Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê

T ng H p Xác Su t Th ng Kê

ấ

ố

ổ

ợ

Ph n I: Xác Su t ấ ầ

Ch ng I: Bi n C Ng u Nhiên và Xác Su t. ươ ỗ ế ấ ẫ

Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n: A. ơ ả ứ ị

2.

A là k t c c thu n l

1. 0≤P(A)≤1 – V i P(A) là xác su t x y ra c a 1 bi n c ng u nhiên A. ấ ả ế ố ủ ẫ ớ

ị ế ụ ậ ợ ố ế ụ i cho bi n c A và n là s k t c c ế ố

A/n – V i Mớ ế ố

Đ nh nghĩa c đi n: P(A) = M ổ ể ủ ử ấ đ ng kh năng c a phép th xu t hi n bi n c đó. ồ ệ ả

4.

1 + A2

Đ nh nghĩa th ng kê: P(A) = f(A) 3. ố ị

ế ố ữ ự ử ệ ả

5.

ắ + . . . + An, A x y ra khi 1 trong n bi n c A Bi n c xung kh c: là nh ng bi n c không th cùng x y ra khi th c hi n phép th . VD: A = A ế ố ể ế ố i x y ra. ả ả

Bi n c đ c l p: là nh ng bi n c mà khi x y ra nó không tác đ ng đ n xác su t c a bi n c khác ấ ủ ế ế ố ộ ố ế ế ả

6.

ữ 1.A2…..An, A x y ra khi c n bi n c A ố ộ ậ trong phép th . VD: A = A ử ả ả ế ố i x y ra. ả

-1 = V ( bi n c ch c ch n) ế ố ắ

M r ng: + A.A ở ộ ắ

+ A.A = A

+ A.B = A ( A là tr ng h p riêng c a B) ườ ủ ợ

7. Đ nh Lý (+) và (x) xác su t ấ ị

i là các bi n c xung kh c ắ ế ố

i là các bi n c đ c l p

+ P ((cid:229) Ai) = (cid:229) P(Ai) (i= 1,n) – v i Aớ

ế ố ộ ậ + P (πAi) = πP(Ai) (i = 1,n) – v i Aớ

+ P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – v i A, B là các bi n c ph thu c nhau. ế ố ụ ớ ộ

+ P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – v i A, B là các bi n c không xung kh c. ớ ế ố ắ

• M r ng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C) ở ộ

8.

1,H2,

+ P(A/B) = 1 – P(A-1/B)

Công Th c Xác Su t Đ y Đ : N u BC A ph thu c vào 1 nhóm đ y đ các bi n c H = ( H ụ ứ ủ ủ ế ế ấ ầ ầ ộ ố

•

…,Hn) thì P(A) = (cid:229) P(Hi).P(A/Hi) – (i= 1,n)

k/A) = P(Hk.A)/P(A)=P(Hk).P(A/Hk)/ (cid:229) P(Hi).P(A/Hi)

M r ng: Công th c Bayes: P(H ở ộ ứ

B. Bài Toán C B n ơ ả

I. Đ nh nghĩa C Đi n ể ổ ị

m+n = (n+m)!/x!.(n+m-x)! &

1. Bài Toán Cái Thùng : L u ý t “và” = “x” và t “ho c” = “+”. ư ừ ừ ặ

A.

ứ ơ ả thùng T g m T (m tr ng, n đ ) l y ra X qu ắ ỏ ấ ả  n = Cx

ng t , chú ý đ n bi n c c n tìm đ tính chính xác n và M + Công th c c b n: t ừ MA t ế ự ươ ồ ế ố ầ ể

-1 ) v i Aớ

-1 là bi n c đ i l p bi n c A ( ko th x y ể ả

ạ ụ ứ ế ố ố ậ ế ố

+ D ng ít nh t 1: áp d ng công th c P(A) = 1 – P(A ấ ra cùng trong 1 phép th )ử

2. Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b qu y.ầ

b )a = ba

+ n =( C1

ng t + Tính MA t ươ ự và ph thu c vào đ bài. ộ ụ ề

3. Bài Toán X p Ch hay X p Ch : ỗ ữ ế ế

+ n= s ch hay s ng i = n! ố ữ ố ườ

ng t nh n. + Tính MA t ươ ự ư

t l u ý khi xét bi n c chính xong c n xem xét ư ặ ệ ư ế ố ầ

II.

c u thành bi n c đó. L u Ý: Trong các bài toán c a đ nh nghĩa c đi n, đ c bi các kh năng x y ra đ ng th i c a các ph n t ồ ổ ể ầ ử ấ ủ ị ờ ủ ả ả ế ố

ử ụ ứ ệ ạ

Bài Toán v i đ nh lý (+) và (x) cùng v i XS có đi u ki n: chú ý s d ng linh ho t các công th c, đ c ặ ề t các công th c có đi u ki n và bi n c đ i l p. bi ớ ế ố ố ậ ớ ị ứ ề ệ ệ

2.

