Radiation Damage in Semiconductors, Edited by

P. Baruch, Dunod -Paris, p. 97.

137. Watnabe K., Nakamura K., Ezawa H. (1999), “Thermos Field Dynamics

of Irreversible Processes”, Journal of the Physical society of Japan, vol. 68

(4) p. 219.

138. Willoughby A.F.W., Bonar J.M., Dan A. (2000), “Enhamced Diffusion

Following Point Defect Injection into B in SiGe and Si”, Forum,

Vol.194-199, pp. 717-722.

139. Windl W., Bunea M.M., Stumpf R., Dunham S.T., and Masquelier M.P.

(1999), “First-Principles Study of Boron Diffusion in Silicon”, Phys. Rev.

Lett., Vol. 83 (21), pp.4345-4348.

140. Wijaranakula W. (1993), “An Anomalous Enhanced Tail Diffusion of

Boron in Directly Bonded Samples of Heavily and Lightly Doped Silicon”

Jpn. J. Appl. Phys. Vol.32, pp.3872-3878.

141. Wolf H.F. (1969), Silicon Semiconductor Data, Perfamin Press.

142. Yoshida M., Morooka M., Takahashi M. and Tomokage H. (2000),

“Effective Diffusion Coefficient and Controlling Process of P Diffusion in Si

Based on the Pair Diffusion Models of Vacancy and Interstitial

Mechanisms”, J. Appl. Phys. Vol. 39, pp. 2483-2491.

143. Yoshida M., Morooka M., Takahashi M. and Tomokage H. (2000),

“Controlling Process of P Diffusion in Si Based on the Pair Diffusion

Model”, Defect and Diffusion Forum, Vol. 194-199, pp. 617-622.

144. Yoshida M., Takahashi M. and Tomokage H. (1999), “ Bulk Boundary

Condiction for Numerical Solution if Simultaneous Diffusion Equations of

Phosphorus and Poindifects in Silicon”, Jpn. J. Appl. Phys. Vol.38, pp.36-37.

145. Zhu J., Diaz de la Rubia T., Yang L. H, Mailhiot C. and Gilmer G.H. (1986),

“Ab initio pseudopotential calculations of B diffusion and pairing in Si”,

Phys. Rev. B 54, pp.4741-4747.

PHỤ LỤC

P.1. Chƣơng trình giải số hệ phƣơng trình khuếch tán

107

của B, I và V

Program KT31; Uses crt,Graph,Unit31,Graph31; var nen,cut:integer; bcut,bp: real; Cb,Ci,Ci1,Cv,depth:Mt1cR; {---------------------------------------------------------------} procedure VT(mgx,mgy:Mt1cR); var xb0,xb1:integer; BEGIN xg:=0;yg:=0;dx:=20;dy:=20; x1:=110;y1:=30; x2:=520;y2:=340; maxmin(mgx,0,Nx,xmax,xmin); maxmin(mgy,0,Nx,ymax,ymin); sdy:=round(ymax)-Trunc(ymin);sdx:=round(xmax)-trunc(xmin); xg:=xmin ; yg:=ymin; x0:=x2-round((x2-x1)/(xmax-xmin)*(xmax-xg)); y0:=Y1+round((y2-y1)/(ymax-ymin)*(ymax-yg)); seTbkcolor(15); setcolor(8); setlinestyle(0,0,1); rectangle(x1,y1,x2,y2); END; {--------------------------------------------------------------} Procedure VC; var s:string[20]; chso,bp :real;so,xb0,xb1,xb:integer; BEGIN setcolor(8); settextstyle(2,0,1); settextjustify(0,2); bp:=(xmax-xg)/sdx ; For i:=0 to sdx do BEGIN chso := xg+i*bp;str(chso:2:0,s); xb:=X0+Round(i*(x2-x0)/sdx);line(xb,y0+1,xb,y0-1); END; setcolor(8); For i:=0 to sdy do BEGIN so :=round(yg)+i;str(so:2,s); xb:=y0-Round(i*(y0-y1)/sdy); line(X0+1,Xb,x0-1,xb); END; END; {-------------------------------------------------------------------} Procedure VE(mgx,mgy:Mt1cR;cat:integer); Var i1:integer;

108

begin setbkcolor(15); setfillstyle(1,nen); bar(445,27,545,4);setcolor(0); outtextxy(100,455,'an phim enter de ve do thi'); i1:=0; While (mgy[i1] > cat)AND (i1 cat) AND (i1 cat) AND (i1 cat) AND (i1 cat) AND (i1

109

Procedure VE3(mgx,mgy:Mt1cR;cat:integer); Var i1:integer; begin i1:=0; While (mgy[i1] > cat) AND (i1 cat) AND (i1

110

x:=40; y:=40 ; setfillstyle(2,nen);bar(0,0,600,200);setcolor(2); setfillstyle(1,nen);bar(0,0,600,60); Assign(f,filename); rewrite(f); st1:=' Input DATA file of program: '; Gwr(x,y,st1); Grd(x,y,st2); st1:=st1+st2; writeln(f,st1); for i:=1 to 4 do writeln(f,pst[i]); for i:=1 to 4 do begin writeln(f,dreal[i],' '); end; close(f); Tkt:=dreal[1]; khg:=dreal[2]; T:=dreal[3]; Cb0:=dreal[4]; end; {----------------------------------------------------------------------} Procedure outfromdisk(var f:text;filename:str80); var x,y:integer; ch:char; begin cleardevice; opfile(f,filename); x:=4; y:=2 ; for i:=0 to 4 do begin readln(f,pst[i]);hiendkt(pst[i],x,y,0,13);y:=y+1; end; for i:=1 to 4 do read(f,Dreal[i]); close(f); Tkt:=dreal[1]; khg:=dreal[2]; T:=dreal[3]; Cb0:=dreal[4]; x:=50;y:=3 ; for i:=1 to 4 do begin str(Dreal[i]:10,st1);hiendkt(st1,x,y,0,13);y:=y+1; end; X:=20;y:=360; repeat Setcolor(2); Outtextxy(20,y,'Press button ENTER to Continue ');ch:=readkey; if upcase(ch)='Enter' then begin if y=400 then begin bar(20,y,getmaxx,getmaxy);end; end; until upcase(ch)<>'ENTER'; cleardevice;

