Các bài toán hình không gian cho thi Đại học

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

232
lượt xem 65
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán hình học không gian theo từng chủ đề tập hợp nhiều bài toán có độ khó từ đại học trở lên, có bài tập cho học sinh giỏi trung học phổ thông. Sau mỗi bài sẽ có lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo và ôn luyện thật tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán hình không gian cho thi Đại học

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI Đ I H C 1 - Kh i chóp Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác S AB đ u và S AD = 900 . J là trung đi m SD . Tính theo a th tích kh i t di n ACD J và kho ng cách t D đ n m t ph ng ( AC J ). Gi i: S J I B A C D AD ⊥ S A + ⇒ AD ⊥ (S AB) AD ⊥ AB + G i I là trung đi m AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆S AB đ u nên SI ⊥ AB (2) 1 1 a 3 T (1) và (2) suy ra SI ⊥ ( ABCD ). Do đó d ( J, ( ACD )) = d (S, ( ABCD )) = SI = 2 2 4 1 1 a 3 a3 3 T đó suy ra VACD J = . .a2 . = . 3 2 4 24 5 a2 ∆BCI vuông t i B nên CI 2 = CB2 + BI 2 = 4 ∆SIC vuông t i I nên SC 2 = SI 2 + IC 2 = 2a2 Tương t SD 2 = SC 2 = 2a2 SC 2 + CD 2 SD 4 ∆SCD có C J là đư ng trung tuy n nên C J = 2 − = a2 2 4 a 3 Xét ∆ J AC có J A = ; AC = a 2; C J = a nên tính đư c cosA = 2 4 7 1 a 7 a2 7 T đó sin J AC = nên dt( J AC ) = . . = 4 2 2 4 8 a3 3 3. a 21 V y d (D, ( J AC )) = 2 24 = a 7 7 8 Nh n xét: Có th tính di n tích tam giác JAC b ng cách l y hình chi u c a J trên m t đáy (là trung đi m H c a DI). Trong m t đáy, k HK vuông góc v i AC (hay HK song song v i BD) v i K thu c AC thì ch ra đư c JK vuông góc v i AC và tính đư c JK là đư ng cao tam giác JAC. Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đư ng chéo AC = 2 3a, BD = 2a và c t nhau t i O ; hai m t ph ng (S AC ) và (SBD ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD ). a 3 Bi t kho ng cách t đi m O đ n m t ph ng (S AB) b ng , tính th tích kh i chóp S.ABCD 4 theo a. http://boxmath.vn/ 1
Gi i: S I D A O H K C B T gi thi t AC = 2a 3; BD = 2a và AC, BD vuông góc v i nhau t i trung đi m O c a m i đư ng chéo. Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = a 3; BO = a, do đó ABD = 60o hay tam giác ABD đ u. T gi thi t hai m t ph ng (S AC ) và (SBD ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD ) nên giao tuy n c a chúng là SO ⊥ ( ABCD ). Do tam giác ABD đ u nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a HB ta có DH ⊥ AB 1 a 3 và DH = a 3; OK //DH và OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK ) G i I là hình chi u c a 2 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI là kho ng cách t O đ n m t ph ng 1 1 1 a (S AB). Tam giác SOK vuông t i O, OI là đư ng cao ⇒ 2 = 2 + 2 ⇒ SO = Di n tích OI OK SO 2 a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 2 3a2 ; đư ng cao c a hình chóp SO = . 2 1 3 a3 Th tích kh i chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD .SO = 3 3 Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh b ng 3 cm , các c nh S A = SB = SC = 3 cm. Tam giác SBD có di n tích b ng 6 cm2 .Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD . Gi i: S D A H O C B G i H là hình chi u c a S trên ( ABCD ) suy ra H n m trên BD (Vì S A = SB == SC, BD là trung tr c c a AC ). Do đó SH đư ng cao c a hình chóp cũng là đư ng cao c a tam giác SBD ; G i O là giao đi m c a AC và BD. Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy ra tam giác SBD là tam 12 giác vuông t i S. Vì dt(SBD ) = 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5, SH = . 5 5 11 5 11 ABCD là hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy ra dt( ABCD ) = . 2 2 2 http://boxmath.vn/ 2
1 VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 2 11. 3 V y th tích kh i chóp S.ABCD b ng 2 11( cm3 ). Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (v i a > 0); S A t o v i đáy ( ABC ) m t góc b ng 600 . Tam giác ABC vuông t i B, ACB = 300 .G là tr ng tâm tam giác ABC. Hai m t ph ng (SGB) và (SGC ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABC ). Tính th tích hình chóp S.ABC theo a. Gi i: S A C G K B 3a G i K là trung đi m BC. Ta có SG ⊥ ( ABC ); S AG = 600 , AG = . 2 9a 3a 3 T đó AK = ; SG = . 4 2 Trong tam giác ABC đ t AB = x ⇒ AC = 2 x; BC = x 3. 9a 7 Ta có AK 2 = AB2 + BK 2 nên x = 14 1 243 3 V y VS.ABC = SG.dt( ABC ) = a . 3 112 Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác S AB là tam giác cân t i đ nh S. Góc gi a đư ng th ng S A và m t ph ng đáy b ng 450 , góc gi a m t ph ng (S AB) và m t ph ng đáy b ng 600 . Tính th tích kh i chóp S.ABCD, bi t r ng kho ng cách gi a hai đư ng th ng CD và S A b ng a 6. Gi i: S P A D M H N B C G i H là hình chi u vuông góc c a S lên m t đáy, M là trung đi m AB và do tam giác S AB cân t i S nên SM vuông góc v i AB và k t h p v i SH vuông góc v i đáy suy ra AB vuông góc v i m t ph ng SMN nên theo gi thi t ta đư c: (S A, ( ABCD )) = S AH = 450 ⇒ S A = SH 2. 2 ((S AB), ( ABCD )) = (SM, MH ) = SMH = 600 ⇒ SM = SH. . 3 http://boxmath.vn/ 3
