Bất đẳng thức Cauchy

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

469
lượt xem 121
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức cauchy', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức Cauchy

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY 1. Bất đẳng thức CauChy: a+b a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒ ≥ ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b 2 a+b+c 3 b) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ⇒ ≥ abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c 3 a +a +...+a n n c) Cho a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, ... , an ≥ 0 ⇒ 1 2 ≥ a1.a2 ...an . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n a1 = a2 = ... = an 2. Ví dụ: 1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng: a b a) + ≥2 b) ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab b a ( ) 3 2) Chứng minh: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ≥ 1 + 3 abc với a, b, c không âm. 3) Chứng minh: 2 a + 3 3 b + 4 4 c ≥ 9 9 abc xy yz zx 4) Chứng minh: + + ≥ x + y + z với x, y, z > 0 z x y a b c 3 5) Chứng minh: a) + + ≥ với a, b, c > 0 b+c c+a a+b 2 a2 b2 c2 a+b+c b) + + ≥ b+c c+a a+b 2 3. Bài tập: 1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh: 1 1 1 1 1 a) ( a + b )  + ≥4 b) ( a + b + c )  + + ≥9 a b a b c c) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( 2 2 2 ) d) ( a + b + c ) a + b + c ≥ 9abc bc ca ab 4 4 4 9 e) + + ≥ a+b+c f) + + ≥ a b c a + 2b + c 2a + b + c a + b + 2c a + b + c a b c 1 1 1 g) + + ≥ + + bc ca ab a b c 2) Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thoả a1.a2 ...an = 1 . Chứng minh: ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ...( 1 + an ) ≥ 2n x2 y 2 z 2 x y z 3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ + + y z x y z x n +1 n 4) Chứng minh: > n! ; n ∈ N 2 8 5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .xyz ≤ 729 6) Cho a ≥ 1; b ≥ 1 Chứng minh rằng: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab
7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: a+b + b+c + c+a ≤ 6 8) Chứng minh ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8 xyz với x, y, z > 0 9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh n n n 1+ x  1+ y  1+ z    +  +  ≥3  2   2   2  10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 x + 2 y + 4 z ≥ xy + 3 yz + 5 zx 11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 2 12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 3a −4 + 34 a +8 ≥ 2 18 xyz 13) Cho x, y , z > 0 và thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + yz + zx > 2 + xyz a 2 b2 c2 d 2 1 1 1 1 14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh 5 + 5 + 5 + 5 ≥ 3 + 3 + 3 + 3 b c d a a b c d 1 1 1 9 15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ 2 x y z x + y2 + z2 16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3 x3 + 17 y 3 ≥ 18 xy 2 4 ( a + 5 ) ( b + 4 ) ( c − 3) ( d − 6 ) 1 với a > −5, b > −4, c > 3, d > 6 17) Chứng minh ≤ a+b+c+d 4 2 ( 2 18) Cho a, b, c > 0. Chứng minh a + b + c  2  1 + 1 ) +  a+b b+c c+a 2 1  3  ≥ ( a + b + c)  x  y  z 19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh  1 + 1 + 1 +  ≥ 8  y  z  x  x2 + 3 20) Chứng minh ≥ 2 ∀x ∈ ¡ x2 + 2 x+8 21) Chứng minh ≥ 6 ∀x >1 x −1 22) Cho n số a1 , a2 ,..., an không âm thoả a1 + a2 + ... + an = 1 . Chứng minh n −1 a1.a2 + a1.a3 + ... + an−1.an ≤ 2 1 n 23) Chứng minh n < 1 + ∀n ∈ ¢ + , n ≥ 2 n  1  1  1  24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh : 1 + 1 + 1 +  ≥ 64  x  y  z  1 1 1 1 25) Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 và + + ≥ 1 . Chứng minh xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z 8 n n +1  1  1  26) Chứng minh: 1 +  ≤ 1 +  ; ∀n ∈ ¥  n   n +1 27) Chứng minh 1.3.5... ( 2n − 1) < n ∀n ∈ ¢ n + 28) Cho x 2 + y 2 = 1 Chứng minh − 2 ≤ x + y ≤ 2
