Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn một chiều

I H QU GI H N I

TRƢỜ Ọ Ọ TỰ

-----------------------

NGUYỄ T U ƢƠ

ỨU LÝ T UYẾT VỀ HIỆU ỨNG HALL

TR Á Ệ BÁ DẪN MỘT CHIỀU

LUẬ Á TIẾ SĨ VẬT LÍ

à ội, 2017

À ỘI, 2016

I H QU GI H N I

TRƢỜ Ọ Ọ TỰ

-----------------------

NGUYỄ T U ƢƠ

ỨU LÝ T UYẾT VỀ HIỆU ỨNG HALL

TRONG Á Ệ BÁ DẪN MỘT CHIỀU

u n n àn : Vật lí lí thuyết và vật lí toán

s 62.44.01.03

LUẬ Á TIẾN SĨ VẬT LÍ

ƢỜ ƢỚ DẪ Ọ

PGS. TS. NGUYỄ VŨ Â

TS. ẶNG THỊ THANH THỦY

À ỘI, 2017

LỜ

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. ác kết

quả, số liệu, đồ thị… được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng

được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Hà Nội, tháng 03 năm 2017

Tác giả luận án

i

Nguyễn Thu Hương

LỜI CẢ Ơ

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Vũ

Nhân, TS ặng Thị Thanh Thủy và GS.TS Nguyễn Quang Báu, những

người thầy đã hết lòng giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và

hoàn thành luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ

môn Vật lý lý thuyết, trong khoa Vật lý và Phòng Sau đại học, trường ại

học Khoa học Tự nhiên, ại học Quốc gia Hà Nội.

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô,

các đồng nghiệp trong Bộ môn Vật lý, Khoa Khoa Học Cơ Bản, Học viện

Phòng Không Không Quân.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quỹ Phát triển Khoa học và ông nghệ

Quốc gia (NAFOSTED, Mã số 103.01-2015.22) và Học viện Phòng Không

Không Quân đã tài trợ cho tôi trong việc nghiên cứu và báo cáo các kết quả

tại các Hội nghị khoa học trong nước và quốc tế làm cơ sở để hoàn thành

luận án này

Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân, bạn bè và đồng

nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

Tác giả luận án

Nguyễn Thu Hương

Ụ LỤ

Lời cam đoan …………………………………………………………...i

Lời cảm ơn …………………………………………………………….ii

Mục lục ……………………………………………………………….iii

Danh mục các bảng …………………………………………………...vi

Danh mục các hình vẽ và đồ thị………………………………………vii

Mở đầu…………………………………………………..…………..1

ƣơn 1 Thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn kh i

và tổng quan về hệ một chiều……………………………………………….9

1.1 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối…...….…9

1.1.1 Phương trình động lượng tử cho electron trong bán dẫn khối

khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc với sự có mặt của sóng điện

từ……………………………………………………………………………..11

1.1.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall……………………….19

1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử....25

1.2.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng

tử trường hợp không có trường ngoài………………………………………..26

1.2.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng

tử dưới ảnh hưởng của từ trường…………………………………….………29

ƣơn 2 Lý t u ết lƣợng tử về hiệu ứn all tron dâ lƣợng tử

ìn c ữ nhật dƣới ản ƣởng của són điện từ…………………………33

2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng

iii

tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn………………..…………….............33

2.2 Hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố

thế cao vô hạn………………………………………………….……….…....37

2.2.1 Trường hợp tán xạ điện tử phonon âm ……………..…...38

2.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử phonon quang…………….....42

2.2.3 Kết quả tính toán số và thảo luận……………………..…44

2.3 Kết luận chương 2…..…………………….………….……….....52

ƣơn 3 Lý t u ết lƣợng tử về hiệu ứn all tron dâ lƣợng tử

ìn trụ dƣới ản ƣởng của són điện từ………………………………..54

3.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây

lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn……………………………………..55

3.2 Hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình trụ với hố thế

cao vô hạn…………………………………………………………………....58

3.2.1 Trường hợp tán xạ điện tử phonon âm …………………59

3.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử phonon quang……………....62

3.2.3 Kết quả tính toán số và thảo luận…………………….....64

3.3 Kết luận chương 3……………………………………………....80

ƣơn 4 Ản ƣởng của sự giam cầm p onon l n hiệu ứng Hall

tron dâ lƣợng tử ìn c ữ nhật k i có mặt són điện từ……………...83

4.1 Hamiltonian của hệ điện tử- phonon quang giam cầm trong dây

lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn…………………………………...84

4.2 Phương trình động lượng tử cho hệ điện tử- phonon quang giam

cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn…………………...85

4.3 Hệ số Hall và từ trở Hall cho điện tử- phonon quang giam cầm

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn………………..……….87

4.4 Kết quả tính số và thảo luận……………………………....…...91

4.5 Kết luận chương 4………………………………………….....96

Kết luận…………………………………………………..……….98

ác côn trìn côn b ……………………………………...….100

Tài liệu tham khảo………………………………………………102

v

Phụ Lục…….………………………………….………….……..112

DANH MỤ Á BẢNG

Bảng T Dây Trang

TT

Bảng 2.1 1 Các tham số của dây lượng tử hình chữ nhật với

hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. 1 44

Bảng 3.1 2 Các tham số của dây lượng tử hình trụ với hố

thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. 2 65

DANH MỤ Á Ì VẼ VÀ Ồ THỊ

Hình Nội dung Trang Stt

1 Hình 1.1 Sơ đồ quan sát hiệu ứng Hall trong một thanh vật dẫn 09

2 Hình 1.2 Hiệu ứng Hall lượng tử trong hệ chuẩn hai chiều 10

3 Hình 2.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây 45

lượng tử hình chữ nhật theo phương x khi có mặt sóng

điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho

trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

4 Hình 2.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây 46

lượng tử hình chữ nhật theo phương y khi có mặt sóng

điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho

trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

5 Hình 2.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây 47

lượng tử hình chữ nhật theo phương x,y khi có mặt

sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho

trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

6 Hình 2.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ 48

tại các giá trị khác nhau của từ trường

7 Hình 2.5 49 Sự phụ thuộc của từ trở Hall vào tỷ số tại các

giá trị khác nhau của biên độ sóng điện từ.

vii

8 Hình 2.6 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây 49

lượng tử hình chữ nhật theo phương x,y khi có mặt

sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ

cho trường hợp tán xạ điện tử phonon quang

9 Hình 2.7 50 Sự phụ thuộc của từ trở Hall vào từ trường tại các

giá trị khác nhau của nhiệt độ

10 Hình 2.8 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào điện trường DC tại 51

các giá trị khác nhau của nhiệt độ

11 Hình 2.9 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình 52

chữ nhật vào từ trường trong hai trường hợp không có

sóng điện từ (hình bên phải) và có mặt sóng điện từ (

hình bên trái) tại các giá trị nhiệt độ khác nhau.

12 Hình 3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình 66

trụ vào từ trường B (hình a) và nghịch đảo từ trường

1/B (hình b) trong hai trường hợp không có sóng điện

từ và có mặt sóng điện. Ở đây T=

4K, .

13 Hình 3.2 Sự phụ thuộc của từ trở Hall trong dây lượng tử hình 67

trụ vào từ trường B trong hai trường hợp có mặt sóng

điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Ở

đây .

14 Hình 3.3 Sự phụ thuộc của từ trở Hall trong dây lượng tử hình 68

trụ vào từ tỷ số

trong hai trường hợp không có sóng điện từ và có mặt sóng điện. Ở đây T= 4K,

.

15 Hình 3.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình 69

trụ vào chiều dài dây lượng tử tại các giá trị khác

nhau của nhiệt độ.

16 Hình 3.5 Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình 70

trụ vào bán kính dây lượng tử tại các giá trị khác nhau

của nhiệt độ

17 Hình 3.6 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình 71

trụ vào tần số sóng điện từ tại các giá trị khác nhau

của biên độ sóng điện từ

18 Hình 3.7 Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình 71

trụ vào chiều dài dây lượng tử trong hai trường hợp

có mặt sóng điện từ và không có mặt sóng điện từ.

19 Hình 3.8 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào bán kính dây lượng 72

tử hình trụ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

20 Hình 3.9 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng 73

tử hình trụ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

21 Hình 3.10 Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào bán kính dây lượng 74

ix

tử hình trụ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

22 Hình 3.11 Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào chiều dài dây lượng 75

tử hình trụ tại các giá trị khác nhau của biên độ sóng

điện từ

23 Hình 3.12 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ T của hệ và bán 76

kính r của dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn

24 Hình 3.13 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình

trụ nhiệt độ T của hệ và chiều dài dây lượng tử L. 76

25 Hình 3.14 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình 77

trụ vào nhiệt độ T của hệ tại các giá trị khác nhau của

từ trường (hình a) vào biên độ sóng điện từ tại các gía

trị khác nhau của nhiệt độ (hình b)

26 Hình 3.15 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình 78

trụ vào chiều dài dây lượng tử tại các gía trị khác

nhau của bán kính dây

27 Hình 3.16 Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình 79

trụ vào năng lượng cyclotron trong hai trường hợp có

mặt sóng điện từ và không có mặt sóng điện từ.

28 Hình 4.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ 92

tại các giá trị khác nhau của từ trường trong dây

lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn trường

hợp tương tác điện tử- phonon quang giam cầm

29 Hình 4.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ 93

trong hai trường hợp phonon giam cầm (đường nét

đứt) và phonon không giam cầm(đường nét liền) trong

dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

30 Hình 4.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ của hệ trong 94

hai trường hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và

phonon không giam cầm (đường nét liền) trong dây

lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

31 Hình 4.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tỷ số tại giá trị 94

B=6T trong hai trường hợp phonon giam cầm (đường nét

đứt) và phonon không giam cầm(đường nét liền) trong

dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

32 Hình 4.5 96 Sự phụ thuộc của tensơ độ dẫn Hall

vào năng lượng Cyclotron tại giá trị B=6T trong hai trường hợp

phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không

giam cầm(đường nét liền) trong dây lượng tử hình chữ

xi

nhật với hố thế cao vô hạn

Ở ẦU

1. Lý do c ọn đề tài

Vào năm 1879, Edwin Herbert Hall đã khám phá ra hiệu ứng mang tên

ông khi ông đang là nghiên cứu sinh tại trường đại học Johns Hopkins dưới sự

hướng dẫn của giáo sư nổi tiếng Henry . Rowland. Hiệu ứng Hall là một hiệu

ứng vật lý được thực hiện khi áp dụng một từ trường vuông góc lên một bản

làm bằng kim loại hay chất bán dẫn hay chất dẫn điện nói chung (thanh Hall)

đang có dòng điện chạy qua. Lúc đó người ta nhận được hiệu điện thế (hiệu thế

Hall) sinh ra tại hai mặt đối diện của thanh Hall. Tỷ số giữa hiệu thế Hall và

dòng điện chạy qua thanh Hall gọi là điện trở Hall, đặc trưng cho vật liệu làm

nên thanh Hall. Hiệu ứng Hall được giải thích dựa vào bản chất của dòng điện

chạy trong vật dẫn điện. Dòng điện này chính là sự chuyển động của các điện

tích (ví dụ như electron trong kim loại). Khi chạy qua từ trường, các điện tích

chịu lực Lorentz bị đẩy về một trong hai phía của thanh Hall, tùy theo điện tích

chuyển động đó âm hay dương. Sự tập trung các điện tích về một phía tạo nên

sự tích điện trái dấu ở hai mặt của thanh Hall, gây ra hiệu điện thế Hall.

Năm 1930, Landau đã chỉ ra rằng, không giống như các electtron “cổ

điển”, đối với các electron “lượng tử”, chuyển động theo quỹ đạo của chúng đưa

đến đóng góp vào độ cảm từ. ồng thời ông cũng lưu ý rằng sự lượng tử hóa

động năng làm xuất hiện một đóng góp vào độ cảm từ - một đại lượng tuần hoàn

theo từ trường ngược.

ác đo đạc về độ dẫn Hall lớp nghịch đảo (Inversion layer Hall

conductivity) trong từ trường mạnh lần đầu tiên được tiến hành bởi S. Kawaji

và các đồng nghiệp vào năm 1975. Năm 1980, tại phòng thí nghiệm từ trường

mạnh Grenoble ở Pháp, Klaus von Klitzing (sinh năm 1943, giải Nobel năm

1985) đã nghiên cứu điện dẫn Hall cho khí điện tử hai chiều ở nhiệt độ rất

1

thấp. Ông thấy rằng, xét về bản chất, thì điện dẫn Hall là hàm của cường độ từ

trường vuông góc với mặt phẳng của khí điện tử và được mô tả dưới dạng đồ

thị hình bậc thang của các đoạn ngang liên tục.

Kể từ khi được tìm ra, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về hiệu

ứng Hall và hiệu ứng Hall lượng tử trên cả phương diện thực nghiệm [46, 68]

và lí thuyết [69, 57, 37]. Trước khi hiệu ứng Hall lượng tử được Klitzing tìm

ra, từ năm 1978, nhóm nghiên cứu của các tác giả K. M. van Vliet, M.

Charbonneau và P. Vasilopoulos đã công bố một loạt các công trình về lí

thuyết phản ứng tuyến tính trên tạp chí Vật lí – Toán (Journal of Mathematical

Physics – một tạp chí nổi tiếng về các nghiên cứu toán học của vật lí) [82].

hỉ vài năm sau khi hiệu ứng Hall lượng tử được tìm ra, các kết quả này đã

được áp dụng để tính độ dẫn Hall lượng tử khi hệ được đặt trong điện – từ

trường với khí điện tử suy biến và không suy biến. Kết quả thu được khá phù

hợp với các kết quả [57, 37]. Tuy nhiên, các kết quả trên còn bộc lộ nhiều hạn

chế và chưa khai thác được sự phụ thuộc vào đặc tính của mỗi loại vật liệu,

đặc biệt là đối với các bán dẫn thấp chiều.

Bên cạnh đó, việc ứng dụng rộng rãi các chất bán dẫn trong điện tử học

và đặc biệt sự phát triển nhanh ngành quang-điện tử học từ giữa những năm

60 đã dẫn đến sự cần thiết hình thành các phương pháp tạo ra các vật liệu bán

dẫn mới có các tính chất đáp ứng được nhiều yêu cầu khác nhau. ây là yếu

tố kích thích kết hợp các bán dẫn khác nhau thành một linh kiện mà phần chủ

yếu của nó là những dị tiếp xúc bán dẫn đơn tinh thể.

Trong thời gian gần đây, áp dụng các phương pháp Epitaxy hiện đại

như Epitaxy chùm phân tử, các lớp của hai hay nhiều chất bán dẫn có cùng

cấu trúc có thể lần lượt được tạo ra, tức là thực hiện nhiều lần dị tiếp xúc ở

dạng đơn tinh thể. Trong cấu trúc trên, ngoài trường điện thế tuần hoàn của

các nguyên tử, trong mạng tinh thể còn tồn tại một trường điện thế phụ.

Trường điện thế phụ này cũng tuần hoàn trong không gian mạng nhưng với

chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ thay đổi thế năng của trường các

nguyên tử trong mạng. Tùy thuộc vào trường điện thế phụ mà các bán dẫn này

thuộc về bán dẫn có cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng, dây lượng tử, hay chấm

lượng tử. Khi theo một phương nào đó có trường thế phụ thì phổ năng lượng

của các hạt tải (điện tử, lỗ trống) theo chiều này bị lượng tử hóa, chỉ còn tự do

trong số chiều còn lại D<3. hính vì tính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn

này có các tính chất vật lý trong đó có tính chất quang và tính chất cao tần

khác nhau và khác với các bán dẫn khối thông thường.

Việc chuyển từ hệ điện tử 3 chiều (3D) sang hệ điện tử thấp chiều

(D<3) đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều

tính chất vật lý của các vật liệu [9, 41, 48, 56]…, và một số tính chất mới

khác, được gọi là hiệu ứng kích thước. ác phản ứng của hệ điện tử đối với

các trường điện từ ngoài cao tần xẩy ra khác biệt so với trong hệ điện tử 3D.

Việc biến đổi các tính chất vật lí trên thông qua đặc trưng cơ bản nhất của hệ

điện tử là hàm sóng và phổ năng lượng của nó thay đổi đáng kể. Phổ năng

lượng của điện tử trở thành gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn. Dáng

điệu của hạt dẫn trong các cấu trúc kích thước lượng tử tương tự như khí hai

chiều [2, 3, 5, 68, 68, 19, 23, 24, 39, 41, 49, 70, 71, 73, 74, 77] hoặc khí một

chiều [2, 3, 8, 21-22, 38, 39, 25, 61-63] cũng thay đổi mạnh so với hệ ba

chiều. ác vật liệu mới với các cấu trúc bán dẫn nói trên đã giúp cho việc tạo

ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắc hoàn toàn mới và công

nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và

trong lĩnh vực quang - điện tử nói riêng. ó là lý do tại sao các cấu trúc trên

được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.

Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối dưới ảnh hưởng của một sóng điện từ

đã được nghiên cứu chi tiết trong các miền từ trường mạnh và yếu bằng các

3

phương pháp phương trình động cổ điển Boltzmann và phương trình động

lượng tử [23, 38, 72, 47, 64]. Tuy nhiên, nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng này

trong các hệ thấp chiều khi có mặt sóng điện từ mạnh vẫn còn bỏ ngỏ. Trong

các hệ thấp chiều, năng lượng và số sóng của hạt bị lượng tử không chỉ do thế

giam giữ nội tại của vật liệu mà còn là do thế của trường ngoài, chẳng hạn

như do từ trường mạnh (xuất hiện các mức Landau). Trong điều kiện nhiệt độ

thấp, tính lượng tử thể hiện mạnh, đòi hỏi phải sử dụng các lý thuyết lượng tử.

Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong Hố lượng tử và siêu mạng dưới ảnh

hưởng của một sóng điện từ mạnh đã được nghiên cứu bằng phương pháp

phương trình động lượng tử. Hai trường hợp đã được xem xét là: từ trường

nằm trong mặt phẳng tự do của electron và từ trường vuông góc với mặt

phẳng tự do của electron với hai loại tương tác là tương tác electron-phonon

quang và electron-phonon âm. [27 - 31].

Trong các bán dẫn một chiều, dây lượng tử với các dạng thế khác nhau

rất được chú ý. Bán dẫn có cấu trúc dây lượng tử là hệ điện tử một chiều,

được nghiên cứu các dây lượng tử với các dạng thế khác nhau. ác nghiên

cứu lượng tử về hiệu ứng Hall đối với dây lượng tử với các dạng thế khác

nhau, để làm nổi bật ảnh hưởng của cấu trúc vật liệu lên các đại lượng vật lí

đặc trưng cho hiệu ứng vẫn là một vấn đề chưa được nghiên cứu và giải

quyết. ể hoàn thiện bức tranh hiệu ứng Hall trong hệ thấp chiều, chúng tôi

chọn đề tài nghiên cứu "Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng Hall trong các hệ

bán dẫn một chiều" nhằm làm rõ các vấn đề còn bỏ ngỏ nêu trên.

2. ục ti u n i n cứu

Xây dựng lý thuyết lượng tử về Hiệu ứng Hall cho dây lượng tử hình

trụ, dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, đồng thời nghiên cứu

ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong dây lượng tử khi từ

trường nằm hướng theo chiều chuyển động tự do của electron. Với ba loại

tương tác là: tương tác electron-phonon quang, electron-phonon âm và

electron-phonon quang giam cầm.

3. P ƣơn p áp n i n cứu

Trong khuôn khổ của luận án, bài toán về hiệu ứng Hall trong hệ một

chiều dưới ảnh hưởng của một sóng điện từ mạnh được nghiên cứu bằng

phương pháp phương trình động lượng tử. ây là phương pháp đã được sử

dụng tính toán cho nhiều bài toán trong hệ thấp chiều, như bài toán hấp thụ

sóng điện từ các hệ hai chiều, hệ một chiều [15 - 22, 80], hiệu ứng âm - điện -

từ trong hệ hai chiều [5, 12, 13, 23, 53, 51, 52], hiệu ứng Hall trong các hệ

hai chiều dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh [27 - 31] và đã thu được

những kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.

