108 bài Toán chọn lọc lớp 6 - TS. Nguyễn Văn Lợi

TS. Nguy„n V«n Læi (chı bi¶n) − Ng(cid:230) Th(cid:224) Nh¢

108 B(cid:128)I TO(cid:129)N CH¯N L¯C L˛P 6

Draft

Sigma - MATHS

1

M(cid:214)C L(cid:214)C

Sigma - MATHS

M(cid:246)c l(cid:246)c

1 SŁ t(cid:252) nhi¶n 3

2 SŁ nguy¶n 8

3 Ph¥n sŁ 10

4 H…nh h(cid:229)c 14

2

5 L(cid:237)i gi£i mºt sŁ b(cid:160)i to¡n ch(cid:229)n l(cid:229)c 19

Sigma - MATHS

1 SŁ t(cid:252) nhi¶n

1. Cho t“p hæp D = {0; 1; 2; 3; · · · ; 20} a) Vi‚t t“p hæp D b‹ng c¡ch ch¿ ra t‰nh ch§t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cho c¡c phƒn tß cıa n(cid:226). b) T“p hæp D c(cid:226) bao nhi¶u phƒn tß? c) Vi‚t t“p hæp E c¡c phƒn tß l(cid:160) sŁ chfin cıa D (sŁ chfin l(cid:160) sŁ chia h‚t cho 2). T“p hæp E c(cid:226) bao nhi¶u phƒn tß? d) Vi‚t t“p hæp F c¡c phƒn tß l(cid:160) sŁ l· cıa D (sŁ l· l(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng chia h‚t cho 2). T“p hæp F c(cid:226) bao nhi¶u phƒn tß?

2. Trong mºt l(cid:238)p h(cid:229)c, mØi h(cid:229)c sinh (cid:31)•u h(cid:229)c ti‚ng Anh ho(cid:176)c ti‚ng Ph¡p. C(cid:226) 25 ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:229)c ti‚ng Anh, 27 ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:229)c ti‚ng Ph¡p, cÆn 18 ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:229)c c£ hai thø ti‚ng. H(cid:228)i l(cid:238)p h(cid:229)c (cid:31)(cid:226) c(cid:226) bao nhi¶u h(cid:229)c sinh?

3. Cho mºt sŁ c(cid:226) 3 chœ sŁ l(cid:160) abc (a, b, c kh¡c nhau v(cid:160) kh¡c 0). N‚u (cid:31)Œi chØ c¡c chœ sŁ cho nhau ta (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ m(cid:238)i. H(cid:228)i c(cid:226) t§t c£ bao nhi¶u sŁ c(cid:226) 3 chœ sŁ nh(cid:247) v“y? (K” c£ sŁ ban (cid:31)ƒu).

4. Quy”n s¡ch gi¡o khoa To¡n 6 t“p mºt c(cid:226) 132 trang. Hai trang (cid:31)ƒu kh(cid:230)ng (cid:31)¡nh sŁ. H(cid:228)i ph£i d(cid:242)ng t§t c£ bao nhi¶u chœ sŁ (cid:31)” (cid:31)¡nh sŁ c¡c trang cıa quy”n s¡ch n(cid:160)y?

5. V(cid:238)i 9 que di¶m h¢y s›p x‚p th(cid:160)nh mºt sŁ La M¢: a) C(cid:226) gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t. b) C(cid:226) gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t.

6. Vi‚t c¡c t“p hæp sau b‹ng c¡ch li»t k¶ c¡c phƒn tß cıa ch(cid:243)ng: a) T“p hæp A c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n x m(cid:160) x − 2 = 14. b) T“p hæp B c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n x m(cid:160) x + 5 = 5. c) T“p hæp C c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n kh(cid:230)ng v(cid:247)æt qu¡ 100.

3

7. Cho A l(cid:160) t“p hæp c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n chia h‚t cho 3 v(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n 30; B l(cid:160) t“p hæp c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n chia h‚t cho 6 v(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n 30; C l(cid:160) t“p hæp c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n chia h‚t cho 9 v(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n 30. a) Vi‚t c¡c t“p hæp A, B, C b‹ng c¡ch li»t k¶ c¡c phƒn tß cıa c¡c t“p hæp (cid:31)(cid:226). b) X¡c (cid:31)(cid:224)nh sŁ phƒn tß cıa mØi t“p hæp. c) D(cid:242)ng k‰ hi»u ⊂ (cid:31)” th” hi»n quan h» giœa c¡c t“p hæp (cid:31)(cid:226).

Sigma - MATHS

8. T…m hai sŁ bi‚t tŒng cıa ch(cid:243)ng l(cid:160) 176; mØi sŁ (cid:31)•u c(cid:226) hai chœ sŁ kh¡c nhau v(cid:160) sŁ n(cid:160)y l(cid:160) sŁ kia vi‚t theo thø t(cid:252) ng(cid:247)æc l⁄i.

9. Kh(cid:230)ng t‰nh gi¡ tr(cid:224) c(cid:246) th”, h¢y so s¡nh hai bi”u thøc: a) A = 199 · 201 v(cid:160) B = 200 · 200. b) C = 35 · 53 − 18 v(cid:160) D = 35 + 53 · 34.

10. T…m x bi‚t: a) (x + 74) − 318 = 200 b) 3636 : (12x − 91) = 36 c) (x : 23 + 45) · 67 = 8911.

11. Cho S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100. a) TŒng tr¶n c(cid:226) bao nhi¶u sŁ h⁄ng? b) T…m sŁ h⁄ng thø 22. c) T‰nh S.

12. Vi‚t c¡c t‰ch ho(cid:176)c th(cid:247)(cid:236)ng sau d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng l(cid:244)y thła cıa mºt sŁ. a) 25 · 84 ; b) 256 · 1253 ; c) 6255 : 257 d) 123 · 33 .

c) (2x − 15)5 = (2x − 15)3

13. T…m x ∈ N bi‚t: a) x10 = 1x ; d) 2x − 15 = 17 ; b) x10 = x ; e) (7x − 11)3 = 25 · 52 + 200.

14. T‰ch c¡c sŁ l· li¶n ti‚p c(cid:226) t“n c(cid:242)ng l(cid:160) 7. H(cid:228)i t‰ch (cid:31)(cid:226) c(cid:226) bao nhi¶u thła sŁ?

15. Cho S = 1 + 31 + 32 + 33 + · · · + 330. T…m chœ sŁ t“n c(cid:242)ng cıa S, tł (cid:31)(cid:226) suy ra S kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) sŁ ch‰nh ph(cid:247)(cid:236)ng.

c) 16. T‰nh gi¡ tr(cid:224) bi”u thøc: a) (102 + 112 + 122) : (132 + 142) b) 9! − 8! − 7! · 82 (3 · 4 · 216)2 11 · 213 · 411 − 169 .

4

17. T…m x bi‚t: a) (19x + 2 · 52) : 14 = (13 − 8)2 − 42

Sigma - MATHS

b) 2 · 3x = 10 · 312 + 8 · 274.

