Các dạng bài tập về Đạo hàm lớp 11

Chia sẻ: Nguyễn Thị Lan Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

409
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu gồm tóm tắt lý thuyết và bài tập vận dụng các vấn đề về dạng toán đạo hàm trong phạm vi chương trình lớp 11. Tài liệu nhằm mục đích biên soạn cho các em củng cố lại kiến thức và rèn kỹ năng giải toán đạo hàm. Mời các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các dạng bài tập về Đạo hàm lớp 11

I. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và điểm x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn sau đây: thì giới hạn trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0, kí hiệu là f(x0) hay y'x0. 2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng • Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên K nếu f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm bất kì x0 ∈ K. Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’ hay f'(x). • Định lí: Với mọi x ∈ R ta có: a) f(x) = c thì f'(x) = 0 b) f(x) = x thì f'(x) = 1 c) f(x) = xn, n ∈ N* thì f'(x) = nxn1 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)). Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị tại M0(x0; f(x0)) là: y = f'(x0)(x x0) + f(x0). 4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm • Vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động với phương trình S = s(t) thì vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là: v(t0) = s’(t0) • Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng q = q(t) là: I(t0) = q’(t0). 5. Bài tập áp dụng VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y = f(x) = 2x2 − x + 2 tại x0 = 1 b) y = f(x) = 3− 2x tại x0 = –3 2x + 1 2 + x+1 c) y = f(x) = tại x0 = 2 f) y = f(x) = x tại x0 = 0 x−1 x −1 Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y x 2 3x x tại x 0 =4 b) y x 3 x tại x 0 =1. c) y x x tại x 0 =2. d) y sin x cos x tại x 0 =0. e) y sin 2 2 x tại x 0 = f) y = tan x + 1 tại x 0 = . 2 4
Bài 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) f(x) = x2 − 3x + 1 b) f(x) = x3 − 2x d) f(x) = 2x − 3 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0. 1. f ( x) x 2 5 x 7 x0 = 1 (7) 2. f ( x) cos 2 x x0 R (2sin2x) | x 1| 3. f ( x) x0 = 1( ko∃ ) x 1 4. f ( x) = x( x − 1)( x − 2)...( x − 2008)( x − 2009) x0 = 0 (2009!) sin 2 x x 2 + 2 x ∀x 1 ∀x > 0 5. f ( x ) = x0 = 1 (4) 6. f ( x) = x x0 = 0. (1) 4 x − 5 ∀x < 1 3 x 2 + x ∀x 0
II. Các quy tắc tính đạo hàm (u + v w)’ = u’ + v’ w’ (uv)’ = u’v + v’u Hệ quả: (ku)’ = ku’ (k hằng số) Dạng đạo hàm hợp: Công thức tính đạo hàm: (un)’ = nu’.un1, n ∈ R II. Đạo hàm của các hàm số lượng giác 1. Định lí: 2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
III. Bài tập VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số 1 2 3 a) y = x5 + x 4 − x 3 − x 2 + 4 x − 5 2 3 2 1 1 b) y = − x + x 2 − 0,5 x 4 4 3 1 c) y = 2x4 − x3 + 2 x − 5 3 x 4 x3 x 2 d) y = − + − x + a 3 4 3 2 (a const) 3 2 e) y = 2 − x + x x. x 3 1 3 f) y = 2x4 − x +2 x−5 3 g) y = x 5 − 4 x3 + 2 x − 3 x Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (x2 + 3x)(2 − x) b) y (2 x 3)( x 5 2 x) c) y = ( x 2 + 1)(5 − 3x 2 ) d) y = x(2 x − 1)(3x + 2) e) y = ( x 2 − 2 x + 3).(2 x 2 + 3) f) y = x 2 x 2x −1 g) y = 4x − 3 2 x 10 h) y 4x 3 x 2 5x 4 i) y 3x 6
