Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 454 (Tháng 4/2015)

Chia sẻ: Trương Đàm Thái Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

203
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 454 (Tháng 4/2015) gồm khoảng 28 bài viết trong các chuyên mục: Dành cho Trung học cơ sở, chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và thi vào Đại học, bạn đọc tìm tòi, đề ra kì này, giải bài kì trước, diễn đàn dạy học toán, diễn đàn phương pháp giải toán. Mời bạn đọc tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 454 (Tháng 4/2015)

xuflr siru rUrgoa r4n cni nn xArue rnArue - NAM ra052 oArus cHo rRUNG Hoc pxd rnOruc vA rnuruc xoc co s6 2015 Tru s6: 187B Gi6ng V6, Ha Ndi. DT Bi6n tdp: (04) 35121607; DT - Fax Ph6t hdnh, Tri su: (04) 35121606 s6 454 Email: toanhoctuoitrevietnam@gmail.com Website: http://www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !
? YAN TTITEM ruA&€ E#E€ fts6ff €'E E E€ EEg E_F € -E-i A_a HFgAI#'ruGLE HA HUY KHOAI (Vi6n Todn hqc Viat Nam) Tu khi ra dai, Giei thuhng Le Van Thi€m dd nhAn dugc su 0ng h0 to lon vd tinh thdn vdr vAt chdt c0a cQng ddng toAn hoc vd xA hQi. Dac biQt, sau dip kjt ni6m 40 ndm Vi6t Nam tham gia Olympic To6n hoc Qu6c t5, mot cuu hQc sinh chuyen toAn (di dd nghi khOng n6u t6n) da 0ng ho Quy gi6i thuo'ng s5 ti6n 1 tyi ddng. II. GIAITHU'ONG LE VANITI{IEIVI 2014 Hoi Todn hqc Vi6t Nam quydi dinh trao Gidi thudng L€ Van Thi6m ndm 2014 cho c6c nhd gi6o vd hoc sinh sau dAy: '1. Co gido Nguyen Ngoc Xu&n, THFT chuyen Hodng Vdm T'hu, hloa tsinh * Sinh nam 1981. * Tham gia dEy ToAn ho'n 1 1 ndm, trong d6 dqy chuy6n Todn 10 ndm. * C6ng tdc trong mot truo'ng gip nhi6u kho khdn, a Trong 3 ldn phu tr6ch chinh Doi tuydn dA c6 11 hoc sinh doat gidi Qudc gia, 2 hoc sinh doat Huy chuong Bac Olympic To6n Singapore mo r6ng. o Nhidu bdi vi6t, chuyen d6 cho ciic hOi thiio. o 9 ndm ld gido vi6n dqy gi6i, chi6n si thi dua cdp Tinh nam hoc2013-2014, giAo vi6n ti6u bidu kh6i THPT chuy6n tinh Hoa Binh. Gi6o su Ld Vdn Thi6m a Khi ld hoc sinh dd tung doat gidi trong ky thi hgc sinh gi6i Qu6c gia, (1918 - 1991) :: ;iti:ir:r.. .l 2, Vu'ong Nguy0n Thuy Duong, hoc sinh THPT chuydn LO Qu!'00n, 4?'F:'i, i'i.',so Dd Nang -jl:ii..,. t:-r, LUo. c vE ctnt rHU'oNG LE VAN THIEM * Huy chucrng Vdng Olympic 30/4 todn midn Nam. .. a.,- 1 ', * GiAi Ba hQc sinh gi6iToan Qudc gia nam 2013. Gido su LO Vdn Thiemld Ch0 tich ddu ti0n .i. . . c0a Hoi Toan hoc Vi0t Nam. Ong ld nhd todn * Gitii Nhdt hQc sinh gi6iTo6n Qudc gia nim2014. 'hqc..n6i ti5ng, co nhung dong gop lon trong a Huy chuong Bac Olympic Todn Qu6c td ndm 2014. na. nghiOn cuu vd ung dung Todn hoc. Ong c0ng t, 3. NguyOn The Hodn, hoc sinh THPT chuy6n KHTN-DHQG Ha NOi ld mot trong nh0ng nguoi ddt ndn mong cho gido dqc dai hoc 0 nuoc ta, nguoi thAy c0a a Gidi Nhl hQc sinh gi6iTodn Qudc gia nam 2014. 