TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009
CHẶN TRÊN SEGRE CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA s + 2 ĐIỂM BÉO KHÔNG NẰM TRÊN MỘT (s − 1)−PHẲNG TRONG Pn, s ≤ n
Phan Văn Thiện, Đậu Văn Lương Trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế
Tóm tắt: Chúng tôi sẽ chứng minh dự đoán của N.V. Trung về chặn trên cho chỉ số chính qui của tập điểm béo là đúng cho tập s + 2 điểm béo không nằm trên một (s − 1)−phẳng trong Pn, với 1 ≤ s ≤ n. Kết quả gần đây của B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1] về chặn trên cho chỉ số chính qui của tập n + 2 điểm béo không suy biến trong Pn là một trường hợp trong kết quả của chúng tôi khi s = n.
1. Giới thiệu
Cho P1, . . . , Pr là các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh n-chiều Pn := Pn k , với k là trường đóng đại số, m1, . . . , mr là một dãy các số nguyên dương. Cho ℘1, . . . , ℘r là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong vành đa thức R := k[X0, . . . , Xn] được xác định bởi các điểm P1, . . . , Pr tương ứng. Ký hiệu m1P1 + · · · + mrPr là lược đồ chiều không được xác định bởi iđêan ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘mr
r và gọi
Z := m1P1 + · · · + mrPr
là một tập điểm béo trong Pn.
Vành A := R/(℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘mr
r ) là vành toạ độ thuần nhất của Z. Chúng ta biết
At là k-đại số phân bậc Cohen-Macaulay một chiều có số bội là
rằng A = ⊕ t≥0
(cid:19)
r X
e := .
(cid:18)mi + n − 1 n
i=1
Hàm Hilbert HA(t) := dimk At tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội, tại đó nó dừng. Chỉ số chính qui của Z được định nghĩa là số nguyên t bé nhất sao cho HA(t) = e và chúng tôi ký hiệu nó là reg(Z).
Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo là một vấn đề có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Việc tìm ra được chặn trên tốt cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo tuỳ ý là vấn đề khó, vì vậy người ta thường giải bài toán chặn trên này cho những tập điểm có những điều kiện nào đó (xem [1]-[4], [6]-[7]).
135
Với tập các điểm béo tuỳ ý Z = m1P1 + · · · + mrPr trong P2, Fulton [6] đã tìm được chặn trên:
reg(Z) ≤ m1 + · · · + mr − 1.
Chặn trên này sau đó được Davis và Geramita [4] mở rộng cho tập các điểm béo tùy ý trong Pn. Các tác giả này cũng đã chỉ ra rằng dấu bằng xãy ra khi các điểm nằm trên một đường thẳng.
Với tập các điểm béo hầu khắp trong P2, Segre [7] đã chứng minh:
(cid:21)(cid:27)
(cid:26)
reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, nếu m1 ≥ · · · ≥ mr.
(cid:20)m1 + · · · + mr 2
Những tập điểm như trên luôn ở trong vị trí tổng quát. Một tập điểm béo trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằm trên cùng một j-phẳng với mọi j < n. Với một tập điểm béo ở vị trí tổng quát trong P2, M.V Catalisano [2] đã chứng minh:
(cid:21)(cid:27) (cid:26)
reg(Z) ≤ max
m1 + m2 − 1,
nếu m1 ≥ · · · ≥ mr.
(cid:20)m1 + · · · + mr 2
Kết quả trên sau đó được M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla [3] mở rộng cho tập các điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn:
(cid:21)(cid:27) (cid:20)Pr (cid:26)
reg(Z) ≤ max
m1 + m2 − 1,
nếu m1 ≥ · · · ≥ mr.
i=1 mi + n − 2 n
Chúng tôi sẽ gọi nó là chặn trên Segre.
N.V. Trung đã đưa ra dự đoán một chặn trên tốt cho tập các điểm béo tuỳ ý
trong Pn, chặn này là mở rộng cho tất cả các chặn ở trên:
reg(Z) ≤ max{Tj| j = 1, . . . , n},
trong đó
#
)
("Pq
j=1 mij + j − 2 j
. Tj = max | Pi1, . . . , Piq nằm trên một j-phẳng
Dự đoán này đã được P.V. Thiện [8], [9] chứng minh trong trường hợp n = 2, 3. Các kết quả tương tự cũng được đưa ra một cách độc lập bởi G. Fatabbi và A. Lorenzini [5] với phương pháp chứng minh khác. Vào năm 2002 P.V. Thiện [10] cũng đã chứng minh dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập các điểm kép tuỳ ý trong P4. Gần đây, B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini đã chứng minh dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập n + 2 điểm béo Z = m1P1 + · · · + mn+2Pn+2 không suy biến trong Pn [1, Theorem 4.8].
