VẬT LÍ CHẤT RẮN
Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Chương 3
Khí electron tự do, mặt Fermi 1. Khí electron cổ điển (mô hình Drude) 2. Khí electron lượng tử (mô hình
Sommerfeld)
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung
4. 5.
của kim loại Sự dẫn điện của electron, định luật Ohm Sự dẫn nhiệt của electron, định luật Wiedemann Franz
2
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Khí electron tự do
Electron
Mạng không gian
Mạng tinh thể
Gốc
Các cấu trúc xếp chặt
Các loại tinh thể (ion,…)
Gốc hình cầu cứng
Gốc tương tác lẫn nhau
Gốc dao động
Dao động mạng
3
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Sự dẫn điện của kim loại
Tại sao electron dẫn trong kim loại không cảm nhận được trường thế do các ion dương tạo ra?
Electron dẫn không “phát hiện” được sự có mặt của ion trong mạng tinh thể tuần hoàn. Do sóng vật chất gần như tự do với cấu trúc tuần hoàn
Free electron Fermi gas
4
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Electron dẫn chỉ tán xạ trên các electron dẫn khác bởi nguyên lí Pauli
2. Khí electron lượng tử (mô hình Sommerfeld)
Mô hình electron tự do 1. Coi như electron chuyển động tự do trong toàn
2. Bỏ qua lực tương tác giữa electron hoá trị và
bộ tinh thể
lõi nguyên tử
qua thế năng)
3. Năng lượng của electron chỉ có động năng (bỏ
5
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Electron dẫn tạo thành khí electron tuân theo nguyên lí Pauli, chuyển động tự do và không tương tác.
Electron trong giếng thế 1 chiều
𝐻𝜓𝑛 = − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓𝑛 𝑑𝑥2 = 𝜖𝑛𝜓𝑛
𝑥 𝜓𝑛 = A sin
2
𝜖𝑛=
2𝐿 𝜆𝑛 = 𝑛 ℏ2 2𝑚
𝑛𝜋 𝐿
Fig 2, p135, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
Mỗi giá trị của n ứng với 1 mode – có khả năng chứa 2 electron
6
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2𝜋 𝜆𝑛
Mức Fermi trong giếng thế 1 chiều
Hệ có 6 electron
2
2
=
𝜖𝐹=
ℏ2 2𝑚
𝑛𝐹𝜋 𝐿
ℏ2 2𝑚
𝑁𝜋 2𝐿
Table, p135, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
7
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2𝑛𝐹 = 𝑁
Hàm phân bố Fermi-Dirac
𝑓(𝜖)=
𝑒
khi 𝜖 = 𝜇: thế hoá học
1 2
1 𝜖−𝜇 𝑘𝐵𝑇−1 𝜖 = 𝜖𝐹 = 𝜇: mức Fermi 𝑓(𝜖) = Phân bố Fermi-Dirac chuyển
T=0K T>0K 𝜖 − 𝜇 > 𝑘𝐵T thành phân bố Boltzmann hoặc Maxwell
𝜇−𝜖 𝑘𝐵𝑇
𝑓 𝜖 ≅ 𝑒
8
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Hàm phân bố Fermi-Dirac
Fig 3, p136, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
9
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Electron trong tinh thể 3 chiều
Phương trình Schrodinger cho electron tự do
− 𝛻2𝜓𝑘( Ԧ𝑟) = 𝜖𝑘𝜓𝑘( Ԧ𝑟)
ℏ2 2𝑚 Hàm sóng của electron tự do:
Năng lượng:
𝜓𝑘 Ԧ𝑟 = 𝑒−𝑖𝑘 Ԧ𝑟
2 + 𝑘𝑦
2) 2 + 𝑘𝑧
Xung lượng:
𝜖𝑘 = (𝑘𝑥 ℏ2 2𝑚
10
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Ԧ𝑝𝜓𝑘 Ԧ𝑟 = −iℏ𝛻𝜓𝑘 Ԧ𝑟 = ℏ𝑘𝜓𝑘( Ԧ𝑟)
Mặt Fermi
Trạng thái cơ bản khi T = 0K trong không gian k: electron chiếm các trạng thái nằm trong một hình cầu. Năng lượng ứng với mặt cầu chính là năng lượng
Fecmi.
Mặt Fecmi chứa N trạng thái khả dĩ của electron
2 𝑘𝐹
ℏ2 2𝑚
11
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝜖𝐹 =
Mặt Fermi Ứng với mỗi giá trị kx,ky,kz là một yếu tố thể tích trong không gian k
=
(2𝜋)3 𝑉
3 = 𝑁
2
2/3
(2𝜋)3 𝐿1𝐿2𝐿3 Giả sử hệ có N electron: 3/3 4𝜋𝑘𝐹 2𝜋/𝐿 3 =
3𝜋2𝑁 𝑉
ℏ2 2𝑚
𝜖𝐹 =
𝑇𝐹 =
12
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑉 3𝜋2 𝑘𝐹 N là số electron tự do trong tinh thể Thừa số 2 là để tính đến hai giá trị của spin electron 𝑘𝐹 = 3𝜋2n 1/3 𝜖𝐹 𝑘𝐵
Mật độ trạng thái của hệ
Giả sử hệ có N electron:
3/2
𝑁 =
2𝑚𝜖 ℏ2
3/2
𝑉 3𝜋2 Hàm mật độ trạng thái:
𝐷(𝜖) = = 𝜖1/2
𝑑𝑁 𝑑𝜖 𝑉 2𝜋2 2𝑚 ℏ2
𝐷(𝜖) =
=
Hàm mật độ trạng thái có thể tính gần đúng là:
13
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑑𝑁 𝑑𝜖 3𝑁 2𝜖
Mật độ trạng thái của hệ
Mật độ trạng thái của electron trong tinh thể 3 chiều (nét liền) 𝑓 𝜖, 𝑇 . 𝐷(𝜖) ở nhiệt độ T nhỏ so với TF (nét đứt)
Fig 5, p140, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
14
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
E =
Nhìn lại thuyết cổ điển:
C =
15
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
Nhiệt dung của electron cùng bậc với nhiệt dung của mạng tinh thể:
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
• Nhiệt dung riêng của kim loại (có chứa electron tự do) lớn hơn nhiệt dung riêng của tinh thể không dẫn điện, vì rằng trong kim loại có nhiều electron tự do.
• Thực nghiệm lại cho thấy rằng sự đóng góp của electron vào nhiệt dung là rất nhỏ, ở nhiệt độ phòng chỉ vào khoảng 1/100 giá trị vừa nêu ở trên. • Vì sao các electron tham gia vào quá trình dẫn điện với tính chất giống như các hạt chuyển động hoàn toàn tự do, nhưng lại không đóng góp đáng kể vào nhiệt dung của tinh thể?
16
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
• Ở T = 0K, các trạng thái ứng với năng lượng
𝜖 ≤ 𝜖𝐹 bị chiếm hoàn toàn.
• Ở T > 0K một số ít electron ứng với năng lượng ở xung quanh 𝜖𝐹 thu thêm năng lượng. • 𝑇 << 𝑇𝐹 số electron thu thêm năng lượng là rất nhỏ so với tổng số electron của kim loại. • Chỉ có những electron này tham gia vào nhiệt
dung của khí electron
17
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑈 ≈ 𝐶el = ≈ 𝑁𝑘𝐵 𝑘𝐵𝑇 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑇 𝑇𝐹 𝑁𝑇 𝑇𝐹
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
∆𝑈 = 𝑈 𝑇 − 𝑈(0)
𝑘𝐵𝑇 << 𝜖𝐹
∞
𝜖𝐹
𝜖𝐷 𝜖 𝑑𝜖
∆𝑈 = න 0 𝜖𝐷 𝜖 𝑓 𝜖 𝑑𝜖 − න 0
∞
𝜖𝐹
Chú ý điều kiện bảo toàn số electron
𝐷 𝜖 𝑑𝜖
∞
𝜖𝐹
𝜖𝐹
𝜖𝐹𝐷 𝜖 𝑑𝜖
න 0
𝜖𝐹𝐷 𝜖 𝑓 𝜖 𝑑𝜖 = න 0
+ න 𝜖𝐹
∞
𝜖𝐹
(𝜖𝐹−𝜖)[1 − 𝑓(𝜖)]𝐷 𝜖 𝑑𝜖
(𝜖 − 𝜖𝐹)𝐷 𝜖 𝑓 𝜖 𝑑𝜖 + න 0
18
∆𝑈 = න 𝜖𝐹 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝑁 = න 0 𝐷 𝜖 𝑓 𝜖 𝑑𝜖 = න 0
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
Fig 6, p143, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
19
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
∞
𝐶el =
𝑑𝑁 𝑑𝑇
𝑑𝑓 𝑑𝑇
= න 0 ∞
𝑑𝜖
𝑑𝜖 (𝜖 − 𝜖𝐹)
𝐶el ≅ 𝐷 𝜖𝐹 න 0
Fig 7&8, p143&144, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th 20
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
(𝜖 − 𝜖𝐹)𝐷 𝜖 𝑑𝑓 𝑑𝑇 0,763𝜖𝐹
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại Với hầu hết kim loại ở nhiệt độ phòng đều có 𝑘𝐵𝑇 << 𝜖𝐹 nên có thể bỏ qua sự phụ thuộc của thế hoá vào nhiệt độ.
𝜖−𝜖𝐹 𝑘𝐵𝑇
đặt 𝑥 =
=
2
𝜖 − 𝜖𝐹 𝑘𝐵𝑇 𝑑𝑓 𝑑𝑘𝐵𝑇 𝜖 − 𝜖𝐹 𝑘𝐵𝑇 2
𝑒
𝑥2
𝑑𝑥
2𝑇𝐷 𝜖𝐹 න
𝐶el = 𝑘𝐵
𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 1 2
~100 thì ta
−𝜖𝐹 𝑘𝐵𝑇 Hàm 𝑒 𝑥 giảm rất nhanh khi số mũ âm, nên với 𝜖𝐹 𝑘𝐵𝑇 có thể thay bằng −∞
2𝑇𝐷 𝜖𝐹 =
𝑒 𝜖−𝜖𝐹 𝑘𝐵𝑇 + 1 ∞
21
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝐶el = 𝜋2𝑘𝐵 𝜋2𝑁𝑘𝐵 1 2 1 3 𝑇 𝑇𝐹
3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại
Nhiệt dung của kim loại được đóng góp bởi phonon và electron
𝐶 = 𝛾𝑇 + 𝐴𝑇3 ⟹ = 𝛾 + 𝐴𝑇2
Fig 9, p145, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th
22
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
𝐶 𝑇