'r nhi6u thd he cdc nhd to6n hoc Vi6t Nam. GidLo * Huy chuong Viing Olympic Todn Qu6c td ndm 2014. su LO Vdn Thiemluon ddnh sU quan tAm ddc o Guong mat tr6 tieu bidu DHQG Ha NOi. bi6t ddn viec gidng dqy todn hoc d cdc truong o Guong mit tr6 tieu bidu th0 do Ha N6i ndm 2014. pnd tnOng. Ong la mot trong nhting nguoi sdng lAp h6 th6ng phd thOng chuy6n todn vd 4. Trdn H0ng Qudn, hoc sinh THPT chuy€n Thdi Binh Tap chi Toan hoc va Tudi tr6. * GiAi Ba hoc sinh gi6i To6n Qu6c gia ndm 2013. Gidi thudng L€ Vdn Thi6m do Hdi Toan hoc o GiAi Nhl hQc sinh gi6iToiin Qudc gia ndm 2014. Viet Nam ddt ra nhdm g6p phdLn ghi nhAn * Huy chuong Vdrng Olympic Toan Qu6c t6 ndm 20'14. nh0ng thdnh tich xudt sdc c0a nhung thdy c0 gido vd hoc sinh phd thOng da khdc phuc kho 5. Vo Quang Hung, hoc sinh THPT chuyOn ltlguy6n Binh Khi0m, khan dd dqy vd hoc to6n gr6i, dong vien hoc Quang Nam sinh di sAu vdo mon hoc co vai tro dac bi6t o Gidi Nhi Olympic Todn Hd Noi mo rong (2013). quan trong trong su phdt tridn lAu ddi c0a n6n o Huy chuong Bac Otympic Todn Duy6n hdi dOng bing Bdc BQ. khoa hoc nuoc nhd. Gidi thuilng LO Van Thi€m r Giai Nhdt ky thi hoc sinh gioi Qu6c Gia ndm hgc 2013 - 2014. cring ld su ghi nhfn cong lao crla Gido su ld Vdn Thi6m, mOt nhd todn hoc l6n, m6t nguoi L6 trao gi6i da ctugc td chuc tai cu6c Gdp m{t ddu xudn cta-H6i Todn thdy da h6t long vi su nghiOp giAo duc. hoc Vi6t Nam tai He N0i. ngiy 71312015. HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !
BHr rEHn rinH r6ns ELrEn ruu0E vH URE rrunE PHAN DINH ANH (GV THCS Thqch Kim, L6c Hd, Hd TTnh) B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + l)(n + 2) chirng t6i xin minh hoa mQt sii bai $^"ddy _ n(n+l)(n+2)(n+3) to6n tinh tdng quen thu6c vi img dung cta 4 chfng. e (2 -r)2(2+ 1) + (3 - 1)3(3 + 1) +... OBii todn l. Tfnh cac tdng sau: +(n+l-l)(n+l)(n+ 1+1) A= 1.2 + 2.3 + ... + n.(n + 1) (n e N.) * n(n+l)(n+2)(n+3) 4 B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + l)(n + 2) (n e N-). e2(22 -l)+3(32 -1)+...+(n +1)[(n +1)'-1] OBii torin 2. Tinh cdc t6ng sau: _ n(n+l)(n+2)(n+3) 4 C =12 +22 +32 +...+ n2 (n e N-). a(23 +33 +...+ n3)*(2+3+...+n+l) D =13 +23 +33 I ...+ n3 (n e N.). _ n(n+l)(n+2)(n+3) 4 ViQc tinh c6c tdng quen thuQc tr6n khdng kh6 AOi vOi c6c bpn hoc to6n. Ta c6 ngay ki5t qu6: e (13 +23 +33 + ...+ n3 )- (1 +2 +3 +...+ n +l) _ n(n+l)(n+2)(n+3) A= 1.2 + 2.3 + ... + n.(n + l) 4 _ n(n+t)(n+z) (n e N_) (1) e13 +23 +33 +...+nt (n+2)(r :n(n + lXtr )(r'n+ 3) -1 4 B :1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n+1)(n+2) (n+l)(n + 2) t-=L n(n+l) ln@ 9n+ !)l' _ n(n + l)(n +2)(n +3) / n c N* \ \"e1\ I Q) 2 T 2 ' 4 + 1)l' lnn(n+1) NhQn xdt: CLc t6ng o bii to6n 1 vd bdi tobn 2 YA,y: D - 13 +23 +33 +...+ n3 = rl' 1) L- 2 l c6 mOi li€n h0 v6i nhau, cU thi5 nhu sau: =(1+2+...+n)z (ne 1\I.)) (4) n(n+1)(n+2) Sau clAy li mdt vdi img dung cta ta chc \t
