intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn tập kiến thức Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 2 - Trần Đình Cư

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:468

Thêm vào BST
Báo xấu
11
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Bài giảng Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao" tiếp tục cung cấp tới người học lý thuyết, các dạng bài tập thuộc chủ đề giới hạn hàm số, hàm số liên tục, vi phân của hàm số... Cùng tham khảo để nắm được chi tiết nội dung cuốn sách nhé các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập kiến thức Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 2 - Trần Đình Cư

  1. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm x 0 và hàm số y  f  x  xác định trên K hoặc trên K \ {x 0} . Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số  xn  bất kì, xn  K \ {x0} vaø xn  x 0 ,tacoù f(xn )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x 0 x x0 lim f(x)  L  (x n ),xn  K \ {x0 },x n  x0  f(x n )  L x x 0 2. Định lí về giới hạn hữu hạn: Ta thừa nhận định lý sau: a)Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: x x0 x x 0 * lim  f(x)  g(x)   L  M; xx 0 * lim  f(x).g(x)   L.M; xx 0  f(x)  L * lim   x  x 0  g(x)  M  neáu M  0  . b)Neáu f(x)  0 vaø lim f(x)  L thì :L  0 vaø lim f(x)  L. xx0 x x 0  Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x  x0  3. Giới hạn một bên * Định nghĩa:  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x 0 ; b  . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f  x  khi x  x 0 nếu với dãy số  x n  bất kì, x0  xn  b vaø x n  x0 ta coù: f(xn )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L xx  0 lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b,x n  x 0  f(x n )  L x x 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 316
  2. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;x 0  . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  f  x  khi x  x0 nếu với dãy số  x n  bất kì, a  x n  x0 vaø xn  x0 ta coù: f(xn )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L. xx  0 lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 ,x n  x 0  f(xn )  L. x x  0 * Định lí lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L. x x0 x x x x  0 0 II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC * Định nghĩa  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số  x n  bất kì, x n  a vaø x n   ta coù: f(xn )  L. . Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  . x lim f(x)  L    x n  ,x n  a,x n    f(x n )  L. x   Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (;a). Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số  x n  bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  . x lim f(x)  L    x n  ,x n  a,x n    f(x n )  L. x  III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn vô cực Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1,2 hay 3 ở trên. Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y  f  x  khi x dần đến dương vô vực được định nghĩa như sau: * Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;   . Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (x n ) bất kì, xn  a vaø xn  , ta coù: f(xn )  . Kí hiệu: lim f(x)   hay f(x)   khi x   x lim f(x)    (x n ),x n  a,x n    f(x n )  . x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 317
