BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
PHẦN ĐẠI SỐ CHƢƠNG I. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP
I.MỆNH ĐỀ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
đúng
sai, nếu P sai thì 5 ” . Nếu P đúng thì : “ 3
1. Định nghĩa : Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai . Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai 2. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P Ký hiệu là Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo : Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo Ký hiệu là P Q. Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng Q sai Cho mệnh đề P Q. Khi đó mệnh đề Q P gọi là mệnh đề đảo của P Q 4. Mệnh đề tương đương Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương đương , ký hiệu P Q.Mệnh đề P Q đúng khi cả P và Q cùng đúng 5. Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, ” ”
Bài 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề và mệnh đề đó đúng hay sai :
d. 16 không là số nguyên tố . f. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc. là số hữu tỉ.
a. Các em có vui không ? b. Phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghiệm. c. x + 3 = 5 e. g. 13 biểu diễn được về tổng của hai số chính phương. h. 2016 là năm nhuận. i. Nếu “3+7=12” thì 9 là số chính phương.
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
b. 6 là số nguyên tố
a. Phương trình x2 – x – 4 = 0 vô nghiệm c. Hình chử nhật có hai đường chéo bằng nhau d. Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. e. là số hữu tỉ
0”.
f. Mọi học sinh trong lớp đều thích môn toán . Bài 3: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích? Viết mệnh đề phủ định của chúng?
a. “x R, x2 c. b. “ x N: x chia hết cho x +1”. d.
e. f.
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
Page 1
0987.377.505
a. P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
b. P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10” c. P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó
a. P: “ABCD là hình bình hành ” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” b. P: “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 92 + 1 là số nguyên tố ”
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a. P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD” b. Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều” c. R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo : - Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A B Bài 7: Cho mệnh đề
Q: “Tam giác ABC vuông tại A
Hãy cho biết các mệnh đề sau đúng hay sai
Bài 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng a. A: “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2” b. B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều ” c. C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương d. D: “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 9: Phát biểu thành lời các mệnh đề và xét tính đúng sai của chúng:
. .
a. c. là một số nguyên tố . b. d.
chia hết cho 3. Bài 10: Sử dụng thuật ngử “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau:
a. Nếu một tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường.
thì .
b. Nếu một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông. c. Nếu d. Nếu số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3.
II.TẬP HỢP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa . Có 2 cách xác định tập hợp +Liệtkê các phần tử :
VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N = 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . .
+Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp . VD : A = x N/ x lẻ và x < 6 A = 1 ; 3; 5
Page 2
0987.377.505
*Tập con : A B ( x, xA xB)
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
2. các phép toán trên tập hợp :
Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp
AB = x /xA hoặc xB A\ B = x /xA và xB
AB = x /xA và xB Chú ý: Nếu A E thì CEA = A\ B = x /xE và xA 3. các tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Đoạn [a ; b] Hình biểu diễn //////////// [ ] ////////
////////////( ) /////////
Khoảng (a ; b ) Tập hợp xR/ a x b xR/ a < x < b
)/////////////////////
Khoảng (- ; a) xR/ x < a
///////////////////(
Khoảng(a ; + ) xR/ a< x
////////////[ ) /////////
Nửa khoảng [a ; b) R/ a x < b
////////////( ] /////////
Nửa khoảng (a ; b] xR/ a < x b
]/////////////////////
Nửa khoảng (- ; a] xR/ x a
///////////////////[
Nửa khoảng [a ; ) xR/ a x
Bµi 1: LiÖt kª c¸c phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau.
a. A = . b. B = {x | x2 9 = 0}
| | x-1 | 3}
. c. C = {x | (x 1)(x2 + 6x + 5) = 0} d. D = {x e. E = {x / x = 2k| k Z vµ 3 < x < 13} f. F =
. g. G = {x | x2 4x + 2= 0}. h.H =
i. I = .
