Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 16: Khôi phục ảnh

Chia sẻ: Lão Lão | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiêu chí cho việc khôi phục ảnh là mang lại một ảnh tương đối giống ảnh ban đầu khi ảnh số thu được bị suy giảm. Mỗi phần tử trong chuỗi thu nhận ảnh (thấu kính, film, bộ số hoá,...) đều có thể tạo ra suy giảm. Khôi phục từng phần ảnh bị mất chất lượng có thể thoả mãn một khía cạnh thẩm mỹ nào đó, tuỳ thuộc vào từng ứng dụng cụ thể. Trong chương này, chúng ta xem xét một vài phương pháp tiếp cận khôi phục ảnh. Ta cũng xem xét các bài toán nhận biết hệ thống và mô phỏng nhiễu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 16: Khôi phục ảnh

Ch¬ng 16 KHÔI PHỤC ẢNH 16.1. GIỚI THIỆU Trong lịch sử, lĩnh vực hoạt động rộng lớn của xử lý ảnh số đã dành hết cho việc khôi phục ảnh. Công việc này bao gồm cả nghiên cứu phát triển thuật giải lẫn chương trình, xử lý ảnh có mục đích. Nhiều đóng góp đáng chú ý trong xử lý ảnh số đã được thực hiện trước kia cũng như sau này. Dựa vào khôi phục ảnh, chúng ta muốn loại bỏ hay làm giảm những suy giảm gặp phải trong khi thu nhận ảnh số. Sự suy giảm bao gồm sự mờ do hệ thống quang học, di chuyển đối tượng và cả nhiễu từ điện tử hay nguồn quang trắc. Trong khi khôi phục ảnh có thể được định nghĩa bao gồm nhiều kỹ thuật đã đề cập trong Phần 1, ta coi nó là biểu hiện của lớp các thao tác bị hạn chế nhiều hơn. Tiêu chí cho việc khôi phục ảnh là mang lại một ảnh tương đối giống ảnh ban đầu khi ảnh số thu được bị suy giảm. Mỗi phần tử trong chuỗi thu nhận ảnh (thấu kính, film, bộ số hoá,...) đều có thể tạo ra suy giảm. Khôi phục từng phần ảnh bị mất chất lượng có thể thoả mãn một khía cạnh thẩm mỹ nào đó, tuỳ thuộc vào từng ứng dụng cụ thể. Một ví dụ cho trường hợp sau là các nhiệm vụ thu thập ảnh mặt trăng và hành tinh trong chương trình không gian. Trong chương này, chúng ta xem xét một vài phương pháp tiếp cận khôi phục ảnh. Ta cũng xem xét các bài toán nhận biết hệ thống và mô phỏng nhiễu. Đối với những tin tức chi tiết về các đối tượng, độc giả nên tham khảo tài liệu hay nghiên cứu về lĩnh vực này. 16.1.1. Tiếp cận và mô phỏng Tiến trình khôi phục ảnh bị suy giảm có thể tiếp cận theo một trong hai cách cơ bản. Nếu không biết nhiều về ảnh, ta có thể cố gắng để mô phỏng và mô tả đặc điểm các nguồn suy giảm (mờ và nhiễu) và thực hiện quá trình loại bỏ và giảm bớt ảnh hưởng của chúng. Đây là cách tiếp cận ước đoán, vì ta thử ước đoán ảnh như thế nào trước khi bị suy giảm thông qua xử lý các đặc tính liên quan còn lại. Nói cách khác, rất nhiều nhận thức trước đây về ảnh đã có sẵn, có thể thành công hơn để phát triển mô hình toán học của ảnh ban đầu và điều chỉnh mô hình ảnh quan sát. Một ví dụ cho trường hợp này, giả sử rằng ảnh đã biết chỉ chứa các đối tượng hình tròn có kích thước cố định (các vì sao, các hạt, các tế bào,…). Ở đây, công việc là sự phát hiện, vì chỉ một vài thông số của ảnh ban đầu là chưa biết (số lượng, vị trí, biên độ,…). Việc tiếp cận bài toán khôi phục ảnh cũng thể hiện ở một vài lựa chọn khác. Thứ nhất, việc phát triển có thể sử dụng các phép toán rời rạc hay liên tục. Thứ hai, việc phát triển có thể thực hiện trong miền không gian hay miền tần số. Cuối cùng, trong khi việc thực hiện phải là số (digitally) thì khôi phục có thể thực hiện trong miền không gian (qua tích chập) hay miền tần số (qua phép nhân). Thật may mắn, bây giờ ta đã xác định đượ tập điều kiện mà, nếu được bảo toàn, làm cho các phương pháp tiếp cận khác nhau đều cần thiết ngang nhau. Vì thế, chúng 312
ta có thể sử dụng bất cứ cách tiếp cận nào phù hợp với yêu cầu và ràng buộc của ta nhất, miễn là chúng ta quan tâm đến những giả thiết cơ bản. Thường thường, có hai hay nhiều cách tiếp cận đều dẫn đến cùng một kỹ thuật khôi phục. Các phương pháp tiến hành tốt trong thực tiễn là cơ sở cho bài toán này. Một trong số chúng luôn luôn có vẻ như chờ đợi ta cuối hành trình, không quan tâm đến hướng ta xuất phát hay loại bản đồ và la bàn mà ta sử dụng. Trong chương này, chúng ta xem xét một vài kỹ thuật khôi phục ảnh quan trọng. Chúng ta bắt đầu bằng cách tiếp cận trong miền tần số liên tục theo thứ tự phát triển và ứng dụng của chúng đối với ảnh số. Sau đó ta sẽ nghiên cứu trong miền không gian rời rạc để thống nhất các kết quả có trước thành cơ cấu chung. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét khía cạnh thực tiễn của việc xử lý mờ biến thiên và nhiễu không cố định. Sau khi xác định các tham số suy giảm ta tiến hành khôi phục ảnh. 16.2. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC ẢNH KINH ĐIỂN Trong phần này, chúng ta sử dụng hệ thống trong Hình 16-1 để mô phỏng sự suy giảm và khôi phục ảnh. Ảnh f(x,y) được làm mờ bằng phép toán tuyến tính h(x,y) và nhiễu n(x,y) được thêm vào để tạo thành ảnh suy giảm w(x,y). Ảnh này được nhân chập với bộ lọc khôi phục g(x,y) để cho ảnh khôi phục f^(x,y). f ( x, y ) w( x , y ) f ^ ( x, y ) h ( x, y ) + g ( x, y ) n( x, y ) Hình 16-1 Mô hình khôi phục ảnh liên tục Lý thuyết hệ thống tuyến tính đã được sử dụng để thiết kế các bộ lọc điện tử trong nhiều năm trước khi xử lý ảnh trở nên phổ biến. Nó được ứng dụng rộng rãi trong quang học, xử lý tín hiệu số và các lĩnh vực khác. Ví dụ, giải chập được biết đến trong thiết kế bộ lọc điện tử và phân tích chuỗi thời gian. Thậm chí ước lượng sai số bình phương trung bình (MSE) tối thiểu được Norbert Wienner trình bày vào năm 1948. Vì thế, nhiều kỹ thuật ứng dụng trong khôi phục ảnh là sự tổng hợp từ các phương pháp một chiều đã sử dụng trong xử lý tín hiệu tương tự và tín hiệu số. Thậm chí khi trở thành đặc trưng, các kỹ thuật mới đã được trình bày, chúng tập trung vào cách tiếp cận miền tần số kinh điển 16.2.1. Giải chập (Deconvolution) Vào giữa thập niên 60, giải chập (lọc ngược) đã bắt đầu được ứng dụng rộng rãi để khôi phục ảnh số. Nathan đã sử dụng giải chập hai chiều để khôi phục ảnh từ các nhiệm vụ thám hiểm hành tinh Ranger, Surveyor và Mariner. Vì phổ tín hiệu thường tắt dần nhanh hơn nhiễu ở cùng tần số, nên các thành phần tần số cao thường bị nhiễu tác động. Phương pháp tiếp cận của Nathan đã hạn chế hàm truyền đạt giải chập xuống một giá trị tối đa nào đó (Hình 16-2). Trong suốt chu kỳ lấy mẫu, Harris đã giải chập vệt mờ do sự hỗn loạn của bầu khí quyển trong ảnh thiên văn sử dụng một mô hình phân tích đối với PSF và McGlamery đã giải chập sự hỗn loạn khía quyển sử dụng một PSF xác định qua thực nghiệm. Do đó, giải chập đã trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn cho vấn đề khôi phục ảnh. 313
