http://www.ebook.edu.vn
31
Các phương trình (2.15) chính là các phương trình mô hình trạng thái tuyến tính trong lý thuyết
điều khiển tự động hiện đại. Ma trận A được gọi là ma trận hệ thống, B được gọi là ma trận vào (hoặc là
ma trận điều khiển) , C là ma trận ra (hoặc ma trận quan sát) , D là ma trận liên thông. Trên hình 2. 6 là sơ
đồ khối biểu diễn mô hình hệ thống trong không gian trạng thái.
Đối với mô hình trạng thái đơn biến, ma trận vào trở thành vector (cột) , ma trận ra trở thành
vector hàng và ma trận liên thông là một vô hướng. Trong trường hợp này người ta cũng hay sử dụng
cách viết:
u
B
Ax
x
, nnn R,R bA
du
T xcy , Rd,Rnc (2.16)
2.4.3. Mô hình đáp ứng quá độ
Mô hình đáp ứng quá độ bao gồm mô hình đáp ứng xung và đáp ứng bậc thang. Mặc dù trong thực
tế người ta thường dùng đáp ứng quá độ gián đoạn, ta cần sơ lược lại về các dạng mô tả liên tục.
1. Đáp ứng xung
Xét một mô hình đơn biến có mô hình trạng thái (2.16) với trạng thái đầu x(0) = 0. Nếu kích thích
đầu vào một xung đơn vị (t) (hay xung Dirac) định nghĩa là
1)(lim
0
0
dtt
ta sẽ có đáp ứng y(t) tính theo (2.19)
g(t)(t)de(t)dδ(τ)dτe(t)
t
0
Δ
tTτ)(tT bcbcy AA (2.17)
hàm g(t) định nghĩa trong (2.17) được gọi là đáp ứng xung hay hàm trọng lượng của hệ thống. Đồ thị hàm
trọng lượng minh hoạ trên hình (2.7)
a) Khâu quán tính bậc nhất ( ) b) Khâu dao động ổn định ( )
và khâu quán tính bậc hai (---) và không ổn định (---)
Hình2. 7. Đáp ứng xung của một số khâu động học tiêu biểu.
http://www.ebook.edu.vn
32
Đáp ứng xung mô tả đầy đủ đặc tính của một khâu động học tuyến tính. Với trạng thái đầu bằng 0,
đáp ứng của hệ thống với đầu vào u(t) bất kỳ có thể xác định theo công thức sau:
t
00
τ)u(τ)dτg(tτ)u(τ)dτg(tu(t)g(t)y(t) (2.18)
trong đó dấu * ký hiệu toán tử tích chập. nếu tín hiệu đầu vào có tính nhân quả, tức là u(t) = 0 khi t 0,
tích chập (2.18) còn được đơn giản hoá như sau:
dutgtutgty )()()()()( (2.19)
Mặc dù xung Dirac không tồn tại trong thực tế, song hàm trọng lượng có thể xác định được được
một cách xấp xỉ từ thực nghiệm bằng cách sử dụng tín hiệu vào là một xung vuông rất hẹp có diện bằng 1.
Phương pháp mô tả hệ thống với đáp ứng xung hoàn toàn có thể mở rộng cho hệ tuyến tính đa
biến. Giả sử trạng thái ban đầu của hệ thống bằng 0, nếu cho lần lượt mỗi biến vào uJ(t) là một xung (t)
tác động lên hệ thống và tính toán đáp ứng gij(t) tương ứng với từng đầu ra yi(t) theo công thức (2.18) , ta
có thể thành lập ma trận đáp ứng xung hay ma trận trọng lượng:
0
0t
δ(t)e
(t)g(t) t
ij
DBC
0
GA (2.20)
Mỗi phần tử gij(t) của G(t) chính là hàm trọng lượng tương ứng với một kênh vào/ra. Với trạng thái ban
đầu x(0) = 0, đáp ứng của hệ thống với véc tơ tín hiệu đầu vào u(t) bất kỳ có thể tính toán dựa trên công
thức tương tự (2.18) , với g(t) được thay thế bằng ma trận G(t) :
dττ)-(t)((t)(t)(t)
0
uGuGy (2.21)
2. Đáp ứng bậc thang
Tương tự như xét đáp ứng xung, nếu kích thích một hệ tuyến tính đơn biến của mô hình trạng
thái (2.16) ở trạng thái x(0) = 0 bằng một tín hiệu bậc thang đơn vị (còn gọi là bước nhảy đơn vị) :
0t1,
0t0,
1(t)
ta sẽ có đáp ứng y(t) được xác định theo (2.19)
h(t)d1(t)dτed1(t)dτey(t)
t
τT
t
τ)(tT
0
A
0
Abcbc (2.22)
hàm h(t) định nghĩa trong (2.22) được gọi là đáp ứng bậc thang đơn vị hay hàm quá độ của hệ thống.