Bài 2: Tìm tính chất đặc trưng của tập hợp sau :
A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13}. C = {1 ; 4; 7; 10; 13...}. B = { 0, 2, 4, 6, 8, 10}. D = {9 ; 36; 81; 144}.
Bài 3: Cho A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, B = {2 ; 4 ; 6 ; 8} và E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … ; 10}.
a. Xác định các tập A B, A B, A \ B, B \ A, , .
Page 3
0987.377.505
b. Bằng cách liệt kê phần tử các tập hợp hãy chứng tỏ rằng :
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
; =
Bài 4: Cho A = {x R/ x2 +x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0} B = {x R / 3x2 -13x +12 =0 hoặc x2 – 3x = 0 } Xác định các tập hợp sau A B ; A \ B ; B \ A ; AB Bµi 5: Tìm tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña tËp: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} c/ C = {a, b, c, d} Bµi 6*: a.Xác định các tập hợp X sao cho{a ; b} X {a ; b ;c ;d ; e}
b. Cho A = {1 ; 2}; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5}. Xác định các tập hợp X sao cho A X = B c. Tìm A; B biết A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}
và
Bài 7*:Cho A = {1 ; 2; 3; 4}; B = { 2 ; 4; 6; 8}. a. Hãy xác định tất cả các tập X biết rằng b. Xác định các tập Y biết rằng và
Bài 8*: Cho
Số 16 có thuộc tập hợp A không?
a. Chứng minh rằng b. Chứng minh rằng
Bài 9*: Cho A = {0 ; 2; 4; 6}; B = { 4 ; 5; 6 }.
Hãy xác định tất cả các tập con khác rỗng X, Y của A biết rằng và .
Bài 10*: Chứng minh rằng:
thì .
a. Nếu c. Nếu thì A = B. b. Nếu d. Nếu và và thì thì .
e. A \(B C) = (A\B)(A\C) f. A \(B C) = (A\B)(A\C)
b) A = [–4; –2], B = (3; 7] d) A = (–; –2], B = [3; +) f) A = (1; 4), B = (2; 6) a) A = [–4; 4], B = [1; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) e) A = [3; +), B = (0; 4)
b) A = (–; –2], B = [3; +), C = (0; 4) d) A = (−; 2], B = [2; +), C = (0; 3)
| -4 x 4} ; B = {x | -5 < x -1 8 }
Bài 11:Tìm A B, A B, A \ B, B \ A với: Bài 12: Tìm A B C, A B C với: a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] e) A = (−5; 1], B = [3; +), C = (−; −2) Bài 13: Cho A = {x Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bµi 14: Tìm A B ; A B ; A \ B ; B \ A; B bieát raèng : \ A; \ (A B),
a. A = (2, + ) ; B = [1, 3] b. A = (, 4] ; B = (1, +)
c. A = {x R / 1 x 5}; B = {x R / 2 < x 8}
Page 4
0987.377.505
Bµi 15: Xác định mỗi tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
. Xác định m để:
Gv: Phan Hữu Thế Bài 16*: Cho hai tập
với . Xác định m trong
Bài 17*: Cho hai tập khác rỗng: mỗi trường hợp sau:
. Tìm x để là một khoảng.
hoặc x > 6}, Bài 18*: Cho Bài 19*: Cho ba tập hợp
.
và là các đoạn có độ dài lần lượt bằng 5 và 9. và a/ Tìm b/ Xác định a, b biết
. Tìm sao cho .
Bài 20*: Cho Bài 21 *: Tìm m sao cho :
chứa đúng 3 số nguyên.
a. b.
CHƢƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT , BẬC HAI
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. HÀM SỐ
f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2)
1: Cho D R. hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi xD là 1 và chỉ 1 số Khi đó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác định 2: Sự biến thiên hàm số Cho f(x) xác định trên K 3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ : f gọi là chẵn trên D nếu xD -x D và f(-x) = f(x) f gọi là lẻ trên D nếu xD -x D và f(-x) = - f(x)
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Hàm số dạng y = ax = b , a;b R và a≠ 0. Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R a > 0 hàm số đồng biến trên R a < 0 hàm số nghịch biến trên R 2. Bảng biến thiên :
X x
y = ax + b (a > 0) y = ax + b (a < 0)
Page 5
0987.377.505
- + + - - + + -
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
III. HÀM SỐ BẬC HAI
Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0
a > 0 a < 0
Tập xác định là R Tập xác định là R
Đỉnh I ( ; ) Đỉnh I ( ; )
Trục đối xứng là đường x = Trục đối xứng là đường x =
Bảng biến thiên
x - Bảng biến thiên x - +
y
y
+ + +
- -
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -; Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;
) )
và đồng biến trên khoảng ( ; +) và đồng biến trên khoảng ( ; +)
Đồ thị Đồ thị
Bµi 1: Tìm tập xác định của các hàm số :
a) b) y= c)
d) e.
g) y = h) y =
i.
Baøi 2*: Tìm m để hàm số
a. . b. . xác định trên xác định trên
c. xác định trên .
Baøi 3: Cho hàm số
Page 6
0987.377.505
a. Tìm tập xác định của hàm số y=f(x). b. Tính f(-2), f(2), f(-1), f(0).
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế Bài 4: xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số sau :
b. y = x4 3x2 1 c.
a. y= 4x3 + 3x d. y = x3 + 2x e. f.
h. g. i.
Bµi 5*: Tìm giá trị m để hàm số
là hàm số lẻ. a.
b.
là hàm số chẵn. . Chứng minh rằng f(x) luôn biểu diễn được dưới
thỏa
Bµi 6*: Cho hàm số f(x) xác định trên dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ. Bài 7*: a. Cho hàm số f xác định trên chứng minh rằng f là hàm số lẻ.
thỏa b. Cho hàm số f xác định trên chứng minh rằng f là hàm số chẵn. Bài 8*: Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện:
a. b.
Bài 9: Vẽ đồ thị các hàm số sau
a. c. b.
Bài 10: Tìm hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó:
a. Qua hai điểm A(3; -4) và B(1; -1). b. Qua hai điểm M(-1; 3) và N(1; 2). c. Qua điểm A(3; -4) và cắt trục tng tại điểm có tuong độ bằng 2. d. Qua gốc tọa độ và qua điểm B(1; -1).
Bµi 11: Xeùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò caùc haøm soá sau :
c/ y = x2 + 2x + 3 d) y = x2 + 2x
Bµi 12: X¸c ®Þnh parabol y=ax2+bx+1 biÕt parabol ®ã:
a. Qua A(1;2) vµ B(-2;11) b. Cã ®Ønh I(1;0) c. Qua M(1;6) vµ cã trôc ®èi xøng cã ph ¬ng tr×nh lµ x=-2 d. Qua N(1;4) cã tung ®é ®Ønh lµ 0.
Bµi 13: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, bieát raèng Parabol ñoù:
a. §i qua hai ®iÓm A(1; -2) vµ B(2; 3) b. Cã ®Ønh I(-2; -2)
c. Cã hoµnh ®é ®Ønh lµ -3 vµ ®i qua ®iÓm P(-2; 1)
d. Cã trôc ®èi xøng lµ ® êng th¼ng x = 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm (3; 0)
Bài 14: Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c . Biết parabol đó thoả điều kiện
Page 7
0987.377.505
a. Đi qua ba điểm A( 2 ; 1), B(3 ; 2), C(0 ; 1) ;
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
b. Đi qua điểm A(2 ; 3) và có đỉnh là I(1 ; 1) ;
. Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số và đường thẳng y = m
. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số
Bài 15*: Vẽ đồ thị của hàm số m số điểm chung của parabol Bài 16*: Cho hàm số luôn đi qua khi m thay đổi.
CHƢƠNG III. PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Bµi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
a. b. c.
e. f. d. (x2 x 6) = 0
g. h.
