Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 1.1 - Chuỗi Fourier cung cấp cho sinh viên các kiến thức về hàm tuần hoàn, chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn, các công thức khác để tính các hệ số Fourier.
Chương 0 : Ôn tập số phức
Chương 1 : Chuỗi Fourier
Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
1
1.1 Hàm tuần hoàn 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier 1.4 Khai triển bán kỳ 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier 1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
2
Định nghĩa 1.1
hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho
f(t+T) = f(t)
với mọi t trong miền xác định của f(t)
T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn ) Phân loại:
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
3
f(t) tuần hoàn sin f(t) tuần hoàn không sin
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
4
Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :
+∞
=
+
+
(
cos
sin
)
f
( ) t
ω n t 0
a n
ω n t b 0 n
∑
=
a 0 2
1
n
Vôùi : n = 1,2 …
ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
5
T
T
2
2
=
=
∀
cos(
)
sin(
)
0
m n ,
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
∫
T
T
−
−
2
2
T
2
=
∀
cos(
) sin(
)
0
m n ,
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
T
−
2
T
≠ m n
2
cos(
) cos(
)
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
= m n
T
−
2
T
≠ m n
2
sin(
) sin(
)
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
= m n
T
−
2
0 = T 2 0 = T 2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
6
+∞
=
+
+
(
cos
sin
)
f
( ) t
ω n t 0
a n
ω n t b 0 n
∑
=
a 0 2
1
n
T
T
2
2
=
=
∀
cos(
)
sin(
)
0
m n ,
ω m t 0
ω n t dt 0
T
T
−
−
2
2
T
2
=
f
( ) t dt
a 0
T
2 T −
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
7
+∞
+
=
+
(
cos
sin
)
f
( ) t
ω n t 0
a n
ω n t b 0 n
∑
=
a 0 2
1
n
T
2
=
∀
cos(
) sin(
)
0
m n ,
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
T
−
2
T
≠ m n
2
cos(
) cos(
)
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
= m n
T
−
2
=
0 T 2
T
2
=
f
( ) cos( t
a n
ω ) n t dt 0
2 T
T
−
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
8
+∞
=
+
+
(
cos
sin
)
f
( ) t
ω n t 0
a n
ω n t b 0 n
∑
=
a 0 2
1
n
T
2
=
∀
cos(
) sin(
)
0
m n ,
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
T
−
2
T
≠ m n
2
sin(
) sin(
)
ω m t 0
ω n t dt 0
∫
= m n
T
−
2
=
0 T 2
T
2
=
f
( ) sin( t
b n
ω ) n t dt 0
2 T
T
−
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
9
f(t)
f(t2-)
f(b-)
f(a+)
t
a
b
t2
f(t2+)
t1 f(t1-) f(t1+)
Định nghĩa 1.2:
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
10
Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I.
Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về :
● nếu f liên tục tại t.
t ( )
+
)
)
( t
( t
f
f
+ k
− k
● nếu f gián đoạn tại t.
