Bài tập số phức qua các đề thi Đại học

Chia sẻ: Phan Thien An | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

292
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi Đại học môn Toán gồm các bài tập về số phức được tổng hợp từ các đề thi Đại học dành cho các bạn học sinh nhằm phục vụ nhu cầu học tập và tham khảo luyện tập để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng. Chúc các bạn thành công!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập số phức qua các đề thi Đại học

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ Bài tập số phức qua các đề thi đại học 1.( ĐH khối A – 2009 ) z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = 2 2 z1  z2 Đáp án: A = 20. 2.( ĐH khối B – 2009 ) Tìm số phức z thoả mãn z  (2  i )  10 và z.z  25 Đáp án: z = 3 + 4i và z = 5. 3.( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z  (3  4i)  2 . Đáp án: Đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R= 2 2 4.(ĐH khối A - 2010 ) Tìm phần ảo của số phức z, biết z   2 i  1  2i  Đáp án: - 2 3 z  1  3i  z  iz . 5.(ĐH khối A – 2010 ) Cho số phức thoả mãn . Tìm modun của 1 i Đáp án: 8 2 . 6.( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện z  i  1  i  z . Đáp án: Đường tròn có phương trình x2 + (y + 1)2 = 2. 7.( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện z  2 và z2 là số thuần ảo. Đáp án: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i. Công thức Moivre và ứng dụng. 1. Áp dụng công thức Moavre để thực hiện các phép tính a.Phương pháp Ta vận dụng công thức Moivre và các công thức lượng giác để tính toán : (cos a  isin a)n  cos(na)  isin(na) . (cos a  i sin a )(cos b  i sin b) = cos  a  b   isin(a  b) . a a a a a a 1  cos a  i sin a  2 cos 2  2i sin cos  2 cos  cos  i sin  2 2 2 2 2 2 sin a 1 1  i tan a  1  i   cos a  i sin a  . cos a cos a b.Bài tập 1. Tính giá trị của số phức sau 10   2 2     3 3  2  cos  i sin 3  cos  i sin 3        3   4 4  D= 5 . (1)   7 7    2  cos 6  i sin 6      GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -1- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ Bài giải: Ta có 10   2 2   20 20   2  cos  i sin  = 32  cos  i sin    3 3   3 3  5   7 7    35 35   2  cos 6  i sin 6   = 32  cos  i sin      6 6  Thế vào (1) ta được  20 20  3 3  32 3  cos  isin  cos  isin   3 3  4 4 D=  35 35  32  cos  isin   6 6    20 3 35   20 3 35  3 cos      isin     6  =   3 4 6   3 4  = 2. Tính giá trị các biểu thức sau: 2  8 8  1   cos  isin   3 3  a) A = 2 (2)  8 8  1   cos +i sin   3 3  b) B = (1 + i)2008 + (1 – i) 2008 Bài giải: a) Ta có 2 2  8 8    2   2  1   cos  i sin  = 1  cos   3   i sin     3 3      3    4   4   2 2   2   2  = 1   cos     i sin     = 2 sin     2i sin    cos      3   3   3   3   3  2  2   2   2  = 2 sin    2i sin   cos    3   3   3  Với phép biến đổi tương tự ta cũng có: 2  8 8    4   4   1   cos +i sin  = 1   cos  3   i sin  3    3 3       2  2   2   2  = 2sin    2i sin   cos    3   3   3  Thế hai đẳng thức vừa biến đổi vào (2) ta được  2   2   2  2sin 2    2i sin   cos    3   3   3  A=  2   2   2  2sin 2    2i sin   cos    3   3   3  GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -2- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ  2      2   sin   cos     i sin      icos   3    3  6  6 = = =    2    2 cos + i sin sin    icos   6 6  3    3         = cos      i sin     = cos  i sin  6 6  6 6 3 3 1 i 3 =  2 2 b) Ta có    1+i= 2  cos  i sin   4 4 2008  1  i   21004  cos 502  i sin 502  Tương tự       1–i= 2  cos     i sin       4  4  2008  1  i   21004 cos  502   i sin  502     Vậy B =21005 c. Bài tập tham khảo 6 6 1)Tính giá trị của biểu thức: B =  1 i 3  5 1  i   1  i  5  1 i 3  Đáp số: B = -512. 