T đi m N k NP vuông góc v i SM thì d th y NP là kho ng cách gi a hai đư ng th ng S A và CD suy ra NP = a 6. Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2 2a 4SH 2 Trong tam giác S AM ta có S A 2 = AM 2 + SM 2 ⇐⇒ 2.SH 2 = + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3. 3 1 a 3. 8 a 2 8 3 a 3 V y VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = = . 3 3 3 Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t AB = a, BC = 2a. C nh bên S A vuông góc v i m t đáy, S A = a. G i H là hình chi u c a A trên SB. Tính th tích kh i chóp H.ACD theo a và côsin c a góc gi a hai m t ph ng (SBC ) và (SCD ). Gi i: S K H D A E B C K HE //S A (E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ ( ABCD ). 2 BH AB2 1 HE a Trong tam giác SAB có AB = BH.SB ⇒ = 2 = = ⇒ HE = SB SB 2 SA 2 a3 Di n tích ∆ ACD là S∆ ACD = 1 AD.CD = a2 ⇒ th tích H.ACD là VH.ACD = 3 HE.S∆ ACD = 2 1 6 S A ⊥ ( ABCD ) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥ (SBC ) tương t g i K là hình chi u c a A trên SD thì AK ⊥ (SCD ) do v y góc gi a hai m t ph ng (SBC ) và (SCD ) là góc gi a AH và AK. 1 1 1 a 2 a 2 trong tam giác vuông SAB có 2 = 2 + 2 ⇒ AH = , S A 2 = SH.SB ⇒ SH = AH AB SA 2 2 2a a tương t AK = , SK = 5 5 SB2 + SD 2 − BD 2 SH 2 + SK 2 − HK 2 a2 cos BSD = = ⇒ HK 2 = 2.SB.SD 2.SH.SK 2 AH 2 + AK 2 − HK 2 10 10 Trong ∆ AHK có cos AHK = = > 0 ⇒ cos((SBC ), (SCD )) = 2.AH.AK 5 5 Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . M t bên S AB là tam giác cân t i S , m t ph ng (S AB) vuông góc v i đáy, m t ph ng (SCD ) t o v i đáy góc 600 và cách đư ng th ng AB m t kho ng là a. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. Gi i: http://boxmath.vn/ 4
S K A D H I B C G i H, I l n lư t là trung đi m AB và CD Do S AB cân t i S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ ( ABCD ) do đó SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I ), k HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥ (SCD ) ⇒ HK = d ( H, (SCD )) = d ( AB, (SCD )) = a  H I ⊥CD    CD ⊥ (SH I ) ⇒ SI ⊥CD ⇒ ((SCD ), ( ABCD ) = ( H I, SI ) = SI H = 600  CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )   HK 2a Trong ∆HK I có H I = 0 = = BC . Trong ∆ HSI có SH = H I.tan600 = 2a sin60 3 4 a2 di n tích ABCD là S ABCD = BC 2 = 3 1 8 a3 Th tích S.ABCD là VS.ABCD = SH.S ABCD = . 3 9 Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành th a mãn AB = 2a, BC = a 2, BD = a 6. Hình chi u vuông góc c a đ nh S lên m t ph ng ( ABCD ) là tr ng tâm c a tam giác BCD. Tính theo α th tích kh i chóp S.ABCD , bi t r ng kho ng cách gi a hai đư ng th ng AC và SB b ng a. Gi i: S K D M O C H A B G i H là hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng ( ABCD ), M là trung đi m CD và O là tâm AB2 + AD 2 BD 2 3a2 c a đáy ABCD . Do AO là trung tuy n c a tam giác ABD nên AO 2 = − = ⇒ 2 4 2 a 6 AO 2a 6 AO = ⇒ AH = AO + = 2 3 3 BD 2 + BC 2 CD 2 6a2 + 2a2 4a2 2a 3 BM 2 = − = − = 3a2 ⇒ BM = a 3 ⇒ BH = 2 4 2 4 3 http://boxmath.vn/ 5
Ta có AH 2 +BH 2 = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , k t h p v i AH vuông góc v i SH ta đư c AH ⊥ (SHB). K HK vuông góc v i SB, theo ch ng minh trên ta đư c AH ⊥ (SHB) suy ra AH ⊥ HK ⇒ HK là đo n vuông góc chung c a AC và SB suy ra HK = a. 1 1 1 Trong tam giác vuông SHB ta có 2 = 2 + ⇒ SH = 2a HK SH HB2 1 1 4 1 4 2 a3 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH. O A.BH = 3 3 3 2 3 2 - Kh i lăng tr Bài 2.1. Cho kh i lăng tr tam giác ABC.A 1 B1 C1 có đáy là tam giác đ u c nh 2a, đi m A 1 cách đ u ba đi m A, B, C. C nh bên A 1 A t o v i m t ph ng đáy m t góc α. Hãy tìm α , bi t th tích kh i lăng tr ABC.A 1 B1 C1 b ng 2 3a3 . Gi i: A1 B1 C1 A B I G H C Ta có tam giác ABC đ u c nh 2a nên S ABC = a2 3 M t khác A 1 A = A 1 B = A 1 C ⇒ A 1 .ABC là hình chóp tam giác đ u đ nh A 1 . G i G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có A 1 G là đư ng cao. 2 2a 3 Trong tam giác ABC có AG = AH = 3 3 2a 3 Trong tam giác vuông A 1 AG có: A 1 AG = α; A 1 G = AG.tanα = .tanα. 3 Th tích kh i lăng tr V = A 1 G.S ABC = 2 3a3 ⇒ tanα = 3 ⇒ α = 60 o . Bài 2.2. Cho lăng tr đ ng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân v i AB = AC = a, góc BAC = 1200 , c nh bên BB = a . G i I là trung đi m c a CC . Ch ng minh tam giác AB I vuông t i A và tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB I ). Gi i: http://boxmath.vn/ 6
