Chương 4 Biến đổi Fourier
Giảng viên: Nguyễn Thị Phương Thảo Bộ môn: Kỹ thuật Máy tính và Mạng Email: thaont@tlu.edu.vn Website: https://sites.google.com/a/wru.vn/thaont/
Giới thiệu
• Phép biến đổi Fourier đưa tín hiệu từ dạng biểu diễn trong miền thời gian sang miền tần số bằng cách phân tích tín hiệu thành các tín hiệu cơ bản có dạng sin • Ví dụ: ánh sáng trong tự nhiên là tổng hợp của 7 ánh sáng đơn sắc. • Ánh sáng là 1 loại tín hiệu • Mỗi ánh sáng đơn sắc là 1 tín hiệu cơ bản • Mỗi ánh sáng đơn sắc có 1 bước sóng khác nhau tần số khác
• Dải tần số của ánh sáng trắng được gọi là phổ của tín hiệu
nhau
Nội dung
1. Biến đổi Fourier 2. Tính chất của biến đổi Fourier 3. Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
1. Định nghĩa
Biến đổi Fourier của tín hiệu được định nghĩa:
+∞
𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛
𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞
Ký hiệu: 𝐹𝑇[𝑥(𝑛)] = 𝑋(𝜔) 𝑋(𝜔) = 𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝑎𝑟𝑔 𝑋 𝜔
•
𝑋 𝜔 : phổ biên độ của tín hiệu
•
arg 𝑋 𝜔 : phổ pha của tín hiệu
Sự tồn tại của BĐ F: Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu:
+∞
𝑥(𝑛) < ∞
𝑛=−∞
Tín hiệu năng lượng luôn tồn tại biến đổi Fourier
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
1. Định nghĩa
Đặc tính phổ tần số của tín hiệu:
+∞
𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑋 𝜔
𝑋 𝜔 + 𝑘2𝜋 = 𝑛=−∞
+∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗 𝜔+𝑘2𝜋 𝑛 = 𝑛=−∞
Như vậy, 𝑋 𝜔 tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋
Với 𝑥(𝑛) là tín hiệu thực, 𝑋(𝜔) đối xứng qua trục tung
Khi nghiên cứu phổ của tín hiệu, ta chỉ cần xét phổ đó trong
khoảng 𝜔 ∈ −𝜋, 𝜋 hoặc 𝜔 ∈ 0,2𝜋
Biến đổi Fourier là công cụ nghiên cứu phổ của tín hiệu hoặc đặc
𝐹𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝜔 : phổ của tín hiệu 𝑥(𝑛) 𝐹𝑇 ℎ(𝑛) = 𝐻 𝜔 : đặc tính tần số của hệ thống
tính tần số của hệ thống:
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
2. Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier
a. Dạng phần thực và phần ảo
𝑋 𝜔 = 𝑋𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋𝐼(𝜔)
+∞
Từ công thức định nghĩa ta có:
𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 − 𝑗 sin 𝜔𝑛
+∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑛=−∞
𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞
Vậy:
+∞ 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 +∞ 𝑥 𝑛 sin 𝜔𝑛
Phần thực: 𝑋𝑅 𝜔 = 𝑛=−∞ Phần thực: 𝑋𝐼 𝜔 = − 𝑛=−∞
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
2. Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier
b. Dạng module và argumen
𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒𝑗𝜑 𝜔
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
2. Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier
b. Dạng độ lớn và pha
𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒𝑗𝜑 𝜔
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
3. Quan hệ giữa BĐ Fourier và BĐ Z
+∞
𝑥 𝑛 𝑧−𝑛
𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥(𝑛) = 𝑛=−∞
Biến đổi Z
+∞
z là biến phức 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔
𝑥 𝑛 𝑟−𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛
+∞
𝑋 𝑧 = 𝑛=−∞ Nếu đánh giá 𝑋(𝑧) trên vòng tròn đơn vị 𝑟 = 1
𝑋 𝑧 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑋(𝜔)
Như vậy, BĐ Fourier chính là BĐ Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị
𝑧=𝑒𝑗𝜔 = 𝑛=−∞
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
3. Quan hệ giữa BĐ Fourier và BĐ Z
Biến đổi F chỉ tồn tại nếu MHT của BĐ Z chứa vòng tròn đơn vị
4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
4. Biến đổi Fourier ngược
Công thức
𝜋
𝑥 𝑛 = 𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔
−𝜋
Ký hiệu
1 2𝜋
𝐼𝐹𝑇 𝑋 𝜔 = 𝑥(𝑛)
𝐼𝐹𝑇
Hoặc
𝑋(𝜔) 𝑥(𝑛)
4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
1. Tính tuyến tính
Có 2 tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛):
Ý nghĩa: Đối với tín hiệu là tổng hợp của nhiều tín hiệu
𝐹𝑇[𝑥1(𝑛)] = 𝑋1(𝜔) 𝐹𝑇[𝑥2(𝑛)] = 𝑋2(𝜔) 𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛) 𝐹𝑇[𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛)] = 𝑎1𝑋1(𝜔) + 𝑎2𝑋2(𝜔)
thành phần, ta có thể sd BĐ F đối với từng thành phần sau đó tổng hợp lại
4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
2. Tính chất trễ
• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)
• Nếu tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 thì
𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑋(𝜔)
3. Tính chất đảo miền thời gian
• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)
• Nếu tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑥 −𝑛 thì
𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑋(−𝜔)
