BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN
PH C VÀ NG NG VÀO GI I TO N PHỔ THÔNG TRUNG HỌC
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp : 60.46.01.13 Mã số
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC Ĩ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2015
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển
Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13
tháng 12 năm 2015.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và gi ải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích.
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, s ố phức được đưa vào ch ương trình Toán h ọc phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Tuy nhiên, đối với HS bậc PTTH thì s ố phức là một nội dung còn mới mẻ. Với thời lượng không nhiều, HS mới chỉ biết được
những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Vì vậy, việc khai thác các ứng dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài toán còn rất hạn chế.
Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức, tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong chương trình toán bậc PTTH nhằm đưa số phức trở thành công cụ giải toán và được sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “S ố phức và ứng dụng vào gi ải toán phổ thông trung h ọc” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu. - Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức. - Ứng dụng vào vi ệc giải một số bà i toán của ch ương trình PTTH, từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Nghiên c ứu cơ sở lý lu ận và th ực ti ễn của vi ệc sử dụng số phức như một công cụ để giải toán, phân loại các dạng bài toán có thể
2
sử dụng số phức để gi ải được và đưa ra ph ương pháp gi ải cho từng dạng cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức, các dạng biểu diễn của số phức, một số bài toán của chương trình PTTH có thể sử dụng số phức để giải được.
- Ph ạm vi nghiên cứu của đề tài là ứng dụng của số phức trong
việc giải một số bài toán của chương trình phổ thông trung học.
5. Phương pháp nghiên cứu - Thu th ập các bài báo khoa h ọc và tài li ệu của các tác gi ả
nghiên cứu liên quan đến số phức và các ứng dụng của nó.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Nâng cao ki ến thức, kĩ năng sử dụng công cụ số phức nhằm đưa ra cách gi ải hiệu quả cho một số dạng toán th ường gặp ở trường PTTH. Góp phần phát huy tính tư duy và tự học của học sinh.
7. Cấu trúc luận văn Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận gồm 2 chương: Chương 1 trình bày khái ni ệm, các phép toán trên t ập số phức,
các dạng biểu diễn của số phức.
Chương 2 trình bày ứng dụng của số phức vào gi ải một số bài toán trong hình học, lượng giác, đại số ở chương trình phổ thông trung học.
3
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC
Trong ch ương này, chúng tôi gi ới thi ệu một số ki ến th ức liên quan về số phức, lịch sử hình thành khái ni ệm số phức, các phép toán trên tập hợp số phức, các dạng biểu diễn của số phức… Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham kh ảo tại các tài li ệu [1], [4], [6], [9].
1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là th ời kì Ph ục hưng của toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Biểu thức dạng
ab
0
+-
1, b „
xu ất hi ện trong quá trình gi ải ph ương trình b ậc hai,
, trong đó kí bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được Gauss gọi là số phức và th ường được kí hi ệu là aib+
1
i = - được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
hiệu
• Trường £ được xây d ựng nh ư trên được gọi là tr ường số
1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
(,).(1,0).(0,1),,
.
• Mọi phần tử của £ được gọi là số phức. • Vậy zababaiba b ==+=+"
z" ˛£ , ta có ˛
¡
phức.
Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó:
a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez. b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz. • Số phức liên hợp
4
zaiba b
,
,
=+" ˛
¡ , khi đó zaib=- ˛ £ được gọi
Cho
là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z .
1.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC
;
+
zaibzaib =+= 11122
2
1.3.1. Phép cộng Ta gọi tổng của hai s ố ph ức là số
zz
b
)
()( zaaib =++
+
z= + 1
2
121
2
phức và được kí hiệu là .
