Ch−¬ng 2
Thùc hµnh tÝnh to¸n trªn
Maple
2.1. tÝnh to¸n sè häc vµ ®¹i sè th«ng dông..........................................14
2.1.1. TÝnh to¸n víi sè nguyªn......................................................................14 TÝnh giai thõa .............................................................................................................. 14 T×m −íc sè chung lín nhÊt (gcd)................................................................................ 14 T×m béi sè chung nhá nhÊt (lcm) ............................................................................... 14 Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè........................................................................ 15 T×m c¸c sè nguyªn tè tr−íc vµ sau mét sè cho tr−íc ................................................. 15 T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh........................................................................ 15 T×m th−¬ng vµ phÇn d− ............................................................................................... 16 TÝnh theo c«ng thøc truy håi....................................................................................... 17
2.1.2. TÝnh to¸n víi c¸c sè thËp ph©n.........................................................20 VÒ ®é chÝnh x¸c cña c¸c phÐp tÝnh sè häc.................................................................. 20 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè häc ................................................................................ 21 TÝnh tæng cña h÷u h¹n vµ cña v« h¹n c¸c sè h¹ng ..................................................... 21 TÝnh tÝch cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n thõa sè ................................................................ 22
2.1.3. TÝnh to¸n víi sè phøc..........................................................................23
2.1.4. TÝnh to¸n theo Modul..........................................................................24 C¸c tÝnh to¸n Modul th«ng th−êng............................................................................. 24 Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi Modul ...................................................................................... 26
2.1.5. Khai triÓn, ®¬n gi¶n vµ ph©n tÝch biÓu thøc ®¹i sè..........................27 Khai triÓn biÓu thøc ®¹i sè.......................................................................................... 27 Ph©n tÝch ra thõa sè..................................................................................................... 28 PhÐp ®¬n gi¶n biÓu thøc.............................................................................................. 28 Tèi gi¶n ph©n thøc ...................................................................................................... 29 G¸n tªn cho biÓu thøc vµ g¸n trÞ cho biÕn .................................................................. 29 ChuyÓn ®æi d¹ng cña biÓu thøc................................................................................... 30
2.1.6. §Þnh nghÜa hµm sè..............................................................................31 Hµm sè th«ng th−êng.................................................................................................. 31 Hµm tõng khóc............................................................................................................ 31
11
2.1.7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ hÖ ph−¬ng tr×nh...............................................32 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè (cã hÖ sè b»ng sè hoÆc b»ng ch÷). ..................................... 32 Gi¶i ph−¬ng tr×nh v« tû ............................................................................................... 33 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ................................................................................................... 33
2.1.8. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh..........................................................................34
2.2. VÏ ®å thÞ vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan.....................................................35
2.2.1. VÏ ®å thÞ trong mÆt ph¼ng.................................................................35 VÏ ®å thÞ hµm th«ng th−êng ....................................................................................... 35 VÏ ®å thÞ hµm Èn......................................................................................................... 37 C¸c tuú chän c¬ b¶n trong lÖnh vÏ ®å thÞ ................................................................... 38 Mét sè thÝ dô minh häa............................................................................................... 41
2.2.2. VÏ ®å thÞ trong kh«ng gian 3 chiÒu...................................................42 VÏ ®å thÞ hµm 2 biÕn................................................................................................... 42 VÏ ®−êng møc cña c¸c hµm 2 biÕn............................................................................. 44 VÏ ®−êng èng trong kh«ng gian 3 chiÒu ................................................................... 46
2.2.3. VËn ®éng cña ®å thÞ...........................................................................46
2.3. TÝnh to¸n trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh...................................................48
2.3.1. C¸c phÐp to¸n trªn vect¬ vµ ma trËn..............................................48 T¹o vect¬ vµ ma trËn .................................................................................................. 48 So s¸nh hai ma trËn ..................................................................................................... 50 TÝnh tæng cña hai ma trËn (lÖnh ®¸nh gi¸ ma trËn tæng)............................................ 51 Nh©n ma trËn............................................................................................................... 51 TÝnh tÝch trong cña ma trËn vµ vÐc t¬ (lÖnh innerprod).............................................. 52 TÝnh tÝch vÐc t¬ (tÝch trùc tiÕp) b»ng lÖnh crossprod ........................................... 53 TÝnh tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ (lÖnh dotprod) ...................................................... 53
2.3.2. TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña ma trËn....................................54 TÝnh ®a thøc ®Æc tr−ng ................................................................................................ 54 TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn............................................................. 54 TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn sè........................................................ 55
2.3.3. TÝnh h¹ng, tÝnh ®Þnh thøc vµ tÝnh ma trËn ng−îc..............................56 T×m h¹ng cña ma trËn ................................................................................................. 56 TÝnh ®Þnh thøc vµ ma trËn ng−îc cña ma trËn ............................................................ 57
2.3.4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh....................................................57 ThiÕt lËp ma trËn tõ ph−¬ng tr×nh vµ ng−îc l¹i .......................................................... 57 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh ............................................................................ 59
2.3.5. T×m c¬ së cho kh«ng gian vect¬.......................................................60 T×m hä vÐc t¬ c¬ së ..................................................................................................... 60 T×m c¬ së cho kh«ng gian vÐc t¬ sinh bëi c¸c dßng (cét) cña ma trËn...................... 61 T×m c¬ së cho h¹ch cña ma trËn ................................................................................. 61 T×m c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian sinh bëi mét hä c¸c vÐc t¬ ............................. 61
12
2.4. PhÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n..........................................................62
2.4.1. PhÐp tÝnh giíi h¹n................................................................................62 TÝnh giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm ...................................................................... 62 TÝnh giíi h¹n theo h−íng (tr¸i hoÆc ph¶i) .................................................................. 63
2.4.2. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè mét biÕn.................................................63 TÝnh ®¹o hµm bËc nhÊt................................................................................................ 63 C¸c vÝ dô minh ho¹ ..................................................................................................... 64 TÝnh ®¹o hµm cÊp cao ................................................................................................. 65
2.4.3. TÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn, hµm vect¬ vµ ma trËn hµm.............66 PhÐp tÝnh ®¹o hµm cña hµm nhiÒu biÕn ...................................................................... 66 TÝnh ®¹o hµm cña mét hµm vÐc t¬.............................................................................. 67 TÝnh ®¹o hµm cña mét ma trËn hµm ........................................................................... 67
2.4.4. Hµm Èn vµ ®¹o hµm cña nã..............................................................68 Hµm Èn v« h−íng ........................................................................................................ 68 Hµm Èn vÐc t¬ ............................................................................................................. 70
2.4.5. PhÐp tÝnh tÝch ph©n.............................................................................72 TÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh .............................................................................................. 72 TÝnh tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh ................................................................................... 74 TÝnh tÝch ph©n suy réng .............................................................................................. 76
2.4.6. Khai triÓn hµm sè thµnh chuçi...........................................................76
2.5. Ph−¬ng tr×nh Vi ph©n vµ VËt lý to¸n...............................................78
2.5.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng......................................................78 C¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th«ng th−êng ..................................................................... 78 C¸c tuú chän trong gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n ............................................................ 79 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n víi c¸c hµm ®Æc biÖt................................................................. 80
2.5.2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng................................................81 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng .......................................................................... 81 C¸c tuú chän trong gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ....................................................... 82 VÏ ®å thÞ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n .......................................................... 84
2.5.3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng......................................................86 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng................................................................................ 86 VÏ ®å thÞ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng.................................................... 86
PhÇn nµy giíi thiÖu nh÷ng chñ ®Ò tÝnh to¸n th«ng dông nhÊt. Qua ®©y chóng ta sÏ mau chãng n¾m b¾t ®−îc ph−¬ng thøc lµm viÖc víi Maple, ®Ó råi tù m×nh kh¸m ph¸ vµ t×m hiÓu vÒ kh¶ n¨ng tÝnh to¸n tuyÖt vêi cña Maple. C¸c tÝnh to¸n chuyªn ngµnh s©u h¬n sÏ ®−îc ®Ò cËp trong phÇn tÝnh to¸n thùc hµnh trªn m¸y cña c¸c gi¸o tr×nh cho tõng bé m«n.
13
2.1. tÝnh to¸n sè häc vµ ®¹i sè th«ng dông
2.1.1. TÝnh to¸n víi sè nguyªn
MAPLE lµ mét c«ng cô m¹nh, cho phÐp tÝnh to¸n víi nh÷ng sè lín.
§Ó thùc hµnh tÝnh to¸n, tr−íc tiªn h·y ®−a vµo mét côm xö lý (b»ng chøc n¨ng Insert/Execution Group/After Cursor). Sau khi hiÖn ra dÊu nh¾c " [>" th× ®−a lÖnh tÝnh to¸n vµo. Víi nh÷ng tÝnh to¸n sè häc th«ng th−êng, c©u lÖnh còng chÝnh lµ biÓu thøc tÝnh to¸n. ThÝ dô, ®Ó tÝnh (32).(1213) ta ®−a vµo sau dÊu nh¾c biÓu thøc m« t¶ phÐp tÝnh nµy (nh¾c l¹i r»ng phÐp nh©n ký hiÖu lµ dÊu sao (*) vµ phÐp luü thõa biÓu thÞ b»ng dÊu mò (^), cßn dÊu chÊm phÈy (;) biÓu thÞ kÕt thóc cña c©u lÖnh). Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh th× viÖc tÝnh to¸n sÏ ®−îc thùc hiÖn vµ ta sÏ nhËn ®−îc ngay ®¸p sè:
[>32*12^13;
3423782572130304
Maple biÕt lµm rÊt nhiÒu phÐp to¸n ®Æc biÖt, trong ®ã cã
TÝnh giai thõa
ThÝ dô TÝnh 99! nh− sau
[>99!;
9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296 3895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251 1852109168640000000000000000000000
T×m −íc sè chung lín nhÊt (gcd)
ThÝ dô T×m −íc sè chung lín nhÊt cña 2 sè 157940 vµ 78864 b»ng c©u lÖnh sau:
[>gcd(157940,78864);
212
T×m béi sè chung nhá nhÊt (lcm)
ThÝ dô T×m béi sè chung nhá nhÊt cña 2 sè 18230 vµ 3224 b»ng c©u lÖnh sau:
[>lcm(18230,3224);
29386760
DÜ nhiªn, cã thÓ t×m béi sè chung nhá nhÊt cña nhiÒu sè:
14
[>lcm(24,15,7,154,812);
267960
Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè
ThÝ dô Ph©n tÝch sè 122333444455555666666777777788888888999999999 ra thõa sè nguyªn tè b»ng c©u lÖnh cã có ph¸p nh− sau:
[>ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999 );
(3)(12241913785205210313897506033112067347143)(3331)
Nh− vËy, ta ®· t×m ®−îc "cña hiÕm" - mét sè nguyªn tè lín (trªn 40 ch÷ sè !!!).
Muèn thiÕt lËp l¹i tÝch cña c¸c thõa sè nµy ta dïng lÖnh bung tÝch trªn ra (Maple hiÓu ngÇm ®Þnh ký hiÖu (%) lµ chØ biÓu thøc ngay tr−íc ®ã, trong c¸c phiªn b¶n cò ký hiÖu nµy lµ dÊu nh¸y kÐp):
[>expand(%);
122333444455555666666777777788888888999999999
T×m c¸c sè nguyªn tè tr−íc vµ sau mét sè cho tr−íc
T×m sè nguyªn tè ®øng tr−íc sè nguyªn a cho tr−íc b»ng lÖnh
prevprime(a);
ThÝ dô: [>prevprime(122333444455555666666777777788888888 999999999);
122333444455555666666777777788888888999999893
T×m sè nguyªn tè ®øng sau sè nguyªn a cho tr−íc b»ng lÖnh nextprime(a);
ThÝ dô:
[>nextprime(122333444455555666666777777788888888999999999
);
122333444455555666666777777788888889000000069
T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m nghiÖm nguyªn b»ng lÖnh isolve víi có ph¸p nh−
sau
[>isolve(eqns,vars);
Trong ®ã: eqns - tËp c¸c ph−¬ng tr×nh hoÆc mét ph−¬ng tr×nh
15
vars - tËp c¸c tªn biÕn v« ®Þnh
Thñ tôc isolve gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn tËp c¸c sè nguyªn, cho phÐp t×m mäi Èn v« ®Þnh tham gia trong c¸c ph−¬ng tr×nh.
TËp tªn c¸c biÕn v« ®Þnh (vars) ®−îc sö dông ®Ó biÓu diÔn nghiÖm, cã gi¸ trÞ nguyªn. NÕu ta kh«ng chØ râ c¸c biÕn nµy, hoÆc ®−a kh«ng ®ñ, th× ch−¬ng tr×nh sÏ tù t¹o ra c¸c tªn _N1, _N2... NÕu ta khai b¸o thõa (nhiÒu h¬n sè biÕn v« ®Þnh thùc tÕ) th× còng kh«ng sao, ch−¬ng tr×nh sÏ kh«ng ®éng ch¹m ®Õn c¸c biÕn thõa.
NÕu kh«ng cã nghiÖm nguyªn (hoÆc MAPLE kh«ng cã kh¶ n¨ng t×m nghiÖm)
th× m¸y th«ng b¸o NULL.
ThÝ dô
[>isolve(3*x-4*y=7);
{
,
= y
+ 2 3 _N1 = x
+ 5 4 _N1 }
[>isolve(x+2*y+3*z=4,{a});
{
3 a
z
= y
4 _N2 = x , −
−
2 _N2 = ,
a }
[>isolve(x+y+z=0,{a,b,c,d});
{
z
,
=
a = y
b = x − − a ,
b }
[>isolve(x^2+y^2=z^2,{u,v});
{
,
z
,
= x
=
igcd (
)
igcd (
) ,
)
_N3 ( u2 v2 − +
v2 _N3 ( + v2 u2 v2 , + − +
u2 u2 −2 v u
}
= y −2
,
igcd (
)
v2 − +
u2 v2 ) − + u2 −2 v u v2 , , + _N3 v u v2 u2 , +
u2 −2 v u
T×m th−¬ng vµ phÇn d−
LÖnh : irem - t×m phÇn d− nguyªn
iquo - t×m th−¬ng nguyªn
Có ph¸p: irem(m,n) irem(m,n,'q')
iquo(m,n) iquo(m,n,'r')
Tham biÕn: m,n - biÓu thøc
q,r - tªn
NÕu m vµ n lµ hai sè nguyªn th× lÖnh irem tÝnh phÇn d− cña m khi chia cho n , vµ nÕu cã sù tham gia cña biÕn thø ba 'q' th× nã sÏ ®−îc g¸n cho th−¬ng. T−¬ng tù, lÖnh iquo tÝnh th−¬ng khi chia m cho n vµ nÕu cã sù tham gia cña biÕn thø ba 'r' th× nã ®−îc g¸n cho phÇn d−.
NÕu m vµ n kh«ng ph¶i c¶ hai lµ nh÷ng sè nguyªn th× irem kh«ng x¸c ®Þnh.
16
ThÝ dô Muèn t×m phÇn d− cña 23 cho 4 ta dïng lÖnh
[>irem(23,4,'q');
3
vµ th−¬ng cña phÐp chia nµy biÕt ®−îc nhê lÖnh
[>q;
5
Ng−îc l¹i, ta cã thÓ thùc hiÖn c¸c lÖnh sau ®Ó ®¹t cïng môc ®Ých
[>iquo(23,4,'r');
5
[>r;
3
Khi kh«ng cã biÕn thø 3
[>irem(-23,4);
-3
[>irem(23,-4);
3
[>iquo(-23,-4);
5
[>irem(x,3);
irem ,x 3 ( )
TÝnh theo c«ng thøc truy håi
Nhê MAPLE, b¹n cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc theo c«ng thøc truy håi nh− tÝnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y Fibonachi. Muèn tÝnh theo c«ng thøc truy håi, b¹n h·y vµo lÖnh
[>rsolve(eqns, fcns);
Trong ®ã, eqns lµ ph−¬ng tr×nh hoÆc tËp c¸c ph−¬ng tr×nh, fcns lµ tªn hµm hoÆc tËp tªn c¸c hµm mµ lÖnh rsolve ph¶i t×m.
17
− n 1
− = )
− )
f 2 (
f 3 (
f n (
ThÝ dô T×m c«ng thøc cho hµm f(k) theo c«ng thøc truy håi − n 2 )
víi gi¸ trÞ ban ®Çu bÊt kú
[>rsolve(f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(k));
(
2 (
f 0
f 1 (
)
)
(
)-1 k
f 0 (
f 1 (
)
)
(
) +
( +
−
) −
)-2 k
NÕu muèn cã c«ng thøc cña f(k) víi gi¸ trÞ ban ®Çu cho tr−íc th× ta ph¶i khai b¸o gi¸ trÞ Êy vµo eqns
[>rsolve({f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(1..2)=1},{f});
{
f n (
3 (
)-1 n
)-2 n
}
) =
−
( +
ThÝ dô TÝnh sè h¹ng f(n) cña d·y Fibonachi
f n (
f ( ) =
− n 1
f ( ) +
− n
2 )
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu f(1)=1, f(2)=1
[>rsolve({f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(1)=1,f(2)=1},{f});
n
n
−
1 − 1 5
1 − − 1 5
2 1 − 5
2 1 + 5
f n (
) =
+
5 1 − 5
5 1 + 5
[>simplify(%);
)−n
(
)−n
5 2n (
)-1 n
)
)
(
1 − 5
{
f n (
= − )
}
4 5
( 1 + 5 ) − 5 (
( 1 ( )
( − + 5 1
)
ThÝ dô TÝnh sè h¹ng f(n) theo c«ng thøc truy håi
f n (
5 n
) =
+
n 2
3 f
[>rsolve(f(n) = 3*f(n/2) + 5*n, f(n));
+ 1
ln n ( ln 2 (
) )
( ln 3 ln 2 (
) )
( ln 3 ln 2 (
) )
+
+ n
( ) f 1 n
2 3
15 −
10
Muèn cã c«ng thøc t−êng minh cña biÓu thøc truy håi ta ph¶i lµm hai b−íc sau
B−íc 1. G¸n tªn cho biÓu thøc truy håi
18
B−íc 2. T×m c«ng thøc tæng qu¸t b»ng lÖnh rsolve.
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh
f (
3 (
f n
f 2 (
1 + n
) =
) −
− n
1 )
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu
f 1 (
f 2 (
2 , ) =
) =
3
B−íc 1. G¸n tªn reqn (ph−¬ng tr×nh truy håi) cho biÓu thøc truy håi ®· cho
[>reqn:=f(n+1)=3*f(n)-2*f(n-1);
reqn
f := (
3 (
f n
f 2 (
1 + n
) =
) −
− n
1 )
B−íc 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu f(1)=2,f(2)=3
[>rsolve({reqn,f(1)=2,f(2)=3},f(n));
2n
1 +
1 2
KÕt qu¶ tÝnh to¸n truy håi cã thÓ cho ta mét hµm ®Æc biÖt.
y n (
n (
y 0 (
) =
y − n
) =
y n , biÕt ( )
1 , )
1
ThÝ dô T×m
[>rsolve({y(n) = n*y(n-1), y(0)=1}, y);
(
Γ + n 1 )
Trong ®ã Γ(.) lµ hµm GAMMA ®· quen biÕt trong Gi¶i tÝch To¸n häc. Maple cã thÓ gi¶i ph−¬ng tr×nh truy håi phi tuyÕn.
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh truy håi
=
y n (
)
y − n 1 (
+ )
y n (
− )
y − n 1 (
= , 0 )
( )y 0
a
[>rsolve({y(n)*y(n-1)+y(n)-y(n-1)=0,y(0)=a},y);
a n a + 1
MAPLE còng cã thÓ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh truy håi.
ThÝ dô Gi¶i hÖ
+ n 1
f n ( )
y + n 1 (
) +
( 2 =
) +
f (
2n
y n (
+ n 1
) −
n ) =
−
+
n 3
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu
f 5 ( )
..1 5
) =
y = k (
2k 1 , −
=
6 ;
19
[>rsolve({y(n+1)+f(n)=2^(n+1)+n,f(n+1)-y(n)=n-2^n+3,
y(k=1..5)=2^k-1,f(5)=6},{y, f});
{
2n
y n (
f n (
) =
1 , −
) =
+ n
1 }
2.1.2. TÝnh to¸n víi c¸c sè thËp ph©n
VÒ ®é chÝnh x¸c cña c¸c phÐp tÝnh sè häc
B¹n cã thÓ thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sè häc trªn c¸c sè thËp ph©n (víi dÊu phÈy ®éng) víi ®é chÝnh x¸c theo ý muèn. Trong thùc tÕ, MAPLE cã thÓ xö lý c¸c sè víi hµng tr¨m ngh×n ch÷ sè.
