T ng H p Xác Su t Th ng Kêổ ợ ấ ố
Ph n I: Xác Su tầ ấ
Ch ng I: Bi n C Ng u Nhiên và Xác Su t.ươ ế ỗ ẫ ấ
A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n:ị ứ ơ ả
1. 0≤P(A)≤1 – V i P(A) là xác su t x y ra c a 1 bi n c ng u nhiên A.ớ ấ ả ủ ế ố ẫ
2. Đ nh nghĩa c đi n: P(A) = Mị ổ ể A/n – V i MớA là k t c c thu n l i cho bi n c A và n là s k t c cế ụ ậ ợ ế ố ố ế ụ
đ ng kh năng c a phép th xu t hi n bi n c đó.ồ ả ủ ử ấ ệ ế ố
3. Đ nh nghĩa th ng kê: P(A) = f(A)ị ố
4. Bi n c xung kh c: là nh ng bi n c không th cùng x y ra khi th c hi n phép th . VD: A = Aế ố ắ ữ ế ố ể ả ự ệ ử 1 + A2
+ . . . + An, A x y ra khi 1 trong n bi n c Aả ế ố i x y ra.ả
5. Bi n c đ c l p: là nh ng bi n c mà khi x y ra nó không tác đ ng đ n xác su t c a bi n c khácế ố ộ ậ ữ ế ố ả ộ ế ấ ủ ế ố
trong phép th . VD: A = Aử1.A2…..An, A x y ra khi c n bi n c Aả ả ế ố i x y ra.ả
6. M r ng: + A.Aở ộ -1 = V ( bi n c ch c ch n)ế ố ắ ắ
+ A.A = A
+ A.B = A ( A là tr ng h p riêng c a B)ườ ợ ủ
7. Đ nh Lý (+) và (x) xác su tị ấ
+ P (∑Ai) = ∑P(Ai) (i= 1,n) – v i Aới là các bi n c xung kh cế ố ắ
+ P (πAi) = πP(Ai) (i = 1,n) – v i Aới là các bi n c đ c l pế ố ộ ậ
+ P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – v i A, B là các bi n c ph thu c nhau.ớ ế ố ụ ộ
+ P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – v i A, B là các bi n c không xung kh c.ớ ế ố ắ
•M r ng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C)ở ộ
+ P(A/B) = 1 – P(A-1/B)
8. Công Th c Xác Su t Đ y Đ : N u BC A ph thu c vào 1 nhóm đ y đ các bi n c H = ( Hứ ấ ầ ủ ế ụ ộ ầ ủ ế ố 1,H2,
…,Hn) thì P(A) = ∑P(Hi).P(A/Hi) – (i= 1,n)
•M r ng: Công th c Bayes: P(Hở ộ ứ k/A) = P(Hk.A)/P(A)=P(Hk).P(A/Hk)/ ∑P(Hi).P(A/Hi)
B. Bài Toán C B nơ ả
I. Đ nh nghĩa C Đi nị ổ ể
1. Bài Toán Cái Thùng : L u ý t “và” = “x” và t “ho c” = “+”.ư ừ ừ ặ
+ Công th c c b n: t thùng T g m T (m tr ng, n đ ) l y ra X qu ứ ơ ả ừ ồ ắ ỏ ấ ả n = Cxm+n = (n+m)!/x!.(n+m-x)! &
MA t ng t , chú ý đ n bi n c c n tìm đ tính chính xác n và Mươ ự ế ế ố ầ ể A.