Trong trường hợp ma trận A không suy biến, hàm quá độ được tính toán như sau:
dceh(t) 1Tt-1T bAbAc A (2.23)
Đồ thị đáp ứng bậc thang đơn vị của một số khâu động học tiêu biểu được minh hoạ trên hình 2. 8.
http://www.ebook.edu.vn
33
a) Khâu quán tính bậc nhất ( ) b) Khâu dao động ổn định ( )
và khâu quán tính bậc hai (---) và không ổn định (---)
Hình2. 8: Đáp ứng bậc thang của một số khâu động học tiêu biểu.
Để ý rằng hàm trọng lượng chính là đạo hàm của hàm quá độ. Đáp ứng của hệ thống từ trạng thái
0 với đầu vào u(t) bất kỳ có thể xác định theo công thức:
0
d)t(u)t(h
dt
d
)t(y (2.24)
Ma trận đáp ứng bậc thang hay ma trận hàm quá độ của hệ đa biến được xác định theo công thức:
0t
0t
,dτe
(t)h(t) t
0
τ
ij
DBC
0
HA
Với định nghĩa ma trận quá độ, ta cũng có thể mở rộng (2.24) cho trường hợp đa biến với vector
tín hiệu vào u(t) , vector tín hiệu ra y(t) và h(t) được thay thế bởi ma trận H(t) :
dττ)(t(t)
dt
d
(t)
0
uHy (2.25)
2.4.4. Mô hình hàm truyền đạt
Phép biến đổi Laplace tránh được các phương trình vi phân và thay vào đó là biểu diễn hệ tuyến
tính bằng các phương trình đại số biến số phức. Nhờ đó, mà ta có thể sử dụng công cụ toán học đa dạng
hơn về phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển. Hơn nữa, mô tả trên miền Laplace liên quan rất chặt chẽ
tới mô tả và phân tích hệ thống trên miền tần số, vì vậy tính chất mô hình phản ảnh một cách rất trực tiếp
và tự nhiên các đặc tính vật lý của quá trình.
1. Hàm truyền đạt
Hàm truyền đạt là một hàm biến phức biểu diễn quan hệ vào ra của một hệ tuyến tính (đơn biến) ,
được định nghĩa là tỷ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào và G(s) = y(s)
/u(s) với toàn bộ sơ kiện bằng 0, trong đó s là một biến phức. Từ phương trình (2.4) , nếu vế phải là một
hàm tuyến tính với u có thể viết:
http://www.ebook.edu.vn
34
)(
)()()(
01
1
1
1tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
an
n
n
n
n
n
)(
)()()(
01
1
1
1
tub
dt
tdu
b
dt
tud
b
dt
tud
bm
m
m
m
m
m
với là thời gian trễ ( 0). Giả thiết toàn bộ sơ kiện bằng 0, thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế:
)()()()( 01
1
101
1
1suebsbsbsbsyasasasa sm
m
m
m
n
n
n
n
ta đi đến hàm truyền tổng quát của hệ đơn biến:
s
n
n
n
n
m
m
m
me
asasasa
bsbsbsb
su
sy
sG
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
(2.25)
Chú ý rằng hàm truyền của một quá trình luôn là một hợp thức chặt, tức là bậc của đa thức tử số
luôn luôn thấp hơn bậc của mẫu (m n). Khi đa thức tử số và đa thức mẫu số nguyên tố cùng nhau,
nghiệm của đa thức tử số sẽ là các điểm không và nghiệm của đa thức mẫu số chính là các điểm cực của
hệ thống. Các điểm không và điểm cực nói lên rất nhiều về đặc tính động học của một hệ thống. Đa thức
mẫu số còn được gọi là đa thức đặc tính, tương đương với vế trái của (2.20) cho trường hợp hệ đa biến.