Muèn tÝnh gi¸ trÞ cña ®¹i l−îng P chÝnh x¸c tíi m con sè, ta sö dông lÖnh
evalf(P,m).
ThÝ dô Ta h·y tÝnh sè Pi chÝnh x¸c ®Õn 500 ch÷ sè thËp ph©n
[>evalf(Pi,500);
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470 9384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964 4622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271 2019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245 8700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133 0530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186 1173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279 381830119491
Muèn tÝnh sè e ta h·y l−u ý r»ng Maple coi nã lµ gi¸ trÞ cña hµm sè mò exp(x)
t¹i ®iÓm x=1.
ThÝ dô TÝnh sè e víi ®é chÝnh x¸c lµ 40 ch÷ sè
[>evalf(exp(1.0),40);
2.718281828459045235360287471352662497757
Maple hiÓu vµ lµm viÖc trªn tÊt c¶ c¸c hµm ®Æc biÖt mµ chóng ta cã trong gi¸o tr×nh gi¶i tÝch.
ThÝ dô TÝnh gi¸ trÞ cña hµm Gamma t¹i ®iÓm 2.5,
[>evalf(GAMMA(2.5));
1.329340388
Chó ý Ch÷ GAMMA trong dßng lÖnh lµ tªn riªng chØ hµm sè ga-ma (®· biÕt trong ch−¬ng tr×nh gi¶i tÝch) nªn ph¶i viÕt hoa theo ®óng tªn qui ®Þnh cña hµm sè nµy.
20
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè häc
TÝnh chÝnh x¸c c¸c phÐp to¸n sè häc lµ kh¶ n¨ng m¹nh cã tÝnh nguyªn t¾c cña
MAPLE.
C¸c phÐp chia vµ khai c¨n trong tÝnh to¸n kh«ng bÞ ®æi sang c¸c ph©n sè thËp ph©n (gÇn ®óng) t−¬ng ®−¬ng. Kh¶ n¨ng nµy cho phÐp tr¸nh ®−îc sai sè khi lµm trßn.
30
2
3
ThÝ dô BiÓu thøc
kh«ng bÞ ®æi sang sè thËp ph©n mµ vÉn gi÷ nguyªn gi¸
20 3
trÞ ®óng cña nã:
[>(2^30/3^20)*sqrt(3);
3
1073741824 3486784401
Tuy nhiªn, MAPLE cã ®Çy ®ñ kh¶ n¨ng cung cÊp gi¸ trÞ xÊp xØ cña biÓu thøc nµy d−íi d¹ng sè thËp ph©n víi dÊu chÊm ®éng (víi ®é chÝnh x¸c tuú ý ta chän, mÆc ®Þnh lµ 10 ch÷ sè thËp ph©n). Muèn lµm ®iÒu nµy ta dïng lÖnh lÖnh evalf(.) (®¸nh gi¸ biÓu thøc trªn ®©y), cô thÓ lµ:
[>evalf(%);
.5333783739
Trong ®ã (%) lµ k Ý hiÖu “biÓu thøc tr−íc ®ã”, mµ trong c¸c phiªn b¶n Maple tõ
R4 trë vÒ tr−íc th−êng ®−îc k hiÖu lµ (“).
TÝnh tæng cña h÷u h¹n vµ cña v« h¹n c¸c sè h¹ng
1.Bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n
Ta sÏ tiÕn hµnh c¸c b−íc sau:
B−íc 1. LÊy dÊu nh¾c "[>" (b»ng viÖc vµo chøc n¨ng Insert/Execution group/After cursor) råi ®−a vµo dßng lÖnh cã có ph¸p nh− sau:
[>Sum(f(i),i=m..n);
Trong ®ã, Sum lµ viÕt t¾t cña tæng, f(i) lµ sè h¹ng thø i cña tæng, i=m..n cã nghÜa lµ i ch¹y tõ m ®Õn n. Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh nµy, m¸y sÏ cho ta c«ng thøc biÓu diÔn tæng cÇn tÝnh.
B−íc 2. Muèn tÝnh gi¸ trÞ cña tæng, l¹i lÊy dÊu nh¾c míi " [>" vµ ®−a vµo lÖnh
[>value(%);
NghÜa lµ "gi¸ trÞ cña biÓu thøc (tæng) trªn ®©y". Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, trªn mµn h×nh sÏ hiÖn gi¸ trÞ tæng cÇn tÝnh.
21
10
ThÝ dô Muèn tÝnh tæng
, b¹n h·y vµo hai lÖnh sau vµ Ên "Enter", m¸y sÏ
1 i + +∑ 4 1i i 1 =
cho ngay kÕt qu¶ :
[>Sum((1+i)/(1+i^4),i = 1 .. 10);
10
∑
i 1 =
+ 1 i + 1 i4
[>value(%);
51508056727594732913722 40626648938819200088497
2. TÝnh tæng v« h¹n
Thao t¸c gièng hÖt nh− trªn, chç kh¸c duy nhÊt lµ thay chØ sè n b»ng ch÷
infinity (v« h¹n).
∞
ThÝ dô Muèn tÝnh tæng v« h¹n
∑ ta còng sö dông hai lÖnh sau ®©y:
1 2 k
k
1 =
[>Sum( 1/(k^2),k = 1 .. infinity);
∞ 1 ∑ k2
1
= k
[>value(%);
π2
1 6
Chó ý Muèn cã kÕt qu¶ nhanh, b¹n thay ch÷ S (hoa) trong ch÷ "Sum" b»ng ch÷ s th−êng, m¸y sÏ ®−a ta ®Õn th¼ng ®¸p sè (bá qua c«ng ®o¹n biÓu diÔn c«ng thøc) .
[>sum( 1/(k^2),k = 1..infinity);
π2
1 6
Chó ý Bµi to¸n 2 chÝnh lµ bµi to¸n tÝnh tæng cña chuçi, mét bµi to¸n khã trong gi¶i tÝch to¸n häc vµ ta sÏ cã dÞp thùc hµnh kü h¬n trong phÇn tÝnh to¸n thùc hµnh víi bé m«n Gi¶i tÝch.
TÝnh tÝch cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n thõa sè
Thao t¸c gièng hÖt phÇn trªn, chØ thay ch÷ "Sum" (tæng) b»ng ch÷
"Product" (tÝch).
22
2
10
11
ThÝ dô Muèn tÝnh tÝch
ta vµo hai lÖnh sau vµ Ên "Enter", m¸y sÏ cho
− 3
i 3 i + +∏ i
i
0
=
biÓu thøc cña tÝch cÇn tÝnh vµ ®¸p sè.
[>Product((i^2+3*i-11)/(i+3),i=0..10) ;
10
+
∏
i2 3 i 11 − i 3 +
0 i =
[>value(%);
-7781706512657 40435200
∞
ThÝ dô Muèn tÝnh nhanh tÝch
ta vµo lÖnh sau (dïng "product" thay cho
∏
1 2 n
2
n
=
1 −
"Product") vµ Ên "Enter", m¸y sÏ cho ngay ®¸p sè (bá qua c«ng ®o¹n biÓu diÔn b»ng c«ng thøc),
[>product((1-1/n^2),n=2..infinity) ;
1 2
NhËn xÐt: TÝch v« h¹n liªn quan mËt thiÕt víi tæng v« h¹n vµ cã nhiÒu c«ng thøc thó vÞ. Dïng MAPLE, b¹n cã thÓ dÔ dµng tÝnh ®−îc c¸c tÝch ®ã.
∞
− 1
ThÝ dô (C«ng thøc Euler ) TÝnh ∏
1
= n
[>product(1-1/(4*n^2),n = 1 .. infinity) ;
1 4 n2
2 π
2.1.3. TÝnh to¸n víi sè phøc
MAPLE cho phÐp thùc hiÖn tÝnh to¸n víi sè phøc. Ch÷ I (hoa) ®−îc dïng
lµm ký hiÖu chØ ®¬n vÞ ¶o.
ThÝ dô TÝnh
5 I 4 I
+ 3 + 7
[>(3+5*I)/(7+4*I);
23
+ I 41 65 23 65
B»ng lÖnh "biÕn ®æi f vÒ d¹ng to¹ ®é cùc" convert(f,polar) b¹n cã thÓ dÔ dµng biÕn ®æi sè phøc f vÒ d¹ng to¹ ®é cùc (r,θ), trong ®ã r lµ m«®un vµ θ lµ argumen cña sè phøc trong biÓu thøc.
[>convert((3+5*I)/(7+4*I),polar);
, 2210 1 65 23 41 polar arctan
2.1.4. TÝnh to¸n theo Modul
C¸c tÝnh to¸n Modul th«ng th−êng
TÝnh modul m trªn tËp sè nguyªn
LÖnh : e mod m víi c¸c d¹ng riªng:
®Õn)
modp(e,m) - lÊy biÓu diÔn d−¬ng cña e theo modul m (trong tËp gi¸ trÞ tõ 0 1m − ;
mods(e,m) -
lÊy biÓu diÔn ®èi xøng cña e
theo modul m
1
m −
(trong tËp gi¸ trÞ tõ [
] ®Õn [
m 2 ] )
2
Trong ®ã: e - biÓu thøc ®¹i sè
m - sè nguyªn kh¸c 0
To¸n tö mod tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc e trªn tËp sè nguyªn modul m . Nã hîp nhÊt viÖc tÝnh to¸n trªn tr−êng sè h÷u h¹n vµ c¸c phÐp tÝnh sè häc ®èi víi ®a thøc, ma trËn trªn tr−êng h÷u h¹n, kÓ c¶ phÐp ph©n tÝch ra thõa sè.
ViÖc Ên ®Þnh modp hay mods ®−îc thùc hiÖn th«ng qua biÕn m«i tr−êng
`mod` (gi¸ trÞ modp ®−îc xem lµ mÆc ®Þnh).
Khi tÝnh
nq mod m , trong ®ã q lµ sè nguyªn, th× kh«ng nªn sö dông có ph¸p 'hiÓn nhiªn' nh− q^n mod m, bëi v× phÐp luü thõa sÏ chuyÓn sè thø nhÊt thµnh sè nguyªn (cã thÓ lµ rÊt lín) tr−íc khi rót gän theo modul m. Thay vµo ®ã, nªn dïng to¸n tö tr¬ (inert) &^, nghÜa lµ q&^n mod m. Trong d¹ng ®ã, luü thõa sÏ ®−îc biÕn ®æi khÐo lÐo theo phÐp lÊy mod. T−¬ng tù Powmod(a,n,b,x) mod m tÝnh Rem(a^n,b,x) mod m ( a vµ b lµ nh÷ng ®a thøc cña x) kh«ng cÇn tÝnh a^n mod m.
Nh÷ng phÐp to¸n modul sè häc kh¸c ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng tù nhiªn cña
chóng.
i+j mod m; i-j mod m; i*j mod m;
j^(-1) mod m; i/j mod m;
Trong ®ã i/j mod m ®−îc hiÓu lµ i*j^(-1) (modul m).
ThÝ dô TÝnh
24
[>12 mod 7;
5
[>modp(12,7);
5
[>mods(12,7);
-2
[>5*3 mod 7;
[>11+5*3 mod 7;
1
[>(11+5*3)^(-1) mod 7;
3
[>1/(11+5*3) mod 7;
5
[>1/3 mod 7;
3
[>5&^1000 mod 23;
5
Khi biÓu thøc e kh«ng ph¶i lµ mét sè, mµ lµ mét ®a thøc th× phÐp lÊy modul cña nã ®−îc hiÓu lµ phÐp lÊy modul cña tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña ®a thøc.
9
ThÝ dô TÝnh [>a := 15*x^2+4*x-3 mod 11;
Nh− ®· nãi, theo mÆc ®Þnh th× phÐp lÊy modul lu«n sö dông biÓu diÔn d−¬ng (modp). Muèn chuyÓn sang dïng biÓu diÔn ®èi xøng th× ta dïng lÖnh
[>`mod` := mods:
[>b := 3*x^2+8*x+9 mod 11;
25
a := 4 x2 4 x + − 3
b
:=
3 x2
3 x
−
−
2
vµ lÖnh nµy chØ cã hiÖu lùc trong côm xö lý cã nã tham gia mµ th«i. ThËt vËy:
[>3*x^2+8*x+9 mod 11;
C¸c phÐp to¸n kh¸c: t×m −íc sè chung lín nhÊt, ph©n tÝch ra thõa sè (víi c¶ sè vµ ®a thøc),... còng ®−îc thùc hiÖn theo ph−¬ng thøc th«ng th−êng (ngo¹i trõ mét kh¸c biÖt nhá lµ c¸c lÖnh trong phÐp tÝnh víi modul ®−îc b¾t ®Çu víi ch÷ hoa). Mét ®iÒu dÔ nhËn ra lµ kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh theo modul lu«n "kh¸c th−êng". ThÝ dô:
[>gcd(a,b);
3 x2 8 x + + 9
[>Gcd(a,b) mod 11;
1
[>factor(x^3+2);
x3
+
2
[>Factor(x^3+2) mod 5;
(
x2
2 x
1 ( )
+
−
− x
2 )
[>Expand(%) mod 5;
x3
+
2
+ x 5
Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi Modul
LÖnh : msolve - gi¶i ph−¬ng tr×nh trong Z theo mod m
Có ph¸p: msolve(eqns,vars,q) hoÆc msolve(eqns,q)
Tham sè: eqns - tËp c¸c ph−¬ng tr×nh (hoÆc mét ph−¬ng tr×nh)
vars - tËp c¸c tªn biÕn
q - sè nguyªn
LÖnh msolve gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh eqns trªn c¸c sè nguyªn (theo mod q).
Nã gi¶i theo mäi Èn bÊt ®Þnh cã trong c¸c ph−¬ng tr×nh.
NÕu nghiÖm lµ v« ®Þnh, th× hä c¸c nghiÖm ®−îc biÓu thÞ th«ng qua c¸c biÕn cã tªn ®−îc cho trong tËp tªn biÕn vars , vµ nÕu nh− vars bÞ bá qua th× ®−îc thay thÕ
26
b»ng c¸c tªn mÆc ®Þnh toµn côc _NN1, _NN2, _NN3,.. Nh÷ng tªn nµy kh«ng trïng víi c¸c Èn v« ®Þnh vµ ®−îc phÐp lÊy mäi gi¸ trÞ nguyªn.
ThÝ dô [>msolve({3*x-4*y=1,7*x+y=2},19);
{
= x
15 = y ,
11 }
[>msolve(2^i=3,z,19);
[>msolve(8^i=2,17);
{ i } = 13 18 z +
[>msolve(8^i=2,u,17);
{ i = + 3 8 _NN1~ }
[>msolve(sum(x[i],i=1..9),3 );
x[3] = 2x[1]+2x[2]+2x[7]+2x[4]+2x[5]+2x[6]+2x[8]+2x[9], x[4] = x[4], x[5] = x[5], x[6] = x[6], x[7] = x[7], x[9] = x[9], x[1] = x[1], x[2] = x[2], x[8] = x[8]
NÕu ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm trªn c¸c sè nguyªn (mod m) th× ta sÏ
kh«ng nhËn ®−îc kÕt qu¶ nµo.
{ i = + 3 8 u }
ThÝ dô [>msolve(x^2=3,5);
(Ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm)
2.1.5. Khai triÓn, ®¬n gi¶n vµ ph©n tÝch biÓu thøc ®¹i sè
Khai triÓn biÓu thøc ®¹i sè
MAPLE cã thÓ khai triÓn c¸c nhÞ thøc.
+ x
ThÝ dô Khai triÓn nhÞ thøc (
y 15 . C«ng viÖc nµy ®−îc tiÕn hµnh nh− sau: )
B−íc 1. §−a vµo dßng lÖnh g¸n tªn cho biÓu thøc cÇn khai triÓn:
[>expr:=(x+y)^15;
Trong ®ã expr lµ viÕt t¾t cña ch÷ " biÓu thøc", dÊu ":= " thay cho ®Þnh nghÜa (v× vËy, dßng lÖnh trªn cã nghÜa nh− lµ : "biÓu thøc expr ®−îc ®Þnh nghÜa b»ng (x+y)^15 " ).
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, m¸y hiÖn biÓu thøc mµ ta sÏ khai triÓn, tøc lµ
27
expr
( :=
y 15 )
+ x
B−íc 2. TiÕp tôc ®−a vµo lÖnh:
[>expand(expr);
(nghÜa lµ: " Khai triÓn biÓu thøc expr "). Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh m¸y hiÖn d¹ng khai triÓn cña biÓu thøc.
15
14
2 13
4 11
9
x
15
yx
105
y x
455
3 12 y x
1365
y x
3003
5 10 y x
5005
6 y x
+
+
+
+
+
+
8
7
6
5
3
6435
7 y x
6345
8 y x
5005
9 y x
3003
10 y x
1365
11 4 y x
455
12 y x
+
+
+
+
+
+
2
15
105
13 y x
15
14 y x
y
+
+
+
Ph©n tÝch ra thõa sè
PhÐp to¸n nµy thùc chÊt lµ ng−îc cña phÐp khai triÓn nãi trªn. B¹n cã thÓ dïng nã ®Ó kiÓm tra c¸c tÝnh to¸n ®· thùc hiÖn ë trªn. LÖnh ph©n tÝch mét ®a thøc ra thõa sè lµ factor(.). ThÝ dô, ta ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y ra thõa sè
b»ng lÖnh
[>factor(x^4-10*x^3+35*x^2-50*x+24);
x4 10 x3 35 x2 50 x − + − + 24
( 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) − x − x − x − x 4 )
Chó ý §a thøc ®¹i sè lu«n ®−îc hiÓu lµ cã hÖ sè nguyªn, cho nªn m¸y chØ t×m nh÷ng thõa sè lµ ®a thøc nguyªn mµ th«i. Muèn t×m nh÷ng ®a thøc kh«ng nguyªn th× tèt nhÊt lµ dïng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m nghiÖm. C¸c tÝnh to¸n nµy sÏ ®−îc xem xÐt sau.
PhÐp ®¬n gi¶n biÓu thøc
B»ng lÖnh simplify (®¬n gi¶n ho¸) MAPLE cã thÓ ¸p dông c¸c ®ång nhÊt thøc ®Ó ®¬n gi¶n rÊt nhiÒu biÓu thøc to¸n häc cång kÒnh, thÝ dô c¸c biÓu thøc l−îng gi¸c
ThÝ dô Muèn ®¬n gi¶n biÓu thøc l−îng gi¸c
ta dïng lÖnh:
[>simplify(cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-
cos x 5 ( ) sin x 4 ( ) cos x 2 ( ) sin x 2 ( ) + 2 + 2 − − cos 2 x ( )
cos(2*x));
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh m¸y hiÖn biÓu thøc ®· ®¬n gi¶n lµ
28
cos x 5 ( ) + cos x 4 . ( )
Tèi gi¶n ph©n thøc
Tèi gi¶n ph©n thøc còng lµ ®−a nã vÒ d¹ng chuÈn t¾c (normal), tøc lµ gi¶n −íc c¸c thõa sè chung cña tö sè vµ mÉu sè. Muèn lµm viÖc nµy ta sö dông lÖnh normal . ThÝ dô, ta tèi gi¶n ph©n thøc
y2
x2
x3 y3 − y x + − −
b»ng lÖnh sau ®©y:
[>normal((x^3-y^3)/(x^2+x-y-y^2));
Sau khi cho thùc hiªn lÖnh lµ sÏ thÊy ngay kÕt qu¶
y2
x2 y x + + 1 y x + +
G¸n tªn cho biÓu thøc vµ g¸n trÞ cho biÕn
2
2 1) (2
x (41
1)
x
x + +
NÕu mét biÓu thøc cång kÒnh mµ ®−îc dïng ®i dïng l¹i nhiÒu lÇn th× tèt nhÊt lµ g¸n cho nã mét c¸i tªn, ®Ó mçi lÇn sö dông ®Õn nã ta kh«ng mÊt c«ng viÕt l¹i (vµ − c¸i tªn lµ còng ®ì nhÇm lÉn). ThÝ dô, ta g¸n cho biÓu thøc expr1 (biÓu thøc 1) b»ng lÖnh
[>expr1:=(41*x^2+x+1)^2*(2*x-1);
2
expr1
( :=
41 x2
)
(
2 x
1 x + +
−
1 )
vµ sau ®ã ta cã thÓ tho¶i m¸i tiÕn hµnh mäi phÐp to¸n trªn nã.