+ D ng ít nh t 1: áp d ng công th c P(A) = 1 – P(Aạ ấ ụ ứ -1 ) v i Aớ-1 là bi n c đ i l p bi n c A ( ko th x yế ố ố ậ ế ố ể ả
ra cùng trong 1 phép th )ử
2. Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b qu y.ầ
+ n =( C1b )a = ba
+ Tính MA t ng t và ph thu c vào đ bài.ươ ự ụ ộ ề
3. Bài Toán X p Ch hay X p Ch :ế ữ ế ỗ
+ n= s ch hay s ng i = n!ố ữ ố ườ
+ Tính MA t ng t nh n.ươ ự ư
L u Ý: Trong các bài toán c a đ nh nghĩa c đi n, đ c bi t l u ý khi xét bi n c chính xong c n xem xétư ủ ị ổ ể ặ ệ ư ế ố ầ
các kh năng x y ra đ ng th i c a các ph n t c u thành bi n c đó.ả ả ồ ờ ủ ầ ử ấ ế ố
II. Bài Toán v i đ nh lý (+) và (x) cùng v i XS có đi u ki n: chú ý s d ng linh ho t các công th c, đ cớ ị ớ ề ệ ử ụ ạ ứ ặ
bi t các công th c có đi u ki n và bi n c đ i l p.ệ ứ ề ệ ế ố ố ậ
1. Bài Toán Van N i, Công ty KD cùng ngành và Th Bom: (+) và (x)ồ ả
2. Bài Toán Bia Đ n, B ph n trong cùng máy, thi Đ i H c, x th : XS có đi u ki n và BC đ i l p.ạ ộ ậ ạ ọ ạ ủ ề ệ ố ậ
III. Bài toán v i công th c XS Đ y Đ và Bayes:ớ ứ ầ ủ
1. Bài Toán Cái Thùng: u tiên đ t gi thi t là qu l y ra c a thùng nào.ư ặ ả ế ả ấ ủ
2. Bài toán % s n ph m: vì s l ng nhi u nên xác su t các l n l y là nh nhau, cũng u tiên gi thi tả ẩ ố ượ ề ấ ầ ấ ư ư ả ế
SP c a máy nào.ủ
Ch ng II: Bi n Ng u Nhiên và các Quy Lu t Phân B XS.ươ ế ẫ ậ ố
A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n:ị ứ ơ ả
1. Bi n ng u nhiên là bi n có quy lu t phân b , ng v i m i giá tr ng u nhiên, có m tế ẫ ế ậ ố ứ ớ ỗ ị ẫ ộ
xác su t t ng ng.ấ ươ ứ
2. Hàm Phân B XS: F(X) = P(X<x) – x ốϵ (-∞, +∞) & 0≤F(X)≤1
+ P (x1<X<x2) = F(x2) – F(x1)
+ F(+∞)=1; F(-∞)=0
3. Hàm m t đ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 & ậ ộ
+ P (x1<X<x2) = F(x2) – F(x1) =
4. Kỳ V ng Toán( giá tr Tb lý thuy t) và Ph ng Sai (đ bi n đ ng – v i c phi u là đọ ị ế ươ ộ ế ộ ớ ổ ế ộ
r i ro còn v i còn l i là đ n đ nh,đ ng đ u . . .):ủ ớ ạ ộ ổ ị ồ ề
+ EX =
∑
xiPi – X r i r c v i các giá tr xờ ạ ớ ị i t ng ng có XS Pươ ứ i, i=1,n.
+ EX = . – X liên t c.ụ
+ V(X) = ∑(xi – EX)2.Pi – X r i r c v i các giá tr xờ ạ ớ ị i t ng ng có XS Pươ ứ i, i=1,n.
+ V(X) = - X liên t c.ụ
5. Các tính ch t c a EX và V(X).ấ ủ
+ EC=C & V(C) = 0.
+ E(CX)=CEX & V(CX) = C2V(X).
+E(X±Y)= EX ± EY.
+ N u X, Y đ c l p: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y).ế ộ ậ
+ V(X) = E(X 2
) – (EX) 2
.
-X r i r c: V(X) = ờ ạ
∑
(xi)2Pi – (EX)2
-X liên t c: V(X) = ụ - (EX)2
6. Quy lu t nh th c : Bi(n,p) ậ ị ứ
- A có P(A) = p không đ iổ
-Th c hi n n phép th đ c l p đ i v i Aự ệ ử ộ ậ ố ớ => X ~ B(n,p) ; EX=np ,
V(X) = np(1-p)
- X =( S l n x y ra A trong n phép th nói trên )ố ầ ẩ ử
+ Công th c tính xác su t :ứ ấ P( k1 < X < k2 ) =
∑
=
−
−
2
1
1
k
ki
inii
n)p(pC
i = 1,2,..., n.
+ Xác đ nh s có kh năng x y ra l n nh t :ị ố ả ẩ ớ ấ np + p -1
≤
k
≤
np + p
7. Quy lu t phân b chu n : N(ậ ố ẩ µ , σ2)
-P( a < X < b ) =
)()( 00
σ
µ
σ
µ
−
Φ−
−
Φab
-P( | X - EX | <
ε
) =
Φ
σ
ε
0
2
-P( | X -
µ
| < 3
σ
) = 2
Φ
o(3) = 0,9974 ; P( | X -
µ
| < 2
σ
) = 2
Φ
o(2) =
0,9544
•M r ng: ở ộ
Φ
o(+∞) = 0.5;
Φ
o(-u) = -
Φ
o(u)
Φ
o(-∞) = -0.5;u1-a= -ua.