A B C A I B C Ta có BC = a 3. Áp d ng đ nh lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB , B C I 5 13 Suy ra AI = a, AB = 2a, B I = a 2 2 Do đó AI 2 + AB 2 = B I 2 V y tam giác AB I vuông t i A 1 10 2 3 2 S AB I = AI.AB = a , S ABC = a . G i α là góc gi a hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB I ). Tam 2 4 4 giác ABC là hình chi u vuông góc c a tam giác AB I . 10 3 3 suy ra S A BI cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 4 10 Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng tr đ ng ABC A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và BAC = 1200 . G i M là trung đi m c a c nh CC 1 . Ch ng minh MB ⊥ M A 1 và tính kho ng cách t đi m A t i m t ph ng ( A 1 BM ). Gi i: A1 C1 B1 M A C B + Ta có A 1 M 2 = A 1 C1 + C1 M 2 = 9a2 , BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB.AC. cos 1200 = 7a2 ; 2 BM 2 = BC 2 + CM 2 = 12a2 ; A 1 B2 = A 1 A 2 + AB2 = 21a2 = A 1 M 2 + MB2 ⇒ MB vuông góc v i M A 1 + Hình chóp M ABA 1 và C ABA 1 có chung đáy là tam giác ABA 1 và đư ng cao b ng nhau nên th tích b ng nhau. 1 1 ⇒ V = VM ABA 1 = VC ABA 1 = A A 1 .S ABC = a3 15 3 3 3V 6V a 5 ⇒ d (a, ( MBA 1 ) ) = = = S MBA 1 MB.M A 1 3 http://boxmath.vn/ 7
Bài 2.4. Cho lăng tr tam giác ABC.A 1 B1 C1 có t t c các c nh b ng a, góc t o b i c nh bên và m t đáy b ng 300 . Hình chi u vuông góc H c a đ nh A trên m t ph ng ( A 1 B1 C1 ) thu c đư ng th ng B1 C1 . Tính th tích kh i lăng tr ABC.A 1 B1 C1 và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng A A 1 và B1 C1 theo a. Gi i: A B D C A1 B1 H C1 a A A 1 H = 300 , AH = A A 1 . sin 300 = 2 a3 3 Th tích kh i lăng tr ABC.A 1 B1 C1 : V = AH.dt( A 1 B1 C1 ) = 8 a 3 a 3 ∆ A A 1 H vuông, A 1 H = a.cos300 = . Do ∆ A 1 B1 C1 đ u c nh a, H thu c B1 C1 và A 1 H = 2 2 nên A 1 H ⊥B1 C1 Có AH ⊥B1 C1 do đó B1 C1 ⊥( A A 1 H ). K đư ng cao HK c a ∆ A A 1 H thì HK chính là kho ng cách gi a A A 1 và B1 C1 A 1 H.AH a 3 Ta có A A 1 .HK = AH.A 1 H , ⇒ HK = = . A A1 4 Bài 2.5. Cho hình lăng tr ABC.A B C có đáy là tam giác đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a A lên m t ph ng ( ABC ) trùng v i tr ng tâm O c a tam giác ABC . M t m t ph ng (P ) a2 3 ch a BC và vuông góc v i A A , c t lăng tr theo m t thi t di n có di n tích b ng . Tính 8 th tích kh i lăng tr ABC.A B C theo a. Gi i: A C H B A O C M B G i M là trung đi m c a BC, g i H là hình chi u vuông góc c a M lên A A , Khi đó (P ) ≡ (BCH ). Do góc A AM nh n nên H n m gi a A A . Thi t di n c a lăng tr c t b i (P ) là tam giác BCH . http://boxmath.vn/ 8
a 3 2 a 3 Do tam giác ABC đ u c nh a nên AM = , AO = AM = 2 3 3 a2 3 1 a2 3 a 3 Theo bài ra S BCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , 8 2 8 4 3 a2 3 a2 3 a AH = AM 2 − HM 2 = − = 4 16 4 A O HM Do hai tam giác A AO và M AH đ ng d ng nên = AO AH AO.HM a 3 a 3 4 a suy ra A O = = = AH 3 4 3a 3 1 1aa 3 a3 3 Th tích kh i lăng tr : V = A O.S ABC = A O.AM.BC = a= . 2 23 2 12 3 - Kh i tròn xoay Bài 3.1. Cho hình tr có bán kính đáy b ng a và đư ng cao b ng a 2. a) M và N là hai đi m lưu đ ng trên hai đáy sao cho góc c a MN và đáy b ng α . Tính kho ng cách t tr c đ n MN . b) Tính th tích và di n tích xung quanh c a lăng tr tam giác đ u ng ai ti p hình tr Gi i: C N O B A C O N H B M A a) K đư ng sinh N N ta có N MN = α, k OH ⊥ MN thì OH b ng kh ang cách gi a tr c OO và MN . Ta có: MN = N N .cotα = a. 2. cot α a2 a2 ∆OMH vuông : OH 2 = OM 2 − MH 2 = a2 − cot2 α = (2 − cot2 α) 2 2 2 − cot2 α ⇒ OH = a 2 b) G i x là c nh c a tam giác đ u ng ai ti p đư ng tròn đáy c a hình tr . 1 1x 3 x 3 6R 6a Ta có: O N = R = AN = = ⇒x= = 3 3 2 6 3 3 x2 3 36a2 3 VABC.A B C = .OO = .a 2 = 3a2 . 6. 4 12 http://boxmath.vn/ 9
