Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, con lăn khối lượng m2, các bán kính R=3r và bán kính quán tính đối với trục qua tâm là . Biết con lăn lăn không trượt, bỏ qua khối lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định vận tốc, gia tốc tải A.
M
B I
H
A
Bài tập áp dụng
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Giải
M
V
,
,
,
r
B
B
V A 2
AW 2 r
I
Bài tập áp dụng
H
J
2 A
2 B
2 B
m V 1
m V 2
h
A
T T B
2
2
2
2 A
*Quan hệ động học AV h 2 r 2 r *Động năng T của hệ T A 1 2 1 2
1 2 1 2
2 V A 4
2
4
)
m
1 2 2 V A 2 r 4 2
2 r m 1
2
V
2 A
2
r ( r 4
1 2
m m m V 1 1 2
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 1
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
IN
M
Bài tập áp dụng
e A k
mà
A F (
)
)
)
0
*Công của hữu hạn trên độ dời tương ứng A P A P ( ( A B ms
) ) ) ) A M ( ) A N ( I ms
B
msF
I BP
)
)
e A k
(Do ma sát tĩnh không sinh không)
H
h
1
A
M
AP
h
A F ( A P ( B A N ( I
( A P A M ( A 1m gh M h m gh M r 2 rm g 2 1 r 2
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
* Để tính gia tốc ta sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm
dT dt
e dA k dt
i dA k dt
2
4
)
m
M
2
2 r m 1
2
V
V W A
A
A
2
r ( r 4
2 rm g 1 r 2
2
r
W
A
4
M (
rm g 2 1 2 2 m ) r
2 r m 1
2
Bài tập áp dụng
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
* Để tính vận tốc ta sử dụng định lý động năng dạng hữu hạn
N
N
T
T 1
T 0
i A k
e A k
k
k
1
N
1 N
T 1
i A k
e A k
(Do hệ ban đầu đứng yên nên động năng T0=0)
2
M
)
m
2
1 k 2 r m 4 1
2
h
V
2 A
2
2 rm g 1 r 2
1 2
k 1 r ( r 4
4
r
h
2 V A
4
M (
rm g 2 1 2 2 m r )
2
2 r m 1
2
r
h
V
A
4
M (
rm g 2 1 2 2 m r )
2
2 r m 1
Bài tập áp dụng
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, con lăn B đặc khối lượng m3, các bán kính R1= 2R2= 2R0 và ròng rọc O khối lượng m2, bán kính quán tính đối với trục qua O là . Biết con lăn lăn không trượt, bỏ qua khối lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên. Xác định gia tốc tải A.
1R
M
H 2R
O
1R B
A
I
Bài tập áp dụng
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
Bs
O
M
Giải *Quan hệ động học giữa tải A, ròng rọc O và con lăn B
O
Bs
s
,
B
R 0 O
O
h
h 2
2
B
h R 0
B
A
B
I
R O 0 2 R 0
,
,
O
V B
B
s B R 2 0 V A 2
V A R 2 0
0
h R 4 0 V A R 4 2
T
*Động năng T của hệ T T B
T O
A
T
A
2 A
m V 1
,
V
m
J
2
2 A
T O
2 O O
1 2
1 1 2 4
1 2
R
0
2
2
2
J
m
m
R
,
2
2
A
T B
2 I B
2 B
m V 3
3
R 0
3
0
1 3 2 8
1 2
1 1 2 2
Bài tập áp dụng
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
2
2
m
V
T
m V 1
m V 3
2
2 A
A
2 A
0
8
1 3 2 8 2
1 1 2 4 2 m R 3 3 0
2 m R 1 0
V
2 A
1 2 1 2
2 m 2 2 R 8 0
R *Công của hữu hạn trên độ dời tương ứng
)
)
A M (
)
e A k
sin
A P ( A m gh 1
3
sin
M
m gh 1
m g 3
A P ( B s m g B h 2
M B h R
4
4
R m g
2
sin
0 M
0
1
3
h
R m g 0 4 R
0
Bài tập áp dụng
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 12 Các định lý tổng quát động lực học
* Để tính gia tốc ta sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm
8
2
3
4
R m g
2
sin
M
m R 1
2 0
m R 3
0
1
e dA k dt 2 0
3
V
A
V W A
A
R m g 0 R 4
dT dt 2 m 2 2 R 8 0
0 M
2
R
W
A
0
i dA k dt 2 2
sin R m g 3 0 2 m 3
R m g 4 0 1 2 m R 8 1 0
2 m R 0 3
2
Bài tập áp dụng
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
NỘI DUNG
1. Khái niệm cơ bản
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Liên kết và cơ hệ không tự do
Liên kết là điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không phụ thuộc vào lực tác dụng lên nó và các điều kiện đầu của chuyển động.
