BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THÀNH CHUNG
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ
KHÔNG TRƠN TRONG RN
Chuyªn ngμnh: TOÁN HỌC
M∙ sè: 62 46 01 05
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
hμ néi – 2010
c«ng tr×nh ®−îc hoμn thμnh t¹i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Ng−êi h−íng dÉn khoa häc
Ph¶n biÖn 1:
Ph¶n biÖn 2:
Ph¶n biªn 3:
LuËn ¸n tiÕn sÜ sÏ ®−îc b¶o vÖ tr−íc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp nhµ n−íc häp t¹i ViÖn Nghiªn cøu
v¨n ho¸ vµo håi giê ngµy th¸ng n¨m 2010
Cã thÓ t×m ®äc luËn ¸n t¹i:
- Đại học quốc gia Hà Nội
- Th− viÖn Quèc gia
▼ë ➤➬✉
❚õ ❣✐÷❛ t❤Õ ❦û t❤ø ✶✾✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ♠ét
♣❤➢➡♥❣ t✐Ö♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝❤ñ ②Õ✉ tr♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ ❧➭
❝❤✐Õ❝ ❝➬✉ ♥è✐ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭ t♦➳♥ ❧ý t❤✉②Õt✳ ❱✃♥ ➤Ò ❝❤ñ
②Õ✉ ①✉②➟♥ s✉èt tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤ã ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ➤➬✉ t❤Õ ❦û ✷✵✱ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ t❤❡♦ ♠ét ❝➳❝❤ ❝❤✉♥❣ ♥❤✃t ❧➭ ❝➳❝
♥❣❤✐Ö♠ ❝æ ➤✐Ó♥✱ tø❝ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➯ ✈✐ ➤Õ♥ ❝✃♣ ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ã
♠➷t tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♠ét ➤✐Ò✉ ❞Ô ♥❤❐♥ t❤✃② ❧➭ ➤Ó ♣❤➯♥ ➳♥❤
t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ♠ét q✉➳ tr×♥❤ ✈❐t ❧ý ❤❛② ❝➡ ❤ä❝ t❤× ✈✐Ö❝ ❝❤Ø q✉❛♥ t➞♠
➤Õ♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ t❤➠✐ ❧➭ ❝❤➢❛ ➤ñ✳ ❱× ✈❐②✱
➤Ó ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ❤➡♥ ✈í✐ ➤è✐ t➢î♥❣
♠➭ ♥ã ♣❤➯♥ ➳♥❤ t❤× ✈✐Ö❝ ♠ë ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦
❤➭♠ r✐➟♥❣ ❧➭ ♠ét ✈✃♥ ➤Ò ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ❉♦ ➤ã ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥❣❤✐Ö♠ s✉② ré♥❣ r❛
➤ê✐✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ r❛ ♥❤✐Ò✉ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈Ò ♥❣❤✐Ö♠ s✉② ré♥❣
♥❤➢♥❣ ♣❤➯✐ ➤➯♠ ❜➯♦ ♠ét ♥❣✉②➟♥ t➽❝✿ ✈õ❛ ❝❤➷t ❝❤Ï ✈Ò ♠➷t t♦➳♥ ❤ä❝ ✈õ❛ ❝ã
ý ♥❣❤Ü❛ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ❞✐Ö♥ ✈❐t ❧ý✳
❚r♦♥❣ ❜è✐ ❝➯♥❤ ➤ã✱ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➷t r❛ ❧➭✿ sö ❞ô♥❣
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ s✉② ré♥❣ ✭♥❣❤✐Ö♠
②Õ✉✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝
❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❙♦ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ♥❤➢✿ ♣❤➢➡♥❣
♣❤➳♣ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐Ö♠ tr➟♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❞➢í✐✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜❐❝ ➳♥❤ ①➵✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ tá r❛ ❝ã ❤✐Ö✉ ❧ù❝ ❤➡♥ ❝➯✳
ý
t➢ë♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➳♣ ❞ô♥❣
✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❞ù❛ tr➟♥ ❝➡ së ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥✱ ♠➭
♥é✐❞✉♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ ➤➢❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤❛♥❣ ①Ðt ✈Ò ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠
J
❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ ♠ét ♥❣❤Ü❛ ♥➭♦ ➤ã tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
X
➤➢î❝
①➞② ❞ù♥❣ t❤Ý❝❤ ❤î♣ ✭❣ä✐ ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ♥➝♥❣ ❧➢î♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt✮ s❛♦ ❝❤♦ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥
❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠
J
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ s✉② ré♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ▼ét ♣❤➢➡♥❣
−1−
♣❤➳♣ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ➤Ó t×♠ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭ t×♠ ➤✐Ó♠
❝ù❝ t✐Ó✉ ❤♦➳ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ➤ã✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ✈✐Ö❝ t×♠ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❝ñ❛ ♠ét
♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❤Ò ➤➡♥ ❣✐➯♥✳ ❱➯ ❧➵✐✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❝ã t❤Ó ❝ù❝ t✐Ó✉ ❤♦➳
t➢➡♥❣ ➤è✐ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❱× ✈❐②✱ tr♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥❣➢ê✐ t❛ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥
❝➳❝ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❝ù❝ t✐Ó✉✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢î♥❣✳