136
Trong bài báo này, bằng một phương pháp chứng minh ngắn gọn hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập gồm (s + 2) điểm béo không nằm trên một (s − 1)-phẳng trong Pn, s ≤ n:
Định lý. Cho s ≤ n và P1, . . . , Ps+2 là các điểm không nằm trên cùng một (s − 1)- phẳng trong Pn. Cho m1, . . . , ms+2 là các số nguyên dương và Z = m1P1 + · · · + ms+2Ps+2. Với j = 1, . . . , n đặt
#
)
("Pq
j=1 mij + j − 2 j
. Tj = max | Pi1, . . . , Piq nằm trên một j-phẳng
Khi đó
reg(Z) ≤ max{Tj| j = 1, . . . , n}.
Rõ ràng là khi s = n, thì Z = m1P1 + · · · + mn+2Pn+2 là tập các điểm béo không suy biến trong Pn và chúng ta nhận được kết quả của B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1].
2. Chứng minh Định lý
Chúng tôi sẽ cần đến ba bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [3].
Bổ đề đầu tiên cho phép chứng minh qui nạp trên số các điểm khi tính toán chỉ
số chính qui của tập các điểm béo tuỳ ý: Bổ đề 0.1. [3, Lemma 1] Cho P1, . . . , Pu, P là các điểm phân biệt trong Pn và cho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P . Nếu m1, . . . , mu và a là các số nguyên dương, J := ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘mu
u , và I = J ∩ ℘a, thì
reg(R/I) = max {a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘a))} .
Bổ đề thứ hai đưa ra một tính chất của vành artin R/(J + ℘a):
và ℘ = (X1, . . . , Xn). Khi đó
0 M ∈ J + ℘i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo X1, . . . , Xn,
Bổ đề 0.2. [3, Lemma 3] Cho P1, . . . , Pu là các điểm phân biệt trong Pn và m1, . . . , mu, a là các số nguyên dương. Đặt J = ℘m1 1 ∩ · · · ∩ ℘mu u reg(R/(J + ℘a)) ≤ b
nếu và chỉ nếu X b−i i = 0, . . . , a − 1.
1 ∩ · · · ∩ ℘mu
Bổ đề thứ ba mang tính chất tổ hợp:
Bổ đề 0.3. [3, Lemma 4] Cho P1, . . . , Pu, P là các điểm phân biệt trong Pn, cho m1 ≥ · · · ≥ mu là các số nguyên dương và J = ℘m1 u . Nếu t là một u P mi và t ≥ m1, thì có thể tìm được t siêu phẳng, gọi là số nguyên sao cho nt ≥ i=1 L1, . . . , Lt, không đi qua P thoả mãn L1 · · · Lt ∈ J.
137
1 ∩ · · · ∩ ℘ms+2
Chứng minh Định lý: Đặt X = {P1, . . . , Ps+2}, I = ℘m1 s+2 . Khi đó reg(Z) = reg(R/I). Nếu X nằm trong vị trí tổng quát của Pn, thì theo [3, Theorem 6] chúng ta có
(
"
#)
s+2 X (
i=1
reg(Z) ≤ max . m1 + m2 − 1, mi + n − 2)/n
Nếu X không nằm trong vị trí tổng quát của Pn, thì X nằm trên một s-phẳng.
Với s = 1, thì các điểm P1, P2, P3 nằm trên cùng một đường thẳng. Theo [4] chúng ta nhận được
1 ∩ · · · ∩ ℘ms+1
reg(Z) = m1 + m2 + m3 − 1 = T1. Vậy, chúng ta có thể chứng minh qui nạp trên s. Chúng ta phân biệt hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Mọi (s + 1) điểm của X không nằm trên cùng một (s − 1)-phẳng. Đặt J = ℘m1 s+1 , theo Bổ đề 0.1 chúng ta nhận được
reg(Z) = max{mj+2 − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘ms+2
s+2 ))}.
