VËt r¾n tinh thÓ
PGS. TS §ç Ngäc UÊn Gi¸o tr×nh vËt lý chÊt r¾n ®¹i c−¬ng NXH Khoa häc &Kü thuËt Hμ néi 2003
§ç TrÇn C¸t vμ c¸c t¸c gi¶ kh¸c VËt lý ®¹i c−¬ng TËp ba, phÇn hai NXB Gi¸o Dôc 1999 ------------------------------------- §Æng Quang Khang NguyÔn Xu©n Chi VËt lý ®¹i c−¬ng TËp ba XuÊt b¶n 2000
Bμi gi¶ng VËt lý ®¹i c−¬ng
T¸c gi¶: PGS. TS §ç Ngäc UÊn
ViÖn VËt lý kü thuËt
Tr−êng §H B¸ch khoa Hμ néi
Tinh thÓ: Cã trËt tù xa, tuÇn hoμn V« ®Þnh h×nh: TrËt tù gÇn, v« trËt tù
Tinh thÓ vμ v« ®Þnh h×nh
• M«i tr−êng kh«ng liªn tôc: Khi b−íc sãng kh¶o s¸t nhá h¬n hoÆc b»ng kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nguyªn tö (λ <= a)
• M«i tr−êng liªn tôc: khi b−íc sãng kh¶o s¸t lín h¬n kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nguyªn tö (λ > a)
I. M« h×nh cÊu tróc tuÇn hoμn cña vËt r¾n tinh thÓ :PhÐp tÞnh tiÕn...
• TÞnh tiÕn ®i mét vÐc t¬ tÞnh tiÕn-> lÆp l¹i
nh− ®iÓm xuÊt ph¸t
B
B’
a
• TÞnh tiÕn « c¬ së lÊp ®Çy kh«ng gian
r r anT = 1
T = na
r b
TÝnh tuÇn hoμn cña cÊu tróc tinh thÓ:
Hai vÐc t¬
ar r ar b , dùng thμnh « c¬ b¶n.
TÞnh tiÕn « c¬ b¶n th× lÊp ®Çy kh«ng gian.
TÝnh tuÇn hoμn cña cÊu tróc tinh thÓ: PhÐp tÞnh tiÕn:
A
r T
rr
r ′r
cr
r r
r b
−
ar
A’ r r +=′ Tr r r r r a2T cb2 = − r T ®−îc
TÞnh tiÕn tiÕn ®i mét vÐc t¬ tÞnh tiÕn ®iÓm A’ gièng hoμn toμn ®iÓm A
• KÝ hiÖu
....vμ phÐp ®èi xøng ®iÓm •PhÐp quay: Quay tinh thÓ quanh 1trôc qua ®iÓm bÊt k× ®i 1 gãc b»ng 2π/n tinh thÓ trïng nh− ban ®Çu -> trôc ®èi xøng bËc n. •§èi xøng g−¬ng qua mÆt ph¼ng m chøa trôc n quay m
r r
r r
−⇒
n m
th×
n
• PhÐp nghÞch ®¶o: Sau phÐp •kÝ hiÖu •TËp hîp c¸c phÐp ®èi xøng ®iÓm lμ nhãm ®iÓm cña tinh thÓ •Ph¶i phï hîp víi phÐp tÞnh tiÕn: n=1, 2, 3, 4, 6, Kh«ng cã bËc 5 vμ bËc 7 8, 9
m
r r
r r
−⇒
n=3 cr
2 m
n=2
Nhãm ®iÓm 4 − 3 m
r b
n=4
ar
PhÐp quay+®èi xøng g−¬ng
+
-
-- - - - +- - II.Liªn kÕt trong tinh thÓ • Ph©n bè cña c¸c ®iÖn tö ph¶i tu©n theo nguyªn lý Pauli. • C¸c ®iÖn tÝch nh− c¸c ion vμ ®iÖn tö ho¸ trÞ ph¶i s¾p xÕp sao cho lùc ®Èy cña ®iÖn tÝch cïng dÊu lμ Ýt nhÊt, lùc hót cña ®iÖn tÝch kh¸c dÊu lμ cao nhÊt. • Tæng n¨ng l−îng trong tinh thÓ lμ thÊp nhÊt. ThÕ n¨ng lμ nhá nhÊt vμ ®éng n¨ng t¨ng Ýt. •N¨ng l−îng liªn kÕt trong tinh thÓ tÝnh b»ng n¨ng l−îng tæng céng cña c¸c h¹t rêi r¹c trõ ®i n¨ng l−îng cña tinh thÓ. 1. Liªn kÕt Van- der-Walls London:
+
+
)r(u
−=
(erg)
6
C R
-- - - -- - -
R
Cl-
exp(
)
−
−
R ρ 2
=
q
U
j,i
1
.