Ngoài ra còn kết hợp với phương pháp tính số dựa trên phần mềm

Matlab là phần mềm được sử dụng nhiều trong Vật lí cũng như các ngành

khoa học kỹ thuật.

4. ội dun n i n cứu và p ạm vi n i n cứu

Nội dung nghiên cứu chính của luận án là: trên cơ sở các biểu thức giải

tích của hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử hình trụ

và hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi đặt trong điện trường và từ trường

vuông góc nhau, xây dựng toán tử Hamiltonian của hệ electron-phonon tương

tác khi có thêm sóng điện từ ngoài. Từ đó thiết lập phương trình động lượng

tử cho toán tử số electron trung bình khi giả thiết số phonon không thay đổi

theo thời gian. Giải phương trình động lượng tử được số electron trung bình

và biểu thức mật độ dòng điện. Tính biểu thức cho tensor độ dẫn điện, từ trở,

hệ số Hall. Kết quả giải tích thu được thực hiện tính số, vẽ đồ thị và thảo luận

đối với các mô hình dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật cụ thể.

5

Kết quả tính số được so sánh và bàn luận.

Quá trình trên được thực hiện lần lượt với dây lượng tử hình chữ nhật

với hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn với hai

loại tương tác là tương tác electron - phonon quang, electron - phonon âm và

dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn với tương tác electron-

phonon quang giam cầm. Luận án sử dụng giả thiết tương tác electron-

phonon được coi là trội, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại và chỉ xét đến

số hạng bậc hai của hệ số tương tác electron-phonon, bỏ qua các số hạng bậc

cao hơn hai. Hai loại phonon được xem xét là phonon quang ở miền nhiệt độ

cao và phonon âm ở miền nhiệt độ thấp. Ngoài ra, luận án chỉ xét đến các quá

trình phát xạ/ hấp thụ một photon, bỏ qua các quá trình của hai photon trở lên.

5. Ý n ĩa k oa ọc và t ực tiễn của luận án

Về phương pháp: Kết quả luận án góp phần khẳng định thêm tính hiệu

quả và sự đúng đắn của phương pháp phương trình động lượng tử cho việc

nghiên cứu và hoàn thiện lý thuyết lượng tử về hiệu Hall trong các hệ thấp

chiều. Về ý nghĩa khoa học: Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào các tham số đặc

trưng cho cấu trúc dây lượng tử có thể được sử dụng làm thước đo, làm tiêu

chuẩn hoàn thiện công nghệ chế tạo vật liệu cấu trúc nano ứng dụng trong các

thiết bị điện tử siêu nhỏ, thông minh và đa năng hiện nay.

6. ấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến

luận án đã công bố, các tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung của luận

án gồm 4 chương, 13 mục, 8 tiểu mục với 2 bảng biểu, 2 hình vẽ, 30 đồ thị,

tổng cộng 127 trang. Nội dung của các chương như sau:

hương 1 trình bày về lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán

dẫn khối và Tổng quan về hệ một chiều. Cụ thể chương này trình bày hiệu

ứng Hall, phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, biểu

thức hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối; các hàm sóng và phổ năng lượng của

điện tử trong các dây lượng tử. ây được xem là những kiến thức cơ sở cho

các nghiên cứu được trình bày trong các chương sau.

hương 2 nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong dây

lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của một sóng điện

từ mạnh. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon và phương trình động lượng tử

cho electron được thiết lập. Từ đó thu được biểu thức hệ số Hall, từ trở Hall

trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi xét cơ chế tán xạ

điện tử-phonon quang và điện tử-phonon âm. ác kết quả giải tích cho hệ số

Hall, từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn được áp

dụng tính số, vẽ đồ thị và bàn luận cho dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế

cao vô hạn GaAs/GaAsAl. Kết quả này được so sánh với các kết quả đã thu

được trong hệ hai chiều và bán dẫn khối.

hương 3 nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong dây

lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của một sóng điện từ

mạnh. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon và phương trình động lượng tử cho

electron được thiết lập. Từ đó thu được biểu thức hệ số Hall, từ trở Hall trong

dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn khi xét cơ chế tán xạ điện tử-phonon

quang và điện tử- phonon âm. ác kết quả giải tích cho hệ số Hall, từ trở Hall

trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn được áp dụng tính số, vẽ đồ thị

và bàn luận cho dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl.

Kết quả này được so sánh với các kết quả đã thu được trong chương 2 và hệ

hai chiều và bán dẫn khối.

hương 4 nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong dây

lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của một sóng điện

từ mạnh. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon quang giam cầm và phương

7

trình động lượng tử cho electron được thiết lập. Từ đó thu được biểu thức hệ

số Hall, từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi

xét cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang giam cầm. ác kết quả giải tích cho

hệ số Hall, từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn

được áp dụng tính số, vẽ đồ thị và bàn luận cho dây lượng tử hình chữ nhật

với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. Kết quả này được so sánh với các kết

quả đã thu được trong chương 2, chương 3, hệ hai chiều và bán dẫn khối.

7. ác kết quả n i n cứu c ín t u đƣợc trong luận án

ác kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 06 công trình

dưới dạng các bài báo, báo cáo khoa học đăng trên các tạp chí và kỷ yếu hội

nghị khoa học quốc tế và trong nước. ác công trình này gồm: 03 bài trong

tạp chí chuyên ngành quốc tế có SCOPUS/SCI (02 bài đăng trong tạp chí

International Journal of Physical and Mathematical Sciences - World

Academy of Science, Engineering and Technology, 01 bài đăng trong tạp chí

Journal of Physics: Conference Series); 03 bài đăng tại các tạp chí chuyên

ngành trong nước (02 bài trong tạp chí VNU Journal of Science,

Mathematics – Physics của ại học Quốc gia Hà Nội, 01 bài trong tạp chí

Nghiên cứu khoa học và công nghệ quân sự của Viện Khoa học và ông

nghệ Quân sự).

Chƣơng 1

T UYẾT LƢỢ TỬ VỀ ỆU Ứ HALL TRONG BÁN DẪ

Ố VÀ TỔ QUAN VỀ Ệ ỘT ỀU

hương này trình bày hiệu ứng Hall, phương trình động lượng tử cho

điện tử trong bán dẫn khối, biểu thức hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối; các

hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong các dây lượng tử.

1.1. Lý t u ết lƣợn tử về iệu ứn all tron bán dẫn k i

Vào năm 1879, Edwin Herbert Hall đã khám phá ra hiệu ứng mang tên

ông khi ông đang là nghiên cứu sinh tại trường đại học Johns Hopkins dưới sự

z

y

2

(- e)

x

b

I

S

1

Hình 1.1. Sơ đồ quan sát hiệu ứng Hall trong một thanh vật dẫn ta đặt một dòng điện theo phương x, một từ trường theo phương z thì thấy

hướng dẫn của giáo sư nổi tiếng Henry . Rowland. Trong một bán dẫn khối,

xuất hiện một điện trường theo phương y, nếu mẫu là kín thì ta có một dòng

điện theo phương y với mật độ dòng . Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng

Hall cổ điển.

Trong các hệ electron chuẩn hai chiều, nếu đặt một từ trường mạnh

vuông góc với mặt phẳng tự do của hệ và điều kiện nhiệt độ rất thấp, ta có thể

9

quan sát thấy hiệu ứng Hall lượng tử, thể hiện sự lượng tử hóa của độ dẫn

(điện trở) Hall. Hiệu ứng Hall lượng tử số nguyên (integer quantum Hall

effect) được khám phá bởi Klaus von Klitzing vào năm 1980 [60]. ác kết

quả đo đạc sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào từ trường cho thấy độ dẫn điện

có giá trị là bội số nguyên của tỷ số :

(1.1)

Với khám phá này, ông được trao giải Nobel vào năm 1985.

Hình 1.2. Hiệu ứng Hall lượng tử trong hệ chuẩn hai chiều

Không lâu sau khi hiệu ứng Hall lượng tử số nguyên được khám phá,

hiệu ứng Hall lượng tử phân số (fractional quantum Hall effect) được quan sát

bởi Tsui và Stormer [81]. Trong đó, độ dẫn Hall có giá trị

(1.2)

Trước đó nhà vật lý Laughlin đã tiên đoán lý thuyết của hiệu ứng này.

Giải Nobel được trao cho Laughlin, Tsui và Stormer vào năm 1998 với phát

hiện trên. Hiệu ứng Hall lượng tử cho phép định nghĩa một chuẩn mới cho các

đo đạc về điện trở cũng như cung cấp thông tin về hằng số cấu trúc tinh tế với

độ chính xác rất cao. Ta biết rằng khi một sóng điện từ lan truyền trong vật

liệu thì các tính chất điện, từ thông thường của vật liệu bị thay đổi. Nếu biên

độ của sóng điện từ lớn có thể làm xuất hiện các hiệu ứng phi tuyến. ặc biệt,

khi sóng điện từ là cao tần sao cho năng lượng photon vào cỡ năng lượng

electron và phonon thì sóng điện từ sẽ làm thay đổi đáng kể xác suất dịch

chuyển của electron giữa các trạng thái so với khi không có mặt sóng điện từ. ã

có nhiều công trình nghiên cứu về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối khi có mặt

sóng điện từ [67, 75, 44, 45, 65, 66, 76].

Trong luận án này chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết về hiệu ứng Hall

trong bán dẫn khối khi đặt trong điện, từ trường vuông góc với sự có mặt của

một sóng điện từ. Lý thuyết được xây dựng trong biểu diễn lượng tử hóa lần

hai, do vậy đây là lý thuyết lượng tử. Xuất phát từ Hamiltonian của hệ

electron – phonon tương tác, chúng tôi xây dựng phương trình động lượng tử

cho số electron trung bình. Từ phương trình này chúng tôi tìm được biểu thức

cho mật độ dòng điện. Từ đó suy ra được các biểu thức cho tensor độ dẫn,

điện trở Hall, hệ số Hall.

1.1.1. P ƣơn trìn độn lƣợn tử c o electron tron bán dẫn k i k i đặt

tron điện trƣờn và từ trƣờn vuôn óc với sự có mặt của són điện từ

Trong mục này, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử

trong bán dẫn khối khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc với sự

có mặt của một sóng điện từ đặc trưng bởi vectơ cường độ điện trường

(với và tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ).

Hamiltonian của hệ electron – phonon trong bán dẫn khối trong biểu

diễn lượng tử hóa lần hai khi đó có dạng:

11

(1.3)

Trong công thức (1.3):

là toán tử sinh (huỷ) điện tử với vectơ xung lượng , là toán

tử sinh ( huỷ) phonon với vectơ sóng ; là hằng số tương tác điện tử -

phonon; m là khối lượng điện tử và e là điện tích của điện tử; là thế

vectơ và tương ứng với sóng điện từ (bức xạ laser):

(1.4)

là thế vô hướng:

Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử (hạt fermion) tồn tại các hệ thức giao

hoán sau:

(1.5)

Giữa các toán tử sinh, hủy phonon (hạt boson) tồn tại các hệ thức sau:

(1.6)

Ta có toán tử số hạt của điện tử là:

Sử dụng phương trình chuyển động của toán tử thống kê hay ma trận

trận mật độ ta được phương trình động lượng tử cho điện tử như sau:

(1.7)

Tính các giao hoán tử ở vế phải của (1.7) với Hamiltonian H:

* Tính số hạng thứ nhất:

Sử dụng (1.5) ta có biến đổi sau

(1.8)

Vậy:

- Thay kết quả vào số hạng thứ nhất ta có:

(1.9)

Vậy ta có:

* Tính số hạng thứ hai:

Ta có:

(1.10)

Vậy ta có:

* Tính số hạng thứ ba:

Sử dụng (1.5) ta có biến đổi sau:

(1.11)

13

Vậy:

- Thay kết quả vào số hạng thứ 3 ta có:

(1.12)

Lấy tổng theo với lưu ý: khi hay

khi

Thay vào và sử dụng (1.5) ta được:

(1.13)

Vậy ta có:

Ở đây ta kí hiệu:

Vì chúng ta đang xét phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán

dẫn khối nên tương tác giữa electron – electron là rất nhỏ so với tương tác

giữa các hạt khác loại. tương tác này chỉ được tính đến trong tương tác plasma rắn

Vậy ta có phương trình:

(1.14)

ể giải phương trình (1.14) ta tính theo phương trình:

(1.15)

Tương tự như trên ta có:

(1.16)

Lưu ý (1.15) là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, không thuần

nhất của hàm . ể giải phương trình này trước tiên ta giải phương trình

vi phân thuần nhất:

(1.17)

Dùng phương pháp phân li biến số, ta có:

(1.18)

(1.19)

Sử dụng điều kiện ban đầu (điều kiện đoạn nhiệt) :

Ta có nghiệm:

(1.20)

trong đó M là hằng số. Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta giả

thiết M phụ thuộc thời gian M(t) :

15

(1.21)

Thay (1.19) vào (1.21) ta có:

(1.22)

Thay từ (1.17) vào số hạng thứ hai ở vế trái ta sẽ giản ước

được số hạng thứ nhất ở vế phải, do đó:

(1.23)

Thay F(t) từ (1.19) vào ta có:

(1.24)

Lấy tích phân hai vế ta được:

(1.25)

Thay (1.25) vào (1.23) ta thu được biểu thức cho F(t):

(1.26)

(1.27)

Thay vào (1.14) ta có:

17

(1.28)

(1.29)

Tính :

Sử dụng: (1.30)

(1.31)

Thay (1.30) vào (1.29) và sử dụng:

, , (1.32)

Ta có:

(1.33)

Sau đây ta sẽ giả thiết tương tác electron – phonon âm là trội. Nếu tán

xạ là đàn hồi thì ta có thể bỏ qua năng lượng của phonon trong đối số của các

hàm delta. Giải phương trình (1.33) đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối

xứng ta sẽ thu được phương trình:

(1.34)

Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được:

(1.35)

Phương trình (1.35) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố

điện tử trong bán dẫn khối với trường hợp tán xạ điện tử phonon âm khi có

mặt trường điện, từ trường không đổi và trường bức xạ cao tần.

1.1.2. Biểu t ức iải tíc c o ệ s all

Sau đây ta sẽ chỉ xét trong (1.35), tức là ta chỉ giới hạn bài

toán ở các quá trình một photon, bỏ qua các quá trình nhiều hơn một photon.

iều này làm cho các biểu thức tính toán ngắn gọn hơn. Về mặt vật lý thì gần

đúng này hoàn toàn chấp nhận được do xác suất của các quá trình một photon

19

là lớn hơn nhiều so với các quá trình từ hai photon trở lên.

Nhân hai vế của (1.35) với và lấy tổng hai vế theo

ta được phương trình:

(1.36)

trong đó:

(1.37)

(1.38)

(1.39)

Giải phương trình (1.36) ta thu được:

(1.40)

Hàm có ý nghĩa mật độ dòng „„riêng‟‟, là dòng được mang bởi

các electron với năng lượng . ại lượng này liên hệ với mật độ dòng toàn

phần bởi hệ thức:

(1.41)

Hay có thể viết:

(1.42)

với

(1.43)

(1.44)

Trong (1.40), ta thay hàm phân bố điện tử bởi:

(1.45)

với , là hàm phân bố điện tử cân bằng khi

không có điện trường, và

(1.46)

Thay (1.45) vào (1.39), ta có:

(1.47)

Chuyển tổng theo thành tích phân trong không gian xung lượng

(1.48)

Sau khi tính toán ta thu được:

(1.49)

Với

21

, (1.50)

, (1.51)

, , là delta Kronecker, là hàm bậc

thang Heaviside.

Thay (1.45) vào (1.38) ta có:

(1.52)

Trong gần đúng tuyến tính theo ta bỏ qua số hạng thứ hai trong

, do đó

(1.53)

Ta chuyển tổng theo thành tích phân tương tự như ở trên ta thu được:

(1.54)

Hay ta có thể viết

. (1.55)

Ta cũng có thể viết lại (54) như sau:

, (1.56)

với .

Bây giờ ta sẽ áp dụng (1.55) và (1.56) để viết ra các thành phần

của và của . Từ (1.43) và (1.56) ta có:

(1.57)

Và

, (1.58)

trong đó ta đã sử dụng ký hiệu:

(1.59)

Thay vào biểu thức trên ta có:

(1.60)

ồng thời ta cũng có thể viết lại biểu thức của như sau:

(1.61)

Thay (66) vào (62) ta có:

23

(1.62)

hay

(1.63)

Cuối cùng ta sử dụng (1.60) và (1.63) để viết ra các thành phần của

mật độ dòng điện. Ta có:

(1.64)

Mặt khác ta có công thức quen thuộc:

(1.65)

Thay (1.60) và (1.63) vào (1.64) và so sánh với công thức (1.65) ta rút

ra biểu thức của tensor độ dẫn :

(1.66)

Trong đó

Từ biểu thức tổng quát của tensor độ dẫn ta có thể suy ra được biểu

thức của từ trở , điện trở Hall và hệ số Hall theo các công thức:

(1.67)

(1.68)

(1.69)

Nhận xét: Kết quả sử dụng lý thuyết lượng tử để khảo sát hiệu ứng Hall

trong bán dẫn khối cho thấy sự phụ thuộc của tensor độ dẫn điện cũng như từ

trở, hệ số Hall vào trường ngoài là phức tạp hơn nhiều so với lý thuyết cổ điển.

1.2. Hàm són và p ổ năng lƣợng của điện tử trong dâ lƣợn tử

Các hiệu ứng động trong hệ thấp chiều như hố lượng tử (2D), dây

lượng tử (1D), và chấm lượng tử (0D) tuân theo quy luật cơ học lượng tử,

không xét được trong phạm vi những bài toán cổ điển. Với những tiến bộ

trong công nghệ hiện đại về tổng hợp vật liệu kích thước siêu nhỏ, động lực

học trong các hệ thấp chiều trở thành một điểm nóng trong các nghiên cứu

hiện tại. Mục này sẽ xét một vài hiệu ứng động tiêu biểu trong hệ bán dẫn một

chiếu và không chiều.

Các hiệu ứng lượng từ đóng vai trò quan trọng trong các cấu trúc thấp

chiều khi bước sóng De Broglie của điện tử lớn hơn chiều dài đặc trưng của

cấu trúc lượng tử điều này đồng nghĩa với việc xảy ra hiệu ứng đường hầm

đối với rào thế dài Lz. ể quan sát thấy hiệu ứng lượng tử, năng lượng nhiệt

phải nhỏ hơn độ rộng mức năng lượng (nhiệt độ phòng vào cỡ 26meV). Do

các hiệu ứng lượng tử phụ thuộc vào độ hội tụ pha của điện tử, quá trình tán

xạ cũng có thể phá huỷ chúng. Do đố, để quan sát được các hiệu ứng lượng

tử, quãng đường tự do trung bình của hạt tải cần phải lớn hơn nhiều kích

25

thước của vật liệu.

Giới hạn để các hiệu ứng lượng tử trở nên quan trọng được gọi là vật lý

mesoscopic (meso – trung gian). ác hạt tải lúc này thể hiện cả tính chất sóng

và tính chất hạt, và trong một số trường hợp, chúng ta có thể truyền điện tích

hay năng lượng không thông qua quá trình tán xạ.

Dây lượng tử là một ví dụ về khí điện tử một chiếu. Dây lượng tử có

thể đượng chế tại nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hoá hữu cơ

kim loại MOCVD. Một cách chế tại khác là sử dụng các cổng (gates) trên

một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tại ra các kênh thấp

chiều hơn trên hệ khí điện từ hai chiều.

Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có

thể được giải dễ dàng nhờ giải phương trình Schorodinger một điện tử

cho hệ một chiều:

(1.70)

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng

giam giữ điện tử do sự giảm kích thước. Trong các bài toán kinh điển, ta đã

quen thuộc với U(r). Trong phần này, ta sẽ đưa ra kết quả tường minh đối với

các thế năng V(r) khác nhau.

Trong công thức dưới đây, ta luôn giả thiết z là chiều không bị lượng tử

hoá (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam giữ

trong hai chiều còn lại (x và y trong hệ toạ độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của điện tử là m*.

1.2.1. àm són và p ổ năn lƣợn của electron trong dâ lƣợn tử

trƣờn ợp k ôn có trƣờn n oài

+ àm són và p ổ năn lƣợn của electron trong dâ lƣợn tử

ìn trụ với t ế vô ạn

Dây lượng tử hình trụ là loại dây lượng tử hay được sử dụng nhất trong

các nghiên cứu lý thuyết.

Trong phần này ta giả thiết dây có bán kính R, thế giam giữ vô hạn ở

ngoài dây và bằng không bên trong dây:

(1.71)

Với thế năng này, phương trình Schorodinger cho hàm sóng và phổ năng lượng

trong hệ toạ độ trụ ( . Gold and A. Ghazali, Phys. Rev. B41 (1990) 7626:

(1.72)

(1.73)

Trong đó

là hàm sóng xuyên tâm

: thể tích dây, .

l=1, 2… số lượng tử xuyên tâm. kz là vectơ trục của điện tử

An,l là nghiệm của hàm Bessel đối số thực cấp n Jn(An,l)

- Thừa số đặc trưng cho dây lượng tử:

(1.74)

Với hàm sóng có chứa hàm Bessel như trên, không thể thu được biểu

27

thức giải thích cho thừa số dạng. Sử dụng biểu thức gần đúng làm cho hàm sóng:

(1.75)

Ta thu được biểu thức thừa số dạng:

(1.76)

+ àm són và p ổ năn lƣợn của electron trong dâ lƣợn tử

ìn c ữ n ật với t ế cao vô ạn

Với các cấu trúc dây lượng tử được chế tạo bằng các đặt các cổng trên

hệ hai chiều, dây lượng tử thường có hình dạng hình học không xác định và

tuỳ thuộc vào công nghệ chế tạo. Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng

tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý

thuyết. ác loại thế hay được sử dụng nhất là thế cao vô hạn bên ngoài dây,

thế parabol, thế tam giác. Sử dụng loại thế nào tuỳ thuộc vào điều kiện của

tứng bài toán (các giả thiết về cấu hình điện tử, cấu trúc hình học của dây,

nhiệt độ, trường ngoài), yêu cầu thực nghiệm, và mức độ phức tạp của hố thế

đó. Trong các trường hợp cụ thể, có thể ghép các hố thế với nhau, chẳng hạn

một chiều là hố thế parabol, một chiều là hố thế tam giác; hoặc một chiều hố

thế hình vuông và một chiều hố thế vô hạn.

Trong phần dưới đây, chúng ta sẽ xét trường hợp đơn giản nhất: hố thế

bằng không ở trong và vô cực ở ngoài dây. Khi đó, hàm sóng và phổ năng

lượng điện tử được viết dưới dạng:

(1.77)

(1.78)

Thừa số dạng cho bởi

(1.79)

1.2.2. àm són và p ổ năn lƣợn của electron trong dâ lƣợn tử dƣới

ản ƣởn của từ trƣờn

Từ trường là một trường ngoài thông dụng hay được sử dụng trong các

nghiên cứu do nó dễ tạo ra, và có nhiều ảnh hưởng lên tính chấp vật liệu. Từ

trường có thể làm thay đổi cấu trúc phổ năng lượng ( đặt thêm một bậc giam

hãm nữa lên điện tử bên cạnh sự giam hãm tĩnh điện của cấu hình dây) trong

các vùng con; làm thay đổi hàm sóng trong các tiểu vùng năng lượng ( làm

lệch hàm sóng về phía bờ dây); hàm sóng trong tiểu vùng thứ m không còn

giao với mode thứ n của phonon với (điều này làm tăng s kênh tán xạ

điện tử - phonon; xuất hiện thêm những kênh vốn bị cấm khi không có từ trường).

Một thay đổi rất quan trọng nữa là mật độ trạng thái (DOS: Density Of

State) điện tử trong các vùng năng lượng bị ảnh hưởng mạnh bởi từ trường.

Trong phần dưới đây, ta sẽ xét ảnh hưởng của từ trường lên hàm sóng và phổ

năng lượng của điện tử so với khi không có từ trường (phần trên).

+ àm són và p ổ năn lƣợn của electron trong dâ lƣợn tử

ìn trụ với t ế cao vô ạn dƣới ản ƣởn của từ trƣờn

Giả sử có một từ trường đồng nhất đặt song song với trục của dây. Hamiltonian

29

của hệ điện tử trong từ trường có thể viết trong hệ toạ độ trụ dưới dạng:

(1.80)

Với là thế véctơ của từ trường. Giải phương trình này, ta thu

được hàm sóng:

(1.81)

và phổ năng lượng:

(1.82)

Với là véctơ sóng điện tử; ,

là bán kính cyclotron, là tần số cyclotron; N là thừa số chuẩn hoá:

(1.83)

Là dạng tổng quát của hàm siêu bội (hữu hạn ở

); là nghiệm của siêu bội: ( xác định từ điều

kiện biên: hàm sóng bằng không ở biên r = R).

là thừa số phụ thuộc vào đặc trưng của

dây lượng tử và từ trường. Với hàm sóng chứa hàm siêu bội, thừa số

không cho kết quả ở dạng biểu thức giải tích. Tuy nhiên, ta có thể xét hai

trường hợp giới hạn:

Trường hợp một: Từ trƣờn mạn

Theo kết quả tổng quát ở trên, phổ năng lượng của điện tử không chưa

số nguyên (n,l) mà chứa nhứng số hạng phức tạp ( ). Khi từ trường đủ

mạnh, bán kính dây R lớn hơn nhiều so với bán kính cyclotron , trị riêng

xấp xỉ là một số không âm. Lúc này, hàm sóng và phổ năng lượng có dạng:

(1.84)

Và phổ năng lượng:

(1.85)

Np=0,1,2,…

Trường hợp hai: Từ trƣờn ếu

Khai triển hàm sóng điện tử theo hàm Bassel, chúng ta thu được hàm

sóng và phổ năng lượng của điện tử như trong trường hợp không có từ trường:

(1.86)

Và phổ năng lượng:

(1.87)

Ngoài ra, có thể xét trường hợp hố thế hữu hạn. Lúc này, hàm sóng của

điện tử không còn đơn giản mà được xác định bởi hai yếu tố khá phức tạp

31

(phụ thuộc vào hàm siêu bội) do đó không dẫn ra ở đây.

+ àm són và p ổ năn lƣợn của electron trong dâ lƣợn tử

ìn c ữ n ật với t ế cao vô ạn dƣới ản ƣởn của từ trƣờn

Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với thế giam giữ điện tử được đặt trong

từ trường yếu, hàm sóng của điện tử như trong trường hợp không có từ trường:

(1.88)

Tuy nhiên, phổ năng lượng của điện tử dưới ảnh hưởng của từ trường

có thay đổi, nó đặt thêm một sự giam hãm điện tử bên cạnh sự giam hãm do

giảm kích thước. Phổ năng lượng của điện tử lúc này được viết [65-67, 71]

như sau:

(1.89)

trong đó N = 0, 1, 2, ... là chỉ số mức Landau từ.

Chƣơng 2

LÝ T UYẾT LƢỢ TỬ VỀ ỆU Ứ LL TR DÂY

LƢỢ TỬ Ì Ữ ẬT DƢỚ Ả ƢỞ Ủ SÓ

Ệ TỪ

Trong chương này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động

lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong sự lượng tử hóa lần thứ hai để nghiên

cứu hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. ụ

thể chúng tôi tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình

chữ nhật với hố thế cao vô hạn trong trường hợp có cơ chế tương tác giữa

điện tử - phonnon âm và tán xạ điện tử - phonon quang dưới sự ảnh hưởng

của sóng điện từ. húng tôi nhận được biểu thức giải tích cho hệ số Hall và

từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Hệ số

Hall và từ trở Hall này không những phụ thuộc phi tuyến vào các thông số

của dây lượng tử như: chiều dài dây L, kích thước dây (Lx và Ly) mà còn phụ

thuộc phi tuyến mạnh vào số sóng q, tần số sóng điện từ, từ trường và nhiệt

độ của hệ T. Sự phụ thuộc của hệ số Hall và từ trở Hall vào độ lớn của từ

trường ngoài trong vùng từ trường yếu tại nhiệt độ cao và vùng từ trường

mạnh tại nhiệt độ thấp cũng đã được xem xét. ặc biệt, chúng tôi cũng nhận

được sự ảnh hưởng rất mạnh của sóng điện từ ngoài lên hiệu ứng Hall trong

dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. húng tôi tiến hành tính

toán số với dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl, kết quả được so sánh

với các kết quả được tính bởi phương pháp phương trình động Boltzmann và

cũng được so sánh với các kết quả trong bán dẫn khối [60, 81, 67, 75, 44, 45,

65], hố lượng tử, siêu mạng [27 - 31].

2.1. P ƣơn trìn độn lƣợn tử c o điện tử iam cầm tron dâ lƣợn

tử ìn c ữ n ật t ế cao vô ạn

33

Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn (như 1.71) đặt trong

từ trường và điện trường không đổi dưới ảnh hưởng của

trường laser có véc tơ điện trường vuông góc với phương

truyền sóng, trong đó và tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện

từ, khi đó hàm sóng như (1.77).

Tuy nhiên phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử hình chữ nhật dưới

ảnh hưởng của điện trường và từ trường có thay đổi và có dạng:

(2.1)

Halmintonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật

với hố thế cao vô hạn được viết như sau

(2.2)

ở đây m là khối lượng hiệu dụng của điện tử; n, l là các số lượng tử của

hai phương bị lượng tử hóa x và y; và lần lượt là véctơ sóng của điện tử

và phonon; Lx và Ly tương ứng là các kích thước của dây lượng tử theo

phương x và y; là thừa số tương tác giữa điện tử – phonon; ( ) là

toán tử sinh (hủy) điện tử; ( ) là toán tử sinh (hủy) phonon âm trong;

là thế véc tơ của sóng điện từ, với c là vận tốc ánh sáng

trong chân không.

là thừa số dạng của điện tử và được xác định bởi biểu thức

(1.79). là thế vô hướng, được xác định bởi công thức:

(2.3)

ể xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong

dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi có sóng điện từ ngoài,

chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt

(2.4)

Thay Hamiltonian (2.3) vào (2.4) và sử dụng các tính chất của giao hoán

tử giữa các toán tử sinh, hủy điện tử và phonon, các bước tính toán tương tự như

đối với bán dẫn khối ở chương 1, chúng tôi thu được phương trình:

(2.5)

Trong đó và lần lượt là các bộ số lượng tử và của

điện tử dưới tác dụng của từ trường ngoài, , là các chỉ số vùng Landau

, Js(x) là hàm Bessel bậc s đối số x và δ là hàm delta

là hàm phân bố electron bị nhiễu loạn bởi trường ngoài mà Kronecker.

ta cần tìm. ể đơn giản ta sử dụng phương pháp gần đúng lặp thay:

35

, đồng thời chỉ xét ta thu được:

(2.6)

Thực hiện phép biến đổi chỉ số số hạng thứ 2 và 3

và áp dụng . Khi có mặt từ

trường yếu với tần số cyclotron , đồng thời xét

ta thu được:

(2.7)

ộ lệch hàm phân bố khỏi giá trị cân bằng không lớn lắm, ta có thể giả

thiết tốc độ thay đổi hàm phân bố tỷ lệ với độ lệch đó. Khi đó (2.7) nhân hai

vế với và bỏ qua thành phần chứa và thực hiện lấy tổng

theo .

Ta có:

(2.8)

Trong đó là thời phục hồi xung lượng.

Phương trình (2.7) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây

lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi có sóng điện từ ngoài.

Phương trình này là tổng quát và có thể áp dụng cho cơ chế tán xạ điện tử -

phonon âm và điện tử - phonon quang trong dây lượng tử hình chữ nhật với

hố thế cao vô hạn.

2.2. ệ s all và từ trở all tron dâ lƣợn tử ìn c ữ n ật t ế cao

vô ạn

Phương trình (2.8) ta đặt:

(2.9)

37

(2.10) ;

(2.11)

Ta thu được phương trình sau đây cho mật độ dòng riêng

(2.12)

Giải phương trình (2.12) ta thu được:

(2.13)

Phương trình (2.13) là tổng quát có thể áp dụng cho các loại phonon

khác nhau. Sau đây ta sẽ áp dụng phương trình này để tính toán tenxơ độ dẫn,

điện trở và hệ số Hall cho tương tác điện tử-phonon âm và tương tác điện tử-

phonon quang được suy từ biểu thức của mật độ dòng toàn phần được cho bởi:

(2.14)

2.2.1. Trƣờng hợp tán xạ điện tử p onon âm

Xét tương tác điện tử-phonon âm ở nhiệt độ thấp đóng vai trò quan

trọng [43, 83, 84]. Nếu nhiệt độ đủ thấp thì khí điện tử được giả thuyết là suy

biến và hàm phân bố electron có dạng hàm bậc thang Heaviside. Hệ số tương

tác điện tử- phonon âm được xác định viết [55]:

(2.15) trong đó , , , và lần lượt là thể tích chuẩn hóa, mật độ tinh thể,

vận tốc sóng âm và hằng số thế biến dạng.

Thay (2.13) vào (2.14) ta có:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

từ hàm phân bố điện tử:

; . (2.19)

huyển tổng và thành tích phân như sau [85]

Sau khi thực hiện các tính toán ta có biểu thức cho tensơ độ dẫn

(2.20)

Trong đó à hàm delta Kronecker; là tenxơ Levi – Civita; các chỉ

39

số Latin tượng trưng cho các thành phần x, y, z của hệ tọa độ Descartes;

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

;

; ;

;

; ;

(2.31)

là năng lượng Fermi, là hằng số Boltzmann; T là nhiệt độ của

hệ. là hàm Bessel loại 2.

Với hướng của từ trường ngoài và các trục tọa độ đã chọn thì trong

trường hợp này thành phần điện trở được gọi là từ trở và được tính theo

công thức [57]

(2.32)

Và hệ số Hall được cho bởi công thức

(2.33)

Trong đó các thành phần và của tenxơ độ dẫn được suy ra từ

công thức (2.20).

Phương trình (2.20) cho thấy sự phụ thuộc phức tạp của tenxơ độ dẫn

vào các trường ngoài. Nó được tính toán cho các giá trị bất kì của các chỉ số

. Tuy nhiên, ta không thể tìm được biểu thức tường minh của

tích phân (2.31) do trong biểu thức có chứa đa thức Hermite. Vì vậy tích phân

này được tính bằng máy tính sử dụng các phần mềm tính số khi chúng tôi

41

thực hiện khảo sát số các kết quả giải tích trên.

2.2.2. Trƣờng hợp tán xạ điện tử phonon quang

ối với trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang, hằng số tương tác

được xác định bởi [74]:

(2.34)

trong đó là hằng số điện môi, và lần lượt là độ thẩm điện môi

cao tần và độ thẩm điện môi tĩnh, V là thể tích chuẩn hóa.

Ở nhiệt độ cao, khí điện tử được giả thiết là không suy biến và tuân

theo phân bố Boltzmann, trong đó tần số phonon là tần số phonon

quang. Thực hiện các tính toán tương tự như đối với trường hợp tương tác

điện tử-phonon âm ta được biểu thức cho tenxơ độ dẫn đối với tương tác điện

tử phonon quang như sau:

(2.35)

Trong đó

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

, , (2.47)

(2.48)

, , (2.49)

43

(2.50)

2.2.3. ết quả tín toán s và t ảo luận

ể thấy được tường minh sự phụ thuộc về cả định tính lẫn định lượng

của các hệ số Hall bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố

thế cao vô hạn vào các tham số của hệ, trong phần này, luận án trình bày các

kết quả tính số có được bằng việc sử dụng phần mền tính số Matlab và những

bàn luận của tác giả từ kết quả này. Dây lượng tử được chọn là ,

đây là vật liệu thường được sử dụng nhiều trong tính số. ác số liệu được sử

dụng tính số ở bảng (1.1). Hệ số Hall được xem như là các hàm phụ thuộc độc

lập vào các tham số như bán kính dây R, nhiệt độ T của hệ, tần số và

cường độ của sóng điện từ.

Bảng 2.1. Các tham số của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao

vô hạn GaAs/GaAsAl

ại lƣợng í iệu iá trị

Thời gian phục hồi xung lượng 10-12 (s) 0

Vận tốc sóng âm dọc 2,0×103 (m.s−1) vl

Vận tốc sóng âm ngang 1,8×103 (m.s−1) vt

Vận tốc sóng âm ngoài 5370 (m.s−1) vs

Hằng số thế biến dạng 13,5 (eV) Λ

m Khối lượng hiệu dụng của điện tử 0,067me

Mật độ khối lượng của bán dẫn 5320 (kg.m-3) 

Kích thước của dây theo phương x, y 30 nm Lx, Ly

Chiều dài dây lượng tử L 120 nm

ường độ sóng âm 104 (W.m-2)

ồng thời chỉ xét các dịch chuyển của electron giữa các mức cơ bản và

các mức kích thích thấp nhất .

a) Tương tác điện tử-phonon âm

Hình 2.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử

hình chữ nhật theo phương x khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau

của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

ác hình vẽ 2.1, 2.2 và 2.3 lần lượt chỉ ra sự phụ thuộc của hệ số Hall

vào kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật theo phương x, theo phương y

và theo cả hai phương x và y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau

của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm. Ta nhận thấy khi kích

thước của dây lượng tử hình chữ nhật Lx (Ly) tăng trong miền giá trị nhỏ

, thì hệ số Hall phụ thuộc không tuyến tính vào kích

thước của dây lượng tử hình chữ nhật theo phương x (theo phương y). Giá trị

45

của hệ số Hall tăng lên khi kích thước của dây lượng tử tăng. Tuy nhiên đến

một giá trị xác định của kích thước dây, hệ số Hall đạt giá trị cực đại rồi giảm

dần khi kích thước dây tiếp tục tăng. Giá trị xác định của kích thước dây mà

tại đó hệ số Hall có được cực đại là khác nhau và phụ thuộc vào các giá trị

nhiệt độ khác nhau. Ví dụ, với và , đỉnh cực đại xuất hiện tại

các giá trị của kích thước dây và

.

Hình 2.2 .Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử

hình chữ nhật theo phương y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau

của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

Một điều đáng chú ý nữa là khi nhiệt độ càng thấp thì đỉnh cực đại của

hệ số Hall trong dây lượng tử càng cao. Hệ số Hall trong dây lượng tử có thể

có được giá trị âm, đồng nghĩa với việc nó có thể bức xạ sóng điện từ khi hội

tụ các điều kiện phù hợp giá trị âm. Khi kích thước dây lượng tử hình chữ

nhật với hố thế cao vô hạn tiếp tục tăng thì hệ số Hall không đổi tại một gía trị

nhất định, điều này có thể hiểu rằng khi kích thước dây tăng, dây lượng tử trở

thành bán dẫn khối hệ số Hall không còn phụ thuộc vào kích thước dây lượng

tử, điều này cũng đúng như trong bán dẫn khối [67, 75, 44, 45, 65, 66, 76].

.

