Bμi gi¶ng VËt lý ®¹i c−¬ng
T¸c gi¶: PGS. TS §ç Ngäc UÊn
ViÖn VËt lý kü thuËt
Tr−êng §H B¸ch khoa Hμ néi
Ch−¬ng 6
C¬ häc l−îng tö
h
p
=
1. TÝnh sãng h¹t cña vËt chÊt trong thÕ giíi vi m«
h λ
§éng l−îng:
1.1. TÝnh sãng h¹t cña ¸nh s¸ng TÝnh sãng: Giao thoa, nhiÔu x¹, ph©n cùc; λ, ν. TÝnh h¹t: Quang ®iÖn, Compton; ε, p. Liªn hÖ gi÷a hai tÝnh sãng h¹t: N¨ng l−îng: ν=ε Hμm sãng
nr
rr O d
M
ChiÕu chïm ¸nh s¸ng song song, c¸c mÆt sãng còng lμ mÆt ph¼ng song song
cos
r
rr=α n.r
=
cosAx
)
=
rr n.r λ
i
)
t(i2 −νπ−
rr )rpt( −ε
−
h
T¹i O dao ®éng s¸ng: x0 =Acos2πνt T¹i ®iÓm c¾t mÆt chøa M ¸nh s¸ng ®i ®−îc d, vμ: xM =Acos2πν(t-d/c)= Acos2π(νt-d/λ) d t(2 −ν𠧩y lμ sãng ph¼ng ch¹y, d¹ng phøc: rr nr λ
34−
0e 10.05,1
Js
=
r k
r = p
=h
k
=
h
0e ψ=ψ 2 π λ
ψ=ψ h 2 π rr )rkt
(i
−ω−ψ=ψ 0e
hay
pr
r k
r = p
p
=
h
hay
1.2. Gi¶ thiÕt §¬br¬i (de Broglie) Mét vi h¹t tù do tuú ý cã n¨ng l−îng x¸c ®Þnh, ®éng l−îng x¸c ®Þnh t−¬ng øng víi mét sãng ph¼ng ®¬n s¾c; a. N¨ng l−îng cña vi h¹t liªn hÖ víi tÇn sè dao ω=ε ®éng cña sãng t−¬ng øng ε=hν hay h cña vi h¹t liªn hÖ víi b−íc b. §éng l−îng h sãng λ theo: λ
TÝnh sãng h¹t lμ hai mÆt ®èi lËp biÓu hiÖn sù m©u thuÉn bªn trong cña ®èi t−îng vËt chÊt
1.3. Thùc nghiÖm chøng minh l−ìng tÝnh sãng h¹t cña vi h¹t a. NhiÔu x¹ ®iÖn tö: ChiÕu chïm tia ®iÖn tö qua khe hÑp, ¶nh nhiÔu x¹ gièng nh− ®èi víi sãng ¸nh s¸ng
tia e,n
NhiÔu x¹ ®iÖn tö, n¬tron trªn tinh thÓ
Phim
NhiÔu x¹ ®iÖn tö truyÒn qua trªn tinh thÓ Si
NhiÔu x¹ truyÒn qua trªn Bromid Thalium
x
pr
b ϕ1
2. HÖ thøc bÊt ®Þnh HaidenbÐc (Heisenberg) 2.1. HÖ thøc bÊt ®Þnh To¹ ®é cña ®iÖn tö trong khe: 0≤x≤b =>Δx=b H×nh chiÕu cña ®éng l−îng lªn trôc x: 0 ≤px ≤p sin ϕ øng víi h¹t r¬i vμo cùc ®¹i gi÷a
sin ϕ1=λ/b Δx.Δpx ≈h Δy.Δpy ≈h Δz.Δpz ≈h
Δpx ≈p sin ϕ1 Δx.Δpx ≈pλ ý nghÜa: VÞ trÝ vμ ®éng l−îng cña vi h¹t kh«ng x¸c ®Þnh ®ång thêi
34
−
x
v
6 s/m10.7
=
≈
=
≈
x
10.62,6 31 −
10 −
10.1,9
10
e
VÝ dô: Trong ph¹m vi nguyªn tö Δx~10-10m VËn tèc ®iÖn tö cã: p Δ h Δ m xm Δ e
34
−
11 − s/m10.6,6
≈
=
v ≈Δ x
8
−
h x.m Δ
10.62,6 15 − 10 10 HÖ thøc bÊt ®Þnh ®èi víi n¨ng l−îng