  3. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Nhận xét: lim f(x)    lim f(x)  . x x 2. Các giới hạn đặc biệt c 1. lim c  c lim  0 vôùi c laø haèng soá x  x  x 2. lim x   x   neáu k nguyeân döông 3. lim x k   x  0 neáu k nguyeân aâm  neáu k chaün 4. lim x k   x    neáu k leû 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực: a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) Nếu lim f(x)  L  0 vaø lim g(x)    hoaëc    thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong xx0 x x 0 xx0 bảng sau: lim f(x) lim g(x) lim f(x).g(x) x x0 x x 0 x x0   L0     L0 - + f(x) b) Quy tắc tìm giới hạn của tích g(x) lim f(x) lim g(x) Dấu của g(x) f(x) x x0 x x 0 lim x  x 0 g(x) L  Tuỳ ý 0 +  L0 -  0 +  L
  4. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM x  x0 ,x  x 0 ,x  ,x   B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp Nếu hàm số f  x  xác định trên K  x 0 thì lim f  x   f  x 0  . xx0 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim x 2  x  7 . x  1   Hướng dẫn giải   lim x 2  x  7  1  1  7  9. x 1 3x 4  2x 5 Ví dụ 2: Tính lim x 1 5x 4  3x 6  1 Hướng dẫn giải 3x 4  2x 5 32 1 lim   . x 1 5x 4  3x  1 6 5 31 9 Ví dụ 3: Tính lim 4x 3  2x  3 x  1 Hướng dẫn giải lim 4x 3  2x  3  4  2  3  5. x 1 3 x 1 Ví dụ 4: Tính lim x1 3 2 x 3 2 Hướng dẫn giải 3 x 1 1  1 lim   0. x1 3 3 x2  3  2 4 2 x4  4x2  3 Ví dụ 5: Tính lim x2 7x2  9x  1 Hướng dẫn giải x4  4x2  3 16  16  3 1 lim   . x2 2 7x  9x  1 28  18  1 3 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị của giới hạn lim x 2 3x 2  7 x 11 là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 319
  5. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. Lời giải Chọn A lim 3x 2  7 x  11  3.22  7.2 11  37 x 2 Câu 2: Giá trị của giới hạn lim x 2  4 là: x 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B  3 2 lim x 2  4  4 1 x 3 1 Câu 3: Giá trị của giới hạn lim x 2 sin là: x 0 2 1 A. sin . B. . C. . D. 0. 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có lim x 2 sin  0.sin  0 x 0 2 2 x 2 3 Câu 4: Giá trị của giới hạn xlim là: 1 x3 2 3 A. 1. B. 2. C. 2. D.  . 2 Lời giải Chọn B x 2  3 1  3 2 lim   2 x 1 x 3  2 1  2 3 x  x3 Câu 5: Giá trị của giới hạn lim là: x 1 2 x  1 x 4  3 3 A. 1. B. 2. C. 0. D.  . 2 Lời giải Chọn C x  x3 1  13 lim  0 x 1 2 x  1 x 4  3 2.1 114  3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 320
  6. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM x 1 Câu 6: Giá trị của giới hạn lim 4 là: x 1 x  x  3 3 2 3 2 A.  . B. . C. . D.  . 2 3 2 3 Lời giải Chọn D x 1 11 2 Ta có xlim   1 x 4  x  3 1 1  3 3 3x 2  1  x Câu 7: Giá trị của giới hạn xlim là: 1 x 1 3 1 1 3 A.  . B. . C.  . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 3x 2 1  x 3 1  1 3 Ta có xlim   1 x 1 11 2 9x 2  x Câu 8: Giá trị của giới hạn lim là: x 3 2 x 1 x 4  3 1 1 A. . B. 5. C. . D. 5. 5 5 Lời giải Chọn C 9x2  x 9.32  3 1 lim   x3 2 x 1 x  3 4  2.3 13  3 4 5 x 2  x 1 Câu 9: Giá trị của giới hạn lim 3 là: x 2 x 2  2x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 5 Lời giải Chọn B x2  x 1 22  2  1 1 lim 3   x2 x  2x 2 22  2.2 2 3 3x 2  4  3x  2 Câu 10: Giá trị của giới hạn lim là: x 2 x 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 321
  7. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM 3 2 A.  . B.  . C. 0. D. . 2 3 Lời giải Chọn C 3 3 x 2  4  3 x  2 3 12  4  6  2 0 Ta có: lim   0 x2 x 1 3 3 Dạng 2. giới hạn một bên 1. Phương pháp Ta cần nắm các tính chất sau lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b, lim xn  x 0  lim f(xn )  L x x  n n 0 lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 , lim x n  x 0  lim f(x n )  L xx n  n  0 lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  L xx  x x0 xx0 0 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x 3 Ví dụ 1: Tính lim x 3 2x  6 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận x3 x3 1 lim  lim  . x3 2x  6 x3 2  x  3 2 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x3 Nhập vào màn hình và ấn CALC 3  10 5  ta được kết quả 2x  6 1  x3 Ví dụ 2: Tính lim x1 3x2  x Hướng dẫn giải 1  x3 0 lim   0. x1 2 3x  x 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 322