18. Mºt th(cid:242)ng c(cid:226) 16 l‰t. H¢y d(cid:242)ng mºt b…nh 7 l‰t v(cid:160) mºt b…nh 3 l‰t (cid:31)” chia 16 l‰t th(cid:160)nh hai phƒn b‹ng nhau.

19. Trong c¡c sŁ sau, sŁ n(cid:160)o chia h‚t cho 2; cho 4; cho 8; cho 5; cho 25; cho 125?

1010; 1076; 1984; 2782; 3452; 5341; 6375; 7800.

20. V(cid:238)i c(cid:242)ng c£ 4 chœ sŁ 2; 5; 6; 7, vi‚t t§t c£ c¡c sŁ: a) Chia h‚t cho 4; c) Chia h‚t cho 25; b) Chia h‚t cho 8; d) Chia h‚t cho 125.

21. C(cid:226) bao nhi¶u sŁ t(cid:252) nhi¶n c(cid:226) ba chœ sŁ v(cid:160) chia h‚t cho 3?

22. Bi‚t r‹ng A = 717 + 17 · 3 − 1 l(cid:160) mºt sŁ chia h‚t cho 9. C(cid:226) th” sß d(cid:246)ng k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)” chøng t(cid:228) r‹ng B = 718 + 18 · 3 − 1 c(cid:244)ng chia h‚t cho 9 kh(cid:230)ng?

Ch(cid:243) (cid:254): Ta c(cid:226) th” chøng minh k‚t qu£ tŒng qu¡t h(cid:236)n: V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ t(cid:252) nhi¶n n, n‚u 7n + 3n − 1 chia h‚t cho 9 th… 7n+1 + 3(n + 1) − 1 c(cid:244)ng chia h‚t cho 9. (Lo⁄i b(cid:160)i t“p n(cid:160)y chu'n b(cid:224) cho h(cid:229)c sinh l(cid:160)m quen v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p quy n⁄p to¡n h(cid:229)c).

23. a) Cho n l(cid:160) mºt sŁ kh(cid:230)ng chia h‚t cho 3. Chøng minh r‹ng n2 chia cho 3 d(cid:247) 1. b) Cho p l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n tŁ l(cid:238)n h(cid:236)n 3. H(cid:228)i p2+2003 l(cid:160) sŁ nguy¶n tŁ hay hæp sŁ?

24. MØi sŁ sau c(cid:226) bao nhi¶u (cid:247)(cid:238)c: 90; 540; 3675.

25. (cid:30)i•n v(cid:160)o b£ng sau m(cid:229)i sŁ nguy¶n tŁ p m(cid:160) p2 ≤ a :

121 179 197 217

5

a 59 p

Sigma - MATHS

26. Hai sŁ nguy¶n tŁ sinh (cid:31)(cid:230)i l(cid:160) hai sŁ nguy¶n tŁ h(cid:236)n k†m nhau 2 (cid:31)(cid:236)n v(cid:224). T…m hai sŁ nguy¶n tŁ sinh (cid:31)(cid:230)i nh(cid:228) h(cid:236)n 50.

27. Mºt c«n phÆng h…nh chœ nh“t k‰ch th(cid:247)(cid:238)c 630 × 480 (cm) (cid:31)(cid:247)æc l¡t lo⁄i g⁄ch h…nh vu(cid:230)ng. MuŁn cho hai h(cid:160)ng g⁄ch cuŁi c(cid:242)ng s¡t hai bøc t(cid:247)(cid:237)ng li¶n ti‚p kh(cid:230)ng b(cid:224) c›t x†n th… k‰ch th(cid:247)(cid:238)c l(cid:238)n nh§t cıa vi¶n g⁄ch l(cid:160) bao nhi¶u? (cid:30)” l¡t c«n phÆng (cid:31)(cid:226) cƒn bao nhi¶u g⁄ch?

28. C(cid:226) 64 ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)i tham quan b‹ng hai lo⁄i xe: Lo⁄i 12 chØ ng(cid:231)i v(cid:160) lo⁄i 7 chØ ng(cid:231)i. Bi‚t sŁ ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)i vła (cid:31)ı sŁ gh‚ ng(cid:231)i, h(cid:228)i mØi lo⁄i c(cid:226) m§y xe?

29. T…m hai sŁ t(cid:252) nhi¶n a v(cid:160) b bi‚t t‰ch cıa ch(cid:243)ng l(cid:160) 2940 v(cid:160) BCNN cıa ch(cid:243)ng l(cid:160) 210.

30. Ba h(cid:229)c sinh, mØi ng(cid:247)(cid:237)i mua mºt lo⁄i b(cid:243)t. Gi¡ ba lo⁄i lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) 1200 (cid:31)(cid:231)ng, 1500 (cid:31)(cid:231)ng, 2000 (cid:31)(cid:231)ng. Bi‚t sŁ ti•n ph£i tr£ l(cid:160) nh(cid:247) nhau, h(cid:228)i mØi h(cid:229)c sinh mua ‰t nh§t bao nhi¶u b(cid:243)t?

31. Mºt m£nh (cid:31)§t h…nh chœ nh“t d(cid:160)i 112m, rºng 40m. Ng(cid:247)(cid:237)i ta muŁn chia m£nh (cid:31)§t th(cid:160)nh nhœng (cid:230) vu(cid:230)ng b‹ng nhau (cid:31)” tr(cid:231)ng c¡c lo⁄i rau. H(cid:228)i v(cid:238)i c¡ch chia n(cid:160)o th… c⁄nh cıa (cid:230) vu(cid:230)ng l(cid:160) l(cid:238)n nh§t v(cid:160) b‹ng bao nhi¶u?

32. Trong mºt buŒi li¶n hoan, Ban tŒ chøc (cid:31)¢ mua t§t c£ 840 c¡i b¡nh, 2352 c¡i k(cid:181)o v(cid:160) 560 qu£ qu(cid:254)t chia (cid:31)•u ra c¡c (cid:31)(cid:190)a, (cid:31)(cid:190)a g(cid:231)m c£ b¡nh, k(cid:181)o v(cid:160) qu(cid:254)t. T‰nh sŁ (cid:31)(cid:190)a nhi•u nh§t ph£i c(cid:226) mØi (cid:31)(cid:190)a bao nhi¶u b¡nh, k(cid:181)o, qu(cid:254)t?

33. SŁ h(cid:229)c sinh cıa mºt tr(cid:247)(cid:237)ng l(cid:160) mºt sŁ l(cid:238)n h(cid:236)n 900, g(cid:231)m ba chœ sŁ. MØi lƒn x‚p h(cid:160)ng 3, h(cid:160)ng 4, h(cid:160)ng 5 (cid:31)•u vła (cid:31)ı, kh(cid:230)ng thła ai. H(cid:228)i tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:226) c(cid:226) bao nhi¶u h(cid:229)c sinh?

