Sử dụng dãy số dương delta để khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets trong phân giải tín hiệu xử lý thông tin

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng dãy số dương delta.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng dãy số dương delta để khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets trong phân giải tín hiệu xử lý thông tin

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Sử dụng dãy số dương delta để khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets trong phân giải tín hiệu xử lý thông tin Using positive delta sequenses eliminates the Gibbs phenomenon of Wavelets approximations functions in multiresolution analysis information handling Nguyễn Kiều Hiên Email: nguyenkieuhien@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 20/11/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/12/2019 Ngày chấp nhận đăng: 31/12/2019 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng dãy số dương delta (xem [2]). Từ khóa: Phép biến đổi Wavelets; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn; dãy số dương delta. Abstract: In this paper, we research the existence of Gibbs for a function Wavelets approximation of functions with a jump discontinuity and show the Gibbs phenomenon near the jump. At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use positive delta sequences (see [2]). Keywords: Transformation Wavelets; Gibbs phenomenon; discontinuity point; positive delta sequences. 1. GIỚI THIỆU Wavelets đã khắc phục được hạn chế của phép biến đổi Fourier là chỉ cung cấp thông tin có tính Năm 1898, J. Willard Gibbs khi nghiên cứu về sự toàn cục và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm gián đoạn hoàn không chứa các đột biến hoặc các thay đổi đã phát hiện ra hiện tượng Gibbs. Tuy nhiên, phải không dự báo được. đến năm 1906 Maxime Bocher mới có lời giải chi tiết về mặt toán học. Sau đó năm 1975, Morlet đã Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng không phát triển phương pháp đa phân giải. Trong đó, gian các hàm giảm nhanh Schwartz và chỉ ra hiện Morlet đã sử dụng một xung dao động, được hiểu tượng Gibbs gần bước nhảy. Đồng thời đưa ra là một Wavelets (một sóng nhỏ) cho thay đổi kích cách khắc phục hiện tượng Gibbs bằng cách sử thước và so sánh với tín hiệu ở từng đoạn riêng dụng dãy tựa dãy số dương delta. biệt. Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ Wavelets 2. SỰ TỒN TẠI HIỆN TƯỢNG GIBBS VỚI HÀM chứa các dao động tần số khá thấp, sóng nhỏ này XẤP XỈ WAVELETS được so sánh với tín hiệu phân tích để có hình ảnh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó Định nghĩa 1 (xem [2]) sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần tần số dao Cho không gian Schwartz S (!) , hoặc không gian động. Quá trình này gọi là thay đổi tỉ lệ phân tích. các hàm giảm nhanh ! 