BABAØØI GIAI GIAÛÛNG NG XXÖÛÖÛ LYLYÙÙ SOSOÁÁ TTÍÍN HIE
N HIEÄÄUU
Bieân soaïïn: PGS.TS LEÂ TIE Bieân soa
n: PGS.TS LEÂ TIEÁÁN THN THÖÖÔÔØØNGNG
Tp.HCM, 02-2005
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.1 Nhöõng tính chaát cô baûn 5.2 Mieàn hoäi tuï 5.3 Nhaân quaû vaø söï oån ñònh 5.4 Phoå taàn soá 5.5 Bieán ñoåi Z ngöôïc
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.1 Nhöõng tính chaát cô baûn
n
∞=
Bieán ñoåi z laø coâng cuï cô baûn ñeå thieát keá, phaân tích vaø bieåu dieãn cuûa caùc boä loïc soá. Bieán ñoåi z cuûa tín hieäu rôøi raïc veà thôøi gian x(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:
nznx −
=
( ) zX
( )∑
n
−∞=
(bieán ñoåi z) (5.1.1)
hoaëc döôùi daïng caùc soá haïng:
X(z) = … +x(-2)z2 + x(-1)z + x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + … Neáu tín hieäu x(n) laø nhaân quaû thì chæ luyõ thöøa aâm z-n, n ≥
0 xuaát hieän trong coâng thöùc khai trieån.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
n
∞=
Ñònh nghóa (5.1.1) coù theå ñöôïc aùp duïng cho chuoãi ñaùp öùng xung h(n) cuûa boä loïc soá. Bieán ñoåi z cuûa h(n) ñöôïc goïi laø haøm truyeàn cuûa boä loïc ñöôïc ñònh nghóa:
nznh −
=
( ) zH
( )∑
n
−∞=
(haøm truyeàn) (5.1.2)
Ví duï 5.1.1: Xaùc ñònh haøm truyeàn H(z) cuûa hai boä loïc
nhaân quaû cuûa ví duï 3.4.3
(a) h = {h0, h1, h2, h3} = {2,3,5,2} (b) h = {h0, h1, h2, h3, h4} = {1,0,0,0,-1}
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Giaûi: Duøng ñònh nghóa (5.1.2), ta coù: H(z)= h0 + h1z-1 + h2 z-2 + h3 z-3 = 2 + 3z-1 + 5z-2 + 2z-3
ñoái vôùi caâu a, vaø
H(z)= h0 + h1z-1 + h2 z-2 + h3 z-3 + h4 z-4 = 1 - z-4
ñoái vôùi caâu b.
Coù 3 tính chaát cuûa bieán ñoåi z maø thuaän lôïi cho vieäc
phaân tích vaø toång hôïp cuûa caùc heä thoáng tuyeán tính:
- Tính tuyeán tính
- Tính treã - Tính chaäp
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Tính tuyeán tính: bieán ñoåi z cuûa toå hôïp tuyeán tính caùc tín
+
+
( ) nxa 11
( )zXa 2 2
( ) nxa 22
hieäu baèng toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc bieán ñoåi z ñoù. Z ⎯→⎯
( ) zXa (5.1.3) 1 1 Tính treã: treã tín hieäu bôûi D maãu seõ töông ñöông vôùi tích
Z
Z ⎯→⎯
( ) nx
( )zXz D
( ) zX
bieán ñoåi z cuûa noù vôùi heä soá z-D. ( Dnx
) −⎯→⎯−⇒ (5.1.4) Tính chaäp: chaäp trong mieàn thôøi gian trôû thaønh tích
=
⇒
=
( ) ( ) nx*nh
( )zHzXzY
( )
( )
(5.1.5) trong mieàn z. ( ) ny
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Ví duï 5.1.2: Hai boä loïc cuûa ví duï treân vaø cuûa ví duï 3.4.3 coù
theå ñöôïc vieát döôùi daïng “ñoùng” sau:
(a) h(n) = 2δ(n) + 3δ(n-1) + 5δ(n-2) + 2δ(n-3) (b) h(n) = δ(n) - δ(n-4) Haøm truyeàn coù theå ñaït ñöôïc baèng caùch duøng tính treã vaø
n
∞=
n
0
−
−
1
Z ⎯→⎯
δ
δ
δ
=
=
tính tuyeán tính nhö sau:
( ) zn
( ) n
∑
n
−∞=
Tröôùc heát, chuù yù bieán ñoåi z cuûa δ(n) laø 1. ( ) z0
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Z
1 −
1 −
z
z
,
Ví duï 5.1.2: Keá ñoù, töø tính treã ta coù 1. =
Z
2
2
−
−
z
1.
z
,
=
Z
3
3
−
−
3
z
1.
z
,...
=
( n δ ( n δ ( n δ
) 1 ⎯→⎯− ) 2 ⎯→⎯− ) ⎯→⎯−
1 −
2 −
3 −
z32
z5
z2
Z +⎯→⎯−
+
+
+
Duøng tính tuyeán tính, chuùng ta coù: ( ) 3n22n51n3n2 δ δ
) +−
) +−
( δ
( δ
Z
⎯→⎯−
4 −−= z1
( 4n δ
)
( ) zH
( ) ñoái vôùi (a), vaø ( ) ( ) nh n δ = − ñoái vôùi (b).
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Ví duï 5.1.3: Duøng u(n)-u(n-1)=δ(n), ñoái vôùi moïi n, vaø tính
chaát bieán ñoåi z. Haõy xaùc ñònh bieán ñoåi z cuûa 2 tín hieäu.
(a) x(n) = u(n) (b) x(n) = -u(-n-1) Giaûi: Ñoái vôùi (a), chuùng ta coù phöông trình vi phaân x(n) - x(n-1) = u(n) - u(n-1) = δ(n) Laáy bieán ñoåi z hai veá vaø duøng tính treå vaø tính tuyeán tính,
−
=
δ
Z ⎯→⎯
−
1 ⇒=
=
( ) nx
) ( 1nx −
( ) n
( ) zX
( ) 1 − zXz
( ) zX
1
−
1 z1 −
ta coù:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Z
−
−
1 ⇒=
=
( ) nx
) ( 1nx
( n δ ⎯→⎯−=−
)
( ) zX
( ) 1 − zXz
( ) zX
1 −
1 z1 −
Ví duï 5.1.3: Töông töï: ñoái vôùi (b), chuùng ta coù phöông trình vi phaân x(n)-x(n-1)=-u(-n-1)+u(-(n-1)-1)= u(-n)-u(-n-1)=δ(-n) Phöông trình cuoái cuøng, chuùng ta duøng ñònh nghóa cho tröôùc baèng caùch thay n baèng –n. Chuù yù δ(-n)= δ(n) vaø laáy bieán ñoåi z hai veá, ta coù
Vì theá maëc duø hai tín hieäu u(n) vaø –u(-n-1) laø hoaøn toaøn khaùc nhau trong mieàn thôøi gian (moät nhaân quaû vaø moät phaûn nhaân quaû) nhöng bieán ñoåi z cuûa chuùng gioáng nhau.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
ng caùùch th ch thöïöïc c 4.1.1 baèèng ca VVíí duduïï 5.1.4: T 5.1.4: Tíính ngoõ ra cu
p nhaân trong mieààn z.n z. nh ngoõ ra cuûûa va víí duduïï 4.1.1 ba nh chaääp nhp nhöö lalaøø phepheùùp nhaân trong mie
i z: 1,1}, x={1,1,2,1,2,2,1,1} coùù biebieáán n ññooååi z:
hiehieään tn tíính cha GiaGiaûûi: i: Hai chuoãi h={1,2,--1,1}, x={1,1,2,1,2,2,1,1} co Hai chuoãi h={1,2, H(z)= 1 + 2z2z--11 -- zz--22 ++ zz--33 H(z)= 1 + X(z)= 1 + zz--11 ++ 2z2z--22 ++ zz--33 ++ 2z2z--44 ++ 2z2z--55 ++ zz--66 ++ zz--77 X(z)= 1 +
Nhaân hai ñña tha thöùöùc, ta co Nhaân hai c, ta coùù ttíích Y(z) X(z)H(z) ch Y(z) == X(z)H(z)
Y(z)=Y(z)= 11 ++ 3z3z--11 ++ 3z3z--22 ++ 5z5z--33 ++ 3z3z--44 ++ 7z7z--55 ++ 4z4z--66 ++ 3z3z--77 ++ 3z3z--88 +z+z--1010
HeHeää sosoáá luõy th a z laøø nhnhööõng maãu cha õng maãu chaääp ngp ngoõ oõ ra:ra:
luõy thöøöøa cua cuûûa z la y=h*x={1, 3,3, 3,3, 5,5, 3,3, 7,7, 4,4, 3,3, 3,3, 3,3, 0,0, 1}1} y=h*x={1,
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.2 Mieàn hoäi tuï
Mieàn hoäi tuï ROC cuûa X(z) laø taäp con cuûa maët phaúng
n
∞=
phöùc z maø caùc chuoãi (5.1.1) hoäi tuï, nghóa laø
ROC
=
∞≠
( ) zXCz
( ) nznx −
∑
n
−∞=
⎧ ∈= ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
(5.2.1)
Mieàn hoäi tuï laø moät khaùi nieäm quan troïng veà nhieàu phöông dieän: noù cho bieán ñoåi ngöôïc duy nhaát cuûa bieán ñoåi z vaø cho caùc ñaëc tính tieän lôïi cuûa tính chaát nhaân quaû vaø oån ñònh cuûa tín hieäu hay heä thoáng.
Mieàn hoäi tuï phuï thuoäc vaøo tín hieäu x(n) caàn bieán ñoåi.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Ví duï, xeùt tín hieäu nhaân quaû sau:
x(n)=(0.5)nu(n)={1,0.5,0.52,…}
Bieán ñoåi z laø ÔÛ ñaây, toång bò giôùi haïn vôùi n ≥ 0 vì x(n) nhaân quaû. Duøng coâng thöùc chuoãi hình hoïc voâ haïn ñeå tính toång voâ haïn:
∞
2
3
n
x1
x
x
x
(5.2.2)
++
+
... =+
=
∑
1 x1 −
0n =
Maø hoäi tuï vôùi |x| < 1 vaø ngöôïc laïi thì phaân kyø.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
∞
∞
n
n
1 −
z
x
hoaëc
=
=
=
( ) zX
Cho x = 0.5z-1, ta coù toång ( 5.0
)
∑
x
1
1 −
n
0
n
=
=
=
( ) zX
1
−
∑ 0 = z 5.0z −
1 z5.01
−
Ñieàu kieän ñeå hoäi tuï chuoãi hình hoïc laø:
1
−
x
z5.0
1
z
5.0
=
>⇒<
Vì theá, mieàn hoäi tuï laø taäp cuûa caùc z trong mieàn
z maø naèm ngoaøi voøng troøn baùn kính 0.5.