ThÝ dô, ta cã thÓ khai triÓn nã b»ng lÖnh expand vµ, cïng mét lóc, l¹i cã thÓ g¸n cho biÓu thøc kÕt qu¶ mét c¸i tªn kh¸c, thÝ dô nh− lµ expr2 (biÓu thøc 2), víi lÖnh:
[>expr2:=expand(expr1);
expr2
:=
3362 x5
1517 x4
84 x3
79 x2
−
+
−
−
1
2
x
x+ + vµ 1
vµ cã thÓ thiÕt lËp ph©n thøc víi tö sè lµ mét ®a thøc nµo ®ã (thÝ dô : mÉu sè lµ biÓu thøc trªn, víi lÖnh:
[>phanthuc:=(x^2+x+1)/expr2;
2
phanthuc
: =
3
2
5
x 1517
79
1
3362
x
x
x 1 + + 4 x x 84 +
−
−
−
29
Muèn g¸n mét gi¸ trÞ cho biÕn cña mét biÓu thøc ta dïng lÖnh subs (viÕt t¾t cña tõ substitution - thay thÕ), thÝ dô ta cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 t¹i x = 1 b»ng lÖnh g¸n cho biÕn x gi¸ trÞ b»ng 1, cô thÓ lµ:
[>subs (x=1, phanthuc);
3 1849
DÜ nhiªn, gi¸ trÞ ®−îc g¸n cho biÕn sè còng cã thÓ lµ mét biÓu thøc (vµ khi Êy ý nghÜa cña tõ "thay thÕ" cµng trë nªn s¸ng tá), thÝ dô
[>subs(x=x+y,phanthuc);
( 1517 (
79 (
y 2 )
3362 (
y 5 )
+ x + x
+ x
+ x
−
y 2 1 y x ) + + + y 3 y 4 ) + x 84 ( ) +
−
−
1
ChuyÓn ®æi d¹ng cña biÓu thøc
LÖnh convert (chuyÓn ®æi) cho phÐp ta ®−a c¸c biÓu thøc vÒ nh÷ng d¹ng ®Æc
biÖt x¸c ®Þnh tr−íc.
vÒ d¹ng tæng c¸c ph©n thøc
ThÝ dô, ta biÕn ®æi biÓu thøc
a x2 3 x2
)
x (
b + 4 x − +
−
riªng (partial fractions) nhê c¸c lÖnh sau ®©y:
Khai b¸o biÓu thøc
[>my_expr:= (a*x^2+b)/(x*(-3*x^2-x+4));
my_expr
:=
a x2 3 x2
x (
b + x − +
−
4 )
ChuyÓn ®æi biÓu thøc võa khai b¸o vÒ d¹ng tæng c¸c ph©n thøc riªng:
[>convert(my_expr,parfrac,x);
−
b x
16 a 3 x
1 4
1 28
1 − 7
9 b + 4 +
b + a 1 − x
Ta còng cã thÓ biÓu diÔn hµm cot(x) qua d¹ng hµm sè mò (exp)
[>convert(cot(x),exp);
(
I x
)
2 1 +
(
I x
)
I ( ( e )
30
( e ) ) 2 1 −
2.1.6. §Þnh nghÜa hµm sè
Hµm sè th«ng th−êng
MAPLE cung cÊp nhiÒu ph−¬ng tiÖn ®Ó x¸c ®Þnh hµm sè. C¸ch thø nhÊt lµ
dïng ký hiÖu mòi tªn ->, gièng nh− kÝ hiÖu to¸n häc th«ng th−êng.
2
x
ThÝ dô Muèn x¸c ®Þnh hµm sè
x→ + ta ®−a vµo lÖnh sau:
1 2
[>f:=x->x^2+1/2;
NghÜa lµ: " Hµm f ¸nh x¹ x vµo
1 2 x + ". 2
a b
2
Sau khi ®· ®Þnh nghÜa, ta cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña hµm f t¹i c¸c ®iÓm tuú ý (lµ sè x = hoÆc lµ ký hiÖu h×nh thøc ( x
= + ) b»ng c¸c lÖnh sau:
[>f(2);
f x2 x := → 1 + 2
[>f(a+b);
9 2
Mét ®iÓm kh¸c c¬ b¶n gi÷a ®Þnh nghÜa hµm sè nh− trªn vµ phÐp g¸n tªn (ë môc tr−íc) lµ gi¸ trÞ cña hµm sè ®−îc tÝnh trùc tiÕp (chø kh«ng ph¶i b»ng lÖnh thay thÕ).
Còng cã thÓ sö dông lÖnh unapply ®Ó chuyÓn mét biÓu thøc vÒ hµm sè
[>g:=unapply(x^2+1/2,x);
g
x2
x := →
1 + 2
L−u ý r»ng ®©y còng kh«ng ph¶i lµ lÖnh g¸n tªn cho biÓu thøc, v× trong lÖnh g¸n tªn kh«ng cã ch÷ unapply, vµ kÕt qu¶ cña lÖnh g¸n tªn kh«ng cã mòi tªn ¸nh x¹ tõ x ( x -> BiÓu thøc).
( b 2 ) + a 1 + 2
Hµm tõng khóc
Mét ph−¬ng ph¸p phæ biÕn ®Ó ®Þnh nghÜa hµm sè lµ ®Þnh nghÜa hµm sè míi th«ng qua c¸c hµm sè ®· biÕt. C¸ch ®¬n gi¶n nh−ng ®em l¹i líp hµm v« cïng phong
31
phó vµ ®a d¹ng lµ chia miÒn x¸c ®Þnh ra mét sè m¶nh, trªn mçi m¶nh ta cho hµm nhËn gi¸ trÞ cña mét hµm nµo ®ã ®· biÕt tr−íc. C¸c hµm nh− vËy th−êng ®−îc gäi lµ hµm tõng khóc. Nã ®−îc x¸c ®Þnh b»ng lÖnh piecewise(.).
ThÝ dô Hµm tõng khóc:
-1 ≤ x 1 ≤ x
f
:=
)
otherwise
x2 1 − − 1 x sin − x 1 ( x
®−îc x¸c ®Þnh b»ng lÖnh
[>f:=piecewise(x<=-1,x^2-1,x<=1,-abs(x)+1,sin(x-1)/x);
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, ta sÏ ®−îc c«ng thøc nh− ë trªn.
2.1.7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ hÖ ph−¬ng tr×nh
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè (cã hÖ sè b»ng sè hoÆc b»ng ch÷).
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x3
−
+
=
+
−
a x2 2
13 x2 3
13 a x 6
10 x 3
5 a 3 .
B−íc 1. Sö dông lÖnh eqn:= ®Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
eqn
a x
x2
:=
+
=
a
[>eqn:=x^3-a*x^2/2+13*x^2/3=13*a*x/6+10*x/3-5*a/3; a x2 13 + 3
x3 1 − 2
5 x − 3
13 6
10 3
B−íc 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh b»ng lÖnh solve(eqn,{x})
[>solve(eqn,{x});
Ta cã thÓ chØ dïng mét lÖnh solve (gi¶i) vµ cã ngay ®¸p sè.
{ { -5 } , { } , = x a } 2 = x 3 1 = x 2
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi (abs):
2
2
((
z
2 )
1)
z+ +
−
9 =
[>solve(abs((z+abs(z+2))^2-1)^2=9,{z});
{
z
} ,
{
z
0 =
≤
-2 }
32
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c
[>solve(arccos(x)-arctan(x)=0,{x});
{ 2 5 } − + 2 1 = x 2
Gi¶i ph−¬ng tr×nh v« tû
4
3
2
x
x
x
1
+
x − +
, khã mµ gi¶i ®−îc b»ng mÑo, nh−ng thËt dÔ
− Ph−¬ng tr×nh dµng khi ta dïng lÖnh
[> solve(x^4-x^3+x^2-x+1,{x});
{
5
5
= x −
I 2
+ 5
}
{
5
I 2
5
}
− 5
{
5
I 2
5
}
− 5
5
{
I 2
5
}
= x −
+ 5
1 4 1 1 = x + 4 4 1 1 = x + 4 4 1 4
1 1 + − 4 4 1 − 4 1 + 4 1 1 + + 4 4
MÆc dï lµ phøc t¹p, nh−ng nghiÖm cña nã vÉn lµ nh÷ng sè v« tû "nhËn ra ®−îc", tøc lµ cã thÓ biÓu diÔn ®−îc qua c¸c sè v« tû ®· biÕt (ë ®©y I lµ ký hiÖu ®¬n vÞ ¶o). Tuy nhiªn ®iÒu nµy kh«ng ph¶i lóc nµo còng x¶y ra. Nãi chung, víi mét ph−¬ng tr×nh bÊt kú, nghiÖm cña nã th−êng lµ nh÷ng sè v« tû "l¹ ho¾c", vµ cã thÓ kh«ng biÓu diÔn ®−îc qua c¸c ký hiÖu s½n cã. Khi Êy th× chØ cßn c¸ch lµ cho nã mét c¸i tªn nµo ®ã (nh− ta ®· tõng lµm víi sè e, sè π,...) vµ ta cã thÓ nhËn biÕt c¸c sè v« tû míi nµy th«ng qua c¸c ®¸nh gi¸ xÊp xØ thËp ph©n cña chóng (víi møc ®é chÝnh x¸c tuú ý).
Tuy nhiªn, khi gÆp ph¶i mét ph−¬ng tr×nh siªu viÖt, viÖc tÝnh to¸n nghiÖm th−êng rÊt khã kh¨n, nªn Maple th−êng chØ cho ta 1 nghiÖm nµo ®ã. Muèn cã ®Çy ®ñ c¸c nghiÖm, ta ph¶i biÕt c¸ch "chØ dÉn" cho m¸y. Xin xem chi tiÕt trong môc: Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ ph−¬ng ph¸p ®å thÞ (Ch−¬ng 5).
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
ThÝ dô Gi¶i hÖ 5 ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt 5 Èn:
+
=
+
+
+
+
+
−
b c
a 2 b 3 c 4 d 5 e 41 + + 5 a 5 b 4 c 3 d 2 e 20 + = 3 b 4 c 8 d 2 e 125 + e d a = + + + +
= 9 =
B−íc 1: Vµo c¸c lÖnh x¸c ®Þnh c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ:
33
8 a 4 c 3 d 2 e + + + 11
[>eqn1:=a+2*b+3*c+4*d+5*e=41;
[>eqn2:=5*a+5*b+4*c+3*d+2*e=20;
eqn2
:=
5 a
5 b
4 c
3 d
2 e
+
+
+
+
=
20
[>eqn3:=3*b+4*c-8*d+2*e=125;
eqn3
:=
3 b
4 c
8 d
2 e
+
−
+
=
125
[>eqn4:=a+b+c+d+e=9;
eqn4
a :=
b c
d
e = + + + +
9
[>eqn5:=8*a+4*c+3*d+2*e=11;
eqn1 a := 2 b 3 c 4 d 5 e + + + + = 41
B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh theo mäi Èn a,b,c,d,e.
[>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5},{a,b,c,d,e});
{
= b
3 = e ,
16 = d ,
-11 = c ,
-1 = a ,
2 }
eqn5 := 8 a 4 c 3 d 2 e + + + = 11
2.1.8. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
ThÝ dô Gi¶i hÖ gåm 3 bÊt ph−¬ng tr×nh:
b»ng mét lÖnh trùc tiÕp
[>solve({x^2<1,y^2<=1,x+y<1/2},{x,y});
{
-1 y , ≤
1 ≤ y ,
-1 x , <
< x
1 }
1 0 , y x < + − 2
Còng cã thÓ gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh qua 2 b−íc (víi mét b−íc x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh)
10
x m +
+
<
x2 y2 < ≤ y + x < 1 , 1 , 1 2
ThÝ dô Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh theo Èn x (víi tham sè m ):
4 x m +
[>ineq:=(x+m+4/(x+m)<10);
34
ineq := x m + + < 10 4 + x m
[>solve(ineq,{x});
{
} ,
< x −m {
5 −
21 m x , <
−
5 < x +
21 m } −
MAPLE cã thÓ xÐt c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh phøc vµ tÝnh gi¸ trÞ Bool cña biÓu thøc nhê sö dông lÖnh is (lµ)
I
1
I
1 − −
ThÝ dô XÐt xem sè phøc 2
− + cã b»ng 0 hay kh«ng?
[>expr:=2*sqrt(-1-I)*sqrt(-1+I);
expr
:=
2 − − 1 I − + 1
I
[>is(expr=0);
false
2.2. VÏ ®å thÞ vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan
2.2.1. VÏ ®å thÞ trong mÆt ph¼ng
Mäi viÖc tÝnh to¸n ®Òu ®−îc tiÕn hµnh trong côm xö lý (Execution Group), cho nªn tr−íc tiªn ph¶i ®−a nã vµo (b»ng chøc n¨ng Insert/Execution Group/After Cursor). C¸c tÝnh to¸n víi ®å ho¹ th−êng yªu cÇu bé nhí lín, cho nªn ta nªn "lµm s¹ch bé nhí" b»ng lÖnh:
[>restart;
Sau ®ã ta n¹p c¸c gãi chøc n¨ng chuyªn dông cho vÏ ®å thÞ, b»ng c¸c lÖnh
[>with(plots);
[>with(plottools);
Khi thùc hiÖn mçi lÖnh nµy ta sÏ thÊy xuÊt hiÖn b¶n thèng kª c¸c chøc n¨ng chuyªn dông cña nã. ViÖc n¹p c¸c lÖnh nµy lµ b¾t buéc tr−íc khi vÏ ®å thÞ. NÕu kh«ng, ch−¬ng tr×nh sÏ kh«ng lµm viÖc chuÈn x¸c.
C«ng cô vÏ ®å thÞ hai chiÒu cña MAPLE cho phÐp b¹n vÏ ®å thÞ cña c¸c hµm phøc t¹p, t¹o ra c¸c ®å thÞ theo tham sè, theo to¹ ®é pha, to¹ ®é cùc,... B¹n cã thÓ vÏ ®å thÞ c¸c hµm cho d−íi d¹ng Èn, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ quü tÝch. B¹n còng hoµn toµn kiÓm so¸t ®−îc c¸c ph«ng sö dông cho tiªu ®Ò, nh·n hiÖu hoÆc c¸c v¨n b¶n kh¸c trong c¸c ®å thÞ cña b¹n.
VÏ ®å thÞ hµm th«ng th−êng
y
f x ( )
=
Ta vÏ ®å thÞ cña hµm
b»ng dßng lÖnh cã có ph¸p nh− sau:
[>plot(f(x),x=a..b,y=c..d,title=`abcd`);
35
( )
f x n»m trong Trong ®ã c¸c tham biÕn biÓu thÞ r»ng ta vÏ phÇn ®å thÞ cña hµm h×nh ch÷ nhËt lµ tÝch §Ò-c¸c cña miÒn x¸c ®Þnh [a,b] vµ miÒn gi¸ trÞ [c,d] , vµ ngoµi ra cßn chua thªm trong b¶n vÏ mÈu tiªu ®Ò "abcd". (NÕu kh«ng cho gi¸ trÞ ,c d th× ch−¬ng tr×nh sÏ tù ®éng x¸c ®Þnh miÒn gi¸ trÞ cña hµm (¶nh cña tham sè cña miÒn x¸c ®Þnh ®· cho) vµ g¸n gi¸ trÞ biªn cña miÒn nµy vµo cho c¸c tham sè ,c d )
ThÝ dô VÏ ®å thÞ hµm sè y = x2 sin(x)+x trªn ®o¹n [-4,4] b»ng lÖnh
[>plot(x^2*sin(x)+x,x=-4..4);
Cã thÓ vÏ ®å thÞ cña nhiÒu hµm (trªn cïng mét miÒn x¸c ®Þnh vµ miÒn gi¸ trÞ),
vµ cho mçi ®å thÞ mét mÇu kh¸c nhau.
2
y
y
x sin( )
x=
=
(mµu ®á) vµ
(mµu xanh) trong
ThÝ dô VÏ ®å thÞ cña 2 hµm miÒn x¸c ®Þnh lµ ®o¹n [-2, 2] :
[>plot([x^2,sin(x)],x=-2..2,color=[red,blue]);
Cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng Maple vÏ ®−îc mäi ®å thÞ cña hµm sè cho bëi biÓu thøc gi¶i tÝch, kÓ c¶ hµm tõng khóc lÉn hµm chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Tuy nhiªn, cÇn ph¶i l−u ý r»ng nã th−êng tù ®éng nèi tÊt c¶ c¸c ®iÓm víi nhau thµnh ®−êng liÒn, kÓ c¶
2
sin(
x
)
f x ( )
=
chøa dÊu gi¸
t¹i nh÷ng ®iÓm mµ hµm gi¸n ®o¹n. ThÝ dô, hµm sè
x + x
trÞ tuyÖt ®èi ë mÉu sè vµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = 0.
2
sin(
x
)
f x ( )
=
ThÝ dô VÏ ®å thÞ hµm
b»ng lÖnh
x + x
36
[>plot(sin(x+x^2)/abs(x),x=-2..2);
Muèn tr¸nh t×nh tr¹ng ®å thÞ bÞ nèi liÒn trong tr−êng hîp hµm gi¸n ®o¹n ta ®−a vµo tham sè "discont=true", cô thÓ lµ
[>plot(sin(x+x^2)/abs(x),x=-2..2,discont=true);
VÏ ®å thÞ hµm Èn
( , y
) 0 h x ( ) =
Mét líp hµm thó vÞ lµ líp c¸c hµm Èn, ®−îc cho bëi mét ph−¬ng tr×nh 2 Èn: f x y = . D−íi mét sè ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh, ph−¬ng tr×nh nµy x¸c ®Þnh mét hµm sè . Tuy nhiªn ta cã thÓ vÏ ®å thÞ cña hµm nµy (mµ kh«ng cÇn gi¶i ph−¬ng tr×nh) b»ng lÖnh implicitplot (l−u ý lµ lÖnh chØ lµm viÖc sau khi n¹p gãi ch−¬ng tr×nh vÏ with(plots), xin ®õng quªn). Có ph¸p tæng qu¸t lµ:
[>implicitplot(f(x,y)=0, x=a..b,y=c..d);
2
2
4
3
x
y
x
y
0
−
−
+
ThÝ dô VÏ ®−êng cong
= b»ng lÖnh
[>implicitplot(x^2-y^2-x^4+y^3=0, x=-1..1, y=-0.5..1.5);
37
CÇn l−u ý r»ng c¸c tÝnh to¸n xÊp xØ th−êng chØ cho ta mét h×nh ¶nh gÇn ®óng víi thùc tÕ. Khi cho ®é chÝnh x¸c cµng cao th× h×nh ¶nh cµng trung thùc, nh−ng thêi gian tÝnh to¸n sÏ cµng l©u, cho nªn ng−êi ta th−êng chän chÕ ®é mÆc ®Þnh lµ ®é chÝnh x¸c "võa ph¶i". Trong thÝ dô trªn, víi chÕ ®é chÝnh x¸c mÆc ®Þnh ta thÊy ®å thÞ gåm 2 phÇn rêi nhau, kh«ng dÝnh nhau t¹i ®iÓm (0,0), mÆc dï râ rµng vÒ mÆt lý thuyÕt nã ph¶i ®i qua ®iÓm nµy. Muèn cã h×nh vÏ trung thùc h¬n, ta cÇn t¨ng ®é chÝnh x¸c lªn cao h¬n (b»ng tuú chän ®Æt sè ®iÓm vÏ nhiÒu h¬n, xem thªm phÇn giíi thiÖu vÒ c¸c tuú chän trong lÖnh vÏ ®å thÞ). Trong thÝ dô nµy, nÕu ta sö dông tuú chän numpoints=1000 th× sÏ thu ®−îc kÕt qu¶ nh− ý. Ng−êi ®äc h·y tù m×nh thùc hiÖn lÖn sau ®Ó xem kÕt qu¶
[>implicitplot(x^2-y^2-x^4+y^3=0, x=-1..1, y=-0.5..1.5,
numpoints=1000);
= y
f x ( )
− y
f x còng cã thÓ ®−îc xem lµ mét tr−êng hîp riªng cña hµm Èn (v× ( ) Hµm hiÓn 0 ), cho nªn lÖnh vÏ ®å thÞ hµm Èn còng cã thÓ ®−îc = cã thÓ viÕt thµnh dïng ®Ó vÏ ®å thÞ hµm hiÓn.