1.3.2. Phép trừ Phép cộng trên có phép toán ng ược, ngh ĩa là v ới hai s ố ph ức
;
zaibzaib =+= 11122
+ 2
ta có th ể tìm được số ph ức z sao cho
z+
=
zz 2
1
1z và
2z , kí
. Số phức này gọi là hiệu của hai số phức
zz
z
=
-
1
2
b
zaaib =-+
-
()() . 121
2
hiệu là , rõ ràng t ừ định ngh ĩa ta có
;
=+=
zaibz 11122
aib + 2
là 1.3.3. Phép nhân Ta gọi tích của hai số phức
=-+
zaabbiabb a ()(). + 1212121 2
số ph ức z xác định bởi Và kí hi ệu là
zz z=
1 2
.
z „ . Khi đó ta có th ể tìm được một số ph ức 2
Giả sử 1.3.4. Phép chia 0
z=
zaib=
+
.zz 2
1
-
=
a 1
sao cho . Theo định nghĩa của phép nhân ta
.
+
=
aabb 22 baab 22
b 1
(cid:236) (cid:237) (cid:238)
có hệ phương trình sau :
=
Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z1 và z2 .
z
=
z 1 z
=
2
aabb - 22 baab + 22
a 1 b 1
(cid:236) (cid:237) (cid:238)
Giải hệ Kí hiệu .
5
1.3.5. Lũy thừa bậc n của số phức Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức
nz .
z. Kí hiệu
1.3.6. Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai a. Căn bậc hai của số phức
2z
w= được gọi là căn
Cho số phức w, số phức z = a + bi tho ả
bậc hai của w.
z=
. Kí 1.3.7. Căn bậc n Số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu w n
=
. hiệu w
n z 1.3.8. Định lý
z
izz .,
.
="˛ (cid:204)
¡ £
iizz .,
z . =" ˛
£
iiizzz .
.
+
z += 121
2
2
2 ivzzabzaiba b
..0(,,).
=+‡"=+"
˛
¡
z
.
ll
l
vzzzzzz ..Suy ra:,, =="˛" ˛ 2
121
¡
£
z 1
z 1
vi .
.
=
z
z
2
2
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
viizzzazzizibzaiba b .2Re2;2Im2(,,).
+==-=="=+"
˛
¡
1.3.9. Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn
ngữ số phức Cho tr ước hai điểm M(m), N(n) . Khi đó, độ dài đoạn
MNnmdm;n = =-
(
)
. Trong m ặt ph ẳng cho tr ước đoạn th ẳng
k
{ }1
\˛ ¡
AB. Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số khi và
6
-=
uuuruuur chỉ khi MAkMB=
( amk.b m -
)
, trong đó a, b và m là tọa vị
các điểm A, B và M theo thứ tự đó.
]AB là ch ỉ đoạn thẳng AB, kí hi ệu
)AB là chỉ tia AB, ta có các kết
Từ đó, nếu kí hi ệu [
(AB) là chỉ đường thẳng AB, kí hiệu [
quả sau
) ( Aa,B b
( )
)M m . Khi đó
(
1
+
(
)
[
]
˛(cid:219)$˛-=-(cid:219)$˛=-
+
[ (
( (
( 1
)
( ) ( ) 2
¡
] ) MABt:zmt.bmt;:mtatb 0011 ˛(cid:219)$‡-=-(cid:219)$˛=- ) ) MABt:mat.bat:mtatb ¡ a. Góc giữa hai đường thẳng
phân bi ệt và điểm ước hai điểm Cho tr
Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm
1 2
, =
( Mz,M z
)
(
)
112
2
a = k
argz,k k
2 p
)
122
1
(
uuuuruuuuruuruuuuruuruuuur ( ) ( ) OM,OMOx,OMOx,OMmod - ”
) (
và . Khi đó:
1OM với tia
2OM bằng
arg
z 2 z 1
hay góc định hướng tạo bởi tia .
b. Tích vô hướng của hai số phức
( Mz,M z
)
(
)
112
2
. Trong m ặt phẳng phức cho hai điểm
•
uuuuruuuur OM.OMOM.OM.cosMOM 12121
= 2
Khi đó
d. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
7
)0M z (
+
.z.z + aa 0
b 0
Khoảng cách t ừ điểm đến đường th ẳng
0
D++
:.z.zaa b =
( dM ,
) D =
2
. aa
bằng
e. Đường tròn
)
( 0M z
0
bán kính R là t ập hợp nh ững Đường tròn tâm
MMRhayzz
R
=-
=
0
0
2
điểm M(z) sao cho tức là
0
zzzzzzzz --+-
R =
000 0
.
