ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
THÂN NGỌC THÀNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội – Năm 2016
Mục lục
Mở đầu 2
1 Các kiến thức chuẩn bị
1.2 Không gian Holder
4 4 4 5 6 7 7 7 8 8 8
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Không gian hàm Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Không gian W l,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 1.1.3 Không gian W l,p 0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Không gian C(Ω), Cl(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Không gian C0,γ(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Không gian Cl,γ(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Định lý Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của phương trình ellip-
tic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Định lý Leray-Schauder về điểm bất động của một họ các
ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 9 . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai 2.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Bài toán Dirichlet
12 12 2.1.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . 12 2.1.2 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp l của nghiệm qua các
độ lớn và đạo hàm cấp một của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Đánh giá chuẩn Holder của ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên . . . . . 17 2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên toàn miền . . 19 2.6 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận 26
1
Tài liệu tham khảo 27
MỞ ĐẦU
Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài
"Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai".
• Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp
Luận văn được chia làm hai chương:
hai.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev, Holder, Định lí Leray-Schauder để làm cơ sở chứng minh định lí tồn tại nghiệm cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Xây dựng và chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho hệ. Cuối cùng chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ bằng cách áp dụng Định lí Leray-Schauder. Tài liệu tham khảo chính cho luận văn là tài liệu [2].
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Thầy luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt quá trình tìm hiểu đề tài. Sự nhiệt tình đó đã động viên em rất nhiều để có thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này.
2
Em xin chân thành cảm ơn!
MỞ ĐẦU
Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2016
Tác giả
3
Thân Ngọc Thành
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev
1 ≤ p < ∞
1.1.1 Không gian hàm Lp(Ω),
Định nghĩa 1.1. Lp(Ω) là không gian Banach các hàm đo được u xác định trên Ω, nhận giá trị thực và p - khả tích sao cho
|u(x)|pdx < +∞.
Ω
(cid:90)
1 p
Chuẩn được định nghĩa trong không gian Lp(Ω) là
,
|u(x)|pdx
||u(x)||Lp(Ω) =
Ω
(cid:90)
|u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M hầu khắp nơi trong Ω}.
||u||∞ = ess sup Ω
trong đó |u(x)| là giá trị tuyệt đối của u(x). Khi p = +∞, L∞(Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn
Khi p = 2, L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
u(x).v(x)dx,
(u, v)L2(Ω) =
Ω
(cid:90)
(u, u) = ||u||2 =
|u(x)|2dx.
Ω
(cid:90)
1
1 2
2
Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L2(Ω); g ∈ L2(Ω) thì
≤
|f g|dx ≤
|g|2dx
|f |2dx
(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)
Ω
Ω
Ω
Ω
4
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f gdx (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
(f, g là các hàm bình phương khả tích). Nếu a ∈ L∞(Ω) và f, g ∈ L2(Ω) thì
|f g| dx.
≤ ||a||∞
(cid:90) (cid:90)
Ω
Ω
1.1.2 Không gian W l,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) af gdx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
W l,p(Ω) = {u(x) ∈ Lp(Ω); Dαu(x) ∈ Lp(Ω), ∀α : |α| ≤ l},
.
2 . . . Dαn
1 Dα2
Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
1 p
trong đó α = (α1, α2, . . . , αn); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn; Dαu = Dα1 n ; Dj = ∂ ∂xj Khi đó, chuẩn của u(x) ∈ W l,p(Ω) được định nghĩa bởi
|Dαu|pdx
.
||u||W l,p(Ω) =
|α|≤l
Ω
(cid:90) (cid:88)
Một chuẩn tương đương là
||u||p
|Dαu|p
W l,p(Ω) =
Lp(Ω).
|α|≤l
(cid:88)
W 1,2(Ω) = (cid:8)u ∈ L2(Ω); D1u ∈ L2(Ω)(cid:9) .
Nhận xét 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn; l ∈ N; 1 ≤ p < +∞ thì W l,p(Ω) là một không gian Banach. Khi l = 1, p = 2 thì
;
,
(u, v) = (u, v)L2(Ω) +
(cid:19) (cid:88)
∂v ∂xl
L2(Ω)
1≤l≤n
Không gian W 1,2(Ω) được trang bị tích vô hướng (cid:18) ∂u ∂xl
và chuẩn tương ứng
||u||2
W 1,2(Ω) =
Ω
(cid:90) (cid:0)|∇u(x)|2 + u(x)2(cid:1) dx.
