Bài tập số phức qua các đề thi Đại học

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

Bài tập số phức qua các đề thi đại học

2

2

1.( ĐH khối A – 2009 ) z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = z 1

2

Đáp án: A = 20.

z

z





(2

10



)

i

25

2.( ĐH khối B – 2009 ) Tìm số phức z thoả mãn

và

z z  . Đáp án: z = 3 + 4i và z = 5.

3.( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn

z

điều kiện

 . 2

  i (3 4 )

Đáp án: Đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R= 2

2

z



2



i



i 2

4.(ĐH khối A - 2010 ) Tìm phần ảo của số phức z, biết



  1



Đáp án: - 2



i 3

 1

3

z



5.(ĐH khối A – 2010 ) Cho số phức thoả mãn

. Tìm modun của z

iz .

1



i

Đáp án: 8 2 .

6.( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện z

  i



.

 1

Đáp án: Đường tròn có phương trình x2 + (y + 1)2 = 2.

 i z

z 

2

và z2 là số thuần ảo.

7.( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện

Đáp án: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i.

Công thức Moivre và ứng dụng.

n

a isin )

c os(

na







a

)

1. Áp dụng công thức Moavre để thực hiện các phép tính a.Phương pháp Ta vận dụng công thức Moivre và các công thức lượng giác để tính toán : isin( (cos c os

) .  a b

 a b

isin(



)

a i sin )(cos

b i sin )

(cos





a

b

=

.

2

 1 cos

a



i sin

a



2 cos



i 2 sin

c os



2 cos

c os



i sin

a 2

a 2

a 2

na  a 2

 a 2

  

  

1



i

tan

a

  1

i



cos

a



i sin

a

.





sin cos

a a

a

a 2 1 cos

b.Bài tập 1. Tính giá trị của số phức sau

10

2

c

os



i sin

3

c os



i sin

 2 3

 2 3

 3 4

  

  

  

  

  

  

  

 3 4 5

D =

. (1)

2

c

os



i sin

    7 6

 7 6

  

  

  

  

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 1 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

Bài giải: Ta có

32

c os



i sin

2

c os



i sin

=

 20 3

 20 3

 2 3

 2 3

  

  

  

  

10   

  

5

32

c

os



i sin

2

c os



i sin

=

 7 6

 7 6

 35 6

 35 6

  

  

  

  

  

  

c



isin

c os



isin

Thế vào (1) ta được  20 3

 3 4

 32 3 os  

  

  

D =



isin

 20 3  35 6

 32 os c  







isin





=

 3 4  35   6     3 20 3 4

35 6

   3 20 3 4

35 6

  

  

  

  

  

 3 os c  

2

1



isin

os



c

a) A =

(2)

+i sin

c os

1

 8 3  8 3

      

   2   

= 2. Tính giá trị các biểu thức sau:  8 3  8 3 b) B = (1 + i)2008 + (1 – i) 2008

Bài giải:

a) Ta có

2

2

1



c os





i sin



1



c os



i sin

=

 2 3

 2 3

 8 3

 8 3

  

  

  

  

  

  

  

2

1



c os







i sin

2 sin





i 2 sin



c os



=

=

    4 3

 4 3

 2 3

 2 3

 2 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  



c os

2 sin

i 2 sin

=

    2 3

 2 3

   2 2    3 

  

  

  

  

2

os



1

c



i sin

+i sin

c os

1

=

 4 3

 8 3

  

  

  

   

  

  

  

i 2 sin

2sin

c os



=

   Với phép biến đổi tương tự ta cũng có:  4   3   2 3

 2 3

 8 3  2 2   3 

  

  

  

  

  

Thế hai đẳng thức vừa biến đổi vào (2) ta được

2

2sin



i 2 sin

c

os

A =

2

2sin



i 2 sin

c

os

 2 3  2 3

 2 3  2 3

 2 3  2 3

     

     

     

     

     

     

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 2 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ



ic

os

sin

c os





i sin



 6

  

  

=

= =

c os

+ i sin



ic

os

sin

   6   6

    6

 2 3  2 3

     



i sin







i sin

c = os

c = os

 2     3    2     3      6 6

         6 6

 3

 3

  

  

  

   i



=

3 2

c os



i sin

1 + i = 2

 4

 4

  

1 2 b) Ta có    2008



1004 2

c os 502





i sin 502







    i 1 Tương tự

c os



i sin





1 – i = 2

 4

  

  

  

  

   2008

   1004 2

i



c os



502



i sin



502

   1

 4  





 

 

 

 Vậy B =21005 c. Bài tập tham khảo

6

6

5

5



i

3



i

i



i

3



   1

1)Tính giá trị của biểu thức: B = 1

  1

  1





i

Đáp số: B = -512. 10 

9



2)Tìm số phức sau: x =

. Đáp số: x =

1 16

3



i

 1 



2009



z

z

3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: w =

biết

  1

1 2009

1 z

z Đáp số: w = 1

2011

2012

2013

i

4) Cho z =

. Tính w =

z



z



z

1   2

i

5) Cho z =

. Tính C = 1 – z + z2 – z 3 + z4 + ….-z9 + z10.