❈➡ së ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭ ❝➳❝ ❜æ ➤Ò ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣
✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦♠♣❛❝t✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠
tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠
J
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
X
➤ã ❧➭ ✧➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛
♥ó✐✧ ✭▼♦✉♥t❛✐♥ ♣❛ss t❤❡♦r❡♠✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛
✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✺✵ ❜ë✐ ❘✳ ❈♦✉r❛♥t ❝❤♦ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳ ◆➝♠ ✶✾✼✸✱ ❆✳ ❆♠❜r♦s❡tt✐ ✈➭ P✳ ❘❛❜✐♥♦✇✐t③ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr♦♥❣ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤✳
➜Þ♥❤ ❧ý
✵✳✶
✭①❡♠ ❬✶❪✮✳
●✐➯ sö
(X, k.k)
❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱
J:X→
R
❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥
X
✱ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡✱ tø❝ ❧➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲②
{un} ⊂ X
t❤♦➯ ♠➲♥
|J(un)|≦C
✱
∀n
✈➭
DJ(un)→0
❦❤✐
n→ ∞
✱ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó trÝ❝❤ ➤➢î❝ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❤é✐ tô tr♦♥❣
X
✳
❍➡♥ ♥÷❛✱
J(0) = 0
✈➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠
J
t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉✿
(i)
❚å♥ t➵✐
α
✱
r > 0
s❛♦ ❝❤♦
J(v)≧α
✈í✐ ♠ä✐
v∈X
✱
||v|| =r
❀
(ii)
❚å♥ t➵✐
v0∈X
✈í✐
||v0|| > r
s❛♦ ❝❤♦
J(v0)<0
✳
➜➷t
c= inf max
t∈[0,1] J(ϕ(t)) : ϕ∈C([0,1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0.
❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐
u∈X
s❛♦ ❝❤♦
c=J(u)≧α > 0
✈➭
DJ(u) = 0
✳
▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ➤➲ ❣ã♣ ♣❤➬♥ q✉❛♥ trä♥❣
tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ❦❤➳ ré♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❦❤➠♥❣
−2−
t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ◆❤÷♥❣ ❝➯✐ t✐Õ♥ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ P❛❧❛✐s✲
❙♠❛❧❡ ➤➲ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❧í♥ tr➟♥ t❤Õ ❣✐í✐ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
◆➝♠ ✶✾✽✾✱ ❉✳▼✳ ➜ø❝ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❬✾❪ ➤➲ t❤✐Õt ❧❐♣ ❧➵✐ ❜æ ➤Ò ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣
✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ❧í♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✵✳✶✮✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ➤➷❝ ❜✐Öt ❤÷✉
Ý❝❤ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ❤Ö sè ❦ú ❞Þ✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
✵✳✶
✭①❡♠ ❬✾❪✮✳
❈❤♦
X
❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚❛ ♥ã✐ ♣❤✐Õ♠
❤➭♠
J:X→R
❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉ tr➟♥
X
♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✿
(i)J
❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥
X
❀
(ii)
❱í✐ ♠ä✐
u∈X
✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
DJ(u) : X→R
s❛♦ ❝❤♦
lim
t→0
J(u+tv)−J(u)
t=DJ(u)(v),∀v∈X;
(iii)
❱í✐ ♠ç✐
v∈X
✱ ➳♥❤ ①➵
u7→ DJ(u)(v)
❧✐➟♥ tô❝
X
✳
❑ý ❤✐Ö✉
C1
w(X)
❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉ tr➟♥
X
✳ ❉Ô
♥❤❐♥ t❤✃②
C1(X)⊂C1
w(X)
✱ tr♦♥❣ ➤ã
C1(X)
❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐
❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥
X
✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ tr➢í❝ ♥➝♠ ✷✵✵✺✱ ❝❤➢❛ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
♥➭♦ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝ ➳♣ ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐
❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉✱ ♠➷❝ ❞ï ý t➢ë♥❣ ♥➭② ♠ë r❛ ♠ét ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tå♥
t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ré♥❣ ❧í♥ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
✈➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ♠➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢î♥❣
❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t✳
➜è✐ t➢î♥❣ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠
②Õ✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✈➭ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✮ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝ã ❞➵♥❣✿
−div(a(x, ∇u)) = f(x, u), x ∈Ω,
✭✵✳✶✮
tr♦♥❣ ➤ã
Ω
❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë tr♦♥❣
RN
✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♠ét sè ❞➵♥❣ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✵✳✶✮ ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
−div(|∇u|p−2∇u) = f(x, u), x ∈Ω,
✭✵✳✷✮
−3−