Bili 2. Tim sd ttr nhi€n n bi€t rdng: Ldi gi,fii I 2013 SO hinh vudng c6 c4nh bing 8 ld 1.2 Jlr+2' 2015 bitgT lir 56 hinh ru6ng c6 cpnh 2.3 SO hinh vu6ng c6 canh bing 6 ld: 3.4 Lbi gidi. Theo k€t quA (4), ta c6: 11 SO hinh vu6ng c6 canh bing2ld: 7.8 " JF +F Jilri+3t SO trintr vudng c6 cpnh bing 1 td: 8.9 . 1 20t3 VQy 1u6i 6 vu6ng d6 co tdt cit -:-l JF-+-FIT*.-*d 20t5 l0 11 20t3 -3 1.2+2.3+...+7.8+ 8.g'n":t" 8'9: = 240 2C;|5 a u+ 22 2 2013 (hinh ru6ng). 3g+"'+ r,r1t; = zol5 2 2 2013 Bni 5. MAt kh6i ldp phtrtmg c:rj th€ tich 8 x 8 x A ,222 vr 8 : 512 hinh liip phrumg do'n vi bdng nhau xdp I- r r--- 3'3 4'"'' n n+l-2015 --l ,^-n-l 2013 khit nhau. Hoi kh6i lap phucmg dt) c6 bao nhiAu - n+1- 2Ol5 hinh lqp phu'crng? e n=2014. Ldi gi,fii (h.2) Bni 3. M\t ban cr| vua Qu6c t€ co 8 x 8: 64 6 SO trintr lQp phucrng c6 c4nh vudng dctn vi. Hoi bdn cd'vua tt6 crj tdt ca mi1, bing8lA: 1:13. hinh vudng? SO hinh lfp phucrng c6 c4nh bingT ld:8:23. Ldi gidi (h.1) SO ninn l6p phuong c6 cqnh S5 ninn vu6ng c6 cpnh bing 6 lit:27 :33. bing8ld:1:12. SO hinh vu6ng c6 cpnh 56 hinh lflp phuong c6 cpnh bing2ld:343 :73 . bingT l*4:22. SO hinh lpp phucrng c6 cpnh bing i ld: 512 : 83. ^.( ,. So , hinh vu6ng c6 canh Vfy khOi lip phuong
Hudng dAn giei sf T[rr rrturu Hfir srfrrlr Grdt tlnsru T$fiH Lffp s TP. ET 6 CEilfi W[TI$E:[ NArra 2At4 - 2015 Bdi oa7),0,), 1" Ta co fi)t'0, b: 111 L--!+2,1=o :o -c) \y, [t']- ,> 0, =y x *2, I abc =0,,al+( ),br+c ) 0. =[l)' \y/ r ( \/ Do d6 := '-[(t-+ t) ,[a +b = {Ai *,luiV. (t-zx)+:,t+2x I 3 r.2 - ZU-[- 3* =r- 211-u1+ u+- Bli 2. a) Pr (;r+t)(-r+z)(x+3)(.r+6)=3x, _L/ r _,\,r/r_r\-ro -r\t-2x- e [(, + r)(x + o)][(r + z)( x +z)]=zp '/-3\;-'l- 3 3x , l-2x -T'-ll-2*' , l0-" f Zx t-Zx . lO 16 o (*' +7 x +6)(x, +5-r+ A) :Zx, - t-2*- * 3x -T:T o (r' +6x+6)2 - xz =3xz Dlng thric xdy rakhi vd chi khi o (r'+ 6-r + 6)' = 4*, *l:::2::2=?r, ,3{ ^2* 3 r- l-2.r (x +t)(zx -t)(zx, *zx-l)=o (*) =>HBE=BHE.Xdt AEBC vd LEAB c6 ciai PT (*) vd thri l4i tathSy BEC (chung), EBC = EAB. Do cl6 1 , = 3 +Jt7 LEBC a'AEAB (g.g=6dE=[EE. Suy ra x=-l;x= ld ciic nghiQm cua ,, t BCE=BHE (=ABE). Vpy tt? gi6c HCEB ndi PT dd cho. ti6p. Bii 3.DK: +0, y *0. ra co :+ = * (do LEBC a AEAB ). \ait b),EAEB \/\ EB : EM (do E lI-trungdii5m cria MB), do d,o Ta c6: { ll=2.1 (,- v/l-[\"," _ x) EM EC (?= EA_EM T?8ilrHE[ us nrn,n-ror' S HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI CƠ SỞ BƯU ĐIỆN HAY LIÊN HỆ VỚI TOÀ SOẠN !
