XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Chương V: BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC
2008
Nội dung
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc Các tính chất của biến đổi Fourier Lấy mẫu tín hiệu
Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn được một cách chính xác bởi một chuỗi Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet sau đây: 1. Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của
x(t) phải hữu hạn.
2. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t)
phải hữu hạn.
3. Tích phân của |x(t)| trong một chu kỳ phải
hữu hạn.
Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
hoàn x(t) với chu kỳ T:
kt
j
(cid:0)2 T
(cid:0) (cid:0)
kec
(cid:0) (cid:0) tx )(
k
Các hệ số {ck} được tính bằng công
thức:
kt
j
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)2 T
(cid:0)
(cid:0) dt etx )( (cid:0) c k
T
1 T
Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn
nhưng luôn là tín hiệu công suất:
2|)( tx
(cid:0) (cid:0) (cid:0) dt | (cid:0) P x
T
Công thức Parseval cho tín hiệu công
suất:
1 T
(cid:0) (cid:0)
2|
(cid:0) (cid:0) | P x c k
k
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Giá trị |ck|2 có thể coi là đại diện cho công suất của thành phần ej2(cid:0) kt/T (tín hiệu dạng sin phức có tần số kF0 với F0 = 1/T) trong tín hiệu x(t).
Đồ thị của |ck|2 theo các tần số kF0 (k = 0, (cid:0) 1, (cid:0) 2…) thể hiện phân bố công suất của tín hiệu x(t) theo các tần số khác nhau (cid:0) phổ mật độ công suất.
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn
Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)
(cid:0) (cid:0)
j
Ft
(cid:0)2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) dt )] FX ( ) etx )( (cid:0) ([F tx
Biến đổi Fourier ngược:
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
j
Ft
1
(cid:0)2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) dF [ FX ( )] eFX ( ) (cid:0) )( F tx
(cid:0) (cid:0)
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn
Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
tín hiệu tuần hoàn
(cid:0) (cid:0)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) X (T ) ) c k kFXF ( 0
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) 1 T k T
kt
j
(cid:0)
j
t
2
kF 0
2 T
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
k
k
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e tx )( ) ec k kFX ( 0 F 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim T lim F 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
j
Ft
2
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) dF (cid:0)
eFX ( ) (cid:0) (cid:0)
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn
Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi Fourier (các điều kiện Dirichlet): 1. Số điểm không liên tục của x(t) phải hữu
hạn.
2. Số điểm cực trị của x(t) phải hữu hạn. 3. Tích phân của |x(t)| trong khoảng ((cid:0)
, +(cid:0)
)
phải hữu hạn.
(cid:0)
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu liên tục không tuần hoàn
Xét tín hiệu năng lượng x(t):
(cid:0) (cid:0)
2|)( tx
(cid:0) (cid:0) (cid:0) dt | (cid:0) Ex
Công thức Parseval cho tín hiệu không
tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 tx |)(
2 |)
(cid:0) (cid:0) dt dF | | FX ( (cid:0) (cid:0) Ex
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu liên tục không tuần hoàn
Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho năng lượng của thành phần ej2(cid:0) Ft (tín hiệu dạng sin phức có tần số F) trong tín hiệu x(t).
Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân
bố năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần số (cid:0)
phổ mật độ năng lượng.
Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
hoàn x(n) với chu kỳ N:
(cid:0)
kn
j
N
1
2 N
(cid:0)
kec
(cid:0) (cid:0) nx )(
k
0
Các hệ số {ck} được tính bằng công
thức:
(cid:0)
(cid:0)
kn
j
1
2 N
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) enx )( c k
n
0
(cid:0) 1 N N
Phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn
Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc
x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:
1
(cid:0)
2|)( nx
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) | P x
n
0
Công thức Parseval cho tín hiệu công suất
rời rạc tuần hoàn:
(cid:0) 1 N N
N
1
(cid:0)
2|
(cid:0) (cid:0) | c k P x
k
0
(cid:0)
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) njenx )(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) X )] (cid:0) ( ) (cid:0) ( [ , )] nxF ([
n
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) nj) e
Biến đổi Fourier ngược: 1 1F (cid:0) 2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) X X (cid:0) d nx )( (cid:0) ( )] [ (cid:0) ( (cid:0)
(cid:0)
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) X N (cid:0) 2( ( ) ) c k XF 0 kF 0
tín hiệu rời rạc tuần hoàn (cid:0) k 2 N
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) 1 N
kn
j
N
2/
(cid:0)
j
2
nkF 0
2 N
(cid:0) (cid:0)
k
N
k
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) X e nx )( (cid:0) 2( ) kF 0 F 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim N lim F 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ec k 2/
(cid:0) nj
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) X (cid:0) d (cid:0) ( (cid:0)
e ) 1 (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0)
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Điều kiện hội tụ:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) nj
(cid:0) nj
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e | enx )( | | nx ||)( |
n
n
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) | nx |)( | nx |)( (cid:0) (cid:0)
n
n
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) E | | nx |)( (cid:0) (cid:0)
n
n
2 nx |)(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ej(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
n
(cid:0) nj
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
e
zX )(
znx )(
znx |)(
|
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
z
X
|
1|
zX )(
n )
(cid:0) (
Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z (cid:0) biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị.