𝐶𝐶 (ℝ) được định nghĩa bởi Khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở độ phân giải cao hơn, giúp 𝑆𝑆(ℝ) = {𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 : |𝑓𝑓 (𝑥𝑥)| ≤ 𝐶𝐶",$ (1 + |𝑥𝑥|)%$ } ! " phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn "k , l Î ! + . ẩn bên trong tín hiệu. Phương pháp đa phân giải Định nghĩa 2 (xem [2]) Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh Ta định nghĩa không gian các hàm giảm nhanh 2. TS. Nguyễn Viết Tuân 𝐶𝐶 ! (ℝ) trong 𝑆𝑆! (ℝ) bởi 98 Tạp chí Nghiên cứu khoa học,Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019
NGÀNH TOÁN HỌC Sr (!) = { f ∈C r : f l ( x ) ≤ Cl ,k 1+ x ( ) −k } Định nghĩa 6 (xem [2]) 0 £ l £ r , "k , l Î ! + . Ta gọi dãy {d m ( x, y )} trong không gian 𝐿𝐿! (ℝ) với Định nghĩa hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ tham số 𝑥𝑥 ∈ ℝ là dãy số dương nếu thỏa mãn điều Wavelets 𝑓𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿! (ℝ) được xác định với kiện sau: hàm bước nhảy gián đoạn ở gốc tương tự như i) Nếu tồn tại C > 0 thỏa mãn định nghĩa sau. " ! |𝛿𝛿! (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)| 𝑑𝑑𝑦𝑦 < 𝐶𝐶, ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑚𝑚 ∈ ℤ$ . Định nghĩa 3 (xem [3]) #" ii) Nếu tồn tại C > 0 thỏa mãn Cho ∈ 𝐿𝐿! (ℝ) khi đó hàm jj,k được cho bởi m ® ¥, hội tụ đều trên tập x+c ò d m ( x, y )dy ® 1 khi j j ,k ( x ) = 2 j j ,k 2 j x - k j 2 ( ) thì hệ Wavelets x -c compact của ℝ {j j ,k } j ,kÎ! trực chuẩn trong không gian 𝐿𝐿! (ℝ). iii) Cho mỗi g > 0 thỏa mãn Hơn nữa {j j ,k } j ,kÎ! là cơ sở trực giao của không gian 𝐿𝐿! (ℝ).. Khi đó hàm jj,k gọi là các Wavelets, và ò d m ( x, y ) dy ® 1 khi m ® ¥. x - y >g ∈ 𝐿𝐿! (ℝ) gọi là hàm sinh bởi các Wavelets. Định nghĩa 7 (xem [2]) Định nghĩa 4 (xem [3]) Cho dãy {d m ( x, y )} được định nghĩa như Định nghĩa Đa phân giải một Wavelet, tức là tồn tại một dãy 6. Ta cho điều kiện với mọi x, y ∈! và d m ( x, y ) ³ 0 thì {V j } jÎ! không gian con đóng của không gian 𝐿𝐿! (ℝ) {d m ( x, y )} gọi là dãy số dương delta. thỏa mãn điều kiện sau Định lý 1 (xem [1]) i ) V j Ì V j +1 , "j Î !, ii ) " V j = {0} , Cho hàm ϕ ∈Sr ( ! ) và K 0 ( x, y ) = å j ( y - k ) j ( x - k ) . kÎ! jÎ! Khi đó iii ) " V j trù mật trong 𝐿𝐿 (ℝ), ! Cβ jÎ! i) K 0 ( x, y ) ≤ β , β ∈!, iv) Mỗi j Î !, f ( x ) ÎV0 khi và chỉ khi f ( 2 x ) ÎV j , j (1+ x − y ) v) Mỗi k Î !, f ( x ) ÎV0 khi và chỉ khi f ( x - k ) ÎV0 , ∞ ii) ∫−∞ K 0 ( x, y ) dy = 1, ∀x ∈!. vi ) Nếu tồn tại hàm j Î V0 là hàm gộp, hoặc hàm Chứng minh sinh bởi các