Khi đó W 1,2(Ω) là không gian Hilbert.
W m,p(Ω) ⊂ W l,p(Ω).
5
Nhận xét 1.3. Nếu l < m thì
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1.3 Không gian W l,p
0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
0 (Ω)
0 (Ω) = {u(x) ∈ C∞(Ω), u(x) có giá compact}. C∞
a) Không gian C∞
0 (Ω)
0 (Ω)
0 (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C∞
b) Không gian W l,p
W l,p
0 (Ω).
0 (Ω) = C∞
Định nghĩa 1.3. Không gian W l,p trong chuẩn của không gian W l,p(Ω). Kí hiệu
W l,p
0 (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p(Ω), Dαu|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.
(Ω), v(x) ∈ W 1,p(cid:48)
(Ω) ta có
Khi đó,
0
Nhận xét 1.4. i) Đối với các hàm u(x) ∈ W 1,p
uvxidx,
uxivdx = −
Ω
Ω
(cid:90) (cid:90)
p + 1
p(cid:48) = 1.
trong đó 1
ii) Hai chuẩn tương đương trong W 1,p(Ω)
||u||p
||Dαu||p
W 1,p(Ω) =
Lp(Ω),
|α|≤l (cid:88)
||u||W 1,p(Ω) =
||Dαu||Lp(Ω).
|α|≤l
(cid:88)
+ sao cho
c1||u|| ≤ |||u||| ≤ c2||u||.
Hai chuẩn là tương đương, nếu tồn tại c1, c2 ∈ R∗
0 (Ω)
n (cid:88)
||u|| = ||u||Lp(Ω) +
||Dju||Lp(Ω),
j=1
n (cid:88)
|||u||| =
||Dju||Lp(Ω),
j=1
iii) Hai chuẩn sau là tương đương trên W l,p
6
trong đó Dju = Dxj u.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
(Ω) xác định bởi
0
n (cid:88)
||u||2
||uxj ||2
W 1,2(Ω) = ||u||2
L2(Ω) +
L2(Ω).
j=1
iv) Khi l = 1, p = 2 Chuẩn của W 1,2
Chuẩn mới tương đương là
n (cid:88)
|||u|||2
aij(x)uxiuxj dx,
W 1,2(Ω) =
(Ω) = ||u||2
W 1,2 0
i,j=1
Ω
(cid:90)
aij(x)ξiξj ≤ c2|ξ|2, (c1, c2 = const)∀ξ ∈ Rn.
n (cid:80) i,j=1
trong đó aij = aji, c1|ξ|2 ≤
1.2 Không gian Holder
1.2.1 Không gian C(Ω), C l(Ω)
Cho Ω là một tập mở trong Rn. Ta định nghĩa một số không gian
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục trong Ω}, Cl(Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dαu ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},
Định nghĩa 1.4.
với l ∈ N. Trong không gian Cl(Ω) xác định chuẩn
|Dαu|.
|u|l,Ω = sup Ω
|α|≤l
1.2.2 Không gian C 0,γ(Ω)
(cid:88)
< +∞},
|u(x) − u(y)| |x − y|γ
C0,γ(Ω) = {u(x) ∈ C0(Ω); |u|γ,Ω = sup x,y∈Ω x(cid:54)=y
Định nghĩa 1.5. C0,γ(Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω với |u|γ,Ω xác định
|u| + |u|γ,Ω.
|u|γ,Ω = max Ω
7
với 0 < γ ≤ 1. Chuẩn của C0,γ(Ω) được định nghĩa bởi
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.2.3 Không gian C l,γ(Ω)
Chú ý 1.1. Hàm u(x) ∈ C0,γ(Ω) nếu u(x) ∈ C0,γ(Ω(cid:48)) với ∀Ω, ⊂ Ω.
Cl,γ(Ω) = {u(x) ∈ Cl(Ω); Dαu ∈ C0,γ(Ω); ∀|α| = l}.