Hình 16-3 minh hoạ sự cải tiến có thể có trên ảnh khi kỹ thuật này được thực hiện cẩn thận. 1 1 0.2 h h (a) §¸p øng lý thuyÕt (b) §¸p øng thùc tÕ 5 1 1 0 h h (c) §¸p øng ®¶o (d) §¸p øng ®· hiÖu chØnh Hình 16-2 Giải chập HÌNH 16-3 Hình 16-3 Giải chập ảnh Surveyor: (a)trước; (b) sau 16.2.2. Giải chập Wienner Trong đa số các ảnh, các điểm ảnh liền kề rất tương quan với nhau, trong khi các mức xám của các điểm ảnh riêng biệt chỉ tương quan lỏng lẻo. Từ đó, chúng ta có thể chứng tỏ rằng hàm tự tương quan của ảnh đặc thù nói chung là suy giảm nhiều so với ban đầu. Vì phổ năng lượng của ảnh là biến đổi Fourier (thực và chẵn) hàm tự tương quan của nó nên chúng ta có thể chứng tỏ được rằng phổ năng lượng của một ảnh nói chung suy giảm theo tần số. Các nguồn nhiễu đặc trưng có phổ năng lượng bằng phẳng hoặc suy giảm theo tần số chậm hơn so với phổ năng lượng của ảnh. Vì thế, trạng thái mong muốn là sao cho 314
phổ tín hiệu ở tần số thấp còn nhiễu chiếm các tần số cao. Bởi vì kích thước bộ lọc giải chập thường tăng theo tần số nên bộ lọc sẽ tăng cường nhiễu tần số cao. Những cố gắng vận dung giải chập bài toán nhiễu bằng các phương pháp đặc biệt và trực quan. Helstrom đã chấp nhận thủ tục ước lượng sai số bình phương trung bình và đã trình bày bộ lọc giải chập Wienner, có hàm truyền đạt hai chiều H * (u, v ) Pf (u , v) G (u , v )  2 (1) H (u , v) Pf (u, v )  Pn (u, v ) và có thể viết lại như sau: H * (u , v) G (u , v )  2 (2) H (u , v)  Pn (u , v) / Pf (u , v) trong đó Pf và Pn là phổ năng lượng của tín hiệu và nhiễu. Bộ lọc này được trình bày trong chương 11 cho trường hợp một chiều. R f ( ) Pn (s )  s Hµm tù t¬ng quan Phæ n¨ng lîng nhiÔu Pf (s ) Pf ( s) Pn (s ) s s Phæ n¨ng lîng Tû lÖ tÝn hiÖu/nhiÔu (SNR) F (s ) 1 H (s) s s Phæ biªn ®é Bé läc gi¶i chËp Hình 16-4 Vấn đề nhiễu trong giải chập Slepian đã mở rộng giải chập Wienner để giải thích PSF suy biến (ví dụ do nhiễu loạn khí quyển). Sau đó, Pratt và Habibi đã phát triển công cụ để tăng hiệu quả tính toán của giải chập Wienner. 315
Giải chập Wienner tạo ra một phương pháp tối ưu cho việc thực hiện hàm truyền đạt giải chập trong sự hiện diện của nhiễu, nhưng nó bị vướng mắc với ba vấn đề hạn chế tính hiệu quả của nó. Thứ nhất, tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (MSE) của sự tối ưu không đặc biết tốt nếu ảnh đang được khôi phục trong mắt người. Vấn đề là ở chỗ tiêu chuẩn MSE xử lý mọi sai số như nhau, bất chấp vị trí của chúng trong ảnh, trong khi mắt phải chịu đựng các sai số trong vùng tối và vùng gradient cao nhiều hơn các hệ thống khác. rong việc tối thiểu hoá sai số bình phương trung bình, bộ lọc Wienner cũng có xu hướng làm trơn ảnh nhiều hơn những gì mà mắt ưa thích. Thứ hai, giải chập Wienner cổ điển không thể vận dụng PSF có biến làm mờ thuộc không gian. Điều này xuất hiện với sự hôn mê, chứng loạn thị, sự uốn cong của trường thể hiện và với vệt mờ di chuyển trong khi quay. Cuối cùng, kỹ thuật không thể vận dụng cho các trường hợp phổ biến của tín hiệu và nhiễu dừng. Đa số các ảnh là không dừng, có các khu vực bằng phẳng rộng phân biệt bởi sự chuyển tiếp dễ nhận thấy (biên). Hơn nữa, một vài nguồn nhiễu quan trọng tuỳ thuộc rất nhiều vào mức xám cục bộ. Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ xem xét những cách thức thực hiện và cải tiến giải chập Wienner. 16.2.3. Cân bằng phổ năng lượng Canon đã chứng minh bộ lọc khôi phục phổ năng lượng của ảnh bị suy giảm thành biên độ ban đầu là 1/ 2  Pf (u , v)  G (u , v )   2  (3)  H (u , v) Pf (u , v)  Pn (u , v)  Giống như bộ lọc Wienner, bộ lọc cân bằng phổ năng lượng (Power Spectrum Equalization-PSE) này không có pha (thực và chẵn). Nó thích hợp cho các hàm làm mờ không pha hay pha được xác định bởi các phương pháp khác. Điểm tương đồng giữa bộ lọc PSE (biểu thức (3)) và bộ lọc giải chập Wienner (biểu thức (1)) là quá rõ ràng. Cả hai bộ lọc đều giảm xuống còn giải chập trực tiếp trong tình trạng không nhiễu và cả hai cắt hoàn toàn trong tình trạng không có tín hiệu. Tuy nhiên, bộ lọc PSE không cắt tại các vị trí 0 trong hàm truyền đạt làm mờ F(u, v). Khả năng khôi phục ảnh của bộ lọc PSE rất tốt và trong vài trường hợp bộ lọc PSE có thể được ưa thích hơn giải chập Wienner. Đôi khi bộ lọc PSE còn được gọi là bộ lọc đồng hình (homomorphic filter). 16.2.4. Các bộ lọc trung bình hình học Xét hàm truyền đạt bộ lọc khôi phục được cho bởi  1  H * (u , v)   H * (u , v )  G (u , v )   2   2  (4)  H (u , v)   H (u , v)  Pn (u , v) / Pf (u , v)  trong đó  và  là các hằng số thực dương. Bộ lọc này là sự khái quát của các bộ lọc đã đề cập trước đây. Hàm truyền đạt được tham số hoá theo  và . Chú ý, nếu  = 1 thì biểu thức (4) rút gọn thành bộ lọc giải chập. Hơn nữa, nếu  = 1/2 và  = 1, thì nó sẽ trở thành bộ lọc PSE trong biểu thức (3). 316