Wavelets, thỏa mãn {j ( x - k )}kÎ! là cơ sở trực giao của không gian V0 . i) Vì Định nghĩa 5 (xem [2]) K 0 ( x, y ) = K 0 ( y, x ) = K 0 ( x + 1, y + 1) . Không mất tính tổng quát giả sử x + y £1 và x ≥ y. Giả sử hàm f (x) có bước nhảy gián đoạn tại x = 0 Nếu k ≥ 0 có f ( 0 + ) = lim+ f ( x ) < ¥, x+ y x- y x ®0 x-k = + -k 2 2 f (0 - ) = lim f ( x ) < ¥, x ® 0- æ x- y ö æ x+ yö = ç -k ÷-ç- ÷ è 2 ø è 2 ø Hàm f ( 0 + ) ¹ f (0 ). - (1) x- y x+ y ³ -k - 2 2 Ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm f (x) tồn tại x- y 1 hiện tượng Gibbs ở phía phải của x = 0 nếu dãy ³ 2 -k - , 2 (1) xj > 0. Và x+ y x- y Tại x = 0 thỏa mãn y-k = 2 - 2 -k lim+ Pj f ( x j ) > f ( 0+ ) nếu f ( 0+ ) > f ( 0- ) , æ x- y = -ç ö æ x+ yö -k ÷-ç- ÷ j ®0 è 2 ø è 2 ø (2) Hoặc ³ x- y +k - x+ y 2 2 lim+ Pj f ( x j ) < f ( 0+ ) nếu f ( 0+ ) < f ( 0- ) . ³ x- y 1 x- y 1 +k- ³ - . (2) j ®0 2 2 2 2 Tương tự ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm Từ (1) và (2) ta có f (x) tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía trái của x = 0 nếu dãy xj < 0. (1 + x-k )(1 + y-k )³ Tại x = 0 thỏa mãn æ x- y 1 öæ x - y 1 ö ç 2 - k + 2 ÷ç 2 + 2 ÷ (3) lim Pj f ( x j ) < f ( 0- ) nếu f ( 0+ ) > f ( 0- ) , hoặc è øè ø - j ®0 1 lim+ Pj f ( x j ) > f ( 0+ ) nếu f 0+ < f 0- . = ( x - y - 2k + 1) ( x - y + 1) . (3) j ®0 ( ) ( ) 4 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 99
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tương tự nếu k < 0 ta được V- j = span {j- j ,k } . kÎZ (1 + x-k )(1 + y-k )³ (4) Nên có j- j ,0 ( x ) = 2- j 2 j ( 2- j x ) Î V- j . 1 4 ( x - y + 2k + 1) ( x - y + 1) . (4) Do vậy Giả sử rằng ϕ ∈Sr ( ! ) khi đó tồn tại hằng số K và h ( x ) := ϕ 2− j x ∈V− j . ( ) b > 1 sao cho Dẫn đến K (5) j ( x) £ b . h ( x ) Î V0 Þ V- j Í V0 . (1 + x ) Vì vậy suy ra Từ (5) suy ra K j ( 2- j x + d ) Î V0 . j (x -k) £ b , Và (1 + x - k ) j ( 2- j x + d ) = j 2- j ( x + 2- j m ) . K ( ) Và j ( y - k ) £ b . Xác định hình chiếu lên V0 có (1 + y-k ) Do vậy K 0 ( x, y ) £ å j (x -k) j(y -k) Chọn hàm K k ÎZ K g ( x ) = j ( 2- j x + d ) Î V0 . £ å b b Thu được k ÎZ (1 + x-k ) (1 + y-k ) = K 2 (å 1 1 g ( x) = P ! g ( x), b b k >0 (1 + x-k ) (1 + y-k ) Và g x j 2- j x d 1 1 +å g ( x ) = j ( 2- j x + d ) = ò K 0 ( x, y ) j ( 2- j y + d ) dy. ¥ b b ). k 0 (1 + x - y - 2k ) ( x - y + 1)b j (d ) = ò ¥ K 0 ( x, y ) j ( d ) dy -¥ 4β +∑ ¥ β β ) = j (d ) ò K 0 ( x, y ) dy. k 0 (1+ t − 2k ) Giả sử j(d)=0 với d là số nhị nguyên. Và đồng Từ (6) có b thời cho a là số thực thỏa mãn j(a) ≠ 0. Theo định b (1 + t - 2k ) ³ t - 2k . ¥ nghĩa cần tìm dãy {d n }n =1 thỏa mãn d n ® a, n ® ¥, Vì vậy khi đó j ( d n ) ® j ( a ) , n ® ¥, 1 1 b £ b . ∞ t - 2k (1 + t - 