Râ rµng, tÊt c¶ c¸c ®−êng cong quen biÕt trong bé m«n H×nh gi¶i tÝch (ph¼ng) ®Òu ®−îc cho bëi c¸c ph−¬ng tr×nh 2 Èn bËc 2, cho nªn lÖnh vÏ ®å thÞ hµm Èn cho phÐp vÏ mét c¸ch dÔ dµng tÊt c¶ c¸c ®−êng cong lo¹i nµy.
2
2
1
+
ThÝ dô VÏ Ellip
= còng chÝnh lµ vÏ ®å thÞ mét hµm Èn. Ta vµo lÖnh:
x 4
y 9
[>implicitplot(x^2/9 +y^2/4 =1,x=-4..4,y=-2..2);
C¸c tuú chän c¬ b¶n trong lÖnh vÏ ®å thÞ
Có ph¸p tæng qu¸t cña lÖnh vÏ ®å thÞ lµ
[>plot(expr, range, options);
Trong ®ã:
( ), x t y
( ) y t
=
=
expr lµ biÓu thøc biÓu diÔn 1 hay nhiÒu hµm sè (tuú thuéc vµo viÖc ta vÏ 1 hay nhiÒu ®å thÞ trong mét b¶n vÏ); ngoµi ra nã còng cã thÓ lµ mét cÆp hµm x ®ãng vai trß biÓu diÔn cho 1 hµm th«ng qua tham sè. CÇn hÕt søc cÈn thËn ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn khi vÏ ®å thÞ cña 2 hµm riªng biÖt víi viÖc vÏ ®å thÞ cña 1 hµm biÓu diÔn d−íi d¹ng tham sè bëi mét cÆp hµm. §Ó ph©n biÖt chóng, ta h·y ®Ó ý nh÷ng kh¸c biÖt "tÕ nhÞ" trong 2 lÖnh vÏ ®å thÞ d−íi ®©y:
[>plot([sin(t),cos(t)], t=-Pi..Pi);
38
[>plot([sin(t),cos(t),t=-Pi..Pi]);
vµ ch¼ng khã kh¨n l¾m ta còng cã thÓ ph¸t hiÖn ra sai kh¸c c¬ b¶n trong 2 dßng lÖnh trªn lµ ë viÖc dïng dÊu ngoÆc vu«ng ®Ó nhãm c¸c hµm. C¸ch thø nhÊt biÓu thÞ 2 hµm riªng biÖt cã chung mét miÒn x¸c ®Þnh, vµ khi thùc hiÖn lÖnh nµy ta cã b¶n vÏ 2 ®å thÞ d−íi ®©y:
[>plot([sin(t),cos(t)], t=-Pi..Pi);
C¸ch thø 2 biÓu diÔn mét hµm d−íi d¹ng tham sè (b»ng c¸c hµm t−¬ng øng víi tõng to¹ ®é), vµ khi thùc hiÖn lÖnh nµy ta thu ®−îc:
[>plot([sin(t),cos(t),t=-Pi..Pi]);
range lµ tham biÕn x¸c ®Þnh vïng vÏ ®å thÞ. Th«ng th−êng nã ®−îc cho bëi c¸c ®o¹n sè thùc h÷u h¹n (nh− ta ®· thÊy trong c¸c thÝ dô trªn). Còng ®«i khi nã chÊp nhËn c¶ c¸c kho¶ng v« cïng, vµ khi Êy tû lÖ kÝch th−íc ë mét sè vïng cña b¶n vÏ sÏ buéc ph¶i (tù ®éng) thay ®æi sao cho phï hîp víi c¸ch biÓu diÔn trong b¶n vÏ.
ThÝ dô LÖnh
[>plot(sin(x), x=0..infinity);
cho ta b¶n vÏ víi tû lÖ kÝch th−íc (däc theo trôc x) co rÊt m¹nh khi tiÕn ra v« vïng.
39
Trong tr−êng hîp ta bá qua tham biÕn range th× ch−¬ng tr×nh tù ®éng lÊy gi¸ trÞ mÆc ®Þnh lµ x=-10..10
options lµ tæ hîp cña nh÷ng tuú chän hÕt søc phong phó. Mçi kh¶ n¨ng tuú chän ®−îc cho d−íi d¹ng mét ®¼ng thøc víi vÕ tr¸i lµ mét c¸i tªn vµ vÕ ph¶i lµ mét gi¸ trÞ. Cô thÓ lµ:
1) ViÖc cho Èn hoÆc hiÓn thÞ c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é (d−íi c¸c d¹ng kh¸c nhau) ®−îc thùc hiÖn b»ng tuú chän axes víi 1 trong 4 gi¸ trÞ cã thÓ chÊp nhËn ®−îc lµ none, normal, boxed, frame.
2) ViÖc t« mµu cho ®å thÞ ®−îc thùc hiÖn bëi tuú chän color víi c¸c gi¸ trÞ lµ
tªn c¸c mµu th«ng dông nh−: red, blue, green,...
3) Chän lo¹i ®−êng (liÒn, hay ®øt ®o¹n) ®Ó biÓu diÔn ®å thÞ b»ng tuú chän linestyle víi c¸c gi¸ trÞ lµ c¸c sè tù nhiªn (0 vµ 1 cho biÓu diÔn ®−êng liÒn, 2 cho ®−êng ®øt ®o¹n,...).
4) Chän sè l−îng ®iÓm ®Ó sinh ®å thÞ b»ng tuú chän numpoints víi gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn. Theo mÆc ®Þnh, numpoints = 50. §iÒu nµy cã nghÜa lµ sè l−îng ®iÓm ®Ó sinh ®å thÞ kh«ng thÓ Ýt h¬n lµ 50. (Sè l−îng ®iÓm sinh thùc tÕ th−êng lín h¬n h¼n sè ®iÓm tèi thiÓu mµ ta qui ®Þnh trong tuú chän nµy, nhÊt lµ khi ®å thÞ cã ®é cong lín). Khi sè ®iÓm qui ®Þnh cµng lín th× ®å thÞ cµng chÝnh x¸c, nh−ng còng ®ßi hái thêi gian tÝnh to¸n cµng nhiÒu.
5) Tuú chän style cho phÐp ta biÓu diÔn ®å thÞ b»ng line (®−êng) hay point (®iÓm). Trong tr−êng hîp sau ta tiÕp tôc dïng tuú chän symbol ®Ó chän c¸ch biÓu diÔn c¸c ®iÓm d−íi d¹ng: circle (vßng trßn), cross (g¹ch chÐo), box (hép vu«ng), hay diamond (h¹t kim c−¬ng).
6) Tû lÖ co gi·n trªn c¸c trôc to¹ ®é ®−îc x¸c ®Þnh bëi tuú chän scaling víi c¸c gi¸ trÞ lµ unconstrained (kh«ng bÞ rµng buéc) hoÆc constrained (bÞ rµng buéc, tøc lµ c¸c trôc ph¶i cã cïng ®é dµi ®¬n vÞ).
7) Chän hÖ to¹ ®é ®Ó vÏ ®å thÞ b»ng tuú chän coords, mÆc ®Þnh lµ hÖ to¹ ®é §Ò
-cac, nh−ng ta còng cã thÓ chän hÖ to¹ ®é kh¸c theo ý muèn.
§Ó minh ho¹ kh¶ n¨ng biÓu diÔn ®å thÞ cña Maple qua nh÷ng chøc n¨ng tuú chän nªu trªn, ta cho m¸y vÏ ®å thÞ hµm sè sau ®©y trong hÖ to¹ ®é cùc:
[>s := t->100/(100+(t-Pi/2)^8):
r := t -> s(t)*(2-sin(7*t)-cos(30*t)/2): plot([r(t),t,t=-Pi/2..3/2*Pi],numpoints=2000, coords=polar,axes=none);
40
Mét sè thÝ dô minh häa
B¹n ®äc h·y tù m×nh thùc hiÖn c¸c lÖnh d−íi ®©y ®Ó thÊy râ thªm kh¶ n¨ng ®å
ho¹ cña Maple.
[>plot(sin(1/x)*exp(-x),x=.15..1.15);
[>plot(sin(x)+sin(5*x),x=-1..4);
[>plot({sin(x),x-x^3/6+x^5/120},x=-4..4);
[>plot({sin(x),x-x^3/6+x^5/120},x=-4..4, style=POINT);
[>plot(sum((-1)^i*abs(x-i/10),i=0..30),x=-1..4);
[>plot(sum((-1)^(i)*abs(x-i/10),i=0..30),x=-1..4,
numpoints=500);
[>disp:=20*exp(-
1/20*t)*sin(1/20*399^(1/2)*t)/399^(1/2);
[>plot(disp,t=0..100);
[>plot([disp,vel,t=0..6*Pi]);
[>s:=taylor(sin(x),x=0);approx:=convert(s,ratpoly);
plot({approx,sin(x)},x=-Pi..Pi,axes=BOXED);
[>plot([sin(3*t),cos(5*t),t=0..2*Pi],axes=FRAME);
[>a:=2; b:=3; f:=(x+1)*(x-1)*(x-2)/x;
g:=f(a)+f(a)/(a-b)*x-f(a)/(a-b)*a-f(b)/ (a-b)*x+f(b)/(a-b)*a/x; h:=f-g;
[>plot({h(x),f(x),g(x)},x=-3..4,axes=BOXED);;
[>p1:=plot(sin(x),x=-Pi..Pi,style=LINE,color=RED):
41
[>p2:=plot(cos(x),x=-Pi..Pi,style=LINE,color=BlUE):
[>p3:=plot(sin(x)+cos(x),x=-Pi..Pi, style=POINT,
color=BLACK):
[>t1:=textplot([-1,sin(-1),'sin(x)'],color=RED,
align={BELOW,RIGHT});
[>t2:=textplot([2.2,cos(2.2),'cos(x)'],color=BLUE,
align={BELOW,LEFT});
[>t3:=texplot([Pi/4,sin(Pi/4)+cos(Pi/4),
'sin(x)+cos(x)'],color=BLACK,align={ABOVE,RIGHT});
[>display([p1,t1,p2,t2,p3,t3]):
[>with(plots,polarplot);
[>polarplot({sin(t),cos(t)},t=0..3.14);
[>with(plots,conformal);
[>conformal(z^2,z=-2-2*I..2+2*I,-3-3*I..3+3*I);
[>conformal((z-1)/(z+1),z=-2-2*I..2+2*I,-3- 3*I..3+3*I,grid=[21,21],numxy=[81,81]);
2.2.2. VÏ ®å thÞ trong kh«ng gian 3 chiÒu
VÏ trong kh«ng gian 3 chiÒu míi thùc sù lµ mét thÕ m¹nh cña Maple, mµ chóng ta kh«ng thÓ nµo s¸nh ®−îc. Có ph¸p vÏ ®å thÞ trong kh«ng gian 3 chiÒu hoµn toµn t−¬ng tù nh− vÏ trong mÆt ph¼ng, chØ thay lÖnh plot b»ng lÖnh plot3d. Còng nh− vÏ ®å thÞ trong mÆt ph¼ng, tr−íc hÕt ta cÇn n¹p c¸c gãi chøc n¨ng më réng, chuyªn dông cho vÏ ®å thÞ, b»ng c¸c lÖnh
[>with(plots);
[>with(plottools);
VÏ ®å thÞ hµm 2 biÕn
MAPLE cã thÓ vÏ c¸c ®−êng cong vµ c¸c mÆt ba chiÒu. Ta cã thÓ vÏ c¸c mÆt cho d−íi d¹ng Èn hoÆc tham sè, còng nh− nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n. Ta cã thÓ thay ®æi h×nh ¶nh cña mÆt cong theo nhiÒu ph−¬ng diÖn, thÝ dô: ®æi gãc nh×n, ¸nh s¸ng vµ mµu s¾c, l−íi ®iÓm vÏ,...
ThÝ dô Ta h·y cho m¸y vÏ mét vµi mÆt cong mµ ta kh«ng thÓ nµo vÏ ®−îc b»ng thñ c«ng. ThÝ dô, ta vÏ mÆt cong x2
cos y ( )
cos x ( )
sin y ( )
x y
y2
z
=
−
+
sin x ( )
b»ng lÖnh
42
[>plot3d(x^2*cos(y)+y^2*cos(x)-x*y*sin(y)*sin(x),
x=-10..10,y=-10..10,grid=[50,50]);
Trong ®ã tuú chän grid cho phÐp ®Æt l−íi ®iÓm thÝch hîp víi ®é chÝnh x¸c mµ ta chän. Tuú chän nµy t−¬ng tù nh− viÖc chän sè ®iÓm vÏ (numpoints) trong khi vÏ ®−êng cong (mµ ta ®· giíi thiÖu ë phÇn trªn). Vµ trong thùc tÕ, nÕu trong lÖnh vÏ mÆt ta ®−a vµo tuú chän numpoints th× m¸y vÉn hiÓu vµ tù ®éng sinh ra l−íi ®iÓm (grid) vu«ng, víi sè ®iÓm trªn mçi c¹nh b»ng phÇn nguyªn cña c¨n bËc 2 cña sè ®· cho.
Muèn chÕ t¸c l¹i ®å thÞ ®· vÏ, ta kÝch chuét vµo vïng ®å thÞ, sÏ thÊy xuÊt hiÖn thªm mét thanh c«ng cô (ngay phÝa d−íi c¸c thanh c«ng cô s½n cã trªn giao diÖn cña Maple). Ta cã thÓ dÔ dµng thay ®æi gãc nh×n, mµu s¾c, ¸nh s¸ng vµ nhiÒu thuéc tÝnh kh¸c cña ®å thÞ nhê thanh c«ng cô míi hiÖn ra nµy.
T¹i nh÷ng ®iÓm hµm tiÕn ra v« cùc, ®å thÞ ®−îc biÓu diÔn nh− nh÷ng c¸i gai.
x3
3 x y2
(
y (
3 x2 y
−
+
−
z
=
ThÝ dô MÆt cong
cã mét sè ®iÓm cùc (t¹i ®ã
y3 ) 2
3 x2 y
3 x y2
x3
y3
(
)
)
2 +
−
−
2 x ) + 2 ( + hµm tiÕn ra v« cïng). DÔ thÊy r»ng mÆt cong nµy liªn quan mËt thiÕt tíi ®−êng cong ®¹i sè ta ®· vÏ trong thÝ dô trªn (chÝnh x¸c h¬n, ®−êng cong ®¹i sè chÝnh lµ mét
z = − ). Nh− vËy, Maple cho
®−êng møc cña mÆt cong nµy, t−¬ng øng víi gi¸ trÞ
1 6
mét c¸ch nh×n bao qu¸t h¬n vÒ ®−êng cong ®¹i sè.
[>plot3d(((x^3-3*x*y^2+2)*x+y*(3*x^2*y-y^3))/((x^3- 3*x*y^2+2)^2+(3*x^2*y-y^3)^2),x=-3..3,y=-3..3, grid=[50,50]);
43
Cã thÓ vÏ nhiÒu mÆt cong trªn mét b¶n vÏ. Maple cã thÓ tÝnh tÊt c¶ c¸c nÐt
khuÊt do c¸c ®å thÞ che nhau.
2
2
2
2
cos(
)
x
y
x
y
2
z
z
;
=
ThÝ dô VÏ 2 mÆt cong c¾t nhau
+ 2
1 = − 3
+ 19
1
+
x 8
[>plot3d({sin(sqrt(x^2+3*y^2))/(1+x^2/8),1/2-
(2*x^2+y^2)/19},x=-3..3,y=-3..3,grid=[41,41], orientation=[-26,71]);
VÏ ®−êng møc cña c¸c hµm 2 biÕn
Mét ph−¬ng ph¸p rÊt phæ biÕn ®Ó m« t¶ cÊu tróc mÆt cong (trong kh«ng gian 3 chiÒu) lµ dïng tËp hîp c¸c ®−êng møc (trong kh«ng gian 2 chiÒu). NÕu biÕt ®−îc bøc tranh vÒ c¸c ®−êng møc, ta dÔ dµng h×nh dung ra d¸ng ®iÖu biÕn thiªn cña hµm theo mäi h−íng, vµ còng dÔ dµng t×m ra c¸c ®iÓm cùc trÞ cña nã.
ViÖc vÏ tõng ®−êng møc cña c¸c hµm 2 biÕn cã thÓ quy vÒ viÖc vÏ ®å thÞ hµm Èn. Nh−ng c¸ch nµy kh«ng thuËn tiÖn ®èi víi viÖc vÏ mét tËp hîp nhiÒu ®−êng møc kh¸c nhau. Muèn thùc hiÖn ®iÒu nµy mét c¸ch dÔ dµng, ta dïng lÖnh contourplot. §©y còng lµ mét mÆt m¹nh cña Maple vµ cã thÓ t×m thÊy nhiÒu kh¶ n¨ng øng dông trong kü thuËt. Sè l−îng ®−êng møc th−êng ®−îc mÆc ®Þnh lµ 8. NÕu muèn cã bøc tranh trung thùc h¬n ta cã thÓ t¨ng sè l−îng ®−êng møc b»ng tuú chän contours = sè l−îng, nh−ng sè ®−êng cµng nhiÒu th× tÝnh to¸n cµng l©u.
ThÝ dô Ta vÏ bøc tranh ®−êng møc cña mÆt cong
z
x2
cos y ( )
y2
cos x ( )
x y
sin y ( )
=
+
−
sin x , ( )
44
®· vÏ ë trªn, víi l−îng ®−êng møc lµ 30.
[>contourplot(x^2*cos(y)+y^2*cos(x)-*y*sin(y)*sin(x),
x=-6..6,y=-6..6,grid=[40,40],contours=30);
Víi sè l−îng ®−êng møc cho tr−íc, m¸y tù ®éng sinh c¸c ®−êng møc b»ng c¸ch ph©n ®Òu trôc z ®Ó lÊy møc, vµ v× vËy nã th−êng sinh qu¸ nhiÒu ®−êng møc t¹i n¬i hµm t¨ng nhanh (nh− t¹i l©n cËn c¸c cùc trong mÆt cong ë vÝ dô sau), ®ång thêi bá r¬i nhiÒu ®−êng møc t¹i c¸c vïng hµm biÕn thiªn chËm (mµ ta l¹i cã thÓ cÇn quan t©m). Muèn tr¸nh hiÖn t−îng nµy, ta cã thÓ chØ ®Þnh trùc tiÕp tËp c¸c ®−êng møc cÇn vÏ, th«ng qua viÖc dïng tuú chän contours = danh s¸ch c¸c møc cÇn vÏ ®−êng. B»ng c¸ch nµy, ta cã ®−îc bøc tranh ®−êng møc kh¸ râ rµng cho mÆt cong víi 3 cùc ®· vÏ ë trªn:
[>contourplot(((x^3-3*x*y^2+2)*x+y*(3*x^2*y-
0.15,0.2,-0.25,0.3,
y^3))/((x^3-3*x*y^2+2)^2+(3*x^2*y-y^3)^2),x=-3..3,y=- 3..3, grid=[100,100],contours=[-1,-0.8,-0.6,-0.5,- 0.4,-0.35,-0.3,-0.25,-0.2,-0.15,-0.1666,-0.1,- 0.05,0,0.05,0.1, 0.33333,0.35,0.4,0.5,0.6,0.8,1]);
NÕu ®Ó ý, ta thÊy trong sè c¸c ®−êng møc cã mét ®−êng gièng nh− ®−êng cong ®¹i sè ta ®· vÏ ë trªn. §ã chÝnh lµ ®−êng møc øng víi gi¸ trÞ z=-0.1666 (tøc lµ xÊp
45
xØ cña gi¸ trÞ
z = − ). Nh− vËy, bøc tranh ®−êng møc lµm ta cã ®−îc c¸i nh×n bao
1 6
qu¸t vÒ chÝnh ®−êng cong ®¹i sè vµ c¸c ®−êng xung quanh nã.
Ngoµi ra, chÝnh bøc tranh ®−êng møc còng thÓ hiÖn mét c¸ch râ rµng lµ t¹i c¸c ®iÓm cùc mÆt cong kh«ng chØ cã 1 mµ lµ 2 c¸i gai, tøc lµ hµm tiÕn ra v« cïng vÒ c¶ 2 phÝa (H×nh ¶nh 3 chiÒu kh«ng thÓ hiÖn râ ngay ®iÒu nµy, nh−ng b»ng c¸ch ®æi sang gãc nh×n thÝch hîp, ta sÏ thÊy ®óng lµ nh− vËy).