±
R
Na+
j,i
P
C«ng thøc Magdelung
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
2. Liªn kÕt Ion: e- +Cl = Cl- + 3,6 eV Na + 5,13 eV = Na+ + e- N¨ng l−îng tæng céng cña tinh thÓ lμ: Na++Cl- = NaCl + 7,9 eV 2 ⎧ q . λ ⎪ R ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
3. Liªn kÕt ®ång ho¸ trÞ: 1 nguyªn tö dïng chung 8 ®iÖn tö ho¸ trÞ víi 4 nguyªn tö kh¸c: Si, Ge, C m¹ng kim c−¬ng
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
4. Liªn kÕt kim lo¹i: C¸c ion t−¬ng t¸c hót víi khÝ ®iÖn tö
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
F-
F-
-
-
H+
-
-
-
+
+
+
+
5. Liªn kÕt Hydro
1. Dao ®éng m¹ng, phonon
III. Phonon vμ nhiÖt dung cña ®iÖn m«i us lμ dÞch chuyÓn cña nguyªn tö thø s
M
u(C
u
=
+
−
)u2 s
1s +
1s −
a M C
iSKa
t
i ω−
2 ud S 2 dt u
e.
=
S
sin
=ω
e.U C4 M
Ka 2
2/1 ⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
us+1 us+2
h
r K v
grad
r )K(
=
=
hay
g
us-1 us • CV->0 khi T->0K • Va ®Ëp víi photon => l−îng tö ho¸ t−¬ng t− nh− sãng ®iÖn tõ: ->Phonon cã: r , ω=ε = P h
r ω K
d ω dK
λ>>a m«i tr−êng liªn tôc r gv
ω
vg=dω/dk
C4 1 M
⎛ ⎜ ⎝
2/1 ⎞ ⎟ ⎠
-π/a 0 π/a k
0 π/a
2. Ph©n bè Bose-Einstein/Planck:
n
τω− he /
<
>≈
n
<
>=
1 / − τω h
T thÊp th×
n
<
>≈
=
Tk B ω
h
1
1
+
−
e
1
1 ω h Tk B
T cao th×
C
V T ≡
∂ E ∂ T
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎛ ⎜ ⎝
V
∂ S ⎞ =⎟ ∂ T ⎠ V Thùc nghiÖm tãm t¾t 3 ®iÓm nh− sau: 1. T¹i nhiÖt ®é phßng 3NkB nghÜa lμ 25Jun/mol.®é hay 6Calo/mol.®é; kB lμ h»ng sè Boltzmann. 2. ë nhiÖt ®é thÊp nhiÖt CV ~ T3 ®èi víi ®iÖn m«i vμ CV~T ®èi víi kim lo¹i. NÕu kim lo¹i biÕn thμnh siªu dÉn (tr¹ng th¸i siªu dÉn) th× ®Þnh luËt gi¶m nhiÖt dung nhanh h¬n T. 3. Trong c¸c vËt liÖu tõ thÓ r¾n ë tÊt c¶ mäi vïng nhiÖt ®é nÕu tån t¹i trËt tù ho¸ trong hÖ c¸c m«men tõ th× phÇn ®ãng gãp do trËt tù tõ vμo nhiÖt dung lμ ®¸ng kÓ. D−íi 0,1K trËt tù ho¸ c¸c m«men tõ h¹t nh©n cã thÓ cã ®ãng gãp rÊt lín vμo nhiÖt dung.
3. NhiÖt dung
B
ω=ε h C ≈ Nk3 V
C
=
V
a. M« h×nh Einstein: Phonon cã cïng 1 møc n¨ng l−îng /cïng mét tÇn sè NhiÖt ®é cao
∂ ∂ T
∂ E ∂ T
e
⎛ ⎜ ⎝
⎛ ⎜ ⎝
⎞ =⎟ ⎠ V
τω− / he~CV
N ω ⎞ h ⎟ T ω B/k h 1 − ⎠ NhiÖt ®é thÊp •Kh«ng gi¶i thÝch ®−îc tr−êng hîp nhiÖt ®é thÊp. •TÇn sè cña tÊt c¶ c¸c dao ®éng lμ nh− nhau. •L−îng tö ho¸ dao ®éng c¬ cña c¸c dao ®éng tö nh− Planck ®· lμm ®èÝ víi sãng ¸nh s¸ng: khi T tiÕn tíi 0 th× nhiÖt dung gi¶m nhanh tíi 0. •GÇn ®óng nh¸nh quang cña phonon
4. C¸c m« h×nh khÝ phonon gi¶i thÝch tÝnh chÊt nhiÖt cña c¸c chÊt ®iÖn m«i
k
,
,
,
,
.