Bài Toán Van N i, Công ty KD cùng ngành và Th Bom: (+) và (x) 1. ả ồ

Bài Toán Bia Đ n, B ph n trong cùng máy, thi Đ i H c, x th : XS có đi u ki n và BC đ i l p. ạ ủ ố ậ ề ệ ạ ậ ạ ộ ọ

III. Bài toán v i công th c XS Đ y Đ và Bayes: ứ ủ ầ ớ

Bài Toán Cái Thùng: u tiên đ t gi thi t là qu l y ra c a thùng nào. 1. ư ặ ả ế ả ấ ủ

thi 2. ẩ ố ượ ng nhi u nên xác su t các l n l y là nh nhau, cũng u tiên gi ầ ấ ư ư ề ấ ả ế t

ả SP c a máy nào. Bài toán % s n ph m: vì s l ủ

Ch ng II: Bi n Ng u Nhiên và các Quy Lu t Phân B XS. ươ ố ế ậ ẫ

A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n: ơ ả ứ ị

ố ứ ế ế ậ ẫ ớ ỗ ị

1. xác su t t Bi n ng u nhiên là bi n có quy lu t phân b , ng v i m i giá tr ng u nhiên, có m t ộ ẫ ng ng. ấ ươ ứ

2.

Hàm Phân B XS: F(X) = P(X

ϵ (-∞, +∞) & 0≤F(X)≤1

+ P (x1

3.

+ F(+∞)=1; F(-∞)=0

Hàm m t đ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 & ậ ộ

+ P (x1

ng Sai (đ bi n đ ng – v i c phi u là đ ế ươ ộ ế ớ ổ ế ộ ộ

i là đ n đ nh,đ ng đ u . . .): 4. r i ro còn v i còn l ủ Kỳ V ng Toán( giá tr Tb lý thuy t) và Ph ị ộ ổ ọ ớ ề ạ ồ ị

ng ng có XS P + EX = (cid:229) xiPi – X r i r c v i các giá tr x

i t

i, i=1,n.

ờ ạ ớ ị ươ ứ

+ EX = . – X liên t c.ụ

i t

i, i=1,n.

+ V(X) = (cid:229) ng ng có XS P (xi – EX)2.Pi – X r i r c v i các giá tr x ờ ạ ớ ị ươ ứ

+ V(X) = - X liên t c.ụ

5. Các tính ch t c a EX và V(X). ấ ủ

+ EC=C & V(C) = 0.

+ E(CX)=CEX & V(CX) = C2V(X).

+E(X±Y)= EX ± EY.

+ N u X, Y đ c l p: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y). ộ ậ ế

+ V(X) = E(X 2 ) – (EX) 2 . 

­

X r i r c: V(X) = (cid:229) (xi)2Pi – (EX)2 ờ ạ

­

X liên t c: V(X) = - (EX)2 ụ

6. Quy lu t nh th c : Bi(n,p) ị ứ ậ

- Th c hi n n phép th đ c l p đ i v i A

=> X ~ B(n,p) ; EX=np ,

ử ộ ậ

ố ớ

ự

ệ

V(X) = np(1-p)

- X =( S l n x y ra A trong n phép th nói trên )

ố ầ

ử

ẩ

- A có P(A) = p không đ iổ

k

2

in

1

)p

i i (pC n

+ Công th c tính xác su t :

P( k1 < X < k2 ) = (cid:229)

i = 1,2,..., n.

ứ

ấ

= ki 1

np + p -1 £ k £ np + p

+ Xác đ nh s có kh năng x y ra l n nh t : ả

ẩ

ấ

ố

ớ

ị

- -

m 7. Quy lu t phân b chu n : N( , s

2)

m

m

ố ậ ẩ

b

a

)

(

)

(

0

0

- P( a < X < b ) =

s

s

- - F - F

02

e s

- P( | X - EX |

(cid:246) (cid:230) F (cid:247) (cid:231) ł Ł

0,9544

F

• M r ng: ở ộ

o(+∞) = 0.5; F

o(-u) = - F

o(u) F o(-∞) = -0.5;u1-a= -ua.