18a S xq = 3 x.OO = .a 2 = 6a2 6. 3 Bài 3.2. Cho hình nón đ nh S có đư ng sinh là a, góc gi a đư ng sinh và đáy là α . a) Tính th tích và di n tích xung quanh c a hình nón. b) M t m t ph ng h p v i đáy m t góc 600 và c t hình nón theo hai đư ng sinh S A và SB. Tính di n tích tam giác S AB và kho ng cách t tâm c a đáy hình nón đ n m t ph ng này. Gi i: S K B O H A a) Tính V và S xq . ∆S AO vuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 1 V = π.AO 2 .SO = π.a3 . cos2 α. sin α 3 3 Sxq = π.AO.S A = π.a2 . cos α b) + Tính S S AB K OH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ AB, do đó SOH = 600 a 3. sin α ∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = 3 3a2 . sin α AOH vuông : AH 2 = AO 2 − OH 2 = a2 .cos2 α − 9 a ⇒ AH = 3 cos2 α − sin2 α 3 1 2a2 . sin α 3 cos2 α − sin2 α V y S S AB = AB.SH = 2 3 + Tính d (O, (S AB)) K OK ⊥SH ⇒ OK ⊥(S AB) a 3 sin α 3 a. sin α OKH vuông : OK = OH.sin600 = . = 3 2 2 Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t và có c nh bên S A vuông góc v i đáy. a) Xác đ nh tâm m t c u ng ai ti p hình chóp S ABCD . b) G i (P ) là m t ph ng qua A và vuông góc v i SC c t AB, SC, SD l n lư t t i B , C , D . Ch ng t r ng b y đi m A, B, C, D, B , C , D cùng n m trên m t m t c u. Gi i: http://boxmath.vn/ 10
S C D I B D A O C B BC ⊥ AB a) Ta có : ⇒ BC ⊥SB BC ⊥S A Tương t CD ⊥SD V y các đi m A, B, D đ u nhìn đ an SC dư i m t góc vuông, do đó tâm m t c u ng ai ti p hình chóp S.ABCD là trung đi m I c a SC . b)Ta có : AC ⊥SC t i C AB ⊥SC và AB ⊥BC ( vì BC ⊥(S AB)) nên AB ⊥(SBC ) ⇒ AB ⊥B C Tương t AD ⊥D C V y các đi m B , C , D , D, B cùng nhìn đ an AC dư i m t góc vuông, do đó b y đi m A, B, C, D, B , C , D cùng n m trên m t c u đư ng kính AC . 4 - Bài t p t luy n có đáp s 1. (CĐ 2012) Cho kh i chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A , AB = a 2, S A = SB = SC. Góc gi a đư ng th ng S A và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 . Tính th tích kh i chóp S.ABC và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC theo a. 3 a3 2a 3 * Đáp s : V = ,R = 3 3 2. (D 2012) Cho hình h p đ ng ABCD.A B C D có đáy là hình vuông, tam giác A AC vuông cân, A C = a. Tính th tích c a kh i t di n ABB C và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD ) theo a. a3 2 a 6 * Đáp s : V = ,d = 48 6 3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC v i S A = 2a, AB = a. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên c nh SC. Ch ng minh SC vuông góc v i m t ph ng ( ABH ). Tính th tích c a kh i chóp S.ABH theo a. 7 11a3 * Đáp s : V = 96 4. (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ( ABC ) là đi m H thu c c nh AB sao cho H A = 2 HB. Góc gi a đư ng th ng SC và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 . Tính th tích kh i chóp S.ABC và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng S A và BC theo a. a3 7 a 42 * Đáp s : V = ,g= 12 8 http://boxmath.vn/ 11
5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = a, S A vuông góc v i m t ph ng ( ABC ), góc gi a hai m t ph ng (SBC ) và ( ABC ) b ng 300 . G i M là trung đi m c a c nh SC . Tính th tích c a kh i chóp S.ABM theo a. a3 3 * Đáp s : V = 36 6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a; hai m t ph ng (S AB) và (S AC ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABC ). G i M là trung đi m c a AB; m t ph ng qua SM và song song v i BC , c t AC t i N . Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC ) và ( ABC ) b ng 600 . Tính th tích kh i chóp S.BCN M và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và SN theo a. 2a 39 * Đáp s : V = a3 3, d = 13 7. (B 2011) Cho hình lăng tr ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có đáy ABCD là hình ch nh t, AB = a, AD = a 3. Hình chi u vuông góc c a đi m A 1 trên m t ph ng ( ABCD ) trùng v i giao đi m c a AC và BD . Góc gi a hai m t ph ng ( ADD 1 A 1 ) và ( ABCD ) b ng 600 . Tính th tích kh i lăng tr đã cho và kho ng cách t đi m B1 đ n m t ph ng ( A 1 BD ) theo a. 3 a3 a 3 * Đáp s : V = ,d = 2 2 8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, BA = 3a, BC = 4a; m t ph ng (SBC ) vuông góc v i m t ph ng ( ABC ). Bi t SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (S AC ) theo a. 6a 7 * Đáp s : V = 2 3a3 , d = 7 9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i M và N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB và AD ; H là giao đi m c a CN v i DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng ( ABCD ) và SH = a 3. Tính th tích kh i chóp S.CDN M và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng DM và SC theo a. 5 3 a3 2 3a * Đáp s : V = ,d = 24 19 10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên S A = a; hình chi u vuông góc c a đ nh S trên m t ph ng ( ABCD ) là đi m H thu c đo n AC, AH = AC . G i CM là đư ng cao c a tam giác S AC. Ch ng minh M là trung đi m c a S A và 4 tính th tích kh i t di n SMBC theo a. a3 14 * Đáp s : V = 48 11. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, m t ph ng (S AB) vuông góc v i m t ph ng đáy, S A = SB, góc gi a đư ng th ng SC và m t ph ng đáy b ng 450 . Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD . a3 5 * Đáp s : 6 12. (B 2010) Cho lăng tr tam giác đ u ABC.A B C có AB = a, góc gi a hai m t ph ng ( A BC ) và ( ABC ) b ng 600 . G i G là tr ng tâm tam giác A BC . Tính th tích kh i lăng tr đã cho và tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n G ABC theo a. 3 a3 3 7a * Đáp s : V = ,R = 8 12 http://boxmath.vn/ 12
