VẬT LÍ CHẤT RẮN
Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Chương 2
• Dao động của mạng tinh thể 1. Dao động của mạng 3 chiều 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 4. Lượng tử dao động: Phonon 5. Nhiệt dung của vật rắn 6. Sự giãn nở vì nhiệt
2
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Dao động của mạng tinh thể
Mạng không gian
Mạng tinh thể
Gốc
Các cấu trúc xếp chặt
Các loại tinh thể (ion,…)
Gốc hình cầu cứng
Gốc tương tác lẫn nhau
Gốc dao động
Dao động mạng
3
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Dao động của mạng tinh thể
Tại sao cần nghiên cứu? • Trong mạng tinh thể các nguyên tử luôn dao
động quanh vị trí cân bằng (nút mạng)
• Dao động mạng liên quan đến nhiệt dung của
vật rắn (khả năng dự trữ năng lượng)
• Dao động mạng giải thích được lí do vật giãn
nở nhiệt
4
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
1. Dao động của mạng ba chiều
• Sóng đàn hồi truyền theo một số phương đối xứng cao: <100>, <110>, <111>
ngang
• Chỉ xét sóng thuần túy dọc hoặc
Dao động của mạng 1 chiều
• Các sóng phức tạp hơn có thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng.
5
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
• Trên một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng các nguyên tử dao động giống nhau.
1. Dao động của mạng ba chiều
Sóng dọc
Fig 2, p90, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
6
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
1. Dao động của mạng ba chiều
Sóng ngang
Fig 3, p90, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
7
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Dao động của mạng tinh thể có một loại nguyên tử có khối lượng m, cách nhau một khoảng a.
• Coi như chỉ có tương tác giữa các nguyên
tử lân cận.
• Giả sử lực tương tác giữa các nguyên tử
là lực đàn hồi • Độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng: us
a
a
a
a
-1
0
s-1
s
s+1
s+2
8
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
a
a
a
a
-1
0
s-1
s
s+1
s+2
Phương trình cho nguyên tử thứ m
𝑀
𝐹𝑠 = 𝐶(𝑢𝑠+1-𝑢𝑠) + 𝐶(𝑢𝑠−1−𝑢𝑠)
𝑑2𝑢𝑠 𝑑𝑡2 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−1−2𝑢𝑠)
là độ dời khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử ở
us thứ s
a.s
là vị trí của nguyên tử thứ s
là vector sóng (K=2𝜋/a)
9
K PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑢𝑠 = 𝑢𝑒𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Ta có:
𝑑2𝑢𝑠 𝑑𝑡2 = −𝜔2𝑢𝑠 • Thay dạng nghiệm của us vào phương trình dao −𝑀𝜔2 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−1−2𝑢𝑠)
động
• Lưu ý: 𝑢𝑠±1 = 𝑢𝑒𝑖𝑠𝐾𝑎𝑒±𝑖𝐾𝑎
−𝑀𝜔2 = 𝐶(𝑒𝑖𝐾𝑎 + 𝑒−𝑖𝐾𝑎−2)d
• Thay eiKa = cos Ka + isin Ka ta có:
2𝐶 𝑀
10
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝜔2 = (1 − cos 𝐾𝑎)
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Tần số góc ω của dao động phụ thuộc vào độ lớn của vectơ sóng K như sau:
𝜔2 =
1 − cos 𝐾𝑎
𝜔2 =
2𝐶 𝑀 4𝐶 𝑀 sin2 𝐾𝑎 2
𝜔 = 2 sin
11
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝐶 𝑀 𝐾𝑎 2
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
𝜔 = 2
sin
𝐶 𝑀
𝐾𝑎 2
Fig 4, p92, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
12
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Chu kỳ của 𝜔 theo K là 2𝜋 (từ −𝜋/𝑎 < 𝐾 < 𝜋/𝑎)
Dao động của 2 nút lân cận lệch pha nhau: Ka
𝑢𝑠±1 = 𝑢𝑒𝑖𝑠𝐾𝑎𝑒±𝑖𝐾𝑎 𝑢𝑠+1 𝑢𝑠
−𝜋/𝑎 < 𝐾 < 𝜋/𝑎: sẽ chứa mọi trạng thái dao động độc lập
Khi 𝐾max = ±
𝜋 𝑎
(tức là khi 𝜔max): 2 nút mạng lân cận dao động ngược pha 𝑢𝑠 = 𝑢𝑒𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡 = 𝑢 −1 𝑠𝑒−𝑖𝜔𝑡 Đây là phương trình của sóng dừng
13
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
= 𝑒𝑖𝐾𝑎
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
• K có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài nên là đại
• Mạng thuận có chu kì a thì mạng đảo có chu kì
lượng được xét trong không gian mạng đảo
• Khoảng -π/a ≤ K ≤ π/a trong mạng đảo gọi là vùng
2π/a
Brillouin thứ nhất
ω
14
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
• Vùng Brillouin thứ nhất chứa mọi giá trị khả dĩ của
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Vận tốc nhóm: vận tốc truyền năng lượng dao động
𝜔 = 2 sin
=
. cos
𝑣𝑔 =
𝐶 𝑀 𝐾𝑎 2
Fig 6, p95, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
Tâm vùng Brillouin: vg là hằng số Biên vùng Brillouin: vg=0 sóng bị phản xạ
15
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑑𝜔 𝑑𝐾 𝐶𝑎2 𝑀 𝐾𝑎 2
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman
x(0)
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑒𝑖(𝑠+N)𝐾𝑎𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠𝑒𝑖𝑁𝐾𝑎
eiKNa = 1 hay KNa = 2πn Ta có vectơ sóng K thỏa mãn:
𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠
𝐾 = 𝑛
vectơ sóng K bị lượng tử hoá
16
2𝜋 𝐿
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
Với mạng một chiều:
• K nhận N giá trị gián đoạn từ -π/a đến π/a, các
-π/a ≤K ≤ π/a do vậy –N/2 ≤n≤N/2
• Trong mạng tinh thể có N tần số dao động ω(q)
giá trị này cách nhau một lượng 2π/(Na)
ứng với N giá trị K ở trên.
17
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
• N rất lớn nên 2π/(Na) rất nhỏ và K gần như liên tục nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán.
2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử
• Dao động của mạng tinh thể tuần hoàn chỉ có
các tần số từ 0 đến một giá trị ωmax hữu hạn.
• Sự hữu hạn của tinh thể thực dẫn đến vectơ
sóng K cũng chỉ có hữu hạn các giá trị và các
giá trị này không còn liên tục mà bị lượng tử
hóa.
18
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Bài toán mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử khác nhau
có thể ứng dụng cho mạng 3 chiều chứa hai loại nguyên tử
khác nhau (NaCl) khi xét sự lan truyền sóng theo các
phương đối xứng (<111>)
a/2
a/2
a/2
a/2
a/2
a/2
M2
M1
M2
M1
M2
M1
m-1
m
m+1
Mạng một chiều có 2 loại nguyên tử M1 và M2 (M1 >M2)
19
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
𝑀1
𝑢𝑠 = 𝑢𝑒𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡
𝑣𝑠 = 𝑣𝑒𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡
Fig 9, p97, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
20
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑀2 𝑑2𝑢𝑠 𝑑𝑡2 = 𝐶(𝑣𝑠 + 𝑣𝑠−1−2𝑢𝑠) 𝑑2𝑣𝑠 𝑑𝑡2 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−2𝑣𝑠)
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Thay phương trình sóng vào hệ ta được:
−𝑀1𝑢𝜔2 = 𝐶𝑣(1 + 𝑒−𝑖𝐾𝑎) −2𝐶𝑢 −𝑀2𝑣𝜔2 = 𝐶𝑢(1 + 𝑒𝑖𝐾𝑎) −2𝐶𝑣
Nhóm u và v lại ta có hệ phương trình:
ቐ
21
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2𝐶 − 𝑀1𝜔2 𝑢 − 𝐶 1 + 𝑒−𝑖𝐾𝑎 𝑣 = 0 −𝐶 1 + 𝑒𝑖𝐾𝑎 𝑢 + 2𝐶 − 𝑀2𝜔2 𝑣 = 0
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Điều kiện để nghiệm không tầm thường là:
= 0
2𝐶 − 𝑀1𝜔2 −𝐶 1 + 𝑒𝑖𝐾𝑎 −𝐶 1 + 𝑒−𝑖𝐾𝑎 2𝐶 − 𝑀2𝜔2
2
2 = 𝐶
+
± 𝐶
+
−
sin2Ka
𝜔±
1 𝑀1
1 𝑀2
1 𝑀1
1 𝑀2
4 𝑀1𝑀2
22
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑀1𝑀2𝜔4 − 2𝐶 𝑀1 +𝑀2 𝜔2−2𝐶2 1 − cos 𝐾𝑎 = 0
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Với giả thiết của đề bài là: M1>M2 ta có:
ω-
ω+
2𝐶
+
1 𝑀1
1 𝑀2
K = 0 0
K <<1
𝐾𝑎
2𝐶 𝑀1 + 𝑀2
K = ±π/2
23
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2𝐶 𝑀1 2𝐶 𝑀2
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Fig 7, p96, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
24
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Đường cong tán sắc của KBr theo phương <111>
Fig 8, p96, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
25
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
= −
K <<1, ta có
𝑢 𝑣
𝑀2 𝑀1
+ 𝜔+ = 2𝐶
Fig 10, p98, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
1 𝑀1 1 𝑀2
lưỡng cực điện.
• M1 và M2 dao động ngược chiều nhau. • M1 và M2 mang điện trái dấu nhau tạo ra mômen
26
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
• E tương tác mạnh với mômen lưỡng cực. ω+ là nhánh quang học
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
𝐾𝑎 K <<1, ta có us = vs 𝜔− =
Fig 10, p98, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
2𝐶 𝑀1 + 𝑀2
• M1 và M2 dao động cùng pha nhau. ω- là nhánh âm học
27
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử
Trên phổ ω(q) có một khoảng giá trị từ
đến
2𝐶 𝑀1
2𝐶 𝑀2
không ứng với nghiệm nào của phương trình sóng
truyền trong mạng tinh thể (trong tinh thể không
tồn tại dao động ứng với tần số trong khoảng đó).
Ở biên vùng Brillouin thứ nhất có một khu vực cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không tồn tại trong tinh thể
28
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