  8. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM x3  2x  3 Ví dụ 3: Tính lim x2 x2  2x Hướng dẫn giải Tử số có giới hạn là 1 , mẫu số có giới hạn 0 và khi x  2 thì x2  2x  0. x3  2x  3 Do đó lim  . x2 x 2  2x 2x  x Ví dụ 4: Tính lim x0 5x  x Hướng dẫn giải lim 2x  x  lim  x 2 x 1   lim  2 x 1   1  1. x 0  5x  x x  0 x 5 x  1 5 x  0 x  1 1 x 2  4x  3 Ví dụ 5: Tính lim x  1  x3  x 2 Hướng dẫn giải lim x 2  4x  3  lim  x  1 x  3  lim x  1  x  3  0  0. x  1  3 x x 2 x  1  x 2  x  1 x  1  x 2 1  x2  1  vôùi x  1 Ví dụ 6: Cho hàm số f  x    1  x . Khi đó lim f  x  bằng bao nhiêu?  x 1  2x  2 vôùi x  1 Hướng dẫn giải x2  1 lim f  x   lim   vì tử số có giới hạn là 2, mẫu số có giới hạn 0 và 1  x  0 với x  1. x1 x1 1  x 3. Bài tập trắc nghiệm x  15 Câu 1: Kết quả của giới hạn lim là: x  2 x 2 15 A. . B. . C.  . D. 1. 2 Lời giải Chọn A  lim  x 15  13  0  x 15 Vì  x 2    lim  .  lim  x  2  0 & x  2  0, x  2 x 2 x2  x 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 323
  9. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM x 2 Câu 2: Kết quả của giới hạn lim là: x  2 x 2 A. . B. . 15 C.  . D. Không xác định. 2 Lời giải Chọn B   lim x  2  2  0   x  2 x2    lim  .   lim x  2  0 & x  2  0, x  2 x 2 x2   x 2 3x  6 Câu 3: Kết quả của giới hạn lim là: x 2  x 2 A. . B. 3. C. . D. Không xác định. Lời giải Chọn B Ta có x  2  x  2 với mọi x   2, do đó : 3x  6 3 x2 3  x  2 lim   lim   lim   lim  3  3 x 2 x2 x 2 x2 x 2 x2 x 2 2x Câu 4: Kết quả của giới hạn lim là: x  2 2 x  5x  2 2 1 1 A. . B. . C.  . D. . 3 3 Lời giải Chọn C 2 x 2 x 1 1 Ta có lim  lim  lim  . x  2 2 x  5x  2 2 x  2 2  x 1 2 x  x  2 1 2 x 3 x 2  13 x  30 Câu 5: Kết quả của giới hạn lim là:  x  3 x 2  5  x 3 2 A. 2. B. 2. C. 0. D. . 15 Lời giải Chọn C Ta có x  3  0 với mọi x   3, nên: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 324
  10. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM x 2 13x  30  x  3 x 10 x  3. x  10 3  3 3  7 lim  lim  lim  0. x 3  x  3 x  5 2 x 3  x  3 x  5 2 x 3 x 5 2 3  5 2  2 x  víi x  1 f  x    1  x .   3 x  1 víi x  1 2 Câu 6: Cho hàm số Khi đó lim f  x  là: x 1 A. . B. 2. C. 4. D. . Lời giải Chọn B lim f  x  lim 3x 2 1  3.12  1  2 x 1 x 1   x2 1   víi x  1 Câu 7: Cho hàm số f  x   1 x  . Khi đó lim f  x  là:   x 1   2x  2  víi x  1 A. . B. 1. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A x 2 1    lim  x 2  1  2 lim f  x  lim    vì  x 1 . x 1 x 1 1  x   lim 1  x   0 & 1  x  0  x  1   x 1  2 Câu 8: Cho hàm số f  x    x  3 víi x  2 . Khi đó lim f  x  là:  x  1 víi x  2 x2  A. 1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C  lim f  x   lim  x 2  3  1  x 2 Ta có  x  2  lim f  x   lim f  x   1  lim f  x   1.  lim f  x   lim  x 1  1 x 2 x2 x 2  x 2 x  2  Câu 9: Cho hàm số f  x    x  2  3 víi x  2 . Tìm a để tồn tại lim f  x . ax  1 víi x  2 x 2  A. a  1. B. a  2. C. a  3. D. a  4. Lời giải Chọn B  lim f  x   lim ax  1  2 a 1  x 2 Ta có    x 2 .  lim f  x   lim  x 2 x  2  x2 3  3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 325