VÏ ®−êng èng trong kh«ng gian 3 chiÒu
§−êng èng lµ mét d¹ng mÆt cong kh¸ ®Æc biÖt. Nã th−êng x¸c ®Þnh bëi mét ®−êng cong sinh t©m (tøc lµ ®−êng ch¹y däc theo trôc t©m èng) vµ b¸n kÝnh cña vßng trßn thiÕt diÖn t¹i mçi ®iÓm. NÕu c¸c b¸n kÝnh t¹i mäi ®iÓm ®Òu b»ng nhau th× ta cã èng th«ng th−êng (nh− c¸c lo¹i èng cao su dÉn gas, dÉn n−íc,...). Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, thiÕt diÖn èng t¹i c¸c ®iÓm kh¸c nhau cã thÓ kh¸c nhau, vµ khi Êy b¸n kÝnh cña thiÕt diÖn sÏ lµ mét hµm sè thay ®æi theo ®iÓm t©m cña thiÕt diÖn. Nh− vËy, ®Ó vÏ èng ta cÇn 2 d÷ liÖu: ph−¬ng tr×nh ®−êng dÉn t©m, vµ hµm b¸n kÝnh thiÕt diÖn. Khi cã 2 d÷ liÖu nµy, ta cã thÓ vÏ èng b»ng lÖnh tubeplot.
ThÝ dô VÏ ®−êng èng víi ®−êng dÉn t©m lµ
x t ( ) ,
y t ( ) ,
[
z t ] = [10cos(t),10sin(t),0] ( )
vµ cã b¸n kÝnh thiÕt diÖn (thay ®æi) lµ:
R t
t ( ) 2 cos(7 )
= +
,
b»ng lÖnh tubeplot cã có ph¸p nh− sau:
[>with(plots):tubeplot([10*cos(t),10*sin(t),0,t=0..2*Pi , radius=2+cos(7*t),numpoints=120,tubepoints=24]);
2.2.3. VËn ®éng cña ®å thÞ
VËn ®éng cña ®å thÞ thùc chÊt lµ sù biÕn thiªn cña ®å thÞ theo tham sè. Nh− vËy, ta cÇn vÏ hµng lo¹t ®å thÞ (øng víi c¸c gi¸ trÞ t−¬ng øng cña tham sè) vµ cho hiÓn thÞ liªn tiÕp nhau. B¹n cã thÓ sö dông tÝnh n¨ng nµy ®Ó m« t¶ qu¸ tr×nh diÔn ra trong thÕ giíi thùc, trong ®ã th«ng tin thay ®æi theo thêi gian. ViÖc nµy ®ßi hái bé
46
nhí cµng lín cµng tèt, cho nªn ta cÇn "lµm s¹ch bé nhí" tr−íc khi b¾t ®Çu c«ng viÖc, b»ng lÖnh :
[>restart;
Sau ®ã ta n¹p c¸c gãi chøc n¨ng më réng, chuyªn dông cho vÏ ®å thÞ, b»ng c¸c lÖnh
[>with(plots);
[>with(plottools);
ThÝ dô Ta h·y vÏ ®å thÞ hµm sè y=t*sin(t*x) khi x nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng [ ], vµ quan s¸t sù thay ®æi cña ®å thÞ (mµu xanh l¸ c©y) khi t thay ®æi ...π π− trong kho¶ng [-2..2].
[>animate(t*sin(x*t),x=-Pi..Pi,t=-2..2,color=blue);
Khi cho thùc hiÖn lÖnh th× trªn mµn h×nh sÏ hiÖn ®å thÞ øng víi mét gi¸ trÞ t nµo ®ã. (L−u ý r»ng lóc nµy m¸y ph¶i lµm viÖc víi mét hä rÊt nhiÒu ®å thÞ cho nªn khèi l−îng tÝnh to¸n lµ rÊt lín, xin h·y kiªn nhÉn nÕu tèc ®é cña m¸y tÝnh cña b¹n ch−a ph¶i lµ cao).
NÕu b¹n sö dông c¸c phiªn b¶n Maple míi lªn th× khi di chuét vµo khu vùc ®å thÞ vµ nhÊn nót bªn tr¸i, b¹n sÏ thÊy xuÊt hiÖn côm chøc n¨ng "multimedia" (ë ngay phÝa d−íi c¸c thanh c«ng cô cña Maple), vµ b¹n cã thÓ sö dông c¸c nót quen thuéc ë ®©y ®Ó ®iÒu khiÓn sù vËn ®éng cña ®å thÞ.
NÕu b¹n sö dông c¸c phiªn b¶n Maple cò h¬n th× h·y di con trá chuét lªn vïng ®å thÞ vµ bÊm nót tr¸i cho hiÖn ra khung bao ®å thÞ. BÊm nót ph¶i cña chuét cho hiÖn ra b¶ng lÖnh ®iÒu hµnh. Muèn xem xÐt sù vËn ®éng cña ®å thÞ (theo thêi gian t ) th× vµo chøc n¨ng Animation/ Play. Theo mÆc ®Þnh, ®å thÞ vËn ®éng 1 chu kú (1 vßng) råi dõng l¹i. Ta cã thÓ cho nã chuyÓn ®éng liªn tôc b»ng c¸ch chän chøc n¨ng Animation/ Continuous. Khi ®å thÞ ®ang chuyÓn ®éng mµ muèn dõng th× còng lµm t−¬ng tù, nh−ng sö dông chøc n¨ng Animation/Stop .
Trong kh«ng gian 3 chiÒu ta còng thÓ quan s¸t sù vËn ®éng cña ®å thÞ phô thuéc tham sè víi c¸c thñ tôc t−¬ng tù nh− trªn, chØ cã mét thay ®æi nhá lµ thay lÖnh animate b»ng lÖnh animate3d
47
)sin(
cos(
tx
ty
z
=
khi
...π π−
,x y nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng ) ], vµ quan s¸t sù thay ®æi cña ®å thÞ khi t thay ®æi trong kho¶ng [1..2]
ThÝ dô Ta vÏ ®å thÞ hµm sè [ b»ng dßng lÖnh sau ®©y
[>animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi,y=-
Pi..Pi,t=1..2);
2.3. TÝnh to¸n trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh
§©y lµ chñ ®Ò tÝnh to¸n hay gÆp nhÊt trong kü thuËt, vµ v× thÕ nã rÊt réng lín. Trong tµi liÖu nµy, ta kh«ng cã ®iÒu kiÖn ®i hÕt c¸c vÊn ®Ò cÇn thiÕt, mµ chØ ®iÓm qua mét sè chñ ®Ò cã tÝnh chÊt minh ho¹. B¹n ®äc quan t©m chñ ®Ò tÝnh to¸n nµy, cã thÓ xem kü h¬n trong c¸c chuyªn môc tÝnh to¸n thùc hµnh cña gi¸o tr×nh §¹i sè tuyÕn tÝnh.
2.3.1. C¸c phÐp to¸n trªn vect¬ vµ ma trËn
Tr−íc tiªn, ta cÇn n¹p gãi c«ng cô linalg (®¹i sè tuyÕn tÝnh).
[>with(linalg):
T¹o vect¬ vµ ma trËn
Muèn khai b¸o mét vect¬ ta dïng lÖnh vector.
ThÝ dô [>u := vector(2, [1,2]);
u
[ :=
,1 2 ]
48
[>v := vector(3, [1,2,3])
v
[ :=
,1 2 3 ] ,
Muèn t¹o ma trËn ta sö dông mét trong c¸c lÖnh sau ®©y:
Có ph¸p:
matrix(L)
matrix(m,n)
matrix(m,n,L)
matrix(m,n,f)
matrix(m,n,lv)
Tham sè: L- b¶ng danh s¸ch (ThÝ dô 1) hoÆc b¶ng c¸c vÐc t¬ dßng cña ma trËn (xem thÝ dô 2).
m,n - nh÷ng sè nguyªn d−¬ng (sè dßng vµ cét).
f - hµm ®−îc sö dông ®Ó t¹o c¸c phÇn tö ma trËn (xem thÝ dô 4)
lv - danh s¸ch hoÆc vÐc t¬ c¸c phÇn tö
Mét c¸ch kh¸c ®Ó t¹o ma trËn lµ dïng lÖnh array (t¹o m¶ng). Trong lÖnh matrix, hai sè m,n chØ sè hµng vµ sè cét cña ma trËn, c¸c phÇn tö cña ma trËn ®−îc x¾p xÕp trong mét b¶ng L (trong mãc vu«ng) theo thø tù tõ tr¸i sang ph¶i, c¸ch nhau mét dÊu phÈy (xem thÝ dô d−íi ®©y). B¶ng L cã thÓ lµ b¶ng c¸c vÐc t¬ dßng ®−îc xÕp theo thø tù t¨ng dÇn (xem thÝ dô thø hai).
VÐc t¬ ®−îc coi lµ ma trËn mét dßng, cho nªn còng cã thÓ ®Þnh nghÜa nã b»ng
mét trong c¸c lÖnh matrix, array.
ThÝ dô Muèn t¹o ma trËn vu«ng cÊp bèn mang tªn lµ A, ta dïng phÐp ®Þnh nghÜa vµ lÖnh t¹o ma trËn matrix
[>A:=matrix(4,4,[-26,-28,89,-456,104,258, -770,3132,40,88,-226,1109,2,1,-4,26]);
89
-28
:= A
-26 -456 104 258 -770 3132 88 -226 1109 40 26 -4 1 2
H·y l−u ý c¸c có ph¸p t¹o t¹o ma trËn kh¸c nhau trong c¸c vÝ dô d−íi ®©y:
ThÝ dô [>matrix([[5,4],[6,3]]);
5 6
4 3
ThÝ dô
49
[>matrix(2,2,0);
0 0
0 0
ThÝ dô [>f := (i,j) -> x^(i+j-1):
[>A := matrix(2,2,f);
x x2
x2 x3
:= A
a2
a
ThÝ dô T¹o ma trËn
b»ng hµm array
4 a − + a3
+ a 1 a3
1 +
+
2 4
= B
[>B:=array([[a^2-a+4,a+1,a],[a^3+1, a^3+2,4]]);
a2
a
4 a − + a3
+ a 1 a3
1 +
+
2 4
:= B
ThÝ dô NhËp ma trËn
Cã thÓ trùc tiÕp t¹o ma trËn b»ng lÖnh linalg[matrix] y b
x a
z c
[>linalg[matrix](2,3,[x,y,z,a,b,c]);
x a
y b
z c
So s¸nh hai ma trËn
Muèn so s¸nh hai ma trËn xem chóng cã b»ng nhau hay kh«ng ( tøc lµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ t−¬ng øng cña chóng ph¶i b»ng nhau), ta dïng lÖnh equal.
Chó ý Hai ma trËn ph¶i cïng sè chiÒu nh− nhau míi cã thÓ so s¸nh ®−îc.
ThÝ dô
[>A := array( [[2,1],[1,2]] );
2 1
:= A
1 2
[>B := array( [2,1,1,2] );
[ := B
,
2 1 1 2 , , ]
50
[>equal(A, B);
Error, (in equal)arguments must be both matrices or both vectors
M¸y b¸o lçi: trong equal hai ®èi sè ph¶i cïng lµ ma trËn hoÆc vÐc t¬.
So s¸nh A víi C
[>C := matrix(2,2, [2,1,1,2]);
2 1
:= C
1 2
[>equal(A, C);
true
ThÝ dô TÝnh tæng cña hai ma trËn
vµ
5 2
2 1
= A
= B
TÝnh tæng cña hai ma trËn (lÖnh ®¸nh gi¸ ma trËn tæng) 6 5
1 −3 2 3 −4 1
B−íc 1. NhËp A
[>A:=array([[1,-3,2],[3,-4,1]]);
:= A
1 -3 2 3 -4 1
B−íc 2. NhËp B
[>B:=matrix(2,3,[2,5,6,1,2,5]);
2 1
5 2
:= B
6 5
B−íc 3. TÝnh tæng cña A vµ B b»ng lÖnh evalm (®¸nh gi¸ ma trËn)
[>A+B;
+ A B
[>evalm(%);
3 2 8 4 -2 6
Nh©n ma trËn
ThÝ dô Nh©n 2 ma trËn b»ng lÖnh multiply .
51
B−íc 1. Khai b¸o ma trËn A
[>A:=array([[2,-1,3,4],[3,-2,4,-3],[5,-3,-2,1]]);
B−íc 2. Khai b¸o ma trËn B
[>B:=matrix(4,3,[7,8,6,5,7,4,3,4,5,2,1,1]);
:= A 2 -1 3 -2 5 -3 -2 4 3 4 -3 1
:= B
B−íc 3. Nh©n A víi B b»ng lÖnh multiply
[>multiply(A,B);
26 25 27 17 23 27 9 16 12
Ta cã thÓ nh©n nhiÒu ma trËn trong cïng mét lÖnh, m¸y sÏ thùc hiÖn phÐp nh©n
tõ tr¸i sang ph¶i.
7 5 3 2 8 7 4 1 6 4 5 1
ThÝ dô
[>A := array( [[1,2],[3,4]] ):
[>B := array( [[0,1],[1,0]] ):
[>C := array( [[1,2],[4,5]] ):
[>multiply(A, B, C);
6 9 16 23
DÜ nhiªn, ta cã thÓ nh©n ma trËn víi vect¬ (cã sè chiÒu t−¬ng thÝch).
TÝnh tÝch trong cña ma trËn vµ vÐc t¬ (lÖnh innerprod)
LÖnh innerprod tÝnh tÝch trong cña mét d·y c¸c ma trËn vµ vÐc t¬. ChiÒu
cña ma trËn vµ vÐc t¬ ph¶i t−¬ng thÝch víi nhau trong phÐp nh©n.
ThÝ dô [>u := vector(2, [1,2]);
52
u
[ :=
,1 2 ]
[>v := vector(3, [1,2,3])
v
[ :=
,1 2 3 ] ,
[>A := matrix(2,3, [1,1,1,2,2,2]);
1 2
1 2
:= A
1 2
[>innerprod(u, A, v);
30
[>w := vector(3, [3,2,1]);
:= w [
,3 2 1 ] ,
[>innerprod(v, w);
10
TÝnh tÝch vÐc t¬ (tÝch trùc tiÕp) b»ng lÖnh crossprod
TÝch vÐc t¬ cña 2 vÐc t¬ u=(u[1],u[2],u[3]), v=(v[1],v[2],v[3]) lµ mét vÐc t¬ cã
to¹ ®é lµ (u[2]*v[3]-u[3]*v[2],u[3]*v[1]-u[1]*v[3],u[1]*v[2]-u[2]*v[1])
[>v1 := vector([1,2,3]);
v1
[ :=
,1 2 3 ] ,
[>v2 := vector([2,3,4]);
v2
[ :=
,2 3 4 ] ,
[>crossprod(v1,v2);
[
,
-1 2 -1 , ]
TÝnh tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ (lÖnh dotprod)
Có ph¸p lÖnh: dotprod(u,v);
hoÆc: dotprod(u,v,'orthogonal');
trong ®ã u,v ph¶i lµ nh÷ng vec-t¬ cã cïng ®é dµi.
TÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ trªn tr−êng sè phøc lµ tæng cña c¸c tÝch gi÷a u[i] vµ liªn hîp cña v[i] (víi i ch¹y theo ®é dµi cña vÐc t¬) . NÕu trong lÖnh dotprod cã
53
thªm biÕn 'orthogonal'th× tÝch v« h−íng ®−îc tÝnh nh− lµ tæng cña c¸c tÝch u[i]*v[i]. Trªn tr−êng sè thùc hai ®Þnh nghÜa tÝch v« h−íng trªn trïng nhau, v× liªn hîp cña sè thùc lu«n b»ng chÝnh nã.
ThÝ dô [>u:= vector([1,x,y]);
u
[ :=
,1 x y ] ,
[>v:= vector([1,0,0]);
v
[ :=
,1 0 0 ] ,
[>dotprod(u,v);
1
2.3.2. TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña ma trËn
TÝnh ®a thøc ®Æc tr−ng
LÊy matrËn ®Æc tr−ng b»ng lÖnh charmat
ThÝ dô
[>A := matrix(3,3,[1,2,3,1,2,3,1,5,6]);
:= A
1 1 1
2 2 5
3 3 6
[>charmat(A,lambda);
− λ 1 -1 -1
-2 − λ 2 -5
-3 -3 − λ 6
LËp ®a thøc ®Æc tr−ng cña ma trËn b»ng lÖnh charpoly
[>charpoly(A,lambda);
λ 3
−
9 λ 2
TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn
ThÝ dô TÝnh vÐc t¬ riªng cña ma trËn M=
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4
B−íc 1. X¸c ®Þnh ma trËn M b»ng lÖnh
54
[>M:=matrix(3,3,[1,-3,3,3,-5,3,6,-6,4]);
:= M
1 -3 3 3 -5 3 6 -6 4
B−íc 2. X¸c ®Þnh vÐc t¬ riªng b»ng lÖnh
[>eigenvects(M);
[
,4 1 { ,
[
,1 1 2 ,
]
}
] ,
[
-2 2 { ,
,
[
-1 0 1 [ ,
] ,
,
,1 1 0 ,
]
}
]
KÕt qu¶ cña lÖnh eigenvects ®−îc x¾p xÕp nh− sau: sè ®Çu tiªn trong mçi mãc vu«ng cña dßng lµ gi¸ trÞ riªng, sè thø hai lµ béi ®¹i sè cña gi¸ trÞ riªng, vµ cuèi cïng lµ tËp c¸c vÐc t¬ c¬ së cña kh«ng gian riªng øng víi gi¸ trÞ riªng ®ã. Mçi mãc vu«ng øng víi mét gi¸ trÞ riªng cña ma trËn.
TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn sè
Tªn hµm: Eigenvals - TÝnh c¸c gi¸ trÞ riªng/vÐc t¬ riªng cña ma trËn sè
Tr×nh tù gäi: Eigenvals(A,vecs)
Eigenvals(A,B,vecs)
Tham sè: A,B lµ ma trËn cña c¸c sè thùc hoÆc ¶o.
ThÝ dô
[>A := array([[1,2,4],[3,7,2],[5,6,9]]):
[>B := array([[1,2,3],[1,2,3],[2,5,6]]):
[>evalf(Eigenvals(A));
[
,
,
-.8946025434 13.74788901 4.146713483 ]
[>lambda := evalf(Eigenvals(A,vecs));
[ :=
,
,
λ
-.8946025434 13.74788901 4.146713483 ]
[>print(vecs);
.3592673648 -.2987282688 .946575123 -.2818195168 .4346670837 .7371720079 -.3074361518 .9276415841 -.6035890728
[>v1 := linalg[submatrix](vecs, 1..3, 1..1);
55
:=
.946575123 -.2818195168 -.3074361518
[>evalm(A &* v1) = evalm(lambda[1]*v1);
=
-.8468085176 .2521164474 .275033148
-.8468085126 .2521164565 .2750331633
[>vecs := 'vecs';
vecs
:=
vecs
v1
[>evalf(Eigenvals(B,vecs));
[
]
,
,
9.321825413 .43 10-8 -.3218253805
[>print(vecs);
-.4286091784 .9434028232 .7693450018 -.46 10-9 .7693450120 -.4286091788 -.9031974612 -.3144676070 -.8518765905
[>C := array([[10,2,1],[-2,12,3],[1,0,8]]);
:= C
10 2 1 -2 12 3 0 8 1
[>evalf(Eigenvals(A,C));
[
,
,
1.215689291 -.1061957639 .4006484610 ]
2.3.3. TÝnh h¹ng, tÝnh ®Þnh thøc vµ tÝnh ma trËn ng−îc
T×m h¹ng cña ma trËn
TÝnh h¹ng cña ma trËn A b»ng lÖnh rank(A)
ThÝ dô
[>A := matrix(3,3, [x,1,0,0,0,1,x*y,y,1]);
:= A
1 0 0 1 y 1
56
x 0 x y
[>rank(A);
2
TÝnh ®Þnh thøc vµ ma trËn ng−îc cña ma trËn
TÝnh ®Þnh thøc cña ma trËn A b»ng lÖnh det(A) vµ tÝnh ma trËn ng−îc cña
A b»ng lÖnh inverse(A)
ThÝ dô
B−íc 1. Khai b¸o ma trËn
[>A:=matrix(3,3,[1/2,-1/3,2,-5,14/3,9,0,11,-5/6]);
2
1 2
:= A
9
-5
-1 3 14 3
0
11
-5 6
B−íc 2. TÝnh ®Þnh thøc cña ma trËn b»ng lÖnh det
[>det(A);
-2881 18
B−íc 3. TÝnh ma trËn ng−îc b»ng lÖnh inverse
[>inverse(A);
1852 2881 75 2881 990 2881
-391 2881 15 5762 99 2881
222 2881 261 2881 -12 2881
2.3.4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh
ThiÕt lËp ma trËn tõ ph−¬ng tr×nh vµ ng−îc l¹i
Tªn hµm: linalg[geneqns] - LËp ph−¬ng tr×nh tõ c¸c hÖ sè cña ma
trËn
linalg[genmatrix]- LËp ma trËn tõ ph−¬ng tr×nh
Có ph¸p lÖnh: geneqns(A,x)
57
geneqns(A,x,b)
genematrix(eqns,vars)
genmatrix(eqns,vars,flag)
genmatrix(eqns,vars,b)
Tham sè: A,B - ma trËn
x - tªn hoÆc mét danh s¸ch tªn c¸c Èn
b - vÐc t¬ vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh
eqns - tËp hîp hoÆc danh s¸ch c¸c ph−¬ng tr×nh
vars - tËp hîp hoÆc danh s¸ch c¸c biÕn
flag- tªn (tù chän) "flag"
M« t¶: Hµm geneqns sinh ra mét hä c¸c ph−¬ng tr×nh tõ hÖ sè cña ma trËn. NÕu cã biÕn thø ba biÓu thÞ vÐc t¬ vÕ ph¶i b th× nã sÏ ®−îc ®−a vµo ph−¬ng tr×nh. Ng−îc l¹i th× vÕ ph¶i ®−îc coi b»ng 0.
