Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật: Ứng dụng vật liệu áp điện trong đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

LƯU QUỲNH HƯỜNG

ỨNG DỤNG VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN TRONG ĐÁNH GIÁ

TRẠNG THÁI KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội –2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

LƯU QUỲNH HƯỜNG ỨNG DỤNG VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN TRONG ĐÁNH GIÁ

TRẠNG THÁI KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm

2. TS. Trần Thanh Hải

Hà Nội – 2021

i

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy hướng dẫn khoa học

là GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm và TS. Trần Thanh Hải đã tận tâm hướng dẫn khoa

học, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án này.

Trong quá trình thực hiện luận án, tác giả đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ,

tạo điều kiện thuận lợi của lãnh đạo và tập thể cán bộ, các nhà khoa học trong Học

viện Khoa học và Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và công nghệ

Việt Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu - Trường Đại học Thủy lợi, lãnh

đạo Khoa Kỹ thuật tài nguyên nước, Bộ môn Kỹ thuật hạ tầng đã tạo điều kiện, luôn

quan tâm và động viên trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thiện luận án

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, đồng

nghiệp đã động viên ủng hộ tác giả trong thời gian thực hiện luận án.

Tác giả luận án

Lưu Quỳnh Hường

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết

quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công

trình nào khác.

Tác giả luận án

Lưu Quỳnh Hường

iii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i

MỤC LỤC ................................................................................................................. iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................. v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................. viii

DANH MỤC BẢNG ................................................................................................. xi

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .............................. 4

1.1. Sơ lược về vật liệu áp điện và ứng dụng .............................................................. 4

1.2. Ứng dụng vật liệu áp điện trong đời sống và kỹ thuật. ........................................ 5

1.3. Tổng quan các nghiên cứu về vật liệu và kết cấu áp điện .................................... 7

1.4. Ứng dụng vật liệu áp điện trong chẩn đoán kỹ thuật công trình ........................ 10

1.5. Tổng quan về dao động và chẩn đoán đoán vết nứt trong dầm FGM ................ 15

1.6. Đặt vấn đề nghiên cứu ........................................................................................ 16

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................................... 18

CHƯƠNG 2.DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM NGUYÊN VẸN CÓ MIẾNG ÁP ĐIỆN........................ ................................................................................................. 19

2.1. Mô hình dao động của dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện ........................... 19

2.2. Mô hình độ cứng động của phần tử dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện....... 24

2.3. Tần số dao động riêng của dầm FGM nguyên vẹn với miếng áp điện - Kết quả

số…. ....................................................................................................................... 26

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .......................................................................................... 45

CHƯƠNG 3.DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM BỊ NỨT CÓ LỚP ÁP ĐIỆN ............ 46

3.1. Dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện .................................................. 46

3.1.1 Mô hình vết nứt trong dầm FGM có lớp áp điện ...................................... 46

3.1.2 Nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm FGM bị nứt có lớp áp

điện…. ................................................................................................................ 48

3.2. Dao động của dầm đồng nhất bị nứt có lớp áp điện ........................................... 50

3.2.1 Cơ sở lý thuyết dao động của dầm áp điện có vết nứt .............................. 50

iv

3.2.2 Kết quả phân tích số .................................................................................. 58

3.3. Phân tích dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện ................................... 62

3.3.1 Thuật toán và chương trình tính toán ........................................................ 62

3.3.2 Kết quả số .................................................................................................. 63

CHƯƠNG 4.CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM FGM CÓ LỚP ÁP ĐIỆN 79

4.1. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng tần số riêng ...................... 79

4.2. Cơ sở dữ liệu chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM-áp điện ................................ 82

4.2.1 Cơ sở dữ liệu cho việc chẩn đoán vết nứt bằng đường đồng mức tần số .. 82

4.2.2 Cơ sở dữ liệu chẩn đoán vết nứt bằng đường đồng mức điện tích cảm biến

dao động ............................................................................................................. 88

4.3. Kết quả thử nghiệm số ....................................................................................... 92

KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 ........................................................................................ 100

KẾT LUẬN CHUNG .............................................................................................. 101

DANH SÁCH CÁC CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG LUẬN ÁN ............................................................................................................... 102

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 103

v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

𝑝 𝛽33

Hằng số điện môi của lớp áp điện (m/F)

Độ lớn của vết nứt trong dầm đồng nhất bị nứt có lớp áp điện

Độ lớn của vết nứt trong dầm FGM bị nứt có lớp áp điện

Điện trường của lớp áp điện (C/m2) ∈

𝜀𝑥, 𝛾𝑥𝑧, Là các thành phần biến dạng

Góc xoay của mặt cắt ngang (độ).

Hệ số hiệu chỉnh hình học. 𝜅

Tham số tần số riêng 𝜆

Tương ứng là năng lượng biến dạng của dầm và lớp áp điện. 𝛱𝑏, 𝛱𝑝

ρ Mật độ khối (kg/m3).

Là các thành phần ứng suất 𝜎𝑥, 𝜏

Tần số dao động (rad/s)

Diện tích mặt cắt ngang của dầm (m2).

Diện tích mặt cắt ngang của lớp áp điện (m2)

a Độ sâu vết nứt (m)

Tương ứng là chiều rộng, chiều cao tiết diện dầm (m).

𝑝 𝐶11

Mô đun đàn hồi của lớp áp điện (GPa)

CC Dầm ngàm hai đầu

CF Dầm một đầu ngàm một đầu tự do

Cof Hệ số tương quan.

Cov Tiêu chuẩn tương quan.

Độ dịch chuyển (mật độ điện tích) của lớp áp điện 𝐷

𝑫𝑒(𝜔) Ma trận độ cứng động của phần tử dầm FGM Timoshenko

vi

DSM Phương pháp độ cứng động lực.

E Mô đun đàn hồi (MPa).

e Vị trí vết nứt (m)

EMI Phương pháp trở kháng cơ điện.

FGM Kết cấu làm từ vật liệu có cơ lý tính biến thiên liên tục theo 1

hướng hoặc nhiều hướng.

FRF Hàm đáp ứng tần số.

Mô đun trượt (GPa). G

Hằng số áp điện của lớp áp điện (V/m) ℎ13

Khoảng cách từ mặt phẳng giữa dầm đến mặt phẳng trung hòa ℎ0

(m).

Chiều cao của lớp áp điện

Tương ứng là mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm và của 𝐼𝑏, 𝐼𝑝

lớp áp điện (m4)

Dòng điện (A).

L Chiều dài dầm (m).

M(x) Mô men uốn tại mặt cắt x

MAPD Sai số tuyệt đối.

MPC Điện tích cảm biến dao động

N(x) Lực dọc trục tại mặt cắt x

n Chỉ số phân bố vật liệu

{𝑷𝑒(𝜔)} Vectơ lực nút của một phần tử dầm

PTHH Phần tử hữu hạn.

PVDF Polime áp điện.

PZT Gốm áp điện.

vii

Q Điện tích cảm biến dao động của lớp áp điện

RMSD Tiêu chuẩn trung bình bình phương.

SS Dầm tựa đơn hai đầu

Tương ứng là động năng của dầm và của lớp áp điện. 𝑇𝑏, 𝑇𝑝

𝑻𝑒 Ma trận định vị của phần tử e

{𝑼𝑒(𝜔)} Vectơ chuyển vị nút của một phần tử dầm

𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) chuyển vị dọc trục của một điểm trong mặt cắt ngang tại x (m).

chuyển vị dọc trục của một điểm trên mặt phẳng trung hòa (m).

𝑢0(𝑥, 𝑡)

Điện áp (V)

𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) chuyển vị ngang của một điểm trong mặt cắt ngang tại x (m).

𝑤0(𝑥, 𝑡) chuyển vị ngang của một điểm trên mặt phẳng trung hòa (m).

Độ dẫn (S/cm).

Trở kháng (Ω).

viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1. 1. Các hiệu ứng áp điện .................................................................................. 4

Hình 1. 2. Các ứng dụng của vật liệu áp điện trong đời sống ..................................... 6

Hình 2. 1. Phần tử dầm FGM có lớp áp điện ............................................................19

Hình 2. 2. Các lực và chuyển vị nút của phần tử dầm ..............................................25

Hình 2. 3. Mô hình dầm FGM có miếng áp điện ......................................................26

Hình 2.4 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết tại các đầu dầm SS khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ..............................................................................35

Hình 2.4 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm SS với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ....................................................................................36

Hình 2.4 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm SS khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...............................................................37

Hình 2.5 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết tại đầu ngàm của dầm CC khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...............................................................38

Hình 2.5 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm CC với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ....................................................................................39

Hình 2.5 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm CC khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...............................................................40

Hình 2.6 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp điện được liên kết với đầu ngàm của dầm công xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...............................................................41

Hình 2.6 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp điện được liên kết ở đầu tự do của dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ......................................................................42

Hình 2.6 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ....................................................................................43

ix

Hình 2.6 d. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp điện được liên kết với trên suốt chiều dài của dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). ...................................................44

Hình 3. 1. Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình của hai lò xo tương đương .........47

Hình 3. 2. Dầm có lớp áp điện ..................................................................................51

Hình 3. 3. Sự thay đổi của tần số riêng thứ nhất dầm công-xôn theo vị trí và độ sâu vết nứt ........................................................................................................................60

Hình 3. 4. Sự thay đổi của tần số riêng thứ hai dầm công-xôn theo vị trí và độ sâu vết nứt ........................................................................................................................60

Hình 3. 5. Sự thay đổi của điện tích cảm biến dao động dạng riêng thứ nhất trong lớp áp điện theo vị trí và độ sâu vết nứt, dầm công-xôn ...........................................61

Hình 3. 6. Sự thay đổi của điện tích cảm biến dao động dạng riêng thứ hai trong lớp áp điện theo vị trí và độ sâu vết nứt, dầm công-xôn .................................................61

Hình 3. 7. Sơ đồ thuật toán-chương trình tính toán các đặc trưng cơ điện của dầm FGM áp điện có vết nứt ............................................................................................63

Hình 3. 8. Sự thay đổi của ba tần số riêng đầu tiên theo vị trí và độ sâu vết nứt .....66

Hình 3. 9. Sự phụ thuộc của ba tần số riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu n. ..............................................................................................................68

Hình 3. 10. Sự phụ thuộc của ba tần số riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và chiều dày lớp áp điện. ................................................................................................................69

Hình 3. 11. Năm dạng riêng đầu tiên của dầm FGM không bị nứt và không có lớp áp điện (A1 – dạng dao động dọc trục thứ nhất; B1-B4 - Bốn dạng dao dộng uốn đầu tiên) .....................................................................................................................70

Hình 3. 12. Năm dạng riêng đầu tiên của dầm FGM bị nứt và có lớp áp điện (A1 – dạng dao động dọc trục thứ nhất; B1-B4 - Bốn dạng dao dộng uốn đầu tiên) .........71

Hình 3. 13. Sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động 3 dạng riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và độ sâu vết nứt ...................................................................................73

Hình 3. 14. Sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động 3 dạng dao động riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu n. ............................................74

Hình 3. 15. Sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động 3 dạng dao động riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và chiều dày lớp áp điện. .................................................76

Hình 4. 1. Ba tần số đầu của dầm tựa đơn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt ....84

x

Hình 4. 2. Ba tần số đầu của dầm ngàm hai đầu phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt ..............................................................................................................................86

Hình 4. 3. Ba tần số đầu của dầm công xôn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt .87

Hình 4. 4. Điện tích cảm biến dao động của ba dạng riêng đầu tiên của dầm tựa đơn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt .......................................................................89

Hình 4. 5. Điện tích cảm biến dao động của ba dạng riêng đầu tiên của dầm ngàm hai đầu phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt ..........................................................90

Hình 4. 6. Điện tích cảm biến dao động của ba dạng riêng đầu tiên của dầm công xôn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt ................................................................92

Hình 4. 7. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức tần số cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại giữa dầm có độ sâu 30%. ..........................................................................................................94

Hình 4. 8. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức tần số cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại vị trí e = L/3 có độ sâu 30%. ..............................................................................................96

Hình 4. 9. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức điện tích cảm biến dao động cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại giữa dầm có độ sâu 30%. .........................................................................97

Hình 4. 10. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức điện tích cảm biến dao động cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại vị trí e = L/3 có độ sâu 30%. ....................................................................99

xi

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2. 1. Tham số tần số của dầm tựa đơn hai đầu (SS) phụ thuộc vào chiều dày của miếng vá áp điện giữa dầm ứng với các độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 khác nhau và n=2 .....27

Bảng 2. 2. Tham số tần số của dầm CC ứng với các độ dày khác nhau của miếng áp điện ở giữa dầm theo tỷ lệ độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 khác nhau và chỉ số gradient n = 2. ....28

Bảng 2. 3. Tham số tần số của dầm CF đối với các độ dày khác nhau của miếng áp điện ở giữa theo tỷ lệ độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 khác nhau và chỉ số gradient n = 2. ............28

Bảng 2. 4. Tham số tần số của dầm SS với miếng áp điện gắn ở giữa dầm có độ dày khác nhau , các chỉ số gradient (n) khác nhau và tỷ số độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. ........29

Bảng 2. 5. Tham số tần số của dầm CC với miếng áp điện gắn ở giữa dầm có độ dày khác nhau , các chỉ số gradient (n) khác nhau và tỷ lệ độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. ........29

Bảng 2. 6. Tham số tần số của dầm CF đối với độ dày khác nhau của miếng áp điện ở giữa dầm trong trường hợp các chỉ số gradient khác nhau (n) và độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10 ..............................................................................................................30

Bảng 2. 7. Tham số tần số của dầm SS với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. ......................................................................31

Bảng 2. 8. Tham số tần số của dầm CC với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. ......................................................................32

Bảng 2. 9. Tham số tần số của dầm CF với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. ......................................................................33

Bảng 3. 1. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện đến tần số dầm tựa đơn hai đầu nguyên vẹn ................................................................................................................ 59

Bảng 3. 2. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện đến tần số của dầm ngàm hai đầu nguyên vẹn ................................................................................................................ 59

Bảng 3. 3. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện đến tần số của dầm công xôn nguyên vẹn ............................................................................................................................. 59

Bảng 3. 4. Tham số tần số 𝜆 = 𝜔(𝐿2/ℎ)𝜌𝑏/𝐸𝑏 của dầm - SS phụ thuộc vào độ dày của lớp áp điện và tỷ số độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 với chỉ số gradien vật liệu n = 2. ............ 64

Bảng 3. 5. Tham số tần số 𝜆 = 𝜔(𝐿2/ℎ)𝜌𝑏/𝐸𝑏 của dầm - SS với độ dày khác nhau của lớp áp điện và chỉ số gradient vật liệu (n) và tỷ số độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. ....... 65

Bảng 4. 1. Kết quả chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng phương pháp đường đồng mức .......................................................................................................................... 100

1

MỞ ĐẦU

Đánh giá trạng thái kỹ thuật các công trình hay có thể gọi là kiểm tra sức khỏe

công trình (Structural Health Monitoring), trong đó cốt lõi là việc dò tìm, phát hiện

các khuyết tật, hỏng hóc được gọi là Chẩn đoán hư hỏng kết cấu (Structural Damage

Detection), là một việc rất quan trọng trong quá trình khai thác sử dụng. Trước hết nó

đảm bảo an toàn cho các công trình quan trọng như các lò phản ứng hạt nhân hay các

máy bay dân dụng, ... và sau đó nó cho phép ta sửa chữa phục hồi để nâng cao tuổi

thọ của công trình. Trong các việc dò tìm khuyết tật, cho đến nay, phương pháp thử

nghiệm động (Dynamic Testing Method) tỏ ra có hiệu quả nhất. Nội dung của nó bao

gồm các công việc: Tạo kích động (Actuator); Đo đạc đáp ứng (Response) và cuối

cùng là xử lý phân tích số liệu về tải trọng và đáp ứng để chẩn đoán các khuyết tật,

hư hỏng tiềm ẩn bên trong công trình. Các công việc gia tải cũng như đo đạc đáp ứng

thường vẫn được tiến hành thông qua việc gá lắp các thiết bị thí nghiệm vào phía

ngoài công trình. Ý tưởng tự động hóa các công việc thí nghiệm nảy sinh khi các vật

liệu được gọi là thông minh (smart) ra đời. Vật liệu có khả năng tạo ra tác động cơ

học nhờ nguồn điện và tạo ra điện khi chịu tác dụng cơ học được gọi là vật liệu áp

điện (piezoelectric material). Như vậy, nếu ghép nối vật liệu áp điện như một bộ phận

của kết cấu, làm việc cùng kết cấu với hai mục đích tạo ra kích động cơ học và đo

đạc phản ứng cơ học chính là ý tưởng để thực hiện việc tự động hóa quá trình thử

nghiệm động nêu trên.

Bài toán và phương pháp chẩn đoán hư hỏng kết cấu đồng nhất (homogeneous)

đã được nghiên cứu khá nhiều và được trình bày trong các tài liệu Cawley và Adams

[1]; Fan và Qiao [2]; Hou và Xia [3]; Pandey và Samman [4]; Salawu [5]; Khiem và

Lien [6]. Nhưng việc chẩn đoán hư hỏng kết cấu composite [7] Montalvão và cộng

sự. , trong đó kết cấu làm từ vật liệu có cơ lý tính biến thiên liên tục theo một hoặc

nhiều hướng (gọi là kết cấu FGM) còn là vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu.

Luận án này tập trung vào nghiên cứu dầm FGM áp điện có vết nứt nhằm mục

tiêu phát triển một phương pháp chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM sử dụng vật liệu

áp điện.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu chính là dầm có cơ lý tính biến thiên liên

tục theo chiều dày và theo quy luật hàm lũy thừa, có vết nứt được mô tả bằng một

2

cặp lò xo dọc trục và lò xo xoắn với độ cứng được tính từ độ sâu vết nứt, được gắn

một lớp áp điện như một cảm biến liên tục phân bố dọc theo chiều dài dầm (gọi tắt là

dầm FGM áp điện có vết nứt). Như vậy phạm vi nghiên cứu của luận án chỉ giới hạn

trong khuôn khổ kết cấu khung, dầm thường gặp trong thực tế xây dựng công trình.

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là giải tích, mặc dù mô hình độ cứng động

mang trong mình một nửa là mô hình số nhưng vẫn có thể gọi là mô hình giải tích

mở rộng, được minh họa bằng các kết quả số được tính toán trong môi trường

MATLAB.

Bố cục luận án như sau: Luận án được trình bày trong 4 Chương, trong đó:

Chương 1 trình bày tổng quan các nghiên cứu đã công bố về vấn đề liên quan

đến luận án. Cụ thể, sau khi giới thiệu sơ qua về vật liệu áp điện đã trình bày tổng

quan về việc ứng dụng vật liệu để cảm nhận và điều khiển kết cấu, để chẩn đoán kỹ

thuật công trình. Tiếp theo đã trình bày tổng quan về việc phân tích và chẩn đoán hư

hỏng kết cấu làm từ vật liệu có cơ lý tính biến thiên liên tục (FGM) và từ đó đặt vấn

đề nghiên cứu trong luận án.

Chương 2 trình bày việc xây dựng mô hình độ cứng động cho dầm FGM áp

điện, bắt đầu từ việc xây dựng mô hình và các phương trình cơ bản cho phân tố dầm

FGM có lớp áp điện. Sau đó tìm hàm dạng dao động tổng quát cho phân tố dầm FGM

có lớp điện làm công cụ cơ bản để xây dựng ma trận độ cứng động cho một phần tử

dầm FGM có lớp áp điện. Sử dụng mô hình độ cứng động đã được thiết lập để xây

dựng mô hình dao động của dầm có miếng áp điện như một dầm bậc để nghiên cứu

ảnh hưởng của kích thước, vị trí lắp đặt miếng áp điện đến tần số riêng của dầm FGM

nguyên vẹn.

Chương 3 trình bày mô hình kết cấu dầm FGM có vết nứt được gắn một lớp

áp điện sử dụng mô hình lò xo tương đương để mô tả vết nứt và kết quả tính toán các

đặc trưng cơ, điện của dầm FGM áp điện có vết nứt làm cơ sở để chẩn đoán vết nứt

bằng các đặc trưng áp điện;

Chương 4 trình bày phương pháp đường đồng mức áp điện và kết quả ứng

dụng để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM.

Tài liệu tham khảo bao gồm 92 tài liệu đã được trích dẫn trong luận án.

3

Kết quả nghiên cứu luận án đã được công bố trong 4 công trình khoa học, trong

đó 02 bài báo quốc tế ISI, 01 bài đăng trên tạp chí Cơ học Việt Nam và 01 bài đăng

trong tuyển tập hội nghị cơ học toàn quốc.

Đóng góp mới của luận án có thể tóm lược như sau:

Một là đã xây dựng được mô hình độ cứng động của dầm FGM có lớp áp điện

và sử dụng để tính toán dao động của dầm FGM có gắn các miếng áp điện được mô

hình như một dầm bậc;

Hai là đã xây dựng được mô hình dầm FGM có vết nứt và được gắn một lớp

áp điện và áp dụng để tính toán phân tích các đặc trưng cơ, điện của các kết cấu dầm

nêu trên phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt và các tham số vật liệu;

Ba là đã áp dụng phương pháp đường đồng mức áp điện (đường đồng mức

của một đặc trưng gọi là điện tích cảm biến dao động) để chẩn doán vết nứt trong

dầm áp điện.

Kết quả nghiên cứu luận án đã được công bố trong 5 công trình khoa học, trong

đó 02 bài báo quốc tế ISI, 01 bài đăng trên tạp chí Cơ học Việt Nam và 01 bài đăng

trong tuyển tập hội nghị cơ học toàn quốc, 01 bài đăng trong tuyển tập hội nghị cơ

học vật rắn.

4

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Sơ lược về vật liệu áp điện và ứng dụng

Hiệu ứng áp điện (piezoelectric) đã được phát hiện bởi Pierre và Jacques Curie

năm 1880, nhưng gần đây nó mới được sử dụng rộng rãi cả trong đời sống và kỹ

thuật. Có hai loại vật liệu áp điện sử dụng rộng rãi là gốm áp điện (ceramics) và

polyme áp điện (polymers). Gốm áp điện nổi tiếng là Lead Zirconate Titanate (PZT),

nó có thể phục hồi biến dạng 0,1% và được sử dụng rộng rãi làm bộ kích động

(actuator) và cảm biến (sensor) trong một dải tần số khá rộng. Polyme áp điện được

sử dụng chủ yếu như một cảm biến, nổi tiếng nhất là Polyvinylidene Fluoride

(PVDF), được nghiên cứu đầu tiên bởi Kawai (cuối thập kỷ 60) và có sẵn trên thị

trường vào đầu thập kỷ 80.

Hiệu ứng áp điện, có thể được xem như là sự chuyển đổi năng lượng điện và

năng lượng cơ học, bao gồm:

Hiệu ứng áp điện thuận là thuộc tính của vật liệu xuất hiện điện tích (electric

charge) trên bề mặt dưới tác dụng của áp lực cơ học và tỷ lệ với ngoại lực tác dụng.

Tác động áp điện thuận được sử dụng rộng rãi trong thiết kế đầu dò (transducer) như

đầu đo gia tốc, vận tốc và chuyển vị.

a) Hiệu ứng áp điện thuận. b) Hiệu ứng áp điện ngược.

Hình 1. 1. Các hiệu ứng áp điện

Hiệu ứng áp điện ngược là hiện tượng vật liệu áp điện sẽ bị biến dạng nếu nó

được cấp một nguồn điện (điện áp). Hiệu ứng này của vật liệu áp điện được sử dụng

trong thiết kế bộ kích hoạt (actuator).

5

Nếu hiểu vật liệu thông minh là loại vật liệu có khả năng tự cảm nhận, tự điều

chỉnh để thích nghi với kích động bên ngoài, thì vật liệu áp điện có thể coi là một loại

vật liệu thông minh. Rõ ràng là vật liệu áp điện có thể cảm nhận được tác động bên

ngoài như một cảm biến đồng thời nó cũng có khả năng thay đổi trạng thái bên trong

của mình để thích ứng với tác động bên ngoài.

1.2. Ứng dụng vật liệu áp điện trong đời sống và kỹ thuật.

Đầu tiên các ứng dụng xuất hiện trong chiến tranh thế giới thứ nhất với sonar

trong đó thạch anh áp điện được sử dụng để tạo ra sóng siêu âm (P. Langevin) và làm

cảm biến. Trong thế kỷ 20, việc sử dụng thạch anh để kiểm soát tần số cộng hưởng

của dao động được đề xuất bởi một nhà vật lý người Mỹ: W. G. Cady. Đó là trong

giai đoạn sau chiến tranh thế giới thứ nhất, hầu hết các ứng dụng áp điện mà chúng

ta đã quen thuộc (micro, gia tốc kế, đầu dò siêu âm, uốn cong, ...) đã được hình thành.

Sự phát triển của điện tử, đặc biệt trong chiến tranh thế giới thứ hai, và phát hiện gốm

sứ điện gia tăng việc sử dụng vật liệu áp điện.

Máy dò tìm đàn cá ở biển.

Ứng dụng trong y tế - phá máu đông.

6

Điện thoại thông minh

Giao thông vận tải

Động cơ áp điện. Đầu dò khí cháy cacbua hydro.

Hình 1. 2. Các ứng dụng của vật liệu áp điện trong đời sống

Ứng dụng quan trọng hiện nay trong kĩ thuật của vật liệu áp điện là dùng làm

động cơ áp điện. Thí dụ như các thiết bị, động cơ có kích thước nhỏ và siêu nhỏ, chế

tạo các loại robot mô phỏng sinh học có thể bay đập cánh như côn trùng, các chi tiết

cấy ghép, robot phẫu thuật và cơ nhân tạo trong y học, trong các thiết bị điện tử thông

dụng và trong nghiên cứu vũ trụ.

PZT có rất nhiều đặc tính áp điện phù hợp để sử dụng trong các bộ chuyển đổi

xung điện cũng như trong các lĩnh vực khác đặc biệt là bởi hệ số ghép cặp cơ điện

lớn và hằng số điện môi cao (hằng số áp điện lên đến 700 pC/N). Do đó, PZT đã trở

thành vật liệu chiếm ưu thế hoàn toàn trong ngành tổng hợp áp điện suốt 40 năm qua.

Trong các kĩ thuật chụp ảnh tiên tiến như kính hiển vi nguyên tử lực, người ta

sử dụng hiệu ứng áp điện để điều khiển chính xác khoảng cách từ đầu dò đến mẫu.

7

Các đầu dò (transducer) là một dạng thiết bị chuyển đổi xung điện, sử dụng cả hai

hiệu ứng áp điện thuận và nghịch. Xung điện được chuyển thành rung động cơ học

di chuyển ra ngoài và rung động quay lại sẽ được chuyển trở lại thành tín hiệu điện.

Các bộ chuyển đổi xung điện này hoạt động ở tần số cực kì cao, trên 20.000 Hz, được

gọi là bộ chuyển đổi siêu âm. Ở tần số cao như vậy thì thiết bị này sẽ có khả năng

chụp ảnh vật thể ở độ phân giải cao (ảnh siêu âm) được sử dụng rộng rãi trong kĩ

thuật ảnh y tế, kiểm tra không phá hủy, siêu âm ngầm dưới nước, dò tìm cá và siêu

âm dò quét ngành điện tử, y tế….

Do có sự chuyển đổi năng lượng cơ điện của vật liệu áp điện, ngày nay người

ta đã có nhiều nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng thực tế sử dụng vật liệu áp điện để

thu thập năng lượng cơ học dư thừa, thậm chí là có hại, trong môi trường xung quanh.

Những vấn đề cơ bản của việc thu thập năng lượng áp điện đã được trình bày trong

cuốn sách của A. Erturk và D.J. Inman xuất bản năm 2011 bởi Wiley and Sons Ltd

[8]. Năng lượng dư thừa trong môi trường thường là động năng của các phương tiện

giao thông vận tải [9]; năng lượng gió [10]; năng lượng sóng biển [11], … Những

nghiên cứu và ứng dụng theo hướng này đang được quan tâm nhiều cùng với nền sản

xuất công nghiệp của vật liệu áp điện dạng polyme và gốm.

1.3. Tổng quan các nghiên cứu về vật liệu và kết cấu áp điện

Mặc dù hiệu ứng áp điện đã được hai anh em nhà Curie tìm ra từ 1880, nhưng

sau đó một thế kỷ, hiệu ứng này mới được đưa vào ứng dụng để chế tạo cảm biến

(sensor) và bộ kích hoạt (actuator) phục vụ việc điều khiển các hệ liên tục [12]. Các

cảm biến và bộ kích hoạt áp điện này không phải là rời rạc mà là các đầu dò phân bố

và được gắn với kết cấu như một bộ phận cấu thành của kết cấu. Những hệ liên tục

được gắn các đầu dò áp điện được coi là các kết cấu thông minh (intelligent) bởi vì

chúng vừa có khả năng cảm nhận các tác động bên ngoài vừa có khả năng tự biến đổi

để thích nghi với các tác động đó.

Crawley và cộng sự [13, 14] đã phát triển lý thuyết về bộ kích hoạt áp điện

(piezoelectric actuator) như một bộ phận của kết cấu thông minh và khẳng định rằng

bộ kích hoạt áp điện liên tục như vậy hoàn toàn có khả năng kích hoạt trạng thái dao

động cộng hưởng bình ổn của một kết cấu dầm. Sau đó, một lý thuyết về cảm biến và

bộ kích hoạt dao động (modal sensor and actuator) đã được xây dựng bởi Lee và

8

Moon [15] và họ đã chứng minh cả bằng lý thuyết và thực nghiệm rằng hoàn toàn có

thể sử dụng cảm biến/bộ kích hoạt áp điện phân bố để đo đạc/kích thích các dạng dao

động cụ thể của kết cấu dầm và tấm. Những vấn đề cơ bản trong lý thuyết điều khiển

tích cực các hệ phân bố bằng vật liệu áp điện đã được trình bày trong [16].

Việc ứng dụng cảm biến và kích hoạt áp điện vào điều khiển kết cấu dầm, tấm

và vỏ đã được Sunar và Rao trình bày một cách tổng quan trong [12]. Trong đó các

tác giả chia lĩnh vực điều khiển kết cấu sử dụng vật liệu áp điện thành các chủ đề:

(1) Dập tắt dao động (vibration suppression) – Bailey và Hubbard [17]; Bendine

và công sự [18].