10 1  i  1 2)Tìm số phức sau: x = 9 . Đáp số: x =   3 i  16 1 1 3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: w = z 2009  2009 biết z  1 z z Đáp số: w = 1 1 3 2011 4) Cho z = i . Tính w = z  z 2012  z 2013 2 2 1 3 5) Cho z =  i . Tính C = 1 – z + z2 – z 3 + z4 + ….-z9 + z10. 2 2 2.Áp dụng công thức Moivre để chứng minh các hệ thức lượng giác a.Phương pháp - Tính cosnx, sinnx thao cosx va sinx: CT Moivre (cosx + i sinx)n = cosnx + i sinnx. Với công thức trên ta khai triển nhị thức ở vế trái và đồng nhất phần thực phần ảo của hai vế ta sẽ tính được cosnx, sinnx thao cosx và sinx. VD : Tính biểu thức sau theo sinx và cosx cos2x và sin 2x Ta có cos2x + i sin2x = ( cosx + i sinx )2 = cos2x – sin2x + 2i sinx cosx Vậy sin2x = 2 sinx cosx cos2x = cos2x – sin2 x. - Công thức rút gọn và các biểu thức lượng giác tương tự như phần 1. b. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -3- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ A = 1  cos x  cos2 x  cos3x  ....  cos9 x B = sinx  sin 2 x  sin 3 x  ....  sin 9 x Bài giải : Ta xét biểu thức: A + i B = 1  cos x  cos2 x  cos3x  ....  cos9 x  +  s inx  sin 2 x  sin 3x  ....  sin 9 x  2 3 9 = 1   cos x  i sin x    cos x  i sin x    cos x  i sin x   ...   cos x  i sin x  10 1   cos x  i sin x  = 1   cos x  i sin x  1   cos10 x  i sin10 x  2sin 2 5 x  2i sin 5 xcos5 x = = 1   cos x  i sin x  x 2sin 2  2i sin cos x x 2 2 2       cos   5 x   i sin   5x  sin 5 x .  2   2  sin 5 x . cos  5 x  x   i sin  5 x  x   = =     sin 5x   x    x  sin 5 x    2  2  cos     i sin    2  2 2  2 2 2 sin 5 x  9x 9x  = 5x  cos  i sin  sin  2 2  2 sin 5 x 9x Vậy A = .cos 5x 2 sin 2 sin 5 x 9x B= .sin 5x 2 sin 2 c.Bài tập tham khảo 1.Chứng minh hệ thức n 1 n 1 sin x.cos x 1  cos x  cos2 x  cos3 x  ...  cos nx  2 2 x (1) sin 2 n 1 n sin x sin sinx  sin 2 x  sin 3 x  ...  sin nx  2 2 x (2) sin 2 2.Cho z = cosx + isinx. Chứng minh: 2 1 1 a. z  z  2    2  cos2 x  cox  1 . z z2 31 b. z   2i sin 3 x . z3 3 1 1 c. z  z   3  2i  sin 3 x  sin x  . z z GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -4- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ Số phức và bài toán tính tổng chứa số tổ hợp 1.Lý thuyết. *Ta dùng số phức để tính tổng của các C k khi tổng này có hai đặc điểm: n - Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau . - k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư. *Khai triển nhị thức Newton (1 + x)n = C 0  xC1  x 2 C 2  ...  x n -1C n -1  x n C n . n n n n n *Một số tính chất được sử dụng trong dạng toán: - Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/ - z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn) *Một số dạng khai triển thường được sử dụng - Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.    - Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là  ,  ,  ). 6 4 3 Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. - Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. Để chọn một trong cac khai triển trên ta chủ yếu dựa và số C k trong tổng n 2.Bài tập 0 2 4 2006 2008 1)Tính tổng sau S = C2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009 1 3 5 2007 2009 P = C2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009 Bài giải : Xét khai triển 1  i  2009 = C 0 2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009  2 4 2006 2008 + C 1 2009  C 2009  C2009  ...  