Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
Chương
Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC
Engineering Mechanics: KINEMATICS
1
Động học điểm
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-2-
Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng
Nội dung 1. Hai đại lượng đặc trưng của động học điểm • Vận tốc và gia tốc của điểm
2. Phương pháp tọa độ đề-các khảo sát động học điểm • Vận tốc và gia tốc của điểm trong hệ tọa độ đề-các • Khảo sát chuyển động thẳng của điểm
độ cong, bán kính cong của quĩ đạo)
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên • Một số thông số hình học của quĩ đạo (mặt phẳng mật tiếp,
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-3-
• Hệ tọa độ tự nhiên • Vận tốc và gia tốc của điểm 4. Phương pháp tọa độ cực / tọa độ trụ / tọa độ cầu
1. Vận tốc và gia tốc của điểm
– véc tơ định vị
r
( ) r t=
( )r t
Xét chuyển động của điểm P trong không gian, vị trí của P so với O cố định là Quĩ đạo P
O Quĩ đạo chuyển động là đường mà điểm P vẽ ra trong không gian (quĩ tích các điểm P).
Quĩ đạo thẳng Quĩ đạo cong
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chuyển động thẳng Chuyển động cong
1
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-4-
1. Vận tốc và gia tốc của điểm Véc tơ vận tốc: đặc trưng cho sự thay đổi vị trí của điểm theo thời gian r P
r(t) r+r
Giả sử chuyển động của điểm trong khoảng thời gian t là r (từ P sang P’), vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian t này:
- Đơn vị [m/s]
=
O
v tb
r D D t
v P
v
=
=
r
=
r(t)
lim D t 0
Vận tốc tại thời điểm t r D D t
dr dt
Véc tơ vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-5-
O
1. Vận tốc và gia tốc của điểm Véc tơ gia tốc – đặc trưng cho sự thay đổi vận tốc theo thời gian
( ) v t
( v t
v
[m/s2]
=
=
a tb
t + D - ) D t
v(t) P v(t+t) r(t)
Véc tơ gia tốc hướng về phía lõm của quĩ đạo.
a
=
=
v = =
r
lim D t 0
v D D t
dv dt
Nhanh dần
2
v
v a 2 = ⋅
O Giả sử vận tốc của điểm thay đổi trong khoảng thời gian t là v, gia tốc trung bình trong khoảng thời gian t sẽ là v D D t Gia tốc tại thời điểm t
Chậm dần
0 0
d dt
ìï>ïï í ï<ïïî
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-6-
Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần
2. Phương pháp tọa độ đề các
x
=
x t
( ),
y
=
y t
( ),
z
=
z t ( )
- Phương trình chuyển động z P
ze
r
xe x
ye y
ze z
r(t) - Véctơ định vị
xe
ye
v
+
+
y e y
z e z
2
2
v
=
x
+
y
+
z
2 .
O y x - Vận tốc = x e x
Nhanh dần
0
a
=
+
+
v a
⋅ = + + xx
yy
zz
Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần
y e y
ze z
Chậm dần
0
ìï>ïï í ï<ïïî
2
a
=
x
+
2 y
+
z
2 .
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
- Gia tốc x e x
2
-7-
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle Ví dụ (xét chuyển động parabol của điểm trong mặt phẳng đứng)
Xét chuyển động không cản của viên đạn trong mặt phẳng đứng
cos
a
x
=
2
y
=
sin
a
-
gt
v t 0 v t 0
1 2
y
v
a = g
,
const
0,
v0
ye
P
xe
O x
Xác định phương trình quĩ đạo, độ cao cực đại và tầm xa của viên đạn. Lời giải
Khử biến thời gian t trong hai phương trình chuyển động x và y ta nhận được
g
2
y
x
x
=
-
t
=
2
sin cos
a a
cos
2 v
a
v
a
2 0
x 0 cos
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-8-
Xác định vận tốc và gia tốc điểm
=
a
x t ( )
cos
v t 0
v0
ye
2
sin
( ) y t
=
a
-
gt
v t 0
1 2
Ví dụ (tiếp) y P
xe
x
x
0
a a
0 = = - g
v v
= =
x y
= =
v v
cos sin
a a
-
gt
y
y
0
d dt d dt
Xác định độ cao và tầm xa từ phương trình quĩ đạo
v
a
y x (
)
= 0
x
=
v 2
=
sin 2
a
max
max
2 0
a sin cos g
2 0 g
g
)
(
)
(
2 )
...
y
x
x
=
=
-
=
max
max
max
max
( y x 1 2
1 2
1 2
2
sin cos
a a
v 2
cos
a
2 0
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-9-
O xmax
2. Phương pháp tọa độ đề các: Chuyển động thẳng của điểm
x
( ) r t
=
x
=
x t
( ),
( ) x x t e
M
x
O
v
x=
- Phương trình chuyển động
= x e x
v
=
const x ,
vt
a
x= .