111

end; {----------------------------------------------------------------------} procedure Calculation; label tt; Var kt1,kt2 : byte; fi,fv,hs1,hs2,hs3,hs4,bp,h1,h2,h3,h4,h5,h6,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,g1,g2,g3,g4, g5,g6,g7,k,Db0,Eb,Di0,Ei,Da0,Ea,Dv0,Ev,Kci,Kcv,Eci,Ecv,Ci0,Cv0,fi0,Qi0,QI,QI 1,GI,QV0,QV,QV1,GV,Dbi,Dii,Dvi,Vbi,Vii,Vvi,Fbi,Fii,Fvi,a,FF:real ; ii,skt,xc,yc,x,y,mn,i1,i0:integer; {----------------------------------------------------------------------} Function dh1(a:mt1cR;i:integer):real; Begin dh1:= a[i+1]-a[i-1] ; End; Function dh2(a:mt1cR;i:integer):real; Begin dh2:=a[i+1]-2*a[i]+a[i-1] ; End; {----------------------------------------------------} Function tpht(A:mt1cR):real; var tg:real;ii:integer; begin tg:=a[0]; for ii := 1 to nx do tg:=tg+a[ii]; tpht:=dlx*tg; end; {----------------------------------------------------} {*}BEGIN setbkcolor(0); tt: x:=10; y:=5 ; setfillstyle(2,nen); bar(0,0,200,200); setbkcolor(1); setcolor(2); St1:=' Input DATA from KEYBOARD or HARD DISK (K/D):'; x:=5;y:=30; gwr(x,y,st1); grd(x,y,st2); setfillstyle(2,nen);bar(0,0,600,200);setcolor(2); if (st2='K')or(st2='k') then Inputdata(fin,inname); if (st2='D')or(st2='d') then outfromdisk(fin,inname) ; {------------------------------------------------------------------------} thg:=900; nx:= 170; dlt:=1.0; dlx:= khg/nx; tcx:= dlt/sqr(dlx); k:=8.6e-5; {eV/K - Hang so Boltzmann} Da0:=0.25;Ea:=4.05; Db0:=1.14; Eb:=3.47; Di0:=1.01e-5; Ei:=1.76; Dv0:=0.10; Ev:=2.99; Kci:=5.0e30; Eci:=4.7; Kcv:=2.0e23; Ecv:=3.1; fi0:=1.5; Qi:=0.193;

112

a:=0.5e-8; Db:=Db0*exp(-Eb/(k*T)); Da:=Da0*exp(-Ea/(k*T)); Di:=Di0*exp(-Ei/(k*T)); Dv:=Dv0*exp(-Ev/(k*T)); Ci0:=Kci*exp(-Eci/(k*T)); Cv0:=Kcv*exp(-Ecv/(k*T)); fi:=fi0*exp(-Qi/(k*T)); fv:=1-fi; FF:=fi*fv*Sqrt(Db)/a; {--------------------------------------------------------} h1:=tcx*(Ci0/Cb0)*((Cv0*dv*cv[i]-Cb0*db*Cb[i])/Ci0*ci[i] +(Cb0*db*cb[i]-Ci0*di*ci[i])/Cv0*Cv[i]); h2:=tcx*db/Cv0*cv[i]; h3:=tcx*Cv0*dv*Cv[i]/Cb0*ci[i]*ci[i]; h4:=tcx*di/Cv0*Cv[i]; h5:=tcx*(Ci0*di*ci[i]-Cb0*db*Cb[i])/Cv0*Cv[i]*Cv[i]; h6:=tcx*(Ci0/Cb0)*((dv/Cb0*Cb[i])+ (Ci0*di*ci[i]-Cb0*db*Cb[i])/Cv0*Cv[i]*Cv[i]); Dbi:=tcx*(2*Db+Dv+(Cb0*db*cb[i]-Ci0*di*ci[i])/Cv0*Cv[i]); Vbi:=(h1*dh2(ci,i)+h2*dh1(cb,i)-h4*dh1(ci,i)+h5*dh1(cv,i)); Fbi:=h3*(dh1(ci,i))*dh1(ci,i)+h6*(dh1(ci,i))*dh1(cv,i); Hs1:=tcx*Db; Hs2:=tcx*Di ; Hs3:=tcx*Dv ; {-------------------------------------------------------------------------} for i:= -1 to (nx+1) do begin Cb[i]:= 0.0; Ci[i]:=1; Cv[i]:=1; end; Cb[-1]:=1.0; Cb[0]:=1.0; Ci[-1] :=0; Ci[0]:=0; Cv[0] :=0; Cv[-1] :=0; kt1:=1;kt2:=1 ; totalT:= 0.0; {------------------------------------------------------------------------} ii:=0; jj:=Round(Tkt/dlt); setfillstyle(2,nen); bar(0,0,600,200);x:=10; y:=50 ; st1:=' Give name OUTPUT data file:'; gwr(x,y,st1 ); grd(x+10,y,outname); Assign(ftt,outname); Rewrite(ftt) ; if outname = '' then goto tt; st1:='Give cut value: Exponent of 10 is X = ';inputdi(155,80,cut,st1); mto:=14;fillsquare(3,mto);mto:=7;Fillcircle(2,mto);mto:=4;drawcircle(3,mto); REPEAT hiendkt('PLEASE WAIT',67,1,16,2); for i:=1 to (Nx-1) do begin Cb[i]:=Cb[i]+Dbi*dh2(cb,i)+Vbi*dh1(cb,i)+Fbi;