B. Bài Toán C B nơ ả
I. Ph n Bi n Ng u Nhiên.ầ ế ẫ
1. Bài áp d ng CT: chú ý các kho ng giá tr và tính toán.ụ ả ị
2. Bài toán l i nhu n: vi t quy lu t phân b r i tính toán.ợ ậ ế ậ ố ồ
II. Các Quy Lu t Phân B XS:ậ ố
1. Bài toán quy lu t nh th c B(n,p): n luôn l n, áp d ng công th c đ tính.ậ ị ứ ớ ụ ứ ể
2. Bài toán quy lu t chu n: nh k công th c v n năng.ậ ẩ ớ ỹ ứ ạ
•Chú ý: quy lu t chu n hàm Laplace chính là Φở ậ ẩ 0(ux) = P(0<u<ux) và là hàm phân bố
XS nên ta có: P(u1<u<u2) = Φ0(u2) - Φ0(u1)
•ng d ng tìm các ch s liên quan:Ứ ụ ỉ ố
-Quy Lu t Chu n X ~ ậ ẩ N(µ , σ2): vì ux là đi m mà t i đó P(u>uể ạ x) = x nên n u choế P(u<ux)=a
P(u>ux) = 1 – a
Φ0(ux) = 0.5 – (1-a) & u1-a=ux .
-Quy Lu t ậ2(n): vì là đi m mà t i đó P(ể ạ 2 > 2(n)) = nên n u cho ếP( 2 < b) = a
P( 2 > b)
= 1-a
1-a2(n) = b
-Quy lu t T – Student: ậvì là đi m mà t i đó P(T> tể ạ (n)) = nên n u cho ếP(T< b) = a
P(T> b) =
1-a
t1-a(n)=b ( chú ý n u n>30 ta ch p nh n tế ấ ậ a(n) =Ua – Pb chu n & ố ẩ ta(n)= -t1-a(n).)
-Quy lu t Fisher: ậvì là đi m mà t i đó P(F> fể ạ (n1,n2)) = nên n u cho ếP(F< b) = a
P(F>b) = 1-
a
f1-a(n1,n2)= b. (chú ý: f1-a(n1,n2)= 1/fa(n1,n2)).
Ch ng III: M u ng u nhiên và các đ c tr ng c a m uươ ẫ ẫ ặ ư ủ ẫ
A. Các Đ nh Nghĩa và Công Th c C B n:ị ứ ơ ả
1. NÕu X ~ N (µ , σ2 )
X
~
n
N
2
,
σ
µ
→
+ P( a <
X
< b ) =
−
Φ−
−
Φn
a
n
b
σ
µ
σ
µ
00
+ P( |
X
- µ | < ε) = 2
Φn
σ
ε
0
2. MÉu lÊy ra tõ ph©n bè kh«ng-mét - X ~ A(p) vµ víi n ®ñ lín (n
≥
100)
+
~
−
n
pp
pN )1(
,
⇒
P( a < f < b ) =
−
−
Φ−
−
−
Φn
pp
pa
n
pp
pb
)1()1( 00
+
( )
ε
<− pfP
= 2
−
Φn
pp )1(
0
ε
B. Bài Toán C B nơ ả
I. Ph n Quy Lu t Chu n.ầ ậ ẩ
1. Bài áp d ng CT: chú ý bi n đ i t chu n sang ụ ế ổ ừ ẩ 2(n)
2. Áp d ng tri t đ các công th c v XS bi n đ i l p và tính ch t c a quy lu t chu n, đ c bi tụ ệ ể ứ ề ế ố ậ ấ ủ ậ ẩ ặ ệ
l u ý công th c v n năng.ư ứ ạ
II. Ph n quy lu t A(p) – t l : chú ý đ c bi t bài toán b t cá khi áp d ng trong c các bài t ngầ ậ ỷ ệ ặ ệ ắ ụ ả ổ
h p bao gi cũng cho XS tính tr c đ làm bài.ợ ờ ướ ể