1 2

3 2 3 2

2.Áp dụng công thức Moivre để chứng minh các hệ thức lượng giác a.Phương pháp - Tính cosnx, sinnx thao cosx va sinx: CT Moivre (cosx + i sinx)n = cosnx + i sinnx. Với công thức trên ta khai triển nhị thức ở vế trái và đồng nhất phần thực phần ảo của hai vế ta sẽ tính được cosnx, sinnx thao cosx và sinx. VD : Tính biểu thức sau theo sinx và cosx cos2x và sin 2x Ta có cos2x + i sin2x = ( cosx + i sinx )2 = cos2x – sin2x + 2i sinx cosx Vậy sin2x = 2 sinx cosx cos2x = cos2x – sin2x. - Công thức rút gọn và các biểu thức lượng giác tương tự như phần 1. b. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức:

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 3 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

cos3 x   x ....

.... 

os9  x c x sin 9

os2 x   x sin 3

 1 cos

os2

x



cos3

x



....



c os9

x

+



x



sin 9





sin 3

x c  

3

2

9

cos

x



i sin

x

cos

x



i sin

x

  ...

cos

x



i sin

x



i sin

cos







1

x

x

=











10

=

2

1

x





=

=

2

 

x x

A = 1 cos  x c  B = sinx sin 2  Bài giải : Ta xét biểu thức: A + i B =   x .... s inx sin 2  x       x cos x i sin  1    x cos x i sin  1   i sin10 cos10    1 x i sin cos

2sin



i 2 sin

c os

2sin 5 x x 2

2 sin 5 os5 x xc i x x 2 2

c os



5

x

i sin



5

x



.

c

x





i sin 5

x



=

=

x 2

x 2

  

  

  

  

 . os 5  

  

sin

sin



c os





i sin

x sin 5 x 5 2

x sin 5 x 5 2

  2   2

x 2

x 2

     

     



c

os

i sin

=

    2      2  x 9 2

      x 9 2

  

  

sin

x sin 5 x 5 2

c . os

Vậy A =

x 9 2

sin

.sin

B =

x 9 2

sin

x sin 5 x 5 2 x sin 5 x 5 2

c.Bài tập tham khảo 1.Chứng minh hệ thức

n

1

n

1

sin

x c . os

x

 2

 2

 1 cos

x



c os2

x



c os3

x

 

... cos

nx



(1)

sin

n

1

sin

x

sin

x 2 n 2

 2

 sinx sin 2

x



sin 3

x

  ...

sin

nx



(2)

sin

x 2

2.Cho z = cosx + isinx. Chứng minh:

2

z

    2

z



x



a.

 c 2 os2

  . c ox 1

1 z

1 2 z

3

z





i 2 sin 3

x

b.

.

1 3 z

3

z

  

z



x



sin x

c.

.

 i 2 sin 3



1 z

1 3 z

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 4 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

Số phức và bài toán tính tổng chứa số tổ hợp

1.Lý thuyết. *Ta dùng số phức để tính tổng của các k

nC khi tổng này có hai đặc điểm:

- Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .

(1 + x)n =

.

 ...



- k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư. *Khai triển nhị thức Newton 1 nxC

nCnx1-n n 

nC1-nx

nC2x 2

0 nC

 *Một số tính chất được sử dụng trong dạng toán: - Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/ - z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)

*Một số dạng khai triển thường được sử dụng

- Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So

sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.







- Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là

,

,

).

 6

 4

 3

Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. - Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp

(thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai

cách tính. Để chọn một trong cac khai triển trên ta chủ yếu dựa và số k

nC trong tổng

2.Bài tập

C



C

C



C

1)Tính tổng sau S =



2 2009 C

4 2009  C

2006 2009 C

2008 2009  C

  ...

P =

3 2009

  ... 5 2009

 C 2007 2009

2009 2009

1 2009



C

  ...



C



1 i

+

4 2009

2006 2009

2008 2009

0 2009 C Bài giải : Xét khai triển 2 C C 2009

0 2009

2009





C

  ...

C



C

i

=   C

C

2007 2009

2009 2009

3 2009

1 2009

C 

theo dạng lượng giác của số phức và áp dụng công thức Moivre ta được :

1 i

  Mặt khác ta tính 





.