Từ định nghĩa trên đây, ta dễ dàng xác định hàm truyền đạt cho một số khâu tiêu biểu. Hàm truyền
đạt của một khâu quán tính bậc nhất có trễ có dạng:
s
FOPDT e
s
k
sG
1
)( (2.26)
và hàm truyền đạt của khâu bậc 2 có trễ có dạng:
s
SOPDT e
ss
k
sG
12
)( 2 (2.27)
Trường hợp đa thức mẫu số của (2.27) chỉ có nghiệm thực âm, ta có khâu quán tính bậc hai có trễ
s
SOPDT e
ss
k
sG
)1)(1(
)(
21
(2.28)
Ta cũng có thể xác định hàm truyền đạt từ một mô hình trạng thái đơn biến. thực hiện phép biến đổi
Laplace cho các vế của hai phương trình (2.16) với giả thiết x(0) = 0, ta có:
u(s)(s)(s)s bAxx
du(s)(s)y(s) T xc
Giải phương trình thứ nhất theo x(s) và thay vào phương trình thứ hai, ta có:
)()()()( 1sdusbuAsIcsy T
dbAsIcsG T 1
)()( (2.29)
Ngược lại, mô hình hàm truyền đạt (2.25) ta cũng có thể đi tới một số cách biểu diễn trong không
gian trạng thái. Ví dụ chuẩn điều khiển được đưa ra dưới đay cho trường hợp m n. Không mất tính tổng
quát, ta có thể cho an = 1.
http://www.ebook.edu.vn
35
utx
aaa
dt
dx
n
1
0
0
)(.
1000
0
100
0010
110
(2.30)
)(00)( 10 txbbbty m (2.31)
2. Ma trận truyền đạt
Cho một hệ m biến vào và p biến ra, ma trận truyền đạt được định nghĩa là ma trận pm vói các
phần tử là hàm truyền đạt cho từng kênh vào/ra:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
1
111
su
sy
su
sy
su
sy
su
sy
sGsG
sGsG
sG
m
pp
m
pmp
m
(2.32)
ma trận truyền đạt có thể được dẫn suất từ hệ phương trình vi phân bằng cách xác định từng hàm truyền
đạt tương ứng với các kênh vào/ra. Nếu cho trước mô hình trạng thái ta, ta có công thức tổng quát:
DBAsICsG 1
)()( (2.33)
Ví dụ 2-1: xác định ma trận hàm truyền đạt của hệ thống từ mô hình trạng thái của một hệ thống phản
ứng nối tiếp, với x1 và x2 là nồng độ hai bình, u1 và u2 là nồng độ và lưu lượng đầu vào:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
y
y
u
u
0.00250
0.00251
x
x
42
02
x
x
dt
d
Ta có:
2s2
04s
4)2)(s(s
1
4s2
02s
)(s
1
1
AI
2s
0.0025
4)2)(s(s
22s
0.0025
2s
1
0.00250
0.00251
4s
1
4)2)(s(s
2
0
2s
1
10
01
(s)G
Trong thực tế việc tính toán bằng tay chỉ nên thực hiện với các mô hình bậc thấp và đơn giản. Với
các hệ bậc cao hơn hoặc phức tạp hơn, việc chuyển đổi dạng mô hình nên sử dụng phần mềm thích hợp
như Matlab.
Ví dụ 2:
>> A=[-2 0;2 -4]
A =
-2 0