Cần lưu ý thêm rằng, nếu  = 1/2 thì biểu thức (4) sẽ xác định bộ lọc trung bình hình học giữa giải chập bình thường và giải chập Wienner. Vì thế biểu thức (3) còn có một tên gọi nữa là bộ lọc trung bình hình học. Tuy nhiên, thực tế thì tên gọi này thường dùng cho bộ lọc tổng quát hơn trong biểu thức (4). Nếu trong biểu thức (4),  = 0 thì nó trở thành bộ lọc tham số Wienner  H * (u , v )  G (u , v )   2  (5)  H (u , v)  Pn (u , v) / Pf (u, v )  Nếu  = 1 biểu thức này sẽ trở thành bộ lọc giải chập Wienner của biểu thức (2), ngược lại  = 0 sẽ rút gọn thành giải chập trực tiếp. Nói chung,  có thể được chọn để có được bộ lọc làm trơn kiểu Wienner mong muốn. Biểu thức (4) trình bày một lớp các bộ lọc khôi phục rất phổ biến thường dùng trong các hàm làm mờ tuyến tính, bất biến không gian và nhiễu cộng không tương quan. Andrews và Hunt đã nghiên cứu khả năng khôi phục của bộ lọc trong biểu thức (4) dưới các điều kiện hơi mờ và nhiễu vừa phải. Chúng chứng tỏ rằng, dưới những điều kiện này, giải chập trực tiếp ít mong muốn nhất và giải chập Wienner tạo ra hiệu quả lọc thông thấp khắt khe hơn mà mắt người mong muốn. Bộ lọc tham số Wienner  < 1 và bộ lọc trung bình hình học cùng một ràng buộc có vẻ như tạo ra các kết quả dễ chịu hơn. 16.3. SỰ KHÔI PHỤC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Andrews và Hunt đã đề xuất một phương pháp tiếp cận bài toán khôi phục ảnh dựa trên cơ sở đại số tuyến tính. Tiếp cận này có thể lôi cuốn những người thích dùng đại số ma trận hơn phép tính tích phân và toán học rời rạc để phân tích các hàm liên tục. Nó đưa ra một sự trình bày thống nhất về các bộ lọc khôi phục, kể cả những bộ lọc đã đề cập trước đây và nó mang lại những hiểu biết về khía cạnh bằng số của bài toán khôi phục ảnh. Bởi vì kích thước các vec tơ và cả các ma trận nên phương pháp tiếp cận đại số tuyến tính có thể không mang lại hiệu quả. Thay vào đó, một kỹ thuật khôi phục phát triển theo phương pháp tiếp cận này có thể được thực hiện hiệu quả hơn bằng phương pháp khác. 16.3.1. Mô hình khôi phục rời rạc Hình 16-5 trình bày một mô hình mad ta sẽ sử dụng trong việc phát triển các kỹ thuật khôi phục không gian rời rạc. Hàng trên đỉnh biểu thị trạng thái mong muốn (nhưng không có khả năng), đó là một bộ số hoá lý tưởng hoạt động trên f(x, y), là hàm liên tục không sy biến biểu diễn cho cảnh vật lý tạo ra ảnh. Bộ số hoá này tạo ra một vec tơ cột f N2  1, đệm thêm và xếp chồng theo hàng, chứa ảnh số mong muốn. Khuôn dạng vec tơ cột này đối với việc lưu trữ ảmh số đã được đề cập trong phần 9.3.4. Hàng thứ hai của mô hình mô phỏng điều sẽ xảy ra khi một ảnh được số hoá và được khôi phục. Hàm f(x, y) bị mờ bởi một phép toán tuyến tính h(x, y) và sau đó một ảnh nhiễu hai chiều n(x, y) được thêm vào, tạo thành g(x, y). Một bộ số hoá lý tưởng tạo ra một vec tơ cột g đệm thêm, sắp xếp theo hàng, chứa ảnh số N  N quan  sát được. Điều này tuỳ thuộc vào phép toán khôi phục tạo ra f , xấp xỉ với kết quả mong muốn, f. 317
Hàm mờ là tuyến tính, nhưng nó có thể là bất biến dịc hoặc không. Nếu nó là bất biến dịch thì nó chẳng qua là tích chập của f(x, y) với PSF h(x, y). Nếu thực tế có nhiều hơn một toán tử làm mờ trong chuỗi mô phỏng, thì các toán tử này được giả định là kết hợp với nhau thành h(x, y). Cũng như vậy, nhiều nguồn nhiễu được giả thiết là kết hợp thành một nguồn n(x, y). Mô hình này vẫn chưa hoàn thiện, vì nó không tính đến nhiễu phi tuyến và nhiễu phụ thuộc tín hiệu. Hàng thứ ba của hình cho thấy mô hình mà chúng ta phân tích ở đây. Một bộ số hoá lý tưởng tạo ra f, như trước, nhưng điều này tuỳ thuộc vào phép toàn tuyến tính rời rác H. Một ảnh nhiễu rời rạc, mã hoá theo vec tơ cột n, được thêm vào để tạo ra ảnh quan sát g, cũng có dạng vec tơ. Một phép toán khôi phục rời rạc lại tạo ra ước  lượng f . Khuôn dạng của vec tơ ảnh quan sát bây giờ có thể được biểu diễn dưới dạng đầy đủ như sau g = Hf + n (6) trong đó g, f và n là các vec tơ cột N2  1 và H là ma trận N2  N2. Nếu hàm mờ là bất biến dịch thì H là ma trận khối vòng tròn. Ngoài ra, các ảnh số mà ta quan tâm đều là N  N sau khi đệm thêm các giá trị 0 cần thiết. Lưu ý rằng bây giờ, bằng các phép toán rời rạc, chúng ta đang mô phỏng các suy biến nhận được trước khi ảnh được chuyển đổi sang dạng số. Mô phỏng này có hai nhánh. Đầu tiên, ta có thể tạo các ví dụ mô phỏng rất ấn tượng bằng mô hình này, vì ta có thể thiết kế quá trình suy biến và thực hiện nó chính xác. Sự khôi phục trở thành một bài tập bằng số đơn thuần, nếu ta chọn một quá trình suy biến có thể đảo ngược. Ta thực hiện điều đó, ta xoa bỏ nó, và ta khôi phục lại nguên mẫu trong phạm vi sai số làm tròn. Thứ hai, bây giờ ta tiến hành mô phỏng các quá trình (liên tục) bằng các phép toán rời rạc. Điều này tương tự như tình huống trước đây mà chúng ta đã phải bảo đảm rằng quá trình xử lý rời rạc dữ liệu lấy mẫu bảo toàn nguyên vẹn các hàm liên tục cơ bản. Hiệu lực của khôi phục ảnh cố gắng xoay quanh sự mô phỏng chính xác quá trình suy biến ảnh. 16.3.2. Khôi phục không ràng buộc Nếu n = 0 hoặc nếu ta không biết một tí gì về nhiễu, ta có thể thiết lập sự khôi  phục như bài toán tối thiểu hoá bình phương nhỏ nhất theo cách dưới đây. Cho e(f ) là  một vec tơ sai số thặng dư thu được từ việc sử dụng f như một xấp xỉ của f. Khi đó biểu thức (6) trở thành     g  Hf  H f  e(f ) hay e(f )  g  H f (7) và ta tối thiểu hoá hàm mục tiêu 2  2 t           W f   e f   g  Hf  g  Hf  g  hf  (8)         trong đó a  a t a ký hiệu cho tiêu chuẩn Ơ clit của một vec tơ, tức là, câưn bậc hai của tổng bình phương các phần tử của nó. 318
 Nghĩa là ta chọn f sao cho nếu nó bị H làm mờ thì kết quả sẽ khác ảnh quan sát g càng ít càng tốt theo nghĩa bình phương trung bình. Vì bản thân g là f đơn giản bị  làm mờ bởi H, nên đây là cách tiếp cận tốt nhất. Nếu f và f , cả hai đều bị H làm mờ,  gần giống nhau thì f có thể là xấp xỉ tốt nhất đối với f. Chú ý rằng công thức này có phần khác với công thức đã sử dụng trong phần trình bày bộ lọc Wienner trong phần 11.5.2. Ở đó, ta đã cố gắng tối thiểu hoá sự khác nhau giữa tín hiệu khôi phục và tín hiệu ban đầu. Ở đây, ta đã hoàn thành việc tối thiểu hoá sự khác nhau giữa ảnh mờ ban đầu và ước lượng mờ của ảnh ban đầu. Chúng ta không thể mong đợi hai công thức này cho kết quả như nhau.   Cho đạo hàm của W (f ) theo f bằng 0, ta được  W (f )      2H t  g  H f   0 (9) f    và giải theo f ta được  f  (H t H ) 1 H t g  H 1g (10) trong đó dấu bằng thứ hai là đúng vì H là ma trận vuông. Biểu thức (10) giống như bộ lọc đảo. Với hàm mờ bất biến dịch, H sẽ là ma trận khối vòng tròn và nó có thể được dùng để xác định giải chập, cho trong miền tần số bởi  G u , v  F u , v   (11) H u , v  Nếu H(u, v) có các giá trị 0 thì H là duy nhất và H-1 hay (HtH)-1 không tồn tại. 16.3.3. Khôi phục ràng buộc bình phương nhỏ nhất Ta có thể sắp xếp biểu thức (6) lại như sau g - Hf = n (12) Một cách để đưa thành phần nhiễu vào ràng buộc tối thiểu mà các tiêu chuẩn của mỗi vế trong biểu thức (12) là như nhau; tức là,  2 2 g  Hf  n (13) Bây giờ chúng ta có thể thiết lập bài toán như tối thiểu hoá của  2  2 2   W (f )  Q f    g  H f  n  (14)   trong đó Q là một ma trận mà ta chọn để định nghĩa một toán tử tuyến tính nào đó  trên f và  là một hằng số gọi là số nhân Lagrăng. Khả năng xác định Q cho ta tính linh hoạt khi thiết lập mục đích khôi phục. 319