ROC={z∈C||z|>0.5}
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
n
5.0
vôùi
z
Z ⎯→⎯
>
)
( 5.0
( ) nu
1 −
Chuù yù, bieán ñoåi z coù cöïc taïi z=0.5. Toùm laïi, ta coù: 1 5.01 −
z Bieán ñoåi z vaø ROC cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi tín hieäu thôøi gian x(n). Tuy nhieân cuõng coù theå coù hai tín hieäu coù cuøng bieán ñoåi z nhö ví duï 5.1.3. Caùc tín hieäu nhö theá chæ coù theå phaân bieät trong mieàn z bôûi ROC cuûa chuùng. Ví duï xeùt tín hieäu phaûn nhaân quaû x(n)=-(0.5)nu(-n-1)
1 −
1 −
∞
n
m
−
n
1 −
1 −
n
−
0.5
z
0.5
z
0.5
z
= −
= −
= −
( ) X z
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
(
)
(
)
n
n
m
=−∞
=−∞
1 =
Bieán ñoåi z seõ laø:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
ÔÛ ñaây chuùng ta chuyeån caùc bieán toång töø n
thaønh m=-n. Ñeå tính toång chuùng ta duøng:
∞
2
3
m
x
xx +
+
... =+
=
∑
x x1 −
x 1m =
Maø hoäi tuï vôùi |x| < 1 vaø ngöôïc laïi thì phaân kyø.
∞
Cho x=0.5z-1, ta coù ∞
m
1 −
m
z
x
hoaëc
−=
−=
−=
( ) zX
( ( ) 5.0
) ∑ −=
1
x
z
x −
1 − z 5.0 1 − 5.01 −
m
m
1 =
=
=
( ) zX
∑ 1 = z 5.0z −
1 1z5.01 −
− Maø gioáng nhö ví duï nhaân quaû treân.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Tuy nhieân, ROC trong tröôøng hôïp naøy thì khaùc. Noù
5.0
1
x
z
1 − z5.0
=
ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän hoäi tuï cuûa chuoãi
<⇒< laø taäp cuûa caùc z beân trong voøng troøn baùn kính 0.5.
ROC
<
{ zCz ∈=
}5.0
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.0
, z vôùi
Z ⎯→⎯
>
n ( ( ) ) nu5.0
1
−
1 z5.01
−
Z
5.0
, z vôùi
−
<
n ( ) u5.0
( ) 1n ⎯→⎯−−
1
−
1 z5.01
−
Toùm laïi, chuùng ta coù bieán ñoåi z:
a
, z vôùi
Z ⎯→⎯
>
( ) n nua
1
−
1 az
1
−
Hai tín hieäu coù cuøng bieán ñoåi z nhöng ROC thì hoaøn toaøn khaùc nhau. Toång quaùt, chuùng ta coù caùc keát quaû sau:
Z
a
n ua
, z vôùi
−
<
( ) 1n ⎯→⎯−−
1
−
1 az
1
−
(5.2.3)
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
ÔÛ ñaây a laø soá phöùc baát kyø. ROC cuûa chuùng nhö sau:
Bieán ñoåi z (5.2.3) cuøng vôùi tính tuyeán tính vaø tính treå
coù theå xaây döïng nhieàu bieán ñoåi phöùc taïp hôn.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
1
,
z vôùi
Z ⎯→⎯
>
( ) nu
1 −
1 z −
Z
1
u
n
, z vôùi
<
1 ) 1 ⎯→⎯−−−
(
1 −
1
n
1
, z vôùi
Z ⎯→⎯
>
( −
) 1
( ) nu
1 −
1 z − 1 z +
n
Z
1
n
u
, z vôùi
<
1 ( ) 1 ⎯→⎯−−
( −−
) 1
1 −
1
1 z +
Ví duï 5.2.1: cho a= ±1 trong (5.2.3), chuùng ta coù bieán ñoåi z cuûa tín hieäu böôùc nhaân quaû, phaûn nhaân quaû vaø caùc tín hieäu böôùc khaùc:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
1. x(n)
u(n-10)
=
2. x(n)
n (-0.8) u(n)
=
n
3. x(n)
(-0.8) u(n)- u(n-10)
=
[
]
n
4. x(n)
u(n)
=
=
( + −
) 1 u(n)
{ } 1, 0,1, 0,1, 0,1, 0,...
⎤ ⎦
⎡ ⎣
5. x(n)
n (0.8) u(n)
=
+
⎡ ⎣
n ⎤ (-0.8) u(n) ⎦
1 2 1 2
6. x(n)
cos
...}
=
=
{1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0, −
−
−
( ) u n
n π 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ví duï 5.2.2: Xaùc ñònh bieán ñoåi z vaø ROC töông öùng
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
n
)(.7 nx
(0.8)
u(n)
=
⎛ cos ⎜ ⎝
n
n
8.
x(n)
u(n)
(-0.8j)
u(n)
=
+
[ (0.8j)
]
1 2 cos(
sin(
)(.9 nx
)( nx
vaø
=
=
( ) ) nun
ω 0
3,2,1,3,2,1,3,2,1{)(.10
,...},
nx
ω 0 laëp laïi tuaàn
( ) ) nun hoaøn {1,2,3}
=
Ví duï 5.2.2: xaùc ñònh bieán ñoåi z vaø ROC töông öùng n π ⎞ ⎟ 2 ⎠
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
10
−
−
=
=
( ) zX
( ) 10 zUz
1
−
z z1 −
Giaûi: (1) Duøng tính chaát treã, chuùng ta coù:
8.0
8.0
, vôùi
ROC
z :
=
−>
=
( ) zX
1
−
1 z8.01
+
vôùi ROC |z| > 1. (2) Duøng (5.2.3) vôùi a = -0.8
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
10
10
−
−
1
8.0
=
( −−
10 )
1
1
−
z 1 −
−
1 z8.01
z z8.01 +
10 ( ) 8.0 −− z8.01 +
+
(3) x(n) = (-0.8)nu(n) - (-0.8)10(-0.8)n -10 u(n-10)) ÔÛ soá haïng thöù hai, chuùng ta nhaân & chia cho heä soá (-0.8)10 ñeå taïo laïi phieân baûn treã 10 ñôn vò cuûa soá haïng thöù nhaát. Vì theá duøng tính treã vaø tuyeán tính vaø keát quaû cuûa tröôøng hôïp (2), ta coù: ( ) zX =
Cho a=-0.8, ta coù: x(n)=an[u(n)-u(n-10)]={1,a,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,0,0,0,…} Vì theá, bieán ñoåi z coù theå ñöôïc tính bôûi toång höõu haïn:
X(z)=1 + az-1 + a2z-2 + … + a9z-9
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
N
2
1N −
x
xx1 ++
... ++
=
2 2 − za
9 9 − za
+
... ++
=
=
Söû duïng chuoãi hình hoïc voâ haïn x1 − x1 −
10 10 − za1 − 1 − az1 −
+
=
( ) zX
2
1 −
1 −
−
1
1
Laáy toång caùc chuoãi treân ( ) 1 − az1zX +=
10 ) ( 10 − 1 z8.0 −− 1 − z8.01 + (4) Söû duïng tính tuyeán tính vaø (5.2.3) vôùi a=1 vaø a=-1: 1 z +
1 z −
1 z −
⎤ =⎥⎦
⎡ ⎢⎣ 1
1 2 vôùi ROC |z| > 1.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Coù theå ñaït ñöôïc cuøng keát quaû khi duøng (5.1.1) vaø toång caùc chuoãi: X(z) = 1+ 0z-1+ z-2+ 0z-3 +z-4+… = 1+ z-2+z-4+ z-6+… laø moät chuoãi hình hoïc voâ haïn coù daïng nhö (5.2.2) vôùi x=z-2.
=
=
( ) zX
2
−
2
−
1 x1 −
1 z1 −
zx =
Vì theá
=
+
( ) zX
1
1
2
−
−
−
1 2
1 z8.01
1 z8.01
1 z64.01
−
+
−
⎡ ⎢⎣
⎤ =⎥⎦
Ñeå chuoãi hoäi tuï thì ⏐x⏐=⏐z2⏐<1 hay ⏐z⏐>1. (5) Söû duïng tính tuyeán tính vaø (5.2.3):
vôùi ROC ⏐z⏐>0.8.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
(6) Coù theå tìm tröïc tieáp baèng ñònh nghóa (5.1.1): X(z)=1 - z-2+z-4-z-6+z-8+…=1+x+x2+x3+x4+…
=
=
( ) zX
1 x1 −
1 2z1 −+
Vôùi x=-z-2. Chuoãi naøy seõ hoäi tuï thaønh:
2/nj
n
n*
2/nj π
π−
)n(x
cos
)n(u
e
)n(u
=
=
+
=
+
( ) nu
[ e
]
[ )n(ua
])n(ua
1 2
1 2
n ⎛ π ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎠
vôùi ⏐x⏐=⏐z-2⏐<1 hay ⏐z⏐>1. Söû duïng coâng thöùc Euler ñeå taùch haøm cos thaønh caùc tín hieäu luõy thöøa daïng (5.2.3):
=
+
( ) zX
1
1
2
−
−
−
1 2
1
1 jz
1
1 jz
−
+
1 z1 +
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
trong ñoù a=ejπ/2=j vaø a*=e-jπ/2=-j. Do ñoù:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
2/nj
2/nj π
π−
cos
)n(x
)n(u
=
=
+
n )
( 8.0
( ) nu
n ( ) e8.0
[ n ( ) e8.0
])n(u
1 2
n ⎛ π ⎜ 2 ⎝
)n(x
=
( −+
(7) Duøng coâng thöùc Euler nhö treân, ta coù:
⎞ ⎟ ⎠ maø coù theå vieát nhö tín hieäu tröôøng hôïp (8): ])n(uj8.0 n )
[ n ( ) )n(uj8.0
1 2
Vì theá, (7) vaø (8) laø gioáng nhau. Söû duïng a=±0.8j ôû (5.2.3)
=
+
( ) zX
1
1
2
−
−
−
1 2
1 jz8.01
1 jz8.01
1 z64.01
−
+
+
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
ta tìm ñöôïc bieán ñoåi z cuûa chuùng:
vôùi ROC ⏐z⏐>⏐0.8j⏐=0.8.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
n
n
j
j ω−
ω
0
0
e
+
=
Z ⎯→⎯
+
) ( ) nun
] )n(u
( cos ω 0
1 j ω
1 j ω−
1
1
−
−
0
0
1 2
z
z
e1 −
e1 −
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
1 2 1 −
(9) Bieán ñoåi töông töï, ta coù: [ e
=
( ) zX
2
z) 1 −
−
ω 0 z)
z
1 − cos( 21 −
+
cos( ω 0
Ruùt goïn laïi:
Thay ω0=π/2, chuùng ta coù töông töï tröôøng hôïp (6). Töông
j
n
n
ω
j ω−
0
0
sin
e
=
−
Z ⎯→⎯
−
( ω
) ( ) nun
] )n(u
[ e
0
1 j ω
1 j ω−
1
1
−
−
0
0
1 2
1 j2
z
z
e1 −
e1 −
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
1 −
töï, ñoái vôùi daïng sin
=
( ) zX
2
z) 1 −
−
ω 0 z)
z
1 − cos( 21 −
+
sin( ω 0
Ruùt goïn laïi:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
(10) Duøng ñònh nghóa (5.1.1) vaø nhoùm caùc soá haïng, ta
1 −
2 −
1 −
2 −
3 −
1 −
2 −
6 −
3
3
3
...