(2) Hấp thụ năng lượng (energy absorption) – Wang và cộng sự [19];

(3) Điều khiển hình dáng (shape control) – Batra và Liang [20] và

(4) Chẩn đoán hư hỏng (damage monitoring) - sẽ được trình bày chi tiết trong

mục tiếp theo.

Một số tác giả đã tập trung nghiên cứu sử dụng vật liệu áp điện để sửa chữa

hay phục hồi các kết cấu bị nứt như một bài toán điều khiển kết cấu bằng vật liệu áp

điện như các tác giả: Ariaei và cộng sự [21], Kumar và cộng sự [22], Liu [23]; Wang

và cộng sự.[24], Wang vàWu [25], Wang và cộng sự [26], Wang và Quek [27] [28],

Wang và cộng sự [29], Wu và Wang [30],[31].

Dù là trong bài toán điều khiển kết cấu hay bài toán chẩn đoán kỹ thuật kết cấu

sử dụng vật liệu áp điện, thì vấn đề tương tác động lực học giữa kết cấu và cấu kiện

áp điện luôn chiếm vị trí trung tâm. Kết quả phân tích sự tương tác này cho phép

không chỉ khám phá trạng thái bên trong kết cấu mà còn chỉ ra cách để điều khiển kết

cấu theo mong muốn. Ở đây bộc lộ ưu thế của việc sử dụng vật liệu áp điện. Việc

phân tích kết cấu làm bằng vật liệu áp điện đơn độc không mang lại nhiều lợi ích bằng

việc nghiên cứu tương tác kết cấu áp điện với kết cấu làm từ các vật liệu khác, đặc

biệt là vật liệu composite. Bài toán phân tích tĩnh kết cấu dầm và tấm được gắn với

các miếng áp điện (piezoelectric patches) đã được nghiên cứu chi tiết trong Wang và

cộng sự [32]. Yang và Lee [33] , họ đã sử dụng mô hình dầm bậc để nghiên cứu dao

động của dầm được gắn các miếng áp điện. Việc sử dụng vật liệu áp điện để kiểm

soát trạng thái cơ học (ứng suất, biến dạng, dao động) của kết cấu dạng dầm được

tiến hành trong các công trình [34]; kết cấu dạng tấm [35], [36]; kết cấu vỏ [37],

[38].

9

Như đã biết, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) tuy được dùng phổ cập và

hiệu quả nhất hiện nay trong phân tích kết cấu công trình, đặc biệt là đối với các kết

cấu phức tạp như các kết cấu công trình làm từ vật liệu composite, trong đó có kết

cấu áp điện [39][40], [41]. Nhưng phương pháp PTHH chỉ cho phép nghiên cứu kết

cấu trong một dải tần hữu hạn, không thể áp dụng cho các kết cấu làm việc ở các tần

số cao, điều này rất dễ gặp đối với các kết cấu áp điện. Gần đây, phương pháp phần

tử phổ đã được áp dụng để nghiên cứu kết cấu có phần tử áp điện [42]. Nội dung

chính của phương pháp phần tử phổ chính là việc xây dựng ma trận độ cứng động

lực, mà người ta thường gọi là phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness

Method – DSM) [43]. Phương pháp DSM đã khắc phục được hạn chế cơ bản của

phương pháp PTHH là cho phép ta nghiên cứu dao động tần số cao bất kỳ trong các

hệ động lực, đặc biệt là các hệ áp điện.

Ở Việt Nam, gần đây, kết cấu áp điện cũng đã được quan tâm nghiên cứu ở

Đại học Bách khoa Hà Nội (ĐHBKHN); Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN); Đại

học Quốc Gia Hà Nội (ĐHQGHN) và Đại học Kiến Trúc TP Hồ Chí Minh. Ở

ĐHBKHN và ĐHXDHN dưới sự hướng dẫn của GS. Trần Ích Thịnh và GS. Trần

Minh Tú, nhóm nghiên cứu đã đạt được một số kết quả trong việc phân tích tĩnh và

động của tấm composite lớp với các lớp áp điện [44], [45], [46],[47]. Các chuyên gia

ở ĐHQGHN thì quan tâm nghiên cứu bài toán dao động và ổn định của tấm, vỏ FGM

và lớp áp điện [48], [49]. Ở đây các tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp giải tích

gần đúng để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ, nền đàn hồi hay sự không hoàn hảo

về hình học. Các chuyên gia ở TP Hồ Chí Minh chủ yếu là phát triển các phương

pháp mô phỏng số kết cấu áp điện dựa trên các biến thể của phương pháp PTHH [50],

[51]. Các nghiên cứu ở Việt Nam hầu như chưa quan tâm đến sự làm việc của các

phần tử áp điện mà mới chỉ nghiên cứu ảnh hưởng của các phần tử này đến trạng thái

làm việc của kết cấu nói chung. Do đó, có thể nói vấn đề sử dụng vật liệu áp điện cho

kết cấu với mục đích để chẩn đoán khuyết tật hư hỏng trong kết cấu vẫn chưa được

quan tâm ở Việt Nam.

Tổng quan các nghiên cứu nêu trên cho thấy vật liệu áp điện là một loại vật

liệu thông minh, đặc biệt hiệu quả để điều khiển và nhận dạng kết cấu khi nó được sử

dụng như một bộ phận của kết cấu, cùng làm việc với kết cấu. Điều đó dẫn tới việc

nghiên cứu kết cấu (như hệ phân bố) có những thành phần áp điện ở dạng lớp (layer)

10

áp điện hoặc các miếng vá (patches) áp điện, được gọi chung trong luận án này là kết

cấu áp điện. Như vậy, động lực học kết cấu áp điện trở thành một đề tài hấp dẫn, thu

hút sự quan tâm của nhiều chuyên gia, trong đó có các nhà cơ học. Phương pháp

nghiên cứu được áp dụng để phân tích, mô phỏng kết cấu áp điện cho đến nay, chủ

yếu vẫn là các phương pháp giải tích gần đúng và phương pháp PTHH. Các phương

pháp này có khả năng ứng dụng để phân tích kết cấu trong miền tần số thấp, trong

khi vật liệu áp điện hoạt động mạnh ở các tần số cao. Do đó, việc phát triển áp dụng

một phương pháp hiện đại vừa đảm bảo độ chính xác như phương pháp giải tích vừa

thuận tiện đa năng như phương pháp PTHH để phân tích động lực học kết cấu áp điện

là một nhu cầu tất yếu. Phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method –

DSM) có thể đáp ứng những yêu cầu nêu trên và được áp dụng trong luận án này.

1.4. Ứng dụng vật liệu áp điện trong chẩn đoán kỹ thuật công trình

Việc ứng dụng vật liệu áp điện trong chẩn đoán kỹ thuật công trình nói chung

đã được tổng quan khá đầy đủ trong các công bố của Winston và cộng sự [52], Park

và cộng sự [53], Bhalla và Soh [54], Giurgiutiu [55], Duan và cộng sự [56], Huang

và cộng sự [57], Na và Baek. [58], Shu [59]. Ở đây, tác giả trình bày tổng quan chi

tiết hơn về các nghiên cứu ứng dụng vật liệu áp điện để chẩn đoán hư hỏng trong kết

cấu dầm có vết nứt làm cơ sở để đặt vấn đề nghiên cứu trong mục tiếp theo.

Quek và cộng sự [60] đã tiến hành một nghiên cứu thực nghiệm đo đạc tín hiệu

dao động của một dầm hai đầu ngàm chặt có một vết cưa, sử dụng hai loại cảm biến

áp điện (piezoelectric sensor) và cảm biến lá điện trở truyền thống (strain gauge) để

so sánh và chứng minh cho ưu thế nổi trội của vật liệu áp điện. Kết quả đo biến dạng

bằng hai cảm biến được xử lý bằng phép biến đổi wavelet cho thấy tín hiệu đo bằng

cảm biến áp điện ít nhiễu hơn tín hiệu đo bằng lá điện trở truyền thống. Hơn nữa, biểu

đồ hệ số wavelet nhận được từ tín hiệu đo bằng cảm biến áp điện cho thấy rõ sự thay

đổi tín hiệu trong lân cận của vị trí vết nứt, trong khi đó tín hiệu đo bằng lá điện trở

truyền thống không cho ta một dấu hiệu nào về sự xuất hiện vết nứt khi độ sâu vết

nứt dưới 20%. Rõ ràng là sử dụng cảm biến áp điện cho kết quả chính xác hơn nhiều

lá điện trở truyền thống.

Zhao và các công sự [61] trong khi tính toán tần số riêng của kết cấu với các

cảm biến (sensor) và bộ kích hoạt (actuator) áp điện đã phát hiện ra rằng nếu tận dụng

11

điện áp, sinh ra trong một cảm biến áp điện do sự biến dạng của kết cấu chủ, tác dụng

trở lại kết cấu thông qua một bộ kích hoạt (actuator) ngay tại vị trí lắp cảm biến thì

sự thay đổi các tần số riêng do vết nứt tăng lên đáng kể. Do đó việc chẩn đoán vết nứt

bằng các tần số riêng được cải thiện rõ rệt, khắc phục được hạn chế cơ bản của phương

pháp chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng là các tần số riêng ít nhạy cảm với các hư

hỏng cục bộ. Phát hiện này cho phép các tác giả Zhao và cộng sự [62], [63], Jiang

và cộng sự [64] phát triển một phương pháp chẩn đoán vết nứt bằng vật liệu áp điện

gọi là “Phương pháp điều chỉnh quét” (Scan Tuning Method). Ngoài ra, các tác giả

trên cũng cho thấy rằng khi vị trí lắp đặt cảm biến và bộ kích hoạt áp điện bao trùm

lên vị trí vết nứt thì dạng riêng cũng thay đổi đáng kể, nhất là sự thay đổi góc xoay

(đạo hàm của dạng riêng). Chính sự thay đổi góc xoay đáng kể này tạo ra điện áp tác

dụng ngược lại đủ lớn để có thể tăng cường độ nhạy của tần số riêng đối với vết nứt.

Các tác giả D. Mateescu, Y. Han, A. Misra [65] đã nghiên cứu một dầm công

xôn có một vết nứt theo mô hình vết nứt thở sử dụng hai cặp cảm biến và một cặp bộ

kích hoạt gắn lên mặt trên và mặt dưới của dầm vào các vị trí khác nhau. Bộ kích hoạt

được cấp một điện áp 100V với tần số thay đổi từ 0 đến 800Hz bước nhảy 10Hz. Độ

chênh lệch điện áp ra trong các cặp cảm biến là những chỉ dấu quan trọng để xác

định vị trí vết nứt. Tuy nhiên, biến dạng gây ra do các điện áp được cấp qua các bộ

kích hoạt là nhỏ mang tích cục bộ, nên rất khó phát hiện các vết nứt ở xa. Để khắc

phục khó khăn này các tác giả đề nghị đo điện áp ở hai miếng áp điện (trên và dưới)

tại một vị trí, sau đó trừ đi nhau để phát hiện sự thay đổi của điện áp ra trong các cảm

biến do vết nứt. Kết quả cho thấy, cảm biến gần với vết nứt cho tín hiệu rõ ràng hơn

cảm biến ở xa vết nứt và điện áp có các đỉnh tương ứng với 3 tần số riêng thứ 4, 6 và

8 và các mode dao động tần số cao nhạy cảm hơn các mode tần số thấp. Chú ý rằng

khi dầm không có vết nứt thì các điện áp thu được ở các sensors hầu như bằng 0.

Một số tác giả khác: Giurgiutiu và Rogers [66], Ritdumrongkul và Fujino [67],

Lim và Soh [68], Wang và cộng sự [69], Wang và cộng sự [70], đã nghiên cứu sử

dụng phương pháp, được gọi là phương pháp trở kháng cơ điện (Electro-Mechanical

Impedance – EMI) và được thực hiện bằng một đầu dò (transducer) áp điện được gắn

với kết cấu chủ để chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu. Nguyên lý của phương pháp này

như sau: Một điện áp với các tần số khác nhau được cấp cho một đầu dò áp điện

12

(dọc theo hướng phân cực (poling) của vật liệu áp điện); điện áp này gây nên biến

dạng trên bề mặt đầu dò tiếp xúc với kết cấu chủ và do đó có sự tương tác cơ học với

kết cấu chủ; sự tương tác này tạo ra một dòng điện trong đầu dò có thể đo được

và do đó có thể xác định được hoặc trở kháng (Impedance) V(ω)

hoặc đại lượng

gọi là độ dẫn (admittance) của hệ hỗn hợp. Vì dòng điện tạo nên do sự tương tác cơ

học giữa đầu dò và kết cấu chủ, nên trở kháng hay độ dẫn nêu trên chứa đựng các

thông tin không chỉ của bản thân đầu dò mà cả các thông tin của kết cấu chủ. Do đó,

trở kháng nêu trên được gọi là trở kháng cơ điện và việc phân tích trở kháng cơ điện

cho phép ta nghiên cứu các đặc trưng động lực học của kết cấu chủ và từ đó có thể

xác định những thay đổi trong kết cấu chủ ví dụ như vết nứt trong kết cấu chủ. Cụ thể

là các tác giả D. Wang, H. Song, H. Zhu [69] đã tiến hành phân tích EMI của một

dầm bị nứt bằng phương pháp phần tử phổ trong các miền tần số khác nhau sử dụng

một và hai đầu dò lắp ở các vị trí khác nhau. Kết quả phân tích đã chỉ ra rằng:

(1) Các đỉnh của EMI đều xê dịch về bên trái (tần số đỉnh giảm) và độ xê dịch

càng lớn khi độ sâu vết nứt càng lớn, đặc biệt là ở trong miền tần số cao;

(2) Có thể sử dụng tải trọng gây ra do các đầu dò khác nhau để kích thích các

dạng dao động khác nhau của dầm. Cụ thể nếu chỉ sử dụng 01 đầu dò gắn vào một

phía của dầm thì có thể kích được cả dao động dọc trục và dao động uốn. Nếu sử

dụng hai đầu dò lắp tại một vị trí nhưng đối xứng nhau (một trên và một dưới) và điện

áp tác dụng cùng pha thì chỉ kích động được dao động dọc trục. Nếu điện áp tác dụng

ở hai đầu dò đối xứng nêu trên ngược pha thì ta chỉ nhận được dạng dao động uốn.

Tuy nhiên, số lượng dạng dao động uốn được kích thích nhiều hơn dạng dao động

dọc trục;

(3) Sự thay đổi EMI (tức sự xê dịch các đỉnh về bên trái) nhận được ở đầu dò

gần với vết nứt lớn hơn ở đầu dò xa vết nứt. Những kết quả này rất bổ ích cho việc

sử dụng các đầu dò áp điện trong việc chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng trở kháng

cơ điện.

Trong công bố của Na và Baek [58], các tác giả đã giới thiệu cơ sở lý thuyết,

sự lựa chọn phần cứng, ứng dụng và cả phương hướng phát triển phương pháp trở

13

kháng cơ điện trong chẩn đoán hư hỏng các kết cấu công trình khác nhau. Đặc biệt

các tác giả đã nêu lên một số tiêu chuẩn để chẩn đoán hư hỏng bằng cách đo đạc trở

kháng cơ điện như sau:

trong đó

RMSD ký hiệu tiêu chuẩn trung bình bình phương (Root Mean Square

Deviation);

MAPD – sai số tuyệt đối (Mean Absolute Persentage Deviation);

Cov - tiêu chuẩn tương quan (Covariance) và

Cof - hệ số tương quan (Correlation Coefficient).

Tseng và Naidu [71] đã nghiên cứu so sánh các tiêu chuẩn nêu trên và đưa ra

kết luận rằng Tiêu chuẩn RMSD và MAPD phù hợp cho việc xác định vị trí hư hỏng

và sự phát triển của hư hỏng, trong khi tiêu chuẩn Cof lại phù hợp cho việc đánh giá

kích thước, mức độ hư hỏng khi vị trí hư hỏng đã biết.

Park và cộng sự trong công trình tổng quan của mình [53] đã đưa ra một số

đánh giá về phương pháp trở kháng cơ điện như sau:

(1) Để có được độ nhạy cảm cao với hư hỏng kết cấu, cần phải đo đạc trở

kháng cơ điện ở dải tần số cao từ 130 - 400 KHz;

(2) Hư hỏng và thậm chí tính nguyên vẹn của kết cấu thường biểu hiện ở phần

thực của trở kháng cơ điện (phần ảo nhạy cảm hơn với sự thay đổi nhiệt);

(3) Trở kháng cơ điện chỉ nhạy cảm với hư hỏng khi nó được đo ở vị trí gần

với hư hỏng và nó ít bị ảnh hưởng của điều kiện biên (thường gắn liền với các tần số

14

thấp). Bán kính miền cảm nhận được của cảm biến trở kháng (đầu dò) là 0.4m đối

với composite và 2m đối với kim loại;

(4) Có thể sử dụng số liệu đo đạc của trở kháng cơ điện để xác định hàm đáp

ứng tần số (FRF) của kết cấu và do đó có thể sử dụng phương pháp trở kháng cơ điện

để thực hiện việc thử nghiệm dao động, tức xác định tần số, dang dao động riêng và

hệ số cản kết cấu.

Tóm lại, sau khi nghiên cứu tổng quan về việc ứng dụng vật liệu áp điện để

chẩn đoán vết nứt trong kết cấu nêu trên, chúng ta có thể rút ra một số nhận xét sau

đây: Thứ nhất, việc sử dụng cảm biến áp điện phân bố (distributed) thay vì các cảm

biến rời rạc (lumped) như trước đây đã cải thiện đáng kể việc thu thập các tín hiệu

phục vụ chẩn đoán hư hỏng kết cấu. Đây sẽ là một tiến bộ quan trọng trong việc tìm

kiếm và xây dựng các phương pháp chẩn đoán hư hỏng kết cấu hiệu quả hơn. Thứ

hai, nếu tận dụng điện áp sinh ra trong cảm biến áp điện phân bố do sự biến dạng của

kết cấu tác dụng trở lại kết cấu thông qua một cơ cấu kích hoạt (actuator) thì độ nhạy

cảm của một số tham số dao động như tần số hay dạng riêng với hư hỏng sẽ tăng lên.

Do đó việc chẩn đoán hư hỏng bằng các tham số dao động (modal parameters), khi

đó, sẽ hiệu quả hơn, đặc biệt là đã cải thiện được hạn chế cơ bản của tác tần số riêng

là ít nhạy cảm với các hư hỏng cục bộ như các vết nứt. Thứ ba, việc sử dụng đồng

thời cặp cảm biến và bộ kích hoạt, được kết hợp tạo thành một đầu dò (transducer)

vừa làm bộ kích hoạt vừa làm cảm biến là một minh chứng rõ ràng về việc hoàn toàn

có thể tự động hóa quá trình thử nghiệm động phục vụ chẩn đoán hư hỏng kết cấu.

Đây là nội dung phương pháp trở kháng cơ điện được mô tả ở trên.

Tuy nhiên, việc ứng dụng vật liệu áp điện để chẩn đoán hư hỏng kết cấu nêu

trên vẫn còn một số hạn chế như sau: (1) cảm biến hay đầu dò được gắn vào các vị

trí ở xa vết nứt rất khó phát hiện vết nứt và (2) các dấu hiệu về hư hỏng trong tín hiệu

trở kháng cơ điện thường bị che lấp bởi các tín hiệu điện, nên đòi hỏi phải có những

công cụ xử lý phân tích rất tinh tế để phát hiện vị trí và mức độ của hư hỏng trong kết

cấu. Những hạn chế này dẫn đến việc nảy sinh ý tưởng sử dụng cảm biến phủ kín

chiều dài của dầm để có thể bao trùm lên tất cả các vết nứt có thể nhưng chưa biết

tồn tại trong dầm và sử dụng ngay tín hiệu điện đầu ra của cảm biến để chẩn đoán vết

nứt. Tuy vẫn còn vấn đề khó khăn là việc triển khai trong thực tế, nhưng đặt vấn đề

nghiên cứu lý thuyết để khám phá xem các ý tưởng này có thể đem lại lợi ích đáng

15

kể nào đó trong việc chẩn đoán vết nứt trong dầm hay không, là cần thiết. Ý tưởng

này sẽ được triển khai trong luận án này để chẩn doán vết nứt trong dầm làm từ vật

liệu có cơ tính biến thiên.

1.5. Tổng quan về dao động và chẩn đoán đoán vết nứt trong dầm FGM

Những vấn đề cơ bản về dao động của dầm và tấm làm từ vật liệu có cơ lý tính

biến thiên liên tục (FGM) đã được nghiên cứu khá bài bản trong Hu và Zhang [72],

Li [73], Larbi và cộng sự [74], Sina và cộng sự [75], Su và Banerjee [76], Wang và

cộng sự [77]. Dao động của dầm FGM có vết nứt đã được nghiên cứu bởi Yang và

Chen [78] [79], Akbas [80], Aydin [81], Khiem và cộng sự [82]. Đặc biệt, các tác

giả của công trình [83] đã phát triển thành công phương pháp độ cứng động để nghiên

cứu dao động của dầm FGM có nhiều vết nứt, mà tác giả luận án sẽ phát triển tiếp để

nghiên cứu dao động của dầm FGM áp điện có vết nứt.

Hơn thế nữa, một số thuật toán để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM đã được

đề xuất và phát triển trong Yu và Chu [84], Banerjee và cộng sự [85], Khiem và

Huyen [86]. Các tác giả Yu và Chu [84] đã ứng dụng một phiên bản mở rộng (p-

version) của phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán bao

gồm sự phụ thuộc của các tần số riêng của dầm, có cơ lý tính biến thiên theo chiều

dày dầm theo quy luật hàm số mũ, vào vị trí và độ sâu vết nứt và từ đó sử dụng

phương pháp đường đồng mức tần số (frequency contour method) để xác định vị trí

và độ sâu vết nứt từ tần số riêng. Các tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của sai số đo đạc

đến kết quả chẩn đoán vết nứt cho dầm công xôn, tuy nhiên sai số đo đạc mới chỉ xét

ở mức 1-2% mà sai số chẩn đoán đã lên tới 15%. Banerjee và cộng sự (Ấn Độ) [85]

cũng đã nghiên cứu bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM, nhưng khác với Yu

và Chu, các tác giả Ấn Độ đã sử dụng mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều để xây dựng

cơ sở dữ liệu chẩn đoán và áp thuật toán di truyền (Generic Algoritm) để kiểm chứng

kết quả chẩn đoán bằng đường đồng mức tần số. Kết quả cho thấy độ chính xác của

việc chẩn đoán vết nứt đã cải thiện đáng kể (sai số cực đại là 6.5%). Các tác giả

Nguyễn Tiến Khiêm và Nguyễn Ngọc Huyên [86] đã đề xuất một thuật toán chẩn

đoán vết nứt trong dầm Timoshenko FGM bằng tần số riêng, nhưng sử dụng lời giải

giải tích và phương trình tần số được thiết lập ở dạng tường minh. Kết quả thử nghiệm

số trong công bố của Nguyễn Tiến Khiêm và Nguyễn Ngọc Huyên [86] chỉ ra rằng

16

phương trình tần số là một công cụ hữu hiệu cho phép ta chẩn đoán chính xác các vết

nứt không trùng với các điểm nút tần số (các vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không

làm thay đổi một tần số nào đó). Tại các vị trí đặc biệt này kết quả chẩn đoán hầu như

là hoàn toàn sai so với thực tế. Như vậy, việc chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng

tần số riêng, cho đến nay, vẫn chưa giải quyết được các vấn đề chẩn đoán vết nứt tại

các điểm nút tần số và vấn đề tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán chẩn đoán vết nứt

khi dầm có biên đối xứng.

Đã xuất hiện một số công bố về dao động và ổn định của dầm FGM có lớp áp

điện. Cụ thể là Khorramabadi và Nezamabadi [87], trong đó các tác giả đã nghiên

cứu ổn định của dầm Timoshenko FGM có hai lớp áp điện trên cùng và dưới đáy và

chỉ ra rằng các lớp áp điện này ảnh hưởng đáng kể đến lực tới hạn của dầm FGM. Li

và cộng sự [88] đã xây dựng mô hình của dầm làm từ vật liệu áp điện có cơ lý tính

biến thiên và ứng dụng để nghiên cứu sự mất ổn định (buckling) của dầm loại này.

Kết quả nghiên cứu của Li và cộng sự [88] đã chỉ ra rằng tần số riêng của dầm áp

điện FGM tăng và điện thế áp điện giảm khi chỉ số phân bố thể tích của vật liệu FGM

tăng. Bendine và cộng sự [18] đã nghiên cứu bài toán điều khiển dầm FGM sử dụng

hai lớp áp điện (trên và dưới) như các bộ kích hoạt (actuator) bằng phương pháp phần

tử hữu hạn. Nguyễn tiến Khiêm và cộng sự đã nghiên cứu ảnh hưởng của miếng vá

áp điện đến tần số riêng của dầm FGM và đã chỉ ra sự phụ thuộc của tần số riêng dầm

FGM vào vị trí và kích thước của miếng áp điện.

Tóm lại, theo hiểu biết của tác giả luận án, bài toán chẩn đoán vết nứt trong

dầm FGM sử dụng vật liệu áp điện vẫn còn là vấn đề chưa được công bố và đây là

vấn đề đặt ra trong luận án này. Cụ thể, vấn đề đặt ra trong luận án là phát triển

phương pháp độ cứng động để tính toán mô phỏng kết cấu dầm áp điện có vết nứt và

từ đó đề xuất và phát triển một phương chẩn đoán vết nứt trong dầm áp điện bằng tín

hiệu điện đo được trong lớp áp điện.

1.6. Đặt vấn đề nghiên cứu

Sau khi tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu như đã tổng quan ở trên, tác giả rút

ra một số nhận xét sau đây:

17

1. Với tính chất cơ điện rõ rệt, vật liệu áp điện mở ra một hướng nghiên cứu mới,

đầy triển vọng cho chẩn đoán kỹ thuật công trình, đặc biệt khi vật liệu áp điện được

sử dụng để chế tạo các cảm biến hoặc/và bộ kích hoạt có thể lắp đặt như một bộ phận

của kết cấu, làm việc cùng kết cấu. Tuy nhiên, mặc dù bản thân là các cảm biến/bộ

kích hoạt phân bố, nhưng nếu chỉ lắp đặt ở những vị trí cục bộ như các miếng áp điện

(patches) vẫn chưa cho phép xác định các khuyết tật, hư hỏng ở khoảng cách xa với

chúng. Vì vậy, chế tạo hoặc lắp đặt các cảm biến/bộ kích hoạt này như một lớp vật

liệu bao phủ cả không gian mà khuyết tật có thể xuất hiện là giải pháp hữu hiệu nhất,

tuy có thể tốn kém hơn.

2. Trong việc mô phỏng kết cấu có phần tử áp điện (gọi chung là kết cấu áp điện),

phương pháp giải tích và sự mở rộng của nó cho các kết cấu phức tạp gọi là phương

pháp độ cứng động là công cụ hiệu quả nhất, kể cả so với phương pháp phần tử hữu

hạn đang được sử dụng rộng rãi hiện nay. Lý do là vì phương pháp độ cứng động cho

phép nghiên cứu kết cấu trong miền tần số cao bất kỳ, đặc trưng cho kết cấu áp điện,

trong khi phương pháp phần tử hữu hạn chỉ cho kết quả tin cậy trong miền tần số

thấp. Vì vậy, việc phát triển phương pháp độ cứng động để nghiên cứu dao động của

kết cấu áp điện là một nhu cầu cấp thiết.

3. Phương pháp dao động, sử dụng các đặc trưng dao động của kết cấu làm các

dấu hiệu để chẩn đoán hư hỏng cục bộ như vết nứt, mặc dù đã được nghiên cứu rất

nhiều nhưng đến nay vẫn chưa khẳng định được tính hiệu quả phổ quát của nó.

Nguyên nhân bởi vì các dấu hiệu được chọn để chẩn đoán vết nứt hoặc là còn ít nhạy

cảm với vết nứt hoặc còn chứa nhiều các thông tin khác làm che khuất những thông

tin đặc trưng cho vết nứt. Ngay cả đối với các kết cấu áp điện, các đặc trưng phổ như

trở kháng cơ điện đo đạc được trong các đầu dò áp điện cũng ít nhạy cảm với các

thông tin về vết nứt. Chính vì vậy, việc nghiên cứu các đặc trưng cơ, điện hoặc hỗn

hợp cơ điện phụ thuộc vào vết nứt nhằm mục tiêu tìm ra các dấu hiệu chẩn đoán hiệu

quả là một vấn đề cần phải nghiên cứu.

4. Bài toán dao động của dầm FGM, kể cả trường hợp có vết nứt đã được nghiên

cứu khá nhiều, đặc biệt là đã có một số công trình công bố về chẩn đoán vết nứt trong

kết cấu dầm FGM có vết nứt, nhưng bài toán chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dầm

18

FGM áp điện vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là sử dụng các tín hiệu

cơ điện để chẩn đoán vết nứt.

Với những lý do nêu trên, luận án này đặt vấn đề phát triển phương pháp độ cứng

động để mô phỏng tính toán kết cấu dầm FGM có vết nứt được gắn một lớp áp điện

nhằm mục tiêu đề xuất một phương pháp hữu hiệu để chẩn đoán vết nứt trong dầm

FGM sử dụng tín hiệu thu thập được trong lớp áp điện như một cảm biến phân bố liên

tục dọc theo chiều dài dầm.

Nội dung nghiên cứu chính của luận án là:

1. Xây dựng mô hình dầm FGM có lớp áp điện (gọi tắt là dầm áp điện) làm cơ

sở để phát triển phương pháp độ cứng động lực phục vụ việc tính toán các đặc

trưng động lực học của dầm áp điện (Chương 2);

2. Nghiên cứu các đặc trưng động lực học của dầm áp điện có vết nứt, trong đó

bao gồm cả các đặc trưng điện của lớp áp điện nhằm mục tiêu xây dựng cơ sở

dữ liệu phục vụ chẩn đoán vết nứt sử dụng vật liệu áp điện (Chương 3);

3. Đề xuất và phát triển một phương pháp chẩn đoán vết nứt trong dầm áp điện

bằng các đặc trưng điện thu thập được trong lớp áp điện (Chương 4).

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong Chương này tác giả đã trình bày tổng quan về vật liệu áp điện; các

nghiên cứu về kết cấu áp điện; việc ứng dụng vật liệu áp điện trong chẩn đoán kỹ

thuật công trình và một số nghiên cứu về dầm FGM có và không có vết nứt. Sau khi

tổng quan về các nghiên cứu đã công bố liên quan, tác giả trình bày vấn đề đặt ra

trong luận án và các nội dung nghiên cứu của luận án.