34. Ng(cid:247)(cid:237)i ta (cid:31)‚m trøng trong mºt rŒ. N‚u (cid:31)‚m theo tłng ch(cid:246)c c(cid:244)ng nh(cid:247) (cid:31)‚m theo t¡ (mºt t¡ c(cid:226) 12 qu£), ho(cid:176)c (cid:31)‚m theo tłng 15 qu£ th… lƒn n(cid:160)o c(cid:244)ng cÆn l⁄i 1 qu£. T‰nh sŁ trøng trong rŒ, bi‚t r‹ng sŁ trøng ch(cid:247)a (cid:31)‚n 100.

6

35. T‰nh tŒng: a) 23476893 + 542771678 ; b) 32456 + 97685 + 238947

Sigma - MATHS

36. T‰nh nhanh c¡c tŒng sau: a) 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 ; b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + · · · + 100.

37. T…m x, bi‚t : a) (x − 78) · 26 = 0 ; b) 39 · (x − 5) = 39

38. T‰nh nhanh: 1 · 5 · 6 + 2 · 10 · 12 + 4 · 20 · 24 + 9 · 45 · 54 1 · 3 · 5 + 2 · 6 · 10 + 4 · 12 · 20 + 9 · 27 · 45

39. Chøng t(cid:228) r‹ng hai sŁ n + 1 v(cid:160) 3n + 4(n ∈ N) l(cid:160) hai sŁ nguy¶n tŁ c(cid:242)ng nhau.

40. T…m sŁ t(cid:252) nhi¶n a, bi‚t r‹ng 156 chia cho a d(cid:247) 12, v(cid:160) 280 chia cho a d(cid:247) 10.

41. T…m hai sŁ t(cid:252) nhi¶n a v(cid:160) b (a > b) c(cid:226) BCNN b‹ng 336 v(cid:160) (cid:215)CLN b‹ng 12.

42. C(cid:226) 133 quy”n v(cid:240), 80 b(cid:243)t bi, 170 t“p gi§y. Ng(cid:247)(cid:237)i ta chia v(cid:240), b(cid:243)t bi, gi§y th(cid:160)nh c¡c phƒn th(cid:247)(cid:240)ng (cid:31)•u nhau, mØi phƒn th(cid:247)(cid:240)ng g(cid:231)m c£ ba lo⁄i. Nh(cid:247)ng sau khi chia cÆn thła 13 quy”n v(cid:240), 8 b(cid:243)t bi, 2 t“p gi§y kh(cid:230)ng (cid:31)ı chia v(cid:160)o c¡c phƒn th(cid:247)(cid:240)ng. T‰nh xem c(cid:226) bao nhi¶u phƒn th(cid:247)(cid:240)ng?

43. Qu¢ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng AB d(cid:160)i 110km. L(cid:243)c 7 gi(cid:237), ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t (cid:31)i tł A (cid:31)” (cid:31)‚n B, ng(cid:247)(cid:237)i thø hai (cid:31)i tł B (cid:31)” (cid:31)‚n A. H(cid:229) g(cid:176)p nhau l(cid:243)c 9 gi(cid:237). Bi‚t v“n tŁc ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t l(cid:238)n h(cid:236)n v“n tŁc ng(cid:247)(cid:237)i thø hai l(cid:160) 5km/h. T‰nh v“n tŁc mØi ng(cid:247)(cid:237)i.

44. Mºt con ch(cid:226) (cid:31)uŒi mºt con th(cid:228) c¡ch n(cid:226) 150dm. Mºt b(cid:247)(cid:238)c nh£y cıa ch(cid:226) d(cid:160)i 9dm, mºt b(cid:247)(cid:238)c cıa th(cid:228) d(cid:160)i 7dm v(cid:160) khi ch(cid:226) nh£y mºt b(cid:247)(cid:238)c th… th(cid:228) c(cid:244)ng nh£y mºt b(cid:247)(cid:238)c. H(cid:228)i ch(cid:226) ph£i nh£y bao nhi¶u b(cid:247)(cid:238)c m(cid:238)i (cid:31)uŒi k(cid:224)p th(cid:228)?

7

45. Mºt b(cid:160) mang mºt rŒ trøng ra chæ. D(cid:229)c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng g(cid:176)p mºt b(cid:160) kh¡c v(cid:230) (cid:254) (cid:31)(cid:246)ng ph£i, rŒ trøng r(cid:236)i xuŁng (cid:31)§t. B(cid:160) kia t(cid:228) (cid:254) muŁn (cid:31)•n l⁄i sŁ trøng b–n h(cid:228)i: - B(cid:160) cho bi‚t trong rŒ c(cid:226) bao nhi¶u trøng? B(cid:160) c(cid:226) rŒ trøng tr£ l(cid:237)i: - T(cid:230)i ch¿ nh(cid:238) r‹ng sŁ trøng (cid:31)(cid:226) chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, lƒn n(cid:160)o c(cid:244)ng cÆn thła ra mºt qu£, nh(cid:247)ng chia cho 7 th… kh(cid:230)ng thła qu£ n(cid:160)o. (cid:128), m(cid:160) sŁ trøng ch(cid:247)a (cid:31)‚n 400 qu£. T‰nh xem trong rŒ c(cid:226) bao nhi¶u trøng? 46. T…m ba sŁ t(cid:252) nhi¶n a, b, c kh¡c 0 sao cho c¡c t‰ch 140a, 180b, 200c b‹ng nhau v(cid:160) c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t.

Sigma - MATHS

2 SŁ nguy¶n

47. Tr¶n tr(cid:246)c sŁ, (cid:31)i”m A c¡ch gŁc 2 (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) v• b¶n tr¡i; (cid:31)i”m B c¡ch (cid:31)i”m A l(cid:160) 3 (cid:31)(cid:236)n v(cid:224). H(cid:228)i: a) (cid:30)i”m A bi”u di„n sŁ nguy¶n n(cid:160)o? b) (cid:30)i”m B bi”u di„n sŁ nguy¶n n(cid:160)o?

48. T…m c¡c gi¡ tr(cid:224) th‰ch hæp cıa a v(cid:160) b: a) a00 > −111 c) −cb3 < −cba b) −a99 > −600 d) −cab < −c85

49. Trong c¡c m»nh (cid:31)• sau, m»nh (cid:31)• n(cid:160)o (cid:31)(cid:243)ng, m»nh (cid:31)• n(cid:160)o sai? a) N‚u a = b th… |a| = |b| b) N‚u |a| = |b| th… a = b c) N‚u |a| < |b| th… a < b.

50. T…m x bi‚t: a) |x| + | − 5| = | − 37| b) | − 6| · |x| = |54|

51. T…m x ∈ Z bi‚t: a) |x| < 10 b) |x| > 21 c) |x| > −3 d) |x| < −1.

52. T…m c¡c v‰ d(cid:246) chøng t(cid:228) r‹ng c¡c khflng (cid:31)(cid:224)nh sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng: a) V(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ Z ⇒ a ∈ N ; b) V(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ Z ⇒ |a| > 0 ; c) V(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ Z ⇒ |a| > a ; d) V(cid:238)i m(cid:229)i a, b ∈ Z v(cid:160) |a| = |b| ⇒ a = b ; e) V(cid:238)i m(cid:229)i a, b ∈ Z v(cid:160) |a| > |b| ⇒ a > b.

53. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n a ta lu(cid:230)n c(cid:226): a) |a| ≥ 0 : Gi¡ tr(cid:224) tuy»t (cid:31)Łi cıa mºt sŁ nguy¶n th… kh(cid:230)ng ¥m. b) |a| ≥ a : Gi¡ tr(cid:224) tuy»t (cid:31)Łi cıa mºt sŁ nguy¶n lu(cid:230)n lu(cid:230)n l(cid:238)n h(cid:236)n ho(cid:176)c b‹ng ch‰nh n(cid:226).

54. Cho |x| = 5; |y| = 11. T‰nh x + y.

8

55. T‰nh tŒng:

Sigma - MATHS

a) S1 = a + |a| v(cid:238)i a ∈ Z; b) S2 = a + |a| + a + |a| + · · · + a v(cid:238)i a l(cid:160) sŁ nguy¶n ¥m v(cid:160) tŒng c(cid:226) 101 sŁ h⁄ng.

56. T‰nh nhanh: a) −37 + 54 + (−70) + (−163) + 246 ; b) −359 + 181 + (−123) + 350 + (−172) ; c) −69 + 53 + 46 + (−94) + (−14) + 78.

57. Cho 18 sŁ nguy¶n sao cho tŒng cıa 6 sŁ b§t k… trong c¡c sŁ (cid:31)(cid:226) (cid:31)•u l(cid:160) mºt sŁ ¥m. Gi£i th‰ch v… sao tŒng cıa 18 sŁ (cid:31)(cid:226) c(cid:244)ng l(cid:160) mºt sŁ ¥m? B(cid:160)i to¡n cÆn (cid:31)(cid:243)ng kh(cid:230)ng n‚u thay 18 sŁ b(cid:240)i 19 sŁ?

b) x − 5 = −8 d) |x| − 6 = 5 ;

58. T…m sŁ nguy¶n x, bi‚t: a) x + 15 = 7 c) 12 + (4 − x) = −5 e) |x − 3| = 4

59. T…m c¡c sŁ nguy¶n x sao cho: a) |x| = x ; b) |x| > x ; c) |x| + x = 0 ; d) x + 5 = |x| − 5.

60. Cho d¢y sŁ 1; −2; 3; −4; 5; −6; 7; −8; 9; −10. Ch(cid:229)n ra ba sŁ r(cid:231)i (cid:31)(cid:176)t d§u "+" ho(cid:176)c d§u "-" giœa c¡c sŁ §y. T‰nh gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t, gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc bi”u thøc m(cid:238)i l“p.

61. T‰nh b‹ng c¡ch hæp l‰ nh§t: a) −2003 + (−21 + 75 + 2003) b) 1152 − (374 + 1152) + (−65 + 374).

62. T…m x bi‚t: a) 461 + (x − 45) = 387 b) 11 − (−53 + x) = 97 c) −(x + 84) + 213 = −16.

63. Vi‚t 5 sŁ nguy¶n v(cid:160)o 5 (cid:31)¿nh cıa mºt ng(cid:230)i sao n«m c¡nh sao cho tŒng cıa hai sŁ t⁄i hai (cid:31)¿nh li•n nhau lu(cid:230)n b‹ng -6. T…m 5 sŁ nguy¶n (cid:31)(cid:226).

9

64. T…m x bi‚t:

Sigma - MATHS

a) −12(x − 5) + 7(3 − x) = 5 c) x(x + 3) = 0 e) (x − 1)(x2 + 1) = 0 b) 30(x + 2) − 6(x − 5) − 24x = 100. d) (x − 2)(5 − x) = 0 f) (x + 3)(x − 4) = 0

65. T…m x ∈ Z bi‚t: a) |2x − 5| = 13 b) |7x + 3| = 66 c) |5x − 2| ≤ 13 d) (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0 e) (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11 (sŁ h⁄ng (cid:31)ƒu ti¶n (cid:31)(cid:247)æc vi‚t l(cid:160) x − 3 v(cid:160) k‚t th(cid:243)c d¢y l(cid:160) sŁ 11).

66. Th(cid:252)c hi»n ph†p t‰nh mºt c¡ch hæp l‰: a) (−125) · (+25) · (−32) · (−14) ; b) (−159)(+56) + (+43) · (−159) + (−159) ; c) (−31) · (+52) + (−26) · (−162).

67. Cho S = 1 − 3 + 32 − 33 + · · · + 398 − 399. a) Chøng minh r‹ng S l(cid:160) bºi cıa -20. b) T‰nh S, tł (cid:31)(cid:226) suy ra 3100 chia cho 4 d(cid:247) 1.

68. T…m sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n sao cho n + 2 l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa 111 cÆn n - 2 l(cid:160) bºi cıa 11.

3 Ph¥n sŁ

69. Trong ng(cid:160)y hºi to¡n, (cid:31)ºi to¡n cıa mºt khŁi (cid:31)(cid:247)æc chia th(cid:160)nh bŁn tŁp. N‚u

sŁ h(cid:229)c sinh cıa tŁp thø nh§t chia (cid:31)•u cho ba tŁp kia th… sŁ h(cid:229)c sinh bŁn l§y 3 5

10

tŁp b‹ng nhau. N‚u tŁp thø nh§t b(cid:238)t (cid:31)i 6 h(cid:229)c sinh th… l(cid:243)c (cid:31)(cid:226) sŁ h(cid:229)c sinh cıa tŁp thø nh§t b‹ng tŒng sŁ h(cid:229)c sinh ba tŁp kia. H(cid:228)i mØi tŁp c(cid:226) bao nhi¶u h(cid:229)c sinh?

Sigma - MATHS

= a) 70. Chøng minh r‹ng: 1 · 3 · 5 · · · 39 21 · 22 · 23 · · · 40 1 220

= b) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) (n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · 2n

< < 71. T…m c¡c gi¡ tr(cid:224) cıa x, sao cho: . 1 2n v(cid:238)i n ∈ N ∗ −11 12 x 12 −3 4

72. Quy (cid:31)(cid:231)ng m¤u r(cid:231)i so s¡nh c¡c ph¥n sŁ sau:

(n ∈ N ∗) v(cid:160) ; b) c) v(cid:160) a) −8 31 −789 3131 11 22.34.52 v(cid:160) 29 22.34.53 ; 1 n 1 n + 1

73. Chøng minh r‹ng c¡c tŒng sau l(cid:238)n h(cid:236)n 1.

+ + ; a) M = 3 15 3 7

+ + + b) N = ; 39 150 49 300

+ + + + c) P = 3 8 19 60 41 90 29 100 31 72 21 40

+ < + < + + . 74. T…m x ∈ Z bi‚t: 1 + x 36 −1 60 58 90 59 72 −1 60 −11 45 −1 60 −1 36 19 120

75. T‰nh b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hæp l(cid:254) nh§t:

− ( + a) );

+ + ) − ( − ); b) ( 28 41

− ( − − ) c) 31 23 1 3 38 45 7 32 12 67 8 45 8 23 13 41 17 51 79 67 3 11

76. T‰nh c¡c tŒng sau b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hæp l(cid:254) nh§t:

+ ... + + + a) A =

+ ... + + + b) B =

11

+ + + ... + c) C = 1 1.2 2 3.5 3 4.7 1 2.3 2 5.7 3 7.10 1 3.4 2 7.9 3 10.13 1 49.50 2 37.39 3 73.76

Sigma - MATHS

. . . . a) 1 2

− . . . ; b) 77. T‰nh b‹ng c¡ch hæp l(cid:254): 10 17 4 9

(cid:17) .