Hµm genematrix sinh ma trËn tõ c¸c hÖ sè cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. NÕu
cã biÕn thø ba"flag" th× vÐc t¬"vÕ ph¶i" ®−îc ®−a vµo cét cuèi cïng cña ma trËn.
ThÝ dô
[>eqns := {x+2*y=0,3*x-5*y=0};
{ :=
eqns
2 y
3 x
5 y
+ x
0 , =
−
=
0 }
[>A := genmatrix(eqns,[x,y]);
1 3
2 -5
:= A
[>geneqns(A,[x,y]);
{
2 y
3 x
5 y
+ x
0 , =
−
=
0 }
[>geneqns(A,x);
[>eqns:={x+2*z=a,3*x-5*y=6-z};
{ + 0 , = − = 0 } x1 2 x2 3 x1 5 x2
[>A:=genmatrix(eqns,[x,y,z],flag);
eqns { := 2 z , 3 x 5 y } + x a = − = z − 6
58
:= A 1 0 2 a 3 -5 1 6
[>A:=genmatrix(eqns,[x,y,z],'b');
[>print(b);
[
,a 6 ]
[>geneqns(A,[x,y,z],b);
:= A 1 0 2 3 -5 1
{ 2 z , 3 x 5 y + x a = − z + = 6 }
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh Ax=u,
B−íc 1. Khai b¸o ma tr©n A
[>A:=array([[3,-2,-5,1],[2,-3,1,5],[1,2,0,-4],[1,-1,-4,9]]);
:= A
B−íc 2. Khai b¸o vect¬ u
[>u:=vector([3,-3,-3,22]);
[ :=
,
u
3 -3 -3 22 , , ]
B−íc 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh Ax=u
[>linsolve(A,u);
[
,
,
,
-1 3 -2 2 ]
Trong nhiÒu bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh, ta ph¶i lµm c¸c phÐp biÕn ®æi ma trËn. MAPLE cã nhiÒu phÐp biÕn ®æi ma trËn. D−íi ®©y lµ c¸c vÝ dô minh ho¹ c¸ch dïng c¸c phÐp biÕn ®æi Êy. Xin h·y trë vÒ phÇn: C¸c phÐp to¸n cÊu tróc trªn ma trËn ®Ó hiÓu c¸c lÖnh d−íi ®©y.
3 -2 -5 1 5 1 2 -3 1 0 -4 2 9 1 -1 -4
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh A x=u, trong ®ã
[>A:=array([[4,-3,2,-1],[3,-2,1,-3],[2,-1,0,-5],[5,-3,1,-
8]]);
59
:= A
[>u:=vector([8,7,6,1]);
[ :=
u
8 7 6 1 , , ] ,
b»ng lÖnh
[>linsolve(A,u);
M¸y kh«ng cho kÕt qu¶. Ph−¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm, v×
[>det(A);
4 -3 2 -1 3 -2 1 -3 2 -1 0 -5 5 -3 1 -8
DÔ dµng kiÓm tra r»ng h¹ng cña ma trËn A b»ng 2, trong khi ®ã ma trËn më réng cã h¹ng lµ 3.
0
2.3.5. T×m c¬ së cho kh«ng gian vect¬
T×m hä vÐc t¬ c¬ së
T×m c¸c vÐc t¬ c¬ së cho mét hä vÐc t¬ b»ng lÖnh basis
ThÝ dô Cho mét hä V c¸c vÐc t¬, h·y t×m trong ®ã mét c¬ së cho kh«ng gian vÐc t¬ c¨ng trªn V.
[>v1 := vector([1,0,0]):
[>v2 := vector([0,1,0]):
[>v3 := vector([0,0,1]):
[>v4 := vector([1,1,1]):
[>basis({v1,v2,v3});
[>basis([v3,v2,v1] );
[
,
v3 v2 v1 , ]
[>basis({v1,v2,v3,v4});
{
,
v1 v2 v3 , }
60
{ , v1 v2 v3 , }
[>basis({vector([1,1,1]),vector([2,2,2]),vector([1,-1,1]),
vector([2,-2,2]),vector([1,0,1]),vector([0,1,1])} );
{
[
,2 2 2 [ ,
] ,
2 -2 2 [ , ,
] ,
,0 1 1 ,
]
}
T×m c¬ së cho kh«ng gian vÐc t¬ sinh bëi c¸c dßng (cét) cña ma trËn
ThÝ dô T×m c¬ së cho kh«ng gian vÐc t¬ sinh bëi c¸c dßng (cét) cña ma trËn
= A
[>A:=array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1],[1,1,1]]);
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
:= A
[>basis(A,'rowspace');
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
[>basis(A,'colspace');
[
[
1 0 0 1 [ , ,
] ,
,
0 1 0 1 [ , ,
] ,
,
0 0 1 1 , ,
,
]
]
[ [ ,1 0 0 [ , ] , ,0 1 0 [ , ] , ,0 0 1 , ] ]
T×m c¬ së cho h¹ch cña ma trËn
T×m hä vÐc t¬ c¬ së cho h¹ch cña ma trËn A b»ng lÖnh kernel(A)
ThÝ dô T×m h¹ch cña
[>A := array([[1,2,3],[1,x,3],[0,0,0]]):
[>kernel(A);
{
[
-3 0 1 ,
,
]
}
= A 1 1 0 2 x 0 3 3 0
T×m c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian sinh bëi mét hä c¸c vÐc t¬
T×m c¬ së trùc chuÈn b»ng lÖnh GramSchmidt
61
ThÝ dô T×m c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian vÐc t¬ sinh bëi mét hä c¸c vÐc t¬
[>u1:=vector([2,2,2]);
[>u2:=vector([0,2,2]);
[ :=
u2
,0 2 2 ] ,
[>u3:=vector([0,0,2]);
[ :=
u3
,0 0 2 ] ,
[>GramSchmidt([u1,u2,u3]);
u1 [ := ,2 2 2 ] ,
2.4. PhÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n
[ , [ 0 -1 1 , , ] -4 , 3 2 , 3 2 3 ,2 2 2 , ] ,
2.4.1. PhÐp tÝnh giíi h¹n
TÝnh giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
Có ph¸p cña lÖnh t×m giíi h¹n hµm sè f(x) tai ®iÓm a lµ
[>limit(f(x),x = a);
( )
f x lµ biÓu thøc ta cÇn t×m giíi h¹n vµ a lµ ®iÓm t¹i ®ã cÇn tÝnh giíi Trong ®ã h¹n (nÕu a lµ ∞ th× ta viÕt x= infinity ). Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, chØ cÇn chê mét chót lµ sÏ cã ngay ®¸p sè.
ThÝ dô TÝnh giíi h¹n
)
sin 2 x 2 ( )
sin 4 x (
−
lim x 0 →
sin x ( ) x4
[>limit(((sin(2*x))^2-sin(x)*sin(4*x))/x^4,x=0);
6
MAPLE cã thÓ tÝnh giíi h¹n t¹i v« h¹n.
ThÝ dô TÝnh
[>expr:=(2*x+3)/(7*x+5);
62
2 x 7 x 3 + 5 + lim x ∞ →
:=
expr
2 x 7 x
3 + 5 +
[>Limit(expr,x=infinity);
2 x 7 x
3 + 5 +
lim x ∞ →
[>value(%);
2 7
TÝnh giíi h¹n theo h−íng (tr¸i hoÆc ph¶i)
ThÝ dô
[>Limit(tan(x+Pi/2),x=0,left);
[>value(%);
∞
[>Limit(tan(x+Pi/2),x=0,right);
cot x ( ) − lim 0 → - x
x
[>value(%);
−∞
V× giíi h¹n tr¸i vµ ph¶i kh«ng b»ng nhau cho nªn kh«ng tån t¹i giíi h¹n.
cot x ( ) − lim 0 → +
2.4.2. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè mét biÕn
TÝnh ®¹o hµm bËc nhÊt
LÖnh tÝnh ®¹o hµm bËc nhÊt cña hµm mét biÕn cã có ph¸p nh− sau:
[>diff(f(x),x);
( )
f x lµ hµm sè vµ x lµ biÕn sè mµ ta cÇn tÝnh ®¹o hµm. §õng quªn Trong ®ã chÊm phÈy (;) ë cuèi dßng lÖnh. Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, ta chØ cÇn chê mét chót lµ sÏ cã ngay ®¸p sè.
63
2
y
x
x
=
ThÝ dô TÝnh ®¹o hµm cña
2 1 +
[>diff(x^2*sqrt(x^2+1),x);
Muèn biÓu diÔn qu¸ tr×nh nµy mét c¸ch t−êng minh (qua c¸c c«ng thøc quen biÕt) ta thùc hiÖn c¸c thao t¸c sau ®©y:
B−íc 1. X¸c ®Þnh hµm sè b»ng dßng lÖnh cã có ph¸p nh− sau:
[>f:= x -> BiÓu thøc cña x
( )
f x theo biÕn x b»ng dßng
B−íc 2. ThiÕt lËp c«ng thøc biÓu diÔn ®¹o hµm cña lÖnh cã có ph¸p nh− sau:
[>Diff(f(x),x);
B−íc 3. TÝnh ®¹o hµm vµ gäi nã lµ f-phÈy b»ng lÖnh tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc trªn :
[>f_prim:=value(%);
B−íc 4. NÕu gi¸ trÞ thu ®−îc lµ cång kÒnh th× cã thÓ rót gän b»ng lÖnh :
[>simplify(%);
2 x x2 1 + + x3 x2 1 +
C¸c vÝ dô minh ho¹
3
2
3
y
5
x
3
x
2
x−
=
−
−
ThÝ dô TÝnh ®¹o hµm cña
[>f:=x->5*x^3-3*x^2-2*x^(-3);
5 x3
3 x2
x := f →
−
−
2 x3
[>Diff(f(x),x);
5 x3
3 x2
−
−
∂ x ∂
2 x3
[>f_prim:=value(%);
f_prim
:=
15 x2
6 x
−
+
6 x4
ThÝ dô TÝnh ®¹o hµm cña
2
y
=
cos( ) x sin(2 ) x
64
[>f:=x-> ((cos(x))^2/sin(2*x));
x := f →
cos x 2 ( ) sin 2 x ) (
[>Diff(f(x),x);
cos x 2 ( ) sin 2 x ) (
∂ x ∂
[>f_prim:=value(%);
)
2
f_prim − :=
2 −
( ) cos x sin 2 x (
( ) sin x )
cos x 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 x 2 ) (
[>simplify(%);
2
cos x 2 ( ) cos 2 x 2 (
)
− + 1
TÝnh ®¹o hµm cÊp cao
Ng−êi ta ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cÊp 2 cña hµm 1 biÕn lµ ®¹o hµm cña hµm sè thu ®−îc sau phÐp lÊy ®¹o hµm cÊp 1, cho nªn phÐp lÊy ®¹o hµm cÊp 2 cã thÓ thùc hiÖn dÔ dµng th«ng qua 2 lÇn dïng lÖnh lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt. Tuy nhiªn, c«ng viÖc nµy cã thÓ thùc hiÖn mét c¸ch ®¬n gi¶n h¬n nhê dïng mét dßng lÖnh cã có ph¸p nh− sau:
[>diff(f(x),x,x);
hoÆc viÕt d−íi d¹ng kh¸c lµ
[>diff(f(x),x$2);
T−¬ng tù nh− vËy ta lÊy ®¹o hµm cÊp k cña hµm f b»ng 1 lÖnh cã có ph¸p lµ
[>diff(f(x),x$k);
ThÝ dô
[>diff(x^4+x*sin(x),x,x);
12 x2
cos x ( )
2 +
x −
sin x ( )
[>diff(x^4+x*sin(x),x$2);
12 x2
cos x ( )
2 +
x −
sin x ( )
[>diff(x^4+x*sin(x),x$4);
cos x ( )
24 4 −
x +
sin x ( )
65
2.4.3. TÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn, hµm vect¬ vµ ma trËn hµm
PhÇn nµy liªn quan ®Õn tÝnh to¸n trªn vect¬ vµ ma trËn, cho nªn ta cÇn ph¶i n¹p
gãi c«ng cô ®¹i sè tuyÕn tÝnh tr−íc khi tiÕn hµnh c«ng viÖc.
[>with(linalg):
PhÐp tÝnh ®¹o hµm cña hµm nhiÒu biÕn
ThÝ dô TÝnh vi ph©n cho hµm nhiÒu biÕn
a) X¸c ®Þnh hµm f b»ng lÖnh
[>f:=4*x*z-5*y*x^3;
f ( x y z , , 4 x z ) = − 5 y x3
b) TÝnh gradient cña f b»ng lÖnh grad
[>gradf:=grad(f,[x,y,z]);
f := 4 x z − 5 y x3
c) TÝnh hesian cña f b»ng lÖnh hessian
[>hessian(f,[x,y,z]);
gradf [ := 4 z , , − 15 y x2 −5 x3 4 x ]
d) TÝnh divergence cña gradf b»ng lÖnh diverge
[>diverge(gradf,[x,y,z]);
−30 y x
e) TÝnh Laplacian cña f b»ng lÖnh lapf
[>lapf:=laplacian(f,[x,y,z]);
lapf
:=
−30 y x
0 0 −30 y x −15 x2 4 −15 x2 0 0 4
ThÝ dô TÝnh hessian cho hµm
[>hessian(x^2*y + 3*x*y^2, [x,y]);
66
x2 y + 3 x y2
2 x 2 x 6 y + 6 x 2 y + 6 y
TÝnh ®¹o hµm cña mét hµm vÐc t¬
ThÝ dô TÝnh vi ph©n cho mét hµm vÐc t¬
3
2
2
v
[4
x
3
yx
,7
xyz
3 y 5 , 4
2 x y
x 2 ]
=
−
+
+
a) X¸c ®Þnh tr−êng v trªn c¸c biÕn x,y,z b»ng lÖnh vector
[>v:=vector(3,[4*x-3*x^3*y,7*x*y*z^2+5*y^3,
4*x^2*y^2+2*x]);
b) TÝnh Jacobian cña v b»ng lÖnh jacobian
[>jacobian(v,[x,y,z]);
0
7 x z2
15 y2 14 x y z
8 x y2
−3 x3 + 8 y x2
0
− 4 9 y x2 7 y z2 2 +
c) TÝnh curl (hoÆc lµ rota) cña v b»ng lÖnh curl
[>curlv:=curl(v,[x,y,z]);
curlv
[ :=
8 y x2
8 x y2 ,
7 y z2
3 x3
]
−
14 x y z − − 2 ,
+
d) TÝnh vector Laplacian b»ng lÖnh vectlap
[>vectlapv:=map(laplacian,v,[x,y,z]);
vectlapv
[ :=
30 y
14 y x ,
8 y2
8 x2
]
−18 y x ,
+
+
e) TÝnh divergence cña v
[>graddivv:=grad(divv,[x,y,z]);
graddivv
[ :=
,0 0 0 ] ,
[ := v 4 x 3 y x3 , 7 x y z2 5 y3 , 4 x2 y2 − + + 2 x ]
TÝnh ®¹o hµm cña mét ma trËn hµm
ThÝ dô TÝnh ®¹o hµm cña ma trËn hµm
.
( ) sin x e x
)
x2 3 x + + cos x2 (
67
[>A:=linalg[matrix](2,2,[sin(x),x^2+x+3,exp(x),cos(x^2)
]);
( ) sin x e x
)
:= A
x2 3 x + + cos x2 (
[>map(diff,A,x);
)
cos x ( ) e x
−2
1 2 x + sin x2 x (
ThÝ dô TÝnh ®¹o hµm cho ma trËn ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau
[>f:=(i,j)->x^(i+j-1):
[>A:=matrix(2,2,f);
x x2
x2 x3
:= A
[>map(diff,A,x);
1 2 x 2 x 3 x2
2.4.4. Hµm Èn vµ ®¹o hµm cña nã
Líp hµm Èn lµ mét trong nh÷ng líp hµm rÊt quan träng cña gi¶i tÝch to¸n häc. Ta kh«ng cã ®−îc c«ng thøc biÓu diÔn nã mét c¸ch t−êng minh (th«ng qua c¸c hµm ®· biÕt) mµ chØ biÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a chóng vµ c¸c biÕn ®éc lËp. MÆc dï kh«ng "nh×n thÊy" nh÷ng hµm nµy (mét c¸ch trùc diÖn), nh−ng ta vÉn cã thÓ lµm viÖc trªn chóng mét c¸ch tho¶i m¸i nh− víi mét "®èi t−îng hiÓn". Cã ®−îc nh− vËy lµ nhê ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i cña hµm Èn, mét trong nh÷ng ®Þnh lý ®−îc xem lµ then chèt nhÊt trong Gi¶i tÝch to¸n häc.
Hµm Èn v« h−íng
Hµm Èn (v« h−íng) ®−îc x¸c ®Þnh bëi 1 ph−¬ng tr×nh f(y,x)=0, trong ®ã y lµ biÕn phô thuéc 1 chiÒu (hµm) vµ x lµ biÕn ®éc lËp (nãi chung lµ vÐc t¬). Sù tån t¹i cña hµm Èn y=y(x) vµ tÝnh kh¶ vi cña nã ®−îc b¶o ®¶m b»ng ®Þnh lý hµm Èn. LÖnh lÊy ®¹o hµm cña hµm sè nµy cã có ph¸p nh− sau:
implicitdiff(f,y,x) - LÊy ®¹o hµm cña y theo (mét) biÕn x
implicitdiff(f,y,x1,...,xk) - LÊy ®¹o hµm riªng (bËc k) cña y theo bé biÕn (x1,...,xk), vµ trong tr−êng hîp ®Æc biÖt khi x=x1=x2=...=xk th× c©u lÖnh trªn cã nghÜa lµ lÊy ®¹o hµm bËc k theo biÕn x.