  11. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Khi đó lim f  x  tồn tại  lim f  x  lim f  x   2a 1  3  a  2. x 2 x  2 x  2  x 2  2 x  3 víi x  3  Câu 10: Cho hàm số f  x   1 víi x  3 . Khẳng định nào dưới đây sai?  3  2 x 2 víi x  3 A. lim f  x  6. B. Không tồn tại lim f  x . x 3 x 3 C. lim f  x  6. D. lim f  x  15. x 3 x 3 Lời giải Chọn C  lim f  x   lim  x 2  2 x  3  6   Ta có  x3 x  3  lim f  x   lim f  x    lim f  x   lim 3  2 x 2   15 x 3 x3  x3 x 3    không tồn tại giới hạn khi x  3. Vậy chỉ có khẳng định C sai. Dạng 3. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp Giới hạn hữu hạn tại vô cực Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x )  L  với mọi dãy số x  x , x n n  a và xn   ta đều có lim f ( x )  L . LƯU Ý: Định nghĩa lim f ( x )  L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x   Giới hạn vô cực tại vô cực Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x )    với mọi dãy số x  x , x n n  a và xn   ta đều có lim f ( x )   . LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f ( x )   , lim f ( x )  , lim f ( x )   được phát biểu hoàn toàn x  x  x  tương tự. Một số giới hạn đặc biệt c lim  0 ( c là hằng số, k nguyên dương ). xk x  lim x k   với k nguyên dương; lim x k   nếu k là số nguyên lẻ; lim x k   nếu k là x  x  x  số nguyên chẵn. Nhận xét: lim f ( x )    lim   f ( x )   . x  x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 326
  12. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim  2 x 3  5 x  x  Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của f  x   2 x  5 x tại một điểm có giá trị âm rất 3 nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi x   ), chẳng hạn tại 10 20 . Máy hiển thị kết quả như hình: Đó là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức lim  2 x3  5 x    . x   5  Cách 2: Ta có 2 x 3  5 x  x 3  2  2  .  x   5   5  Vì lim x   và lim  2  2   2  0 nên lim x 3  2  2    . 3 x  x   x  x   x   5  Vậy theo Quy tắc 1, lim  2 x 3  5 x   lim x 3  2  2    . x  x   x  Ví dụ 2: Tính lim  3 x 4  2 x 2  1 x  Lời giải Cách 1: Theo nhận xét trên thì lim  3x 4  2 x 2  1   ( x  , k chẵn và ak  0 ). x   2 1  Thật vậy, ta có 3 x 4  2 x 2  1  x 4  3  2  4 .  x x   2 1  Vì lim x   và lim  3  2  4   3  0 nên lim  3x 4  2 x 2  1   . 4 x  x   x x  x  Nhận xét: - Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức là vô cực, chỉ phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao nhất. - Giới hạn của hàm đa thức tại  phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. (Giống với giới hạn của dãy số dạng đa thức). - Giới hạn của hàm đa thức tại  phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f  x   3x  2 x  1 tại x  10 20 , ta được kết 4 2 quả như hình : Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 327
  13. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Kết quả là một số dương rất lớn. Do đó chọn đáp án A, Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   x  2 x  5 . Tính lim f  x  2 x  Lời giải Hàm số f  x   x  2 x  5 xác định trên  . 2 Có thể giải nhanh như sau : Vì x 2  2 x  5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực. Mà x 2  2 x  5  0 với mọi x nên giới hạn của f  x   x 2  2 x  5 tại  chắc chắn là  .  2 5  2 5 Thật vậy, ta có x 2  2 x  5  x 2 1   2   x 1   2 .  x x  x x 2 5 Vì lim x   và lim 1    1  0 nên lim x 2  2 x  5   . x  x  x x2 x  Hoặc ta có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f  x  tại một giá trị âm rất nhỏ của x , chẳng hạn tại x  10 20 ta được kết quả như hình: Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đó ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính toán hạn chế của MTCT. Tuy nhiên kết quả đó cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác). Lưu ý: Ta có lim x   . x  Khi x   thì x  0 . Với x  0 ta có x2   x . Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại  của hàm chứa căn thức. Ví dụ 4: lim x   x2  x  4x2  1  Lời giải Cách 1: Ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 328