(cid:16)−5 (cid:17) . 12

+ − − + + c) 17 5 (cid:16)11 4 (cid:16)17 28 −31 125 −5 9 18 29 1 23 ; 11 (cid:17) 4 19 30 8 33 20 31 1 4 1 6

78. T‰nh nhanh:

− + − 3 + 3 7 3 13 . 24.47 − 23 24 + 47.23 − + 9 − + 9 1001 3 10 9 13 3 1001 9 9 10 7 .

79. T…m x:

+ x = a) ; 1 4

(cid:16)

(cid:17)

+ : x = −1; b) 1 3 3 4 2 3 1 4

5 + x − 7 : 16 c) 1 − = 0; 3 8 5 24 2 3

+ + + ... + = 1 d) . 2 2 2 6 2 12 2 x(x + 1) 1989 1991

80. Mºt ca n(cid:230) xu(cid:230)i dÆng s(cid:230)ng tł A (cid:31)‚n B trong 3 gi(cid:237) r(cid:231)i (cid:31)i ng(cid:247)æc dÆng tr(cid:240) v• A m§t 4 gi(cid:237). N‚u mºt b– nøa tr(cid:230)i t(cid:252) do xu(cid:230)i dÆng th… m§t bao nhi¶u th(cid:237)i

1 2 gian (cid:31)” tr(cid:230)i tł A (cid:31)‚n B?

81. T…m x trong c¡c hØn sŁ:

12

= = = a) 2 ; b) 4 ; c) x . x 7 75 35 3 x 47 x x 15 112 5

Sigma - MATHS

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16) 2

+ : 10 − 9 a) ; 1 12 1 2

(cid:17) ;

(cid:16) 1 15

(cid:17)

(cid:16) .

− + 1 b) 1

9 − 8, 75 : + 0, 625 : 1 c) − 82. T‰nh: 5 6 5 18 1 7 4 9 5 18 1 2 1 12 2 7 2 3

(cid:17)

(cid:16)

83. T…m x bi‚t:

= 2 9 − 6 a) 7, 5x : 13 21 13 25

(cid:17)

= 75% b)

− 7 10 .2 (1, 16 − x).5, 25 2 (cid:16) 17 1 4 5 9

sinh th‰ch b(cid:226)ng (cid:31)¡, 84. Trong khŁi h(cid:229)c sinh l(cid:238)p 9 cıa mºt tr(cid:247)(cid:237)ng trung h(cid:229)c c(cid:236) s(cid:240) c(cid:226) 60% sŁ h(cid:229)c sŁ h(cid:229)c sinh th‰ch b(cid:226)ng b(cid:160)n, 40% sŁ h(cid:229)c sinh th‰ch b(cid:226)ng 2 3

sŁ h(cid:229)c sinh th‰ch (cid:31)¡ cƒu. H¢y t…m sŁ h(cid:229)c sinh cıa mØi nh(cid:226)m c(cid:242)ng truy•n v(cid:160) 4 15 th‰ch mºt m(cid:230)n th” thao, bi‚t sŁ h(cid:229)c sinh cıa khŁi 9 l(cid:160) 225.

85. N«m nay con 12 tuŒi, bŁ 42 tuŒi. T‰nh t¿ sŁ giœa tuŒi con v(cid:160) tuŒi bŁ (cid:240) nhœng th(cid:237)i (cid:31)i”m hi»n nay; tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)¥y 7 n«m; sau (cid:31)¥y 28 n«m.

86. Ba ng(cid:247)(cid:237)i chung nhau mua h‚t mºt rŒ trøng. Ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t mua sŁ 1 2

13

trøng m(cid:160) hai ng(cid:247)(cid:237)i kia mua. SŁ trøng ng(cid:247)(cid:237)i thø hai mua b‹ng sŁ trøng ng(cid:247)(cid:237)i 3 5 thø nh§t mua. Ng(cid:247)(cid:237)i thø ba mua 14 qu£. T‰nh sŁ trøng l(cid:243)c (cid:31)ƒu trong rŒ.

Sigma - MATHS

4 H…nh h(cid:229)c

87. 1) Trong h…nh d(cid:247)(cid:238)i c(cid:226) hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng m v(cid:160) n v(cid:160) ba (cid:31)i”m ch(cid:247)a (cid:31)(cid:176)t t¶n. H¢y (cid:31)i•n c¡c chœ A, B, C v(cid:160)o (cid:31)(cid:243)ng v(cid:224) tr‰ cıa n(cid:226) bi‚t: a) (cid:30)i”m A kh(cid:230)ng thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng m v(cid:160) c(cid:244)ng kh(cid:230)ng thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng n; b) (cid:30)i”m B kh(cid:230)ng thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng m; c) (cid:30)i”m C kh(cid:230)ng thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng n. 2) V‡ (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng p v(cid:160) c¡c (cid:31)i”m A, B n‹m tr¶n p.

a) N¶u c¡ch v‡ (cid:31)i”m C thflng h(cid:160)ng v(cid:238)i hai (cid:31)i”m A, B; b) N¶u c¡ch v‡ (cid:31)i”m D kh(cid:230)ng thflng h(cid:160)ng v(cid:238)i 2 (cid:31)i”m A, B.

88. Cho tr(cid:247)(cid:238)c mºt sŁ (cid:31)i”m trong (cid:31)(cid:226) kh(cid:230)ng c(cid:226) 3 (cid:31)i”m n(cid:160)o thflng h(cid:160)ng. V‡ c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng (cid:31)i qua c¡c c(cid:176)p (cid:31)i”m. Bi‚t tŒng sŁ (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng v‡ (cid:31)(cid:247)æc 28. H(cid:228)i c(cid:226) bao nhi¶u (cid:31)i”m cho tr(cid:247)(cid:238)c?

14

89. V‡ (cid:31)i”m D v(cid:160) E sao cho D n‹m giœa C v(cid:160) E cÆn E n‹m giœa D v(cid:160) F. a) V… sao c(cid:226) th” khflng (cid:31)(cid:224)nh 4 (cid:31)i”m C, D, E, F thflng h(cid:160)ng b) K” t¶n hai tia tr(cid:242)ng nhau gŁc E. c) V… sao c(cid:226) th” khflng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)i”m E n‹m giœa C v(cid:160) F.