19

CHƯƠNG 2.

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM NGUYÊN VẸN CÓ MIẾNG

ÁP ĐIỆN

Chương này tác giả nghiên cứu dao động của dầm FGM với các miếng áp

điện bằng phương pháp độ cứng động. Bằng việc xây dựng phương trình cơ bản của

dầm FGM có lớp áp điện. Sau đó xây dựng ma trận độ cứng động cho phần tử dầm

FGM có lớp áp điện và mô hình độ cứng động của dầm FGM có miếng áp điện như

một dầm bậc. Cuối cùng là áp dụng phương pháp độ cứng động để phân tích dao động

riêng của dầm có miếng áp điện. Cụ thể là phân tích ảnh hưởng của kích thước và vị

trí lắp đặt các miếng áp điện đến tần số riêng của dầm FGM.

𝑧ҧ

z

𝜃𝑝

Wp

Up

Wb

hp

(hb+hp)/2

θ

Ub

hb

2.1. ‘Mô hình dao động của dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện

Hình 2. 1. Phần tử dầm FGM có lớp áp điện

Xét một phần tử dầm FGM có chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang 𝐴𝑏 = 𝑏 ×

ℎ𝑏 (Hình 2.1). Giả thiết rằng các đặc tính vật liệu của dầm thay đổi theo chiều dày

dầm theo quy luật phân bố lũy thừa như sau

(2.1) ℜ(𝑧) = ℜ𝑏 + (ℜ𝑡 − ℜ𝑏)(𝑧/ℎ + 0.5)𝑛; −ℎ𝑏/2 ≤ 𝑧 ≤ ℎ𝑏/2,

trong đó ℜ là kí hiệu của mô đun đàn hồi E, mô đun trượt G và mật độ khối ρ; các

chỉ số dưới t và b của các kí hiệu lần lượt biểu thị cho vật liệu phía bên trên và bên

dưới; n là số mũ lũy thừa; z là tung độ của điểm theo chiều cao dầm từ mặt phẳng

chính giữa. Giả thiết biến dạng là nhỏ theo lý thuyết dầm Timoshenko, các phương

trình cơ bản của dầm tại mặt cắt x là [43]

𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑢0(𝑥, 𝑡) − (𝑧 − ℎ0)𝜃(𝑥, 𝑡) ;  𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑤0(𝑥, 𝑡);

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢0/𝜕𝑥 − (𝑧 − ℎ0)𝜕𝜃/𝜕𝑥; 𝛾𝑥𝑧 = 𝜕𝑤0/𝜕𝑥 − 𝜃, (2.2)

20

trong đó 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) là chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang tại một điểm

trong mặt cắt ngang tại x; 𝑢0(𝑥, 𝑡), 𝑤0(𝑥, 𝑡) là các chuyển vị trên mặt phẳng trung

hòa và  là góc xoay của mặt cắt ngang; 𝜀𝑥, 𝛾𝑥𝑧, 𝜎𝑥, 𝜏 là các thành phần biến dạng và

ứng suất; 𝜅 là hệ số hiệu chỉnh hình học; ℎ0 là khoảng cách được đo từ mặt phẳng

giữa dầm đến mặt phẳng trung hòa. Dựa trên điều kiện đối với mặt phẳng trung hòa

của dầm FGM, vị trí thực của trục trung hòa được tính bằng [89]

ℎ0 = 𝑛(𝑟𝑒 − 1)ℎ/2(𝑛 + 2)(𝑛 + 𝑟𝑒); 𝑟𝑒 = 𝐸𝑡/𝐸𝑏. (2.3)

Sử dụng các phương trình cơ bản (2.2) năng lượng biến dạng của dầm được tính như

sau

2 + 𝜅𝐺(𝑧)𝛾𝑥𝑧

2 ]𝑑𝑉𝑏 =

′ − 𝜃)2}𝑑𝑥,

𝛱𝑏 = (1/2) ∭(𝜎𝑥𝜀𝑥 + 𝜏𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧)𝑑𝑉𝑏 = (1/2) ∭[𝐸(𝑧)𝜀𝑥

′2 − 2𝐴12𝑢′0𝜃′ + 𝐴22𝜃′2 + 𝐴33(𝑤0

𝐿 0

(2.4) = (1/2) ∫ {𝐴11𝑢0

trong đó dấu phẩy trên biểu thị cho đạo hàm đối với biến không gian x và

𝐴

𝐴11 = ∫ 𝐸(𝑧)𝑑𝐴 = 𝑏ℎ𝐸𝑏𝜑1(𝑟𝑒, 𝑛);

𝐴

𝐴12 = ∫ 𝐸(𝑧)(𝑧 − ℎ0)𝑑𝐴 = 𝑏ℎ2𝐸𝑏𝜑2(𝑟𝑒, 𝑛);

𝐴

(2.5) 𝐴22 = ∫ 𝐸(𝑧)(𝑧 − ℎ0)2𝑑𝐴 = 𝑏ℎ3𝐸𝑏𝜑3(𝑟𝑒, 𝑛);

𝐴

𝜑1(𝑥, 𝑛) = (𝑥 + 𝑛)/(1 + 𝑛); 𝜑2(𝑥, 𝑛) = (2𝑥 + 𝑛)/2(2 + 𝑛) − 𝛼(𝑥 + 𝑛)/(1 + 𝑛);

𝜑3(𝑥, 𝑛) = (3𝑥 + 𝑛)/3(3 + 𝑛) − 𝛼(2𝑥 + 𝑛)/2(2 + 𝑛) + 𝛼2(𝑥 + 𝑛)/(1 + 𝑛);

; 𝐴33 = 𝜅 ∫𝐺(𝑧)𝑑𝐴 = 𝑏ℎ𝜅𝐺𝑏𝜑1(𝑟𝑔, 𝑛)

𝑟𝜌 = 𝜌𝑡/𝜌𝑏; 𝑟𝑒 = 𝐸𝑡/𝐸𝑏; 𝑟𝑔 = 𝐺𝑡/𝐺𝑏; 𝛼 = 1/2 + ℎ0/ℎ𝑏.

2}𝑑𝑥

Mặt khác, động năng của dầm là

(2.6)

𝑇𝑏 = (1/2) ∭ 𝜌(𝑢̇ 2 + 𝑤̇ 2) 𝑑𝑉 = (1/2) ∫ {𝐼11𝑢̇ 0

2 − 2𝐼12𝑢̇ 0𝜃̇ + 𝐼22𝜃̇ 2 + 𝐼22𝑤̇ 0

𝐿 0

với

21

= 𝑏ℎ𝑏𝜌𝑏𝜑1(𝑟𝜌, 𝑛); 𝐼12 = ∫ 𝜌(𝑧)(𝑧 − ℎ0)𝑑𝐴

3𝜌𝑏𝜑2(𝑟𝜌, 𝑛); (2.7)

= 𝑏ℎ𝑏

𝐼11 = ∫ 𝜌(𝑧)𝑑𝐴 𝐴

𝐴

3𝜌𝑏𝜑3(𝑟𝜌, 𝑛).

𝐴

𝐼22 = ∫ 𝜌(𝑧)(𝑧 − ℎ0)2𝑑𝐴 = 𝑏ℎ𝑏

Xem lớp áp điện như một phần tử dầm Timoshenko đồng nhất, khi đó các

phương trình cơ bản có thể được biểu diễn dưới dạng

′ − 𝜃𝑝; ; 𝑧ҧ = 𝑧 + (ℎ𝑏 + ℎ𝑝)/2; (2.8)

𝑢𝑝(𝑥, 𝑧ҧ, 𝑡) = 𝑢𝑝0(𝑥, 𝑡) − 𝑧ҧ𝜃𝑝(𝑥, 𝑡), 𝑤𝑝(𝑥, 𝑧ҧ, 𝑡) = 𝑤𝑝0(𝑥, 𝑡);

𝑝 𝐷,

𝜀𝑝𝑥 = 𝑢𝑝0

𝑝 𝛾𝑝; ∈= −ℎ13𝜀𝑝𝑥 + 𝛽33

′ − 𝑧ҧ𝜃𝑝 ′ , 𝛾𝑝 = 𝑤𝑝0 𝑝 𝜀𝑝𝑥 − ℎ13𝐷; 𝜏𝑝 = 𝐶55

𝑝 lần lượt là mô đun đàn hồi, hằng số áp điện và hằng số điện

𝑝 , ℎ13, 𝛽33

𝜎𝑝𝑥 = 𝐶11

trong đó 𝐶11 môi. ∈ và 𝐷 là cường độ điện trường và thông lượng (hay còn gọi là chuyển vị điện

- electric displacement) của lớp áp điện.

Điều kiện liên kết không trượt và không bong tách giữa dầm chủ với lớp áp

điện được biểu diễn bằng các phương trình

ℎ𝑏 2

ℎ𝑝 2

𝑢 (𝑥, , 𝑡) = 𝑢𝑝 (𝑥, − , 𝑡) , 𝑤(𝑥, ℎ𝑏/2, 𝑡) = 𝑤𝑝(𝑥, −ℎ𝑝/2, 𝑡), (2.9)

với

𝑢𝑝0 = 𝑢0 − 𝜃ℎ/2, ℎ = ℎ𝑏 + ℎ𝑝, 𝑤𝑝0 = 𝑤0, 𝜃 = 𝜃𝑝. (2.10)

′ − 𝜃; (2.11)

Vì vậy

′ − (𝑧ҧ + ℎ/2)𝜃′, 𝛾𝑝 = 𝑤0

𝜀𝑝𝑥 = 𝑢0

và

𝑝 𝜀𝑝𝑥

𝑝 𝛾𝑝

𝑝 𝐷2]𝑑𝑉𝑝 =

𝛱𝑝 = (1/2) ∭(𝜎𝑝𝑥𝜀𝑝𝑥 + 𝜏𝑝𝛾𝑝 +∈ 𝐷)𝑑𝑉𝑝

2 + 𝛽33

2 − 2ℎ13𝐷𝜀𝑝𝑥 + 𝐶55

𝐿

𝑝 (𝐼𝑝 + 𝐴𝑝ℎ2/4)𝜃′2

𝑝 𝐴𝑝𝑢0

𝑝 𝐴𝑝ℎ𝑢0

= (1/2) ∭[𝐶11

′2 − 𝐶11

′ 𝜃′ + 𝐶11

0

′ − 𝜃)2}𝑑𝑥 −

𝑝 𝐴𝑝(𝑤0

= (1/2) ∫{𝐶11

+ 𝐶55

𝑝 𝐴𝑝𝐷2}𝑑𝑥

′ − ℎ𝜃′/2) − 𝛽33

𝐿 0

; (2.12) −(1/2) ∫ {2ℎ13𝐴𝑝𝐷(𝑢0

2 + 𝑤̇ 𝑝

2 − 𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ𝑢̇ 0𝜃̇ + (𝜌𝑝𝐼𝑝 +

2) 𝑑𝑉 = (1/2) ∫ {𝜌𝑝𝐴𝑝𝑢̇ 0

𝐿 0

2}𝑑𝑥,

𝑇𝑝 = (1/2) ∭ 𝜌𝑝(𝑢̇ 𝑝

𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ2/4)𝜃̇ 2 + 𝜌𝑝𝐴𝑝𝑤̇ 0

22

3/12. Do vậy, tổng năng lượng biến dạng và động năng

trong đó 𝐴𝑝 = 𝑏ℎ𝑝; 𝐼𝑝 = 𝑏ℎ𝑝

∗ 𝑢′

′ − 𝜃)2

∗ 𝑢0 𝐴11

0𝜃′ + 𝐴22

của hệ là

𝐿 ) ∫ { 0

2

∗ (𝑤0 𝑝 𝐴𝑝𝐷2

′2 − 2𝐴12 −2ℎ13𝐴𝑝𝐷(𝑢0

∗ 𝜃′2 + 𝐴33 ′ − ℎ𝜃′/2) + 𝛽33

(2.13) } 𝑑𝑥 𝛱 = 𝛱𝑏 + 𝛱𝑝 = (1

2}𝑑𝑥

∗ 𝑢̇ 0

2 − 2𝐼12

∗ 𝑢̇ 0𝜃̇ + 𝐼22

∗ 𝜃̇ 2 + 𝐼11

∗ 𝑤̇ 0

𝐿 0

, 𝑇 = 𝑇𝑝 + 𝑇𝑝 = (1/2) ∫ {𝐼11

𝑝 (𝐼𝑝 + 𝐴𝑝ℎ2/4);

𝑝 𝐴𝑝; 𝐴12

𝑝 𝐴𝑝ℎ/2; 𝐴22

∗ = 𝐴11 + 𝐶11 𝐴11

∗ = 𝐴12 + 𝐶11

∗ = 𝐴22 + 𝐶11

∗ = 𝐼12 + 𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ/2; (2.14)

ở đây

𝑝 𝐴𝑝; 𝐼11

∗ = 𝐼11+𝜌𝑝𝐴𝑝; 𝐼12

∗ = 𝜅𝐴33 + 𝐶55

∗ = 𝐼22+𝜌𝑝𝐼𝑝+𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ2/4. 𝐼22

𝐴33

Thay các biểu thức (2.13) vào nguyên lý Hamilton

𝑡2 ∫ 𝛿(𝑇 − Π)𝑑𝑡 = 0 𝑡1

,

∗ 𝜃′′) + ℎ13𝐴𝑝𝐷′ = 0;

ta được các phương trình

∗ 𝑢̈ 0 − 𝐴11

∗ 𝑢0

′′) − (𝐼12

∗ 𝜃̈ − 𝐴12

′′ − 𝜃′) = 0; (2.15a)

∗ 𝑤̈ 0 − 𝐴33 𝐼11

∗ (𝑤0

′ − 𝜃) + ℎ13𝐴𝑝ℎ𝐷′/2 = 0;

(𝐼11

∗ 𝑢̈ 0 − 𝐴12

∗ 𝑢0

′′) − (𝐼22

∗ 𝜃̈ − 𝐴22

∗ 𝜃′′) + 𝐴33

∗ (𝑤0

𝑝 𝐴𝑝𝐷 = 0

(𝐼12

′ − ℎ𝜃′/2) − 𝛽33

ℎ13𝐴𝑝(𝑢0

𝐿

𝐿

và

∗ 𝜃′ + ℎ13𝐴𝑝𝐷)𝛿𝑢0]

∗ 𝜃′ + ℎ13𝐴𝑝ℎ𝐷/2)𝛿𝜃]

∗ 𝑢0

′ − 𝐴12

∗ 𝑢0

′ − 𝐴22

0

0

𝐿 = 0. (2.15b)

= 0; [(𝐴11 = 0; [(𝐴21

∗ (𝑤0

′ − 𝜃)𝛿𝑤0]0

[(𝐴33

Phương trình cuối cùng trong (2.15a) cho phép ta tìm được

𝑝 , ′ − ℎ𝜃′/2)/𝛽33

𝐷 = ℎ13(𝑢0

khi đó các phương trình còn lại trong (2.15) có thể được viết lại dưới dạng

23

∗ 𝜃′′) = 0;

∗ 𝑢̈ 0 − 𝐵11

∗ 𝑢0

′′) − (𝐼12

∗ 𝜃̈ − 𝐵12

′ − 𝜃) = 0; (2.16)

(𝐼11

∗ 𝑢̈ 0 − 𝐵12

∗ 𝑢0

′′) − (𝐼22

∗ 𝜃̈ − 𝐵22

∗ 𝜃′′) + 𝐴33

∗ (𝑤0

′′ − 𝜃′) = 0,

∗ 𝑤̈ 0 − 𝐴33 𝐼11

∗ (𝑤0

(𝐼12

𝐿 = 0;

và

∗ 𝑢0

′ − 𝐵12

∗ 𝜃′)𝛿𝑢0]0

𝐿 = 0; [(𝐵21

∗ 𝑢0

′ − 𝐵22

∗ 𝜃′)𝛿𝜃]0

𝐿 = 0,

[(𝐵11

∗ (𝑤0

′ − 𝜃)𝛿𝑤0]0

∗ là

[(𝐴33

∗ , 𝐵12

∗ , 𝐵22

𝑝 = 𝐴11 + 𝐸𝑝𝐴𝑝,

trong đó các hằng số 𝐵11

∗ = 𝐴11

∗ − 𝐴𝑝ℎ13

2 /𝛽33

𝑝 = 𝐴12 + 𝐸𝑝𝐴𝑝ℎ/2,

𝐵11

∗ = 𝐴12

∗ − 𝐴𝑝ℎℎ13

2 /2𝛽33

𝑝 𝐼𝑝 + 𝐸𝑝𝐴𝑝ℎ2/4;

𝐵12

∗ = 𝐴22

∗ − 𝐴𝑝ℎ2ℎ13

2 /4𝛽33

𝑝 = 𝐴22 + 𝐶11

𝑝 − ℎ13

𝐵22

𝑝 . 2 /𝛽33

𝐸𝑝 = 𝐶11

Sử dụng phép biến đổi Fourie ta có thể đưa phương trình (2.16) vào miền tần số và

nhận được

[𝑨]{𝒁′′(𝑥, 𝜔)} + [𝑩]{𝒁′(𝑥, 𝜔)} + [𝑪]{𝒁(𝑥, 𝜔)} = 0, (2.17)

trong đó các vectơ

∞ −∞

, 𝒁 = {𝑈(𝑥, 𝜔), Θ(𝑥, 𝜔), 𝑊(𝑥, 𝜔)}𝑇 = ∫ {𝑢0(𝑥, 𝑡), 𝜃(𝑥, 𝑡), 𝑤0(𝑥, 𝑡)}𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

𝒁′ = 𝑑𝒁/𝑑𝑥, 𝒁′′ = 𝑑2𝒛/𝑑𝑥2

và các ma trận

∗ 𝐵11 ∗ −𝐵12 0

∗ −𝐵12 ∗ 𝐵22 0

0 0 [𝑨] = [ ] ; [𝑩] = [ ] ; 0 ∗ 𝐴33 0 0 0 ∗ 0 − 𝐴33 0 0 ∗ 𝐴33

∗ −𝜔2𝐼12 ∗ ∗ − 𝐴33

∗ 𝜔2𝐼22

∗ 𝜔2𝐼11 −𝜔2𝐼12 0

[𝑪] = [ ].

0 0 0 ∗ 𝜔2𝐼11

24

Nếu lớp áp điện được sử dụng như một cảm biến phân bố, điện tích đầu ra của lớp áp

điện có thể được tính như sau

′ − ℎ𝜃′/2)𝑑𝑥

𝑝 ) ∫ (𝑢0

𝐿 0

𝐿 0

. (2.18) 𝑄 = ∫ 𝐷𝑑𝐴 = 𝑏 ∫ 𝐷𝑑𝑥 = (𝑏ℎ13/𝛽33

2.2. Mô hình độ cứng động của phần tử dầm FGM nguyên vẹn có lớp áp điện

Tìm nghiệm của phương trình (2.17) ở dạng: 𝒁0 = 𝒅𝑒𝜆𝑥 ta được phương trình

đặc trưng [43]

𝑑𝑒𝑡[ 𝜆2𝑨 + 𝜆𝑩 + 𝑪] = 0. (2.19)

Trên thực tế, đây là một phương trình đại số bậc 3 của 𝜂 = 𝜆2 , có thể giải được ba

nghiệm 1,2,3, từ đó ta có thể tính được sáu nghiệm của phương trình (2.19) đối

với λ

𝜆1,4 = ±𝑘1; 𝜆2,5 = ±𝑘2; 𝜆3,6 = ±𝑘3; 𝑘𝑗 = √𝜂𝑗, 𝑗 = 1,2,3.

Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (2.17) có thể biểu diễn dưới dạng

} ] ⋅ { } = [ ] . { {𝒛0} = [

𝑒 𝜆1𝑥 ⋮ 𝑒 𝜆6𝑥 𝑒 𝜆1𝑥 ⋮ 𝑒 𝜆6𝑥 𝑑11 𝑑12 𝑑21 𝑑22 𝑑31 𝑑32 . . . 𝑑16 . . . 𝑑26 . . . 𝑑36 . . . 𝛼6𝐶6 . . . 𝐶6 . . . 𝛽6𝐶6 𝛼1𝐶1 𝛼2𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝛽1𝐶1 𝛽 𝐶2 2

∗ ); 𝑗 = 1,2,3 .

với các hằng số 𝐶1, . . . , 𝐶6 và

∗ /(𝜔2𝐼11

∗ + 𝜂𝑗 𝐴33

𝜔2𝐼11 𝜔2𝐼12

∗ ∗ +𝜂𝑗𝐵11 ∗ ; 𝛽𝑗 = 𝜆𝑗 𝐴33 ∗ +𝜂𝑗𝐵12

𝛼𝑗 =

Các biểu thức sau cho thấy

𝛼4 = 𝛼1; 𝛼5 = 𝛼2; 𝛼6 = 𝛼3; 𝛽4 = −𝛽1; 𝛽5 = −𝛽2; 𝛽6 = −𝛽3.

Do đó nghiệm tổng quát của (2.17) có thể được viết dưới dạng

{𝒁0(𝑥, 𝜔)} = [𝑮0(𝑥, 𝜔)]{𝑪} (2.20)

] (2.21)

𝛼3𝑒−𝑘3𝑥 𝑒−𝑘3𝑥

𝛼2𝑒−𝑘2𝑥 𝑒−𝑘2𝑥

𝛼1𝑒−𝑘1𝑥 𝑒−𝑘1𝑥

[𝐺0(𝑥, 𝜔)] = [

𝛼1𝑒𝑘1𝑥 𝛼2𝑒𝑘2𝑥 𝛼3𝑒𝑘3𝑥 𝑒𝑘3𝑥 𝑒𝑘2𝑥 𝑒𝑘1𝑥 𝛽1𝑒𝑘1𝑥 𝛽2𝑒𝑘2𝑥 𝛽3𝑒𝑘3𝑥 −𝛽1𝑒−𝑘1𝑥 −𝛽2𝑒−𝑘2𝑥 −𝛽3𝑒−𝑘3𝑥

với {𝑪} = (𝐶1, . . . , 𝐶6)𝑇 và [𝑮(𝑥, 𝜔)] là ma trận như sau

25

Xét một phần tử dầm như trong Hình 2.2, trong đó các vectơ lực nút và chuyển

vị nút như sau

{𝑼𝑒(𝜔)} = {𝑈1, 𝛩1, 𝑊1, 𝑈2, 𝛩2, 𝑊2}𝑇 ; {𝑷𝑒(𝜔)} = {𝑁1, 𝑀1, 𝑄1, 𝑁2, 𝑀2, 𝑄2}𝑇 (2.22)

với

𝑈1 = 𝑈(0, 𝜔); 𝛩1 = Θ(0, 𝜔); 𝑊1 = 𝑊(0, 𝜔);

∗ 𝜕𝑥Θ)𝑥=0;

𝑈2 = 𝑈(𝐿, 𝜔); 𝛩2 = Θ(𝐿, 𝜔); 𝑊2 = 𝑊(𝐿, 𝜔);

∗ 𝜕𝑥Θ − 𝐵11

∗ 𝜕𝑥𝑈)𝑥=0; 𝑀1 = ( 𝐵12

∗ 𝜕𝑥𝑈 − 𝐵22

∗ 𝜕𝑥𝑈)𝑥=𝐿;

𝑁1 = ( 𝐵12

∗ 𝜕𝑥Θ − 𝐵12

𝑁2 = (𝐵11

y

Q2

Q1

x

N2

N1

j

i

M2

M1

L

W1

W2

U2

U1

2

1

= 𝐴33(𝜕𝑥𝑊 − Θ)𝑥=𝐿. 𝑄1 = 𝐴33(Θ − 𝜕𝑥𝑊)𝑥=0; ∗ 𝜕𝑥Θ)𝑥=𝐿; 𝑀2 = (𝐵22 ∗ 𝜕𝑥𝑈 − 𝐵12 𝑄2

Hình 2. 2. Các lực và chuyển vị nút của phần tử dầm

Viết lại các phương trình dưới dạng ma trận

{𝑈1, 𝛩1, 𝑊1, 𝑈2, 𝛩2, 𝑊2}𝑇 = [ℤ(𝜔)]{𝑪};

{𝑁1, 𝑀1, 𝑄1, 𝑁2, 𝑀2, 𝑄2}𝑇 = [ℚ(𝜔)]{𝑪}, (2.23)

trong đó

] (2.24) [ℤ(𝜔)] = [ ] ; [ℚ(𝜔)] = [ 𝜱(0, 𝜔) 𝜱(𝐿, 𝜔) −ℝ[𝜱(𝑥, 𝜔)]𝑥=0 ℝ[𝜱(𝑥, 𝜔)]𝑥=𝐿

và ℝ là toán tử vi phân

26

∗ 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑥 −𝐵12 𝐵11 ∗ 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑥 𝐵22 −𝐵12 ∗ − 𝐴33 0

[ℝ] = [ ]. (2.25)

0 0 ∗ 𝜕𝑥 𝐴33

Khử vectơ C trong các phương trình (2.23) dẫn đến

(2.26) {𝑷𝑒} = [𝑫𝑒(𝜔)]{𝑼𝑒},

trong đó ma trận

[𝑫𝑒(𝜔)] = [ℚ(𝜔)] ⋅ [ℤ(𝜔)]−1 (2.27)

được gọi là ma trận độ cứng động cho phần tử dầm FGM.

Trong trường hợp tổng quát, khi một kết cấu nhất định gồm một số phần tử

dầm, thì ma trận độ cứng động toàn phần của kết cấu được ghép nối tương tự như

trong phương pháp PTHH. Cụ thể, ma trận độ cứng động được xác định bằng

𝑛𝑒 [𝑫(𝜔)] = ∑ [𝑻𝑒]−1[𝑫𝑒(𝜔)] 𝑒=1

⋅ [𝑻𝑒]. (2.28)

trong đó 𝑻𝑒 là ma trận định vị của phần tử e.

Do đó phương trình tần số của phần tử dầm FGM

det[𝑫𝑒(𝜔)] = 0 (2.29)

2.3. Tần số dao động riêng của dầm FGM nguyên vẹn với miếng áp điện - Kết

Lp

Ep , Gp =C55 , 𝜌𝑝

Et , Gt , 𝜌𝑡

L3

L1

L2

Eb, Gb , 𝜌𝑏

Lb

quả số

Hình 2. 3. Mô hình dầm FGM có miếng áp điện

Giả sử rằng các thông số của dầm FGM và lớp áp điện là

𝐸𝑡 = 390MPa, 𝜌𝑡 = 3960kg/m3, 𝜇𝑡 = 0.25; 𝐸𝑏 = 210Mpa,

𝑝 = 21.0526GPa,

𝜌𝑏 = 7800kg/m3; 𝜇𝑡 = 0.31; 𝐶11

𝑝 = 69.0084GPa, 𝐶55

27

𝜌𝑝 = 7750kg/m3,

𝑝 = 7.3885 × 107 m/F.

ℎ13 = −7.70394 × 108𝑉/𝑚, 𝛽33

Để thuận tiện cho việc so sánh, thay vì tính toán tần số riêng của dầm, ở đây chúng

ta tính tham số tần số riêng 𝜆 = 𝜔(𝐿2/ℎ)√𝜌𝑏/𝐸𝑏 là hàm của tỷ số chiều dày ℎ𝑝/ℎ𝑏

ứng với độ mảnh khác nhau của dầm chủ; chỉ số gradient n của vật liệu. Năm tham

số tần số nhỏ nhất được tính toán cho ba trường hợp điều kiện biên cơ bản: gối tựa

đơn giản (SS), liên kết ngàm - ngàm (CC) và liên kết ngàm - tự do (CF) được đưa ra

trong Bảng 2.1-2.9. Để so sánh, trong Bảng cũng có cung cấp các tham số tần số được

tính toán cho dầm FGM không có miếng dán áp điện bằng phương pháp độ cứng

động (DSM) do Su và Banerjee [76] tính được (viết tắt trong Bảng dưới dạng S&B).

Tham số tần số được tính toán trong luận án này trong trường hợp ℎ𝑝 = 0 nói chung

là phù hợp với kết quả mà Su và Banerjee nhận được, điều đó có thể xác nhận độ tin

cậy của lý thuyết được trình bày ở trên. Có một số sai khác nhỏ là do Su và Banerjee

coi trục trung hòa là trục giữa còn tác giả tính đến vị trí thực của trục trung hòa.

Bảng 2. 1. Tham số tần số của dầm tựa đơn hai đầu (SS) phụ thuộc vào chiều dày của

Lb/hb

miếng vá áp điện giữa dầm ứng với các độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 khác nhau và n=2

5

10

20

30

S&B

0.3 3.2902 11.4719 17.6916 21.8771 32.6566 3.4612 13.2565 28.0992 35.3445 65.8800 3.5091 13.8825 30.9429 53.0798 70.7362 3.5183 14.0107 31.5935 54.9929 84.6741

0.8 3.3684 11.1239 15.7880 22.6341 32.0239 3.5905 13.2122 30.2021 31.0353 46.7499 3.6542 13.8613 33.8268 55.0667 62.2527 3.6664 13.9893 34.6708 57.4513 88.2989

0.1 3.2971 11.5087 18.7770 21.8955 33.0901 3.4560 13.2820 27.9209 37.6169 45.8284 3.5004 13.9074 30.6479 52.9606 75.2893 3.5088 14.0357 31.2691 54.7918 84.4513

0.2 3.2857 11.4887 18.2159 21.8473 32.8374 3.4494 13.2624 27.9422 36.4329 45.6945 3.4952 13.8873 30.7122 52.9104 72.9118 3.5040 14.0155 31.3445 54.7738 84.4318

0.5 3.3230 11.4098 16.7704 22.1037 32.3968 3.5132 13.2560 28.7384 33.4138 46.0678 3.5670 13.8876 31.8164 53.8164 66.8970 3.5773 14.0159 32.5250 55.8699 85.7382

1.0 3.3739 10.7644 15.4272 22.9872 31.7397 3.6144 13.1318 29.7505 31.2956 47.0885 3.6840 13.8039 35.3861 55.4217 60.0132 3.6973 13.9315 36.3468 58.3068 88.9455

0 3.3309 11.5403 19.3733 22.0386 33.4451 3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.5315 13.9511 30.7718 53.2913 77.9014 3.5398 14.0799 31.3899 55.1111 84.7885

3.390 11.740 19.479 22.387 33.912 3.551 13.561 28.544 38.958 46.941 3.5957 14.202 31.319 54.220 77.917 3.6042 14.334 31.950 56.077 86.244

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) Mode No. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

28

Bảng 2. 2. Tham số tần số của dầm CC ứng với các độ dày khác nhau của miếng áp

Lb/hb

điện ở giữa dầm theo tỷ lệ độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 khác nhau và chỉ số gradient n = 2.