  Như trước, ta đặt đạo hàm W( f ) theo f bằng 0:  W (f )     2Q t Q f  2H t (g  H f )  0 (15) f Sau đó giải với f ta được  f  (H t H  Q t Q) 1 H t g (16) trong đó  = 1/ là hằng số mà phải được điều chỉnh sao cho ràng buộc của biểu thức (13) thoả mãn. Đây là biểu thức tổng quát cho giải pháp khôi phục ràng buộc bình phương nhỏ nhất. 16.3.3.1. Bộ lọc giả ngược Nếu ta đặt Q = I, ma trận đồng nhất, thì ta sẽ tối thiểu hoá được tiêu chuẩn f tuỳ thuộc vào ràng buộc nhiễu của biểu thức (13). Khi đó biểu thức (16) trở thành   f  H t H  I  1 Ht g (17) Chú ý rằng nếu ta đặt  = 0 thì biểu thức này rút rọn thành bộ lọc đảo như biểu thức (10). 16.3.3.2. Bộ lọc tham số Wienner Chúng ta có thể coi f và n như các vec tơ ngẫu nhiên và chọn Q bằng tỷ số nhiễu- tín hiệu Q  R f 1 / 2 R 1n/ 2 (18) Trong đó Rf = {fft} và Rn = {nnt} là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu tương ứng. Khi đó biểu thức (16) trở thành  f  (H t H  R f1R n ) 1 H t g (19) Bằng cách giả thiết tính dừng và bất biến dịch, và bằng cách sử dụng ma trận biến đổi Fourier, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng biểu thức này dẫn đến bộ lọc tham số Wienner của biểu thức (5). Trong khi  là một tham số có thể điều chỉnh, chú ý rằng với  = 1, ta có bộ lọc Wienner cổ điển đã đề cập trong phần 11.5.2 để tối thiểu hoá độ lệch bình phương trung bình giữa ảnh ban đầu và ảnh khôi phục. Trình bày về đại số tuyến tính trước đây, sử dụng sự tối thiểu hoá của biểu thức (14) với tiêu chuẩn của biểu thức (18) đối với trường hợp hàm mờ bất biến dịch, đã dẫn ta trở lại cùng xác định miền tần số đối với bộ lọc Wienner đã trình bày trong chương 11. Tuy nhiên, lưu ý rằng nó phát triển dễ dàng hơn, nhưng không dễ dàng đối với bộ lọc đang đề cập, chứng tỏ bộ lọc này làm cho ảnh khôi phục trông giống ảnh ban đầu nhất (theo nghĩa bình phương trung bình). Mặc dù sự phát triển sau mang lại cùng một câu trả lời với thời gian nhanh hơn, nhưng nó không có nghĩa là bộ lọc tối ưu. 16.3.3.3. Các ràng buộc làm trơn Sự khôi phục bao gồm cả lọc ngược một ảnh bị nhiễu, mờ. Lọc ngược thường làm nổi bật các chi tiết nhỏ. Thường thường, ma trận mờ phải chịu đựng điều kiện tồi và 320
thậm chí có thể khác thường. Việc tối thiểu hoá tạo ra một ảnh khôi phục khi đã mờ giống với ảnh ban đầu bị nhiễu, mờ. Vì những lý do này, ảnh khôi phục có thể phải chịu đựng các tác động lớn do con người tạo ra. Một phương pháp khắc phục vấn đề này là chọn Q để áp đặt mọt mức độ làm trơn nào đó lên ảnh khôi phục. Sau đó biểu thức (14) sẽ cố gắng đạt đến một sự đánh giá về làm trơn, khử mờ và khử nhiễu. Đặt Q tương ứng với phép lọc tích chập thông cao, ví dụ như Laplace, là đạo hàm bậc hai; tức là,  2 2   2 f  x, y    2  2  f  x, y  (20)  x y  Trong biểu thức (14), số hạng  2   Qf  f t Qt Q f (21) Là trung bình của ước lượng lọc thông cao bình phương. Ma trận vòng tròn khối Q là biểu hiện gần đúng của hạt nhân tích chập thông cao, chẳng hạn như  0 1 0  p x, y    1 4  1 (22)  0  1 0  Là một xấp xỉ rời rạc với ma trận Laplace. Từ biểu thức (16), sự định rõ miền tần số của phép toán khôi phục (bất biến dịch) là   H * u, v   F u , v    2 2 G u , v  (23)  H u, v    P u , v   Trong đó P(u, v) là hàm truyền đạt của bộ lọc thông cao được thực hiện bởi Q. Đối với Laplace, biểu thức này là  Pu , v   4 2 u 2  v 2  (24) Nhưng cũng có thể sử dụng các hàm truyền đạt thông cao khác. Giá trị của  kiểm tra mức độ ràng buộc của sự làm trơn lên trên sự ước lượng và hình dạng của P(u, v) định nghĩa các tần số khác nhau bị ảnh hưởng như thế nào bởi ràng buộc làm trơn. 16.4. KHÔI PHỤC CÁC PHẦN ÍT SUY GIẢM Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các tình huống không hạn chế đối với quá trình làm mờ bất biến dịch, tín hiệu và nhiễu dừng. 16.4.1. Hàm mờ biến thiên không gian Trong khi phân tán và mờ chuyển động tuyến tính là các phép toán tuyến tính bất biến không gian, thì chứng loạn thị, sự hôn mê, sự cong trường và mờ do chuyển động quay là biến thiên không gian. Một phương pháp khôi phục trực tiếp và hiệu quả đối với việc sửa chữa những suy giảm này là phép khôi phục biến đổi toạ độ. Phương pháp tiếp cận này bao gồm việc sử dụng một biến đổi hình học lêm trên ảnh suy giảm tạo ra hàm mờ bất biến không gian tổng hợp. Tiếp theo là một kỹ thuật khôi 321
phục bất biến không gian ban đầu và sau đó bằng một biến đổi hình học đảo ngược phép toán trên và đưa ảnh về lại khuôn dạng ban đầu của nó. Robbins và Huang đã áp dụng kỹ thuật này vào sự hôn mê và Sawchuk đã áp dụng nó vào sự mờ do chuyển động phi tuyến và vào chứng loạn thị và sự cong trường. Đối với các nguồn suy giảm biến thiên không gian này, các biến đổi hình học yêu cầu là đã biết và sự khôi phục là rất hiệu quả. 16.4.2. Hàm mờ biến thiên thời gian Độ phân giải giới hạn nhiễu xạ của một kính thiên văn 200 inch là xấp xỉ 0.05 giây cung. Tuy nhiên, dưới những điều kiện không thuận lợi, sự nhiễu loạn khí quyển có thể làm giảm độ phân giải xuống còn khoảng 2 giây cung. Quan sát các ngôi sao qua bầu khí quyển nhiễu loạn trương tự như việc xem một nguồn ánh sáng điểm chuyển động qua cửa kính dưới trời mưa. Với sự phơi sáng trong thời gian ngắn, sự nhiễu loạn khí quyển tạo ra một mẫu lốm đốm do sự méo pha trong bầu không khí đa dạng bên trên kính thiên văn. với sự phơi sáng lâu hơn, sự hỗn loạn khí quyển sẽ gây ra mẫu lốm đốm “nhảy nhót” khi không khí thay đổi. Vì thế, phơi sáng lâu tích hợp những mẫu lốm đốm nhảy lung tung để tạo ra vết mờ lớn, lớn hơn nhiều so với PSF giới hạn nhiễu xạ của kính thiên văn. Thời gian trung bình trong miền không gian tương đương với việc lấy trung bình phổ phức trong miền tần số. Hàm truyền đạt trung bình thời