z
z
z
z
z
z
+
+
+
+
( ) zX
) z
) z
2
−
1 −
z
21 +
3
2
6
9
−
1 −
−
−
−
3
z
z
z
z
z
+
+
+
+
+
=
( 21 += ( 21 +=
) ( 21 ++ )( 1
( 21 ++ ) ...
3 + 3 −
z -1
z
2
1
−
−
2
1
−
−
−
z21
z3
+=
⇒
+
−
=
coù:
( ) zX
( ) zX
z3 + 3 −
z
z21 + -1
Chuoãi hoäi tuï khi ⏐z-3⏐<1 hay ⏐z⏐>1. Moät caùch khaùc laø laøm treã x(n) 3 ñôn vò thôøi gian x(n-3) = {0,0,0,1,2,3,1,2,3,…} vaø tính x(n)-x(n-3)={1,2,3,0,0,0,0,0…}=δ(n)+ 2δ(n-1)+3δ(n-2) Keá ñoù, laáy bieán ñoåi z hai veá, ta coù: ( ) 3 zXz
Phöông phaùp naøy coù theå ñöôïc toång quaùt hoùa cho chuoãi tuaàn hoaøn baát kyø.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.3 Nhaân quaûû vavaøø ssöïöï ooåån n ññònhònh 5.3 Nhaân qua t quaûû cô ba KeKeáát qua
...
+
cô baûûn (5.2.3) co suy ra tíính nhaân qua nh nhaân quaûû vavaøø
2
...
(5.3.1) (5.3.1) n (5.2.3) coùù thetheåå suy ra t u nhaân quaûû dadaïïng ng nh hieääu nhaân qua ( ) n nupA + 2
+
+
( ) zX
1
1
−
−
z
>
ooåån n ññònh ô ònh ôûû miemieààn z. Tn z. Tíính hie ( ) ( ) n nx nupA = 11 i z seõ coùù biebieáán n ññooååi z seõ co =
2
(5.3.2) (5.3.2) y, ROC chung cuûûa taa taáát t
A A 1 2 zp1 zp1 − − 1 2 ng buoääc , vôvôùùi rai raøøng buo c ,…… VVìì vavaääy, ROC chung cu z,p p > 1 ng seõ laøø:: cacaûû cacaùùc soc soáá hahaïïng seõ la
p
z >
i
max i
(5.3.3) (5.3.3)
beân ngoaøøi voi voøøng tro ng troøøn xan xaùùc c ññònh bô ònh bôûûi ci cöïöïc coc coùù bieân bieân ññooää
nghnghóóa laa laøø beân ngoa lôlôùùn nha n nhaáát.t.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
2
ông töïöï neneááu tu tíín hien hieääu lau laøø hoahoaøøn toa n nhaân quaûû n phaûûn nhaân qua
z
TTööông t ( ) n nx upA 11 BieBieáán n ññooååi z cu
<
n toaøøn pha n upA −= 2 i z cuûûa noa noùù giogioááng nh p <
( ) ( ) (5.3.4) (5.3.4) 1n 1n ... −−− −−− (5.2.3) nhööng ra ng nhöö (5.2.3) nh ng buoääc c ng raøøng buo , ROC trong trööôôøøng hô ,... V,... Vìì thetheáá, ROC trong tr ng hôïïp p
z,p 1
2
z min
p
<
i
i
ROC seõ laøø ROC seõ la nanaøøy lay laøø::
ng troøøn xan xaùùc c ññònh bô
, beân ngoaøøi voi voøøng tro ROC cuûûa hai tr a hai trööôôøøng hô ng hôïïp nap naøøy bie (5.3.3) (5.3.3) bieân ññooää u dieãn ôûû hhìình nh ònh bôûûi ci cöïöïc coc coùù bieân y bieååu dieãn ô
nghnghóóa laa laøø, beân ngoa nhonhoûû nhanhaáát.t. ROC cu 5.3.1. 5.3.1.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Toùm laïi, tín hieäu nhaân quaû coù ROC naèm ngoøai voøng troøn cöïc lôùn nhaát vaø tín hieäu phaûn nhaân quaû coù ROC naèm trong voøng troøn cöïc nhoû nhaát. Neáu tín hieäu laø toå hôïp nhaân quaû vaø phaûn nhaân quaû seõ coù ROC laø mieàn giöõa hai voøng troøn vôùi caùc cöïc naèm trong voøng troøn noäi coù phaân boá nhaân quaû vaø caùc cöïc naèm ngoøai voøng troøn ngoïai coù phaân boá phaûn nhaân quaû.
Söï oån ñònh coù theå ñöôïc dieån taû trong mieàn z theo caùc soá haïng coù löïa choïn cuûa ROC. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå tín hieäu x(n) oån ñònh laø ROC cuûa bieán ñoåi z töông öùng chöùa voøng troøn ñôn vò. Ñoái vôùi heä thoáng h(n), ñieàu kieän naøy töông ñöông vôùi ñieàu kieän (3.5.4) ñöôïc trình baøy ôû chöông 3.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
SSöïöï ooåån n ññònh th
n phaûûi i ññi kei keøøm vôm vôùùi ti tíính nhaân qua
i moäät tt tíín hie
ònh thìì khoâng ca n hieääu hay he
khoâng caààn pha u hay heää thothoááng ong oåån n ññònh va
ònh vaøø nhaân qua m trong voøøng tro
. Neááu ROC na
y suy ra töøöø (5.3.3) la u ROC naøøy ty tööông
n thieáát lat laøø tataáát cat caûû cacaùùc cc cöïöïc cuc cuûûa noa noùù nanaèèm trong vo (5.3.3) laøø ññieieààu kie ông öùöùng vô ôn vò. Maëët kha
ng vôùùi ti tíín hie t khaùùc, chu
ng troøøn n ññôn vò. Ma
c phaûûi coi coùù bieân
n hieääu hay he
ònh vaøø phaphaûûn nhaân qua
n nhaân quaûû nhnhööng trong tr ng troøøn n ññôn vò. Tha
c phaûûi nai naèèm ngom ngoøøai vo n nhaân quaûû ôôûû (5.3.5) vô
n phaûûn nhaân qua
u kieään pha
nh nhaân quaûû. . nhaân quaûû, , ññieieààu u ng troøøn n ññôn ôn u kieään hon hoääi tui tuïï cucuûûa a n hieääu ou oåån n ng ta c, chuùùng ta trong (5.3.3): I > max ⏐pi ⏐, nghnghóóa laa laøø tataáát cat caûû cacaùùc c u hay heää thothoááng ng hôn 1. Moäät tt tíín hie bieân ññooää nhonhoûû hôn 1. Mo ng trong trööôôøøng ng ôn vò. Thaäät ra, t ra, ònh maøø u kieään on oåån n ññònh ma u I < min⏐pi ⏐, nghnghóóa laa laøø
ÑÑooáái vôi vôùùi mo cacaààn thie vò ôvò ôûû miemieààn z. n z. ÑÑieieààu nau naøøy suy ra t ttíín hie u nhaân quaûû. Ne n hieääu nhaân qua ònh thìì nonoùù phaphaûûi chi chöùöùa voa voøøng tro ññònh th cho ⏐z ⏐=1 trong (5.3.3): I > max cho ccöïöïc pha cuõng coùù thetheåå ooåån n ññònh va cuõng co hôhôïïp nap naøøy cay caùùc cc cöïöïc pha ai voøøng tro (5.3.5) vôùùi i ññieieààu kie ññieieààu kie ROC chöùöùa caa caùùc c ññieieååm m ⏐z ⏐=1, ngangaààm hiem hieååu I < min ROC ch tataáát cat caûû cacaùùc cc cöïöïc pha
hôn 1. bieân ññooää nhonhoûû hôn 1.