113

{------------------------------------------------------------------------} Ci[0]:=1; Cv[0]:=1; Cb[0]:=1; i1:=i-1; if cb[i1] >= 1.0e-9 then BEGIN k1:=tcx*(dv-db+dv*Cv0*Cv[i1]/Cb0*Cb[i1]-di*ci[i1]/cb[i1]); {Cb2} k2:=hs3*Ci[i1]/(cb[i1])*(cb[i1]); k3:=tcx*(di/Cb0*Cv[i1]); k4:=tcx*(Ci0*di/Cv0*Cb[i1]); k5:=tcx*(Cv0*dv/Cb0*Cb[i1]); k6:=tcx*((Cb0*di*Cb[i1]/Cv0*Cv[i1]*Cv[i1])- Ci0*di*ci[i1]/Cv0*Cv[i1]*Cv[i1]); END ; Dii:=(2+(Dv/Di)+(Ci0/Cv0))*Hs2; Vii:=k3*dh1(ci,i1)-k4*dh1(cb,i1); Fii:=k1*dh2(cb,i1)+k2*dh1(cb,i1)*dh1(cb,i1)+k5*dh1(cb,i1)*dh1(cv,i1) +FF*Cb[i1]*dlt; {Tinh Ci} Ci[i1]:=Ci[i1]+Dii*dh2(ci,i1)+Vii*dh1(ci,i1)+Fii; if Cb[i1]>Ci[i1] then {Tinh Cv} begin Cv[i1]:=Cv[i1]-(Cb[i1]-Cb[i1-1]+Ci[i1]-Ci[i1-1]); end; if Cb[i1]

114

begin mgy[i]:= log10(abs(Ci0)); end; Ve1a(mgx,mgy,cut); {------------------------------------------------------------------------} for i:= 0 to nx do begin mgy[i]:= log10(abs(Cv0)); end; Ve2a(mgx,mgy,cut); {-----------------------------------------------------------------------} for i:= 0 to nx do begin if (abs(Cb0*cb[i]))< bcut then mgy[i]:=cut else mgy[i]:= log10(abs(Cb0*cb[i])); end; Ve3(mgx,mgy,cut); {------------------------------------------------------------------------} for i:= 0 to nx do begin if (abs(Ci0*ci[i]))< bcut then mgy[i]:=cut else mgy[i]:= log10(abs(Ci0*ci[i])); end; Ve1a(mgx,mgy,cut); {------------------------------------------------------------------------} for i:= 0 to nx do begin if (abs(Cv0*cv[i]))< bcut then mgy[i]:=cut else mgy[i]:= log10(abs(Cv0*cv[i])); end; Ve2a(mgx,mgy,cut); {------------------------------------------------------------------------} for i:= 0 to nx do begin if (abs(Ci0*Ci[i]))< bcut then mgy[i]:=cut else mgy[i]:= log10(abs(Ci0*Ci[i])); end; {-----------------------------------------------------------------------} kt1:=2; {*} END; if thg <= TotalT then kt2:=0 ; Until (kt2=0) ; close(ftt);cleardevice; setbkcolor(0);setcolor(14); hiendkt('Press ESC to MAIN program',20,2,0,mcc); repeat ch:=readkey;until ch = #27 ; bar(0,0,639,42); end; {------------------------------------------------------------------------} BEGIN

115

clrscr; Khoitao; NDCN; DEMO; setcolor(2); ch1:=#20;ch2:=#0;nen:=0;setbkcolor(2); Repeat cleardevice; If ch1=#0 then ch2:=Readkey; if (ch2=#68) then begin Menung(0,0,2,25,ND,1,1,1,2,chon); cleardevice; Case chon of 1: begin ch2:= #59 ;end; 2: begin ch2:= #60 ;end; 3: begin ch2:= #61 ;end; 4: begin ch2:= #62 ;end; 5: begin ch2:= #27 ;end; end; chon:=0;cleardevice; end; setbkcolor(1); case ch2 of #60:begin calculation end; end; settextstyle(0,0,1); if ch2<>#27 then Begin setfillstyle(2,nen); bar(0,0,200,200); setcolor(2); chon:=0; outtextxy(160,30,'Press F10 to START or ESC to END'); ch1 := readkey ;setfillstyle(1,nen);bar(10,2,500,60); end; Until (ch1=#27); closeGraph; END.

P.2. Chƣơng trình mô phỏng quá trình khuếch tán động của B, I và V

function khuech_tan_vo_han tmax=10;hangmaxsi=10;cotmaxsi=10;hangmaxbo=2;cotmaxbo=10; figure(1); axis([0 11 0 12.5]);hold on; % whitebg([0 .3 1]); fill([0 11 11 0],[0 0 12.5 12.5],'w','Edgecolor','m');axis equal;axis off;hold on;