,0 ±=
±
±
z,y,x
K
2 π L
4 π L
6 π L
N π L
b. M« h×nh Debye: Víi ω <= ωD th× ω=vgk. Víi ®iÒu kiÖn biªn tuÇn hoμn u(x)=u(x+L), Gi¸ trÞ vÐc t¬ sãng cho phÐp
ω D
E
)T,(n)(Dd
d
)(n)(Dd h
h
∫
∫
e
2 V ω 32 v2 π
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ∫ ω=ωωωω=ω>ω<ωω= ⎜ ⎝
0
ω h τω / 1 − h 3
3
4
Nk
Nk
234
C
≈
π
=
V
B
B
12 5
E ∂ T ∂
T θ
T θ
D
D
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎞ =⎟⎟ ⎠ θD-NhiÖt ®é Debye
N¨ng l−îng khÝ phonon:
→ CV~T3
2
2
)x(U
)x(
−
+
ψε=
(x)
2
h m2
d dx
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ψ⎟ ⎠
2
2
h=ε
)x(
ψ
=
k
x
m2
IV.M« h×nh vïng n¨ng l−îng vμ khÝ ®iÖn tö tù do. Ph−¬ng tr×nh sãng cña ®iÖn tö trong tr−êng thÕ tuÇn hoμn cña chuçi mét chiÒu c¸c ion
rr rkie
r = )r(
k ψ
Trong ®ã U(x) lμ tr−êng thÕ tuÇn hoμn cña c¸c ion IV.1.Trong m« h×nh khÝ ®iÖn tö tù do coi U(x)=0 KhÝ ®iÖn tö tù do Fermi: Kh«ng t−¬ng t¸c, tu©n theo nguyªn lý Pauli ikxe Trong kh«ng gian 3 chiÒu:
2
2
2
2
2
k
k(
k
=
+
+
=ε k
x
y
2 )k z
h m2
h m2
k
,
,
,
,
.
,0 ±=
±
±
z,y,x
K
2 π L
4 π L
6 π L
N π L
)(f
=ε
ë T>0K =>Hμm ph©n bè Fermi-Dirac: X¸c suÊt ®iÖn tö chiÕm møc ε t¹i nhiÖt ®é T
1 Tk/)
(
μ−ε
kε
1
e
B +
Fε
T=0K
1
Møc Fermi
T>0K
μ-thÕ ho¸
ε
T=0K
Fε
lμ møc n¨ng l−îng cao nhÊt ®iÖn tö chiÕm ë 0K k
-
-
-
-
-
• Gi¶i quyÕt ®−îc c¸c vÊn ®Ò sau: a. §é dÉn ®iÖn cña kim lo¹i r - j
r Ee
r E
d−íi t¸c dông cña lùc ®iÖn r tr−êng: F
−= r =′ mF
r v τ
e τ- thêi gian gi÷a hai va ®Ëp cña ®iÖn tö
r
m
0
=
e
e
2
τ
do va ®Ëp víi nhau cã lùc ma s¸t
−=
ne m
e
e
mEe −= − e τ r E m =σ 0
r vd dt r v −= r E
r E r j
r v τ 2 ne τ m
σ= 0
e
Khi dßng ®iÖn kh«ng ®æi, ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n : r r j vne =
C
Nk
=
≈
ele
B
Δ∂ E ∂ T
T T F
2
2
2
2
nk
T
τ
π
=
=
KlCv =
ele
lv F
T 2
1 3
π 3
nk B m3
F
2
2
2
π
π
ele
LT
=
=
=
2 Tk B 2 e3
B mv d. Quan hÖ gi÷a ®é dÉn ®iÖn vμ ®é dÉn nhiÖt cña kim lo¹i, §Þnh luËt Widermann-Franz: m.T τ 2 τ
2
L
8 − K/W10.45,2
Ω
=
b. NhiÖt dung cña kim lo¹i ë nhiÖt ®é thÊp c. §é dÉn nhiÖt cña kim lo¹i:
k B e
K σ 0 2 ⎛π ⎜ 3 ⎝
nk B ne.m3 2 ⎞ =⎟ ⎠
H»ng sè Lorentz