c phaûûi coi coùù bieân
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
NeNeááu mo n hôn hôn 1 vaøø momoäät sot soáá lôlôùùn hôn
u moäät sot soáá ccöïöïc coc coùù bieân 1 th1 thìì ttíín hien hieääu cou coùù thetheåå ooåån n ññònh nh bieân ññooää nhonhoûû hôn 1 va ònh nhööng seõ la
c maøø nanaèèm trong vo m trong voøøng tro ng seõ laøø loloïïai toai toåå hôhôïïp. p. ng troøøn n ññôn vò seõ co õng cöïöïc ma
m ngoaøøi voi voøøng tro ng troøøn n ññôn vò seõ co ôn vò seõ coùù phaân phaân phaân boáá ôn vò seõ coùù phaân bo
a 3 trööôôøøng hô . Trong ònh coùù thetheåå. Trong
=
+
+
+
( ) zX
1
1
1
1
−
−
−
−
A 4 zp1 − 4
A 3 zp1 − 3
A 2 zp1 − 2
A 1 zp1 − 1
NhNhööõng c nhaân quaûû vavaøø nanaèèm ngoa boboáá nhaân qua n nhaân quaûû.. phaphaûûn nhaân qua HHìình 5.3.2 minh ho nh 5.3.2 minh hoïïa 3 tr ng hôïïp, bie tataáát cat caûû trtrööôôøøng hô ng hôïïp op oåån n ññònh co ng daïïngng i z coùù cucuøøng da p, bieáán n ññooååi z co
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Hình 5.3.2 ROC oån ñònh
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
+
=
+
+
( ) nx
] n )n(upA 4
[ n pA 11
pA 3
n 3
4
)1n(upA
+
−=
−−
+
+
( ) nx
]
n 2
pA 2
pA 3
n 4
4
[ n pA 11
n
n
u
u
−
Trong tröôøng hôïp oån ñònh vaø nhaân quaû, taát caû cöïc phaûi coù bieân ñoä nhoû hôn 1, nghóa laø ⏐pi ⏐< 1, i=1, 2, 3, 4 vaø tín n hieäu x(n) seõ laø pA 2 2 Vôùi taát caû caùc soá haïng hoäi tuï veà 0 khi n laø döông lôùn. Trong tröôøng hôïp oån ñònh/phaûn nhaân quaû, taát caû caùc cöïc coù bieân ñoä lôùn hôn 1, ⏐pi ⏐> 1 , i=1, 2, 3, 4 vaø x(n) seõ laø
n 3 trong ñoù, n < 0 neân moãi soá haïng seõ tieán veà 0 khi n aâm lôùn. Ta coù theå vieát laïi moät soá haïng ( ) ) ( 1n 1n −=−− −=−−
( −−
)1n
n upA 11
− pA 11
A 1
1 p 1
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
vôùi n = -⏐n⏐ khi n<0. Vì ⏐p1⏐>1 neân ⏐1/pi ⏐< 1 vaø caùc luõy thöøa lieân tieáp cuûa noù seõ tieán veà 0.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
pA)n(upA
+
+
=
( ) nx
)1n
2
4
3
n 3
[ n pA 11
] ( n upA 4
Trong tröôøng hôïp toå hôïp, chuùng ta coù ⏐p1⏐ < ⏐p2 ⏐< 1
vaø ⏐p3⏐> ⏐p4⏐> 1. Do ñoù, tín hieäu oån ñònh seõ laø ] n −− 2
[ − vôùi p1, p2 phaân boá nhaân quaû vaø p3, p4 phaân boá phaûn nhaân quaû. Ví duï veà moät tín hieäu oån ñònh nhöng khoâng phaûi laø toå hôïp chính laø tröôøng hôïp (2) trong ví duï 5.2.3 x(n)=(0.8)nu(n)- (1.25)nu(-n-1) Nhö ñöôïc nhaán maïnh trong chöông 3, tính oån ñònh quan troïng hôn tính nhaân quaû ñeå traùnh vieäc tính toaùn khoâng hoäi tuï. Tính nhaân quaû coù theå ñöôïc hoøa hôïp moät caùch chính xaùc neáu taát caû caùc cöïc naèm trong voøng troøn ñôn vò nhöng chæ saép xæ neáu moät soá cöïc naèm ngoaøi. Chuùng toâi seõ trình baøy ñieàu naøy sau.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Moät lôùp tín hieäu quan troïng laø caùc tín hieäu oån ñònh bieân maø khoâng hoäi tuï cuõng khoâng phaân kyø veà 0 khi nhaân quaû lôùn. Dó nhieân chuùng bò bao. Caùc tín hieäu böôùc ñôn vò, böôùc ñôn vò thay ñoåi vaø sin toång quaùt hôn thuoäc lôùp naøy. Caùc tín hieäu nhö theá coù cöïc nhöng treân voøng troøn ñôn vò.
Moät soá ví duï laø tröôøng hôïp (1, 4, 6, 9, 10) cuûa ví duï 5.2.2. Moät ví duï ñôn giaûn hôn laø tröôøng hôïp cuûa tín hieäu sin phöùc taàn soá ω0
a
(nhaân quaû) x(n)=ejωonu(n) (phaûn nhaân quaû) x(n)= -ejω0nu(-n-1)
0je ω= maø laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa (5.2.3) vôùi .
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
=
1 j ω
1
0 − z
e1 −
Chuù yù laø böôùc ñôn vò phaúng u(n) vaø böôùc ñôn vò thay ñoåi (-1)nu(n) cuõng laø caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät vôùi ω0 = 0 vaø ω0 = π. Bieán ñoåi z töông öùng suy ra töø (5.2.3): ( ) zX
vôùi ROC laø ⏐z⏐ > 1 ñoái vôùi tín hieäu nhaân quaû hoaëc ⏐z⏐ < 1 ñoái vôùi tín hieäu phaûn nhaân quaû.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.4 Phoå taàn soá
n
∞=
n
j
−
ω
X
=
( ) enx
( ω
)
Phoå taàn soá hay bieán ñoåi Fourier thôøi gian rôøi raïc
n
−∞=
(DTFT) (5.4.1) (DTFT) cuûa tín hieäu x(n) ñöôïc ñònh nghóa laø: ∑
Ñaây chính laø bieán ñoåi z treân voøng troøn ñôn vò, nghóa laø
z
n
n
∞=
∞=
n
j ω−
−
=
=
0je ω= ( ) zX
( )ω= X
( ) znx
( ) enx
∑
∑
j = ω ez
n
n
−∞=
−∞=
caùc ñieåm z: (5.4.2)
n
∞=
H
njenh ω−
Thaät vaäy, ta coù: Ñaùp öùng taàn soá H(ω) cuûa heä thoáng h(n) vôùi haøm truyeàn
n
−∞=
H(z) ñöôïc ñònh nghóa:: ( ) =ω ((ÑÑaaùùp p öùöùng ta ) (5.4.3) ng taààn son soáá) (5.4.3)
NoNoùù cuõng
cuõng ñöñöôôïïc suy ra t
( )∑ c suy ra töøöø biebieáán n ññooååi z treân vo
i z treân voøøng tro
ôn vò: ng troøøn n ññôn vò:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
H
( ) =ω
( ) jezzH ω=
Nhö ñaõ trình baøy trong chöông 1, taàn soá soá (rad/
=ω
sample) coù quan heä vôùi taàn soá f(Hz) nhö sau:
f2π sf
(Taàn soá soá) (5.4.4)
Khoaûng Nyquist [-fs/2, fs/2] laø khoaûng tính theo ñôn vò
(khoaûng Nyquist) (5.4.5) ω: -π < ω < π
∞
2
jfn
f/
π
s
=
^ ( ) fX
) ( enTx
∑
n
−∞=
Trong chöông 1, ñaïi löôïng X(ω) ñöôïc bieåu dieãn bôûi:
Ñaây laø phoå taàn Fourier cuûa tín hieäu x(nT) vaø ñöôïc tính baèng caùch laëp laïi tuaàn hoøan phoå taàn tín hieäu töông töï goác taïi boäi soá fs.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Theo ñôn vò ω, söï tuaàn hoaøn cuûa f vôùi chu kyø fs trôû thaønh söï tuaàn hoaøn cuûa ω vôùi chu kyø 2π. Vì vaäy, X(ω) chæ xeùt trong moät chu kyø, ví duï nhö khoaûng Nyquist (5.4.5).
π
=
( ) eX ω
DTFT ngöôïc khoâi phuïc chuoãi thôøi gian x(n) töø phoå cuûa
∫
π−
noù X(ω) qua khoaûng Nyquist: ( ) nj ω d nx ω
u dieãn laøø totoåå hôhôïïp tuye
c thôøøi gian co nh cuûûa caa caùùc sin e c nhau. Bieân ññooää vavaøø
1 2 π c bieååu dieãn la i gian coùù nhnhööõng ta c thaøønh pha
nh phaààn sin na
khai trieåån chuoãi Fourier cu
x(n) ñöñöôôïïc bie x(n) rôrôøøi rai raïïc thô pha cuûûa caa caùùc tha pha cu (5.4.6) coùù thetheåå ñöñöôôïïc chc chöùöùng minh nhanh ba (5.4.6) co (5.4.1) laøø khai trie (5.4.1) la X(X(ωω). Ke ). Keáá ññooùù, (5.4.6) seõ cho ca Fourier. DTFT ngööôôïïc tc tíính theo ca Fourier. DTFT ng (DTFT ngöôïc) (5.4.6) c sin ejjωωnn p tuyeáán tn tíính cu õng taààn son soáá khakhaùùc nhau. Bieân c cho bôûûi DTFT X( i DTFT X(ωω). ). n sin naøøy y ñöñöôôïïc cho bô ch xem ng caùùch xem ng minh nhanh baèèng ca n hoaøøn n n chuoãi Fourier cuûûa haa haøøm tuam tuaààn hoa n chuoãi khai trieåån chuoãi f(Hz): ng taààn son soáá f(Hz): , (5.4.6) seõ cho caùùc hec heää sosoáá khai trie nh theo caùùc soc soáá hahaïïng ta
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
f
S
2
jfn
f/
π
S
df
=
( ) nx
( ) efX
∫
1 f
S
f
−
S
n
- ,
j 0 = ω e
( ) nx
Ví duï: tín hieäu sin phöùc taàn soá ω0: n ∞<<∞
i Nyquist) ) + (laëëp lap laïïi Nyquist) DTFT laøø: X( : X(ωω) = 2 ) = 2ππdd((ωω -- ωω00) + (la
i Nyquist”” chchíính lanh laøø ssöïöï lalaëëp lap laïïi i
) tuaààn hoa ng thöùöù nhanhaáát ôt ôûû cacaùùc khoa n hoaøøn chu ky nh xaùùc c n thieáát t ññeeåå X(X(ωω) tua c khoaûûng 2ng 2ππ. . ÑÑieieààu u n chu kyøø 22ππ. Ch. Chíính xa
X
2
m2
( ) π=ω
)
( π−ω−ωδ 0
∑
m
−∞=
