ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Trần Thị Mai Phương
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hoà Bình cùng
các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập
và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 7 năm 2015
Tác giả
Trần Thị Mai Phương
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC .......................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 3
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 4
1.1. Hàm đa điều hoà dưới............................................................................... 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ........................................................... 6
1.3. Hàm cực trị tương đối ............................................................................... 7
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ................................................................ 10
1.5. Nguyên lý so sánh................................................................................... 13
Chƣơng 2. TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN
DIRICHLET TRONG LỚP ................................................. 16
2.1. Mở đầu .................................................................................................... 16
2.2. Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới liên tục ........................................ 16
2.3. Tích phân từng phần ............................................................................... 18
2.4. Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức .............................................. 21
2.5. Lớp .................................................................................................... 25
2.6. Bài toán Dirchle đối với toán tử Monge-Ampere trong ................... 38
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 42
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói riêng đã
được xuất hiện từ lâu, tuy nhiên nó chỉ được phát triển trong vòng 30 năm trở
lại đây. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được biết đến từ khá sớm.
Tuy nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng
dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi
E. Berfod, và B. A. Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Monge-
Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái
niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. E. Berfod và
B. A. Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này xác định trên lớp các hàm đa điều hòa
dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Tiếp đó, năm
1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán tử này tới lớp các hàm
đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Do đó
miền xác định của toán tử Monge-Ampere là rất quan trọng trong lý thuyết đa
thế vị và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng trên
đó toán tử Monge-Ampere phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa
các lớp và chỉ ra rằng lớp là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của
toán tử Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge -
Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampere và áp dụng các kết quả đạt
được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng , chúng tôi chọn
“Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp ” làm đề tài
nghiên cứu của mình.
2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa
điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm
test. Đây là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới
hạn giảm dần. Nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng
quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp .
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử
Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
- Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều
hòa dưới, liên tục.
- Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm
đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm
test. Đó là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới
hạn giảm dần.
- Trình bày một vài kết quả nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử
dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet
trong lớp .
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
3
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương
đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình
bày việc xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới,
liên tục được sử dụng trong suốt chương này. Kế đến là việc mở rộng định
nghĩa toán tử Monge-Ampère phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới và một
vài kết quả về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và
áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp .
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
4
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của và
là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần
liên thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
và , hàm là điều hoà dưới hoặc trùng
trên mỗi thành phần của tập hợp . Trong trường hợp
này, ta viết . ( ở đây kí hiệu là lớp hàm đa điều hoà
dưới trong ).
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
1.1.2. Mệnh đề. Nếu và hầu khắp nơi trong , thì
.
1.1.3. Mệnh đề. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
và
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của
, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi ,
.
1.1.4. Định lý. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
, thì .
Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì
hoặc .
5
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các
tập con compact của , thì .
Giả sử sao cho bao trên của nó là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều
hoà dưới trong .
1.1.5. Hệ quả. Cho là một tập mở trong và là một tập con mở thực sự
khác rỗng của . Nếu , , và với
mỗi , thì công thức
xác định một hàm đa điều hoà dưới trong .
1.1.6. Định lý. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hoà trong và . Nếu là
lồi, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , , và trong . Nếu
là lồi và tăng dần, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và , thì .
1.1.7. Định lý. Cho là một tập con mở của và
6
là một tập con đóng của ở đây . Nếu là bị
chặn trên, thì hàm xác định bởi
là đa điều hoà dưới trong .
1.1.8. Định nghĩa. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn
tại hàm đa điều hòa dưới liên tục sao cho
với mọi .
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của và là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên trên sao cho
và trên , đều có trong G.
Một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề. Cho là mở và là hàm đa điều hoà dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và với mỗi hàm
, nếu với mọi , thì
trong G;
Nếu và với mỗi tồn tại một tập compact sao
cho trong , thì trong .
7
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
trên thì trong G;
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
với mỗi , thì trong G;
là hàm cực đại.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử là một tập con mở của và là tập con của
. Hàm cực trị tương đối đối với trong được định nghĩa là:
( ).
Hàm là đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối.
1.3.2. Mệnh đề. Nếu thì .
1.3.3. Mệnh đề. Nếu là siêu lồi và là một tập con compact tương đối của
, thì tại điểm bất kỳ ta có
.