gian thu được tiến tới 0 tại các tần số bên dưới giới hạn nhiễu xạ của kính thiên văn. vì thế, trong sự hiện diện của sự méo pha ngẫu nhiên, lấy trung bình theo thời gian có hại nhiều hơn có lợi. Labeyrie đã chứng minh theo kinh nghiệm rằng phổ nămg lượng trung bình theo thời gian của ảnh một ngôi sao vượt ra ngoài giới hạn nhiễu xạ. Nghĩa là sự thay đổi pha ngẫu nhiên trong không khí tính trung bình vượt ra ngoài phổ nămg lượng ảnh. Kỹ thuật khôi phục của ông ta (đo giao thoa vết lốm đốm) bao gồm cả việc đạt được phổ năng lượng của cả đối tượng vũ trụ đang xét lẫn ngôi sao tham khảo. Ông ta thực hiện giải chập bằng cách chia phổ năng lượng của đối tượng cho phổ năng lượng của ngôi sao. Kết quả là thu được một ước lượng phổ năng lượng giới hạn nhiễu xạ của đối tượng chưa biết. Kết quả này có thể biến đổi ngược để đượchàm tự tương quan của đối tượng. Bởi vì thông tin pha không có trong phổ năng lượng nên không thể khôi phục đối tượng một cách chính xác, nhưng hàm tự tương quan là đủ để nhận biết các ngôi sao lớn gấp đôi và một vài vật thể khác cũng có thể được quan tâm. Knox đã mở rộng kỹ thuật Labeyrie để khôi phục thông tin pha và thu được các ảnh giới hạn nhiễu xạ ngay cả với những điều kiện tương đối tồi tệ. Giống như Labeyrie, ông ta lấy trung bình toàn bộ phổ phơi sáng thời gian ngắn để xác định phổ năng lượng của đối tượng. Thông tin pha thu được từ sự tự tương quan của phổ năng lượng tức thời. 16.4.3. Nhiễu và tín hiệu không dừng Các bộ lọc đã nói đến ở trên đều liên quan đến tín hiệu và nhiễu dừng. Đối với một ảnh dừng, việc tính toán phổ trong một vùng hoàn toàn giống như (hoặc xấp xỉ) trong toàn bộ ảnh. Đáng tiếc, điều này thường không đúng như thế. Thực tế hầu hết các ảnh là không dừng. Ví dụ, xem xét bức ảnh khuôn mặt một người. Phổ năng lượng tại vùng trán sẽ có năng lượng tần số cao ít hơn nhiều so với phổ năng lượng vùng mắt. Một lớp lớn các ảnh có thể được mô phỏng như một tập hợp các vùng có 322
mức xám tương đối không thay đổi, tách biệt bởi các đường biên có gradient khá cao. Các ảnh một cánh đồng chụp trên không là một ví dụ. Quá trình ngẫu nhiên dừng không thể mô phỏng chính xác một vài nguồn nhiễu phổ biến. Ví dụ nhiễu hạt film hầu như không tồn tại trên các vùng mật độ thấp của một ảnh âm bản, nhưng mức nhiễu sẽ gia tăng theo mật độ. Mật độ các bộ số hoá, theo sau bộ phát hiện cường độ với bộ khuếch đại logarit, sẽ tạo ra mức nhiễu cao hơn tại các vùng tối, trong đó các hạt tín hiệu nhỏ của bộ khuếch đại logarit là lớn nhất. Rõ ràng là bộ lọc Wienner giải chập trực tiếp tốt hơn, nhưng nó không thể hiện một giới hạn chính xác hơn trong khôi phục ảnh. 16.4.3.1. Công thức ma trận Trong chương 9, việc lợi dụng sự ràng buộc của tính bất biến dịch cho phép ta rút gọn tích phân chồng xuống còn một tích chập đơn giản. Nếu ta không lợi dụngtính bất biến dịch thì sự chồng mô phỏng ảnh suy giảm có thể viết lại bằng ký hiệu ma trận như sau W = FS + N (25) Trong đó mo hình của hình 16-1 đã được rời rạc hoá. Đối với các ảnh số N  N điểm ảnh thì các ma trận W, S và N là các vec tơ cột N2  1 được tạo ra bằng cách thêm và xếp thành hàng (phần 9.3.4). Ma trận suy biến F là N2  N2. Nó là một ma trận khối N  N tổng hợp từ các hàm làm mờ N  N. Nghĩa là mỗi điểm ảnh của S(i,k) bị suy giảm bởi nhân chập với một hàm làm mờ N  N riêng biệt. Nếu hàm làm mờ là bất biến dịch thì F là ma trận vòng tròn khối. Một đánh giá bình phương trung bình tối thiểu có thể bắt nguồn từ công thức ma trận này. Đối với bộ lọc trung hình học tổng quát, ảnh khôi phục được cho bởi  Z  F *t F  1 F *t  F * F        t s 1 n 1 F *t  1 W (26) Trong đó s và n là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu. Lứu ý rằng biểu thức (26) là ma trận đại số tương đương với biểu thức (4). Cũng nên chú ý rằng nếu N = 1000, thì ma trận F có một nghìn tỷ (1012) phần tử. Hơn nữa, nếu hàm suy biến có những giá trị 0 thì F sẽ là duy nhất. Rõ ràng, biểu thức (26) thể hiện một lượng công việc tính toán kinh khủng. Dưới giả thiết đơn giản hoá nào đó, có thể rút gọn công thức này xuống còn các phép tính dễ sử dụng và tạo ra các ví dụ gây ấn tượng. Tuy nhiên, khả năng đầy đủ của công thức này chưa được dùng trong các ứng dụng hàng ngày. 16.4.3.2. Tính dừng cục bộ Một ảnh hiếm khi là dừng trong một cảnh tổng thể, chúng thường chỉ có thể được giả thiết là dừng cục bộ mà thôi. Nghĩa là phổ năng lượng tại chỗ (tính trong một cửa sổ nhỏ) thay đổi chậm khi di chuyển cửa sổ trong phạm vi ảnh. Trong một ảnh cụ thể, giả thiết này phải đúng, nhưng nó thể hiện một bước tiến quan trọng đối với giả thiết về tính dừng tổng thể. Trong đa số các ứng dụng khôi phục ảnh thực tế, việc khôi phục PSF có liên quan đến việc so sánh kích thước ảnh. Nếu ảnh nói chung là dừng tại các vùng che phủ trong phạm vi PSF này thì giả thiết dừng cục bộ có thể được điều chỉnh. Một cách thực hiện khôi phục dưới chế độ dừng cục bộ là sử dụng bộ lọc Wienner hay sự khái quát hoá của nó (biểu thức (4)), trong đó phổ năng lượng của tín hiệu 323
và/hoặc nhiễu là các hàm vị trí trong ảnh. Tuy nhiên, chi phí cho tính toán tương đối cao, trừ phi các phổ này có thể được mô phỏng bởi các công thức của một vài tham số đơn giản. Hơn nữa, cần thiết phải xác định phổ năng lượng cục bộ trên toàn ảnh trước khi tham số hoá không gian bộ lọc. Một cách tiếp cận đơn giản là sử dụng bộ lọc trung bình hình học tổng quát trong biểu thức (4), trong đó các tham số  và  là biến thiên không gian có được từ ảnh. Tuy nhiên, biểu thức này thực hiện trong miền tần số. Nếu quá trình khôi phục được thực hiện bằng tích chập thì  và  không xuất hiện như các tham số đơn giản trong ma trận tích chập. Một phương pháp đơn giản hơn là xác định ma trận tích chập có một hay nhiều tham số. Phương pháp này thể hiện quá trình đơn giản hoá việc tính toán, vì chỉ cần tính ma trận tích chập mới tại từng vị trí điểm ảnh. 16.4.3.3. Các tham số phổ năng lượng Bây giờ chúng ta mô phỏng tín hiệu và nhiễu như biến không gian dừng cục bộ. Bằng cách này, ta thấy rằng có hai phạm vi trong ảnh: trên phạm vi nhỏ thì ảnh là dừng, còn trên phạm vi lớn