me ~10-31 vi h¹t -> VËn tèc kh«ng x¸c ®Þnh -> kh«ng cã quü ®¹o x¸c ®Þnh m ~10-15kg, Δx~10-8m h¹t lín (VÜ h¹t): VËn tèc x¸c ®Þnh -> Quü ®¹o x¸c ®Þnh:
ΔW.Δt ≈ h
ΔW≈ h/Δt
Tr¹ng th¸i cã n¨ng l−îng bÊt ®Þnh lμ tr¹ng th¸i kh«ng bÒn, Tr¹ng th¸i cã n¨ng l−îng x¸c ®Þnh lμ tr¹ng th¸i bÒn 2.2 ý nghÜa triÕt häc cña hÖ thøc bÊt ®Þnh Heisenberg: Duy t©m: HÖ thøc bÊt ®Þnh phô thuéc vμo chñ quan cña ng−êi quan s¸t: X¸c ®Þnh ®−îc quü ®¹o th× kh«ng x¸c ®Þnh ®−îc n¨ng l−îng. NhËn thøc cña con ng−êi lμ giíi h¹n Duy vËt: Kh«ng thÓ ¸p ®Æt quy luËt vËn ®éng vËt chÊt trong c¬ häc cæ ®iÓn cho vi h¹t. C¬ häc cæ ®iÓn cã giíi h¹n, nhËn thøc cña con ng−êi kh«ng giíi h¹n, kh«ng thÓ nhËn thøc thÕ gi¬Ý vi m«
2=|ψ|2=ψψ*
(i
ψ0
ψ*Liªn hîp phøc cña ψ b»ng c¸c kh¸i niÖm cæ ®iÓn. Kh«ng thÓ x¸c ®Þnh chÝnh x¸c vÞ trÝ cña vi h¹t mμ chØ ®o¸n nhËn ®−îc kh¶ n¨ng tån t¹i vi h¹t ë mét tr¹ng th¸i nμo ®ã. Quy luËt vËn ®éng cña vi h¹t tu©n theo nguyªn lý thèng kª 3. Hμm sãng vμ ý nghÜa thèng kª cña nã 3.1. Hμm sãng: ChuyÓn ®éng cña vi h¹t tù do (kh«ng chÞu t¸c dông lùc bªn ngoμi) ®−îc m« t¶ bëi hμm sãng §¬ Br¬i rr )rkt −ω−ψ=ψ 0e
3.2. ý nghÜa thèng kª cña hμm sãng
2
ΔV
M
2 dV|
sãng ¸nh s¸ng chiÕu lªn M c−êng ®é s¸ngI ~ ψ 0 |ψ|2 cμng lín M cμng s¸ng -> sè photon cμng nhiÒu
∫∫∫ ψ |
V
|ψ|2 tû lÖ víi kh¶ n¨ng cã mÆt cña vi h¹t trong ΔV |ψ|2 ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng t×m thÊy vi h¹t trong ®¬n vÞ thÓ tÝch quanh M gäi lμ mËt ®é x¸c suÊt X¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong dV lμ |ψ|2dV X¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong thÓ tÝch V lμ
2 dV|
1
=
ψ∫∫∫ |
Tkg
Trong toμn kh«ng gian
§©y lμ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ cña hμm sãng
Hμm sãng kh«ng m« t¶ mét sãng cô thÓ nμo ®ã nh− sãng c¬ hay sãng ®iÖn tõ mμ nã chØ cho phÐp tÝnh mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy vi h¹t ë mét tr¹ng thaÝ nμo ®ã -> Hμm sãng ψ mang tÝnh thèng kª Trong vËt lý ph©n tö: HÖ nhiÒu h¹t míi cã tÝnh thèng kª (theo qui luËt thèng kª) Trong c¬ häc l−îng tö qui luËt thèng kª cã quan hÖ víi ngay c¶ mét vi h¹t riªng biÖt