Chứng minh. Nếu < 0 là một hàm vét cạn đối với , thì với số nào
đó, trên . Như vậy trong . Rõ ràng,
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
1.3.4. Mệnh đề. Nếu là siêu lồi và là một tập compact sao
là hàm liên tục. cho thì
8
Chứng minh. Lấy là họ các hàm . Giả sử và ký hiệu F
là hàm xác định của sao cho trên K. Khi đó . Chỉ trong
cần chứng minh rằng với mỗi tồn tại F. Sao cho
trong . Thật vậy, lấy tồn tại sao cho
trong và , trong đó
.
Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có
thể tìm được sao cho trên và
trên . Đặt
.
Khi đó C( ) ∩ F và như vậy
tại mỗi điểm trong .
1.3.5. Mệnh đề. Cho
là tập mở liên thông, và
. Khi đó các điều
kiện sau tương đương:
;
Tồn tại hàm âm sao cho
Chứng minh. là hiển nhiên. Thật vậy, nếu như ở trên , thì
với mọi , từ đó hầu khắp nơi trong . Như vậy
9
. Bây giờ giả sử . Khi đó tồn tại sao cho .
Bởi vậy, với mỗi , có thể chọn một sao cho
và .
Đặt
Chú ý rằng , âm trong , và .
Đồng thời là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
. hoà dưới. Vì nên ta kết luận
1.3.6. Mệnh đề. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử ,
trong đó với . Nếu với mỗi , thì .
Chứng minh. Chọn sao cho và . Lấy
điểm . Bằng cách mở rộng mỗi hàm bởi một hằng
số dương thích hợp, ta có thể giả thiết . Khi đó
, và . . Suy ra
1.3.7. Mệnh đề. Cho là tập con siêu lồi của và là một tập con
compact của . Giả thiết rằng là một dãy tăng những tập con mở của
và
sao cho . Khi đó
10
Chứng minh. Lấy điểm . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rằng . Giả sử là một hàm vét cạn đối với sao cho
trên K. Lấy sao cho . Khi đó tồn tại
sao cho tập mở là tập compact tương đối trong . Lấy
và
sao cho trên trên . Khi đó
xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa và . Như vậy
. Vì là một phần tử tuỳ ý của họ , nên ta có
Do đó ta có với mọi và nhỏ
tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho là đa điều hoà dưới trên miền . Nếu thì toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
11
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
.
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampe của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
1.4.1. Mệnh đề. Nếu là -dạng lớp trên tập mở
và là -dòng với thì
.
1.4.2. Mệnh đề. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
a) Nếu là tập mở thì .
b) Nếu là tập compact thì .
12
c) Nếu compact tương đối trong sao cho thì
.
Chứng minh. a) Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
. Từ đó
. Giả sử là một lân b) Ta có
cận mở của và , và trên . Khi đó
.
. Từ đó
c) Viết . Khi đó
.
Mặt khác
.
Từ đó .
13
1.4.3. Mệnh đề. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là -dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
1.5. Nguyên lý so sánh
1.5.1. Định lý. (Nguyên lý so sánh) Giả sử là miền bị chặn và
sao cho . Khi đó
.
1.5.2. Hệ quả. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho và . Khi đó
.
Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra trên (nếu ngược lại thì
và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu thì trên .
Vậy trên . Từ đó
.
Cho ta được điều cần chứng minh.
14
1.5.3. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử là miền bị chặn và
sao cho . Giả sử
trên . Khi đó trên .
Chứng minh. Đặt , với được chọn đủ lớn sao cho
trên . Giả sử khác rỗng. Khi đó có sao cho
khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy trên .
1.5.4. Hệ quả. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho và . Khi đó .
1.5.5. Hệ quả. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho và . Khi đó trên .
15
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.3. Giả sử . Khi đó
có sao cho và do đó có độ đo Lebesgue dương.
Chú ý rằng do nên . Khi đó như chứng minh
của Hệ quả 1.5.3 ta có
và ta gặp mâu thuẫn.
