CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N KH O SÁT HÀM SẾ Ả Ố
D NG 1. BI N LU N S GIAO ĐI M C A HAI Đ TH HÀM S : Ạ Ệ Ậ Ố Ể Ủ Ồ Ị Ố
y = f(x) và y = g(x)
PH NG PHÁP:ƯƠ
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m: f(x) = g(x) (*)ươ ộ ể
S giao đi m c a 2 đ th chính b ng s nghi m c a ph ng trình (*)ố ể ủ ồ ị ằ ố ệ ủ ươ
BÀI 1. Tìm t a đ giao đi m (n u có) c a hai đ th hàm s sau.ọ ộ ể ế ủ ồ ị ố
1.
2
2
2
−
−+−
=x
xx
y
và
12 2+−= xxy
ĐS: A(0; 1) và B(1; 2)
2.
222 23 ++−= xxxy
và
xy −=1
BÀI 2. Tìm m đ đ th hàm s ể ồ ị ố
13 23 +++= mxxxy
c t đ ng th ng ắ ườ ẳ y = 1 – 2x
t i ba đi m phân bi t.ạ ể ệ ĐS:
}0{\
2
3
;
2
3
−∈m
BÀI 3*. Cho hàm s ố
323 43 aaxxy +−=
(Ca) v i a là tham sớ ố
1. Tìm a đ các đi m CĐ, CT c a đ th (Cể ể ủ ồ ị a) đ i x ngố ứ
nhau qua đ ng th ng y = xườ ẳ ĐS: a =
2
2
±
2. Tìm a đ đ ng th ng y = x c t đ th (Cể ườ ẳ ắ ồ ị a) t iạ
ba đi m phân bi t A, B, C sao cho AB = BCể ệ ĐS: a= 0; a =
2
2
±
BÀI 4. Bi n lu n theo m s giao đi m c a đ th hàm s ệ ậ ố ể ủ ồ ị ố
2
36
2
+
+−
=x
mxx
y
và
đ ng th ng ườ ẳ y
=mx
KL: n u m = 1 ho c m = -16/3 thì có 1 giao đi mế ặ ể
N u m ế
1 và m
-16/3 thì có 2 giao đi m pbể
BÀI 5. Cho hàm s ố
1
1
2
−
+−
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát và v đ th hàm sả ẽ ồ ị ố
2. Xác đ nh m đ đ th (C) c t đ ng th ng y = m t i hai đi mị ể ồ ị ắ ườ ẳ ạ ể
phân bi t A, B sao cho AB = ệ
12
ĐS: m = -3
ho c m = 5ặ
BÀI 6. Cho hàm s ố
2
92
2
−
+−
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Xác đ nh k đ đ th (C) c t đ ng th ng y = k t i hai đi m phânị ể ồ ị ắ ườ ẳ ạ ể
bi t v i hoành đ d ng.ệ ớ ộ ươ ĐS: k > 8
2. Xác đ nh k đ đ th (C) c t đ ng th ng y = kx + 10 – 5kị ể ồ ị ắ ườ ẳ
t i hai đi m phân bi t nh n I(5; 10) làm trung đi m.ạ ể ệ ậ ể ĐS:
3
2
−=k
BÀI 7. Cho hàm s ố
2
12
+
+
=x
x
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
2. Xác đ nh m đ đ ng th ng y = -x + m c t (C) t i hai đi m phân bi t A, B saoị ể ườ ẳ ắ ạ ể ệ
cho AB ng n nh tắ ấ
ĐS: m = 0
VM-TD-BN/T10-2008 1
D NG 2. BI N LU N THEO Ạ Ệ Ậ m S NGHI M C A PH NG TRÌNH: Ố Ệ Ủ ƯƠ
f(x) = m (*)
PH NG PHÁP:ƯƠ
S nghi m c a ph ng trình (*) b ng s giao đi m c a đ th hàm s y = f(x) vàố ệ ủ ươ ằ ố ể ủ ồ ị ố
đ ng th ng y = m.ườ ẳ
V đ th hàm s y = f(x) và bi n lu n s giao đi m v i đ ng th ng y = mẽ ồ ị ố ệ ậ ố ể ớ ườ ẳ
BÀI 1. Cho hàm s ố
23 23 −+= xxy
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
2. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ngệ ậ ố ệ ủ ươ
trình
mxx =−+ 23 23
ĐS: m>2 ho c m<-2: pt có 1 nặ0
m=2 ho c m=-2: pt có 2 nặ0.
