ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM HỒNG CÔNG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
HÀ NỘI – 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM HỒNG CÔNG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
Chuyên ngành: Cơ Kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC
HÀ NỘI – 2018
LỜI CAM ĐOAN
Tôi là Phạm Hồng Công, hiện đang là nghiên cứu sinh khoa Cơ học Kỹ
thuật và Tự động hóa, trường Đại học Công nghệ - ĐHQGHN.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Tác giả
Phạm Hồng Công
i
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn,
GS. TSKH. Nguyễn Đình Đức đã luôn theo sát và tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể các thầy cô giáo khoa Cơ học Kỹ
thuật và Tự động hóa và thầy cô trong trường ĐH Công nghệ - ĐHQGHN đã luôn
quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác
giả học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc, đồng nghiệp tại Trung tâm
Tin học và Tính toán, Viện HLKHCNVN đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện và
động viên trong thời gian tác giả học tập và thực thiện luận án.
Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo và các nhà khoa học trong seminar Cơ
học Vật rắn Biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận án.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người thân
trong gia đình đã thông cảm, động viên và chia sẻ những khó khăn với tác giả trong
suốt thời gian làm luận án.
Tác giả
Phạm Hồng Công
ii
MỤC LỤC
Lời cam đoan ...................................................................................................... i
Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................. iii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt ............................................................... v
Danh mục các bảng ......................................................................................... vii
Danh mục các hình vẽ .................................................................................... viii
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ......................................... 4
1.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi FGM ........................................................................ 4
1.2. Phân loại và tiêu chuẩn ổn định tĩnh .................................................................... 8
1.3. Tình hình nghiên cứu đã được công bố về tấm và vỏ FGM ................................ 9
1.3.1. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM không có gân gia cường ................... 9
1.3.2. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM có gân gia cường ............................ 14
1.4. Những kết quả đã đạt được trong nước và quốc tế ............................................ 17
1.5. Những nội dung tồn tại cần được nghiên cứu .................................................... 17
CHƢƠNG 2. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM MỎNG FGM SỬ
DỤNG LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN ............................................................................ 18
2.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 18
2.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi ................... 20
2.2.1. Mô hình tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi ........................................... 20
2.2.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................. 21
2.2.3. Phương pháp giải ........................................................................................ 27
2.2.4. Kết quả tính toán số và thảo luận ................................................................ 32
2.3. Phân tích động lực học của tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi ....................... 39
2.3.1. Mô hình tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi ............................................. 39
2.3.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................. 40
2.3.3. Phương pháp giải ........................................................................................ 43
2.3.4. Kết quả tính toán số và thảo luận ................................................................ 45
2.4. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 51
iii
CHƢƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES - FGM SỬ
DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC NHẤT ................................. 53
3.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 53
3.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi ...................... 54
3.2.1. Tấm dày ES-FGM và các phương trình cơ bản .......................................... 54
3.2.2. Phương pháp giải ........................................................................................ 59
3.2.3. Kết quả tính toán số và thảo luận ................................................................ 63
3.3. Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi ........... 71
3.3.1. Tấm dày ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi ............................................... 71
3.3.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................. 72
3.3.3. Phương pháp giải ........................................................................................ 77
3.3.4. Kết quả tính toán số và thảo luận ................................................................ 82
3.4. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 90
CHƢƠNG 4. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES-FGM SỬ
DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC BA ....................................... 91
4.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 91
4.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi ...................... 92
4.2.1. Tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi và các phương trình cơ bản ............... 92
4.2.2. Phương pháp giải ........................................................................................ 96
4.2.3. Kết quả tính toán số và thảo luận .............................................................. 100
4.3. Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi ...................... 106
4.3.1. Các phương trình cơ bản ........................................................................... 106
4.3.2. Phương pháp giải ...................................................................................... 108
4.3.3. Kết quả tính toán số và thảo luận .............................................................. 110
4.4. Kết luận chương 4 ............................................................................................ 114
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 116
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN ..................................................................................................... 118
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 120
PHỤ LỤC ............................................................................................................... 136
iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
CPT Lý thuyết tấm cổ điển.
ES-FGM Eccentrically Stiffener - Functionally Graded Material
Vật liệu có cơ tính biến đổi có gân gia cường lệch tâm.
ES-FGM áp điện Vật liệu có cơ tính biến đổi một mặt được gia cường bằng hệ
thống các gân, một mặt được gắn một lớp áp điện.
FGM Functionally Graded Material – Vật liệu có cơ tính biến đổi.
FSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.
S-FGM Vật liệu FGM đối xứng phân bố theo quy luật hàm Sigmoid.
T-D Tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ.
T-ID Tính chất vật liệu không phụ thuộc vào nhiệt độ.
TSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba.
Mô đun đàn hồi tương ứng của kim loại và ceramic. ,
Hệ số giãn nở nhiệt tương ứng của kim loại và ceramic.
Mật độ khối lượng tương ứng của kim loại và ceramic.
Mô đun đàn hồi và hệ số giãn nở nhiệt của gân.
Mô đun trượt của gân theo hướng và của tấm.
Hệ số Poisson của vật liệu FGM, là hàm của tọa độ
Hệ số tỷ lệ thể tích của tấm.
Hệ số tỷ lệ thể tích của hệ số Poisson.
Chiều dài, rộng và dày của tấm.
Các thành phần chuyển vị theo phương và
Các góc xoay của pháp tuyến với mặt giữa lần lượt đối với các
trục và
Số nửa sóng theo hướng và của tấm.
Biên độ của độ võng.
Biên độ của độ võng không có thứ nguyên.
v
Khoảng cách giữa các gân tương ứng theo phương và .
Khoảng cách từ mặt giữa của gân đến mặt giữa của tấm tương
ứng theo phương và .
và . và Chiều rộng và chiều dày của gân tương ứng theo phương
Tần số dao động tự do tuyến tính của tấm.
Tần số dao động cơ bản của tấm.
Hệ số nền Winkler và Pasternak không có thứ nguyên.
Toán tử Laplace,
Áp lực ngoài biến đổi điều hòa theo thời gian.
Tương ứng là biên độ và tần số của áp lực ngoài.
Các thành phần lực giãn, lực nén và lực tiếp.
Các thành phần mô men.
Các thành phần mô men bậc cao.
Các thành phần lực cắt.
Các thành phần lực cắt bậc cao.
Lực nén dọc trục lên tấm theo phương và .
vi
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của silicon nitride và thép không gỉ ............. 34
Bảng 2.2. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi và tỷ lệ đến tần số dao
động cơ bản của tấm S-FGM trong hai trường hợp mô hình phân bố
vật liệu I và II ........................................................................................ 46
Bảng 2.3. Ảnh hưởng của tỷ lệ và hệ số tỷ lệ thể tích đến tần số dao
động tự do tuyến tính của tấm S-FGM (mô hình I: ceramic – kim
loại – ceramic) ....................................................................................... 48
Bảng 3.1. So sánh ứng xử tới hạn nhiệt cho tấm dày S-FGM .............................. 64
Bảng 3.2. Ứng xử tới hạn do tải nén và nhiệt độ của tấm dày FGM trong hai
trường hợp T-ID và T-D ........................................................................ 65
Bảng 3.3. So sánh tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ................................. 83
Bảng 3.4. So sánh tần số dao động cơ bản của tấm FGM áp điện ở mặt phía trên ..... 83
Bảng 3.5. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi và mode vồng lên tần số dao
động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM ......................................... 84
Bảng 3.6. Tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM áp điện ............................... 84
Bảng 4.1. So sánh giá trị tải nén của tấm FGM không có gân gia cường ........... 101
Bảng 4.2. So sánh giá trị tải nhiệt cho tấm FGM không có gân gia cường ......... 101
Bảng 4.3. So sánh tần số dao động cơ bản không thứ nguyên cho tấm
........................................................................................... 110
Bảng 4.4. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên giá trị tần số dao động tự do
tuyến tính của tấm dày ES-FGM. ........................................................ 111
Bảng 4.5. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi, gân gia cường và mode vồng đến
tần số tần số dao động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM. .......... 111
vii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật liệu P-FGM. ......................................... 5
Hình 1.2. Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic qua chiều dày thành kết cấu của vật
liệu P-FGM. ............................................................................................. 5
Hình 1.3. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật liệu S-FGM. ......................................... 6
Hình 1.4. Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic qua chiều dày thành kết cấu của vật
liệu S-FGM. ............................................................................................. 6
Hình 1.5. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo. ....................... 8
Hình 2.1. Mô hình nền đàn hồi Pasternak. ............................................................ 19
Hình 2.2. Hình dáng và tọa độ của tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi. ........... 20
Hình 2.3. Hình dáng của gân gia cường. .................................................................. 20
Hình 2.4. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm FGM không
có gân gia cường với nghiên cứu. ............................................................ 33
Hình 2.5. So sánh đường cong độ võng–tải nén sau tới hạn của tấm FGM
không có gân gia cường với nghiên cứu. .............................................. 33
Hình 2.6. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm FGM có gân
gia cường với nghiên cứu. ....................................................................... 33
Hình 2.7. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm mỏng
ES-FGM và tấm FGM không có gân gia cường (1, 2: Tấm ES-
FGM; 3, 4: Tấm FGM không có gân gia cường). ................................. 35
Hình 2.8. Ảnh hưởng của hệ số Poisson lên đường cong độ võng – nhiệt độ
sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ..................................................... 35
Hình 2.9. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ....................................................... 36
Hình 2.10. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM (tính chất T-D). ....................... 36
Hình 2.11. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng đều lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. .................................................. 36
Hình 2.12. Ảnh hưởng của tải nén lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn
của tấm mỏng ES-FGM (tính chất T-D). .................................................. 36
viii
Hình 2.13. Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng
– tải nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ...................................... 37
Hình 2.14. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ................................................ 37
Hình 2.15. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. .............................................. 38
Hình 2.16. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ................................................... 38
Hình 2.17. Tấm S-FGM trên nền đàn hồi (Mô hình I). ........................................... 39
Hình 2.18. Tấm S-FGM trên nền đàn hồi (Mô hình II)........................................... 39
Hình 2.19. So sánh đường cong thời gian - độ võng của tấm mỏng S-FGM
trong hai trường hợp: Mô hình I và mô hình II. .................................... 47
Hình 2.20. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa
của tấm S-FGM. .................................................................................... 48
Hình 2.21. Đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM với các
biên độ tải trọng khác nhau. .................................................................. 48
Hình 2.22. Quan hệ độ võng – vận tốc của tấm S-FGM. ........................................ 49
Hình 2.23. Đường cong thời gian – độ võng của tấm S-FGM với các giá trị khác
nhau của hệ số tỷ lệ thể tích ............................................................... 49
Hình 2.24. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. ................................................................. 49
Hình 2.25. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. ................................................................. 49
Hình 2.26. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. ................................................................. 50
Hình 2.27. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. ................................................................. 50
Hình 3.1. So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm đồng nhất. .... 63
Hình 3.2. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày
FGM không gân. .................................................................................... 64
Hình 3.3. Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm dày FGM. ............................................................... 66
ix
Hình 3.4. Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ võng – nhiệt độ
sau tới hạn của tấm dày FGM. ............................................................... 66
Hình 3.5. Ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất hiệu dụng lên
đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ........... 67
Hình 3.6. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. .................................................. 67
Hình 3.7. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. .................................................... 67
Hình 3.8. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ................................................................. 68
Hình 3.9. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ................................................................... 68
Hình 3.10. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ............................................................. 69
Hình 3.11. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng –
nhiệt độ của tấm ES-FGM. .................................................................... 69
Hình 3.12. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đường cong độ võng – tải nén sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ................................................................. 69
Hình 3.13. Ảnh hưởng của của lực nén lên đường cong độ võng – nhiệt độ
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM với tính chất vật liệu T-ID và TD. .. 69
Hình 3.14. Ảnh hưởng của tỉ số lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ............................................................... 70
Hình 3.15. Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng
– tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. .......................................... 70 Hình 3.16. Mô hình tấm ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi. .................................. 71
Hình 3.17. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện ............................................................. 85
Hình 3.18. Ảnh hưởng của hệ số nền Winkler tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện. ............................................................ 85
Hình 3.19. Ảnh hưởng của hệ số Pasternak tới đường cong thời gian – độ võng
của tấm ES-FGM áp điện. ..................................................................... 85
x
Hình 3.20. Ảnh hưởng của tới đường cong thời gian – độ võng của tấm
ES-FGM áp điện. ................................................................................... 86
Hình 3.21. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện. ............................................................ 86
Hình 3.22. Ảnh hưởng của gân gia cường tới đường cong thời gian – độ võng
của tấm FGM áp điện. ........................................................................... 87
Hình 3.23. Ảnh hưởng của điện áp đặt vào lên đường cong thời gian – độ võng
của tấm ES-FGM áp điện. ..................................................................... 87
Hình 3.24. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa. .......... 87
Hình 3.25. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa. ..... 87
Hình 3.26. So sánh đường cong thời gian – độ võng trong hai trường hợp sử
dụng phương trình (3.41) và phương trình (3.48). ................................ 88
Hình 3.27. Ảnh hưởng của tải trọng bên ngoài đến quan hệ tần số - biên độ
trong trường hợp chịu tải trọng động. ................................................... 89
Hình 3.28. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới quan hệ tần số - biên độ của tấm
ES-FGM áp điện dao động tự do. .......................................................... 89
Hình 4.1. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày FGM
không có gân gia cường. ........................................................................ 100
Hình 4.2. So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm FGM
không gân gia cường. .......................................................................... 100
Hình 4.3. So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau vồng của tấm đẳng
hướng chịu nhiệt độ tăng đều. ............................................................. 101
Hình 4.4. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng –
nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM.......................................... 102
Hình 4.5. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ................................................... 102
Hình 4.6. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ............................................................... 103
Hình 4.7. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ................................................................ 103
Hình 4.8. Ảnh hưởng của yếu tố không không hoàn hảo về hình dáng lên
đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ...... 104
xi
Hình 4.9. Ảnh hưởng của yếu tố không hoàn hảo về hình dáng ban đầu lên
đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ... 104
Hình 4.10. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm ES-FGM. ............................................................. 104
Hình 4.11. Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng – tải
Hình 4.12. Ảnh hưởng của tỷ lệ nén sau tới hạn của tấm ES-FGM. ........................................................... 104 lên sự ổn định của tấm dày ES-FGM. ..... 105
Hình 4.13. Ảnh hưởng của gân gia cường tới đường cong thời gian – độ võng
của tấm dày FGM. ............................................................................... 112
Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm dày ES-FGM. ................................................................ 112
Hình 4.15. Ảnh hưởng của tỷ lệ tới đường cong thời gian – độ võng của
tấm dày ES-FGM. ................................................................................ 113
Hình 4.16. Ảnh hưởng của tỷ lệ tới đường cong thời gian – độ võng của
tấm dày ES-FGM. ................................................................................ 113
Hình 4.17. Ảnh hưởng của hệ số mô hình nền Winkler lên đường cong thời
gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. ................................................ 113
Hình 4.18. Ảnh hưởng của hệ số mô hình nền Pasternak lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm dày ES-FGM. ..................................................................... 113
Hình 4.19. Đáp ứng động học của tấm dày ES-FGM với các giá trị khác nhau
của biên độ tải trọng. ........................................................................... 114
Hình 4.20. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong thời gian – độ võng của
tấm dày ES-FGM. ................................................................................ 114
xii
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến đổi hay còn gọi là vật liệu chức năng (Functionally
Graded Material-FGM) có tính chất cơ lý biến đổi trơn và liên tục từ mặt này đến
mặt kia nên các kết cấu FGM tránh được sự tập trung ứng suất trên bề mặt tiếp xúc
giữa các lớp, tránh được sự bong tách và rạn nứt trong kết cấu. Nhờ những tính chất
ưu việt trên so với composite và vật liệu truyền thống, các kết cấu FGM được ứng
dụng ngày càng nhiều trong công nghiệp hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân
và các lĩnh vực làm việc trong môi trường nhiệt độ cao hoặc chịu tải trọng phức tạp.
Trong thực tiễn để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố
bằng gân gia cường hay sử dụng vật liệu áp điện trong các cảm biến, thiết bị dẫn
động để điều khiển các ứng xử cơ học.
Hiện nay, các nghiên cứu về ổn định tĩnh phi tuyến và động lực học của các
kết cấu tấm FGM, tấm FGM có gân gia cường (ES-FGM), FGM áp điện đã thu hút
được sự quan tâm của các nhà khoa học trong nước và quốc tế. Mặc dù vậy, các
nghiên cứu mới chỉ sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và chưa xét đến tính chất vật liệu
của cả gân và tấm FGM phụ thuộc vào nhiệt độ. Trong trường hợp tấm dày thì cần
phải sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất hoặc bậc ba hay kết cấu làm việc
trong môi trường nhiệt độ cao cần phải kể đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt
độ. Đây vẫn là vấn đề mở, đặc biệt là sử dụng phương pháp giải tích và phương
pháp hàm ứng suất đi phân tích động lực học của kết cấu tấm ES-FGM và tấm ES-
FGM áp điện hay sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc ba cho các kết cấu tấm
ES-FGM trong đó có xét đến tính chất vật liệu của cả gân và tấm FGM đều phụ
thuộc vào nhiệt độ.
Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết đã nêu ở trên, tác giả đã chọn đề tài
“Phân tích phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm chữ nhật FGM trên nền đàn
hồi” làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
i. Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bằng cách tiếp
1
cận giải tích để tìm lực tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của
tấm mỏng ES-FGM và tấm dày ES-FGM.
ii. Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bằng cách tiếp
cận giải tích để tìm các đáp ứng động lực học như tần số dao động cơ bản, quan hệ
tần số - biên độ và đường cong phi tuyến thời gian – độ võng của tấm mỏng S-
FGM, tấm dày ES-FGM và tấm dày ES- FGM áp điện.
iii. Lập trình khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào như tính
chất vật liệu, gân gia cường, nền đàn hồi, các tham số hình học, các loại tải trọng,
tính không hoàn hảo, điều kiện biên và tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-
D) đến sự ổn định phi tuyến tĩnh và động lực học của các tấm FGM.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận án
Luận án tập trung nghiên cứu đối tượng tấm chữ nhật mỏng và dày có cơ tính
biến đổi FGM có và không có gân gia cường, có gắn lớp áp điện, trong đó gân gia
cường là thuần nhất, đặt trực giao, mau và thiết diện gân là hình chữ nhật.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định phi tuyến tĩnh và động
lực học của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến đổi FGM trên nền đàn hồi.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đối với bài toán tĩnh, luận án sử dụng phương pháp giải tích và tiêu chuẩn
ổn định kiểu rẽ nhánh. Đối với bài toán động lực học, phương pháp sử dụng là
giải tích kết hợp với phương pháp số Runge-Kutta bậc 4. Trong luận án sử dụng
là thuyết thuyết tấm cổ điển, biến dạng trượt bậc nhất và biến dạng trượt bậc ba,
phương pháp hàm ứng suất, phương pháp Galerkin và phương pháp san đều tác
dụng gân của Leckhnitsky và công thức gân mới tổng quát để thiết lập các
phương trình chủ đạo.
5. Bố cục của luận án
Luận án gồm: Phần mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.
Phần mở đầu: Trình bày tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu, mục tiêu, đối
tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu của luận án.
Chƣơng 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Chương này trình bày các khái niệm, tính chất, tiêu chuẩn ổn định tĩnh và
2
tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với bài toán ổn định
phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm và vỏ FGM. Từ đó, phân tích các vấn đề đã
được nghiên cứu, những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Đề xuất mục tiêu, nội dung
và phương pháp nghiên cứu của luận án.
Chƣơng 2: Phân tích phi tuyến của tấm mỏng FGM sử dụng lý thuyết cổ điển
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết của bài toán ổn định phi tuyến
tĩnh của tấm mỏng ES-FGM không hoàn hảo sử dụng lý thuyết tấm cổ điển, hệ số
Poisson là hàm của tọa độ trong đó xét đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt
độ (T-D) và bài toán động lực học của tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi. Phương
pháp giải và các kết quả lập trình tính toán số được trình bày. Các kết quả tính toán
số được so sánh với kết quả của các công trình khác để khẳng định độ tin cậy của
phương pháp.
Chƣơng 3: Phân tích phi tuyến của tấm dày ES-FGM sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết của bài toán ổn định phi tuyến
tĩnh của tấm dày ES-FGM và bài toán động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện,
trong đó tính chất vật liệu T-D và sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.
Phương pháp giải và các kết quả lập trình tính toán số được trình bày. Các kết quả
tính toán số được so sánh với kết quả của các công trình khác để khẳng định độ tin
cậy của phương pháp.
Chƣơng 4: Phân tích phi tuyến của tấm dày ES-FGM sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết của bài toán ổn định phi tuyến
tĩnh và động lực học của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt
độ sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba. Phương pháp giải và các kết quả lập
trình tính toán số được trình bày. Các kết quả tính toán số được so sánh với kết quả
của các công trình khác để khẳng định độ tin cậy của phương pháp.
Kết luận: Trình bày những kết quả mới của luận án, một số nhận xét và kiến nghị.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục
3
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi FGM
Là một trong những vấn đề được quan tâm nghiên cứu hiện nay, vật liệu chức
năng, hay còn được gọi là vật liệu có cơ tính biến đổi với tên quốc tế là Functionally
Graded Material (FGM) đã được phát triển và đặt tên bởi một nhóm các nhà khoa học
vật liệu ở Viện Sendai của Nhật Bản vào năm 1984 [79]. Bằng cách phân bố tỷ lệ thể
tích của hai loại vật liệu thành phần kim loại và ceramic biến thiên một cách trơn và
liên tục theo bề dày, vật liệu này đã tận dụng được các ưu điểm của cả hai vật liệu cấu
thành. Do có mô đun đàn hồi cao cùng với hệ số truyền nhiệt và hệ số giãn nở
nhiệt rất thấp nên thành phần ceramic làm cho vật liệu có cơ tính biến đổi có độ
cứng cao và khả năng kháng nhiệt rất tốt. Trong khi đó thành phần kim loại làm cho vật
liệu có cơ tính biến đổi trở nên mềm dẻo hơn, bền hơn và khắc phục sự rạn nứt có thể
xảy ra do tính dòn của vật liệu ceramic khi chịu nhiệt.
Vật liệu FGM thường được tạo nên từ hai loại vật liệu thành phần là ceramic
và kim loại với tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần được lựa chọn một cách hợp lý,
biến đổi liên tục theo bề dày của kết cấu. Do vậy đã tạo nên loại vật liệu có độ cứng
cao, khả năng chịu nhiệt tốt, dẻo dai khi chịu lực và duy trì được tính toàn vẹn về
cấu trúc.
Một số kết cấu FGM hiện nay được sử dụng là tổ hợp của các loại vật liệu sau
- Silicon nitride/ Stainless stell
- Zirconia/ Titanium alloy
- Zirconia/ Stainless steel
- Alumina/ Aluminum
Có hai cách tiếp cận mô hình vật liệu FGM. Cách thứ nhất, sắp xếp từng lớp
theo tỷ lệ thể tích của ceramic và kim loại, khi đó vật liệu FGM được cấu thành từ
nhiều lớp rất mỏng và trong mỗi lớp này tỷ lệ thể tích của các vật liệu là không thay
đổi. Cách thứ hai, thay đổi liên tục tỷ lệ thể tích của ceramic hoặc kim loại theo bề
dày thành kết cấu theo một hàm lũy thừa của biến theo chiều dày , cách sắp xếp
này rất phổ biến hiện nay. Theo cách tiếp cận thứ hai này, có thể chia vật liệu có cơ
4
tính biến đổi FGM thành 3 loại: vật liệu FGM thông thường (P-FGM), vật liệu
FGM đối xứng phân bố theo quy luật hàm Sigmoid (S-FGM) và vật liệu FGM phân
bố theo quy luật hàm siêu việt (E-FGM).
Vật liệu P-FGM
Đối với vật liệu FGM trong đó các thành phần ceramic và kim loại phân bố
tuyến tính qua chiều dày thành kết cấu với một bề mặt giàu ceramic và một bề mặt
giàu kim loại người ta còn có thể gọi là vật liệu P-FGM, hay để cho ngắn gọn có thể
chỉ gọi đơn giản là vật liệu FGM (hình 1.1).
Hình 1.1. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật Hình 1.2. Sự biến đổi của tỷ lệ
liệu P-FGM. ceramic qua chiều dày thành kết
cấu của vật liệu P-FGM.
Trong một đơn vị thể tích kết cấu chứa tỉ phần thể tích ceramic và tỉ phần
thể tích kim loại , tức là: , tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu
được giả thiết biến đổi theo chiều dày thành kết cấu theo một hàm lũy thừa của
biến chiều dày (quy luật hàm mũ) như sau [11, 76-77, 89, 120]
(1.1)
trong đó là một số không âm gọi là chỉ số tỷ lệ thể tích (volume fraction index),
chỉ số dưới tương ứng chỉ thành phần kim loại và ceramic, là bề dày của và
kết cấu. Theo quy luật phân bố vật liệu (1.1) khi tấm thuần nhất là ceramic,
khi tăng tỷ lệ ceramic trong tấm FGM giảm (hình 1.2).
5
Vật liệu S-FGM
Đối với vật liệu S-FGM hay còn gọi là vật liệu FGM đối xứng phân bố theo
quy luật hàm Sigmoid (hình 1.3). Kết cấu được bao bọc bởi các mặt ngoài giàu
ceramic và mặt giữa giàu kim loại, tấm hai lớp đối xứng tạo thành từ vật liệu FGM
là một ví dụ như thế.
Hình 1.3. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật Hình 1.4. Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic
liệu S-FGM. qua chiều dày thành kết cấu của vật liệu
S-FGM.
Tỷ lệ thể tích của các thành phần kim loại và ceramic, và được giả
thiết biến đổi theo quy luật hàm lũy thừa của biến chiều dày (quy luật hàm
Sigmoid, sử dụng quy luật hàm mũ cho 2 miền) như sau [11, 35-37]
(1.2)
trong đó là chỉ số tỷ lệ thể tích, là một số không âm và có thể được chọn để xác
định phân bố vật liệu tối ưu trong một ứng dụng cụ thể của tấm. Theo quy luật phân
bố vật liệu (1.2) khi tấm thuần nhất kim loại, khi các thành phần vật
liệu ceramic và kim loại trong tấm phân bố tuyến tính qua chiều dày, và khi tăng
tỷ lệ ceramic trong tấm FGM tăng (hình 1.4).
6
Vật liệu E-FGM
Trong vật liệu loại E-FGM thì mô đun đàn hồi của loại vật liệu chức năng
này được giả thiết tuân theo quy luật hàm siêu việt (hàm mũ)
(1.3)
với
(1.4)
là Mô đun đàn hồi của tấm ở mặt trên .
là Mô đun đàn hồi của tấm ở mặt dưới .