16
Chƣơng 2
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ
BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP
2.1. Mở đầu
Trong chương này, ta luôn giả thiết là miền siêu lồi. Phần đầu của
chương này, chúng ta sẽ xét việc xấp xỉ toàn cục của các hàm đa điều hòa dưới
âm bởi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới âm liên tục trên , bằng không
trên và với khối lượng Monge-Ampère bị chặn. Các phần tử của lớp hàm
này sử dụng như “các hàm test”. Định lý 2.2.1 nêu dưới đây cho thấy việc
xấp xỉ toàn cục có thể thực hiện được trong . Chúng ta sẽ sử dụng
Định lý 2.2.1 để chỉ ra rằng tích phân từng phần hầu như luôn thực hiện
được (Hệ quả 2.3.4). Tiếp theo, chúng ta xem xét định nghĩa tổng quát của
toán tử Monge-Ampème phức, được mở rộng tới lớp và đó là định nghĩa
tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần (Định
lý 2.4.5). Phần cuối cùng của chương này, trình bày việc giải bài toán
Dirichle trong lớp nhờ các kết quả liên quan đến định nghĩa tổng quát về
toán tử Monge-Ampème.
2.2. Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dƣới liên tục
Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý xấp xỉ đối với các hàm đa điều
hòa dưới âm, được sử dụng xuyên xuốt chương này.
2.2.1. Định lý. Giả sử . Khi đó có một dãy giảm dần các hàm
với , ,
và .
17
Chứng minh. Ký hiệu là hàm cực trị tương đối đối với . Khi đó
supp là hình cầu, thì theo định lý Walsh suy ra , và nếu
liên tục trên . Vì vậy, tồn tại một hàm vét cạn liên tục đối với với
là dãy giảm sao cho
supp . Với mỗi , ta chọn , nói riêng
.
Ký hiệu là chính quy hóa của , xác định trên , khi đó
Đặt trên và bằng trên .
Chú ý: nếu thì .
Do đó
và .
Vì vậy, là một hàm đa điều hòa dưới trên , liên tục trên
và bằng không trên . Vì là bao trên của các hàm liên tục, nên là
nửa liên tục dưới. Ta sẽ chứng minh là nửa liên tục trên. Thật vậy, ta có
18
,
vì giảm theo . Cuối cùng, bởi vì
khi , nên suy ra rằng mỗi nửa liên tục trên. Điều đó là hệ quả của
Định lý Stokes:
.
2.3. Tích phân từng phần
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu “tích phân từng phần” là công cụ
chủ yếu trong toàn bộ chương này. Trước tiên ta định nghĩa:
.
2.3.1. Bổ đề. .
Chứng minh. Chọn và giả sử . Chọn đủ lớn sao cho
.
Lấy và đặt
19
,
trong đó M đủ lớn sao cho trên giá của hàm . Khi đó
do đó lấy , suy ra
.
2.3.2. Bổ đề. Nếu , là dòng dương đóng song bậc
và nếu , ở đó là tập con compact của , thì là độ đo
dương được xác định tốt trên .
Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng nếu thì
là độ đo Radon với khối lượng bằng không. Vì vậy, là số dương
khi với mỗi là một miền giả
lồi chặt chứa K. Nói riêng, kết luận của Bổ đề 2.3.2 là đúng nếu . Chọn
trong lân cận của :
và gần . Khi đó vì T là đóng. Hơn
nữa, nếu gần thì
20
.
Từ đó vì tồn tại, nên cũng tồn tại.
Vì vậy, là một độ đo dương xác định tốt trên .
2.3.3. Định lý. Giả sử , và
là dòng dương đóng song bậc . Khi đó là độ đo
dương được xác định tốt trên . Hơn nữa, nếu thì
cũng là độ đo dương được xác định tốt trên và
.
Chứng minh. Giả sử , trên và
. Khi đó, theo Định lý 3.3 trong [7] ta có
.
Vì vậy nếu ký hiệu là hàm đặc trưng của , thì ta có
giảm tới khi giảm tới không. Từ đó
Và bằng cách tương tự, sử dụng ta được
.
21
Để hoàn thành việc chứng minh Định lý 2.3.3, chúng ta sử dụng Định lý 2.2.1
và chọn và khi .
Bây giờ, vì , nên do sự hội tụ trội ta có
.
Khi đó, theo Bổ đề 2.3.2 và các chứng minh ở trên, ta có
Vì là hàm nửa liên tục trên, nên ta có
.
2.3.4. Hệ quả. Giả sử , với mọi
và là dòng dương đóng song bậc . Nếu
thì và
.
2.4. Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức
2.4.1. Định nghĩa. Giả sử . Ta nói rằng nếu với mỗi
đều tồn tại một lân cận của trong và dãy giảm sao
cho trên và .