13. (CĐ 2009) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có AB = a, S A = a 2. G i M, N và P l n lư t là trung đi m c a các c nh S A, SB và CD . Ch ng minh đư ng th ng MN vuông góc v i đư ng th ng SP. Tính theo a th tích kh i t di n AMNP. a3 6 * Đáp s : V = 48 14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D ; AB = AD = 2a, CD = a; góc gi a hai m t ph ng (SBC ) và ( ABCD ) b ng 600 . G i I là trung đi m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng (SBI ) và (CSI ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD ), tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. 3 15a3 * Đáp s : V = 5 15. (B 2009) Cho hình lăng tr tam giác ABC.A B C có BB = a, góc gi a đư ng th ng BB và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 ; tam giác ABC vuông t i C và BAC = 600 . Hình chi u vuông góc c a đi m B lên m t ph ng ( ABC ) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC . Tính th tích kh i t di n A ABC theo a. 9 a3 * Đáp s : V = 208 16. (D 2009) Cho hình lăng tr đ ng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, A A = 2a, A C = 3a. G i M là trung đi m c a đo n th ng A C , I là giao đi m c a AM và A C . Tính theo a th tích kh i t di n I ABC và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng ( IBC ). 4 a3 2a 5 * Đáp s : V = ,d = 9 5 17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc v i đáy và S A = 2a. G i M, N l n lư t là trung đi m c a S A, SD. Ch ng minh r ng BCN M là hình ch nh t và tính th tích c a kh i chóp S.BCN M theo a. a3 * Đáp s : V = 3 18. (A 2008) Cho lăng tr ABC.A B C có đ dài c nh bên b ng 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i A, AB = a, AC = a 3 và hình chi u vuông góc c a đ nh A trên m t ph ng ( ABC ) là trung đi m c a c nh BC . Tính theo a th tích kh i chóp A .ABC và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng A A , B C . a3 1 * Đáp s : V = , cosϕ = 2 4 19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a, S A = a, SB = a 3 và m t ph ng (S AB) vuông góc v i m t ph ng đáy. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, BC . Tính theo a th tích kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng SM, DN. a3 3 5 * Đáp s : V = , cosϕ = 3 5 20. (D 2008) Cho lăng tr đ ng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, c nh bên A A = a 2. G i M là trung đi m c a c nh BC . Tính theo a th tích c a kh i http://boxmath.vn/ 13
lăng tr ABC.A B C và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AM, B C. a3 2 7a * Đáp s : V = ,d = 2 7 21. (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, m t bên S AD là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP . 3 a3 * Đáp s : V = 96 22. (B 2007) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a. G i E là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a S A, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC . Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng MN và AC. a 2 * Đáp s : d = 4 23. (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a. C nh bên S A vuông góc v i đáy và S A = a 2. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SB. Ch ng minh tam giác SCD vuông và tính theo a kho ng cách t H đ n m t ph ng (SCD ). a * Đáp s : d = 3 24. (A 2006) Cho hình tr có đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy b ng chi u cao và b ng a. Trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m A, trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m B sao cho AB = 2a. Tính th tích c a kh i t di n OO AB. 3 a3 * Đáp s : V = 12 25. (B 2006) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = a 2, S A = a và S A vuông góc v i m t ph ng ( ABCD ). G i M và N l n lư t là trung đi m c a AD và SC ; I là giao đi m c a BM và AC . Ch ng minh m t ph ng (S AC ) vuông góc v i m t ph ng (SMB). Tính th tích c a kh i t di n AN IB. 2 a3 * Đáp s : V = 36 26. (D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, S A = 2a và S A vuông góc v i m t ph ng ( ABC ). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các đư ng th ng SB và SC . Tính th tích c a kh i chóp A.BCN M. 3 3 a3 * Đáp s : V = 50 27. (B 2004) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc gi a c nh bên và m t đáy b ng ϕ((00 < ϕ < 900 ). Tính tang c a góc gi a hai m t ph ng (S AB) và ( ABCD ) theo ϕ. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và ϕ. 2a3 tanϕ * Đáp s : tanα = 2 tanϕ, V = 6 28. (D 2003) Cho hai m t ph ng (P ) và (Q ) vuông góc v i nhau, có giao tuy n là đư ng th ng ∆. Trên ∆ l y hai đi m A, B v i AB = a. Trong m t ph ng (P ) l y đi m C , trong m t http://boxmath.vn/ 14
