Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
d O (
,
)
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên . Khi đó khoảng cách giữa hai
OM d O ,
(
)
,
điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng . Kí hiệu * Nhận xét M
- - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ta có thể
d O , ( ))
(
+ Xác định hình chiếu H của O trên và tính OH + Áp dụng công thức 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm O và mặt phẳng (). Gọi H là hình chiếu của O trên (). Khi đó khoảng cách giữa hai
OM d O
))
( ),
,(
(
điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (). Kí hiệu * Nhận xét M
- - Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH * Phương pháp chung.
))
OH
,(
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc
. Đặc biệt: ). Khi đó - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với () - Tìm giao tuyến của (P) và () - Kẻ OH ( H d O (
V
S h .
h
giao tuyến của mặt bên đó với đáy + Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường
3 V S
Thể tích của khối chóp . Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình tròn nội tiếp đáy Cách 2. Sử dụng công thức thể tích 1 3
'O , ta quy việc tính
d O về việc tính
, (
))
(
(
d O . Ta thường sử dụng những kết quả sau:
', (
chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí
)) thuận lợi Kết quả 1. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng () và M, N thì
))
d M (
d N (
; (
;(
)) Kết quả 2. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I) thì ; ( ;(
( d M d N (
)) ))
MI NI
d M (
; (
))
; (
))
d N (
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì
d M (
; (
))
; (
))
1 2 d N (
nếu I là trung điểm của MN thì
,
,
là tính chất sau: Giả sử OABC là
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp này tứ diện vuông tại O OA OB OB OC OC OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH ( được tính bằng công thức
1 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
2
2
2
2
1 OH
1 OA
1 OB
1 OC
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
By
Ax 0
0
Cz D 0
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:
(
;
)
d M (
; (
))
) :
Ax By Cz D
0
M x y z ; 0
0
0
2
2
2
B
C
d M (
,
)
với , (
u
u
với là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
' là đường thẳng đi qua
'A và có vtcp
d
( , ')
u '
A MA u u u AA '. ' u '
u
với
d ))
( , (
Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ 3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó Cho điểm đường thẳng song song với mặt phẳng (). Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
MN d
))
( , (
( ),
N
,
phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của đến mặt phẳng (). Kí hiệu * Nhận xét M
d )) ); (
((
- - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này
(
N
),
); ( ))
MN d
( ),
((
đến mặt phẳng kia. Kí hiệu * Nhận xét M
d a b . ( , )
- - Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
M a N b MN d a b ( , ) ,
,
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu * Nhận xét
( , )
HK
d a b ( , )
( , ( d b P )) d a b ( , )
d P Q ), ( ))
((
d a b + Tìm H và K từ đó suy ra + Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó + Sử dụng phương pháp tọa độ
- - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P)
d a b
( , )
IH
* Đặc biệt - Nếu a với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
2 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
BAD
, có SO vuông Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ I) Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc 060 góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
S
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
OK BC
BC
OH SK
SOK OH
SBC
F
OH .
Lời giải. a) Hạ
AC a
3
BD a
BO
Trong (SOK) kẻ d O SBC ,
a 2
H
A
; Ta có ABD đều
a
39
OK
2
2
2
K
E
1 OB
1 OC
13 2 a 3
13
O
1 OK Trong tam giác vuông SOK có:
B D
a
3
C
OH
2
2
2
1 OH
1 OS
1 OK
16 2 a 3
4
a
3
Trong tam giác vuông OBC có: B D
OH
d O SBC ,
,
Vậy
/ /
SBC
EF
4 SBC AD / / d E SBC OH
SBC
a
3
EF
OH 2
d AD SBC ,
2
Kẻ b) Ta có AD BC / / d AD SBC , EF OH F SK . Do
S
NCD
ADM DCN
MD SH
MD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Kẻ
d E SBC , Ví dụ 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Lời giải. Ta có: MAD MD NC Do SH ABCD SHC HK SC K SC
K
d DM SC
,
HK
N
A
D
2
H
2
a
M
HC
CD CN
B
C
5 SH HC
a 2 3
HK
2
2
19
SH
HC
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên Ta có:
3 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
a 2 3 d DM SC , Vậy 19
2a
S
M
N
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
7
S
S
S
ABS
ANS
AMN
16
1 4
D
P
1 2 AMN
II) Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích. Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN). Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB). Lời giải. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 2 a
C
O
A
) PC . d P AMN , ( ( )) d C AMN , ( ( ))
B
V
S
d P AMN . ,(
(
))
S
d C AMN . , (
(
))
P AMN
.
AMN
ABS
1 3
1 1 . 3 4
a
6
2
2
2
V
V
S
SO . .
/ /( Vậy:
S
a SO ,
SA
AO
C ABS
.
S ABC
.
ABC
ABC
1 4
1 2
2
3
1 1 . 4 3 a 6
a
6
2
PAMN
V
a
.