Sigma - MATHS

90. V‡ l⁄i h…nh d(cid:247)(cid:238)i r(cid:231)i tr£ l(cid:237)i c¡c c¥u h(cid:228)i sau: a) H…nh c(cid:226) m§y tia? C(cid:226) m§y (cid:31)o⁄n thflng? b) Nhœng c(cid:176)p (cid:31)o⁄n thflng n(cid:160)o kh(cid:230)ng c›t nhau? c) Hai (cid:31)o⁄n thflng n(cid:160)o c›t nhau t⁄i (cid:31)i”m n‹m giœa hai (cid:31)ƒu cıa mØi (cid:31)o⁄n thflng?

91. Tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng xy l§y mºt (cid:31)i”m O v(cid:160) hai (cid:31)i”m M, N sao cho OM = 2cm; ON = 3cm. V‡ c¡c (cid:31)i”m A v(cid:160) B tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng xy sao cho M l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa OA; N l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa OB. T‰nh (cid:31)º d(cid:160)i AB.

92. G(cid:229)i O l(cid:160) mºt (cid:31)i”m cıa (cid:31)o⁄n thflng AB = 4cm. X¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:224) tr‰ cıa (cid:31)i”m O (cid:31)” : a) TŒng AB + BO (cid:31)⁄t gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t; b) TŒng AB + BO = 2BO; c) TŒng AB + BO = 3BO.

93. Cho (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng m v(cid:160) n«m (cid:31)i”m A,B,C,D,E kh(cid:230)ng thuºc m. a) Chøng t(cid:228) r‹ng trong hai nßa m›t phflng (cid:31)Łi nhau b(cid:240) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng m, c(cid:226) mºt m(cid:176)t phflng chøa ‰t nh§t 3 (cid:31)i”m. b) Cø qua hai (cid:31)i”m v‡ mºt (cid:31)o⁄n thflng. H(cid:228)i nhi•u nh§t c(cid:226) m§y (cid:31)o⁄n thflng c›t m?

15

94. V‡ g(cid:226)c xOy kh¡c g(cid:226)c b(cid:181)t. L§y A tr¶n tia Ox, l§y B tr¶n tia Oy (A v(cid:160) B kh¡c O). H¢y l§y mºt (cid:31)i”m C sao cho g(cid:226)c (cid:92)BOC k• b(cid:242) v(cid:238)i g(cid:226)c (cid:92)BOA. a) Trong ba (cid:31)i”m A,O,C (cid:31)i”m n(cid:160)o n‹m giœa hai (cid:31)i”m cÆn l⁄i? b) V‡ c¡c tia BA,BC h(cid:228)i (cid:31)i”m O n‹m trong g(cid:226)c n(cid:160)o? c) K” t¶n c¡c c(cid:176)p g(cid:226)c k• b(cid:242) (cid:31)¿nh B.

Sigma - MATHS

95. Cho g(cid:226)c b(cid:181)t (cid:100)xOy. V‡ hai tia Om, On tr¶n c(cid:242)ng mºt nßa m(cid:176)t phflng b(cid:237) xy sao cho (cid:92)xOm = 1200; (cid:100)xOn = a0. T…m gi¡ tr(cid:224) cıa a (cid:31)” tia Om n‹m giœa hai tia Oy, On.

96. Tr¶n m(cid:176)t phflng, cho tia Ox. V‡ hai tia Oy, Ot sao cho (cid:100)xOy = 1000; (cid:100)xOt = 1500. T‰nh sŁ (cid:31)o g(cid:226)c (cid:100)yOt.

97. Tr¶n nßa m(cid:176)t phflng b(cid:237) chøa tia Ox v‡ ba tia Oy, Oz, Ot sao cho (cid:100)xOy = 500; (cid:100)xOz = 750; (cid:100)xOt = 1000. X¡c (cid:31)(cid:224)nh xem tia n(cid:160)o l(cid:160) tia ph¥n gi¡c cıa mºt g(cid:226)c.

98. Cho ba tia OA, OB, OC t⁄o th(cid:160)nh ba g(cid:226)c b‹ng nhau v(cid:160) kh(cid:230)ng c(cid:226) (cid:31)i”m trong chung (cid:92)DOB; (cid:92)BOC v(cid:160) (cid:92)COA. V… sao c(cid:226) th” khflng (cid:31)(cid:224)nh tia (cid:31)Łi cıa mØi tia n(cid:226)i tr¶n l(cid:160) tia ph¥n gi¡c cıa g(cid:226)c t⁄o b(cid:240)i hai tia cÆn l⁄i?

99. Tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng xy l§y (cid:31)i”m O. V‡ (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (O; 3) c›t Ox, Oy thø t(cid:252) t⁄i A v(cid:160) B. V‡ (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (O; 2) c›t tia Ox, Oy thø t(cid:252) t⁄i C v(cid:160) D. V‡ (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trong (D; BD) c›t BO t⁄i M v(cid:160) c›t (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (O; 2) t⁄i N. a) So s¡nh AC v(cid:160) BD. b) Chøng t(cid:228) M l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa OD c) So s¡nh tŒng ON + ND v(cid:238)i OB.

100. a) V‡ (cid:52)ABC bi‚t BC = 3,5cm; AB = 2cm; AC = 3cm. b) V‡ ti‚p (cid:52)ADE bi‚t D thuºc tia (cid:31)Łi cıa tia AB v(cid:160) AD = 1cm; E thuºc tia (cid:31)Łi tia AC v(cid:160) AE = 1,5cm. c) Hai tia BE v(cid:160) CD c›t nhau t⁄i O. D(cid:242)ng compa (cid:31)” ki”m tra xem E v(cid:160) D theo thø t(cid:252) c(cid:226) ph£i l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa OB v(cid:160) OC kh(cid:230)ng?

16

101. Mºt m£nh gi§y h…nh chœ nh“t b(cid:224) g“p l⁄i theo h…nh d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y. T‰nh g(cid:226)c a.

Sigma - MATHS

102. ABCD l(cid:160) mºt h…nh vu(cid:230)ng. (cid:52)DP C l(cid:160) mºt tam gi¡c (cid:31)•u. AB = DP v(cid:160) CD = CP. T…m g(cid:226)c (cid:92)ADP .

103. Trong h…nh v‡, BE = AC, (cid:92)CAE = 300 v(cid:160) (cid:92)AEB = 700. T…m g(cid:226)c (cid:92)ABC

104. Trong bi”u (cid:31)(cid:231) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y, AB = AC = AD. G(cid:226)c ABC = 400 v(cid:160) g(cid:226)c ACD = 800. T‰nh g(cid:226)c BAD.

105. ABCD l(cid:160) mºt h…nh vu(cid:230)ng v(cid:160) tam gi¡c BCE l(cid:160) tam gi¡c (cid:31)•u. T‰nh g(cid:226)c AED.

17

106. T‰nh g(cid:226)c: (cid:98)a + (cid:98)b + (cid:98)c + (cid:98)d + (cid:98)e + (cid:98)f

Sigma - MATHS

107. Trong tam gi¡c ABC, AB = AC, AD = AE v(cid:160) (cid:92)BAD = 600. T‰nh g(cid:226)c CDE.

18

108. Trong tam gi¡c ABC, g(cid:226)c ABC b‹ng 800, AD = AE v(cid:160) CD = CF. T‰nh g(cid:226)c EDF.

Sigma - MATHS

5 L(cid:237)i gi£i mºt sŁ b(cid:160)i to¡n ch(cid:229)n l(cid:229)c

B(cid:160)i 11: Cho S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100. a) TŒng tr¶n c(cid:226) bao nhi¶u sŁ h⁄ng? b) T…m sŁ h⁄ng thø 22. c) T‰nh S.