Thdi gian ldm bdi: 150 Phrtt C0u 1 (2 dihd. Cho bi6u thirc 2) Cho o, b, c la. d0 d}ri ba canh cria mQt tam ei6c thoa mdn di0u kiqn 2c+b=abc. Tim gi5 P=(rv-,)(#.r)[*)', iri nho nh6t cria bi6u thuc v6i x>0,x*1. " b+c-a c+a-b a+b-c Ciu 4 (3 diim). Cho tam gigc AB-C c6 !a g6c 1) Rtit gen P. ') nhen, n6i ti6p cluong trdn (O) .(AB < AO. Cic 2) Tim sii chinh phuong x sao cho f h s0 ti6p tuy6n vO (O) t4i B vi C cdt nhau t4i N. Vc aaj, dU song song vbi BC. Dudng thdng MN nguy6n. cdt dudng trdn (O) tqi Mvd P. Ceu 2 Q dih@ 1). Cho c6c s6 thgc x, Y, z, a, b, * cho ai6t tintr ddi doan c 'obc +! th6a mdn c6c di6u ki€n +' =l vi 1) BC. fir+ftr=fi,
Chui'n cho [i lrilhi tr tdt ns[i0p illPT vi thi uio Oai hoc hu.ng ta thdy rang trong di thi Dai hpc cdc ndm Q v gdn ddy, cac bdi phuong trinh (P7), bdt Cdch 2. Ta c6: phtrong trinh (BPT), h€ phuong trinh (HPT) duoc gidi bdng cdch nhdn luctng hAn ,hW, .ddt,nhdn ta (1)e li(r:fl=tz-x,lrfi chung dua ,i pr, BPT tich ld riit phii bi€n. Nhiiu ) *')=Aa-2ax.tD1 + x'?(tz-y) y(12- bqn dqc thudng ddt cdu hdi: Co sd dO c6 cdch gidi nhu vQy ld gi? De giilp cdc em hoc sinh c6 co sd dii o lTy -144 +24x$2J -12x2 = 0 tim duqc ldi gidi bdi todn bdng cach nhdn luqng e llxz - zax "lnj + D(12 - y) = o li€n hqp, c[ing nhu d6n dau cdu,v€ PT, BPT,,HPT trong d€ thi THPT Qu6c gia sdp tbi bdi viAt. ndy o th6ng quc mQt s6 thi dq sau |.Y = 12- x2' Thi dy 1. (EH kh6i A - 2014) Gidi he phaong Thay y =12- x2 vio PT (2) ta iluoc trinlr x3 -8x -l=2JT6-x'z x3 -t) -8x -z =z(Jto-V Lrri gi,rti
J=3-y=3. Thir lai ta dugc nghiQm cira HPT U (:;3) . o V6i y = L, thay vdo PT (2) ta tlugc : t Binh luQn: Qua ba"c6ch gi6i tr6n ta th6y ring, 9-3x=0x=3. phuong trinh (l) c6 th6 tlugc su lf bang nhi6u crich o V6i y = x-1, DK (*)e 1 < x a2.PT (2) trd kh6c nhau, nhung sau khi thay y=12-xz viro phucrng trinh (2) ta dugc PT thdnh:2x2-x-3=Jr- p _gy_1=2[g_yz (3). e 2(x2 - x - 1) + (x -r- J2 - x) = o Thi PT (3) ttuqc gi6i bing c6ch nhdn luqng li6n hqp, r 1_ )^ d4t nhAn tu chung dua v6 tich ld tlon gian nhat. . _x_l)l,\ 2*-. o(.r2 x-l +,12-x ) t=n Tuy nhi6n cin cir niro d6 ta bii5n d6i PT p _gy-1=2$$*yz (3) thdnhPT I tJ5 '-)^- -r2 --r-1 - 0 :--, "= 2 ' xr-8x4:2([6A-t)t Tt d6 ta tim dugc nghiOm ctra hQ phuong trinh Xin dugc trinh bdy c[n cf d6 nhu sau: - Ddu ti6n ta dirng M6y tinh b6 flii (MTBT) dC tht td: (3rr;,I l*-6,-tI6) nghiQm, ta th6y PT (3) c6 hai nghiQm ld x=-1 vd \- 2 ) x=3. Tuy nhi6n ta chi quan tdm t6i nghiQm x:3 l Binh lufln: md kh6ng quan t6m t6i nghiQm x=-1 vi di6u kiQn o Khi dgc ldi gi6i HPT h6n, chlc chin nhi6u ban sE c6 nghi6m li x>0 . Nhu vfy ta phii ldm xudt hiQn d[t c6u h6i: "Co sd ndo AC Uii5n d6i PT (1) thenh PT d4i lucrng x-3 0 Ta c6 : Pr (3). lax -5y -3 >0 - Tuy nhi6n, ntiu bdi niro cflng phii lQp lufln nhu h6n pr (1) o(1-y)(,*E-y-r)+("r-y-t)(t-fr)=o 1a; thi sE r6t m6t thdi gian, c6 16 t5t hcrn h6t le c6c ban ( phii chiu kh6 gi6i nhiAu bdi tQp, d6 bi6n k! ndng thdnh ky x6o, sao cho "nhin vdo bdi todn ta thiy"