116

title('Diffusion Simulation \copyright Nguyen Xuan Chung & Vu Ba Dung','FontSize',15,'Fontweight','Bold','color','w'); %creat vacancy for silicon atom============================================ for i=1:hangmaxsi for j=1:hangmaxsi plot(i,j,'oy','Markersize',17,'MarkerFacecolor','y');hold on; end; end; %creat silicon atom==================================================== hangkhuyet=randsample(2:9,3); cotkhuyet=randsample(2:9,3); xx1=randsample(1:9,3)+0.5; yy1=randsample(1:9,3)+0.5; %creat vacancies in Silicon lattice========================================= for tam=1:3 hangsi(hangkhuyet(tam),cotkhuyet(tam))=yy1(tam); cotsi(hangkhuyet(tam),cotkhuyet(tam))=xx1(tam); si(hangkhuyet(tam),cotkhuyet(tam),1)=plot(xx1(tam),yy1(tam),'o','markeredgecolor ',[0.9 0.01 0.01],... 'MarkerFacecolor',[0.9 0.11 0.11],'Markersize',17);hold on; si(hangkhuyet(tam),cotkhuyet(tam),2)=plot(xx1(tam),yy1(tam),'o','markeredgecolor ',[0.9 0.21 0.21],... 'MarkerFacecolor',[0.9 0.31 0.31],'Markersize',12);hold on; si(hangkhuyet(tam),cotkhuyet(tam),3)=plot(xx1(tam),yy1(tam),'o','markeredgecolor ',[0.9 0.41 0.41],... 'MarkerFacecolor',[0.9 0.51 0.51],'Markersize',10);hold on; si(hangkhuyet(tam),cotkhuyet(tam),4)=plot(xx1(tam),yy1(tam),'o','markeredgecolor ',[0.9 0.61 0.61],... 'MarkerFacecolor',[0.9 0.71 0.71],'markersize',6);hold on; end; for i=1:hangmaxsi for j=1:cotmaxsi if (i~=hangkhuyet)|(j~=cotkhuyet) hangsi(i,j)=i; cotsi(i,j)=j; si(i,j,1)=plot(j,i,'o','markeredgecolor',[1 0 0],'MarkerFacecolor',[1 0.1 0.1],'markersize',17);hold on; si(i,j,2)=plot(j,i,'o','markeredgecolor',[1 0.2 0.2],'MarkerFacecolor',[1 0.3 0.3],'markersize',12);hold on; si(i,j,3)=plot(j,i,'o','markeredgecolor',[1 0.4 0.4],'MarkerFacecolor',[1 0.5 0.5],'markersize',10);hold on; si(i,j,4)=plot(j,i,'o','markeredgecolor',[1 0.6 0.6],'MarkerFacecolor',[1 0.7 0.7],'markersize',6);hold on; end; end; end; hold on;

117

for i=1:hangmaxbo for j=1:cotmaxbo hangbo((j-1)*hangmaxbo+i)=i+hangmaxsi; cotbo((j-1)*hangmaxbo+i)=j; bo((j-1)*hangmaxbo+i,1)=plot(j,i+hangmaxsi,'ob','MarkerFacecolor',[0.1 0.1 1],'Markersize',17);hold on; bo((j-1)*hangmaxbo+i,2)=plot(j,i+hangmaxsi,'o','markeredgecolor',[0.2 0.2 1],'MarkerFacecolor',[0.3 0.3 1],'markersize',12);hold on; bo((j-1)*hangmaxbo+i,3)=plot(j,i+hangmaxsi,'o','markeredgecolor',[0.4 0.4 1],'MarkerFacecolor',[0.5 0.5 1],'markersize',10);hold on; bo((j-1)*hangmaxbo+i,4)=plot(j,i+hangmaxsi,'o','markeredgecolor',[0.6 0.6 1],'MarkerFacecolor',[0.7 0.7 1],'markersize',6);hold on; end; end; hold on; %Start run program================================================= lengthbo=length(hangbo(:)); while 1 pbo=rand(size(hangbo(:)));%creat random number for Bo atom------------------ %test to look for vacancy for main position of Silicon======================= for hangnut=1:hangmaxsi+1 for cotnut=1:cotmaxsi testbonut=(hangnut*ones(size(hangbo))==hangbo).*(cotnut*ones(size(cotbo))==cot bo); if sum(testbonut(:))==0 ktranutbo(hangnut,cotnut)=0;%vacancy end; if sum(testbonut(:))~=0 ktranutbo(hangnut,cotnut)=1;%full end; end end; ktranutbo(1,:)=ones(1,cotmaxsi); ktranutbo(1:10,1)=ones(hangmaxsi,1); ktranutbo(1:10,cotmaxsi)=ones(hangmaxsi,1); %check the vacancy of boron atom on the top of boron %========================================= %test to look for vacancy for Bo atom---------------------------------------- for hangdk=1:hangmaxsi for cotdk=1:cotmaxsi testbodk=((hangdk+1/2)*ones(size(hangbo))==hangbo).*((cotdk+1/2)*ones(size(co tbo))==cotbo); if sum(testbodk(:))==0 ktradienkebo(hangdk+1,cotdk+1)=0;%vacancy else ktradienkebo(hangdk+1,cotdk+1)=1;%full end;

118

end end; ktradienkebo(1,:)=ones(1,cotmaxsi+1); ktradienkebo(12,:)=ones(1,cotmaxsi+1); ktradienkebo(:,11)=ones(hangmaxsi+2,1); ktradienkebo(:,1)=ones(hangmaxsi+2,1); %test to look for vacancy of Si atom============================================= for hangdk=1:hangmaxsi for cotdk=1:cotmaxsi testsidk=((hangdk+1/2)*ones(size(hangsi))==hangsi).*((cotdk+1/2)*ones(size(cotsi ))==cotsi); if sum(testsidk(:))==0 ktradienkesi(hangdk+1,cotdk+1)=0;%vacancy else ktradienkesi(hangdk+1,cotdk+1)=1;%full end; end end; ktradienkesi(1,:)=ones(1,cotmaxsi+1); ktradienkesi(12,:)=ones(1,cotmaxsi+1); ktradienkesi(:,11)=ones(hangmaxsi+2,1); ktradienkesi(:,1)=ones(hangmaxsi+2,1); ktradienketp=ktradienkesi|ktradienkebo; %====================================================== for i=1:length(hangbo(:)) if pbo(i)<=1/5%jump to the vacancy===================================== %row of Bo after accepting possibility ------------------------------------ %row of Bo atom and column of Bo atom are integer========================== if (round(hangbo(i))==hangbo(i)) if hangbo(i)>8 hangthu=[hangbo(i)-1/2 hangbo(i)-1/2]; cotthu=[cotbo(i)+1/2 cotbo(i)-1/2]; ktravacancy=[ktradienketp(hangbo(i),cotbo(i)+1) ktradienketp(hangbo(i),cotbo(i))]; end; if hangbo(i)<=8 hangthu=[hangbo(i)+1/2 hangbo(i)+1/2 hangbo(i)-1/2 hangbo(i)-1/2]; cotthu=[cotbo(i)-1/2 cotbo(i)+1/2 cotbo(i)+1/2 cotbo(i)-1/2]; ktravacancy=[ktradienketp(hangbo(i)+1,cotbo(i)) ktradienketp(hangbo(i)+1,cotbo(i)+1) ktradienketp(hangbo(i),cotbo(i)+1) ktradienketp(hangbo(i),cotbo(i))]; end; col=find(ktravacancy==0); if length(col)~=0 if length(col)==1 chiso=col; end;