= + x 0
- Vận tốc v Chuyển động đều
= x e x
- Gia tốc a
a
=
const v ,
at
Nhanh dần
0
= + v 0 2
v a
⋅ =
xx
x
+
at
= + x 0
v t 0
1 2
Chậm dần
0
Chuyển động biến đổi đều
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần ìï>ïï í ï<ïïî
3
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-10-
v
[m/s]
23 t
t 2
Ví dụ
2
2
a t ( )
v t ( )
t 6
2, m/s
a t (
3)
20, m/s
2
v t ( )
s t ( )
t (3
t 2 ),
ds t ( )
v t dt ( )
t (3
t dt 2 )
2
d dt d dt
3
3
2
s t ( )
s
t
t
s t ( )
t
t
2
0
s t (
3)
27
36 m
9
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-11-
Ví dụ 1. Xe ô tô chuyển động trên đường thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian. Xác định gia tốc của xe và quãng đường xe đi được sau 3 s.
Ví dụ
x t
2,
y
t
3 .
3
3
Ví dụ 2. Tìm phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc nếu phương trình chuyển động của điểm dưới dạng tọa độ Descartes
Lời giải
Quĩ đạo của điểm là một đoạn thẳng
5
x y
Quĩ đạo nhận được bằng cách khử biến thời gian t
2
2 t 3 ,
y
v
t 3 2
x
2 t 3
v x
v y
2 v x
2 v y
t 6 ,
y
a
t 6 2
x
t 6
a x
a y
2 a x
2 a y
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-12-
Vận tốc và gia tốc của điểm
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong
e
Trong trường hợp tổng quát, quĩ đạo là một đường cong không gian. Gọi P và P’ là hai vị trí khác nhau của điểm trên quĩ đạo.
n
ne
PP
e
s
s PP Nếu khoảng cách đủ nhỏ, có thể có thể coi như là cung phẳng. Mặt phẳng chứa cung này chính là mặt phẳng mật tiếp với quĩ đạo tại P.
Đối với đường cong phẳng: Mặt phẳng mật tiếp chính là mặt phẳng chứa đường cong đó.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Các khái niệm liên quan đến đường cong: mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong, hệ trục tọa độ tự nhiên Mặt phẳng mật tiếp quĩ đạo tại P
4
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-13-
e
k
lim s 0
d ds
s
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Độ cong của quĩ đạo tại P
e
1 k
r
Bán kính cong của quĩ đạo tại P:
k
const
1 r
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-14-
Ví dụ, quĩ đạo tròn bán kính r có độ cong là hằng
e
n
ne
)
e e
Trên mặt phẳng mật tiếp với quĩ đạo tại P: • Trục tiếp tuyến (véctơ đơn vị • Trục pháp tuyến n (véctơ đơn vị
)
e
n
s
• Trục trùng pháp tuyến b (véc tơ đơn vị
)
be
e
e b
e t
n
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-15-
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Hệ trục tọa độ tự nhiên
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong
s(t)
te
be P ds
s
s t ( )
P0
Phương trình chuyển động
r
,
v
v
s
r+dr ne
se t
e t
O
dr dt
dr
dr ds /
e ds t e t
a
s
)
se ( t
se t
dv dt
d dt
de t dt
P
te
P‘
'te
???
ne
tde dt
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Tính toán vận tốc của điểm ds dt Tính toán gia tốc của điểm
5
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-16-
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong
P
te
???
P‘
a
s
se t
d
'te
de t dt
ne
tde dt de t
tde
a
se t
e / ) n
e e t t d e 1 n
2( s a n
e n
e n
se n
,
de t dt
d dt
d ds ds dt
1
a t se t 2
s (
e / ) n
a a t a n
P
ta
, v
a
t
a
s 2 s
a
0
/ ,
na
n
a b
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-17-
Tính toán gia tốc của điểm
Ví dụ
v
te
P
R
s(t)
ne
P0
m/s
Điểm P chuyển động trên cung tròn bán kính R theo luật s(t) = at2/2. Xác định vận tốc và gia tốc của điểm tại t = 2 s.