C 2009  C 2009  i 3 5 2007 2009 2009 Mặt khác ta tính 1  i  theo dạng lượng giác của số phức và áp dụng công thức Moivre ta được : 2009  2009 2009  1  i  2009 =  2 .  cos  4  i sin 2  = 2 1004  21004.i Vậy so sánh phần thực và phần ảo ta có S = 21004 n n Nhận xét : bằng việc xét khai triển 1  i    Cn i k k ta có kết quả tổng quát sau : k 0  0 n n 2 4 Cn  Cn  Cn  ....     2 .cos 4  n n n   * C 1  C 3  C 5  ....   n  n n   2 .sin 4 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -5- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ 2.Tính tổng: D = 310 C0  39 C2  38 C4  37 C6  ...  3 2 C16  3C18  C20 20 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển:  3 i 20  ( 3 ) 20 C0  i( 3 )19 C1  ( 3 )18 C2  ...  ( 3 )2 C18  i 3C19  C20 = 20 20 20 20 20 20 = (3 10 C0  39 C2  38 C4  37 C6  ...  32 C16  3C18  C20 ) + 20 20 20 20 20 20 20  19 1 17 3 3 17 19  +  ( 3 ) C  ( 3 ) C  ...  ( 3 ) C  3C i  20 20 20 20  Mặt khác: 20 20 20  3 1 π π 20π 20π   3  i  220   2 i  2  220  cos  isin    6 6    220  cos  6  isin 6      4π 4π   1 3   220  cos  isin   220     2 i   219  219 3 i  3 3  2   So sánh phần thực của  3 i 20 trong hai cách tính trên ta có: D = 310 C0  39 C2  38 C4  37 C6  ...  32 C16  3C18  C20 = - 219 20 20 20 20 20 20 20 Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp Ví dụ 1: Tính tổng: D = C1  3C 3  5C5  7C 7  ...  25C 25  27C 27  29C29 30 30 30 30 30 30 30 E = 2C 2  4C4  6C 6  8C8  ...  26C 26  28C 28  30C30 30 30 30 30 30 30 30 Giải: (1 + x)30 = C 0  xC1  x 2 C 2  x 3C3  ...  x 28C 28  x 29C 29  x 30 C30 30 30 30 30 30 30 30 Đạo hàm hai vế ta có: 30(1 + x)29 = C1  2xC 2  3x 2 C3  ...  28x 27 C 28  29x 28C 29  30x 29 C30 30 30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: 30(1 + i)29 = ( C1  3C3  5C5  7C7  ...  25C25  27C27  29C29 ) + 30 30 30 30 30 30 30 + ( 2C2  4C4  6C6  8C8  ...  26C26  28C28  30C30 )i 30 30 30 30 30 30 30 Mặt khác: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -6- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ 29 30(1 + i)29 = 30 2  29  cos π  isin π  4 4  30 2 29  cos 29π  isin 29π   4 4  29   30 2 2 2  2  i   15.215  15.215 i 2    So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có: D = C1  3C3  5C5  7C7  ...  25C25  27C27  29C29 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 E = 2C2  4C4  6C6  8C8  ...  26C26  28C28  30C30 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 2.Tính tổng S = 2.3C2  4.32 C4  6.33 C6  ...  18.39 C18  20.310 C20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + 3 x)20 = = C 0  ( 3x)C1  ( 3x) 2 C 2  ( 3x)3 C3  ...  ( 3x)19 C19  ( 3x) 20 C 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20 3(1  3x)19 = = 3C1  2.3xC 2  3.( 3) 3 x 2C3  ...  19.( 3 )19 x18C19  20.310 x19C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 3(1  3i)19 =  3 5 17 17 19   20 20   =  3C1  3. 3 C3  5. 3 C5  ...  17. 3 20   C  19. 3 C19   20 20          2.3C2  4.32 C4  6.33 C6  ...  18.39 C18  20.310 C20 i .   20 20 20 20 20   19 19 Mặt khác: 20 3 (1  3i)19 = 20 3.219  1  3 i   20. 3.219  cos π  isin π       2 2   3 3    19π 19π  1 3   20. 3.219  cos  isin   20. 