ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống Những khái niệm cơ bản
TS. Đặng Quang Hiếu
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông
2015-2016
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu liên tục / rời rạc theo thời gian
chuẩn hóa −−−−−−−−→ x[n]
x(t)
x(nTs)
lấy mẫu −−−−−−→ Ts
Hình: Tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu rời rạc x[n]
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
x(t) x[n] b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t b nTs b b b b
cuu duong than cong . co m
Biểu diễn tín hiệu trên miền thời gian
◮ Đồ thị ◮ Công thức
x(t) = 10 sin(100πt + π/3),
x[n] = 0.5ej20πn
◮ Liệt kê
, 0, 3, −1}
x[n] = {1, 0.5, −2 ↑
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Năng lượng và công suất của tín hiệu (1)
Tín hiệu liên tục x(t):
◮ Công suất tức thời px (t) = |x(t)|2 ◮ Tổng năng lượng
T ∞
|x(t)|2dt =
|x(t)|2dt
Ex = lim
T →∞ Z
Z
−∞ −T
◮ Công suất trung bình
T
|x(t)|2dt
Px = lim T →∞
1 2T Z
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
−T
cuu duong than cong . co m
Năng lượng và công suất của tín hiệu (2)
Tín hiệu rời rạc x[n]: ◮ Tổng năng lượng
∞
|x[n]|2
Ex =
Xn=−∞
◮ Công suất trung bình
N
|x[n]|2
Px = lim N→∞
1 2N + 1
Xn=−N
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
◮ Khi Ex < ∞ → x(t), x[n] - tín hiệu năng lượng. ◮ Khi 0 < Px < ∞ → x(t), x[n] - tín hiệu công suất.
cuu duong than cong . co m
Các phép toán thực hiện trên biến thời gian (1)
◮ Dịch (shift) x(t) → x(t − T ) ◮ Lấy đối xứng x(t) → x(−t) ◮ Co dãn (scale) x(t) → x(kt)
x(t) x(t − T )
t t
x(−t) x(kt)
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
t t
cuu duong than cong . co m
Các phép toán thực hiện trên biến thời gian (2)
◮ Vẽ dạng của x(kt + T )? Phân biệt với x(k(t + T ))? ◮ Trường hợp tín hiệu rời rạc?
Ví dụ: Cho tín hiệu x(t) và x[n] như hình vẽ dưới đây. (a) Hãy vẽ dạng của x(2t + 1) và x(2(t + 1)). (b) Hãy vẽ dạng của x[2n + 1] và x[2(n + 1)].
x[n] x(t)
b b b b b 1 1
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
b b b b n t 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7
cuu duong than cong . co m
Các phép toán thực hiện trên biên độ tín hiệu
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
◮ Phép cộng: y (t) = x1(t) + x2(t) ◮ Phép nhân với hằng số: y (t) = ax(t) ◮ Nhân hai tín hiệu với nhau: y (t) = x1(t)x2(t)
cuu duong than cong . co m
Ví dụ: Truyền tín hiệu
n(t)
x(t)
y(t)
y (t) = αx(t − τ ) + n(t)
trong đó x(t) là tín hiệu phát đi, y (t) là tín hiệu thu được, n(t) là nhiễu cộng (quá trình ngẫu nhiên), α là suy hao do truyền dẫn, τ là thời gian truyền (độ trễ truyền dẫn).
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Ví dụ: Kênh đa đường
α1x(t − τ1)
α0x(t − τ0)
x(t)
y(t)
α2x(t − τ2)
y (t) = α0x(t − τ0) + α1x(t − τ1) + α2x(t − τ2) + · · · + n(t)
=
αi x(t − τi ) + n(t)
Xi
trong đó αi , τi tương ứng là suy hao và trễ truyền dẫn của đường thứ i .
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Ví dụ: Điều chế biên độ (AM)
x(t)
y(t)
cos(2πfct)
y (t) = x(t) cos(2πfc t)
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu tuần hoàn
◮ Tín hiệu liên tục
∀t
x(t) = x(t + T ),
◮ Tín hiệu rời rạc
x[n] = x[n + N],
∀n
với N là số nguyên dương.