z(x2 -x-t)+(x:-Jf-)=o (5) Thl dyt 3. (DH kh6i D - 2014) Giai bdt phutrng C6c ban sE d6t c6u h6i tl6u ld co sd AC UlCn d6i PT trinh ; (.r + t)'[i +2 +(x +6),[i +7 > rz +7 -r + t 2 (l). (4) thenh PT (5). Xin dusc hinh bdy co sd d6 nhu Ldi gidi. EK: x > -2. sau: - DAu ti6n ta dirng MTBT dC thir nghiQm, ta th6y PT V6i di6u kiQn tr6n, BPT (1) tuong duong v6i (4) c6 nghiQm (gAn dung) ld x=1,618033989...Ni5u (x + r)(J x.+ z - 2) + (x + 6)(,En - 3) nhAm nhanh ta th6y ring x=1,6180:agSg...=l+J5 . -(x'z+2x-B)>0 2 Me x=1+6 ld nshidm cria PT 2" fl-x-l=0 ho[c ld \ l\-E- ( -r +/Jx+2+2+ \.r + o\-E- /Jx+1+3 ( nghiQm PT -xz+x+1=0. Nhu vQy chring ta ph6i -(x-z)(x+4) >o ldm xu6t hiQn dai lugng fl-x-l ho[c -*+x+l d6 oe)_ - Do PT (4) chi chria mQt cdn thirc n6n ta lQp lufln (^ ngin ggn nhu sau: Trong PT 2*z-v-3=$4 ta Do x) -2 suuru n€n )x+2-0. [x+6>0 " cAn hm xu6t hiQn bi6u thirc x2 -x-l OC e6t nlan tu x+l x+6 r,-I4r=_ / ,\ x+2 2P-x-3 Jx+2+2' Jx+1 +3 ' '/ Jx+2+2 chung n6n ta bir5n AOi pnan trudc vd lim _r \^ xu6t hiQn 2(xz-x-l), nghia ld ta bi6n d6i PT x+2 x+6 x+6 I ^ 2az -y-3=Q-a thinh 2(*-x-t)+(x-t-,0-x)=o . 2 --r-----/ll ' Jx+1 +3 2 Jx+2+2 Nhmg ntiu PT chria nhi6u hon mQt cin thric thi ta Do cl6 BPT (2) a x-2 < 0 x
>o r=0 vd r=1. Thay x=0 vli x=l viro PT (7) ta Liri sidlr". "'-' {2x+r tluqc hQ theo a vd b. Gi6i h0 HPT theo a , b ta l.x+4y > 0' dugc a=1 vir b=2 . Ta c6: PT (1) tucrng
.. ,.. }. A ? \a \er .i , }IUONIG DANI GIAI OE S It 'a o Ciu 1. a) B4n t.u gi6i.
e MtM2ld ducrng kinh cira (C) hay (a) Wa CAu 1. Gi6 sir AH l6'n lugt cit BC vit tluong tdm /(1;0) cita (C) trdn ngoai tii5p tam gi6c ABC t4ihai di6m E vd 1 K,ta chtmg minh tlugc E ld trung di6m 1/K. = 2(r - m).t+z(m -z)l -3= 0 = m = -i. Vl AH IBC n€n AH: x-y-0, Lric ndy dulng thing (d) c6 PT 3.r-5y-3=0. E = BC r-.AH = E@;4 vd E ld trung cli6m II( K(3;3). B5n kinh tluong trdn ngoai ti€p tam Tqa d0 cita M, MrldnghiQm cria hQ = gi6cABCld R: IK=J5. *" Vfy clucrng trdn ndy h ("r-s)'z+(t-4)'=5. {!'-t]' ^34 = M,(o;:), ur,(-+;-z). Tri d6 tim tlugc B(3;5),C(6;2) hodc 8(6;2), l3"r-5y-3=0. Vfy hai s6 phirc cdn tim ld zr=$4Ji,zz=-4-3i. C(3;5)vd A(6;6). Vay c6u 5. Mit cau (E c6 tdm I(-2;-1;1) vd kinh rR =../5i. b6n s*" =la(e, nc\. BC =iry 3E =6(dvdt). Gsi r ld b5n kinh duong trdn thi6t diQn, tri gi6 thi6t c6 S =7r € 12 fi= i= r =l . CAu 8. DK: -r > 0, ta c6: / d6n mflt phing (a) Gqi d ld khoing c5ch tu :ln x) Ex' +2=.r+ (x- i= taco d2 =R2-12=4=d=2. (x 1