Từ đó mọi đường tròn đều có ph ương trình d ạng
zzz
0
+++
zaa b
=
a
, ˛£ b˛
¡ . Đường tròn này có tâm v ới tọa vị a- , bán kính
, trong đó
R aa b
-
=
.
f. Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức Phép dời hình.
z'fzz
( ) v == +
Phép t ịnh tiến. Biểu thức của phép tịnh tiến là
z'z
ez
-=
Biểu th ức của phép quay là
( i . za -
0
0
Phép quay. )
Phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng l là phép bi ến hình bi ến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho l là trung trực của MM'. Từ đó
8
z'fz =
=
( ) z
Phép đối xứng qua trục thực:
z'fz
== -
( ) z
Phép vị tự tâm
Phép đối xứng qua trục ảo:
)0C z (
*˛ ¡ là phép bi ến hình
, tỷ số r
uuuuruuur biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') mà CM'r.CM=
. Do đó, có
biểu thức
z'r.zz =-
z +
(
)0
0
.
g. Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng n ằm trên một đường
tròn
(
)
) ( Mz,Mz,M z
(
)
11223
3
Định lý 3. Ba điểm thẳng hàng khi và
*
chỉ khi
˛
Im
0
=
¡ hay
z 3 z
- -
z 3 z
- -
2
z 1 z 1
2
z 1 z 1
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
.
123 4
(
) kMz,k,, , =
k
z
z
z
Định lý 4. Bốn điểm cùng nằm trên m ột
˛
¡
- -
z - 323 zzz - 121
4 : z 4
đường thẳng hay đường tròn khi và chỉ khi
h. Tích ngoài của hai số phức
( Mz,M z
)
(
)
112
2
•
uuuuruuuuruuuuruuuur OMOMOM.OM.sinMOM = 2
· 12111
Trong m ặt phẳng phức cho hai điểm .
1.4. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
1.4.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp số thực
9
Mỗi số phức a + bi hoàn toàn được xác định "a; b˛ £ gọi là các thành phần của chúng.
Định ngh ĩa 1.1. Một cặp số th ực có th ứ tự (a; b), a ˛ ¡ , b˛ ¡ được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:
a
c
=
(cid:219)
.
(
) = abc d ; ;
(
)
i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức:
{
b
d
=
ii) Phép cộng trong tập số phức: (a; b) + (c; d) := (a +c; b +d) và
cặp (a + c; b + d) được gọi là tổng của các cặp (a; b) và (c; d) .
iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b) (c; d) := (ac -bd; ad +bc)
và cặp (ac - bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d).
iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số
thực a, nghĩa là: (a; 0) : = a hay là (a; 0) ” a.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ . 1.4.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số Mọi số phức (a; b) ˛ £ đều được biểu diễn dưới dạng: (a; b) = (a; 0)+ (b; 0) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi , trong đó cặp (0; 1) được
ký hiệu bởi chữ i.
Từ tiên đề iii) ta có: i 2 = (0;1)(0;1) = (0.0 -1.1; 0.1+1.0) = (-1;
0) = -1.
Biểu thức (a; b) = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức.
1.4.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a; b). Mỗi số phức z = a
+ bi có th ể đặt tương ứng với điểm M(a; b) và ng ược lại, mỗi điểm
M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức z = a + bi.
10
Nhờ phép tương ứng: M(a; b) a a + bi, ta có th ể xem các s ố phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vect ơ với điểm đầu tại gốc tọa độ O(0; 0) và điểm mút tại M(a; b).