ph ng (Q ) l y đi m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v i ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD và tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD ) theo a. a 3 a 2 * Đáp s : R = ,d = 2 2 29. (B 2002) Cho hình l p phương ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có c nh b ng a. a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A 1 B và B1 D. b) G i M, N, P l n lư t là các trung đi m c a các c nh BB1 , CD, A 1 D 1 . Tính góc gi a hai đư ng th ng MP và C1 N. a * Đáp s : d = , g = 900 6 30. (D 2002) Cho hình t di n ABCD có AD vuông góc v i m t ph ng ( ABC ); AC = AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính kho ng cách t đi m A t i m t ph ng (BCD ). 6 34 * Đáp s : d = 17 31. (DB1 A 2007) Cho lăng tr đ ng ABC A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và BAC = 1200 . G i M là trung đi m c a c nh CC 1 . Ch ng minh MB ⊥ M A 1 và tính kho ng cách t đi m A t i m t ph ng ( A 1 BM ). a 5 * Đáp s : d = 3 32. (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc gi a hai m t ph ng (SBC ) và ( ABC ) b ng 600 , hai tam giác ABC và SBC là các tam giác đ u c nh a. Tính theo a kho ng cách t B đ n m t ph ng (S AC ). 3a * Đáp s : d = 13 33. (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , S A vuông góc v i đáy. Cho AB = a, S A = a 2. G i H và K l n lư t là hình chi u c a A lên SB, SD. Ch ng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính th tích kh i chóp O AHK. 2 a3 * Đáp s : V = 27 34. (DB2 B 2007) Trong m t ph ng (P ) cho n a đư ng tròn đư ng kính AB = 2R và đi m C thu c n a đư ng tròn đó sao cho AC = R . Trên đư ng th ng vuông góc v i (P ) t i A l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (S AB) và (SBC ) b ng 600 . G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên SB, SC . Ch ng minh tam giác AHK vuông và tính th tích kh i t di n S ABC theo R . R3 6 * Đáp s : V = 12 35. (DB1 D 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A 1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, A A 1 = a 2. G i M, N l n lư t là trung đi m c a A A 1 , BC 1 . Ch ng minh MN là đư ng vuông góc chung c a các đư ng th ng A A 1 và BC1 . Tính th tích kh i t di n M A 1 BC1 . a3 2 * Đáp s : V = 12 36. (DB2 D 2007) Cho lăng tr đ ng ABC A 1 B1 C1 có t t c các c nh đ u b ng a. M là trung đi m c a A A 1 . Ch ng minh BM ⊥ B1 C và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BM http://boxmath.vn/ 15
và B1 C . a 30 * Đáp s : d = 10 37. (DB1 A 2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân t i B, BA = BC = 2a, hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng đáy ( ABC ) là trung đi m E c a AB và SE = 2a. G i I, J l n lư t là trung đi m c a EC, SC ; M là đi m di đ ng trên tia đ i c a tia BA sao cho góc ECM = α(α < 900 ) và H là hình chi u vuông góc c a S trên MC . Tính th tích kh i t di n EH I J theo a, α và tìm α đ th tích đó l n nh t. 5a3 sin2α * Đáp s : V = 8 38. (DB2 A 2008) Cho hình chóp S.ABC mà m i m t bên là m t tam giác vuông, S A = SB = SC = a. G i M, N, E l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, AC, BC ; D là đi m đ i x ng c a S qua E ; I là giao đi m c a đư ng th ng AD v i m t ph ng (SMN ). Ch ng minh AD ⊥ SI và tính theo a th tích c a kh i t di n MBSI. a3 * Đáp s : V = 36 39. (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, S A = a 3 và S A vuông góc v i m t ph ng đáy. Tính theo a th tích kh i t di n S ACD và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng SB và AC . a3 3 2 * Đáp s : V = , cosα = 6 4 40. (DB2 B 2008) Cho t di n ABCD có các m t ABC và ABD là các tam giác đ u c nh a, các m t ACD và BCD vuông góc v i nhau. Hãy tính theo a th tích kh i t di n ABCD và tính s đo c a góc gi a hai đư ng th ng AD, BC . a3 2 * Đáp s : ĐS V = , g = 600 12 5 - Các bài toán v kho ng cách Ph m vi nh ng bài t p này tôi s đ c p m t phương pháp xuyên su t đ gi i các bài toán v kho ng cách trong không gian đó là quy v bài toán cơ b n: Tính kho ng cách t chân đư ng cao đ n m t m t c a hình chóp. Trư c h t ta c n n m ch c bài toán: Cho hình chóp S ABC có S A vuông góc v i đáy ABC . Tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBC ) • Vi c tính kho ng cách này là r t đơn gi n nhưng nó là chìa khóa đ gi i quy t m i bài toán liên quan đ n kho ng cách: Ta k AM ⊥BC, AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC ) ⇒ d A/(SBC) = AH Trong tam giác vuông S AM ta có 1 1 1 AS.AM = + ⇒ AH = AH 2 AS 2 AM 2 AS 2 + AM 2 • Tính ch t quan tr ng - N u đư ng th ng (d ) song song v i m t ph ng (P ) thì kho ng cách t m i đi m trên (d ) đ n m t ph ng (P ) là như nhau http://boxmath.vn/ 16