Vật liệu composite FGM như vậy được gọi là vật liệu E-FGM.
Nếu tính chất của vật liệu độc lập với nhiệt độ (T-ID): tính chất hiệu
dụng của vật liệu FGM được xác định theo quy tắc hỗn hợp sau [11]
(1.5)
trong đó là ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi ,
mật độ khối lượng , hệ số giãn nở nhiệt , hệ số truyền nhiệt ,…
Nếu tính chất của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D): tính chất hiệu
dụng của vật liệu FGM được xác định theo quy tắc hỗn hợp sau
(1.6)
trong đó phụ thuộc vào nhiệt độ theo một hàm phi tuyến được xác định như sau
[89]
(1.7)
(đơn vị trong đó là các hệ số phụ thuộc nhiệt độ
) được xác định thông qua thí nghiệm của các vật liệu thành phần và là duy nhất
đối với mỗi vật liệu cụ thể và là biến thiên nhiệt độ của môi trường chứa kết
cấu so với giá trị ban đầu mà ở đó kết cấu không có biến dạng nhiệt. Các tính chất
vật liệu thường được tính toán ở điều kiện nhiệt độ phòng
Để chế tạo vật liệu FGM có nhiều phương pháp khác nhau: Phun phủ nhiệt
7
(Thermal spray); Luyện kim bột – biến dạng tạo hình; Lắng đọng hóa học (Chemical
vapor deposition, CVD); Lắng đọng vật lý (Phisical vapor deposition), Tổng hợp nhiệt
độ cao (Self-propagating high temperature synthesis); Thiêu kết (Difusion treatments),
lắng đọng (Sedimentation). Tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của vật liệu, điều kiện công
nghệ có để lựa chọn công nghệ chế tạo vật liệu FGM phù hợp. Luận án không đi sâu
vào vấn đề này, các phương pháp này được trình bày trong công trình [88].
Vật liệu FGM được sử dụng khá rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau do
tính ưu việt mà nó mang lại, có thể kể đến một số lĩnh vực FGM được ứng dụng
như: Hàng không vũ trụ; Y học; Quốc phòng; Năng lượng; Quang điện tử [7, 8, 11].
1.2. Phân loại và tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Ổn định tĩnh của kết cấu chịu biến dạng được hiểu là khả năng duy trì được
trạng thái cân bằng ban đầu của kết cấu khi nó chịu tác động ngoài, còn khi khả
năng đó mất đi thì ta nói rằng kết cấu đó không ổn định (trạng thái mất ổn định).
Trạng thái tới hạn là ranh giới giữa trạng thái ổn định và trạng thái mất ổn định. Tải
trọng ứng với trạng thái tới hạn gọi là lực tới hạn, tức là giá trị bé nhất của lực ngoài
để kết cấu bị mất ổn định [1, 2].
Xuất phát từ hai quan niệm khác nhau về trạng thái tới hạn của Euler và
Poincarre, có thể chia thành hai loại mất ổn định là mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh
và mất ổn định theo kiểu cực trị [2, 10].
Hình 1.5. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo.
8
Trong luận án chỉ xét đến ổn định theo kiểu rẽ nhánh (hình 1.5), là trường
hợp tải tới hạn đạt được tại điểm rẽ nhánh. Các đặc trưng của kiểu mất ổn định dạng
này gọi là mất ổn định loại 1 là:
+ Dạng cân bằng có khả năng rẽ nhánh
+ Phát sinh dạng cân bằng mới khác cân bằng ban đầu về tính chất
+ Trước trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định, sau
trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định
Nghiên cứu ổn định dựa trên tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh được hiểu là: Trạng
thái cân bằng ban đầu của vật thể đàn hồi được gọi là ổn định nếu dưới tác dụng của
lực đã cho và điều kiện biên đã biết không tồn tại trạng thái cân bằng lân cận nào
khác với trạng thái cân bằng ban đầu. Còn nếu có ít nhất một trạng thái cân bằng lân
cận khác với trạng thái cân bằng ban đầu thì trạng thái cân bằng ban đầu là không
ổn định. Giá trị lực nhỏ nhất để tồn tại trạng thái cân bằng lân cận gọi là lực tới hạn.
1.3. Tình hình nghiên cứu đã đƣợc công bố về tấm và vỏ FGM
1.3.1. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM không có gân gia cường
Trong những năm gần đây có rất nhiều nhóm tác giả trên thế giới và trong
nước nghiên cứu về ổn định phi tuyến tĩnh và phân tích động lực học của tấm và vỏ
FGM không có gân gia cường.
Đầu tiên có thể kể đến nhóm tác giả Hui Shen Shen và các cộng sự. Tác giả
Shen và các cộng sự đã nghiên cứu về ứng xử của các tấm, vỏ trụ tròn và panel trụ
FGM trong giai đoạn sau tới hạn [101-109, 112 – 115, 151, 152]. Trong các nghiên
cứu này các tác giả đã sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận theo tham số bé kết
hợp với phương pháp lặp để xác định các tải tới hạn và các đường cong liên hệ độ
võng - tải trọng phi tuyến khi các tải vượt quá giá trị tới hạn. Nhiều ảnh hưởng phức
tạp của các yếu tố như tính phi tuyến hình học, biến dạng trượt bậc cao, các tính
chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ [104, 108, 109, 113], tương tác cơ - nhiệt, có gắn
thêm lớp vật liệu áp điện [103, 105, 109, 112], nền đàn hồi [115] và tính không
hoàn hảo về hình dáng của tấm, vỏ lên ứng xử của tấm và vỏ FGM được xem xét.
Hơn nữa, họ cũng đã đề xuất lý thuyết lớp biên (boundary layer theory) trong bài
9
toán ổn định của vỏ trụ [110, 111], tức là kể đến ảnh hưởng của biến dạng phi tuyến
trong giai đoạn trước tới hạn ở hai đầu vỏ, và áp dụng lý thuyết này kết hợp với các
lý thuyết biến dạng trượt bậc cao để dự đoán chính xác hơn ứng xử ổn định phi
tuyến của các vỏ và panel trụ khi chúng chịu các tải nén dọc trục, áp lực ngoài hoặc
tải kết hợp đồng thời có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường. Trong [99,
100], Hui Shen Shen đã nghiên cứu ứng xử sau tới hạn trong trường hợp chịu tải
nhiệt và tải xoắn của vỏ trụ, panel trụ nano composite trên nền đàn hồi.
Phân tích động lực học kết cấu FGM cũng được nhóm của tác giả Hui Shen
Shen nghiên cứu, có thể kể đến một số nghiên cứu sau: Shen [116], Shen và Wang H.
[117], tác giả Shen và các cộng sự [118] đã khảo sát dao động phi tuyến của vỏ trụ, tấm
và panel trụ, vỏ hai độ cong FGM bao quanh (trên) nền đàn hồi. Tác giả Xia và Shen
[147 – 149] khảo sát dao động mất ổn định của tấm đẳng hướng với lớp phủ hai mặt là
FGM [147], và tấm FGM lai cấu thành bởi hai lớp FGM và hai lớp áp điện ở hai mặt
ngoài hoặc giữa kết cấu [148] và tấm FGM áp điện [149]. Trong Huang và Shen [67]
và Xia và Shen [150] đã nghiên cứu dao động và đáp ứng động lực của tấm FGM áp
điện trong môi trường nhiệt độ. Trong đó tấm FGM được gắn 2 lớp áp điện ở mặt trên
và mặt dưới, tính chất vật liệu xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ. Dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc cao, tính phi tuyến hình học von Karman và hiệu ứng nhiệt áp điện, sử
dụng phương pháp Galerkin để giải, sau một số phép biến đổi phức tạp thu được
phương trình vi phân chuyển động cấp hai của tấm. Kết quả chỉ ra ảnh hưởng của sự
thay đổi nhiệt độ, điện áp, sự phân bố vật liệu đến dao động phi tuyến của tấm FGM áp
điện [67] và ảnh hưởng của điện áp đến tần số dao động riêng của tấm [150]. Gần đây
tác giả Shen và Wang [119] đã nghiên cứu dao động và trạng thái tới hạn nhiệt của tấm
composite nano trên nền đàn hồi.
Có thể kể đến một số nghiên cứu của nhóm tác giả Huaiwei Huang và Qiang
Han, nhóm tác giả tập trung vào nghiên cứu kết cấu vỏ trụ FGM. Có thể kể đến một
số nghiên cứu về ổn định tĩnh của nhóm Huang và Han [68 – 74]. Trong các nghiên
cứu này nhóm tác giả đã sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học
Von karman và sử dụng dạng nghiệm một hoặc ba số hạng và sử dụng phương pháp
hàm ứng suất, phương pháp Galerkin, có sử dụng phần mềm Abaqus, xem xét các
10
loại tải cơ, nhiệt, áp suất, tải xoắn và có kể đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào
nhiệt độ. Sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth để nghiên cứu ổn định động phi tuyến
cho vỏ trụ FGM cũng được chỉ ra trong tài liệu [75].
Nghiên cứu về vỏ trụ, nón và nón cụt FGM được nhóm tác giả Sofiyev và
các cộng sự quan tâm nghiên cứu. Tác giả Sofiyev và Schnack [130], Sofiyev [131,
132], nghiên cứu ổn định tĩnh của vỏ trụ; vỏ nón [133, 134]; vỏ nón cụt [122 – 124,
121, 135, 136]. Trong các nghiên cứu trên nhóm tác giả sử dụng tải nén, tải xoắn và
áp suất trong đó có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ, các kết cấu bao quanh bởi nền
đàn hồi và có kể đến tính không hoàn hảo về hình dáng ban đầu. Gần đây một số
nghiên cứu của tác giả Sofiyev và các cộng sự về vỏ nón cụt sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất kết hợp với phương pháp Galerkin [125-129]: Nghiên cứu ổn
định tĩnh của vỏ nón cụt FGM tựa tự do dưới tác dụng của tải nén dọc trục không có
nền đàn hồi [125] và có nền đàn hồi [126], trong [127] tác giả Sofiyev đã phân tích
ổn định nhiệt đàn hồi của vỏ nón cụt FGM tựa đơn sử dụng lý thuyết biến dạng
trượt bậc nhất và lý thuyết vỏ Donnell dưới tác dụng của nhiệt độ phân bố đều và
tuyến tính qua chiều dày của vỏ. Nghiên cứu sự mất ổn định nhiệt đàn hồi của vỏ
nón cụt FGM bởi sự tăng nhiệt độ phi tuyến qua chiều dày của vỏ dựa trên lý thuyết
biến dạng trượt bậc nhất [128] và nghiên cứu sự ảnh hưởng của lớp phủ FGM nên
kết cấu vỏ nón cụt đến dao động tự do của vỏ, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc
nhất để thiết lập các phương trình cơ bản của vỏ [129].
Các tác giả Javaheri và Eslami [76-78] và Shariat và Javaheri [92] đã
nghiên cứu ổn định của các tấm chữ nhật FGM chịu tải cơ và tải nhiệt dựa trên lý
thuyết tấm cổ điển [76, 78] và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao [65, 77, 92]. Họ đã
sử dụng phương pháp hàm năng lượng và tìm được lời giải giải tích về tải tới hạn.
Tác giả Samsam và Eslami [93, 94] đã nghiên cứu trạng thái tới hạn của tấm FGM
chịu tải nén và tải nhiệt, trong nghiên cứu có xét đến tính không hoàn hảo về hình
dáng của tấm, sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và kết quả được so sánh trong trường
hợp tấm phẳng và tấm không phẳng. Tác giả Najafizadeh và Eslami [83] và Shariat
và Eslami [95] đã nghiên cứu sự ổn định nhiệt đàn hồi của tấm tròn có cơ tính biến
11
thiên, trong đó [83] các tác giả sử dụng lý thuyết biến dang trượt bậc nhất. Shariyat
đã nghiên cứu bài toán ổn định động lực học của vỏ trụ tròn FGM chịu đồng thời tải
nén dọc trục và sự truyền nhiệt không dừng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
[96]. Nghiên cứu này sau đó được mở rộng cho trường hợp vỏ trụ lai gồm lớp FGM
và các lớp vật liệu áp điện chịu đồng thời các tải cơ - nhiệt - điện [97]. Gần đây
Shariyat cũng đã giải quyết bài toán dao động và ổn định động lực của các tấm lai
FGM chịu các điều kiện kết hợp khác nhau của các tải cơ - nhiệt - điện [98].
Tác giả Alijani và Amabili [12] đã phân tích ổn định tham số phi tuyến của
tấm FGM trong môi trường nhiệt bằng cách tiếp cận hàm năng lượng đa bậc tự do
sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao phi tuyến. Tác giả Amabili và các cộng sự
[13, 15] nghiên cứu dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong FGM bằng lý
thuyết biến dạng trượt bậc cao và phương pháp hàm năng lượng. Nghiên cứu dao
động phi tuyến của vỏ trụ được Amabili nghiên cứu trong tài liệu [14].
Trong những năm gần đây, các nghiên cứu tấm và vỏ FGM được các nhà
khoa học trong nước quan tâm, đã đạt được rất nhiều kết quả trong công bố quốc tế
và đào tạo về lĩnh vực FGM.
Công bố đầu tiên về FGM trong nước có thể kể đến những nghiên cứu của
tác giả Nguyễn Đình Đức và Hoàng Văn Tùng. Các tác giả tập trung nghiên cứu
trạng thái tới hạn và sau tới hạn của tấm không hoàn hảo sử dụng lý thuyết tấm cổ
điển [141] và lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất [142], vỏ trụ, panel trụ [45] và vỏ
cầu thoải đối xứng [18]. Trong đó có kể đến tính phi tuyến hình học von Karman và
tính không hoàn hảo về hình dáng của kết cấu, đặt bài toán theo hàm ứng suất và áp
dụng phương pháp Galerkin để xây dựng biểu thức hiển đi xác định tải tới hạn và
đường cong sau tới hạn của kết cấu tấm và vỏ không hoàn hảo FGM. Tác giả
Nguyễn Đình Đức và các cộng sự [46, 47] đã nghiên cứu trạng thái tới hạn và sau
tới hạn của tấm FGM trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc
cao chịu tác dụng của tải cơ, nhiệt và cơ nhiệt đồng thời. Tác giả Nguyễn Đình Đức
và Trần Quốc Quân đã nghiên cứu trạng thái sau tới hạn của vỏ thoải hai độ cong
chịu tải cơ và nhiệt trên nền đàn hồi và sử dụng lý thuyết cổ điển [48, 49]. Tác giả
Hoàng Văn Tùng [143] đã phân tích ổn định tĩnh phi tuyến của tấm sandwich FGM
12
trên nền đàn hồi chịu tải cơ và nhiệt với tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, sử
dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày
kết cấu tuân theo quy luật lũy thừa (P-FGM). Nghiên cứu dao động phi tuyến của
tấm và vỏ hai độ cong FGM được tác giả Nguyễn Đình Đức và các cộng sự nghiên
cứu trong [32, 33, 87]. Các tác giả sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất [33,
87] và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba [32], phương pháp Galerkin đi xác định hệ
phương trình vi phân, ma trận xác định tần số dao động tự do tuyến tính, quan hệ
tần số - biên độ và sử dụng phương pháp Runge Kutta bậc 4 để giải hệ phương trình
vi phân xác định quan hệ thời gian – độ võng. Với cách tiếp cận tương tự, tác giả
Nguyễn Đình Đức và cộng sự [34] đã phân tích dao động phi tuyến của tấm FGM
áp điện trên nền đàn hồi.
Tác giả Đào Huy Bích và Nguyễn Xuân Nguyên [20] đã phân tích dao động
phi tuyến của vỏ trụ không thoải FGM bằng lý thuyết Donnell cải tiến. Trong
nghiên cứu các tác giả sử dụng phương pháp Galerkin để thu được kết quả và xét
đến hai trường hợp có sử dụng và không sử dụng giả thiết Volmir. Tác giả Đào Huy
Bích và các cộng sự [22, 23] đã nghiên cứu dao động, ổn định tĩnh và động học phi
tuyến của vỏ cầu thoải FGM có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ. Trong đó sử dụng
lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Karman và tính không hoàn
hảo của kết cấu. Ổn định động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong FGM có tính đến
sự không hoàn hảo về hình dáng đã được nghiên cứu bởi tác giả Đào Huy Bích và
Vũ Đỗ Long [24]. Các tác giả Đào Văn Dũng và Lê Khả Hòa [64] đã nghiên cứu ổn
định phi tuyến của vỏ trụ FGM dưới tác dụng của tải nén sử dụng phương pháp
Galerkin. Các tác giả Đào Văn Dũng và Nguyễn Thị Nga [56] đã nghiên cứu ổn
định tĩnh của tấm không hoàn hảo FGM chịu tải cơ và nhiệt trong đó hệ số Poisson
được chọn là hàm phụ thuộc theo hướng chiều dày của tấm.
Nhóm tác giả Hoàng Xuân Lượng và các cộng sự [5] đã nghiên cứu dao
động tự do tuyến tính của panel trụ thoải mỏng composite lớp bằng phương pháp
phần tử hữu hạn. Trong công trình này, quan hệ ứng xử cơ học theo bề mặt cong
liên tục được xấp xỉ bằng bề mặt được hình thành từ các phần tử phẳng nhỏ, liên tục
với trạng thái ứng suất phẳng. Cũng sử dụng cách xấp xỉ này, nhóm tác giả Vũ
13
Dũng Mạnh và các cộng sự [6] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của panel trụ chịu
tải trọng tuần hoàn. Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với phương pháp phân
tích mode và phương pháp tích phân trực tiếp Newmark được sử dụng để nhận được
các ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến tới mất ổn định của vỏ.
Nhóm tác giả Trần Ích Thịnh và Nguyễn Mạnh Cường [138] đã nghiên cứu về
ma trận độ cứng của phần tử liên tục cho dao động của vỏ trụ tròn dày composite phân
lớp. Cũng sử dụng phương pháp phần tử liên tục, tác giả Nguyễn Mạnh Cường và Trần
Ích Thịnh [29] đã phân tích dao động của vỏ tròn xoay dày đẳng hướng. Nghiên cứu ổn
định tĩnh và dao động của tấm composite áp điện sử dụng phương pháp phần tử hữu
hạn đã được nghiên cứu bởi tác giả Trần Ích Thịnh và Lê Kim Ngọc [9, 85, 139]. Các
tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác nhau đến ứng xử tĩnh và dao
động của kết cấu tấm composite áp điện, tính toán điều khiển chuyển vị tĩnh kết cấu
tấm composite có gắn các lớp hoặc những miếng áp điện; ứng dụng thuật toán di
truyền để giải bài toán tối ưu liên quan đến kết cấu composite áp điện; thực nghiệm để
nghiên cứu ứng xử tĩnh và động đến kết cấu composite áp điện và kiểm nghiệm mô
hình tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
1.3.2. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM có gân gia cường
Hiện nay các kết cấu được làm từ vật liệu FGM ngày càng trở nên phổ biến
hơn. Việc nghiên cứu ổn định tĩnh và dao động của kết cấu tấm và vỏ FGM là một
trong những mục tiêu vì sự an toàn tối ưu kết cấu. Trong thực tế để tăng khả năng
chịu tải của kết cấu FGM đặc biệt trong trường nhiệt độ thì một trong các giải pháp
là gia cố bằng các gân gia cường. Cách làm này có ưu điểm là trọng lượng của gân
thêm vào ít mà khả năng chịu tải của kết cấu lại tăng thêm nhiều, hơn nữa cần gia
cố ở những vị trí xung yếu, do vậy đây là phương án tối ưu về vật liệu [8].
Năm 2009, tác giả Najafizadeh cùng các cộng sự [82], đã nghiên cứu trạng
thái tới hạn của vỏ trụ FGM được gia cường bằng các gân dọc và gân vòng chịu nén
dọc trục trong đó giả thiết gân và vỏ đều làm bằng vật liệu FGM. Các tác giả giải
theo phương pháp hàm chuyển vị và sử dụng gân ở phía trong của vỏ trụ và mặt tiếp
xúc giữa gân và vỏ được làm cùng một loại vật liệu để kết cấu vẫn đảm bảo tính liên
tục của vật liệu.
14
Năm 2011, tác giả Đào Huy Bích và các cộng sự đã đề xuất một phương
pháp về gân gia cường cho kết cấu FGM. Để đảm bảo tính liên tục về mặt vật liệu
và đơn giản trong công tác chế tạo, gân gia cường được đề xuất ở đây được làm
bằng vật liệu đồng nhất, nếu gân gia cường tại mặt ceramic thì được làm hoàn toàn
bằng ceramic, ngược lại nếu gân gia cường ở mặt kim loại thì được làm hoàn hoàn
bằng kim loại [25]. Ban đầu các nghiên cứu của nhóm tác giả Đào Huy Bích và các
cộng sự chưa xét đến ứng suất nhiệt trong gân. Đề xuất này của tác giả Đào Huy
Bích và các cộng sự đã được một số nhóm tác giả sử dụng và phát triển để phân tích
các bài toán về FGM khác nhau và đã có nhiều công bố quốc tế trong lĩnh vực này.
Sử dụng phương pháp giải tích, tác giả Đào Huy Bích cùng các cộng sự đã nghiên
cứu ổn định tĩnh và động phi tuyến của panel trụ [19] không đặt trên nền đàn hồi và
vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường sử dụng lý thuyết cổ điển và chịu tải nén dọc trục
trong đó không xét đến nền đàn hồi [21] và có xét đến nền đàn hồi [84]. Sử dụng
phương pháp tương tự, tác giả Đinh Gia Ninh và Đào Huy Bích [86] nghiên cứu ổn
định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ sandwich có lớp lõi là FGM, lớp phủ bên ngoài là vật
liệu thuần nhất chịu tải cơ và nhiệt và nghiên cứu dao động của vỏ hai độ cong
không hoàn hảo trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết biến dạng trượt và phương pháp
hàm ứng suất được tác giả Đào Huy Bích và các cộng sự nghiên cứu trong [17].
Năm 2013, nhóm tác giả Nguyễn Đình Đức và các cộng sự lần đầu tiên
nghiên cứu ổn định tĩnh và dao động của kết cấu FGM có gân gia cường chịu tải
trọng nhiệt. Từ đề xuất của tác giả Đào Huy Bích năm 2011 về cách đặt gân để đảm
bảo tính liên tục của vật liệu, tác giả Nguyễn Đình Đức và các cộng sự đã đề xuất
phương pháp tính ứng suất nhiệt trong gân và tính sự thay đổi các tham số hình học
của gân dưới tác dụng của nhiệt độ và được công bố trong tài liệu [38]. Đề xuất này
đã mở ra hướng nghiên cứu cho một loạt các công trình sau này [35 – 42, 31, 137].
Trong [35, 36, 37, 137], tác giả Nguyễn Đình Đức và Phạm Toàn Thắng đã nghiên
cứu dao động và ổn định động cho vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường sử dụng lý
thuyết cổ điển, kỹ thuật san đều tác dụng gân của Leckhnitsky và phương pháp hàm
ứng suất. Cùng với cách tiếp cận như trên và sử dụng lý thuyết biến dạng trượt, tác
giả Nguyễn Đình Đức và các cộng sự [31] đã phân tích phi tuyến của vỏ trụ FGM dày
15
trên nền đàn hồi. Cũng theo cách tiếp cận giải tích, tác giả Nguyễn Đình Đức và Trần
Quốc Quân đã có một chuỗi bài về ổn định tĩnh và dao động phi tuyến của vỏ hai độ
cong có gân gia cường [38, 39, 48]. Trong đó các tác giả đã phân tích ảnh hưởng của
các tham số khác nhau đến quan hệ biên độ tần số, tần số dao động tự do tuyến tính
và quan hệ thời gian – độ võng (dao động phi tuyến) và đường cong độ võng – tải
trọng sau tới hạn (ổn định tĩnh). Trong các nghiên cứu của tác giả Nguyễn Đình Đức
và các cộng sự thường xét đến tính chất vật liệu của cả FGM và gân đều phụ thuộc
vào nhiệt độ, và có xét đến sự biến dạng nhiệt trong gân. Một số nghiên cứu về kết
cấu panel trụ [40], vỏ cầu thoải, vỏ nón cụt, vỏ nón có gân gia cường của nhóm tác
giả Nguyễn Đình Đức cũng được quan tâm [16, 43], nano nón cụt [30].
Nhóm tác giả Đào Văn Dũng và các công sự đã sử dụng giả thiết gân làm
bằng vật liệu FGM trong đó mặt tiếp xúc của gân và FGM là như nhau để đảm bảo
tính liên tục của vật liệu. Trong [50-52, 57], tác giả Đào Văn Dũng và Lê Khả Hòa
đã có một loạt bài về ổn định phi tuyến của vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường chịu
áp lực ngoài [50], tải xoắn [51, 57] hay chịu tải xoắn trong trường nhiệt độ [52].
Nghiên cứu về vỏ nón cụt có gân bằng vật liệu FGM cũng được tác giả Đào Văn
Dũng và các cộng sự nghiên cứu [53, 54, 58], trong các nghiên cứu này các tác giả
đã xét đến gân FGM theo hai phương (vòng và đường sinh), sử dụng phương pháp
hàm chuyển vị, lý thuyết cổ điển, chịu tải cơ và vỏ nón cụt được bảo quanh bởi nền
đàn hồi. Trong [60-63], tác giả Đào Văn Dũng và Nguyễn Thị Nga đã nghiên cứu
ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi sử dụng lý
thuyết biến dạng trượt và giả thiết gân là FGM chịu tải cơ, nhiệt và cơ - nhiệt kết
hợp, trong [60, 61] tác giả xét tính chất vật liệu độc lập với nhiệt độ, trong [62, 63]
tác giả xét tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ. Tác giả Đào Văn Dũng và
Hoàng Thị Thiêm [59] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của tấm có gân gia cường
trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết tấm cổ điển có xét đến tính không hoàn hảo về
hình dáng ban đầu và chưa xem xét đến chịu tải nhiệt độ. Gần đây, tác giả Đào Văn
Dũng và Hoàng Thị Thiêm [55] đã nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ
tròn FGM có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt. Môi trường nhiệt được xét đến
trong nghiên cứu là nhiệt tăng đều và truyền nhiệt phi tuyến theo chiều dày của vỏ
dựa trên phương trình truyền nhiệt Fourier trạng thái dừng một chiều cho cả vỏ và
16
gân. Các tác giả đã giải theo phương pháp hàm chuyển vị dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitsky.