seõ coùù DTFT la seõ co trong ññooùù, so, soáá hahaïïng ng ““lalaëëp lap laïïi Nyquist trong n hoaøøn cun cuûûa soa soáá hahaïïng th tuatuaààn hoa nanaøøy lay laøø cacaààn thie hôn, bieååu thu thöùöùc c ññaaàày y ññuuûû lalaøø:: hôn, bie ∞
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
π
π
nj ω 0e
=
=ω
=ω
Ñeå chöùng minh, chuùng ta cheøn noù vaøo DTFT ngöôïc vaø khoâi phuïc tín hieäu sin cho tröôùc. Ñieàu naøy ñaõ ñöôïc trình baøy ôû chöông 1 (ví duï 1.5.1). Giaû söû ω0 naèm trong khoaûng Nyquist [-π, π] thì giôùi haïn cuûa X(ω) seõ ñöôïc xaùc ñònh bôûi soá haïng mieàn z = 0, nghóa laø:
) nj ω de
X(X(ωω) = 2 ( ) nx
π−
n
n
ω 1
2
) = 2ππdd((ωω -- ωω00), ), --ππ < < ωω < < ππ ( ) ( nj ω deX 2 ω ω−ωπδ 0 π−
1 2 π p tuyeáán tn tíính cu j ω X
( )
eA 2
1
ông töïöï, ne, neááu chu
1 ∫ ∫ , (5.4.6) cho Do Do ññooùù, (5.4.6) cho 2 π nh cuûûa hai t ông töïöï, to, toåå hôhôïïp tuye TTööông t u sin, ta coùù:: a hai tíín hien hieääu sin, ta co ( )2 ) ( ( ) j eAnx A2 A2 = + π+ω−ωδπ=ω→ ω−ωδ 1 2 1 ng minh tööông t ÑÑieieààu nau naøøy coy coùù thetheåå ñöñöôôïïc chc chöùöùng minh t u chuùùng ng ng Nyquist. Cuïï m trong khoaûûng Nyquist. Cu
ta giaûû ssöûöû cacaûû ωω1 1 vavaøø ωω22 cucuøøng na ta gia u sin vaøø cos th thetheåå, , ññooáái ti tíín hien hieääu sin va ng naèèm trong khoa c, ta coùù:: cos thöïöïc, ta co
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
∞
π
2
=
cos(ω0n) ô πd(ω – ω0) + πd(ω + ω0) sin(ω0n) ô –jπd(ω – ω0) + jπd(ω + ω0) Moät quan heä höõu ích khaùc laø ñaúng thöùc Parseval (quan
( ) nx
∑
∫
π−
1 2 π
n
−∞=
heä giöõa naêng löôïng cuûa moät chuoãi vôùi phoå cuûa noù): 2 ( ) X d ωω (Parseval) (5.4.7)
DTFT coù theå bieåu dieãn hình hoïc baèng caùch nhaän ra raèng nhöõng ñieåm z = ejω naèm treân voøng troøn ñôn vò trong mieàn z. Khi ω thay ñoåi qua khoaûng Nyquist [-π, π] thì ñieåm z = ejω di chuyeån xung quanh voøng troøn ñôn vò nhö hình 5.4.1. Goác pha cuûa z laø ω.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Hình 5.4.1 Döï ñoaùn bieán ñoåi z treân voøng troøn ñôn vò. Ñeå phoå X(ω) toàn taïi, ROC cuûa X(z) phaûi chöùa voøng troøn
ñôn vò, ngöôïc laïi bieán ñoåi z seõ phaân kyø taïi nhöõng ñieåm treân voøng troøn ñôn vò z = ejω. Nhöng neáu ROC chöùa voøng troøn ñôn vò thì tín hieäu x(n) phaûi oån ñònh. Do ñoù, bieán ñoåi Fourier X(ω) chæ toàn taïi ñoái vôùi caùc tín hieäu oån ñònh.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
j
n
ω
0
e
=
( ) nx
1 j ω
1
−
0
z
Nhöõng tín hieäu oån ñònh bieân chaúng haïn sin, noùi moät caùch chính xaùc seõ khoâng coù phoå nhöng caùc cöïc naèm treân voøng troøn ñôn vò vaø vì theá tính X(z) treân voøng troøn ñôn vò seõ laøm X(z) phaân kyø ôû nhöõng ñieåm z naøo ñoù. Tuy nhieân, ñieàu naøy laïi höõu ích khi xeùt phoå cuûa chuùng. Ví duï, ñoái vôùi tín hieäu sin phöùc cuûa caùc phaàn tröôùc, chuùng ta coù:
( ) nu = vavaøø do do ññooùù, thay the , thay theáá z = e ( ) =ω
j
j
0
1 ω−ω e
e1 −
X mamaøø phaân ky
( ) Z zX ⎯→⎯ e1 − z = ejjωω chocho 1 = )ω−ω ( j 0 . Tuy nhieân, ññaây la
e1 − phaân kyøø tataïïi i ωω = = ωω00. Tuy nhieân,
thuaààn sin x(n) = th
i thuaààn sin ma
ng taääp tap taïïi i ωω = = ωω00, ngh i Nyquist). Tuy nhieân, tíín hie ) (vôùùi lai laëëp lap laïïi Nyquist). Tuy nhieân, t t phieân baûûn trie , moäät phieân ba nhaân quaûû, mo n sin maøø lalaøø nhaân qua n sin vaøø vvìì thetheáá cacaùùc tac taààn son soáá hahaøøi seõ hie u mong aây laøø ññieieààu mong j 0e ω n n sin x(n) = thìì phophoåå , nghóóa laa laøø X(X(ωω) = ) = n hieääu khoâng u khoâng t tieâu n trieäät tieâu i seõ hieään dien dieään. Tuy n. Tuy a thuaààn sin va
muomuoáán bôn bôûûi vi vìì neneááu tu tíín hien hieääu lau laøø thua seõ laøø momoäät t ñöñöôôøøng ta cucuûûa noa noùù seõ la 22ππdd((ωω -- ωω00) (vô phaphaûûi thua cucuûûa thua nhieân, taààn son soáá chchíính vaãn la nhieân, ta nh vaãn laøø ωω00..
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
1
−
=
1 −
z z
− −
z 1 p 1
zz1 − 1 1 zp − 1
Daïng cöïc/zero cuûa bieán ñoåi z X(z) hay H(z), nghóa laø vò trí hình hoïc töông ñoái cuûa caùc cöïc vaø zero trong maët phaúng z, seõ aûnh höôûng ñeán daïng phoå cuûa X(ω) hay H(ω). Ñeå hieåu roû vaán ñeà naøy, xeùt moät bieán ñoåi z ñôn giaûn coù moät cöïc z = p1 vaø moät zero z = z1. =
( ) zX ông öùöùng va
j ω
j ω
ng vaøø biebieään n ññooää cucuûûa noa noùù ttììm m ñöñöôôïïc bac baèèng ca ng caùùch ch
e
z
−
1
X
X
=
⇒
=
( ) ω
( ) ω
j ω
j ω
e e
− −
e
−
z 1 p 1
p 1
PhoPhoåå ttööông thay z bôûûi ei ejjωω.. thay z bô
nh 5.4.2 cho thaááy vò tr
ông ññooáái cui cuûûa caa caùùc c ññieieååm com coáá thò ⏐X(X(ωω))⏐ ddöïöïa a
HHìình 5.4.2 cho tha y vò tríí ttööông ònh z11, p, p11 vavaøø cacaùùc c ññieieååm di m di ññooääng z = e ññònh z treân daïïng cng cöïöïc/zero cuõng treân da c/zero cuõng ñöñöôôïïc bie ng z = ejjωω. . ÑÑooàà thò u dieãn. c bieååu dieãn.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
PhoPhoåå bieân õa khoaûûng ca ng caùùch tch töøöø eejjωω ññeeáán n
bieân ññooää ⏐X(X(ωω))⏐lalaøø ttææ sosoáá gigiööõa khoa ng caùùch tch töøöø eejjωω ññeeáán cn cöïöïc zc z11.. n treân voøøng tro ng troøøn n ññôn vò, ca
i. Khi ejjωω gagaààn qua ôn vò, caùùc khoa n qua ññieieååm cm cöïöïc, khoa
ccöïöïc pc p11 vavaøø khoakhoaûûng ca Khi eKhi ejjωω di chuye ch naøøy seõ thay ch maãu soáá seõ nho di chuyeåån treân vo y seõ thay ññooååi. Khi e seõ nhoûû lalaøøm cho m cho ⏐X(X(ωω))⏐ taêng. Ne
n nhaáát tiet tieáán n ññeeáán pn p11 seõ xa
nh cuûûa a ⏐X(X(ωω))⏐ tataïïi i ññooùù. C. Cöïöïc cac caøøng ga
ng caùùch maãu so ch maãu soáá cacaøøng nho c khoaûûng ng c, khoaûûng ng taêng. Neááu u ωω11 lalaøø gogoùùc c y ra taïïi i seõ xaûûy ra ta ng gaààn vôn vôùùi i ng nhoûû tataïïi i ωω = =
ng nhoïïn.n.
cacaùùch na cacaùùch maãu so pha cuûûa ca cöïöïc pc p11 ththìì ññieieååm gam gaààn nha pha cu ωω = = ωω11 tataïïo mo o moäät t ñæñænh cu ng troøøn n ññôn vò, khoa vovoøøng tro ωω11, va, vaøø ñæñænh cu TTööông t ông töïöï, khi e ôn vò, khoaûûng ca nh cuûûa a ⏐X(X(ωω))⏐ cacaøøng nho , khi ejjωω gagaààn qua m zero, khoaûûng ca
c pha cuûûa zero,
n qua ññieieååm zero, khoa m cho ⏐X(X(ωω))⏐ giagiaûûm.m. TaTaïïi goi goùùc pha cu y seõ nhoûû nhanhaáát vat vaøø gaây ra mo ng caùùch tch töûöû sosoáá a zero, ωω = = ff11 gaây ra moäät t ññieieååm trum truûûng ng ch naøøy seõ nho ng caùùch na
seõ nhoûû lalaøøm cho seõ nho , khoaûûng ca , khoa cucuûûa a ⏐X(X(ωω))⏐ tataïïi i ññooùù..
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Zero caøng gaàn vôùi voøng troøn ñôn vò, ñieåm truûng caøng nhoïn. Zero z1 coù theå naèm treân voøng troøn ñôn vò, trong tröôøng hôïp ñoù ⏐X(X(ωω))⏐ seõ trieät tieâu taïi ωω = = ff11.
Hình 5.4.2 Bieåu dieån hình hoïc cuûa phoå taàn soá.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Toùm laïi, chuùng ta coù theå veõ phoå cuûa ⏐X(X(ωω))⏐ baèng caùch cho eejjωω laàn theo voøng troøn ñôn vò vaø veõ caùc ñænh khi eejjωω gaàn qua caùc cöïc, vaø ñieåm truûng khi noù gaàn qua zero. Töø vò trí hôïp lyù cuûa caùc cöïc vaø zero cuûa X(z), ngöôøi ta coù theå thieát keá baát kyø daïng mong muoán naøo cuûa X(ω) hay H(ω).