3.219   2 i   10. 3.219  30.219 i  3 3   2   So sánh phần ảo của 20 3 (1  3i)19 trong hai cách tính trên ta có: S = 2.3C2  4.32 C4  6.33 C6  ...  18.39 C18  20.310 C20 = 30.219 20 20 20 20 20 3.Tính các tổng sau: M = C0  3C2  5C4  7C6  ...  13C12  15C14 15 15 15 15 15 15 N = 2C1  4C3  6C5  8C7  ...  14C13  16C15 15 15 15 15 15 15 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -7- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ Giải: Xét khai triển: (1 + x)15 = C 0  xC1  x 2C 2  x 3C3  ...  x13C13  x14C14  x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có: x(1 + x)15 = xC 0  x 2 C1  x 3C 2  x 4 C3  ...  x14 C13  x15C14  x16C15 15 15 15 15 15 15 15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =  C0  2xC1  3x 2C 2  4x 3C3  ...  14x13C13  15x14C14  16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =  0 2 4 6 12 14  =  C  3C  5C  7C  ...  13C  15C  +  15 15 15 15 15 15  +  2C1  4C3  6C5  8C 7  ...  14C13  16C15  i  15  15 15 15 15 15   Mặt khác: 15 14 (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =  2 15  cos π  isin π  4 4  14  cos π  isin π   15i. 2 4 4    2 15 cos 15π  isin 15π   15.27 i cos 14π  isin 14π    2 15  4 4 4 4 2 2  2  i   15.27  2     27  27 i  15.27  14.27  27 i  7.28  27 i So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có: M = C0  3C2  5C4  7C6  ...  13C12  15C14 = 7.28 15 15 15 15 15 15 N = 2C1  4C3  6C5  8C7  ...  14C13  16C15 = -27 15 15 15 15 15 15 3.Bài tập tham khảo 1) Tính các tổng sau: 3 5 27 29 1 30 30  30   A  3C1  3 3 C3  5 3 C5  ...  27 3 C27  29 3 C29 30 30     A  2.3C2  4.32 C4  6.33C6  ...  28.314 C28  30.315 C30 2 30 30 30 30 30 Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x  30 . Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức. ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.2 29 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -8- Cell phone: 0935228284
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ 2) Tính các tổng sau: B  C0  2C2  3.4C4  5.6C6  7.8C8  ...  21.22C22  23.24C24 1 25 25 25 25 25 25 25 B  C1  2.3C3  4.5C5  6.7C7  8.9C9  ...  22.23C23  24.25C25 2 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau. ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3) Tính các tổng sau: C  C0  3C2  5C4  7C6  ...  17C16 19C18  21C20 1 20 20 20 20 20 20 20 C  2C1  4C3  6C5  8C7  ...  16C15  18C17  20C19 2 20 20 20 20 20 20 20 Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i. ĐS: C1 = - 11.2 10; C2 = - 10.210 4) Tính các tổng sau: D  12 C1  32 C3  52 C5  72 C7  ...  952 C95  972 C97  992 C99 1 100 100 100 100 100 100 100 D  2 2 C 2  4 2 C 4  6 2 C6  82 C8  ...  962 C96  982 C98  1002 C100 2 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm hai vế. Cho x = i. ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250. n 2n 5) Chứng minh rằng C2 n  3C2 n  9C2 n  27C2 n  ...   3 C2 nn  2 2 n.cos 0 2 4 5 2 . 3 6) Tính tổng sau S = C20  3C20  32 C20  33 C20  ...  310 C20 0 2 4 5 20 Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hành động kiên trì ! Bí ẩn của thành công là sự kiên định của mục đích! Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG trong học tập! Biên soạn và chỉnh lý: GV - Th.s Huỳnh Phúc Hải  Email: uocmoxanh_284@yahoo.com ; uocmoxanh284@gmail.com  ĐT: 0935.228284 – 0905.228284 – 096.4455112 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -9- Cell phone: 0935228284