TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 1:  Tập hợp – Quan hệ ­ Ánh xạ Chương 2:  Hàm số và Ma trận Chương 3:  Đại số Boole Chương 4:  Tính toán và Xác suất Chương 5:  Phương pháp tính THI CUỐI MÔN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

Chương 5:PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài học

I. Số xấp xỉ và sai số II. Giải gần đúng các phương trình III. Đa thức nội suy IV. Phương pháp bình phương cực tiểu

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

MỤC TIÊU BÀI HỌC MỤC TIÊU BÀI HỌC

N m rõ các khái ni m v s x p x và sai s ề ố ấ ệ ắ ỉ ố

Sử dụng thành thạo các phương pháp để tìm nghiệm gần đúng  của các phương trình Làm được các bài tập cơ bản tiến tới các bài toán nâng cao

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ

Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài Số xấp xỉ và sai số

Định nghĩa số xấp xỉ

Các định nghĩa sai số tuyệt đối

Sai số tương đối

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

I­ Số xấp xỉ và sai số

1. S x p x ố ấ ỉ

ị ố ấ ế ọ

Đ nh nghĩa 1:a g i là s x p x c a s đúng A n u a khác A không ỉ ủ ố đáng k . ể

Ký hi u: a ≈ A ệ

N u a < A thì a g i là x p x thi u c a A ế ủ ế ấ ọ ỉ

N u a >A thì a g i là x p x th a c a A ỉ ừ ủ ế ấ ọ

ụ ủ ế ấ ỉ

Ví d : Vì 3.14<∏<3.15 nên 3.14 là x p x thi u c a ∏ và 3.15 là x p x th a c a ∏ ỉ ừ ủ ấ

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

I­ Số xấp xỉ và sai số

2. Sai s tuy t đ i ệ ố

ố

ệ Δ= |Δa|= |a - A| g i là sai s tuy t đ i c a s x p ệ ố ủ ố ấ ọ ố

Đ nh nghĩa 2: Hi u ị x aỉ

i h n c a s x p x a là s không ớ ạ ủ ố ấ ố ỉ

Đ nh nghĩa 3: Sai s tuy t đ i gi ố ệ ố nh h n sai s tuy t đ i c a s x p x a ệ ố ủ ố ấ ị ỏ ơ ố ỉ

i h n c a s x p x a thì: ệ ố ớ ạ ủ ố ấ ỉ G i ọ Δa là sai s tuy t đ i gi ố

Δ= |Δa|= |a - A| ≤ Δa

Suy ra a - Δa ≤A ≤ a + Δa

Quy c: A=a± ướ Δa

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

I­ Số xấp xỉ và sai số

Ví d : Xác đ nh sai s tuy t đ i gi ệ ố ố ị ớ ạ ủ ố ấ i h n c a s x p x a=3.14 thay cho s ố ỉ

ụ ∏

3. Sai s t

ố ươ

ng đ i ố

Đ nh nghĩa 4: Sai s t

ng đ i c a s x p x a, ký hi u là

δ là

ố ươ

ị

ố ủ ố ấ ỉ

ệ

δ = Δ/|A|=|A-a|/|A|

Đ nh nghĩa 5:

Sai s t

i h n c a s x p x a, ký hi u là

ị

ố ươ

ng đ i gi ố

ớ ạ ủ ố ấ ỉ

ệ

δa là

c xác đ nh nh sau:

s đ ố ượ

ư

ị

δa = Δa /|a|

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

II­ Giải gần đúng các phương trình

ơ

́ ́ ́

Ph Ph Ph

ươ ươ ươ

ng pháp dây cung ng phap tiêp tuyên(Niu-t n) ng phap phôi h p ́ ợ

́

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

II­ Giải gần đúng các phương trình

́ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ̣

Trươc khi dung 3 phương phap trên đê giai pt f(x)=0 cân cô lâp

̣ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̃

nghiêm, tưc la tim cac đoan [a,b] thoa man:

̀ ́ ́

̉ ́

̉ ́

́ ́ ̀ ̣ ́ ́

 f(a) va f(b) trai dâu                           (1)  f’(x) không đôi dâu trong (a,b)        (2)  f’’(x) không đôi dâu trong (a,b)        (3) Lưu y: Nêu tim đươc [a,b] sao cho f(a),f(b) trai dâu nhưng f’(x),f’’(x)

́ ́ ̉ ̀ ̃ ̣ ̉ ́ ̣ ̀

̉

́ ́

̉ ́

f(c),f(d) trai dâu  f’(x) không đôi dâu trong (c,d) f’’(x) không đôi dâu trong (c,d)

̉ ́

co dâu thay đôi thi trong (a,b) ta se thu  hep khoang đo lai thanh  khoang (c,d) (a

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

II­ Giải gần đúng các phương trình

1.Ph

ng phap dây cung:

ươ

́

Gia s đa tim đ

c khoang (a,b) thoa (1)-(3) cua pt f(x)=0

̉ ử

ượ

̃ ̀ ̉ ̉ ̉

nghia la f(a).f(b)<0

̃ ̀

va ̀

x

" (cid:0)

̃

Thi f’(x).f’’(x) gi

nguyên môt dâu

a b ( , ) ữ

̀ ̣ ́

Nôi dung

:Trong [a,b] thay đ

ng cong y=f(x) b i dây

ườ

ở

̣

cung cua no nghia la xem nghiêm gân đung cua f(x)=0

̉ ́ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̉

trung v i hoanh đô giao điêm cua dây cung nôi 2

ớ

̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ́

1x điêm A(a,f(a)),B(b,f(b)) v i truc Ox

ớ

̉ ̣

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

II­ Giải gần đúng các phương trình

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

II- Gi

i g n đúng các ph

ng trình

ả ầ

ươ

Ph

ươ

̀

=

- -

y f d ( )

)

- -

ng trinh dây cung AB: x f x ) ( 0 d f x ( 0

x 0 x 0

0x

, 0)

́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ̃ ̀ ̣

Trong đo co thê lây la a(hoăc b) thi d se la b(hoăc a) Vi dây cung căt truc hoanh tai điêm nên ta đ

c:

ượ

x 1(

̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̉

=

-

) (4)

x 1

x 0

f x ( 0

-

d f d ( )

)

x 0 f x ( 0

-

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Đê nhân đ ̣ ượ ́ ớ ̉ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̀

)

̉

)

= - x 1

f x ( 1

x 2

-

)

- c nghiêm chinh xac h n, ta lăp lai qua trinh trên đôi v i khoang , ta thu đ x d , 1( d f d ( ) ́ ơ c: ượ x 1 f x ( 1

Tiêp tuc qua trinh trên, trong tr ng h p tông quat ta nhân đ c: ̣ ượ ợ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ́

)

x n

+ 1

= - x n

f x ( n

-

d f d ( )

)

- ườ x n f x ( n

)

ng phap: Day se dân đên nghiêm đung ự ươ ̣ ̣ ̉ ́ ̃ ̃ ̀ ́ ̣ ́

f x 0(

̉ ̀ ́ ̣ ̀ ́

(cid:0) (cid:0) ứ ́ ̀

x x 1, ,... S hôi tu cua ph 0 0x cua ph ng trinh f(x)=0 nêu chon sao cho f’’(x) va khac ươ dâu nhau, t c la f

< ) 0

(

x f x ( ). 0

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

ươ

̣ ̀ ̣ ́ ̉ ̀

ng trinh f(x)=x ng phap khao sat ham sô

ươ

́ ̣ ̀ ́ ̉ ́ ̀

3-6x+2=0 ́ y= x3-

ứ

́ ̣ ̣ ̉

Vi ́ du: Tim nghiêm đung cua ph Tach nghiêm:băng ph 6x+2 ta suy ra cac đoan [-3,-2],[0,1],[2,3] ch a nghiêm cua pt. f’(x)=3x2-6 f’’(x)=6x gi

nguyên dâu trong cac khoang trên

ữ

́ ́ ̉

Cac điêu kiên (1)-(3) thoa man. Ta tim nghiêm gân đung cua

́ ̀ ̣ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̉

ph

ng trinh trong khoang [0,1]