Trong thực tế nhiều trường hợp, tải trọng tác dụng vào kết cấu diễn ra
nhanh và đột ngột hoặc biến đổi một cách tuần hoàn và ứng xử của kết cấu khác xa
so với tải trọng tĩnh, tuy vậy số lượng các nghiên cứu về dao động và ổn định động
của các kết cấu tấm và vỏ FGM dày có gân gia cường sử dụng phương pháp giải
tích vẫn còn hạn chế.
1.4. Những kết quả đã đạt đƣợc trong nƣớc và quốc tế
Từ tổng quan trên, ta nhận thấy
i. Có ba quy luật phân bố vật liệu FGM thường được sử dụng là: Quy luật
phân bố theo hàm lũy thừa (P-FGM), hàm siêu việt (E-FGM) và hàm Sigmoid (S-
FGM) và các kết cấu tấm và vỏ FGM được quan tâm hiện nay bao gồm: FGM có và
không có gân, ES-FGM áp điện và nano FGM.
ii. Đã có nhiều kết quả nghiên cứu về ổn định phi tuyến tĩnh và động lực học
của tấm FGM có và không có gân tuy nhiên sử dụng phương pháp giải tích và
phương pháp hàm ứng suất để nghiên cứu còn hạn chế.
iii. Các nghiên cứu sử dụng lý thuyết biến dạng trượt (bậc nhất hoặc bậc ba)
còn ít, đặc biệt sử dụng phương pháp giải tích nghiên cứu ổn định phi tuyến tĩnh và
động lực học của kết cấu tấm ES-FGM, trường hợp gân làm bằng kim loại và xét
đến tính chất T-D của vật liệu thành phần và tấm ES-FGM áp điện chưa được
nghiên cứu. Khó khăn chính là do các hệ thức cơ bản và các phương trình cần phải
xây dựng rất cồng kềnh và phức tạp.
1.5. Những nội dung tồn tại cần đƣợc nghiên cứu
Luận án này đặt ra mục tiêu sử dụng lý thuyết cổ điển, biến dạng trượt bậc
nhất và biến dạng trượt bậc ba để giải quyết bài toán phân tích phi tuyến tĩnh và
động lực học phi tuyến của tấm, bao gồm:
Xác định giá trị tải tới hạn, đường cong độ võng - tải trọng sau tới hạn (bài
toán phân tích phi tuyến tĩnh) cho tấm ES-FGM và có kể đến tính chất T-D.
Xác định tần số dao động cơ bản, quan hệ thời gian – độ võng và quan hệ
biên độ - tần số (bài toán động lực học) cho tấm S-FGM, ES-FGM và ES-FGM áp
điện, có kể đến tính chất T-D.
17
CHƢƠNG 2
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM MỎNG FGM
SỬ DỤNG LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN
2.1. Đặt vấn đề
Phân tích phi tuyến tĩnh bằng phương pháp giải tích của tấm mỏng FGM
không gân gia cường đã được nghiên cứu trong các tài liệu [11, 56, 140]. Trong [11,
56, 140], các tác giả đã sử dụng phương pháp hàm ứng suất và phương pháp
Galerkin để xác định tải tới hạn và trạng thái sau tới hạn của tấm FGM chịu tải cơ,
nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp, trong đó được xét trong các nghiên cứu [11,
140] và được xét trong nghiên cứu [56]. Phân tích phi tuyến tĩnh bằng
phương pháp giải tích của tấm mỏng ES-FGM với hệ số Poisson , được
trình bày trong nghiên cứu [8, 59]. Trong [8, 59] các tác giả chưa xem xét đến ổn
định nhiệt của tấm ES-FGM, và tính chất vật liệu của FGM và gân là T-ID.
Phân tích phi tuyến động lực học tấm composite lớp có gân gia cường lệch tâm
đã được nghiên cứu bởi tác giả Vũ Đỗ Long và Phạm Văn Khoa [4], Trong [4], trên cơ
sở lý thuyết tấm mỏng và sử dụng kỹ thuật tính gân theo Lekhnisky các tác giả đã xây
dựng phương trình dao động của tấm có gân, giải bài toán theo phương pháp hàm
chuyển vị và phương pháp hàm ứng suất có sử dụng giả thiết Volmir. Nghiên cứu [28],
Chen C.S đã thiết lập và giải các phương trình vi phân phi tuyến của tấm FGM chịu
trạng thái ứng suất ban đầu phân bố không đồng đều, có kể đến ảnh hưởng của biến
dạng trượt ngang và quán tính quay. Nghiên cứu động lực học sử dụng lý thuyết cổ
điển của tấm mỏng đối xứng S-FGM trên nền đàn hồi bằng phương pháp giải tích,
phương pháp hàm ứng suất kết hợp với phương pháp Galerkin chưa được nghiên cứu.
Chương này của luận án sử dụng lý thuyết tấm cổ điển nghiên cứu lời giải
giải tích cho 2 bài toán:
Bài toán 1: Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn
hồi, tính chất vật liệu của FGM và gân là T-D, chịu 3 kiểu đặt tải: tải nén, nhiệt và
cơ – nhiệt kết hợp.
Bài toán 2: Phân tích động lực học của tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi.
Các giả thiết đƣợc sử dụng trong chƣơng này:
1) Giả thiết về vật liệu: Hình dáng tấm là tấm chữ nhật và là tấm mỏng. Tính
18
chất vật liệu T-D và thay đổi theo hướng chiều dày của tấm theo quy luật hàm lũy thừa,
hệ số Poisson (bài toán 1) và giả thiết tính chất vật liệu T-ID và thay đổi theo
hướng chiều dày của tấm theo quy luật hàm Sigmoid, (bài toán 2).
2) Giả thiết về gân gia cường lệch tâm:
i. Gân được giả thiết là kết cấu dầm chữ nhật, được bố trí đặt theo các
phương và của tấm, các gân trực giao nhau, mau, cách đều nhau, kích thước
nhỏ, bằng nhau và mặt cắt của gân là hình chữ nhật và có thể bỏ qua thành phần
biến dạng xoắn của gân.
ii. Tính chất vật liệu của gân phụ thuộc vào nhiệt độ, để đảm bảo điều kiện
liên tục của vật liệu và tránh hiện tượng ứng suất tập trung, khi gân được gia cường
ở mặt ceramic thì gân được làm hoàn toàn bằng ceramic và ngược lại khi gia cường
tại mặt kim loại thì gân được làm hoàn toàn bằng kim loại, cùng vật liệu và tính
chất với ceramic và kim loại tương ứng [25].
3) Nền đàn hồi được mô hình hóa bởi mô hình nền Pasternak – hai hệ số nền
được mô tả trong hình 2.1, trong đó
- Hệ số nền Winkler là phản lực thẳng đứng tỷ lệ bậc nhất với độ võng
qua hệ số nền , có thứ nguyên [lực/(chiều dài)3].
- Hệ số nền Pasternak là phản lực tiếp tuyến của nền tỷ lệ với góc xoay
của tấm, có thứ nguyên [lực/(chiều dài)].
- Tương tác nền – tấm được xác định theo mô mình Pasternak như sau:
(2.1)
Hình 2.1. Mô hình nền đàn hồi Pasternak.
19
2.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi
2.2.1. Mô hình tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi
Xét tấm mỏng chữ nhật làm bằng vật liệu FGM có chiều dài , chiều rộng
và chiều dày được đặt trên nền đàn hồi (hình 2.2). Tấm được đặt trong hệ tọa độ
Đề Các có gốc tọa độ ở góc của tấm, mặt phẳng trùng với mặt giữa của
tấm và là tọa độ chiều dày của tấm . Một mặt của tấm được gia
cường bằng hệ thống các gân dọc và ngang thuần nhất đẳng hướng theo phương và
tương ứng, hình dáng và thông số của gân được cho trong hình 2.3 trong đó
tương ứng là khoảng cách giữa các gân theo phương , và
khoảng cách từ mặt giữa của gân đến mặt giữa của tấm theo phương
và tương ứng là chiều rộng và chiều dày của gân theo phương . tương ứng là và , và
Hình 2.2. Hình dáng và tọa độ của tấm mỏng Hình 2.3. Hình dáng của gân gia cường.
ES-FGM trên nền đàn hồi.
Giả thiết vật liệu của tấm phụ thuộc vào nhiệt độ, thay đổi liên tục theo
hướng chiều dày và được tạo thành từ hỗn hợp của ceramic và kim loại với tỷ
phần thể tích tuân theo quy luật (1.1). Khi đó cụ thể hoá công thức này cho mô
đun đàn hồi , mật độ khối lượng , hệ số giãn nở nhiệt và hệ số Poisson
ta thu được các tính chất vật liệu hiệu dụng của tấm FGM là hàm luỹ thừa của
biến độ dày như sau
20
(2.2)
trong đó
(2.3)
2.2.2. Các phương trình cơ bản
Trong mục này, lý thuyết tấm cổ điển (CPT) được sử dụng để dẫn ra các
phương trình cân bằng và tương thích biến dạng cũng như các biểu thức hiển xác định
tải tới hạn và các đường cong độ võng – tải trọng giai đoạn sau tới hạn. Các thành phần
biến dạng của tấm ở một điểm cách mặt giữa một khoảng được xác định bởi [26, 90]
(2.4)
trong đó và là các thành phần biến dạng pháp tuyến, là biến dạng trượt trong
mặt phẳng ở mặt giữa của tấm, và là các thành phần độ cong và độ xoắn.
Trong khuôn khổ của lý thuyết tấm cổ điển, các thành phần biến dạng ở mặt
giữa tấm và các thành phần độ cong, độ xoắn được liên hệ với các thành phần
chuyển vị tương ứng theo các hướng tọa độ như sau [26, 90]
, (2.5)
Định luật Hooke của một tấm FGM trong đó có kể đến ảnh hưởng của nhiệt
độ được xác định
21
(2.6)
trong đó là độ chênh lệch nhiệt độ của môi trường chứa tấm từ giá trị ban đầu
mà ở đó tấm không có biến dạng nhiệt đến giá trị cuối.
Đối với gân gia cường, định luật Hooke được xác định như sau [38, 44]
(2.7)
trong đó tương ứng là mô đun đàn hồi Young và hệ số
giãn nở nhiệt của gân gia cường.
Các thành phần lực giãn và mô men của tấm mỏng ES-FGM được áp dụng
kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lechnitskii [25] trong đó có bỏ qua thành phần
xoắn của gân do giả thiết gân mảnh [25], ta có
(2.8)
Đặt các phương trình (2.4), (2.6) và (2.7) vào (2.8) ta thu được các thành
phần lực dãn và mô men như sau
22
(2.9)
trong đó
(2.10)
Sau quá trình biến dạng nhiệt, tham số hình học của gân được xác định như
sau [38, 44]
23
(2.11)
Hệ phương trình cân bằng cho tấm mỏng ES-FGM hoàn hảo trên nền đàn
hồi sử dụng lý thuyết tấm cổ điển được cho bởi [26, 90]
(2.12)
Từ (2.9) các thành phần biến dạng màng có thể được biểu diễn như sau
(2.13)
trong đó
(2.14)
Hai phương trình đầu của hệ phương trình cân bằng (2.12) sẽ thỏa mãn đồng
nhất nếu đưa vào hàm ứng suất sao cho
24
(2.15)
Thay các biểu thức ở (2.13) vào các biểu thức ở (2.9), sau đó
thay vào phương trình thứ ba của (2.12), trong đó có kể đến quan hệ (2.15), nhận được
(2.16)
trong đó
(2.17)
Phương trình (2.16) chứa hai hàm phụ thuộc và , vì vậy phải tìm
phương trình thứ hai liên hệ hai hàm này cho nên ta có thể sử dụng thêm phương
trình tương thích biến dạng. Từ các biểu thức (2.5) phương trình tương thích biến
dạng được xác định như sau
(2.18)
Đối với tấm mỏng ES-FGM không hoàn hảo, độ không hoàn hảo ban đầu
của tấm được xem là độ lệch nhỏ của mặt phẳng giữa tấm so với hình dáng hoàn
hảo ban đầu và là rất nhỏ so với chiều dày của tấm. Phương trình (2.16) và (2.18)
được viết lại dưới dạng sau đây khi được thay bằng và bỏ qua số hạng
bậc hai của do nhỏ, nhận được
25
(2.19)
(2.20)
trong đó là một hàm biết trước biểu diễn độ lệch nhỏ ban đầu của bề mặt
tấm từ hình dáng phẳng [91].
Từ (2.13) và (2.15) các thành phần biến dạng màng có thể được biểu diễn như sau
(2.21)
Đặt hệ thức (2.21) vào (2.20), nhận được phương trình tương thích biến dạng
của một tấm mỏng ES-FGM không hoàn hảo đối với hai hàm như sau
(2.22)
26
Các phương trình (2.19) và (2.22) là các phương trình cơ bản đối với hai hàm
và kết hợp với điều kiện biên được sử dụng để nghiên cứu ổn định tĩnh của
các tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi, chịu 3 kiểu đặt tải: tải nén cơ, nhiệt và cơ
– nhiệt kết hợp.
2.2.3. Phương pháp giải
2.2.3.1. Điều kiện biên và dạng nghiệm của bài toán
Xét tấm chữ nhật ES-FGM không hoàn hảo chịu tác dụng của các tải: nén,
nhiệt và cơ nhiệt đồng thời với ba loại điều kiện biên sau
Trƣờng hợp 1. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và có thể tự do dịch
chuyển (freely movable – FM) trong mặt phẳng tấm. Đây là trường hợp các cạnh
tựa tự do và các điều kiện biên tương ứng là
, tại
(2.23) , tại ,
Trƣờng hợp 2. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và không thể dịch chuyển
(immovable – IM) trong mặt phẳng tấm. Đây là trường hợp các cạnh tựa cố định và
các điều kiện biên tương ứng là
, tại (2.24) , tại ,
Trƣờng hợp 3. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề. Hai cạnh có thể
tự do dịch chuyển và hai cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm.
Trong trường hợp này các điều kiện biên tương ứng là
, tại
(2.25) , tại
trong đó là các lực tác dụng trên các cạnh của tấm trong trường hợp các
cạnh có thể tự do dịch chuyển và là các phản lực trên các cạnh tấm trong trường hợp
các cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng.
Để giải các phương trình (2.19) và (2.22) đối với các hàm và , và khi
xem xét các điều kiện biên (2.23)–(2.25), giả sử các nghiệm xấp xỉ được chọn như
sau [27, 80, 93]
27
(2.26)
trong đó , , là biên độ của độ võng và là một tham số để chỉ
tính không hoàn hảo là số nửa sóng tương ứng theo các phương và . ;
Đặt phương trình (2.26) vào phương trình tương thích biến dạng (2.22),
nhận được dạng nghiệm của hàm ứng suất
(2.27)
trong đó
Bây giờ, thay các dạng nghiệm (2.26) và (2.27) vào phương trình cân bằng
(2.19) và áp dụng phương pháp Galerkin cho phương trình kết quả, cụ thể nhân vào
hai vế phương trình này với và lấy tích phân trên miền
, nhận được.
(2.28)
Phương trình (2.28) là phương trình kết quả và được sử dụng để xác định
giá trị tải tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng trong giai đoạn sau tới hạn của
tấm mỏng ES-FGM. Dưới đây sẽ khảo sát một số trường hợp chịu tải trọng khác
nhau mà ta có thể nhận được kết quả dạng giải tích.
28
2.2.3.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM chịu tải nén cơ
Xét tấm mỏng chữ nhật ES-FGM tựa tự do trên bốn cạnh (điều kiện biên (2.23))
chịu các tải nén đều và (Pascal), lần lượt trên các cạnh . và
Trong trường hợp này các lực nén được xác định như sau [26, 76]
(2.29)
Thay (2.29) vào phương trình kết quả (2.28), ta được
(2.30)
trong đó và các hệ số được xác định trong phụ lục A.
Đối với tấm mỏng ES-FGM hoàn hảo, phương trình (2.30) dẫn đến phương
trình mà từ đó các tải nén làm cho tấm vồng lên có thể thu bằng cách lấy giới hạn
của hàm khi , nhận được
2.2.3.3. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM chịu tải nhiệt
Xét tấm chữ nhật mỏng ES-FGM với tất cả các cạnh tựa cố định (điều kiện
biên (2.24)), chịu tác dụng của tải nhiệt. Điều kiện để các cạnh của tấm không thể
dịch chuyển trong mặt phẳng tấm, nghĩa là (trên ) và (trên
), được thỏa mãn theo nghĩa trung bình [108]
(2.31)
Đặt phương trình (2.5) và (2.15) vào phương trình (2.13), nhận được
(2.32)
Thay các phương trình (2.26) và (2.27) vào (2.32), kết quả nhận được thay
vào (2.31), ta được
29
(2.33)
Hệ thức (2.33) là các ràng buộc lên các phản lực tại các cạnh để
đảm bảo cho các cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm. Các phản lực
này phụ thuộc vào các tham số nhiệt và biên độ độ võng
Thay phương trình (2.33) vào phương trình (2.28) ta được biểu thức sau đây
(2.34)
trong đó các hệ số được xác định trong phụ lục A.
Xét trường hợp tấm đặt trong trường nhiệt độ tăng đều từ giá trị ban đầu đến giá
trị cuối với độ chênh lệch nhiệt độ là một hằng số không đổi và không
xét đến sự truyền nhiệt trong tấm. Khi đó các tham số nhiệt và có dạng
(2.35)
30
trong đó hệ số được xác định như trong phụ lục A.
Đặt (2.35) vào phương trình (2.34), ta tìm được
(2.36)
trong đó
Phương trình (2.36) được sử dụng để xác định tải tới hạn và đường cong độ
võng – nhiệt độ sau tới hạn trong cả trường hợp tấm mỏng ES-FGM hoàn hảo và
không hoàn hảo trong trường nhiệt độ.
Đối với tấm mỏng ES-FGM hoàn hảo, phương trình (2.36) dẫn đến phương
trình mà từ đó các tải nhiệt độ làm cho tấm vồng lên có thể thu bằng cách lấy giới
hạn của hàm khi , ta được
Trường hợp các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, cả hai vế của
phương trình (2.36) đều phụ thuộc vào nhiệt độ, khi đó một thuật toán lặp được sử
dụng để xác định tải tới hạn và đường cong độ võng – nhiệt độ của tấm trong giai
đoạn sau tới hạn của cả tấm hoàn hảo và không hoàn hảo. Cụ thể là đối với tham số
vật liệu và hình học cho trước một giá trị cụ thể, sự chênh lệch nhiệt độ được tăng
dần dần từ giá trị ban đầu và sau mỗi lần tăng các giá trị của các tính chất vật liệu
lại được cập nhật ở giá trị nhiệt độ mới. Điều kiện dừng vòng lặp là
Trong đó là biểu thức vế phải của phương trình phụ thuộc vào nhiệt độ và là
tham số bé chọn trước theo yêu cầu chính xác của phép lặp. 2.2.3.4. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM chịu tải cơ -nhiệt kết hợp
Xét tấm mỏng chữ nhật ES-FGM tựa tự do trên hai cạnh
định trên hai cạnh (điều kiện (2.25)) chịu đồng thời của tải nén đều và tựa cố trên
hai cạnh và được đặt trong trường nhiệt độ tăng đều.
Thay các dạng nghiệm (2.26) và (2.27) vào phương trình thứ hai của (2.32)
và sau đó thay kết quả nhận được vào phương trình thứ hai của (2.31), thu được
31
(2.37)
Thay phương trình (2.37) vào phương trình (2.28), nhận được
(2.38)
trong đó được định nghĩa trong (2.35) và các hệ số được xác
định trong phụ lục A. Phương trình (2.38) là biểu thức giải tích được sử dụng để xác định sự phụ
thuộc phi tuyến của tải nén và độ võng tấm khi cho trước nhiệt độ , hoặc
ngược lại là sự phụ thuộc phi tuyến của nhiệt độ môi trường vào độ võng tấm khi
cho trước tải nén cạnh vì từ phương trình (2.38) ta có thể dễ dàng biểu diễn ngược
lại như là hàm của và .
2.2.4. Kết quả tính toán số và thảo luận 2.2.4.1. Nghiên cứu so sánh Trong trường hợp tấm FGM không có gân gia cường tương ứng với điều kiện:
, luận án so sánh kết quả số trường hợp tấm FGM không có và
gân gia cường với nghiên cứu [56] ( ) và so sánh với nghiên cứu [140]
( ) dưới tác dụng của tải nén được chỉ ra trong hình 2.4 và 2.5. Trong
[56] và [140] các tác giả sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp giải tích trong
32
đó có sử dụng phương pháp Galerkin để xác định các đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của tấm.
Hình 2.4. So sánh đường cong độ võng – Hình 2.5. So sánh đường cong độ võng–
tải nén sau tới hạn của tấm FGM không có tải nén sau tới hạn của tấm FGM không
gân gia cường với nghiên cứu [56]. có gân gia cường với nghiên cứu [140].
Trong trường hợp ,
luận án so sánh với kết quả với nghiên
cứu [59] cho trường hợp tấm FGM có
gân gia cường chịu tải nén được chỉ ra
trong hình 2.6. Các tham số của tấm và
gân được chọn
Hình 2.6. So sánh đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm FGM có gân gia
cường với nghiên cứu [59].
33
Từ hình (2.4-2.6) ta thấy gần như không có sự sai khác giữa kết quả trong
luận án và kết quả trong các nghiên cứu [56, 59, 140]. Điều đó cho thấy phương
pháp giải của luận án đáng tin cậy.
2.2.4.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM
Trong mục này, các thành phần vật liệu là silicon nitride (ceramic) và
thép không gỉ SUS304 (kim loại). Các tính chất vật liệu như là mô đun đàn hồi
, hệ số giãn nở nhiệt và hệ số Poisson có thể được biểu diễn bởi hàm phi
tuyến của nhiệt độ được xác định trong biểu thức (1.7), và các hệ số phụ thuộc nhiệt
độ được cho trong bảng 2.1.
Bảng 2.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của silicon nitride và thép không gỉ [89]
Vật liệu
Tính chất (Pa) 348.43e9 0 -3.70e-4 2.160e-7
-8.946e- 11 0 0
(kg/m3)
2370 0 5.8723e-6 0 0 0 9.095e-4 0 Si3N4 (Ceramic)
(Pa) (kg/m3)
0 13.723 0 0.24 0 201.04e9 0 8166 12.330e-6 0 0 0 0 0 0 0 -6.534e-7 0 3.079e-4 0 0 0 0 8.086e-4 0 SUS304 (Kim loại)
15.379 0.3177 0 0 0 0 0 0 0 0
Tham số hình học của tấm và gân được chọn như sau
Hình 2.7 so sánh đáp ứng sau tới hạn phi tuyến (đường cong độ võng – tải
nén) của tấm mỏng ES-FGM và tấm FGM không có gân gia cường dưới tác dụng
của tải nén. Từ hình vẽ ta nhận thấy rằng, sự có mặt của gân làm cho kết cấu cứng
hơn từ đó làm cho tăng khả năng mang tải của tấm mỏng FGM chịu tải nén.
34
Hình 2.8. Ảnh hưởng của hệ số
Hình 2.7. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm mỏng ES- Poisson lên đường cong độ võng –
nhiệt độ sau tới hạn của tấm mỏng FGM và tấm FGM không có gân gia cường (1, 2: Tấm ES-FGM; 3, 4: Tấm ES-FGM. FGM không có gân gia cường).
Hình 2.8 thể hiện đường cong độ võng – nhiệt độ giai đoạn sau tới hạn của
tấm mỏng ES-FGM chịu tải nhiệt (tính chất T-D) trong hai trường trường hợp
và . Có thể thấy rằng không có sự khác nhau nhiều giữa đường
cong độ võng – nhiệt độ trong trường hợp và . Trong tính toán
khi sử dụng điều kiện , các biểu thức tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn rất
nhiều, để đơn giản trong các tính toán ta thường chọn .
Hình 2.9 và 2.10 thể hiện ảnh hưởng của hệ số mô hình nền đàn hồi lên đường
cong phi tuyến độ võng – tải nén và độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-
FGM trong trường hợp tấm chịu tải nén và tải nhiệt (tính chất T-D). Từ hình vẽ, ta thấy
khi tăng giá trị của hệ số nền đàn hồi làm cho đường cong độ võng – tải trọng sau tới
hạn cao hơn, thể hiện ảnh hưởng tích cực của nền đàn hồi lên sự ổn định tĩnh của tấm
trong cả hai trường hợp chịu tải nén và tải nhiệt độ, cụ thể là làm tăng giá trị tải nén và
tải nhiệt độ tới hạn và sau tới hạn. Hơn nữa, hệ số nền có ảnh hưởng mạnh hơn so
với hệ số nền , thể hiện ở đường cong số 3 và 4 trong hình 2.9 và 2.10.
35
Hình 2.9. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi Hình 2.10. Ảnh hưởng của hệ số nền
lên đường cong độ võng – tải nén sau tới đàn hồi lên đường cong độ võng –
hạn của tấm mỏng ES-FGM. nhiệt độ sau tới hạn của tấm mỏng
ES-FGM (tính chất T-D).
Hình 2.11. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ Hình 2.12. Ảnh hưởng của tải nén lên
tăng đều lên đường cong độ võng – tải nén đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn
sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. của tấm mỏng ES-FGM (tính chất T-D).
Hình 2.11 chỉ ra ảnh hưởng của sự biến thiên nhiệt độ của môi trường chứa
tấm lên ứng xử của tấm chịu tải nén một phía dọc trục . Từ hình vẽ ta nhận thấy
rằng khi có sự biến thiên nhiệt độ các tấm không hoàn hảo đã bắt đầu võng
thêm ngay cả khi chưa tác dụng lực nén cơ học (giao điểm của các đường nét đứt
với trục ). Đồng thời sự có mặt của nhiệt độ làm cho khả năng mang tải của
36
cả tấm phẳng và tấm không hoàn hảo trở nên kém hơn. Nguyên nhân là do tấm đã
đạt được độ võng trước do nhiệt độ gây ra trước khi chịu ảnh hưởng của lực nén.
Một ứng xử tương tự của các tấm khi chúng chịu đồng thời trường nhiệt độ
tăng đều và các giá trị khác nhau của tải nén cạnh được chỉ ra trong hình
2.12. Sự có mặt của tải nén cơ học trên các cạnh làm cho khả năng mang tải nhiệt
của cả các tấm phẳng và không phẳng giảm đi đáng kể. Nói chung, sự có mặt của
trường nhiệt độ (tải nén) làm cho khả năng mang tải nén (nhiệt độ) của các tấm
mỏng ES-FGM giảm rõ rệt như được mong đợi.
Hình 2.13. Ảnh hưởng của điều kiện biên Hình 2.14. Ảnh hưởng của hệ số tỷ
(FM và IM) lên đường cong độ võng – tải lệ thể tích lên đường cong độ võng –
nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. nhiệt độ sau tới hạn của tấm mỏng
ES-FGM.