2k ) Do vậy ∫−∞ K 0 ( x, y ) dy = 1, ∀x ∈!. Cho cố định t ∈! , nên ta tìm N Î Z + thỏa mãn Định lý 2 (xem [4]) t - 2k ³ k với k ≥ N. Khi đó 1 1 Cho f là một số thực. Khi đó b £ . ¥ t - 2k kb lim Pj f ( 2- j a ) = 2 ò K 0 ( a, u ) du - 1. j ®¥ 0 Dùng phép so sánh ta đạt được Bây giờ, ta đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của 1 1 å b £å b hiện tượng Gibbs. k >0 (1 + t - 2k ) k >0 t - 2k 1 Định lý 3 (xem [3]) £å b < ¥, b > 1. k >0 k Cho hàm f như sau Do vậy Cb ì-1 - x, - 1 £ x < 0 K 0 ( x, y ) £ , b > 1. ï b f ( x ) = í1 - x, 0 < x £1 (1 + x - y ) ï0, ii) Cho î x < -1, x > 1. m Và cho ϕ ∈Sr ( ! ). Khi đó xuất hiện hiện tượng d = n , m Î Z, n Î Z + , 2 Gibbs của hàm f gần x=0 nếu tồn tại một số thực là số nhị nguyên, và j Î Z thỏa mãn j ≥ n. Biết rằng a > 0 thỏa mãn. 100 Tạp chí Nghiên cứu khoa học,Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019
NGÀNH TOÁN HỌC ¥ ò0 K 0 ( a, u ) du > 1. ϕ ( x) ≤ C β x ∈!,C > 0, β > 1. ( (7) Hoặc tồn tại một số thực a < 0 thỏa mãn ( 1+ x ) ¥ Khi đó nếu tồn tại M > 0 thỏa mãn ò 0 K 0 ( a, u ) du < 0. M Chứng minh r x ≤() β −1 x ∈!, -j Cho x j = 2 a, a Î R ,do đó 1+ x ( ) lim f ( x ) = lim f ( 2 -j a ) = 1, a > 0, Trong đó: j 3 j ®¥ j ®¥ r(x) được định nghĩa như (6). Hơn nữa nếu b > 2 lim f ( x ) = lim f ( 2 -j a ) = -1, a < 0. thì r x ∈L ! là trực chuẩn trong V0 . j ®¥ j j ®¥ 2 () ( ) Áp dụng định lý 2 có Bổ đề 2 (xem [4]) lim Pj f ( x j ) > lim f ( x j ) . j ®¥ j ®¥ Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm Nếu suy rộng, nó có thể phân biệt được với số nhị thức ¥ ò K 0 ( a, u ) du > 1, "a > 0. d với j ¢ ( d ) ¹ 0. Cho g ∈L2 ( ! ) là trực chuẩn trong 0 ¥ V0 , và xg ( x ) ∈L1 ( ! ). Thì ò-¥ xg ( x ) dx = 0. Hoặc lim Pj f ( x j ) < lim f ( x j ) , Nếu j(x) thỏa mãn điều kiện (7) thì ϕ ∈Sr ( ! ) và sử j ®¥ j ®¥ dụng kết quả Định lý 3. Nếu ¥ ¥ Nếu a > 0 thỏa mãn r(x) < 0 thì 2 ò0 K 0 ( a, u ) du - 1 > 1. ò 0 K 0 ( a, u ) du < 0, "a < 0. ¥ Định lý sau phát biểu làm thay đổi điều kiện của Với ò 0 K 0 ( a, u ) du > 1. hàm ϕ ∈Sr ( ! ) . Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại Nhận xét 1 phía phải của điểm x = 0 . Cho hàm h( x) được định nghĩa như sau: Tương tự, nếu a < 0 thỏa mãn r(x) > 0 và ì1, x ³ 0, ¥ h ( x) = í 2ò K 0 ( a, u ) du - 1 < -1. î -1, x < 0. 0 Từ Định lý 2 có Khi đó ¥ ò K 0 ( a, u ) du < 0. ¥ lim Pj f ( 2 - j x ) = 2 ò K 0 ( x, y ) h ( y ) dy. 0 j ®¥ -¥ Giới hạn này còn gọi là hàm Gibbs. Chúng ta xác Vì vậy kết quả của Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng định hàm r(x) như sau: Gibbs xảy ra tại phía trái của điểm x = 0 . ¥ r ( x) = h ( x) - ò K 0 ( x, y ) h ( y ) dy. Định lý 4 (xem [4]) -¥ Áp dụng kết quả Định lý 2 ta chỉ ra hàm Gibbs Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm ¥ ¥ suy rộng, với số nhị thức d thỏa mãn j'(d)≠0 và ò-¥ K 0 ( x, y ) h ( y ) dy =2 ò K 0 ( x, y ) dy - 1. 