IV.2. M« h×nh vïng n¨ng l−îng tÝnh ®Õn t−¬ng t¸c cña c¸c ®iÖn tö ho¸ trÞ víi tr−êng thÕ tuÇn hoμn cña ion trong tinh thÓ
+
+
+
+
2
2
)x(U
)x(
−
+
ψε=
(x)
2
d dx
⎞ ⎟ ψ⎟ ⎠
iGx
)x(
ikxe)k(C
ψ
)x(U
U(x)
∑=
GeU
⎛ h ⎜ ⎜ m2 ⎝ ∑=
k
G Hμm sãng lμ hμm Block
r k
r G
±=
1 2
2
G
U
=
)
1
1
ε ± (1
h m2
1 2
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ ±⎟ ⎠
kε
Fε
2U1
b. GÇn biªn giíi Brillouin r G
r k
r δ±
±=
1 2
π/a k
1
)(
1
)(
±
+±ε=±ε k
1
22 δ h m2
2 λ U
1
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝ Vïng cÊm cã bÒ réng Eg=2U1
• Gi¶i quyÕt ®−îc c¸c vÊn ®Ò sau: a. T¹i biªn giíi vïng Brillouin
kε
• S¬ ®å vïng n¨ng l−îng:
-3π/a -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a 3π/a k
MiÒn Brillouin thø nhÊt
kε
vïng cho phÐp
Tãm t¾t: (cid:1) Do t−¬ng t¸c víi tr−êng thÕ tuÇn hoμn cña c¸c Ion trong tinh thÓ, n¨ng l−îng cña ®iÖn tö ho¸ trÞ chia thμnh c¸c vïng cho phÐp vμ vïng cÊm xen kÏ nhau
vïng cÊm
S¬ ®å vïng më réng
V DÉn
V DÉn
V Ho¸ trÞ
V Ho¸ trÞ
Kim lo¹i
Kim lo¹i
§iÖn m«i
B¸n dÉn, b¸n kim (cid:4) §iÖn m«i: Vïng ho¸ trÞ ®iÒn ®Çy 100% ®iÖn tö ho¸ trÞ, vïng dÉn trèng 100% (cid:5) Kim lo¹i : §iÒn ®Çy 50% ®iÖn tö ho¸ trÞ hoÆc hai vïng phñ nhau: ®¸y vïng trªn thÊp h¬n ®Ønh vïng d−íi (cid:3) B¸n dÉn, b¸n kim: Vïng Ho¸ trÞ ®iÒn ®Çy >90%, Vïng DÉn ®iÒn ®Çy < 10% ®iÖn tö ho¸ trÞ.
Gi¶i thÝch tÝnh chÊt ®iÖn cña c¸c tinh thÓ: ε
εk
εk
Phñ
Eg
Eg
• Sè gi¸ trÞ vÐc t¬ sãng k lμ N b»ng sè « c¬ b¶n cña tinh thÓ, øng víi 1 gi¸ trÞ vÐc t¬ sãng cã sè l−îng tö ms=±1/2. Mçi vïng cã 2N tr¹ng th¸i cña ®iÖn tö (Sè tr¹ng th¸i trong 1 vïng lμ ch½n). (cid:6) Ho¸ trÞ lÎ lμ kim lo¹i (cid:6) Ho¸ trÞ ch½n lμ ®iÖn m«i. NÕu cã sù phñ nhau cña c¸c vïng th× vÉn lμ kim lo¹i. εk
§iÖn m«i Kim lo¹i
Vïng DÉn
Vïng DÉn
Tinh thÓ b¸n dÉn: Si, Ge cã 4 ®iÖn tö ho¸ trÞ: Vïng Ho¸ trÞ ®Çy, Vïng DÉn Trèng 100% BÒ réng vïng cÊm Eg nhá
Eg
Vïng Ho¸ trÞ
Vïng Ho¸ trÞ
T=0K ®iÖn tö kh«ng v−ît qua ®−îc vïng cÊm
§iÖn m«i
kBT > Eg ®iÖn tö v−ît qua ®−îc vïng cÊm DÉn ®iÖn
vïng cÊm
Trong ®iÖn tr−êng ®iÖn tö nh¶y lªn tr¹ng th¸i cã møc n¨ng l−îng cao h¬n → dÉn ®iÖn