-2<m<2: pt có 3 n0 phân bi tệ
3. Bi n lu n theo a s nghi m c a ph ngệ ậ ố ệ ủ ươ
trình
03 23 =−− xxa
ĐS: a>4 ho c a<-4: pt có 1 nặ0
a=4 ho c a=-4: pt có 2 nặ0.
-4<a<4: pt có 3 n0 phân bi tệ
4. Bi n lu n theo k s nghi m c a ph ng trìnhệ ậ ố ệ ủ ươ
2323 33 kkxx +=+
D NG 3. V Đ TH HÀM S CH A D U GIÁ TR TUY T Đ IẠ Ẽ Ồ Ị Ố Ứ Ấ Ị Ệ Ố
PH NG PHÁP:ƯƠ
Gi s cho hàm s y = f(x) có đ th là (C).ả ử ố ồ ị
1. T đ th (C) suy ra đ th hàm s ừ ồ ị ồ ị ố
)(xfy =
nh sau: ư
+ Gi nguyên ph n đ th (C) n m trên tr c Oxữ ầ ồ ị ằ ụ
+ L y đ i x ng ph n đ th (C) n m d i tr c Ox, qua tr c Oxấ ố ứ ầ ồ ị ằ ướ ụ ụ
+ B ph n đ th (C) n m d i tr c Oxỏ ầ ồ ị ằ ướ ụ
(Đ th hàm s ồ ị ố
)(xfy =
luôn n m trên tr c hoành )ằ ụ
2. T đ th (C) suy ra đ th hàm s ừ ồ ị ồ ị ố
( )
xfy =
nh sau:ư
+ Gi nguyên ph n đ th (C) n m bên ph i tr c Oy (b ph n đ/t n m bên tráiữ ầ ồ ị ằ ả ụ ỏ ầ ằ
Oy)
+ L y đ i x ng ph n đ th (C) n m bên ph i tr c Oy, qua tr c Oyấ ố ứ ầ ồ ị ằ ả ụ ụ
(Đ th hàm s ch n ồ ị ố ẵ
( )
xfy =
luôn nh n tr c Oy làm tr c đ i x ng )ậ ụ ụ ố ứ
3. T đ th (C) suy ra đ th hàm s ừ ồ ị ồ ị ố
)(xfy =
nh sau:ư
+ Gi nguyên ph n đ th (C) n m phía trên tr c Ox (b ph n n m d i tr c Ox)ữ ầ ồ ị ằ ụ ỏ ầ ằ ướ ụ
+ L y đ i x ng ph n đ th (C) n m phía trên tr c Ox, qua tr c Oxấ ố ứ ầ ồ ị ằ ụ ụ
(Đ th hàm s ồ ị ố
)(xfy =
luôn nh n tr c Ox làm tr c đ i x ng ậ ụ ụ ố ứ
vì M(x0; y0) và M’(x0; y0) cùng thu c đ th h/s )ộ ồ ị
4. T đ th hàm s y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đ th hàm s y = ừ ồ ị ố ồ ị ố
)()( xvxu
nh sau:ư
Ta vi t: ế
<−
≥
== 0u(x) khi )().(
0u(x) khi )().(
)()( xvxu
xvxu
xvxuy
+ Gi nguyên ph n đ th (C) (ữ ầ ồ ị ng v i x th a mãn u(x) ứ ớ ỏ
≥
0)
+ L y đ i x ng qua tr c Ox, ph n đ th (C) (ấ ố ứ ụ ầ ồ ị ng v i x th a mãn u(x) <0ứ ớ ỏ )
BÀI 1. Cho hàm s ố
23 3xxy −=
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
VM-TD-BN/T10-2008 2
2. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
mxx =+− 23 3
ĐS: m<0: vô n0; m=0: có 3 n0; 0<m<2: có 6 n0; m=2:có 4 n0; m>2: có 2 n0
3. Bi n lu n theo a s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
2
333 xxa −=
BÀI 2. Cho hàm s ố
3
2
2
−
−−
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát và v đ th hàm sả ẽ ồ ị ố
2. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
m
x
xx =
−
−−
3
2
2
3. Bi n lu n theo a s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
a
x
xx 3
3
2
2
=
−
−−
4. Bi n lu n theo k s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
23
2
2k
x
xx =
−
−−
5. Bi n lu n theo t s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
t
x
xx =
−
−−
3
2
2
BÀI 3. Cho hàm s ố
2
