§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
Các định nghĩa Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý bảo toàn mômen động lượng Thí dụ áp dụng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
40 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
Các định nghĩa Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý bảo toàn mômen động lượng Thí dụ áp dụng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
40 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
a) Mômen động lượng của chất điểm
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
41 / 64
Định nghĩa 1. Mômen động lượng của chất điểm đối với điểm qui chiếu A , ký hiệu là(cid:126)LA, là mômen của véctơ động lượng của chất điểm đối với điểm A đó (40) (cid:126)LA = (cid:126)mA (m(cid:126)v ) = (cid:126)r × m(cid:126)v
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
Chú ý đến công thức tính tích hữu hướng của hai véctơ ta có
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
42 / 64
(cid:126)LA = (41) (cid:126)ex (cid:126)ey (cid:126)ez z y x m ˙x m ˙y m ˙z (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = m (y ˙z − z ˙y ) (cid:126)ex + m (z ˙x − x ˙z) (cid:126)ey + m (x ˙y − y ˙x) (cid:126)ez
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2. Mômen động lượng của chất điểm đối với trục z là hình chiếu trên trục z của mômen động lượng của chất điểm đối với một điểm A bất kỳ trên trục z
(42) Lz = hcz (cid:126)mA(m(cid:126)v ) = m(x ˙y − y ˙x)
Tương tự (43) Lx = hcx (cid:126)mA(m(cid:126)v ) = m(y ˙z − z ˙y )
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
43 / 64
(44) Ly = hcy (cid:126)mA(m(cid:126)v ) = m(z ˙x − x ˙z)
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
b) Mômen động lượng của vật rắn
Định nghĩa 3. Mômen động lượng của vật rắn đối với điểm qui chiếu A (hình 2.25) là một đại lượng véctơ được định nghĩa bởi công thức
(cid:90) ((cid:126)r × (cid:126)v )dm (45) (cid:126)LA =
B
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
44 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
Mômen động lượng của vật rắn đối với một điểm phụ thuộc vào dạng chuyển động của vật rắn. Vật rắn chuyển động tịnh tiến
(46) (cid:126)LA = (cid:126)mA (m(cid:126)vC )
Vật rắn quay quanh một trục cố định
(47) Lz = Jz ωz
Vật rắn chuyển động phẳng
(48) (cid:126)LC = JCz (cid:126)ω
Chiếu véctơ (48) lên trục Cz vuông góc với mặt phẳng Oxy ta được
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
45 / 64
(49) LCz = JCz ωz
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.1 Các định nghĩa
c) Mômen động lượng của cơ hệ
Định nghĩa 4. Mômen động lượng của cơ hệ (gồm n chất điểm và p vật rắn) đối với điểm qui chiếu A là một đại lượng véctơ bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm và các vật rắn thuộc cơ hệ lấy đối với điểm A đó.
(cid:90)
n (cid:88)
p (cid:88)
((cid:126)r × (cid:126)v )dm (50) (cid:126)ri × mi (cid:126)vi + (cid:126)LA =
i=1
k=1
Bk
Định nghĩa 5. Mômen động lượng của cơ hệ đối với trục z là hình chiếu trên trục z của mômen động lượng của cơ hệ lấy đối với một điểm A bất kỳ trên trục đó
(51) Lz = hcz (cid:126)LA
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
46 / 64
với A ∈ z.
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.2 Định lý biến thiên mômen động lượng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
Các định nghĩa Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý bảo toàn mômen động lượng Thí dụ áp dụng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
46 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.2 Định lý biến thiên mômen động lượng
a) Định lý biến thiên MMĐL của cơ hệ đối với một điểm O cố định
Định lý 1. Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với điểm O cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ lấy đối với điểm O đó.
(cid:17) (cid:88) (cid:16) (cid:126)F e = (52) (cid:126)mO
k
= (cid:126)M e O d(cid:126)LO dt
Hệ quả (cid:17) (cid:88) (53) (cid:16) (cid:126)F e = mz
k
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
47 / 64
dLz dt
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.2 Định lý biến thiên mômen động lượng
b) Định lý biến thiên MMĐL của cơ hệ đối với một điểm A chuyển động
Định lý 2. Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với điểm A chuyển động được xác định bởi
(cid:17) (cid:88) (cid:16) (cid:126)F e (54) = (cid:126)mA − (cid:126)vA × (cid:126)p
k
d(cid:126)LA dt
Trong đó (cid:126)p là động lượng của cơ hệ, (cid:126)vAlà vận tốc của điểm A trong hệ qui chiếu cố định. Hệ quả: Khi chọn điểm A là khối tâm C của cơ hệ, từ công thức (54) ta có
(cid:17) (cid:88) (cid:88) = (cid:16) (cid:126)F e (cid:126)mC − (cid:126)vC × m(cid:126)vC = (cid:126)mC ( (cid:126)F e k )
k
d(cid:126)LC dt
Từ đó ta có định lý biến thiên mômen động lượng của cơ hệ đối với khối tâm của nó (cid:17) (cid:88) = (55) (cid:16) (cid:126)F e (cid:126)mC = (cid:126)MC
k
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
48 / 64
d(cid:126)LC dt
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.3 Định lý bảo toàn mômen động lượng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
Các định nghĩa Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý bảo toàn mômen động lượng Thí dụ áp dụng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
48 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.3 Định lý bảo toàn mômen động lượng
Định lý bảo toàn mômen động lượng
(cid:17)
(cid:16) (cid:126)F e k (cid:17) (cid:16) (cid:126)F e Từ các định lý biến thiên MMĐL ở trên ta suy ra = 0 ⇒ d(cid:126)LO Nếu (cid:80) (cid:126)mO Nếu (cid:80) mz = 0 ⇒ dLz
k
dt = 0 ⇒ (cid:126)LO = const dt = 0 ⇒ Lz = const
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
49 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.4 Thí dụ áp dụng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
Các định nghĩa Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý bảo toàn mômen động lượng Thí dụ áp dụng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
49 / 64
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.4 Thí dụ áp dụng
Dao động của con lắc vật lý
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
50 / 64
Con lắc vật lý (hình vẽ) là một vật rắn phẳng có thể quay quanh một trục đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa vật. Cho biết khối lượng con lắc là m, mômen quán tính đối với trục quay là JO, khoảng cách từ O đến khối tâm C là a. Tìm phương trình vi phân chuyển động và tính chu kỳ dao động của con lắc.
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.4 Thí dụ áp dụng
Lời giải. Áp dụng định lý biến thiên MMĐL
sin ϕ = 0 (56) JO ¨ϕ = −mga sin ϕ ⇒ ¨ϕ + mga J0
Nếu đặt ω2 và khảo sát dao động nhỏ sinϕ ≈ϕ, từ (56) suy ra
0 = mga J0
¨ϕ + ω2
Trong đó ω0 là tần số riêng, T = 2π ω0
0ϕ = 0 là chu kỳ dao động của con lắc vật lý (cid:115)
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
51 / 64
T = 2π J0 mga
§4. Định lý biến thiên mômen động lượng
4.4 Thí dụ áp dụng
Bài 12-25 (Bài tập CHKT)...
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
52 / 64