Mode No.

5

S&B

0.1 6.2954 14.7015 18.7853 24.5476 34.8906

0.2 6.1583 14.6268 18.2167 24.5569 34.6713

0.5 5.8986 14.1982 17.0136 24.9691 34.2844

0.8 5.7365 13.1821 16.7238 25.6414 33.9860

1.0 5.6355 12.3530 16.8136 26.0780 33.7840

6.5543 14.974 19.479 24.932 35.603

1 2 3 4 5

10

20

7.2107 19.1053 34.8325 36.4435 52.4857 7.5755 21.1085 40.6442 64.6944 72.9149

7.1157 19.0510 35.0216 35.3688 52.5324 7.4876 21.0663 40.9162 64.9565 70.7407

30

7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.9042 21.3244 40.6762 65.0906 77.9039 7.9785 21.7766 42.1394 68.5517 100.5146

7.3478 19.1879 34.7836 37.6193 52.6171 7.7106 21.1893 40.5566 64.7147 75.2921 7.7842 21.6394 42.0185 68.1839 100.0712

7.6498 21.5593 42.1178 68.2124 100.0118

7.5634 21.5196 42.4136 68.5594 100.2604

7.0112 18.9730 33.4871 35.7445 52.9447 7.4083 21.0356 41.9304 65.9409 66.9865 7.4898 21.4966 43.5082 100.2335 101.3815

6.9452 18.7803 31.2654 37.3983 53.7380 7.3928 20.9675 44.3223 62.0454 68.1642 7.4860 21.4403 46.1014 72.3716 92.9889

6.9023 18.5397 30.1613 38.6618 54.1268 7.3828 20.8582 46.2616 59.3849 69.3911 7.4837 21.3387 48.2272 73.8432 88.9525

7.6610 19.608 35.398 38.958 53.695 8.0431 21.688 41.347 66.128 77.917 8.1207 22.157 42.857 69.368 102.12

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 0.3 0 6.0514 6.4707 14.5355 14.7812 17.7192 19.4110 24.6406 24.6274 34.5132 35.2001

Bảng 2. 3. Tham số tần số của dầm CF đối với các độ dày khác nhau của miếng áp

Lb/hb S&B

Mode No.

5

điện ở giữa theo tỷ lệ độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 khác nhau và chỉ số gradient n = 2.

0.8 1.1895 6.7859 8.4683 16.2113 25.3497

0.1 1.2207 6.5061 9.6248 15.6356 25.8499

0.5 1.2067 6.5851 8.9842 15.8676 25.7644

0.2 1.2173 6.4821 9.4712 15.6477 25.7743

1.2471 6.7053 9.7403 15.937 26.428

1 2 3 4 5

10

20

30

1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2609 7.8091 21.4673 38.9220 41.0684 1.2623 7.8690 21.8485 42.3012 58.4491

1.2493 7.4456 19.0281 19.8434 35.6584 1.2569 7.7497 21.3770 38.3750 40.8790 1.2583 7.8103 21.7575 42.1607 57.5530

1.2462 7.4410 18.6879 19.8803 35.6729 1.2538 7.7536 21.3437 37.8083 40.9346 1.2552 7.8160 21.7264 42.2288 56.6917

1.2433 7.4827 18.3509 19.9602 35.8295 1.2510 7.8083 21.3502 37.2351 41.1974 1.2524 7.8735 21.7373 42.4769 55.8673

1.2362 7.6569 17.6805 20.2011 36.4892 1.2439 8.0185 21.4129 36.1172 42.2115 1.2454 8.0914 21.8145 43.4033 54.3475

1.2192 7.9954 16.6833 20.6451 38.0541 1.2270 8.4217 21.4565 34.5999 44.5781 1.2284 8.5089 21.8939 45.4085 52.5460

1.2042 8.1987 16.0361 20.9602 39.2680 1.2119 8.6661 21.3950 33.7264 46.4776 1.2134 8.7625 21.8694 46.5972 52.0004

1.2762 7.6440 19.841 20.088 36.403 1.2839 7.9501 21.851 38.961 41.733 1.2853 8.0112 22.239 43.049 58.442

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 1.0 0.3 0 1.1746 1.2142 1.2249 6.9031 6.4933 6.5746 8.1366 9.3135 9.7757 16.4505 15.6960 15.6662 24.8256 25.7549 26.0044

29

Bảng 2. 4. Tham số tần số của dầm SS với miếng áp điện gắn ở giữa dầm có độ dày

khác nhau , các chỉ số gradient (n) khác nhau và tỷ số độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10.

Mode No.

0.1

n S&B

0.2 4.7306 18.7562 39.3880 51.0267 64.2781

0.5 4.6000 18.4157 39.6770 45.2184 63.2773

0.1 4.8389 18.9199 39.7208 53.5208 65.1948

0.8 4.5877 18.1159 63.4179 88.3986 104.2558

1.0 4.5793 17.8641 39.1969 42.5163 63.5687

5.0001 19.136 40.385 56.379 66.608

1 2 3 4 5

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

10

4.7348 18.118 38.240 53.361 63.075 4.2432 16.235 34.261 48.044 56.502 3.8586 14.755 31.110 43.242 51.256 3.551 13.561 28.544 38.958 46.941 3.2608 12.434 26.122 35.052 42.873 3.0959 11.805 24.799 33.371 40.700

4.7243 18.0772 38.1525 53.5455 62.9317 4.2086 16.1021 33.9801 48.0050 56.0479 3.8004 14.5331 30.6491 43.1884 50.5213 3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.2251 12.3013 25.8533 35.0281 42.4555 3.0805 11.7476 24.6834 33.3619 40.5218

4.5925 17.9094 37.6230 51.0074 61.7907 4.1227 15.9932 33.6327 46.0115 55.2834 3.7466 14.4646 30.4283 41.5954 50.0108 3.4560 13.2820 27.9209 37.6169 45.8284 3.2099 12.2811 25.7836 33.9649 42.2318 3.0736 11.7377 24.6488 32.3844 40.3637

4.5055 17.7774 37.3645 48.7679 61.0465 4.0725 15.9140 33.5033 44.2240 54.8306 3.7223 14.4212 30.3897 40.1492 49.7536 3.4494 13.2624 27.9422 36.4329 45.6945 3.2164 12.2789 25.8495 32.9840 42.1847 3.0869 11.7440 24.7419 31.4805 40.3679

4.4532 17.6735 37.3264 46.7881 60.6120 4.0496 15.8568 33.5575 42.6177 54.6220 3.7201 14.3951 30.5077 38.8330 71.7626 3.4612 13.2565 28.0992 35.3445 65.8800 3.2382 12.2872 26.0339 32.0756 60.7640 3.1140 11.7590 24.9464 30.6412 58.1686

4.4160 17.5129 37.7672 43.4665 60.3645 4.0539 15.7739 34.1035 39.8608 54.6816 3.7532 14.3625 31.1190 36.5316 49.9431 3.5132 13.2560 28.7384 33.4138 46.0678 3.3034 12.3085 26.6842 30.4476 42.6634 3.1856 11.7897 25.6174 29.1317 40.9218

4.4234 17.2723 39.2921 39.7020 60.6528 4.0947 15.6287 35.6428 36.6288 55.2047 3.8162 14.2788 32.6381 33.7576 50.5904 3.5905 13.2122 30.2021 31.0353 46.7499 3.3898 12.2915 28.0790 28.4107 43.3332 3.2750 11.7823 26.9992 27.2334 41.5962

4.4222 17.0590 37.8191 40.5997 60.8573 4.1054 15.4782 34.9610 36.8898 55.4950 3.8347 14.1702 32.2887 33.8135 50.9232 3.6144 13.1318 29.7505 31.2956 47.0885 3.4173 12.2309 27.2950 29.0882 43.6556 3.3028 11.7288 26.1886 27.9769 41.9124

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 0.3 0 4.6613 4.9977 18.6240 19.1228 39.2974 40.3570 48.8414 56.3731 63.7096 66.5611

Bảng 2. 5. Tham số tần số của dầm CC với miếng áp điện gắn ở giữa dầm có độ dày khác nhau , các chỉ số gradient (n) khác nhau và tỷ lệ độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10.

Mode No.

0.1

0.1

10.827 27.809 50.364 56.379 76.611

n S&B

0.2 9.9140 26.9592 49.3971 51.0869 74.1304

0.3 9.6138 26.6431 48.9573 49.3198 73.5402

0.5 9.2118 26.1204 45.4864 49.7346 73.1408

0.8 8.8843 25.3414 41.8199 51.3394 73.4384

10.3073 27.3374 49.7159 53.5391 75.1039

10.8205 27.7924 50.3343 56.3731 76.5667

1 2 3 4 5

0.2

10.253 26.337 47.704 53.561 72.577

10.2319 26.2854 47.6118 53.5455 72.4358

9.7867 25.9019 47.1022 51.0221 71.2142

9.4459 25.5884 46.8619 48.8170 70.4244

9.1873 25.3306 46.8433 46.8839 69.9750

8.8451 24.9093 43.6929 47.3356 69.7644

8.5707 24.2638 40.2557 48.9906 70.1943

8.4457 23.7051 38.6977 50.4250 70.5147

1 2 3 4 5

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 1.0 0 8.7383 24.6945 40.1899 52.7708 73.7288

30

0.5

1.0

2.0

5.0

10

9.1864 23.594 42.727 48.044 64.989 8.3437 21.404 38.721 43.242 58.840 7.6610 19.608 35.398 38.958 53.695 7.0184 17.909 32.279 35.052 48.873 6.6638 17.014 30.647 33.371 46.401

9.1182 23.4254 42.4315 48.0050 64.5588 8.2292 21.1256 38.2389 43.1884 58.1469 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 6.9493 17.7560 32.0050 35.0282 48.4886 6.6339 16.9432 30.5295 33.3620 46.2376

8.7889 23.1619 42.1066 46.0206 63.7416 7.9819 20.9450 38.0419 41.6006 57.6043 7.3478 19.1879 34.7836 37.6193 52.6171 6.8031 17.6738 31.9598 33.9660 48.2580 6.5082 16.8812 30.5198 32.3855 46.0778

8.5397 22.9567 42.0014 44.2553 63.2643 7.7984 20.8134 38.0302 40.1683 57.3389 7.2107 19.1053 34.8325 36.4435 52.4857 6.7011 17.6263 32.0532 32.9900 48.2204 6.4234 16.8507 30.6407 31.4858 46.0955

8.3543 22.7957 42.0834 42.6807 63.0557 7.6661 20.7171 38.1797 38.8731 57.2907 7.1157 19.0510 35.0216 35.3688 52.5324 6.6342 17.6010 32.0909 32.2690 48.3283 6.3705 16.8392 30.6548 30.8771 46.2437

8.1188 22.5405 40.0176 42.7030 63.1656 7.5079 20.5705 36.6395 38.8741 57.6024 7.0112 18.9730 33.4871 35.7445 52.9447 6.5694 17.5682 30.4996 32.9997 48.7891 6.3259 16.8264 29.1786 31.6291 46.7463

7.9387 22.1139 37.0387 44.4172 63.8138 7.3957 20.2868 34.0633 40.5855 58.3681 6.9452 18.7803 31.2654 37.3983 53.7380 6.5364 17.4348 28.5903 34.5735 49.5618 6.3086 16.7160 27.3983 33.1894 47.5239

7.8508 21.7043 35.6358 45.8270 64.1851 7.3344 19.9786 32.8117 41.9358 58.7625 6.9023 18.5397 30.1613 38.6618 54.1268 6.5066 17.2402 27.6276 35.7399 49.9273 6.2843 16.5396 26.4960 34.3221 47.8816

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

S&B

Mode No.

0.1

0.2

0.5

1.0

2.0

Bảng 2. 6. Tham số tần số của dầm CF đối với độ dày khác nhau của miếng áp điện ở giữa dầm trong trường hợp các chỉ số gradient khác nhau (n) và độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10 n

1.7966 10.782 28.190 28.404 51.618 1.7010 10.208 26.781 26.895 48.878 1.5244 9.1477 24.024 24.098 43.787 1.3864 8.3146 21.623 21.886 39.732 1.2762 7.6640 19.481 20.088 36.403

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 0.3 0 1.7458 1.7954 10.2012 10.7744 25.6609 28.1583 28.0285 28.4174 50.3793 51.5826 1.6561 1.6972 9.7271 10.1850 24.4810 26.6685 26.6595 26.9501 47.8301 48.7694 1.4852 1.5120 8.8128 9.0719 22.1453 23.7474 24.0077 24.1860 42.9490 43.4392 1.3486 1.3655 8.0688 8.1884 20.1238 21.3649 21.7903 21.8317 38.9840 39.1649 1.2433 1.2534 7.4827 7.5082 18.3509 19.3740 19.9602 19.8607 35.8295 35.8065 0.1 1.7771 10.4733 27.2746 28.1901 50.8910 1.6819 9.9345 25.9008 26.7631 48.1946 1.5019 8.9075 23.2129 24.0317 43.0616 1.3589 8.0843 20.9543 21.7425 38.9237 1.2493 7.4456 19.0281 19.8434 35.6584 0.5 1.7169 10.2243 24.2303 28.1543 50.6939 1.6319 9.7834 23.1999 26.8152 48.2289 1.4689 8.9265 21.1336 24.2043 43.4870 1.3377 8.2207 19.3096 22.0133 39.6064 1.2362 7.6569 17.6805 20.2011 36.4892 0.2 1.7608 10.2903 26.4421 28.0659 50.5109 1.6685 9.7887 25.1714 26.6716 47.8987 1.4932 8.8265 22.6726 23.9834 42.9099 1.3536 8.0489 20.5375 21.7366 38.8721 1.2462 7.4410 18.6879 19.8803 35.6729 0.8 1.6711 10.5215 22.3441 28.6475 52.1539 1.5922 10.0946 21.4769 27.3132 49.7489 1.4395 9.2584 19.7125 24.6946 45.0843 1.3156 8.5608 18.1247 22.4835 41.2161 1.2192 7.9954 16.6833 20.6451 38.0541 1.0 1.6383 10.7624 21.2295 29.0841 53.4942 1.5630 10.3315 20.4420 27.7369 51.0999 1.4166 9.4851 18.8307 25.0840 46.4249 1.2972 8.7760 17.3698 22.8359 42.5088 1.2042 8.1987 16.0361 20.9602 39.2680

31

5.0

10

1.1722 7.0111 17.527 18.391 33.262 1.1130 6.6562 16.686 17.459 31.575

1.1594 6.9351 17.5049 18.2274 32.9360 1.1074 6.6234 16.6779 17.3874 31.4357

1.1571 6.9038 17.2438 18.2281 32.8594 1.1061 6.6086 16.4513 17.3964 31.3977

1.1556 6.9224 16.9774 18.2804 32.9239 1.1054 6.6401 16.2151 17.4554 31.4924

1.1542 6.9799 16.7075 18.3695 33.1120 1.1047 6.7072 15.9722 17.5482 31.7030

1.1498 7.1683 16.1584 18.6087 33.7872 1.1013 6.9053 15.4712 17.7853 32.4012

1.1367 7.5003 15.3217 19.0135 35.2781 1.0897 7.2355 14.6979 18.1691 33.8761

1.1242 7.6916 14.7698 19.2880 36.3955 1.0783 7.4201 14.1846 18.4234 34.9547

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Bảng 2. 7. Tham số tần số của dầm SS với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10.

2/3

1.0

1/6

1/2

1/4

1/3

Tỷ số chiều dài của miếng áp điện và chiều dài dầm Lp / 𝐿𝑏 Mode No.

0.1

0.2

0.3

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.4690 13.3200 27.9177 38.1753 46.1345 3.4602 13.3190 27.8789 37.4558 46.1577 3.4577 13.3188 27.9189 36.7496 46.2351

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.4618 13.3060 27.9093 37.8693 45.9806 3.4532 13.2973 27.9041 36.8870 45.9169 3.4565 13.2931 28.0169 35.9596 45.9535

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.4560 13.2820 27.9209 37.6169 45.8284 3.4494 13.2624 27.9422 36.4329 45.6945 3.4612 13.2565 28.0992 35.3445 65.8800

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.4483 13.2158 27.8943 37.2655 45.7781 3.4485 13.1799 27.8844 35.7969 45.6989 3.4800 13.1960 28.0029 34.4692 45.8789

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.4447 13.1568 27.7449 37.1204 45.6983 3.4520 13.1252 27.6511 35.5399 45.5564 3.5005 13.1973 27.7248 34.1210 45.6812

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.4442 13.1299 27.6120 37.2765 45.3770 3.4575 13.1208 27.5334 35.8416 45.1337 3.5186 13.2598 27.7435 34.5588 45.3131

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

3.5132

0.5

0.8

3.4584 13.3158 28.1472 35.3775 46.5209 3.4443 13.2944 28.5909 33.4303 47.2059

3.4786 13.2841 28.4988 34.2587 46.2099 3.5001 13.2375 29.5149 32.0610 46.7492

13.2560 28.7384 33.4138 46.0678 3.5905 13.2122 30.2021 31.0353 46.7499

3.6030 13.3073 28.5434 32.1500 46.7964 3.8336 13.4650 29.3317 29.8856 48.8470

3.6871 13.5377 28.1890 31.6459 46.4838 4.0814 14.1991 28.5822 29.1750 48.3598

3.7523 13.8579 28.7583 32.3385 45.2139 4.2812 15.1873 29.6341 30.9546 44.7880

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

hp/hb 0

32

Bảng 2. 8. Tham số tần số của dầm CC với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10.

Tỷ số chiều dài của miếng áp điện và chiều dài dầm Lp / 𝐿𝑏 Mode No.

0.1

0.2

0.3

0.5

0.8

hp/hb 0

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1/6 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.4322 19.2993 34.7586 38.1794 52.9238 7.3485 19.2900 34.7372 37.4750 52.9309 7.2810 19.2815 34.8072 36.7955 52.9912 7.1733 19.2559 35.1237 35.5139 53.2327 7.0254 19.1633 33.8062 35.7307 53.8058 1/4 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.3872 19.2575 34.7683 37.8740 52.7503 7.2744 19.2188 34.7953 36.9074 52.6624 7.1910 19.1888 34.9518 36.0062 52.6835 7.0796 19.1268 34.3922 35.5537 52.9170 6.9592 18.9501 32.4338 36.8125 53.3781 1/3 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.3478 19.1879 34.7836 37.6193 52.6171 7.2107 19.1053 34.8325 36.4435 52.4857 7.1157 19.0510 35.0216 35.3688 52.5324 7.0112 18.9730 33.4871 35.7445 52.9447 6.9452 18.7803 31.2654 37.3983 53.7380 1/2 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.2877 18.9986 34.6411 37.2659 52.6178 7.1115 18.8104 34.5550 35.7978 52.5662 6.9955 18.7184 34.4701 34.6083 52.7730 6.8979 18.7062 32.1500 35.0262 53.7583 6.9428 18.7731 29.3432 36.1311 55.9837 2/3 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.2609 18.8217 34.2633 37.1229 52.2800 7.0636 18.5288 33.9187 35.5471 51.9427 6.9309 18.3924 33.7970 34.1339 69.7155 6.8142 18.4438 31.6694 33.9820 52.3880 6.8866 18.8982 28.6083 34.6538 53.7799 1.0 7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 7.4161 18.9574 34.1857 37.2914 47.3040 7.3967 18.8426 33.8756 35.9053 46.3936 7.4585 18.9130 33.8667 34.7014 45.8106 7.7538 19.4222 32.7095 34.4191 45.2139 8.4196 20.5741 30.4569 35.7675 44.7880

33

Bảng 2. 9. Tham số tần số của dầm CF với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10.

0.1

0.2

0.3

0.5

0.8

hp/hb 0

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Tỷ số chiều dài của miếng áp điện và chiều dài dầm Lp / 𝐿𝑏 Mode No. 1/2 1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2467 7.4370 18.9206 19.7026 35.5670 1.2423 7.4451 18.5026 19.6767 35.5010 1.2389 7.5194 18.1071 19.7609 35.5750 1.2314 7.8164 17.3610 20.1477 36.0135 1.2117 8.4646 16.3194 20.9245 37.0487 1/6 1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2515 7.4678 19.1856 19.9024 35.6381 1.2500 7.4522 18.9853 19.9605 35.5876 1.2486 7.4543 18.7741 20.0324 35.6322 1.2449 7.4844 18.3232 20.2106 35.9074 1.2361 7.5236 17.5960 20.5565 36.4710 1/3 1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2493 7.4456 19.0281 19.8434 35.6584 1.2462 7.4410 18.6879 19.8803 35.6729 1.2433 7.4827 18.3509 19.9602 35.8295 1.2362 7.6569 17.6805 20.2011 36.4892 1.2192 7.9954 16.6833 20.6451 38.0541 1/4 1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2505 7.4546 19.1014 19.8874 35.6412 1.2482 7.4429 18.8220 19.9451 35.6329 1.2459 7.4634 18.5363 20.0273 35.7577 1.2403 7.5607 17.9475 20.2430 36.3053 1.2271 7.7329 17.0388 20.6499 37.5033 2/3 1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2437 7.4324 18.8465 19.5757 35.3603 1.2390 7.4394 18.3534 19.5252 35.2203 1.2374 7.5162 17.8904 19.6639 35.3165 1.2368 7.8341 17.0516 20.3314 35.9442 1.2281 8.5813 15.9697 21.8051 37.1759 1.0 1.2534 7.5082 19.3740 19.8607 35.8065 1.2369 7.4025 18.6425 19.4462 35.1855 1.2390 7.4023 17.9526 19.3903 35.0133 1.2562 7.4878 17.3542 19.5588 35.1910 1.3256 7.8486 16.3898 20.3437 36.2470 1.4859 8.6651 15.3499 22.0842 38.5576

34

Để có cái nhìn sâu sắc hơn về sự biến đổi của tần số riêng theo độ dày của

miếng vá áp điện và chỉ số phân bố (n) của vật liệu, chúng ta tính tỷ số tần số riêng

của dầm có miếng áp điện trên tần số riêng của dầm chủ không có miếng áp điện. Các

tỷ số này được gọi là tần số chuẩn hóa, được tính toán phụ thuộc vào độ dày của

miếng áp điện đối với các chỉ số n khác nhau và các vị trí dán miếng áp điện khác

nhau. Đồ thị của các tần số chuẩn hóa được cho trong Hình. 2.4 - 2.6 tương ứng với

các trường hợp điều kiện biên thông thường cho phép đưa ra các nhận xét sau:

Đầu tiên, ta quan sát thấy rằng các tần số chuẩn hóa tăng lên trong khi các tần

số riêng lại giảm khi chỉ số phân bố vật liệu n tăng. Điều này chứng tỏ tần số riêng

của dầm không có miếng áp điện giảm nhanh hơn so với tần số riêng của dầm có

miếng áp điện khi chỉ số phân bố vật liệu n tăng.

Tiếp theo, tần số chuẩn hóa của dầm được gắn một lớp áp điện thay đổi theo

cùng một dạng (parabol) đối với tất cả các điều kiện biên thông thường (SS / CC /

CF). Sự thay đổi tần số chuẩn hóa thứ hai của dầm SS và CC với miếng áp điện được

liên kết vào các đầu dầm cũng tương tự như trên.

Tần số chuẩn hóa đầu tiên của dầm CC và CF đơn điệu tăng theo độ dày miếng

áp điện được dán vào đầu ngàm. Cả hai tần số chuẩn hóa của dầm CC với miếng dán

áp điện được dán ở vị trí giữa và miếng áp điện được liên kết với đầu tự do của dầm

CF đều giảm đơn điệu khi độ dày lớn dần.

Cuối cùng, các tần số chuẩn hóa của dầm SS có miếng áp điện thay đổi không

đơn điệu, nhưng có thể nhận thấy ở đây rằng sự biến đổi của tần số chuẩn hóa đầu

tiên theo độ dày của miếng dán áp điện gắn với đầu dầm tương tự như sự biến đổi

của tần số chuẩn hóa thứ hai khi miếng áp điện được liên kết ở vị trí giữa dầm.

Tất cả các dự báo được đưa ra ở trên chứng minh thực tế rằng ảnh hưởng của

miếng áp điện lên các đặc tính động lực học của dầm FGM đi đôi với ảnh hưởng của

các đặc tính của vật liệu. Điều này cho thấy sự tương tác giữa tính đàn hồi điện của

vật liệu áp điện và vật liệu FGM.

35

Hình 2.4 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết tại các đầu dầm SS khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

36

Hình 2.4 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm SS với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

37

Hình 2.4 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm SS khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

38

Hình 2.5 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết tại đầu ngàm của dầm CC khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

39

Hình 2.5 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm CC với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

40

Hình 2.5 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của

miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm CC khi chỉ số gradient của vật

liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

41

Hình 2.6 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp

điện được liên kết với đầu ngàm của dầm công xôn CF khi chỉ số gradient của vật

liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

42

Hình 2.6 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp điện được liên kết ở đầu tự do của dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

43

Hình 2.6 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp

điện được liên kết ở giữa dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi

(n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

44

.

Hình 2.6 d. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp điện được liên kết với trên suốt chiều dài của dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10).

45

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Trong Chương này tác giả trình bày những kết quả chính sau đây:

1. Đã xây dựng mô hình dầm FGM có lớp áp điện, được gọi tắt là dầm FGM-áp điện,

là một mô hình dầm FGM thông minh. Sử dụng mô hình này, đã tìm được hàm

dạng dao động tổng quát của dầm FGM áp điện làm cơ sở để xây dựng mô hình

độ cứng động cho dầm FGM áp điện;

2. Đã xây dựng được mô hình độ cứng động cho phần tử dầm FGM áp điện và ứng

dụng để xây dựng mô hình dầm FGM có miếng vá áp điện, như một dầm bậc. Thiết

lập các phương trình cơ bản để giải bài toán dao động riêng của dầm FGM có

miếng vá áp điện;

3. Đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của miếng vá áp điện (vị trí, kích thước) cùng

với các tham số vật liệu đến tần số riêng của dầm FGM. Kết quả này là cơ sở để

sử dụng các cảm biến áp điện để nhận dạng dầm FGM bằng tần số dao động riêng;

46

CHƯƠNG 3.

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM BỊ NỨT CÓ LỚP ÁP ĐIỆN

Trong chương này tác giả nghiên cứu chủ yếu dầm FGM có vết nứt được gắn

một lớp áp điện có cùng chiều rộng và chiều dài với dầm chủ, gọi tắt là dầm áp điện

có vết nứt. Mô hình dầm FGM có lớp áp điện đã được xây dựng ở chương 2, mục

tiêu ở chương này là xây dựng mô hình dầm FGM áp điện có vết nứt, được mô hình

hóa bởi cặp lò xo dọc trục và lò xo xoắn. Việc ghép nối mô hình dầm có vết nứt với

lớp áp điện được thực hiện nhờ mô hình dầm kép với các điều kiện không bong tách

và không trượt tại mặt tiếp xúc. Sau khi xây dựng mô hình, tác giả nghiên cứu sự thay

đổi của tần số riêng phụ thuộc vào vị trí, độ sâu vết nứt, chiều dày lớp áp điện và các

tham số vật liệu được đại diện bằng chỉ số phân bố vật liệu n. Đặc biệt ở đây cũng

nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt, kích thước lớp vật liệu đến điện tích xuất hiện

trong lớp áp điện tương ứng với các dạng dao động riêng của cả dầm kép. Đại lượng

này được gọi là điện tích cảm biến dao động (Modal Piezoelectric Charge)[15] mà

thực chất là đáp ứng điện đầu ra của lớp áp điện (được xem như một cảm biến liên

tục) khi dầm dao động theo các dạng riêng. Việc phân tích sự thay đổi của điện tích

cảm biến dao động này là cơ sở để chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đạc điện tích trong

lớp áp điện được thực hiện ở chương sau. Trong chương này cũng nghiên cứu một

dầm đồng nhất có vết nứt, như một trường hợp riêng của dầm FGM có lớp áp điện.

3.1. Dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện

Phương trình dao động của dầm FGM có lớp áp điện đã được thiết lập ở chương

2, ở đây tác giả sẽ sử dụng các công thức đã trình bày ở chương 2 để xem xét trường

hợp dầm chủ FGM có một vết nứt. Vì vậy tác giả nhắc lại dưới đây mô hình vết nứt

trong dầm FGM đã được Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên xây dựng trong các

công bố [83, 43, 91].

3.1.1 Mô hình vết nứt trong dầm FGM có lớp áp điện

Giả sử rằng dầm FGM chủ có một vết nứt tại vị trí e tính từ đầu bên trái của

nó. Gần đây, một số tác giả như Aydin [81]; Banerjee và cộng sự [85] đã đề xuất mô

hình vết nứt bằng lò xo quay có độ cứng được tính toán từ độ sâu vết nứt. Tuy nhiên,

vì dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM thường đi đôi với nhau, nên

vết nứt cũng có thể thay đổi các đặc tính dao động dọc trục. Do đó, vết nứt được mô

47

hình hóa trong nghiên cứu này bằng một cặp lò xo tương đương có độ cứng 𝑇 đối với

lò xo thẳng và độ cứng 𝑅 đối với lò xo quay (Hình 3.1). Vì vậy, các điều kiện phải

thỏa mãn tại vết nứt là

𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝑁(𝑒)/𝑇 ;   𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0);

𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝑀(𝑒)/𝑅 ;

′ (𝑒 − 0) ;

′ (𝑒 + 0) = 𝛩𝑥

(3.1) 𝑈𝑥

′ (𝑥) lần lượt là lực dọc trục và mômen

′ (𝑒 + 0) = 𝑈𝑥 ′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥 trong đó 𝑁(𝑥) = 𝐴11𝑈𝑥

′ (𝑒 − 0) ; 𝛩𝑥 ′(𝑒 − 0) + 𝑀(𝑒)/𝑅, ′ (𝑥); 𝑀(𝑥) = 𝐴22𝛩𝑥

𝑊𝑥

R

a

h

T

uốn tại mặt cắt x

Hình 3. 1. Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình của hai lò xo tương đương

Thay các biểu thức của lực dọc trục và mômen uốn vào, phương trình (3.1) có

′ (𝑒 − 0) ;

′ (𝑒 + 0) = 𝑈𝑥

′ (𝑒);

′(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥

thể được viết lại thành [82]

′ (𝑒 − 0) ;

′ (𝑒) ; 𝑈𝑥 ′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥 ′ (𝑒) ; 𝛩𝑥

′ (𝑒 + 0) = 𝛩𝑥

(3.2) 𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝛾1𝑈𝑥  𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 𝑊𝑥 𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥

𝛾1 = 𝐴11/𝑇; 𝛾2 = 𝐴22/𝑅.