29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa x ≥ 3; y ≥ 4 ; z ≥ 2 . Chứng minh xy z − 2 + yz x − 3 + zx y − 4 2 3 + 2 2 + 6 ≤ xyz 4 6 30) Cho f ( x) = ( x + 4 ) ( 5 − x ) với −4 ≤ x ≤ 5 . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN 31) Tìm GTNN của các hàm số sau: 3 1 a) f ( x ) = x + với x > 0 b) f ( x ) = x + với x > 1 x x −1 32) Cho 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 3 . Tìm GTLN của A = ( 3 − y ) ( 4 − x ) ( 2 y + 3 x ) 33) Tìm GTLN của biểu thức: ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4 F= với a ≥ 3; b ≥ 4; c ≥ 2 abc x y z 34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = + + (ĐHNT-1999) x +1 y +1 z +1 35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức: bc ca ab P= + 2 + 2 (ĐHNN – 2000) a b + a c b c + b a c a + c 2b 2 2 2 36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c > 0 : a 5 b5 c 5 a 5 b5 c 5 a 3 b 3 c 3 1. 2 + 2 + 2 ≥ a 3 + b3 + c 3 4. + + ≥ + + b c a b3 c 3 a 3 b c a 5 5 a b c5 a 4 b 4 c 4 2. + + ≥ a 3 + b3 + c 3 5. + 2 + 2 ≥ a+b+c bc ca ab bc 2 ca ab 3. a3 b3 c3 1 6. + + ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) a + 2b b + 2c c + 2a 3 a3 b3 c3 1 7. + + ≥ (a + b + c ) (b + c) 2 (c + a )2 (a + b) 2 4 a3 b3 c3 1 8. + + ≥ (a + b + c) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4 2 2 2 37) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng x + y + z ≥ 3 (ĐH 2005) 1+ y 1+ z 1+ x 2 x4 y4 z4 1 38) Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng + + ≥ ( x3 + y 3 + z 3 ) (ĐH 2006) y+z z+x x+ y 2 5 39) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = . Tìm GTNN của biểu thức 4 4 1 S= + (ĐH 2002) x 4y 40) Cho x, y, z là các số dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 x2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 (ĐH 2003) x y z
1 1 1 41) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 + + ≤ 1 (ĐH 2005) 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z x x x  12   15   20  42) Chứng minh rằng với mọi x ∈ ¡ thì   +   +  x x x  ≥ 3 + 4 + 5 (ĐH 2005)  5  4  3  43) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng: 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥ 3 3 (ĐH 2005) xy yz zx 2  y  9  44) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì (1 + x)  1 +   1 +  ≥ 256 (ĐH 2005)  x   y  45) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 . Chứng minh 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 (ĐH 2005) 3 46) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh rằng: 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 (ĐH 2005) 47) Cho x, y, z thỏa mãn 3− x + 3− y + 3− z = 1 . Chứng minh 9x 9y 9z 3x + 3 y + 3z + + ≥ (ĐH 2006) 3x + 3 y + z 3 y + 3x + z 3z + 3x + y 4 11  7  48) Tìm GTNN của hàm số y = x + + 4  1 + 2  ( x > 0) (ĐH 2006) 2x  x  49) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4 . Tìm GTNN của biểu thức 3x 2 + 4 2 + y 3 A= + (ĐH 2006) 4x y2 1 1 1 50) Ba số dương a, b, c thỏa mãn + + = 3 . Chứng minh rằng: (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (ĐH 2001) a b c x y 51) Giả sử x và y là hai số dương và x + y = 1 . Tìm GTNN của P = + (ĐH 2001) 1− x 1− y 52) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm GTLN của biểu thức 1 1 A= 3 + 3 (ĐH 2006) x y 1 53) Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ (ĐH 2006) 4