Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace
Lecture-10
6.1. Biến đổi Laplace
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1. Biến đổi Laplace
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
1
(cid:1) Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
(cid:1) Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …)
(cid:1) Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT
với đáp ứng xung h(t) phải ổn định.
∞
∞
f
|
t dt ( ) |
&
|
h t dt ( ) |
< ∞
< ∞
∫
∫
−∞
−∞
(cid:1) Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ thống không ổn định (cid:2) dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát của biến đổi Fourier)
thành phần tần số (cid:2) phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn trong miền tần số.
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
(cid:1) Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian (cid:2) tạo hàm mới φ(t) từ
f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
(cid:1) Biến đổi Fourier của φ(t) như sau:
∞
∞
j t ω
t − σ
−
t
−
j ( ) + σ ω
F
f
e
dt
t e ( )
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
t [ ( )] φ
f
dt
t e ( )
( ) ω
−∞
−∞
∞
Φ = = ∫ = ∫
F(s)=Φ(ω)
f
st − t e dt ( )
( ) ω
−∞
∞
st
F(s)=
− f(t)e dt
Hay:
(Biến đổi Laplace thuận)
Ký hiệu:
f
t ( )]
−∞∫ F s ( )
= L[
f
t ( )
f
t ( )
t − t e σ ( )
φ
=
t
t
Đặt s=σ+jω: Φ = ∫
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2
(cid:1) Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong mặt phẳng phức có σ=Re{s} làm cho φ(t) tồn tại biến đổi Fourier
Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
at
at
t c f ( ) ( )
u t= ( )
e u t a
t a f ( ) ( )
( );
0
t b f ( ) ( )
);
0
−=
>
−=
e u t a ( −
>
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
F s⇒
(a) f(t)=δ(t)
( ) 1; ROC: s-plane
=
⇒
ROC
a
F s ( )
s : Re{ }
;
=
> −
-at (b) f(t)=e u(t); a>0
⇒
ROC
a
F s ( )
;
s : Re{ }
=
< −
-at (c) f(t)=-e u(-t); a>0
1 s a + 1 s a +
⇒
(d) f(t)=u(t)
ROC
F s ( )
;
s : Re{ } 0
=
>
1 s
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3
(cid:1) Tính chất tuyến tính:
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
t ( )
+
↔
+
a f t ( ) 1 1
a f 2 2
a F s ( ) 1 1
a F s ( ) 2 2
2
t ( ) ⇒ f 1 f t ( ) F s↔ ( ) 1 F s↔ ( ) 2
: 2
t − e u t ( )
t 2 e u t ( )
;
−+
↔
+
1 > −
1
2
2 +
1 +
(cid:1) Dịch chuyển trong miền thời gian:
st 0
Ex ROC s : Re{ } s s
f
t ( )
F s↔ ( )
f t (
F s e− ( )
t ) − ↔ 0
4
s
s
5
3 −
−
e
e
Ex rect :
u t (
3)
u t (
=
−
−
5) − ↔
−
(
)
1 s
t − 2
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
(cid:1) Dịch chuyển trong miền tần số:
s t 0
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
f
t ( )
F s↔ ( )
)
F s s ( ↔ − 0
at
−
Ex
: cos
↔
⇒
(
) bt u t ( )
e
cos
↔
2
2
(
) bt u t ( )
2
s
b
f t e ( ) s +
b
(
s a + 2 s a ) + +
(cid:1) Đạo hàm trong miền thời gian:
f
t ( )
F s↔ ( )
n
n
n
n
1
2
(1)
(
1)
−
−
−
⇒
s
f
s
f
f
s F s ( )
− (0 )
− (0 )
...
− (0 )
↔
−
−
−
−
t ( ) n
n d f dt
n
n
1
tδ ↔ ( )
s
(1) ( )t
δ⇒
↔
s
) ( ) t
↔
4
⇒
f
rect
t ( )
=
?
↔
t ( ) 2
t − 2
( δ⇒ 2 d f dt
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4
(cid:1) Tích phân miền thời gian:
t
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
f
t ( )
F s↔ ( )
f
↔
d ( ) τ τ
⇒
∫
− 0
F s ( ) s
− 0
f
d ( ) τ τ
t
∫
−∞
f
↔
+
d ( ) τ τ
∫
−∞
s
F s ( ) s
(cid:1) Tỷ lệ thời gian:
f
t ( )
F s↔ ( )
F
a
f at (
)
;
0
↔
>
1 a
s a
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
(cid:1) Tích chập miền thời gian:
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
f
t ( )
( );
t ( )
↔
↔
f 1
F s 1
2
F s ( ) 2
f
t ( )
t ( ) ∗ ↔
f 1
2
F s F s ( ) ( ) 1
2
(cid:1) Tích chập miền tần số:
1
⇒
t f ( )
t ( )
( )
f
t ( )
( );
t ( )
↔
↔
f 1
F s 1
2
F s ( ) 2
⇒
[
j
f 1
2
2
] F s F s ( ) ∗ 1
2
π↔
(cid:1) Đạo hàm trong miền tần số:
f
t ( )
F s↔ ( )
tf t ( )
↔−
−⇒
te u t − ↔ ( )
t te u t ( )
↔
1
1 +
s
dF s ( ) ds 1 )2 1 +
(
?
s 2 t u t ↔ ( )
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
5
f
t ( )
t t eσφ= ( ).