Những điều kiện ràng buộc đó thường được diễn tả dưới dạng những hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của các chất điểm hay vật rắn thuộc hệ và thời gian. Người ta gọi đó là những phương trình liên kết và viết dưới dạng:
1, 2, 3...
f
0
, r V t , k k
j
1, 2, 3...
k j
Trong đó k là số thứ tự của các chất điểm thuộc cơ hệ, j là số thứ tự của các hệ thức biểu thị các liên kết.
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ví dụ 1- Vật rắn là một cơ hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết và liên kết đó được biểu thị bằng đẳng thức: MN=const với MN là khoảng cách của cặp điểm M, N bất kì thuộc vật.
N
M
A
2- Hệ tay quay thanh truyền như hình y
2
1
r 0(1)
x
3
y
0,
B
(3)
r 0, A (1) r B ( 2)
r ( 2) A r B (3)
O
1. Khái niệm cơ bản
Cơ hệ không tự do
B
Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu các liên kết được biểu diễn bằng biểu thức
f
,...,
;
,...,
0
r r , 1 2
j
r V V , 1 n 2
V t ; n
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ – Bậc tự do của hệ
Di chuyển khả dĩ (DCKD) của cơ hệ là tập di chuyển vô cùng bé của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà vẫn thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét.
Để phân biệt dị chuyển thực vô cùng bé và DCKD người ta kí hiệu như sau
Di chuyển thực vô cùng bé :
Di chuyển khả dĩ:
Tại mỗi vị trí cơ hệ có vô số DCKD . Các DCKD này không độc lập tuyến tính do phải thỏa mãn các phương trình. Ta có thể chọn trong tập
một hệ vector cơ sở các DCKD độc lập tuyến tính.
kr
Để xác định chuyển động cơ hệ ta chỉ cần xác định số DCKD độc lập bằng với số bậc tự do của cơ hệ
kd r kr kr
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Ta có thể thấy di chuyển thực của hệ này là bằng 0 nhưng hệ có thể diu chuyển ảo một góc δθ
1. Khái niệm cơ bản
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Tọa độ suy rộng
Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ:
s
dof
3
N R
Tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính vừa đủ để xác định vị trí cơ hệ gọi là hệ đầy đủ, kí hiệu là {q1, q2, q3,…, qn} Ví dụ
q 1
1q
q
2
A
B
A
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ hệ có 1 bậc tự do
x
1q
1q
1q
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ hệ có 2 bậc tự do
q 1 q
2
1 2
q 1 q
2
1 2
q 1 q
s 1 s
2
2
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ Ds
s
D
C
C
Con lăn lăn không trượt
B
5
dof
q s D 1 q C
2
A
s
4
q 1 q 2 q 3 q q
5
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
(
)a kF . sẽ thực hiện
(
)a kF
1. Khái niệm cơ bản
Lực suy rộng Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực hoạt động Cho cơ hệ thực hiện một DCKD công trên độ dời đó:
N
, các lực r k
A k
}kr { N a F k
k
k
1
1
Được gọi là công khả dĩ. Chọn hệ tọa độ suy rộng {qi}, i=1,n
n
q
(
,
,...,
q
r k
i
r q q k 1
i
1
N
N
N
n
q
q
a F k
i
A k
i
2 a F k
r k q
k
i
1
) n r k q
i
i
k
1
i
k 1 N
1 n
Với
Q i
A k
Q q i
i
r k q
r k q i n 1 N a F k
k
1
k
i
1
1
i
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Cách tính lực suy rộng
N
1 – Áp dụng trực tiếp định nghĩa:
Q i
r k q
a F k
k
1
i
2 – Áp dụng tính công khả dĩ
Cho hệ di chuyển khả dĩ sao cho:
0)
0
Các DCKD phải độc lập tuyến tính q 0( còn
q
j
j
iq
N
n
A k
Q q i