Độ lớn vết nứt 𝛾1, 𝛾2 là hàm của các tham số vật liệu như là môđun đàn hồi và

chúng phải là các tham số của dầm đồng nhất khi 𝐸𝑡 = 𝐸𝑏 = 𝐸0. Mặt khác, sử dụng

biểu thức (2.5), độ lớn vết nứt có thể được viết lại thành

𝛾1 = 𝐴11/𝑇 = 𝛾𝑎𝜑1(𝑟𝑒, 𝑛) ; 𝛾2 = 𝐴22/𝑅 = 𝛾𝑏𝜑3(𝑟𝑒, 𝑛), (3.3)

trong đó 𝛾𝑎 = 𝐸𝑏𝐴/𝑇; 𝛾𝑏 = 𝐸𝑏𝐼𝑏/𝑅 và các hàm 𝜑1, 𝜑3 được định nghĩa trong các

biểu thức (2.5) của chương 2. Trong trường hợp dầm đồng nhất khi 𝑟𝑒 = 1 , độ lớn

vết nứt sẽ là

𝛾1 = 𝛾𝑎𝜑1(1,0) = 𝛾𝑎 = 𝛾10;,𝛾2 = 𝛾𝑏𝜑3(1,0) = 𝛾𝑏/12 = 𝛾20,

chúng được tính toán từ độ sâu vết nứt a đối với dao động dọc trục và dao động uốn

như [86], [82]:

2)ℎ𝑓1(𝑧); 2)ℎ𝑓2(𝑧), 𝑧 = 𝑎/ℎ;

(3.4) 𝛾10 = 𝐸0𝐴/𝑇 = 2𝜋(1 − 𝜈0 𝛾20 = 𝐸0𝐼0/𝑅 = 6𝜋(1 − 𝜈0

48

𝑓1(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 0.17248𝑧 + 5.92134𝑧2 − 10.7054𝑧3 + 31.5685𝑧4

− 67.47𝑧5 + 139.123𝑧6 − 146.682𝑧7 + 92.3552𝑧8);

𝑓2(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 1.04533𝑧 + 4.5948𝑧2 − 9.9736𝑧3 + 20.2948𝑧4

− 33.0351𝑧5 + 47.1063𝑧6 − 40.7556𝑧7 + 19.6𝑧8).

Do đó, để phân tích dao động của dầm FGM bị nứt, độ lớn vết nứt được đề xuất ở

đây được tính bằng

𝛾1 = 𝛾10𝜑1(𝑟𝑒, 𝑛) ; 𝛾2 = 12𝛾20𝜑2(𝑟3, 𝑛). (3.5)

Độ lớn vết nứt 𝛾1, 𝛾2 được tính toán như vậy thực sự phụ thuộc vào cả thông số vật

liệu và hình học của dầm FGM và chúng trở nên giống hệt như của dầm đồng nhất

khi 𝐸𝑡 = 𝐸𝑏 = 𝐸0 hoặc 𝑟𝑒 = 1.

3.1.2 Nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện

Trong chương 2 tác giả đã xây dựng được phương trình cơ bản của dầm FGM

có lớp áp điện (gọi tắt là dầm FGM áp điện) ở dạng phương trình (2.17) và tìm được

nghiệm tổng quát của nó ở dạng (2.20). Ở đây tác giả sẽ tìm nghiệm tổng quát của

dầm FGM áp điện có vết nứt đã được công bố trong [82].

Trước tiên, ta tìm một nghiệm riêng 𝒁𝑐(𝑥, 𝜔) của phương trình (2.17) thỏa

mãn các điều kiện

′ (𝑒),0)𝑇; {𝒁𝒄

′ (𝑒), 𝛾𝑏𝛩0

(3.6) {𝒁𝑐(0)} = (𝛾𝑎𝑈0

′ (0)} = (0,0, 𝛾𝑏𝛩0

′ (𝑒))𝑇.

Áp biểu thức (2.20) vào điều kiện (3.6) ta sẽ tìm được véc tơ C và sau đó thay véc tơ

(3.7)

′ (𝑒, 𝜔)}

{𝒁𝑐(𝑥, 𝜔)} = [𝑮𝑐(𝑥, 𝜔)]{𝒁0

C tìm được vào biểu thức (2.20) ta được nghiệm riêng cần tìm bằng

trong đó 𝑮(𝑥, 𝜔) là ma trận cỡ 3×3 có dạng

3 𝑖=1 3 𝑖=1

3 𝑖=1 3 𝑖=1

] (3.8) [𝑮𝑐(𝑥, 𝜔)] = [

3 𝑖=1

3 𝑖=1

0 0 0 𝛾𝑎 ∑ 𝛼𝑖𝛿𝑖1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑖 𝑥 𝛾𝑎 ∑ 𝛿𝑖1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑖 𝑥 𝛾𝑎 ∑ 𝛽𝑖𝛿𝑖1 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑘𝑖 𝑥 𝛾𝑏 ∑ 𝛼𝑖(𝛿𝑖2 + 𝛿𝑖3) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑖 𝑥 𝛾𝑏 ∑ (𝛿𝑖2 + 𝛿𝑖3) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑖 𝑥 𝛾𝑏 ∑ 𝛽𝑖(𝛿𝑖2 + 𝛿𝑖3) 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑘2 𝑥

và

𝛿11 = (𝑘3𝛽3 − 𝑘2𝛽2)/∆; 𝛿12 = (𝛼3𝑘2𝛽2 − 𝛼2𝑘3𝛽3)/∆; 𝛿13 = (𝛼2 − 𝛼3)/∆; 𝛿21 = (𝑘1𝛽1 − 𝑘3𝛽3)/∆; 𝛿22 = (𝛼1𝑘3𝛽3 − 𝛼3𝑘1𝛽1)/∆; 𝛿23 = (𝛼3 − 𝛼1)/∆; 𝛿31 = (𝑘2𝛽2 − 𝑘1𝛽1)/∆; 𝛿32 = (𝛼2𝑘1𝛽1 − 𝛼1𝑘2𝛽2)/∆; 𝛿33 = (𝛼1 − 𝛼2)/∆;

∆= 𝑘1𝛽1(𝛼2 − 𝛼3) + 𝑘2𝛽2(𝛼3 − 𝛼1) + 𝑘3𝛽3(𝛼1 − 𝛼2).

49

Do đó, có thể dễ dàng xác định nghiệm của phương trình (2.17) thỏa mãn các điều

kiện (3.2) có thể được biểu diễn dưới dạng

{𝒁(𝑥, 𝜔)} = { {𝒁0(𝑥, 𝜔)}: khi 𝑥 < 𝑒 {𝒁0(𝑥, 𝜔)} + {𝒁𝑐(𝑥 − 𝑒, 𝜔)}: khi 𝑒 ≤ 𝑥

′ (𝑒, 𝜔)} = [𝜱(𝑥, 𝜔)]{𝑪}, (3.9)

Nghiệm này được viết lại dưới dạng

′ (𝑥, 𝜔)]; (3.10)

[𝜱(𝑥, 𝜔)] = [𝑮0(𝑥, 𝜔) + 𝑲(𝑥 − 𝑒)𝑮0

{𝒁(𝑥, 𝜔)} = {𝒁0(𝑥, 𝜔)} + [𝑲(𝑥 − 𝑒)] ⋅ {𝒁0 với các ma trận

′ (𝑥)] : 𝑥 > 0; [𝑮𝑐 [𝟎]: 𝑥 ≤ 0.

[𝑲(𝑥)] = { [𝑲′(𝑥)] = { [𝑮𝑐(𝑥)] : 𝑥 > 0; [𝟎]: 𝑥 ≤ 0;

Bằng cách tương tự, có thể thu được nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm

có nhiều vết nứt ở dạng (3.9) với

𝑛 𝑗=1

; [𝜱(𝑥, 𝜔)] = [𝑮0(𝑥, 𝜔)] + ∑ [𝑲(𝑥 − 𝑒𝑗)] ⋅ [𝑴𝑗]

′ (𝑒𝑗, 𝜔)] + ∑ [𝑮′(𝑒𝑗 − 𝑒𝑘)] ⋅ [𝑴𝑘]

𝑗−1 𝑘=1

. [𝑴𝑗] = [𝑮0

Do đó, biểu thức (3.9) là nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm FGM áp điện

có vết nứt, sẽ được sử dụng để phân tích dao động tự do của dầm trong các trường

hợp điều kiện biên khác nhau . Cụ thể, đối với dầm tựa đơn với các điều kiện biên

∗ 𝜕𝑥Θ(x), ta được

𝑈(0) = 𝑈(𝐿) = 0; 𝑊(0) = 𝑊(𝐿) = 0; 𝑀(0) = 𝑀(𝐿) = 0

∗ 𝜕𝑥𝑈(𝑥) − 𝐵22

với 𝑀(𝑥) = 𝐵12

[𝑩(𝜔)]{𝐶} = 0, (3.11)

𝛼3 𝛽3 𝑚3

;

[𝑩(𝜔)] = [𝑩𝑆𝑆(𝜔)] =

[

𝛼1 𝛽1 𝑚1 𝜙11(𝐿) 𝜙31(𝐿) 𝑀1(𝐿)

𝛼2 𝛽2 𝑚2 𝜙12(𝐿) 𝜙32(𝐿) 𝑀2(𝐿)

𝛼3 −𝛽3 −𝑚3 𝜙16(𝐿) 𝜙36(𝐿) 𝑀6(𝐿) ]

𝛼2 −𝛽2 −𝑚2 𝜙15(𝐿) 𝜙35(𝐿) 𝑀5(𝐿) ′ (𝐿), 𝑗 = 1,2, … ,6;

𝛼1 −𝛽1 −𝑚1 𝜙14(𝐿) 𝜙34(𝐿) 𝑀4(𝐿) ′ (𝐿) − 𝐵22

𝑚𝑗 = (𝐵12

∗ 𝛼𝑗 − 𝐵22

∗ )𝑘𝑗 , 𝑗 = 1,2,3; 𝑀𝑗(𝐿) = 𝐵12

∗ 𝜙2𝑗

𝜙13(𝐿) 𝜙33(𝐿) 𝑀3(𝐿) ∗ 𝜙1𝑗

′ (𝑥), 𝑖 = 1,2,3; 𝑗 = 1,2, … . ,6 là các phần tử của ma trận [𝜱(𝑥, 𝜔)] và

trong đó

𝜙𝑖𝑗(𝑥), 𝜙𝑖𝑗 [𝜱′(𝑥, 𝜔)] được xác định theo công thức (3.10). Do đó, phương trình tần số của dầm

FGM áp điện có vết nứt là

det[𝑩(𝜔)] = 0, (3.12)

Các nghiệm dương của phương trình làm tăng tần số riêng mong muốn 𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, ….

của dầm FGM đơn giản có lớp áp điện và các vết nứt. Với mọi tần số tự nhiên 𝜔𝑘,

50

một nghiệm chuẩn hóa của phương trình (3.11) có thể dễ dàng tìm thấy dưới dạng

(𝜗1, … , 𝜗6) cho phép người ta tính toán dạng dao động tương ứng trong biểu thức 𝑈𝑘(𝑥) = 𝐶𝑘(𝛼1𝜗1𝑒𝑘1𝑥 + 𝛼2𝜗2𝑒𝑘2𝑥 + 𝛼3𝜗3𝑒𝑘3𝑥 + 𝛼1𝜗4𝑒−𝑘1𝑥 + 𝛼2𝜗5𝑒−𝑘2𝑥

+ 𝛼3𝜗6𝑒−𝑘3𝑥);

𝛩𝑘(𝑥) = 𝐶𝑘(𝜗1𝑒𝑘1𝑥 + 𝜗2𝑒𝑘2𝑥 + 𝜗3𝑒𝑘3𝑥 + 𝜗4𝑒−𝑘1𝑥 + 𝜗5𝑒−𝑘2𝑥 + 𝜗6𝑒−𝑘3𝑥); (3.13) 𝑊𝑘(𝑥) = 𝐶𝑘(𝛽1𝜗1𝑒𝑘1𝑥 + 𝛽2𝜗2𝑒𝑘2𝑥 + 𝛽3𝜗3𝑒𝑘3𝑥 − 𝛽1𝜗4𝑒−𝑘1𝑥 − 𝛽2𝜗5𝑒−𝑘2𝑥

− 𝛽3𝜗6𝑒−𝑘3𝑥),

trong đó hằng số tùy ý 𝐶𝑘 có thể nhận được từ việc chuẩn hóa dạng dao động đã

chọn, ví dụ:

|𝑊𝑘(𝑥)| = 1. max 𝑥

Bằng cách sử dụng dạng dao động riêng (mode shape) này, có thể tính toán

điện tích cảm biến dao động (modal piezoelectric charge) (MPC) được tạo ra trong

′ (𝑥)/2]𝑑𝑥

lớp áp điện như sau

𝑝 ) ∫ [𝑈𝑘

′ (𝑥) − ℎΘ𝑘

𝐿 0

= (3.14) 𝑄𝑘 = (𝑏ℎ13/𝛽33

′ (𝑥)/2]𝑑𝑥

′ (𝑥)/2]𝑑𝑥 + ∫ [𝑈𝑘

′ (𝑥) − ℎΘ𝑘

𝐿 𝑒

𝑒 0

′ (𝑒)]},

𝑝 ) [∫ [𝑈𝑘 ′ (𝑥) − ℎΘ𝑘 𝑝 ){[𝑈𝑘(𝐿) − 𝑈𝑘(0) − 𝛾1𝑈𝑥

′ (𝑒)] − (ℎ/2)[Θ𝑘(𝐿) − Θ𝑘(0) − 𝛾2Θ𝑥

], = (𝑏ℎ13/𝛽33

= (𝑏ℎ13/𝛽33 trong đó 𝛾1, 𝛾2 là độ lớn vết nứt được xác định ở trên trong phương trình (3.4). Đầu

ra của điện tích cảm biến dao động sẽ được khảo sát bằng số cùng với các tần số riêng

và dạng dao động riêng của dầm FGM có lớp áp điện phụ thuộc vào vị trí và độ sâu

vết nứt. Trước khi thực hiện việc phân tích số dầm FGM áp điện có vết nứt (Mục

3.3), ta xem xét trường hợp dầm đồng nhất áp điện có vết nứt như một trường hợp

riêng của dầm FGM.

3.2. Dao động của dầm đồng nhất bị nứt có lớp áp điện

3.2.1 Cơ sở lý thuyết dao động của dầm áp điện có vết nứt

Xét dầm đàn hồi đồng nhất có chiều dài L, diện tích tiết diện ngang 𝐴𝑏 = 𝑏 ×

ℎ𝑏, mô đun đàn hồi và khối lượng riêng E, ρ, được dán một lớp áp điện chiều dầy hp

có cùng chiều rộng với dầm (Hình 3.2). Sử dụng lý thuyết dầm cổ điển, phương trình

cơ bản cho trạng thái ứng suất, biến dạng của dầm chủ có dạng

51

′ (𝑥, 𝑡) ;  𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑤0(𝑥, 𝑡); ′′,

(3.15) 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑢0(𝑥, 𝑡) − 𝑧𝑤0 ′ − 𝑧𝑤0 𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥; 𝜀𝑥 = 𝑢0

trong đó 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑧, 𝑡) là chuyển vị dọc trục và độ võng (chuyển vị uốn) của

điểm bất kỳ trong mặt cắt tại x; 𝑢0(𝑥, 𝑡), 𝑤0(𝑥, 𝑡) – chuyển vị của dầm trên mặt trung

hòa trùng với mặt giữa (z = 0) và 𝜀𝑥, 𝜎𝑥 là ứng xuất và biến dạng tại mặt cắt x.

Sử dụng phương trình (3.15) năng lượng biến dạng của dầm chủ có thể tính

′′2}𝑑𝑥,

bằng

𝛱𝑏 = (1/2) ∭(𝜎𝑥𝜀𝑥)𝑑𝑉𝑏 = (1/2) ∭[𝐸𝜀𝑥

2]𝑑𝑉𝑏=(1/2) ∫ {𝐸𝐴𝑏𝑢0

′2 + 𝐼𝑏𝑤0

𝐿 0

(3.16)

3/12.

trong đó dấu phảy trên là đạo hàm theo biến x và mô men quán tính mặt cắt 𝐼𝑏 =

Wb

z

𝑧ҧ

Ub

(hb+hp)/2

Wp

x

Up

𝑏ℎ𝑏

2}𝑑𝑥

Hình 3. 2. Dầm có lớp áp điện

2 + 𝜌𝐼𝑏𝑤̇ 0

′2 + 𝜌𝐴𝑏𝑤̇ 0

𝐿 0

2

. (3.17) ) ∭ 𝜌(𝑢̇ 2 + 𝑤̇ 2) 𝑑𝑉 = (1 Động năng của dầm chủ bằng 𝑇𝑏 = (1 ) ∫ {𝜌𝐴𝑏𝑢̇ 0 2

Xét lớp áp điện như dầm đàn hồi, khi đó ta cũng có các phương trình cơ bản

′ (𝑥, 𝑡), 𝑤𝑝(𝑥, 𝑧ҧ, 𝑡) = 𝑤𝑝0(𝑥, 𝑡);

của dầm làm từ vật liệu áp điện sau đây

𝑢𝑝(𝑥, 𝑧ҧ, 𝑡) = 𝑢𝑝0(𝑥, 𝑡) − 𝑧ҧ𝑤𝑝0

′ − 𝑧ҧ𝑤𝑝0

′′ (𝑥, 𝑡); 𝑧ҧ = 𝑧 + (ℎ𝑏 + ℎ𝑝)/2; (3.18) 𝑝 𝐷, (3.19)

𝑝 𝜀𝑝𝑥 − ℎ13𝐷; ∈= −ℎ13𝜀𝑝𝑥 + 𝛽33 𝑝 lần lượt là mô đun đàn hồi, các hằng số áp điện và điện môi

𝜀𝑝𝑥 = 𝑢𝑝0

𝜎𝑝𝑥 = 𝐶11 𝑝 , ℎ13, 𝛽33

trong đó 𝐶11 của vật liệu áp điện; ∈ và 𝐷 là cường độ điện trường và thông lượng (hay còn gọi là

chuyển vị điện - electric displacement) trong lớp áp điện. Coi lớp áp điện luôn gắn

chặt với dầm chủ, điều kiện liên tục của chuyển vị có dạng

ℎ𝑏 2

ℎ𝑝 2

𝑢 (𝑥, − , 𝑡) = 𝑢𝑝 (𝑥, , 𝑡) , 𝑤(𝑥, −ℎ𝑏/2, 𝑡) = 𝑤𝑝(𝑥, ℎ𝑝/2, 𝑡). (3.20)

′ ℎ, ℎ = (ℎ𝑏 + ℎ𝑝)/2, 𝑤𝑝0 = 𝑤0 (3.21)

Khi đó ta có

𝑢𝑝0 = 𝑢0 + 𝑤0

52

và phương trình (3.18) có thể viết lại thành

′′. (3.22)

′ (𝑥, 𝑡), 𝜀𝑝𝑥 = 𝑢0

′ − (𝑧ҧ − ℎ)𝑤0

𝑢𝑝(𝑥, 𝑧ҧ, 𝑡) = 𝑢0(𝑥, 𝑡) − (𝑧ҧ − ℎ)𝑤0

Sử dụng các mối liên hệ đã nhận được ở trên ta có thể tính năng lượng biến dạng và

𝑝 𝜀𝑝𝑥

𝑝 𝐷2]𝑑𝑉𝑝

động năng của lớp áp điện bằng

2 − 2ℎ13𝐷𝜀𝑝𝑥 + 𝛽33

𝐿

′′2}𝑑𝑥 +

𝑝 𝐴𝑝𝑢0

𝑝 𝐴𝑝ℎ𝑢0

′ 𝑤0

𝑝 [𝐼𝑝 + 𝐴𝑝ℎ2]𝑤0

𝛱𝑝 = (1/2) ∭(𝜎𝑝𝑥𝜀𝑝𝑥 +∈ 𝐷)𝑑𝑉𝑝 = (1/2) ∭[𝐶11

′2 + 2𝐶11

′′ + 𝐶11

0

= (1/2) ∫{𝐶11

𝑝 𝐴𝑝𝐷2}𝑑𝑥

; (3.23)

+(1/2) ∫ {−2ℎ13𝐴𝑝𝐷𝑢0

′ − 2ℎ13𝐴𝑝𝐷ℎ𝑤0

′′ + 𝛽33

2) 𝑑𝑉 = (3.24)

𝑇𝑝 = (1/2) ∭ 𝜌𝑝(𝑢̇ 𝑝

𝐿 0 2 + 𝑤̇ 𝑝

;

2}𝑑𝑥

2 + 𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ𝑢̇ 0𝑤̇ 0

′ + 𝜌𝑝[𝐼𝑝 + 𝐴𝑝ℎ2]𝑤̇ 0

′2 + 𝜌𝑝𝐴𝑝𝑤̇ 0

𝐿 = (1/2) ∫ {𝜌𝑝𝐴𝑝𝑢̇ 0 0

3/12.

𝐴𝑝 = 𝑏ℎ𝑝, 𝐼𝑝 = 𝑏ℎ𝑝

𝛱 = 𝛱𝑏 + 𝛱𝑝 =

𝐿

′′2

Như vậy, năng lượng biến dạng và động năng tổng cộng của dầm có lớp áp điện bằng

′2 + 𝐸𝐼𝑏𝑤0

𝑝 [𝐼𝑝 + 𝐴𝑝ℎ2/4]𝑤0

′′ + 𝐶11

𝑝 𝐴𝑝𝐷2

𝑝 𝐴𝑝𝑢0 ′′2 + 𝐶11 −2ℎ13𝐴𝑝𝐷𝑢0

𝑝 𝐴𝑝ℎ𝑢0 ′2 + 2𝐶11 ′ − ℎ13𝐴𝑝𝐷ℎ𝑤0

′ 𝑤0 ′′ + 𝛽33

0

= 1

𝑝 𝐴𝑝𝐷2}𝑑𝑥;

′2 + 2𝐴12𝑢0

′ 𝑤0

′′ + 𝐴22𝑤0

′′2 − 2ℎ13𝐴𝑝(𝑢0

′ + ℎ𝑤0

′′)𝐷 + 𝛽33

2 ∫ {𝐴11𝑢0

𝐿 0

𝐸𝐴𝑏𝑢0 ∫ { } 𝑑𝑥 = 1 2

2}𝑑𝑥

(3.25)

,

(3.26)

𝑇 = 𝑇𝑝 + 𝑇𝑝 = (1/2) ∫ {𝐼11𝑢̇ 0

2 + 2𝐼12𝑢̇ 0𝑤̇ 0

′ + 𝐼22𝑤̇ 0

′2 + 𝐼11𝑤̇ 0

𝐿 0

𝑝 (𝐼𝑝 + 𝐴𝑝ℎ2); (3.27)

trong đó ký hiệu

𝑝 𝐴𝑝; 𝐴12 = 𝐶11

𝑝 𝐴𝑝ℎ; 𝐴22 = 𝐸𝐼𝑏 + 𝐶11

𝐴11 = 𝐸𝐴𝑏 + 𝐶11

𝐼11 = 𝜌𝐴𝑏+𝜌𝑝𝐴𝑝; 𝐼12 = 𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ; 𝐼22 = 𝜌𝐼𝑏 + 𝜌𝑝𝐼𝑝+𝜌𝑝𝐴𝑝ℎ2.

Áp dụng nguyên lý Hamilton

,

(3.28)

𝑡2 𝑡1

∫ 𝛿(𝑇 − 𝛱)𝑑𝑡 = 0

cùng với các biểu thức (3.25) - (3.26), ta có thể nhận được phương trình chuyển động

′′′) + ℎ13𝐴𝑝𝐷′ = 0;

của hệ dầm kép ở dạng

′′) + (𝐼12𝑤̈ 0

′ − 𝐴12𝑤0

′′ − ℎ13𝐴𝑝ℎ𝐷′′/2 = 0; (3.29)

(𝐼11𝑢̈ 0 − 𝐴11𝑢0

𝐼11𝑤̈ 0 + 𝐴22𝑤0

′′′′ + 𝐴12𝑢0

𝑝 𝐴𝑝𝐷 = 0.

′′′ − 𝐼12𝑢̈ 0 ′ − ℎ𝑤0

′ − 𝐼22𝑤̈ 0 ′′/2) − 𝛽33

ℎ13𝐴𝑝(𝑢0

Dễ dàng nhận thấy từ phương trình cuối trong (3.29) ta có thể tính được

53

′ − ℎ𝑤0

𝑝 ′′)/𝛽33

′′′) = 0;

𝐷 = ℎ13(𝑢0 và sau đó thay vào hai phương trình còn lại trong (3.29) ta nhận được

′′) + (𝐼12𝑤̈ 0

′ − 𝐵12𝑤0

(𝐼11𝑢̈ 0 − 𝐵11𝑢0

′′ = 0,

′′′′ + 𝐵12𝑢0

′′′ − 𝐼12𝑢̈ 0

′ − 𝐼22𝑤̈ 0

(3.30) 𝐼11𝑤̈ 0 + 𝐵22𝑤0

trong đó

2 /𝛽33 𝐵22 = 𝐴22 − 𝐴𝑝ℎ2ℎ13

𝑝 = 𝐸𝐴𝑏 + 𝐸𝑝𝐴𝑝, 𝐵12 = 𝐴12 − 𝐴𝑝ℎℎ13 2 /𝛽33

2 /𝛽33 𝑝 𝐼𝑝 + 𝐸𝑝𝐴𝑝ℎ2; 𝐸𝑝 = 𝐶11

𝑝 = 𝐸𝐼𝑏 + 𝐶11

𝑝 = 𝐸𝑝𝐴𝑝ℎ, 𝑝 . 𝑝 − ℎ13 2 /𝛽33

𝐵11 = 𝐴11 − 𝐴𝑝ℎ13

Đây là phương trình dao động tự do của dầm có lớp áp điện trong miền thời gian. Sau

khi giải phương trình (3.30), điện tích (charge) tích lũy được trong lớp áp điện tính

được bằng

′′/2)𝑑𝑥

𝑝 ) ∫ (𝑢0

′ − ℎ𝑤0

𝐿 𝑄 = 𝑏 ∫ 𝐷𝑑𝑥 0

𝐿 0

. (3.31) = (𝑏ℎ13/𝛽33

Sử dụng phép biến đổi Fourier

∞ −∞

, {𝑈(𝑥, 𝜔), 𝑊(𝑥, 𝜔)} = ∫ {𝑢0(𝑥, 𝑡), 𝑤0(𝑥, 𝑡)}𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

phương trình (3.30) trở thành

(𝜔2𝐼11𝑈 + 𝐵11𝑈′′) + (𝜔2𝐼12𝑊′ + 𝐵12𝑊′′′) = 0 𝐵22𝑊 ′′′′ + 𝐵12𝑈′′′ + 𝜔2𝐼12𝑈′ + 𝜔2𝐼22𝑊′′−𝜔2𝐼11𝑊 = 0. Viết lại các phương trình cuối ở dạng ma trận, ta được phương trình dao động trong

[𝑨𝟎]{𝑑4𝒛/𝑑𝑥4} + [𝑨𝟏]{𝑑3𝒛/𝑑𝑥3} + [𝑨𝟐]{𝑑2𝒛/𝑑𝑥2} + [𝑨𝟑]{𝑑𝒛/𝑑𝑥} + [𝑨𝟒]{𝒛} = 0,

(3.32)

miền tần số

trong đó ký hiệu {𝒛} = {𝑈(𝑥, 𝜔), 𝑊(𝑥, 𝜔)}𝑇 và

0 ] ; [𝑨𝟎] = [ ] ; [𝑨𝟏] = [ ] ; [𝑨𝟐] = [ 𝐵12 0 0 0 0 𝐵22 0 𝐵12

]. [𝑨𝟑] = [ ] ; [𝑨𝟒] = [ 𝜔2𝐼12 0 𝜔2𝐼11 0 0 𝜔2𝐼12 𝐵11 0 𝜔2𝐼22 0 −𝜔2𝐼11

Bây giờ, ta giả thiết là trong dầm chủ có một vết nứt ngang luôn mở tại vị trí e và có

độ sâu a. Khi đó điều kiện tương thích tại vết nứt có dạng

𝑈(𝑒 + 0, 𝜔) − 𝑈(𝑒 − 0, 𝜔) = 𝛾𝑎𝑈′(𝑒, 𝜔); 𝑈′(𝑒 + 0, 𝜔) = 𝑈′(𝑒 − 0, 𝜔) = 𝑈′(𝑒, 𝜔);

𝑊(𝑒 + 0, 𝜔) = 𝑊(𝑒 − 0, 𝜔); 𝑊 ′(𝑒 + 0, 𝜔) − 𝑊′(𝑒 − 0, 𝜔) = 𝛾𝑏𝑊′′(𝑒, 𝜔); (3.33)

54

𝑊′′(𝑒 + 0, 𝜔) = 𝑊′′(𝑒 − 0, 𝜔) = 𝑊′′(𝑒, 𝜔);

𝑊′′′(𝑒 + 0, 𝜔) = 𝑊′′′(𝑒 − 0, 𝜔) = 𝑊′′′(𝑒, 𝜔),

với các tham số 𝛾𝑎, 𝛾𝑏 gọi là độ lớn vết nứt và được tính từ độ sâu vết nứt bằng các

công thức sau

2)ℎ𝑓𝑏(𝑧), 𝑧 = 𝑎/ℎ;

2)ℎ𝑓𝑎(𝑧); 𝛾𝑏 = 6𝜋(1 − 𝜈0

(3.34) 𝛾𝑎 = 2𝜋(1 − 𝜈0

𝑓𝑎(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 0.17248𝑧 + 5.92134𝑧2 − 10.7054𝑧3 + 31.5685𝑧4 − 67.47𝑧5 + 139.123𝑧6 − 146.682𝑧7 + 92.3552𝑧8);

𝑓𝑏(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 1.04533𝑧 + 4.5948𝑧2 − 9.9736𝑧3 + 20.2948𝑧4 − 33.0351𝑧5 + 47.1063𝑧6 − 40.7556𝑧7 + 19.6𝑧8).