B. Bài Toán C B n ơ ả

I. Ph n Bi n Ng u Nhiên. ế ầ ẫ

Bài áp d ng CT: chú ý các kho ng giá tr và tính toán. 1. ụ ả ị

II.

Bài toán l t quy lu t phân b r i tính toán. 2. ợ i nhu n: vi ậ ế ố ồ ậ

Các Quy Lu t Phân B XS: ậ ố

1. Bài toán quy lu t nh th c B(n,p): n luôn l n, áp d ng công th c đ tính. ứ ể ị ứ ụ ậ ớ

•

2. Bài toán quy lu t chu n: nh k công th c v n năng. ứ ạ ớ ỹ ậ ẩ

0(ux) = P(0

Chú ý: quy lu t chu n hàm Laplace chính là Φ ở ậ ẩ

XS nên ta có: P(u1

- Quy Lu t Chu n X ~

• ng d ng tìm các ch s liên quan: Ứ ỉ ố ụ

, s i đó P(u>u

2): vì ux là đi m mà t

x) = x nên n u cho

P(u

N(m P(u>ux) = 1 – a  Φ0(ux) = 0.5 – (1-a) & u1-a=ux .

2 >

2(n)) =

2 < b) = a  P(

2 > b)

- Quy Lu t ậ

i đó P( P(

là đi m mà t ể

2(n): vì

ạ nên n u cho ế

2(n) = b

1-a

- Quy lu t T – Student:

= 1-a 

vì i đó P(T> t P(T< b) = a  P(T> b) = ậ

là đi m mà t ể

ạ nên n u cho ế

1-a  t1-a

(n)=b ( chú ý n u n>30 ta ch p nh n t ậ a

ế ấ

(n)) = (n) =Ua – Pb chu n & ố

ẩ

ta

(n)= -t1-a

(n).)

(n1,n2)) =

P(F< b) = a  P(F>b) = 1- nên n u cho ế

i đó P(F> f (n1,n2)). vì - Quy lu t Fisher: là đi m mà t ậ ạ ể (n1,n2)= 1/fa (n1,n2)= b. (chú ý: f1-a a  f1-a

Ch ng III: M u ng u nhiên và các đ c tr ng c a m u ươ ặ ư ủ ẫ ẫ ẫ

2

ơ ả ứ ị A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n:

s

m

N

,

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) fi (cid:247) (cid:231) 1. NÕu X ~ N (m , s

2 ) X ~

n

m

m

ł Ł

a

b

n

n

0

0

+ P( a < X < b ) =

s

s

- - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) F - F (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ł Ł ł Ł

n

0

+ P( | X - m

| < e ) = 2

e s

2 . MÉu lÊy ra tõ ph©n bè kh«ng-mét - X ~ A(p) vµ víi n ®ñ lín (n‡ 100)

(cid:246) (cid:230) F (cid:247) (cid:231) ł Ł

p

)

p

b

p

a

p

pN

,

n

n

0

0

+

(cid:222) P( a < f < b ) =

1( n

m f = ~ n

p

1(

p

)

p

1(

p

)

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - - (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) F - F (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ł Ł - - ł Ł ł Ł

e

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231)

)e<

F

( fP

- p

n

0

+

= 2

p

1(

p

)

(cid:247) (cid:231) - ł Ł

I.

B. Bài Toán C B n ơ ả

2(n)

1.

Ph n Quy Lu t Chu n. ậ ầ ẩ

Bài áp d ng CT: chú ý bi n đ i t chu n sang ổ ừ ụ ế ẩ

2. ứ ề ệ ể ấ ủ ố ậ ế ẩ ặ ậ ệ t

Áp d ng tri ụ l u ý công th c v n năng. ư t đ các công th c v XS bi n đ i l p và tính ch t c a quy lu t chu n, đ c bi ứ ạ

Ph n quy lu t A(p) – t ậ ặ ệ ổ t bài toán b t cá khi áp d ng trong c các bài t ng ụ ắ ả

cũng cho XS tính tr : chú ý đ c bi c đ làm bài. II. ầ h p bao gi ờ ợ l ỷ ệ ướ ể

Ch ng IV: ng ươ c L Ướ ượ

A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n: ơ ả ứ ị

1. X ~ N(m

,s

2) :

+

: c l Ướ ượ ố m ng tham s

Tr

2 đã bi

Tr

ườ

ợ s ng h p

tế

ườ

ợ s ng h p

2 ch a bi ư

t ế

s

s

)

)