, 0 . . . , 0). Khi
Cho Ps+2 = (1, 0, · · · , 0), P1 = (0, 1, . . . , 0), ..., Ps = (0, . . . , 0, 1 |{z} s+1
i =
c1 + · · · + cn = i,
1 · · · xcn n , s+1 = ms+1 và #)
đó ℘s+2 = (x1, ..., xn). Với mọi đơn thức M = xc1 l = ml − i + cl; l = 1, ..., s; m0 1, ..., ms+2 − 1, đặt m0 "
(
m0
.
t = max
s+1 X (
m1,
l + s − 1)/s
l=1 Do X nằm trên một s-phẳng trong Pn nên về mặt hình học chúng ta có thể xem như X nằm trong Ps. Theo Bổ đề 0.3 chúng ta có thể tìm được t các (s − 1)-phẳng, gọi là L1, ..., Lt, không đi qua Ps+2 sao cho với mọi điểm Pl, l = 1, ..., s, thì luôn luôn có m0 l các (s − 1)-phẳng trong {L1, ..., Lt} đi qua điểm Pl đó. Vì vậy, chúng ta có thể tìm được t các (n − 1)-phẳng, gọi là H1, ..., Ht, không đi qua Ps+2 thoả mãn H1 · · · HtM ∈ J. Theo Bổ đề 0.2 chúng ta nhận được
s+2 )) ≤ t + i ≤ max{Tj|j = 1, . . . , n}.
reg(R/(J + ℘ms+2
Mặt khác, do Y = {P1, ..., Ps+1} nằm trong vị trí tổng quát của Pn, nên theo [5, Theorem 6] chúng ta nhận được
reg(R/J) ≤ max{Tj|j = 1, . . . , n}.
Từ các kết quả trên suy ra reg(Z) ≤ max{Tj|j = 1, . . . , n}.
1 ∩ · · · ∩ ℘ms+1
s+1 , theo Bổ đề 0.1 chúng ta có
Trường hợp 2: Có s + 1 điểm của X nằm trên một (s − 1)-phẳng, gọi là K. Chúng ta có thể giả sử rằng Ps+2 /∈ K (chúng ta có thể đánh số thứ tự lại các điểm). Đặt J = ℘m1
s+2 ))}.
reg(Z) = max{ms+2 − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘ms+2
138
Đặt W = {P1, ..., Ps+1}. Do X không nằm trên một (s − 1)-phẳng, nên W không nằm trên một (s − 2)-phẳng. Cho j = 1, . . . , n, đặt
("Pq
) .
j=1 mij + j − 2 j
T 0 j = max Pi1, . . . , Piq nằm trên một j-phẳng; i1, . . . , iq ≤ s + 1
#(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Theo giả thiết qui nạp chúng ta có
j|j = 1, . . . , n}.
reg(R/J) ≤ max{T 0
j ≤ Tj, j = 1, . . . , n. Do đó
Rõ ràng là T 0
reg(R/J) ≤ max{Tj|j = 1, . . . , n}.
Bây giờ chúng ta còn phải chứng minh:
reg(R/(J + ℘ms+2
s+2 )) ≤ max{Tj|j = 1, . . . , n}.
Cho Ps+2 = (1, 0, . . . , 0), khi đó ℘s+2 = (x1, ..., xn). Đặt η = max{m1, ..., ms+1}. Do Ps+2 /∈ K, nên có một (n − 1)-phẳng, gọi là H, chứa K và không đi qua Ps+2. Khi đó
H η ∈ ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘ms+1 s+1 .
Vì vậy
H ηM ∈ ℘m1
1 ∩ · · · ∩ ℘ms+1
s+1 = J,
với mọi đơn thức M bậc i theo X1, ..., Xn, i = 1, ..., ms+2 − 1. Theo Bổ đề 0.2 chúng ta nhận được
reg(R/(J + ℘ms+2
s+2 )) ≤ η + i ≤ T1.
Định lý đã được chứng minh xong.
Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] B. Benedetti, G. Fatabbi and A. Lorenzini Genericity of Segre bound and the case of n + 2 fat points of Pn (preprint, submit to Proc. Amer. Math. Soc).
[2] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153-2168.
[3] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 717-724.
[4] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert
function of a special class of 1- dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29.
139
[5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111.
[6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969.
[7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti. Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33.
[8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P2, Acta Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81.
[9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P3, J. Pure and Appl. Algebra 151 (2000), 197-214.
[10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4, Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847.
SEGRE’S BOUND FOR THE REGULARITY INDEX OF s + 2 FAT POINTS NOT IN A LINEAR (s − 1)-SPACE IN Pn, s ≤ n
Phan Van Thien, Dau Van Luong College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
Let s ≤ n. We will prove the Trung’s Conjecture about a sharp bound for the regularity index of fat points in the case of s + 2 fat points not on a linear (s − 1)- space in Pn. Our result generalizes Benedetti, Fatabbi and Lorenzini’s result [1] for the upper bound for regularity index of a non degenerate set of n + 2 fat points in Pn.
Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40.