2

c os



i sin



1004 2

1004 .i 2

=

 1 i

2009

= 

2009

2009 4

5 2009 2009   

  

Vậy so sánh phần thực và phần ảo ta có S =

n



i



k k C i n

Nhận xét : bằng việc xét khai triển  1

2009 2 10042 n   ta có kết quả tổng quát sau :

k



0









C

C

....

0 n

4 n

2 n



n  c 2 . os

n  (cid:0)

*



....









5 n

1 n

n  2 .sin



 n 4  n 4

 C    3 C C C n  GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 5 - Cell phone: 0935228284

2.Tính tổng: D =

C23 C93  ... 3C    

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ C73 6 20

Giải:

=

 i3



C20)3(



i(

C18)3(



 ...

C2)3(



C3i



C

Xét khai triển: 20  

0 20

18 20

19 20

20 20



C103

C93



C83

C19)3 1 20 C73



2 20 C23

 ...



3C



C

= (

) +

4 20

16 20

18 20

20 20

+



6 20 C3)3(

... 



C3

0 20 C19)3( 1 20

2 20 C17)3( 3 20

17 20

19 20

  

 i 

Mặt khác:

20

20

i3 

202





i

202



cos



isin

202



cos



isin





20 

3 2

1 2

π 6

π 6

20π 6

20π 6

  

  

  

  

   

202



cos



isin



    202

i



192

192



i3

4π 3

4π 3

1  2

3 2

  

  

   

   

trong hai cách tính trên ta có:

D =

= - 219

C103 0 20 C83 4 20 C18  20 16 20 20 20 2 20

i3  C83

So sánh phần thực của  0 2 20 20

20 4 20

C103 C93   C73   ... C23  3C  C 6 20 16 20 18 20 20 20

Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp

Ví dụ 1:

Tính tổng: D =

E =

 3C  5C  7C  ... 25C  27C  29C 1 C 30 3 30 5 30 7 30 25 30 27 30 29 30

Giải:

(1 + x)30 =

2C  4C  6C  8C  ... 26C  28C  30C 2 30 4 30 6 30 8 30 26 30 28 30 30 30

Đạo hàm hai vế ta có:

30(1 + x)29 =

C  C2x  C3x   ... C28x C29x  C30x  0 30 1 xC 30 2 30 3 30 28 30 29 30 30 30

Cho x = i ta có:

30(1 + i)29 = (

) +

 xC2 C2x3   ... C27x28 C28x29  C29x30  1 C 30 2 30 3 30 29 30 30 30 28 30

+ (

)i

   7C  ... 25C  27C  29C 1 C 30 3 3C 30 5 5C 30 7 30 27 30 29 30 25 30

Mặt khác:

2C  4C    ... 26C  28C  30C 2 30 4 30 6 6C 30 8 8C 30 28 30 30 30 26 30

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 6 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

29

30(1 + i)29 =

2

cos



isin



2

cos



isin



 30

29 

 30

29 

π 4

π 4

29π 4

29π 4

  

  

  

  

15



2





i



15.2



15.2

i15

 30

29 

2 2

2 2

   

   

So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:

D =

= - 15.215

E =

= - 15.215

   7C  ... 25C  27C  29C 1 C 30 3 3C 30 5 5C 30 7 30 25 30 27 30 29 30

2.Tính tổng S =

2C  4C    ... 26C  28C  30C 2 30 4 30 6 6C 30 8 8C 30 26 30 28 30 30 30

Giải:

Xét khai triển:

(1 + 3 x)20 =

=

   ... 18.3 C9  20.3 C10 2 2.3C 20 C24.3 4 20 C36.3 6 20 18 20 20 20

Đạo hàm hai vế ta có:

20

=

(13 

19x)3

=

C  C2x)3(  C3x)3(   ... C19x)3( C20x)3(  0 20 1 x)C3( 20 2 20 3 20 19 20 20 20

Cho x = i ta có: 20

=

(13 

19i)3

=

 xC3.2 C2x3)3.(3   ... C18x19)3.(19 C19x103.20  1 C3 20 2 20 19 20 3 20 20 20

 3.

 5.

 17.

 19.

   

   

.



C24.3



C36.3



 ...

18.3

C9



20.3

C10

2 2.3C 20

4 20

6 20

18 20

i20   20 

  

Mặt khác: 20

=

(13 

19i)3

20

19.23



i



20.

19.23

cos



isin



1 2

3 2

π 3

π 3

  

19   

   

19    



20.

19.23

cos



isin



20.

19.23

i



10.