119

if length(col)>1 chiso=randsample(col,1); end; tghangbo(i)=hangthu(chiso); tgcotbo(i)=cotthu(chiso); ktradienkebo(fix(tghangbo(i))+1,fix(tgcotbo(i))+1)=1; ktradienketp(fix(tghangbo(i))+1,fix(tgcotbo(i))+1)=1; end; if isempty(col) tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); end; end;%ket thuc so nguyen================================================== if round(hangbo(i))~=hangbo(i) % row of Bo atom and column of Bo atom not integer===================== if hangbo(i)>=8 hangthu=[hangbo(i) hangbo(i)-1 hangbo(i)]; cotthu=[cotbo(i)+1 cotbo(i) cotbo(i)-1]; ktravacancy=[ktradienketp(fix(hangbo(i))+1,fix(cotbo(i))+2) ktradienketp(fix(hangbo(i)),fix(cotbo(i))+1) ktradienketp(fix(hangbo(i))+1,fix(cotbo(i)))]; end; if hangbo(i)<8 hangthu=[hangbo(i)+1 hangbo(i) hangbo(i)-1 hangbo(i)]; cotthu=[cotbo(i) cotbo(i)+1 cotbo(i) cotbo(i)-1]; ktravacancy=[ktradienketp(fix(hangbo(i))+2,fix(cotbo(i))+1) ktradienketp(fix(hangbo(i))+1,fix(cotbo(i))+2) ... ktradienketp(fix(hangbo(i)),fix(cotbo(i))+1) ktradienketp(fix(hangbo(i))+1,fix(cotbo(i)))]; end; col=find(ktravacancy==0); if length(col)~=0 if length(col)==1 chisohangcot=col; end; if length(col)>1 chisohangcot=randsample(col,1); end; tghangbo(i)=hangthu(chisohangcot); tgcotbo(i)=cotthu(chisohangcot); ktradienkebo(fix(tghangbo(i))+1,fix(tgcotbo(i))+1)=1; ktradienketp(fix(tghangbo(i))+1,fix(tgcotbo(i))+1)=1; if isempty(col) tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); ktradienkebo(fix(tghangbo(i))+1,fix(tgcotbo(i))+1)=1; ktradienketp(fix(tghangbo(i))+1,fix(tgcotbo(i))+1)=1; end; end;

120

end; end; % Bo atom jump to position of main of silicon latice======================================= if (pbo(i)>1/5)&&(pbo(i)<=1.1/5) if round(hangbo(i))==hangbo((i)) tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); end; if (round(hangbo(i))~=hangbo(i)) hangthe=[fix(hangbo(i))+1 fix(hangbo(i))+1 fix(hangbo(i)) fix(hangbo(i))]; cotthe=[fix(cotbo(i)) fix(cotbo(i))+1 fix(cotbo(i))+1 fix(cotbo(i))]; mangkiemtra=[ktranutbo((hangthe(1)),cotthe(1)) ktranutbo((hangthe(2)),cotthe(2)) ... ktranutbo((hangthe(3)),cotthe(3)) ktranutbo((hangthe(4)),cotthe(4))]; col=find(mangkiemtra==0); if isempty(col) tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); end; if length(col)~=0 if length(col)==1 randthu=col; end; if length(col)>1 randthu=randsample(col,1); end; tghangbo(i)=hangthe(randthu); tgcotbo(i)=cotthe(randthu); ktranutbo(tghangbo(i),tgcotbo(i))=1; end; if isempty(col) tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); end; end; end; if pbo(i)>1.1/5 tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); end; end; % ======================================================= %position of Silicon after being collisioned=============================== tbatdau=tmax*ones(size(hangsi(:))); tketthuc=tmax*ones(size(hangsi(:))); tghangsi=hangsi(:); tgcotsi=cotsi(:); for i=1:length(hangbo(:))

