CHƯƠNG V Biến Đổi Z và Áp dụng cho Biểu Diễn và Phân Tích Hệ Thống Rời Rạc
Trường Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Lê Vũ Hà
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
1 / 29
2014
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Biến đổi Z hai phía
+∞ (cid:88)
Biến đổi Z hai phía của một tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:
n=−∞
X (z) = Z[x(n)] = x(n)z −n
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
2 / 29
trong đó, z là một biến phức → biến đổi Z biến một tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền phức (mặt phẳng Z). Biến đổi Z của x(n) tồn tại nếu chuỗi của biến đổi hội tụ.
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Biến đổi Z một phía
+∞ (cid:88)
Biến đổi Z một phía của một tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:
n=0
X 1(z) = Z 1[x(n)] = x(n)z −n
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
3 / 29
Biến đổi một phía và hai phía của tín hiệu nhân quả là đồng nhất.
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Miền hội tụ của biến đổi Z
+∞ (cid:88)
Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập hợp tất cả các giá trị của z làm cho chuỗi biến đổi (cid:80) x(n)z −n hội tụ. Điều kiện hội tụ của biến đổi Z được xác định từ điều kiện Cauchy sau đây:
n=0
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
4 / 29
|x(n)|1/n < 1 ⇐⇒ x(n) < ∞ lim n→∞
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Miền hội tụ của biến đổi Z
Các điều kiện hội tụ sau cho biến đổi Z có được từ việc sử dụng điều kiện Cauchy:
Rx− < |z| < Rx+
trong đó:
|x(n)|1/n Rx− = lim n→∞
|x(−n)|1/n Rx+ = 1/ lim n→∞
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
5 / 29
ROC của biến đổi Z là miền nằm trong giới hạn bởi hai đường trong đồng tâm tại gốc và có bán kính lần lượt là Rx− và Rx+ trong mặt phẳng Z.
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Miền hội tụ của biến đổi Z
ROC của biến đổi Z cho một số dạng tín hiệu: Tín hiệu nhân quả có độ dài hữu hạn: ROC là toàn bộ mặt phẳng Z trừ điểm gốc (Rx− = 0, Rx+ = ∞). Tín hiệu nhân quả có độ dài vô hạn: ROC là toàn bộ phần mặt phẳng Z nằm bên ngoài đường tròn bán kính Rx− (Rx+ = ∞). Tín hiệu phản nhân quả có độ dài hữu hạn: ROC là toàn bộ mặt phẳng Z (Rx+ = ∞, Rx− không tồn tại). Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vô hạn: ROC là toàn bộ phần mặt phẳng Z nằm bên trong đường tròn bán kính Rx+ (Rx− không tồn tại).
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
6 / 29
ROC của biến đổi Z một phía giống như ROC của biến đổi Z hai phía cho tín hiệu nhân quả.
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Tính chất của biến đổi Z
Tuyến tính:
Z[αx1(n) + βx2(n)] = αZ[x1(n)] + βZ[x2(n)]
Dịch thời gian:
Z[x(n − n0)] = z −n0X (z)
Co giãn trong mặt phẳng Z :
Z[anx(n)] = X (a−1z)
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
7 / 29
với ROC là |a|Rx− < |z| < |a|Rx+.
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Tính chất của biến đổi Z
Lật:
Z[x(−n)] = X (z −1) với ROC là 1/Rx+ < |z| < 1/Rx−. Đạo hàm trong miền Z:
Z[nx(n)] = −z dX (z) dz
Tích chập:
Z[x1(n) ∗ x2(n)] = X1(z)X2(z)
Tương quan:
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
8 / 29
Z[rx1x2(n)] = X1(z)X2(z −1)
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Tính chất của biến đổi Z một phía
k (cid:88)
Trễ:
m=1
Z 1[x(n−k )] = z −k X 1(z)+ x(−m)z m−k (k > 0)
k −1 (cid:88)
Tiến:
m=0
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
9 / 29
Z 1[x(n + k )] = z k X 1(z) − x(m)z −m (k > 0)
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc
Tính chất của biến đổi Z một phía
Định lý giá trị cuối:
(z − 1)X 1(z) lim n→∞ x(n) = lim z→1
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
10 / 29
nếu ROC của (z − 1)X 1(z) chứa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z.