  14. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM  1  1  1 1 x 2  x  4 x 2  1  x2 1    x 2  4  2   x 1   x 4  x  x  x x2  1 1   x  1   4  2   x x   1 1  Mà lim x   và lim  1   4  2   1  2  1  0 . x  x   x x     1  Vậy lim x    x    1 x 2  x  4 x 2  1  lim  x  1   4  2     . x x   Lưu ý: - Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn thức để hiểu hơn tại sao lại có định hướng giải như vậy (mà không đi nhân chia với biểu thức liên hợp). - Có thể thấy như sau: Vì lim x 2  x  ; lim 4 x 2  1   . x  x  Mà hệ số của x 2 trong 4 x 2  1 lớn hơn hệ số của x 2 trong x 2  x nên suy ra lim x    x 2  x  4 x 2  1   . Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 ta được kết quả như hình. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:  Giá trị của giới hạn lim x  x3  1 là: x   A. 1. B. . C. 0. D. . Lời giải Chọn D  lim x 3    1 1   x  lim  x  x 3  1  lim x 3  2  1  3    vì   1 1 . x  x  x x   xlim  2  1    1  0    x x3  Giải nhanh: x  x3  1 ~  1 x3    khi x  . Câu 2:  3 Giá trị của giới hạn lim x  2 x 2  3 x là: x   A. 0. B. . C. 1. D.  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 329
  15. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải Chọn B Ta có x  3    2 3   lim x  2 x 2  3 x  lim  x 3  2 x 2  3 x  lim x 3  1   2   . x  x   x x  3 3 Giải nhanh: x  2 x 2  3 x ~ x   khi x  . Câu 3: Giá trị của giới hạn lim x    x 2  1  x là: A. 0. B. . C. 2 1. D.  . Lời giải Chọn B Giải nhanh: x   : x 2  1  x ~ x 2  x  2 x   . Đặt x làm nhân tử chung: lim x    x    x 1  x 2  1  x  lim x  1  2  1      lim x    x vì  1 .  lim 1  2  1  2  0  x2 x Câu 4: Giá trị của giới hạn lim x   3  3x 3  1  x 2  2 là: A. 3 3  1. B. . C. 3 3 1. D.  . Lời giải Chọn B Giải nhanh: x   : 3 3 x 3  1  x 2  2 ~ 3 3 x3  x 2   3  3  1 x  . Đặt x làm nhân tử chung: lim x   3 x    x 1 2  3 x 3  1  x 2  2  lim x  3 3  3  1  2    x   lim x    x  vì   1 2  3 . 3 3       xlim   1  3 1 0    x 3 x  2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 330
  16. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 5: Giá trị của giới hạn lim x x    4 x 2  7 x  2 x là: A. 4. B. . C. 6. D.  . Lời giải Chọn D Đặt x 2 làm nhân tử chung: lim x x    x    7 x  4 x 2  7 x  2 x  lim x 2  4   2      lim x 2    x  vì   7  .  xlim   4   2    4  0    x  Giải nhanh: x   : x    4x2  7 x  2x ~ x  4 x 2  2 x  4 x 2  . 0 Dạng 4. Dạng vô định 0 1. Phương pháp 0 u(x)  Nhận dạng vô định : lim khi lim u(x)  lim u(x)  0. 0 x  x 0 v(x) x x 0 xx0  Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước u(x) (x  x 0 )A(x) A(x) A(x) lim  lim  lim vaø tính lim . xxo v(x) x xo (x  x )B(x) xxo B(x) xxo B(x) 0 Nếu phương trình f  x   0 có nghiệm là x 0 thì f  x    x  x 0  .g  x  Đặc biệt: f(x)  ax2  bx  c,maø f(x)  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 ,x 2  Nếu tam thức bậc hai thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x)  a  x - x1  x - x 2   Phương trình bậc 3: ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0) a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x1  1, ñeå phaân tích  thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x1  1, ñeå phaân tích  thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner  Nếu u  x  và v  x  có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước. Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 331