1.4.4. Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận Xét tập hợp các ma tr ận cấp hai d ạng đặc bi ệt trên tr ường số
b
;
˛
¡
b a
(cid:246) (cid:247) ł
a (cid:236) (cid:230) Ma b : = (cid:237) (cid:231) -Ł (cid:238)
(cid:252) (cid:253) (cid:254)
thực
sao cho trên đó các phép toán c ộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc thông thường của đại số ma trận.
b
a
b
a (cid:230) (cid:231) -Ł
(cid:246) (cid:247) ł Đó là ánh xạ đơn trị một - một. Qua ánh xạ này toàn bộ trường
b
Khi đó mỗi số phức z = a + bi được đặt tương ứng với ma trận:
b a
a (cid:230) (cid:231) -Ł
(cid:246) (cid:247) ł
2
số phức được ánh xạ lên tập hợp M các ma trận dạng .
ra
2 b=
+
(osisin ) j
zr c =
+
một véc tơ có bán kính véc t ơ 1.4.5. Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ a. Dạng lượng giác của số phức Vì mỗi điểm có t ọa độ (a, b) trong m ặt ph ẳng tương ứng với và góc c ực tương ứng j.
. Do đó mỗi số phức z có th ể biểu diễn dưới dạng j Đây là d ạng lượng giác c ủa số ph ức, trong đó r, j lần lượt là bán
z=
kính cực và góc c ực của số phức z. Bán kính r g ọi là modun c ủa số . Góc cực j gọi là argument c ủa số phức z, kí phức z, kí hi ệu r
j=
. hiệu là Argz
11
i
c
b. Dạng mũ của số phức
j
j – e j =
i j
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt osisin –
zre =
và dạng lượng giác được biến đổi thành dạng số mũ của số
1
i j 2
z „ . 0 Dễ dàng chứng minh rằng nếu
phức
;
=
i zrezr e j = 112 2
(
i
i
( jjj j+ r 12)12 )
„
zzrree == 1212
- 2
z 1 ;;0. z 2
r 1 r 2
thì:
zaibr c =+=
(osisin ) + j
j
Phép nâng số phức lên lũy thừa
k
j
+
p
i
j
n
2 n
nni n zrezrek
n
1
====
n ;w;0;1;...; - k
Công thức Moivre
Cho một số ph ức bất kì d ưới dạng lượng giác
, theo công thức ở trên ta có
zr c =
(osisin ) j
+
j
[(osisin)](osnisin),
.
n nn zrcrcnn Njjj =+=+" ˛
j
Công thức trên được gọi là công thức Moivre.
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số
k
k
p
+
rck Z
n w(osisin),(), =+
˛
2 + jpj n
2 n
thì ta được z .
bậc n của số phức được thực hiện theo công thức Moivre:
12
CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
TRUNG HỌC
Trong chương này, chúng tôi trình bày ứng dụng của số phức
vào gi ải một số dạng bài toán trong hình h ọc, lượng giác và đại số.
Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu
[2], [3], [5], [6], [7, [8], [9], [10].
2.1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC
2.1.1. Các bài toán về chứng minh tính ch ất hình học
và tính toán
Bài toán 1. Trong mặt ph ẳng tọa độ Descartes Oxy cho tam
giác ABC, với các đỉnh A(1; 0), B(0; 3) và C(-3; -5).
định điểm I th ỏa mãn điều ki ện:
uururuur
C 2IA-3IB+2I= 0
1) Xác r .
2) Xác định tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC và điểm D sao
cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Nhận xét: Vì có th ể đồng nh ất mỗi số ph ức với một điểm
trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên từ giả thiết của bài toán ta có th ể xác
định được tọa độ của các điểm I hay G thông qua thông qua vi ệc biểu
diễn điểm và vectơ theo tọa độ phức. Vì vậy bài toán có th ể giải được
bằng số phức.
Học sinh vẫn thường làm bằng phương pháp tọa độ, xuất phát
13
từ việc gọi tọa độ của điểm và áp dụng biểu thức vectơ đã cho. Từ đó
tính được tọa độ của I nh ờ tính ch ất của hai vect ơ bằng nhau. Nh ư
vậy, nếu sử dụng số phức để giải bài toán này thì có một thuận lợi nổi
bật đó là mỗi điểm chỉ có một tọa độ phức, còn theo cách c ũ ta ph ải
xác định được hai tọa độ.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm E và F
uuruuuruuruuur EBkEC,FBFCk
.
==
) 1
(
1 „ k
uuuruuuruuuruuruuur
sao cho
1) Tính AE,AF,EFtheoAB,AC.