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp tính tích phân
Định lý tích phân Cauchy:
C
1 (n = 0) (cid:73) z n−1dz = 1 j2π 0 (n (cid:54)= 0)
trong đó, C là một chu tuyến (đường bao kín) có chiều dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ) bao quanh gốc của mặt phẳng Z. Công thức sau đây cho biến đổi Z nghịch có được dựa trên định lý tích phân Cauchy:
C
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
11 / 29
(cid:73) x(n) = X (z)z n−1dz 1 j2π
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp sử dụng định lý phần dư (residue) Cauchy
Gọi {zpk } là các trị cực của X (z)z n−1 nằm bên trong một chu tuyến C, khi đó:
k
(cid:88) ] x(n) = Res[X (z)z n−1|z=zpk
Nếu trị cực zpk là trị cực đơn, phần dư được tính như sau:
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
12 / 29
Res[X (z)z n−1|z=zpk ] = (z − zpk )X (z)z n−1|z=zpk
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp sử dụng định lý phần dư (residue) Cauchy
Nếu trị cực zpk là trị cực bội sk , phần dư được tính như sau:
] =
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
13 / 29
[(z − zpk )sk X (z)z n−1]|z=zpk Res[X (z)z n−1|z=zpk d sk −1 dz sk −1 1 (sk − 1)!
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa
+∞ (cid:88)
Nếu X (z) có thể khai triển thành một chuỗi lũy thừa của z −1 sao cho:
n=−∞
X (z) = αnz −n
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
14 / 29
thì chúng ta có x(n) = αn. Phương pháp: dùng phép chia đa thức. Chú ý: ROC của X (z) quyết định dạng của chuỗi lũy thừa.
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
15 / 29
Không giảm tổng quát, giả thiết X (z) được biểu diễn dưới dạng phân thức hữu tỉ N(z)/D(z) (N(z) và D(z) là các đa thức và bậc của N(z) nhỏ hơn bậc của D(z)). Gọi {zpk } là các trị cực của X (z): {zpk } là nghiệm của phương trình D(z) = 0.
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản
Nếu tất cả các trị cực {zpk } đều là trị cực đơn, X (z) được khai triển như sau:
k
(cid:88) X (z) = Ak z − zpk
trong đó, các hệ số {Ak } được tính bởi công thức:
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
16 / 29
Ak = (z − zpk )X (z)|z=zpk
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản
Trong trường hợp X (z) có trị cực bội, gọi sk là giá trị bội của trị cực zpk , khi đó công thức khai triển X (z) như sau:
sk(cid:88)
k
s=1
(cid:88) X (z) = Aks (z − zpk )s
trong đó, các hệ số {Aks} được tính bằng công thức:
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
17 / 29
Aks = d sk −s(z − zpk )sk X (z) dz sk −s 1 (sk − s)! (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)z=zpk
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản
Biến đổi Z nghịch của các phân thức tối giản (1)
αnu(n) (|z| > |α|) (cid:21) Z −1 = (cid:20) z z − α −αnu(−n − 1) (|z| < |α|)
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
18 / 29
αn−1u(n − 1) (|z| > |α|) (cid:21) Z −1 = (cid:20) 1 z − α −αn−1u(−n) (|z| < |α|)
Biến đổi Z nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản
Biến đổi Z nghịch của các phân thức tối giản (2)
(cid:21) (cid:20) = Z −1 z (z − α)m+1
n(n−1)...(n−m+1) m!
αn−mu(n) (|z| > |α|)
αn−mu(−n − 1) (|z| < |α|) − n(n−1)...(n−m+1) m!
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
19 / 29
Chú ý: việc sử dụng phương pháp này thường sẽ dễ dàng hơn nếu khai triển X (z)/z thay vì khai triển X (z).
Quan hệ với biến đổi Fourier
Tính biến đổi Fourier qua biến đổi Z
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
20 / 29
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) là biến đổi Z trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z → biến đổi Fourier x(n) tồn tại nếu ROC của biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị. Ứng dụng: tính biến đổi Fourier thuận và nghịch của tín hiệu rời rạc qua biến đổi Z thuận và nghịch.
Hàm chuyển của hệ thống TTBB rời rạc
Định nghĩa
Xem xét một hệ thống TTBB rời rạc có đáp ứng xung h(n), nghĩa là:
y (n) = h(n) ∗ x(n)
Thực hiện biến đổi Z cho cả hai vế của phương trình trên và áp dụng tính chất của biến đổi Z của tích chập:
Y (z) = H(z)X (z) → H(z) = Y (z) X (z)
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
21 / 29
H(z) được gọi là hàm chuyển của hệ thống.