i
qQ j
j
k
i
1
1
Hệ số tính công chính là hệ lực suy rộng tương ứng
3 – Áp dụng tính công khả dĩ trong trường hợp lực hoạt động là lực thế
Là hàm thế năng
Q i
q
i
Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta có thể tính
(luc khong the)
Q i
Q i
q
i
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b q 1
x
O
q
2
1/ Tính lực suy rộng bằng định nghĩa
N
I A
Q i
H
r k q
a F k
1
i
P
B
y
(0,
)
F F (
, 0)
F 3
Q
) P cos
F F 1 sin
a
k Biểu diễn vector P (0, a i
F Q Q 2 j
a (2 sin
b
a (2 cos
b
cos
j
sin ) i
)
a (2 sin
b
a (2 cos
2 cos
b
j
2 sin ) i
)
r 1 r 2 r 3
r I r H r B
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
a
sin
cos
0
j
i a
a
b
j
2 sin a
2 cos
cos
sin
j
i
i b
b
j
2 cos
2 sin b
i
i
r 1 q 2 r 2 q 2 r 3 q
r 1 r 2 r 3
Tính các đạo hàm riêng r 1 q 1 r 2 q 1 r 3 q 1
2 cos a P
P
(0,
)
(0,
)
r 1 r 2 r 3 ( F F
, 0)
F 1
2 sin a j F Q Q 2
2 F 3
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được
3
1
Q Q
r a k F k
k
1
1. Khái niệm cơ bản
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
3
cos
[0
a
(
a
P
sin )]
1
Q Q
Sử dụng công thức tính lực suy rộng ta được r a k F k
k
1
aP
a Q ( 2 sin )] 0 ( 2 sin )] a
a [0 2 cos 2 cos F [ a aF aQ cos 2 sin 2
Q 1
3
0]
[0 0
P
Q
2
Q
sin r a k F k
k
1
b
Q
( sin )] a 0 ( 2 sin )]
Q
bQ
sin
cos b 2 cos b cos
[0 F [ bF 2
2
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
N
j
)
1. Khái niệm cơ bản
2/ Tính lực suy rộng bằng công khả dĩ
( A k
qQ j
j
k
1
q 1
Di chuyển khả dĩ của hệ
q
2
0
O
(1)
0, q 2 A Q (
q 1 A P (
A F (
)
)
)
kA
2I
Để tính Q1 ta cho hệ chuyển động theo tọa độ suy rộng 1, tọa độ suy rộng 2 bằng 0:
h 1I
Ta thấy lực P làm vật chuyển động từ I1 I2 đoạn đường di chuyển là δh
)
P
sin
P
sin (
h
) a
aP
A P ( ( A P
)
sin
P
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
O
I
A
sin (2
sin
Q
Q
)
Ta thấy lực Q làm vật chuyển động từ H1H2 đoạn đường di chuyển là δk
a )
k
H
A Q ( A Q (
)
2
aQ
sin
k
B
Tương tự ta cũng được
A F (
)
2
aF
cos
Q
(1)
A Q (
A P (
)
)
A F (
)
kA
Vậy ta được tổng công khả dĩ
aP
sin
2
aQ
sin
2
aF
cos
aP
sin
2
aQ
sin
2
aF
cos
)
(
aP
sin
2
aQ
sin
2
aF
cos
Q 1
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
0
( 2 )
O
q 0, 2 A Q (
q 1 A P (
A F (
)
)
)
kA
Để tính Q2 ta cho hệ chuyển động theo tọa độ suy rộng 2, tọa độ suy rộng 1 bằng 0: Ta thấy lực P không làm thanh AB chuyển động nên
0
)
A P (
H
B
A
t
sin (
sin
Q
Q
)
Ta thấy lực Q làm vật chuyển động từ H1H2 đoạn đường di chuyển là δt
b )
t
Q
( A Q A Q (
)
bQ
sin
Tương tự ta cũng được
A F (
)
2
bF
cos
1. Khái niệm cơ bản
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
( 2 )
A P (
)
)
A F (
)
kA
Vậy ta được tổng công khả dĩ A Q (
bQ
sin
2
bF
cos
0
bQ
sin
cos
(
bF 2
)
Q
bQ
sin
cos
2 bF
2
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
(luc khong the)
Là hàm thế năng
Q i
Q i
1. Khái niệm cơ bản
3/ Tính lực suy rộng bằng công của lực có thế và không thế Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta có thể tính 0
q i a cos
Py
2I
Tính hàm thế năng của hệ P y
Q y
Q y
2
1I
Q Q a
2 (1 cos
(1 cos
Q 1 )
Q b
)
P
P 1 (1 cos P a ) Đạo hàm của thế năng theo tọa độ suy rộng
b cos
3J
Qy
2
sin
2 sin
P a
Q a
2 cos
a
Qy
1
2J
Q b sin
1J
Q
Q
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 14