'sx{q-r ses#'E-ffi &f## K$ Trf,H oEs6z (Thdi gian ldm bdi: lB0 philt) ddy ,4BC ld tam giSc cdn dinh C; tlucng thing BC' tl*u l(2 di6m).Chohdms6 ,=i; t?o vcri mit phing (ABB'A') mdr g6c a) Kh6o s6t vd vE aO tfri(A cria hdm sri. 600 , AB = AA' = q. G}i M, { P ldn luot ld trung b) ViCt phucrng trinh tii5p tuy6n cria (ff bi6t ring titip BB',CC',8C. Tinh th6 tich kh6i diiSm cira c6c cpnh tuydn song song v6i duong thbng A :3x + y = g. hng tr.u ABC.A'B'C'vit khoing cdch gita hai du
8AN DOC riM ror uyEN NGQC GIANG gP. aa Chi Minh) $frong kho tdng cdc bdi todn todn hpc c6 m)t a) tiu trirng con baom tha nhdt: il ainn H v6 citng noi ti€ng vd rdt quan trpng db N€U ADB = ADC Ihi ADF = ADE. ld dinh li con buom. Sd di Etan trpng ld b&i, dinh li con btrdm ld diii.twgrtg nghiAn ctu cd trong 9ltuong 0 Au ffilng con babm tha hai: trinh todn so cdp cilng nhu cao cdp. Cho dOn nay, N€u DAB = DAC thi DAX = DAY, 6 ddy X: ngucri ta dd tim ra 2l chilmg minh dinh li con budm. Ca, mi tudn md rQng thi frt nhiiu, di€n hinh cd th| FDr-tBE;Y= EDaCF. ke din md rQng dlnh li diji vA dudng tdn thdnh Dinh li ,iu trilng con baom th* nhdt (phin a) dinh li aai vai c6nic, dinh li con buom don thdnh chinh ld bdi to6n thir 5 trong ki thi Olympic dinh li con babm kep,...Dinh li con brom da. c phdt bidu nhu sau Canada ndm 1994. 6E =6i o phAn a cho th6"y AD lir
YD CE KA YE CA KD -, (s) Tti (4) vd (5), ta c6 WYDKDBA CE KA -, )D YE KA BF CA KD )G YD CA BF \av:.:=:.:. ." (- XD YE CE BA' WYDAE CA BF AE ,nav:.:.:=: (o) XD YE AF CE BA AF lJo CA D'C BA D'B -=- D Theo dinh li Ceva ry A .4 = -t (8) Hinh2 D'B FA EC Theo tinh cirat OOi ximg, ta c6 Chfing minh. a) (h.1) Lhy C',E' lin luqt d6i xirng vcri -^ C, E qua AD. Ta c6 2 =9; EA = E,A (9) C'DA- RDA(= ANy YE Y'E' Tt (6), (7), (8),(9),tu:6 _ Yqy C', B, D thing hdng. XF Y'D AE'-, Chrmg minh ADF = ADE tucrng
Chilng minh. (h.3) Ggi C',1',E' lAn luqt ld 1' li di6m tr)n d sao cho S ld trung di6m cta 11'. , -.^ -4. ximg c6c di6m ttdi voi C, I, E qua AD. Khi d6 Th€thi DAH=DAI e A,H,I'th[nghdng. ta c6 ba dii5mD, I', E' thing hdng ; ba
dii yr'ti BC. 7'r0n dtbng thting AD' ltiv cli€nt D Einh li 6 (Dinh li iu rritng c:on ba6'nt tiing qucir 4) btit ki. BiOt .,1D, BE, C'l- ,long qtn'rui K vii BE, Cho tum giac1BC elilt ttirtt O. Goi ngoqti tir;7, Cl" li ttit' cet itrtt t't)ct tctm giac ABC. Ggi M lit ccir: fiAp di6m cua AC, AB to'i elit (O) h lJ', C'. cliA:m thtroc .lD (\t lihirc:,1,D va giar., tt)o AD TrAn tlu'd'ng tha.ng AO lav diim D bh ki. BiAt v6'i BC). Goi H : DF r: tsM, I : DE aCM. t\D, BE, CF cl6ng {ltt.v- tqi K v[ti EE, CF li c,tit, ccviort cua tom gitic ABC. CLti M ltr Jie)tn thttic' G9i N lit tt'tutg tliOm criu AD'. Ouct I dmtg AD (M khac' ,1, D vd giao c'ila AD vti'i Bd.). Goi dtrrnig tlttitrg tl 'ON ch AD'tai S. Goi I'td H : DF r-t BM; I = DE o (tM. Quo I dung clie'm tran il .,,t171 1'f1n S ltr frtrng tlie)rn r'tra tt' . Ktli cfurdng thdng d i/ B'C' t'ut AO rdi S. Goi t'lu titi l.tt ,iii'ttt \. lt. t' thung hirttz th.51. di€m trOn d sqo cho S li tnmg dir)ltn t'urt II'. Khi J,) ht1 ;1i,|'n, A. t t. t' thartg hung llt.