19.23



30.2

i19



19π 3

19π 3

1 2

3 2

  

  

   

   

So sánh phần ảo của 20

trong hai cách tính trên ta có:

(13 

19i)3

S =

= 30.219

 3 C  3 C ...  3 C  3 C  3  5  17  19  1 C3 20 3 20 5 20 17 20 19 20

3.Tính các tổng sau: M =

C24.3    ... 18.3 C9  20.3 C10 2 2.3C 20 4 20 C36.3 6 20 18 20 20 20

N =

C  3C    ... 13C  15C 0 15 2 15 4 5C 15 6 7C 15 14 15 12 15

 4C    ... 14C  16C 1 2C 15 3 15 5 6C 15 7 8C 15 13 15 15 15

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 7 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)15 =

C



C2x



C3x



 ...

C13x

C14x



C15x



0 15

1 xC 15

2 15

3 15

13 15

14 15

15 15

Nhân hai vế với x ta có:

x(1 + x)15 =

Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = C2x3

xC  C3x  C4x   ... C14x C15x  C16x  0 15 C2x 1 15 2 15 3 15 13 15 14 15 15 15

Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =

=

+

C



3C



5C



... 

13C



15C

0 15

2 15

4 15

6 7C 15

12 15

14 15

  

  

+

i



4C



6C



8C

... 

14C



16C

1 2C 15

3 15

5 15

13 15

15 15

7 15

  

  

Mặt khác:

cos



isin



2

cos



isin



2

(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 

 15i.

14 

15 

π 4

π 4

π 4

π 4

  

14   

  

15   



2

cos



isin



15.2

cos



isin



2





i

7 15.2







15 



15 

15π 4

15π 4

14π 4

14π 4

2 2

2 2

  

  

 i7  

  

   

   

i7272 

7 15.2

14.2





i727 

i7287.2 

  So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:

M =

= 7.28

C



3C



5C



 ...

13C



15C

0 15

2 15

4 15

6 7C 15

12 15

14 15

N =

= -27

C    C3x4   ... C13x14 C14x15  C15x16  1 xC2 15 0 15 2 15 3 15 13 15 14 15 15 15

   8C  ... 14C  16C 1 2C 15 3 4C 15 5 6C 15 7 15 13 15 15 15

3.Bài tập tham khảo

1) Tính các tổng sau:







 ...

3

C



3

C

 33

3 

 35

5 

 27

27 

 29

29 

A 1

1 C3 30

3 C 30

5 C 30

27 30

29 30

. Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của

1

x3

C36.3   ... 28.3 C14  30.3 C15   A 2.3C C24.3 28 30 30 30 2

6 30 30

29

15

.23

ĐS: A1 =

; A2 = - 45.229

2 4 30 30 Hướng dẫn: Xét khai triển:  hai số phức.

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 8 - Cell phone: 0935228284

Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề số phức & BT Lưu hành nội bộ

2) Tính các tổng sau:

 C  2C     ... 21.22C  23.24C B 1 0 25 2 25 4 3.4C 25 6 5.6C 25 8 7.8C 25 22 25 24 25

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh phần thực và

phần ảo của hai số phức bằng nhau. ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

3) Tính các tổng sau:

 B    6.7C   ... 22.23C  24.25C 2 1 C 25 3 2.3C 25 5 4.5C 25 7 25 9 8.9C 25 23 25 25 25



C



4C



6C



8C

 ...

16C



18C



20C

2

1 C2 20

3 20

5 20

7 20

17 20

15 20

19 20

Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i. ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210







C27



 ...

C295

C297



C299



4) Tính các tổng sau: C23 3 100

C21 1 100

D 1

 C  3C  5C  7C  ... 17C  19C  21C C 1 0 20 2 20 4 20 6 20 18 20 16 20 20 20

C25 5 100 C26

7 100 C28

95 100 C296

97 100 C298

99 100 C2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm hai vế. Cho x = i.

ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250.

n

2

2

C



C 3



C 9



27

C

...

C



n c 2 . os

5) Chứng minh rằng

.

    3



0 n 2

2 n 2

4 n 2

5 n 2

2 n n 2

 n 3

2

10

C



C 3



3

C



3 3

C

 

... 3

C

0 20

2 20

4 20

5 20

20 20

6) Tính tổng sau S =

D C22  C24    ...   100  2 2 100 4 100 6 100 8 100 96 100 98 100 100 100

Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hành động kiên trì ! Bí ẩn của thành công là sự kiên định của mục đích! Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG trong học tập! Biên soạn và chỉnh lý: GV - Th.s Huỳnh Phúc Hải  Email: uocmoxanh_284@yahoo.com ; uocmoxanh284@gmail.com  ĐT: 0935.228284 – 0905.228284 – 096.4455112

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 9 - Cell phone: 0935228284