2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm.
r
3) Trên AB l ấy điểm D, trên AC l ấy điểm I sao cho
0
uuuruuruuur AEBICD++ =
uuuruuuruuruur DAkDB,ICkIA. =
=
Chứng minh .
Bài toán 3. (B ất đẳng th ức Ptolemy). Cho t ứ giác ABCD.
‡
+
Dấu Chứng minh r ằng ta luôn có AB.CDAD.BCAC.BD.
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo th ứ tự là đỉnh của một
tứ một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.
Bài toán 4. (Bài toán Napoleon). L ấy các cạnh của BC, CA,
AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với
A,B,C . Ch ứng minh r ằng :
A,B,C là đỉnh
00
0
00
0
tâm tương ứng
của một tam giác đều.
Bài toán 5 . (IMO 1977). Cho hình vuông ABCD. D ựng về
phía trong hình vuông các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN.
14
Chứng minh rằng các trung điểm các đoạn thẳng KL, LM, MN,
NK, BK, BL, CL, DM, DN, NA là đỉnh của một thập nhị giác đều.
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn gi ải được bằng ph ương
pháp tọa độ, hay ph ương pháp t ổng hợp, tuy nhiên l ời gi ải khá dài.
Bằng công cụ số phức để giải bài toán này đã làm giảm đi đáng kể các
động tác biến đổi phức tạp trên các vec tơ.
2.1.2. Các bài toán về tính chất thẳng hàng, đồng quy.
Số phức cũng tỏ ra hiệu quả trong các bài toán về thẳng hàng,
đồng quy.
Bài toán 6. Cho ABCD và BNMK là hai hình vuông không
giao nhau, E là trung điểm của AN. Gọi F là chân đường vuông góc hạ
từ B xuống đường thẳng CK. Chứng minh rằng các điểm E, F, B thẳng
hàng.
Bài toán 7. ( Định lí con nhím). Trong mặt phẳng cho đa giác
01
1n
AA...A - .
^”
=
)
njjjnjj
1
j
đơn
-
Xét các véc-tơ uruuruuruuruuuuuruuruuuuur ( u,u,...,umàuAAcoiAA,uA A- 1210
hướng ra ngoài mi ền đa giác đơn. Ch ứng minh r ằng ,
0
=
uur ju uruuruur uu,... u ++ 1 2
n
.
Bài toán 8. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta
lần lượt dựng các tam giác đồng dạng có cùng h ướng là ADB, BEC,
CFA. Chứng minh rằng các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Bài toán 9. (Đường tròn Euler và đường thẳng Euler).
15
3AA A có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, trực
12
Cho tam giác
B,B,B lần lượt là trung điểm các cạnh
12
3
tâm H, tr ọng tâm G. G ọi
AA,AA,A A
23311
2
P,P,P là chân 12
3
C,C,C là trung điểm của
A,A, A xu ống các đỉnh tương ứng; 12
3
12
3
; đường cao h ạ từ hạ từ
A,A, A với trực tâm của tam giác. Ch ứng 12
3
đoạn thẳng nối từ đỉnh
minh rằng
a) H, O, G thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này gọi
là đường thẳng Euler.
C,C,C thu ộc một
B,B,B , 3
12
P,P,P , 12 3
12
3
b) Chín điểm
đường tròn, gọi là đường tròn Euler.
2.1.3 Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc
Bài toán 10. (Đề vô địch Anh 1983). Cho tam giác ABC cân
đỉnh A, gọi I là tâm đường tròn ngo ại tiếp tam giác ABC; D là trung
điểm của AB và J là tr ọng tâm của tam giác ACD. Ch ứng minh rằng
IJCD^
.
Bài toán 11. ( IMO 17, 1975).
Về phía ngoài c ủa tam giác ABC, l ần lượt dựng các tam giác
ABR, BCP, CAQ sao cho:
Chứng minh rằng: = 90, RQ = RP.