Hình 2.13 thể hiện ảnh hưởng của các điều kiện ràng buộc dịch chuyển tại các
cạnh lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của các tấm mỏng ES-FGM chịu nén
một phía trên hai cạnh tựa tự do . Ví
dụ này xét hai loại điều kiện ràng buộc trên các cạnh là khi các cạnh này tựa tự
do (FM) và tựa cố định (IM). Thực tế là các đường cong trong trường hợp FM được vẽ
từ phương trình (2.30), trong khi các đường cong trong trường hợp IM được vẽ từ
phương trình (2.38) với . Hình này chỉ ra rằng mặc dù tấm mỏng ES-FGM hoàn
37
hảo bị vồng sớm hơn khi các cạnh tựa cố định nhưng nói chung khả năng mang
tải trong giai đoạn sau tới hạn của cả tấm hoàn hảo và không hoàn hảo là tốt hơn khi các
cạnh bị ngăn dịch chuyển và độ võng đủ lớn.
Sự biến đổi của các đường phi tuyến liên hệ độ võng – nhiệt độ trong giai đoạn
sau tới hạn (còn được gọi là các đường cân bằng sau tới hạn) của một tấm mỏng ES-
FGM chịu nén một phía với ba giá trị khác nhau của hệ số tỷ lệ thể tích
được chỉ ra trong hình 2.14. Như có thể thấy, các đường cong sau tới hạn trở nên thấp
hơn tượng trưng cho khả năng mang tải kém hơn của tấm khi tăng. Điều này được
mong đợi vì mô đun đàn hồi của ceramic lớn hơn nhiều so với của kim loại trong khi
tỷ lệ phần trăm thể tích của thành phần ceramic trong tấm giảm khi tăng (hình 1.2).
Hình 2.15 và 2.16 xét ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình dáng lên sự ổn định
của các tấm mỏng ES-FGM chịu các tải nén cạnh và nhiệt độ. Hình 2.15 chỉ ra sự biến đổi
của các đường cong độ võng - tải nén của một tấm mỏng ES-FGM có các cạnh tựa tự do với
các giá trị khác nhau của . Hình này chỉ ra rằng khi độ võng còn nhỏ khả năng mang tải
nén của tấm giảm khi tăng các giá trị của . Tuy nhiên, một xu hướng biến đổi ngược lại
diễn ra khi độ võng đủ lớn, tức là khi độ võng lớn các đường cân bằng độ võng – tải trọng
trở nên cao hơn (khả năng mang tải của tấm tốt hơn) với các giá trị lớn hơn.
Hình 2.15. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. Hình 2.16. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. Tương tự, sự biến đổi của các đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của
một tấm mỏng ES-FGM có các cạnh tựa cố định chịu trường nhiệt độ tăng đều với
38
các giá trị khác nhau của được khảo sát trong hình 2.16. Hình này chỉ ra rằng khi
giá trị độ võng vượt qua một giá trị nhất định, tính không phẳng ban đầu có một ảnh
hưởng tích cực lên khả năng mang tải nhiệt của các tấm mỏng ES-FGM, cụ thể là
các đường độ võng - nhiệt độ sau tới hạn trở nên cao hơn đối với các giá trị lớn
hơn. Thêm vào đó, từ các hình 2.15 và 2.16 ta có thể thấy rằng dường như tồn tại
một “điểm nút” mà tất cả các đường cong với các khác nhau đều đi qua và qua
điểm này thì khả năng mang tải của tấm trở nên tốt hơn theo sự tăng của .
2.3. Phân tích động lực học của tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi
2.3.1. Mô hình tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi
Xét tấm mỏng chữ nhật làm bằng vật liệu FGM có chiều dài , chiều rộng
và chiều dày được tạo thành từ hai lớp vật liệu biến đổi chức năng FGM và đối
xứng qua mặt giữa (quy luật Sigmoid). Xét hai mô hình phân bố vật liệu
Mô hình phân bố vật liệu I: Bề mặt trên và dưới của tấm giàu ceramic và
mặt giữa là kim loại thuần túy được chỉ ra trong hình 2.17.
Mô hình phân bố vật liệu II: Bề mặt trên và dưới của tấm giàu kim loại và
mặt giữa là ceramic thuần túy được chỉ ra trong hình 2.18.
Hình 2.17. Tấm S-FGM trên nền đàn hồi Hình 2.18. Tấm S-FGM trên nền đàn
(Mô hình I). hồi (Mô hình II).
Giả thiết tính chất vật liệu không phụ thuộc vào nhiệt độ, thay đổi liên tục
theo hướng chiều dày và được tạo thành từ hỗn hợp của ceramic và kim loại với tỷ
phần thể tích biến đổi theo quy luật hàm Sigmoid được cho trong biểu thức (1.2).
Từ các công thức (1.2) và (1.5), các tính chất vật liệu hiệu dụng của tấm S-FGM
theo mô hình I được viết tương ứng như sau
39
(2.39)
, trong đó và hệ số Poisson là hằng số.
Tương tự, các tính chất vật liệu hiệu dụng của tấm S-FGM theo mô hình II
được viết tương ứng như sau
(2.40)
, trong đó và hệ số Poisson là hằng số.
2.3.2. Các phương trình cơ bản
Trong mục này lý thuyết tấm cổ điển được sử dụng, các hệ thức liên hệ giữa
biến dạng của tấm được chỉ ra trong các biểu thức (2.4) và (2.5).
Định luật Hooke của một tấm FGM được xác định bởi
(2.41)
Các thành phần lực dãn và mô men trong tấm có thể được tính qua các thành
phần ứng suất
(2.42)
Đặt các hệ thức (2.4), (2.41) vào (2.42) cho ta các liên hệ sau đây của các
thành phần lực giãn và mô men
40
(2.43)
trong đó
Mô hình I:
Mô hình II:
Các thành phần lực dãn có thể được biểu diễn như bên dưới từ phương trình
(2.43)
(2.44)
Hệ phương trình chuyển động cho tấm mỏng FGM sử dụng lý thuyết tấm cổ
điển được cho bởi [90]
(2.45)
trong đó
là áp lực ngoài biến đổi điều hòa theo thời gian,
và
Mô hình I:
Mô hình II:
41
Thay các biểu thức (2.44) vào các biểu thức ở (2.43), sau đó
thay kết quả nhận được vào phương trình (2.45), thu được
(2.46)
trong đó
Giả thiết Volmir được sử dụng trong phân tích động lực [145]: Bằng việc
cho các quán tính bậc hai và bởi vì . Đặt
(2.15) vào (2.46) ta được
(2.47)
trong đó là hàm ứng suất và được định nghĩa trong (2.15).
Phương trình (2.47) chứa hai hàm phụ thuộc và , vì vậy phải tìm
phương trình thứ hai liên hệ hai hàm này cho nên ta có thể sử dụng phương trình
tương thích biến dạng (2.18). Phương trình tương thích biến dạng (2.18) cho tấm
mỏng S-FGM được viết lại sau khi xét đến yếu tố không hoàn hảo ban đầu
(2.48)
Đặt phương trình (2.44) và (2.15) vào (2.48) ta thu được phương trình
tương thích biến dạng của tấm mỏng S-FGM không hoàn hảo như sau
42
(2.49)
Đối với tấm mỏng S-FGM không hoàn hảo, phương trình (2.47) có thể
được viết lại dưới dạng sau
(2.50)
Hai phương trình (2.49) và (2.50) được sử dụng để phân tích động lực học
của tấm mỏng S-FGM không hoàn hảo trên nền đàn hồi. Để giải phương trình
(2.49) và (2.50) ta sử dụng điều kiện biên tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và có
thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm, tương ứng điều kiện biên (2.23).
2.3.3. Phương pháp giải
Để giải phương trình (2.49) và (2.50), dạng nghiệm xấp xỉ thỏa mãn điều
kiện biên (2.23) được chọn như sau [4]
(2.51)
trong đó , là các số tự nhiên biểu diễn số nửa sóng trong
các hướng tương ứng; là biên độ của độ võng và phụ thuộc vào thời
gian; , giá trị để chỉ cỡ không hoàn hảo của tấm.
Thay dạng nghiệm (2.51) vào (2.49) và (2.50), sau đó áp dụng phương pháp
Galerkin, cụ thể nhân vào hai vế của hai phương trình này với và
lấy tích phân trên miền , nhận được
43
(2.52)
(2.53)
Phương trình (2.52) và (2.53) có thể đơn giản hóa như sau
(2.54)
trong đó
Phương trình (2.54) được viết như sau
(2.55)
Tần số dao động tự do tuyến tính của tấm mỏng S-FGM được rút ra từ
phương trình (2.55) nhận được là
44
2.56)
trong đó
(2.57)
Tần số dao động cơ bản của tấm mỏng S-FGM được xác định là
với giá trị tương ứng của cặp (do được biểu diễn qua
các hệ số có giá trị phụ thuộc vào giá trị của ).
Phương trình (2.55) là phương trình chủ đạo để phân tích động lực của tấm
S-FGM với các điều kiện đầu là . Việc giải số phương trình
này được tiến hành theo phương pháp số Runge-Kutta bậc 4 và được lập trình tính
toán trên phần mềm Matlab.
2.3.4. Kết quả tính toán số và thảo luận
Xét một tấm mỏng S-FGM không hoàn hảo có các thông số hình học:
, . Vật liệu thành phần bao gồm Aluminum
( , ) và Alumina ( ,
). Hệ số được chọn bằng . Chịu áp lực ngoài
( và tương ứng là biên độ và tần số của áp lực ngoài).
2.3.4.1. Ảnh hưởng của mô hình phân bố vật liệu đến đáp ứng động lực
45
Bảng 2.2 thể hiện ảnh hưởng của tỷ lệ và hệ số nền đàn hồi tới tần số
dao động cơ bản của tấm S-FGM trong hai trường hợp mô hình phân bố vật liệu I
và mô hình phân bố vật liệu II. Như quan sát được trong bảng, các hệ số nền ảnh
hưởng lớn tới tần số dao động cơ bản của tấm, giá trị này tăng lên khi hệ số nền
và tăng và ảnh hưởng của hệ số lớn hơn so với hệ số . Bảng 2.2 cũng chỉ
ra ảnh tưởng của tỷ lệ đến giá trị tần số dao động cơ bản của tấm, cụ thể giá
trị này giảm khi tỷ lệ tăng lên, điều này dễ hiểu bởi vì khi tăng làm cho
tấm mỏng đi dẫn đến khả năng chịu tải động kém đi. Trong trường hợp tính chất vật
liệu của tấm phân bố theo mô hình I (ceramic – kim loại – ceramic) có tần số dao
động cơ bản lớn hơn so trường hợp tính chất vật liệu của tấm phân bố theo mô hình
II (kim loại – ceramic – kim loại).
Bảng 2.2. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi và tỷ lệ đến tần số dao động cơ
bản của tấm S-FGM trong hai trường hợp mô hình phân bố vật liệu I
và II với
Mô hình I: Mô hình II:
ceramic-kim loại-ceramic kim loại-ceramic-kim loại
0;0 1439,7 1005,4
100;0 1613,9 1127,1 40 100;10 1911,7 1335,1
50;20 2106,8 1471,3
0;0 1152,0 804,5
100;0 1291,4 901,8 50 100;10 1529,7 1068,2
50;20 1685,8 1177,2
0;0 823,0 574,7
100;0 922,6 644,2 70 100;10 1.092,8 763,1
50;20 1204,4 841,0
46
Hình 2.19. So sánh đường cong thời gian - độ võng của tấm mỏng S-FGM trong hai
trường hợp: Mô hình I và mô hình II.
Hình 2.19 thể hiện ảnh hưởng của sự phân bố thành phần ceramic và kim loại
tới đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM. Như quan sát được trong
hình, tấm FGM theo mô hình I (ceramic – kim loại – ceramic) có biên độ dao động nhỏ
hơn so với mô hình II (kim loại – ceramic – kim loại), cho thấy khả năng chịu tải trọng
động của tấm mỏng S-FGM theo mô hình I tốt hơn đáng kể so với mô hình II.
2.3.4.2. Phân tích động lực học của tấm S-FGM (sử dụng mô hình I)
Bảng 2.3 thể hiện ảnh hưởng của tỷ lệ và hệ số tỷ lệ thể tích tới tần số
dao động tự do tuyến tính của tấm S-FGM theo mô hình I. Như quan sát được trong
bảng, hệ số tỷ lệ thể tích ảnh hưởng tới tần số dao động tự do tuyến tính của tấm,
giá trị này tăng lên khi hệ số tỷ lệ thể tích tăng. Bảng 2.3 cũng chỉ ra ảnh tưởng của
tỷ lệ đến tần số dao động tự do tuyến tính của tấm, cụ thể giá trị này giảm khi
tăng tỷ lệ .
47
Bảng 2.3. Ảnh hưởng của tỷ lệ và hệ số tỷ lệ thể tích đến tần số dao động tự
do tuyến tính của tấm S-FGM (mô hình I: ceramic – kim loại –
ceramic) với
Mode
1
1.5
0.2 1 5 0.2 1 5 0.2 1 5
888,9 1152 1215,2 786,3 1019,1 1074,9 785,8 1018,4 1074,2
4438,4 5751,7 6067,4 5134,4 6653,7 7018,9 5806,8 7525,1 7938,1
7978,2 10338 10906 7063,1 9152,9 9655,4 7060 9148,9 9651,1
15029 19473 20545 15713 20360 21480 17054 22098 23313
15029 19473 20545 10913 14142 14919 9563,6 12393 13074
22041 28556 30131 19542 25321 26715 19544 25324 26717
2
Hình 2.20 thể hiện đường cong thời gian – độ võng của tấm S-FGM khi tần
số của lực cưỡng bức tiến sát tới tần số dao động tự do tuyến tính của tấm (bảng
2.3). Như quan sát được, hiện tượng phách điều hòa xuất hiện, trong đó biên độ của
phách và chiều dài phách tăng nhanh khi tần số của lực cưỡng bức tiến sát tần số
dao động tự do tuyến tính của tấm.
Hình 2.20. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng Hình 2.21. Đường cong thời gian – độ
bức tới hiện tượng phách điều hòa của tấm võng của tấm mỏng S-FGM với các
S-FGM. biên độ tải trọng khác nhau.
48
Hình 2.21 chỉ ra ảnh hưởng của biên độ áp lực ngoài lên đường cong thời gian –
độ võng của tấm mỏng S-FGM trong trường hợp và
. Từ hình vẽ có thể thấy rằng biên độ dao động của tấm tăng khi tăng
biên độ của áp lực ngoài.
Hình 2.22. Quan hệ độ võng – vận tốc của tấm S-FGM.
Hình 2.23. Đường cong thời gian – độ võng của tấm S-FGM với các giá trị khác nhau của hệ số tỷ lệ thể tích Đường cong độ võng – vận tốc có dạng khép kín nằm trong một vòng tròn giới
nội như hình 2.22. Độ võng và vận tốc bằng không tại thời điểm bắt đầu và kết thúc của
phách và đường tròn giới nội tương ứng với thời điểm phách đạt biên độ lớn nhất.
Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong thời gian – độ võng của
tấm mỏng FGM được chỉ ra trong hình 2.23. Từ hình vẽ có thể thấy rằng khi tăng
hệ số tỷ lệ thể tích làm cho biên độ dao động tăng.
Hình 2.24. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM. Hình 2.25. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM.
49
Hình 2.24 thể hiện ảnh hưởng của tính không hoàn hảo
( ) lên đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM. Từ
hình vẽ ta thấy rằng khi tăng ảnh hưởng của tính không hoàn hảo làm cho biên độ dao
động của tấm mỏng S-FGM tăng.
Hình 2.25 thể hiện ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong thời gian
– độ võng của tấm mỏng S-FGM. Ta thấy rất rõ biên độ dao động giảm khi tăng hệ số
nền , hay hệ số nền làm tăng khả năng chịu tải trọng động của tấm. Hơn nữa,
ta thấy được ảnh hưởng của hệ số nền lớn hơn hệ số nền
Hình 2.26. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ Hình 2.27. Ảnh hưởng của hệ số tỷ
lên đường cong thời gian – độ võng lệ lên đường cong thời gian –
của tấm mỏng S-FGM. độ võng của tấm mỏng S-FGM.
Hình 2.26 và hình 2.27 thể hiện ảnh hưởng của các tham số hình học đến
đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM. Hình 2.26 thể hiện ảnh
hưởng của hệ số tỷ lệ lên đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-
FGM với . Hình 2.26 thể hiện ảnh hưởng của hệ số tỷ
lệ đến đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM với áp lực
ngoài và . Từ hình vẽ ta thấy rằng khi tăng tỷ lệ
làm cho biên độ dao động của tấm tăng hay làm cho khả năng chịu tải
động của tấm kém đi.
50
2.4. Kết luận chƣơng 2
Trong chương này, luận án đã giải quyết một số vấn đề sau
1. Thiết lập được phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích phi tuyến tĩnh
của tấm mỏng ES-FGM, trong đó hệ số Poisson là hàm của tọa độ theo hướng
chiều dày của tấm.
2. Thiết lập được phương trình chủ đạo để xác định đường cong thời gian –
độ võng, tần số dao động tự do tuyến tính và tần số dao động cơ bản cho bài toán
động lực học của tấm mỏng S-FGM.
3. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến sự ổn định tĩnh phi
tuyến và động lực học của tấm mỏng FGM.
Một số kết luận đáng chú ý được rút ra từ các kết quả khảo sát như
1. Kết quả tính toán chỉ ra không có sự khác nhau nhiều giữa đường cong độ
võng – tải trọng trong trường hợp hệ số Poisson là hằng số và hệ số Poisson là hàm
của tọa độ theo hướng chiều dày. Từ đó rút ra kết luận, trong tính toán để đơn
giản có thể chọn hệ số Poisson là hằng số.
2. Hiệu quả gia cường của gân là rõ rệt trong các kết quả khảo sát bài toán
phân tích phi tuyến tĩnh, cụ thể gân gia cường làm tăng giá trị tải tới hạn và đường
cong độ võng – tải trọng sau tới hạn cao hơn.
3. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu có ảnh hưởng rất rõ rệt
đến khả năng chịu tải tĩnh của tấm mỏng ES-FGM. Các tải tới hạn và khả năng
mang tải sau khi tấm bị vồng đều giảm rõ rệt do các tính chất vật liệu bị ảnh hưởng
tiêu cực bởi nhiệt độ. Vì thế, trong tính toán các kết cấu FGM làm việc trong môi
trường nhiệt độ cao cần phải xét đến ảnh hưởng nhiệt độ của các tính chất vật liệu
để tính toán, thiết kế được chính xác và đáng tin cậy.
4. Hiện tượng phách điều hòa xuất hiện khi tần số dao động lực cưỡng bức
tiến sát tới tần số dao động cơ bản của tấm. Đối với trường hợp tấm phân bố theo
mô hình I (ceramic – kim loại – ceramic) có tần số dao động cơ bản lớn hơn và
biên độ dao động nhỏ hơn với so tấm phân bố theo mô hình II (kim loại – ceramic
– kim loại).
51
5. Các yếu tố nhiệt, gân, nền đàn hồi, tham số hình học, tính chất vật liệu có
ảnh hưởng đáng kể đến khả năng mang tải của tấm ES-FGM chịu tải cơ, nhiệt và cơ
– nhiệt kết hợp. Ảnh hưởng tham số nền đàn hồi, hình học vật liệu và tính không
hoàn hảo đến đường cong thời gian – độ võng và tần số dao động cơ bản của tấm
mỏng S-FGM được chỉ ra.
Kết quả chính của chương 2 đã được công bố trên 02 tạp chí ISI, bài số [1, 2]
trong danh mục đã công bố của tác giả luận án.
52
CHƢƠNG 3
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES - FGM SỬ DỤNG
LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC NHẤT
Lý thuyết tấm cổ điển được sử dụng trong chương 2 chỉ phù hợp với tấm
mỏng, khi chiều dày tấm tăng lên thì lý thuyết này không còn thích hợp (bỏ qua
biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến). Để khắc phục những hạn chế của lý
thuyết tấm mỏng, cần thiết phải có những điều chỉnh thích hợp, sự không phù hợp
là do ảnh hưởng của lực cắt. Hiện nay có nhiều lý thuyết tính toán tấm dày (có kể
đến biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến) được phát triển, trong chương này
lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của Reddy được sử dụng để tính toán cho các
tấm dày FGM.
3.1. Đặt vấn đề
Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày FGM không gân và không có nền đã
được nghiên cứu trong luận án của tác giả Hoàng Văn Tùng [11] dựa trên lý thuyết
tấm biến dạng trượt bậc nhất, sử dụng phương pháp Galerkin và quy luật phân bố
vật liệu theo hàm Sigmoid và tác giả cũng đã xem xét đến tính chất của vật liệu T-
D. Bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của tấm ES-FGM bằng phương pháp giải tích sử
dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và phương pháp hàm ứng suất đã được
nghiên cứu trong [60, 61]. Trong [60, 61], các tác giả đã sử dụng gân làm bằng vật
liệu FGM và tính chất vật liệu thành phần của gân và FGM không phụ thuộc vào
nhiệt độ. Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp hàm ứng suất để phân tích
động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện chưa được nghiên cứu.
Sử dụng FSDT và phương pháp giải tích, trong chương này luận án nghiên
cứu hai bài toán
Bài toán 1: Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM không hoàn hảo
trên nền đàn hồi, xét 3 loại tải trọng: tải nén cơ, tải nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp.
Bài toán 2: Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện trên nền
đàn hồi, xét 2 loại tải trọng: tải nén cơ và tải nhiệt.
Giả thiết đƣợc sử dụng trong chƣơng này: Tấm được sử dụng là tấm dày.
Các giả thiết về gân gia cường lệch tâm và nền đàn hồi được sử dụng trong mục 2.1
chương 2.
53
3.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi
3.2.1. Tấm dày ES-FGM và các phương trình cơ bản
Xét tấm dày chữ nhật FGM có chiều dài , chiều rộng và chiều dày
được đặt trên nền đàn hồi, hình dáng và tọa độ của tấm dày ES-FGM và tham số
hình học của gân tương tự mô hình trong hình 2.2 và 2.3. Các tính chất hiệu dụng
của tấm FGM được sử dụng trong mục này tuân theo quy tắc lũy thừa (P-FGM),
được xác định trong biểu thức (2.2) và hệ số Poisson được chọn bằng hằng số.
Lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc nhất được sử dụng để đưa ra các phương
trình cân bằng và tương thích biến dạng cũng như xây dựng biểu thức giải tích hiển
xác định tải tới hạn và đường cong biểu diễn quan hệ độ võng – tải trọng trong giai
đoạn sau tới hạn của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi trong trường nhiệt độ.
Các thành phần biến dạng của tấm ở một điểm cách mặt giữa một khoảng
xác định như sau [90]
(3.1)
trong đó
(3.2)
trong đó là các thành phần biến dạng pháp tuyến và là biến dạng trượt ở
mặt giữa của tấm, và là các thành phần biến dạng trượt ngang trong các mặt
phẳng và tương ứng. Trong khi đó là các thành phần chuyển vị
mặt giữa tương ứng theo các hướng tọa độ và là các góc quay của
pháp tuyến mặt giữa đối với các trục và tương ứng.
54
Định luật Hooke cho một tấm trong đó có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ
được xác định như sau
(3.3)
và của gân có tính đến nhiệt độ được cho bởi phương trình (2.7) trong mục 2.2.2,
trường hợp tấm dày có kể đến ứng suất trượt của gân như sau
(3.4)
trong đó là mô đun trượt của gân theo hướng và của tấm.
Các thành phần lực giãn và mô men có thể được tính qua các thành phần ứng
suất và được viết dưới dạng như sau
(3.5)
trong đó là hệ số hiệu chỉnh cắt và được chọn bằng
Đặt các phương trình (3.1) vào (3.3), sau đó thay kết quả nhận được vào (3.5), nhận được
55
(3.6)
trong đó
(3.7)
và các hệ số trong (3.6) được xác định trong phụ lục B.
Trong khuôn khổ lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và giả thiết trường
nhiệt độ tăng đều ( không phụ thuộc vào tọa độ tấm), các phương trình cân bằng
của tấm phẳng (hoàn hảo) chữ nhật trên nền đàn hồi được viết dưới dạng hàm độ
võng và các thành phần lực giãn và mô men như sau [90]
(3.8)
56
Từ (3.6) các thành phần biến dạng màng có thể được biểu diễn như sau
(3.9)
các hệ số trong phương trình (3.9) được xác định như trong phụ lục B. Đặt phương trình (3.2) vào phương trình (3.6) sau đó được kết quả thay vào ba phương trình cuối của hệ (3.8), thu được
(3.10)
các hệ số được xác định như trong phụ lục B, là hàm ứng suất được chọn thỏa
mãn hai phương trình đầu của (3.8) và có dạng (2.15).
57
Đối với tấm không hoàn hảo hệ phương trình cân bằng (3.10) có thể được
biến đổi có dạng như sau ( được thay bằng và bỏ qua số hạng bậc hai
của do rất nhỏ), hệ phương trình cân bằng (3.10) được viết lại như sau
(3.11)
trong đó
Để giải ta sử dụng thêm phương trình tương thích biến dạng, đặt (3.9) vào
phương trình tương thích (2.20) trong đó có kể đến hàm ứng suất (2.15), nhận được
(3.12)
Phương trình (3.11) và (3.12) là các phương trình phi tuyến đối với các hàm
và và được sử dụng để phân tích phi tuyến tĩnh của các tấm dày ES-
FGM, xét 3 loại tải trọng: tải cơ, nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp.
58
3.2.2. Phương pháp giải 3.2.2.1. Các điều kiện biên và dạng nghiệm
Xét tấm chữ nhật dày ES-FGM không hoàn hảo chịu tác dụng của tải nén cơ,
tải nhiệt và tải cơ-nhiệt đồng thời với ba loại điều kiện biên sau [90]
Trƣờng hợp 1. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và có thể tự do dịch chuyển (freely movable – FM) trong mặt phẳng tấm. Đây là trường hợp các cạnh
tựa tự do và các điều kiện biên tương ứng là
(3.13)
Trƣờng hợp 2. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và không thể dịch chuyển
(immovable – IM) trong mặt phẳng tấm. Đây là trường hợp các cạnh tựa cố định và
các điều kiện biên tương ứng là
(3.14)
Trƣờng hợp 3. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề. Hai cạnh có thể
tự do dịch chuyển và hai cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm. Trong
trường hợp này các điều kiện biên tương ứng là
tại và (3.15) tại và
trong đó là các lực tác dụng trên các cạnh của tấm trong trường hợp các
cạnh đó có thể tự do dịch chuyển và là phản lực trên các cạnh tấm trong trường hợp
các cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng.