) s t i n u b r a (

H R

Lx(m)

Ly(m)

Hình 2.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử

hình chữ nhật theo phương x,y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác

nhau của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm

Hình 2.3 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số Hall vào cả hai kích thước

dây , . Hệ số Hall phụ thuộc phi tuyến vào cả hai kích thước giới hạn

, của dây lượng tử hình chữ nhật. Giá trị của hệ số Hall tăng lên khi

tăng kích thước của dây, đến một giá trị xác định, hệ số Hall đạt giá trị cực đại

rồi giảm dần khi kích thước của dây tiếp tục tăng.

b) Tương tác điện tử-phonon quang

Hình 2.4 mô tả sự phụ thuộc cả hệ số Hall vào tần số sóng điện từ tại

các giá trị khác nhau của từ trường. ó thể thấy rằng ở miền tần số nhỏ hệ số

Hall phụ thuộc mạnh vào tần số tuy nhiên khi tần số sóng điện từ lớn

( ) thì hệ số Hall không còn phụ thuộc vào tần số nữa. iều

này có thể giải thích định tính như sau: theo quan điểm cổ điển, khi tần số

47

sóng điện từ lớn hơn nhiều so với nghịch đảo “thời gian đáp ứng” của hạt tải

(electron) với sóng điện từ thì tác dụng của sóng điện từ lên hạt là gần như

không thay đổi (biên độ sóng điện từ đang được giữ không đổi).

Hình 2.4. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ tại các

giá trị khác nhau của từ trường

Trên quan điểm lượng tử thì ta thấy rằng với tần số thì

tần số này lớn hơn nhiều so với tần số cyclotron (ở đây với

). Do vậy năng lượng photon lớn hơn nhiều so với

khoảng cách giữa hai mức Landau. Vì vậy khả năng để electron dịch chuyển

giữa hai mức Landau liền kề như đang xét do hấp thụ photon là không có. Khi

tần số sóng điện từ tăng liên tục, hệ số Hall đạt đến giá trị bão hòa. Từ kết quả

này chúng ta có thể thấy được sự khác biệt giữa hệ một chiều và hai chiều nói

chung và trong siêu mạng pha tạp nói riêng [27-31]. Tại các giá trị từ trường

khác nhau, dáng điệu đồ thị không thay đổi mà chỉ thay đổi các giá trị của

đỉnh cực đại. Trong trường hợp này, hệ số Hall có cả hai giá trị âm và giá trị

dương. ó là sự khác biệt của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ hố thế

cao vô hạn so với hệ số Hall trong hệ hai chiều (giếng lượng tử, bán dẫn siêu

mạng pha tạp [[27-31]).

Hình 2.5. Sự phụ thuộc của từ trở Hall vào tỷ số tại các giá trị

khác nhau của biên độ sóng điện từ.

Hình 2.6 .Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử

hình chữ nhật theo phương x,y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác

nhau của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử phonon quang

Hình 2.5 mô tả sự phụ thuộc của từ trở Hall vào tỷ số tại các giá

49

trị khác nhau của biên độ sóng điện từ khi . Từ trở được biết đến như

là một hàm của tỉ số tại giá trị cố định. Khi tỷ số tăng thì từ

trở Hall đạt giá trị bão ta có thể thấy rất rõ các giá trị cực tiểu tại

khi biên độ sóng điện từ lần lượt là

. Ở đây ta thấy rằng khi biên độ sóng điện

từ tăng thì giá trị các cực tiểu của từ trở tiến về 0. Tính chất này giống như

trong hố lượng tử, nhưng khác trong hố lượng tử ngoài có các giá trị cực tiểu

còn có thêm các giá trị cực đại của từ trở [27-28]. ó sự khác biệt này là do

.

) s t i n u b r a (

R M

cấu trúc của dây lượng tử và hố lượng tử khác nhau.

Hình 2.7: Sự phụ thuộc của từ trở Hall vào từ trường tại các giá trị

khác nhau của nhiệt độ

Hình 2.6 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước dây ,

. ũng như dây lượng tử hình chữ nhật trường hợp tán xạ điện tử phonon

âm, hệ số Hall phụ thuộc phi tuyến vào kích thước giới hạn , của dây

lượng tử hình chữ nhật. Giá trị của hệ số Hall tăng lên khi tăng kích thước của

dây, đến một giá trị xác định, hệ số Hall đạt giá trị cực đại rồi giảm dần khi

kích thước của dây tiếp tục tăng. Tuy nhiên, hệ số Hall trong dây lượng tử

hình chữ nhật trường hợp tán xạ điện tử phonon quang có gía trị lớn hơn

nhiều so với trường hợp tán xạ điện tử phonon âm.

Hình 2.7 cho thấy sự phụ thuộc của từ trở Hall vào từ trường tại các giá

trị khác nhau của nhiệt độ. Ta có thể thấy rõ các giá trị cực đại tại

và các giá trị cực tiểu tại . Hơn nữa

khi nhiệt độ càng giảm thì các giá trị cực tiểu của từ trở tiến về 0. Khi từ

trường tăng từ trở Hall tăng và đạt giá trị cực đại sau đó giảm đột ngột đến giá

trị cực tiểu âm. Tính chất này khác nhau đối với trường hợp điện tử trong hệ

hai chiều [27-31].

Hình 2.8. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào điện trường DC tại các giá

trị khác nhau của nhiệt độ

Hình 2.8 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số Hall vào độ lớn điện trường

(DC electric field) ở tại các giá trị nhiệt độ khác nhau. húng ta có thể thấy

rằng sự phụ thuộc của hệ số Hall vào độ lớn điện trường là phi tuyến. Hệ số

Hall có dạng là một parabol giảm khi tăng độ lớn điện trường và phụ thuộc

mạnh mẽ vào nhiệt độ khi nhiệt độ tăng, hệ số Hall giảm. iều này khẳng

51

định một lần nữa rằng hệ số Hall thay đổi mạnh khi thay đổi nhiệt độ.

Hình 2.9 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình

chữ nhật vào từ trường trong hai trường hợp không có sóng điện từ và có mặt

sóng điện tại các giá trị nhiệt độ khác nhau. Ta có thể thấy rõ các giá trị cực

tiểu tại và các giá trị cực đại tại .

Hơn nữa khi nhiệt độ càng giảm thì các giá trị cực tiểu của từ trở tiến về 0.

Khi từ trường tăng hệ số Hall tăng và đạt giá trị cực tiểu sau đó tăng đột ngột

đến giá trị cực đại. Tính chất này khác nhau đối với trường hợp điện tử trong

hệ hai chiều [27-31]. Trường hợp không có mặt sóng điện từ (hình bên phải)

cho thấy hệ số Hall có dáng điệu đồ thị tương tự như trong [42]. Hệ số Hall có

cả gía trị cực đại và cực tiểu. Khi từ trường tiếp tục tăng thì hệ số Hall có giá

trị bão hòa.

Hình 2.9. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật vào

từ trường trong hai trường hợp không có sóng điện từ (hình bên phải) và có

mặt sóng điện từ ( hình bên trái) tại các giá trị nhiệt độ khác nhau.

2.3. ết luận c ƣơn 2

hương 2 của luận án nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall

bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

trong sự có mặt của sóng điện từ mạnh. Phương trình động lượng tử cho điện

tử giam cầm và các hệ số Hall và từ trở Hall đã được tính toán giải tích cho cả

hai trường tương tác điện tử phonon âm và điện tử phonon quang. ác biểu

thức giải tích của hệ số Hall và từ trở Hall cho thấy sự phụ thuộc của nó vào

các tham số như nhiệt độ của hệ, cường độ và tần số của sóng điện từ, kích

thước của dây và tần số cyclotron của từ trường. Kết quả giải tích được áp

dụng tính số cho dây lượng tử hình chữ nhật .

Kết quả tính số cho thấy đối với cả hai loại tương tác điện tử-phonon

âm và điện tử-phonon quang, quy luật sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích

thước dây lượng tử hình chữ nhật theo cả hai phương x, y khi có mặt sóng

điện từ là gần như tương tự. Hệ số Hall phụ thuộc phi tuyến vào cả hai kích

thước giới hạn , của dây lượng tử hình chữ nhật. Tuy nhiên, hệ số Hall

trong dây lượng tử hình chữ nhật trường hợp tán xạ điện tử phonon quang có

gía trị lớn hơn nhiều so với trường hợp tán xạ điện tử phonon âm.

Sự phụ thuộc của hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật

vào các tham số của hệ là phi tuyến và có những khác biệt so với trong bán dẫn khối

và hệ hai chiều. Sự khác biệt thể hiện rõ nhất trong hố lượng tử và siêu mạng pha

tạp sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường có xuất hiện dao động kiểu Shubnokov-de

Haas [5], còn trong dây lượng tử hình chữ nhật thì các kiểu dao động đó đã không

còn. ối với trong hố lượng tử hay siêu mạng pha tạp thì xuất hiện các giá trị từ trở

âm trong miền từ trường yếu, còn đối với trong dây lượng tử hình chữ nhật thì giá

trị từ trở âm lại xuất hiện trong miền từ trường mạnh. Sự phụ thuộc này hoàn toàn

phù hợp với các kết quả gần đây trong cùng loại vật liệu bán dẫn. ả trong hố lượng

tử và dây lượng tử hình chữ nhật đều có khi từ trường tăng thì từ trở đổi dấu. Sự

phụ thuộc của hệ số Hall vào các đại lượng bên ngoài cấu trúc dây như nhiệt độ,

cường độ và tần số sóng điện từ thay đổi cả về mặt định tính và định lượng so với

bán dẫn khối và hệ hai chiều. iều này chứng tỏ hình dạng và kích thước dây lượng

53

tử có ảnh hưởng đáng kể đối với hệ số Hall và từ trở Hall.

ƣơn 3

LÝ T UYẾT LƢỢ TỬ VỀ ỆU Ứ LL TR DÂY

LƢỢ TỬ Ì TRỤ DƢỚ Ả ƢỞ Ủ SÓ Ệ TỪ

Những năm gần đây, mô hình dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô

hạn đã được sử dụng rất nhiều trong các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.

Nhiều công trình đề cập đến tính chất khác biệt của dây lượng tử đã xuất hiện.

Sự giam giữ điện tử trong dây lượng tử làm tăng cường đáng kể độ linh động

của điện tử và dẫn đến các tính chất khác thường của hệ điện tử dưới tác động

bên ngoài (sóng siêu âm, sóng điện từ, từ trường…), các hiệu ứng trong dây

lượng tử có nhiều sự khác biệt so với bán dẫn khối và hệ hai chiều. Trong

chương này, cũng như chương 1 và chương 2 dựa vào lý thuyết trường lượng

tử, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, luận án nghiên cứu hiệu

Hall trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn. Trong phần đầu

chương, toán tử Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong biểu diễn lượng

tử hóa thứ cấp được thiết lập dựa vào biểu thức phổ năng lượng và hàm sóng

của điện tử đã xét trong chương 1. Sau đó từ toán tử Hamiltonian của hệ điện

tử – phonon, chúng tôi sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg để thiết

lập phương trình động lượng tử cho toán tử số hạt điện tử trong dây lượng tử

hình trụ với hố thế cao vô hạn. Giải phương trình động lượng tử cho toán tử

số hạt điện tử này và từ đó nhận được biểu thức hệ số Hall và từ trở Hall trong

dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số

Hall và từ trở Hall vào các tham số như nhiệt độ của hệ, tần số của sóng điện

từ, độ lớn của từ trường ngoài và các tham số của dây lượng tử như bán kính

của dây. Các kết quả này được đánh giá và so sánh với các kết quả của bài

toán tương tự trong bán dẫn khối, trong hố lượng tử và siêu mạng và dây

lượng tử hình chữ nhật để chỉ ra sự ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước

trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn lên hiệu ứng Hall.

3.1. P ƣơn trìn độn lƣợn tử c o điện tử iam cầm tron dâ lƣợn

tử ìn trụ t ế cao vô ạn

Giả sử dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn (như 1.71) đặt trong

từ trường và điện trường không đổi dưới ảnh hưởng của

trường laser có véc tơ điện trường vuông góc với phương

truyền sóng, trong đó và tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện

từ, khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử hình trụ

có dạng:

(3.1)

(3.2)

Halmintonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình trụ với

hố thế cao vô hạn được viết như sau

(3.3)

ở đây m là khối lượng hiệu dụng của điện tử; n, l là các số lượng tử của

hai phương bị lượng tử hóa x và y; và lần lượt là véctơ sóng của điện tử

và phonon; là thừa số tương tác giữa điện tử – phonon; ( ) là toán

55

tử sinh (hủy) điện tử; ( ) là toán tử sinh (hủy) phonon;

là thế véc tơ của sóng điện từ, với c là vận tốc ánh sáng

trong chân không. là thừa số dạng của điện tử và được xác định bởi

biểu thức (1.75, 1.76, 1.77). là thế vô hướng, được xác định bởi công thức:

ể xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong

dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn khi có sóng điện từ ngoài, chúng

tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt

(3.4)

Thay Hamiltonian (3.3) vào (3.4) và sử dụng các tính chất của giao

hoán tử giữa các toán tử sinh, hủy điện tử và phonon, các bước tính toán

tương tự như đối với bán dẫn khối ở chương 1, chương 2 chúng tôi thu được

phương trình động lượng tử cho electron, trong gần đúng thời gian phục hồi

xung lượng là hằng số ( ), như sau:

(3.5)

ộ lệch hàm phân bố khỏi giá trị cân bằng không lớn lắm, ta có thể giả

thiết tốc độ thay đổi hàm phân bố tỷ lệ với độ lệch đó. Khi đó (3.5) nhân hai vế

với và bỏ qua thành phần chứa và thực hiện lấy tổng theo

ta có:

(3.6)

Phương trình (3.5) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây

lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn khi có sóng điện từ. Phương trình này

là tổng quát và có thể áp dụng cho cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm và điện

tử - phonon quang trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn.

Như vậy, chúng ta thấy rằng, khi có mặt của từ trường ngoài và sóng

điện từ phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố

thế cao vô hạn xuất hiện thêm các yếu tố mới đặc trưng cho sự tương tác của

từ trường lên điện tử trong dây lượng tử.

Với mô hình dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, hai phương trình

động lượng tử cho điện tử giam cầm đã được thu nhận cho cơ chế tán xạ điện

57

tử-phonon âm và cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang. Sự thay đổi thế giam

giữ điện tử đã tác động làm thay đổi hàm sóng cũng như phổ năng lượng của

điện tử, kết quả đã thu được các phương trình động lượng tử cho dây lượng tử

hình trụ cũng có sự thay đổi so với cho dây lượng tử hình chữ nhật mà luận án

đã xét ở chương 2, cũng như so với cho bán dẫn khối đã xét ở chương 1.

3.2 . ệ s all và từ trở all tron dâ lƣợn tử ìn trụ t ế

cao vô ạn

Phương trình (3.6) ta đặt:

(3.7)

(3.8) ;

(3.9)

Ta thu được phương trình dau đây cho mật độ dòng riêng

(3.10)

Giải phương trình (3.10) ta thu được:

(3.11)

Phương trình (3.11) là tổng quát có thể áp dụng cho các loại phonon

khác nhau. Sau đây ta sẽ áp dụng phương trình này để tính toán tenxơ độ dẫn,

điện trở và hệ số Hall cho tương tác điện tử-phonon âm và tương tác điện tử-

phonon quang được suy từ biểu thức của mật độ dòng toàn phần được cho bởi:

(3.12)

3.2.1. Trƣờng hợp tán xạ điện tử p onon âm

Xét tương tác điện tử-phonon âm ở nhiệt độ thấp đóng vai trò quan

trọng [52-54]. Nếu nhiệt độ đủ thấp thì khí điện tử được giả thuyết là suy biến

và hàm phân bố electron có dạng hàm bậc thang Heaviside. Hệ số tương tác

điện tử- phonon âm được xác định viết (2.15)

Thay (3.11) vào (3.12) ta có:

(3.13)

(3.14)

(3.15)

từ hàm phân bố điện tử:

; (3.16)

59

huyển tổng và thành tích phân như sau [85]

Sau khi thực hiện các tính toán ta có biểu thức cho hệ số Hall và từ trở Hall:

(3.17)

(3.18)

Trong đó is the Kronecker delta; là tenxơ Levi – ivita; cá chỉ số

Latin tượng trưng cho các thành phần x, y, z của hệ tọa độ Descartes;

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

; (3.27)

là năng lượng Fermi, là hằng số Boltzmann; T là nhiệt độ của

hệ. là hàm Bessel loại 2.

Như vậy, bằng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử,

biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall (3.17, 3.18) bởi điện tử giam

cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn đã thu được cho trường

hợp tán xạ điện tử-phonon âm. Từ các biểu thức thu nhận được này ta có thể

thấy rằng cho hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử phụ thuộc không

tuyến tính vào các tham số của sóng điện từ như tần số, cường độ, vào nhiệt

độ của hệ và bán kính của dây lượng tử. Sự phụ thuộc này sẽ được đánh giá

và bàn luận trong phần tính số. Một giới hạn có thể nhận được từ biểu thức

cho hệ số Hall và từ trở Hall là khi phổ năng lượng và hàm sóng được thay

bằng phổ năng lượng và hàm sóng của dây lượng tử hình chữ nhật thì nó trở

về hệ số Hall và từ trở Hall như trong chương 2 của luận án. Khác với kết quả

nghiên cứu của cùng bài toán đã được tính toán đối với dây lượng tử hình chữ

nhật hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình trụ không có sự phụ

thuộc vào kích thước giới hạn , như của dây lượng tử hình chữ nhật.

Khác với kết quả nghiên cứu của cùng bài toán đã được tính toán đối bán dẫn

61

khối là có mặt của tổng theo hai chỉ số lượng tử theo hai phương bị gới hạn của dây.

3.2.2. Trƣờng hợp tán xạ điện tử phonon quang ối với trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang, hằng số tương tác được xác định bởi (2.34). Ở nhiệt độ cao, khí điện tử được giả thiết là không suy biến và tuân theo phân bố Boltzmann, trong đó tần số phonon là tần số phonon quang. Thực hiện các tính toán tương tự như đối với trường hợp tương tác điện tử-phonon âm và tính toán trong dây lượng tử hình chữ nhật ta được biểu thức cho tenxơ độ dẫn đối với tương tác điện tử phonon quang như sau:

(3.28)

Trong tính toán này nên:

(3.29)

(3.30)

Hệ số Hall được viết [56]: (3.31)

Trong đó:

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

63

(3.41)

; (3.42)

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử, các biểu

thức giải tích của hệ Hall bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử trụ hố thế

cao vô hạn trong hai trường hợp tương tác điện tử- phonon âm và tương tác

điện tử - phonon quang trong các biểu thức (3.17) và (3.31). ác biểu thức

của hệ số Hall này sẽ được tính số để nhận thấy rõ dạng phụ thuộc của nó vào

các tham số như nhiệt độ của hệ, cường độ và tần số của sóng điện từ, đặc biệt

là sự phụ thuộc vào tham số đặc trưng của dây lượng tử hình trụ để xem xét

ảnh hưởng của hình dạng và kích thước dây lên hệ số Hall và từ trở Hall, từ

đó so sánh với các kết quả của bán dẫn khối ở chương 1 và dây lượng tử hình

chữ nhật ở chương 2.

3.2.3. ết quả tín toán s và t ảo luận

ể thấy được sự phụ thuộc hệ số Hall và từ trở Hall vào các tham số cả

về định tính lẫn định lượng trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn,

trong phần này chúng tôi sẽ tính toán số, vẽ đồ thị và thảo luận các kết quả

trên dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn cụ thể Ga s/Ga s l đây là

loại vật liệu thường được sử dụng nhiều trong tính toán số.

Bảng 3.1. Các tham số của dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn

GaAs/GaAsAl

ại lƣợn ý iệu iá trị

Khối lượng hiệu dụng của điện tử m 6,006×10-34kg

Mật độ khối lượng của bán dẫn 5,3×103kg/m3

Hằng số thế biến dạng 20,8×10-19J

Vận tốc sóng âm dọc 2,0×103m/s vl

Vận tốc sóng âm ngang 1,8×103m/s vt

Hàng số Boltzmann 1,38×10-23J/K

ường độ sóng âm 104W/m2

Thời gian phục hồi xung lượng 10-12s 

Các số liệu được sử dụng tính toán cho hệ số Hall và từ trở Hall trong dây

lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn ở bảng 3.1. ồng thời chỉ xét các dịch

chuyển của electron giữa các mức cơ bản và các mức kích thích thấp nhất .

a) Tương tác điện tử-phonon âm

Hình 3.1 mô tả sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường và nghịch

đảo của từ trường trong hai trường hợp: không có sóng điện từ và có mặt sóng

điện từ. Ta thấy rằng, sự có mặt của sóng điện ảnh hưởng yếu lên hệ số Hall.