−→ − −→ − - N u AM = kBM thì d A/(P) = |k| d B/(P) trong đó (P ) là m t ph ng đi qua M - N u a, b là hai đư ng th ng chéo nhau. G i (P ) là m t ph ng ch a b và (P ) a thì d a/b = d a/(P) = d M ∈a/(P) Trên cơ s các tính ch t trên. Khi c n tính kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng , hay tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng chéo nhau ta luôn quy đư c v bài toán cơ b n. Ta xét các bài toán sau: Bài 5.1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 90o , BA = BC = a, AD = 2a. C nh bên S A vuông góc v i đáy và S A = a 2, góc t o b i SC và (S AD ) b ng 30o . G i G là tr ng tâm tam giác (S AB). Tính kho ng cách t G đ n m t ph ng (SCD ) Gi i: K CE vuông góc v i AD thì E là trung đi m c a AD và CE ⊥(S AD ) ˆ ⇒ C SE = 300 ⇒ SE = CE. tan 60 = a 3 ⇒ S A = a 2 G i M là trung đi m c a AB, N là trung đi m c a AE . Ta có BE song song v i (SCD ), MN 3 cũng song song v i (SCD ). Ta có ND = AD 4 2 2 2 2 3 1 GS = MS ⇒ dG/(SCD) = d M/(SCD) = .d N/(SCD) = . d A/(SCD) = d A/(SCD) 3 3 3 3 4 2 Vì tam giác ACD vuông cân t i C nên CD vuông góc v i (S AC ). S A.SC H AH vuông góc v i SC thì AH ⊥(SCD ) ⇒ d A/(SCD) = AH = =a S A 2 + SC 2 (Ta cũng có th l p lu n tam giác S AC vuông cân suy ra AH = a) Bài 5.2. Cho hình lăng tr ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A c nh huy n BC = a 2 c nh bên A A = 2a, bi t A cách đ u các đ nh A, B, C . G i M, N l n lư t là trung đi m c a A A , AC . Tính th tích kh i chóp C MNB và kho ng cách t C đ n m t ph ng ( MNB) Gi i: - Tính th tích: Vì A cách đ u A, B, C nên chân đư ng cao h t A lên m t ph ng ( ABC ) là tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác ABC . G i H là trung đi m c a BC suy ra A H ⊥( ABC ) 1 G i K = MN ∩ AC ⇒ AK = C K ⇒ VC MNB = 3VAMNB 3 1 G i E là trung đi m c a AH ⇒ ME ⊥( ABC ) ⇒ VM ANB = ME.dt( ANB) 3 1 1 a 14 a 14 Tính đư c: ME = A H = = 2 2 2 4 1 a 14 a2 14a3 14a3 Suy ra: VM ANB = . . = . V y VC MNB = 3 4 4 48 16 Ta th y r ng vi c tính tr c ti p kho ng cách t đi m C đ n m t ph ng (BMN ) là tương đ i khó. Đ kh c ph c khó khăn này ta s t o ra bài toán cơ b n tính kho ng cách t chân đư ng cao đ n m t ph ng (BMN ) b ng cách d ng đư ng cao ME c a kh i chóp ABMN . - Tính kho ng cách: d C /(BMN) = 3d A/(BMN) . G i F là tr ng tâm tam giác ABC 2 1 1 1 1 Ta có: AF = AH ; EH = AH ⇒ EF + AH = AH ⇒ EF = AH ⇒ d A/(BMN) = 4d E/(BMN) 3 2 3 2 6 Như v y d C /(BMN) = 3 d A/(BMN) = 12d E/(BMN) http://boxmath.vn/ 17
EP ⊥BN EP.EM H ⇒ EQ ⊥( MNB) ⇒ d E/(MNB) = EQ = EQ ⊥ MP. EP 2 + EM 2 EP EF BH.EF Ta có ∆EPF đ ng d ng v i ∆BHF ⇒ = ⇒ EP = BH BF BF a 2 1 1 2 1 a 2 a 5 Tính đư c BH = ; EF = AF = . AH = AH = ; BF = 2 4 4 3 6 12 3 a 5 EP.EM 994a Suy ra: EP = ⇒ EQ = = 20 EP 2 + EM 2 284 994a 3 994a V y d C /(BMN) = 12d E/(BMN ) = 12. = 284 71 Qua ví d trên ta th y rõ t m quan tr ng c a bài toán cơ b n Bài 5.3. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh b ng a. Chân đư ng cao h t S lên −→− −→ − m t ph ng ( ABC ) là đi m H thu c AB sao cho H A = −2HB. Góc t o b i SC và m t ph ng ( ABC ) b ng 60 o . Tính th tích kh i chóp S ABC và kho ng cách gi a hai đư ng th ng S A, BC theo a. Gi i: - Tính th tích: Vì SH ⊥( ABCD ) nên HC là hình chi u vuông góc c a SC lên m t ph ng ( ABCD ). Góc t o b i SC và m t ph ng ( ABCD ) là SCH = 60o . Xét tam giác BHC theo đ nh lý hàm s cosin ta có a2 a 1 7 a2 HC 2 = HB2 + BC 2 − 2 HB.BC. cos HBC = HB2 + BC 2 − 2 HB.BC. cos 60 o = + a2 − 2. .a. = 9 3 2 9 a 7 a 7 a 21 Suy ra HC = ⇒ SH = HC. tan SCH = . 3= 3 3 3 1 1 a 21 1 7 a3 Ta suy ra VS ABC = SH.S ∆ ABC = . a.a. sin 60 o = ( ĐVTT) 3 3 3 2 12 - Tính kho ng cách: G i E là trung đi m c a BC , D là đ nh th tư c a hình bình hành ABCD 3 Ta có AD //BC nên d S A/BC = d BC/(S AD) = d B/(S AD) = d H/(S AD) 2 HF ⊥ AD K ⇒ HK ⊥(S AD ) ⇒ d H/(S AD) = HK HK ⊥SF 1 1 1 HF.HS Trong tam giác vuông SHF ta có 2 = 2 + 2 ⇒ HK = HK HF HS HS 2 + HF 2 2 2a 3 3a M t khác HF = AE = = . 3 3 2 3 3a a 21 . HF.HS 3 3 42 Suy ra HK = = = a HS 2 + HF 2 3 2 21 2 12 a + a 9 9 3 42 42 V y d S A/BC = . a= a 2 12 8 6 - Gi i toán Hình không gian b ng Phương pháp t a đ A. TÓM T T LÝ THUY T % Phương pháp http://boxmath.vn/ 18