ươ

̀ ̉

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Trong (0,1) thi f’’(x)>0 nên chon x ̀ ̣ ̀ ̀

0=1 vi f(1)<0 va d =0

Theo công th c (4) ta co: ứ ́

= - =

-

= - 1

( 3) 1

0, 4

x 1

0 1 + 2 3

3 5

-

ớ ̉ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̀

Đê nhân nghiêm chinh xac h n,ta lăp lai qua trinh trên v i [0, 0.4] ́ ơ Vi f(0.4)=-0.336 va f(0)=2 nên x ̀ ̀ ̀

1=0.4 va d=0

=

-

0.4

( 0.336) 0.3424

x 2

0 0.4 + 2 0.336

- - (cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Trong cac khoang con lai tim t

ng t

̀ ươ

ự

́ ̉ ̀ ̣

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

 2. Ph

ng phap tiêp tuyên:

ươ

́ ́ ́

Gia s đa tim đ

c khoang [a,b] thoa (1)-(3) cua pt f(x)=0

̉ ử

ượ

̃ ̀ ̉ ̉ ̉

Nôi dung

:Trong [a,b] thay cung cong AB cua đ

ng cong

̉ ườ

̣

y=f(x) b i tiêp tuyên cua no tai điêm A hoăc tai điêm B va

ở

́ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̀

xem hoanh đô x

́ ớ

̀ ̣ ̉ ̉ ̉ ́ ̣

1 cua giao điêm cua tiêp tuyên v i truc

hoanh la gia tri xâp xi cua nghiêm đung

̀ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̉ ̣ ́

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

ng trinh tiêp tuyên

ươ

̀ ̣ ̀ ́ ́

0=a thi tai A(x

0,f(x0)), ph

ng cong y=f(x) tai A la:

Gia s chon x ̉ ử v i đ ớ ườ

̣ ̀

y

= )

)(

x

)

f x ( 0

f x ( 0

x 0

(cid:0) - -

Vi tiêp tuyên căt Ox tai (x

̀ ́ ́ ́ ̣

1,0) nên :

(cid:0) - -

= )

)(

)

f x ( 0

f x ( 0

x 1

x 0

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

T đo ta đ

c:

ừ

ượ

=

́

x 1

x 0

-

) )

f x ( 0 f x ( 0

(cid:0)

Đê tim nghiêm chinh xac h n, ta lăp lai qua trinh trên v i

́ ơ

ớ

̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̀

cượ

(x1,f(x1)) ta đ

=

x 2

x 1

-

) )

f x ( 1 f x ( 1

(cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Tiêp tuc qua trinh trên, trong tr

ng h p tông quat ta nhân

ườ

ợ

́ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ̣

đ

c:ượ

+ =

x n

1

x n

-

) )

f x ( n f x ( n

(cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Đôi v i đ

ng cong dang nao thi nên chon x

́ ớ ườ

̣ ̀ ̀ ̣ ̀

0 la a hay b?

Hinh 1: f’’< 0,f’ > 0

̀

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Hinh 2 : f’’>0,f’<0 ̀

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Hinh 3: f’’>0,f’>0 ̀

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Hinh 4: f’’<0,f’<0 ̀

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

ng cong tai mut bên trai (TH 2 va

́ ớ ườ

́ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̀

̣ ̣ ́ ̉ ̀ ̀ ̉

́ ớ

ơ

̉ ́ ̣ ̀ ̃ ̀ ̣

ng cong tai cac mut khac cua

́ ớ ườ

́ ̉ ́ ̣ ́ ́ ́ ̉

̀ ̉ ̉ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̀

Nêu ke tiêp tuyên v i đ TH 1) hoăc tai mut bên phai (TH3 va TH4) thi giao điêm cua tiêp tuyên v i truc hoanh se gân nghiêm h n Nêu ke tiêp tuyên v i đ cung thi giao điêm cua tiêp tuyên va truc hoanh co thê năm ngoai khoang nghiêm

̀ ̉ ̣

́ ̣ ̉ ́ ̣ ̣

Tom lai do f’’(x) không đôi dâu v i moi x thuôc ớ 0 la a hay b sao cho thoa man (a,b) nên ta chon x̣

f’’(x).f(x0)>0

̀ ̉ ̃

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

ng phap:

ươ

ự

̣ ̣ ̉ ́

f’’(x).f(x0) >0 (5)

c day

ượ

́ ̣ ̉ ̀ ̃

0 thoa thi ta thu đ

i nghiêm đung cua ph

ng trinh

̣ ớ

ươ

̣ ̣ ́ ̉ ̀

S hôi tu cua ph Nêu chon x x0,x1,… hôi tu t

ng trinh

ươ

́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̀

̉

Vi du: Tim nghiêm gân đung cua ph f(x)= x3-6x+2=0 trong khoang [0,1] Ta co: f’(x)=3x

́

f’’(x)=6x>0 v i moi x thuôc [0,1]

2-6, f’(0)=-6 ớ

̣ ̣

Theo (5) ta chon x̣

́ ớ

̀ ̀

Ap dung công th c cua ph

0=0 vi f(0)=2>0 cung dâu v i f’’(x) ng phap tiêp tuyên ta đ

c:

ứ

ươ

ượ

́ ̣ ̉ ́ ́ ́

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

x = - 0

1

2 = 6

-

́ ̣ ́ ̣ ̀ ̃

Ap dung công thưc môt lân nưa, thay x

1 3 0=x1 ta co:́

=

=

)

f

6.

+ = 2

f x ( 1

1 3

1 3

1 3

1 27

3 � � � � � � � � � � � � � � � � � �

-

=

)

(cid:0)= f

- = - 6

f x ( 1

1 3

1 3

17 3

2 � � � � 3 � � � � � � � �

(cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Vây ̣

=

0.3398

2

(cid:0)

1 x = - 3

52 153

1 27 17 3

-

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

ng trinh ươ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̀

̉

̀ ̣

ng phap dây cung va tiêp tuyên, tim nghiêm gân đung cua cac ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ́

̀

Vi du 2: Tim nghiêm gân đung cua ph f(x)=5x3-20x+3=0 trong khoang [0,1] Bai tâp: Dung ph ươ ph ng trinh sau: ươ x3+3x+5=0

a. b. x4-3x+1=0

c. x3 + x ­ 5 = 0  d. x3 ­ x ­ 1 = 0

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

́ ́ ̣

̉ ̉ ̀ ̉ ̣ ̉

3.Phương phap phôi hơp: Gia sư (a,b) la khoang phân ly nghiêm cua pt f(x)=0

̃ ̀ ̉ ̃ ́ ̀ ̣

̣

nghia la (a,b) thoa man cac điêu kiên (1)­(3) Nôi dung:

́ ̣ ́ ̣ ̀ ́

Ap dung phương phap dây cung cho nghiêm gân đung

̀ ́ ́ ̣ ̀ ́

’ thi  x̀

1

̃ ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̣

1 va ̀ ’  se  năm vê hai phia cua nghiêm.(hinh 5). Vi vây

̉ ̣ ̃ ̣

x1 con tiêp tuyên cho nghiêm gân đung x x1 khoang phân ly nghiêm se thu hep nhanh hơn.

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

́ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̣

Tiêp tuc ap dung đông thơi hai phương phap cho đoan

[x1

’ , x1]

̣

Ta đươc [x

’ , x2].

2

́ ̣ ́ ̣ ́ ̃ ̣ ̀

́ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̣ ́ ́

́ ́ ̀ ̀

L.ai tiêp tuc cho đên khi hiêu sô giưa hai nghiêm gân  đung bên trai va bên phai co tri tuyêt đôi be hơn sai  sô cho phep thi dưng.