Giá trị của hệ số Hall khi không có sóng điện từ và có mặt sóng điện từ là như

nhau trong một số miền từ trường nhỏ và khác nhau nhiều trong một số miền

khác của từ trường lớn. Tính chất này khác so với tính chất đã được nghiên

cứu trong hố lượng tử [5]. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường đã được

nghiên cứu chi tiết cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm [86, 54, 79] trong

trường hợp vắng mặt sóng điện từ. Như chúng ta thấy từ biểu đồ 1a và 1b,

trong trường hợp của sự vắng mặt sóng điện từ, những đường cong giống hệt

trong thực nghiệm [86, 54, 79]. Biên độ của hệ số Hall khi có mặt sóng điện

từ lớn hơn khi không có mặt sóng điện từ. Ngoài ra, gía trị của hệ số Hall tăng

khi từ trường tăng. ây là điểm mới của gía trị đó là hoàn toàn khác so với

giá trị của nó trong thực nghiệm khi không có sóng điện từ [86, 54, 79]. ũng

giống như hệ hai chiều, nếu sự tương tác điện tử-phonon âm xảy ra ở nhiệt độ

65

thấp, dao động Shubnikov-de Haas (SBH) sẽ xuất hiện. Tuy nhiên, các giá trị

hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ là nhỏ hơn so với trong hố lượng tử và

các dạng đường cong cũng khác trong hố lượng tử, hệ hai chiều [5] và chất

bán dẫn.

b) a)

Hình 3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ

vào từ trường B (hình a) và nghịch đảo từ trường 1/B (hình b) trong hai

trường hợp không có sóng điện từ và có mặt sóng điện. Ở đây T=

4K, .

ể thấy được ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall, sau đây

chúng tôi sẽ khảo sát từ trở và hệ số Hall trong hai trường hợp: không có

sóng điện từ và có măt sóng điện từ. Hình 3.2 mô tả sự phụ thuộc của từ

trở Hall vào từ trường tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Ta có thể thấy

rõ sự xuất hiện của các dao động từ trở kiểu SdH với chu kỳ (1/B) không

phụ thuộc vào nhiệt độ. ác dao động này được chi phối bởi tý số của năng

lượng Fermi và năng lượng cyclotron. Ngoài ra từ hình vẽ này cũng có thể

thấy rằng biên độ của các dao động từ trở giảm khi nhiệt độ tăng lên. Tính

chất này phù hợp với thực nghiệm [79], trong hệ hai chiều và trong trong

hệ một chiều khi không có mặt sóng điện từ [27, 28, 86, 54, 79]. Tuy

nhiên, kết quả của chúng tôi là có hình dạng dao động của từ trở khác so

với hình dạng dao động của từ trở trong hố lượng tử [5], và cũng khác so

với các kết quả thực nghiệm thu được trong dây lượng tử khi không có mặt

sóng điện từ [54]. ác dao động của từ trở giảm khi từ trường tăng.

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của từ trở Hall trong dây lượng tử hình trụ

vào từ trường B trong hai trường hợp có mặt sóng điện từ tại các giá trị

khác nhau của nhiệt độ. Ở đây .

Hình 3.3 miêu tả sự phụ thuộc của tỷ số với giá trị cố

định trong hai trường hợp không có mặt sóng điện từ và có mặt sóng điện

từ. ó thể thấy rằng biên độ dao động khi có mặt sóng điện từ thay đổi

đáng kể trong một số miền giá trị của tần số Cyclotron. Ta thấy xuất hiện

hiện tượng giống như hiện tượng phách. ặc điểm này tương tự đã quan

sát trong hệ hai chiều khi có mặt sóng điện từ [5]. Nhưng khác so với hệ

67

hai chiều là dáng điệu đồ thị của dao động thay đổi rõ ràng ở một số vùng

của từ trường khi có mặt sóng điện từ. Sự phụ thuộc của từ trở khi không

có mặt sóng điện từ có dáng điệu đồ thị như các nghiên cứu trước đó trong

dây lượng tử [79].

Hình 3.3. Sự phụ thuộc của từ trở Hall trong dây lượng tử hình trụ vào

từ tỷ số trong hai trường hợp không có sóng điện từ và có mặt sóng

điện. Ở đây T= 4K, .

Hình 3.4 là sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài của dây lượng tử

hình trụ với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl tại các giá trị khác nhau của

nhiệt độ T và tần số sóng âm . Trong các hình này, mỗi đồ thị biểu diễn hệ

số Hall có một đỉnh thỏa mãn điều kiện cộng hưởng ( và ). Sự tồn

tại đỉnh này trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl

có thể là do quá trình dịch chuyển giữa các vùng con ( và ). Khi

chúng ta xét trường hợp và . Về bản chất, chúng ta chỉ xét lớp

chuyển tiếp trong một vùng (các chuyển tiếp nội vùng) và từ các phép tính số

có được , điều đó có nghĩa là chỉ có sự dịch chuyển liên vùng ( và

) mới cho đóng góp vào hệ số Hall. Kết quả này là khác biệt so với kết

quả trong bán dẫn khối và trong hệ hai chiều [5]. Trong trường hợp bán kính

dây tiến tới kích thước cỡ μm, thì sự giam hãm điện tử được bỏ qua, do đó

không xuất hiện đỉnh, kết quả này về định tính tương tự như các kết quả trong

các bán dẫn khối [44, 45, 65, 67, 76].

Hình 3.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ vào

chiều dài dây lượng tử tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Nhưng kết quả này lại khác về hình dạng đồ thị và số đỉnh so với các

kết quả trong siêu mạng [5]. Ngoài ra, hình 3.4 cho thấy rằng các đỉnh bị di

chuyển theo chiều bán kính dây lượng tử tăng khi tần số của sóng âm tăng.

Chính vì thế có thể sử dụng điều kiện này để xác định vị trí các đỉnh tại các

giá trị khác nhau của tần số sóng âm hoặc các tham số của dây lượng tử hình

trụ với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. iều đó có nghĩa là điều kiện này

được xác định chủ yếu bởi năng lượng của điện tử.

Hình 3.5 biểu diễn sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào bán kính của dây

lượng tử hình trụ ở nhiệt độ của hệ: T = 4K, T = 5K và T = 5K. húng tôi

thấy, ở nhiệt độ khác nhau thì độ dẫn Hall đều giảm phi tuyến theo bán kính

69

của dây. Khi dây lượng tử có bán kính nhỏ, độ dẫn Hall lớn và giảm rất nhanh

khi bán kính của dây lượng tử tăng. Khi bán kính của dây lượng tử có kích

thước cỡ μm thì sự giam hãm điện tử được bỏ qua, do đó hệ số Hall gần như

không đổi và rất nhỏ, kết quả này về mặt định tính cũng tương tự như các kết

quả trong bán dẫn khối [44, 45, 65, 67, 76]. Kết quả này cũng khác về hình

dạng đồ thị và số đỉnh so với kết quả trong siêu mạng [5] và dây lượng tử

hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn đã nghiên cứu ở chương 2.

Hình 3.5. Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ

vào bán kính dây lượng tử tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ

Từ hình 3.6 ta nhận thấy, hệ số Hall phụ thuộc phi tuyến vào tần số

sóng điện từ. Ban đầu hệ số Hall tăng nhanh khi tần số tăng và đạt cực đại tại

một giá trị của tần số, sau đó giảm mạnh. Và khi tần số sóng điện từ tiếp tục

tăng thì hệ số Hall đạt giá trị không đổi. Ở những giá trị từ trường khác nhau,

hình dạng đồ thị khác nhau, các giá trị cực đại của hệ số Hall không có sự

khác nhiều. Từ hình 3.7 chúng tôi vẽ sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào chiều

dài dây lượng tử trong hai trường hợp có mặt sóng điện từ và không có mặt

sóng điện từ.

Hình 3.6. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ vào

tần số sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của biên độ sóng điện từ

Hình 3.7. Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ

vào chiều dài dây lượng tử trong hai trường hợp có mặt sóng điện từ và

không có mặt sóng điện từ.

Ta thấy rằng, với các tham số đang khảo sát thì độ dẫn Hall tăng nhanh

trong miền chiều dài dây lượng tử rất nhỏ , khi chiều dài tiếp tục

tăng thì độ dẫn Hall tăng chậm. Ngoài ra khi chiều dài của dây lượng tử lớn,

71

lúc này độ dẫn Hall không còn phụ thuộc vào chiều dài dây nữa, đạt gía trị

bão hòa. iều này phù hợp với lý thuyết khi chiều dài dây lượng tử tăng thì

dây được coi như bán dẫn khối, và khi đó độ dẫn Hall không còn phụ thuộc

vào kích thước dây.

b) Tương tác điện tử-phonon quang

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall vào bán kính dây lượng tử khi

nhiệt độ của hệ thay đổi: T=150K, T=300K, T=350K, chiều dài dây lượng tử L= 90. 10-8m , từ trường B=4T và chúng ta thu được kết

quả như hình 3.8.

Hình 3.8. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào bán kính dây lượng tử hình

trụ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Từ hình vẽ 3.8 ta nhận thấy, hệ số Hall phụ thuộc phi tuyến vào bán

kính dây lượng tử. Hệ số Hall tăng nhanh trong miền giá trị nhỏ của bán kính

dây lượng tử. Khi bán kính tiếp tục tăng thì hệ số Hall có giá trị không đổi, sự

phụ thuộc này sẽ là tuyến tính khi bán kính dây lượng tử đạt cỡ micromet. Khi

kích thước dây lượng tử càng tăng thì dây lượng tử trở thành bán dẫn khối,

khi đó hệ số Hall không còn phụ thuộc vào bán kính dây lượng tử, tính chất

này đúng trong bán dẫn khối.

Hình 3.9. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình

trụ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình

trụ khi nhiệt độ của hệ thay đổi: T=100K, T=150K, T=200K, B=4T, bán kính dây lượng tử r = 8,77. 10-9m và chúng ta thu được kết

quả hình 3.9.

Từ hình vẽ 3.9 ta nhận thấy, sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài

dây lượng tử là phi tuyến. Hệ số Hall tăng nhanh khi chiều dài dây lượng tử

tăng trong miền giá trị nhỏ, khi chiều dài dây tiếp tục tăng thì hệ số Hall thay

đổi và sau đó đạt giá trị không đổi. Ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt

độ, dáng điệu đồ thị hầu như không thay đổi, có thể coi hệ số Hall không phụ

thuộc vào nhiệt độ.

Từ hình 3.10 là sự phụ thuộc của hệ số Hall vào bán kính của dây

73

lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl tại các giá trị khác nhau

của nhiệt độ T. Trong các hình này, mỗi đồ thị biểu diễn hệ số Hall có một

đỉnh cộng hưởng. Kết quả này là khác biệt so với kết quả trong bán dẫn khối

và trong hệ hai chiều [5]. Trong trường hợp bán kính dây tiến tới kích thước

cỡ μm, thì sự giam hãm điện tử được bỏ qua, do đó không xuất hiện đỉnh, kết

quả này về định tính tương tự như các kết quả trong các bán dẫn khối [44, 45,

65, 67, 76]. Nhưng kết quả này lại khác về hình dạng đồ thị và số đỉnh so với

các kết quả trong siêu mạng [5] và trong tương tác điện tử phonon âm đã xét

trong luận án. Ngoài ra, hình 3.4 cho thấy rằng các đỉnh không bị di chuyển

theo chiều bán kính dây lượng tử tăng khi nhiệt độ thay đổi, mà chỉ thay đổi

về độ lớn. Chính vì thế có thể sử dụng điều kiện này để xác định độ lớn các

đỉnh tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Ví dụ tại cùng một giá trị của bán

kính dây lượng tử thì nhiệt độ càng thấp độ lớn của độ dẫn Hall

lại càng cao.

Hình 3.10: Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào bán kính dây lượng tử

hình trụ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Hình 3.11 chỉ ra sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào chiều dài dây lượng

tử hình trụ tại các giá trị khác nhau của biên độ sóng điện từ, cả trường hợp

không có sóng điện từ là phi tuyến tính. ộ dẫn Hall giảm nhanh khi chiều

dài dây lượng tử trong miền giá trị nhỏ cỡ . Nếu độ dẫn chiều

dài dây tiếp tục tăng thì độ dẫn Hall tiếp tục giảm trước khi đạt đến giá trị

không đổi. Khi không có mặt sóng điện từ thì dáng điệu đồ thị của độ dẫn

Hall phụ thuộc vào chiều dài dây lượng tử không thay đổi. Nhưng khi chiều

dài càng lớn thì dây lượng tử trở thành bán dẫn khối dẫn đến độ dẫn Hall

không còn phụ thuộc vào kích thước dây lượng tử, nhận định này cũng thỏa

mãn trong bán dẫn khối.

Hình 3.11. Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào chiều dài dây lượng tử

hình trụ tại các giá trị khác nhau của biên độ sóng điện từ

Hình 3. 12 và hình 3.13 sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ T của

hệ và bán kính r của dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn (3.13) và sự

phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ nhiệt độ T của hệ và chiều dài dây lượng tử L (3.14) với số sóng q = 3,2.108 m-1. Từ đồ thị ta thấy,

Hệ số Hall đạt giá trị cực đại tại nhiệt độ và bán kính tương ứng là rđ và Tđ.

Xét bán kính và nhiệt độ trong miền r < rđ và T < Tđ: nếu tăng bán kính r và

nhiệt độ T lên một lượng nhỏ thì giá trị hệ số Hall tăng lên rất nhanh và khi

75

bán kính của dây lượng tử có kích thước cỡ μm thì sự giam hãm điện tử được

bỏ qua do đó kết quả nhận được về định tính tương tự các kết quả trong bán

dẫn khối [30, 76, 33, 78]. Từ đồ thị cho thấy hệ số Hall trong dây lượng tử

hình trụ với hố thế cao vô hạn phụ thuộc phi tuyến vào bán kính của dây

.

) s t i n u b r a (

H R

r (m)

T (K)

lượng tử và nhiệt độ của hệ.

Hình 3.12. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ T của hệ và bán

.

) s t i n u b r a (

H R

L (m)

T (K)

kính r của dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn

Hình 3.13. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ

nhiệt độ T của hệ và chiều dài dây lượng tử L.

b) a)

Hình 3.14. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ vào

nhiệt độ T của hệ tại các giá trị khác nhau của từ trường (hình a) vào biên độ

sóng điện từ tại các gía trị khác nhau của nhiệt độ (hình b)

Hình 3.14 a) sự phụ thuộc của hệ số Hall được vẽ như là hàm của nhiệt

độ tại các giá trị khác nhau của từ trường. Hệ số Hall có thể được nhìn thấy

tăng mạnh với sự gia tăng nhiệt độ cho khu vực các giá trị nhỏ (150K). Hơn

nữa, hệ số Hall phụ thuộc mạnh vào từ trường tại các giá trị khác; ụ thể, giá

trị của hệ số Hall tăng mạnh khi từ trường tăng nhẹ. húng ta có thể nhìn thấy

từ hình 3.14 b) sự phụ thuộc của hệ số Hall khi có mặt sóng điện từ là phi

tuyến. Hệ số Hall tăng nhanh khi biên độ của sóng điện từ nhỏ. Nếu biên độ

sóng điện từ tiếp tục tăng, hệ số Hall vẫn tiếp tục tăng rồi đạt đến một giá trị

bão hòa ngay cả khi biên độ sóng điện từ vẫn tiếp tục tăng . Với nhiệt độ khác

nhau, hình dạng của đồ thị hầu như không thay đổi. Do đó, hệ số Hall có thể

được coi là không phụ thuộc vào nhiệt độ. Giá trị của hệ số Hall tăng khi

nhiệt độ tăng nhẹ. Từ kết quả trên, chúng tôi cũng thấy rằng hệ số Hall trong

sự phụ thuộc vào biên độ sóng điện từ luôn luôn có giá trị âm trong khi ở các hố lượng tử

[44] nó có cả giá trị âm và dương. Bởi vì các biểu hiện của hệ số Hall trong hố lượng tử

77

không chứa chỉ số số lượng tử của điện tử, n, n ', l, l' dẫn đến sự khác biệt nói trên.

Hình 3.15. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ vào

chiều dài dây lượng tử tại các gía trị khác nhau của bán kính dây

Hình 3.15 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số Hall vào độ dài của dây L

(m) tại các giá trị khác nhau của bán kính mà là phi tuyến. húng ta có thể

thấy rằng hệ số Hall phụ thuộc mạnh mẽ vào độ dài của dây. Hệ số Hall giảm

nhanh trong vùng giá trị nhỏ của chiều dài dây lượng tử. Nếu chiều dài dây

lượng tử tiếp tục tăng, hệ số Hall sẽ tiếp tục giảm và đạt đạt đến giá trị bão

hòa không đổi cho dù chiều dài dây vẫn tăng. Với bán kính khác nhau, hình

dạng của đồ thị hầu như không thay đổi.

Hình 3.16 chỉ sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ

vào năng lượng cyclotron trong hai trường hợp có mặt sóng điện từ (đường

nét liền) và không có mặt sóng điện từ( đường nét đứt).Ở

đây . húng ta nhận thấy đồ thị có bốn đỉnh

cộng hưởng thỏa mãn điều kiện . Về

mặt ý nghĩa vật lý các đỉnh cực đại này có thể giải thích như sau: Bằng cách

sử dụng phần mềm tính toán số ta thấy đây là điều kiện cộng hưởng từ-

phonon liên vùng con dưới ảnh hưởng của điện trường không đổi. Vì vậy các

đỉnh cực đại được gọi là các đỉnh cộng hưởng. Theo đó, lần lượt từ trái qua

phải, các đỉnh cộng hưởng phụ thuộc vào năng lượng cyclotron lần lượt thỏa

mãn các điều kiện . ường nét liền trong hình chỉ

sự phụ tuộc của độ đẫn Hall và năng lượng cyclotron trong trường hợp

. húng ta nhận thấy một sự khác biệt so với trường hợp vắng

mặt sóng điện từ, ngoài các đỉnh cộng hưởng chính còn có các đỉnh cộng

hưởng xung quanh nhỏ hơn. Khi năng lượng cyclotron tăng thì độ dẫn Hall

tiếp tục tăng và đạt gía trị bão hòa tại vị trí giá trị năng lượng cyclotron cao.

Xuất hiện các đỉnh cộng hưởng của tensor độ dẫn thỏa mãn điều kiện:

(trong đó là tần số Cyclotron

( ) và là tần số phonon quang).

Hình 3.16. Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ vào

năng lượng cyclotron trong hai trường hợp có mặt sóng điện từ và không có

79

mặt sóng điện từ.

Lần lượt từ trái qua phải các đỉnh cộng hưởng thỏa mãn điều kiện:

ác đỉnh cộng hưởng của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ nhiều hơn

trong hố lượng tử [27], và điều này chỉ ra rằng ảnh hưởng của các chỉ số

lượng tử trong dây lượng tử nên độ dẫn Hall rất mạnh mẽ. Sự

có mặt của sóng điện từ mạnh dẫn đến sự xuất hiện của đỉnh cộng hưởng đáp

ứng các quy tắc lựa chọn cho quá trình chuyển đổi điện tử giữa các trạng thái.