Ñeå thuaän tieän, chuùng ta chia voøng troøn ñôn vò thaønh caùc vuøng taàn soá thaáp, trung bình, cao nhö hình 5.4.3. Vieäc phaân chia naøy laø tuøy yù vì taàn soá naøo laø cao hay thaáp coøn tuøy thuoäc vaøo öùng duïng. Tuy nhieân, vieäc naøy nhaèm thay theá caùc cöïc vaø zero. Ví duï, ñeå thieát keá boä loïc thoâng thaáp maø laøm noåi baät taàn soá thaáp vaø suy hao taàn soá cao, ngöôøi ta seõ ñaët caùc cöïc beân trong voøng troøn vaøo moät vò trí naøo ñoù trong cung taàn soá thaáp vaø/hoaëc zero trong cung taàn soá cao.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Hình 5.4.3 Caùc phaàn taàn soá thaáp, trung bình, cao cuûa voøng troøn ñôn vò .
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Caùc phöông phaùp thieát keá boä loïc nhö theá thì hôi thoâ thieån vaø trong thöïc teá chæ ñöôïc söû duïng ñeå thieát keá caùc boä loïc ñôn giaûn hoaëc ñaëc bieät, chaúng haïn boä loïc coäng höôûng hoaëc caùc phaàn cuûa boä loïc truøng phöông cho caùc boä caân baèng tham soá vaø ñoà hoïa aâm thanh soá. Nhöõng ví duï thieát keá nhö vaäy seõ ñöôïc xeùt sau.
DTFT X(ω) cuûa tín hieäu x(n) laø moät ñaïi löôïng phöùc vaø vì theá, noù ñöôïc bieåu dieån bôûi phaàn thöïc vaø phaàn aûo Re(ω), Im(ω) hoaëc ôû daïng cöïc bôûi ñaùp öùng pha vaø bieân ñoä |X(ω)|, argX(ω). Do ñoù:
X(ω) = Re{X(ω)} + jIm{X(ω)} = |X(ω)|ejarg{X(ω)}
Ñoái vôùi tín hieäu thöïc x(n), ñaïi löôïng X(ω) thoûa maõn tính
chaát hermitan sau:
X(ω)* = X(–ω) (5.4.8)
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Töø ñoù, ta coù caùc moái quan heä sau:
(5.4.9)
|X(ω)| = |X(– ω )| arg{X(ω)} = –arg{X(– ω)} nghóa laø, ñaùp öùng bieân ñoä laø chaün theo ω vaø ñaùp öùng pha laø leû. Ñònh nghóa töông töï vaø aùp duïng caùc keát quaû cho ñaùp öùng taàn soá H(ω) cuûa heä thoáng thöïc h(n).
Cuoái cuøng chuùng ta chuù yù raèng tính chaát Y(z) =
H(z).X(z) ñöôïc tính treân voøng troøn ñôn vò seõ coù daïng trong mieàn taàn soá laø:
Y(ω) = H(ω).X(ω) (loïc trong mieàn taàn soá) (5.4.10)
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
5.5 Bieán ñoåi z ngöôïc
Baøi toaùn nghòch cuûa moät bieán ñoåi z cho tröôùc X(z) laø
tìm tín hieäu thôøi gian x(n) maø bieán ñoåi z laø X(z). Nhö chuùng ta ñaõ bieát, ñaùp soá cho x(n) laø khoâng nhaát thieát phaûi duy nhaát. Tuy nhieân coù theå laø duy nhaát neáu xaùc ñònh ROC töông öùng.
Trong bieán ñoåi z ngöôïc, chuùng ta khai trieån X(z) thaønh
töøng phaân soá nghóa laø, thaønh toång cuûa caùc soá haïng cöïc rieâng reõ coù daïng (5.3.2).
Moät khi X(z) ñöôïc vieát döôùi daïng (5.3.2), chuùng ta caàn bieát baèng caùch naøo ñeå ñaûo moãi soá haïng naøy, nghóa laø nhaân quaû hay phaûn nhaân quaû. Ñieàu naøy phuï thuoäc vaøo vieäc löïa choïn ROC.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
=
+
Toång quaùt, caùc voøng troøn qua cöïc taïi z = p1, z = p2, …, chia maët phaúng z thaønh nhöõng mieàn khoâng choàng cheùo maø laø caùc öùng vieân coù theå cho ROCs. Moät trong caùc mieàn ROC naøy seõ taïo ra x(n) khaùc nhau. Trong soá taát caû x(n) coù khaû naêng, chæ coù duy nhaát moät x(n) laø oån ñònh bôûi vì voøng troøn ñôn vò naèm chính xaùc ôû moät trong caùc ROC coù theå. Ví duï 5.5.1: Trong ví duï (5.2.3), ba tín hieäu ñaàu tieân coù
1 −
1 −
1 z8.01
1 z25.11
−
chung bieán ñoåi z: ( ) zX
− Hai voøng troøn qua caùc cöïc taïi z = 0.8 vaø z = 1.25 seõ chia maët phaúng z thaønh 3 vuøng I, II, III, ñöôïc bieåu dieãn trong ví duï 5.2.3.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Do ñoù, coù 3 bieán ñoåi z ngöôïc coù theå nghóa laø ba tín hieäu
x(n) töông öùng vôùi ba löïa choïn ROC. Nhöng chæ II laø oån ñònh.
=
( ) zX
( ) zN ( )zD
Phöông phaùp khai trieån phaân soá töøng phaàn PF coù theå aùp duïng cho bieán ñoåi z maø tæ soá cuûa hai ña thöùc theo z-1 coù daïng:
Caùc cöïc cuûa ña thöùc maãu D(z) laø caùc cöïc cuûa X(z). Giaû söû D(z) coù baäc M, nghóa laø coù M zero maãu soá laø p1, p2, …, pM, vaø D(z) coù theå giaû söû coù daïng:
D(z) =(1 – p1z-1) (1 –p2z-1)…(1 – pMz-1)
Khai trieån phaân soá töøng phaàn X(z) :
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
=
=
( ) zX
1-
1-
( ) zN 1- zp-(1 )
zp-(1
)
) …
( ) zN ( ) zD
zp-(1 1
M
=
+
... ++
1-
1-
1-
A 2 zp-1
2 A M zp-1
A 1 zp-1 1
2
M
(5.5.1)
khai trieåån dan daïïng zng z--11 ththìì babaääc c ñña tha thöùöùc tc töûöû sosoáá N(z) N(z)
c M ñña tha thöùöùc maãu so c maãu soáá. He . Heää sosoáá khai trie i nhoûû hôn ba khai trieåån An Aii
phaphaûûi nho cocoùù thetheåå ttíính theo coâng th
=
−
=
] ) ( ) 1 − zXzp
[ ( 1
A i
i
1 −
pz = 1
( ) zN ( 1 zp − j
∏
j
i
≠
(5.5.2) (5.5.2)
⎤ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎦
pz = 1
ÑÑeeåå cocoùù thetheåå khai trie hôn baääc M nh theo coâng thöùöùc:c: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
vôvôùùi I = 1, 2,
khokhoûûi maãu so
, M. Maëët kha i I = 1, 2, ……, M. Ma i maãu soáá vavaøø biebieååu thu thöùöùc coc coøøn n ñöñöôôïïc tc tíính ta 5.2.3 bieáán n ññooååi z 5.5.2: Trong víí duduïï 5.2.3 bie t khaùùc, thc, thöøöøa soa soáá (1 (1 –– ppIIzz--11) bò bo ) bò boûû c z = pii.. nh taïïi ci cöïöïc z = p c vieáát dt dööôôùùi i i z ñöñöôôïïc vie VVíí duduïï 5.5.2: Trong v
dadaïïng:ng:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
1 −
1 −
=
=
( ) zX
2 −
−
− z05.21
z
z05.22 1 − − +
−
z05.22 − ( )( 1 − z8.01 z25.11 −
)1
1 −
Bôûi vì ña thöùc töû soá coù baäc 1 theo bieán z-1, khai trieån PF
=
+
=
( ) zX
2
−
1 −
1 −
− z05.21
z
A 1 z8.01
A 2 z25.11
z05.22 1 − +
−
−
−
1 −
1
=
−
=
=
=
)
] [ ( ( ) 1 − zXz8.01
A 1
8.0z =
1 −
8.0/05.22 8.0/25.11
− −
coù daïng:
− −
⎡ ⎢ ⎣
8.0z =
⎤ ⎥ ⎦ 1 −
1 −
1
=
−
=
=
)
] [ ( ( ) zXz25.11
A 2
25.1z =
z05.22 − 1 − z8.01 −
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
25.1z =
Hai heä soá ñaït ñöôïc nhôø (5.5.2): z05.22 z25.11
Neáu baäc cuûa ña thöùc töû soá N(z) chính xaùc baèng vôùi baäc M cuûa maãu soá D(z) thì khai trieån (5.5.1) phaûi hieäu chænh baèng caùch theâm soá haïng phuï daïng:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
=
=
( ) zX
(1
1- (1 )zp-
(1
…
( ) zN ( ) zD
1
1- )zp- M
( ) zN 1- )zp- 2
A
...