, ate t ae 2 t
ta
P
a
v
,
se t
e n
ae t
e n
R
2 ) at ( R
2 s R
2
2
( a t
2)
, m/s
ae t
e n
a 4 R
na
P0
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-18-
Lời giải se v t ( 2) v t
cos
sin
pt
y
x
r
r
z
,
,
Ví dụ:
t
t
r
,
const
, p
Chuyển động theo đường đinh ốc của điểm P được cho trong tọa độ đề các như sau
• vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc
pháp của điểm
• bán kính cong quĩ đạo
P
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Hãy xác định:
6
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-19-
x
t y ,
,
z
p
r sin
cos t r
2
2
2
2
v
x
y
z
r
p
const
2 2
2
2
,
y
,
z
0
Ví dụ Lời giải Tính vận tốc:
r sin t
a
2 x
2 y
2 z
const
2 r
2
a
a
2 a
a
v
a
0
a
v /
2 t
2 n
t
n
2
Tính gia tốc: r t x cos
p
2
v
a / n
2 2 2 r
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-20-
Bán kính cong quĩ đạo r
r
( ), r t
( ) t
4. Phương pháp tọa độ cực
M
Thông số định vị
re e,
re
e
Sử dụng các véc tơ đơn vị r
r
( ) r r t e
x
O
d e1 r
de
rde
d e1
Véc tơ định vị
r
e
d
re
r
d dt re r
d
d [ ( ) ] r t e r dt de r dt
v
re r
v r
r e
v ,
e
rde dt
O d e dt
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-21-
Vận tốc v
d e1 r
de
rde
d e1
e r
e
e
d
re
e r
e
d
d e dt d e r dt
O
v
4. Phương pháp tọa độ cực
v
( re r
) r e
a
d dt
M
Gia tốc a
e
re r
re r
r e
r e
r e
re
( r
2 r
x
O
) e r
) 2 ( r e r
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
r
7
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-22-
r
const
0,
r
0
r
4. Phương pháp tọa độ cực
re r
r e
r e
y
y
y
aj
v
M
M
M
ra
Mr
re
e
O
O
O
x
x
x
a a
e ) r
( r e 2 ) r e ( ) r
2 ( r r 2 ) r e ( r a a t n
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-23-
Xét chuyển động tròn v
y
4. Phương pháp tọa độ cực
r
( ) r t e r
M
yM
Liên hệ tọa độ cực – tọa độ đề các
M
re
e
cos sin
x y
r r
M
x
O
xM
M
r r
cos sin
sin cos
r r
x y M
( r r (
) cos ) sin
) sin ) cos
( r r (
2 r 2 r
r 2 r 2
x M y M
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-24-
r
5. Phương pháp tọa độ trụ
t ( ),
r z
Thông số định vị ( ), r t z t ( )
ze
zM M
Véc tơ định vị r re r
ze z
re
Vận tốc
v
,
ze z
e , e r 0
e r e e z
r re r re r
ze z ze z
re r r e
Gia tốc a
v
( r
2 r
e ) r
ze z
r e 2 ) r (
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
z r e r yM O xM
8
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-25-
5. Phương pháp tọa độ trụ
M
cos sin
M
x y z
r r z
M
ze
Liên hệ tọa độ trụ – tọa độ đề các zM M
M
re
cos sin
sin cos
r r
r r z
x y M z M
) cos ) sin
) sin ) cos
( r r (
2 r 2 r
r 2 r 2
( r r ( z
x M y M z M
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-26-
z r e r yM O xM
Thông số định vị
z
r
r t ( ),
t ( ),
t ( )
P
Chuyển sang tọa độ đề các
r
M
M
x y z
r r r
sin cos sin sin cos
M
x
y
Các thành phần vận tốc
M
sin sin sin cos
cos cos
r r
r r r
sin cos sin sin r cos
r r sin
cos sin
x y M z M
x M y M z M
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-27-
6. Phương pháp tọa độ cầu
Thông số định vị
zM
M
r
r t ( ),
t ( ),
t ( )
6. Phương pháp tọa độ cầu
r
M
O
M
yM
r r r
x y z
Chuyển sang tọa độ đề các sin cos sin sin cos
M
xM
M
Các thành phần vận tốc
sin sin sin cos
cos cos
r r
r r sin
r r r
sin cos sin sin r cos
cos sin
x y M z M
Các thành phần gia tốc
, , ,
, , ,
, , ,
x r ( , y r ( , z r ( ,
r , r , r ,
r , r , r ,
, ) , , ) , , , )
x M y M z M
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
9
Chương 1. Động học điểm - Chapter 1. Kinematics of a Particle
-28-
Tóm tắt nội dung chương 1. Hai đại lượng đặc trưng của động học điểm • Vận tốc và gia tốc của điểm 2. Phương pháp tọa độ đề-các khảo sát động học điểm
• Vận tốc và gia tốc của điểm trong tọa độ đề các • Khảo sát chuyển động thẳng của điểm
độ cong, bán kính cong của quĩ đạo)
3. Phương pháp tọa độ tự nhiên • Một số thông số hình học của quĩ đạo (mặt phẳng mật tiếp,
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
• Hệ tọa độ tự nhiên • Vận tốc và gia tốc của điểm 4. Phương pháp tọa độ cực / tọa độ trụ / tọa độ cầu