121

for j=1:length(hangsi(:)) if (tghangbo(i)==hangsi(j))&&(tgcotbo(i)==cotsi(j)) %Colums and rows of silicon atoms are integer, silicon atoms inside of crystal===== if (hangsi(j)==round(hangsi(j))) hangthusi=[hangsi(j)+1/2 hangsi(j)+1/2 hangsi(j)-1/2 hangsi(j)-1/2]; cotthusi=[cotsi(j)-1/2 cotsi(j)+1/2 cotsi(j)+1/2 cotsi(j)-1/2]; ktravacancysi=[ktradienketp(hangsi(j)+1,cotsi(j)) ktradienketp(hangsi(j)+1,cotsi(j)+1) ... ktradienketp(hangsi(j),cotsi(j)+1) ktradienketp(hangsi(j),cotsi(j))]; col=find(ktravacancysi==0); if isempty(col) tghangbo(i)=hangbo(i); tgcotbo(i)=cotbo(i); tghangsi(j)=hangsi(j); tgcotsi(j)=cotsi(j); end; if length(col)~=0 if length(col)==1 randhangcot=col; end; if length(col)>1 randhangcot=randsample(col,1); end; tghangsi(j)=hangthusi(randhangcot); tgcotsi(j)=cotthusi(randhangcot); ktradienkesi(fix(tghangsi(j))+1,fix(tgcotsi(j))+1)=1; ktradienketp(fix(tghangsi(j))+1,fix(tgcotsi(j))+1)=1; d=sqrt((hangbo(i)-hangsi(j))^2+(cotbo(i)-cotsi(j))^2); tbatdau(j)=(d-1/2)*tmax/d; tketthuc(j)=tmax; end; end; end; end; end; % Test statement of lactice for hangnut=1:hangmaxsi for cotnut=1:cotmaxsi testsinut=(hangnut*ones(size(hangsi))==hangsi).*(cotnut*ones(size(cotsi))==cotsi); if sum(testsinut(:))==0 ktranutsi(hangnut,cotnut)=0;%vacancy end; if sum(testsinut(:))~=0 ktranutsi(hangnut,cotnut)=1;%full end; end end; ktranutsi(11,:)=ones(1,cotmaxsi);

122

ktranuttp=ktranutsi|ktranutbo; ktradienketp=ktradienkebo|ktradienkesi; %rows and columns of silicon atoms are not integer========================== for tt1=1:length(hangsi(:)); if (round(hangsi(tt1))~=hangsi(tt1)) hangkhuyetthu=[fix(hangsi(tt1))+1 fix(hangsi(tt1))+1 fix(hangsi(tt1)) fix(hangsi(tt1))]; cotkhuyetthu=[fix(cotsi(tt1)) fix(cotsi(tt1))+1 fix(cotsi(tt1))+1 fix(cotsi(tt1))]; ktranutkhuyet=[ktranuttp(hangkhuyetthu(1),cotkhuyetthu(1)) ktranuttp(hangkhuyetthu(2),cotkhuyetthu(2)) ... ktranuttp(hangkhuyetthu(3),cotkhuyetthu(3)) ktranuttp(hangkhuyetthu(4),cotkhuyetthu(4))]; nutkhuyet=find(ktranutkhuyet==0); if length(nutkhuyet)>0 if length(nutkhuyet)==1 randnutkhuyet=nutkhuyet; end; if length(nutkhuyet)>1 randnutkhuyet=randsample(nutkhuyet,1); end; tghangsi(tt1)=hangkhuyetthu(randnutkhuyet); tgcotsi(tt1)=cotkhuyetthu(randnutkhuyet); ktranuttp(tghangsi(tt1),tgcotsi(tt1))=1; tbatdau(tt1)=0; tketthuc(tt1)=tmax; end; if isempty(nutkhuyet) if hangsi(tt1)>=8 hangthusi=[hangsi(tt1) hangsi(tt1)-1 hangsi(tt1)]; cotthusi=[cotsi(tt1)+1 cotsi(tt1) cotsi(tt1)-1]; ktravacancytp=[ktradienketp(fix(hangsi(tt1))+1,fix(cotsi(tt1))+2) ktradienketp(fix(hangsi(tt1)),fix(cotsi(tt1))+1) ... ktradienketp(fix(hangsi(tt1))+1,fix(cotsi(tt1)))]; end; if hangsi(tt1)<8 hangthusi=[hangsi(tt1)+1 hangsi(tt1) hangsi(tt1)-1 hangsi(tt1)]; cotthusi=[cotsi(tt1) cotsi(tt1)+1 cotsi(tt1) cotsi(tt1)-1]; ktravacancytp=[ktradienketp(fix(hangsi(tt1))+2,fix(cotsi(tt1))+1) ktradienketp(fix(hangsi(tt1))+1,fix(cotsi(tt1))+2) ... ktradienketp(fix(hangsi(tt1)),fix(cotsi(tt1))+1) ktradienketp(fix(hangsi(tt1))+1,fix(cotsi(tt1)))]; end; col=find(ktravacancytp==0); if length(col)>0 if length(col)==1 hangcotthu=col; end; if length(col)>1 hangcotthu=randsample(col,1);

123

end; tghangsi(tt1)=hangthusi(hangcotthu); tgcotsi(tt1)=cotthusi(hangcotthu); ktradienkesi(fix(tghangsi(tt1))+1,fix(tgcotsi(tt1))+1)=1; ktradienketp(fix(tghangsi(tt1))+1,fix(tgcotsi(tt1))+1)=1; tbatdau(tt1)=0; tketthuc(tt1)=tmax; end; if isempty(col) tghangsi(tt1)=hangsi(tt1); tgcotsi(tt1)=cotsi(tt1); ktradienkesi(fix(tghangsi(tt1))+1,fix(tgcotsi(tt1))+1)=1; ktradienketp(fix(tghangsi(tt1))+1,fix(tgcotsi(tt1))+1)=1; end; end; end; end; tghangsi=reshape(tghangsi,hangmaxsi,cotmaxsi); tgcotsi=reshape(tgcotsi,hangmaxsi,cotmaxsi); tbatdau=reshape(tbatdau,hangmaxsi,cotmaxsi); tketthuc=reshape(tketthuc,hangmaxsi,cotmaxsi); %creat moving object=================================================== c=(round(hangsi)==hangsi)+0.9*(round(hangsi)~=hangsi); %creat new boron in the new position ======================================== thembo=0; for i=1:cotmaxsi if (ktranutbo(11,i)==0) iequal=find((cotbo==i)&(hangbo==12)); if length(iequal)>0 tghangbo(iequal)=11; tgcotbo(iequal)=cotbo(iequal); thembo=thembo+1; cotbo(lengthbo+thembo)=cotbo(iequal); hangbo(lengthbo+thembo)=13; tghangbo(lengthbo+thembo)=12; tgcotbo(lengthbo+thembo)=cotbo(iequal); end end; end; if thembo>0 for ii=1:thembo bo(lengthbo+ii,1)=plot(cotbo(cotmaxbo+ii),hangbo(cotmaxbo+ii),'ob','MarkerFacec olor',[0.1 0.1 1],'Markersize',17); %layer 2 of boron atom==================================================== bo(lengthbo+ii,2)=plot(cotbo(cotmaxbo+ii),hangbo(cotmaxbo+ii),'o','markeredgeco lor',[0.2 0.2 1],'MarkerFacecolor',[0.3 0.3 1],'markersize',12);