◮ Giá trị T , N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ bản (fundamental
period).
Ví dụ: Xác định xem các tín hiệu dưới đây có phải là tuần hoàn không? Nếu tuần hoàn thì hãy tính chu kỳ cơ bản. (a) cos2(2πt + π/4) (b) sin(2n)
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu chẵn / lẻ. Tín hiệu xác định / ngẫu nhiên
◮ Chẵn: x(t) = x(−t); x[n] = x[−n] ◮ Lẻ: x(t) = −x(−t); x[n] = −x[−n] ◮ Tín hiệu xác định (deterministic signal): Giá trị xác định, biểu
diễn bởi một hàm của biến thời gian
◮ Tín hiệu ngẫu nhiên (random signal): Giá trị ngẫu nhiên → biến ngẫu nhiên, hàm mật độ xác xuất (pdf) và quá trình ngẫu nhiên
Ví dụ: Một tín hiệu x(t) bất kỳ đều có thể được phân tích thành 2 thành phần chẵn, lẻ: x(t) = xe (t) + xo(t). Hãy tìm xe(t) và xo(t) theo x(t).
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu hàm mũ thực
C , a ∈ R
x(t) = Ceat , x[n] = Cean,
4 80 x(t) = et x(t) = 3e−2t 3 60 2 40 1 20 0 0 0 4 0 1 3 4 80 4 1 2 3 x[n] = 3e−n/10 2 x[n] = en/10 b 60 3 b b b b b b b b 40 2 b b b b b b b b b b b b b b b b 20 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 0 0 10 20 30 40 10 20 30 0
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
0 40 Ví dụ: Xét mạch điện có tụ C và điện trở R mắc nối tiếp. Vẽ điện áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V0.
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu hình sin
x(t) = sin(ω0t + φ)
Tuần hoàn với chu kỳ T = 2π ω0 → Tín hiệu rời rạc?
x(t) 1
t 1 2 3 4 5
-1
Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C và cuộn cảm L mắc nối tiếp. Vẽ điện áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V0.
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu hàm mũ phức (liên tục)
Với C và a là số phức: C = |C |ejθ và a = r + jω0, ta có:
x(t) = |C |ert ej(ω0t+θ)
= |C |ert cos(ω0t + θ) + j|C |ert sin(ω0t + θ)
Re{x(t)} 1 đường bao |C |ert
t 2 3 4 1 5
-1
Ví dụ trong mạch điện?
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tín hiệu hàm mũ phức (rời rạc)
Với C và a là số phức: C = |C |ejθ và a = r + jω0, ta có:
x[n] = |C |ernej(ω0n+θ)
= |C |ern cos(ω0n + θ) + j|C |ern sin(ω0n + θ)
Nhận xét về thành phần ej(ω0n+θ):
◮ Không phải lúc nào cũng tuần hoàn (tùy theo giá trị của ω0),
nếu tuần hoàn thì chu kỳ xác định như thế nào?
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
◮ Xét ω0 trong đoạn [0, 2π], khi nào tần số thấp / cao?
cuu duong than cong . co m
Minh họa x[n] = ej(ω0n)
Im{x[n]} ω0 = 0.8π b b b b b b b b b b b 1 b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b n 30 10 20 40 50 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b -1
Im{x[n]} ω0 = 1.8π b b b b b b b b b b b 1 b b b b b b b b b b b
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
b b b b b b b b b b b b n 20 10 30 40 50 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b -1
cuu duong than cong . co m
Hàm nhảy đơn vị
u[n] =
u(t) =
t ≥ 0 t
1, 0,
còn lại
1, n ≥ 0 0, n còn lại
(cid:26)
(cid:26)
u(t) 1
t
u[n] b b b b b b b b b b 1
b n
Ví dụ trong mạch điện?
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Hàm xung đơn vị (rời rạc)
δ[n] =
1, n = 0 0, n còn lại
(cid:26)
δ[n] b 1
b b b b b b b b n
Quan hệ với hàm nhảy đơn vị?
δ[n] = u[n] − u[n − 1] ∞
δ[n − k]
u[n] =
Xk=0
Với tín hiệu x[n] bất kỳ?