j) y = ( ) �1 � x + 1 � − 1� �x � 3 k) y = 2x + 1 2x + 1 l) y = 1− 3x 2 m) y = 1+ x − x2 1− x + x 2 − 3x + 3 n) y = x x −1 2 − 4x + 1 o) y = 2x x− 3 2x2 p) y = x2 − 2x − 3 2x − 1 q) y = x −1 2x r) y = x2 − 1 5x − 3 s) y = x + x +1 2 x2 + x − 1 t) y = x −1 2 u) y = x + 1 − x −1 x2 + 2x + 2 v) y = x +1 2x2 − 4x + 5 w) y = 2x + 1 x2 + x + 1 x) y = x2 − x + 1 2x + 3 y) y = x − 5x + 5 2 Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ( x 7 + x) 2 b) y = (2 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 1) 2 c) y = (1 − 2 x 2 )3 d) y = ( x − x 2 )32 e) y = ( x 2 − x + 1)3 ( x 2 + x + 1) 2 f) y = (x2 + x + 1)4 g) y = (1− 2x2)5 3 2x + 1� h) y = � � � �x − 1 � (x + 1)2 i) y = (x − 1)3 1 j) y = (x − 2x + 5)2 2 k) y = ( 3− 2x2 ) 4 1 k) y = ( x − x + 1)5 2 1 x l) y 2 x 5x 2 4 x 9 m) y 2 x 2 3x 8 n) y (1 2 x)(2 3x 2 )(3 4 x 3 ) (2 x 2 )(3 x 3 ) o) y 1 x x2 Bài 5: Cho hàm số f ( x) = 3 x − 2 x . Tính f '(4); f '(a 2 ) trong đó a là hằng số khác 0 Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số đa thức y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ax + b Bài 7: Cho hàm số y = f ( x) = (a, b, c, d là hằng số). Tính f '( x) cx + d ax 2 + bx + c Bài 8: Cho hàm số y = f ( x) = (a, b, c, m, n là hằng số). Tính f '( x) mx + n
qua điểm B(0;2)
III. Vi phân Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao I. Vi phân 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x. Tích f'(x)Δx, kí hiệu df(x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx đã cho: df(x) = f'(x)Δx Vì dx = (x)’Δx = Δx nên ta có: df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx. 2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng Nếu l Δx l khá nhỏ ta có: Δy ≈ f'(x0)Δx tức là f(x0 + Δx) f(x0) ≈ f'(x0)Δx Suy ra f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)Δx II. Đạo hàm cấp hai 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Hàm số f(x) còn được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f(x) và kí hiệu là f(1)(x). nếu hàm số f(1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) và kí hiệu là f''(x) hay f(2)(x). nếu hàm số f(2)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) và kí hiệu f'''(x) hay f(3)(x). Một cách tổng quát: Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) của hàm số y = (x), kí hiệu là f(n)(x) hay y(n), là đạo hàm cấp một của hàm số f(n1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n1)x]’ 2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t) Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là: v(t0) = s'(t0) Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là: (t0) = s''(t0) 3. Đạo hàm cấp cao Kí hiệu: fn(x) 4. Bài tập DÙNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SAU: ax b 2x 3 ax 2 bx c 1. y 2. y 3. y cx d 4x 5 mx n x2 x 1 x 4. y 5. y = ( x − 1) 2 6. y sin 2 3 x. cos3 2 x x 1 x +1 x+3 7. y = cos2x 8. y = 9. y = x −1 x2 + 1