22
2.4.2. Định lý. Giả sử , Nếu giảm đến
khi , thì hội tụ yếu * và độ đo giới hạn không phụ
thuộc vào dãy
Chứng minh. Giả sử . Khi đó, với ,
là dãy giảm theo Hệ quả 2.3.4 và bởi vì
,
nên tồn tại với mọi .
là hội tụ yếu * . Theo Bổ đề 2.3.1,
Nếu là dãy khác giảm tới , thì lại theo Hệ quả 2.3.4, ta có
Vì vậy, tồn tại và bị giảm đi bởi
.
23
Nhưng đó là trường hợp đối xứng nên ta kết luận các giới hạn là bằng nhau.
Để hoàn tất việc chứng minh điều đó đã dẫn đến việc phải loại bỏ
.
Cho là một tập compact của , phủ với một số hữu hạn các ,
như trong định nghĩa của . Lấy , ,
tương ứng với và đặt . Khi đó ,
trên , và . Như vậy, nếu ta đặt
, thì và gần .
2.4.3. Định nghĩa. Với , ta định nghĩa
là độ đo giới hạn đạt được trong Định lý 2.4.2.
2.4.4. Định nghĩa. Xét lớp sao cho:
Nếu thì
Nếu thì
hội tụ yếu*.
2.4.5. Định lý. Lớp có tính chất và trong định nghĩa 2.4.4. Ngược lại,
nếu thoả mãn các điều kiện của định nghĩa 2.4.4 thì
Chứng minh. Giả sử . Khi đó theo Định lý 2.3.3 ta có (1). Để chứng
minh (2), giả sử . Nếu ,
24
và vì
thì nên hội tụ yếu* theo
Định lý 2.4.2. Ở đây là dãy giảm dần đến . Vì vậy, hội tụ
yếu* và (2) được chứng minh.
Ngược lại, giả sử và là mở và compact tương đối trong . Theo
định lý 2.2.1, ta tìm được trên khi . Đặt
.
Khi đó , và trên
giảm trên , và khắp nơi trên .
Bây giờ, và do đó vì . Vì vậy, theo (2),
hội tụ yếu* và vì nên suy ra
. Vậy .
2.4.6. Định nghĩa. Ký hiệu là lớp con các hàm sao cho tồn tại
dãy giảm , trên và
Chú ý:
- Từ Hệ quả 2.3.4 và Định lý 2.4.2 suy ra tích phân từng phần là thực hiện
được trong .
- Từ chứng minh của Định lý 2.4.5 suy ra mỗi là địa phương
trong ; để mỗi và là mở và compact tương đối trong , thì
phải có với trong .
25
2.5. Lớp
Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu một vài bất đẳng thức, nguyên lý
so sánh tổng quát và phân tích toán tử .
2.5.1. Mệnh đề. Giả sử và Nếu
giảm đến khi , thì
.
Chứng minh. Bởi vì mở, và , nên
hội tụ yếu * đến
và ta có
Nếu thì theo chứng minh của Định lý 2.4.2, ta có
.
Bây giờ, giả sử và hữu hạn.
Với mỗi , chọn , giảm đến , đồng thời chọn và sao cho
26
.
Hơn nữa, nếu , thì
.
2.5.2. Hệ quả. Giả sử và Nếu
khi và
thì
hội tụ yếu* đến , khi .
Chứng minh. Vì là nửa liên tục dưới nên nó bằng với mọi
. Từ đó, ta có
,
nhưng
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
27
Bổ đề sau đã được chứng minh trong [2].
2.5.3. Bổ đề. Nếu và thì
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh một kiểu khác của bất đẳng thức, trong đó không cần
điều chỉnh chuẩn sup: Định lý 2.5.5 và Hệ quả 2.5.6.
2.5.4. Bổ đề. Giả sử và trong đó
và Khi đó
Chứng minh.
1. Trước tiên ta chứng minh bổ đề khi .
.
28
2. Giả sử bổ đề được chứng minh khi ta chứng minh bổ đề đối với
. Trước tiên ta chứng minh:
Thật vậy, ta có
Vì vậy
Sử dụng điều này, ta có
29
và bổ đề được chứng minh.
2.5.5. Định lý. Giả sử và . Khi đó
.
Chứng minh.
- Sử dụng định nghĩa của và Mệnh đề 2.5.1, ta thấy rằng chỉ cần xét trường
hợp . Sử dụng Bổ đề 2.5.4, ta có:
vì vậy định lý đúng nếu . Giả sử định lý đúng đối với
và giả sử . Khi đó
30
.
2.5.6. Hệ quả. Giả sử . Khi đó
.
2.5.7. Hệ quả. Giả sử và . Khi đó
,
trong đó là số Lelong của tại .
