Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 5 - ThS. Nguyễn Thị Phương Thảo

Biến đổi Fourier rời rạc

GV: Nguyễn Thị Phương Thảo Email: thaont@wru.edu.vn

Biến đổi Fourier rời rạc

 Giải pháp: rời rạc hóa phổ 𝑋 𝜔  biến

đổi Fourier rời rạc (DFT)

 Biến đổi Fourier 𝑋 𝜔 là hàm liên tục của tần số 𝜔  khó khăn khi xử lý trên máy tính hoặc các hệ thống số thiết kế đặc biệt

5.1 Lấy mẫu miền tần số

 Tín hiệu 𝑥 𝑛 có phổ

mẫu 𝛿𝜔 = 2𝜋/𝑁.

 Lấy mẫu 𝑋 𝜔 với khoảng cách là 𝛿𝜔 rad.  Nếu lấy N mẫu  khoảng cách giữa các

𝑘 là

2𝜋 𝑁

 Phổ của tín hiệu tại các tần số 𝜔 =

5.1 Lấy mẫu miền tần số

 Biến đổi DFT của 𝑥 𝑛

Điều kiện: 𝑥 𝑛 là tín hiệu hữu hạn có chiều

dài L và 𝐿 ≤ 𝑁

 Khôi phục lại tín hiệu rời rạc thời gian

So sánh biến đổi FT và DFT

 Ta biểu diễn biến đổi FT của x(n) như sau (L=10):

 Biểu diễn phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(n)

So sánh biến đổi FT và DFT

 Biến đổi DFT của tín hiệu x(n) lấy với N = 50  Chú ý: khi sử dụng biến đổi DFT với dãy hữu hạn có chiều dài L, ta phải lấy số mẫu N ≥ L thì mới đảm bảo khôi phục lai đúng x(n)

Ta có thể hình dung DFT là sự rời rạc hóa hàm liên tục X(ω) với số mẫu N (trong khoảng từ 0:2π)

So sánh biến đổi FT và DFT

 Tương tự ta có biến đổi DFT của tín hiệu x(n) lấy với N = 100

Biểu diễn biến đổi DFT dưới dạng ma trận

 Đặt

 Ta có:

…

Biểu diễn biến đổi DFT dưới dạng ma trận  Giả sử đặt:

 𝑥𝑁 là ma trận có N phần tử là giá trị các xung của

𝑥 𝑛 với 𝑛 = 0,1,2 … , 𝑁 − 1.

𝑋𝑁 là ma trận có N phần tử là giá trị các xung của

𝑋(𝑘) với k= 0,1,2 … , 𝑁 − 1.

Ma trận 𝑊𝑁 có 𝑁 × 𝑁 phần tử như sau

Biểu diễn biến đổi DFT dưới dạng ma trận

𝑋𝑁 = 𝑊𝑁𝑥𝑁

−1, ta có

 Ta có công thức DFT N điểm như sau

−1𝑋𝑁

𝑥𝑁 = 𝑊𝑁

 Nghịch đảo của 𝑊𝑁 là 𝑊𝑁

5.2. Tính chất biến đổi DFT

a. Tính chất tuyến tính

+ Khái niệm trễ vòng Xét dãy có chiều dài N, trễ vòng được định nghĩa như sau: các mẫu trễ ngoài khoảng từ 0 đến N-1 sẽ vòng quay trở lại Trễ vòng của dãy có chiều dài N chỉ xác định trong khoảng từ 0 đến N-1 Ký hiệu trễ vòng: x(n-n0)N

b. Tính chất trễ

5.2. Tính chất (tiếp)

 Tính chất trễ của DFT  Trễ theo thời gian

 Trễ theo tần số

 Đảo miền thời gian

5.2. Tính chất (tiếp)

c. Tích chập vòng

Khái niệm: Tích chập vòng của 2 dãy hữu hạn có chiều dài N là 1 dãy hữu hạn có chiều dài N được định nghĩa như sau:

5.2. Tính chất (tiếp)

 Tính tương tự như tích chập thường  Tuy nhiên không dùng trễ tuyến tính mà dùng trễ

vòng  Chú ý:

 2 dãy tính tích chập phải là dãy hữu hạn có cùng

chiều dài N

 Dãy kết quả cũng là 1 dãy hữu hạn có chiều dài N

 Cách tính tích chập vòng

 Biến đổi DFT với tích chập vòng

5.3 Phân tích hệ thống sử dụng DFT

chiều dài hữu hạn M

 Xét hệ thống có đáp ứng xung ℎ 𝑛 có

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛

có chiều dài 𝐿 + 𝑀 − 1  DFT của 𝑦(𝑛) cần phải thực hiện với

N ≥ 𝐿 + 𝑀 − 1 điểm

 Tín hiệu vào 𝑥 𝑛 có chiều dài L  Đáp ứng ra

5.3 Phân tích hệ thống sử dụng DFT

𝑌 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑋 𝜔

 Biểu diễn hệ thống miền tần số

 Vậy {𝑋(𝑘)} và {𝐻(𝑘)} là DFT N điểm của các dãy 𝑥(𝑛) và ℎ(𝑛) tương ứng

 DFT 𝑦(𝑛)

5.3 Phân tích hệ thống sử dụng DFT

 Vậy với việc tăng chiều dài các dãy 𝑥 𝑛 và ℎ 𝑛 ta có thể sử dụng DFT để phân tích và biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến (bộ lọc tuyến tính)