B(cid:160)i gi£i:

+ 1 = 32 (sŁ h⁄ng). a) SŁ sŁ h⁄ng cıa tŒng l(cid:160) : 100 − 7 3

+ 1 = 22 ⇒ x = 70. x − 7 3

⇔ S = = 1712. b) G(cid:229)i sŁ h⁄ng thø 22 l(cid:160) x, ta c(cid:226): c) S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100 hay S = 100 + 97 + 94 + · · · + 10 + 7 (giao ho¡n) ⇔ 2S = (7 + 100) + (10 + 97) + · · · + (100 + 7) (v(cid:238)i 32 nh(cid:226)m.) ⇔ 2S = (7 + 100) · 32 (7 + 100) · 32 2

B(cid:160)i 22: Bi‚t r‹ng A = 717 + 17 · 3 − 1 l(cid:160) mºt sŁ chia h‚t cho 9. C(cid:226) th” sß d(cid:246)ng k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)” chøng t(cid:228) r‹ng B = 718 + 18 · 3 − 1 c(cid:244)ng chia h‚t cho 9 kh(cid:230)ng?

B(cid:160)i gi£i: Theo (cid:31)ƒu b(cid:160)i A = 717 + 17 · 3 − 1 l(cid:160) mºt sŁ t(cid:252) nhi¶n chia h‚t cho 9 tøc l(cid:160) ta c(cid:226) (717 + 50) | 9. Ta vi‚t sŁ B nh(cid:247) sau: B = 718 + 18 · 3 − 1 = 718 + 53 = 7(717 + 50) − 297 = 7 · (717 + 50) − 33 · 9. V… (717 + 50) | 9 v(cid:160) (33 · 9) | 9 n¶n B | 9.

Ch(cid:243) (cid:254): Ta c(cid:226) th” chøng minh k‚t qu£ tŒng qu¡t h(cid:236)n: V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ t(cid:252) nhi¶n n, n‚u 7n + 3n − 1 chia h‚t cho 9 th… 7n+1 + 3(n + 1) − 1 c(cid:244)ng chia h‚t cho 9. (Lo⁄i b(cid:160)i t“p n(cid:160)y chu'n b(cid:224) cho h(cid:229)c sinh l(cid:160)m quen v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p quy n⁄p to¡n h(cid:229)c).

B(cid:160)i 32: Trong mºt buŒi li¶n hoan, Ban tŒ chøc (cid:31)¢ mua t§t c£ 840 c¡i b¡nh, 2352 c¡i k(cid:181)o v(cid:160) 560 qu£ qu(cid:254)t chia (cid:31)•u ra c¡c (cid:31)(cid:190)a, (cid:31)(cid:190)a g(cid:231)m c£ b¡nh, k(cid:181)o v(cid:160) qu(cid:254)t. T‰nh sŁ (cid:31)(cid:190)a nhi•u nh§t ph£i c(cid:226) mØi (cid:31)(cid:190)a bao nhi¶u b¡nh, k(cid:181)o, qu(cid:254)t?

19

B(cid:160)i gi£i:

Sigma - MATHS

SŁ (cid:31)(cid:190)a nhi•u nh§t ph£i c(cid:226) l(cid:160) (cid:215)CLN(840, 2352, 560) = 56. MØi (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) sŁ b¡nh l(cid:160): 840 : 56 = 15 (b¡nh) MØi (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) sŁ k(cid:181)o l(cid:160): 2352 : 56 = 42 (k(cid:181)o) MØi (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) sŁ qu(cid:254)t l(cid:160): 560 : 56 = 10 (qu£) V“y nhi•u nh§t 56 (cid:31)(cid:190)a, mØi (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) 15 c¡i b¡nh, 42 c¡i k(cid:181)o, 10 qu£ qu(cid:254)t.

B(cid:160)i 42: C(cid:226) 133 quy”n v(cid:240), 80 b(cid:243)t bi, 170 t“p gi§y. Ng(cid:247)(cid:237)i ta chia v(cid:240), b(cid:243)t bi, gi§y th(cid:160)nh c¡c phƒn th(cid:247)(cid:240)ng (cid:31)•u nhau, mØi phƒn th(cid:247)(cid:240)ng g(cid:231)m c£ ba lo⁄i. Nh(cid:247)ng sau khi chia cÆn thła 13 quy”n v(cid:240), 8 b(cid:243)t bi, 2 t“p gi§y kh(cid:230)ng (cid:31)ı chia v(cid:160)o c¡c phƒn th(cid:247)(cid:240)ng. T‰nh xem c(cid:226) bao nhi¶u phƒn th(cid:247)(cid:240)ng?

B(cid:160)i gi£i: SŁ v(cid:240) (cid:31)¢ chia: 133 - 13 = 120 quy”n. SŁ b(cid:243)t (cid:31)¢ chia: 80 - 8 = 72 b(cid:243)t. SŁ t“p gi§y (cid:31)¢ chia: 170 - 2 = 168 t“p gi§y. SŁ phƒn th(cid:247)(cid:240)ng l(cid:160) (cid:215)CLN(120, 72, 168) = 24 phƒn th(cid:247)(cid:240)ng. V“y sŁ phƒn th(cid:247)(cid:240)ng l(cid:160) 24.

B(cid:160)i 45: Mºt b(cid:160) mang mºt rŒ trøng ra chæ. D(cid:229)c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng g(cid:176)p mºt b(cid:160) kh¡c v(cid:230) (cid:254) (cid:31)(cid:246)ng ph£i, rŒ trøng r(cid:236)i xuŁng (cid:31)§t. B(cid:160) kia t(cid:228) (cid:254) muŁn (cid:31)• l⁄i sŁ trøng b–n h(cid:228)i: - B(cid:160) cho bi‚t trong rŒ c(cid:226) bao nhi¶u trøng? B(cid:160) c(cid:226) rŒ trøng tr£ l(cid:237)i: - T(cid:230)i ch¿ nh(cid:238) r‹ng sŁ trøng (cid:31)(cid:226) chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, lƒn n(cid:160)o c(cid:244)ng cÆn thła ra mºt qu£, nh(cid:247)ng chia cho 7 th… kh(cid:230)ng thła qu£ n(cid:160)o. (cid:128), m(cid:160) sŁ trøng ch(cid:247)a (cid:31)‚n 400 qu£. T‰nh xem trong rŒ c(cid:226) bao nhi¶u trøng?

B(cid:160)i gi£i: G(cid:229)i sŁ trøng l(cid:160) a. Ta c(cid:226) a − 1 l(cid:160) bºi chung cıa 2, 3, 4, 5, 6 v(cid:160) a − 1 < 399. Tł (cid:31)(cid:226) ta (cid:31)(cid:247)æc: a − 1 ∈ {60; 120; 180; 240; 300; 360} a ∈ {61; 121; 181; 241; 301; 361} Do a | 7 n¶n a = 301. RŒ trøng c(cid:226) 301 qu£.