Bµi 2: Giaûi caùc phöông trình sau :
a. b. 1 + =
c. d.
Bµi 3: Giaûi caùc phöông trình sau :
a. b. x2 2x = x2 5x + 6
c. x + 3 = 2x + 1 d. x 2 = 3x2 x 2
Bµi 4: Giaûi caùc phöông trình sau :
a. = x 2 b. x = c. = 4
d. e. f. = 1 -2x
h. i.
Bµi 5: Giaûi caùc phöông trình sau baèng phöông phaùp ñaët aån phuï :
a. b.
= x2 3x 4
c. e. x2 – x + = 3 d. x2 6x + 9 = 4 f. x2 + 2 = 3x + 4
a.
c.
Page 8
0987.377.505
Bµi 6*: Giaûi caùc phöông trình sau :
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
e.
g.
k.
l.
n.
Bµi 7: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a. 2mx + 3 = m x b.(m 1)(x + 2) + 1 = m2
c. (m2 + m)x = m2 1 d. m2(1 x) = x + 3m
Bµi 8: Cho phương trình x2 2(m 1)x + m2 3m = 0. Tìm m để phương trình
b.vô nghiệm a. Có hai nghiệm phân biệt
d. Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm c. Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
2=2
còn lại
2+x2
e. Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)= - 4 x1 x2 f. Có hai nghiệm thoả x1
Bài 9 Cho pt x2 + (m 1)x + m + 2 = 0
b. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm a.Giải phương trình với m = -8
nghiệm kép đó
2 = 9
d. Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu c. Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu
2 + x2
e. Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1
Bµi 10 Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
a. x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0 c. mx2 + 2(m + 3)x + m = 0 b. x2 + 5x + 3m 1 = 0 d. (m 2)x2 2(m + 1)x + m = 0
Bài 11 Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.
a. mx2 2(m 2)x + m 3 = 0 c. x2 2x + m 1 = 0 b. x2 6x + m 2 = 0 d. 3x2 10x 3m + 1 = 0
Bài 12: .Tìm một số gồm hai chữ số biết nếu lấy số đó trừ đi 3 lần tổng hai chữ số thì được 11,nếu 3 lần chữ số hàng đơn vị trừ 2 lần chữ số hàng chục thì bằng 9 Bµi 12: Giaỉ các hệ phương trình sau :
Page 9
0987.377.505
a. b. c. d.
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế Hệ phương trình bậc hai: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Bài 2.Cho hệ phƣơng trình:
a) Giải hệ phương trình với m= 4 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Dạng II. Hệ đối xứng loại 1 : Hệ thay x bởi y và y bởi x thì từng pt của hệ không đổi Cách giải: Đặt S = x + y,P = xy giải hệ tìm S,P x,y là nghiệm phương trình: X2-SX+P=0 Chú ý hệ có nghiệm: (x;y) và (y;x) ( Hoặc đặt S = x – y, P = xy, giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y) Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
2. 3. 1.
5. 6. 4.
7. 8.
9.
12. 10. 11.
15. 13. 14.
18. 16. 17.
Dạng III. Hệ đối xứng loại 2: hệ thay x bởi y và y bởi x thì pt1 thành pt 2 và ngược lại. Cách giải: -Trừ vế theo vế hai phương trình ta được một phương trình. -Đặt (x-y) nhân tử chung được phương trình tích trường hợp x = y thay vào hệ để giải và xét trường hợp còn lại. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
Page 10
0987.377.505
1. 2. 3.
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14.
Dạng IV. Hệ đẳng cấp: Cách giải: Phƣơng pháp 1: Khử số hạng tự do dẫn tới phương trình . Đặt y = kx
nếu có nghiệm k0 thì thế y = k0x vào hệ để xét hệ
Xét x = 0 thay vào hệ. Xét với một ẩn x. Phƣơng pháp 2: Từ hệ khử số hạng x2 (hoặc y2) để dẫn tới phương trình khuyết x2 (hoặc y2). Từ phương trình này tính x qua y (hoặc y qua x) rồi thế vào một trong hai phương trình ban đầu ta có phương trình trùng phương ẩn y (hoặc ẩn x). Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Page 11
0987.377.505
MỘT SỐ BÀI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
CHƢƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC
0 đẳng thứ xảy ra khi nào ?