Chứng minh. Trước tiên, giả sử , . Chú ý rằng
.
Do đó, với , sử dụng Định lý 2.5.5, ta có
31
.
Cho , ta được điều phải chứng minh. Trong trường hợp tổng quát,
chỉ cần thay thế bởi hàm Green đa phức với cực tại .
2.5.8. Định lý. Giả sử là tập đa cực trong . Khi đó tồn tại sao
cho
Chứng minh. Nhắc lại định nghĩa của trong [4]: sẽ thuộc nếu
là hữu hạn, trong đó được xác định như trong Định
nghĩa 2.4.6. Chọn một dãy các tập hợp con compact tương đối của sao
cho mỗi điểm của nằm trong một số hữu hạn các và ,
trong đó là hàm đa điều hòa dưới cực trị tương đối. Theo Bổ đề 3.9 trong
[4], tồn tại dãy con sao cho . Theo Hệ quả 2.5.6, ta có thể
chọn một dãy con của dãy con này, và ký hiệu là sao cho . Vì
vậy, và rõ ràng trên .
2.5.9. Ví dụ. Hàm không nằm trong , trong đó là hình cầu đơn
vị trong . Năng lượng cổ điển của bằng
.
32
Vì năng lượng cổ điển của không bị chặn địa phương, nên theo chú ý
sau Định nghĩa 2.4.6 suy ra . Sử dụng ý tưởng này, tính toán
được thực hiện trong [5], suy ra rằng khi và chỉ khi
.
2.5.10. Bổ đề. Giả sử Khi đó
Chứng minh. - Giả sử . Chọn , , khi .
Khi đó , suy ra
.
Vì hội tụ yếu đến nên để chứng minh bổ đề, ta
chỉ cần chứng minh
hội tụ yếu đến , khi .
Vì , nên sử dụng Hệ quả 2.5.2 với mỗi cố định,
ta có
.
33
.
Cho ta có điều phải chứng minh.
2.5.11. Định lý. Giả sử là độ đo dương trên . Khi đó tồn tại và
hàm sao cho trong đó được
mang bởi tập đa cực.
Hơn nữa, nếu với thì được mang bởi
Chứng minh. Sử dụng định lý Radon - Nikodym, phần thứ nhất suy ra từ Định
lý 6.3 trong [4]. Theo Bổ đề 2.5.10, ta có
Nói riêng, triệt tiêu trên các tập đa cực. Do đó, nếu
thì ta có vì bị mang bởi tập đa
cực .
Định lý sau, liên quan đến nguyên lý so sánh, được tổng quát hóa đối với lớp
trong [4].
34
2.5.12. Định lý. Nếu , với
và trên , thì trên .
2.5.13. Định nghĩa. Ta ký hiệu là lớp con gồm tất cả các hàm sao
cho triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực.
2.5.14. Bổ đề. Giả sử là độ đo dương trên . Nếu và nếu
triệt tiêu trên các tập đa cực, thì tồn tại duy nhất hàm sao cho
.
Chứng minh. Theo Định lý 2.5.11 suy ra tồn tại và hàm
sao cho . Theo [8] , tồn tại duy nhất
để cho và từ Định lý 2.5.12 suy ra
là dãy giảm. Đặt và từ Bổ đề 2.5.3 suy ra là hàm đa điều hòa
dưới và vì vậy thuộc . Bây giờ ta sẽ chứng minh xác định duy nhất: giả sử
với , ta sẽ chứng tỏ rằng . Thật vậy, lấy là dãy
số tự nhiên và với liên là một dãy cơ bản các tập compact của
tục sao cho
,
do sự hội tụ đơn điệu vì triệt tiêu trên các tập đa cực. Hơn nữa, sử dụng
Mệnh đề 2.5.1, ta có
35
Lấy và viết Ta có
và
là độc lập với theo Bổ đề 2.5.4 trong [4]. Điều đó có nghĩa là
.
Vì vậy cho và sử dụng Hệ quả 2.5.2, ta được
.
Kết hợp các bất đẳng thức đó, ta nhận được
.
Mặt khác tồn tại sao cho
.
Khi đó từ Định lý 2.5.12 suy ra
, trong đó
36
.
Đặt Vì , nên suy ra khi .
Do đó chỉ cần chứng minh hội tụ yếu đến , khi .
Mặt khác tồn tại sao cho
.