(t). D Hinh 5 MQt c6u h6i cluoc tlflt ra ld c6 th6 m0 rdng dinh Hinh 6 li 4 d6i voi dudng trdn ndi ti6p tam giSc thdnh NhQn xdt a) Khi elip bi6n thdnh ducmg trdn thi c6c dinh li t6ng qu6t OOi vOi elip ndi ti6p tam giSc dinh li 5, vd dinh li 6 chinh ld tlinh lf 4. dugc kh6ng? Trudc ti6n, chring ta ph6t bi6u b) Chung ta bi6t ring, m6i.tam gi6c ddu n6i ti6p dinh li tucrng tluong vdi dinh li 4 duoi d4ng duong tron vd tl6u ngoai ti6p iludng trdn cho n6n y6u t6 duolg trdn lu6n song hdnh v6i bdi to6n d5i Cho tam gidc ABC ngoqi fiAp dudng trdn tdm vdi tam gi6c. Trong nhi6u trucrng hqp n6 ld.y6u t5 O. GOi cdc tiAp di6m cila AC, AB vdi dudng "6n tdng". Vi vdy, chring ta lu6n phdi nghi ring b6t cir tam gi6c ndo tt6u c6 duong tron gin liAn v6i n6, trdn (O) lA B', C' . TrAn dudng thdng AO liiy ho{c ld dr{*g trdn ngo.pi tii5p, hoflc ld duong trdn di€m D biit ki. Bi€t AD, BE, CF ding quy tqi n6i tii5p d6 tt d6 c6 th6 md r6ng bdi to6n d5i v6i ducrng trdn thdnh bdi to6n AOi vOi elip. Khi ta mu6n K vai BE,CF ld cac cevian cfia tam gidc ABC. Goi M td diiim thu\c AD (M khdc Td ."Sng "bdi torin theo.hu6ng ndy thi ta sE ph6i chuy€n rl6i nhirng y6u t6 Euclid nhu c6c g6c bing A, D vd giao cfia AD voi BC ). GOi nhau, phdn gi6c, vu6ng g6c, ... thnnh cfc yiiu tO la bdt brgn qua phep chi6u song song. Ch5ng h4n nhu H : DF o BM; I = DE Qua I dung cilc ytiiu t6 h dudng thing song song, trung di6m cria ^CM. dudng thiing d song song vdi B'C' cdt AO
,{;-5 = Ji -r al Jv-C =Ji'r. &1 ,tz-J-x- = Jt -r tl (GV THPT ' YAn NGUYfNVAN XA Phong sr5 2, Bdc Ninh) tfi{ BdiT71454. Cho P ld mQt
ffiiii 'g'12/45,4" Cho tam giilc ABC. Di6m M di m4ch so v6i cuong dQ ddng djQn ld g. Tim rp cl6ng tr6n doan BC. (Ir), (Iz) theo thir tu 1A theo gr vd qz. Ap dung bdng s6: qr: 0,52 rad, dogng trdn n6i ti€p tam gi6c ABM, ACM. TiAp rad' tuy€n chung XY 1$6c BC ctn (It), (Iz) cdt AM P2: l'05 NGUYEN MrNH TUAN tqi.l'{ (xe(I); yeQ)). 2,7 theo thu tu,ld ti6p (Gl/ THPT YAn Thdnlt 2, NghQ An) di6m cira AM vit Qr), Qz)..K ld giao di6m cira XT vit.,YZ. Ching minh rdng 1/,( lu6n di qua ffiftfi 8"2/454. Ba con lic ld xo 1,2,3 dao d6ng mot diem cd dinh' rti6u hod quanh vi tri cdn bing tr6n ba tryc nim NGUYEN MrNH HA ngang song song v6i nhau nim trong ctng m6t (GV THPT chuy€n DHSP Hd I{|i) mdt ph[ng vd con 15c ld xo thf 2 cdch ddu hai r-:.,\il *;fi 'v'AX'f,f ld xo con lai, vi tri cdn bing cira vAt c6 cing to4 d6, truc toa d0 cirng chi6u ducrng. Biet kt:zkz t]}li !-l/454. Dat diQn rlp xoay chidu : 0,5fu: 100 N/m, khdi lugng c6c vQt ning u : Uct cosco/,(U0,vd ro khdng cl6i) vdo hai dAu mic vdo ld xo c6 t