=
+
+
+
+
0
1-
1-
1-
A 2 zp-1
A M zp-1
A 1 zp-1 1
2
M
(5.5.3)
=
A 0
0z =
Caùc heä soá Ai, i = 1, 2, …, M ñöôïc tính töông töï bôûi
(5.5.2). heä soá phuï A0 chính laø bieán ñoåi z taïi z = 0, nghóa laø: (5.5.4) chia ñña a
( ) zX a N(z) lôùùn hôn M th
n hôn M thìì ngngööôôøøi ta co
NeNeááu bau baääc cuc cuûûa N(z) lô c D(z) cho N(z), tììm som soáá ththööông va ththöùöùc D(z) cho N(z), t i ta coùù thetheåå chia ông vaøø ñña tha thöùöùc dc döö, , ññeeåå mamaøø
=
+
=
=
( ) zX
( ) zQ
vavaøø kekeáá ññooùù vievieáátt
( ) zR ( )zD
Q(z)D(z) ++ R(z)R(z) N(z)N(z) == Q(z)D(z) ( ) ( ) ( ) ( ) zN zRzDzQ + ( ) ( ) zD zD
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
( ) zW =
1 ( )zD
Baây giôø, soá haïng thöù hai seõ thoûa maûn khai trieån PF thoâng thöôøng daïng (5.5.1) bôûi vì baäc cuûa ña thöùc dö R(z) nhoû hôn M. Moät caùch khaùc, ngöôøi ta coù theå khöû hoaøn toaøn ña thöùc töû soá N(z), keá ñoù tính khai trieån PF thoâng thöôøng cuûa ñaïi löôïng
vaø cuoái cuøng khoâi phuïc töû soá baèng caùch vieát:
X(z) = N(z)W(z) Chuùng ta coù theå xem phöông phaùp naøy nhö phöông phaùp “khöû/phuïc hoài”. Moät soá ví duï seõ minh hoïa phöông phaùp naøy.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Ví duï 5.5.3: Chuùng ta nhaán maïnh raèng khai trieån PF coù
1
−
)
=
=
( ) zX
1
−
−
−
( 05.2z2z − )( )25.1z8.0z ( −
− ( − z8.01
z05.22 )( 1 z25.11 −
)
theå toàn taïi treân moät bieán ñoäc laäp, z-1 nhöng khoâng treân bieán khaùc, z. Ví duï bieán ñoåi z::
cocoùù ttöûöû sosoáá babaääc 1 t c 1 tööông i bieáán zn z--11 nhnhööng ba
ng baääc 2 c 2 öùöùng ng ông ng (5.5.1) tööông
vôvôùùi z. Vi z. Vìì thetheáá, no, noùù thothoûûa ma öùöùng vô ng vôùùi bie ông öùöùng vô a maûûn khai trie n khai trieåån dan daïïng (5.5.1) t i z. ng khoâng vôùùi z.
ng vôùùi zi z--11 nhnhööng khoâng vô NhieNhieààu sau saùùch th ch thíích sch söûöû duduïïng z hôn va khai ng z hôn vaøø do do ññooùù ññeeåå cocoùù thetheåå khai
=
=
+
A 1 8.0z −
−
A 2 25.1z −
c chia ññeeåå lalaøøm giam giaûûm bam baääc cuc cuûûa ta töûöû sosoáá vavaøø
n PF, heää sosoáá z z ñöñöôôïïc chia trietrieåån PF, he c, nghóóa laa laøø c khi keáá thuthuùùc, ngh khoâi phuïïc khi ke kekeáá ññooùù khoâi phu ( ) ( ) 05.2z2z zX − )( ( ) z 25.1z8.0z −
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
+
=
=
+
( ) zX
1 −
1 −
zA 2 25.1z −
A 1 z8.01
A 2 z25.11
−
−
Khi z ñöôïc khoâi phuïc, ta coù: zA 1 8.0z −
1 −
=
( ) zX
2
−
Deã daøng chöùng minh raèng caùc heä soá khai trieån PF seõ gioáng nhau theo 2 caùch. Trong saùch naøy, chuùng toâi thích z-1 hôn vaø traùnh caùc böôùc soá hoïc phuï maø yeâu caàu vieát moïi thöù theo soá haïng z, cho chia z, khoâi phuïc z, vaø vieát laïi keá quaû cuoái cuøng theo soá haïng z-1.
Ví duï 5.5.4: Tính caùc bieán ñoåi z ngöôïc hôïp lyù cuûa z6 + z25.01 −
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
=
=
=
+
( ) zX
A 2 1 − z5.01
1 − z6 + 2 − z25.01 −
+
−
+
−
A 1 1 − z5.01 1 −
1 −
trieån PF:
,4
A
2
=
=
=
=
A 1
2
1 −
1 −
⎤ ⎥ ⎦
trong ñoù:
) ⎡ z6 + ⎢ z5.01 − ⎣
⎡ z6 + ⎢ z5.01 + ⎣
z
5.0
−=
5.0z =
Giaûi: Bôûi vì töû soá coù baäc 1 theo z-1, chuùng ta coù khai 1 − z6 + )( ( 1 1 − − z5.01z5.01 ⎤ ⎥ ⎦
Hai cöïc taïi ± 0.5 coù cuøng bieân ñoä vaø vì theá chia maët
phaúng z thaønh 2 mieàn ROC I vaø II: |z| > 0.5 vaø |z| < 0.5.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Ñoái vôùi ROC thöù nhaát, caû hai soá haïng trong khai trieån
PF ñöôïc bieán ñoåi nhaân quaû thaønh:
x(n) = A1(0.5)nu(n) + A2(– 0.5)nu(n) Bôûi vì ROC naøy cuõng chöùa voøng troøn ñôn vò, tín hieäu
x(n) seõ oån ñònh. Vôùi ROC thöù hai, caû hai khai trieån PF ñöôïc bieán ñoåi phaûn nhaân quaû thaønh:
x(n) = – A1(0.5)nu(– n – 1) – A2(– 0.5)nu( – n – 1) Ñaùp soá naøy khoâng oån ñònh bôûi vì ROC khoâng chöùa voøng
2 −
1 −
10
=
( ) zX
z 2 −
troøn ñôn vò.
+ −
Ví duï 5.5.5: Xaùc ñònh taát caû bieán ñoåi z ngöôïc cuûa z − z25.01
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
2 −
1 −
2 −
1 −
10
=
=
=
+
+
A 0
1 −
1 −
z 1 −
1 −
z 2 −
A 1 z5.01
A 2 z5.01
z − z25.01
−
+
−
+ −
10 + ( z5.01
z − )( z5.01 +
)
Giaûi: Trong tröôøng hôïp naøy, khoâng söû duïng ñöôïc khai trieån PF thoâng thöôøng vì baäc cuûa töû soá baèng baäc cuûa maãu soá. Tuy nhieân, chuùng ta vaãn coù theå coù khai trieån daïng (5.5.3). ( ) zX
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
1
2
2 −
1 −
10
1
4
=
=
=
=
A 0
z 2 −
1 − 25.0
−
z − z25.01
z10 2 z
Trong ñoù, A1 vaø A2 ñöôïc xaùc ñònh theo caùch thoâng
+ −
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
0z =
0z =
1 −
2 −
1 −
2 −
10
10
2
,4
=
=
=
=
A 1
A 2
z z + − 1 − z5.01 −
z z + − 1 − z5.01 +
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
5.0
z
5.0z =
−=
thöôøng vaø A0 ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch tính X(z) taïi z = 0: z + − 25.0 −
⎡ ⎢ ⎣ Moät laàn nöûa, chæ coù hai ROC I vaø II: |z| > 0.5 vaø |z| < 0.5. Ñoái vôùi ROC thöù nhaát, caû hai soá haïng A1 vaø A2 ñöôïc bieán ñoåi nhaân quaû thaønh vaø soá haïng A0 ñôn giaûn bieán ñoåi ngöôïc laø δ(n).
x(n) = A0d(n) + A1(0.5)nu(n) + A2(– 0.5)nu(n)
Vôùi ROC thöù hai, ta coù: x(n) = A0d(n) – A1(0.5)nu(– n – 1) – A2(– 0.5)nu( – n – 1)
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Chæ bieán ñoåi ngöôïc thöù nhaát laø oån ñònh vì ROC chöùa
voøng troøn ñôn vò.
5 −
z
=
( ) zX
2
−
+ z25.01
6 −
Ví duï 5.5.6: Xaùc ñònh bieán ñoåi z ngöôïc nhaân quaû cuûa
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Giaûi: Baäc cuûa töû soá hoaøn toaøn lôùn hôn baäc cuûa maãu soá.
Phöông phaùp thöù nhaát laø chia töû soá cho maãu soá, ta coù:
5 −
1 −
1 −
3 −
(6 + z-5) = (1 – 0.25z-2)(– 16z-1 – 4z-3) + (6 + 16z-1) Trong ñoù (6 + 16z-1) laø ña thöùc dö vaø (– 16z-1 – 4z-3) laø soá
z16
z4
=
−=
−
+
( ) zX
2 −
2 −
z6 + z25.01 −
6 z16 + z25.01 −
thöông. Keá tieáp:
3
1 −
−
z16
z4
−=
−
+
−
( ) zX
1 −
1 −
19 z5.01
13 z5.01
−
+
vaø khai trieån soá haïng cuoái cuøng thaønh daïng PF:
BieBieáán n ññooååi z nhaân qua i z nhaân quaûû cocoùù ROC seõ la ROC seõ laøø |z| > 0.5::
x(n) = - 16 d(n - 1) - 4d(n - 1) + 19(0.5)nu(n) - 13( -0.5)nu(n)
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Phöông phaùp thöù hai laø “khöû/khoâi phuïc”. Boû qua töû soá
=
=
+
( ) zW
2
1
1
−
−
−
1 z25.01
5.0 z5.01
5.0 z5.01
−
−
+
chuùng ta coù:
maø coù bieán ñoåi z nhaân quaû::
x(n) = 0.5(0.5)nu(n) + 0.5( -0.5)nu(n) Khi ñaõ bieát w(n) thì x(n) coù theå tìm ñöôïc baèng caùch
khoâi phuïc töû soá: X(z)= (6 + z-5)W(z)= 6W(z)+ z-5W(z)
Laáy bieán ñoåi z ngöôïc caû hai veá vaø söû duïng tính chaát treå,
+
=
=−
( )
n )
n )
(
( ) nu5.03nu5.03)5n(wnw6)n(x ( −
( ) 5n − ( ) 5.05.0 +
( −+ 5n − ( ) 5.05.05nu
) +−
)5nu ( −
ta coù:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Hai keát quaû thu ñöôïc töø hai phöông phaùp laø töông
1
2
3
−
−
−
ñöông.