3.3. §iÒu kiÖn cña hμm sãng a. Hμm sãng giíi néi = §iÒu kiÖn chuÈn ho¸ b. Hμm sãng ph¶i ®¬n trÞ: mçi tr¹ng th¸i chØ cã 1 x¸c suÊt t×m h¹t (theo lÝ thuyÕt x¸c suÊt) c. Hμm sãng ph¶i liªn tôc v× mËt ®é x¸c suÊt kh«ng thÓ nh¶y vät. d. §¹o hμm bËc nhÊt cña hμm sãng ph¶i liªn tôc: rót ra ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh hμm sãng
i
rr )rpt( −ε
−
h
ψ=
0e
r )t,r( r )r(
e
ψ
=
4. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc l−îng tö Trong c¬ häc cæ ®iÓn cã f/t c¬ b¶n: ma=F Trong c¬ häc LT ph¶i t×m ®−îc hμm sãng cña vi h¹t
r )r(
0
[
ψ i t ε− r )t,r( . h ψ ε lμ n¨ng l−îng cña vi h¹t. )r(rψ lμ phÇn phô thuéc vμo kh«ng gian ®¸p øng Schr && o dinger r r )]r(U )r( −ε
ψΔ
ψ
+
=
m2 2
h
ph−¬ng tr×nh :
2
2
2
(
r )r(
r )r(
)
=
+
+
ψ
2
2
2
∂ y ∂
∂ z ∂
∂ x ∂ thÕ n¨ng
2
2
[
)]x(U
)x(
)x(
− h
+
ψ
εψ=
2
∂ xm2 ∂
Vai trß ph−¬ng tr×nh Schrodinger trong CHLT gièng nh− f/t c¬ b¶n trong c¬ häc cæ ®iÓn Δ To¸n tö Laplatz, trong to¹ ®é §ªc¸c:
ψΔ )r(U r Trong kh«ng gian mét chiÒu: 2 2
− h
2
−=
pˆ x
To¸n tö ®éng l−îng
i h
∂ xm2 ∂
∂ x ∂
To¸n tö ®éng n¨ng
2
2
2
Uˆ
Hˆ
+
=
To¸n tö ®éng n¨ng:
Δ
−=
pˆ m2
h m2
εψ=ψHˆ
(i
−ω−
To¸n tö Haminton
r .k
e
=
0
h
pˆ ψ gi¸ trÞ riªng cña ®éng l−îng
pˆ m2 Ph−¬ng tr×nh Schrodinger: T¸c ®éng to¸n tö Haminton lªn hμm sãng cho gi¸ trÞ riªng cña n¨ng l−îng vi h¹t (cid:1) Trong c¬ häc l−îng tö c¸c ®¹i l−îng vËt lý ®Òu lμ c¸c to¸n tö, khi to¸n tö t¸c ®éng lªn hμm sãng cho gi¸ trÞ riªng cña ®¹i l−îng vËt lý ®ã: rr )rkt pˆ ψ=ψ r r = p k
h
5. øng dông 5.1. Vi h¹t trong giÕng thÕ U U=∞
U=
0 khi 0 2 2 )x( )x( ψ U=0 a 0 x εψ= 2 ∂
Ph−¬ng tr×nh
xm2
∂
Schrodinger:
To¸n tö ®éng n¨ng t¸c ®éng lªn hμm sãng cña vi
h¹t cho gi¸ trÞ riªng cña ®éng n¨ng vi h¹t
D¹ng hμm sãng: ψ(x)=Asinkx+Bcoskx
§iÒu kiÖn biªn cè ®Þnh ψ(0)= ψ(a)=0 Trong giÕng thÕ U(x)=0
− h k a n k = = = n
π
a 2
π
λ )x A = λ
2
λ lμ b−íc sãng §¬ br¬i cña vi h¹t
n
π
sin(A)x(n
ψ
=
a
a
2
dx)x 1 2
sinA ( = ψ(x)=Asinkx 0 sin( )x ψ = )x(n n
π
a 0 n = 0, 1, 2...