̣ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́

Nghiêm gân đung la trung binh công cua chung

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

̀ Hinh 5:f’’<0,f’>0

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

́ ̀ ̣ ̉ f(x)= x3-6x+2=0 trong (0,1) v i sai sô đên 0.01 ớ ́ ́

ng phap phôi h p ́ ợ ̀ ́

Vi du: Tim nghiêm cua pt  ươ ng phap tiêp tuyên: (bên trai)

1

1 x(cid:0) = 3

Băng ph băng ph ươ ̀ ́ ́ ́ ́

=

>

Dây cung (bên phai): ̉

,

0.4

0.067 0.01

x 1

x 1

x(cid:0) = 1

1 3

2 5

- - (cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

̣ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ̀ ̉ Chưa đat sai sô yêu câu nên phai tiêp tuc tinh .(1/3,0.4) la khoang

́ ̣ ́

́ ́ ́ ̣

’=1/3.Khi đó

1

chưa nghiêm mơi Phương phap tiêp tuyên: Do f’’(x)>0,f(1/3)=1/27>0 nên chon  x1

(cid:0)

0.3398

x 2

(cid:0)= x 1

(cid:0) -

27 = 17

) 1 = - 3 )

f x ( 1 f x ( 1

3

(cid:0) (cid:0) -

́ ̣

1=0.4, Khi

1

́ ̀

0.4

=

=

- -

= ) 0.4

( 0.336) 0.3399

f x ( 1

x 1

x 2

- - -

1

3 +

)

0.336

x 1 f x ( 1

27

- Phương phap dây cung: f(0.4)=­0.336<0 nên chon x đo d=1/3 va: d f d ( )

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

Vi ̀

<

x(cid:0)

= 0.3399 0.3398 0.0001 0.01

x 2

= 2

- -

̣ ́ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̀

đat sai sô yêu câu. Vây nghiêm gân đung cua pt la:

=

+

=

=

+

x

(

x(cid:0)

)

(0.3399 0.3398) 0.33985

x 2

2

1 2

1 2

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̉ ̀ ́ ́ ̀

II­Giai gân đung cac phương trinh

́ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ́ ́

x­2=0 vơi đô chinh xac đên 0.01

̀ ̃ ̣ Vi du: Tim môt nghiêm cua pt: x.e băng phương phap` hôn hơp

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ̣ 1. Giơi thiêu:

Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo  sát và tính giá trị các hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong thực  tế có trường hợp ta không xác định được biểu thức của hàm f(x)  mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: y0, y1, ..., yn tại các điểm  tương ứng x0, x1, ..., xn.  Vấn đề đặt ra là làm sao để xác định giá trị của hàm tại các  điểm còn lại.

Ta phải xây dựng hàm

ϕ  (x) sao cho:   (xϕ i) = yi = f (xi)  với  i =  0,1,…,n ϕ ≈ ́ ̣ (x)

i   f (x)  vơi moi x thuộc [a, b] và x ≠ x

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

ϕ

(x) gọi là bài toán nội suy

ϕ

Bài toán xây dựng hàm   (x) gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b]   Hàm   Các điểm xi  (i = 0,1,…,n) gọi là các mốc nội suy Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã

xác định được biểu thức của f(x) nhưng nó quá phức  tạp trong việc khảo sát, tính toán. Khi đó ta tìm hàm  nội suy xấp xỉ với nó để đơn giản phân tích và khảo  sát hơn. Trong trường hợp đó ta chọn n+1 điểm bất  kỳ làm mốc nội suy và tính giá trị tại các  điểm  đó,  từ  đó xây dựng  được hàm nội suy (bằng công thức  Lagrange, công thức Newton,…).

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

ϕ Trường hợp tổng quát: hàm nội suy

(x) không chỉ thoả mãn giá  trị hàm tại mốc  nội suy mà còn thoả mãn giá trị đạo hàm các  cấp tại mốc đó.  ’(xϕ 0) = f’(x0);       ’’(xϕ 0) = f’’(x0); ’(xϕ 1) = f’(x1);     … …  ’’(xϕ 1) = f’’(x1);  … …

Nghĩa là ta tìm hàm nội suy của f(x) thỏa mãn bảng giá trị sau:

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́

́ ̣

1

n

n

+

=

+

+ + ...

-

a x 0

a x 1

a x a 1

n

n

- 2.Tinh gia tri cua đa thưc:sơ đô Hooc­ne Cho đa thưc bâc n:  P x ( ) n

́ ̣ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̣ Vơi hê sô thưc a

n

1

n

= c: -

k (k = 0, 1, 2, …, n), cân tinh gia tri cua đa thưc tai x  + =

+

+

+

...

a c a 1 n

n

a c 0

a c 1

P c ( ) n

-

́ ́ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ̣ Cach tinh P

+

+

+

(...((((

+ c a

...

a

)

)

)

́ ̣

-

n(c) tiêt kiêm nhât vê sô phep tinh như sau: ta viêt lai  dươi dang : = P c ( ) n

+ a c a c ) 1

a c 0

n

3

1

n

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ́ Vây đê tinh P

n(c), chi cân tinh lân lươt cac sô:

=

a 0 = + a 1 = + a 2 = + a 3

b c 0 b c 1 b c 2

b 0 b 1 b 2 b 3 ...

= + =

b c P c

( )

a

b n

n

1

n

n

-

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

̉ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̣ ̀ ̀ Đê tiên tinh toan, ngươi ta thương dung sơ đô sau, goi la sơ đô

...

a 0

a 1

́ Hoocne:

c

+

=

b 0

b 1

a 2 b c b c 0 1 b ... 2

... b n

a n b c 1 n P n ( ) n

-

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̉

̣

̉ ́

3

7

5

+

9 33

=

3 11 28 91

84 nP (3)

- Vi du 1. Dung sơ đô Hoocne, tinh gia tri cua: P3(x) = 3x3 + 2x2 – 5x +7       ;  tai x = 3 Giai: ta co 3 2

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

3.Đa thức nội suy Lagrange  Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi( i =0,1,…,n ), khi  đó đa thức nội suy Lagrange của f(x) là đa thức bậc n và được  xác định theo công thức sau:

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

Vi du: Cho hàm f(x) thoả mãn:

Tìm hàm nội suy của f(x), tính f(5)

W(x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 4) W’(0) = (-1) (-2)(-4) = -8 W’(1) = 1 (-1) (-3) = 3 W’(2) = 2 (1) (-2) = -4 W’(4) = 4 (3) (2) = 24

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

=

+

{

(

x

1)(

x

2)(

x

x x 4) 4 (

+ 2)( x

4)

x x (

1)(

x

} 4)

1 4

=

- - - - - - - -

{

(

x

4)

(

x

1)(

+ x

+ 2) 4 ( x x

2)

x x (

} 1)

1 4

2

=

- - - - - -

(

x

4)(4

x

6

x

2)

1 4

- - -

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ̣ Vi du2:Tìm hàm nội suy của f(x) thoả mãn

W(x)  = x (x ­ 2) (x ­ 4)  W’(0) = (0 ­ 2) (0 ­ 4) = 8  W’(2) = (2 ­ 0) (2 ­ 4) = ­4  W’(4) = (4 ­ 0) (4 ­ 2) = 8

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

=

{5(

x

2)(

x

+ 4) 4 ( x x

+ 4)

x x (

2)}

1 8

2

=

- - - -

(10

x

48

+ x

40)

1 8

2

=

-

(5

x

24

+ x

20)

1 4

-

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ̣ 4. Đa thưc nôi suy Newton:

̀ ̀ ̀ ̀ ́ ́ Sai phân: Cho ham f(x) va h la hăng sô, khi đo:

∆f(x) = f (x + h) - f(x) ̣ ̀ ́ ́ ́ ́ Goi la sai phân câp 1 đôi vơi bươc h

∆2f(x) = ∆[∆f(x)] ̣ ̀ ́ goi la sai phân câp 2

̣ ̀ ́ ∆kf(x) = ∆[∆k-1 f(x)] goi la sai phân câp k

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

Cách lập bảng sai phân

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ̣ Công thưc nôi suy Newton:

Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi tại các mốc xi(i=0,2,…,n) cách đều

một khoảng h. Khi đó hàm nội suy Newton là một đa thức bậc n  được xác định như sau:

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

́ ̣ Vi du: Xây dựng hàm nội suy Newton thoả mãn

Lập bảng sai phân

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̣

III. Đa thưc nôi suy

Hàm nội suy Newton

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

́ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ ̉ Phương phap binh phương cưc tiêu(BPCT) thương đươc dung đê