4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
4. Tích chập trong miền tần số
• Tích chập miền thời gian sẽ trở thành tích nhân trong miền tần số:
𝐹𝑇[𝑥1(𝑛) ∗ 𝑥2(𝑛)] = 𝑋1 𝜔 𝑋2(𝜔)
• Ý nghĩa: chuyển tín hiệu và hệ thống TTBB từ dạng biểu diễn trên
miền thời gian sang dạng biểu diễn trên miền tần số
ℎ(𝑛)
𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛)
𝐹𝑇
𝐻(𝜔)
𝑋(𝜔) 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝐻(𝜔)
4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
5. Dịch chuyển trên miền tần số
• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)
• Tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑥 𝑛 thì
𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑋(𝜔 − 𝜔0)
4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
6. Điều chế tín hiệu
• Trong truyền thông, tín hiệu truyền dưới dạng tần số bình thường
không đi xa được
→ Khi truyền xa (truyền tín hiệu radio, truyền hình) người ta thường
đưa tín hiệu lên tần số cao bằng phương pháp điều chế (nhân tín hiệu với 1 tín hiệu có tần số cao):
𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛
Trong đó:
• 𝑥 𝑛 : tín hiệu cần truyền dẫn
•
cos𝜔0𝑛: thành phần mang thông tin
• 𝜔0: tần số sóng mang
• Với phương pháp điều chế này, ta được phổ của tín hiệu truyền đi như
sau (với 𝑋 𝜔 là phổ của tín hiệu 𝑥(𝑛)
𝑋 𝜔 + 𝜔0 +
𝑋(𝜔 − 𝜔0)
𝐹𝑇 𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛 = 𝑋𝑇𝐷 𝜔 =
1 2
1 2
4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
7. Vi phân trong miền tần số
• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)
• Nếu tín hiệu 𝑥′ 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 thì
𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝜔 = 𝑗
𝑑𝑋(𝜔) 𝑑𝜔
4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
1. Hệ thống TTBB trong miền tần số
• Hệ thống TTBB:
ℎ(𝑛)
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛)
𝐻(𝜔)
• Biểu diễn trong miền tần số
• Trong đó: 𝐻(𝜔) gọi là đáp ứng tần số • Biểu diễn 𝐻(𝜔) dưới dạng module và argument 𝐻 𝜔 = 𝐻(𝜔) 𝑒arg 𝐻(𝜔) 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số biên độ của hệ thống arg 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số pha (đáp ứng pha) của hệ thống
𝑋(𝜔) 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝐻(𝜔)
• Cách xác định 𝐻(𝜔) của hệ thống được mô tả dưới dạng PT SP
TT HSH cũng tương tự như trong miền z
Ví dụ
• Tìm đáp ứng tần số của các hệ thống mô tả như sau:
a. 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑦(𝑛 − 1) + 𝑏𝑥(𝑛) b. 𝑦(𝑛) = 𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1) c.
d.
e.
4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
2. Bộ lọc số
• Một ứng dụng quan trọng nhất của Xử lý tín hiệu là lọc số
• Ứng dụng trong các hệ thống lọc nhiễu và tạp âm • Ứng dụng trong xử lý hình ảnh:
• Lọc, trích đặc điểm đặc trưng của vân tay
• Xử lý tiếng nói:
• Tách âm thanh trong karaoke
• Dựa trên các nghiên cứu về phổ tần số của thông tin cần thu nhận (VD: Karaoke: tần số tiếng hát của người phân biệt với tần số nhạc nền) xây dựng các bộ lọc để trích bỏ các tần số ko cần thiết.
• Bộ lọc thông thấp • Bộ lọc thông cao • Bộ lọc thông dải • Bộ lọc chắn dải
• 4 loại bộ lọc số thông thường
4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
2. Bộ lọc số
a. Bộ lọc thông thấp lý tưởng
• Định nghĩa: Bộ lọc thông thấp là bộ lọc có đáp ứng tần số biên độ
• |𝐻(𝜔)| = 1 với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 • |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại
4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
2. Bộ lọc số
b. Bộ lọc thông cao lý tưởng
• Đáp ứng tần số biên độ:
• |𝐻(𝜔)| = 1 với – 𝜋 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐 𝑣à 𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜋 • |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại
4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
2. Bộ lọc số
c. Bộ lọc thông dải lý tưởng
𝜔 ≤ 𝜔𝑐2
𝜔 ≤ −𝜔𝑐1 và 𝜔𝑐1 ≤
• Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = 1 với – 𝜔𝑐2 ≤ • |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại
4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
2. Bộ lọc số
d. Bộ lọc chắn dải lý tưởng
• Đáp ứng tần số biên độ:
• |𝐻(𝜔)| = 0 với −π ≤ 𝜔 ≤– 𝜔𝑐2 và – 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐1 và 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 • |𝐻(𝜔)| = 1 với 𝜔 còn lại
Bài tập
1. Cho đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng, pha không như
sau:
a. Bộ lọc trên là bộ lọc gì b. Tìm đáp ứng xung của nó 2. Tìm đáp ứng xung của các bộ lọc số lý tưởng thông cao, thông dải, chắn dải với đáp ứng tần số là 𝐻(𝜔) = 1.
𝐻(𝜔) = 1 với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜔𝑐 𝐻(𝜔) = 0 với 𝜔 còn lại