∞
x[n] =
x[k]δ[n − k]
Xk=−∞
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Hàm delta Dirac (liên tục)
∀t 6= 0
δ(t) = 0,
∞
δ(t)dt = 1
Z
−∞ x(t) δ(t) 1
t t
Một số tính chất:
t
δ(t) =
δ(τ )dτ
u(t) =
u(t),
d dt
Z
−∞ ∞
x(t)δ(t − t0)dt
x(t0) =
δ(t)
δ(at) =
Z −∞ 1 a
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Hàm dốc đơn vị (ramp)
r (t) =
r [n] =
t ≥ 0 t
t, 0,
còn lại
n, n ≥ 0 0, n còn lại
(cid:26)
(cid:26)
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
r (t) r [n] b b b b b b b b b n t
cuu duong than cong . co m
Hệ thống
x[n]
x(t)
T −→ y [n] T −→ y (t),
x(t) y (t) hệ thống liên tục
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
y [n] x[n] hệ thống rời rạc
cuu duong than cong . co m
Ghép nối các hệ thống
đầu ra đầu vào hệ thống 2 hệ thống 1
hệ thống 1
đầu vào đầu ra +
hệ thống 2
đầu vào đầu ra + hệ thống 1
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
hệ thống 2
cuu duong than cong . co m
Tính ổn định của hệ thống
Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu mọi đầu vào bị chặn
∀t
|x(t)| < ∞,
đều khiến cho đầu ra tương ứng bị chặn
|y (t)| < ∞,
∀t
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống
y [n] = r nx[n]
với |r | > 1.
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Thuộc tính nhớ
◮ Hệ thống gọi là không có nhớ (memoryless) nếu đầu ra chỉ
phụ thuộc vào đầu vào ở thời điểm hiện tại.
◮ Hệ thống gọi là có nhớ nếu đầu ra phụ thuộc vào đầu vào ở
thời điểm quá khứ hoặc tương lai.
Ví dụ: Xét thuộc tính nhớ của các hệ thống (a) y [n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n + 2] (b) i (t) = 1
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
R v (t)
cuu duong than cong . co m
Tính nhân quả
Hệ thống gọi là nhân quả (causal) nếu như đầu ra tại thời điểm n bất kỳ chỉ phụ thuộc đầu vào thời điểm hiện tại hoặc quá khứ.
y (n) = F [x(n), x(n − 1), x(n − 2), . . . ]
Ví dụ: Xét tính nhân quả của các hệ thống (a) y [n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n + 2] t (b) i (t) = 1 −∞ v (τ )dτ L
R
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tính bất biến theo thời gian
Một hệ thống T bất biến theo thời gian khi và chỉ khi
thì
x[n]
T −→ y [n]
x[n − n0]
T −→ y [n − n0] ∀n
với mọi đầu vào x[n] và với mọi khoảng dịch thời gian n0.
Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian không?
y [n] = nx[n]
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tính tuyến tính
Hệ thống T gọi là tuyến tính khi và chỉ khi
T {a1x1[n] + a2x2[n]} = a1T {x1[n]} + a2T {x2[n]}
với mọi đầu vào x1[n], x2[n] và với mọi hằng số a1, a2.
Ví dụ: Các hệ thống sau có tuyến tính không? (a) y (t) = tx(t) (b) y (t) = x 2(t)
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Tính khả nghịch
Một hệ thống gọi là khả nghịch (invertible) nếu như có thể khôi phục được đầu vào từ đầu ra của nó (các đầu vào phân biệt sẽ có các đầu ra phân biệt).
y (t) x(t) x(t) T T −1
n k=−∞ x[k]
P
Ví dụ: Các hệ thống sau có khả nghịch không, nếu có, tìm hệ thống nghịch đảo (a) y [n] = (b) y (t) = x 2(t)
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
cuu duong than cong . co m
Bài tập về nhà
https://fb.com/tailieudientucntt
CuuDuongThanCong.com
◮ Làm các bài tập cuối chương 1 ◮ Viết chương trình Matlab để vẽ các dạng tín hiệu cơ bản
