Chương 5 - Biến đổi fourier liên tục. Chương này cung cấp những kiến thức như: Biến đổi fourier của tín hiệu liên tục, biến đổi fourier của tín hiệu rời rạc, các tính chất của biến đổi fourier, lấy mẫu tín hiệu.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 5 - ĐH Công nghệ
- XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Chương V:
BIẾN ĐỔI FOURIER
LIÊN TỤC
2008
- Nội dung
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
Các tính chất của biến đổi Fourier
Lấy mẫu tín hiệu
- Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục
tuần hoàn
Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn
được một cách chính xác bởi một chuỗi
Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện
Dirichlet sau đây:
1. Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của
x(t) phải hữu hạn.
2. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t)
phải hữu hạn.
3. Tích phân của |x(t)| trong một chu kỳ phải
hữu hạn.
- Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục
tuần hoàn
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
hoàn x(t) với chu kỳ T:
j 2 kt
x (t ) ck e T
k
Các hệ số {ck} được tính bằng công
thức:
j 2 kt
1
ck x (t )e T
dt
TT
- Phổ mật độ công suất của tín hiệu
liên tục tuần hoàn
Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn
nhưng luôn là tín hiệu công suất:
1 2
Px | x (t ) | dt
TT
Công thức Parseval cho tín hiệu công
suất:
2
Px | ck |
k
- Phổ mật độ công suất của tín hiệu
liên tục tuần hoàn
Giá trị |ck|2 có thể coi là đại diện cho công
suất của thành phần ej2 kt/T (tín hiệu dạng
sin phức có tần số kF0 với F0 = 1/T) trong
tín hiệu x(t).
Đồ thị của |ck|2 theo các tần số kF0 (k = 0,
1, 2…) thể hiện phân bố công suất
của tín hiệu x(t) theo các tần số khác
nhau phổ mật độ công suất.
- Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục không tuần hoàn
Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)
F [ x (t )] X (F ) x ( t )e j 2 Ft
dt
Biến đổi Fourier ngược:
x (t ) F 1
[ X ( F )] X ( F )e j 2 Ft
dF
- Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục không tuần hoàn
Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
tín hiệu tuần hoàn
1 k
ck X F0 X ( kF0 ) (T )
T T
j 2 kt
j 2 kF0t
x (t ) lim ck e T
lim X (kF0 )e F0
T F0 0
k k
j 2 Ft
X ( F )e dF
- Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục không tuần hoàn
Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi
Fourier (các điều kiện Dirichlet):
1. Số điểm không liên tục của x(t) phải hữu
hạn.
2. Số điểm cực trị của x(t) phải hữu hạn.
3. Tích phân của |x(t)| trong khoảng ( , + )
phải hữu hạn.
- Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu liên tục không tuần hoàn
Xét tín hiệu năng lượng x(t):
2
Ex | x (t ) | dt
Công thức Parseval cho tín hiệu không
tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:
2 2
Ex | x (t ) | dt | X ( F ) | dF
- Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu liên tục không tuần hoàn
Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ej2 Ft (tín
hiệu dạng sin phức có tần số F) trong tín
hiệu x(t).
Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân
bố năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần
số phổ mật độ năng lượng.
- Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc
tuần hoàn
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
hoàn x(n) với chu kỳ N:
N 1 j 2 kn
x(n) ck e N
k 0
Các hệ số {ck} được tính bằng công
thức:
N 1 j 2 kn
1
ck x ( n )e N
N n 0
- Phổ mật độ công suất của tín hiệu
rời rạc tuần hoàn
Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc
x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:
N 1
1 2
Px | x(n) |
N n 0
Công thức Parseval cho tín hiệu công suất
rời rạc tuần hoàn:
N 1
2
Px | ck |
k 0
- Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn
Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)
F [ x ( n )] X( ) x ( n )e j n
( [ , ])
n
Biến đổi Fourier ngược:
x(n) F 1
[ X ( )]
2
1
X ( )e j n
d
- Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn
Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
tín hiệu rời rạc tuần hoàn
1 2 k
ck X F0 X ( 2 kF0 ) ( N )
N N
N /2 j 2 kn
j 2 kF0 n
x(n) lim ck e N
lim X ( 2 kF0 )e F0
N F0 0
k N /2 k
1 j n
X ( )e d
2
- Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn
Điều kiện hội tụ:
j n j n
| x ( n )e | | x (n ) || e |
n n
2
| x(n) | | x(n) |
n n
2
Ex | x (n ) |2 | x(n) |
n n
- Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn
Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ej
n n j n
X ( z) x(n) z x(n) | z | e
n n
|z| 1 X ( z) X( )
Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên
đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z
biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của
biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị.
- Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu rời rạc không tuần hoàn
Xét tín hiệu năng lượng x(n):
2
Ex | x(n) |
n
Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:
1 2
Ex | X( )| d
2
- Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu rời rạc không tuần hoàn
Giá trị |X( )|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ej n (tín hiệu
dạng sin phức có tần số góc ) trong tín
hiệu x(n).
Đồ thị của |X( )|2 theo thể hiện phân
bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần
số phổ mật độ năng lượng.
- Các tính chất của biến đổi Fourier
Tuyến tính:
F [ax1 ( n ) bx2 ( n )] aX 1 ( ) bX 2 ( )
Dịch thời gian:
F [ x ( n n0 )] e j n0
X( )
Lật:
F [ x ( n )] X( )
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