2
a n
π
a
Mçi tr¹ng th¸i vi h¹t
øng víi mét hμm sãng
ψn(x) 2 2 )x( )x( ) ( εψ= ψ n n a
2
a n
π
a Thay ψn(x) vμo ph−¬ng tr×nh Schrodinger
h
m2 2 2 ( ) =ε h
m2 n
π
a 2 sin )x = 2 2
a ) ( ψψ=ρ
ρ (
n ε ~ n2 N¨ng l−îng vi h¹t biÕn
thiªn gi¸n ®o¹n: N¨ng l−îng bÞ
l−îng tö ho¸
MËt ®é x¸c suÊt tån t¹i vi h¹t
n
π
*
a 2
h
ε ®v( )
m2 π
a n 3
2
1
0 9
4
1
0 3
2
1
0 3a/4 a/4 a/2 W 5.2. HiÖu øng ®−êng hÇm
U
Umax x §èi víi c¬ cæ ®iÓn nÕu n¨ng
l−îng h¹t W
U= I II III 0 x≤0 miÒn I
U0 0 U
U0
ψ1(x) ψ2(x)
0
a 2 Ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho ba vïng k = 0
víi 2
=ψ+
1 1 2
1 k mW2
2 miÒn I k = )WU(
− 0
víi k 2
=ψ+
2 2 0 2
2 h
m2
2 3 miÒn II k = 0
víi 2
=ψ+
1 3 2
1 k h
mW2
2 d
ψ
1
2
dx
2
d
ψ
2
2
dx
2
d
ψ
2
dx h xik
1 xik
1 1 − xk
2 xk
2 − )ax(
− ik
1 ik
1 ψ
ψ
2
ψ miÒn III 3 eB
3 NghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh:
−
eA)x(
eB
=
+
1
1
eA)x(
eB
=
+
2
2
)ax(
− +
eA)x(
=
3 D = = ψψ
3
ψψ
1 *
3
*
1 2
|A|
3
2
|A|
1 HÖ sè truyÒn qua
/xuyªn hÇm C¸c hÖ thøc:
A1+B1= A2+B2
ik1(A1-B1)= -k2(A2+B2)
A2e-k2a +B2ek2a = A3
-k2(A2e-k2a +B2ek2a)=ik1A3 Theo tÝnh chÊt liªn tôc cña hμm sãng vμ ®¹o hμm
bËc nhÊt cña hμm sãng.
T¹i c¸c bê:
ψ1(0)= ψ2(0)
ψ’1(0)= ψ’2(0)
ψ2(a)= ψ3(a)
ψ’2(a)= ψ’3(a) B3=0, kh«ng cã sãng ph¶n x¹ tõ v« cïng
Tõ 2 ph−¬ng tr×nh cuèi x¸c ®Þnh A2, B2 qua A3 1 in A = 2 ak
2eA
3 1 n = = k
k W
WU
− 2 0 1 in − B = 2 ak
2eA
3 −
2
+
2 1( in 1)( ) − + i
n A = 1 ak
2eA
3 4 2 2 − ak2
2 1~ Coi W< D e = n16
2
)n1(
+ n16
2
)n1(
+
a2 − − )WU(m2
0 − ak2
2 h e eD
= = (U0 ~10W) MÆc dï W 2kx U = 5.3.Dao tö ®iÒu hoμ 1
2 dao ®éng
ion,ngtö U 2 ( ) 0 2ω
xm
2
+ −ε =ψ ψ
2 m2
2 Vi h¹t chuyÓn ®éng theo
ph−¬ng x trong tr−êng thÕ
2 =
2
d
dx 2
xm
ω
2 h ) ThÕ n¨ng
ph−¬ng tr×nh
Schrodinger +ω=ε
h
n ω
h
2 1
2 n=0 cã Gi¶i ra cã
n(
=ε
n¨ng l−îng
0
N¨ng l−îng “Kh«ng”: ngay c¶ khi T=0 vÉn cã
dao ®éng => Phï hîp víi hÖ thøc bÊt ®Þnh:
Δx=0 th× Δpx vÉn kh¸c 0 5.4. Quay tö
Vi h¹t chuyÓn ®éng tù do trªn mét mÆt cÇu x¸c
®Þnh
=>øng dông N/C ph©n tö 2 nguyªn tö, H 0 +ψΔ =ψ m2
ε
2 h )1 V(r)=V(a)=const -> Chän V(a)=0 =ε
l 2
( +
llh
2
ma2 ,...3,2,1,0 =l Gi¶i ra t×m ®−îc n¨ng l−îng n¨ng l−îng quay tö còng gi¸n ®o¹n: l−îng tö ho¸∫