Tìm nghiệm phương trình (3.32) ở dạng

(3.35)

{𝒛𝟎} = {𝑈0, 𝑊0}𝑇𝑒 𝜆𝑥, khi đó ta nhận được

[𝜆4𝑨𝟎 + 𝜆3𝑨𝟏 + 𝜆2𝑨𝟐 + 𝜆𝑨𝟑 + 𝑨𝟒]{𝑈0, 𝑊0}𝑇 = 0. (3.36)

Để tồn tại nghiệm khác 0 của phương trình (3.36) điều kiện cần thỏa mãn là

det[𝜆4𝑨𝟎 + 𝜆3𝑨𝟏 + 𝜆2𝑨𝟐 + 𝜆𝑨𝟑 + 𝑨𝟒] = 0,

đây là phương trình đặc trưng để tìm các số sóng λ phụ thuộc vào tần số dao động,

𝜆 = 𝜆(𝜔) [90]. Khai triển định thức trên ta nhận được phương trình đại số

𝑎𝜆6 + 𝑏𝜆4 + 𝑐𝜆2 + 𝑑 = 0 (3.37)

với

𝑎 = 𝐵11𝐵22 − 𝐵12

2 ; 𝑏 = 𝜔2(𝐵11𝐼22 + 𝐵22𝐼11 − 2𝐵12𝐼12); 2 . 2 ) − 𝜔2𝐵11𝐼11; 𝑑 = −𝜔4𝐼11 Dễ dàng nhận thấy (3.37) là phương trình cấp ba đối với 𝜂 = 𝜆2

𝑐 = 𝜔4(𝐼11𝐼22 − 𝐼12

𝑎𝜂3 + 𝑏𝜂2 + 𝑐𝜂 + 𝑑 = 0,

cho phép ta dễ dàng tính được ba nghiệm 𝜂1, 𝜂2, 𝜂3, và do đó 6 nghiệm của phương

trình (3.37) bằng

𝜆1,4 = ±𝑘1; 𝜆2,5 = ±𝑘2; 𝜆3,6 = ±𝑘3; 𝑘𝑗 = √𝜂𝑗, 𝑗 = 1,2,3.

{

} =

𝑈0(𝑥, 𝜔) 𝑊0(𝑥, 𝜔)

{

} (3.38)

𝛼1𝐶1𝑒𝑘1𝑥 + 𝛼2𝐶2𝑒𝑘2𝑥 + 𝛼3𝐶3𝑒𝑘3𝑥 − 𝛼1𝐶4𝑒−𝑘1𝑥 − 𝛼2𝐶5𝑒−𝑘2𝑥 − 𝛼3𝐶6𝑒−𝑘3𝑥 𝐶1𝑒𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒𝑘2𝑥 + 𝐶3𝑒𝑘3𝑥 + 𝐶4𝑒−𝑘1𝑥 + 𝐶5𝑒−𝑘2𝑥 + 𝐶6𝑒−𝑘3𝑥

Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (3.36) có dạng

55

2𝐵11); 𝑗 = 1,2,3.

trong đó {𝑪} = {𝐶1, . . . , 𝐶6}𝑇 là véc tơ hằng số và 𝛼𝑗 = −𝑘𝑗(𝜔2𝐼12 + 𝑘𝑗

2𝐵12)/(𝜔2𝐼11 + 𝑘𝑗

Bây giờ ta tìm một nghiệm của phương trình (3.36)

𝒛𝟏(𝑥, 𝜔) = {𝑈1(𝑥, 𝜔), 𝑊1(𝑥, 𝜔)}𝑇,

′(0, 𝜔) = 0; 𝑊1(0, 𝜔) = 0;

′′′(0) = 0. (3.39)

𝑊1

′′(0) = 𝑊1

0; 𝑈1 0; 𝑊1

𝑈1(0, 𝜔) = 𝑍𝑎 ′(0, 𝜔) = 𝑍𝑏

thỏa mãn điều kiện

𝑈1(𝑥, 𝜔) = 𝑔𝑢𝑎(𝑥, 𝜔)𝑍𝑎

0, (3.40)

𝑊1(𝑥, 𝜔) = 𝑔𝑤𝑎(𝑥, 𝜔)𝑍𝑎

0; 0 + 𝑔𝑢𝑏(𝑥, 𝜔)𝑍𝑏 0 + 𝑔𝑤𝑏(𝑥, 𝜔)𝑍𝑏

Thay (3.38) vào (3.39) ta được

2)/∆;

trong đó

3)/∆;

𝛿1𝑎 = 𝑘2𝑘3(𝑘3

2 − 𝑘1 3 − 𝛼1𝑘2 2).

𝛿1𝑏 = (𝛼3𝑘2

2)/∆; 𝛿2𝑎 = 𝑘1𝑘3(𝑘1 3)/∆; 𝛿2𝑏 = (𝛼1𝑘3 2 − 𝑘2

2 − 𝑘2 3 − 𝛼2𝑘3 ∆= 𝛼1𝑘2𝑘3(𝑘3

2 − 𝑘3 3 − 𝛼3𝑘1 2 − 𝑘3

2) + 𝛼2𝑘1𝑘3(𝑘1

2 − 𝑘1

𝑔𝑢𝑎(𝑥, 𝜔) = 𝛼1𝛿1𝑎 cos 𝑘1𝑥 + 𝛼2𝛿2𝑎 cos 𝑘2𝑥 + 𝛼3𝛿3𝑎 cos 𝑘3𝑥; 𝑔𝑢𝑏(𝑥, 𝜔) = 𝛼1𝛿1𝑏 cos 𝑘1𝑥 + 𝛼2𝛿2𝑏 cos 𝑘2𝑥 + 𝛼3𝛿3𝑏 cos 𝑘3𝑥; 𝑔𝑤𝑎(𝑥, 𝜔) = 𝛿1𝑎 sin 𝑘1𝑥 + 𝛿2𝑎 sin 𝑘2𝑥 + 𝛿3𝑎 sin 𝑘3𝑥; 𝑔𝑤𝑏(𝑥, 𝜔) = 𝛿1𝑏 sin 𝑘1𝑥 + 𝛿2𝑏 sin 𝑘2𝑥 + 𝛿3𝑏 sin 𝑘3𝑥; 2)/∆; 𝛿3𝑎 = 𝑘1𝑘2(𝑘2 3)/∆; 𝛿3𝑏 = (𝛼2𝑘1 2) + 𝛼3𝑘1𝑘2(𝑘2

′′(𝑒, 𝜔),

0 = 𝛾𝑎𝑈0 𝑍𝑎

0 = 𝛾𝑏𝑊0

′(𝑒, 𝜔), 𝑍𝑏

Đặt

khi đó có thể chứng minh được rằng nghiệm của phương trình (3.36) thỏa mãn điều

kiện (3.33) có thể biểu diễn ở dạng

𝑈𝒄(𝑥, 𝜔) = 𝑈𝟎(𝑥, 𝜔) + {

(3.41) 𝑊𝒄(𝑥, 𝜔) = 𝑊𝟎(𝑥, 𝜔) + { 0: 𝑥 < 𝑒; 𝑈1(𝑥 − 𝑒, 𝜔): 𝑥 ≥ 𝑒; 0: 𝑥 < 𝑒; 𝑊1(𝑥 − 𝑒, 𝜔): 𝑥 ≥ 𝑒.

Nếu đưa vào các ký hiệu

]; [𝑲(𝑥)] = { [𝑮𝑐(𝑥, 𝜔)] = [

′′(𝑥, 𝜔)]: 𝑥 ≥ 0; [𝑮𝑐 [𝟎] ∶ 𝑥 < 0,

[𝑲′′(𝑥)] = { [𝑲′(𝑥)] = { {𝒛𝒄(𝑥, 𝜔)} = {𝑈𝒄(𝑥, 𝜔), 𝑊𝒄(𝑥, 𝜔)}𝑇; {𝒛0(𝑥, 𝜔)} = {𝑈0(𝑥, 𝜔), 𝑊0(𝑥, 𝜔)}𝑇; 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎(𝑥, 𝜔) 𝛾𝑏𝑔𝑢𝑏(𝑥, 𝜔) [𝑮𝑐(𝑥, 𝜔)]: 𝑥 ≥ 0; 𝛾𝑎𝑔𝑤𝑎(𝑥, 𝜔) 𝛾𝑏𝑔𝑤𝑏(𝑥, 𝜔) [𝟎] ∶ 𝑥 < 0; ′ (𝑥, 𝜔)]: 𝑥 ≥ 0; [𝑮𝑐 [𝟎] ∶ 𝑥 < 0;

56

𝛼1𝑘1𝑒𝑘1𝑥 𝛼2𝑘2𝑒𝑘2𝑥 𝛼3𝑘3𝑒𝑘3𝑥 𝛼1𝑘1𝑒−𝑘1𝑥 𝛼2𝑘2𝑒−𝑘2𝑥 𝛼3𝑘3𝑒−𝑘3𝑥

[𝑮̂(𝑥, 𝜔)] = [

2𝑒−𝑘1𝑥

2𝑒−𝑘2𝑥

2𝑒𝑘2𝑥

2𝑒𝑘3𝑥

𝑘3

𝑘3

𝑘2

𝑘2

2𝑒−𝑘3𝑥 ] ; 2𝑒𝑘1𝑥 𝑘1 𝑘1 [𝜱(𝑥, 𝜔)] = [𝑮𝟎(𝑥, 𝜔)] + [𝑲(𝑥 − 𝑒, 𝜔)𝑮̂(𝑒, 𝜔)] (3.42)

] ; [𝑮𝟎(𝑥, 𝜔)] = [ 𝛼1𝑒𝑘1𝑥 𝛼2𝑒𝑘2𝑥 𝛼3𝑒𝑘3𝑥 −𝛼1𝑒−𝑘1𝑥 −𝛼2𝑒−𝑘2𝑥 −𝛼3𝑒−𝑘3𝑥 𝑒𝑘1𝑥 𝑒−𝑘3𝑥 𝑒−𝑘1𝑥 𝑒𝑘2𝑥 𝑒−𝑘2𝑥 𝑒𝑘3𝑥

nghiệm (3.41) có thể viết gọn ở dạng

{𝒛𝒄(𝑥, 𝜔)} = [𝜱(𝑥, 𝜔)]{𝑪}. (3.43)

Đây chính là nghiệm tổng quát của dầm có lớp áp điện và có một vết nứt với các hằng

số C được tính từ các điều kiện biên. Cụ thể, trong trường hợp dầm tựa đơn hai đầu

với các điều kiện biên

𝑈(0) = 0; 𝑊(0) = 0; 𝑊′′(0) = 0; 𝑈(𝐿) = 0; 𝑊′′(𝐿) = 0, (3.44)

phương trình để xác định các hằng số {𝑪} = {𝐶1, . . . , 𝐶6}𝑇sẽ là

[𝑩(ω)]{𝑪} = 0, (3.45)

trong đó

. [𝑩𝑆𝑆(ω)] =

𝛼3 1 2 𝑘3 𝜙13(𝐿) 𝜙23(𝐿) ′′ (𝐿) 𝜙23 −𝛼3 1 2 𝑘3 𝜙16(𝐿) 𝜙26(𝐿) ′′ (𝐿)] 𝜙26 −𝛼1 1 2 𝑘1 𝜙14(𝐿) 𝜙24(𝐿) ′′ (𝐿) 𝜙24 −𝛼2 1 2 𝑘2 𝜙15(𝐿) 𝜙25(𝐿) ′′ (𝐿) 𝜙25

𝛼2 1 2 𝑘2 𝜙12(𝐿) 𝜙22(𝐿) ′′ (𝐿) 𝜙22 ′′′(𝑥), 𝑖 = 1,2; 𝑗 = 1, … ,6 là các phần tử của ma trận 𝛼1 1 2 𝑘1 𝜙11(𝐿) 𝜙21(𝐿) ′′ (𝐿) 𝜙21 [ ′′ (𝑥), 𝜙𝑖𝑗 ′ (𝑥), 𝜙𝑖𝑗 và 𝜙𝑖𝑗(𝑥), 𝜙𝑖𝑗

[𝜱(𝑥, 𝜔)] và các đạo hàm của chúng. Tương tự ta có thể tìm được ma trận [𝑩(ω)]

; [𝑩𝐶𝐶(ω)] =

[

. [𝑩𝐶𝐹(ω)] =

−𝛼3 1 −𝑘3 𝜙16(𝐿) 𝜙26(𝐿) ′ (𝐿)] 𝜙26 −𝛼3 1 −𝑘3 ′ (𝐿) ′′ (𝐿) ′′′(𝐿)] [ cho các trường hợp điều kiện biên ngàm hai đầu và ngàm-tự do (công xôn) như sau 𝛼3 1 𝑘3 𝜙13(𝐿) 𝜙23(𝐿) ′ (𝐿) 𝜙23 𝛼3 1 𝑘3 ′ (𝐿) 𝜙13 ′′ (𝐿) 𝜙23 ′′′(𝐿) 𝜙23 𝛼1 1 𝑘1 𝜙11(𝐿) 𝜙21(𝐿) ′ (𝐿) 𝜙21 𝛼1 1 𝑘1 ′ (𝐿) 𝜙11 ′′ (𝐿) 𝜙21 ′′′(𝐿) 𝜙21 −𝛼1 1 −𝑘1 𝜙14(𝐿) 𝜙24(𝐿) ′ (𝐿) 𝜙24 −𝛼1 1 −𝑘1 ′ (𝐿) 𝜙14 ′′ (𝐿) 𝜙24 ′′′(𝐿) 𝜙24 𝛼2 1 𝑘2 𝜙12(𝐿) 𝜙22(𝐿) ′ (𝐿) 𝜙22 𝛼2 1 𝑘2 ′ (𝐿) 𝜙12 ′′ (𝐿) 𝜙22 ′′′(𝐿) 𝜙22 𝜙16 𝜙26 𝜙26 −𝛼2 1 −𝑘2 𝜙15(𝐿) 𝜙25(𝐿) ′ (𝐿) 𝜙25 −𝛼2 1 −𝑘2 ′ (𝐿) 𝜙15 ′′ (𝐿) 𝜙25 ′ (𝐿) 𝜙25

Rõ ràng là phương trình (3.45) cho phép ta nhận được phương trình để xác định tần

số riêng của dầm bị nứt có lớp áp điện ở dạng

57

(3.46)

𝑑(ω) ≡ det[𝑩(ω)] = 0.

Các nghiệm dương của phương trình cuối cho ta tần số riêng 𝜔𝑘, 𝑘 = 1,2,3, …. Và

mỗi tần số riêng 𝜔 = 𝜔𝑘 cho phép ta tìm được một nghiệm của phương trình (3.45) là {𝑪𝑘} = 𝜗𝑘{𝛽𝑘1, … , 𝛽𝑘6}𝑇 với hằng số tùy ý 𝜗𝑘 và {𝛽𝑘1, … , 𝛽𝑘6}𝑇 là một nghiệm đã chuẩn hóa của phương trình

[𝑩(𝜔𝑘)]{𝑪} = 0. Như vậy, sau khi có được nghiệm của phương trình (3.45), dạng dao động riêng tương

ứng với tần số riêng 𝜔𝑘 bằng 𝜙𝑢(𝑥, 𝜔𝑘) = 𝜗𝑘(𝛼1𝛽𝑘1𝑒𝑘1𝑥+𝛼2𝛽𝑘2𝑒𝑘2𝑥 + 𝛼3𝛽𝑘3𝑒𝑘3𝑥 − 𝛼1𝛽𝑘4𝑒−𝑘1𝑥 − −𝛼2𝛽𝑘5𝑒−𝑘2𝑥−𝛼3𝛽𝑘6𝑒−𝑘3𝑥); (3.47) 𝜙𝑤(𝑥, 𝜔𝑘) = 𝜗𝑘(𝛽𝑘1𝑒𝑘1𝑥+𝛽𝑘2𝑒𝑘2𝑥 + 𝛽𝑘3𝑒𝑘3𝑥 + 𝛽𝑘4𝑒−𝑘1𝑥 + 𝛽𝑘5𝑒−𝑘2𝑥 + 𝛽𝑘6𝑒−𝑘3𝑥). Hằng số tùy ý 𝜗𝑘 có thể tìm từ điều kiện chuẩn hóa |𝜙𝑤(𝑥, 𝜔𝑘)| = 1. max 𝑥

Sau khi có dạng dao động riêng (3.47) chúng ta có thể tính được điện tích thu được ở

lớp áp điện tương ứng với từng dạng dao động riêng mà chúng ta gọi nó là hệ số điện

tích cảm biến dao động của lớp áp điện. Cụ thể, thay các dạng dao động riêng (3.47)

cùng các đạo hàm của chúng vào công thức (3.31) ta tính được dạng đầu ra cảm biến

′′/2)𝑑𝑥

𝑝 ) ∫ (𝜙𝑢

′ − ℎ𝜙𝑤

thứ k bằng

𝑄𝑘 = (𝑏ℎ13/𝛽33

𝐿 0

′′/2)𝑑𝑥

′′/2)𝑑𝑥

𝑝 ) [∫ (𝜙𝑢

′ − ℎ𝜙𝑤

′ − ℎ𝜙𝑤

𝑒 0

𝐿 + ∫ (𝜙𝑢 𝑒

] = (𝑏ℎ13/𝛽33

′ (𝑒, 𝜔𝑘) ]

𝑝 ) {

′ (𝐿, 𝜔𝑘) − 𝜙𝑤

′ (0, 𝜔𝑘) − 𝛾𝑏𝜙𝑤

′′(𝑒, 𝜔𝑘) ]

[𝜙𝑢(𝐿, 𝜔𝑘) − 𝜙𝑢(0, 𝜔𝑘) − 𝛾𝑎𝜙𝑢 } (3.48) 𝑄𝑘 = (𝑏ℎ13/𝛽33 −(ℎ/2)[𝜙𝑤

trong đó , được tính theo công thức (3.34). Cụ thể, nếu dầm tựa đơn hai đầu, tức

thỏa mãn điều kiện biên (3.44), công thức (3.48) đơn giản thành

. (3.49)

Rõ ràng trong công thức (3.49) đã hiển thị ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt đến

điện tích xuất hiện trong lớp áp điện tương ứng với các dạng dao động riêng, chúng

sẽ được khảo sát ở mục tiếp sau.

58

3.2.2 Kết quả phân tích số

Trong mục này chúng ta khảo sát tần số, dạng riêng và dạng đáp ứng cảm biến

của dầm có lớp áp điện phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt. Các số liệu của dầm và

lớp áp điện cho trước như sau: 𝐿 = 1𝑚, 𝑏 = 0.1𝑚 và

3/12

𝐸𝑏 = 210MPa, 𝜌𝑏 = 7800kg/m3, 𝜇𝑏 = 0.31;

𝑝 = 21.0526GPa, 𝜌𝑝 = 7750kg/m3,

𝑝 = 7.3885 × 107 m/F.

𝑝 = 69.0084GPa, 𝐶55 𝐶11 ℎ13 = −7.70394 × 108𝑉/𝑚, 𝛽33

ℎ𝑏 = 0.05𝑚; 𝐴𝑏 = 𝑏ℎ𝑏; 𝐼𝑏 = 𝑏ℎ𝑏

Trong các số liệu nêu trên chỉ số b và p là chỉ các tham số của dầm chủ và của

2/𝐸𝑏𝐼𝑏)1/4 (hay còn gọi là trị riêng của dầm đồng nhất, tỷ lệ với căn bậc hai của tần số 𝜔𝑘) là

lớp áp điện. Thay vì tính tần số riêng, chúng ta tính tham số 𝜆𝑘 = (𝜌𝑏𝐴𝑏𝜔𝑘

hàm của vị trí vết nứt tương ứng với các giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt và chiều

dày của lớp áp điện ℎ𝑝. Đồng thời chúng ta cũng khảo sát sự thay đổi của đáp ứng

điện 𝑄𝑘 của lớp áp điện phụ thuộc vào vết nứt, chiều dày lớp áp điện.

Trước tiên, chúng ta khảo sát tham số tần số của dầm không bị nứt phụ thuộc

vào chiều dày lớp áp điện và kết quả tính toán cho trong các Bảng 3.1-3.3. Kết quả

tính toán trong trường hợp độ dày lớp áp điện bằng 0 cho ta chính xác tần số của dầm

không có lớp áp điện. Ngoài ra, kết quả tính toán 10 tần số riêng đầu tiên cho thấy

trật tự sắp xếp các dạng dao động dọc trục và dao động uốn không phụ thuộc vào

chiều dày lớp áp điện. Dạng dao động dọc trục xuất hiện ở tần số thứ 5 và thứ 8, còn

lại là các dạng dao động uốn. Nói chung,tần số dao động giảm khi độ dày lớp áp điện

tăng từ 0 nhưng khi độ dày lớp áp điện vượt qua 10% độ dày dầm chủ thì tần số bắt

đầu tăng cùng với chiều dày lớp áp điện và nó sẽ vượt qua tần số của dầm không có

áp điện khi chiều dày lớp áp điện vượt quá 20% chiều dày dầm chủ.

Tiếp theo, tần số riêng của dầm công xôn áp điện có vết nứt và hệ số điện tích

cảm biến dao động được tính toán và trình bày trong Hình 3.3 -3.6. Các đồ thị trên

các hình vẽ biểu diễn tỷ số tần số riêng và hệ số điện tích cảm biến dao động của dầm

bị nứt và dầm không bị nứt. Khảo sát các đồ thị ta thấy lớp áp điện ít ảnh hưởng đến

sự thay đổi của các tần số riêng do vết nứt, nhưng vết nứt thì lại làm thay đổi đáng kể

đến điện tích tạo ra trong lớp áp điện do dao động riêng. Cụ thể, trên dầm có lớp áp

điện vẫn tồn tại các vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi một tần số

59

riêng nào đó (gọi là các điểm nút tần số đối với vết nứt) và vết nứt làm giảm hệ số

điện tích cảm biến ở dạng dao động cơ bản, nhưng nó có thể làm tăng hệ số điện tích

này lên 8 lần ở dạng dao động thứ hai. Hơn nữa, cũng xuất hiện một số vị trí trên dầm

mà vết nứt xuất hiện tại đó cũng không ảnh hưởng đến hệ số điện tích cảm biến ở một

dạng dao động riêng nào đó, ví dụ vị trí 0.9 cho dạng cơ bản và 0.67 cho dạng dao

động riêng thứ hai. Đây cũng có thể gọi là các điểm nút điện tích cảm biến dao động

đối với vết nứt.

Bảng 3. 1. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện đến tần số dầm tựa đơn hai đầu nguyên vẹn hp=0 3.1416 6.2832 9.4248 12.5664 14.7531 15.7080 18.8496 20.8641 21.9912 25.1328

0.03 mode 3.4245 6.8195 10.1543 13.4403 13.6606 16.5579 19.3746 19.5842 22.4805 23.7583

0.005 3.1461 6.2804 9.3915 12.4689 14.5186 15.5025 18.4838 20.5334 21.4052 24.2630

0.003 3.1408 6.2708 9.3794 12.4567 14.6086 15.4935 18.4818 20.6600 21.4145 24.2866

0.01 3.1738 6.3332 9.4642 12.5545 14.3133 15.5912 18.5651 20.2450 21.4673 24.2997

0.008 3.1604 6.3075 9.4284 12.5114 14.3923 15.5451 18.5204 20.3559 21.4289 24.2694

0.001 3.1393 6.2686 9.3781 12.4586 14.7036 15.5016 18.4994 20.7941 21.4455 24.3344

0.02 3.2783 6.5355 9.7506 12.9095 13.9677 15.9868 18.9770 19.7638 21.8677 24.2337

B1 B2 B3 B4 A1 B5 B6 A2 B7 B8

Chú ý: B1-B8 Các dạng dao động uốn; A1-A2: Các dạng dao động dọc trục; hb=0.05

Bảng 3. 2. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện đến tần số của dầm ngàm hai đầu nguyên vẹn hp=0 4.7300 7.8530 10.9960 14.1377 14.7531 17.2788 20.4204 20.8641 23.5620 26.7036

0.03 mode 5.1547 8.5149 11.8300 13.6982 15.0547 18.1629 19.3863 21.1547 23.7572 24.0148

0.01 4.7777 7.9118 11.0333 14.1081 14.3151 17.1286 20.0828 20.2445 22.9642 24.7957

0.005 4.7361 7.8465 10.9500 14.0156 14.5189 17.0350 19.9998 20.5331 22.9030 25.1478

0.02 4.9347 8.1626 11.3637 13.9716 14.5002 17.5527 19.7658 20.5158 23.3789 24.2150

0.003 4.7282 7.8348 10.9364 14.0029 14.6087 17.0265 19.9994 20.6599 22.9148 25.3030

0.008 4.7575 7.8799 10.9921 14.0615 14.3933 17.0796 20.0365 20.3554 22.9253 24.9308

B1 B2 B3 B4 A1 B5 B6 A2 B7 B8

0.001 4.7259 7.8322 10.9353 14.0059 14.7036 17.0366 20.0201 20.7940 22.9499 25.4674 Chú ý: B1-B8 Các dạng dao động uốn; A1-A2: Các dạng dao động dọc trục; hb=0.05

Bảng 3. 3. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện đến tần số của dầm công xôn nguyên vẹn

hp = 0 1.8750 4.6940 7.8550 10.4321 10.9956

0.001 1.8748 4.6898 7.8338 10.3970 10.9352

0.003 1.8758 4.6920 7.8364 10.3298 10.9363

0.005 1.8791 4.6998 7.8481 10.2663 10.9500

0.008 1.8878 4.7210 7.8815 10.1771 10.9921

0.01 1.8959 4.7410 7.9134 10.1214 11.0333

0.02 1.9591 4.8967 8.1645 9.8797 11.3640

0.03 mode 2.0475 5.1147 8.5171 9.6853 11.8305

B1 B2 B3 A1 B4

60

14.1377 17.2788 18,0689 20.4204 23.5620

14.0618 17.0800 17.6276 20.0367 22.7543

14.0157 17.0351 17.7819 19.9998 22.8974

14.4981 17.1181 17.5504 20.5173 22.0995

14.1089 17.1294 17.5310 20.0832 22.6319

14.0029 17.0266 17.8919 19.9994 22.9141

15.0512 16.7851 18.1633 21.1634 21.6710

B5 B6 A2 B7 B8

14.0059 17.0366 18.0082 20.0201 22.9498 Chú ý: B1-B8 Các dạng dao động uốn; A1-A2: Các dạng dao động dọc trục; hb=0.05

Hình 3. 3. Sự thay đổi của tần số riêng thứ nhất dầm công-xôn theo vị trí và độ sâu vết nứt

Hình 3. 4. Sự thay đổi của tần số riêng thứ hai dầm công-xôn theo vị trí và độ sâu vết nứt

61

Hình 3. 6. Sự thay đổi của điện tích cảm biến dao động dạng riêng thứ hai trong lớp áp điện theo vị trí và độ sâu vết nứt, dầm công-xôn

Hình 3. 5. Sự thay đổi của điện tích cảm biến dao động dạng riêng thứ nhất trong lớp áp điện theo vị trí và độ sâu vết nứt, dầm công-xôn

62

3.3. Phân tích dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện

3.3.1 Thuật toán và chương trình tính toán

Như đã nói ở trên, mục tiêu của chương này là tính toán các đặc trưng dao

động, cụ thể là tần số và dạng dao động riêng của dầm FGM áp điện có vết nứt, đồng

thời tính toán cả điện tích cảm biến dao động riêng như là một đặc trưng điện của lớp

áp điện phụ thuộc vào vết nứt, các tham số vật liệu và chiều dày lớp áp điện. Vì vậy,

ở đây trình bày thuật toán để tính toán các đặc trưng cơ điện nêu trên sử dụng

MATLAB.

Thuật toán để tính toán các đặc trưng cơ điện nêu trên bao gồm các bước sau:

Bước 1. Chuẩn bị số liệu đầu vào bao gồm các tham số vật liệu và hình học của dầm

chủ, số liệu về vật liệu kích thước lớp áp điện, điều kiện biên;

Bước 2. Tính toán các hệ số trong phương trình chuyển động

Bước 3. Xác định miền thay đổi của các tham biến tính toán như: chỉ số phân bố vật

liệu FGM, n; chiều dày lớp áp điện, hp; vị trí và độ sâu vết nứt (e, a). Ngoài

ra có thể xem xét độ mảnh của dầm thay đổi (L/h). Ở đây cần tính toán độ

lớn vết nứt 𝛾1, 𝛾2 từ độ sâu vết nứt theo công thức (3.4) và (3.5);

Bước 4. Tính toán tần số riêng bằng cách giải phương trình siêu việt (3.12) đối với ω

theo các tham biến tính toán;

Bước 5. Tính toán dạng dao động riêng bao gồm việc giải phương trình (3.11) với tần

số riêng đã biết để tìm các hằng số C, sau đó tính dạng riêng tương ứng với

từng tần số riêng theo các công thức (3.13);

Bước 6. Tính toán điện tích cảm biến dao động riêng theo công thức (3.14) cho từng

tần số và dạng dao động riêng đã được tính ở bước 2 và 3.

Bước 7. Vẽ biểu đồ các tham số tính toán nêu trên theo các tham biến đã chọn.

Sơ đồ thuật toán được trình bày trong Hình 3.7.

63

Bắt đầu

Nhập số liệu đầu vào

Tính toán các hệ số phương trình chuyển động

Tính toán độ lớn vết nứt

Giải phương trình đặc trưng tìm các số sóng

Giải phương trình tần số tìm các tần số riêng

Tính toán dạng dao động riêng

Tính toán điện tích cảm biến dao động

Vẽ biểu đồ kết quả tính toán Kết thúc

Hình 3.7. Sơ đồ thuật toán-chương trình tính toán các đặc trưng cơ điện của

dầm FGM áp điện có vết nứt

3.3.2 Kết quả số

Xét một dầm FGM được gắn một lớp áp điện như trong Hình 3.2 với các tính

chất sau

𝐿𝑏 = 𝐿𝑝 = 𝐿 = 1m; 𝑏 = 0.1m; ℎ𝑏 = 𝐿/10;

𝑝 = 21.0526GPa, 𝜌𝑝 = 7750kg/m3,

𝐸𝑡 = 390MPa, 𝜌𝑡 = 3960kg/m3, 𝜇𝑡 = 0.25; 𝐸𝑏 = 210MPa, 𝜌𝑏 = 7800kg/m3,

𝑝 = 69.0084GPa, 𝐶55

𝜇𝑡 = 0.31; 𝐶11

ℎ13 = −7.70394 × 108𝑉/𝑚.