Khi đó và
Từ đó hội tụ yếu tới 0, khi . Do đó hội tụ yếu đến .
2.5.15. Định lý. Nếu và với thì
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử . Ta biết rằng
với và
với và được mang bởi tập đa cực. Vì
, nên ta có thể giả sử và như vậy . Theo Bổ
37
đề 2.5.14 điều này là đủ để chỉ ra rằng với nghiệm duy nhất của phương trình
, ta có . Lấy là một tập con compact không rỗng
tùy ý của . Ngay từ đầu ta có thể sử dụng bất đẳng thức
.
Do đó áp dụng hệ quả 2.5.2 và Bổ đề 5.4 trong [4], ta được
.
Như vậy
suy ra triệt tiêu trên các tập đa cực. Do đó, nếu
là nghiệm duy nhất của phương trình
thì theo nguyên lý so sánh và
.
Theo Bổ đề 2.5.4, giảm đến khi và tăng đến .
Vậy
38
2.6. Bài toán Dirchle đôi với toán tử Monge-Ampere trong
Bài toán Dirichle đối với toán tử trên đã được E. Bedford
và B.A. Taylor nghiên cứu năm 1982, U. Cegrell và S. Kolodziej nghiên cứu
năm 1998. Ở đây chúng ta sẽ xét bài toán Dirichle trong lớp .
2.6.1. Bổ đề. Giả sử , trong đó được mang bởi một tập
đa cực. Khi đó tồn tại sao cho
Chứng minh. Theo giả thiết và Định lý 2.5.11 ta có thể giả sử được
mang bởi tập . Chọn và dãy ,
tăng các tập compact sao cho
và chọn sao cho . Điều này là có thể vì là compact và
. Khi đó
và vì là mở nên ta có
với đủ lớn. Nhưng là giảm nên
.
39
Bây giờ chọn sao cho trên
. Để đơn giản ta ký hiệu thay cho . Giải phương trình
.
Khi đó ta xác định bởi Theo nguyên lý so sánh ta có
và ta sẽ buộc cho
nếu .
Đối với
(1) trên
(2) Trên ta có
(3) Trên tập mở , với ta có
do đó trên và
40
vì thế theo nguyên lý so sánh. Bằng cách lấy tích
phân từng phần, ta được
.
Vì nên ta và
sẽ có , nếu ta chứng minh được
.
Nhưng điều này suy ra từ Định lý 2.5.5. Bổ đề được chứng minh.
2.6.2. Định lý. Giả sử là độ đo dương trên với khối lượng tổng cộng hữu
hạn. Khi đó , ở đó và
được mang bởi một tập đa cực. Nếu có với thì tồn tại
với
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.5.14 và Bổ đề 2.6.1 suy ra với mỗi tồn tại
với . Từ chứng minh của Bổ đề 2.6.1 suy ra
. Vì , nên suy ra tồn tại
. Định lý được chứng minh.
41
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
- Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều
hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-
Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
- Một số kết quả trong việc nghiên cứu về xấp xỉ toàn cục của các hàm
đa điều hòa dưới âm.
- Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm
đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm
test. Đó là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới
hạn giảm dần.
- Vài kết quả nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa
tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp .
42
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1] N.Q.Diệu và L.M.Hải (1992), Cơ sở lí thuyết đa thế vị, Nxb Đại Học sư
phạm Hà Nội.
TIẾNG ANH
[2] Blocki Z. (1993), "Estimates for the Monge-Ampere operator", Bull. Pol.
Acad. Sci. Math., 41, pp. 151-157.
[3] Blocki Z. (1996), "The complex Monge- Ampere operator in hyperconvex
domains, Annali della Scuola Normale Superiore di pisa 4, 23, pp. 721- 747.
[4] Cegrell U. (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math. 180, no2, pp. 187 - 217.
[5] Cegrell U. (1999), "Explicit calculation of Monge-Ampere measure", Actes
des rencontres d’analyse complexe, 25-28 Mars 1999, Edited by Gilles Raby
and Frederic Symesak. Atlantique. Universite de Poitiers, 2000.
[6] Cegrell U. (2004), "The general definition of the complex Monge - Ampère",
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54, pp. 159 - 179.
[7] Coman D.(1997), "Integration by parts for currents and applications to the
relative capacity and Lelong numbers", Mathematica, tome 39 (62), No 1, pp. 45-57.
[8] Kolodziej S. (1998), "The complex Monge-Ampere equation", Acta Math. 180,
pp. 69-117.