Bài 1: a. chứng minh rằng : a2 + b2 _ ab b. cmr : a. a2 +b2 +c2 ab +bc +ca
c. cho ba số dương a,b,c cmr: ( a +b +c )(ab + bc + ca ) 9abc
Bài 2 : a. cho a,b,c là ba số dương cmr:
b. . Đẳng thức xảy ra khi nào?
c. . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a. b. c.
Bài 4. Cho các số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng:
Bài 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thoả điều kiện: a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng
Bài 6. Chứng minh: , a,b.
Bài 7. Cho a,b > 0 , ab = 1. Chứng minh :
Bài 8. Chứng minh rằng: y = với x > 1
Bài 9. Cho số thực x > 1. Chứng minh rằng: .
Bài 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
Chứng minh rằng .
Bài 11. Với mọi a, b, c > 0 Chứng minh: .
Bài 12. Cho ba số dương a,b,c chứng minh rằng: (1 + )(1 + )(1 + ) 8.
. Bài 13. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
Bài 14. Chứng minh rằng : Với a > 0, b > 0 ta có .
Bài 15. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng .
Page 12
0987.377.505
..........................................................................................................
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
PHẦN HÌNH HỌC CHƢƠNG I: VECTƠ
I. VECTƠ Dạng 1. Xác định vectơ, cùng phƣơng, cùng hƣớng: * Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ. + K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
. . .
a) Tìm các vectơ cùng phương với b) Tìm các vectơ cùng hướng với c) Tìm các vectơ ngược hướng với d) Tìm các vectơ bằng với .
.
, bằng với Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O và cùng phương .
và có:
a) Tìm các vectơ khác b) Tìm các vectơ bằng vectơ c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O. . b) Có độ dài bằng a) bằng vectơ .
; Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau: * Phương pháp : Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: .
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì.
,…(hoặc viết ngược lại).
.
+ Nếu Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
thì
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Page 13
0987.377.505
Chứng minh :
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là
đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + =
C
B
+ =
D
A
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: (hoặc )hay
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng : + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC
Bài 1:
a. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = +
b. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : + + = +
+ + = + +
c. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : d. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
+ Cmr: = + + + +
+ Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Gọi O là tâm của hình bình hành .CMR:
+ = + = b. a.
+ + + = d. c.
e. + = + (với P tùy ý) f.
Bài 3 : Cho töù giaùc ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD vaø O laø trung ñieåm cuûa EF. CMR :
Page 14
0987.377.505
a. + = 2 b. + + + =
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
c. + + + = 4 (vôùi M tuøy yù)
Bài 4 : Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. CMR :
a. + + = b. + + = + +
Bài 5: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
.
a. Chứng minh: b. Với điểm O bất kỳ, chứng minh: .
Bài 6: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho = 2
a. CMR : + 2 = 3 b. CMR : + + = 3
Bài 7: Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: a) . b) c)
Chứng minh
Bài 8: Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G. . Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ : Cơ sở:
sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + =
B
C
D
A
+ Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì + =
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: (hoặc )hay
Sử dụng tính chất hai véctơ : ,
cùng hướng thì | + | = | | thì | + |=| |+| || | ≥ | | |
+ Nếu hai véc tơ + Nếu hai véc tơ và | BÀI TẬP Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
b/ Dựng = . Tính
Page 15
0987.377.505
a/ Tính Bài 2 Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
a/ Tính b/ Tính
Bài 3 Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính Bài 4 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài các vectơ sau :
theo a
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
b/ Dựng = . Tính
a/ Tính Baøi 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có
Tính độ dài các vectơ
.