thì không. Để minh hoạ, giả sử ta ước lượng phổ năng lượng cục bộ của ảnh tại điểm (x1,y1) bằng cách tính độ lớn bình phương biến đổi Fourier hai chiều của vùng ảnh tương đối nhỏ có tâm tại (x1,y1). Sau đó ta thực hiện tương tự với một cửa sổ khác có tâm tại điểm (x2,y2). Nếu hai điểm này khá gần nhau thì phổ năng lượng phải xấp xỉ bằng nhau, thậm chí ngay cả khi hai cửa sổ không chờm lên nhau. Nói cách khác, nếu hai điểm này nằm tách biệt trong ảnh, phổ năng lượng tất yếu sẽ không còn phù hợp. Nếu tín hiệu và nhiễu là không tương quan thì biến cục bộ của ảnh quan sát là tổng các biến thành phần nhiễu và tín hiệu; tức là,  w2 ( x, y )   s2 ( x, y )   n2 ( x, y ) (27) trong đó các biến được tính trên các cửa sổ cục bộ khá nhỏ tâm tại (x,y). Giả sử nhiễu là trắng và có năng lượng (biên độ bình phương trung bình) tỷ lệ với mức xám trung bình tại đó. Phổ năng lượng nhiễu Pn (u, v, x, y )  Pn (0,0, x, y )   n2 ( x, y )  N 0  w ( x, y ) (28) trong đó N0 là một hằng số và w(x,y) là mức xám trung bình được tính trên một vài cửa sổ có tâm tại (x,y). Chúng ta cũng giả thiết rằng phổ năng lượng tín hiệu có thể tách thành phổ năng lượng nguyên thuỷ P0 (u,v) nhân với hệ số biến đổi không gian; tức là, Pn (u, v, x, y )  f ( x, y ) P0 (0,0, x, y ) (29) Sự thay đổi tín hiệu là    s2 ( x, y )  Rs (0,0, x, y )    f ( x, y ) P0 (u , v)dudv  f ( x, y ) R0 (30)   trong đó R0 là khối lượng dưới phổ năng lượng nguyên thuỷ. Giải bài toán hệ số biến đổi không gian, ta được  s2 ( x, y )  w2 ( x, y )  N 0  w ( x, y ) f ( x, y )   (31) R0 R0 324
trong đó có sử dụng biểu thức (27) và (28). Bây giờ phổ phổ năng lượng tín hiệu có thể được viết dưới dạng trung bình và biến thiên cục bộ của ảnh quan sát: P0 (u , v) 2 Pn (u, v, x, y )  R0   w ( x, y )  N 0  w ( x, y )  (32) Bây giờ ta có thể viết một biến không gian phụ thuộc tín hiệu tổng quát hoá bộ lọc Wienner bằng cách thay thế biểu thức (28) và (32) vào  1  F * (u , v)   F * u , v P  s G (u , v , x , y )   2   2  (33)  F u , v    F u , v  Ps  Pn  Các tham số biến thiên không gian w(x, y) và 2 w(x, y) phải được tính từ ảnh vào. Nghĩa là sự khôi phục ảnh phải được tiến hành theo bước tính ảnh trung gian và ảnh biến thiên từ ảnh vào. 16.4.3.4. Phân chia ảnh Một giải pháp thực tế hơn là tạo ra một lược đồ hai chiều của w(x, y) và 2 w(x, y) và tìm kiếm những nhóm các điểm ảnh trong không gian trung gian và không gian biến thiên. Sau đó không gian có thể được chia thành nhiều vùng chứa các nhóm này. Các vùng được tạo ra có thể ánh xạ ngược lại để xác định các vùng trung gian ít thay đổi và các vùng biến thiên. một bộ lọc khôi phục có thể được thiết kế và thực hiện trên từng vùng như vậy. Trong phương pháp này, sự khôi phục biến thiên không gian chỉ đắt hơn một vài lần so với khôi phục thống kê. Ví dụ, ta có thể phân chia ảnh suy biến thành các vùng tách rời nhau có bốn kiểu nội dung. Bốn vùng tương ứng với bốn khả năng kết hợp các mức xám trung gian cao và thấp với sự biến thiên tín hiệu cao và thấp. Sử dụng bốn bộ lọc khôi phục ảnh cho mỗi vùng. Nếu các đáp ứng tần số 0 của các bộ lọc bằng nhau thì các đường biên giữa các vùng không thể nhìn thấy rõ trong quá trình xử lý ảnh. Tại những vùng cần khôi phcụ chính xác hơn, ta có thể chia vùng trung gian và sự biến thiên tín hiệu thành những khoảng nhỏ hơn. Mặc dù kỹ thuật này bị loại bỏ nhiều bước từ sự khôi phục biến thiên không gian đủ mạnh, nhưng nó có thể tạo ra một sự cải tiến đáng kể nhờ sử dụng giả thiết về tính dừng tổng thể. 16.4.3.5. Tỷ số năng lượng nhiễu (NPR-Noise Power Ratio) Biểu thức (4) đã chỉ ra rằng bộ lọc Wienner tổng quát chỉ đáp lại tỷ số năng lượng tín hiệu trên nhiễu. Phổ năng lượng tín hiệu và nhiễu không xuất hiện độc lập trong biểu thức bộ lọc. Một thủ tục khôi phục ảnh sẽ đơn giản hơn nếu ta giả thiết rằng, khắp toàn bộ ảnh, phổ năng lượng tín hiệu và nhiễu thay đổi theo biên độ mà không theo dạng hàm. Nghĩa là hàm SNR (của tần số không gian) cũng chỉ thay đổi theo biên độ trong từ đầu đến cuối ảnh. Nếu nhiễu là trắng và biên độ phụ thuộc tín hiệu của nó cho trong biểu thức (28), ta có thể viết tỷ số phổ năng lượng nhiễu trên tín hiệu như sau Pn (u , v, x, y ) R N   w ( x, y )  R0 N 0  0 0  2  NPR ( x, y ) (34) Ps (u, v, x, y ) P0 (u , v)  n ( x, y )  N 0  w ( x, y )  P0 (u , v) trong đó NPR(x,y), số hạng trong dấu ngoặc, được gọi là tỷ số năng lượng nhiễu. Nó biểu diễn khả năng biến thiên không gian của tỷ số phổ năng lượng và dễ dàng 325
tính từ ảnh trung gian và ảnh biến thiên của ảnh suy biến. Lưu ý rằng biểu thức (34) được viết dưới dạng tích các số hạng phụ thuộc tần số và phụ thuộc vị trí. Hàm NPR(x,y) có thể được xem như một ảnh. Mức xám của nó biểu diễn khả năng biến đổi không gian của tỷ số năng lượng nhiễu trên tín hiệu. Điều này đủ để xác định biến đổi không gian của một bộ lọc khôi phục. Người ta có thể sử dụng các ngưỡng trên NPR(x,y) tại vài mức xám để chia ảnh bị suy giảm thành những vùng SNR gần giống nhau. Một bộ lọc khôi phục khác cũng có thể được sử dụng cho từng vùng. 16.4.3.6. Các bộ lọc kết hợp tuyến tính Có một cách khác sử dụng ảnh NPR để khôi phục biến đổi không gian. Kỹ thuật này tương đối rẻ và thực hiện sự khôi phục biến đổi không gian PSF một cách trôi chảy. Giả sử ta tạo ra một hàm mặt nạ m(x,y) bằng cách đơn giản hoá NPR(x,y) trong đoạn [0,1]. Giá trị 0 tương ứng với tỷ số cực tiểu, 1 tương ứng với tỷ số cực đại năng lượng nhiễu trên tín hiệu trong ảnh. Tiếp theo ta sẽ thiết kế hai bộ lọc khôi phục g1(x,y) và g2(x,y) tương ứng với các trường hợp NPR thấp và cao. Nhân chập ảnh với hai bộ lọc khôi phục này. Các phép toán thực hiện là z1 ( x, y )  w( x, y )  g1 ( x, y ) (35) và z 2 ( x, y )  w( x, y )  g 2 ( x, y ) (36) trong đó g1(x,y) và g2(x,y) là các bộ lọc khôi phục tĩnh có được từ biểu thức (4) dưới các điều kiện nhiễu cao và nhiễu thấp. Ảnh được khôi phục là z ( x, y )  m( x, y ) z1 ( x, y )  [1  m( x, y )]z 2 ( x, y ) (37) Cuối cùng bước khôi phục cũng có thể được viết như sau z ( x, y )  w( x, y )  m( x, y ) g1 ( x, y )  [1  m( x, y )]g 2 ( x, y ) (38) Nếu m(x,y) biến đổi chậm so với phạm