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Xét tín hiệu năng lượng x(n):
(cid:0) (cid:0)
E
2|)( nx
|
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)n
Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
2|)
(cid:0) X (cid:0) d | (cid:0) ( (cid:0) Ex
(cid:0)
1 (cid:0) 2 (cid:0)
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Giá trị |X((cid:0) )|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ej(cid:0) n (tín hiệu dạng sin phức có tần số góc (cid:0) ) trong tín hiệu x(n).
Đồ thị của |X((cid:0) )|2 theo (cid:0) thể hiện phân
bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần số (cid:0)
phổ mật độ năng lượng.
Các tính chất của biến đổi Fourier
Tuyến tính: n )( [
2
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) n aX bX ( )] (cid:0) ( ) (cid:0) ( )
F
(cid:0) nj
0
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) e X (cid:0) ( ) ax bx 1 Dịch thời gian: nnx ([ )] 0
F Lật:
(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:0) X )] ( ) nxF ([
Các tính chất của biến đổi Fourier
2
1
Biến đổi Fourier của tích chập: F (cid:0) nx )] ( ( 2 Biến đổi Fourier của tương quan:
(cid:0) (cid:0) X (cid:0) X ( ) [ ) nx )( 1
1
2
xx 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n X X S ( ) ( [ )] (cid:0) ( (cid:0) ( ) ) r xx 21
(cid:0)
2 |)
xx
(cid:0) (cid:0) (cid:0) R X S nx )(( (cid:0) ( (cid:0) ( )] ) ) [ | nr ( xx
F F ((cid:0) ) được gọi là phổ mật độ năng lượng
Sx1x2
chéo của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n).
Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:0)
n
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) X )] (cid:0) ( )
0
0
0
Dịch tần số: jF e nx ( [ Điều chế: nxF )([
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n X X cos ] [ (cid:0) ( ) (cid:0) ( )]
Đạo hàm trong miền Fourier:
1 2
) (cid:0) (cid:0) j [ nnx ( )]
F
(cid:0) dX ( (cid:0) d
Lấy mẫu tín hiệu
Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn (cid:0)
bề tồn tại một tần số cao
rộng phổ hữu hạn (cid:0) nhất trong tín hiệu, Fa: (cid:0) F > Fa thì X(F) = 0.
Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu Fs (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ) (cid:0) (cid:0)
x(n). x(t) sẽ được khôi phục chính xác từ x(n) theo công thức sau nếu Fs = 2Fa: (cid:0) ntF sin( 2 a tx )( (cid:0) (cid:0) ntF 2
n
a
(cid:0) nx )( (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Lấy mẫu tín hiệu
Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu
liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số cao nhất (bề rộng phổ) Fa có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa mãn điều kiện: Fs (cid:0)
2Fa.
Tần số Fs = 2Fa được gọi là tần số
Nyquist.
Lấy mẫu tín hiệu
(cid:0) ,(cid:0) ] có
Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục và tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục x(t) có bề rộng phổ là Fa Nếu Fs = 2Fa: phổ của x(n) trong [(cid:0)
dạng đúng như phổ của x(t) trong [(cid:0) Fa,Fa] và lặp lại với chu kỳ 2(cid:0) .
Nếu Fs > 2Fa: phổ của x(t) trong [(cid:0) Fa,Fa] được
(cid:0) ,(cid:0) ] và lặp lại
nén vào 1 khoảng bên trong [(cid:0) với chu kỳ 2(cid:0) .
Lấy mẫu tín hiệu
(cid:0) ,(cid:0) ] nên bị chồng giữa các
Nếu Fs < 2Fa: xảy ra hiện tượng chồng phổ (phổ của x(t) trong [(cid:0) Fa,Fa] bị giãn ra trong 1 khoảng rộng hơn [(cid:0) chu kỳ (cid:0)
phổ bị biến dạng).