0 Vì vậy thay vào hàm r(x) được C ϕ ( x) ≤ β x ∈!,C > 0, β > 3. ( ¥ r ( x ) = h ( x ) - 2 ò K 0 ( x, y ) dy - 1 0 ) (1+ x ) ì 2 - 2 K ( x, y ) dy ¥ Khi đó hàm xấp xỉ Wavelets tương ứng chỉ ra hiện ï =í ò0 0 x ³ 0, tượng Gibbs ở phía phải hoặc phía trái của điểm ¥ ï -1 - 2 ò K 0 ( x, y ) dy + 1, x < 0. î 0 x = 0. ì 2 - 2 ¥ K x, y dy - 0 K x, y dy x ³ 0, Chứng minh ï =í ( ò-¥ 0 ( ) ò-¥ 0 ( ) ) (6) Giả sử hàm j(x) thỏa mãn Bổ đề 1. Khi đó tồn tại ¥ ï -2 K x, y ) dy, M>0 thỏa mãn î ò0 0 ( x < 0. ì2 0 M ï ò-¥ K 0 ( x, y ) dy x ³ 0, r ( x) ≤ β −1 x ∈!. =í î ò0 0 ( ¥ ï -2 K x, y ) dy + 1, x < 0. (6) (1+ x ) Trong đó: Nếu j(x) là hàm liên tục thì ¥ Hàm r(x) được định nghĩa như (6) r ( x ) = h ( x ) - ò K 0 ( x, y ) h ( y ) dy liên tục. Tiếp theo -¥ Bên cạnh đó, vì b > 3 theo Bổ đề 2 thì r ( x ) ∈L2 ( ! ) chúng ta sử dụng hàm r(x) được phát biểu trong là trực chuẩn trong V0 . Bây giờ ta chỉ ra rằng bổ đề sau. xr ( x ) ∈L1 ( ! ) thật vậy Bổ đề 1 (xem [4]) xM Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm ò! xr ( x ) dx £ ò ! (1 + x ) b -1 dx < ¥ b > 3. suy rộng. Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 101
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Giả sử hàm r (x) thỏa mãn Bổ đề 2 với g ( x ) = r ( x ) A = ò d m ( x, y ) f ( y ) dy - ò d m ( x, y ) f I ( y ) dy Do đó ! ! ¥ ò xr ( x ) dx = 0. -¥ (8) (8) = ò d m ( x, y ) f ( y ) dy - ò d m ( x, y ) f ( y ) XI ( y ) dy ! ! Giả sử rằng r (x) ≥ 0 với x > 0 và r (x) ≤ 0 với x 0 thỏa mãn r (x) < 0, hoặc x < 0 thỏa mãn r (x) > 0 Do vậy, theo tính chất (ii) của dãy số dương delta (10) hội tụ đều tới 0 hầu khắp nơi trong I . Ta chọn 3. KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS N Î Z + thỏa mãn (10) thì tồn tại e/2 sao cho Để khắc phục hiện tượng Gibbs ta sử dụng phương e pháp xây dựng dãy tựa dãy số dương delta chỉ ra ò ! d m ( x, y )dy - 1 < 2M . rằng hàm xấp xỉ Wavelets dùng hạt nhân dãy số Do vậy ta được dương delta loại trừ hiện tượng Gibbs. Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính A + B £ ò d m ( x, y ) f I ( y ) dy ! hội tụ, mà còn hội tụ đều tới chính hàm f. = e 2 + ò d m ( x, y ) f ( y ) XI ( y ) dy Định lý sau chỉ ra rằng dãy số dương delta hội tụ ! b đều hầu khắp nơi loại bỏ được hiệu ứng Gibbs. = e 2 + ò d m ( x, y ) f ( y ) dy a Định lý 5 b £ e 2 + sup f ( t ) ò d m ( x, y )dy a Giả sử {d m ( x, y )} là dãy số dương delta. Cho f tÎ[ a ,b ] là hàm liên tục từng mảnh với giá compact trên æ e ö £e 2+M ç + 1÷ trục thực. Cho I = [a,b] là khoảng hữu hạn với è 2M ø 0