S

S

<

m

<

<

m

<

uX

+ uX

)

tX

+ tX

a

a

( a

( a

2/

2/

n 1 2/

n 1 2/

n

n

n

n

s

)

S

m

m

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ł Ł ł Ł

+ uX

tX

a

( n 1-+ a

Kho ng tin c y t

i đa :

Kho ng tin c y t

i đa :

ậ ố

ả

ậ ố

ả

n

n

s

Kho ng tin c y t

ả

ể i thi u :

m

£ £

uX

a

Kho ng tin c y t

ậ ố

ả

i thi u : ể

n

)

ậ ố S

n 1-

m

- ‡

tX

( a

n

N

Xác đ nh kích th

c m u n đ cho I

Xác đ nh kích th

ị

ướ

ể

ẫ

ị

- ‡

c m u l y thêm m n+m £

ẫ ấ Io :

Io :

ướ đ cho I ể

)1

2

2

2

s

t (4

)

s

u 4

( a

2 a

£

+ mn

N

n- 2/ I

2/ I

2 0

2 0

‡ ‡

+

2 :

c l ướ ượ

ố s ng tham s

Tr

ườ

ợ m ng h p

ch a bi ư

t ế

2

2

S

(

2

<

s

<

c

c

)1 n (

)1

S )1 n (

)1

n 2 a

a

2/

n ( 2 1

2/

2

(cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - - ł Ł

S

2

s

( c

)1 n (

)1

a

n 2 1

- £ - -

Kho ng tin c y t

i đa :

ậ ố

ả

2

2

s

( c

)1 n

S )1

(

n 2 a

- ‡ -

Kho ng tin c y t

ậ ố

ả

i thi u : ể

2. X ~ A(p) :

Đ t p = P(A)

ặ

f

)

f

f

)

f

<

<

+

f

u

p

f

u

a

a

1( n

1( n

2

2

f

)

f

+

(cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231) - (cid:247) (cid:231) ł Ł

p

f

u

a

1( - n

£

Kho ng tin c y t

i đa :

ậ ố

ả

f

)

f

p

f

u

a

1( - n

- ‡

Kho ng tin c y t

ậ ố

ả

i thi u : ể

u 4

f

1(

f

/)

I

2 a

2/

2 0

£ I0 fi

-

N ‡

Xác đ nh c m u N : IN ỡ ẫ

ị

B. tin c y t

Bài Toán C B n: cũng có bài toán b t cá trong 1 m u xác đ nh nào đó ẫ ắ ị  tìm kho ngả

ậ ố ơ ả i thi u ho c t ặ ố ể i đa r i làm. ồ

Ch ươ ng IV: Ki m đ nh ể ị

1: luôn là d u b t đ ng th c ho c khác, ph i d a vào câu

A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n: ơ ả ứ ị

ả ự ấ ẳ ứ ấ ặ

H0: luôn là d u “=” H ấ h i c a bài làm đ đ t d u. ỏ ủ ể ặ ấ

II.

I. Ki m đ nh tham s : ố ể ị

Ki m đ nh gi thi : X ~ N(m , s

2)

ể ị ả ố m t v tham s ế ề

s s

Gi

thi

Gi

thi

ả

t ế

ả

t ế

Mi n bác b khi

2 đã

Mi n bác b khi

ề

ề

2 ch aư

bi

ỏ t ế

ỏ tế bi

H0 : ( m =m o )

H0 : (m

=m o )

m

x

)1

0

0

=

=

-<

u

n

; u

u

W a

a

nt ( - a

s

H1 : (m

H1 : (m

)1

(

H1 : (m >m o )

= { u = . . . ; u > ua

H1 : (m

>m o )

-nta

Wa

= { t = . . . ; t >

}

Wa }

(

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) m - - (cid:239) (cid:239) x - = = < (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) t n t; W a (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238) s (cid:254) (cid:238)

„

„

H1 : (m

o )

= { u = . . . ; |u| >

H1 : (m

o )

-nta

Wa

= { t =. . . ; |t| >

}

)1 2/

Wa /2 } ua

III.

m m

So sánh hai tham s ố m 1 , m 2 : X1 ~ N(m 1 , s 12) – X2 ~ N(m 2 , s 22)

Gi

thi

t

Gi

thi

ả

ả

t ế

ế Mi n bác b khi

s 2 đã bi

Mi n bác b khi

ỏ

ề

t ế

ề

s 2 ch aư

ỏ bi

tế

H0 :( m 1=m 2 )

H0 : ( m 1=m 2 )

x

1

2

x 1

2

=

<

=

u

=

;

u - u

u

=

;

< u - u

W a

a

W a

a

x +

x + s

s

/

s

/

n

/

n

/

n

2 s 1

n 1

2 2

2

2 1

1

2 2

2

H1 : (m 1

H1 : (m 1

H1 :(m 1>m 2)

Wa

H1 : (m 1>m 2 )

Wa

= { u = . . . ; u > ua }

= { u = . . . ; u > ua }

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238)

H1: (m 1„

2 )

Wa

H1: (m 1 „

2 )

Wa

= { u = . . . ; |u| > /2 }

ua

= { u = . . . ; |u| > /2 }

ua

m m

IV.