)2)(1(
−
+−
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát và v đ th hàm sả ẽ ồ ị ố
2. Tìm k đ đ ng th ng y = kx – 1 c t (C) t i hai đi m phân bi t v i hoành để ườ ẳ ắ ạ ể ệ ớ ộ
d ngươ
3. Tìm m đ ph ng trình: ể ươ
m
x
xx =
−
+−
2
)2(1
có đúng 3 nghi m phân bi tệ ệ
BÀI 4. Cho hàm s ố
1
32
2
−
+−
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát và v đ th hàm sả ẽ ồ ị ố
2. Bi n lu n theo k s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
)1(
2
1
32
2−
+
=+− x
k
xx
3. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
3142
2=−++− xmxx
BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm s ố
41292 23 −+−= xxxy
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
2. Tìm m đ ph ng trình: ể ươ
mxxx =+− 1292 2
3
có 6 nghi m phân bi t.ệ ệ
ĐS:4<m<5
BÀI 6. Cho hàm s ố
23 23 +−= xxy
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
2. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
1
22
2
−
=−− x
m
xx
BÀI 7. Cho hàm s ố
45 24 +−= xxy
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
VM-TD-BN/T10-2008 3
2. Bi n lu n theo a s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
2)1(4 22 −=−− axx
BÀI 8. Cho hàm s ố
1
1
2
−
−+
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Kh o sát và v đ th hàm sả ẽ ồ ị ố
2. Bi n lu n theo k s nghi m c a ph ng trình: ệ ậ ố ệ ủ ươ
k
x
xx =
−
−+
1
1
2
3. Tìm t t c các giá tr c a m đ trên đ th (C) có hai đi m A(xấ ả ị ủ ể ồ ị ể A; yA) , B(xB; yB)
khác nhau th a mãn đi u ki n: ỏ ề ệ
=+
=+
myx
myx
BB
AA
BÀI 9. Cho hàm s ố
2
54
2
−
+−
=x
xx
y
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ố
2. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ngệ ậ ố ệ ủ ươ
trình:
025)4(
2=+++− mxmx
ĐS: m<-5/2 hay m=
2: có 2 n0.
-5/2<m<-2hay m>2: có 4 n0.
m=-5/2: có 3 n0. -2<m<2: vô n0.
D NG 4. L P PH NG TRÌNH TI P TUY N C A Đ TH HÀM S : Ạ Ậ ƯƠ Ế Ế Ủ Ồ Ị Ố y = f(x)
PH NG PHÁP:ƯƠ
Áp d ng công th c ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s ụ ứ ươ ế ế ủ ồ ị ố y = f(x) t i đi mạ ể
M(x0; y0) ta có:
))((' 000 xxxfyy −=−
hay
))((' 000 xxxyyy −=−
Trong đó: M(x0; y0) là ti p đi m; ế ể y0 = f(x0) ; k = f’(x0) là h s góc c a ti p tuy nệ ố ủ ế ế
1. N u cho hoành đ ế ộ x0 thì tính y0 = f(x0) và h s góc k = f’(xệ ố 0)
2. N u cho tung đ ế ộ y0 thì gi i pt: f(x) = yả0 suy ra hoành đ x = xộ0 t đó tính k = f’(xừ0)
3. N u cho h s góc ế ệ ố k = k0 thì có 2 cách:
Cách 1. Gi i pt: f’(x) = kả0
⇒
x = x0
⇒
y0 = f(x0)
Cách 2. Pt ti p tuy n có d ng: y = kế ế ạ 0x + m (
) (c n tìm mầ)
(
) ti p xúc v i (C) ế ớ
⇔
h pt sau có nghi m: ệ ệ
=
+=
0
0
)('
)(
kxf
mxkxf
⇒
x ?
⇒
m ?