Bài toán 12. Cho tam giác ABC. Trong n ửa mặt ph ẳng bờ
BC chứa điểm C, dựng hình vuông ABDE. Trong nửa mặt phẳng bờ
16
BC chứa điểm A, dựng hình vuông BCFG. Ch ứng minh rằng
GA ^ CD.
Nhận xét: Để ý đến biểu thức tọa độ của các phép bi ến hình,
ta thấy phép tịnh tiến tương ứng phép cộng số phức, phép quay tương
ứng với phép nhân số phức có mođun bằng 1, phép vị tự là phép nhân
với số thực, phép vị tự quay là phép nhân với số phức bất kì.
2.1.4 Các bài toán về đại lượng hình học
Bài toán 13. Cho ba hình vuông được biểu diễn như hình vẽ
dưới đây.
và g . Hãy so sánh tổng a b+
Bài toán 14. Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm
M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:
MA2 + MB2 +MC2 = GA2+GB2+GC2+3MG2.
2.1.5 Các bài toán về xác định tập hợp điểm.
222
2
Bài toán 15. Cho hình bình hành ABCD.
(MAMC)(MBMD )
+-
+
1) Chứng minh r ằng: là
hằng số, không bị phụ thuộc vị trí điểm M.
2222
2
2) Tìm tập hợp điểm M sao cho
k
MAMBMCMD +++
=
(k là số thực).
Nhận xét: Nh ận th ấy rằng trong các bi ểu th ức trên có ch ứa bình
phương độ dài c ủa các đoạn th ẳng. Các đại lượng đó cũng chính là
bình ph ương môđun của các s ố phức tương ứng. Từ đó áp dụng các
kiến thức về số phức ta dễ dàng suy ra yêu cầu của bài toán.
17
Bài toán 16. Cho tam giác ABC, trong đó các đỉnh B, C c ố
định, đỉnh A thay đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm M, N của các cạnh
tương ứng AB, AC và tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC trong các
trường hợp:
a) Độ dài đường cao AA' không đổi.
b) Chân A' của đường cao AA' cố định.
c) Độ dài đường cao AA' không đổi.
Bài toán 17. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm
M chuyển động trên (C), A' là điểm đối xứng của A qua M. Tìm t ập
hợp điểm A' và trọng tâm G của tam giác A'AB.
Bài toán 18. Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R c ố
định. Điểm C chuy ển động trên n ửa đường tròn. V ề phía ngoài tam
giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A. Tìm tập hợp điểm D.
Bài toán 19. Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là
dây cung cố định không phải là đường kính của đường tròn (C), điểm
A chuyển động trên cung l ớn BC. Tìm t ập hợp trọng tâm G c ủa tam
giác ABC.
2.2. ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC
fx
4 x
()cos =
2.2.1. Các bài toán về tính toán
Bài toán 20. Hạ bậc .
p
x thành tổng chứa
Yêu cầu của bài toán là biến đổi các lũy thừa bậc cao của cosx
hay sinx như: cosn x , sin n x và cos.sinp x
18
các số hạng bậc nhất đối với cos xa hay sin xb . Như vậy bài toán
có thể sử dụng công th ức Euler để giải quyết, tức là có th ể giải được
bằng số phức.
Nhận xét: Cần chú ý r ằng nếu hạ bậc thành th ạo và bi ết kết
hợp với công th ức Moivre chúng ta có ph ương pháp gi ải quy ết các
phương trình l ượng giác b ậc cao ho ặc ph ương trình l ượng giác có
5
1
c
os
=
chứa biểu thức của sin và cosin của cung bội rất hiệu quả.
p 5
+ 4
Bài toán 21. Chứng minh rằng .
sinsin2...sin
=++ +
Saana 1 Sacana
cosos2...cos
.
=++ +
2
Bài toán 22.
2.2.2. Các bài toán về chứng minh đẳng th ức, công th ức
lượng giác
Bài toán 23. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có
n
--
-
6 A
22244466 nn
n
a)
x
nnn coscoscossincossincossin... nxxCxxxCxxxCxxx =-+-+ + n với A = ( )21sin n -
n
1 -
nếu n chẵn,
sin
x
1 n - 2 Ccosx 1 n - n
) 1 -
nếu n lẻ.
n
5
--
-
B
-
n
nn 1133355 sincos.sinxcossincossin... nxCxCxxxCxxx =-+ nn
A = ( b)
n
2
n
1 -
- 2
19
B
x
n n
( = -
) 1Ccosx.sin
với nếu n chẵn,
n
1 n - 2 sin
x
) 1 -
3
tan...