Để giải các phương trình (3.11) và (3.12) với các ẩn là , và thỏa và
mãn các điều kiện biên từ (3.13) – (3.15), giả sử các nghiệm xấp xỉ được chọn [120]
(3.16)
trong đó , là số nửa sóng theo các phương tương ứng, và
59
là biên độ của độ võng. Trong khi đó, và là các hệ số
cần xác định.
Sau khi thay các hệ thức (3.16) vào hai phương trình cuối của (3.11) và
phương trình (3.12), các hệ số và được xác định
(3.17)
và trong đó các hệ số được xác định như trong phụ lục B.
Đặt các phương trình (3.16) vào phương trình thứ nhất của (3.11) và áp dụng
phương pháp Galerkin cho phương trình kết quả, nhận được
(3.18)
Phương trình (3.18) là phương trình cơ bản đi xác định tải tới hạn và đường
cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của tấm dày ES-FGM trong môi trường nhiệt
độ. Điểm đáng chú ý là các hệ số trong phương trình (3.18) phụ thuộc vào nhiệt độ,
điều này được thể hiện trong các hệ số được xác
định như trong phụ lục B.
3.2.2.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm ES-FGM chịu nén
Xét tấm chữ nhật ES-FGM tựa tự do trên bốn cạnh (điều kiện biên 3.13) chịu
các tải nén đều and (Pascal), lần lượt trên các cạnh . và
60
Trong trường hợp này các lực nén được xác định trong (2.29).
Đặt (2.29) vào (3.18), ta được
(3.19)
trong đó các hệ số được xác định như trong phụ lục B.
Đối với tấm dày ES-FGM hoàn hảo, phương trình (3.19) dẫn đến phương
trình mà từ đó các tải nén làm cho tấm vồng lên có thể thu bằng cách lấy giới hạn
của hàm khi , ta được
3.2.2.3. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM chịu tải nhiệt
Xét tấm chữ nhật ES-FGM với tất cả các cạnh tựa cố định (điều kiện 3.14),
chịu tác dụng của tải nhiệt. Điều kiện để các cạnh của tấm không thể dịch chuyển
trong mặt phẳng tấm, nghĩa là (trên ) và (trên ), được
thỏa mãn theo nghĩa trung bình như biểu thức (2.31).
Đặt phương trình (3.2) và (2.15) vào phương trình (3.9), ta thu được
(3.20)
Thay các phương trình (3.16) và (3.17) vào (3.20) sau đó thay kết quả nhận
được vào phương trình (2.31), nhận được
(3.21)
61
Từ phương trình (3.7), chúng ta có
(3.22)
trong đó
Đặt phương trình (3.21) vào phương trình (3.18), ta được
(3.23)
trong đó các hệ số được xác định như trong phụ lục B.
Khi , phương trình (3.23) dẫn về phương trình mà nhiệt độ tại điểm rẽ
nhánh làm tấm vồng lên có thể thu được bằng cách lấy giới hạn đạo hàm
, ta được
khi Trường hợp các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, cả hai vế của phương
trình (3.23) đều phụ thuộc vào nhiệt độ, khi đó một thuật toán lặp được sử dụng để xác
định tải tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng của tấm trong giai đoạn sau tới hạn
của tấm hoàn hảo và không hoàn hảo, thuật toán lặp được trình bày trong mục 2.2.3.3.
3.2.2.4. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM chịu tải cơ – nhiệt kết hợp
Xét tấm dày chữ nhật ES-FGM tựa tự do trên hai cạnh
định trên hai cạnh và tựa cố (điều kiện biên (3.15)) chịu đồng thời của tải nén đều
trên hai cạnh
và được đặt trong trường nhiệt độ tăng đều. Thực hiện một số phép biến đổi phương trình thứ hai của (3.20) để thu được
biểu thức xác định . Sau đó thay biểu thức vừa tìm được và
vào phương trình (3.18), nhận được
62
(3.24)
và các hệ số được xác định như trong phụ lục B.
Phương trình (3.24) là biểu thức hiển được sử dụng để xác định sự phụ
thuộc phi tuyến của tải nén và độ võng tấm khi cho trước nhiệt độ , hoặc
ngược lại là sự phụ thuộc phi tuyến của nhiệt độ môi trường vào độ võng tấm khi
cho trước tải nén cạnh vì từ phương trình (3.24) ta có thể dễ dàng biểu diễn ngược
lại như là hàm của và .
3.2.3. Kết quả tính toán số và thảo luận
3.2.3.1. Nghiên cứu so sánh
Để kiểm tra độ tin cậy của cách tiếp cận được sử dụng trong luận án, phần
này sẽ trình bày ba nghiên cứu so sánh với các kết của của các tác giả khác.
Hình 3.1 trình bày sự so sánh đường cong độ võng – nhiệt độ trong giai đoạn
sau tới hạn do nhiệt của tấm đồng nhất với kết quả của Shen [108] cho cả
trường hợp tấm hoàn hảo và trường hợp tấm không hoàn hảo .
Trong [108] tác giả đã sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc 1 và phương pháp khai
triển tiệm cận theo tham số bé các hàm độ võng và ứng suất trong đó kể đến tính
chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ.
Hình 3.1. So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn
của tấm đồng nhất.
63
Xét trường hợp tấm FGM không gân gia cường, điều kiện tương
ứng: và các thông số vật liệu ,
, và hệ số Poisson . So sánh kết quả số của tấm dày FGM
không gân với tài liệu [46]. Trong [46], tác giả Nguyễn Đình Đức và Hoàng Văn
Tùng sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc cao của Reddy, phương pháp hàm
ứng suất và phương pháp Galerkin để xác định biểu thức giải tích đi nghiên cứu ổn
định tĩnh của tấm FGM trên nền đàn hồi chịu tải cơ, nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp
(tính chất T-ID). Kết quả so sánh được chỉ ra trong Hình 3.2.
Hình 3.2. So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn
của tấm dày FGM không gân.
Bảng 3.1. So sánh ứng xử tới hạn nhiệt cho tấm dày S-FGM (tính chất T-
D, ) và
T-ID
Tài liệu [142] 313.7 351.1 378.0 205.6
1.0 Tài liệu [108] 315.1 352.6 388.8 206.8
Luận án 313.5 350.8 386.7 203.9
2.0 Tài liệu [142] 197.0 220.5 243.0 129.1
64
Tài liệu [108] 129.9 198.1 221.7 244.4
Luận án 128.9 196.8 220.3 242.8
T-D
Tài liệu [142] 182.4 265.3 292.0 316.1
1.0 Tài liệu [108] 184.6 268.2 295.1 319.5
Luận án 182.4 266.3 293.3 317.6
Tài liệu [142] 118.9 174.9 193.3 210.4
2.0 Tài liệu [108] 120.4 176.9 195.6 212.9
Luận án 119.7 176.1 194.7 211.9
Bảng 3.1 chỉ ra ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích và tỷ lệ lên ứng xử tới
hạn do nhiệt của tấm dày S-FGM và kết quả của luận án được so sánh với kết quả
của Shen [108] và nghiên cứu của Nguyễn Đình Đức và Hoàng Văn Tùng [142].
Trong [142], tác giả Nguyễn Đình Đức và Hoàng Văn Tùng sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất và có xét đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D).
Từ những kết quả so sánh ở trên có thể thấy rằng có một sự phù hợp giữa
kết quả của luận án và kết quả đã được công bố trong các tài liệu [46, 108, 142].
3.2.3.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM
Phần tiếp theo, luận án sẽ phân tích ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến tải
tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của tấm dày ES-FGM trên nền đàn
hồi. Xét tấm ES-FGM có các tham số hình học của tấm và gân
Các hệ số phụ thuộc
nhiệt độ của vật liệu thành phần được cho trong bảng 2.1.
Bảng 3.2. Ứng xử tới hạn do tải nén và nhiệt độ của tấm dày FGM trong hai trường
hợp T-ID và T-D
T-ID T-D Không có gân Có gân 2935.2 2935.2 2296.4 2296.4 Không có gân 272.8 235.7 Có gân 348.7 293.4
65
Hình 3.3. Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày FGM. Hình 3.4. Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày FGM. Hình 3.3 và 3.4 thể hiện ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ
võng – tải trọng sau tới hạn của tấm dày FGM chịu tải nén (hình 3.3) và tải nhiệt độ
(hình 3.4). Bảng 3.2 thể hiện giá trị khác nhau của tải nén và tải nhiệt của tấm FGM
có và không có gân gia cường, trong trường hợp tấm FGM không gân gia cường, ta
thấy trong trường hợp tấm ES-FGM và
, như vậy có sự khác nhau giữa hai trường hợp
khoảng 27.8% (trường hợp chịu tải nén) và 19.7% (trường hợp chịu tải nhiệt độ).
Do vậy, có thể thấy được ảnh hưởng tích cực của gân gia cường đến ổn định cơ và
nhiệt của tấm dày FGM, cụ thể sự có mặt của gân gia cường làm tăng đáng kể khả
năng chịu tải cơ và tải nhiệt của tấm dày FGM hoàn hảo và không hoàn hảo.
Hình 3.5 chỉ ra ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất lên
đường cong độ võng – nhiệt độ của tấm dày ES-FGM chịu tải nhiệt. Các đường
cong độ võng – nhiệt độ của tấm hoàn hảo và không hoàn hảo với tính chất T-D
được so sánh với các đường cong khi các tính chất T-ID. Rõ ràng, các tính chất vật
liệu T-D làm cho tấm dày ES-FGM yếu hơn một cách đáng kể dưới tác dụng của tải
nhiệt. Có thể hiểu rằng, ảnh hưởng của nhiệt độ một cách tiêu cực lên tính chất vật
liệu như làm giảm mô đun đàn hồi và tăng hệ số giãn nở nhiệt. Bởi vậy, để kết quả
tính toán được chính xác, trong các bài toán ổn định của kết cấu FGM trong trường
nhiệt độ cần xem xét đến tính chất T-D của vật liệu.
66
Hình 3.5. Ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất hiệu dụng lên
đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM.
Hình 3.6. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể Hình 3.7. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ
tích lên đường cong độ võng – tải nén thể tích lên đường cong độ võng – nhiệt
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM.
Hình 3.6 và hình 3.7 thể hiện ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên ứng xử
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM dưới tác dụng của tải nén và tải nhiệt. Những
đường cong sau tới hạn cho thấy khả năng mang tải của tấm FGM nhận được kém
hơn khi hệ số tỷ lệ thể tích tăng.
67
Hình 3.8 và 3.9 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi đến đường cong độ
võng – tải trọng của tấm dày ES-FGM với tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ. Nền
đàn hồi có ảnh hưởng tích cực tới khả năng mang tải được thể hiện ở đường cong
(1) và (2). Nếu hệ số nền tăng từ tới thì khả
năng mang tải sẽ tăng. Hơn nữa, nền đàn hồi Pasternak có ảnh hưởng mạnh
hơn nền Winkler , điều được thể hiện bởi đường cong (3) với
và đường cong (4) với .
Hình 3.8. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi Hình 3.9. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn
lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
của tấm dày ES-FGM. tới hạn của tấm dày ES-FGM.
Hình 3.10 và hình 3.11 chỉ ra ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên
trạng thái tới hạn và sau tới hạn của tấm dày ES-FGM dưới tác dụng của tải nén
và tải nhiệt. Hình này chỉ ra rằng khi độ võng còn nhỏ khả năng mang tải nén của
tấm giảm khi tăng các giá trị của . Tuy nhiên, một xu hướng biến đổi ngược lại
diễn ra khi độ võng đủ lớn, tức là khi độ võng lớn các đường cân bằng độ võng –
tải trọng sau tới hạn trở nên cao hơn (khả năng mang tải của tấm tốt hơn) với các
giá trị lớn hơn.
68
Hình 3.10. Ảnh hưởng của tính không hoàn Hình 3.11. Ảnh hưởng của tính không
hảo lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hoàn hảo lên đường cong độ võng –
hạn của tấm dày ES-FGM. nhiệt độ của tấm ES-FGM.
Hình 3.12. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ Hình 3.13. Ảnh hưởng của của lực nén
lên đường cong độ võng – tải nén sau tới lên đường cong độ võng – nhiệt độ
hạn của tấm dày ES-FGM. sau tới hạn của tấm dày ES-FGM với
tính chất vật liệu T-ID và TD.
Hình 3.12 chỉ ra ảnh hưởng của trường nhiệt độ khác nhau lên đáp ứng phi
tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM dưới tác dụng của tải nén. Có thể thấy rằng, nhiệt
độ làm cho khả năng mang tải của cả tấm hoàn hảo và không hoàn hảo kém đi.
Thêm vào đó, khi nhiệt độ thay đổi ( ), tấm không hoàn hảo võng ngay cả khi
69
chưa tác dụng tải nén, điều này được thể hiện ở giao điểm giữa đường nét đứt
(đường không hoàn hảo) và trục tung trên hình 3.12.
Hình 3.13 thể hiện một đáp ứng tương tự khi tấm chịu đồng thời trường nhiệt
độ tăng đều và tải nén cơ học. Sự nén trên các cạnh làm khả năng mang tải nhiệt của
tấm hoàn hảo và không hoàn hảo giảm xuống một cách đáng kể. Nói chung, sự có
mặt của trường nhiệt độ (tải nén) làm cho khả năng mang tải nén (nhiệt độ) của các
tấm dày ES-FGM giảm rõ rệt như được mong đợi.
Hình 3.15. Ảnh hưởng của điều kiện Hình 3.14. Ảnh hưởng của tỉ số
biên (FM và IM) lên đường cong độ lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày tới hạn của tấm dày ES-FGM.
ES-FGM.
Hình 3.14 đánh giá ảnh hưởng của tỷ lệ tham số hình học lên trạng
thái tới hạn và đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM
không dịch chuyển dưới tác dụng của tải nhiệt. Trong hình này hai giá trị của tỷ lệ
được xem xét và kết quả được so sánh với nhau giữa tấm hoàn hảo và không
hoàn hảo với việc xem xét tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và độc lập nhiệt
độ. Kết quả thể hiện rằng tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ và việc tăng tỉ số
là hai nhân tố làm giảm khả năng mang tải nhiệt của tấm và làm cho đường
cong sau tới hạn do nhiệt thấp hơn.
70
Hình 3.15 chỉ ra ảnh hưởng của các điều kiện biên (hai cạnh tự do dịch chuyển
FM và hai cạnh cố định IM ) lên khả năng mang tải và đường cong độ
võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM dưới tác dụng của tải nén. Những
đường cong trong trường hợp điều kiện biên FM được vẽ từ phương trình (3.19). Trong
khi, những đường cong trong trường hợp điều kiện biên IM được vẽ từ phương trình
(3.24) trong đó . Điều kiện biên có những ảnh hưởng đáng kể lên khả năng
mang tải và đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Mặc dù
tấm dày ES-FGM hoàn hảo chỉ bị vồng trong trường hợp tải trọng lớn, nhưng khả năng
mang tải của tấm không hoàn hảo trong giai đoạn sau tới hạn cũng như dưới điều kiện
biên hai cạnh cố định IM là tốt hơn tấm hoàn hảo.
3.3. Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi
Việc sử dụng vật liệu thông minh, như các cảm biến và thiết bị dẫn động để điều
khiển các ứng xử cơ học trong hệ thống các kết cấu ngày càng được sử dụng phổ biến.
Một trong những vật liệu thông minh được sử dụng và đáp ứng được là vật liệu áp điện.
Vật liệu áp điện là vật liệu có tính chất khi chịu lực cơ học tác động vào nó thì nó tạo ra
dòng điện và khi áp vào nó một trường điện thì nó bị biến dạng. Kiểu vật liệu áp điện
được nghiên cứu trong mục này là vật liệu áp vào nó một trường điện thì nó biến dạng.
3.3.1. Tấm dày ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi
Xét tấm chữ nhật ES-FGM áp điện với chiều dài , chiều rộng , và chiều
dày trên nền đàn hồi. Một mặt của tấm được gia cường bằng hệ thống các gân
dọc và ngang tương ứng theo phương và và mặt kia được gắn một lớp áp điện
có chiều dày . Mô hình tấm ES-FGM áp điện và các tham số hình học của gân
được chỉ ra trong hình 3.16.
Hình 3.16. Mô hình tấm ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi.
71
3.3.2. Các phương trình cơ bản
Trong khuôn khổ lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất các phương trình chuyển
động phi tuyến của tấm phẳng (hoàn hảo) chữ nhật trên nền đàn hồi, có dạng như
sau [90]
(3.25)
trong đó
Chọn hàm ứng suất có dạng (2.15). Đặt (2.15) vào hai phương
trình đầu của (3.25), nhận được
(3.26)
Định luật Hooke cho tấm FGM áp điện dưới tác dụng của nhiệt độ được định
nghĩa như sau [81]
(3.27)
72
trong đó
Độ cứng của lớp áp điện có thể biểu diễn theo các hằng số
điện môi .
Độ cứng đàn hồi của lớp áp điện là [81]
(3.28)
trong đó công thức của lớp áp điện có dạng tương tự như của lớp FGM, chỉ thay
các mô đun đàn hồi và hệ số Poisson của lớp áp điện.
Chỉ có thành phần điện trường chiếm ưu thế trong vỏ vật liệu áp điện. Nếu
điện áp chỉ tác dụng lên các lớp áp điện theo hướng chiều dày thì [81, 109]
(3.29)
trong đó là điện áp đặt vào lớp áp điện.
Các thành phần lực giãn và mô men có thể được tính qua các thành phần ứng
suất và được viết dưới dạng như sau
(3.30)
trong đó là số lớp áp điện, là hệ số điều chỉnh cắt ( ), chỉ số trên M, T,
E, S tương ứng thể hiện các thành phần của vật liệu FGM, nhiệt độ, lớp áp điện và
gân gia cường. Đặt phương trình (3.27) vào (3.30), nhận được
73
(3.31)
Đặt phương trình (3.1) vào phương trình (3.31), nhận được
(3.32)
74
trong đó được xác định trong phụ lục D, và
(3.33)
Từ phương trình (3.32) các thành phần biến dạng màng có thể được biểu diễn
như sau
(3.34)
ở đây
Thay phương trình (3.34) vào phương trình (3.32) sau đó thay kết quả nhận
được vào ba phương trình đầu của (3.25). Sau một số phép biến đổi ta nhận được
75
(3.35)
trong đó các hệ số và được xác định như trong
phụ lục D.
Trong trường hợp tấm ES-FGM áp điện không hoàn hảo, hệ phương trình
chuyển động (3.35) cho tấm không hoàn hảo có dạng
(3.36)
trong đó
Phương trình tương thích biến dạng cho tấm ES-FGM áp điện không hoàn
hảo được xác định bằng cách thay (3.34) vào (2.20), nhận được
(3.37)
Phương trình (3.36) và (3.37) là hai phương trình phi tuyến phụ thuộc vào bốn
76
hàm và và được sử dụng để phân tích động lực học của tấm ES-FGM áp
điện trên nền đàn hồi trong trường nhiệt độ sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.
3.3.3. Phương pháp giải
Xét hai trường hợp điều kiện biên (3.13) và (3.14). Dạng nghiệm được chọn
để giải phương trình (3.36) và (3.37) và thỏa mãn điều kiên (3.13) và (3.14) được
cho như sau.
(3.38)
Đặt phương trình (3.38) vào phương trình tương thích biến dạng (3.37), thu được dạng nghiệm của hàm ứng suất f
(3.39)
trong đó
Đặt phương trình (3.38) và (3.39) vào hệ phương trình (3.36) sau đó sử dụng phương pháp Galerkin, cụ thể nhân vào hai vế của các phương trình trong (3.36) lần và lấy tích phân trên lượt với
miền , nhận được
77
(3.40)
trong đó là các số lẻ và hệ số được cho trong phụ lục D.
3.3.3.1. Phân tích động lực học của tấm ES-FGM áp điện chịu tải nén
Xét tấm ES-FGM áp điện tựa tự do trên bốn cạnh tương ứng với điều kiện
biên (3.13) chịu các tải nén đều và (Pascal) lần lượt trên các cạnh ,
và . Trong trường hợp này các lực nén được xác định trong (2.29). Đặt
(2.29) vào (3.40), nhận được
(3.41)
Để tìm tần số dao động tự do tuyến tính của tấm ES-FGM áp điện, ta làm
như sau: từ hệ phương trình (3.41), giữ lại phần tuyến tính của và cho
, sau đó giải định thức
(3.42)
Trong các giá trị tìm được của từ định thức trên, giá trị thực dương nhỏ
nhất, kí hiệu là là giá trị cần tìm.
78
Tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM áp điện được xác định là
với giá trị tương ứng của cặp
(do các giá trị của các số
hạng trong định thức (3.42) phụ thuộc vào giá trị của ).
3.3.3.2. Phân tích động lực học của tấm ES-FGM áp điện chịu tải nhiệt
(tại (tại
Xét tấm ES-FGM áp điện với tất cả các cạnh tựa cố định tương ứng với điều kiện biên (3.14) chịu tải nhiệt. Điều kiện của tấm không thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm, nghĩa là ) được thỏa mãn theo ) và nghĩa trung bình theo (2.31).
Từ các phương trình (3.2) và (3.34) trong đó có kể đến hàm ứng suất (2.15),
ta có
(3.43)
Đặt phương trình (3.38) và (3.39) vào phương trình (3.43), sau đó thay kết
quả nhận được vào phương trình (2.31), nhận được
(3.44)
trong đó
(3.45)
và hệ số được thể hiện trong phụ lục D.
Thay phương trình (3.44) vào phương trình (3.40), thu được hệ phương trình vi phân đi phân tích động lực học của tấm ES-FGM áp điện trong trường hợp tất cả các cạnh tựa cố định
79
(3.46)
Nếu tấm dao động tự do tuyến tính, không có ngoại lực và hoàn
hảo, bằng cách bỏ qua các thành phần phi tuyến của trong phương trình
(3.46), tần số dao động tự do tuyến tính của tấm ES-FGM áp điện được xác định khi
giải định thức sau
(3.47)
Trong các giá trị tìm được của từ định thức trên, giá trị thực dương nhỏ
nhất, kí hiệu là là giá trị cần tìm. Tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM áp
điện được xác định là
với giá trị tương ứng của cặp
(do
các giá trị của các số hạng trong định thức (3.47) phụ thuộc vào giá trị của ).
80
3.3.3.3. Quan hệ tần số - biên độ
Trong mục này luận án xem xét trường hợp góc quay tồn tại, nhưng
thành phần quán tính của góc xoay là rất nhỏ và có thể bỏ qua. Khi đó,
bằng cách giải từ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ phương trình (3.46)
sau đó thay vào phương trình thứ nhất của hệ này ta nhận được
(3.48)
trong đó được thể hiện trong phụ lục C.
Phương trình (3.48) được sử dụng để khảo sát đáp ứng động lực phi tuyến
thời gian – độ võng của tấm ES-FGM áp điện chịu tác dụng của áp lực ngoài trong
trường hợp bỏ qua các thành phần quán tính của góc xoay và .
Từ phương trình (3.48), biểu thức hiển của tần số dao động tự do tuyến tính
của tấm ES-FGM áp điện nhận được là
(3.49)
Tương tự như trên, tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM áp điện được
xác định là với giá trị tương ứng của cặp (do các giá trị
của trong định thức (3.49) phụ thuộc vào giá trị của ).
Xét dao động phi tuyến của tấm ES-FGM áp điện dưới tác dụng của tải trọng
điều hòa , phương trình (3.48) có dạng
(3.50)
với
Xác định quan hệ tần số - biên độ dựa trên phương pháp cân bằng điều hòa, sau đó thay vào phương trình (3.50) và áp dụng phương chọn
pháp cân bằng điều hòa [20] , mối quan hệ giữa tần số - biên
độ được xác định như sau
81
(3.51)
Trường hợp , tức là không có ngoại lực tác động lên tấm, ta thu được
mối quan hệ tần số - biên độ trong trường hợp dao động tự do
(3.52)
3.3.4. Kết quả tính toán số và thảo luận
Gân được giả sử làm bằng kim loại, tham số hình học và vật liệu của tấm và
gân được chọn như sau
(3.53)
Đặc tính vật liệu của lớp áp điện G-1195N được sử dụng [146]
3.3.4.1. Nghiên cứu so sánh
Bảng 3.3 trình bày các tính toán tần số dao động cơ bản không thứ nguyên
cho tấm FGM không có gân gia cường gồm hai thành phần aluminum và
alumina. Kết quả trong trường hợp này được so sánh với kết quả trong nghiên cứu của
Tác giả Sh. Hosseini-Hashemi và các cộng sự [66] và Zhao và các cộng sự [153].
Trong các nghiên cứu [66, 153], các tác giả sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc
nhất, thêm vào đó Sh. Hosseini-Hashemi và các cộng sự sử dụng hàm chuyển vị, Zhao
và các cộng sự sử dụng phương pháp Ritz. Từ bảng 3.3, có thể thấy rằng sự khác nhau
giữa kết quả của luận án với các nghiên cứu [66, 153] là không nhiều.
82
Bảng 3.3. So sánh tần số dao động cơ bản không thứ nguyên cho tấm
làm bằng vật liệu và .
0.05
0.1
0.2
Tài liệu [66] Tài liệu [153] Luận án Tài liệu [66] Tài liệu [153] Luận án Tài liệu [66] Tài liệu [153] Luận án 0 0.0148 0.0146 0.0147 0.0577 0.0567 0.0576 0.2112 0.2055 0.2113 0.5 0.0128 0.0124 0.0126 0.0492 0.0482 0.0490 0.1806 0.1757 0.1807 1 0.0115 0.0112 0.0113 0.0445 0.0435 0.0441 0.1650 0.1587 0.1632 4 0.0101 0.0097 0.0102 0.0383 0.0376 0.0382 0.1371 0.1356 0.1400 10 0.0096 0.0093 0.0091 0.0363 0.0359 0.0365 0.1304 0.1284 0.1320
Luận án thực hiện nghiên cứu so sánh tần số dao động cơ bản
của tấm làm bằng Ti-6A1-4V/Al2O3 có lớp áp điện G-1195N phía trên với kết quả là của Xia [146]. Thông và Shen thành phần liệu vật số
của vật liệu aluminum
của Ti–6Al–4V và oxide,
của lớp áp ,
điện G-1195N.
Từ bảng 3.4 chỉ ra sự phù hợp rất tốt của các kết quả thu được theo phương
pháp của luận án với kết quả trong tài liệu Xia và Shen [146].