Dạng 5. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phƣơng : Baøi 1. Cho ABC, G laø troïng taâm vaø M, N laø trung ñieåm BC,AB. I là trung điểm của AG
a. Phân tích theo và . b. theo vaø
c. theo theo và d. . ;
Baøi 2. Cho ABC, G laø troïng taâm vaø I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua G. M laø trung ñieåm
BC. Phân tích
và theo . b. theo theo c. ; vaø
theo .
a. Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O với H là trung điểm của OD, AH cắt CD và tại F. Phân tích Baøi 4. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC.
theo vaø
Phân tích Baøi 5. Cho tam giác ABC , Gọi I là là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên
BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
theo
a. Tính b. theo vaø vaø
Baøi 6. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
a. b. .
Baøi 7. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
b. c.
Baøi 8. Cho ABC với I, J, K lần lượt xác định bởi:
; ; .
theo và .
Tính và Baøi 9. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a) b) c) .
Baøi 10. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
Page 16
0987.377.505
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
a) Chứng minh: và .
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Dạng 6*: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường đã được xác định. , trong đó O và
ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Hình bình hành. – Trung điểm của đoạn thẳng. – Trọng tâm tam giác, …
.
a) Chứng minh rằng: . b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .
Baøi 1. Cho hai điểm A, B cố định . Xác định điểm M sao cho Baøi 2. Cho hai điểm A, B cố định . Xác định điểm I sao cho Baøi 3. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD. Baøi 5. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh: .
. b) Xác định điểm O sao cho:
a) c) .
b) d) a) c) .
b) d) a) c) .
Baøi 6. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: b) d) Baøi 7. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: Baøi 8. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: Dạng 7*: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
thức , với k 0.
Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng
hàng.
Baøi 2. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi:
Page 17
0987.377.505
, , .
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
a) Tính . (HD: )
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB).
Baøi 3. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P .
, theo , .
sao cho a) Tính b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 4. Cho ABC. Lấy các điểm M N, P:
a) Tính b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. .
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
. Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
.
HD: Baøi 6. Cho ABC, G là trọng tâm. Lấy các điểm I, J sao cho:
a. Chứng minh rằng M, N, J thẳng hàng, với M, N lần lượt là trung điểm của
AB và BC.
Dạng 8*: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để
đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn: – Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. – Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
a) .
b) b) Trung trực của AB.
Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: HD: a) Đường tròn đường kính AB Baøi 2. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) b)
. c)
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
.
a) Xác định điểm I sao cho: b) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: c) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: .
.
.
Page 18
0987.377.505
d) HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC). Baøi 3. Cho ABC. Baøi 4. Cho ABC. a) Xác định điểm I sao cho: b) Xác định điểm D sao cho: c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: .
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
không phụ thuộc vào vị
Gv: Phan Hữu Thế Dạng 9*: Chứng minh một biểu thức vectơ không phụ thuộc điểm di động Baøi 1. Cho M là điểm bất kì chứng minh rằng
trí của điểm M.
Baøi 2. Cho tam giác ABC và điểm M di động. Chứng minh rằng
không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
không
Baøi 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a chứng minh rằng
phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Hệ trục toạ độ
Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là .
. .
O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: Tính chất: Cho , :
+ + +
+ cùng phương với k R: . (nếu x 0, y 0).
+ .
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: .
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: .
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: .
).
( M chia đoạn AB theo tỉ số k
Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau :
; = 3 ; = 3 = + ; = + = 4 .
Baøi 2. Viết dưới dạng = x + y , biết rằng :
= (1; 3) ; = (4; 1) ; = (0; 1) ; = (1; 0) ; = (0; 0)
Baøi 3. Trong mp Oxy cho = (1; 3) , = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a. = 3 2 b. = 2 + c. = 4
Baøi 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
Page 19
0987.377.505
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
.
, ,
a. Tìm tọa độ của các vectơ b. Tính
c. Tìm tọa độ trung điểm I của AB
d. Tìm tọa độ điểm F sao cho C là trung điểm của AF.