-
nếu n lẻ. B = (
tannx
=
2
4
x n x
x x
5 135 CxCCx -+ tantan nn 24 1tan... CCx -+ tan n
- n
c) .
5
3
sin516sin20sin5sin . +
=- jjj
j
5
3
c
.
j
os516cos20cos5cos +
jjj =- Bài toán 25. Chứng minh rằng:
1
p
=
Bài toán 24. Chứng minh công thức:
pp ososcos c c ++ 777
35 2
1
p
c
=
. a)
pp ososcos c -+ 777
23 2
b) .
a
0
b
c
coscoscossinsinsin ca b = ++=++
Bài toán 26. Cho a, b, c là các số thực sao cho:
.
Chứng minh rằng:
bcab cos2cos2cos2sin2sin2sin2
a
c
0
++=++
=
.
2.2.3. Các bài toán về phương trình lượng giác
2
6
6 3 cosxcos x-
1 = .
Bài toán 27. Giải ph ương trình l ượng giác
.
x a)cosos3os5os7os9 xcxcxcxc ++++
=
1 2
Bài toán 28. Giải phương trình lượng giác :
2
20
x
2 tancot6.x +
=
b)
Nhận xét chung: Thông qua nh ững ki ến th ức cơ bản về số
phức, giáo viên lấy những ví dụ đơn giản và phức tạp dần trong lượng
giác mà gi ải bằng ngôn ngữ số phức, qua đó phân tích, so sánh, đánh
giá để gây hứng thú cho học sinh trong việc dùng số phức để giải toán
lượng giác.
2.3. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP
2.3.1. Các bài toán về chứng minh đẳng th ức, bất đẳng
thức
a b ,i
i
Bài toán 29. Chứng minh rằng với các số thực
2
.
+
2222222 aaabbababa (...)(b...)... b +++++++£+++++ 1212112 2 n
nnn
(i = 1, 2, …, n), ta có:
2a là hai s ố th ực bất kì. Ch ứng
1a ,
Bài toán 30. Cho
2 (1a)(1a)2.
a
+-++-
‡
222 a 122
1
minh:
22222
2
Bài toán 31. Chứng minh rằng:
3
aabbbbccccaaa b c ++++++++‡+ +
(
)
,
, a b"
.
22222
2
˛
(
) .
(
)
(
)
( 4oscossin4sinsinsin2,
) cxyxyxyxyxy R+-++-‡"
Bài toán 32.
(Đại học Công đoàn – 1995)
21
Nhận xét: Qua các bài toán nêu trên, ta th ấy ứng dụng của số
phức vào việc chứng minh bất đẳng thức thật là thú vị. Ẩn chứa trong
cách giải các bài toán bất đẳng th ức bằng ph ương pháp số phức đó
chính là việc sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực.
2.3.2. Các bài toán về chứng minh công thức đại số, tổ hợp
n
.
-+-
Bài toán 33. Chứng minh rằng:
024 CCC nnn
6 CC n
8 ++ = n
a)
( n ...2cos
)
p 4
n
.
++ =
1357 CCCCC -+- nnnn
9 n
b)
( n ...2sin
)
p 4
n
1 -
n
.
-
(
)
7 357...2os1 CCCCnc -+-+= n
135 nnn
n
3
-
.
n
-
(
)
024 CCCCn nnn
6 246...2sin1 -+-+= n
( (
) )
p 4 p 4
k
C
Bài toán 34. Chứng minh rằng:
S 1
3 n
= (cid:229)
03
k n 1
£< +
. Bài toán 35. Tính tổng
n
cos
Bài toán 36.
SCkx 2
k n
= (cid:229)
k
0
=
a. Tính tổng .