68
C¸c thÝ dô minh ho¹:
[>f:=y-x^2/z;
f :=
− y
x2 z
[>implicitdiff(f,y,x);
2
x z
[>implicitdiff(f,y,z);
−
x2 z2
[>implicitdiff(f,y,x,z);
−2
x z2
[>f:=x^2+y^3=1;
f
:=
x2
y3
+
=
1
[>implicitdiff(f,y,x);
−
2 3
x y2
[>implicitdiff(f,x,y);
−
3 2
y2 x
[>implicitdiff(f,y,z);
0
[>implicitdiff(f,y(x),x);
−
2 3
x y2
[>implicitdiff(f,y,x,x);
69
3 y3
4 x2
−
2 9
+ y5
[>implicitdiff(f,y,z);
0
[>implicitdiff(f,z,x);
FAIL
[>f:=a*x^3*y-2*y/z=z^2;
f
:=
a x3 y
2 −
=
z2
y z
[>implicitdiff(f,y(x,z),x);
−3
a x2 y z a x3 z 2 −
[>implicitdiff(f,y(x,z),x,z);
−6
a x2 ( a2 x6 z2
z3 2 y + 4 a x3 z
− −
) 4 +
[>implicitdiff(f,y(x),x);
−3
a x2 y z a x3 z 2 −
Hµm Èn vÐc t¬
Hµm Èn vÐc t¬ ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh {f1,...,fm}, trong ®ã mçi fi lµ mét ph−¬ng tr×nh theo c¸c biÕn phô thuéc {y1,...,yn} (c¸c hµm Èn) vµ c¸c biÕn ®éc lËp x1,...,xk . C¸c ®iÒu kiÖn vÒ sù tån t¹i cña hµm Èn vÐc t¬ ®−îc qui ®Þnh bëi ®Þnh lý hµm Èn. LÖnh lÊy ®¹o hµm cña hµm Èn vÐc t¬ cã có ph¸p nh− sau:
LÊy ®¹o hµm cña mét sè thµnh phÇn {u1,...,ur} trong vÐc t¬ hµm {y1,...,yn} theo biÕn x
implicitdiff({f1,...fm},{y1,...yn},{u1,...ur},x)
LÊy ®¹o hµm riªng (cÊp k) theo côm biÕn x1,...,xk cña c¸c thµnh phÇn {u1,...,ur} trong vÐc t¬ hµm {y1,...,yn}
implicitdiff({f1,...fm},{y1,...yn},{u1,...ur},x1,...,xk)
trong ®ã:
70
f,f1,...,fm - c¸c biÓu thøc ®¹i sè hoÆc c¸c ph−¬ng tr×nh y,y1,...,yn - c¸c biÕn phô thuéc (tªn c¸c hµm) x,x1,...,xk - tªn c¸c biÕn mµ ta cÇn lÊy ®¹o hµm (riªng) u,u1,...,ur - nhãm c¸c hµm mµ ta sÏ lÊy ®¹o hµm
C¸c thÝ dô minh ho¹
ThÝ dô 1
[>f := y^2-2*x*z = 1;
f
:=
y2
2 x z
−
=
1
[>g := x^2-exp(x*z) = y;
(
)x z
g
:=
x2
e −
=
y
[>implicitdiff({f,g},{y,z},y,x);
2
x )x z
(
y e
1 +
[>implicitdiff({f,g},{y,z},{y,z},x);
(
)x z
)x z
(
[>implicitdiff({f,g},{y(x),z(x)},{y,z},x,notation=Diff);
(
)x z
2 y x z − z − ( )D z , ( )D y = 2 = y e ( x )x z x ( y e ) y e 1 + 1 +
)x z
(
2 y x z − z − , z = 2 y = y e ( x )x z ∂ x ∂ ∂ x ∂ x ( y e ) y e 1 + 1 +
ThÝ dô 2
[>f:=a*sin(u*v)+b*cos(w*x)=c;
[>g:=u+v+w+x=z;
g
u :=
+ +
v w x +
=
z
[>h:=u*v+w*x=z;
f a := sin u v ( cos w x ( b ) + ) = c
[>implicitdiff({f,g,h},{u(x,z),v(x,z),w(x,z)},u,z);
71
h := u v w x + = z
[>implicitdiff({f,g,h},{u(x,z),v(x,z),w(x,z)},{u,v,w},x);
)
{
,
,
}
=
−
−
−
) =
=
( )D1 v
D1 w (
)D1 u (
v ( (
u ( x (
) )
w x
− + w x u x ) − v
− + w x u − + v
[>implicitdiff({f,g,h},{u(x,z),v(x,z),w(x,z)},
( ) sin w x x ) cos u v v ) ( ( ( ) ) b cos u v u a ) ( sin w x x u ) ( + − sin w x u ( b sin w x v ) ( b x ( + − b − a − cos u v u x a + cos u v u a ) +
{u,v,w},x,notation=Diff);
[>implicitdiff({g,h},{u(x,z),v(x,z),w(x,z)},
) { , , } v w u − − − v ( ( u ( x ( ) ) w x ∂ x ∂ − + w x u x − v ) ∂ x ∂ ∂ x ∂ − + w x u − + v = z = z = z
{u,v,w},z);
(
(
−
1 u − +
)D2 u x (
)D2 u v u − +
)D2 u (
{
,
}
) =
=
=
−
)D2 u (
)D2 u , (
( )D2 v
D2 w (
)D2 u v 1 x + − − x u
− x u
L−u ý r»ng ë ®©y chØ cã 2 ph−¬ng tr×nh, cho nªn hµm Èn vect¬ ph¶i gåm 2 thµnh phÇn. Cho dï ta khai b¸o 3 (thõa 1), m¸y vÉn chØ cho 2 hµm Èn thùc sù (v vµ w), vµ ngÇm ®Þnh cho hµm cßn l¹i u lµ hµm tù do (bÊt kú).
[>implicitdiff({f,g,h},{u(x,z),v(x,z)},u,z);
M¸y b¸o lçi v×, víi 3 ph−¬ng tr×nh, hµm Èn vect¬ ph¶i cã 3 thµnh phÇn, ta ®· khai b¸o thiÕu mét thµnh phÇn.
FAIL
2.4.5. PhÐp tÝnh tÝch ph©n
TÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh
( )
TÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh cña hµm
f x trªn ®o¹n [
,a b ] b»ng dßng lÖnh cã có
ph¸p nh− sau:
[>int(f(x),x = a..b);
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh ta cã ngay ®¸p sè.
ThÝ dô TÝnh tÝch ph©n
1
b»ng lÖnh sau
[>int(1/(x^2-5*x+6),x=0..1);
72
⌠ d x x2 1 5 x − 6 + ⌡ 0
vµ muèn biÕt gi¸ trÞ gÇn ®óng cña nã ta dïng lÖnh
[>evalf(%);
2 ( ln 2 ) − ln 3 ( )
(trong ®ã % lµ ký hiÖu ngô ý chØ biÓu thøc ngay tr−íc ®ã).
Muèn cã c«ng thøc m« t¶ mét c¸ch t−êng minh qu¸ tr×nh tÝnh to¸n tÝch ph©n,
ta sö dông "lÖnh tr¬":
[>Int(1/(x^2-5*x+6),x=0..1);
1
.287682072
vµ sau ®ã x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc trªn b»ng lÖnh
[>value(%);
⌠ d x x2 1 5 x − 6 + ⌡ 0
Sau ®©y lµ mét vµi thÝ dô cã thÓ thùc hiÖn ®−îc ngay, ®Ó ng−êi ®äc lµm quen víi c«ng viÖc (l−u ý r»ng khi kÕt qu¶ lµ mét biÓu thøc cång kÒnh th× ta cã thÓ rót gän (®¬n gi¶n) b»ng lÖnh simplify ®· biÕt):
2 ( ln 2 ) − ln 3 ( )
ThÝ dô TÝnh tÝch ph©n
π
(
)2 x
[>Int(exp(2*x)*sin(x)^2,x=0..Pi);
π
(
)2 x
e d sin x 2 x ( ) ⌠ ⌡ 0
[>value(%);
(
)2 π
e d sin x 2 x ( ) ⌠ ⌡ 0
Cã thÓ sö dông lÖnh evalf (®¸nh gi¸) ®Ó tÝnh xÊp xØ cña ®¹i l−îng trªn
[>evalf(%);
66.81145700
MAPLE chøa hµng tr¨m c¸c h»ng sè vµ c¸c hµm ®Æc biÖt trong nhiÒu lÜnh vùc cña to¸n häc, khoa häc vµ kü thuËt, thÝ dô: Hµm sai sè (Error Function- erf(x)), h»ng sè Euler, tÝch ph©n mò (exponential Integral-Ei(x)), hµm TÝch ph©n Elliptic
73
e 1 8 1 − 8
( )xΓ
), Hµm Zeta-(s), Hµm (Elliptic Integral Function- EllipticF(k,z), hµm Gamma - Delta Dirac, c¸c hµm Bessel vµ Bessel suy réng,... Tuy nhiªn, dï víi kho ký hiÖu lín ®Õn ®©u ch¨ng n÷a, Maple còng kh«ng thÓ biÓu thÞ ®−îc hÕt c¸c lo¹i sè v« tû vµ c¸c hµm ®Æc biÖt gÆp ph¶i trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n. Do ®ã, ta chØ cã c¸ch nhËn biÕt c¸c sè v« tû "l¹ ho¾c" qua c¸c xÊp xØ cña nã nhê lÖnh evalf(). ThÝ dô sau ®©y lµ thªm mét minh ho¹ cho ®iÒu nµy
[>int(sqrt(exp(2*x)+(cos(x))^2+1),x=0..Pi);
π
(
)2 x
e
cos x 2 ( )
1 x d
+
+
⌠ ⌡ 0
[>value(%);
M¸y kh«ng ®−a ra kÕt qu¶ (gi¸ trÞ cña biÓu thøc trªn), v× ®©y lµ mét sè v« tû kh«ng biÓu diÔn ®−îc qua c¸c sè ®· biÕt. Tuy nhiªn, ta cã thÓ nhËn biÕt nã b»ng lÖnh ®¸nh gi¸ xÊp xØ thËp ph©n
[>evalf(%);
22.81198552
TÝnh tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh
§Ó thùc hµnh t×m tÝch ph©n bÊt ®Þnh, h·y ®−a vµo dßng lÖnh cã có ph¸p nh−
sau:
[>int(f(x),x);
( )
f x lµ biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n. Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh th× viÖc
Trong ®ã tÝnh to¸n sÏ ®−îc thùc hiÖn vµ chØ cÇn chê mét chót lµ sÏ cã ngay ®¸p sè.
ThÝ dô
[>int((3*x^2+3*x+3)/(x^3-3*x+2),x);
Muèn cã biÓu thøc t−êng minh cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh, ta ®¸nh c¸c dßng "lÖnh tr¬" cã có ph¸p t−¬ng tù nh− trªn, nh−ng thay ch÷ i (th−êng) b»ng ch÷ I (hoa) nh− sau:
[>Int(1/(x^2-5*x+6),x);
⌠
d
x
−
1 x2 5 x 6 +
⌡
vµ ®Ó cã ®−îc biÓu thøc gi¸ trÞ cña tÝch ph©n nµy ta dïng lÖnh:
74
2 ( ( ln − + 1 ln + 2 x ) − + x ) 3 − + 1 x
[>value(%);
−
ln − x 2
(
+ )
(
ln − x 3 )
vµ khi thÊy kÕt qu¶ cã vÎ cång kÒnh ta h·y "rót gän" b»ng lÖnh simplify(%); ®· quen biÕt.
Trong tr−êng hîp nguyªn hµm lµ mét hµm "ch−a tõng thÊy bao giê" (nghÜa lµ kh«ng thÓ biÓu diÔn qua nh÷ng hµm sè mµ ta ®· biÕt) th× m¸y chØ cho ra c«ng thøc tÝch ph©n (nh− kÕt qu¶ cña mét lÖnh tr¬) vµ lÖnh value(%) ch¼ng ®em l¹i cho ta th«ng tin g×. Nh− thÕ kh«ng cã nghÜa lµ m¸y "bã tay", mµ ng−îc l¹i, nã vÉn lµm viÖc "kh«ng chª vµo ®©u ®−îc", miÔn lµ ta biÕt c¸ch b¶o nã cho xem kÕt qu¶ d−íi d¹ng kh¸c (chø kh«ng ph¶i lµ cho xem biÓu thøc biÓu diÔn qua c¸c hµm quen biÕt nh− ta vÉn th−êng lµm). ThÝ dô, nguyªn hµm cña hµm sè sau ®©y kh«ng thÓ biÓu diÔn ®−îc qua c¸c hµm sè ta biÕt:
[>int(sin(x)/(x+sqrt(x)),x);
t ( )
f
x¸c ®Þnh nh− sau:
Nh−ng ta biÕt r»ng nguyªn hµm nµy tån t¹i, vµ theo ®Þnh lý Newton-Leibnitz th× nã biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng tÝch ph©n x¸c ®Þnh víi cËn lµ biÕn sè. Cã nghÜa, nã lµ mét hµm
[>f(t):=int(sin(x)/(x+sqrt(x)),x=0..t);
t
⌠ d x sin x ( ) x + x ⌡
Ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n cho ta biÕt mäi th«ng tin vÒ hµm nµy, ®Çy ®ñ vµ phong phó nh− bÊt kú mét hµm quen thuéc nµo kh¸c. ThÝ dô ta cã thÓ b¶o m¸y cho xem gi¸ trÞ cña hµm t¹i bÊt kú ®iÓm nµo, hoÆc h¬n thÕ, ta cã thÓ b¶o m¸y vÏ cho ta ®å thÞ cña hµm
[>plot(f(t),t=0..10);
75
⌠ f t ( ) := d x ( ) sin x x + x ⌡ 0
Nh− vËy ta ®· ®−îc chøng kiÕn mét sù kiÖn cã tÝnh b¶n chÊt lµ: TÝch ph©n x¸c ®Þnh chÝnh lµ c«ng cô ®Ó tÝnh nguyªn hµm, chø kh«ng ph¶i lµ ng−îc l¹i (nh− l©u nay nhiÒu ng−êi nhÇm t−ëng vµ dån mäi søc lùc cho viÖc tÝnh nguyªn hµm th«ng qua c¸c lo¹i mÑo mùc, tiÓu x¶o,...).
TÝnh tÝch ph©n suy réng
Thao t¸c gièng nh− tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh, chØ l−u ý khai b¸o cËn
"x=a..infinity" thay cho "x=a..b" .
[>int(x/(x^4+1),x=0..infinity);
π
1 4
2.4.6. Khai triÓn hµm sè thµnh chuçi
Trong phÇn nµy ta chØ ®Ò cËp ®Õn viÖc khai triÓn hµm sè thµnh chuèi luü thõa (chuçi Taylor). VÊn ®Ò khai triÓn hµm thµnh chuçi l−îng gi¸c (chuçi Fourier) ®ßi hái ph¶i chuÈn bÞ thªm mét sè kiÕn thøc vÒ lËp tr×nh trªn Maple, cho nªn sÏ ®−îc ®Ò cËp trong c¸c ch−¬ng sau (vµ trong gi¸o tr×nh chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch).
( )
Ng−êi ta thiÕt lËp ®a thøc xÊp xØ mét hµm sè
f x trong l©n cËn mét ®iÓm b»ng c¸ch lÊy "phÇn chÝnh" cña chuçi Taylor cña hµm f t¹i ®iÓm nµy. V× vËy, vÊn ®Ò khai triÓn hµm sè thµnh chuçi cã ý nghÜa rÊt quan träng. MAPLE lµ mét c«ng cô hoµn h¶o vÒ lÜnh vùc nµy. Nã cho phÐp khai triÓn víi bËc xÊp xØ rÊt cao, nh−ng trong c¸c tÝnh to¸n th«ng th−êng (khi ta kh«ng chØ thÞ râ bËc xÊp xØ) th× bËc ®−îc mÆc ®Þnh lµ 6.
x
ThÝ dô Ta khai triÓn hµm sin(4 )cos( )
x thµnh chuçi t¹i ®iÓm
0x = nh− sau.
x
x
X¸c ®Þnh biÓu thøc (còng cã nghÜa lµ g¸n tªn cho) hµm sin(4 ) cos( )
[>expr:=sin(4*x)*cos(x);
expr
:=
sin 4 x (
)
cos x ( )
0x = vµ g¸n cho nã c¸i tªn
Khai triÓn biÓu thøc (expr) thµnh chuçi t¹i ®iÓm approx1 (xÊp xØ 1) b»ng lÖnh cã có ph¸p nh− sau (bËc xÊp xØ mÆc ®Þnh lµ 6):
[>approx1:=series(expr,x=0);
LÊy phÇn chÝnh (®a thøc) lµm c«ng cô xÊp xØ (®Æt tªn cho ®a thøc nµy lµ poly1) :
[>poly1:=convert(approx1,polynom);
x3 x5 approx1 := 4 x )O x6 ( − + + 38 3 421 30
76
x3 poly1 := 4 x − + x5 38 3 421 30
VÏ ®å thÞ cña biÓu thøc ban ®Çu vµ ®a thøc xÊp xØ cña nã trªn cïng mét hÖ to¹ ®é (®Ó dÔ dµng so s¸nh ®é chÝnh x¸c cña xÊp xØ, t¹i l©n cËn gèc) :
[>plot({expr,poly1},x=-1..1,y=-2..2);
Cã thÓ thay bËc xÊp xØ (tõ 6 ) thµnh 12 bëi lÖnh:
[>Order:=12;
Order
:=
12
vµ thiÕt lËp ®a thøc xÊp xØ víi bËc chÝnh x¸c cao h¬n, theo thñ tôc nh− trªn. KÕt qu¶ lµ ta sÏ cã mét ®a thøc bËc cao h¬n vµ xÊp xØ tèt h¬n h¼n (h·y tù kiÓm nghiÖm b»ng vÝ dô sau)
[>approx2:=series(expr,x=0); 10039 1260
x7
x3
x5
x9
x11
poly2
:=
4 x
−
+
−
+
−
[>poly2:=convert(approx2,polynom); 246601 90720
10039 1260
421 30
38 3
6125659 9979200
[>plot({expr,poly2},x=-1..1,y=-2..2);
77
x5 x3 x7 x9 x11 approx2 := 4 x O x12 ( ) + − − + − + 421 30 38 3 246601 90720 6125659 9979200
2.5. Ph−¬ng tr×nh Vi ph©n vµ VËt lý to¸n
Muèn tiÕn hµnh gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ta cÇn n¹p gãi c«ng cô chuyªn dông
cho lÜnh vùc nµy b»ng c¸c lÖnh sau
[>with(DEtools):
Mét b¶n thèng kª c¸c chøc n¨ng cña "gãi c«ng cô nµy" sÏ xuÊt hiÖn sau khi lÖnh ®−îc thùc hiÖn.
Ghi chó
1. Ký hiÖu D(y) lµ phÐp t×m ®¹o hµm bËc nhÊt cña hµm y.
2. Ký hiÖu D(D)(y)(x) lµ phÐp t×m ®¹o hµm bËc hai cña y theo x.
3. Ký hiÖu D@@k cã nghÜa lµ D ®−îc kÕt hîp víi chÝnh nã k lÇn.
2.5.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng
C¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th«ng th−êng
y
y
y
+
+
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n " 5 ' 6
0 =
)2 ( )D
y
y
'(0) 1
(0) 0, =
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu:
= .
B−íc 1. Ta ra lÖnh g¸n diff_eq1 cho ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
[>diff_eq1:=D(D(y))(x)+5*D(y)(x)+6*y(x)=0;
( y x ( ) ( ) ( )D y x ( ) y x 6 ( ) 5 + + = 0
)2 ( )D
(Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh trªn mµn h×nh sÏ hiÖn ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÇn gi¶i).
B−íc 2. NhËp ®iÒu kiÖn ban ®Çu b»ng lÖnh
[>init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1;
init_con
:=
y 0 (
( )D y 0
(
0 , ) =
) =
1
Sau dÊu (;) ®¸nh lÖnh [Enter] sÏ hiÖn ra c«ng thøc m« t¶ ®iÒu kiÖn ®Çu
B−íc 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n b»ng lÖnh dsolve :
[>dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)});
(
(
)
−2 x
−3 x
diff_eq1 ( := y x ( ) ( ) ( )D y x ( ) y x 6 ( ) 5 + + = 0
) e −
78
( )y x e =
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh trªn mµn h×nh sÏ hiÖn c«ng thøc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÇn gi¶i.
2 " 5 ' 0 y+ x y
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh
= .
[>dsolve(x^2*diff(y(x),x,x)+5*diff(y(x),x)=0,y(x));
5 x
5 +
x e ( )y x _C1 _C2 ,1 − = + 5 x Ei
C¸c tuú chän trong gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n
Kh«ng ph¶i ph−¬ng tr×nh nµo còng cã nghiÖm d−íi d¹ng biÓu thøc gi¶i tÝch th«ng th−êng, cho nªn kh«ng cã g× ®¸ng ng¹c nhiªn khi ta thÊy MAPLE "kh«ng chÞu" cho ta kÕt qu¶ ®èi víi mét sè ph−¬ng tr×nh nµo ®ã. H·y xem xÐt
y
5 y x
x sin( )
' +
=
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh
.