124

%layer 3 of boron atom==================================================== bo(lengthbo+ii,3)=plot(cotbo(cotmaxbo+ii),hangbo(cotmaxbo+ii),'o','markeredgeco lor',[0.4 0.4 1],'MarkerFacecolor',[0.5 0.5 1],'markersize',10); %layer 4 of boron atom==================================================== bo(lengthbo+ii,4)=plot(cotbo(cotmaxbo+ii),hangbo(cotmaxbo+ii),'o','markeredgeco lor',[0.6 0.6 1],'MarkerFacecolor',[0.7 0.7 1],'markersize',6); hold on; end hold on; end lengthbo=lengthbo+thembo; %====================================================== hold on; for t=1:tmax %bo atom moving================================================== for i=1:lengthbo delete(bo(i,1)); delete(bo(i,2)); delete(bo(i,3)); delete(bo(i,4)); rung_hang=sign(0.5-rand)*0.05*rand*(tgcotbo(i)-cotbo(i)==0)*(tghangbo(i)- hangbo(i)==0)*(hangbo(i)>=11); rung_cot=sign(0.5-rand)*0.05*rand*(tgcotbo(i)-cotbo(i)==0)*(tghangbo(i)- hangbo(i)==0)*(hangbo(i)>=11); %layer 1 of boron atom==================================================== bo(i,1)=plot(cotbo(i)+(tgcotbo(i)- cotbo(i))/tmax*t+rung_cot,hangbo(i)+(tghangbo(i)- hangbo(i))/tmax*t+rung_hang,'ob','MarkerFacecolor',[0.1 0.1 1],'Markersize',17); %layer 2 of boron atom==================================================== bo(i,2)=plot(cotbo(i)+(tgcotbo(i)- cotbo(i))/tmax*t+rung_cot,hangbo(i)+(tghangbo(i)- hangbo(i))/tmax*t+rung_hang,'o','markeredgecolor',[0.2 0.2 1],... 'MarkerFacecolor',[0.3 0.3 1],'markersize',12); %layer 3 of boron atom==================================================== bo(i,3)=plot(cotbo(i)+(tgcotbo(i)- cotbo(i))/tmax*t+rung_cot,hangbo(i)+(tghangbo(i)- hangbo(i))/tmax*t+rung_hang,'o','markeredgecolor',[0.4 0.4 1],... 'MarkerFacecolor',[0.5 0.5 1],'markersize',10); %layer 4 of boron atom==================================================== bo(i,4)=plot(cotbo(i)+(tgcotbo(i)- cotbo(i))/tmax*t+rung_cot,hangbo(i)+(tghangbo(i)- hangbo(i))/tmax*t+rung_hang,'o','markeredgecolor',[0.6 0.6 1],...

125

'MarkerFacecolor',[0.7 0.7 1],'markersize',6); hold on; end; hold on; %silicon atom moving================================================== for i=1:hangmaxsi for j=1:cotmaxsi delete(si(i,j,1)); delete(si(i,j,2)); delete(si(i,j,3)); delete(si(i,j,4)); if tbatdau(i,j)~=tketthuc(i,j) si(i,j,1)=plot(cotsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tgcotsi(i,j)-cotsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... hangsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tghangsi(i,j)-hangsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... 'o','MarkerFacecolor',[c(i,j) 0.1+(1-c(i,j)) 0.1+(1-c(i,j))],'Markersize',17); si(i,j,2)=plot(cotsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tgcotsi(i,j)-cotsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... hangsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tghangsi(i,j)-hangsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... 'o','markeredgecolor',[c(i,j) 0.2+(1-c(i,j)) 0.2+(1- c(i,j))],'markerfacecolor',[c(i,j) 0.3+(1-c(i,j)) 0.3+(1-c(i,j))],'markersize',12); si(i,j,3)=plot(cotsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tgcotsi(i,j)-cotsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... hangsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tghangsi(i,j)-hangsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... 'o','markeredgecolor',[c(i,j) 0.4+(1-c(i,j)) 0.4+(1- c(i,j))],'markerfacecolor',[c(i,j) 0.5+(1-c(i,j)) 0.5+(1-c(i,j))],'markersize',10); si(i,j,4)=plot(cotsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tgcotsi(i,j)-cotsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... hangsi(i,j)+(t>=tbatdau(i,j))*(tghangsi(i,j)-hangsi(i,j))/(tketthuc(i,j)- tbatdau(i,j))*(t-tbatdau(i,j)),... 'o','markeredgecolor',[c(i,j) 0.6+(1-c(i,j)) 0.6+(1- c(i,j))],'markerfacecolor',[c(i,j) 0.7+(1-c(i,j)) 0.7+(1-c(i,j))],'markersize',6); end; if tbatdau(i,j)==tketthuc(i,j) si(i,j,1)=plot(cotsi(i,j),hangsi(i,j),'or','MarkerFacecolor',[c(i,j) 0.1+(1-c(i,j)) 0.1+(1-c(i,j))],'Markersize',17); si(i,j,2)=plot(cotsi(i,j),hangsi(i,j),'o','markeredgecolor',[c(i,j) 0.2+(1-c(i,j)) 0.2+(1-c(i,j))],'markerfacecolor',[c(i,j) 0.3+(1-c(i,j)) 0.3+(1-c(i,j))],'markersize',12); si(i,j,3)=plot(cotsi(i,j),hangsi(i,j),'o','markeredgecolor',[c(i,j) 0.4+(1-c(i,j)) 0.4+(1-c(i,j))],'markerfacecolor',[c(i,j) 0.5+(1-c(i,j)) 0.5+(1-c(i,j))],'markersize',10); si(i,j,4)=plot(cotsi(i,j),hangsi(i,j),'o','markeredgecolor',[c(i,j) 0.6+(1-c(i,j)) 0.6+(1-c(i,j))],'markerfacecolor',[c(i,j) 0.7+(1-c(i,j)) 0.7+(1-c(i,j))],'markersize',6); hold on; end; end; end;