21
m
mmk -
b. Chứng minh rằng
2 2coscos(22 )
m
2
2
m
1 m - xCmkx =- k 0
=
. +(cid:229) C 1 2
22
Nhận xét: Để số phức là công cụ để giải toán hình học phẳng,
lượng giác, đại số đòi hỏi phải nắm vững và sử dụng linh hoạt các kiến
thức cơ bản về số phức.
2.3.3. Các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình
3 axbxcx
0,
2 d +++ =
aa bc d
,
Bài toán 37. Giải phương trình bậc 3:
˛£ .
trong đó: (0),,, „
3 xx
x+--
233140. =
Bài toán 38. Giải phương trình:
3 xx
+++
2924190. x =
Bài toán 39. Giải phương trình :
2
3
1
.
3
3
2 xy
y -
=
3 (cid:236) -= - xxy (cid:239) (cid:237) 3 (cid:239)(cid:238)
Bài toán 40. Giải hệ phương trình:
26
2 5
3 xxy -
=
.
3
y
2 xy 625 3 -
=
(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)
Bài toán 41. Giải hệ phương trình:
y
x
7
+
=
2
y
.
y
1
2
y
(cid:236) 1611 x - (cid:239) 2 x + (cid:239) (cid:237) x 1116 + (cid:239) -= - y (cid:239) 2 x + (cid:238)
Bài toán 42. Giải hệ phương trình:
x
3
+
=
.
23
0
=
3 y x - 2 2 y x + x y 3 + 2 2 y x +
(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) - y (cid:239) (cid:238)
Bài toán 43. Giải hệ phương trình
1
+
=
2
2
x
y
1 +
2 3
(cid:246) (cid:247) ł
.
y
1
-
=
2
x
7
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) 14 2 (cid:247) 2 y + ł
(cid:236) (cid:230) x (cid:239) (cid:231) Ł (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)
Bài toán 44. Giải hệ phương trình:
x 31
+
(cid:230) (cid:231)
(cid:246) 2 = (cid:247)
y
1 x + ł
.
y
=
x
y
1 -
(cid:230) 714 2 - (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
(cid:236) (cid:239) (cid:239)Ł (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)
Bài toán 45. Giải các hệ phương trình sau:
x 101
+
5
y
3 x +
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) 3 = (cid:247) ł
.
xy R , ˛
(
)
y
1
1
y
3 -= - x 5 +
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)
Bài toán 46. Giải các hệ phương trình sau:
24
KẾT LUẬN
Luận văn “Số phức và ứng dụng vào giải toán ph ổ thông trung học” đã hoàn thành được mục tiêu đề ra th ể hi ện qua các n ội dung sau:
1. Nhắc lại, hệ thống và bổ sung những kiến thức cần thiết về số phức, một kiến thức mới mẻ nhưng khá quan trọng trong chương trình phổ thông.
2. Giới thiệu phương pháp giải toán hình học phẳng, lượng giác, đại số bằng ngôn ngữ số phức nhằm khai thác tối ưu các ứng dụng của số phức - một phương pháp tỏ ra có nhiều ưu điểm riêng so với những phương pháp khác.
3. Hệ th ống và phân lo ại được một số lớp bài toán hình h ọc phẳng, lượng giác, đại số giải được bằng phương pháp số phức để đưa ra phương pháp giải chi tiết, lời giải ngắn gọn, cụ thể nhằm minh họa rõ nh ất từng ứng dụng thể hi ện qua một hệ th ống các bài toán được chọn lọc trong các đề thi quốc gia và qu ốc tế, các định lý nổi tiếng về hình học. Đặc bi ệt, một số bài toán tìm t ập hợp điểm, ứng dụng các phép bi ến hình trong hình h ọc phẳng, bài toán ch ứng minh bất đẳng thức tương đối khó đối với học sinh đã được giải chi tiết theo phương pháp này.
Trong quá trình làm luận văn, mặc dù có rất nhiều cố gắng song do điều kiện khách quan và năng lực có hạn của bản thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân thành của quý th ầy cô và các b ạn để có th ể tiếp tục tìm hi ểu, nghiên cứu và phát triển luận văn về sau này.
