Định luật Gauss
Nội dung
Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com
1. Thông lượng dòng nước 2. Thông lượng ñiện trường (ñiện thông) 3. Định luật Gauss 4. Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss 5. Bài tập áp dụng
1. Thông lượng dòng nước – 2
=F
a
cos
vS
1. Thông lượng dòng nước – 1 • Xét một dòng nước chảy thẳng ñều với vận tốc v, và một mặt phẳng (S), ñặt vuông góc với dòng chảy.
• Thông lượng Φ của nước qua (S) (thể tích nước • Nếu (S) tạo một góc với dòng nước thẳng ñều, • thông lượng của nước qua (S) là: (cid:1)(cid:1) (cid:215)= Snv • Dấu của Ф phụ thuộc vào góc α. qua (S) trong một ñơn vị thời gian):
v
v
• Ф = v.S
n
α
Thể tích nước trong hình trụ này sẽ ñi qua (S) trong một giây.
Thể tích nước trong hình trụ nghiêng này sẽ ñi qua (S) trong một giây.
S
1. Thông lượng dòng nước – 4
• Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dòng chảy
a
vdS
=F d
dSnv
cos
Dòng nước
1. Thông lượng dòng nước – 3 • Dòng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ. • Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS. qua ñó là thẳng ñều. Do ñó,
v
• thông lượng qua dS là: (cid:1)(cid:1) (cid:215)= • v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS. • Thông lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng thông
n
=F
=F
lượng qua tất cả các phần dS:
dS
d
(cid:215)
∫
∫
(cid:1)(cid:1) dSnv )
(
S
Mặt cong (S)
2. Thông lượng ñiện trường – Định nghĩa
=F
=F
1. Thông lượng dòng nước – 5 • Nếu mặt (S) là một mặt kín thì ta quy ước chọn n • Tương tự, chúng ta cũng ñịnh nghĩa thông lượng hướng ra ngoài mặt (S).
d
(cid:215) ñiện trường qua một mặt (S) bất kỳ là: (cid:1)(cid:1) dSnE
∫
∫
( S
)
• Do ñó thông lượng nước qua một mặt kín = lưu lượng nước ñi ra ở một bên trừ ñi lưu lượng nước ñi vào ở phía bên kia. • với E, n là vectơ ñiện trường và pháp vectơ trên
dS.
n
n
v
Thông lượng ra là dương
v
• Điện thông cũng là số ñại số. • Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng ñược chọn
Thông lượng vào là âm
hướng ra ngoài.
2. Thông lượng ñiện trường – Ý nghĩa • Điện thông qua mặt dS vuông góc với ñiện trường 3a. Định luật Gauss – 1 • Điện thông qua một mặt kín (S) bằng tổng các
=
=
là dΦ = EdS, ñiện tích bên trong (S) chia cho ε0:
(cid:1)(cid:1) dSnE
S
(cid:215) F
∫
(
)
S
Q in e
0
• dΦ = số ñường sức ñi qua dS. • Do ñó ñiện thông Φ qua (S) bằng tổng số ñường
q3
sức qua (S).
• Φ > 0 khi các ñường sức ñi theo chiều của pháp
q5
Điện trường do tất cả các ñiện tích có mặt tạo ra, nhưng chỉ các ñiện tích bên trong (S) mới ñóng góp vào ñiện thông qua (S). Tại sao?
q1
E
vectơ,
q4
=
+
q
Qin
2
q 5
q 1
q2
• Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại. • Φ qua một mặt kín = số ñường sức ñi ra trừ số - ñường sức ñi vào.
Mặt kín (S)
q > 0
q < 0
3a. Định luật Gauss – 2 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 1
Ф > 0
Ф < 0
Ф = 0
q
Nước vào Nước ra
Nước vào = Nước ra Lưu lượng qua (S) = 0
Mặt kín (S)
Mặt kín (S)
3b. Định luật Gauss & dòng nước – 2 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 3
Nước vào Nước ra Nước vào Nước ra
Nước vào < Nước ra Lưu lượng qua (S) > 0 Nước vào > Nước ra Lưu lượng qua (S) < 0
Cá phun nước ~ ñiện tích dương Cá uống nước ~ ñiện tích âm
3b. Định luật Gauss & dòng nước – 4
4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa • Xét một mặt kín nhỏ (∆S) bao quanh một ñiểm
Mặt kín (S)
M(x,y,z).
• Thể tích giới hạn bởi mặt kín này là ∆V và ñiện
thông qua (∆S) là ∆Φ.
E
(∆S)
M(x,y,z)
∆V
Nước vào Nước ra
Nước vào = Nước ra Lưu lượng qua (S) = 0
Cá ở ngoài không thể thay ñổi lưu lượng.
4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa (tt) 4b. Divergence trong tọa ñộ Descartes
• Giới hạn của ∆Ф/∆V khi (∆S) tiến rất gần tới M • Trong tọa ñộ Descartes divE tại M(x,y,z) có biểu
ñược gọi là divergence của ñiện trường tại M: thức:
=
+
+
=
div
(cid:1) E
(cid:1) E
div
¶ ¶ ¶ D F
lim V 0
E x x
E y y
E z z
V
fi D ¶ ¶ ¶ D
• Như vậy divergence là thông lượng tính trên một • trong ñó các ñạo hàm riêng ñược thực hiện ở vị trí
ñơn vị thể tích trong (∆S). M(x,y,z).
5a. Bài tập 1 – ñối xứng trụ
4c. Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss • Áp dụng ñịnh luật Gauss cho (∆S), trong ñó có
chứa ñiện tích ∆Q:
=
QD e
0
• Cho một dây không dẫn ñiện, dài vô hạn, tích ñiện ñều với mật ñộ λ > 0. Tìm ñiện trường ở khoảng cách r tính từ trục của dây. D F
• Chia hai vế cho thể tích ∆V trong mặt kín rồi lấy • Nhận xét: • Dây có tính ñối xứng trụ, tức là ñối xứng ñối với
giới hạn khi ∆V tiến tới không: trục của nó.
=
lim V 0
lim V 0
Mật ñộ ñiện tích ở M
V
Q V
(cid:1) =E
div
r e
0
D D F • Do ñó ñiện trường do dây tạo ra cũng có tính ñối fi D fi D D D xứng trụ.
5a. Trả lời BT 1 – 1 5a. Trả lời BT 1 – 2
Mặt trụ ñồng trục
• Do tính ñối xứng trụ, ñiện trường có tính chất như
λ
sau:
E
E
r
l
• Đường sức ñiện trường là những ñường thẳng xuyên tâm trong các mặt phẳng cắt trục ñối xứng.
• Xét một mặt trụ ñồng trục với dây; • Điện trường vuông góc với mặt trụ này và có ñộ
E
Nhìn từ trên xuống
Nhìn ngang
lớn không ñổi trên ñó.
5b. Bài tập 2 – ñối xứng phẳng
5a. Trả lời BT 1 – 3 • Xét mặt kín (S) gồm mặt trụ ñồng trục với dây, có
bán kính r và chiều cao l và hai ñáy của nó.
dSE
p2(cid:215)= E
rl
• Điện thông qua (S) bằng ñiện thông qua mặt bên • Cho một bản phẳng vô hạn, không dẫn ñiện, tích ñiện ñều với mật ñộ σ > 0. Xác ñịnh ñiện trường ở khoảng cách r tính từ bản phẳng.
hình trụ: =F ∫ • Nhận xét: • Hệ có tính ñối xứng ñối với mặt phẳng ñi qua bản
• Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì: tích ñiện,
l
=F
=
Qin e
l e
(cid:215) • do ñó ñiện trường do bản tạo ra cũng ñối xứng ñối
0
0 • Do ñó:
l
=
E
2pe
r
0
với bản phẳng.
Mặt trụ kín vuông góc với bản
5b. Trả lời BT 2 – 1 5b. Trả lời BT 2 – 2
• Điện trường này có ñặc ñiểm: • Đường sức là những ñường thẳng song song vuông góc với bản phẳng tích ñiện, có chiều ñối xứng qua bản.
E
• Trên một mặt phẳng song song với bản thì ñiện
A
E
Đáy (A)
Nhìn ngang
trường có ñộ lớn không ñổi.
5b. Trả lời BT 2 – 3 5c. Bài tập 3 – ñối xứng cầu
• Xét mặt kín (S) là một mặt trụ vuông góc với bản,
nhận bản làm mặt phẳng ñối xứng.
• Một vỏ cầu mỏng bán kính R có ñiện tích q > 0 phân bố ñều trên bề mặt. Tìm ñiện trường do vỏ cầu tạo ra ở bên trong và bên ngoài nó. • Điện thông qua (S) bằng hai lần ñiện thông qua
=
=
=
mặt ñáy (A):
(cid:1)(cid:1) dSnE
2
2
E
dS
2
EA
S
(cid:215) F
∫
∫
(
A
)
(
A
)
• Nhận xét: • Hệ có tính ñối xứng cầu ñối với tâm của vỏ cầu, • ñiện trường do hệ tạo ra cũng có tính ñối xứng
A
=
=
cầu ñối với tâm vỏ cầu. • Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì:
=E
S
Qin e
s e
s 02e
0
0
F
5c. Trả lời BT 3 – 1 5c. Trả lời BT 3 – 2
Đường sức là những ñường xuyên tâm.
2
=
=
=
• Xét mặt kín (S) là một mặt cầu bán kính r ñồng tâm với vỏ cầu. Điện trường trên (S) không ñổi nên ñiện thông qua nó là:
(cid:1)(cid:1) dSnE
E
dS
p 4.
E
r
S
∫
∫
(
)
(
)
S
S
(cid:215) F
O
Trên một mặt cầu tâm O, ñiện trường có ñộ lớn không ñổi.
in
• Mặt khác theo ñịnh luật Gauss thì:
S
Q= e
0
E
=
E
F
2
Q in pe 4 r
0
• Do ñó:
5c. Trả lời BT 3 – 3 • Để tìm Qin chúng ta phân biệt hai trường hợp, khi r < R và r ≥ R:
Điện trường bên trong một vỏ cầu tích ñiện ñều luôn luôn bằng không.
0 < Rr = Qin ‡ q Rr
< Rr
0
=
q
E
• Do ñó ñiện trường là:
Rr
2
pe 4
r
0
Điện trường bên ngoài một vỏ cầu tích ñiện ñều, ñiện tích q = ñiện trường của một ñiện tích ñiểm q ñặt tại tâm.
‡