64

Đầu tiên, các tham số tần số riêng 𝜆𝑘 = 𝜔𝑘(𝐿2/ℎ)√𝜌𝑏/𝐸𝑏, 𝑘 = 1,2, … ,5 được

tính toán cho độ dày tương đối của lớp áp điện ℎ𝑝/ℎ𝑏 thay đổi từ 0 đến 1 theo tỷ lệ

S&B1

Mode No.

0.2

0

5

độ mảnh khác nhau 𝐿𝑏/ℎ𝑏 và chỉ số phân bố vật liệu n.

0.5 3.4193 10.8345 15.8054 19.8542 28.3738

0.8 3.7344 10.9677 13.7393 19.6831 22.3316

1.0 3.9644 10.9426 12.6102 19.3017 20.0871

0.1 3.2692 11.1982 18.6362 21.2443 32.1182

3.3309 11.5403 19.3733 22.0386 33.4451

3.2562 10.9848 17.9243 20.6727 31.1010

3.390 11.740 19.479 22.387 33.912

1 2 3 4 5

10

20

30

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.5315 13.9511 30.7718 53.2913 77.9014 3.5398 14.0799 31.3899 55.1111 84.7885

3.4391 13.0637 27.3652 37.2752 44.8284 3.4870 13.7439 30.2546 52.2522 74.5954 3.4962 13.8853 30.9273 54.2191 83.2903

3.4463 12.9806 27.0203 35.8374 44.0161 3.5010 13.7372 30.1695 51.9119 71.7766 3.5114 13.8968 30.9222 54.0984 82.9572

3.5005 13.0362 26.9446 34.5478 43.6156 3.5643 13.8932 30.4323 52.1163 69.3396 3.5767 14.0772 31.2908 54.5976 83.5559

3.7159 13.4377 27.3438 32.3022 43.6458 3.8073 14.5677 31.7158 53.6065 65.3857 3.8252 14.8205 32.8653 56.9407 86.7580

4.2049 14.4093 28.6153 29.5240 44.6972 4.3637 16.1230 34.7137 56.2525 62.0291 4.3958 16.5357 36.5016 62.3101 90.9312

4.5837 15.1185 27.9506 29.5703 45.5729 4.8077 17.3268 36.9909 55.7982 62.9888 4.8541 17.8880 39.3333 66.2509 87.5998

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

3.551 13.561 28.544 38.958 46.941 3.5957 14.202 31.319 54.220 77.917 3.6042 14.334 31.950 56.077 86.244 1Su and Banerjee, 2015.

Bảng 3. 4. Tham số tần số 𝜆 = 𝜔(𝐿2/ℎ)√𝜌𝑏/𝐸𝑏 của dầm - SS phụ thuộc vào độ dày của lớp áp điện và tỷ số độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 với chỉ số gradien vật liệu n = 2. Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 𝐿𝑏/ℎ𝑏 0.3 3.2825 10.8701 17.2200 20.2772 30.3348

Các tần số riêng không thứ nguyên thu được đối với dầm tựa đơn được

trình bày trong Bảng 3.4-3.5 trong đó chứa cả các tần số của dầm FGM không

có lớp áp điện đã được công bố trong [76] đối với dầm FGM không có lớp áp

điện cũng được trình bày. So sánh kết quả nhận được cho dầm không có lớp áp

điện với kết quả thu được trong luận án này nhận được với ℎ𝑝 = 0 cho thấy sự

phù hợp. Hơn nữa, sự thay đổi của tần số riêng so với độ dày lớp áp điện quan

sát được trong Bảng 3.4 – 3.5 minh chứng cho kết quả nghiên cứu đã được trình

bày trong chương 2, chẳng hạn như: tần số riêng của dầm FGM đầu tiên giảm

sau đó tăng lên khi chiều dày lớp áp điện ngày càng tăng . Vì vậy, sự thống nhất

của các kết quả thu được trong nghiên cứu này đối với trường hợp dầm FGM

không bị nứt so với các kết quả đã công bố trước đó là đủ để xác nhận sự lý

thuyết được xây dựng ở trên.

65

Bảng 3. 5. Tham số tần số 𝜆 = 𝜔(𝐿2/ℎ)√𝜌𝑏/𝐸𝑏 của dầm - SS với độ dày khác nhau của lớp áp điện và chỉ số gradient vật liệu (n) và tỷ số độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10.

n

S&B1

0

0.1

5.0001 19.136 40.385 56.379 66.608

0.5 4.5757 16.7134 33.9903 41.9528 54.2305

0.8 4.9095 17.1478 33.9840 36.9877 53.0524

0.2 4.5982 17.3675 36.1858 49.0886 58.9890

0.1 4.7446 18.0545 37.8771 52.3509 62.1356

4.9977 19.1228 40.3570 56.3731 66.5611

1.0 5.2269 17.6743 34.3554 34.4557 53.0788

Mod e No. 1 2 3 4 5

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

10

4.7243 18.0772 38.1525 53.5455 62.9317 4.2086 16.1021 33.9801 48.0050 56.0479 3.8004 14.5331 30.6491 43.1884 50.5213 3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729 3.2251 12.3013 25.8533 35.0281 42.4555 3.0805 11.7476 24.6834 33.3619 40.5218

4.5141 17.1789 36.0483 50.0038 59.1515 4.0718 15.4951 32.5199 45.2957 53.3753 3.7156 14.1315 29.6432 41.0914 48.6317 3.4391 13.0637 27.3652 37.2755 44.8284 3.2037 12.1500 25.4021 33.7532 41.5224 3.0730 11.6514 24.3531 32.2232 39.7921

4.3987 16.6146 34.6295 47.0891 56.4747 4.0114 15.1474 31.5828 43.0046 51.5314 3.6950 13.9400 29.0550 39.2787 47.3940 3.4463 12.9806 27.0203 35.8374 44.0161 3.2323 12.1489 25.2422 32.6122 41.0330 3.1133 11.6949 24.2919 31.1959 39.4708

4.3567 16.2991 33.7175 44.6188 54.6155 4.0120 14.9984 31.0435 41.0196 50.3178 3.7271 13.9126 28.7896 37.6791 46.6587 3.5005 13.0362 26.9446 34.5478 43.6156 3.3034 12.2665 25.3092 31.5740 40.8855 3.1941 11.8481 24.4391 30.2547 39.4610

4.4333 16.1827 32.9303 40.5881 52.5701 4.1502 15.1171 30.7871 37.6991 49.1901 3.9111 14.2022 28.9250 34.9455 46.2166 3.7159 13.4377 27.3438 32.3022 43.6458 3.5427 12.7468 25.9001 29.7346 41.2645 3.4484 12.3778 25.1448 28.5752 40.0391

4.7976 16.7297 33.1794 35.9746 51.8254 4.5708 15.8680 31.5069 33.7845 49.2525 4.3732 15.0944 29.9851 31.6388 46.8768 4.2049 14.4093 28.6153 29.5240 44.6972 4.0507 13.7614 27.3075 27.4146 42.5836 3.9696 13.4266 26.4425 26.6432 41.5217

5.1276 17.2997 33.5028 33.7527 52.0219 4.9240 16.5140 31.6420 32.2653 49.7644 4.7427 15.7871 29.7951 30.8712 47.6156 4.5837 15.1185 27.9506 29.5703 45.5729 4.4350 14.4681 26.0857 28.2954 43.5408 4.3584 14.1381 25.2175 27.6582 42.5328

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

4.7348 18.118 38.240 53.361 63.075 4.2432 16.235 34.261 48.044 56.502 3.8586 14.755 31.110 43.242 51.256 3.551 13.561 28.544 38.958 46.941 3.2608 12.434 26.122 35.052 42.873 3.0959 11.805 24.799 33.371 40.700 1Su and Banerjee, 2015

Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) 0.3 4.5326 16.9592 35.0671 46.3555 56.7733

66

Hình 3. 8. Sự thay đổi của ba tần số riêng đầu tiên theo vị trí và độ sâu vết nứt

67

Là một trong những đặc trưng động lực học cơ bản của kết cấu, tần số

riêng đặc trưng cho cả độ cứng của kết cấu và sự phân bố khối lượng và bất kỳ

sự thay đổi nào về độ cứng đối trên khối lượng của kết cấu đàn hồi đều dẫn đến

sự biến đổi của tần số riêng. Do đó, tần số riêng đã được thừa nhận là một chỉ

số hiệu quả để giám sát trạng thái kết cấu, đặc biệt, trong việc phát hiện hư

hỏng kết cấu bằng kỹ thuật không phá hủy. Trong việc phát hiện hư hỏng trong

kết cấu như xác định vết nứt bằng phương pháp dựa trên tần số riêng, các phép

đo tần số riêng thường được thực hiện bằng cách sử dụng kỹ thuật thử nghiệm

rung truyền thống. Trong khi, các cảm biến gộp thường làm giảm tần số riêng của

kết cấu, các cảm biến áp điện phân tán thì có thể làm tăng tần số riêng phụ thuộc

vào kích thước của cảm biến. Vì vậy, ảnh hưởng của cảm biến áp điện phân bố đến

tần số riêng của kết cấu bị nứt là thông tin quan trọng để phát hiện được vết nứt kết

cấu từ các tần số riêng đo được. Ảnh hưởng của miếng áp điện lên tần số riêng của

dầm FGM nguyên vẹn đã được nghiên cứu ở chương 2, trong chương này, ta nghiên

cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm FGM có lớp áp điện.

Cụ thể, tỷ số tần số riêng của dầm bị nứt với dầm nguyên vẹn được tính

là hàm của vị trí vết nứt dọc theo nhịp dầm với độ sâu vết nứt khác nhau (a/h),

chỉ số gradient vật liệu (n) và lớp áp điện (ℎ𝑝/ℎ𝑏). Tỷ số tần số này hay tần số

không thứ nguyên của ba dạng riêng dầu tiên đối với dầm tựa đơn (SS-) được

thể hiện trong Hình 3.8-3.10. Từ các hình có thể quan sát thấy độ nhạy tần số

riêng đối với vị trí và độ sâu vết nứt (Hình 3.8) của dầm FGM có lớp áp điện

tương tự như đối với dầm tựa đơn thuần nhất [92]. Chỉ số gradient vật liệu n

tăng làm giảm độ nhạy tần số riêng đối với vết nứt độc lập khi có mặt của lớp

áp điện (Hình 3.9).

68

Hình 3. 9. Sự phụ thuộc của ba tần số riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu n.

69

Hình 3. 10. Sự phụ thuộc của ba tần số riêng đầu tiên vào vị trí vết nứt và chiều dày lớp áp điện.

70

Đồ thị trong Hình 3.10 cho thấy độ dày của lớp áp điện ít ảnh hưởng đến độ

nhạy của tần số riêng đối với vết nứt so với độ sâu vết nứt và chỉ số gradient

vật liệu, nó có thể làm giảm một chút độ nhạy ở vùng lân cận của các vị trí trên

dầm mà có tần số riêng nhạy cảm với vết nứt nhất. Hình dạng của năm dạng

riêng đầu tiên được tính toán cho dầm FGM không có lớp áp điện và dầm FGM

bị nứt có lớp áp điện được trình bày trong Hình 3.11-3.12. So sánh hình dạng

của các dạng riêng thu được cho phép người ta kết luận rằng việc phân loại vật

liệu, sự hiện diện của vết nứt và lớp áp điện không làm thay đổi hình dạng dạng

riêng của dầm.

Hình 3. 11. Năm dạng riêng đầu tiên của dầm FGM không bị nứt và không có lớp áp điện (A1 – dạng dao động dọc trục thứ nhất; B1-B4 - Bốn dạng dao dộng uốn đầu tiên)

71

Hình 3. 12. Năm dạng riêng đầu tiên của dầm FGM bị nứt và có lớp áp điện (A1 – dạng dao động dọc trục thứ nhất; B1-B4 - Bốn dạng dao dộng uốn đầu tiên)

Tiếp theo, chúng ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động

được xác định bằng biểu thức (3.49) đối với các dạng riêng đầu tiên của dầm tựa đơn,

vào các thông số vết nứt, chỉ số vật liệu và chiều dày lớp áp điện. Đầu tiên, các kết

quả về điện tích cảm biến dao động được tính toán như hàm của vị trí vết nứt đối với

độ sâu vết nứt khác nhau và kết quả tính toán được mô tả trong Hình 3.13. Quan sát

các đồ thị, ta thấy điện tích cảm biến dao động không đáng kể đối với dạng riêng thứ

hai khi so sánh với dạng riêng thứ nhất và thứ ba, đặc biệt, trong trường hợp dầm

không bị nứt và điện tích này bị thay đổi rất nhỏ do xuất hiện vết nứt đối với dầm.

Điều này có thể được gây ra bởi hai nguyên nhân: (1) cảm biến có cùng độ dài với

dầm và (2) điều kiện biên của dầm là đối xứng. Hơn nữa, đáng chú ý là có những vị

trí tồn tại trên dầm xuất hiện vết nứt nhưng không ảnh hưởng đến điện tích cảm biến

dao động. Các vị trí quan trọng như vậy trên dầm cũng có thể được gọi là điểm nút

của điện tích cảm biến dao động giống với tần số riêng. Người ta có thể quan sát được

chính xác các nút (k-1) đối với điện tích cảm biến dao động dạng (mode) thứ k giống

như các nút của chính dạng riêng của dầm (xem Hình 3.11-3.12).

72

73

Hình 3. 13. Sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động vào vị trí vết nứt và độ sâu vết nứt tương ứng với 3 dạng riêng đầu tiên

74

Hình 3. 14. Sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động vào vị trí vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu n tương ứng với 3 dạng dao động riêng đầu tiên

75

76

Hình 3. 15. Sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động vào vị trí vết nứt và chiều dày lớp áp điện tương ứng với 3 dạng dao động riêng đầu tiên.

Các nút quan sát được từ tín hiệu điện tích cảm biến dao động dạng riêng

thứ ba chứng minh rằng vết nứt xuất hiện giữa các nút làm giảm điện tích đầu

ra của cảm biến có chiều dài bằng chiều dài dầm và vết nứt xuất hiện bên ngoài

đoạn nút làm tăng điện tích đầu ra. Đây là một chỉ báo hiệu quả đối với vị trí

vết nứt bằng cách sử dụng điện tích cảm biến dao động. Quan sát các đồ thị các

Hình 3.14 và 3.15 cho thấy một thực tế là việc giảm chỉ số phân bố vật liệu

đồng thời với sự tăng độ dày của lớp áp điện đều dẫn đến việc khuếch đại đầu

ra của điện tích cảm biến dao động.

Do đó, trong nghiên cứu này đã tiến hành nghiên cứu mô hình dầm FGM bị

nứt được gắn lớp áp điện dọc theo toàn bộ chiều dài dầm dựa trên lý thuyết dầm

Timoshenko, định luật phân bố vật liệu và mô hình lò xo kép của vết nứt ngang hở.

Các phương trình được thiết lập của dầm FGM có lớp áp điện cho thấy rằng lớp áp

điện đã làm tăng sự tương tác giữa các dạng dao động dọc trục và uốn. Vì vậy, các

dạng dao động dọc trục có thể ảnh hưởng đến ứng xử cơ hoặc điện của kết cấu dầm

kép.

77

Đã tìm được hàm dạng dao động tổng quát cho dầm kép có vết nứt phục vụ

việc tính toán ảnh hưởng của vết nứt đến tần số và dạng dao động riêng của kết cấu

dầm đồng thời đến điện tích cảm biến dao động của lớp áp điện. Hơn nữa, đã nhận

được một biểu thức tường minh đối với các thông số vết nứt của điện tích cảm biến

dao động, đây là một công cụ hữu ích để phát hiện vết nứt từ các điện tích cảm biến

dao động đo được.

Các tần số riêng và kết quả điện tích cảm biến dao động chuẩn hóa (tức là tỷ

số tần số và điện tích cảm biến dao động của dầm bị nứt so với dầm nguyên vẹn) đã

được xác định phụ thuộc vào độ sâu vết nứt, chỉ số biến đổi vật liệu và độ dày của

lớp áp điện. Sau khi phân tích các kết quả trên có thể đưa ra các nhận xét sau:

(1) Sự biến đổi của tần số riêng tăng khi chiều sâu vết nứt tăng, chỉ số biến đổi

vật liệu và độ dày của lớp áp điện giảm;

(2) Điện tích cảm biến dao động được khuếch đại khi chỉ số biến đổi vật liệu

giảm và độ dày của lớp áp điện tăng, nhưng độ sâu vết nứt có thể tăng hoặc giảm điện

tích cảm biến dao động phụ thuộc vào vị trí của vết nứt;

(3) Trên dầm tồn tại những vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay

đổi tần số riêng và điện tích cảm biến dao động nào đó được gọi là điểm nút tần số

riêng và điểm nút điện tích cảm biến dao động ;

(4) Cả chỉ số biến đổi vật liệu và độ dày lớp áp điện đều không ảnh hưởng đến

dạng dao động riêng.

Những kết quả này đã được công bố trong bài báo mới được đăng online ngày

28/10/2021:

78

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Trong chương 3 tác giả đã trình bày những kết quả chính sau đây:

1. Đã xây dựng được mô hình dầm đồng nhất có lớp áp điện và có vết nứt, từ đó

nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt và chiều dày lớp áp điện đến tần số và dạng

dao động riêng của dầm áp điện;

2. Đã xây dựng được mô hình dầm FGM áp điện có vết nứt và ứng dụng để

nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt, chiều dày lớp áp điện và tham số vật liệu

đến tần số riêng, dạng dao động riêng và điện tích xuất hiện trong lớp áp điện

tính được từ các dạng dao động riêng.

3. Kết quả minh họa số là những luận cứ cơ bản để giải bài toán chẩn đoán vết

nứt trong dầm FGM bằng cảm biến áp điện phân bố liên tục trên dầm.

79

CHƯƠNG 4. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM FGM CÓ LỚP

ÁP ĐIỆN

Nội dung chính của chương này là giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm

áp điện, trong đó áp dụng phương pháp đường đồng mức, thực ra là một phương pháp

đồ thị. Vì vậy độ chính xác của lời giải chính là độ phân giải (bước chia của các tham

số vết nứt) của đồ thị được vẽ. Tham số được chọn làm tiêu chí (indicator) chẩn đoán

là tần số dao động riêng và điện tích cảm biến dao động. Kết quả chẩn đoán bằng tần

số riêng và bằng điện tích cảm biến dao động được so sánh và khẳng định tính ưu việt

của việc chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đáp ứng điện trong lớp áp điện được xem

như một cảm biến thông minh liên tục.

Nội dung chính để giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường

đồng mức chính là việc xây dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán bao gồm sự phụ thuộc của

các tần số riêng vào vị trí và độ sâu vết nứt.

4.1. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng tần số riêng

Như trên chúng ta đã thấy, một vết nứt hở không phát triển trong dầm đàn hồi

được xác định bằng hai tham số : vị trí vết nứt e và độ sâu a. Thông thường bài toán

dao động riêng của một dầm đàn hồi có một vết nứt dẫn đến việc giải phương trình

gọi là phương trình tần số hay phương trình đặc trưng để tìm tần số riêng

𝑓(𝜔, 𝑒, 𝑎) = 0. (4.1)

0, 𝑘 = 1,2,3, … không phụ thuộc vào vị trí vết nứt,

Dễ dàng nhận thấy, nếu độ sâu vết nứt bằng 0, tức dầm không có vết nứt thì phương

0) = 0, ∀𝑒 . (4.2)

trình (4.1) sẽ cho ta các nghiệm 𝜔𝑘 tức

0, 𝑒, 0) = 𝑓0(𝜔𝑘

𝑓(𝜔𝑘

Bài toán thuận, tức bài toán phân tích dao động của dầm đàn hồi có vết nứt là

việc giải phương trình (4.1) đối với tần số 𝜔 và kết quả cho ta các tần số riêng là hàm

của vị trí và độ sâu vết nứt, ký hiệu là 𝜔𝑘=𝜔𝑘(𝑒, 𝑎), 𝑘 = 1,2,3, . .. .

∗ , 𝑘 = 1,2,3,… Vì bài

Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số riêng, tức là bài toán ngược:

xác định vị trí và độ sâu vết nứt từ các tần số riêng đã biết 𝜔𝑘

toán ngược chỉ có hai ẩn số phải tìm là vị trí và độ sâu vết nứt nên chỉ cần biết 2 tần

80

∗ (thường là các tần số đo đạc được). Khi đó bài toán chẩn

số khác nhau là 𝜔1

∗ và 𝜔2

∗, 𝑒, 𝑎) = 0. (4.3)

đoán vết nứt đòi hỏi phải giải hệ phương trình đại số phi tuyến đối với e và a như sau

∗, 𝑒, 𝑎) = 0, 𝑓(𝜔2

𝑓(𝜔1

Tuy nhiên, do sự phức tạp của phương trình tần số (4.1) hoặc do tính kỳ dị của hàm

số 𝑓(𝜔, 𝑒, 𝑎), nên hệ phương trình (4.3) rất khó giải, thậm chí không cho nghiệm duy

nhất hoặc không có nghiệm nếu các tần số đã cho không chính xác (do sai số đo đac).

Hơn nữa, nhiều khi phương trình tần số (4.1) không thể thiết lập được ở dạng tường

minh đối với các tham số vết nứt, đặc biệt là độ sâu vết nứt. Vì vậy, người ta phải tìm

các cách tiếp cận khác nhau để giải bài toán chẩn đoán vết nứt nêu trên. Trước hết, ta

đưa vào một tham số vết nứt khác thay cho độ sâu, gọi là độ lớn vết nứt (magnitude)

𝛾 = 𝑔(𝑎). Tham số này thường là có kích cỡ nhỏ hơn nhiều độ sâu và cũng bằng 0

khi 𝑎 = 0, tức 𝑔(0) = 0. Khi đó phương trình tần số có dạng

𝐹(𝜔, 𝑒, 𝛾) = 0. (4.4)

Cách tiếp cận thứ nhất, gọi là phương pháp nhiễu dựa trên giả thiết vết nứt

nhỏ. Khi đó khai triển hàm 𝐹(𝜔, 𝑒, 𝛾) theo chuỗi Taylor và giữ lại số hạng bậc nhất

ta được

′(𝜔, 𝑒, 0) = 𝐹0(𝜔) + 𝛾𝐹1(𝜔, 𝑒) = 0.

𝐹(𝜔, 𝑒, 𝛾) = 𝐹(𝜔, 𝑒, 0) + 𝛾𝐹𝛾

∗, 𝑒) = 0. (4.5)

∗) + 𝛾𝐹1(𝜔2

∗) + 𝛾𝐹1(𝜔1

Lúc này hệ phương trình (4.3) của bài toán ngược sẽ có dạng

∗, 𝑒) = 0, 𝐹0(𝜔2 Khử ẩn số độ lớn vết nứt 𝛾 từ hai phương trình trên ta được một phương trình

∗, 𝑒) = 0. (4.6)

𝐹0(𝜔1

∗)𝐹1(𝜔2

∗, 𝑒) − 𝐹0(𝜔2

∗)𝐹1(𝜔1

𝐹0(𝜔1

Phương trình (4.6) chỉ còn một ẩn số là vị trí vết nứt e, vì vậy đây là phương trình để

xác định vị trí vết nứt từ các tần số riêng. Tuy vậy, trong thực tế phương trình (4.6)

cũng không cho nghiệm chính xác vì một trong các lý do sau đây : (1) các hàm số

𝐹0(𝜔) và 𝐹1(𝜔, 𝑒) rất phức tạp không cho phép tìm được nghiệm duy nhất, thậm chí

là không có nghiệm khi vết nứt xuất hiện ở một số vị trí đặc biệt, mà chúng ta đã gọi

ở trên là các điểm nút tần số ; (2) Sai số đo đạc cũng có thể làm cho phương trình

(4.6) vô nghiệm. Chính vì thế, cho đến nay, chưa có một cộng cụ mạnh nào có thể

giải được phương trình tổng quát (4.6), mặc dù người ta đã chứng minh được

𝐹(𝜔, 𝑒, 𝛾) = 𝐹0(𝜔) + 𝛾𝐹1(𝜔, 𝑒) là biểu thức chính xác chứ không phải là gần đúng

bậc nhất theo khai triển Taylor.

81

Một cách tiếp cận khác như sau: giải phương trình (4.1) bằng số, kết quả ta

∗]2 → 𝑚𝑖𝑛, (4.7)

được hai hàm số 𝜔𝑘(𝑒, 𝑎), 𝑘 = 1,2 (ở dạng số) và sẽ giải bài toán tối ưu [6]

∗]2 + [𝜔2(𝑒, 𝑎) − 𝜔2

ℰ(𝑒, 𝑎) = [𝜔1(𝑒, 𝑎) − 𝜔1

thực chất là giải bài toán cực trị có ràng buộc khá phức tạp và có khi cho lời

giải không phù hợp với thực tế. Theo cách tiếp cận này, một số chuyên gia đã

phát triển một phương pháp được gọi là phương pháp đường đồng mức

(Contour Method). Nội dung của phương pháp đường đồng mức như sau: giải

phương trình (4.1) bằng số và vẽ đồ thị nghiệm ở dạng ba chiều ta được đồ thị

của hai mặt (surfaces)

𝜔1=𝜔1(𝑒, 𝑎), 𝜔2=𝜔2(𝑒, 𝑎).

∗ (4.8)

Sau đó vẽ hai đường đồng mức

∗ và 𝜔2(𝑒, 𝑎) = 𝜔2

𝜔1(𝑒, 𝑎) = 𝜔1

và tìm giao điểm của hai đường đồng mức nêu trên trong mặt phẳng (𝑒, 𝑎), giả

sử đó là điểm (𝑒∗, 𝑎∗). Đây chính là lời giải của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm

đàn hồi bằng tần số riêng. Phương pháp đường đồng mức khá đơn giản và tận dụng

được tối đa lời giải bài toán thuận.

Nội dung phương pháp đường đồng mức được trình bày tóm lược như sau:

∗ , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑚. Hai ẩn phải tìm là vị trí vết nứt e trong khoảng (0, L) và

Giả sử cần phải tìm một vết nứt trong dầm từ số liệu đo đạc các tham số dao

động 𝜔𝑘

độ sâu vết nứt 𝑎 ∈ (0, ℎ/2). Để giải bài toán này chúng ta cần thực hiện các bước

sau :

Bước 1. Trên cơ sở các số liệu cho trước về dầm xây dựng mô hình dao động

của dầm có một vết nứt giả định tại vị trí e và có độ sâu a chưa biết. Mô hình dao

động của dầm có vết nứt này cho phép ta tính toán các tham số dao động của dầm ;

Bước 2. Sử dụng mô hình dao động đã được xây dựng, tính toán các tham số

dao động 𝜔1, … , 𝜔𝑚 phụ thuộc vào hai tham số vết nứt là (𝑒, 𝑎), tức tính toán 𝜔𝑘 = 𝑍𝑘(𝑒, 𝑎), 𝑘 = 1,2, … , 𝑚. Kết quả cho ta m mặt 𝒁𝑘 được vẽ trong không gian ba chiều

∗ =

(𝑒, 𝑎, 𝑧), tạo thành cơ sở dữ liệu chẩn đoán ;

Bước 3. Sử dụng phần mềm (MATLAB) vẽ các đường đồng mức 𝜔𝑘

𝑍𝑘(𝑒, 𝑎), 𝑘 = 1, … , 𝑚 trên một mặt phẳng (𝑒, 𝑎) ;

82

Bước 4. Tìm các giao điểm của các đường đồng mức nêu trên, giả sử ta được

giao điểm (𝑒∗, 𝑎∗), đây chính là vị trí và độ sâu vết nứt cần phải tìm.

Nhận xét : (1) Thông thường để tìm hai ẩn số là vị trí và độ sâu vết nứt ta chỉ

cần hai phương trình, tức hai đường đồng mức ứng với hai tham số dao động cho

trước. Tuy nhiên, nếu tìm được giao điểm của càng nhiều đường đồng mức thì càng

tốt (về lý thuyết thì vết nứt phải tìm là giao điểm của tất cả các đường đồng mức). Vì

vậy, số lượng tham số dao động cho trước tối thiểu là 2 và càng biết nhiều thì càng

tốt ; (2) Do sai số của số liệu đo, các giao điểm của các cặp đường đồng mức khác

nhau có thể khác nhau, nhưng khoảng cách giữa các giao điểm này không thể quá xa

và khi đó có thể chấp nhận một kết quả gần đúng trong trường hợp số liệu đo không

chính xác; (3) Nếu một giao điểm gần đúng cũng không tồn tại thì có thể kết luận

rằng số liệu đo không đúng hoặc vết nứt tồn tại ở điểm nút của một số dạng dao động.

Phương pháp này sẽ được áp dụng để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM-áp điện

trong các mục tiếp theo.

4.2. Cơ sở dữ liệu chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM-áp điện

Trong mục này tác giả xây dựng cơ sở dữ liệu để áp dụng phương pháp đường

đồng mức nêu trên cho dầm áp điện trong hai trường hợp: trước tiên sử dụng tần số

riêng và sau đó sử dụng điện tích cảm biến dao động trong lớp áp điện. Vì vậy, dưới

đây sẽ trình bày kết quả tính toán sự phụ thuộc của các tần số và của điện tích cảm

biến dao động riêng phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt, được gọi là cơ sở dữ liệu

chẩn đoán.

4.2.1 Cơ sở dữ liệu cho việc chẩn đoán vết nứt bằng đường đồng mức tần số

Ở đây trình bày cơ sở dữ liệu cho việc chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng

phương pháp đường đồng mức tần số. Tức chúng ta tính toán ba tần số đầu của dầm

phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong ba trường hợp điều kiện biên khác nhau

(tựa đơn, ngàm hai đầu và dầm công xôn) và sử dụng hàm surface (X,Y,Z) trong

MATLAB để vẽ ba mặt 𝜔1 = 𝜔1(𝑒, 𝑎), 𝜔2 = 𝜔2(𝑒, 𝑎), 𝜔3 = 𝜔3(𝑒, 𝑎) trong không

gian để từ đó có thể trích lấy đường đồng mức cụ thể tương ứng với số liệu cho trước

phục vụ chẩn đoán vết nứt được thực hiện ở mục sau (4.3). Các Hình 4.1 - 4.3, lần

lượt trình bày các tần số của dầm FGM với ba điều kiện biên khác nhau : gối tựa đơn

83

(simple supports - SS), ngàm hai đầu (clamped-clamped – CC) và dầm công xôn

(Cantilevered – CF).