Bảng 3.4. So sánh tần số dao động cơ bản của tấm FGM áp điện ở
5
(1,1)
(1,2) và (2,1)
(2,2)
(1,3) và (3,1)
Tài liệu [146] Luận án Tài liệu [146] Luận án Tài liệu [146] Luận án Tài liệu [146] Luận án
0 143.03 145.00 358.68 360.80 563.35 565.23 717.26 718.30
0.5 184.33 186.01 460.97 463.05 727.27 731.60 922.58 926.90
1 198.40 199.10 494.58 496.51 778.29 778.11 991.77 995.20
15 243.23 227.58 249.30 230.11 607.57 568.50 618.82 575.03 962.85 898.58 905.35 970.80 1141.47 1223.24 1150.00 1235.80
mặt phía trên,
83
3.3.3.2. Khảo sát tần số dao động tự do tuyến tính Bảng 3.5. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi và mode lên tần số dao động tự
do tuyến tính của tấm dày ES-FGM với
0; 0 2885 0.3; 0 3076 0.3; 0.02 3310 0.0001; 0.04 3363
14075 14116 14375 14591
31575 33545 33828 34091
41101 41115 41414 41699
55925 55935 56257 56569
Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi đến tần số dao động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM được chỉ ra trong bảng 3.5. Giá trị tần số dao động tự do tuyến tính tăng khi tăng giá trị của hệ số nền đàn hồi . Hơn nữa, ảnh hưởng của hệ số nền Pasternak đến tần số dao động tự do tuyến tính lớn hơn hệ số nền Winkler. Bảng 3.5 cho thấy rằng giá trị tần số dao động tự do tuyến tính nhỏ nhất trong trường hợp cặp giá trị mode Bảng 3.6 thể hiện ảnh hưởng của gân gia cường và chiều dày lớp áp điện đến tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM với các giá trị khác nhau của hệ số tỷ lệ thể tích . Như quan sát được trong bảng, gân gia cường làm tăng đáng kể giá trị tần số dao động cơ bản của tấm và khi tăng độ dày của lớp áp điện làm cho tần số dao động cơ bản tăng.
0.001
0.002
0.003
Có gân 2.7924 2.0802 1.6971 1.6151 2.8115 2.0952 1.7108 1.6292 2.8317 2.1111 1.7254 1.6441
0.2 1 5 10 0.2 1 5 10 0.2 1 5 10
Không gân 2.7180 2.0136 1.6382 1.5580 2.7372 2.0288 1.6521 1.5723 2.7576 2.0449 1.6668 1.5874
Bảng 3.6. Tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM áp điện
84
3.3.4.2. Khảo sát đường cong thời gian – độ võng
Để phân tích sự ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích đến đường cong thời
gian – độ võng phi tuyến của tấm ES-FGM áp điện, luận án xét 3 giá trị khác nhau
của = (0.2, 1, 5), kết quả được chỉ ra trong hình 3.17. Ta có thể thấy biên độ dao
động tăng khi tăng hệ số tỷ lệ thể tích . Điều đó có nghĩa là tấm ES-FGM áp điện
khi chịu tải trọng động kém đi khi hệ số tỷ lệ thể tích tăng.
Hình 3.17. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong thời gian – độ võng
của tấm ES-FGM áp điện
Hình 3.18. Ảnh hưởng của hệ số nền Hình 3.19. Ảnh hưởng của hệ số
Winkler tới đường cong thời gian – độ võng Pasternak tới đường cong thời gian –
của tấm ES-FGM áp điện. độ võng của tấm ES-FGM áp điện.
85
Hình 3.18 và 3.19 chỉ ra ảnh hưởng tích cực của hệ số nền đàn hồi đến đường
cong thời gian – độ võng của tấm ES-FGM áp điện. Từ hình 3.18 và 3.19, chỉ ra khi tăng
hệ số nền đàn hồi làm cho biên độ dao động của tấm ES-FGM áp điện giảm.
Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo
lên đường cong thời gian – độ võng của tấm ES-FGM áp điện được chỉ ra trong hình 3.20. Hình 3.20 chỉ ra rằng tính
không hoàn hảo về hình dáng ban đầu làm cho tấm ES-FGM áp điện chịu tải trọng động
kém đi cụ thể tính không hoàn hảo tăng làm cho biên độ dao động của tấm tăng.
Hình 3.21. Ảnh hưởng của trường Hình 3.20. Ảnh hưởng của tới đường
nhiệt độ tới đường cong thời gian cong thời gian – độ võng của tấm ES-FGM
– độ võng của tấm ES-FGM áp điện. áp điện.
Hình 3.21 xem xét ảnh hưởng của độ chênh lệch nhiệt độ tới đường
cong thời gian – độ võng của tấm ES-FGM áp điện với các giá trị khác nhau của
trường nhiệt độ tăng đều , và . Hình 3.21 chỉ ra
biên độ dao động của tấm ES-FGM áp điện tăng khi tăng độ chênh lệch nhiệt độ của
môi trường chứa tấm.
Hình 3.22 chỉ ra ảnh hưởng của gân gia cường đến đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện. Kết quả chỉ ra trong trường hợp tấm có gân gia cường
thì biên độ dao động của tấm ES-FGM áp điện nhỏ hơn so với trường hợp tấm ES-
FGM áp điện không có gân gia cường, cho thấy ảnh hưởng tích cực của gân gia cường
đến khả năng mang tải động của tấm ES-FGM áp điện.
86
Hình 3.22. Ảnh hưởng của gân gia cường Hình 3.23. Ảnh hưởng của điện áp đặt
tới đường cong thời gian – độ võng của vào lên đường cong thời gian – độ
tấm ES-FGM áp điện. võng của tấm ES-FGM áp điện.
Hình 3.23 thể hiện ảnh hưởng của điện áp đặt vào ( và )
lên đường cong thời gian – độ võng của tấm ES-FGM áp điện. Rõ ràng điện áp đặt
vào có ảnh hưởng khá nhỏ tới đáp ứng động lực học của tấm và điện áp tăng dẫn
đến biên độ dao động của tấm giảm. Điều này có thể hiểu được vì lớp áp điện rất
mỏng và nó giống như một chiếc máy biến đổi trực tiếp năng lượng điện thành năng
lượng cơ học và ngược lại.
Hình 3.24. Ảnh hưởng của tần số lực Hình 3.25. Ảnh hưởng của biên độ lực
cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa. cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa.
Đường cong thời gian - độ võng của tấm ES-FGM áp điện khi tần số của lực
cưỡng bức tiến sát tới tần số dao động cơ bản của tấm được chỉ ra trong hình 3.24 và
87
3.25. Như quan sát được, hiện tượng tương tự với hiện tượng phách điều hòa của dao
động tuyến tính xuất hiện. Trong đó, biên độ của phách và chiều dài phách tăng nhanh
khi tần số của lực cưỡng bức tiến sát tới tần số dao động cơ bản của tấm (hình 3.24).
Hình 3.25 khảo sát ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều
hòa của tấm ES-FGM áp điện. Rõ ràng khi biên độ của lực cưỡng bức tăng lên thì biên
độ của phách cũng tăng theo nhưng chiều dài phách giảm xuống.
3.3.4.3. Khảo sát quan hệ tần số - biên độ
Bảng 3.7. So sánh tần số dao động cơ bản được tính từ phương trình
Tần số dao động cơ bản tính từ (3.42) được rút ra từ phương trình (3.41) 4848 3309 2885 2464 2583 2356 2099
Tần số dao động cơ bản tính từ (3.49) được rút ra từ phương trình (3.48) 4858 3316 2891 2469 2588 2360 2104
0 0.5 1 3 2 5 ∞
(3.42) và phương trình (3.49) của tấm dày ES-FGM với
Hình 3.26. So sánh đường cong thời gian – độ võng trong hai trường hợp sử dụng
phương trình (3.41) và phương trình (3.48).
88
So sánh đường cong thời gian – độ võng được giải ra từ hệ phương trình vi
phân đầy đủ (3.41) và phương trình đã được đơn giản (3.48) được chỉ ra trong hình
3.26 khi tần số của lực cưỡng bức xa so với tần số dao động cơ bản của tấm ES-
FGM. Từ hình vẽ có thể thấy rằng không có sự khác nhau nhiều giữa đường cong
đáp ứng động học phi tuyến trong hai trường hợp. Kết quả tương tự cũng nhận được
trong bảng 3.7, khi so sánh giá trị tần số dao động cơ bản trong trường hợp được
tính từ định thức (3.42) và từ biểu thức (3.49).
Hình 3.27 cho thấy ảnh hưởng của tải trọng điều hòa đến quan hệ tần số -
biên độ trong trường hợp tải trọng động. Ta xét các trường hợp (dao động tự
do), và . Có thể thấy rằng đường cong tần số
biên độ trong trường hợp có biên độ lực cưỡng bức thì ở phía ngoài đường dao động
tự do các đường cong biên độ tần số có biên độ lực lớn có xu hướng tiến dần về
phía đường cong dao động tự do
Hình 3.28 cho thấy ảnh hưởng của nền đàn hồi đến quan hệ tần số - biên độ
của tấm ES-FGM áp điện dao động tự do. Hình 3.28 cho thấy tại cùng một tần số
dao động thì tấm ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi có biên độ dao động nhỏ hơn so
với tấm không đặt trên nền đàn hồi.
Hình 3.27. Ảnh hưởng của tải trọng bên ngoài đến quan hệ tần số - biên độ trong trường hợp chịu tải trọng động. Hình 3.28. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới quan hệ tần số - biên độ của tấm ES- FGM áp điện dao động tự do.
89
3.4. Kết luận chƣơng 3
Trong chƣơng 3, luận án đã giải quyết một số vấn đề sau 1. Thiết lập được phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM, xét 3 loại tải trọng: cơ, nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp trên nền đàn hồi.
2. Thiết lập được phương trình chủ đạo đi xác định đường cong thời gian – độ võng, tần số dao động tự do tuyến tính, tần số dao động cơ bản và đường cong
quan hệ tần số - biên độ của tấm dày ES-FGM áp điện trong trường nhiệt độ trên
nền đàn hồi.
3. Lập trình khảo sát ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến đáp ứng phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM; và đến đường cong thời gian – độ võng, tần số dao động tự
do tuyến tính, tần số dao động cơ bản và đường cong quan hệ tần số - biên độ của tấm
dày ES-FGM áp điện.
Một số kết luận đáng chú ý đƣợc rút ra từ các kết quả khảo sát nhƣ 1. Gân gia cường có ảnh hưởng tích cực đối với cả bài toán phi tuyến tĩnh và bài toán phân tích động lực học, gân gia cường làm tăng tần số dao động tự do tuyến tính
và làm giảm biên độ dao động của dao động cưỡng bức phi tuyến một cách rõ rệt.
2. Nhiệt độ có ảnh hưởng tiêu cực đến khả năng mang tải động của tấm ES-
FGM áp điện, cụ thể làm tăng biên độ của đường cong thời gian – độ võng.
3. Trong trường hợp tấm ES-FGM áp điện chịu tải trọng động, khi tăng điện áp đặt vào làm cho biên độ dao động giảm, và ảnh hưởng của điện áp tới đáp đường
cong thời gian – độ võng là nhỏ.
4. Kết quả so sánh bài toán động lực học trong trường hợp sử dụng quán tính
do góc xoay và bỏ qua được thảo luận chi tiết, từ đó rút ra kết luận có thể
bỏ qua được quán tính do góc xoay . Trong trường hợp bỏ qua quán tính do
góc xoay ta có thể xác định được biểu thức hiển và khảo sát quan hệ tần số
- biên độ. Đường cong tần số biên độ trong trường hợp có biên độ lực cưỡng bức thì ở phía ngoài đường dao động tự do các đường cong tần số - biên độ có biên độ lực lớn có xu hướng tiến dần về phía đường cong dao động tự do.
Kết quả chính của chương 3 đã được công bố trên 03 tạp chí Quốc tế có
danh mục ISI và 02 tạp chí quốc tế khác, bài [3, 4, 5, 6, 8] trong danh mục đã công bố của tác giả luận án.
90
CHƢƠNG 4
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES-FGM SỬ DỤNG
LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC BA
Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba có thể cho dự đoán tốt hơn ứng xử động
lực của tấm dày mà không cần phải sử dụng đến hệ số hiệu chỉnh cắt như lý thuyết
biến dạng trượt bậc nhất và được coi là có tính chính xác cao hơn. Trong khi đó, lý
thuyết biến dạng trượt bậc nhất lại có ưu điểm là tính toán đơn giản hơn nhưng phải
sử dụng đến hệ số hiệu chỉnh cắt. Việc tính toán và lựa chọn hệ số này trong nhiều
trường hợp là phức tạp và thường được lấy theo kinh nghiệm. Vì vậy có thể làm ảnh
hưởng đến tính chính xác của phương pháp, bởi vậy việc sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba là cần thiết để cung cấp những thông tin tin cậy và đa dạng cho
nhà tính toán thiết kế kết cấu kỹ thuật.
4.1. Đặt vấn đề
Phân tích phi tuyến tĩnh bằng phương pháp giải tích cho tấm FGM không có
gân gia cường đã được nghiên cứu trong tài liệu [46, 47]. Trong [46, 47] các tác giả
đã sử dụng phương pháp hàm ứng suất và phương pháp Galerkin để nghiên cứu
trạng thái tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của tấm FGM.
Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến bằng giải tích của tấm FGM có gân gia
cường trên nền đàn hồi với tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và sử dụng lý
thuyết tấm biến dạng trượt bậc ba được trình bày trong [62, 63]. Trong nghiên cứu
[62, 63] các tác giả đã sử dụng phương pháp giải tích, hàm ứng suất và phương
pháp Galerkin để xác định biểu thức hiển đi nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của
tấm FGM có gân gia cường, trong đó gân làm bằng vật liệu FGM và tính chất của
gân và FGM đều phụ thuộc vào nhiệt độ.
Trong mục này luận án sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc 3 để nghiên
cứu lời giải giải tích cho 2 bài toán
Bài toán 1: Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM không hoàn hảo
trên nền đàn hồi, chịu 3 loại tải trọng: tải cơ, tải nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp.
Bài toán 2: Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM không hoàn hảo
trên nền đàn hồi chịu tải nhiệt.
Các giả thiết trong chương này sử dụng các giả thiết được nêu trong chương 3.
91
4.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi
4.2.1. Tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi và các phương trình cơ bản
Xét tấm dày chữ nhật ES-FGM có hình dáng và tọa độ tương tự mô hình
trong hình 2.2 và 2.3. Các tính chất hiệu dụng của tấm FGM được sử dụng trong
mục này tuân theo quy tắc lũy thừa (P-FGM), được xác định trong biểu thức (2.2)
và hệ số Poisson được chọn bằng hằng số.
Trong mục này lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Reddy được sử dụng để
dẫn ra các phương trình cân bằng và tương thích biến dạng cũng như các biểu thức
để xác định các tải làm tấm vồng và các đường cong độ võng – tải trọng trong giai
đoạn sau tới hạn của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi và chịu tác dụng của tải nén
cơ học, tải nhiệt và tải cơ -nhiệt kết hợp.
Các thành phần biến dạng của tấm ở một điểm cách mặt giữa một khoảng
được xác định bởi [90]
(4.1)
trong đó
(4.2)
92
trong các phương trình (4.1) và (4.2)
là các thành phần biến dạng pháp tuyến,
là biến dạng trượt ở mặt giữa của tấm,
là các thành phần biến dạng trượt ngang
trong các mặt phẳng
và
,
,
là độ
là thành phần chuyển vị theo hướng
võng của tấm,
là các góc quay của pháp tuyến mặt giữa trong mặt phẳng
và
và
Định luật Hooke cho một tấm trong đó có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ
được xác định như sau
(4.3)
đối với gân gia cường được xác định trong biểu thức (2.7) và (3.4).
Các thành phần lực giãn và mô men có thể được tính qua các thành phần ứng
suất của tấm và gân và được viết dưới dạng như sau
(4.4)
93
Đặt các phương trình (4.3) vào (4.4) ta thu được các thành phần lực giãn và
mô men.
(4.5)
trong đó
(4.6)
và các hệ số được xác định như trong phụ lục E.
94
Từ (4.5) các thành phần biến dạng màng có thể được biểu diễn như sau
(4.7)
trong đó
Hệ phương trình cân bằng của tấm chữ nhật hoàn hảo theo lý thuyết tấm biến
dạng trượt bậc ba của Reddy trên nền đàn hồi được xác định như sau [90]
,
(4.8)
Xét hai phương trình đầu trong (4.8), một hàm ứng suất thỏa mãn
hai phương trình đầu (4.8) được định nghĩa trong (2.15).
Thay (4.7) vào (4.5), sau khi thay các thành phần ,
vào (4.7) trong đó kể đến hàm ứng suất (2.15), ta có
95
(4.9)
Hệ phương trình (4.9) bao gồm các hàm cần xác định và bởi
vậy cần sử dụng thêm phương trình tương thích biến dạng để giải (thỏa mãn số ẩn
bằng số phương trình). Thay ở hệ phương trình (4.7) vào phương trình
tương thích biến dạng (2.20), nhận được
(4.10)
trong đó
(4.11)
4.2.2. Phương pháp giải
Xét tấm chữ nhật ES-FGM không hoàn hảo chịu tác dụng của các tải: nén,
nhiệt và cơ nhiệt đồng thời với ba loại điều kiện biên sau [90]
Trƣờng hợp 1. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và có thể tự do dịch chuyển
(freely movable, FM) trong mặt phẳng tấm. Đây là trường hợp các cạnh tựa tự do và
các điều kiện biên tương ứng là
tại và (4.12) tại và
Trƣờng hợp 2. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và không thể dịch chuyển
(immovable, IM) trong mặt phẳng tấm. Đây là trường hợp các cạnh tựa cố định và
các điều kiện biên tương ứng là
tại và (4.13) tại và
96
Trƣờng hợp 3. Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề. Hai cạnh
có thể tự do không thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm. dịch chuyển và hai cạnh
Trong trường hợp này các điều kiện biên tương ứng là
tại và
(4.14) tại và
trong đó là các lực tác dụng trên các cạnh của tấm trong trường hợp các
cạnh đó có thể dịch chuyển và là phản lực trên các cạnh tấm trong trường hợp các
cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng.
Để giải các phương trình (4.9) và (4.10) đối với các hàm và , và
khi xem xét điều kiện biên (4.12) – (4.14), giả sử các nghiệm xấp xỉ được chọn
trong (3.38) và (3.39).
Sau khi thay các dạng nghiệm (3.38) và (3.39) vào phương trình tương thích
biến dạng (4.10), các hệ số của hàm ứng suất (3.39) có thể được xác
định như sau
(4.15)
Bây giờ thay các dạng nghiệm (3.38) và (3.39) vào (4.9), sau đó áp dụng
phương pháp Galerkin, và thực hiện một số phép biến đổi ta thu được phương trình
kết quả như sau
(4.16)
trong đó hệ số được xác định như trong phụ lục E.
Phương trình (4.16) là phương trình dùng để phân tích phi tuyến tĩnh của
97
tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi. Dưới đây sẽ khảo sát một số trường hợp chịu tải trọng khác nhau mà ta có thể nhận được kết quả dạng giải tích. 4.2.2.1. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM chịu nén trên các cạnh
Xét tấm chữ nhật ES-FGM tựa tự do trên bốn cạnh (điều kiện biên (4.12))
chịu các tải nén đều and (Pascal), lần lượt trên các cạnh . và
Trong trường hợp này các lực nén được xác định trong (2.29).
Đặt (2.29) vào (4.16), nhận được
(4.17)
trong đó các hệ số được xác định như trong phụ lục E.
Đối với tấm ES-FGM hoàn hảo, phương trình (4.17) dẫn đến phương trình
mà từ đó các tải nén làm cho tấm vồng lên có thể thu bằng cách lấy giới hạn của
hàm khi , nhận được
4.2.2.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM chịu tải nhiệt
Xét tấm chữ nhật ES-FGM với tất cả các cạnh tựa cố định (điều kiện biên
(4.13)), chịu tác dụng của tải nhiệt. Điều kiện để các cạnh của tấm không thể dịch
chuyển trong mặt phẳng tấm, nghĩa là (trên ) và (trên ),
được thỏa mãn theo nghĩa trung bình (2.31).
Từ các phương trình (4.2), (4.7) và sau đó thay các kết quả vào phương trình
(4.6) ta được
(4.18)
Thay các dạng nghiệm (3.38) và (3.39) vào (4.18), sau đó thay kết quả nhận
được vào phương trình (2.31) thu được
98
(4.19)
Từ phương trình (4.6), ta có
(4.20)
trong đó
Đặt phương trình (4.19) vào phương trình (4.16), nhận được
(4.21)
được xác định như trong phụ lục E.
trong đó các hệ số Khi , phương trình (4.21) dẫn về phương trình mà nhiệt độ tại điểm rẽ
nhánh làm tấm vồng lên có thể thu được bằng cách lấy giới hạn đạo hàm
, nhận được
khi Trường hợp các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, cả hai vế của phương
trình (4.21) đều phụ thuộc vào nhiệt độ, khi đó một thuật toán lặp được sử dụng để xác
định tải tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng của tấm trong giai đoạn sau tới hạn
của tấm hoàn hảo và không hoàn hảo như đã được trình bày trong mục 2.1.4.3.
4.2.2.3. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM chịu tải cơ – nhiệt kết hợp
Xét tấm chữ nhật ES-FGM tựa tự do trên hai cạnh
trên hai cạnh (điều kiện biên 4.14) chịu đồng thời của tải nén đều và tựa cố định trên
hai cạnh và được đặt trong trường nhiệt độ tăng đều.
Thực hiện một số phép biến đổi phương trình thứ hai của (4.18) để thu được
biểu thức xác định . Sau đó thay biểu thức vừa tìm được và
vào phương trình (4.16), thu được
(4.22)
và các hệ số được xác định như trong phụ lục E.
99
Phương trình (4.22) là biểu thức giải tích được sử dụng để xác định sự phụ
thuộc phi tuyến của tải nén và độ võng tấm khi cho trước nhiệt độ , hoặc
ngược lại là sự phụ thuộc phi tuyến của nhiệt độ môi trường và độ võng tấm khi cho
trước tải nén cạnh vì từ phương trình (4.22) ta có thể dễ dàng biểu diễn ngược lại
như là hàm của và .
4.2.3. Kết quả tính toán số và thảo luận
4.2.3.1. Nghiên cứu so sánh
Trong mục này, xét trường hợp tấm FGM không có gân gia cường tương ứng
với điều kiện và vật liệu thành phần gồm nhôm (kim loại)
và alumina (ceramic) với các tính chất sau , và hệ số
Poisson . Trong trường hợp này luận án được so sánh với kết quả trong
nghiên cứu [46], trường hợp tấm FGM không có gân gia cường. Kết quả so sánh
được chỉ ra trong hình 4.1, 4.2 và bảng 4.1 và 4.2.
Hình 4.1. So sánh đường cong độ võng – Hình 4.2. So sánh đường cong độ võng
tải nén sau tới hạn của tấm dày FGM – nhiệt độ sau tới hạn của tấm FGM
không có gân gia cường. không gân gia cường.
Hình 4.3 chỉ ra sự so sánh các đường cong độ võng –nhiệt độ sau tới hạn
theo cách tiếp cận của luận án với kết quả trong tài liệu Shen [108].
100
Hình 4.3. So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau vồng
của tấm đẳng hướng chịu nhiệt độ tăng đều.
Bảng 4.1. So sánh giá trị tải nén của tấm FGM không có gân gia cường
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.7196 1.8028 1.9416 2.1359 2.3858 Luận án,
1.7196 1.8028 1.9416 2.1359 2.3858 Tài liệu [46],
1.1834 1.52 1.7832 2.059 2.3708 Luận án,
1.1834 1.52 1.7832 2.059 2.3708 Tài liệu [46],
Bảng 4.2. So sánh giá trị tải nhiệt cho tấm FGM không có gân gia cường
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Luận án, 225.61 279.80 358.82 462.69 591.41
Tài liệu [46], 225.61 279.80 358.83 462.70 591.41
Luận án, 172.60 265.39 368.05 490.57 635.66
Tài liệu [46], 172.61 265.38 368.05 490.57 635.67
101
4.2.3.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi
Trong mục này, các thành phần vật liệu silicon nitride (ceramic) và
thép không gỉ SUS304 (kim loại).
Gân được chọn làm bằng kim loại thuần nhất: . Tham số
của gân được xác định bởi
Hình 4.4. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể Hình 4.5. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể
tích lên đường cong độ võng – nhiệt tích lên đường cong độ võng – tải nén
độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM.
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Hình 4.4 và 4.5 thể hiện ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích ( = 0, 1, 5) lên
đáp ứng đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Từ hình vẽ,
thấy rằng đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn trở lên thấp hơn tượng trưng cho
khả năng mang tải kém hơn của tấm khi tăng giá trị . Điều này được mong đợi vì mô
đun đàn hồi của ceramic lớn hơn nhiều so với của kim loại trong khi tỷ lệ phần trăm
thể tích của thành phần ceramic trong tấm giảm khi tăng và ngược lại.
102
Hình 4.6. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Hình 4.7. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Hình 4.6 và 4.7 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số mô hình nền đàn hồi lên đáp ứng
phi tuyến của tấm dày ES-FGM trong trường hợp tính chất vật liệu phụ thuộc vào
nhiệt độ. Nền đàn hồi có ảnh hưởng tích cực lên sự ổn định tĩnh của tấm trong cả
hai trường hợp chịu tải nén và tải nhiệt độ. Hơn nữa, hệ số nền Pasternak có ảnh
hưởng mạnh hơn so với hệ số nền Winkler.
Hình 4.8 và 4.9 xét ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình dáng lên sự ổn
định tĩnh của các tấm dày ES-FGM chịu các tải nén cạnh và nhiệt độ. Hình 4.8 chỉ
ra sự biến đổi của các đường cong độ võng – tải nén của tấm dày ES-FGM có các
cạnh tựa tự do với các giá trị khác nhau của . Hình này chỉ ra rằng khi độ võng
còn nhỏ khả năng mang tải nén của tấm giảm khi tăng giá trị của . Tuy nhiên, một
xu hướng biến đổi ngược lại diễn ra khi độ võng đủ lớn, tức là khi độ võng lớn các
đường cân bằng độ võng – tải trọng sau tới hạn trở nên cao hơn (khả năng mang tải
của tấm tốt hơn) với các giá trị lớn hơn.