3.3. ết luận c ƣơn 3

hương 3 của luận án đã nghiên cứu hệ số Hall bởi điện tử giam cầm

trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn. ác phương trình động lượng

tử cho điện tử và các biểu thức của hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ hố

thế cao vô hạn đã được tính toán và thiết lập. Bài toán cũng được xem xét cho

cả hai cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm và điện tử-phonon quang. Hệ số Hall

trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn cũng đã được vẽ cho cả hai

trường hợp vắng mặt và có mặt của sóng điện từ. Bên cạnh việc khảo sát sự

phụ thuộc của hệ số Hall vào các tham số của trường ngoài như cường độ và

tần số của sóng điện từ, tần số cyclotron của từ trường, nhiệt độ của hệ, chúng

tôi đã khảo sát sự ảnh hưởng của các tham số cấu trúc đặc trưng của dây

lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn lên hệ số Hall khi có mặt sóng điện từ.

ũng giống như hệ hai chiều, nếu sự tương tác điện tử-phonon âm xảy

ra ở nhiệt độ thấp, dao động Shubnikov-de Haas (SBH) sẽ xuất hiện. Tuy

nhiên, các giá trị hệ số Hall trong dây lượng tử hình trụ là nhỏ hơn so với

trong hố lượng tử và các dạng đường cong cũng khác trong hố lượng tử, hệ

hai chiều [5] và chất bán dẫn. Tính chất này của dây lượng tử hình trụ phù

hợp với các quan sát thực nghiệm đã được nghiên cứu về dây trong [79].

Khác với dây lượng tử hình chữ nhật đã nghiên cứu ở chương 2 không xuất

hiện dao động SdH.

Sự phụ thuộc của từ trở Hall vào tỷ số ta thấy xuất hiện hiện

tượng giống như hiện tượng phách. ặc điểm này tương tự đã quan sát trong

hệ hai chiều khi có mặt sóng điện từ [5]. Nhưng khác so với hệ hai chiều là

dáng điệu đồ thị của dao động thay đổi rõ ràng ở một số vùng của từ trường

khi có mặt sóng điện từ. Sự phụ thuộc của từ trở khi không có mặt sóng điện

từ có dáng điệu đồ thị như các nghiên cứu trước đó trong dây lượng tử [79].

Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ vào năng

lượng cyclotron trong hai trường hợp có mặt sóng điện từ và không có mặt

sóng điện từ. Xuất hiện các đỉnh cộng hưởng của độ dẫn Hall trong dây lượng

tử hình trụ như trong hố lượng tử [27] và các đỉnh nhiều hơn trong hố lượng

tử và trong siêu mạng pha tạp [5], và điều này chỉ ra rằng ảnh hưởng của các

chỉ số lượng tử trong dây lượng tử nên độ dẫn Hall rất mạnh

mẽ. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh dẫn đến sự xuất hiện của đỉnh cộng

hưởng đáp ứng các quy tắc lựa chọn cho quá trình chuyển đổi điện tử giữa các

trạng thái.

Kết quả tính số cho thấy rằng về mặt định tính sự phụ thuộc của hệ số

Hall mạnh vào nhiệt độ của hệ, cường độ và tần số sóng điện từ trong dây

lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn không thay đổi so với dây lượng tử hình

chữ nhật hố thế cao vô hạn. Tuy nhiên, về mặt định lượng hệ số Hall có sự

thay đổi vào phụ thuộc mạnh vào tần số hiệu dụng của hố thế giam giữ điện

tử. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào bán kính và kích thước dây cũng đã có sự

thay đổi, khác với dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn, giá trị bán

kính mà tại đó hệ số Hall đạt giá trị cực đại không phụ thuộc vào các tham số

81

bên ngoài cấu trúc như nhiệt độ, cường độ điện trường mà phụ thuộc vào tần

số hiệu dụng của thế giam giữ điện tử. Với các giá trị khác nhau của tần số

hiệu dụng của hố thế hệ số Hall có sự thay đổi rất lớn về độ lớn.

Khi có mặt sóng điện từ mạnh hệ số Hall cũng có sự thay đổi đáng kể.

Phổ hấp thụ là phổ vạch và gián đoạn theo từng nhóm vạch tương ứng với sự

dịch chuyển mỗi mức Landau, kết quả này là phù hợp với nghiên cứu của

G.B. Ibragimov [55]. Tuy nhiên trong nghiên cứu này chúng tôi chỉ ra rằng có

sự phụ thuộc rất lớn của hệ số Hall vào sóng điện từ mạnh. ây là những kết

quả mới mà các nghiên cứu trước đây chưa thể hiện.

ƣơn 4

Ả ƢỞNG CỦA SỰ GIAM CẦ P L HIỆU ỨNG

HALL TR DÂY LƢỢNG TỬ Ì Ữ NHẬT Ó ẶT

SÓ ỆN TỪ

ể làm rõ hơn sự khác biệt giữa bán dẫn thấp chiều và bán dẫn khối, ta

xét đến sự lượng tử hóa do giảm kích thước trong các hệ bán dẫn thấp chiều,

đó là sự giam cầm của phonon. Trong thời gian vừa qua, đã có rất nhiều các

công trình nghiên cứu các tính chất vật lý của bán dẫn có tính đến yếu tố giam

cầm phonon [10, 32, 33]. Sự giam cầm phonon trong các hệ thấp chiều đã làm

thay đổi đáng kể các hiệu ứng vật lý so với trường hợp phonon khối, ví dụ, sự

tán xạ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp [40], trong dây lượng tử

[78]… Hiệu ứng giảm kích thước đã làm thay đổi kịch tính các tính chất vật

lý của vật liệu bán dẫn thấp chiều. ối tượng tác động trực tiếp của hiệu ứng

giảm kích thước là các điện tử trong bán dẫn, chuyển động của nó bị giới hạn

theo các chiều giảm kích thước. hính sự giới hạn chuyển động này mà tính

chất vật lý của hệ thấp chiều có tính ưu việt hơn hẳn so với bán dẫn khối. Bên

cạnh sự giam cầm điện tử, trong các hệ thấp chiều, các phonon cũng có thể bị

giam giữ do hiệu ứng giảm kích thước. Ảnh hưởng của sự giam cầm lên hiệu

ứng Hall có tính đến yếu tố giam cầm cũng chưa được nghiên cứu trong hệ

hai chiều. ể có được những nhận định hoàn thiện hơn về ảnh hưởng của

phonon giam cầm lên hệ số Hall, trong chương này tác giả nghiên cứu hệ số

Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật có tính đến yếu tố giam cầm phonon.

Mô hình dây lượng tử được chọn là dây lượng tử hình chữ nhật có tiết diện

83

nằm trong mặt phẳng , chiều dài .

4.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon giam cầm tron dâ lƣợng tử

ìn c ữ nhật với h thế cao vô ạn

Mô hình giam giữ phonon tương tự như với điện tử, trạng thái của

phonon cũng được mô tả bởi 2 số lượng tử , ứng với sự giam cầm theo 2

phương , của phonon, vectơ sóng của phonon được biểu diễn theo các

phương , trong đó . ặt dây lượng tử trong

và từ trường

trường Laser hướng theo trục có thế vectơ tương ứng

.

, đặt trong điện trường

Hamiltonian của hệ điện tử-phonon quang giam cầm biểu diễn thông qua toán

tử số hạt:

(4.1)

Trong đó ( ) là toán tử điện tử sinh (hủy) điện tử.

( ) là toán tử điện tử sinh (hủy) phonon giam cầm; là véctơ

sóng của điện tử; là véctơ sóng của phonon giam cầm; là tần số

phonon quang; và là lượng tử số của điện tử và . ,

chỉ số Landau ác đại lượng của Hamiltonian (4.1) khác so với

Hamiltonian của dây lượng tử hình chữ nhật mà luận án đã trình bầy ở

chương 2 vì có thêm chỉ số m, m‟ đặc trưng cho phonon giam cầm.

Hằng số tương tác điện tử- phonon giam cầm:

(4.2)

ở đây V là thể tích chuẩn hóa, là hằng số điện môi, , là hệ số

điện thẩm cao tần và hệ số điện thẩm tĩnh.

Thừa số dạng đặc trưng được xác định như sau [83]:

(4.3)

Trong đó

(4.4)

là thế vectơ của trường điện từ được xác định:

(4.5)

là thế vô hướng:

(4.6)

4.2. P ƣơn trìn độn lƣợng tử cho điện tử- phonon quang giam cầm

tron dâ lƣợng tử ìn c ữ nhật h thế cao vô ạn

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử khi phonon

giam cầm được xây dựng dựa trên phương trình động lượng tử tổng quát cho

toán tử số hạt:

85

(4.7)

(4.8)

Sử dụng Hamiltonian (4.1) và các phép biến đổi toán tử, đặt

ta thu được:

(4.8)

ể thu được biểu thức cho phương trình động lượng tử ta thiết lập biểu

thức phương trình động lượng tử cho toán tử :

(4.9)

Thực hiện các tính toán cần thiết ta thu được:

(4.10)

trong đó . Phương trình (4.10) là phương trình vi

phân không thuần nhất, giải phương trình này bằng phương pháp biến phân và

dùng điều kiện biên theo giả thiết đoạn nhiệt: ta tìm được nghiệm:

(4.11)

Thay (4.11) vào (4.7) với các số hạng tương ứng. Sử dụng công thức

(4.5) và ( là hàm Bessel đối số thực)

kết hợp với biến đổi dựa trên tính đối xứng của các đại lượng trung bình

thống kê ta thu được:

(4.12)

Trong đó là tham số vô cùng bé được đưa vào để đảm bảo giả thiết

đoạn nhiệt. Phương trình (4.12) chính là phương trình động lượng tử cho hàm

phân bố không cân bằng của điện tử giam cầm trong dây lượng tử khi có sự

giam cầm phonon. Trong (4.12) ta có thể thấy rằng hằng số tương tác điện tử-

phonon giam cầm đã thay đổi bởi sự giam hãm phonon trong dây lượng tử

hình chữ nhật, nên phương trình động lượng tử cũng khác so với trong dây

lượng tử hình chữ nhật khi phonon không giam cầm, hay trong dây lượng tử

hình trụ đã trình bày ở chương 2 và chương 3.

4.3. Hệ s all và từ trở Hall cho điện tử - phonon quang giam cầm

tron dâ lƣợng tử ìn c ữ nhật h thế cao vô ạn

ể tính toán hệ số Hall và từ trở Hall bởi điện tử giam cầm trong dây

87

lượng tử có xét đến sự giam cầm của phonon, trước hết chúng ta tìm hàm

phân bố điện tử không cân bằng từ việc giải phương trình động lượng tử

(5.12). Tương tự các chương trước, để đơn giản cho việc giải phương trình này ta đặt:

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Khi đó phương trình (4.12) thành:

(4.16)

Giải phương trình (5.16) tương tự như chương 1 ta thu được đóng

vai trò là mật độ dòng riêng với trạng thái có năng lượng . ó chính là mật

độ dòng mang bởi điện tử có năng lượng . Ta có mật độ dòng toàn phần:

(4.17)

Thay vào (5.16) ta viết được:

(4.18)

Với:

(4.19)

Ta thay hàm phân bố điện tử bởi (2.19) và

(4.20)

Sử dụng các điều kiện và giả thiết như trong chương 2 đối với dây

lượng tử hình chữ nhật và thực hiện các tính toán giải tích ta thu được biểu

thức cho tenxơ độ dẫn:

(4.21)

Trong đó

(4.22)

(4.23)

(4.24)

89

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

(4.30)

(4.31)

(4.32)

(4.33)

; ; ; ; (4.34)

; ; (4.35)

ác đại lượng trong tenxơ độ dẫn (4.21) khác so với tenxơ độ dẫn

trong dây lượng tử hình chữ nhật đã trình bày ở chương 2 và dây lượng tử

hình trụ đã trình bày ở chương 3. Do đó, hệ số Hall và từ trở Hall cho các

trường hợp phonon quang giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật sẽ khác

nhau so với trường hợp của phonon không giam cầm trong dây lượng tử hình

chữ nhật, dây lượng tử hình trụ hoặc trong hệ hai chiều. Bởi vì hệ số Hall và

từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật dưới ảnh hưởng của phonon giam

cầm chứa chỉ số m, m’ chỉ số giam giữ phonon. Khi chỉ số m, m’ tiến đến

không, chúng ta có được kết quả như trường hợp của phonon không giam cầm

trong dây lượng tử hình chữ nhật đã trình bày ở chương 2. Chiều dài Lx (Ly)

tiến tới vô cùng, lúc này các tính chất của dây tương tự như tính chất bán dẫn

khối. Nghĩa là hệ số Hall và từ trở Hall không còn phụ thuộc vào độ dài của

dây lượng tử ở tất cả các nhiệt độ khác nhau, đó là đặc tính của bán dẫn khối.

4.4. Kết quả tín toán s và t ảo luận

ể có được sự đánh giá tốt hơn về sự ảnh hưởng của phonon giam

cầm lên hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật, phần này

của luận án sẽ khảo sát và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số Hall vào các đại

lượng đặc trưng của hệ cho trường hợp phonon quang giam cầm và phonon

quang không giam cầm trên cùng một đồ thị. ác thông số sử dụng được lấy

theo bảng 2.1 (thông số của dây chữ nhật GaAs/GaAsAl).

Hình 4.1 và hình 4.2 chỉ sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng

điện từ tại các giá trị khác nhau của từ trường trong dây lượng tử hình chữ

nhật với hố thế cao vô hạn trường hợp tương tác điện tử- phonon quang giam

cầm. ồ thị chỉ rằng hệ số Hall phụ thuộc mạnh mẽ vào tần số sóng điện từ

thể hiện ở sự xuất hiển các đỉnh cộng hưởng. Khi phonon không giam cầm thì

đồ thị chỉ xuất hiện một đỉnh cộng hưởng giống như đã nghiên cứu ở chương

91

2, nhưng khi có sự giam cầm phonon thì số đỉnh cộng hưởng tăng lên. iều

này được giải thích là do trong biểu thức của hệ số Hall khi phonon giam cầm

ngoài phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của dây còn phụ thuộc vào các

chỉ số giam cầm m, m’. Như vậy, sự giam cầm phonon trong dây lượng tử

hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn không làm thay đổi định tính về sự phụ

thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ. Tuy nhiên đã có sự thay đổi định

lượng của hệ số Hall. Hệ số Hall trong trường hợp phonon giam cầm lớn hơn

rất nhiều so với trong trường hợp phonon không giam cầm, điều này cũng

được thấy trong hình 4.2. Nếu thay đổi chỉ số lượng tử của phonon giam cầm,

hệ số Hall cũng thay đổi theo tỉ lệ thuận. Khi thay đổi từ trường thì độ lớn các

đỉnh cực đại của hệ số Hall cũng thay đổi, từ trường càng cao thì độ lớn hệ số

Hall càng cao.

Hình 4.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ tại các giá trị

khác nhau của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô

hạn trường hợp tương tác điện tử- phonon quang giam cầm

Hình 4.3 cho ta thấy sự phụ thuộc của Hall vào nhiệt độ của hệ cho cả hai trường hợp phonon giam cầm và phonon không giam cầm. Về mặt định tính, hình dạng của các đường cong này gần như giống nhau. Tuy nhiên, khi có sự giam cầm phonon cũng như khi chỉ số lượng tử của phonon giam cầm

tăng lên, độ lớn của hệ số Hall cũng tăng lên đáng kể, đồng thời giảm nhanh về phía có nhiệt độ thấp hơn. Hệ số Hall khi có sự giam cầm phonon cũng lớn

hơn khi phonon không giam cầm. Ví dụ khi , hệ số Hall trong

trường phonon giam cầm với gần bằng 7 (arb. units), với

thì hệ số Hall gần bằng 4 (arb. units) và cao hơn trường hợp

phonon không giam cầm cỡ 1.8 (arb. units).

Hình 4.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ trong hai

trường hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không giam

cầm(đường nét liền) trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

Hình 4.4 từ trở được theo tỷ số với giá trị cố đinh tại các gía

trị khác nhau của biên độ sóng điện từ trong hai trường hợp phonon giam cầm

và phonon không giam cầm. Ta có thể thấy rõ trường hợp phonon không giam

cầm khi cho m=0, m’=0 dạng đồ thị trở về như đã nghiên cứu trong dây

lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn ở chương 2. Khi phonon giam

cầm xuất hiện thêm một đỉnh cực đại so với không giam cầm tại giá trị

, trị tuyệt đối của giá trị cực tiểu cũng cao hơn rất nhiều so với

trường hợp phonon không giam cầm. iều này chứng tỏ sự giam cầm phonon

93

có ảnh hưởng rất lớn đến giá trị của từ trở Hall.

Hình 4.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ của hệ trong hai

trường hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không giam cầm

(đường nét liền) trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

Hình 4.4 . Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tỷ số tại giá trị B=6T trong

hai trường hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không giam

cầm(đường nét liền) trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

Hình 4.5 cho thấy sự phụ thuộc của tensơ độ dẫn Hall

vào năng lượng Cyclotron tại giá trị B=6T trong hai trường hợp phonon giam cầm

(đường nét đứt) và phonon không giam cầm(đường nét liền) trong dây lượng

tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Ta có thể thấy tensơ độ dẫn Hall có

những đỉnh cộng hưởng nhọn tại những giá trị khác nhau của tần số cyclotron.

Tensơ độ dẫn Hall chỉ có giá trị đáng kể ở vị trí đỉnh cộng hưởng này. iều

này cho thấy rằng chỉ số mức Landau mà điện tử sau khi hấp thụ dịch chuyển

đến phải được xác định và phải thỏa mãn điều kiện , đây là sự

khác biệt so với bán dẫn khối. Một điều nữa có thể nhận thấy là mật độ các

đỉnh hấp thụ dày khi và nó thưa dần khi tần số cyclotron tăng lên.

Nó thể hiện sự ảnh hưởng của từ trường lên tensơ độ dẫn Hall, khi từ trường

mạnh lên, sự ảnh hưởng của nó càng lớn. Trường hợp phonon không giam

cầm, đồ thị sự phụ thuộc của tensơ độ dẫn Hall có hai đỉnh cộng hưởng, từ

trái qua phải các đỉnh cộng hưởng của tensơ thỏa mãn điều kiện:

Trường hợp phonon giam cầm thì dường như ngoài các đỉnh cộng

hưởng chính đồ thị còn xuất hiện các đỉnh cộng hưởng phụ xung quanh cộng

hưởng chính. ác đỉnh cộng hưởng thỏa mãn điều kiện:

Từ trái qua phải có bảy cộng hưởng thỏa mãn điều kiện:

,

95

, . ,

Khi các phonon giam cầm, tensơ độ dẫn có đỉnh cộng hưởng nhiều hơn

so với trong trường hợp phonon không giam cầm trong dây lượng tử hình trụ

đã xét ở chương 3, cũng như trong hố lượng tử, sự gia tăng của số lượng tử

đặc trưng m, m’ cho tác dụng của phonon giam dẫn đến tăng số đỉnh cộng

hưởng của tensơ độ dẫn trong dây lượng tử so với hố lượng tử [5].

Hình 4.5. Sự phụ thuộc của tensơ độ dẫn Hall

vào năng lượng Cyclotron tại giá trị B=6T trong hai trường hợp phonon giam cầm (đường

nét đứt) và phonon không giam cầm(đường nét liền) trong dây lượng tử hình

chữ nhật với hố thế cao vô hạn

4.5. Kết luận c ƣơn 4

hương 4 của luận án nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên

hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Kết quả

thu được biểu thức của phương trình động lượng tử cho điện từ trong dây

lượng tử hình chữ nhật khi có sự giam cầm phonon. Hệ số Hall và từ trở Hall

cũng được thiết lập cho trường hợp tán xạ điện tử giam cầm-phonon quang

giam cầm. Kết quả giải tích được tính số và cho thấy rằng sự giam cầm

phonon trong dây lượng tử không làm thay đổi định tính sự phụ thuộc của hệ

hệ số Hall và từ trở Hall vào các tham số của hệ. Tuy nhiên nó đã ảnh hưởng

định lượng lên hệ số Hall và từ trở Hall trong dây. hệ số Hall và từ trở Hall

khi có sự giam cầm phonon là lớn hơn. ỉnh hấp thụ cũng dịch chuyển về

phía nhiệt độ thấp khi có sự giam cầm phonon. Ta nhận thấy, hệ số Hall và từ

trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật trường hợp phonon không giam

cầm đã trình bày ở chương 2 không phụ thuộc vào chỉ số đặc trưng cho

phonon giam cầm m, m’. Do đó đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số Hall

vào tần số sóng điện từ trong trường hợp không phonon giam cầm chỉ có một

đỉnh cộng hưởng, điều này phù hợp với tính toán số đã trình bày ở chương 2.