.
d P AMN , (
(
))
a
AMNP
1 4 1 1 . 12 2
2
48
3 V S
6 7
AMN
Vậy
S
V
S
;
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O 2a đến mặt phẳng (AHK). Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó. Lời giải.
OAHK
AHK
d O AHK .
1 3
a
6
AH
Cách 1:
2
2
2
2
I
1 AB
1 AS
3 a 2
3
G
K
; Trong đó: 1 AH
a
6
SAD
AK AH
SAB
3
D
H
A
O
C
B
a
J
HK
BD
2 3
2 2 3
2 3
AG
AI
SC
.2
a
. Tam giác AHK Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD. AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên SG HK BD SO
1 3
2 3
2 1 . 3 2
a 2 3
cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG HK và
4 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
2
a
a
.
S
AG HK .
AHK
2 2 3
2 2 9
1 2
;
V
V
;
h S .
OHK
AOHK
OAHK
OHK
OHK
a 1 2 . 2 3 d A OHK S .
d A SBD S .
1 3
1 3
1 3
a
h
2
2
2
2
Tứ diện ASBD vuông tại A nên: 1 2 h
1 AS
1 AB
1 AD
5 a
2
10 5
2
3
a
a
OG HK .
S
.
V
Sh
OAHK
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
a 5 9
1 3
a 2 27
1 2 3
3
OAHK
d O AHK ;
V 3 S
a 2
a 2 27 2 a
AHK
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng 10 2 2 1 . 3 6 2
V
V
OAHK
SABD
2 2 9 2 9
Cách 2: Ta chứng minh
HK
BD OG ;
SO
2 3
S
HK OG
BD SO
S
OHK
SBD
1 3 1 2 2 9
2 9
3
2
a
V
V
AB AD
SA
AOHK
SABD
1 2 2 9
1 2
27
Ta có:
2 1 9 3 Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ;
2a
2
a
2
).
0;
;0;
;0
a a 2 ; 3
3
a 2 3
3
a a 2 2
, O ;
V
,
.
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H , K
AH AK AO
1 6
Áp dụng công thức
SC
OJ
IC
.2
a
SAC cân tại A I là trung điểm của SC.
1 4
a 2
1 4
3
;
Vậy
1
d B A BD 1
;
Cách 4: SC (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC. * AH SB, AH BC (do BC (SAB)) AH SC Tương tự AK SC. Vậy SC (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC OJ (AHK). 2a SA = AC = 1 2 III) Phương pháp trượt Ví dụ 5. (Đề thi Đại học khối B năm 2011). Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AB a AD a , AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy việc tính
d C A BD 1
thành tính
5 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
B1
C1
A O
ABCD
A1
AD
A E
1&
D1
a
3
.tan
A O OE 1
A EO 1
2
S
a
2 3
ABCD
B
3
C
K
V lt
A O S . 1
ABCD
a 3 2
O
H
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bài giải. * Gọi O là giao điểm của AC và BD 1 Gọi E là trung điểm AD OE AD 0 A EO 60 1
;
D
1
d B A BD : 1
A
E
;
1
1
* Tính
d C A BD 1
CB CD .
a
3
CH BD
CH
Cách 1: Do B1C // (A1BD) d B A BD ;
CH
A BD 1
1
d C A BD ;
2
2
2
CB
CD
Hạ
V 3
A ABD 1
1
1
1
1
d B A BD ;
d C A BD ;
d A A BD ;
S
A BD 1
3
Cách 2:
V
V lt
A ABD 1
1 6
2
a 4 3
a
3
a
S
2
a
A O BD . 1
A BD 1
1 2
1 2
2
2
3
3
a
3
1
1
d B A BD ;
2
2
a 4 3
a
2
Trong đó:
SA a
3
S
và vuông
OA
C , nên thay vì việc tính
,
,
,
,
,
SBC d A SBC , tương tự như vậy ta d O SBC ta đi tính có thể quy việc tính d G SAC thông qua việc tính d B SAC
d E SAC hay
G
H
OA
SBC
Ví dụ 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, góc với mặt phẳng (ABCD). a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC). Phân tích: Do
Lời giải. a) Ta có:
C nên:
A
D
F
E
O
C
B
6 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
OC AC 1 2 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com d O SBC , d A SBC ,
d O SBC ,
d A SBC ,
1 2
a
3
AH
2
2
2
2
1 AH
1 SA
1 AB
4 a 3
2
a
3
AH
d O SBC ,
d A SBC ,
4
1 2
1 2
Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: AH SBC AH SB AH BC Trong tam giác vuông SAB có:
S nên
SAB
EG
d G SAC ,
d E SAC ,
2 3
GS ES
2 3
Do b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB. d G SAC , d E SAC ,
SAC BE ;
a
2
a
2
a
2
BO
d E SAC ,
d B SAC ,
d G SAC ,
1 2
1 2
4
2 3
6
4
Ta có: BO SAC A BO AC BO SA
IV) Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
OA OB OB OC OC OA ) và H là hình
,
,
1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc vuông. 2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
2
2
2
2
1 OH
1 OA
1 OB
1 OC
A
AH BC D ,
ABC
OH BC (1)
OH ) ( OA BC (2) BC OD . Trong các tam giác vuông
H
1
2
2
2
2
2
1 OC
1 OH
O
C
chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
2
2
2
2
1 OA
1 OB 1 OC
1 , 2 OD OD 1 OB
D
B
A'
C'
.