f 1 2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
11
Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet)
Giải
Chu kỳ và tần số cơ bản:
Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2,
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
12
pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1; w0 = 2*pi/T; t = linspace(0,2*T,600); for n=1:N
a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3); b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));
end for i=1:length(t)
f(i) = a0; for n=1:length(a)
f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) +
b(n)*sin(n*w0*t(i));
end
end plot(t,f,'black'); xlabel('t(s)'); ylabel('f(t)');
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
13
− ≤ ≤
π
0
=
=
a f )
t ( )
;
T
π 2
t ≤ ≤ t
0
t
2
− ≤ ≤
=
sin = − 4
t
b f )
t ( )
2
t
2 ;
T
4
+∞
t
=
+
−
a
)
f
t ( )
Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau 0 π
1 π
2 π
sin 2
= 1
n
n
+∞
b
)
f
t ( )
cos
Kết quả
16 2 π
8 = + 3
− ( 1) 2 n
cos 2 nt 2 − n 1 4 + 1 π n t 2
= 1
n
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
14
Bước nhảy của một hàm:
f(t)
f(t2-)
f(b-)
f(a+)
t
a
b
t2
f(t2+)
t1 f(t1-) f(t1+) Định nghĩa :
-) +) – f(tk
Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0 Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
15
Định lý 1.2:
m
=
sin(
)
J
a n
' b n
k
k
ω n t 0
1 − ∑ π = n k 1
− 1 ω n 0
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet J1, J2, …, Jm và có m bước nhảy tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
16
( n = 1, 2, … ) ( bn’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)
Định lý 1.3:
m
=
cos(
)
J
ω n t 0
b n
' a n
k
k
1 + ∑ π = n 1 k
1 ω n 0
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet J1, J2, …, Jm và có m bước nhảy tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2, … )
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
17
( an’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)
Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà
định nghĩa trong 1 chu kỳ là
− < <
− 1
2
t
1
f(t) 1
− < <
0
1
0
f
t ( )
0
-2
-1
1
2
t
1
0
1
0
t < < t < < t
1
2
-1
=
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
18
f'(t)
f(t) 1
-2
-1
0
1
2
t
t
-2
-1
1
2
0
-1
Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk
1 -2 -1
3 0 1
4 1 -1
2 k tk -1 Jk 1 f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
19
1 -2 -1
2 -1 1
3 0 1
4 1 -1
k tk Jk
m
=
−
sin(
)
J
ω n t 0
a n
' b n
k
k
∑
1 π n
= 1
k
− 1 ω n 0
m
=
+
cos(
)
J
b n
' a n
k
k
ω n t 0
∑
1 π n
k
= 1
=
−
+
+
+ −
− ( 1)sin
(1)sin
(1)sin
( 1)sin
a n
' b n
1 ω n 0 − 2 π n
1 π n
=
+
+
+
+ −
− ( 1) cos
(1) cos
(1) cos
( 1) cos
b n
' a n
2 π n
1 π n
π − n ( 2) 2 π − n ( 2) 2
π − n ( 1) 2 π − n ( 1) 2
π n (0) 2 π n (0) 2
π n (1) 2 nπ (1) 2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
20
=
=
+
sin
(
2
1)
n
k
a n
π n 2
=
=
+
(
2
1)
n
k
b n
2 π n 2 π n
− 1
1
=
+
=
− ( 1)
dt
(1)
dt
0
a 0
∫
∫
1 2
− 2
0
=
+
sin
t ( )
f
cos
sin
∑
2 π
1 n
Đối với a0 ta tính trực tiếp
π n t 2
π n t 2
= 1 n + = k 2 1
n
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
21
Chuỗi Fourier của f(t) là : +∞ π n 2
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
dùng công thức lặp ?
f(t) 10
π 0 2π
Giải
Xác định f’(t), tk và Jk:
f(t) tk t1 = 0 10
f’(t) T T t2 = π – 10 10 Jk
π π 0 2π 2π
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
22
t1 0 t2
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
dùng công thức lặp ?
f(t) 10
π 0 2π
T
=
=
Giải
5
f
( ) t dt
∫
a 0 2
1 T
0
= −
−
a
[10.sin(0) 10sin(
nπ
= )] 0
n
1 nπ
(n:odd)
=
−
=
b
[10.cos(0) 10 cos(
)]nπ
n
1 nπ
20 nπ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
23
Xác định các hệ số chuỗi Fourier:
Định lý 1.4:
1. Khi n → ∞, các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm tuần hoàn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng nhanh như c/n, với c = hằng số không phụ thuộc n.
2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và
thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/n.
3. Nếu f, f’, …, f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi
thì an và bn → 0 ít nhất cũng nhanh như c/nk+2.
4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
24
thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/nk+2.
Định lý 1.5:
Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet có thể tìm bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuỗi Fourier của nó.
Định lý 1.6:
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
25
Cho một hàm f tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn tại thì nó có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi Fourier của hàm f.