  17. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM AB löôïng lieân hieäp laø: A  B. A B löôïng lieân hieäp laø: A  B. A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B. löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B 3 A  B2  . 3 3 A B   löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B 3 A  B2  . 3 3 A B   2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x2  3x  2 Ví dụ 1: Tính lim x1 x 1 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận x 2  3x  2  x  1 x  2   lim x  2  1. lim x 1 x 1  lim x 1 x 1 x   Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính X2  3X  2 Nhập vào màn hình ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả X 1 2x 2  3x  1 Ví dụ 2: Tính L  lim . x 1 1  x2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim 2x2  3x  1  lim  2x  1 x  1  lim   2x  1  1 . x1 1 x 2 x1 1  x 1  x  x1 1  x  2 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 2X 2  3X  1 Nhập vào màn hình 2 ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả 1 X x 2  3x  2 Ví dụ 3: Tính lim x 1 x3  1 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 332
  18. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Cách 1: Giải bằng tự luận lim x2  3x  2  lim  x  1 x  2   lim x  2  1 . x1 3 x 1   x1 x  1 x2  x  1  x1 x2  x  1 3 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x 2  3x  2 Nhập vào màn hình 3 ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả x 1 t 4  a4 Ví dụ 4: Tính lim t a t  a Hướng dẫn giải t 4  a4 lim t a t  a t a    lim t 3  t 2 a  ta2  a3  4a3 . y4  1 Ví dụ 5: Tính lim y 1 y 3 1 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận y4  1  y  1  y3  y2  y  1 y3  y2  y  1 4 lim  lim  lim  . y 1 y 3  1 y 1  y  1  y2  y  1 y1 y2  y  1 3 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Y4  1 Nhập vào màn hình ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả Y3  1 4  x2 Ví dụ 6: Tính lim x 2 x 7 3 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận 4  x2 lim x 2 x  7 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 333
  19. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM  lim   x2  4  x  7  3  lim   x  2 x  2  x  7  3  x  7  3 x  7  3 x 2 x79 x 2  lim  x  2   x  7  3   24.  x 2  Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 4  X2 Nhập vào màn hình ấn CALC 1  10 5  ta được kết quả  24. X 7 3 Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 24 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: d dx 4  X2  x 2 Nhập rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 24. d dx  X7 3  x2 1 x 1 Ví dụ 7: Tính lim x 0 x Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận 1 x 1 1 x 1 1 1 lim  lim  lim  . x0 x x0 x  1  x  1 x0 1  x  1 2  Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 1 x 1 1 Nhập vào màn hình ấn CALC 0  10 5  ta được kết quả  . x 2 1 Lưu ý: Để ra kết quả chính xác ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 334
  20. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM d dx  1 X 1  x 0 1 Nhập rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 0,5  . d 2 dx  X x0 x2  6x  8 Ví dụ 8: Tính lim x4 x 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận x 2  6x  8  x  2  x  4   x 2   lim  x  2  lim x4 x 2  lim x4 x4 x4   x  2  2  4  8. Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x 2  6x  8 Nhập vào màn hình ấn CALC 4  10 5  ta được kết quả  8. x 2 Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: d dx  X2  6X  8  x4 Nhập rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 8. d dx  X 2  x4 3 x2  4  2 Ví dụ 9: Tính lim x2 4  2x 2  8 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận 3 x2  4  2 E  lim x 2 4  2x 2  8 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 335
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0