'
'
ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng 'BB . Tính khoảng
'AA và
B'
'B M và CN
M
N
D
C
A
Vì vậy
O
Chứng minh. Giả sử OA OB OA OC , Từ (1) và (2) suy ra OAD và OBC ta có 1 OA 1 OH Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên Ví dụ 7. Cho lăng trụ đều ' a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cách giữa 'B M và CN ta tìm một mặt Phân tích. Để tính khoảng cách giữa 'B M , tiếp theo ta dùng các phép phẳng chứa CN và song song với trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông. Lời giải.
B
7 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
'
AMB N là hình bình
NA B M . Mặt phẳng (ACN) chứa CN và song song với (
' d B M ACN ,(
'B M nên d O ACD , (
d B ACN ', (
d B ACN
( , (
2 (
))
))
))
))
2
(
,
'
h Áp dụng tính chất
3
a
h
2
2
2
1 OC
1 OA
64 2 a 3
8
1 OD a 3
d B M CN
(
,
'
)
. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì OACD là tứ diện vuông tại O. hành / / d B M CN ) ' ( của tứ diện vuông ta được 1 2 h
4
'DD . Tính
ABCD A B C D có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của
.
'
' ' 'A D .
D'
C'
'BB thì A N CM . Mặt phẳng (
'
'A NCM là hình 'A ND )
A'
Vậy
/ / 'A D và song song với CM nên , ( ,
))
)
(
'
'
B'
M
'
(
))
d M A DE ,(
O
G
N
' )) A N . ' , '
D
C
Ví dụ 8. Cho hình lập phương ' khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và Lời giải. Gọi N là trung điểm của bình hành nên chứa d CM A D d CM A ND ( với
ADD .
'
Do
giác GM GA
)) ))
1 2
A
B
E
(
d A A DE , (
'
))
2
2
2
2
2
a 2 3
, ( ( d M A ND Gọi E AB O AD A D G AD AM thì G là trọng tâm ' ' của tam đó d M A DE ' , ( ( ' ( d A A DE , ( 'AA DE vuông tại A nên Tứ diện 1 1 AA d A A DE ,(
1 AD
1 AE
9 a 4
))
(
'
'
.
d CM A D d M A DE
, (
)
(
(
,
'
'
))
d A A DE
( , (
'
))
1 2
a 3
bất kì đi qua đường chéo B’D.
sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp
và hình lập phương
A
N
B
z
C
D
H
y
A'
B'
Vậy
B
A
' 0;1; 0 ,
O D ' 0;0; 0 C 1; 0;1 0;1;1 , thẳng C’D’,
Gọi V) Sử dụng phương pháp tọa độ. * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét. Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học. Ví dụ 9. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) b) Xác định vị trí của mặt phẳng là bé nhất. Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’. Lời giải. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ
' 1;0; 0 , trong đoạn
x
1
x
C ' 1;1; 0 , là điểm bất kì ; 0; 0 ; 0
D'
C'
M
A M M x a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)
tức
8 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
A BC '
'
'
',
' ,
d ACD
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
x
0
d A ACD z y 1
A BC '
'
'
' ,
d ACD
d A ACD ',
3
cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối diện song song với cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình hành
S
'
,
'
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình:
DB MH DB d M DB . '
DMB N
'
b) Giả sử nhau nên DMB’N. Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó:
3DB '
2
Ta có:
2
2
x
2 x 2 x 2 d M DB , ( ') 3 MD DB ' ; DB '
S
2
x
2
x
2
2
x
DMB N
'
1 2
1 2
3 2
3 2
M
; 0;0
Dấu đẳng thức xảy ra khi
S
DMB N
'
1 2
Nên diện tích nhỏ nhất khi , hay M là trung điểm D’C’
0;
;0
; 0
M y 0;
1 2
M
Hoàn toàn tương tự nếu
S
DMB N
'
SA
Vậy diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
ABCD SA a . Gọi M là
,
z
S
D
B
1; 0;0 ,
1;1;0 ,
0;1; 0 ,
S
Ví dụ 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
0;0; 0 , 0; 0;1 .
điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất. Lời giải. Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho C O A
;1;0
M t
1;1;0
M là điểm di động trên CD nên với
C
A
2
y
. t 1 0 BM t
SB BM , BM
2
M
K
d S BM , t 2 t 2 3 t 2 2 t
f
t
t 2
B
t
2 t 3 t 2 2
D
x
2
t
1
f
'
t
2
t 2
2
t
Xét hàm số trên [0;1]
2 Ta có bảng biến thiên:
0 1 -
+ -
t f’(t) 2 f(t)
3 2
9 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
f
t
Từ bảng biến thiên ta có , đạt được khi t = 0
min 0;1
2
f
3 2 t
max 0;1
,
M C d S BM &
,
2
, đạt được khi t = 1
d S MB lớn nhất khi
d S MB nhỏ nhất khi
,
M D d S BM &
,
3 2
2AD
Do đó
a . Cạnh bên
.S ABCD có đáy là hình thang. 090 ,
BA BC a ,
ABC BAD
2
SA a
S
)
AB a AD b AS ; ;
N
VI) Sử dụng phương pháp véc tơ véc tơ. * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ “véc tơ”. Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc. Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng. Ví dụ 11. (Đề thi đại học khối D năm 2007). Cho hình chóp
c a b
E
H
D
K
A
Q
0; ;
0 ;
Ta có: 0; b c 1 b c SD b c SB a c SC a 2
P
B
C
. Gọi H là hình SA vuông góc với đáy và chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ SCD . H đến mặt phẳng ( Lời giải. Đặt a c
))
(
Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) d H SCD ; (
M
HN SH SB
2 3
Dễ dàng tính được
HN HS
SN
SB xSC ySD
2 3
x
a
x
2 3
x 2
2 3
y b
y c
2
2
2
Khi đó :
2
2
2
HN
a
b
c
HN
a
b c
1 6
1 12
1 6
1 6
1 2
a 3
x 0 a x x 0 2 3 2 3 y b y c 5 6 Ta có: HN SC HN SD 0 y x 0 1 3 x 2 x 1 2 2 2 3 y b y c
BSCD
BSCD
d
d 1
2
lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có:
,d d 1 2 SH SB
2 3
2 3
2 3
V 3 S
V 2 S
2
SCD
SCD
Cách 2: Gọi d 1 d
10 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
3
a
SA S
SA S
SA
AB ID
V
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
BCD
BID
BSCD
1 3
1 3
1 2
3 2
Trong đó
2
2
2
2
2
2
SC CD
SA
AB
BC
CE
ED
a
2
S
SCD
1 3 CD AC CD SA 1 2
1 2
d 1
a 3
Ta có: CD SC
1 3
. Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM. Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông. Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có: BH BS
KH KA
1 3
Từ đó ta có:
d A SCD ,
2
2
2
2
d H SCD , d A SCD , Do tứ diện ASDM vuông tại A nên: 1 AM
a 1 AD 1 AS 1 2 a 1 d A SCD ,
d H SCD ,
a 3
.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . E là điểm đối xứng của D ,M N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Tính khoảng cách giữa MN và
S
Vậy
E
* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng. + Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất. Ví dụ 12. (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều qua trung điểm của SA . AC . Giải:
,
,
c OA a OB b OS b c .
Đặt :
P
M
a c .
CB
0 . a b 1 SD AC 2
c
A
SO OD
AC
D
0, 0, Ta có : MN MA AC CN
1 2 CO OB
a
1 2
b
O
1 2 a
c
B
3 2
C
N
1 2 a
AC Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có: PQ PM MA AQ xMN
SD y AO
1 2
2
11 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
x
a
c
c b
ya
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
3 2
1 2
y
x
c
b
1
3 2
1 2
1 2 x a
2
2
1
2
1 2 3 2 2
2
a
2
2
2
PQ
b
PQ
OB
PQ
1 2
a 8
1 4
4
MP AD / /
NC AD / /
x a 0 y x 0 1 4 3 2 y PQ MN PQ AC 0 y 0 1 3 2 3 2 x a x a
MP
AD
NC
AD
1 2
Ta có: ; nên tứ giác MNCP là hình bình hành
MN
1 2 SAC
Cách 2: / /
a
2
d MN AC
;
BO
BD
d N SAC ;
d B SAC ;
1 2
1 2
1 4
4
Do hình chóp SABCD đều BO SAC BO SO BO AC
SB
3
và 030 SBC
060
BAD
a
3
. Các cạnh bên SA
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. (Đề thi Đại học khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông a 2 góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Bài 2. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc = SC; SB = SD .
OA OB OC
1 AB OA Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
,
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD. . Gọi M, N theo thứ
o . Tính thể tích khối chóp
Bài 3. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và . tự là trung điểm các cạnh Bài 4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song
song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Bài 5. (Đề thi Đại học khối D năm 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Bài 6. (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC)
12 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