c6 loi gi6i ctirng: Phrri Thg; TriQu Hing Ngpc,6A3, THCS Ldm Thao; Quing Ngfli: Z€ Tudn Ki€t, Vdn Quang Tu€, .Ed Trdn C6ng Phuong, 6,{, THCS Ph4m Vdn D6og; Nguy€n Th! M! Huy€n, 6A, THCS Hdnh Trung, Nghia Hdnh. vIpT HAI Bni T2l450. Cho lam gicic ABC vu6ng toi A, E lu nt6t diAm tAn cgnh BO sao cho EC :2llB. Chti'ng minh rdng AC) =3(IlC) - EA)) . Loi gi,fii YE , cilc trung tuy€n AD vd BF cira tam gi6g Bdi T1/450. Tim t:ac sd nguv1n du'o'ng a, b thoa ABC, ching cdt ntdn c:ac: diiu ki€n: (u + 2)i b vd (h + 3) i rr. nhau tai G. D Theo b6' cl6 ta ED Ldi gidi. Gi6 su c6c s6 nguy6n duong a, b th6a mdncbc a, do d6 co b < a -r 2 < b + 5.)tdt BE BEBC I^ 2 t'y'u DE I c6c trulng hgrp sau cl6.y. BD= BC' BD= 3''=5' BD=1' 1) NCu a + 2: b thi (1) th6a mdn. Tri (2) c6 I hayDE=;BD. Tu c6c k6t qui tr€n ta suy ra b+ 3:a + 5 chia h6t cho a n€n 5 chia h6t cho -'t a, do do a chi c6 thO bing t ho[c 5- Thn th6y DG : DE vit do d6 LDBG=LDAE (c.g.c) : : : : a 1 thi b 3 vd a 5 thl b 7 d€tth6a mdn. >AE=BG. 2) N5u a + 2:b + 1 thi tu (1) c6 b + 1 chia h6t Bdy gid 6p dpng dinh li Pythagore vdo c6c tam b:I vit gi6c vuOng ABF vdABC ta dugc: cho b n6n 1 chia h6t cho b, do tl6 a :0, kh6ng th6a mdn. BFz = ABz 1lpz =BCz _ACz +AFz : 3) N5u a * 2: b + 2hay ld o b thi tu (l) c6 b + 2 chia het cho b n€n2 chia het cho b, do d6 [1rr)' =(1rr\' ='[2--) - AC2 *( !or\' b chi c6 th6 bing t hoflc 2. Thrt thiy a b 2 : : \2--) \2-) kh6ng th6a mdn (2), cdn a: b:1th6a mdn. =2ac'=2g6' -1lc' a) Ncu a + 2: b + 3 th\ru (2) c6 a + 2 chiahlt 444 * AC? =3(EC2 _ EA') (Vi BG : AD, ti| cho a n€n 2 chia h6t cho a, do d6 a chi c6 thrS bing t hodc 2. Thtr th6y a: 1 thi b :0, kh6ng dity ltasuy ra tli6u c6n phii chimg minh. tr th6a mdn, cdn a : 2 th\ b : I th6a min. YNhQn xit ,l) Cbc ban $i bei d6u cho ldi gi6i dung. MQt s6 ban sri dung dinh li Thales, kh6ng 5) N6u a + 2: b + 4 thitu (2) c6 b + 3 : a + I thuQc chuong trinh 16p 7. chia h6t cho a n6n 1 chia h6t cho a, do d6 a chi 2) Cic b4n sau d6y c6 ldi gi6i t6t: c6 the bing 1. Ybi a:1 thi b - - 1, khdng th6a Phf Thg: Tq Phuong Chi,7A3, THCS Ldm Thap; m6n. Hn. NQi: Einh Hodng_Nh4t Minh,7A5, THCS Cdu 6) NCu a + 2.: b + 5 thi (2) th6am5n. Tu (1) c6 Gi6y; Hii Phdng: E6 Ti6n Dqt,7M, THCS H6ng Bnng; NghQ An: DSng Nfr Qu)nh Anh, Thdi Bd Bdo, b + 5 chia h€t cho b ri6n 5 chia het cho 6, do cl6 Hodng Thi Bdo Ngec, TC; THCS Li Nhflt Quang" b chi c6 th6 bing t ho{c 5.. Tht they b: 1 thi D6 Lucrng; QuingNgfliz Vb Quang Phil Thdi, Do a:4vd b:5 : thi a 8 d6u th6a mdn. fhi.Mi Lan, Nguy€n L0 Hodng Duy€n, Truong Th! V{y bdi to6n co 6 nghiQm (a ; b) ld ( I ; I ), Mai Trdgrt, TA, THCS Phpm V6n Ddng, Nguy€n Thi Ki€u Mdu,7B, THCS Kim Vang, Vd Thdnh Hy,lA, (1; 3), (2; l), (4; l), (5; 7),(8; 5). tr THCS Henh Trung. Nghia Thdnh. Hu)nh Dqt Di.€u YNhQnxlL Nhidu ban chua d6nh gi6 dugc b