Các hình vẽ trên cho thấy sự phụ thuộc của ba tần số đầu tiên của dầm FGM

vào vị trí và độ sâu vết nứt đều tương tự như dầm đồng nhất trừ tần số thứ ba của dầm

công xôn. Điều này có thể lý giải như sau: ba tần số đầu của dầm tựa đơn và dầm

ngàm hai đầu đều là các tần số dao động uốn nên sự phụ thuộc của chúng vào vết nứt

tương tự như dầm đồng nhất. Tuy nhiên ở dầm công xôn chỉ có hai tần số đầu là tần

số dao động uốn, tần số thứ ba là tần số cơ bản của dao động dọc trục. Nhưng do có

sự tương tác giữa dao dộng uốn và dao động dọc trục trong dầm FGM, nên tần số thứ

ba của dầm công xôn không hoàn toàn giống như tần số thứ nhất của dầm công xôn

trong dao động dọc trục. Điều này chứng tỏ trong dầm FGM ảnh hưởng của dao dộng

uốn đến dao động dọc trục mạnh hơn ảnh hưởng dao động dọc trục đến dao động uốn.

84

Hình 4. 1. Ba tần số đầu của dầm tựa đơn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt

85

86

Hình 4. 2. Ba tần số đầu của dầm ngàm hai đầu phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt

87

Hình 4. 3. Ba tần số đầu của dầm công xôn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt

88

4.2.2 Cơ sở dữ liệu chẩn đoán vết nứt bằng đường đồng mức điện tích cảm biến

dao động

Trong mục này trình bày sự phụ thuộc của điện tích sinh ra trong lớp áp điện

do các dạng dao động riêng phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt. Các Hình 4.4 - 4.6

lần lượt trình bày điện tích cảm biến ứng với ba dạng dao dộng đầu tiên của dầm với

các điều kiện biên khác nhau (tựa đơn, ngàm hai đầu và dầm công xôn).

89

Hình 4. 4. Điện tích cảm biến dao động của ba dạng riêng đầu tiên của dầm tựa đơn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt

90

Hình 4. 5. Điện tích cảm biến dao động của ba dạng riêng đầu tiên của dầm ngàm hai đầu phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt

91

92

Hình 4. 6. Điện tích cảm biến dao động của ba dạng riêng đầu tiên của dầm công xôn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt

Dễ dàng nhận thấy sự phụ thuộc của điện tích cảm biến dao động phức tạp hơn

nhiều sự phụ thuộc của tần số. Tuy nhiên việc xử lý và vẽ các đường đồng mức để

chẩn đoán vết nứt là mục tiêu cuối cùng, sẽ do chương trình MATLAB thực hiện và

kết quả được trình bày trong mục sau.

4.3. Kết quả thử nghiệm số

Trong phần này, với mục đích kiểm nghiệm hiệu quả của việc ứng dụng

phương pháp đường đồng mức để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM áp điện,

tiến hành thực hiện một thí nghiệm số trong hai trường hợp như sau: Giả sử

hợp vết nứt có độ sâu là a/h = 30%. Tính toán ba tần số riêng đầu tiên 𝜔1

dầm có một vết nứt tại vị trí e =L/3 hoặc tại vị trí e = L/2 và trong cả hai trường ∗, ∗ , 𝜔2 ∗. Giả thiết đây là các

∗ và ba giá trị điện tích cảm biến dao động 𝑄1

∗ , 𝑄3

∗ , 𝑄2

𝜔3 giá trị đo không có sai số của tần số riêng và điện tích cảm biến dao động. Sử

dụng cơ sở dữ liệu đã xây dựng ở trên, vẽ các đường đồng mức ứng với các giá

trị cho trước này trên cùng một mặt phẳng và giao điểm của ba đường đồng

mức này trong mặt phẳng của vị trí và độ sâu vết nứt cho ta lời giải của bài toán

93

chẩn đoán vết nứt. Việc lựa chọn hai vị trí vết nứt nêu trên là có ý đồ của tác

giả, thứ nhất điểm L/2 là điểm nút tần số riêng thứ hai và L/3 là điểm nút tần số

riêng thứ ba (dầm tựa đơn hai đầu). Lựa chọn này để kiểm tra kết quả chẩn đoán

vết nứt ngay cả khi vết nứt xuất hiện tại các vị trí điểm nút. Kết quả chẩn đoán

bằng tần số riêng và điện tích cảm biến dao dộng được trình bày trong các Hình

4.7 - 4.8 (chẩn đoán bằng tần số) và các Hình 4.9 - 4.10 (chẩn đoán bằng các

điện tích cảm biến dao động), mỗi hình tương ứng với một trường hợp vết nứt

nêu trên. Trong mỗi hình vẽ có ba trường hợp tương ứng với hai điều kiện biên

cổ điển : tựa đơn, ngàm hai đầu và dầm công xôn.

(a)

94

(b)

(c)

Hình 4. 7. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức tần số cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại giữa dầm có độ sâu 30%.

95

(a)

(b)

96

(c)

Hình 4. 8. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức tần số cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại vị trí

e = L/3 có độ sâu 30%.

(a)

97

(b)

(c)

Hình 4. 9. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức điện tích cảm biến dao động cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với vết nứt tại giữa dầm có độ sâu 30%.

98

(a)

(b)

99

(c)

Hình 4. 10. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức điện tích

cảm biến dao động cho dầm tựa đơn (a), ngàm hai đầu (b) và dầm công xôn (c) với

vết nứt tại vị trí e = L/3 có độ sâu 30%.

Kết quả chẩn đoán cho thấy: (a) Việc chẩn đoán bằng tần số riêng chỉ cho

nghiệm duy nhất đối với dầm công xôn, khi mà điều kiện biên hai đầu không

đối xứng; trong trường hợp điều kiện biên đối xứng việc chẩn đoán bằng tần số

riêng luôn cho hai nghiệm đối xứng nhau qua điểm giữa dầm (điều này đã rõ

trong trường hợp dầm đồng nhất); lưu ý rằng khi vết nứt ở giữa dầm thì điểm

đối xứng với nó qua giữa dầm là chính nó, vì vậy bài toán cũng có một nghiệm

duy nhất. (b) Trong khi đó việc chẩn đoán bằng điện tích cảm biến dao động

luôn cho ta một nghiệm duy nhất trong tất cả các trường hợp điều kiện biên;

điều này chứng tỏ sử dụng cảm biến bằng vật liệu áp điện đã giải quyết trọn

vẹn vấn đề không có nghiệm duy nhất của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm

kế cả FGM lẫn dầm đồng nhất.

100

Bảng 4. 1. Kết quả chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng phương pháp đường đồng mức

Kết quả chẩn đoán bằng tần số

Kết quả chẩn đoán bằng điện tich

Trường hợp vết nứt thực

Vị trí vết nứt

Độ sâu vết nứt

Vị trí vết nứt

Độ sâu vết nứt

Dầm tự đơn hai đầu

𝑒 = 𝐿/2; 𝑎 = 30%

0.5

0.3

0.5

0.3

𝑒 = 𝐿/3; 𝑎 = 30%

1/3 2/3

0.3

1/3

0.3

Dầm ngàm hai đầu

𝑒 = 𝐿/2; 𝑎 = 30%

0.5

0.3

0.5

0.3

𝑒 = 𝐿/3; 𝑎 = 30%

1/3 2/3

0.3

1/3

0.3

Dầm công xôn

𝑒 = 𝐿/2; 𝑎 = 30%

0.5

0.3

0.5

0.3

𝑒 = 𝐿/3; 𝑎 = 30%

1/3

0.3

1/3

0.3

KẾT LUẬN CHƯƠNG 4

Trong chương này tác giả trình bày những quả chính sau đây :

1. Nội dung của phương pháp đường đồng mức, cơ sở khoa học và quy trình giải

bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm áp điện bằng tần số riêng và điện tích cảm

biến dao động

2. Xây dựng cơ sở dữ liệu để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM áp điện bằng tần

số riêng và điện tích cảm biến dao động bao gồm các kết quả giải phương trình

tần số và tính toán điện tích cảm biến dao động từ các dạng dao động riêng phụ

thuộc vào hai biến là vị trí và độ sâu vết nứt. Kết quả này được trình bày ở dạng

đồ thị ba chiều của các hàm số hai biến nêu trên làm cơ sở để chẩn đoán vết nứt

bằng phương pháp đường đồng mức;

3. Áp dụng phương pháp đường đồng mức để thử nghiệm chẩn đoán vị trí và độ sâu

vết nứt bằng tần số riêng và điện tích cảm biến dao động tính từ bài toán thuận.

Kết quả chẩn đoán cho thấy, nếu chỉ sử dụng tần số riêng thì bài toán chẩn đoán

vết nứt trong dầm có hai biên đối xứng (dầm ngàm hai đầu và dầm tựa đơn hai

đầu) không có nghiệm duy nhất. Trong khi sử dụng điện tích cảm biến dao động

luôn cho nghiệm duy nhất chính xác với vết nứt cho trước. Đây là kết quả mới đã

được công bố trên tạp chí ISI.

101

KẾT LUẬN CHUNG

Những kết quả mới của luận án bao gồm:

1. Đã xây dựng được mô hình dầm FGM được gắn với miếng áp điện như một dầm

bậc dựa trên phương pháp độ cứng động và đã ứng dụng để phân tích tần số dao

động riêng của dầm FGM có miếng vá áp điện. Kết quả phân tích số cho thấy

kích thước và vị trí miếng vá áp điện ảnh hưởng mạnh đến tần số riêng, có thể

làm tăng hoặc giảm tần số riêng tùy thuộc vào chiều dày và vị trí gắn miếng vá

áp điện. Đặc biệt sự có mặt của lớp áp điện làm tăng sự tương tác giữa các thành

phần dao động uốn và dao động dọc trục của dầm FGM.

2. Đã xây dựng được mô hình dầm FGM có vết nứt và được gắn một lớp áp điện

chạy dọc theo chiều dài dầm và ứng dụng để phân tích ảnh hưởng của các tham

số vết nứt, tham số vật liệu và chiều dầy lớp áp điện đến tần số riêng, điện tích

áp điện dao động riêng (modal sensor charge - MSC). Kết quả phân tích số này

tạo thành cơ sở dữ liệu để chẩn đoán vết nứt bằng các tham số dao động, trong

đó có tham số điện tích cảm biến dao động - một dấu hiệu quan trọng để chẩn

đoán vết nứt.

3. Đã áp dụng phương pháp đường đồng mức để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM

và kết quả thử nghiệm số cho thấy nếu sử dụng tần số riêng để chẩn đoán vết nứt

thì bài toán chẩn đoán một vết nứt trong dầm không cho nghiệm duy nhất khi

điều kiện biên đối xứng (dầm ngàm hoặc tựa đơn hai đầu). Nhưng nếu sử dụng

tham số điện tích cảm biến dao động thu thập được trong lớp áp điện, ta luôn

nhận được chính xác một nghiệm duy nhất. Đây là một đóng góp mới quan trọng

trong việc giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM và là minh chứng cho

sự tiến bộ của việc ứng dụng vật liệu áp điện trong chẩn đoán vết nứt nói riêng

và chẩn đoán kỹ thuật công trình nói chung.

4. Những kết quả trên cho thấy sử dụng vật liệu áp điện đã cải thiện đáng kể kết quả

chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM so với những kết quả đã công bố. Tuy nhiên,

trong luận án chưa đưa ra được phương pháp đo đạc tín hiệu điện tích cảm biến

dao động trong phòng thí nghiệm. Vì vậy, kết quả nhận được trong luận án mới

chỉ là những thử nghiệm số chưa được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Đây là vấn

đề nghiên cứu tiếp theo của tác giả trong thời gian tới.

102

DANH SÁCH CÁC CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI

DUNG LUẬN ÁN

1. N.T. Khiem, T.T. Hai, N.N. Huyen, L.Q. Huong, Dynamic Stiffness Approach to

Frequency Analysis of FGM beam bonded with a piezoelectric layer. Tuyển Tập

Hội nghị Khoa học Toàn quốc lần thứ nhất Động lực học và Điều khiển, Đà Nẵng,

18-19/7/2019, tr. 357-361.

2. N.T. Khiem, T.T. Hai, L.Q. Huong, Effect of Piezoelectric Patches on Natural

Frequencies of Timoshenko Beam Made of Functionally Graded Material, Mater.

Res. Express, 2020, 7 (5), 055707 (17pp). DOI:10.1088/2053-1591/ab8df5.

3. Duong Thanh Huan, Luu Quynh Huong, Nguyen Tien Khiem (2021) Modal

analysis of cracked beam with piezoelectric layer. Vietnam Journal of Mechanics.

First Online Published June 16, 2021. DOI: 10.15625/0866-7136/15648.

4. Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai, Luu Quynh Huong, Modal Analysis of

Functionally Graded Beam with Piezoelectric Layer. Mechanics Based Design of

Machines and Structures (Published Online First Oct.28, 2021).

5. Lưu Quỳnh Hường, Nguyễn Ngọc Huyên, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm,

Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM sử dụng vật liệu áp điện. Tuyển tập

công trình Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XV, TP Thái

Nguyên 24-25/9/2021, tr. 516-524.

103

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] P. Cawley, R.D. Adams, The location of defects in structures from measurements of natural frequencies, The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 1979, 14 (2), 49-57.

[2] W. Fan W and P.Z. Qiao, Vibration-based damage identification methods: a review and comparative study, Struct. Health Monitoring, 2011, 10 (1), 83-111.

[3] R. Hou and Y. Xia, Review on the new development of vibration-based damage identification for civil engineering structures: 2010-2019, Journal of Sound and Vibration, 2021, 491 (9), 90pp.

[4] A.K. Pandey, M. M. Samman, Damage detection from changes in curvature mode shapes, Journal of Sound and Vibration, 1991, 145 (2), 321-332.

[5] O.S. Salawu, Detection of structural damage through changes in frequency: a

review, Engineering Structures, 1997, 19 (9), 718-723.

[6] N.T. Khiem, T.V. Lien, Multi-crack detection for beams by natural frequencies,

Journal of Sound and Vibration, 2004, 273, 175-184.

[7] D. Montalvão, N.M.M. Maia, A.M.R. Ribeiro, A Review of Vibration-Based Structural Health Monitoring with Special Emphasis on Composite Material, Shock and Vibration Digest, 2006, 38 (4), 295-324.

[8] A. Erturk and D.J. Inman, Piezoelectric Energy Harvesting, John Wiley and

Sons, 2011, United Kingdom.

[9] Z. Zhang, H. Xiang, and Z. Shi, Modeling on piezoelectric energy harvesting from pavements under traffic loads, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2016, 27 (4), 567–578.

[10] İ. Büyükkeskina, S. Gürel, S. A. Tekin, M. S. Genç, Electricity Production from Wind Energy by Piezoelectric Material, International Journal of Renewable Energy Development, 2019, 8 (1), 41-46.

[11] X.D. Xie, Q. Wang, N. Wu, Energy Harvesting from Transverse Ocean Waves by Piezoelectric Plate, International Journal of Engineering Science, 2014, 81, 41-48.

[12] S.S. Rao and M. Sunar, Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of flexible structures: A Survey, ASME Applied Mech Reviews, 1994, 47 (4), 113-123.

[13] E.F. Crawley, J. De Luis, Use of Piezoelectric Actuators as Elements of

Intelligent Structures, AIAA Journal, 1987, 25 (10), 1373-1385.

104

[14] E. F. Crawley, Intelligent Structures for Aerospace: A Technology Overview

and Assessment, AIAA Journal, 1994, 32 (8), 1689-1699.

[15] C.K. Lee, F.C. Moon, Modal Sensors/Actuators, Journal of Applied Mechanics,

1990, 57 (2), 434-441.

[16] A. Preumont, Vibration Control of Active Structures - An Introduction, Kluwer

Academic Publishers, 1997, Brussels, Bỉ.

[17] T. Bailey, J.E.J. Hubbard, Distributed piezoelectric polymer active vibration control of a cantilever beam, Journal Guidance Control and Dynamics, 1985, 8(5), 605-611.

[18] K. Bendine, F.B. Boukhoulda, M. Nouari, Z. Satla, Active Vibration Control of Functionally Graded Beams with Piezoelectric Layers based on Higher Order Shear Deformation Theory, Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2016, 15 (4), 611-620.

[19] K.W. Wang, J.S. Lai, W.K. Yu, An Energy-Based Parametric Control Approach for Structural Vibration Suppression via Semi-Active Piezoelectric Networks, ASME Journal of Vibration and Acoustics , 1996, 118 (3), 505-509.

[20] R.C. Batra and X.Q. Liang, Shape Control of Vibration Simply Supported

Rectangular Plates, AIAA Journal, 1996, 34 (1), 116-122.

[21] A. Ariaei, S. Ziaei-Rad, M. Ghayour, Repair of a cracked Timoshenko beam subjected to a moving mass using piezoelectric patches, International Journal of Mechanical Sciences, 2010, 52 (8), 1074-1091.

[22] R. Kumar, H. Pathak, A. Singh and M. Tiwari, Modeling of crack repair using piezoelectric material: XFEM approach, Engineering Computations, 2020, 38(2), 586-617.

[23] T.J.C. Liu, Crack repair performance of piezoelectric actuator estimated by slope continuity and fracture mechanics, Engineering Fracture Mechanics, 2008, 75 (8), 2566-2574.

[24] Q. Wang, G.Y. Zhou, S.T. Quek, Repair of delaminated beams subjected to compressive force via piezoelectric layers, Advances in Structural Engineering, 2005, 8, 411-425,.

[25] Q. Wang, N. Wu,, A review on structure enhancement and repair using piezoelectric materials and shape memory alloys, Smart Materials and Structures, 2011, 21 (1), 23pp.

[26] Q. Wang, S. T. Quek and K. M. Liew, On the repair of a cracked beam with a piezoelectric path, Smart Materials and Structures, 2002, 11 (3), 404-410,.

105

[27] Q. Wang, S.T. Quek, Repair of cracked column under axially compressive load via piezoelectric patch, Computers & Structures, 2005, 83 (15-16), 1355-1363.

[28] Q.Wang, S.T. Quek, Repair of delaminated beams via piezoelectric patches,

Smart Materials and Structures, 2004, 13 (5), 1222-1229.

[29] Q. Wang, W.H. Duan, S.T. Quek, Repair of notched beam under dynamic load using piezoelectric patch, International Journal of Mechanical Sciences, 2004 46 (10), 1517-1533.

[30] N. Wu, Q. Wang, Repair of vibrating delaminated beam structures using piezoelectric patches, Smart Materials and Structures, 2010, 19 (3), 8pp.

[31] N. Wu, Q. Wang, Repair of a delaminated plate under static loading with piezoelectric patches, Smart Materials and Structures, 2010, 19 (10), 7pp,.

[32] X.M. Wang, C. Ehlers and M. Neitzel, An Analytical Investigation of Static Models of Piezoelectric Patches Attached to Beams and Plates, Smart Material and Structures , 1997, 6 (2), 204-213.

[33] S.M. Yang, Y.J. Lee, Modal analysis of stepped beams with piezoelectric

materials, Journal of Sound and Vibration, 1994, 176 (3), 289-300.

[34] U. Lee, J. Kim, Dynamics of elastic-piezo-electric two-layer beams using

spectral element method, International Journal of Solids and Structures, 2008,

37 (32), 4403-4417.

[35] P. Heyliger, Exact solutions for simply supported laminated piezoelectric

plates, ASME Journal Applied Mechanics, 1997, 64, 299-306,.

[36] J.H. Huang, T.L. Wu, Analysis of hybrid multilayered piezoelectric plates,

International Journal of Engineering Science, 1996, 34 (2), 171-181.

[37] Nguyen Dinh Duc, Tran Quoc Quan, Vu Dinh Luat, Nonlinear dynamic analysis and vibration of shear deformable piezoelectric FGM double curved shallow shells under damping-thermo-electro-mechanical loads, Journal of Composite Structures, 2015, 125, 29-40.

[38] Nguyen Dinh Duc, Nonlinear thermo-electro-mechanical dynamic response of shear deformable piezoelectric Sigmoid functionally graded sandwich circular cylindrical shells on elastic foundations, Journal of Sandwich Structures and Materials, 2016, 20 (3), 351-378.

[39] W.S. Hwang, H.C. Park, Finite element modeling of piezoelectric sensors and

actuators, AIAA Journal, 1993, 31 (5), 930-937.

106

[40] K.Y. Lam, X.Q. Peng, G.R. Liu, J.N. Reddy, A finite element model for piezoelectric composite laminates, Smart Material and Structures, 1997, 6, 583- 591.

[41] Nguyen-Van H., Mai-Duy N., Tran-Cong T, A smoothed

four-node piezoelectric element for analysis of two-dimensional smart structures, Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2008, 23 (2), 209-222.

[42] U. Lee, D. Kim, I. Park, Dynamic modeling and analysis of the PZT-bonded composite Timoshenko beams: Spectral element method, Journal of Sound and Vibration, 2013, 332 (6), 1585-1609.

[43] Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phương pháp độ cứng động lực trong

phân tích kết cấu, Nxb Xây dựng, 2018, Hà Nội.

[44] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Static and dynamic analysis of laminated composite plates with integrated piezoelectrics, Vietnam Journal of Mechanics, 2008, 30 (1), 55-66.

[45] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Finite element modeling and experimental study on static deflection and vibration of piezoelectric composite plates with integrated piezoelectrics, Vietnam Journal of Mechanics, 2010, 32 (2), 65-96,.

[46] Tran Ich Thinh, Le Kim Ngoc, Static behavior and vibration control of piezoelectric cantilever composite plates and comparison with experiment, Computational Material Science, 2010, 49 (4), 276-280.

[47] Tran Huu Quoc, Vu Van Tham, Tran Minh Tu, Optimal placement and active control of composite plates integrated with piezoelectric sensor/actuator pairs, Vietnam Journal of Science and Technology, 2018, 56 (1), 113-126.

[48] Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang, Nonlinear dynamic and vibration analysis of piezoelectric eccentrically stiffened FGM plates in thermal environment, International Journal of Mechanical of Sciences, 2016, 115, 711- 722.

[49] Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Nonlinear thermo-mechanical dynamic analysis and vibration of higher order shear deformable piezoelectric functionally graded material sandwich plates resting on elastic foundations, Journal of Sandwich Structures and Materials, 2016, 20 (2), 191-218.

[50] Nguyen-Van H., Le Thong, Mai-Duy N., Tran-Cong T., Nodal integration finite element techniques for analysis of piezoelectric solids, The International Conference on Computational Solid Mechanics (CSM2008), 2008, Ho Chi Minh City -Vietnam.

107

in Applied Sciences

[51] Nguyen-Van H., Mai-Duy N., Tran-Cong T., Analysis of piezoelectric solids with an efficient node-based smoothing element, The 8th World Congress on Computational Mechanics (WCCM8) and 5th European Congress on and Engineering Computational Methods (ECCOMAS2008), 2008, Venice-Italy.

[52] H. A. Winston, F. Sun, B. S. Annigeri, Structural Health Monitoring with Piezoelectric Active Sensors, Transactions of ASME, Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2001, 123, 353-358.

[53] G. Park, H. Sohn, C.R. Farrar and D.I. Inman, Overview of piezoelectric Impedance-based Health Monitoring and Path Forward, The Shock and Vibration Digest, 2003, 35 (6), 451-463.

[54] S. Bhalla, C.K. Soh, Progress in Structural Health Monitoring and Non- destructive Evaluation Using Piezo-impedance Transducers, Smart Materials and Structures: New Research, 2006, 6, 177-228.

[55] V. Giurgiutiu, Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active

Sensors, Oxford: Academic Press, 2007.

[56] W.H. Duan, S.T. Quek, Q. Wang, Applications of piezoelectric materials in structural health monitoring and repair: Selected research examples, Materials, 2010, 3 (12), 5169-5194.

[57] G. Huang, F. Song and X. Wang, Quantitative Modeling of Coupled Piezo- Elasto-dynamic Behavior of Piezoelectric Actuators bonded to an Elastic Medium for Structural Health Monitoring: A Review, Sensor, 2010, 10 (4), 3681-3702.

[58] W.S. Na and J. Baek, A Review of the Piezoelectric Electromechanical Impedance Based Structural Health Monitoring Technique for Engineering Structures, Sensor, 2018, 18 (5), 18pp.

[59] Z. Shu, Application of Piezoelectric Material in Structural Health Monitoring of Civil Engineering Structure, Chemical Engineering Transaction, 2017, 59, 523-528,.

[60] S.T. Quek, Q. Wang, L. Zhang, K.H. Ong, Practical issues in the detection of damage in beam using wavelet, Smart Material and Structures, 2001, 10n (5), 1009-1017.

[61] S. Zhao, M.Wu, Q. Wang, Crack Identification through scan-tuning of vibration characteristics using piezoelectric material, Smart Materials and Structures, 2017, 26 (2), 12pp.

108

[62] S. Zhao, M.Wu, Q. Wang, Damage Detection of Beams by a Vibration Characteristic Tuning Technique Through an Optimal Design of Piezoelectric Layers, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2016, 16 (10), 15pp.

[63] S. Zhao, N. Wu and Y. Cheng, High sensitivity damage detection with vibration mode shape tuning through the optimal design of piezoelectric actuators, Proceedings of ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, 2015, Texas.

[64] L. Jiang, J. Tang, K. Wang, An enhanced frequency-shift-based damage identification method using tunable piezoelectric transducer circuitry, Smart Materials and Structures, 2006, 15 (3), 799-808.

[65] D. Mateescu, Y. Han, A. Misra, Dynamics of Structures with Piezoelectric Sensors and Actuators for Structural Health Monitoring, Key Engineering Materials, 2007, 347, 493-498.

[66] V. Giurgiutiu and C.A. Rogers, Recent Advancements in the Electro- Mechanical Impedance Method for Structural Health Monitoring and NDE, Proceedings of SPIE Conference on Smart Structures and Material, 1998, San Diego, California, 3329, 536-547.

[67] S. Ritdumrongkul and Y. Fujino, Identification of the location and size of cracks in beam by piezoelectric actuator-sensor, Structural Control and Health Monitoring, 2007, 14 (6), 931-943.

[68] Y.Y. Lim and C.K. Soh, Electro-Mechanical Impedance – Based Incipient Crack Monitoring and Critical Crack Identification of Beam Structures, Research in Nondestructive Evaluation, 2014, 25 (2), 82-98.

[69] D. Wang, H. Song, H. Zhu, Electromechanical Impedance Analysis on Piezoelectric Smart Beam with Crack Based on Spectral Element Method, Mathematical Problems in Engineering, 2015, 2015 (4), 1-13.

[70] T. Wang, B. Tan, M. Lu, Z. Zhang and G. Lu, Piezoelectric Electro- Mechanical Impedance (EMI) Based Structural Crack Monitoring, Applied Sciences, 2020, 10 (13), 14pp.

[71] K.K.-H. Tseng and A.S.K. Naidu, Non-parametric damage detection and characterization using smart piezoelectric material, Smart Materials and Structures, 2002, 11 (3), 317-329,.

[72] Y. Hu and X. Zhang, Parametric vibration and stability of a functionally graded plate, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2011, 39 (3), 367- 377.

109

[73] X.F. Li, A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, Journal of Sound Vibration, 2008, 318 (4-5), 1210-1229.

[74] L.O. Larbi, A. Kaci, M. S. A. Houari, and A. Tounsi, An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2013, 41 (4), 421-433..

[75] S.A. Sina, H.M. Navazi and H. Haddadpour, An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams, Materials and Design, 2009, v 30 (3), 741-747.

[76] H. Su and J.R. Banerjee, Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beam, Computers & Structures,, 2015, 147, 107-116.

[77] X. Wang, X. Liang, and C. Jin, Accurate dynamic analysis of functionally graded beams under a moving point load, Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2017, 45 (1), 76-91.

[78] A.C. Okafor, K. Chandrashekhara, Y. Jiang, Delamination prediction in composite beams with built-in piezoelectric devices using modal analysis and neural network, Smart Materials and Structures, 1996, 5 (3), 338-347.

[79] J. Yang, Y. Chen, Free vibration and buckling analyses of functionally graded

beams with edge cracks, Composite Structure, 2008, 83 (1), 48-60.

[80] S.D. Akbas, Free Vibration Characteristics of Edge Cracked Functionally Graded Beams by Using Finite Element Method, International Journal of Engineering Trends and Technology, 2013, 4 (10), 4590-4597.

[81] K. Aydin, Free vibration of functionally graded beams with arbitrary number of surface cracks, European Journal of Mechanics A/Solid, 2013, 42, 112-124.

[82] N.T. Khiem, N.N. Huyen and N.T. Long, Vibration of cracked Timoshenko beam made of functionally graded material, Shock & Vibration, Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting, Acoustics & Optics, 2017, 9 (15), 133- 143,

[83] T.V. Lien, N.T. Duc, N.T. Khiem, Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multispan continuous beams using the dynamic stiffness method, Latin American Journal of Solids and Structures, 2017, 14 (9), 1752- 1766.

110

[84] Z.G. Yu, F.L. Chu, Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method, Journal of Sound and Vibration, 2009, 325 (1-2), 69-84,.

[85] A. Banerjee, B. Panigrahi and G. Pohit, Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA, Nondestructive Testing and Evaluation, 2016, 31 (2), 142-164.

[86] N.T. Khiem, N.N. Huyen, A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam, Nondestructive Testing and Evaluation, 2017, 32 (3), 319-341.

[87] M.K. Khorramabadi, A.R. Nezamabadi, Stability of functionally graded beams with piezoelectric layers based on the first order shear deformation theory," International Journal of Electrical and Computer Engineering, 2020, 4 (11), 1641-1644.

[88] Y.S. Li, W.J. Feng, Z.Y. Cai, Bending and free vibration of functionally graded piezoelectric beam based on modified strain gradient, Composite Structures, 2014, 115, 41-50,.

[89] N. N. Huyen, N. T. Khiem, Uncoupled Vibrations in Functionally Graded Timoshenko Beams, Journal of Science and Technology, 2016, 54 (6), 785-796.

[90] N.T. Khiem, T.V. Lien, V.T.A. Ninh, Natural Frequencies of Multistep Functionally Graded Beam with Cracks, Iranian Journal Science and Technology. Trans. Mech. Eng, 2019, 43 (1), 881-916.

[91] A. Chakraborty, S. Gopalakrishnan, A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams, International Journal of Solids and Structures, 2003, 40 (10), 2421-2448.

[92] N. T. Khiem, T. V. Lien, A simplified method for natural frequency analysis of multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration, 2001, 245 (4), 737- 751.