= 2 3 e. Tìm tọa độ điểm M sao cho :
+ 2 4 = f. Tìm tọa độ điểm N sao cho :
Baøi 5. Trong mp Oxy cho C có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a. CMR A, B, C không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
d. Tìm tọa độ điểm P sao cho A là trọng tâm cuẩ tam giác BCP.
Baøi 6. Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a. CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b. Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c. Tính chu vi tam giác.
d. Tìm tọa độ điểm N sao cho: .
Baøi 7. Cho A(1;3) và B(4;2)
a. Tìm chu vi và diện tích tam giác OAB. b. Tìm D Ox sao cho D cách đều A và B. c. Tìm tọa đọ trọng tâm tam giác OAB. d. Tìm tọa độ điểm N đối xứng với A qua B.
Baøi 8. Cho ba vectơ :
a.Biểu diển vectơ qua hai vectơ và
b.Biểu diển vectơ qua hai vectơ và
qua hai vectơ và
c. Biểu diển vectơ Baøi 9. Cho hai đỉnh của hình vuông là : A(1; 2) ;B (3; 5). Tìm hai đỉnh C, D còn lại của
hình vuông.
Baøi 10. Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0). Xác định điểm D sao cho ABCD là hình thang cân
đáy AB.
III. GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC Baøi 1. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
ta đều có
a. sinA = sin(B+C) . b. cosA = cos(B+C).
Baøi 2. Chứng minh rằng mọi góc
.
Page 20
0987.377.505
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
Gv: Phan Hữu Thế
Baøi 3. Cho góc x với
. Tính giá trị biểu thức
.
Baøi 4. Cho tam giác ABC đều, M là trung điểm của BC tính:
Baøi 5. Cho hình vuông ABCD. Tính:
.
. Từ một điểm O bất kì vẽ với 00 1800.
IV. TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Góc giữa hai vectơ Cho Khi đó Chú ý: +
+
+ cùng hướng ngược hướng
= 900 = 00 = 1800 +
2. Tích vô hƣớng của hai vectơ Định nghĩa: .
Đặc biệt: Tính chất: Với ; + . bất kì và kR, ta có: ; ; .
; ; .
> 0 < 0 nhoïn tuø vuoâng.
+ + = 0 + 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hƣớng Cho . = (a1, a2), = (b1, b2). Khi đó:
; ;
. Cho . Khi đó:
b) a) c)
b) a) c)
Page 21
0987.377.505
Dạng 1: TÍNH TÍCH VÔ HƢỚNG Baøi 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: Baøi 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng: b) a) c)
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
, rồi suy ra giá trị của góc A. .
a) Tính b) Tính c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính .
c)
a) d)
.
a) Tính b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính c) Tính giá trị biểu thức S = .
Gv: Phan Hữu Thế Baøi 3. Cho tam giác ABC có BC =a, AC = 2a, AB =3a. Tính Baøi 4. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8. Baøi 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau: b) e) Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3. , rồi suy ra cosA. Baøi 7. * Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 11.
a. Chứng minh góc A tù. b. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 và gọi N là trung điểm của AC. Tính
và đoạn MN.
Dạng 2*: CHỨNG MINH ĐẢNG THỨC VECTƠ Baøi 1. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AM và BN.
.
theo R. a) Chứng minh: b) Tính
.
.
.
a) Chứng minh b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: .
Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh: Baøi 3. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: Baøi 4. Cho tứ giác ABCD. Baøi 5. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
.
b)
a) c) (O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 6. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: Dạng 3: BÀI TOÁN TỌA ĐỘ Baøi 1. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
Page 22
0987.377.505
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. b) Tìm toạ độ điểm M biết . c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10
. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Gv: Phan Hữu Thế Baøi 2. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
Page 23
0987.377.505
a) Tính b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO. i) Tìm toạ độ điểm T thoả k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.