(cid:1) Tín hiệu f(t) được tổng hợp như sau:
∞
j t ω
−
F
f
F s e d
t ( )
1 [
t σ e )].
( )
t σ e .
=
Φ
( ω
1 2 π
∫
−∞
=
ω
j + ∞
st
(Biến đổi Laplace ngược)
f
F s e ds
t ( )
( )
=
σ ∫ 1 j 2 π σ
j − ∞
f(t)
( )F s
-1 = L
]
[
Ký hiệu: (cid:3) Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!! (cid:1) Mô tả F(s) về các hàm đơn giản mà đã có kết quả trong bảng các cặp biến đổi Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!! (cid:4) Zero của F(s): các giá trị của s để F(s)=0 (cid:4) Pole của F(s): các giá trị của s để F(s)→∞ (cid:4) Nếu F(s)=P(s)/Q(s) (cid:2) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2
(cid:1) Ví dụ:
+
3
s
s
1 = − + s
s
s
2
1
2
s − 2 s 3 +
2 +
1 +
1 +
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
2
t
t
2
−
−
⇒
-1 L
-1 L
e
e
1
u t ( )
=
+
+
3
( = − +
)
s
− 2 s
s
1 − + s
s
s
2
2
1
s 3 +
2 +
1 +
1 +
Dùng ?
Dùng bảng
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6
(cid:1) Xét hàm hữu tỷ sau:
m
m
1 −
F s ( )
=
=
b s m n s
P s ( ) Q s ( )
... + + ... + +
+
b s b + 1 0 a s a + 1 0
b s + m 1 − n 1 − a s n 1 −
m≥n: improper; m m start Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths m≥≥≥≥n Expend
the proper.
The result
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,…) Polynomical
dividing;
in case m=n
F(s)/s 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược (cid:1) Khai triển các hàm proper: 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược ==== • Các pole không lặp lại: F s
( ) ... = + + + s s s ) ( ( ) ( ) k
− k
1
−
λ
1 2
λ
2 k
3
−
λ
3 • Các pole lặp lại, giả sử λ2 lặp lại r lần r 1
− k F s
( ) ... = + + + ∑ r j − s s s ) ( ( ) ( ) − j 0 = k
1
λ
−
1 j
2
λ
2 k
3
λ
−
3 7 (cid:1) Phương pháp hàm tường minh xác định các hệ số: • Nhân 2 vế với Q(s); sau đó cân bằng thu được hệ phương trình theo các hệ số cần tìm • Giải hệ phương trình tìm các hệ số It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!! 2 • ví dụ: = + + 3 s s k
1
s s 2 1 2 s
−
2
s
3
+ 2
+ k
2
s
+ k
3
+ s s 2 1)( 2) 2) 1) 2
⇒ − = + + + + + + k s
(
1 k s s
(
2 k s s
(
3 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 1
= − ⇒ ⇒ k 1 = + + k
1
k 2
2 1 = 2 k 1 = k 0 + k
3
+ = k
3 2
2 3 2 = − k
1
k
3
1
k
1 (cid:1) Phương Heaviside xác định các hệ số: k s ( ) F s
( ) = − • Các pole không lặp lại: i λ
i s = λ
i r s ( F s
( ) = − k
i )
λ
i 0 s =
λ
i j • Các pole lặp lại: r s j ( F s
( ) ; 0 = − ≠ k
ij )
λ
i j
s =
λ
i d
1
j ds
! • Ví dụ: 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 3 3 2 F s
( ) = = + + + s s s s ( 2) ( 1) ( ( 2) ( s
10
8
+
s
1)(
+
+ k
1
+ k
20
2)
+ k
21
2)
+ k
22
s
+ 8 (cid:1) Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!! • Ví dụ: 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược 3 3 2 2 = = k 6 = = k
1 20 s
s +
+ 8
( 10
)
1 s
10
8
+
3
)
(
s
2
+ s 2
=− s 1 =− F s
( ) = = + + + s s s s ( 2) ( 1) ( ( 2) ( s
10
8
+
s
1)(
+
+ k
1
+ k
20
2)
+ k
21
2)
+ k
22
s
+ k 0 + = ⇒ = −
k
2 k
1 22 22 k 4 − k
10 8
−
1 22 20 + + = k +
1 ⇒ =
k
21 0 : s = k
−
2 k
20
8 k
21
4 k
22
2 5
4 − 2
= − ⇒ =
k
21 10 16 6 8
− +
2 ( ); : sF s s → ∞ (cid:1) Ví dụ: tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau: a
( ) F(s)= s 6 s
7 - 6
2
s− − 2 b
( ) F(s)= s +
s
3 2 s
2
2
+ 5
+ 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược c
( ) F(s)= s s
( 34) s
6(
+
2
10
+ 34)
s
+ 9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
P s Q s
( ) /
( )
F s
( )
(cid:4) Xác định zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau
(cid:4) Giả sử các pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
(cid:4) Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