vi đáp ứng xung của bộ lọc khôi phục, thì ta giả sử nó là hằng số. Với giả thiết này, phép nhân thay thế gần đúng cho tích chập và biểu thức khôi phục biến đổi không gian PSF là g ( x, y )  m( x, y )g1 ( x, y )  g 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ) (39) Khôi phục kết hợp tuyến tính bao gồm các bước sau: thứ nhất, ảnh suy giảm được xử lý để rút ra ảnh mức xám trung bình cục bộ và ảnh biến đổi cục bộ. Tiếp theo, hàm mặt nạ m(x,y) được tạo thành bằng cách đơn giản hoá NPR(x,y). Sau đó các bộ lọc tĩnh g1(x,y) và g2(x,y) được thiết kế cho hai trường hợp tương ứng với SNR thấp nhất và cao nhất tồn tại trong ảnh. Hai ảnh được khôi phục từng phần z1(x,y) và z2(x,y) được tạo thành bằng cách nhân chập ảnh vào với từng bộ lọc khôi phục. Cuối cùng đầu ra khôi phục được tạo thành bởi z ( x, y )  m( x, y )z1 ( x, y )  z 2 ( x, y )  z 2 ( x, y ) (40) Khôi phục kết hợp tuyến tính thực hiện đáp ứng xung biến đổi không gian của biểu thức (39) một cách trôi chảy và tránh được sự việc phân chia ảnh. Có phần phức tạp hơn việc khôi phục dừng tổng thể, khôi phục kết hợp tuyến tính bao gồm bốn phép toán cục bộ (tính trung bình, tính biến đổi và hai tích chập) và các phép toán đại số trong biểu thức (34) và (40). Mặc dù không phải là bộ lọc tối ưu, nhưng bộ lọc 326
khôi phục kết hợp tuyến cũng thoả mãn một số yêu cầu khôi phục ảnh. Tức là nó làm trơn hầu hết các vùng có tỷ số SNR thấp và để lại các vùng có SNR cao. 16.5. SIÊU PHÂN GIẢI (SUPERRESOLUTION) Trong chương 15, chúng ta đã biết rằng hàm truyền đạt không cố kết (incoherent) của một hệ thống quang học là hàm tự tương quan của của hàm con ngươi. điều này chứng tỏ rằng hàm truyền đạt thực sự phải được giới hạn dải; tức là, nó tiến đến 0 với mọi tần số lớn hơn một tần số cắt nào đó được thiếtc lập bởi giới hạn nhiễu xạ của độ phân giải. Rõ ràng, có thể hy vọng giải chập sẽ khôi phục phổ của một đối tượng bên ngoài, nhưng quá xa, giới hạn nhiễu xạ. Năng lượng tại những tần số vượt quá giới hạn nhiễu xạ bị mất một cách vô ích. Độ phân giải vượt quá giới hạn nhiễu xạ có thể là không thực tế nhờ có tính chất hữu ích của biến đổi Fourier. Các thủ tục khôi phục mà tìm cách khôi phục thông tin vượt quá giới hạn nhiễu xạ đợc coi như các kỹ thuật siêu phân giải (superresolution). Phương pháp mà chúng sử dụng cũng được gọi là ngoại suy các hàm giới hạn dải. 16.5.1. Mở rộng phân tích Nếu một hàm f(x) bị gới hạn không gian (tức là, bằng 0 bên ngoài khoảng hữu hạn nào đó), thì phổ F(s) của nó là một hàm phân tích. Phân tích áp đặt một ràng buộc khắt khe lên cách mà một hàm có thể là “lượn sóng”. Một tính chất phổ biến của các hàm phân tích là nếu đã biết một hàm như vậy trên một khoảng hữu hạn, thì nó được biết ở mọi nơi. Nghĩa là hai hàm phân tích có cùng độ chính xác trên khoảng đã cho bất kỳ thì chúng phải thích hợp ở mọi nơi và phải có cùng một hàm. Còn một phát cách biểu nữa, cho trước một đường cong xác định trên một khoảng nào đó, không có nhiều hơn một hàm phân tích có thể được điều chỉnh chính xác với đường cong đã cho trên khoảng đó. Quá trình khôi phục một hàm phân tích trong miền xác định của nó, cho trước các giá trị của hàm trên khoảng đã định, được gọi là mở rộng phân tích. Bởi vì một ảnh cần thiết phải được giới hạn không gian, nên phổ của nó phải phân tích được. Bây giờ bỏ qua nhiễu, phổ của một ảnh có thể xác định trên khoảng từ 0 đến giới hạn nhiễu xạ. Vì thế, có thể không thực tế để khôi phục phổ phân tích ở mọi nơi, hay ít rs cũng ở một vài tần số lớn hơn giới hạn nhiễu xạ. Trong chương 12, nó được chỉ ra rằng một hàm bị cắt (giới hạn không gian) không thể bị giới hạn dải. Tuy nhiên, các hệ thống quang học giới hạn dải cố gắng áp đặt sự giới hạn dải lên trên các hàm bị cắt. Đây chính là tính không tương hợp giữa giới hạn không gian và giới hạn dải mà các kỹ thuật siêu phân giải cố gắng sử dụng. 16.5.2. Kỹ thuật Harris Harris đã xem xét có phải sự giới hạn nhiễu xạ có tính chất lý thuyết gới hạn cao hơn về độ phân giải hay đơn thuần chỉ là một sự giới hạn thực tế. Ông ta đã chứng minh rằng không có hai đối tượng giới hạn không gian nào cùng tạo ra các ảnh giống hệt nhau trừ phi chính đối tượng là giống hệt nhau. Từ đó, ông ta cho rằng, với điều kiện không nhiễu, một ảnh đợc thu nhận bất kỳ có thể tương ứng với một và chỉ một đối tượng. Vì vậy, nó phải có khả năng khôi phục đối tượng từ ảnh giới hạn nhiễu xạ của nó. Trong phần này, ta sẽ thẻ hiện kỹ thuật siêu phân giải được Harris cải tiến. Và được Goodman làm lại. Kỹ thuật này bao gồm việc áp dụng định lý lấy mẫu, với việc đảo miền, để đạt được một hệ phương trình tuyến tính có thể giải đối với mọi giá trị 327
của phổ tín hiệu bên ngoài dải thông giới hạn dải. Nó cũng mang lại hiểu biết thêm về các kết quả lấy mẫu và cắt. Hình 16-6 cho thấy một hàm và phổ của nó. Vì f(x) bị giới hạn không gian nên ta có thể áp dụng định lý lấy mẫu như trước, nhưng với miền thời gian và miền tần số đảo ngược. định lý lấy mẫu phát biểu rằng có thể khôi phục F(s) hoàn toàn từ một loạt các điểm mẫu cách đều nhau chứng tỏ rằng chúng được chia không quá 1/2T phần. Sự tái tạo lại có thể biểu diễn như sau sin 2sT  F s   III 2 sT F s   (41) 2sT Cho biết việc lấy mẫu F(s) từng khoảng 1/2T và sau đó nội suy để khôi phục lại hàm. Viết lại hàm Shah dưới dạng tổng vô hạn các xung, ta được    sin 2sT F s      s  2nT F s   (42)  n   2sT Và sử dụng tính chất chọn lọc của các xung để tạo ra  sin 2sT  2nT  F s    F 2nT  (43) n   2sT  2nT Giả sử f(x) đi qua một hệ thống tuyến tính mà hệ thống này không cho năng lượng lớn hơn tần số sm nào đó đi qua. Giải chập có thể khôi phục tín hiệu đã biết chính xác phổ của nó bên ngoài sm. Vì thế, sự xác định trực tiếp sau khi giải chập (nếu cần thiết) sẽ khôi phục phổ tín hiệu đối với các tần số nhỏ hơn sm. HÌNH 16-6 Hình 16-6 Hàm giới hạn không gian và phổ của nó Giả sử rằng F(s) được lấy mẫu sao cho M điểm mẫu nằm trong phạm vi dải thông -sm  s  +sm (hình 16-7). Giả thiết thêm là chúng ta muốn xác định F(s) trên khoảng -sn đến sn, trong đó n hàm ý là một lượng N lớn các điểm mẫu. Thì một đánh giá phổ, giới hạn dải tại sn (> sm) có thể tính từ  N sin 2sT  2nT  F s   F s    F 2nT  (44) n  N 2sT  2nT 328
