Xử lý số tín hiệu
Chương 5: Biến đổi Z
1. Định nghĩa
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):
n
zX )(
znx )(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
1
2
x
z
x
z
x
x
z
x
z
...
)2(
)1(
)0(
)1(
)2(
...
Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
zH )(
nznh )(
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2. Các tính chất cơ bản
a. Tính tuyến tính
nxA )( 11
nxA )( 22
zXA )( 1 1
zXA )( 2
Z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2
b. Tính trễ Z
nx
zX
Dnx
(cid:0) Z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) D zXz )(
c. Tính chập y
(n)
h(n)
nx )(
Y
(z)
X(z)H(z)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2. Các tính chất cơ bản
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ví dụ 1 Dùng
và tính chất của biến đổi
nu (
)1
n )(
(cid:0) nu )( Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n) b) x(n) = -u(-n-1)
Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín
hiệu ngõ vào sau: h = [1, 2, -1, 1] x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
3. Miền hội tụ
Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):
ROC
)(zXCz
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n) Biến đổi Z:
n
n
n
z
zX )(
)5.0(
znu )(
5.0(
1)
(cid:0) (cid:0) z-plane (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
n
0
0 . 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z
|z|
1
Tổng hội tụ khi z 5.0
5.0
1
ROC (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ROC
zCz
Z
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
nu
)5.0(
,
z
5.0
1
z
z (cid:0)5.0(cid:0) 1 5.01
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3. Miền hội tụ
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1) Biến đổi Z:
n
n
1
z
z
zX )(
)5.0(
)5.0[(
m ]
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
m
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ROC
zCz
(cid:0) (cid:0) (cid:0) z-plane
(cid:0)5.0(cid:0)
0 . 5
|z|
Kết quả:
Z
n
z
)5.0(
nu (
)1
,
5.0
1
z
1 5.01
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ROC z (cid:0) (cid:0)
3. Miền hội tụ
Z
a
n nua )(
z
Tổng quát:
1
1 az
1 Z
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
nua (
)1
,
z
1
, 1 az
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
z-plane z-plane
| z |
| z |
a a
| a |
| a |
ROC cực cực
ROC
4. Tính nhân quả và ổn định
...
n nupA )( 11
n nupA )( 2
2
Tín hiệu nhân quả dạng: nx )( có biến đổi Z là:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
zX )(
...
1
1
1
1
A 1 zp 1
A 2 zp 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
z max
p i
Với ROC:
i
p4
p1
p2
p3
ROC
(cid:0)
4. Tính nhân quả và ổn định
Tín hiệu phản nhân quả dạng: )1
(
(
)1
...
n nupA 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
zX )(
...
1
1
1
1
n nx nupA )( 11 cũng có biến đổi Z là: A 1 zp 1
A 2 zp 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
z min
p i
Với ROC:
p4
i
p1
p2
p3
ROC
(cid:0)
4. Tính nhân quả và ổn định
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n) b. x(n) = (0.8)nu(n) - (1.25)nu(-n-1) c. x(n) = -(0.8)nu(-n-1) - (1.25)nu(-n-1) d. x(n) = - (0.8)nu(- n – 1) + (1.25)nu(n)
4. Tính nhân quả và ổn định
x(n) ổn định ROC có chứa vòng tròn đơn vị
Các trường hợp:
p4
p4
p1
p1
p2
p2
p3
p3
ROC
ROC
vòng tròn đơn vị
vòng tròn đơn vị
(cid:0)
5. Phổ tần số
(cid:0) (cid:0)
Biến đổi Z của x(n):
zX )(
nznx )(
(cid:0) (cid:0)
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
fnT
(cid:0)2
Biến đổi DTFT của x(n):
fX (
)
jenx )(
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
fT
(cid:0) 2
Đặt (Tần số số)
(cid:0) f 2 sf
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) nj
(cid:0)
X
(cid:0) (
)
enx )(
zX )(
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
jez
n
Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
5. Phổ tần số
Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) nj
H
(cid:0) (
)
enh )(
zH )(
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
jez
n
X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs X(ω), H(ω) tuần
hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
DTFT ngược: (cid:0)
f
S
(cid:0)
j
fn
f
2
/
(cid:0) nj
S
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
X
(cid:0) d
e
df
nx )(
1 f
1 (cid:0) 2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
S
f
2/ efX 2/
S
(cid:0) (cid:0)
6. Phổ tần số
ejω
Mặt phẳng Z
ω = π ω = 0
0
Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa
vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định
Vòng tròn đơn vị
6. Phổ tần số
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Xét X(z):
zX )(
1
z z
1 1
zz 1 zp 1
z 1 p 1
X(z) có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1 Thay z = ejω,
(cid:0)
j
(cid:0)
j
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
e
z 1
(cid:0) (cid:0)
X
X
(cid:0) (
)
(cid:0) (
)
(cid:0)
(cid:0)
j
j
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
e e
e
z
z 1 p 1
2
(cid:0) (cid:0)
6. Phổ tần số |z-p1|
ejω
|z-z1| |X(ω)| pole
p1 z1
zero ω1
1 φ1
0
ω 0 φ1 ω1
7. Biến đổi Z ngược
Đưa X(z) về dạng
zX )(
...
1
1
1
1
A 1 zp 1
A 2 zp 2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Tùy theo ROC, suy ra x(n) Ví dụ:
zX )(
1
1
z
z
1 8.01
25.11
ROC={z,|z|<0.8} x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)
ROC={z, 0.8<|z|<1.25} x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)
ROC={z, 1.25 < |z|} x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
7. Biến đổi Z ngược
zX )(
1
1
Pp khai triển phân số từng phần: zN )( zD )(
1)(
1(
1)...(
)
zp M
zp 1
zN )( 1 zp 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
zX )(
...
1
1
1
1
1
1
A M zp M
Khi bậc của N(z) nhỏ hơn M: A 2 zp 2
A 1 zp 1
Với
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
(cid:0)
A i
1 zXzp )( i
ipz