Định nghĩa 1.6.
|u|l,γ,Ω = |u|l,Ω +
|Dαu|γ,Ω.
|α|=l
Chuẩn trong Cl,γ(Ω) (cid:88)
1.3 Định lý Leray-Schauder
1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli
Giả sử (X, d) là một không gian metric compact và C(X) là không gian vecto
(cid:12)x ∈ X}, chuẩn này xác
σ(f, g) = (cid:107)f − g(cid:107) = max{|f (x) − g(x)|, x ∈ X}.
các hàm liên tục f : X → R. Không gian C(X) được trang bị chuẩn (cid:107)f (cid:107) = max{|f (x)|(cid:12) định khoảng cách trong C(X) như sau
|f (x)| ≤ M
Định nghĩa 1.7. Họ F các hàm số thuộc C(X) được gọi là liên tục đồng bậc nếu với mọi (cid:15) > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f (x) − f (y)| < (cid:15) đúng với mọi x, y ∈ X thỏa mãn d(x, y) < δ và với mọi f ∈ F. Họ F được gọi là bị chặn đều nếu tồn tại hằng số M sao cho
với mọi x ∈ X, f ∈ F.
1.3.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai
Định lý 1.1. (Định lý Arzelá-Ascoli). Giả sử (X, d) là một không gian com- pact. Tập con F của C(X) là tập compact tương đối nếu F bị chặn đều và liên tục đồng bậc.
8
Trong phần này sẽ trình bày Định lý Schauder về đánh giá chuẩn |u|2,γ,Ω với u(x) là nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Cụ thể ta xét định lý sau
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Lu = aij(x)uxixj + bi(x)uxi + c(x)u
Định lý 1.2. (Định lý Schauder). Giả sử Ω ⊂ Rn là tập mở bị chặn có biên S ∈ C2,γ với γ ∈ (0, 1). Xét toán tử L xác định bởi
∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn, λ = const > 0;
trong đó từ đây về sau khi gặp các chỉ số lặp trong một biểu thức, thì ta sẽ hiểu là lấy tổng theo chỉ số lặp đó và ta giả thiết các hệ số thỏa mãn
µ = const > 0.
1. aij(x)ξiξj ≥ λ|ξ|2
2. |aij|0,γ,Ω, |bi|0,γ,Ω, |c|0,γ,Ω ≤ µ,
= φ
Lu = f, u(cid:12) (cid:12)S
Giả sử f ∈ Cγ(Ω) và φ ∈ C2,γ(Ω). Khi đó, nghiệm u(x) ∈ C2,γ(Ω) của bài toán Dirichlet
|u|2,γ,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |φ|2,γ,Ω + |f |0,γ,Ω),
thỏa mãn đánh giá
1.3.3 Định lý Leray-Schauder về điểm bất động của một họ các ánh xạ
trong đó C là hằng số phụ thuộc n, γ, λ, µ, Ω và không phụ thuộc vào u.
Dưới đây trình bày định lý điểm bất động Leray-Schauder để chứng minh sự
tồn tại nghiệm. Trước tiên ta trình bày định nghĩa liên quan.
Định nghĩa 1.8. Cho B1, B2 là hai không gian Banach. Ánh xạ Φ : B1 → B2 được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và biến mọi tập bị chặn trong B1 thành tập compact tương đối trong B2.
u = Φ(u, t)
Định lý 1.3. (Định lý Leray-Schauder). Giả sử H là không gian Banach đầy đủ và M là tập mở, bị chặn trong H. Đặt M1 = M × [0, 1]. Khi đó phương trình
(1.1)
có ít nhất một nghiệm trong M với mọi t ∈ [0, 1] nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(1) Φ(u, t) xác định và hoàn toàn liên tục trên M1,
(2) Φ(u, t) liên tục đều theo t trên M1,
(3) Với mọi t ∈ [0, 1] thì phương trình (1.1) không có nghiệm trên biên của M,
9
(4) Phương trình (1.1) có nghiệm với t = 0.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.4 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai
Trong phần này sẽ trình bày về bài toán Dirichlet cho một phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai.
Lu ≡
Với x ∈ Ω ⊂ Rn, xét phương trình dạng bảo toàn
(ai(x, u, ux)) + a(x, u, ux) = 0
d dxi
(1.2)
với điều kiện biên
u(cid:12) (cid:12)S
= ϕ(x)(cid:12) (cid:12)S
(1.3)
= τ ϕ, (τ ∈ [0, 1]),
Khi đó, bài toán Diriclet là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn (1.2), (1.3). Để nghiên cứu tính giải được của bài toán, ta sẽ nhúng nó vào họ bài toán sau
Lτ u =
(ai(x, u, ux, τ )) + a(x, u, ux, τ ) = 0,
u(cid:12) (cid:12)S
d dxi
(1.4)
ai(x, u, ux, 1) = ai(x, u, ux), a(x, u, ux, 1) = a(x, u, ux).