126

pause(0.01); end; %plot additional boron %atom================================================== hold on %====================================================== cotmaxbo=cotmaxbo+thembo; cotbo=tgcotbo; hangbo=tghangbo; cotsi=tgcotsi; hangsi=tghangsi; end

P.3. Bảng số liệu kết quả giải số hệ phƣơng trình khuếch tán đồng thời của B, I và V sau 10 phút khuếch tán ở nhiệt độ 10000C

x(cm) CB CI CV

0.0000000000E+00 1.0E+19 1.1E+12 1.0E+15

5.2941176471E-06 6.5E+18 2.0E+13 5.8E+13

1.0588235294E-05 4.4E+18 2.6E+13 4.5E+13

1.5882352941E-05 2.8E+18 2.6E+13 4.4E+13

2.1176470588E-05 1.6E+18 2.4E+13 4.8E+13

2.6470588235E-05 8.3E+17 2.0E+13 5.6E+13

3.1764705882E-05 4.0E+17 1.7E+13 6.9E+13

3.7058823529E-05 1.8E+17 1.3E+13 8.7E+13

4.2352941176E-05 7.2E+16 1.0E+13 1.1E+14

4.7647058823E-05 2.7E+16 7.6E+12 1.5E+14

5.2941176471E-05 9.6E+15 5.6E+12 2.0E+14

5.8235294118E-05 3.2E+15 4.0E+12 2.8E+14

6.3529411765E-05 9.8E+14 2.9E+12 4.0E+14

6.8823529412E-05 2.8E+14 2.0E+12 5.7E+14

x(cm) CB CI CV

7.4117647059E-05 7.8E+13 1.4E+12 8.2E+14

1.2176470588E-04 7.2E+07 1.1E+12 1.0E+15

7.9411764706E-05 2.0E+13 9.8E+11 1.2E+15

1.2705882353E-04 1.2E+07 1.3E+12 8.8E+14

8.4705882353E-05 5.0E+12 7.1E+11 1.6E+15

1.3235294118E-04 2.1E+06 1.5E+12 7.8E+14

9.0000000000E-05 1.2E+12 5.4E+11 2.1E+15

1.3764705882E-04 3.4E+05 1.6E+12 7.0E+14

9.5294117647E-05 2.6E+11 4.6E+11 2.5E+15

1.4294117647E-04 5.2E+04 1.8E+12 6.4E+14

127 1.0058823529E-04 5.5E+10 4.5E+11 2.5E+15

1.4823529412E-04 7.8E+03 1.9E+12 5.9E+14

1.0588235294E-04 1.1E+10 5.3E+11 2.1E+15

1.5352941176E-04 1.1E+03 2.1E+12 5.5E+14

1.1117647059E-04 2.2E+09 7.2E+11 1.6E+15

x(cm) CB CI CV

2.5411764706E-04 1.0E-15 3.6E+12 3.2E+14

x(cm) CB CI CV

2.5941176471E-04 9.2E-17 3.6E+12 3.2E+14 3.8117647059E-04 0.0E+00 2.8E+12 4.0E+14 2.6470588235E-04 7.5E-18 3.6E+12 3.2E+14 3.8647058823E-04 0.0E+00 2.8E+12 4.1E+14 In màu: 16, 18, 27, 30, 45, 73, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 100, 104, 111, 112, 113, 2.7000000000E-04 2.3E-19 3.6E+12 3.2E+14 3.9176470588E-04 0.0E+00 2.7E+12 4.2E+14 2.7529411765E-04 0.0E+00 3.6E+12 3.2E+14 3.9705882353E-04 0.0E+00 2.7E+12 4.3E+14 2.8058823529E-04 0.0E+00 3.6E+12 3.2E+14 4.0235294118E-04 0.0E+00 2.6E+12 4.3E+14 2.8588235294E-04 0.0E+00 3.6E+12 3.2E+14 4.0764705882E-04 0.0E+00 2.6E+12 4.4E+14 2.9117647059E-04 0.0E+00 3.6E+12 3.2E+14 4.1294117647E-04 0.0E+00 2.5E+12 4.5E+14 2.9647058824E-04 0.0E+00 3.5E+12 3.2E+14 4.1823529412E-04 0.0E+00 2.5E+12 4.6E+14 3.0176470588E-04 0.0E+00 3.5E+12 3.2E+14 4.2352941176E-04 0.0E+00 2.4E+12 4.7E+14 3.0705882353E-04 0.0E+00 3.5E+12 3.3E+14 4.2882352941E-04 0.0E+00 2.4E+12 4.8E+14 128 3.1235294118E-04 0.0E+00 3.5E+12 3.3E+14 4.3411764706E-04 0.0E+00 2.3E+12 4.9E+14 3.1764705882E-04 0.0E+00 3.4E+12 3.3E+14 4.3941176471E-04 0.0E+00 2.3E+12 5.0E+14 3.2294117647E-04 0.0E+00 3.4E+12 3.4E+14

-------------------------------------------------

4500C DI = 8,84.10-25 Cv0 = 1,50.107 CI0 = 4.55.103

129

B

130