=
( ) X z
1
z 1 −
−
− 0 .5
3 .5 z
− z
z
7 −
−
cuûa:
z 9 .5 )( 2 − 1
( 1
)
Ví duï 5.5.7: Xaùc ñònh taát caû bieán ñoåi z ngöôïc coù theå coù z 5 .5 + )( 1 1 .5 −
+
=
+
+
( ) zX
1
1
1
1
−
−
−
−
2 z5.11
1 z1 +
1 z1 −
−
Giaûi: X(z) thoûa khai trieån PF
3 z5.01 − trong ñoù caùc heä soá khai trieån PF deã daøng tìm ñöôïc. Boán
cöïc taïi z = 0.5, 1, -1, 1.5 chia mieàn z thaønh 4 mieàn ROC I, II, III, IV. Mieàn I töông öùng vôùi ñaûo hoaøn toaøn phaûn nhaân quaû vaø mieàn IV töông öùng vôùi ñaûo hoaøn toaøn nhaân quaû.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
1
−
n )
n )
)
1
n
x
=
−
−
2
1
1
n
=
−
−
+
) )
1
x
=
+
( 5.12 ( 5.12 ( 5.12 n )
+ n ) 1 + ] ( ) nu ( 5.12 +
( ) nx 1 ( ) n ( ) nx 3 ( ) n
n ) 1 + ( ) nu n ) n )
4
[ ( 1 −+−= n ( ) 5.03 [ ( 1 −+ [ ( 1 −+
] ( u n − ] ( n ) u − n ( ) u − ] ( )nu
Ñoái vôùi mieàn II, cöïc taïi z = 0.5 seõ bieán ñoåi ngöôïc nhaân quaû vaø phaàn coøn laïi phaûn nhaân quaû. Coøn mieàn III, z = 0.5 vaø z = ±1 seõ bieán ñoåi ngöôïc nhaân quaû vaø z = 1.5 thì ñaûo phaûn nhaân quaû. Do ñoù, boán bieán ñoåi z ngöôïc coù theå coù laø: ( 5.03 [ ( 1 −+ n ( ) 5.03 n ( ) 5.03
Noùi chính xaùc, khoâng coù keát quaû naøo laø oån ñònh bôûi vì hai cöïc z = ± 1 naèm treân voøng troøn ñôn vò. Tuy nhieân, x2(n) vaø x3(n) laø oån ñònh bieân, nghóa laø khoâng hoäi tuï cuõng phaân kyø veà 0 khi nhaân quaû lôùn.
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
Trong caû hai tröôøng hôïp, soá haïng phaûn nhaân quaû (1.5)n tieán veà 0 vôùi nhaân quaû aâm lôùn. Thaät vaäy, do nhaân quaû aâm, chuùng ta vieát n = - |n| vaø (1.5)n = (1.5)- |n| ô 0 khi n ô•.
Caùc soá haïng do cöïc z = ± 1 laø nhaân quaû hoaëc phaûn nhaân quaû trong tröôøng hôïp II vaø III, nhöng chuùng vaãn bò chaën. Hai tín hieäu khaùc x1(n) vaø x4(n) laø khoâng oån ñònh vì voøng troøn ñôn vò khoâng naèm trong ROC cuûa chuùng.
...
=
+
+
+
( ) zX
1
1
1
−
−
−
A 1 zp1 − 1
Giaû söû raèng ña thöùc töû soá vaø maãu soá N(z) vaø D(z) coù caùc
A 2 zp1 − 2
heä soá thöïc nghóa laø caùc cöïc phöùc cuûa X(z) laø caùc caëp lieân hôïp phöùc. Trong tröôøng hôïp ñoù, khai trieån PF coù daïng: * A 1 * zp1 − 1
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
...
+
=
+
( ) nx
* 1
( ) n nupA 2
2
Trong ñoù, caùc heä soá khai trieån PF cuõng laø caùc caëp lieân hôïp phöùc. Vì theá, chæ caàn xaùc ñònh moät laø ñuû, khoâng caàn caû hai. Bieán ñoåi z ngöôïc töông öùng seõ laø thöïc, thaät vaäy, xeùt tröôøng hôïp nhaân quaû chuùng ta coù: ( ) n nupA + 11
( ) n* nupA 1 Bôûi vì hai soá haïng ñaàu tieân laø lieän hôïp phöùc cuûa nhau neân chuùng ta coù theå duøng keát quaû C + C* = 2Re(C) cho baát kyø soá phöùc C naøo ñeå vieát soá haïng thöù nhaát.. +
=
[ pARe2 11
( ) n nupA 11
* 1
j
j
α
ω 1
1
j
eR 1 jn α+ω
α
1
1
=
=
]
]1
[ n pARe 11
RB 1
1
]n ( ) n* nupA 1 VieVieáát At A11 vavaøø pp11 ddööôôùùi dai daïïng cng cöïöïc: vô c: vôùùi Bi B1 1 > > eBA vaø p = = 1 1 1 [ ] [ j jn n ω n eReBRe eRe 1 1 1 a luõy thöøöøa, ta co a, ta coùù::
0 va0 vaøø RR1 1 > 0, ta co > 0, ta coùù:: y phaààn thn thöïöïc cuc cuûûa luõy th vavaøø lalaááy pha
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
)1
1
( n α+ω ...
( ) =
cos +
[ ( ) n * n pARe2 nupAnupA + = 11 1 11 ( ) )n(x RB2 cos n +α+ω 1
n* 1 n 1
1
1
] n RB2 = 1 1 ( ) n nupA 2
2
vaø
n 1R
Do Do ññooùù, ca, caùùc cc cöïöïc phc phöùöùc tc tööông
a (neááu Ru R11 < 1). m theo m sin suy giaûûm theo m vaøø tataààn son soáá ωω11
p 1
ng haøøm sin suy gia ông öùöùng ha ng bao suy giaûûm va = luõy thöøöøa (ne luõy th phuphuïï thuo
< 1). ÑöÑöôôøøng bao suy gia 1j ω thuoääc vac vaøøo co cöïöïc phc phöùöùc . c . eR 1 t trong khai trieåån PF t c moäät trong khai trie CaCaùùc soc soáá hahaïïng ba ng baääc mo n PF tööông ng vôùùi i
ông öùöùng vô nh soáá i thaøønh so c lieân hôïïp php phöùöùc coc coùù thetheåå ñöñöôôïïc toc toåå hôhôïïp lap laïïi tha
1
−
( A
1
=
+
1
1
−
−
* 1 −
1
1
−
−
* 1 −
cacaùùc cc cöïöïc lieân hô ng baääc hai vô hahaïïng ba
A + ( 1 −
) * − 1 zp 1
* A 1 * zp 1
A 1 zp 1
) zpA + 1 )1 * zp 1
sau: c hai vôùùi cai caùùc hec heää sosoáá ththöïöïc nhc nhöö sau: ( pA 1 )( 1 − 1
SSöûöû duduïïng ng ññooààng nha ng nhaáát tht thöùöùc:c:
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
2
1
1
1
2
−
−
−
−
2
Re
p
z
−
−
=
−
+
( p
zp 1
* zp 1
1
1
j
j
1
1
1
2
−
−
−ω z 1
) −ω− z 1
R21
cos
−
−
−=
+
) z
1 )
( 1 ( eR1 1
)( 1 )( eR1 1
1
2 zR 1
) z ( ω 1
Hoaëc
vaø vieát * = 2Re(A11) = 2B
AA11 + A+ A11* = 2Re(A AA11pp11* + A* + A11*p*p11 = 2Re(A cos(aa11)) ) = 2B11cos( *) = 2B11RR11cos( = 2Re(A11pp11*) = 2B cos(ωω11 -- aa11))
1
−
B2
)
) z
1
1
+
=
1
1
−
−
cos 1 −
1
( α 1 R2
− cos
−
−
cos 1 −
RB2 1 ( ω
1 ) z
A 1 zp 1
* A 1 * zp 1
1
1
( ω−α 1 2 2 − zR + 1
chuchuùùng ta t ng ta tììm m ñöñöôôïïc:c:
2 −
1 −
ònh taáát cat caûû biebieáán n ññooååi z ng i z ngööôôïïc coc coùù thetheåå cocoùù
( ) zX
z 2 −
cucuûûa:a:
1 cocoùù cacaùùc hec heää sosoáá ththöïöïc.c. VVíí duduïï 5.5.8: Xa 5.5.8: Xaùùc c ññònh ta z34 − + = z25.01 +
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
2 −
1 −
1 −
2 −
=
=
( ) zX
1
z 2 −
−
+
z + )( jz5.01 −
)
=
+
A 0
1
1
−
−
z34 − + z25.01 + A 1 jz5.01
z34 − ( 1 − jz5.01 A 2 jz5.01
−
+
Giaûi:
vôvôùùi cai caùùc gia c giaùù tròtrò
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
2
1
2
1
−
−
−
−
,4
j3
=
=
=
=
A 0
A 1
z 2 −
z 1 −
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
j5.0z
0z =
=
1
−
4
4
=
−
=
−
+
z34 − + z25.01 + ( ) zX
1
1
2
−
−
−
z34 − + jz5.01 + j3 jz5.0
1
1
z3 z25.0
+
−
−
( −
n )
+
+
=
+
( ) nx = δ + hai soáá hahaïïng cuo VVìì hai so chuchuùùng ta vie ng ta vieáát lat laïïi tha ( ) nx =
n ) ( ) ( nu5.06
( ) n4 δ
n )
[ jRe
]1n
j3 Vì theá: jz5.0 1 + ROC nhaân quaû laø ⏐z⏐ > ⏐0.5j⏐ = 0.5 seõ cho: n ( )nuj5.0 ) ( ) ( ( ) n4 nuj5.0j3 j3 ng cuoáái cui cuøøng lang laøø lieân hô lieân hôïïp php phöùöùc cuc cuûûa nhau neân a nhau neân i thaøønh:nh: [ ( ) n4 δ
] 1n =+
(n+1)/2, ta t VieVieáátt jjn+1n+1 = e= ejjππ(n+1)/2 , ta tììm m ñöñöôôïïc pha ( ) n 1 + π [ ⎛ jRe cos sin ⎜ 2 ⎝
] ( ) ( nuj5.0j3Re2 c phaààn thn thöïöïc: c: n π ⎞ ⎟ 2 ⎠
⎛ ⎜ ⎝
4
sin
=
−
δ
( ) nx
( ) n
( 5.06
n )
( )nu
n π 2
⎞ −=⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
vavaøø
CHCHÖÖÔNG 5: BIE
ÔNG 5: BIEÁÁN N ÑÑOOÅÅI ZI Z
nx
4
sin
u
n
=
+
δ
−
( )
( ) n
( 5.06
n )
( −
)1
n π 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Töông töï, chuùng ta tìm ñöôïc
ñoái vôùi phieân baûn phaûn nhaân quaû coù ROC ⏐z⏐ < 0.5. Moät soá ví duï khaùc vôùi caùc cöïc lieân hôïp phöùc laø caùc tröôøng hôïp (6 – 9) cuûa ví duï 5.2.2.