Tương tự, sự biến đổi của các đường cân bằng phi tuyến của một tấm ES-
FGM có các cạnh tựa cố định chịu trường nhiệt độ tăng đều với các giá trị khác
nhau của được khảo sát trong hình 4.9. Hình này chỉ ra rằng khi giá trị độ võng
vượt qua một giá trị nhất định, tính không phẳng ban đầu có một ảnh hưởng tích cực
lên khả năng mang tải nhiệt của các tấm ES-FGM, cụ thể các đường cong độ võng –
nhiệt độ sau tới hạn trở nên cao hơn đối với các giá trị lớn hơn. Thêm vào đó, từ
các hình 4.8 và 4.9 ta có thể thấy rằng tồn tại một “điểm nút” mà tất cả các đường
103
cong với các giá trị khác nhau đều đi qua và qua điểm này thì khả năng mang tải
của tấm trở nên tốt hơn theo sự tăng của .
Hình 4.8. Ảnh hưởng của yếu tố không không hoàn hảo về hình dáng lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Hình 4.9. Ảnh hưởng của yếu tố không hoàn hảo về hình dáng ban đầu lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. Hình 4.10 chỉ ra ảnh hưởng của sự biến thiên nhiệt độ của môi trường chứa
tấm lên ứng xử của tấm chịu tải nén một phía dọc trục . Có thể thấy rằng sự có
mặt của nhiệt độ làm cho khả năng mang tải của cả tấm phẳng và tấm không hoàn
hảo trở lên kém hơn. Đồng thời khi có sự biến thiên nhiệt độ các tấm không
hoàn hảo đã bắt đầu võng thêm ngay cả khi chưa tác dụng lực nén cơ học. Điều này
được thể hiện bằng giao điểm của các đường nét đứt với trục
Hình 4.10. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm ES-FGM. Hình 4.11. Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm ES-FGM.
104
Ảnh hưởng của các điều kiện biên ràng buộc dịch chuyển tại các cạnh lên
ứng xử sau tới hạn của các tấm dày ES-FGM chịu nén một phía trên hai cạnh tựa tự
do được chỉ ra trong hình 4.11. Ví dụ này xét hai loại điều kiện biên ràng
buộc trên các cạnh là khi các cạnh này tựa tự do, được viết tắt là FM và
được vẽ từ phương trình (4.17), trong khi các đường cong trong trường hợp IM
được vẽ từ phương trình (4.22) với . Hình này chỉ ra rằng mặc dù tấm FGM
hoàn hảo bị vồng sớm hơn khi các cạnh tựa cố định nói chung khả năng
mang tải trong giai đoạn sau tới hạn của cả tấm hoàn hảo và không hoàn hảo là tốt
hơn khi các cạnh bị ngăn dịch chuyển và độ võng đủ lớn.
Hình 4.12 đánh giá ảnh hưởng của tỷ số cạnh lên ứng xử ổn định phi
tuyến của tấm ES-FGM có gân gia cường tựa cố định trên bốn cạnh và chịu tải
nhiệt. Trong hình này hai giá trị của tỷ số cạnh được xét và các kết quả
được so sánh giữa các tấm phẳng, không hoàn hảo và khi kể đến và không kể đến
ảnh hưởng của nhiệt độ lên các tính chất vật liệu hiệu dụng. Kết quả chỉ ra trong
hình này cho thấy rằng các tính chất vật liệu T-D và sự tăng tỷ lệ cạnh đều
làm giảm khả năng mang tải nhiệt của các tấm ES-FGM và các đường cong độ võng
– nhiệt độ trở nên thấp hơn.
Hình 4.12. Ảnh hưởng của tỷ lệ lên sự ổn định của tấm dày ES-FGM.
105
4.3. Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi
4.3.1. Các phương trình cơ bản
Lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc 3 của Reddy được sử dụng để đưa ra các
phương trình chuyển động và tương thích biến dạng cũng như các các phương trình
vi phân đi phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi.
Hệ phương trình chuyển động của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi được
xác định như sau [90]
(4.23)
trong đó
106
là áp lực phân bố đều trên bề mặt của tấm và phụ thuộc vào thời gian, là hệ
số damping.
Chọn hàm ứng suất có dạng (2.15). Đặt (2.15) vào hai phương
trình đầu của (4.23), nhận được
(4.24)
Thay phương trình (4.2) vào phương trình (4.5) sau đó được kết quả thay vào
phương trình (4.23) trong đó có kể đến quan hệ (4.24) và (2.15), hệ phương trình
chuyển động (4.23) được viết lại như sau
(4.25)
Hệ phương trình (4.25) là các phương trình phi tuyến đối với các hàm
và bởi vậy cần sử dụng thêm phương trình tương thích biến dạng.
Thay các số hạng ở (4.7) vào phương trình (2.18), nhận được
107
(4.26)
trong đó
Phương trình (4.25) và (4.26) là các phương trình phi tuyến đối với các hàm
và và được sử dụng để xác định tần số dao động tự do tuyến tính, quan
hệ thời gian - độ võng của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi. 4.3.2. Phương pháp giải
Trong mục này một cách tiếp cận giải tích được sử dụng để phân tích động
lực học của tấm chữ nhật dày ES-FGM trên nền đàn hồi khi tấm chịu tác dụng của
tải nhiệt.
Để giải hệ phương trình (4.25) và (4.26) với các ẩn và , và khi
xem xét đến điều kiện biên (4.12) và (4.13), các nghiệm xấp xỉ được chọn như
(3.38) và (3.39) trong đó các hệ số của hàm ứng suất được xác định trong (4.15).
Thay phương trình (3.38) và (3.39) vào (4.25), sau đó áp dụng phương pháp
Galerkin ta thu được kết quả
(4.27a)
(4.27b)
(4.27c)
là số nguyên lẻ và , các hệ số
được xác định như trong phụ lục F.
Từ phương trình (4.8), (4.2) và (4.7), ta có được mối quan hệ
108
(4.28)
Đặt phương trình (3.38) và (3.39) vào phương trình (4.28) sau đó thay kết
quả thu được thay vào phương trình (2.31), ta có
(4.29)
Thay phương trình (4.29) vào phương trình chuyển động (4.27), chúng ta có
(4.30)
các hệ số được xác định như trong phụ lục F.
Giữ lại các số hạng tuyến tính trong phương trình (4.30) và đặt , tần
số dao động tự do tuyến tính của tấm được xác định khi giải định thức sau
(4.31)
109
Trong các giá trị tìm được của từ định thức trên, giá trị thực dương nhỏ
nhất, kí hiệu là là giá trị cần tìm. Tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM
được xác định là với giá trị tương ứng của cặp (do các giá
trị của các số hạng trong định thức (4.31) phụ thuộc vào giá trị của ).
Tấm được đặt trong môi trường có nhiệt đô tăng đều từ giá trị đến giá trị
, sự chênh lệch nhiệt độ là một hằng số.
4.3.3. Kết quả tính toán số và thảo luận
Trong mục này, các thành phần vật liệu là Silicon nitride (ceramic) và
thép không rỉ SUS304 (stainless steel – kim loại). Gân được giả sử làm bằng kim
loại (metal), bởi vậy . Tham số hình học của gân được chọn như
sau
4.3.3.1. Nghiên cứu so sánh
Trong trường hợp tấm FGM không có gân gia cường tương ứng với điều
kiện: , luận án so sánh kết quả giải số với trường hợp tấm và
không gân với nghiên cứu của Ungbhakorn và Wattanasakulpong [144]. Trong
[144] tác giả sử dụng hàm năng lượng và sử dụng phương pháp hàm chuyển vị. Từ
bảng 4.3, có thể thấy rằng kết quả trong luận án không có sự khác nhau nhiều so với
kết quả trong nghiên cứu [144].
Bảng 4.3. So sánh tần số dao động cơ bản không thứ nguyên cho
tấm ,
Tài liệu [144] 0.0490 0.0442 0.0364 0.1807 0.1631 0.1301
Luận án 0.05 0.0440 0.0369 0.1829 0.1640 0.1300
110
4.3.3.2.Tần số dao động tự do tuyến tính
Bảng 4.4 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích và giá trị mode đến
giá trị tần số dao động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM. Có thể thấy rằng khi
tăng hệ số tỷ lệ thể tích làm cho tần số dao động tự do tuyến tính giảm và ngược lại.
Bảng 4.4. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên giá trị tần số dao động tự do tuyến
tính của tấm dày ES-FGM.
28800 30603 127933 150628 0
27975 30166 126627 148418 1
27660 30049 126195 147578 5
27453 30073 126177 147204 10
Bảng 4.5. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi, gân gia cường và mode vồng
Có
Có
Không
Không
Có gân
Có gân
Không gân
Có gân
Không gân
gân
Không gân
gân
gân
gân
28800 2278 43805 11126 81230 27723 108278 35552 150629 50417
0
28811 2409 43812 11153 81232 27734 108281 35561 150630 50421
0.1
28832 2651 43826 11207 81240 27756 108287 35576 150635 50434
0.3
0.35
28838 2708 43831 11220 81243 27761 108288 35580 150635 50436
28854 2872 43841 11261 81248 27777 108292 35593 150639 50446
0.5
28875 3079 43854 11316 81255 27798 108298 35611 150643 50457
0.7
đến tần số tần số dao động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM.
Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi tới tần số dao động tự do tuyến tính của tấm
dày ES-FGM được thể hiện như trong bảng 4.5, tăng hệ số làm tăng giá trị tần số
dao động tự do tuyến tính. Bảng 4.5 còn cho thấy tần số dao động tự do tuyến tính
nhỏ nhất ứng với cặp mode
111
4.3.3.3. Quan hệ thời gian- độ võng
Hình 4.13. Ảnh hưởng của gân gia cường Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ
tới đường cong thời gian – độ võng của thể tích tới đường cong thời gian – độ
tấm dày FGM. võng của tấm dày ES-FGM.
Hình 4.13 thể hiện vai trò của gân gia cường tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm dày FGM. Từ hình 4.13 chỉ ra gân gia cường làm giảm biên độ dao
động của tấm, hay gân gia cường có ảnh hưởng tích cực đến dao động và đáp ứng
động lực của tấm FGM.
Hình 4.14 thể hiện ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích tới đường cong thời
gian – độ võng của tấm dày ES-FGM với khi tần số của lực
cưỡng bức xa so với tần số dao động tự do tuyến tính của tấm ES-FGM với
ba giá trị . Có thể thấy rằng biên độ dao động của tấm tăng khi tăng hệ
số tỷ lệ thể tích .
Hình 4.15 và 4.16 thể hiện ảnh hưởng của tham số hình học lên đường cong
thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. Từ hình 4.15 ta thấy rằng biên độ của
đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM khi tăng tỷ lệ . Hình
4.16 thể hiện ảnh hưởng của tỷ lệ lên đường cong thời gian – độ võng của tấm dày
ES-FGM, tấm có biên độ lớn hơn khi tăng tỷ lệ .
112
Hình 4.15. Ảnh hưởng của tỷ lệ tới đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. Hình 4.16. Ảnh hưởng của tỷ lệ tới đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. Hình 4.17 và 4.18 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong
thời gian – độ võng của tấm có dày ES-FGM với . Ta thấy
rất rõ biên độ dao động của tấm giảm khi tăng mô đun đàn hồi nên Winkler (hình
4.17), hệ số nền cũng có ảnh hưởng tương tự (hình 4.18).
Hình 4.17. Ảnh hưởng của hệ số mô hình nền Winkler lên đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. Hình 4.18. Ảnh hưởng của hệ số mô hình nền Pasternak lên đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM.
113
Hình 4.19. Đáp ứng động học của tấm dày ES-FGM với các giá trị khác nhau của biên độ tải trọng. Hình 4.20. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM.
Hình 4.19 chỉ ra ảnh hưởng của biên độ lực kích động lên đường cong thời
gian – độ võng trong các trường hợp , biên độ của
đường cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM tăng khi tăng giá trị của .
Hình 4.20 thể hiện ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường
cong thời gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. Ta thấy rằng, biên độ dao động
tăng khi tăng độ biến thiên nhiệt độ .
4.4. Kết luận chƣơng 4
Trong chƣơng 4, luận án đã giải quyết một số vấn đề sau
1. Thiết lập được phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích phi tuyến tĩnh
của tấm ES-FGM, xét 3 loại tải trọng: cơ, nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp trên nền đàn
hồi sử dụng TSDT.
2. Thiết lập được phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích động lực học
của tấm ES-FGM chịu tải nhiệt trên nền đàn hồi sử dụng TSDT.
3. Lập trình khảo sát ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến đáp ứng phi
tuyến tĩnh và động lực học của tấm dày ES-FGM.
Một số kết luận đáng chú ý đƣợc rút ra từ các kết quả khảo sát
1. Tính chất T-ID và sự tăng tỷ lệ cạnh đều làm giảm khả năng mang
tải nhiệt của các tấm dày ES-FGM và làm các đường cong độ võng – nhiệt độ trở
nên thấp hơn.
114
2. Tham số nền đàn hồi có ảnh hưởng tích cực đến ổn định tĩnh của tấm ES-
FGM (làm tăng giá trị tải tới hạn và làm đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn
cao hơn) và đến đáp ứng động lực học của tấm ES-FGM (làm tăng giá trị tần số dao
động tự do tuyến tính, làm giảm biên độ dao động) và ảnh hưởng của hệ số nền
lớn hơn so với hệ số nền .
3. Khảo sát ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên ổn định tĩnh phi tuyến
tĩnh cho kết quả: khi giá trị độ võng vượt qua một giá trị nhất định, tính không
phẳng ban đầu có một ảnh hưởng tích cực lên khả năng mang tải nhiệt của các tấm
ES-FGM, cụ thể các đường cong độ võng – nhiệt độ sau vồng trở nên cao hơn đối
với các giá trị lớn hơn. Thêm vào đó, thấy rằng tồn tại một “điểm nút” mà tất cả
các đường cong với các giá trị khác nhau đều đi qua và qua điểm này thì khả
năng mang tải của tấm trở nên tốt hơn theo sự tăng của .
4. Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên ràng buộc dịch chuyển tại các cạnh
lên đường cong độ võng – tải trọng cho thấy: Tấm hoàn hảo bị vồng sớm hơn khi
các cạnh tựa cố định nhưng nói chung khả năng mang tải trong giai đoạn
sau tới hạn của cả tấm hoàn hảo và không hoàn hảo là tốt hơn khi các cạnh
bị ngăn dịch chuyển và độ võng đủ lớn.
Kết quả chính của chương 4 đã được công bố trên 02 tạp chí Quốc tế có
danh mục ISI, bài [7, 9] trong danh mục đã công bố của tác giả luận án.
115
KẾT LUẬN
Những đóng góp mới của luận án
1. Đã góp phần xây dựng công thức tổng quát để tính các thành phần lực và
mô men của kết cấu tấm FGM có gân gia cường khi sử dụng lý thuyết tấm biến
dạng trượt bậc ba.
2. Dựa trên lý thuyết tấm cổ điển, biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba của
Reddy cùng với tính phi tuyến hình học của Von Karman kết hợp với kỹ thuật san
đều tác dụng gân của Lekhnitskii và công thức gân mới tổng quát, luận án đã thiết
lập được các phương trình cơ bản của bài toán phân tích phi tuyến tĩnh và động lực
học của tấm FGM có và không có gân gia cường tựa trên nền đàn hồi trong đó có kể
đến tính không hoàn hảo về hình dáng ban đầu của tấm, tính chất vật liệu phụ thuộc
vào nhiệt độ và xét đến trường hợp hệ số Poisson là hàm của tọa độ theo hướng
chiều dày. Bằng cách tiếp cận giải tích, phương pháp hàm ứng suất và sử dụng
phương pháp Galerkin luận án đã xây dựng được các phương trình chủ đạo đi
nghiên cứu ổn định tĩnh và động lực học của tấm FGM chịu tải cơ, nhiệt và cơ –
nhiệt kết hợp. Cụ thể, xây dựng được các biểu thức hiển xác định tải tới hạn và
đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn (phân tích phi tuyến tĩnh) và biểu thức
xác định tần số dao động tự do tuyến tính, tần số dao động cơ bản và quan hệ thời
gian – độ võng (phân tích động lực học), trong bài toán phân tích động lực học sử
dụng thêm phương pháp Runge-Kutta bậc bốn để giải hệ phương trình vi phân.
3. Bằng cách tiếp cận giải tích và lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của
Reddy đã xây dựng được các phương trình cơ bản và phương trình chủ đạo cho bài
toán phân tích động lực học của tấm FGM không hoàn hảo, trong đó một mặt được
gia cường bằng hệ thống các gân tương ứng theo phương và một mặt được gắn
một lớp áp điện. Đã nhận được biểu thức hiển của tần số dao động tự do tuyến tính,
tần số dao động cơ bản, liên hệ hiển tần số - biên độ của dao động tự do và dao
động cưỡng bức phi tuyến và đường cong quan hệ thời gian – độ võng.
4. Sử dụng thuật toán lặp để phân tích phi tuyến tĩnh của tấm ES-FGM chịu
tải trọng nhiệt khi các tính chất của các vật liệu thành phần FGM và gân đều phụ
thuộc vào nhiệt độ.
116
5. Khảo sát bằng số một cách chi tiết ảnh hưởng của các tham số đầu vào như:
gân gia cường, hệ số tỷ lệ thể tích, độ không hoàn hảo, hệ số nền đàn hồi, tính chất vật
liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và điều kiện biên đến bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của
tấm ES-FGM và bài toán động lực học của tấm FGM không gân, tấm ES-FGM và tấm
ES-FGM áp điện. Từ đó rút ra một số kết luận có ý nghĩa khoa học giúp ích cho người
thiết kế lựa chọn phù hợp với thực tế.
Nội dung chủ yếu của luận án được công bố trong 9 công trình (7 công trình
trên tạp chí ISI), bao gồm:
- 3 bài đăng trên tạp chí quốc tế SCI.
- 4 bài đăng trên tạp chí quốc tế SCIE.
- 2 bài đăng trên tạp chí quốc tế khác.
Hƣớng phát triển của luận án
1) Nghiên cứu ổn định tĩnh và dao động phi tuyến của tấm và vỏ nano FGM
sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt và phương pháp giải tích.
2) Nghiên cứu ổn định tĩnh và dao động phi tuyến của tấm và vỏ auxetic sử
dụng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn.
3) Sử dụng phương pháp số nghiên cứu ổn định tĩnh và động của tấm và vỏ
sử dụng lý thuyết biến dạng trượt mới, cải tiến.
117
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2014). Nonlinear postbuckling of an
eccentrically stiffened thin FGM plate resting on elastic foundation in thermal
environments. J. Thin Walled Structures, Vol.75, pp.103-112 (Elsevier, SCIE,
IF=2.829).
2. Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2015). Nonlinear dynamic response of
imperfect symmetric thin S-FGM plate with metal- ceramic-metal layers on
elastic foundation. Journal of Vibration and Control, Vol. 21(4), pp.637-646
(SAGE, SCIE, IF=2.101).
3. Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2015). Nonlinear vibration of thick
FGM plates on elastic foundation subjected to thermal and mechanical loads
using the first order shear deformation plate theory. Cogent Engineering, 2,
pp.1-17; http://dx.doi.org/10.1080/23311916.2015.1045222 (Taylor &
Francis, Scopus Journal).
4. Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Ngo Duc Tuan, Phuong Tran, Vu Minh
Anh, Vu Dinh Quang (2015). Nonlinear vibration and dynamic response of
imperfect eccentrically stiffened shear deformable sandwich plate with
functionally graded material in thermal environment. Journal of Sandwich
Structures and Materials, 0(00) 1-29. doi:10.1177/1099636215602142 (SAGE,
SCIE, IF=2.933).
5. Pham Hong Cong, Pham Thi Ngoc An, Nguyen Dinh Duc (2015). Nonlinear
stability of shear deformable eccentrically stiffened functionally graded plates on
elastic foundations with temperature-dependent properties. Sci Eng Compos
Mater; aop. Doi 10.1515/secm-2015-0225 (De Gruyter, SCIE, IF=0.480).
6. Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang (2016). Nonlinear
dynamic and vibration analysis of piezoelectric eccentrically stiffened FGM
plates in thermal environment. International Journal of Mechanical Sciences.
Volumes 115-116, pp. 711-722 (Elsevier, SCI, IF=2,884).
118
7. Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang (2016). Thermal stability of
eccentrically stiffened FGM plate on elastic foundation based on Reddy’s third-
order shear deformation plate theory. J. Thermal Stresses. 39 (7), 772-794. Doi:
10.1080/01495739.2016.1188638, (Taylor & Francis, SCI, IF=1.493).
8. Pham Hong Cong, Nguyen Dinh Duc (2016). Thermal stability analysis of eccentrically
stiffened sigmoid-FGM plate with metal-ceramic-metal layers based on FSDT. Cogent
Engineering, 3: 1182098 http://dx.doi.org/10.1080/23311916.2016.1182098 (Taylor &
Francis, Scopus Journal).
9. Pham Hong Cong, Vu Minh Anh, Nguyen Dinh Duc (2016). Nonlinear
dynamic response of eccentrically stiffened FGM plate using Reddy’s TSDT
in thermal environment. J. Thermal Stresses, 40(6), pp. 704-732 (Taylor &
Francis, SCI, IF=1.493).
119
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, Hà Nội.
2. Đào Văn Dũng (2016), Phân tích ổn định và động lực của kết cấu cơ tính
biến thiên, Nhà xuất bản KHKT.
3. Lê Khả Hòa (2015), Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên, Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
4. Vũ Đỗ Long, Phạm Văn Khoa (2009), “Phân tích phi tuyến động học tấm
composite lớp có gân gia cường lệch tâm”, Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ
học toàn quốc Kỷ niệm 30 năm Viện Cơ học và 30 năm Tạp chí Cơ học Hà
Nội, tr. 96-104.
5. Hoàng Xuân Lượng, Phạm Tiến Đạt, Nguyễn Thái Chung, Lê Văn Dân
(2006), “Tính toán dao động riêng của vỏ thoải composite lớp”, Tuyển tập
công trình hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8,
Thái Nguyên, tr. 512-521.
6. Vũ Dũng Mạnh, Hoàng Xuân Lượng, Đỗ Anh Cường (2006), “Ổn định phi
tuyến của vỏ chịu tải trọng tuần hoàn”. Tuyển tập công trình hội nghị khoa
học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8, Thái Nguyên, tr. 571-578.
7. Vũ Hoài Nam (2014), Phân tích phi tuyến động lực của vỏ làm bằng vật liệu
có cơ tính biến thiên, Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
8. Nguyễn Thị Phương (2014), Nghiên cứu ổn định tĩnh của tấm và vỏ
composite cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm, Luận án tiến sỹ kỹ
thuật, Học viện Kỹ thuật Quân sự.
9. Trần Ích Thịnh, Lê Kim Ngọc (2006), “Phân tích cơ học vật liệu composite
áp điện”, Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học toàn quốc- Cơ học vật rắn
biến dạng lần thứ 8, tr. 814-822.
120
10. Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình (2002), Ổn định công trình, Nhà xuất bản KHKT
11. Hoàng Văn Tùng (2011), Ổn định nhiệt đàn hồi của tấm và vỏ Composite
biến đổi chức năng, Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
Tiếng Anh
12. Alijani F., Amabili M. (2013), “Non-linear dynamic instability of
functionally graded plates in thermal environments”, Int. J. Non-linear Mech
50, pp.109-126.
13. Alijani F., Amabili M., Karagiozis K., Nejad F.B. (2011), “Nonlinear
vibration of functionally graded doubly curved shallow shells”, J. Sound Vib.
330, pp.1432-1454.
14. Amabili M., “Nonlinear vibrations of circular cylindrical panels”, J. Sound
Vib, 281, pp.509-535.
15. Amabili M. (2005), “Nonlinear vibrations of double curved shallow shells”,
Int. J. Nonlinear Mech. 40, pp.683-710.
16. Anh V.T.T, Cong P.H., Bich D.H., Duc N.D. (2016), “On the linear stability
of eccentrically stiffened functionally graded annular spherical shell on
elastic foundations”, J. of Advanced Composite Materials 25(6), pp.525-540.
17. Bich D.H., Duc N.D., Quan T.Q. (2014), “Nonlinear vibration of imperfect
eccentrically stiffened functionally graded double curved shallow shells
resting on elastic foundation using the first order shear deformation theory”,
International Journal of Mechanical of Sciences 80, pp.16-28.
18. Bich D.H., Tung H.V. (2011), “Non-linear axisymmetric response of
functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure
including temperature effects”, International Journal of Non-Linear
Mechanics 46, pp. 1195–1204
19. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2012), “Nonlinear dynamical analysis of
eccentrically stiffened functionally graded cylindrical panels”, Compos.
Struct. 94, pp. 2465-2473.
121
20. Bich D.H., Nguyen N.X. (2012). “Nonlinear vibration of functionally graded
circular cylindrical shells based on improved Donnell equations” J. of Sound
and Vib. 331, pp.5488–5501.
21. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H., Phuong N.T. (2013), “Nonlinear static
and dynamic buckling analysis of imperfect eccentrically stiffened
functionally graded circular cylindrical thin shells under axial compression”,
Int. J. Mech. Sci. 74, pp. 190-200.
22. Bich D.H., Hoa L.K. (2010), “Nonlinear vibration of functionally graded
shallow spherical shells”, Vietnam J. Mech. VAST 32(4), pp.199–210.
23. Bich D.H., Dung, D.V., Hoa, L.K. (2012), “Nonlinear static and dynamic
buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including
temperature effects”, Compos. Struct. 94, pp.2952–2960.
24. Bich D.H., Long V.D. (2010), “Non-linear dynamical analysis of imperfect
functionally graded material shallow shells”, Vietnam Journal of Mechanics
VAST 32 (1), pp. 65 – 79.
25. Bich D.H., Nam V.H., Phuong N.T. (2011), “Nonlinear post-buckling of
eccentrically stiffened functionally graded plates and shallow shells”,
Vietnam Journal of Mechanics, VAST 33(3), pp. 131-147.
26. Brush D.O., Almroth B.O (1975), Buckling of Bars, Plates and Shells,
McGraw-Hill, New York.
27. Chang M.Y., Librescu L. (1995), “Postbuckling of shear deformable flat and curved
panels under combined loading conditions”, Int. J. Mech. Sci. 37, pp. 121-143.
28. Chen C.S. (2005), “Nonlinear vibration of a shear deformable functionally
graded plate”, Composite Structures 68( 3), pp. 295-302.
29. Cuong N.M., Thinh T.I., (2011), “Continuous element for vibration analysis
of thick shells of revolution”. Vietnam Journal of Mechanics 33, pp. 41-54.
30. Duc N.D., Cong P.H., Tuan N.D., Phuong T., Thanh N.V., (2017), “Thermal
and mechanical stability of functionally graded carbon nanotubes (FG-CNT)-
reinforced composite truncated conical shells surrounded by the elastic
foundations”, Thin-Walled Struct. 115, pp. 300-310.