trong đó ai(x, u, ux, τ ), a(x, u, ux, τ ) là các hàm trơn của τ trên [0, 1] thỏa mãn
m−2 2
m−2 2
λ(1 + |p|2)
|ξ|2 ≤
|ξ|2
Ta cũng giả sử thêm các điều kiện sau đối với các hệ số đúng với mọi x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p bất kỳ
ξiξj ≤ µ(1 + |p|2)
∂ai(x, u, p, τ ) ∂pj
1
m 2
≤ µ(1 + |p|2)
(1.5)
2 +(cid:12) (cid:12)
|a(x, u, p, τ )|+(cid:0)(cid:12) (cid:12)
∂ai ∂u
∂ai ∂xj
(1.6) (cid:12) (cid:12)+|ai|(cid:1)(1 + |p|2)
n (cid:88)
trong đó λ, µ là các hằng số dương và m > 1. Khi đó, ta có các đánh giá tiên nghiệm
|∇u(x, τ )| ≤ M1,
|uxi|β,Ω ≤ M2
max Ω
i=1
(1.7)
với các hằng số M1, M2 và β được xác định từ các đại lượng n, M, m, λ, µ trong (1.5), (1.6). Xét định lý tồn tại nghiệm cho bài toán (1.4).
Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
,
,
(a) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p bất kỳ, ai(x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) là các hàm đo được, ai(x, u, p, τ ) khả vi theo x, u, p và thỏa mãn điều kiện (1.4), (1.5);
∂ai ∂u
∂ai ∂pj
∂ai ∂xi
(b) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và |p| ≤ M1 (M1 là hằng số trong đánh giá (1.7)), , a là các hàm liên tục theo x, u, p, τ và thỏa mãn điều các hàm ai,
10
kiện Holder theo x, u, p với số mũ α > 0 đều theo τ ∈ [0, 1];
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
,
,
∂ai ∂u
∂ai ∂pj
∂ai ∂xi
Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1} liên tục đều theo tham số τ ∈ [0, 1].
là các phần tử thuộc C0,γ{x ∈ (c) Các hàm ai(x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) và
(d) S ∈ C2,γ, ϕ ∈ C2,γ.
|u(x, τ )| ≤ M ∀τ ∈ [0, 1].
Ω
Đồng thời, giả sử rằng nghiệm u(x, τ ) thỏa mãn max
Lu ≡ aij(x, u, ux)uxixj + A(x, u, ux) = 0
Khi đó, nếu với τ = 0, bài toán (1.4) có nghiệm thì (1.4) sẽ có ít nhất một nghiệm u(x, τ ) ∈ C2,γ(Ω) ∀τ ∈ [0, 1]. Ta viết lại phương trình (1.2) dưới dạng
aij(x, u, p) =
∂ai(x, u, p) ∂pj
trong đó
A(x, u, p) = a(x, u, p) +
+
.
∂ai(x, u, p) ∂u
∂ai(x, u, p) ∂xi
và
Giả sử thêm rằng
A(x, u, 0) ≤ −b1|u|2 + b2,
b1 = const > 0, b2 ≥ 0
(1.8)
aij(x, u, 0)ξiξj ≥ 0
(1.9)
Khi đó, cùng với kết quả của Định lý 1.4, ta có định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.2), (1.3).
|ϕ|,
Định lý 1.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
} và p bất kỳ, các hàm ai(x, u, p), a(x, u, p)
Ω
,
,
, a liên tục Holder với số mũ γ > 0 theo x, u, p trên
(b) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M = max{max (a) Với x ∈ Ω và u, p bất kỳ, các hàm ai(x, u, p), a(x, u, p) là các hàm đo được, ai(x, u, p) khả vi theo x, u, p và các bất đẳng thức (1.8), (1.9) được thỏa mãn; (cid:114) b2 b1 thỏa mãn đánh giá (1.5), (1.6);
∂ai ∂u
∂ai ∂pj
∂ai ∂xi
(c) Các hàm ai,
{x ∈ Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1};
tập
|∇u| ≤ M1.
Ω
trong đó M1 có được từ đánh giá tiên nghiệm max
(d) S ∈ C2,γ và ϕ ∈ C2,γ(Ω).
11
Khi đó, bài toán biên (1.2), (1.3) có ít nhất một nghiệm thuộc C2,γ(Ω).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] D.Gillarg, N. Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of
second order, Springer .
[2] O. Ladyzhenskaya, N. Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic
27
equations, Univerrsity of Southern California.