11. y = tan 4 ( ) x2 + 4 1 10. y = x 12. y = sin3 ( 1 − x ) 13. y = x −3 cos 2 x sin x + cos x 1+x 14. y = 15. y = (1 − x )20 16. y = 1 sin x − cos x 1−x 1 2007 x2 x 7. y = � � t 5 − + 7t � � 18. y = 19. y = � t � x +a 2 2 sin x + cosx 1 tant 20. y = cot x2 − x + 1 21. y = cosx − cos3 x 22. y = 3 t �π � 23. y = sin(2 sin x ) 24. y = cos4 5x 25. y = sin 4 � − 3x � �6 � � π� π 26. y = cos 2 �2 x − �27. y = sin (cos3 x ) 2 28. y = cot 3 − 5x � 3� 4 1 IV. Cho hai hàm số: f (x ) = sin 4 x + cos4x ; g(x ) = cos4 x . 4 CMR: f’(x) = g’(x). Giải thích. V. Cho hàm số: f (x ) = x 2 − 2x − 8 . Giải bất phương trình: f '(x ) 1 . VI. Chứng minh hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x: π π 2 �2π � 2 �2π � y = cos2 � � 2� � � − x �+ cos � + x �+ cos � − x �+ cos � + x �− 2 sin x . 2 �3 � �3 � � 3 � � 3 � π π cosx VII. Tính f '( ); f '( ) biết f (x ) = . 6 3 cos2x mx 3 mx 2 VIII. Cho hàm số: f (x ) = − + (3 − m)x − 2 3 2 1) Tìm m để: a) f '(x ) > 0 ∀x b) f '(x ) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. 2) Chứng minh rằng trong trường hợp f '(x ) có hai nghiệm phân biệt thì các nghiệm này thoả mãn hệ thức độc lập với m. IX. CHỨNG MINH RẰNG: 1. Nếu y 1 x2 thì: (1 x2)y’’ xy' + y = 0 cos2 x 2. Nếu f ( x) thì: f ( ) 3 f '( ) 3. 1 sin 2 x 4 4
n X. TÌM ĐẠO HÀM CẤP CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: 1 1 x3 1. y = 2. y 3. y = 2 3x − 5 2x2 5x 2 x −9 4. y = sin 5 x 5. y = sin 2 2 x 6. y = sin x sin 5 x
ÔN TẬP ĐẠO HÀM Bài 1.Tính đạo hàm các hàm số sau 2x − 3 a ) y = ( 9 − 2 x ) ( 2 x 3 − 9 x 2 + 1) , b) y = , x+4 5 − 3x − x 2 , d ) y = ( x 2 + 1) ( x 3 + 1) , 2 c) y = x−2 3 4 � 3 � � b c � e) y = �x 5 − �, g ) y = �a + + 2 �, � x� � x x � 2x2 + x + 1 h) y = x − 2 x + 1, k ) y = 2 3 2 x − x +1 Bài 2.Tính đạo hàm các hàm số sau 5x − 7 20 a) y = b)y= 3 + 2x 43x 1+ 2 x x 2 7x5 c) y = b)y= 2 1− 2 x x 3x Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau : 2 a) y = tan 3 x , b)y= �π � cos � − 5 x � �6 � 2 sin x x c) y = , d)y = cos x x +1 1 e) y = ( 3 − sin x ) , g ) y = sin 2 3 x + 3 cos 2 x h) y = 1 + 2 tan x , k ) y = cot 1 + x 2 Bài 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau : a ) y sin 5x cos 2x , b) y x .sin x 2 c) y 1 x cos x, d) y sin x.sin 2x.sin 3x 2 2x 1 e) y x. cos 2x , g) y x x 2 2 Bài 5.Giải bất phương trình x2 a )f x / g x ,f x / 2x 3 x 2 3, g x x 3 1 2 x2 5x 4 b))f / ( x ) 0, f x , x 2 Bài 6.Tính
x a )g / 0 , g x 4 x2 1 b) f / 1 , f / 4 , f / ,f x 5x 2 16 x 7 4 2 3 c) f / 1 , f / 2 , f / 3 , f x x 1 x 2 x 3 Bài 7 .Chứng minh rằng f (x) =0 , với mọi x / � π� � π� � π � � 3π � a) f ( x ) = cos �x − � cos �x + �+ cos �x + � cos �x + � � 3� � 4� � 6� � 4 � �2π � �2π � b) f ( x ) = cos 2 x + cos 2 � + x �+ cos 2 � − x � �3 � �3 � Bài 8.Giải phương trình f/(x) =0 , biết : 60 64 a ) f x 3x 5 x x 3 sin 3x cos 3x b)f x cos x 3 sin x 3 3 Bài 9. Cho hàm số f ( x ) = 3 − 2 x . Hãy tính 3f/(3)4f(3)4f(11) 2 + cos 2 x �π � �π � Bài 10. Cho hàm số f ( x ) = . Hãy tính 9 f / � �− 49 3 f � � 2 − sin x 2 �4 � �6 � Bài 11.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a ) y x 3 3x 2 2 tại điểm ( 1;2) x2 + 4x + 5 b) y = tại điểm có hồnh độ bằng 0. x+2 Bài 12.Viết phương trình tiếp tuyến với : a) Đường cong ( C ) y = x3 +x3 tại điểm có hồnh độ bằng 1 b) Đường cong ( C ) y=x3 3x2 tại điểm có tung độ bằng 4 x 3 c) Đường cong ( C ) y tại điểm có hồnh độ bằng 1 2x 1 Bài 13.Viết phương trình tiếp tuyến với : 1 a) Đường cong ( C ) y = 3x3 2x2 +3x+1 biết tiếp tuyến song song đường thẳng 3 3 y= x 4 x2 3x 1 b) Đương cong (C ) y biết tiếp tuyến song song đường thẳng 2x +y x 2 5=0 x2 − 2 x + 2 Bài 14. Cho đường cong ( C ) y = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) x −1 biết : a) Tại điểm có hồnh độ bằng 6.
b) Song song với đường thẳng y=3x+29 1 c) Vuông góc với đường thẳng y = x + 2 3