122
31. Duc N.D, Khoa N.D, Thiem H.T., (2017), “Nonlinear thermo-mechanical
response of eccentrically stiffened Sigmoid FGM circular cylindrical shells
subjected to compressive and uniform radial loads using the Reddy’s third-
order shear deformation shell theory”, Mech. Adv. Mater. Struct. July 2017,
Doi: 10.1080/15376494.2017.1341581.
32. Duc N.D., Bich D.H., Cong P.H., (2016), “Nonlinear thermal dynamic
response of shear deformable FGM plates on elastic foundations”, J. Thermal
Stresses 39(3), pp.278-297.
33. Duc N.D., Cong P.H., (2015), “Nonlinear vibration of thick FGM plates on
elastic foundation subjected to thermal and mechanical loads using the first
order shear deformation plate theory”, Cogent Engineering 2, pp.1-17
34. Duc N.D., Cong P.H., (2016), “Nonlinear thermo-mechanical dynamic
analysis and vibration of higher order shear deformable piezoelectric
functionally graded material sandwich plates resting on elastic foundations”,
Journal of Sandwich Structures and Materials.
DOI:10.1177/1099636216648488
35. Duc N.D., Thang P.T. (2014), “Nonlinear bucking of imperfect eccentrically
stiffened metal-ceramic-metal S-FGM thin circular cylindrical shells with
temperature-dependent properties in thermal environments”, Int. J. Mech.
Sci. 81, pp. 17-25.
36. Duc N.D., Thang P.T., (2014), “Nonlinear response of imperfect
eccentrically stiffened ceramic-metal-ceramic FGM thin circular cylindrical
shells surrounded on elastic foundations and subjected to axial compression”,
Compos. Struct. 110, pp. 200-206.
37. Duc N.D., Thang P.T. (2015), “Nonlinear response of imperfect eccentrically
stiffened ceramic-metal-ceramic S-FGM thin circular cylindrical shells
surrounded on elastic foundations under uniform radial load”, Mech. Adv.
Mater. Struct. 22. Pp. 1031-1038.
123
38. Duc N.D., Quan T.Q. (2013), “Nonlinear postbuckling of imperfect eccentrically
stiffened P-FGM double curved thin shallow shells on elastic foundations in
thermal environments”, J. Composite Structures 106, pp. 590-600.
39. Duc N.D., Quan T.Q. (2013), “Nonlinear postbuckling of imperfect double
curved thin FGM shallow shells on elastic foundations subjected to mechanical
loads”, J. Mechanics of Composite Materials 49(5), pp.493-506.
40. Duc N.D., Quan T.Q. (2014), “Nonlinear response of imperfect eccentrically
stiffened FGM cylindrical panels on elastic foundation subjected to
mechanical loads” European Journal of Mechanics – A/Solids 46, pp.60-71.
41. Duc N.D., Thang P.T. (2015), “Nonlinear dynamic response and vibration of
shear deformable imperfect eccentrically stiffened S-FGM circular
cylindrical shells surrounded on elastic foundations”, J. of Aerospace Science
and Technology 40, pp.115-127.
42. Duc N.D., Thang P.T., Dao N.T., Tac H.V. (2015), “Nonlinear buckling of
higher deformable S-FGM thick circular cylindrical shells with metal-
ceramic-metal layers surrounded on elastic foundations in thermal
environment”, J. of Composite Structures 121, pp.134-141.
43. Duc N.D., Cong P.H., Anh V.M., Quang V.D., Phuong T., Tuan N.D.,
Thinh N.H. (2015), “Mechanical and thermal stability of eccentrically stiffened
functionally graded conical shell panels resting on elastic foundations and in
thermal environment”, J. Composite Structures 132, pp.597-609.
44. Duc N.D., Nonlinear static and dynamic stability of functionally graded
plates and shells. Vietnam National University Press, Hanoi, 2014.
45. Duc N.D., Tung H.V. (2010), “Nonlinear response of pressure-loaded
functionally graded cylindrical panels with temperature effects”, Composite
Structures 92, pp.1664–1672.
46. Duc N.D., Tung H.V. (2011), “Mechanical and thermal postbuckling of
higher order shear deformable functionally graded plates on elastic
foundations”, Composite Structures 93, pp. 2874–2881.
124
47. Duc N.D., Cong P.H. (2013), “Nonlinear postbuckling of symmetric S-FGM
plates resting on elastic foundations using higher order shear deformation plate
theory in thermal environments”, J. Composite Structures 100, pp 566-574.
48. Duc N.D., Quan T.Q. (2013), “Nonlinear postbuckling of imperfect double
curved thin FGM shallow shells on elastic foundations subjected to
mechanical loads”, J. Mechanics of Composite Materials 49(5), pp.493-506.
49. Duc N.D., Quan T.Q. (2012), “Nonlinear stability analysis of double curved
shallow FGM panel on elastic foundation in thermal environments”, J.
Mechanics of Composite Materials 48 (4), pp.435-448.
50. Dung D.V., Hoa L.K., (2013), “Nonlinear buckling and postbuckling
analysis of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical
shells under external pressure”, Thin-Walled Struct 63, pp. 117-124.
51. Dung D.V., Hoa L.K. (2013), “Torsional buckling and postbuckling of
eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical shells
surrounded by elastic medium”, Proceeding of the Eleventh National
Conference on Deformable Solid Mechanics, November, 7-9, 2013,
HochiMinh City, Vietnam Vol 1, pp. 346-354.
52. Dung D.V., Hoa L.K. (2015), “Nonlinear torsional buckling and
postbuckling of eccentrically stiffened FGM cylindrical shells in thermal
environment”, Compos. B Eng. 69, pp. 378 – 388.
53. Dung D.V., Hoa L.K., Nga N.T., Anh L.T.N. (2013), “Instability of
eccentrically stiffened functionally graded truncated conical shells under
mechanical loads”, Compos. Struct. 106, pp. 104-113.
54. Dung D.V., Hoai B.T.T., Hoa L.K. (2017), “Postbuckling nonlinear analysis
of FGM truncated conical shells reinforced by orthogonal stiffeners resting
on elastic foundations”, Acta Mech. 228(4), pp. 1457-1479.
55. Dung D.V., Thiem H.T. (2017), “Mechanical and thermal postbucling of
FGM thick circular cylindrical shells reinforced by FGM stiffener system
using higher-order shear deformation theory”, Appl. Math. Mech.-Eng. Ed.
38(1), pp. 73-98.
125
56. Dung D.V., Nga N.T., “Nonlinear stability analysis of imperfect functionally
graded plates with the Poisson’s ratio v=v(z) subjected to mechanical and thermal loads”, Proceedings of Xth National Conference on Mechanics of
Deformed Solid, Thai Nguyen, Vietnam, 2010, p.142-154.
57. Dung, D.V., Hoa, L.K. (2013), “Research on nonlinear torsional buckling
and post-buckling of eccentrically stiffened functionally graded thin circular
cylindrical shells”, Compos. Part B 51, pp.300-309.
58. Dung, D.V., Hoa, L.K., Nga N.T. (2014), “On the stability of functionally
graded truncated conical shells reinforced by functionally graded stiffeners
and surrounded by an elastic medium”, Compos. Struct. 108, pp.77-90.
59. Dung D.V., Thiem H.T. (2012), “On the nonlinear stability of eccentrically
stiffened functionally graded imperfect plates resting on elastic foundations”. Proceedings of The 2nd International Conference on Engineering Mechanics
and Automation (ICEMA2), Hanoi, 2012, pp:216-225.
60. Dung D.V., Nga N.T. (2015), “Nonlinear analysis of stability for imperfect
eccentrically stiffened FGM plates under mechanical and thermal loads based
on FSDT. Part 1: Governing equations establishment”, Vietnam Journal of
Mechanics, VAST 37(3), pp. 187-204.
61. Dung D.V., Nga N.T. (2015), “Nonlinear analysis of stability for imperfect
eccentrically stiffened FGM plate under mechanical and thermal loads based
on FSDT. Part 2: Numerical results and discussions”, Vietnam Journal of
Mechanics, VAST 37(4), pp. 251-262.
62. Dung D.V., Nga N.T. (2016), “Buckling and postbuckling nonlinear analysis of
imperfect FGM plates reinforced by FGM stiffeners with temperature-dependent
properties based on TSDT”, Acta mechanica 227(8), pp. 2377-2401.
63. Dung D.V., Nga N.T. (2016), “Thermo-mechanical postbuckling analysis of
eccentrically stiffened FGM sandwich plates with general Sigmoid and
power laws based on TSDT”, Journal of Sandwich Structures and Materials,
Doi: 10.1177/1099636216682545.
126
64. Dung D.V., Hoa L.K. (2012), “Solving nonlinear stability problem of
imperfect functionally graded circular cylindrical shells under axial
compression by Galerkin’s method”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST
34(3), pp. 139-156.
65. Ghiasian S.E., Kiani Y., Sadighi M., Eslami M.R. (2014), “Thermal buckling
of shear deformable temperature dependent circular/annular FGM plates”.
International Journal of Mechanical Sciences 81, pp.137-148.
66. Hosseini-Hashemi Sh, Taher HRD, Akhavan H, Omidi M (2010), “Free vibration
of functionally graded rectangular plates using first-order shear deformation plate
theory”, Applied Mathematical Modelling 34, pp. 1276-1291.
67. Huang X.L., Shen H.S. (2006), “Vibration and dynamic response of
functionally graded plates with piezoelectric actuators in thermal
environments”. J. of Sound and Vib. 289, pp.25-53.
68. Huang H., Han Q. (2009), “Nonlinear elastic buckling and postbuckling of
axially compressed functionally graded cylindrical shells”, Int. J. Mech. Sci.
51, pp.500-507.
69. Huang H., Han Q. (2009), “Nonlinear buckling and postbuckling of heated
functionally graded cylindrical shells under combined axial compression and
radial pressure”, Int. J. Nonlinear Mech. 44, pp. 209-218.
70. Huang H., Han Q. (2008), “Buckling of imperfect functionally graded
cylindrical shells under axial compression”, Eur. J. Mech A/Solids 27,
pp.1026-1036.
71. Huang H., Han Q., Wei D. (2011), “Buckling of FGM cylindrical shells subjected
to pure bending load”, Compos. Struct. 93 (11), pp. 2945–2952.
72. Huang H., Han Q., “Nonlinear buckling of torsion-loaded functionally
graded cylindrical shells in thermal environment”, Eur. J. Mech. A/Solids 29,
pp.42-48.
73. Huang H., Han Q. (2010), “Nonlinear dynamic buckling of functionally
graded cylindrical shells subjected to a time-dependent axial load”, Compos.
Struct. 92, pp. 593-598.
127
74. Huang H., Chen B., Han Q. (2010), “Investigation on buckling behaviors of
elastoplastic functionally graded cylindrical shells subjected to torsional
loads”. Composite Structures 118, pp.234-240.
75. Huang H., Han Q. (2010), “Nonlinear dynamic buckling of functionally
graded cylindrical shells subjected to a time-dependent axial load”, Compos.
Struct. 92, pp. 593–598.
76. Javaheri R., Eslami M.R. (2002). “Buckling of functionally graded plates
under in-plane compressive loading”. ZAMM, 82 (4), pp.277-283.
77. Javaheri R., Eslami M.R. (2002), “Thermal buckling of functionally graded
plates based on higher order theory”. J. Therm. Stress 25 (1), pp.603-25.
78. Javaheri R., Eslami M.R. (2002), “Thermal buckling of functionally graded
plates”. AIAA. J., 40 (1), pp.162-1619.
79. Koizumi M. (1997), “FGM activities in Japan”, Composites Part B 28, pp. 1-4.
80. Librescu L., Stein M. (1991), “A geometrically nonlinear theory of
transversely isotropic laminated composite plates and its use in the post-
buckling analysis”, Thin-Walled Struct. 11, pp. 177-201.
81. Liew K.M., Yang J., Kitipornchai S. (2003), “Postbuckling of piezoelectric
FGM plates subject to thermo-electro-mechanical loading”, International
Journal of Solids and Structures 40, pp. 3869 – 3892.
82. Najafizadeh M.M., Hasani A., Khazaeinejad P. (2009), “Mechanical stability
of functionally graded stiffened cylindrical shells”, Applied Mathematical
Modelling 33, pp. 1151-1157.
83. Najafizadeh M.M., Eslami M.R. (2002), “Buckling analysis of circular plates of
functionally graded materials based on first order theory”. AIAA. J. 40 (7),
pp.1444-50.
84. Nam V.H., Phuong N.T., Bich D.H., Dung D.V. (2014), “Nonlinear static
and dynamic buckling of eccentrically stiffened functionally graded
cylindrical shells under axial compression surrounded by an elastic
foundation”, Vietnam J. Mech. 36(1), pp. 27-47.
128
85. Ngoc L.K., Thinh T.I. (2009), “Optimum problem of piezoelectric laminated
composite plate using genetic algorithm” Vietnam Journal of Mechanics,
VAST 31(1), pp. 87-96.
86. Ninh D.G., Bich D.H. (2016), “Nonlinear torsinal buckling and postbuckling
of eccentrically stiffened ceramic functionally graded material metal layer
cylindrical shell surrounded by elastic foundation subjected to thermo-
mechanical load”, J. Sand. Struct. Mater. 18(6), pp. 712-738.
87. Quan T.Q., Duc N.D. (2016), “Nonlinear vibration and dynamic response of
shear deformable imperfect functionally graded double curved shallow shells
resting on elastic foundations in thermal environments”, J. Thermal Stresses
39 (4), pp.437-459.
88. Rasheedat M. Mahamood, Esther T. Akinlabi (2012), “Functionally graded
material: An overview”, Proceedings of the World Congress on Engineering
2012 vol 3.
89. Reddy J.N., Chin C.D. (1998), “Thermomechanical analysis of functionally
graded cylinders and plates”, J. Thermal Stresses 21, pp. 593-626.
90. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and
analysis. Boca Raton: CRC Press 2004.
91. Samsam Shariat B.A., Eslami M.R. (2006), “Thermal buckling of imperfect
functionally graded plates”, Int. J. Solids Struct. 43, pp. 4082-4096.
92. Samsam Shariat B.A., Javaheri M.R. (2007), “Buckling of thick functionally
graded plates under mechanical and thermal loads”. Compos. Struct. 78,
pp.433-9.
93. Samsam Shariat B.A., Eslami M.R. (2005), “Effect of initial imperfection on
thermal buckling of functionally graded plates”. J. Therm. Stress, 28,
pp.1183-98.
94. Samsam Shariat B.A., Javaheri M.R., Eslami M.R. (2005), “Buckling of
imperfect functionally graded plates under in-plane compress loading”. Thin-
Wall Struct. 43, pp.1020-36.
129
95. Samsam Shariat B.A., Eslami M.R. (2002), “Thermoelastic stability of
circular plates composed of functionally graded materials under uniform
radial compression”. Int. J. Mech. Sci. 44, pp. 2479-93.
96. Shariyat M. (2008), “Dynamic thermal buckling of suddenly heated
temperature-dependent FGM cylindrical shells under combined axial
compression and external pressure”, Int. J. Solids Struct. 45, pp. 2598-2612.
97. Shariyat M. (2008), “Dynamic buckling of suddenly loaded imperfect hybrid
FGM cylindrical shells with temperature-dependent material properties under
thermo-electro-mechanical loads”, Int. J. Mech. Sci. 50, pp. 1561-1571.
98. Shariyat M. (2009), “Vibration and dynamic buckling control of imperfect hybrid
FGM plates with temperature-dependent material properties subjected to thermo-
electro-mechanical loading conditions”, Compos. Struct. 88, pp. 240-252.
99. Shen H.S. (2014), “Torsional postbuckling of nanotube-reinforced composite
cylindrical shells in thermal environments”, Composite Structures 116, pp.
477–488
100. Shen H.S. (2012), Thermal buckling and postbuckling behavior of
functionally graded carbon nanotube-reinforced composite cylindrical shells.
Composites: Part B 43, pp. 1030–1038
101. Shen H.S. (2002), “Postbuckling analysis of axially loaded functionally
graded cylindrical panels in thermal environments”, Int. J. Solids Struct. 39,
pp. 5991-6010.
102. Shen H.S., Leung A.Y.T. (2003), “Postbuckling of pressure-loaded
functionally graded cylindrical panels in thermal environments”, J. Eng.
Mech. ASCE 129, pp. 414-425.
103. Shen H.S., Liew K.M. (2004), “Postbuckling of axially loaded functionally
graded cylindrical panels with piezoelectric actuators in thermal
environments”, J. Eng. Mech. ASCE 130, pp. 982-995.
104. Shen H.S. (2004), “Thermal postbuckling behavior of functionally graded
cylindrical shells with temperature-dependent properties”, Int. J. Solids
Struct. 41, pp. 1961-1974.
130
105. Shen H.S. (2005), “Postbuckling of FGM plates with piezoelectric actuators
under thermo-electro-mechanical loadings”, Int. J. Solids Struct. 42, pp.
6101-6121.
106. Shen H.S. (2005), “Postbuckling of axially loaded FGM hybrid cylindrical
shells in thermal environments”, Compos. Sci. Tech. 65, pp. 1675-1690.
107. Shen H.S., Noda N. (2005), “Postbuckling of FGM cylindrical shells under
combined axial and radial mechanical loads in thermal environments”, Int. J.
Solids Struct. 42, pp. 4641-4662.
108. Shen H.S. (2007), “Thermal postbuckling of shear deformable FGM plates
with temperature-dependent properties”, Int. J. Mech. Sci. 49, pp. 466-478.
109. Shen H.S. (2007), “Postbuckling analysis of axially loaded piezolaminated
cylindrical panels with temperature-dependent properties”, Compos. Struct.
79, pp. 390-403.
110. Shen H.S. (2008), “Boundary layer theory for the buckling and postbuckling
of an anisotropic laminated cylindrical shell. Part I: Prediction under axial
compression”, Compos. Struct. 82, pp. 346-361.
111. Shen H.S. (2008), “Boundary layer theory for the buckling and postbuckling
of an anisotropic laminated cylindrical shell. Part II: Prediction under
external pressure”, Compos. Struct. 82, pp. 362-370.
112. Shen H.S (2009), “A comparison of buckling and postbuckling behavior of
FGM plates with piezoelectric fiber reinforced”, Compos. Struct. 91 (3), pp.
375-384.
113. Shen H.S., Li S.R (2008), “Postbuckling of sandwich plates with FGM face
sheets and temperature-dependent properties”, Composites Part B:
Engineering, 39 (2), 332-344.
114. Shen H.S, (2014), “Thermal postbuckling of FGM cylindrical panels resting
on elastic foundations”. Aerospace Science and Technology 38, pp.9-19.
115. Shen H.S., Wang H. (2016), “Postbuckling of pressure-loaded FGM doubly
curved panels resting on elastic foundations in thermal environments”, Thin-
Walled Structures, 200, pp.124-133.
131
116. Shen H.S. 2012, “Nonlinear vibration of shear deformable FGM cylindrical
shells surrounded by an elastic medium”. Compos. Struct 94, pp.1144-1154.
117. Shen H.S., Wang H. 2014, “Nonlinear vibration of shear deformable FGM
cylindrical panels resting on elastic foundations in thermal environments”.
Compos. Part B 60, pp.167-177.
118. Shen H.S., Chen X., Guo L., Wu L. (2015), “Nonlinear vibration of FGM
doubly curved panels resting on elastic foundations in thermal
environments”. Aerospace Science and Technology 47, pp.434-446.
119. Shen H.S., Wang H. (2017), “Nonlinear vibration of compressed and
thermally postbuckled nanotube-reinforced composite plate resting on elastic
foundations”, Aerospace Science and Technology 64, pp.63 – 74.
120. Shen H.S. (2009), Functionally graded materials-Nonlinear analysis of plates
and shells, CRC Press.
121. Sofiyev A.H. (2007), “The buckling of functionally graded truncated conical
shells under dynamic axial loading”, J. Sound Vib. 305 (4-5), pp. 808-826.
122. Sofiyev A.H. (2010), “The buckling of FGM truncated conical shells
subjected to combined axial tension and hydrostatic pressure”, Compos.
Struct. 92 (2), pp.488–498.
123. Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2013), “Non-linear buckling of an FGM
truncated conical shell surrounded by an elastic medium”, International
Journal of Pressure Vessels and Piping 107, pp.38-49.
124. Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2016), “The stability of FGM truncated conical
shells under combined axial and external mechanical loads in the framework
of the shear deformation theory”, Composite Part B: Engineering 92, pp.
463-476.
125. Sofiyev A.H. (2017), “The stability analysis of shear deformable FGM
sandwich conical shells under the axial load”, Composite Structures 176, pp.
803–811
132
126. Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2017), “Combined effects of elastic foundations
and shear stresses on the stability behavior of functionally graded truncated
conical shells subjected to uniform external pressures”, Thin-Walled
Structures 102, pp. 68–79
127. Sofiyev A.H. (2016), “Thermoelastic stability of freely supported
functionally graded conical shells within the shear deformation theory”,
Composite Structures 152, pp. 74–84
128. Sofiyev A.H., Zerin Z., Kuruoglu N. (2017), “Thermoelastic buckling of
FGM conical shells under non-linear temperature rise in the framework of
the shear deformation theory”, Composites Part B 108, pp. 279-290
129. Sofiyev A.H., Osmancelebioglu E. (2017), “The free vibration of sandwich
truncated conical shells containing functionally graded layers within the
shear deformation theory”. Composites Part B 120, pp. 197-211
130. Sofiyev A.H., Schnack E. (2004), “The stability of functionally graded
cylindrical shells under linearly increasing dynamic tensional loading”, Eng.
Struct. 26, pp.1321-1331.
131. Sofiyev A.H. (2005), “The stability of compositionally graded ceramic–metal
cylindrical shells under a periodic axial impulsive loading”, Compos. Struct.
69, pp.247–57.
132. Sofiyev A.H. (2010), “Buckling analysis of FGM circular shells under
combined loads and resting on the Pasternak type elastic foundation”,
Mechanics Research Communications 37, pp.539-544.
133. Sofiyev A.H. (2017), “The stability analysis of shear deformable FGM
sandwich conical shells under the axial load”, Composite Structures 176,
pp.803-811.
134. Sofiyev A.H, Zerin Z., Kuruoglu N. (2017), “Thermoelastic buckling of FGM
conical shells under non-linear temperature rise in the framework of the shear
deformation theory”, Composites Part B: Engineering 108, pp.279-290.
133
135. Sofiyev A.H., Kuruoglu N., Turkmen M. (2009), “Buckling of FGM hybrid
truncated conical shells subjected to hydrostatic pressure”, Thin-Wall. Struct.
47, pp.61-72.
136. Sofiyev A.H. (2004), “The stability of functionally graded truncated conical
shells subjected to a periodic impulsive loading”, Int. Solids Struct. 41,
pp.3411-3424.
137. Thang P.T., Duc N.D, Trung N.T. (2017), “Thermomechanical buckling and
postbuckling of cylindrical shell with functionally graded coatings and
reinforced by stringers”, Aero. Sci. Tech. 66, pp. 392-401.
138. Thinh, T.I., Cuong, N.M. (2013), “Dynamic stiffness matrix of continuous
element for vibration of thick cross-ply laminated composite cylindrical
shells”. Composite Structures 98, 93-102.
139. Thinh T.I., Ngoc L.K. (2010), “Finite element modelling and experimental
study on static deflection and vibration of piezoelectric composite plates”,
Vietnam Journal of Mechanics, VAST 32(2), pp. 121-133.
140. Tung H.V., Duc N.D. (2010), “Nonlinear analysis of stability for functionally
graded plates under mechanical and thermal loads”, Composite structures 92,
pp.1184-1191.
141. Tung H.V., Duc N.D. (2010), “Nonlinear analysis of stability for
functionally graded plates under mechanical and thermal loads”. Composite
Structures 92, pp.1184–1191.
142. Tung H.V., Duc N.D. (2010), “Mechanical and thermal postbuckling of shear
deformable FGM plates with temperature-dependent properties”, Mechanics
of Composite Materials 46 (5), pp.461-476.
143. Tung H.V, (2015), “Thermal and thermomechanical postbuckling of FGM
sandwich plates resting on elastic foundations with tangential edge
constraints and temperature dependent properties”, Compos. Struct. 131, pp.
1028 – 1039.
134
144. V. Ungbhakorn and N. Wattanasakulpong, Thermo-elastic vibration analysis
of third-order shear deformable functionally graded plates with distributed
patch mass under thermal environment, Applied Acoustics, vol. 74, pp. 1045-
1059, 2013.
145. Volmir AS (1972) Non-linear dynamics of plates and shells, Science Edition.
146. Xia X.K., Shen H.S. (2009), “Nonlinear vibration and dynamic response of
FGM plates with piezoelectric fiber reinforced composite actuators”,
Composite Structures 90, pp. 254-62.
147. Xia X.K., Shen H.S. (2008), “Vibration of post-buckled sandwich plates
with FGM face sheets in a thermal environment”. J. of Sound and Vib. 314,
pp.254-274.
148. Xia X.K., Shen H.S. (2008), “Vibration of postbuckled FGM hybrid
laminated plates in thermal environment”. Eng. Struct. 30, pp.2420–2435.
149. Xia X.K., Shen H.S. (2009), “Nonlinear vibration and dynamic response of
FGM plates with piezoelectric fiber reinforced composite actuators”.
Compos. Struct. 90, pp.254–262.
150. Xia X.K., Shen H.S. (2009), “Nonlinear vibration and dynamic response of
FGM plates with piezoelectric fiber reinforced composite actuators”.
Composite Structures 90(2), pp.254-262.
151. Yang J., Shen H.S. (2003), “Nonlinear bending analysis of shear deformable
functionally graded plates subjected to thermo-mechanical loads under various
boundary conditions”, Composites Part B: Engineering 34, pp. 103-115.
152. Yang J., Shen H.S. (2003), “Non-linear analysis of functionally graded plates
under transverse and in-plane loads”, Int. J. Nonlinear Mech. 38, pp. 467-482.
153. Zhao X, Lee Y.Y., Liew K.M. (2009), “Free vibration analysis of
functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method”, J. Sound
Vib 319, pp. 918-939.
135
PHỤ LỤC Phụ Lục A. Một số biểu thức và ký hiệu trong mục 2.2
136
137
Phụ Lục B. Một số biểu thức và ký hiệu trong mục 3.2
138
,
139
140
Phụ Lục C. Một số biểu thức và ký hiệu trong mục 3.3
, ;
;
; ,
;
,
,
,
,
, ,
141
,
142
Phụ Lục D. Một số biểu thức và ký hiệu trong mục 3.4
143
144
145
Phụ Lục E. Một số biểu thức và ký hiệu trong mục 4.2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
146
147
148
149
150
151
Phụ Lục F. Một số biểu thức và ký hiệu trong mục 4.3
152
153
154
155
156
157
158
159
160