20

B(cid:160)i 49: Trong c¡c m»nh (cid:31)• sau, m»nh (cid:31)• n(cid:160)o (cid:31)(cid:243)ng, m»nh (cid:31)• n(cid:160)o sai? a) N‚u a = b th… |a| = |b| b) N‚u |a| = |b| th… a = b

Sigma - MATHS

c) N‚u |a| < |b| th… a < b.

B(cid:160)i gi£i: a) (cid:30)(cid:243)ng b) Sai (v‰ d(cid:246): a = 3, b = -3) ; c) Sai (v‰ d(cid:246): a = -3, b = -4)

B(cid:160)i 65: T…m x ∈ Z bi‚t: a) |2x − 5| = 13 b) |7x + 3| = 66 c) |5x − 2| ≤ 13 d) (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0 e) (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11

B(cid:160)i gi£i: a) |2x − 5| = 13. X†t 2 tr(cid:247)(cid:237)ng hæp: 2x − 5 = 13; 2x − 5 = −13. V“y x = 9; x = -4. b) |7x + 3| = 66 suy ra x = 9. c) |5x − 2| ≤ 13 n¶n

−13 ≤ 5x − 2 ≤ 13 −11 ≤ 5x ≤ 15 −2 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3}

= (x + 50) · 50 = 0; x + 50 = 0 ⇔ x = −50. d) (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0 suy ra [(x + 1) + (x + 99)] · 50 2

= 0 hay (x + 7) · n = 0. e) (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11. B(cid:228) sŁ h⁄ng 11 (cid:240) hai v‚ ta (cid:31)(cid:247)æc: (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 = 0 G(cid:229)i sŁ sŁ h⁄ng (cid:240) v‚ tr¡i l(cid:160) n(n > 0) ta c(cid:226): [(x − 3) + 10] · n 2 V… n (cid:54)= 0 n¶n x + 7 = 0, do (cid:31)(cid:226) x = −7.

< < B(cid:160)i 71: T…m c¡c gi¡ tr(cid:224) cıa x, sao cho: . −11 12 x 12 −3 4

B(cid:160)i gi£i:

21

= Ch(cid:229)n m¤u sŁ chung l(cid:160) 12 ta c(cid:226): . −3 4 −9 12

Sigma - MATHS

< < Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226): , suy ra −11 < x < −9. V“y x = −10. −11 12 x 12 −9 12

B(cid:160)i 80: Mºt ca n(cid:230) xu(cid:230)i dÆng s(cid:230)ng tł A (cid:31)‚n B trong 3 gi(cid:237) r(cid:231)i (cid:31)i ng(cid:247)æc dÆng tr(cid:240) v• A m§t 4 gi(cid:237). N‚u mºt b– nøa tr(cid:230)i t(cid:252) do xu(cid:230)i dÆng th… m§t bao nhi¶u

1 2 th(cid:237)i gian (cid:31)” tr(cid:230)i tł A (cid:31)‚n B?

B(cid:160)i gi£i:

V“n tŁc ca n(cid:230) khi xu(cid:230)i dÆng: 1 3

= V“n tŁc ca n(cid:230) khi ng(cid:247)æc dÆng: 1 : 4 . 2 9

− = Hi»u 1 3 2 9 1 9

: 2 = V“n tŁc b– n(cid:247)(cid:238)c tr(cid:230)i t(cid:252) do: 1 2 ch‰nh l(cid:160) v“n tŁc cıa b– n(cid:247)(cid:238)c tr(cid:230)i t(cid:252) do. 1 18 1 9

Th(cid:237)i gian (cid:31)” b– n(cid:247)(cid:238)c tr(cid:230)i t(cid:252) do tł A (cid:31)‚n B l(cid:160): 1 : = 18 (gi(cid:237)). 1 18

B(cid:160)i 86: Ba ng(cid:247)(cid:237)i chung nhau mua h‚t mºt rŒ trøng. Ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t mua

1 2 sŁ trøng sŁ trøng m(cid:160) hai ng(cid:247)(cid:237)i kia mua. SŁ trøng ng(cid:247)(cid:237)i thø hai mua b‹ng 3 5 ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t mua. Ng(cid:247)(cid:237)i thø ba mua 14 qu£. T‰nh sŁ trøng l(cid:243)c (cid:31)ƒu trong rŒ.

B(cid:160)i gi£i:

Ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t mua sŁ trøng m(cid:160) hai ng(cid:247)(cid:237)i kia mua. 1 2

(cid:17)

· 1 3 = (rŒ trøng) Ng(cid:247)(cid:237)i thø hai mua V“y ng(cid:247)(cid:237)i thø nh§t mua 3 5 1 3 Œ trøng. 1 5

(cid:16)1 3

+ = Phƒn trøng ng(cid:247)(cid:237)i thø ba mua: 1 − (rŒ trøng) 1 5 7 15

22

SŁ trøng trong rŒ l(cid:160) 14 : = 30 (qu£). 7 15

Sigma - MATHS

B(cid:160)i 107: Trong tam gi¡c ABC, AB = AC, AD = AE v(cid:160) (cid:92)BAD = 600. T‰nh g(cid:226)c CDE.

B(cid:160)i gi£i: (cid:30)(cid:176)t (cid:92)DAE = 2x ⇔ (cid:92)BAC = 600 + 2x (cid:92)ABC = (cid:92)ACB = (1800 − 600 − 2x) : 2 = 600 − x ⇔ (cid:92)ADE = (cid:92)AED = (1800 − 2x) : 2 = 900 − x (cid:92)CDE + (cid:92)DCE = 900 − x (cid:92)DCE = 600 − x (cid:92)CDE = (900 − x) − (600 − x) = 300.

B(cid:160)i 108: Trong tam gi¡c ABC, g(cid:226)c ABC b‹ng 800, AD = AE v(cid:160) CD = CF. T‰nh g(cid:226)c EDF.

B(cid:160)i gi£i: (cid:98)A + (cid:98)B + (cid:98)C = 1800

(cid:98)A = 1800 − ((cid:98)1 + (cid:98)1) (cid:98)B = 800 (cid:98)C = 1800 − ((cid:98)2 + (cid:98)2) 1800 − 2 × (cid:98)1 + 800 − 1800 − 2 × (cid:98)2 = 1800

23

Tł (cid:98)A + (cid:98)B + (cid:98)C = 1800

Sigma - MATHS

4400 − 2 × ((cid:98)1 + (cid:98)2) = 1800

2600 = 2 × ((cid:98)1 + (cid:98)2)

((cid:98)1 + (cid:98)2) = 1300 (cid:92)EDF + (cid:98)1 + (cid:98)2 = 1800 (cid:92)EP F = 500.

Xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n s(cid:252) quan t¥m cıa b⁄n (cid:31)(cid:229)c!

24

. . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . H(cid:152)T . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . .