Điện thế
Nội dung
Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com
1. Công của lực tĩnh ñiện 2. Thế năng tĩnh ñiện 3. Điện thế 4. Lưu số của trường tĩnh ñiện 5. Bài tập áp dụng
E
F = q0E
q0E
q0
(C)
dr
M
dr
1. Công của lực tĩnh ñiện – 1 1. Công của lực tĩnh ñiện – 2
(cid:1) rd
N
• Phân tích vectơ dịch chuyển dr thành hai thành phần vuông góc và song song với ñiện trường (phương bán kính r).
q0
• Xét ñiện tích thử q0 chuyển ñộng trong ñiện trường tạo bởi q, từ M ñến N, theo ñường cong (C). lực tĩnh
(cid:1)
dr┴
=
=
d
• Công của ñiện là:
=
Edr
q
W
q
(cid:1) (cid:1) rdE
0
MN
0
∫
(
NMC
)
(cid:215) (cid:215) • Chỉ có thành phần song song có ñóng góp vào công: (cid:1) rdEqW 0 fi
q
q
d = dr = kqW 0 qkq 0 q 2 r dr 2 r
1. Công của lực tĩnh ñiện – 3 2a. Thế năng tĩnh ñiện – 1
E
• Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau: • Cho ñiện tích thử q0 chuyển ñộng trong một ñiện trường từ M ñến N, theo ñường cong (C). d -= W kd qq 0 r
=
(cid:1) (cid:1) rdE
W
q
MN
0
(
NMC
)
MN
N
M
F = q0E
(C)
• Suy ra: (cid:215) • Công của lực tĩnh ñiện là: ∫ fi -= - W W k k k = ∫d D = qq 0 r qq 0 r M qq 0 r N
dr
q0
• Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi, • chỉ phụ thuộc vị trí ñầu và cuối. • Kết quả trên cũng ñúng với một ñiện trường bất
kỳ.
2a. Thế năng tĩnh ñiện – 2 2a. Thế năng tĩnh ñiện – 3
• Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi,
chỉ phụ thuộc vào vị trí ñầu và vị trí cuối.
• Nếu chọn thế năng tại một ñiểm P nào ñó bằng không (chọn P làm gốc thế năng) thì thế năng tĩnh ñiện tại ñiểm M là: • Do ñó người ta có thể ñịnh nghĩa thế năng tĩnh
P
=
ñiện U của hệ (ñiện tích thử + ñiện trường):
U
M
0
N
(cid:1) (cid:1) ∫ rdEq
M
=
(cid:215)
U
U
M
N
0
(cid:1) (cid:1) ∫ rdEq
M
(cid:215) -
• Tích phân ñược thực hiện theo một ñường cong
bất kỳ nối M và P. • U là một hàm của vị trí; tích phân ñược thực hiện
theo một ñường cong bất kỳ nối M và N.
• UM − UN = −∆U là ñộ giảm thế năng tĩnh ñiện giữa M và N. Thế năng biến ñổi thành công.
2b. Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 1 2b. Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 2
=
=
U
qkq 21
qkq 21
∫
∫
(cid:1) (cid:1) rdr 3 r
dr 2 r
r
r
• Suy ra: • Xét hai ñiện tích ñiểm q1 and q2 cách nhau một ¥ ¥ khoảng r. (cid:215)
(cid:1)
=
¥
1
(cid:1) ∫ rdEqU 2 r
(cid:215)
∞
dr
• Theo công thức trên thế năng tĩnh ñiện của hệ là: Gốc thế năng ở ∞, tích phân thực hiện trên ñường qua hai ñiện tích, từ r tới ∞. = kU qq 21 r • E1 là ñiện trường tạo bởi q1.
E1
q2
r
q1
• Để tạo nên một hệ hai ñiện tích ñiểm, năng lượng cần cung cấp ít nhất phải bằng thế năng tĩnh ñiện của hệ.
2c. Thế năng tĩnh ñiện của một hệ ñiện tích ñiểm 3a. Điện thế
P
=
=
• Điện thế tại M ñược ñịnh nghĩa là:
V
(cid:1) (cid:1) rdE
M
∫
Đơn vị ñiện thế là J/C hay Volt (V)
U M q
0
M
(cid:215)
• Xét một hệ ñiện tích ñiểm bất kỳ. • Năng lượng tĩnh ñiện của hệ bằng tổng năng lượng tĩnh ñiện của tất cả các cặp ñiện tích thuộc hệ.
j
U
k
• Điện thế chỉ phụ thuộc vào ñiện trường chứ không
∑=
ji ),(
qq i r ij
phụ thuộc vào ñiện tích thử.
• Độ giảm ñiện thế giữa hai vị trí M và N trong
N
ñiện trường là: • (i, j) chỉ cặp ñiện tích qi, qj, cách nhau một
-=
=
V
V
V
(cid:1) (cid:1) rdE
M
N
∫
M
khoảng rij. (cid:215) D - • U là năng lượng tối thiểu cần cung cấp ñể tạo nên
hệ.
3b. Điện thế tạo bởi một ñiện tích ñiểm 3c. Điện thế tạo bởi hệ ñiện tích ñiểm
• Điện trường do ñiện tích ñiểm q tạo ra:
(cid:1) = kE
(cid:1) rq 3r
• Điện thế tạo bởi một hệ ñiện tích ñiểm bằng tổng ñiện thế của tất cả các ñiện tích ñiểm thuộc hệ.
• Nếu hệ là một phân bố ñiện tích liên tục, • ta chia hệ làm nhiều phần nhỏ vi phân, sao cho • Nếu gốc thế năng P ở vô cùng và ñường lấy tích mỗi phần ñược coi như một ñiện tích ñiểm. phân là ñường thẳng thì:
P
∞
=
=
V
kq
kq
M
∫
∫
(cid:1) (cid:1) rdr 3 r
dr 2 r
M
r
dr
E
• Tổng sẽ ñược thay thế bằng tích phân. ¥ (cid:215)
M
r
q
= k VM q r
3d. Tìm ñiện trường từ ñiện thế 3e. Mặt ñẳng thế – Định nghĩa
(cid:1)
• Mặt ñẳng thế là tập hợp các ñiểm có cùng một
+
(cid:1) (cid:215)= = dxErdE
dV
dyE y
dzE z
x
• Độ giảm ñiện thế giữa hai ñiểm rất gần nhau: + -
ñiện thế trong ñiện trường. ,( zyxV const =), • Mặt khác ta có:
=
+
+
=
dV
dx
dy
dz
grad
(cid:1) rdV
V x
V y
V z
=
=
¶ ¶ ¶ (cid:215) ¶ ¶ ¶ • Ví dụ, mặt ñẳng thế trong ñiện trường do một ñiện tích ñiểm q tạo ra là các mặt cầu có tâm ñặt tại q:
const
r
const
= kV
-=
grad
V
q r
(cid:219) • Suy ra: (cid:1) E
-=
-=
-=
E
E
E
,
,
x
y
z
• Minh họa. ¶ ¶ ¶
V z
V y
V x
¶ ¶ ¶
3e. Mặt ñẳng thế – Tính chất 4a. Lưu số của trường tĩnh ñiện - 1
• Cho một ñường cong (C) trong không gian có ñiện trường, lưu số của ñiện trường trên (C) ñược ñịnh nghĩa là:
E
=
C
• Điện trường vuông góc với mặt ñẳng thế, • và hướng theo chiều giảm của ñiện thế. • Khi một ñiện tích ñiểm dịch chuyển trên một mặt ñẳng thế thì công của lực tĩnh ñiện bằng không. (cid:215) G
∫
(cid:1) (cid:1) rdE )
(C
E
(C)
dr
4b. Rotation – Định nghĩa
(cid:2) ∫
(
)
C
• Xét một ñường cong kín (C) nhỏ bao quanh một = (cid:215) 4a. Lưu số của trường tĩnh ñiện - 2 (cid:1) (cid:1) E dr 0 q 0 ñiểm M(x, y, z).
• Công thực hiện khi ñiện tích dịch chuyển trên một ñường kín (C) thì bằng không.
(cid:2) ∫
(
)
C
= (cid:215) (cid:1) (cid:1) E dr 0 • Gọi diện tích giới hạn trong (C) là ∆S, pháp vectơ của mặt phẳng trong (C) là n, và lưu số của ñiện trường trên (C) là ∆Γ.
• Vậy lưu số ñiện trường theo một ñường kín luôn luôn bằng không: • Rotation của ñiện trường ở M, ký hiệu là rotE,
n
• Trường ñược ñịnh nghĩa như sau:
=
(cid:1)(cid:1) nE
rot
M
lim S 0
S
∆S
(C)
D G là một tĩnh ñiện trường không có xoáy: ñường sức không khép kín. (cid:215) fi D D • So sánh với dòng chảy: minh
dr
họa.
4b. Rotation – Tính chất 4b. Rotation – Tính chất (tt)
• Đối với trường tĩnh ñiện thì lưu số trên một
ñường kín luôn luôn bằng không, nên: • Hình chiếu của rotE trên một phương n là: • Mật ñộ lưu số trên một ñường khép kín nhỏ
(cid:1) rot =E
0
vuông góc với phương ñó.
rotE
• Người ta chứng tỏ ñược là rotE có dạng:
rotE.n
n
¶ ¶ ¶ ¶ - - (cid:1) (cid:1) = E i rot (cid:1) j ¶ ¶ ¶ ¶ E z y E y z E x z E z x
M
¶ ¶ + - ¶ ¶ E y x E x y (cid:1) k +
z
5a. Bài tập 1 5a. Bài tập 1 (tt)
Hãy tìm:
+q
(a) Điện thế do lưỡng cực ñiện tạo ra ở khoảng cách r lớn hơn nhiều so với d. Viết kết quả thu ñược qua momen lưỡng cực ñiện.
d
O
(b) Điện trường từ biểu thức của ñiện thế.
–q
Lưỡng cực ñiện là một hệ gồm hai ñiện tích ñiểm +q và −q, ñặt cách nhau một khoảng d. Chọn trục z là trục ñi qua hai ñiện tích ñiểm và ñặt gốc tọa ñộ O ở ñiểm giữa của chúng. Định nghĩa vectơ momen lưỡng (cid:1) (cid:1) = cực ñiện: dqp Vectơ d hướng từ −q ñến +q.
z
M
5a. Trả lời BT 1 – 1 5a. Trả lời BT 1 – 2
r+
• Điện thế ở ñiểm M(r,θ):
r
r +
=
V
r+
1 r
1 r +
rr -+
kq
=
kq
r
r–
+q
- - - -
r–
2
q
• Khi r >> d ta có gần ñúng:
d
d
cos
r
r
rr -+
θ
θ
r + • Suy ra:
d
dcosθ
x
q
q
d
p
=
=
V
kq
k
-=
k
V
k
+ = V
» » - -
cos 2 r
cos 2 r
–q
q r
q r +
- -
5a. Trả lời BT 1 – 3 5a. Trả lời BT 1 – 4
2
2
• Suy ra ñộ lớn của ñiện trường:
2
2
=
+
=
+
E
E
E
r
3z
2 x
2 z
+ = q • Trở lại tọa ñộ Descartes: = 2 z cos r rz
kp 4 r
=
=
V
kp
kp
3
=
x • Suy ra:
2
2
E
) 2
z 3 r
z +
z
z
( x
kp 3 r
q2 31+ cos
r
θ
• Vậy:
-=
=
kp 3
Ex
¶ • Minh họa
V x
xz 5 r
2
¶
r
x
-=
=
kp
Ez
5
- ¶
V z
23 z r
¶
5b. Bài tập 2 5b. Trả lời BT 2 – 1
M
• Thế năng tĩnh ñiện:
)
=
=
-=
U
qV
qV
V
N
N
(cid:1) (cid:1) ∫ rdEq
N
M (cid:1)
-=
-=
Đặt một lưỡng cực ñiện có momen lưỡng cực p trong một ñiện trường ñều E. Hãy tìm: (cid:215) - -
( Vq M (cid:1)(cid:1) dEq
U
E
-=
M (cid:1) ∫. rdEq N (cid:1)(cid:1) (cid:215) Ep
U
M
(cid:215)
d
N
(a) Thế năng tĩnh ñiện của lưỡng cực ñiện. (b) Momen lực tĩnh ñiện tác ñộng lên lưỡng cực ñiện.
5b. Trả lời BT 2 – 2
5b. Bài tập 2 – Lò vi sóng
• Thế năng này cực tiểu khi momen lưỡng cực ñiện song song cùng chiều với ñiện trường ngoài.
·
p
H+
H+
E
+qE
O--
• Momen lực lên q và –q: (cid:1) Eq ( • Momen lực toàn phần:
M
- · (cid:1) )Eq (cid:1) =+t (cid:1) =-t (cid:1) rM (cid:1) rN
E
(cid:1) =t
rM
(cid:1) ( rq M (cid:1)
(cid:1) r N (cid:1)
d
(cid:1) ) E (cid:1) ·=
· -
(cid:1) =t · (cid:1) EpEdq
p
N –qE
O
rN
• Các phân tử nước trong thức ăn là những lưỡng cực ñiện. • Trong một ñiện trường xoay chiều (tần số radio), các phân tử nước dao ñộng ñể luôn luôn ñịnh hướng momen lưỡng cực của chúng theo ñiện trường. • Sự ma sát giữa chúng với môi trường chung quanh tạo nên nhiệt làm chín thức ăn.
• Minh họa
• Momen lực này có xu hướng quay dipole ñiện sao cho p song song với E.
5c. Bài tập 3
5c. Trả lời BT 3 – 1
• Điện thế do một ñoạn vi phân dx ở tọa ñộ x tạo ra
l
=
=
dV
k
k
• Một dây không dẫn ñiện, chiều dài L ñược tích ñiện ñều với mật ñộ λ > 0. Tìm ñiện thế do thanh tạo ra ở ñiểm M cách dây một khoảng d, nằm trên ñường ñi qua một ñầu dây và vuông góc với dây.
2
2
dq r
x
dx + d
M
M
r
d
d
dx
x
L
5c. Trả lời BT 3 – 2
• Điện thế toàn phần ở M:
L
=
=
dV
l k
V
2
∫
∫
dx + 2
x
d
0
L
2
2
ở M:
] )
+
+
[ ln
= l kV
( x
x
d
0
2
+
+
L
d
lnl
= kV
2 L d