̣ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̃

̣ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀

̣ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ́ lâp công thưc thưc nghiêm. Gia sư cân tim quan hê ham sô giưa  hai đai lương x,y. Ta tiên hanh thi nghiêm,quan sat rôi đo đacva  nhân đươc bang cac gia tri tương ưng sau:

x x1 x2 … xi … xn

y y1 y2 … yi … yn

̀ ̉ ̀ ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ̣ Tư bang trên ta tim ham y=f(x). Đê đơn gian ta chi xet trương hơp

Y=ax+b

̀ ́ ́ ̣ ham sô co dang:

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

́ ̣ ́ ̣ ̀ ́

̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ̀

Trong đo a,b đươc xac đinh băng phương phap BPCT như sau: Vi cac căp (x

i,yi) chi la cac gia tri xâp xi cua x,y nên hung không hoan

̀ ̣ ́ ̀ ̃ ̀

b

y

1

-

b

y

-

toan nghiêm đung phương trinh y=ax+b, nghia la: - = ax 1 - = ax 2

e 1 e 2

2 ...

y

ax

b

n

- = n

e n

-

́ ̀ ́ ́

e ,..., Trong đo                                        la cac sai sô

ee , 1

2

n

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

́ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ Phương phap BPCT nhăm xac đinh a,b sao cho tông binh phương

n

2

=

̉ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ cua cac sai sô noi trên la be nhât, tưc la:

s

(

b

)

y i

ax i

= 1

i

- - (cid:0)

̀ ́ ́ ̣ ̉ ̉ ̃ la be nhât. Như vây, a,b phai thoa man:

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

n

(cid:0)

Hay:

2(

b

)(

) 0

y i

ax i

= x i

- - - (cid:0) (cid:0)

= 1

i

(cid:0)

n

(cid:0)

2(

- = )( 1) b

0

y i

ax i

= 1

i

n

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

- ̉ ̣ ̣

Giai hê ta đươc:

nx y .

x y . i i

=

i

=

=

(cid:0)

a

,

b

y ax

1 n

2

2

-

x

n x .

i

=

1

i

- (cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

Vơi ́

n

n

x i

i

i

=

=

x

� � y i = = 1 1 , y n n

́ ̉ ́ ́ ̣

Vi du: Cho bang cac gia tri sau:

̀ ́ ̣ ̣ ́ ̣

Tim công thưc thưc nghiêm co dang y=ax+b

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

n

x i

i

=

=

=

x

7

= 1 n

+ + + + + 2 4 6 8 10 12 6

n

(cid:0)

y i

+

+

=

i

=

=

=

y

9.6683

1 n

+ 7.32 8.24 ... 12.05 6

n

=

+

+

=

+ 2.7,32 4.8, 24 ... 12.12,05 439,02

(cid:0)

x y i i

=

1

i

(cid:0)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

́ ̀ ̣ ̉

IV. Phương phap binh phương cưc tiêu

n

2

2

2

2

=

+ + +

=

x

2

... 12

4

364

i

= 1

i

(cid:0)

=

=

a

0, 471

2

-

439, 02 6.7.9, 6683 364 6.7

=

=

-

b

= y a x .

9,6683 0,471.7 6,373

=

y

+ 6, 373 0, 471

x

- -

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE                                                                                      Website: http://www.ispace.edu.vn

̀ ̣

Bai tâp

2

4

= -

+ 5

̀ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̉

- -

Bai 1: Dung  sơ đô Hooc­ne, tinh gia tri cua: + 4

+ 3 x

2

3

x

x

x

x

1

P x 5( )

̣

̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̀ ́ Tai x=­1.5 Bai 2: Xây dưng đa thưc nôi suy Lagrange cua ham sô y=f(x) cho

́ ̣ ̉ dươi dang bang sau:

3

2

=

̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ Bai 3:Dung phương phap tiêp tuyên tim nghiêm gân đung cua  pt

f x ( )

x

0.2

x

0.2

x

= 1.2 0

- - -

́ ̉ ̣ ̀ Biêt khoang phân ly nghiêm la (1.1;1.4)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

http://ispace.edu.vn