 Nếu ta tính F s  , ta đã mở rộng thành công giới hạn của hàm từ sm ra đến sn. HÌNH 16-7 Hình 16-7 Biểu diễn phổ lấy mẫu Có thể coi biểu thức (44) như một phương trình tuyến tính có 2N +1 ẩn. Các ẩn là các giá trị của F(2nT) tại các điểm mẫu. vì đã biết phổ với |s|  sm, nên ta có thể tạo ra một hệ 2N +1 phương trình 2N + 1 ẩn bằng cách chọn 2N + 1 tần số trong phạm vi dải thông và thay thế các giá trị đã biết của F(s) vào biểu thức (44). Có thể sử dụng các kỹ thuật cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính với ẩn là các giá trị của phổ. Sau đó các giá trị này có thể được thay vào biểu thức (44) để tạo ra một đánh giá của phổ bị giới hạn dải tại một tần số cao hơn giới hạn nhiễu xạ của hệ thống ảnh. Trong các trường hợp thực tiễn, N có thể tương đối lớn và việc giải quyết một phương trình tuyến tính rất tốn kém về mặt tính toán. Bởi vì phổ của các hàm thực là hàm Hermite (nửa trái là liên hợp phức của nửa phải; xem chương10), nên nó loại bỏ bớt đi một nửa số phương trình. Hơn thế nữa, vì phổ đã biết thấp hơn giới hạn nhiễu xạ nên chỉ các điểm nằm giữa sm và sn mới phải tính. 16.5.3. Giảm năng lượng liên tiếp Có một sự nhắc lại và có thể thực tế hơn, cách tiếp cận với việc khôi phục phần phổ tần số cao của ảnh giới hạn không gian. Kể cả việc áp đặt thành công sự giới hạn không gian lên trên ảnh, trong vẫn giữ không đụng chạm đến phần phổ tần số thấp đã biết. Hình 16-8 minh hoạ quá trình một chiều. Chúng ta bắt đầu với f(x), một xung tam giác (a) biểu diễn đối tượng thực sự và (b) phổ F(s) của nó bên ngoài tần số sn nào đó. Trong (d) G0(s) là phổ của F(s) sau khi nó đã được lọc thông thấp bừng hàm truyền đạt của hệ thống ảnh, hệ thống bị giới hạn dải tại sm > sn. Với ví dụ này, chúng ta giả định một hàm truyền đạt thông thấp lý tưởng. Hình 16-8c cho thấy g0(x), tương ứng với ảnh đã thu nhận. Duy nhất một điều mà ta biết rõ với mức độ chính xác cao đó lầ G0(s) trong phạm vi dải thông |s| < sm. 329
HÌNH 16-8 Hình 16-8 Giảm năng lượng liên tiếp: (a) đối tượng thực sự và (b) phổ của nó; (c) ảnh thu nhận được với (d) phổ bị giới hạn dải bởi hệ thống ảnh; (e) ảnh giới hạn không gian; (f) phổ được khôi phục để phù hợp với (d) trong phạm vi dải thông; (i) ảnh và (j) phổ của nó sau khi lặp lại năm lần các bước 1 và 2 Lưu ý rằng việc giới hạn dải phổ khiến cho g0(x) bị giới hạn không gian nữa. Bước đầu tiên của quá trình khôi phục là áp đặt sự giới hạn không gian lên trên g0(x) bằng cách đặt nó bằng 0 bên ngoài miền xác định của xung. Điều này tạo ra g1(x), hình 16-8e, và G1(s) là phổ của nó (f). G1(s) trông giống F(s) hơn, nhưng không phù hợp với G0(s) trong phạm vi dải thông nữa. Bước thứ hai bao gồm việc đặt các giá trị của G1(s) bằng các giá trị của G0(s) bên trong dải phổ để tạo ra G2(s), cho trong (h). Điều này cải thiện thêm sự xấp xỉ. Một biến đổi ngược mang lại g2(x), cho trong (g), là một xấp xỉ tốt hơn cho f(x), nhưng không còn giới hạn dải nữa. Hai bước (1) áp đặt sự giới hạn không gian lên gi(x) và sau đó (2) khôi phục các giá trị chính xác với Gi+1(s) trong phạm vi dải thông (sử dụng G0(s)lặp lại liên tục). Hình 16-8(i) và (j) cho thấy các kết quả sau năm lần lặp. Mỗi bước tạo ra nămh lượng sai số cho bởi  2 E f  x   g i  x  dx (45)  Hình 16-9 trình bày cách mà gi(x) và Gi(s) hội tụ về phía f(x) và F(s). Sự hội tụ thường trở nên chậm hơn sau vài bước đầu tiên. HÌNH 16-9 Hình 16-9 Sự hội tụ của quá trình giảm năng lượng liên tiếp: gi(x) và Gi(s) hội tụ về phía f(x) và F(s), với việc tăng i 330
16.5.4. Nghiên cứu thực tế Một sự thực hiện số bất kỳ của phép ngoại suy một hàm phân tích phải được làm cẩn thận. Ảnh ban đầu phải được số hoá với một mức nhiễu rất thấp. Nó cũng phải được lấy mẫu chồng theo hệ số ít nhất là sao cho độ rộng dải (băng thông) của nó có thể mở rộng và mức độ chắc chắn đáng kể hơn. Để tính phổ với độ phân giải tốt hơn, ta phải tính biến đổi Fourier trên một miền rộng hơn phạm vi ảnh. Cuối cùng, để tránh việc tích luỹ sai số trong nhiều biến đổi xuôi và biến đổi ngược, ta phải dùng một tính chất chính xác mức độ cao. Có nhiều phương pháp tiếp cận khác để khôi phục một đối tượng ảnh với độ phân giải vượt quá giới hạn nhiễu xạ. Các phương pháp bao gồm cách dùng các hàm sóng phỏng cầu dài, ngoại suy bình phương trung bình tuyến tính và các mặt nạ điều hoà thêm vào. Một vài nghiên cứu đã thừa nhận tác động của nhiễu lên quá trình khôi phục. Trong khi một vài tác giả biểu thị các mô phỏng về các kỹ thuật này một cách ấn tượng, thì các ví dụ thực tế là rất hiếm. Nhưng ngược lại chỉ một hàm phân tích có thể phù hợp chính xác với một hàm đã cho trên một khoảng đã định rõ, nhiều hàm phân tích khác nhau có thể rất giống hàm đã cho trong khoảng xác định và sau đó phân kỳ ra ngoài khoảng. Andrews và Hunt đã đề cập đến “chuyện hoang đường về siêu phân giải” và chứng tỏ rằng các ràng buộc nhiễu ngăn ngừa sự giãn rộng độ phân giải thực tế nào đó vượt quá giới hạn nhiễu xạ. Chỉ bằng sự số hoá ảnh chất lượng cao (nhiễu thấp) và tính toán cẩn thận mới có thể cải thiện đáng kể ảnh mong muốn. 16.6. NHẬN BIẾT HỆ THỐNG Trước khi hoàn thành việc khôi phục ảnh, phải biết được PSF của hàm làm mờ. Trong một vài trường hợp, nó được biết trước, nhưng trong các trường hợp khác nó phải được xác định qua thực nghiệm từ ảnh suy biến. Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp xác định PSF và MTF của một hệ thống ảnh. 16.6.1. Nhận biết hệ thống bằng các đích điều chỉnh Trong nhiều trường hợp, hàm truyền đạt của một hệ thống có đượ xác định trực tiếp, một lần cho tất cả, trước khi sử dụng hệ thống. Giả thiết rằng đối với hệ thống trong hình 16-10, đáp ứng xung h(x, y) là chưa biết và phải được xác định. Ta có thể tìm hàm truyền đạt trực tiếp từ G u, v  H u , v   (46) F u , v  Nếu f(x, y) phù hợp với tín hiệu kiểm tra. Theo lý thưởng, F(u, v) sẽ không có các giá trị 0. Nếu nó có và nếu H(u, v) có thể giả thiết là khá trơn, ta vẫn có thể giải được biểu thức (46) bằng các kỹ thuật về con số HÌNH 16-10 331