4. N u cho m t đi m ế ộ ể N(a; b) thu c ti p tuy n thì ộ ế ế
Cách 1. G i ti p đi m ọ ế ể
);( 00 yxM
. Ta có
)(
00
xfy =
và
))((' 000 xxxfyy −=−
⇒
))((')(
000
xaxfxfb −=−
⇒
0
x
⇒
PT ti p tuy nế ế
Cách 2. Đ ng th ng đi qua N(a; b) v i h s góc k có ph ng tình d ng:ườ ẳ ớ ệ ố ươ ạ
)( axkby −=−
⇔
bkakxy +−=
)(
∆
)(
∆
ti p xúc v i (C) ế ớ
⇔
h pt sau có nghi m: ệ ệ
=
+−=
kxf
bkakxxf
)('
)(
⇒
x?
⇒
k?
BÀI 1. Cho hàm s ố
34 24 +−= xxy
có đ th là (C)ồ ị
1. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m có hoành đ b ng -1.ế ươ ế ế ủ ạ ể ộ ằ
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i các giao đi m c a (C) v i tr c hoànhế ươ ế ế ủ ạ ể ủ ớ ụ
3. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m có tung đ b ng - 8ế ươ ế ế ủ ạ ể ộ ằ
BÀI 2. Cho hàm s ố
243 23 +−+−= xxxy
có đ th là (C)ồ ị
VM-TD-BN/T10-2008 4
1. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t h s góc b ng -1ế ươ ế ế ủ ế ệ ố ằ
2.
Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t nó vuông góc v i đ ng th ng y=ế ươ ế ế ủ ế ớ ườ ẳ
3
4
1
+
x
BÀI 3. Cho hàm s ố
xxy 2
2−=
có đ th là (C). Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) ồ ị ế ươ ế ế ủ
bi t nó đi qua đi m N(1; -2)?ế ể ĐS: y = 2x; y = 2x -4
BÀI 4. Cho hàm s ố
23 23 +−= xxy
có đ th là (C)ồ ị
Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) k t đi m A(ế ươ ế ế ủ ẻ ừ ể
2;
9
23 −
)
ĐS: y = -2; y= 9x-25
y=
27
61
3
5+
−x
BÀI 5. Cho hàm s ố
2
1
2
+
−+
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a (C)ế ươ ế ế ủ
vuông góc v i ti m c n xiênớ ệ ậ ĐS:
522 −+−= xy
và
522 −−−= xy
2. Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a (C) đ u không đi qua đi m I(-2; -3)ứ ằ ọ ế ế ủ ề ể
BÀI 6. Cho hàm s ố
2
45
2
−
+−
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
1. Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a (C) songế ươ ế ế ủ
song v i đ ng th ng y = 3x + 2008.ớ ườ ẳ ĐS:
33 −= xy
và
113 −= xy
2. Tìm các đi m trên đ th (C) mà ti p tuy n t i đó vuông góc v i ti m c n xiên.ể ồ ị ế ế ạ ớ ệ ậ
BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm s ố
23
23
−+−= xxy
(*)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm sô (*)ả ự ế ẽ ồ ị
2. Tìm các đi m thu c đ th (C) mà qua đóể ộ ồ ị
k đ c m t ti p tuy n v i đ th hàm sẻ ượ ộ ế ế ớ ồ ị ố
(*) ĐS: A(1; 0)
BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm s ố
ax
xax
y+
−++
=3)1(2 2
có đ th là (Cồ ị a).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm sô khi ả ự ế ẽ ồ ị a = 2
2. Xác đ nh a đ đ ng ti m c n xiên c a đ th (Cị ể ườ ệ ậ ủ ồ ị a) ti p xúc v iế ớ
parabol y = x2 + 5. ĐS: a = -3
BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm s ố
kxkkxy 21)1( 24 −+−+=
v i k là tham sớ ố
1. Xác đ nh k đ đ th c a hàm s ch có m t đi m c c trị ể ồ ị ủ ố ỉ ộ ể ự ị ĐS:
);1[]0;( + ∞∪−∞∈k
2. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm sô khi k = ả ự ế ẽ ồ ị
. G i đ th khi đó là (C)ọ ồ ị
3. Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a (C) k t đi mế ươ ế ế ủ ẻ ừ ể
O. ĐS: y=0;
xy 33
1
±=
BÀI 10. Cho hàm s ố
2
2
2
−
−+
=x
xx
y
có đ th là (C).ồ ị
VM-TD-BN/T10-2008 5