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tính lực suy rộng do lực F gây ra
Q
2
aF cos
Q
2
bF cos
1 ' 2 '
Vậy ta được lực suy rộng của hệ
'
(
sin
aF
cos
P a
Q a
2 sin ) 2
Q 1
Q 1
sin
2
aQ
sin
2
aF
cos
q 1 aP Q 1
Q
Q
'
Q b
sin
cos
bF 2
2
2
q
2 bQ
Q
sin
cos
2 bF
2
1. Khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ Tính các lực suy rộng biết con lăn lăn không trượt
Ds
Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ và độc lập
M
E
D
2
q s D 1 q C
C
Tính Q1
DP
C
(Ròng rọc C không quay)
2
B
)
)
)
( A P B
( A P D
A
)
BP
D
Cho hệ DCKD với q q 0 0, 1 ( A P A
(1) A k ( A M P s A
P s B
D
D
P D
s M D
AP
s r E
(
sin
) s
P A
P B
P D
D
sin M r E
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 15
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
(
) q 1
(1) A k
P A
P B
P D
M r E
sin
Q P A
1
P B
P D
sin M r E
1. Khái niệm cơ bản
Tính Q2
(Con lăn D đứng yên)
)
)
A M (
)
(
)
A P ( D 0 0
A P ( B C
P A
P r B C C
Cho hệ DCKD với 0 0, q q 2 1 ( 2 ) A P A ) ( A k C
P r A C ( 2) A ( k
P A
P r B C P r ) q C B
2
Q
(
P A
P r ) B C
2
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Liên kết lý tưởng Cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công của tất cả các phản lực liên kết đặt vào cơ hệ trên mọi DCKD đều bằng 0
N
0
A r
R r k k
k
1
Trong thực tế các hệ gồm vật rắn, dây mêm không dãn, bỏ qua ma sát đều là cơ hệ chịu liên kết lý tưởng.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 16
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
N
0
F r k k
Q q i
i
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dĩ Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý tưởng cân bằng ở vị trí đang xét là tổng công của tất cả các lực hoạt động trên mọi DCKD kể từ vị trí đó đều bằng không r
k
i
1
1
Nếu các tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta được
0
iQ Các loại bài toán áp dụng nguyên lý DCKD
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ
- Tìm các thành phần phản lực liên kết của cơ hệ
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ
x
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b. Tính góc ϕ và ψ theo P, Q, F khi hệ cân bằng q 1
O
q
2
Điều kiện để hệ cân bằng
Q 1 Q
0 0
2
I A
2
cos
0
H
P
B
aP bQ
sin sin
aQ 2 bF 2
aF 0
sin cos
y
F
arctan
tan
Q
Q
P
F 2
2
Q
F 2
tan
arctan
2 P F 2 Q
F 2 Q
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 17
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết - Tuần 11 5/19/2011
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ Cho hệ có cơ cấu như hình vẽ. Tính lực P để hệ cân bằng nếu ta tác dụng moment ngẫu lực M vào thanh OA biết khối lượng các vật không đáng kể)
Giải
Hệ có một bậc tự do nên ta chọn θ là góc quay của thanh OA là tọa độ suy rộng của hệ như hình vẽ dưới.
Ta có độ dịch chuyển của A là
a y
2
2
Tam giác bên phải nối thanh AB 2 y
b
x
y
0
2 x
2 y
y
a
x
x
Lấy vi phân 2 vế ta được x y x
y x
CHƯƠNG 13 Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Khái niệm cơ bản
Tính lực suy rộng Q1 Tính công suy rộng (1)
)
)
A M (
kA
P
x M
P
a
M
A P (
P a M
(1) A k
y x y x
P a M
Q 1
y x
Để hệ cân bằng
0Q 1
P a M
0
y x
M
M
P
x a h
x a y
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 18