Trong trường hợp phonon giam cầm thì đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hệ

số Hall xuất hiện nhiều hơn một đỉnh cộng hưởng so với trường hợp phonon

không giam cầm. Sự xuất hiện các đỉnh này thể hiện sự khác biệt so với trong

bán dẫn khối, cũng như trong hố lượng tử và dây lượng tử hình trụ đã được

nghiên cứu trước đó.

Tensơ độ dẫn trong trường hợp phonon quang giam cầm có nhiều cộng hưởng

hơn so với trong trường hợp phonon quang không giam cầm thỏa mãn điều kiện:

Ảnh hưởng của phonon giam cầm tạo nên một tính chất mới cho tensơ

độ dẫn là sự xuất nhiều đỉnh cộng hưởng dây lượng tử hình chữ nhật với hố

thế cao vô hạn so với trong hố lượng tử [5] và so với dây lượng tử hình trụ đã

97

nghiên cứu trong chương 3.

ẾT LUẬ

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, chúng tôi đã nghiên

cứu hiệu Hall trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn, dây lượng tử

hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn và dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế

cao vô hạn dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm. ác kết quả chính của

luận án được tóm tắt như sau:

1. Lần đầu tiên thiết lập phương trình động lượng tử cho hệ điện tử -

phonon trong bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô

hạn, dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn và dây lượng tử hình

chữ nhật với hố thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm) và

thu được các biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall trong dây

lượng tử hình trụ và dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn;

2. ác kết quả thu được cho thấy sự lượng tử hóa do giảm kích thước

trong các dây lượng tử ảnh hưởng rất mạnh lên hệ số Hall cũng như từ trở

Hall trong các dây lượng tử. Sự phụ thuộc của hệ số Hall và từ trở Hall vào

các tham số như nhiệt độ của hệ, tần số sóng âm, từ trường ngoài và các

tham số cấu trúc của dây lượng tử có nhiều sự khác biệt so với bài toán

tương tự trong bán dẫn khối, siêu mạng và hố lượng tử. Sự khác biệt này

gây bởi sự khác biệt của thế giam cầm trong hệ một chiều.

3. Kết quả tính toán số cho hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử

hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl chỉ ra: cho thấy sự phụ

thuộc phi tuyến của hệ số Hall vào cả hai kích thước dây. Kích thước của dây

tăng, tính chất dây gần như tính chất bán dẫn khối, khi đó hệ số Hall không

phụ thuộc vào kích thước vật liệu. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số

sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của từ trường. ó thể thấy rằng ở miền

tần số nhỏ hệ số Hall phụ thuộc mạnh vào tần số tuy nhiên khi tần số sóng

điện từ lớn thì hệ số Hall không còn phụ thuộc vào tần số nữa. Xuất hiện đỉnh

cực đại ứng và giá trị của đỉnh này tăng mạnh khi từ trường tăng; Sự phụ

thuộc của hệ số Hall vào từ trường ngoài là phi tuyến trong vùng từ trường

mạnh, xuất hiện các giá trị cực đại, cực tiểu và các giá trị các đỉnh này giảm

khi nhiệt độ tăng.

4. Kết quả tính toán số cho Hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử

hình trụ với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl chỉ ra: sự phụ thuộc của độ dẫn Hall

trong dây lượng tử hình trụ vào năng lượng cyclotron khi có mặt sóng điện từ thì

xuất hiện nhiều đỉnh cộng hưởng hơn trường hợp không có sóng điện từ.

5. Kết quả tính toán số hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình

chữ nhật với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl trường hợp tương tác điện tử-

phonon quang giam cầm; Trong trường hợp phonon giam cầm thì đồ thị biểu

diễn sự phụ thuộc của hệ số Hall xuất hiện nhiều hơn một đỉnh cộng hưởng so

với trường hợp phonon không giam cầm. Ảnh hưởng của phonon giam cầm

tạo nên một tính chất mới cho tensơ độ dẫn là sự xuất nhiều đỉnh cộng hưởng

dây lượng tử hình chữ nhật với trong hố lượng tử [5].

ác kết quả thu được của luận án có thể mở rộng hướng nghiên cứu

cho hệ bán dẫn không chiều và hiệu ứng Hall; góp một phần hoàn thiện lý

thuyết lượng tử về các hiệu ứng Hall trong hệ bán dẫn một chiều nói riêng

và trong Vật lý bán dẫn thấp chiều nói chung; góp phần vào việc phát triển

khoa học công nghệ cao, chế tạo các thiết bị điện tử siêu nhỏ, thông minh

99

và đa năng trên cơ sở Vật lý bán dẫn thấp chiều.

Á Ô TRÌ L QU ẾN LUẬ Á Ã Ô BỐ

[1] Nguyen Thu Huong and Nguyen Vu Nhan (2015) “The dependence of the

Hall conductivity and Hall coefficient on length and radius of a cylindrical

quantum wires in the presence of a Strong Electromagnetic”, VNU Journal of

Science, Mathematics – Physics, 31(2S), pp 33-38. (ISSN 0866-8612).

[2] Nguyen Thu Huong, Nguyen Quang Bau, Le Thai Hung, Dao Manh Hung

(2016) “Dependence of the Hall Coefficient on a length of rectangular

quantum wires with infinitely high potential under the influence of a laser

Radiation”, Journal of Physics Conference Series 726, pp. 012014 – 012019.

(Online ISSN: 1742-6596; Print ISSN: 1742-6588).

[3] Nguyễn Thu Huong, Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan (2016) “The

Photostimulated Hall effect in a Cylindrycal quantum wire with confined

electrons-optical phonons scattering”, Tạp chí nghiên cứu khoa học và Công nghệ

quân sự, 45, pp 133 - 139 (ISSN 1859 – 1043).

[4] Nguyen Thu Huong and Nguyen Vu Nhan, Dang Thi Thanh Thuy (2016)

“Shubnikov-De Hass Effect in Cylindrical Quantum Wires under the

Influence of a Laser Radiation”, VNU Journal of Science, Mathematics –

Physics, 32 (No.2), pp 69-75. (ISSN 0866-8612).

[5] Nguyen Thu Huong, Nguyen Quang Bau (2016) “The Hall Coefficient and

Magnetoresistance in rectangular quantum wires with infinite potential under the

influence of a Laser Radiation”, International Journal of Physical and

Mathematical Sciences - World Academy of Science, Engineering and

Technology, 10 (3), pp 75-80. (ISSN 1307-6892).

[6] Nguyen Thu Huong, Nguyen Quang Bau (2016) “Hall Coefficient in the

presence of a Strong Electromagnetic by confined Electrons and Phonons in

rectangular quantum wire”, International Journal of Physical and

Mathematical Sciences - World Academy of Science, Engineering and

101

Technology, 10 (12), pp 575-582. (ISSN 1307-6892).

TÀ L ỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng (2002), Lý thuyết trường

lượng tử cho hệ nhiều hạt, Nhà xuất bản ại học Quốc gia Hà Nội.

[2] Nguyễn Quang Báu, ỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn

(2004), Lý thuyết bán dẫn, Nhà xuất bản ại học Quốc gia Hà Nội.

[3] Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2007), Vật

lý bán dẫn thấp chiều, Nhà xuất bản ại học Quốc gia Hà Nội.

[4] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản ại học

Quốc gia Hà Nội.

[5] Bùi ình Hợi (2014), Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong Hố

Lượng tử và siêu mạng, Luận án tiến sĩ Vật lý, ại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[6] Nguyễn Văn Nghĩa (2016), Hiệu ứng âm - điện - từ trong các hệ

bán dẫn một chiều, Luận án tiến sĩ Vật lý, ại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[7] Hoàng ình Triển (2012), Nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng

điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử, Luận án tiến sĩ Vật lý, ại

học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

Tiến n

[8] ntonyuk V. B, MalŠ S. A. G, Larsson M. and Chao K. A. (2004),

“Effect of electron-phonon interaction on electron conductance in one-

dimensional systems”, Phys. Rev. B 69, pp. 155308-155314.

[9] Ando T, Fowler A. B and Stern F. (1982), “Electronic properties of

two-dimensional systems”, Rev. Mod. Phys. 54, pp. 437-672.

[10] Alexander Balandin and Kang L. Wang. (1998), “Effect of

phonon confinement on the thermoelectric figure of merit of quantum wells”,

J. Appl. Phys. 84, pp. 6149-6153.

[11] Akera. H, Ando. T. (1991), “Magnetoresistance in quantum wires:

Boundary – roughness scattering”, Int. J. Mod. Phys. B, 43, pp.11676-11685.

[12] Bau. N. Q, Hieu. N. V., Nhan. N. V. (2012), “The quantum

acoustomagnetoelectric field in a quantum well with a parabolic potential”,

Superlattices and Microstructure 52, pp. 921–930.

[13] Bau. N. Q, Hieu. N. V. (2013), “The quantum acoustoelectric

current in doped superlattice GaAs:Si/GaAs:Be”, Superlattices and

Microstructure 63, pp. 121–130.

[14] Bau. N. Q, Nhan. N. V., Phong. T. C. (2002), “ alculations of the

absorption coefficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in

doped superlattices by using the Kubo-Mori method”, J. Korean. Phys. Soc.,

41, pp. 149-154.

[15] Bau. N. Q, Dinh. L. and Phong. T. C. (2007), “ bsorption

coefficient of weak electromagnetic waves caused by confined electrons in

quantum wires”, J. Korean. Phys. Soc, 51, pp. 1325-1330.

[16] Bau. N. Q, Hung. D. M., Ngoc. N. B. (2009), “The nonlinear

absorption coefficient of a strong electromagnetic wave caused by confined

electrons in quantum wells”, J. Korean Phys. Soc, 54, pp. 765-773.

[17] Bau. N. Q, Hung. L. T., and Nam. N. D. (2010), “The nonlinear

absorption coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons

in quantum wells under the influences of confined phonons”, JEMWA, J. of

Electromagnetic Waves and Appl. 24, pp. 1751-1761.

[18] Bau. N. Q., Hung. D. M., and Hung. L. T. (2010), “The

influences of confined phonons on the nonlinear absorption coefficient of a

103

strong electromagnetic wave by confined electrons in doping

superlattices”, PIER Letter 15, pp. 175-185.

[19] Bau. N. Q and Hung. D. M. (2010), “ alculation of the nonlinear

absorption coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons

in doping superlattices”, PIER B25, pp. 39-52.

[20] Bau. N. Q and Trien. H. D. (2010), “The nonlinear absorption

coefficient of strong electromagnetic waves caused by electrons confined in

quantum wires”, J. Korean. Phys. Soc, 56, pp. 120-127.

[21] Bau. N. Q and Trien. H. D. (2010), “The nonlinear absorption

of a strong electromagnetic wave by confined electrons in rectangular

quantum wires”, PIERS Proceedings, Xi‟an, hina, pp. 336-341.

[22] Bau. N. Q and Trien. H. D. (2011), “The nonlinear absorption of a

strong electromagnetic wave in low-dimensional systems”, Wave propagation

INTECH, Croatia, pp. 461-482.

[23] Bau. N. Q, Hieu. N. V., Nhan. N. V. (2012), “Calculations of the

Acoustoelectric Current in a Quantum Well by Using a Quantum Kinetic

Equation”, J. Korean. Phys. Soc, 61, pp. 2026-2031.

[24] Bau. N. Q, Hieu. N. V. (2010), “Theory of

acoustomagnetoelectric effect in a superlattice”, PIERS Proceedings, Xian-

China, pp. 342-347.

[25] Bau. N. Q, Nhan N. V., and Nghia. N. V. (2011), “The

Dependence of the Acoustomagnetoelectric Current on the Parameters of a

Cylindrical Quantum Wire with an Infinite Potential in the Presence of an

External Magnetic Field”, PIERS Proceedings, Suzhou, China, pp. 1452-1456.

[26] Bau. N. Q, Dinh. L. and Phong. T. . (2007), “Absorption

coefficient of weak electromagnetic waves caused by confined electrons in

quantum wires”, J. Korean. Phys. Soc 51, pp. 1325-1330.

[27] Bau. N. Q and Hoi. B. D. (2014), “ Investigation of the Hall effect

in rectangular quantum wells with a perpendicular magnetic field in the

presence of high frequence electromagnetic wave”, Int. J. Mod. Phys. B, 28,

pp. 1450001-1450007.

[28] Bau. N. Q and Hoi. B. D. (2012), “Influence of a strong

electromagnetic wave (laser radiation) on the hall effect in quantum wells

with a parabolic potential”, J. Korean Phys. Soc, 60, pp. 59 – 64.

[29] Bau. N. Q et al. (2013), “Influence of a strong electromagnetic

Wave (Laser Radiation) on the Hall Coefficient in Doped Semiconductor

Superlattices with an In – plane Magnetic field”, PIER Proceedings, March

25 -28, Taipei, pp. 416-421.

[30] Bau. N. Q and Hoi. B. D. (2015), “Dependence of the Hall

Coefficient on Doping Concentration in Doped Semiconductor Superlattices

with a Perpendicular Magnetic Field under the Influence of a Laser

Radiation”, Integrated Ferroelectrics: An International Journal, 155, Iss. 1,

pp. 39 – 44.

[31] Bau. N. Q and Huong. N. T. (2015) “Influence of a strong

electromagnetic wave (laser radiation) on the Hall effect in a cylindrical

quantum wires with infinitely high potential”, Journal of physics: Conference

Series. 627, pp. 012023-012029.

[32] Bau. N. Q, Hung. L. T., and Nam. N. D. (2010), “The nonlinear

absorption coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons

in quantum wells under the influences of confined phonons", JEMWA, J. of

Electromagnetic Waves and Appl. 24, pp. 1751-1761.

[33] Bau. N. Q, Hung. D. M., and Hung. L. T. (2010), “The influences

105

of confined phonons on the nonlinear absorption coefficient of a strong

electromagnetic wave by confined electrons in doping superlattice”, PIER

Letter 15, pp. 175-185.

[34] Bau. N. Q, Ngoc. H. V., Huong. N. T. (2016), “The Photon-Drag

Effect in ylindrical Quantum Wire with a Parabolic Potential”, accepted for

publication in International Journal of Physical and Mathematical Sciences -

World Academy of Science, Engineering and Technology, Vol. 3, No. 12, 2016.

[35] Bau. N. Q, Huong. N. T. (2004), “Parametric interactions of

acoustic and optical phonons in cylindrical quantum wires”, VNU Journal of

science, Mathematics – physics, T.XX, No3AP.

[36] Bau. N. Q and Trien. H. D. (2010), “The nonlinear absorption

coefficient of strong electromagnetic waves caused by electrons confined in

quantum wires”, J. Korean. Phys. Soc., 56, pp. 120-127.

[37] Bastin. A, Lewiner. C, Betbeder-Matibet. O and Nozieres. P.

(1971), “Quantum oscillations of the hall effect of a fermion gas with random

impurity scattering”, Phys. Chem. Solids. 32, pp 1811-1824.

[38] Bennett R, Guven K, and Tanatar B. (1998), “ onfined-phonon

effects in the band-gap renormalization of semiconductor quantum wires”,

Phys. Rev. B 57, pp. 3994-3999.

[39] Brandes T. and Kawabata . (1996), “ onductance increase by

electron- phonon interaction in quantum wires”, Phys. Rev. B 54, pp. 4444-4447.

[40] Borisenko S. I. (2004), “The effect of acoustic phonon

confinement on electron scattering in GaAs/AlxGa1-xAs superlattices”

Semiconductors 38, pp. 824-829.

[41] Butscher S. and Knorr . (2006), “Occurrence of Intersubband

Polaronic Repellons in a Two-Dimensional Electron Gas”, Phys. Rev. Lett.

97, pp. 197401-197404.

[42] Charbonneau M, Van Vliet K. M, and Vasilopoulos P. (1982)

“Linear and nonlinear theory revisited III: one-body response formulas and

generalized Boltz-mann equations”, J. Math. Phys. 23, pp. 318-336.

[43] Chaubey M. P and Van Vliet K. M, (1986), “Transverse

magnetoconductivity of quasi-two-dimensional semiconductor layers in the

presence of phonon scattering”, Phys. Rev. B33, pp. 5617-5622.

[44] Epshtein. E. M. (1976), “Odd magnetophotoresistance effect in

semiconductors”, Sov. Phys. Semicond. 10, pp. 1414-1415.

[45] Epshtein. E. M. (1976), “Odd magnetoresistance of Nonlinear

Conductor in time-dependent electric fields”, Sov. Lett. J. Theor. Phys. 2, pp.

234-237.

[46] Frederikse. H. P. R. and Hosler. W. R. (1958), “Oscillatory

galvanomagnetic effects in n-type indium antimonide”, Phys, Rev. 110, pp. 880.

[47] Frank A. M. and Y. Galperin (1997), “ coustoelectric effects in

quantum constrictions”, Phys. Rev. B 7, pp. 4028-4036.

[48] Gaggero S. M. L., Moreno M. N., Rodriguez V. I., Perez A. R.,

Grimalsks V. V. and Mora R. M. E. (2007), “Electronic structure in funtion of the

temperature by Si Delta-doped Quantum Wells in Ga s”. PIERS 3, pp. 851-854.

[49] Hashimzade F. M, Babayev M. M, Mehdiyev B. H, and Kh A

Hasanov (2010), “Magnetothermoelectric Effects of 2D Electron Gas in

Quantum Well with Parabolic Confinement Potential in-plane Magnetic

Field”, J. Phys: Conf. Ser. 245, pp. 012015-012019.

[50] Heon H. and Harold N. S. (2000), “Exciton linewidth due to

scattering by polar optical phonons in semiconducting cylindrical quantum

107

wire structures”, Phys. Rev. B 62, pp. 13599-13603.

[51] Hieu. N. V, N. Q. Bau, N. V. Nhan (2012), “The Influence of the

lectromagnetic Wave on the Nonlinear Acoustoelectric Effect in a

Superlattice”, PIERS Proceedings, Kuala Lumpur-Malaysia, pp. 1048-1053.

[52] Hieu. N. V, Bau. N. Q. and Nghia. N. V. (2013), “The Influence of

the Electromagnetic Wave on the Nonlinear Quantum Acoustoelectric Current in

a Quantum Well”, PIERS Proceedings, Taipei, Taiwan, pp. 566-572.

[53] Hieu. N. V, Nam. N. D., Bau. N. Q. (2012), “Acoustoelectric effect in a

doped superlattice” VNU Journal of Science and Technology. 28, pp. 63-68.

[54] Ikai Lo and Y. L. Chen. (2009), “Spin splitting in lxGa1-xN/GaN

quasiballistic quantum wires”, Journal of applied physics, 105, pp. 093716-1-

093716-5.

[55] Ibragimov G.B. (2004), “Optical intersubband transitions in

quantum wires with an applied magnetic field”, Semiconductor Physics,

Quantum Electronics and Optoelectronics. 7, pp. 283-286.

[56] Jangil K. and Bongsoo K. (2002), “Optical transition for a quasi-

two- dimensional system with an electron-phonon interaction”, Phys. Rev. B

66, pp. 073107-073110.

[57] Kahn. A. H and Frederikse P. R. (1959), “Oscillatory Behavior of

Magnetic Susceptibility and Electronic onductivity”, Advances in Solid

State Physics, 9, pp. 257-91.

[58] Kim K.W, Stroscio M. A, Bhatt A, Mickevicius R and Mitin V. V.

(1991),“Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular

semiconductor quantum wire", J. Appl. Phys. 70, pp. 319-327.