• Bư c 1: Ch n h tr c t a Ox yz. Xác đ nh m t góc tam di n vuông trên cơ s có s n c a hình (như tam di n vuông, hình h p ch nh t, hình chóp t giác đ u . . . ), ho c d a trên các m t ph ng vuông góc d ng thêm đư ng ph . • Bư c 2: T a đ hóa các đi m c a hình không gian. Tính t a đ đi m liên quan tr c ti p đ n gi thi t và k t lu n c a bài toán. Cơ s tính toán ch y u d a vào quan h song song, vuông góc cùng các d li u c a bài toán. • Bư c 3: Chuy n gi thi t qua hình h c gi i tích. L p các phương trình đư ng, m t liên quan. Xác đ nh t a đ các đi m, véc tơ c n thi t cho k t lu n. • Bư c 4: Gi i quy t bài toán. S d ng các ki n th c hình h c gi i tích đ gi i quy t yêu c u c a bài toán hình không gian. Chú ý các công th c v góc, kho ng cách, di n tích và th tích . . . % Cách ch n h t a đ m t s hình không gian. # Tam di n vuông, hình h p ch nh t, hình l p phương. • Xét tam di n vuông S.ABC có S A = a, SB = b, SC = c. Ch n h tr c t a đ Ox yz sao cho −→ − −→ − − − → S ≡ O, S A, SB, SC l n lư t cùng hư ng v i các tia Ox, O y, Oz. T a đ các đi m khi đó là S (0; 0; 0), A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c). • Xét hình h p ch nh t ABCD.A B C D có đ dài các c nh là AB = a, AD = b, A A = −→ −→ − → − − − c. Ch n h tr c t a đ Ox yz sao cho A ≡ O, AB, AD, A A l n lư t cùng hư ng v i các tia Ox, O y, Oz. T a đ các đi m khi đó là A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; b; 0), A (0; 0; c), C (a; b; 0), B (a; 0; c), D (0; b; c), C (a; b; c). # Hình chóp t giác đ u, tam giác đ u. • Hình chóp t giác đ u S.ABCD có O là giao c a hai đư ng chéo và SO = h, AC = 2a, BD = −→ −→ −→ − − − 2 b. Ch n h tr c t a đ Ox yz sao cho O A, OB, OS l n lư t cùng hư ng v i các tia Ox, O y, Oz. T a đ các đi m khi đó là O (0; 0; 0), S (0; 0; h), A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (−a; 0; 0), D (0; − b; 0). • Hình chóp tam giác đ u S.ABC có O là tâm c a tam giác ABC và SO = h, BC = a. Ch n −→ −→ −→ − − − h tr c t a đ Ox yz sao cho O A, CB, OS l n lư t cùng hư ng v i các tia Ox, O y, Oz. T a đ các đi m khi đó là a 3 a 6 a a 6 a O (0; 0; 0), S (0; 0; h), A ; 0; 0 , B − ; ;0 , C − ;− ;0 . 3 3 2 3 2 % Tùy vào t ng bài toán mà có th thay đ i linh ho t cách ch n h t a đ . Trong nhi u trư ng h p, ph i bi t k t h p ki n th c hình không gian t ng h p và ki n th c hình gi i tích nh m thu g n l i gi i.. B. CÁC BÀI TOÁN MINH H A Bài 6.1. Cho hình chóp S.ABC , trong đó S A vuông góc v i m t đáy ABC . Đáy là tam giác cân t i A , đ dài trung tuyên AD = a,; c nh bên SB t o v i m t đáy m t góc α và t o v i m t ph ng (S AD ) góc β. Tìm th tích hình chóp S.ABC . Gi i: http://boxmath.vn/ 19
Ch n h tr c t a đ Ox yz như hình v . T a đ các đ nh A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; a; 0), A (0; 0; a), C (a; a; 0), D (0; a; a), B (a; 0; a), C (a; a; a). a) Ta có −→ − −→ − −− −→ −→ −→ − − A B(a; 0; −a), B D (−a; a; −a), A B (a; 0; 0) ⇒ A B, B D = (a2 ; 2a2 ; a2 ) − → − → −− − − −→ A B, B D . A B a Kho ng cách gi a hai đư ng th ng là d ( A B, B D ) = −→ −→ − − = . A B, B D 6 b) T a đ các đi m M, N, P là a a a M a; 0; , N ; a; 0 , P 0; ; a . 2 2 2 Do đó −→ − a a −− a −→ − → −− − −→ MP −a; ; , NC ; 0; a ⇒ MP. NC = 0. 2 2 2 V y góc gi a hai đư ng th ng b ng 900 . c) Ta có −→ − a a −−−→ a −−−→ a a −→ −− − −→ a2 a2 MP −a; ; , MC 0; a; , MN − ; a; − ⇒ MP, MC = − ; ; − a2 . 2 2 2 2 2 4 2 1 − → − − −− − − → −→ 3 3 Th tích kh i t di n C MNP là VC MNP = MP, MC . MN = a . 6 16 Bài 6.2. (Đ thi tuy n sinh đ i h c, kh i A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, m t bên (S AD ) là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP. Gi i: Vì tam giác S AD là tam giác đ u và (S AD )⊥( ABCD ) nên g i O là trung đi m c a AD thì SO ⊥( ABCD ). Ch n h tr c t a đ Ox yz như hình v (O y song song v i AB). T a đ các đ nh a 3 a a a a O (0; 0; 0), S 0; 0; , D ; 0; 0 , A − ; 0; 0 , C ; a; 0 , B − ; a; 0 . 4 2 2 2 2 a a a a a 3 Nên các trung đi m P ; ; 0 , N (0; a; 0) , M − ; ; . 2 2 4 2 4 − → a a a 3 −→ − − a − → −→ a2 a2 − − Ta có AM ; ; , BP a; − ; 0 nên AM.BP = − + 0 = 0. 4 2 4 2 4 4 V y AM vuông góc v i BP. M t khác −→ a −− a a 3 −→ a − −→ a − a − − −→ −→ − a2 3 a2 NM − ; − ; , NC ; 0; 0 , NP ; − ; 0 ⇒ N M, NC = 0; ; . 4 2 4 2 2 2 8 4 1 −− −→ −→ −→ − − a3 3 Do đó th tích kh i t di n CMNP là VCMNP = N M, NC . NP = . 6 96 http://boxmath.vn/ 20