Hàm chuyển của hệ thống TTBB rời rạc
Định nghĩa
M (cid:88)
N (cid:88)
Hệ thống TTBB rời rạc thường được biểu diễn bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dưới dạng sau đây:
k =0
r =0
br x(n − r ) ak y (n − k ) =
N (cid:88)
M (cid:88)
Thực hiện biến đổi Z cho cả hai vế của phương trình:
k =0
r =0
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
22 / 29
br z −r X (z) ak z −k Y (z) =
Hàm chuyển của hệ thống TTBB rời rạc
Định nghĩa
Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau:
r =0 br z −r k =0 ak z −k
r =0 br z M−r k =0 ak z N−k
(cid:80)M (cid:80)M = = z N−M H(z) = (cid:80)N (cid:80)N Y (z) X (z)
Hàm chuyển xác định hệ thống, bằng việc giải phương trình sai phân biểu diễn hệ thống sử dụng biến đổi Z thuận và nghịch:
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
23 / 29
y (n) = Z −1[H(z)X (z)]
Hàm chuyển của hệ thống TTBB rời rạc
Hàm chuyển của hệ thống phức hợp
Sơ đồ nối tiếp:
H(z) = H1(z)H2(z)
Sơ đồ song song:
H(z) = H1(z) + H2(z)
Hệ thống với phản hồi âm:
H(z) = H1(z)/[1 + H1(z)H2(z)]
Hệ thống với phản hồi dương:
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
24 / 29
H(z) = H1(z)/[1 − H1(z)H2(z)]
Giải phương trình sai phân tuyến tính
Giải phương trình có điều kiện đầu bằng biến đổi Z một phía
N (cid:88)
M (cid:88)
Cho một hệ thống TTBB rời rạc được biểu diễn bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:
i=0
j=0
aiy (n − i) = bjx(n − j)
M (cid:88)
N (cid:88)
Thực hiện biến đổi Z một phía với cả hai vế của phương trình trên:
i=0
j=0
aiz −iY 1(z) + I(z) = bjz −jX 1(z)
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
25 / 29
trong đó, I(z) chứa tất cả các thành phần của điều kiện đầu tại n = −1, −2, ..., −N.
Giải phương trình sai phân tuyến tính
Giải phương trình có điều kiện đầu bằng biến đổi Z một phía
Nhớ lại rằng đáp ứng y (n) của hệ thống TTBB bao gồm hai thành phần: đáp ứng với điều kiện đầu và đáp ứng với tín hiệu vào, được biểu diễn như sau:
y (n) = y0(n) + ys(n)
hay:
s (z)
0 (z) + Y 1
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
26 / 29
Y 1(z) = Y 1
Giải phương trình sai phân tuyến tính
Giải phương trình có điều kiện đầu bằng biến đổi Z một phía
Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào nhân quả (nghĩa là, X 1(z) = X (z)):
(cid:35) (cid:34)(cid:80)M
j=0 bjz −j i=0 aiz −i
X (z) = Z −1[H(z)X (z)] ys(n) = Z −1 (cid:80)N
Đáp ứng với điều kiện đầu:
(cid:34) (cid:35)
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
27 / 29
y0(n) = −Z −1 (cid:80)N I(z) i=0 aiz −i
Phân tích hệ thống
Phân tích tính ổn định
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
28 / 29
Hệ thống TTBB rời rạc ổn định khi và chỉ khi hàm chuyển của hệ thống hội tụ trên |z| = 1 → ROC của H(z) phải chứa đường tròn đơn vị, nghĩa là, Rh− < 1 < Rh+. Với hệ thống nhân quả: Rh+ = ∞ → điều kiện để hệ thống ổn định là Rh− < 1 → tất cả các trị cực của H(z) phải nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Phân tích hệ thống
Phân tích tính ổn định
Một phương pháp khác để phân tích tính ổn định của hệ thống nhân quả biểu diễn bởi hàm chuyển: sử dụng điều kiện Jury, được mô tả tóm tắt như sau:
Không cần phải giải phương trình đặc trưng để tìm các trị cực của hệ thống. Một bảng Jury được thiết lập từ các hệ số của các đa thức đặc trưng. Bảng này sẽ được sử dụng để khảo sát tính ổn định của hệ thống (xem chi tiết trong tài liệu tham khảo).
Lê Vũ Hà (VNU - UET)
Tín hiệu và Hệ thống
2014
29 / 29