Ki m đ nh gi thi

2 :

ể ị ả ế ố s t và so sánh v tham s ề

m m

Gi

thi

Gi

thi

t

ả

t ế

ả

2

Mi n bác b khi

1, m

ề

ch aư

ề

ch aư

ỏ bi

ế Mi n bác b khi tế

ỏ t ế bi

2

2

(

n

s

2=s

2=s

2)

1

)

2

o

2

2

2 1

=

c

c

c

=

<

=

;

<

(n

1)-

F

=

F ;

f

(n

W a

a

W a

a

2 1

1

1)-n1,- 2

-1

s

s s

2 2

)1 2 0

2

2)

2

2)

1

2

o

a (n-

2>s

2) Wa

> c 2

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - H0: (s H0 : (s (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) - (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) H1 : (s H1 : (s

1

2

= { F = . . . ; F > fa (n1 -1,n2

2>s

2)

o

2

2

H1 : (s H1 : (s Wa = { c 2 = . . . ; c 2 1) } -1) }

c

c

(n

a

(

n

s

2 1

2

=

c

W

=

;

1)-

a

<

s

c

c

F

f

(n

a

< > 2

2/ (n

1)-

2 a

1

)1 2 0

2/

2 1

1

=

2

F

=

;

1)-n1,- 2

2„

W a

2)

o

>

s s

2 2

F

f

(n

a

2)

1

2

1

1)-n1,- 2

2/

(cid:252) (cid:236) - - (cid:253) (cid:237) (cid:252) (cid:236) (cid:254) (cid:238) (cid:239) (cid:239) - (cid:253) (cid:237) s H1 :(s (cid:239) (cid:239) s (cid:254) (cid:238) H1: 2„ (s

V. Ki m đ nh gi thi t và so sánh tham s p trong phân b A(p) ể ị ả ế ố ố

Gi

thi

t

Gi

thi

t

ả

ế

Mi n bác b ỏ

ề

ả

ế

Mi n bác b ỏ

ề

H0 :(p=po)

H0 : (p1=p2 )

f

p

f

f

1

2

=

=

-<

=

u

n

; u

u

W a

a

= u

< u - u

;

W a

a

p

1(

0 p

)

0

0

+

f

1(

f

/1)(

n

/1

n

)

1

2

H1 :(p

H1 : (p1

Wa

= { u = . . . ; u > ua

= { u = . . . ; u > ua }

H1 : (p1>p2 )

H1 : (p>pp)

Wa }

Wa

= { u = . . . ; |u| >

= { u = . . . ; |u| >ua /2 }

H1 :(p„ po)

H1 : (p1„ p2)

Wa ua /2 }

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) - (cid:239) (cid:239) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238) - (cid:254) (cid:238)

VI. Ki m Đ nh Phi Tham S : ố ể ị

H0 : ( Hai ch tiêu A và B đ c l p v i nhau ) H

ộ ậ ớ

ỉ

1 : ( Hai ch tiêu A và ỉ

B ph thu c nhau ) ộ

ụ

2

2

2 Þ

=

c

=

c

c

W

n

(

1)

;

>

[(

k

l )(1

)]1

a

2 a

n nn

i

.

.

j

(cid:252) (cid:236) ø Ø (cid:239) (cid:239) - - - œ Œ (cid:253) (cid:237) (cid:229) (cid:239) (cid:239) œ Œ ß º (cid:254) (cid:238)

B. Bài Toán C B n: ơ ả

ợ ặ ng h p trong cùng 1 m u ho c 1 thu c tính nh ng do 2 ngu n cung c p thì ộ ư ấ ồ

2.

ẫ là m c đ nh đã cho. 1. Chú ý tr luôn luôn ki m đ nh coi 1 t ể ườ ị ặ ị l ỷ ệ

Chú ý tr ng h p ch có 2 thu c tính (gi luôn = 0.5. ườ ộ ợ ỉ ớ i tính) khi ki m đ nh thì t ể ị l ỷ ệ