[59] Kim K.W, Stroscio M. A, Bhatt A, Mickevicius R. and Mitin V.

V. (1991),"Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular

semiconductor quantum wire", J. Appl. Phys. 70, pp. 319-327.

[60] Klitzin. K, Dorda. G, Pepper. (1980), “New Method for High- Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance”, Phys. Rev. Lett. 45, pp. 494-496.

[61] N. V. Nghia, N. V. Nhan, N. Q. Bau (2011), “The

acoustomagnetoelectric effect in quantum wires”, VNU Journal of Science,

Mathematics-Physics, 27, pp. 174-179.

[62] N. V. Nghia, T. T. T. Huong, N. Q. Bau. (2010), “The nonlinear

acoustoelectric effect in a cylindrical quantum wire with an infinite potential”,

Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 35, pp. 183-188.

[63] N. V. Nghia, D. Q. Vuong, N. Q. Bau, (2011), “The

acoustomagnetoelectric current of a rectangular quantum wire with an infinite

potential in the presence of an external magnetic field”, Proc. Natl. Conf.

Theor. Phys. 36, pp. 114-120.

[64] Lee J. and Vassell M. O. (1984), “Low-field electron transport in

quasi-one-dimensional semiconducting structures”, J. Phys. C: Sol. Stat. Phys

17, pp. 2525-2530.

[65] Malevich. V. L, Epshtein. E. M. (1976), “Photostimulated odd

magnetoresistance in semiconductor”, Sov. Phys. Solid State. 18 1286-1289.

[66] Malevich. V. L, Epshtein. E. M. (1974), “Nonlinear optical

properties of conduction electrons in semiconductor”, Sov. Quantum

Electronic. 1, pp. 1468-1470.

[67] Pavlovich. V. V. and Epshtein. E. M. (1977), “Nonlinear optical

properties of conduction electron in semiconductors”, Sov. Phys. Semicond.

11, pp. 809-811.

[68] Pavlov. S. T, Parfen‟ev. R. V, Firsov. Yu. A, and Shalyt. S. S.

109

(1965), Zh. Eksp. Teor. Fiz. 48, 1565 [Sov. Phys. JETP 21, 1049 1(1965)].

[69] Peter Hertel, Lectures on Theoretical Physics, Linear Response

[70] Ploog K, Doller G. H. (1983), “ ompositional and doping

superlattices in III-V semiconductors”, Asv. Phys. 32, pp. 285-290.

[71] Rossi F and Elisa M. (1996), “Linear and nonlinear optical

properties of realistic quantum-wire structures: The dominant role of

oulomb correlation”. Phys. Rev. B 53, pp. 16462-16473.

[72] Ryu J. Y., Hu G. Y., and O' onnell R. F. (1994), “Magnetophonon

resonances of quantum wires in tilted magnetic fields”, Phys. Rev. B 49, pp.

10437-10443.

[73] Shik . Y, and hallis L. J. (1993), “Electron-phonon energy

relaxation in quasi-one-dimensional electron systems in zero and quantizing

magnetic fields”, Phys. Rev. B 47, pp. 2082-2088.

[74] Shmelev G. M, Chaikovskii L. A. and N. Q. Bau (1978), Sov.

Phys.Tech. Semicond 12, pp. 1932.

[75] Shmelev. Go M, Chaikovskii L. A. and N. Q. Bau. (1978), Sov.

Phys. Semicond. 12, pp. 1932.

[76] Shmelev. G. M, Tsurkan. G. I and Nguyen Hong Shon. (1981), “ The

magnetoresistance and the cyclotron resonance in semiconductors in the presence

of strong electromagnetic wave”, Sov. Phys. Semicond. 15, pp. 156-161.

[77] Sinyavskii E. P and Khamidullin R. . (2002), “Special features

of electrical conductivity in a parabolic quantum well in a magnetic field”,

Semiconductors, 36, pp. 924-928.

[78] Stroscio M. . (1989), “Interaction between longitudinal-optical-

phonon modes of a rectangular quantum wire and charge carriers of a one-

dimensional electron gas”, Phys. Rev. B 40, pp. 6428-6431.

[79] Takaoka. S and Kubota. H. (1990), “Shubnikov-de Haas effect of

multi-terminal Ga s/ lGa s quantum wire in nonlocal geometry”, Solid

state Communications, 75, 4, pp. 293-296.

[80] H. D. Trien and N. V. Nhan. (2011), “The nonlinear absorption of

a strong electromagnetic waves caused by confined electrons in a cylindrical

quantum wire”, Journal of USA-PIER Letters 20, pp. 87-96.

[81] Tsui. D.C, Stormer. H.L, Gossard. A.C. (1982), “Two- Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit”, Phys. Rev. Lett. 48, pp. 1559-1663.

[82] Vasilopoulos. P and van Vliet. . M, (1984), “Linear response

theory revisited. IV. pplications”, J. Math. Phys. 25, pp 1391-1403.

[83] Vasilopoulos P. (1968), “Magnetophonon oscillat ions in quasi-

two-dimensional quantum well”, Phys. Rev. B33, pp. 8587-8594.

[84] Vasilopoulos P. and Van Vliet K. M., (1984), “Linearresponse

theory revisted. IV. pplicaations”, J. Math. Phys. 25, pp. 1391-1403.

[85] Vasilopoulos P and Van Vliet K. M, (1987), “Linear and nonlinear

electrical conduction in in quasi-two-dimensional quantum well” Phys. Rev.

B35, pp. 1334-1344.

[86] Wlodek Zawadzki, Andre Raymond, and Maciej Kubisa. (2016),

“ onduction electron in acceptor-doped GaAs/GaAlAs heterostructures: a

review”, Semiconductor Science and Technology, 31, 5, pp. 053001-1-

111

053001-38.

PHỤ LỤC

1. Ta tín

(1)

Thay biểu thức hàm phân bố (2.19) vào biểu thức (4.13) ta có:

(2)

Trong gần đúng tuyến tính:

(3)

Thay (3) vào (1) ta có:

(4)

Giả thiết hàm phân bố điện tử có dạng:

Ta có:

(5)

Thay (5) vào (4) ta có

(6)

Xét trường hợp đơn giản nhất khi đó:

(7)

Ta có:

(8)

Thay (8) vào (7) ta có

(9)

ặt

(10)

huyển tổng thành tích phân như sau [85]

Và sử dụng công thức

Ta có:

113

(11)

Thay (11) vào (9) ta có:

(12)

Sau một số biến đổi ta có 1) thành

(13)

2. Ta tín

Ta có:

Trong đó (14)

ặt

(15)

Thực hiện chuyển tổng thành tích phân như [85] ta được:

(16)

Thay hằng số tương tác điện tử-phonon quang giam cầm (4.2)

và vào (4.36) ta được:

(17)

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân

Sau một số phép biến đổi ta thu được

(18)

Trong đó

(19)

Sử dụng tích phân 1 trang 338 trong quyển tích phân Gradshteyn and Ryzhik:

(20)

ể tính tích phân trong (18) ta được

(21)

Thay (21) vào (18) ta được

(22)

115

Tương tự ta cũng tính được

(23)

Trong đó

(24)

Thay (24) vào (23) ta có

(25)

Sử dụng tích phân 2 trang 338 trong quyển tích phân Gradshteyn and Ryzhik:

(26)

Ta thu được

(27)

Tương tự ta tính được M3 , M4 , M5 , M6 , M7 , M8 và xét tương tác điện tử- phonon quang giam cầm.

3. ƣơn trìn atlab tín toán ệ s all tron dâ lƣợn tử ìn

c ữ n ật với t ế cao vô ạn

3.1. Hàm Laguerre

function y=Laguerre(n,k,x)

% n la chi so duoi

% k la chi so tren

P = zeros(n+1,1);

for v=0:n

P(n+1-v) = (-1)^v * factorial(n+k)/factorial(n-v)/factorial(k+v)/factorial(v);

end;

y = poly2sym(P,x);

function y=Laguerre2(n,k,x)

% n la chi so duoi

% k la chi so tren

P = zeros(n+1,1);

for v=0:n

P(n+1-v) = (-1)^v * factorial(n+k)/factorial(n-v)/factorial(k+v)/factorial(v);

end;

y = polyval(P,x);

3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ

nhật theo phương x,y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của

nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử phonon quang

clc;close all;clear all;

T(1)=150;

n1=1;n=1;l1=1;l=1;Np=1;

m=.6097*10^(-31);

Xinf=10.9;X0=12.9;

ro=5320;

eps0=8.86e-12;

117

e0=1.60219e-19;h=1.05459e-34;kb=1.3807e-23;

e=e0;

q=2.*10^8;

c=3e8;

hnu=3.66e-2*1.60219e-19;ome0=hnu/h;

E1=3e5;E0=4e5;r=9*10^-8;

Tau=1e-12;Ef=0.05*1.6*10^(-19);

ome=4e13;L=100*10^-3;

B=8;Lx=linspace(1*10^-9,70*10^-9,50);Ly=linspace(1*10^-9,70*10^-9,50);

[Lx,Ly]=meshgrid(Lx,Ly)

for z=1:3;

omc=e.*B./m;

bta=1./(kb.*T(1));

f0=kb.*T(1)./(h.*ome0);

thet=e.^2*E0^2./(m^2*ome.^4);

I1=(2.*m./(bta.*h.^2)).^3/2.*(1/2.*sqrt(pi));

A=h.^2.*q.^2./(2.*m)-pi.^2*h.^2./(2.*m).*((n1.^2-n.^2)./(Lx.^2)+(l1.^2-

l.^2)./(Ly.^2))+h.*ome0+h.*ome;

A2=pi.^2*h.^2./(2.*m).*(n1.^2./(Lx.^2)+l1.^2./(Ly.^2))-

e.^2.*E1.^2./(2.*m.*omc.^2);

bb=[2.4048 3.8317; 3.8316 1];

hs=[24*bessel(3,q.*r(1))./((q.*r(1)).^3) 48*bessel(4,q.*r(1))./((q.*r(1)).^3);

48.1*bessel(4,q.*r(1))./((q.*r(1)).^3) 1];

for i=1:2

for j=1:2

D=(hs(i,j).^2);

end

end

for N=0:1

for N1=0:1

u=(h./(2.*m.*omc)).*(2.405./r).^2;

Nn=min(N,N1);

Nm=max(N,N1);k=Nm-Nn;

Le= Laguerre2(Nn,k,u);

J=(factorial(Nn)./factorial(Nm)).*exp(-u).*u.^k.*Le.^2;

end

end

C=(2*pi*e^2*h*ome0/eps0.*q^2)*(1/Xinf-1/X0);

Gamma=f0.*L.*m./(2.*pi.*q.*h.^2).*exp(-bta.*m.*A.^2./(2.*q.^2.*h.^2)-

bta.*A2).*(exp(bta.*h.*(ome0+ome))-1);

b=D.*J.*C*(thet.*q.^2./4).*Gamma;

a=(L./(2.*pi)).*h.*(e.*bta.*h./m.^2).*(Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2)).*(exp(bta.*(

Ef-h.*omc.*(Np+(n+l+1)./2)+e.^2.*E1.^2./2.*m.*omc.^2))).*I1;

sigzz=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a+b.*Tau.*(1-

omc.^2.*Tau.^2)./m./(1+omc.^2.*Tau.^2));

119

%sigzz1=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a);

%sigzz2=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(b.*Tau.*(1-

omc.^2.*Tau.^2)./m./(1+omc.^2.*Tau.^2));

sigzx=-

omc.*Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a./omc+b.*Tau.^2./m./(1+omc.^2.*Tau.

^2));

Rh=-1./B.*ro.*sigzz./(sigzz.^2+sigzx.^2);

end

figure(1)

surf(Lx,Ly,Rh)

3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật vào tần số

sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của biên độ sóng điện từ trường tán xạ

điện tử phonon âm

clc;close all;clear all;

T(1)=5;B(1)=4;

B(2)=5;

B(3)=6;

n1=2;n=1;l1=2;l=1;N=1;N‟=0

m=.6097*10^(-31);

Xinf=10.9;X0=12.9;

ro=5320;

eps0=8.86e-12;

e0=1.60219e-19;h=1.05459e-34;kb=1.3807e-23;

e=e0;

q=2.*10^8;

c=3e8;

hnu=3.66e-2*1.60219e-19;ome0=hnu/h;

E1=2e5;E0=2e5;L=2*10^-8;Lx=2*10^-8;Ly=3*10^-8;

Tau=1e-12;Ef=0.05*1.6*10^(-19);

ome=linspace(3e13,3e6,100);

for z=1:3;

omc=e.*B(z)./m;

bta=1./(kb.*T(1));

f0=kb.*E0./(h.*ome0);

thet=e.^2*T(1)^2./(m^2*ome.^4);

I1=(2.*m./(bta.*h.^2)).^3/2.*(1/2.*sqrt(pi));

A=h.^2.*q.^2./(2.*m)-h.*omc.*((n1-n+l1-

l)./2)+h.*ome0+h.*ome+h.*omc.*((n1+1/2));

A2=pi.^2*h.^2./(2.*m).*(n1.^2./(Lx.^2)+l1.^2./(Ly.^2))-

e.^2.*E1.^2./(2.*m.*omc.^2)+h.*omc.*((n1+1/2));

bb=[2.4048 3.8317; 3.8316 1];

Lz=9*10^-9;

hs=[24*bessel(3,q.*Lz(1))./((q.*Lz(1)).^3)

48*bessel(4,q.*Lz(1))./((q.*Lz(1)).^3);

48.1*bessel(4,q.*Lz(1))./((q.*Lz(1)).^3) 1];

for i=1:2

121

for j=1:2

D=(hs(i,j).^2);

end

end

for N=0:1

for N1=0:1

u=(h./(2.*m.*omc)).*(2.405/Lz).^2;

Nn=min(N,N1);

Nm=max(N,N1);k=Nm-Nn;

Le= Laguerre2(Nn,k,u);

J=(factorial(Nn)./factorial(Nm)).*exp(-u).*u.^k.*Le.^2;

end

end

C=(2*pi*e^2*h*ome0/eps0.*q^2)*(1/Xinf-1/X0);

Gamma=f0.*L.*m./(2.*pi.*q.*h.^2).*exp(-bta.*m.*A.^2./(2.*q.^2.*h.^2)-

bta.*A2).*(exp(bta.*h.*(ome0+ome))-1);

b=D.*J.*C*(thet.*q.^2./4).*Gamma;

a=(L./(2.*pi)).*h.*(e.*bta.*h./m.^2).*(Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2)).*(exp(bta.*(

Ef-h.*omc.*(Np+(n+l+1)./2)+e.^2.*E1.^2./2.*m.*omc.^2))).*I1;

sigzz=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a+b.*Tau.*(1-

omc.^2.*Tau.^2)./m./(1+omc.^2.*Tau.^2));

sigzx=-

omc.*Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a./omc+b.*Tau.^2./m./(1+omc.^2.*Tau.

^2));

Rh(:,z)=-1./B(z).*ro.*sigzz./(sigzz.^2+sigzx.^2);

end

figure(1)

plot(ome,Rh(:,1)./1e10,'g.','linewidth',3);hold on;

plot(ome,Rh(:,2)./1e10,'r-','linewidth',3);hold on;

plot(ome,Rh(:,3)./1e10,'b--','linewidth',3);hold on;

legend('Eo=2x10^5(V/m)','Eo=3x10^5(V/m)','Eo=4x10^5(V/m)');

xlabel('EMW frequency(s-1)'); ylabel('RH (arb.units)');

4. ƣơn trìn atlab tín toán ệ s all tron dâ lƣợn tử ìn

Trụ với t ế cao vô ạn

4.1. Hàm Laguerre

function y=Laguerre(n,k,x)

% n la chi so duoi

% k la chi so tren

P = zeros(n+1,1);

for v=0:n

P(n+1-v) = (-1)^v * factorial(n+k)/factorial(n-v)/factorial(k+v)/factorial(v);

end;

y = poly2sym(P,x);

function y=Laguerre2(n,k,x)

% n la chi so duoi

123

% k la chi so tren

P = zeros(n+1,1);

for v=0:n

P(n+1-v) = (-1)^v * factorial(n+k)/factorial(n-v)/factorial(k+v)/factorial(v);

end;

y = polyval(P,x);

4.2. Sự phụ thuộc của độ dẫn Hall trong dây lượng tử hình trụ vào chiều dài

dây lượng tử tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ trường hợp tán xạ điện tử

phonon âm

clc;close all;clear all;

T(1)=4;T(2)=5;T(3)=6;

n1=1;n=1;l1=1;l=1;N=1;N‟=0;

m=.6097*10^(-31);

Xinf=10.9;X0=12.9;

ro=5320;

eps0=8.86e-12;

e0=1.60219e-19;h=1.05459e-34;kb=1.3807e-23;

e=e0;

q=2.*10^8;

c=3e8;

hnu=3.66e-2*1.60219e-19;ome0=hnu/h;

E1=5e5;E0=1e5;L=90*10^-8;

Tau=1e-12;Ef=0.05*1.6*10^(-19);

ome=3e13;

B=1;L=linspace(20*10^-9,200*10^-8,100);

for z=1:3;

omc=e.*B./m;

bta=1./(kb.*T(z));

f0=kb.*T(z)./(h.*ome0);

thet=e.^2*E0^2./(m^2*ome.^4);

I1=(2.*m./(bta.*h.^2)).^3/2.*(1/2.*sqrt(pi));

A=h.^2.*q.^2./(2.*m)-h.*omc.*((n1-n+l1-l)./2)+h.*ome0+h.*ome;

A2=h.*omc.*(Np+(n1+l1+1)/2)-e.^2.*E1.^2./(2.*m.*omc.^2);

bb=[2.4048 3.8317; 3.8316 1];

hs=[24*bessel(3,q.*r(1))./((q.*r(1)).^3) 48*bessel(4,q.*r(1))./((q.*r(1)).^3);

48.1*bessel(4,q.*r(1))./((q.*r(1)).^3) 1];

for i=1:2

for j=1:2

D=(hs(i,j).^2);

end

end

for N=0:1

for N1=0:1

u=(h./(2.*m.*omc)).*(2.405./r).^2;

Nn=min(N,N1);

125

Nm=max(N,N1);k=Nm-Nn;

Le= Laguerre2(Nn,k,u);

J=(factorial(Nn)./factorial(Nm)).*exp(-u).*u.^k.*Le.^2;

end

end

C=(2*pi*e^2*h*ome0/eps0.*q^2)*(1/Xinf-1/X0);

Gamma=f0.*L.*m./(2.*pi.*q.*h.^2).*exp(-bta.*m.*A.^2./(2.*q.^2.*h.^2)-

bta.*A2).*(exp(bta.*h.*(ome0+ome))-1);

b=D.*J.*C*(thet.*q.^2./4).*Gamma;

a=(L./(2.*pi)).*h.*(e.*bta.*h./m.^2).*(Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2)).*(exp(bta.*(

Ef-h.*omc.*(Np+(n+l+1)./2)+e.^2.*E1.^2./2.*m.*omc.^2))).*I1;

sigzz=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a+b.*Tau.*(1-

omc.^2.*Tau.^2)./m./(1+omc.^2.*Tau.^2));

%sigzz1=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a);

%sigzz2=Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(b.*Tau.*(1-

omc.^2.*Tau.^2)./m./(1+omc.^2.*Tau.^2));

sigzx=-

omc.*Tau./(1+omc.^2.*Tau.^2).*(e.*a./omc+b.*Tau.^2./m./(1+omc.^2.*Tau.

^2));

Rh(:,z)=-1./B.*ro.*sigzz./(sigzz.^2+sigzx.^2);

end

figure(1)

plot(L./10,Rh(:,1)./1e9,'g','linewidth',3);hold on;grid on;

plot(L./10,Rh(:,2)./1e9,'r','linewidth',3);hold on;

plot(L./10,Rh(:,3)./1e9,'b','linewidth',3);hold on;

legend('T=250K','T=300K','T=330K');

xlabel('The length of the wire L (m)'); ylabel('RH (arb.units)');

127

on;