[>dsolve(diff(f(x),x)+f(x)^5*x=sin(x),f(x));
Sau khi ra lÖnh gi¶i (Ên phÝm [Enter] ), ta thÊy m¸y cã ch¹y nh−ng råi kh«ng ®−a ra kÕt qu¶ g×. Tuy nhiªn, xin ®õng thÊt väng, MAPLE vÉn lµm viÖc "kh«ng chª vµo ®©u ®−îc" nÕu nh− ta biÕt lÖnh cho nã lµm viÖc mét c¸ch hîp lý.
LÖnh gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n cã có ph¸p tæng qu¸t lµ
[>dsolve(deqns,vars,keyword);
trong ®ã phÇn keyword cho phÐp ta x¸c ®Þnh ph−¬ng ph¸p gi¶i cïng d¹ng biÓu diÔn nghiÖm. C¸ch biÓu diÔn mÆc ®Þnh lµ "chÝnh x¸c " (exact). NÕu chän c¸ch biÓu diÔn nghiÖm nh− vËy ta sÏ kh«ng ph¶i cho gi¸ trÞ ë phÇn keyword. NÕu c¸ch biÓu diÔn Êy kh«ng thµnh (nh− ta thÊy trong vÝ dô trªn ®©y), hoÆc kh«ng ph¶i lµ ý ta muèn, th× ta cã thÓ yªu cÇu m¸y cho ta mét trong c¸c c¸ch biÓu diÔn sau ®©y:
(cid:153) Víi keyword ®−îc cho d−íi d¹ng type = series th× m¸y sÏ cho
ta nghiÖm d−íi d¹ng chuçi.
(cid:153) Víi keyword ®−îc cho d−íi d¹ng type = numeric th× m¸y sÏ sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p sè vµ cho ta nghiÖm d−íi d¹ng mét hµm t−îng tr−ng mµ cã thÓ ®¸nh gi¸ ®−îc gi¸ trÞ sè cña nã t¹i bÊt kú ®iÓm nµo (cã mét khèi l−îng khæng lå c¸c ph−¬ng ph¸p sè gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n, b¹n ®äc quan t©m xin xem trong gi¸o tr×nh tÝnh to¸n chuyªn ngµnh ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n).
(cid:153) Víi keyword ®−îc cho d−íi d¹ng ouput = basic th× m¸y sÏ cho ta tËp hµm c¬ së mµ tËp nghiÖm ®−îc c¨ng trªn ®ã (nh− mét bao tuyÕn tÝnh). NÕu ph−¬ng tr×nh kh«ng ph¶i lµ thuÇn nhÊt th× m¸y sÏ cho ta thªm mét nghiÖm riªng, ®Ó mäi nghiÖm bÊt kú ®Òu cã thÓ biÓu diÔn qua tËp nghiÖm c¬ së vµ nghiÖm riªng nµy.
(cid:153) Th«ng th−êng, nghiÖm cã thÓ ®−îc cho d−íi d¹ng mét hµm Èn (tøc lµ mét ph−¬ng tr×nh th«ng th−êng biÓu thÞ mèi liªn hÖ gi÷a hµm sè y vµ biÕn
79
phô thuéc x , kh«ng cã sù tham gia cña c¸c ®¹o hµm), hoÆc d−íi d¹ng c¸c biÕn phô thuéc tham sè. NÕu ta muèn b¾t nã ph¶i cho ta nghiÖm d−íi d¹ng hiÓn (tøc lµ mét hµm sè cña y theo x ) th× ta cho keyword d−íi d¹ng explicit=true. (V× kh¶ n¨ng nµy th−êng khã x¶y ra nªn ng−êi ta th−êng cho gi¸ trÞ mÆc ®Þnh lµ explicit=false ).
(cid:153) Muèn biÓu diÔn ®−îc nghiÖm th«ng qua c¸c hµm ®Æc biÖt kiÓu
Dirac(.), Heaviside(.),... th× ta ph¶i sö dông keyword lµ method=laplace .
Trong vÝ dô trªn, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ mét hµm kh«ng biÓu diÔn ®−îc qua c¸c hµm th«ng th−êng, cho nªn m¸y kh«ng ®−a ra ®−îc biÓu thøc nµo. §iÒu nµy còng t−¬ng tù nh− khi gÆp mét sè v« tû míi, ch−a cã ký hiÖu biÓu diÔn. NÕu nh− víi s« v« tû míi ta th−êng yªu cÇu m¸y cho biÕt xÊp xØ thËp ph©n, th× trong t×nh huèng nµy ta cã thÓ yeu cÇu m¸y cho ta nghiÖm xÊp xØ d−íi mét d¹ng nµo ®ã,
f
(0)
= , ta lÊy nghiÖm
th«ng th−êng lµ d¹ng chuçi. ThÝ dô víi ®iÒu kiÖn ®Çu lµ
1 2
d−íi d¹ng chuçi b»ng lÖnh:
[>dsolve({f(0)=1/2,diff(f(x),x)+f(x)^5*x=sin(x)},
f(x),series);
x2
x4
f x ( )
)O x6 (
−
+
1 = + 2
31 64
977 12288
C¸c thÝ dô minh ho¹ cho chuyªn môc nµy (®èi víi 1 ph−¬ng tr×nh vi ph©n còng ®ång thêi lµ ®èi víi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n) xin xem trong phÇn gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n víi c¸c hµm ®Æc biÖt
MAPLE cã thÓ hiÓu vµ lµm viÖc víi rÊt nhiÒu hµm ®Æc biÖt, thÝ dô hµm Delta
Dirac.
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n bËc 4 cã tham gia hµm Delta Dirac
6
(4)
10
y
Dirac t (
2)
Dirac t (
4)
=
−
−
−
víi bèn ®iÒu kiÖn biªn:
y
y
y
y
"(5) 1
(0) 0, =
(5) 1, =
'(0) 0, =
= .
B−íc 1. G¸n tªn diff_eq2 cho ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
diff_eq2
t
t
[>diff_eq2:=10^6*(D@@4)(y)(t)=Dirac(t-2)-Dirac(t-4); )4 ( )D
B−íc 2. NhËp ®iÒu kiÖn ban ®Çu b»ng lÖnh
[>bound_con:=y(0)=0,y(5)=1,D(y)(0)=0,(D@@2)(y)(5)=1;
bound_con
1000000 ( ) ( ) y t := ( ) 2 Dirac − ( 4 Dirac − ( ) − =
)2 ( )D
y 5 ( ( )
80
:= y 0 ( y 5 ( ( )D y 0 ( ( 0 , ) = 1 , ) = 0 , ) = 1 ) =
B−íc 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n b»ng lÖnh
[>solution:=dsolve({diff_eq2,bound_con},{y(t)});
:=
(
t
2
)
(
t
4
)
t
(
t
2
)
solution
( )y t
=
−
Heaviside −
+
Heaviside −
+
Heaviside −
1 750000
1 93750
1 500000
2
2
t
(
t
4
)
(
t
2
)
(
t
4
)
t
t
Heaviside −
−
Heaviside −
+
Heaviside −
−
1 125000
3
3
3
(
t
2
)
(
t
4
)
t
t
t
t
Heaviside −
Heaviside −
−
−
2 +
+
17249969 375000000
1 6000000
1 1000000 1 6000000
1 500000 2374997 12500000
B−íc 4. CÊt gi÷ kÕt qu¶ vµo biÕn solution nhê lÖnh subs
:=
(
t
2
)
(
t
4
)
(
t
2
)
t
expr
−
Heaviside −
+
Heaviside −
+
Heaviside −
1 750000
1 93750
2
2
t
t
(
t
4
)
(
t
2
)
(
t
4
)
t
−
Heaviside −
−
Heaviside −
+
Heaviside −
1 125000
3
3
3
t
t
(
t
2
)
(
t
4
)
t
t
+
−
−
2 +
Heaviside −
Heaviside −
1 6000000
1 1000000 1 6000000
17249969 375000000
1 500000 1 500000 2374997 12500000
[>expr:=subs(solution,y(t));
B−íc 5. VÏ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n
[>plot(expr,t=0..5);
2.5.2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng
ThÝ dô Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng bËc hai (kh«ng cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu) sau
"( ) y x "( ) x z
( ) z x ( ) y x
= =
B−íc 1 G¸n tªn sys (viÕt t¾t cña ch÷ system - hÖ) cho hÖ ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
[>sys:=(D@@2)(y)(x)=z(x),(D@@2)(z)(x)=y(x);
2
sys
(
xyD )(
)(
)
2 xzDxz (
(),
)(
)(
)
xy )(
: =
=
=
81
B−íc 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n b»ng lÖnh [>dsolve({sys},{y(x),z(x)});
(
x
)
x
x
−
−
cos(
)
)({ xy
1_ eC
1_ eC
1_ C
x
2_ eC
=
+
+
−
+
1 4
1 4
x
x
x
−
eC 2_
C 2_
sin(
x
)
eC 3_
eC 3_
C 3_
cos(
x
)
+
+
+
−
1 4
1 2
1 4 1 4
1 2
1 2 1 4
x
x
−
x
eC 4_
,
eC 4_
C 4_
sin(
)
+
−
−
1 4
1 2
x
x
x
−
)( xz
1_ eC
1_ eC
1_ C
cos( ) x
2_ C
sin( ) x
2_ eC
=
+
−
−
+
1 4 1 2
1 2
1 4
1 4
1 4
x
x
x
x
−
−
−
2_ eC
3_ eC
3_ eC
3_ C
cos(
x
)
4_ eC
+
+
+
−
−
1 2
1 4
1 4
x
4_
C 4_
sin(
)}
+
eC x +
1 4 1 4
1 4 1 2
MAPLE cã thÓ biÕn ®æi mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng bËc cao vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n bËc nhÊt b»ng lÖnh convertsys. H¬n n÷a, lÖnh dsolve cña MAPLE cßn cã thÓ gi¶i rÊt nhiÒu ph−¬ng tr×nh vi ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p sè. C¸c tuú chän trong gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
Còng t−¬ng tù nh− ®èi víi gi¶i (mét) ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ta cã nhiÒu kh¶ n¨ng biÓu diÔn nghiÖm vµ nhiÒu ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n. VÊn ®Ò nµy ®· ®−îc tr×nh bµy cô thÓ trong môc gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, cho nªn kh«ng ®−îc nh¾c l¹i ë ®©y. §Ó n¾m vÊn ®Ò mét c¸ch thuÇn thôc h¬n, ta h·y xem xÐt thªm mét sè vÝ dô minh ho¹ (cho tr−êng hîp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, mµ còng lµ cho tr−êng hîp 1 ph−¬ng tr×nh vi ph©n).
ThÝ dô Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
y x '( )
z x ( )
y x ( )
x
=
−
−
z x '( )
y x ( )
=
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu
y
z
(0) 1
(0) 0, =
= ,
theo ph−¬ng ph¸p mÆc ®Þnh
[>sys:=diff(y(x),x)=z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)=y(x):
fcns:={y(x),z(x)}:
1 x )
(
(
1 x )
+ 5
− 5
−
1 2
[>dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns); 1 2
5 e
5 e
z x (
)
1,
=
+
−
x +
1 5
1 5
(
1 x )
(
1 x )
+ 5
− 5
−
1 2
1 2
y x (
)
5 e
5 e
1
=
−
+
+
1 10
(
1 x )
(
1 x )
− 5
+ 5
−
1 2
1 2
1 10
e
e
−
−
1 2
1 2
82
T×m nghiÖm d−íi d¹ng chuçi (víi ®iÒu kiÖn ®Çu lµ y(0) = 0, z(0) = 1)
[>dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=series);
2
3
4
5
6
)({ xy
x
x
x
(
),
x −=
+
−
+
xOx +
2
3
4
5
6
.
x
x
x
(
)}
xz 1)(
+=
−
+
−
xOx +
1 2 1 3
5 24 1 8
1 15 1 24
1 2
T×m nghiÖm b»ng ph−¬ng ph¸p sè (víi ®iÒu kiÖn ®Çu nh− trªn) vµ cho biÕt gi¸ trÞ cña nghiÖm t¹i c¸c ®iÓm x = 1, x = 1.5, x = 1.7 :
[> F:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric);
F:= proc(rkf45_x)...end
[>F(1);
[x = 1, y(x) = .343731408276753914, z(x) = 1.25897207653682308]
[>F(1.5);
[x = 1.5, y(x) = .237649509495644756, z(x) = 1.40935827136441327]
[>F(1.7);
[x = 1.7, y(x) = .163416733680997378, z(x) = 1.44974926864546538]
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai
y
3 x y
,
y
y
" 2 =
(0) 1, =
'(0) 1 =
b»ng ph−¬ng ph¸p sè (víi ch−¬ng tr×nh mang tªn dverk78 ) vµ cho gi¸ trÞ cña nghiÖm vµ ®¹o hµm cña nã t¹i c¸c ®iÓm x=1, x=1.5, x=1.7 d−íi d¹ng b¶ng sè liÖu:
[>sys2:={(D@@2)(y)(x)=2*x^3*y(x),y(0)=1,D(y)(0)=1}:
[>s:=dsolve(sys2,{y(x)},type=numeric,
method=dverk78,value=array([1.0,1.5,1.7]));
,
,
)
x
y x (
)
y x (
∂ x ∂
s
:=
1. 1.50000000000000000 1.69999999999999996
2.17013243525314170 4.26826796627041372 6.71039854665199442
1.93603788311791480 8.36391691654069902 17.2757972122874470
Ta cã thÓ lÊy ra tõng sè liÖu cña b¶ng (ma trËn) nµy, thÝ dô nh−:
[>s[1,1][3];
83
( )y x ∂ ∂ x
[>s[2,1][2,3];
8.36391691654069902
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (bËc 2, kh«ng thuÇn nhÊt)
2
xy
' 3
y
" y + +
x =
vµ cho biÕt hÖ c¬ së cña tËp nghiÖm (cïng mét nghiÖm riªng).
[>dsolve(2*x*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+3*y(x)=x,
y(x),output=basis);
(
)/1 4
(
)/1 4
x
cos
(
6 x
)
x
sin (
6 x
)
,
,
x
1 1 − + 3 9
6 x
6 x
VÏ ®å thÞ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
Muèn vÏ ®å thÞ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ta n¹p gãi c«ng cô
[>with(DEtools):
vµ sö dông lÖnh
[>DEplot(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,opts);
Trong ®ã:
biÕn phô thuéc hoÆc b¶ng c¸c biÕn phô thuéc.
miÒn thay ®æi cña biÕn phô thuéc thø nhÊt. miÒn thay ®æi cña biÕn phô thuéc thø hai.
deqns - b¶ng c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n bËc nhÊt (hoÆc mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n bËc cao, cã thÓ qui vÒ hÖ bËc nhÊt). vars - trange - miÒn thay ®æi cña biÕn ®éc lËp. inits - ®iÒu kiÖn ban ®Çu x¸c ®Þnh ®−êng cong nghiÖm cÇn vÏ. yrange - xrange - opts - c¸c tïy chän (mµu, tiªu ®Ò, ®é ®Ëm nh¹t cña ®å thÞ,...).
ThÝ dô VÏ ®å thÞ cña nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
x
z
'
y
'
x 2
z
'
y −= z −= x y −=
0 ( )
0 ( )
1 ,
2
y
= , biÕn ®éc lËp t thay ®æi trong
=
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x 0 , ( ) 0 z = kho¶ng [-2,2], biÕn phô thuéc y thay ®æi trong kho¶ng [-4,5], tïy chän: b−íc 0.05.
84
Ta cã thÓ cho Maple vÏ ®−êng cong trong kh«ng gian 3 chiÒu, nh−ng rÊt khã biÓu thÞ ®−îc tÝnh 3 chiÒu cña nã. Muèn cã c¸i nh×n râ h¬n, ng−êi ta th−êng xem xÐt c¸c h×nh chiÕu cña nã lªn tõng mÆt to¹ ®é. ThÝ dô, ta vÏ h×nh chiÕu cña nghiÖm lªn mÆt x0z, khi Êy nã lµ ®−êng cong biÓu diÔn mèi t−¬ng quan gi÷a 2 thµnh phÇn cña nghiÖm lµ z vµ x (®−êng cong phô thuéc tham sè t víi hai thµnh phÇn to¹ ®é z(t) vµ x(t) ). [>DEplot({D(x)(t)=y(t)-z(t),D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=x(t)-
y(t)*2},{x(t),y(t),z(t)},t=-2..2,[[x(0)=1,y(0)=0,z(0)=2]], stepsize=.05, scene=[z(t),x(t)]);
Víi hÖ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn th× Maple cã thÓ vÏ c¶ tr−êng vect¬ biÓu diÔn ph−¬ng tr×nh, vµ khi cho thªm ®iÒu kiÖn ®Çu th× nã sÏ vÏ c¶ nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu ®ã. ThÝ dô VÏ tr−êng vect¬ biÓu diÔn hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (d¹ng Lotka-Volterra)
)1
x x y ) ' 1( − = (3.0' y xy =
−
víi biÕn ®éc lËp t thay ®æi trong kho¶ng [-7,7], vµ vÏ ®å thÞ cña 2 nghiÖm øng víi 2 ®iÒu kiÖn ®Çu lµ
[x(0)=1.2, y(0)=1.2], [x(0)=1, y(0)=0.7],
(kÌm theo tiªu ®Ò: M« h×nh Lotka-Volterra) b»ng lÖnh [>DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=0.3*y(t)*(x(t)-1)},[x(t),y(t)],t=-7..7, [[x(0)=0.2,y(0)=1.2],[x(0)=1,y(0)=.7]],stepsize=.2, title=`Lotka-Volterra model`);
85
2.5.3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng
MAPLE cã thÓ t×m ®−îc nghiÖm cña nhiÒu ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng b»ng lÖnh pdesolve. Trong c«ng thøc nghiÖm, c¸c hµm bÊt kú ®−îc ký hiÖu lµ _F1, _F2, v.v...
Trong c¸c lÖnh d−íi ®©y ký hiÖu D[1](U) lµ ®¹o hµm cña U theo biÕn thø nhÊt
vµ D[1,1,2,2,2] lµ ®¹o hµm hai lÇn theo biÕn thø nhÊt vµ ba lÇn theo biÕn thø hai,...
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng
) ( ) =
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh
1 1 2 2 2 U ,x y (
,
,
,
B−íc 1. G¸n tªn pde cho ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
[>pde:= D[1,1,2,2,2](U)(x,y) = 0;
pde
:=
) (
0 ) =
D ,
1 1 2 2 2 U ,x y (
,
,
,
B−íc 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n b»ng lÖnh
[>pdesolve(pde,U(x,y));
U ,x y (
_F1 y ( )
_F2 y x ( )
_F3 x ( )
_F4 x y ( )
_F5 x y2 ( )
) =
+
+
+
+
0 . D ,
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng kh«ng thuÇn nhÊt
) (
sin x y (
)
) =
D ,
1 1 2 2 2 U ,x y (
,
,
,
[>pde:= D[1,1,2,2,2](U)(x,y)=sin(x*y);
pde
:=
) (
) =
sin x y ( )
D ,
1 1 2 2 2 U ,x y (
,
,
,
[>pdesolve(pde,U(x,y));
cos x y (
x y
sin x y (
)
x2 y2
Ci x y (
1 2
1 ) − 2
1 ) − 2
)
+
x
( cos x y x
x y
Si x y (
cos x y (
)
U ,x y (
x
−
+
x
) − = _F1 y ( )
) + x2 _F2 y x ( )
_F3 x ( )
_F4 x y ( )
_F5 x y2 ( )
+
+
+
+
+
VÏ ®å thÞ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng.
ThÝ dô Gi¶i vµ vÏ ®å thÞ biÓu diÔn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng
,x y
z ,x y (
)
,x y
) +
) =
0
( )D1 z (
( )D2 z (
B−íc 1. G¸n tªn cho ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i
86
[>pde:=D[1](z)(x,y)+z(x,y)*D[2](z)(x,y)=0;
pde
:=
,x y
z ,x y (
)
,x y
) +
) =
0
( )D1 z (
( )D2 z (
B−íc 2. NhËp ®iÒu kiÖn ban ®Çu
[>ini:=[0,s,sech(s)],s=-5..5;
ini
[ :=
,0 s ,
sech s ( )
] ,
s
=
-5 5 ..
B−íc 3. VÏ mÆt cong nghiÖm nh− lµ hä ®−êng cong tham sè ho¸ trong kh«ng gian ba chiÒu.
[>PDEplot(pde,z(x,y),ini,numsteps=[10,30],numchar=30,
basechar=true,method=internal,style=hidden);
87
