I. Đ nh nghĩa và ý nghĩa c a đ o hàm 1. Đ o hàm c a hàm s t i m t đi m ố
ố ạ ộ ủ
0 ∈ (a, b).
ể ả
ớ ạ ữ ạ
ủ ạ ị ạ ể ị Đ nh nghĩa: Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b) và đi m x ế ồ ạ N u t n t
ị i h n h u h n sau đây: i gi
0) hay
ố ệ ạ ủ ớ ạ ượ ọ c g i là đ o hàm c a hàm s f(x) t i x i h n trên đ ạ 0, kí hi u là f(x
ạ ộ ố ủ ả
0 ∈ K.
ế ạ ượ ọ c g i là có đ o hàm trên K n u f(x) ạ có đ o hàm
ượ ệ c kí hi u là y’ hay f'(x).
: V i m i x
thì gi y'x0. 2. Đ o hàm c a hàm s trên m t kho ng ị ố • Đ nh nghĩa : Hàm s y = f(x) đ ấ ể ỗ ạ i m i đi m b t kì x t ố ủ ạ Đ o hàm c a hàm s y = f(x) đ ọ ∈ R ta có: ớ ị • Đ nh lí a) f(x) = c thì f'(x) = 0 b) f(x) = x thì f'(x) = 1 c) f(x) = xn, n ∈ N* thì f'(x) = nxn1
ọ ủ ạ
ạ
ủ ế ế ủ ồ ị ạ ệ ố ủ ế ể i đi m x ươ ng trình c a ti p tuy n c a đ th t ố ạ 0(x0; f(x0)). Ph ế ủ ồ ị 0 là h s góc c a ti p tuy n c a đ th 0(x0; i M
ậ
ủ ạ ộ ậ ố ứ ể ớ ươ ng trình S = s(t) thì v n ậ
ờ ủ ể ể ấ ạ ờ ể i th i đi m t ộ 0 là:
0 c a m t dòng đi n v i đi n l
ờ ạ ộ ứ ườ ể ờ ệ ượ ủ ệ ộ ớ i th i đi m t ng q = q(t) là:
3. Ý nghĩa hình h c c a đ o hàm ủ Đ o hàm c a hàm s y = f(x) t ể ố ạ i đi m M hàm s t f(x0)) là: y = f'(x0)(x x0) + f(x0). 4. Ý nghĩa v t lí c a đ o hàm ấ ờ • V n t c t c th i: M t ch t đi m chuy n đ ng v i ph ố ứ t c t c th i c a ch t đi m t v(t0) = s’(t0) • C ng đ t c th i t I(t0) = q’(t0). ụ ậ 5. Bài t p áp d ng
Ấ
Ề
ạ
ằ
ị
V N Đ 1: Tính đ o hàm b ng đ nh nghĩa
=
=
ủ ố ị ạ ượ ể i đi m đ ỉ c ch ra: ạ Bài 1: Dùng đ nh nghĩa tính đ o hàm c a các hàm s sau t
=
=
- +
3 2x
2 y f(x) 2x
x 2
1= b) y f(x)
+ +
2x
x 1
=
=
=
= y f(x)
y f(x)
- a) t t i xạ 0 = –3 i ạ 0x
+ 2x 1 x 1
x 1
c) t f) t i xạ 0 = 2 i xạ 0 = 0 - -
2
ủ ố ị ạ ượ ể i đi m đ ỉ c ch ra: ạ Bài 2: Dùng đ nh nghĩa tính đ o hàm c a các hàm s sau t
y
x
x
x
y
x
x
y
x
x
3
3
(cid:0)
(cid:0)
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) t i xạ 0 =4 b) t i xạ 0 =1. c) t i xạ 0 =2.
y
x
y
x
sin (cid:0) x
cos
tan
y
x
sin 2
2
+ t 1
2
4
(cid:0) (cid:0) d) t i xạ 0 =0. e) t i xạ 0 = f) i xạ 0 = .
=
=
=
ủ ố ị ạ Bài 3: Dùng đ nh nghĩa tính đ o hàm c a các hàm s sau:
f(x)
2 f(x) x
3 f(x) x
+ 3x 1
2x
a)
b)
d) ỗ
- - -
ạ
1 2x 3 ố ạ 1. Dùng đ nh nghĩa, tính đ o hàm c a m i hàm s sau t
0.
2
ủ ị ể i đi m x
x
xf )(
2cos
x
x
xf )(
5
7
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1. (7) 2. R (2sin2x) x0 = 1 x0 (cid:0)
|
xf )(
x x
|1 1
=
(cid:0) (cid:0) 3. x0 = 1( ko$ ) (cid:0)
x
x
x
f x ( )
x x (
1)(
2)...(
2008)(
2009)
2
- - - - 4. x0 = 0 (2009!)
x
2
+
" > x
0
x
x
x 2
1
= (cid:0)
= (cid:0)
f x ( )
f x ( )
sin x
" <
x
x
4
5
1
2
x
x
3
+ " x
0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) 5. 6. x0 = 1 (4) x0 = 0. (1) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ạ
ắ
II. Các quy t c tính đ o hàm
(u + v w)’ = u’ + v’ w’ (uv)’ = u’v + v’u
ệ ằ H qu : ố ả (ku)’ = ku’ (k h ng s )
ạ
ạ ứ
ợ D ng đ o hàm h p: ạ Công th c tính đ o hàm: (un)’ = nu’.un1, n ∈ R
ố ượ ạ ủ II. Đ o hàm c a các hàm s l ng giác
ị 1. Đ nh lí:
ố ượ ạ ủ 2. Đ o hàm c a các hàm s l ng giác
III. Bài t pậ
Ấ
Ề
ạ
ằ
ứ V N Đ 2: Tính đ o hàm b ng công th c
5
4
3
=
+
ủ ạ ố Bài 1: Tính đ o hàm c a các hàm s
y
x
x
x
+ 2 x
x
4
5
1 2
2 3
3 2
2
4
- - - a)
y
+ x
x
x
0,5
1 = - 4
1 3
- b)
4 = y 2x
2 x 5
31 + x 3
4
3
=
- - c)
y
x a
x 4
3 x + 3
2 x - + 2
- d)
=
(a const)
y
+ x
x x.
2 3
3 2 x
- e)
4 = y 2x
2 x 5
31 + x 3
5
=
- - f)
y
x
x
x
+ 34 x
2
3
- - g)
+
ủ ạ ố Bài 2: Tính đ o hàm c a các hàm s sau:
2 = y (x
3x)(2 x)
5
- a)
y
x
x
2(
)(3
x )2
2
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) b)
y
x
x
(
2 1)(5 3 )
=
- c)
y
x
x
+ x
(2
1)(3
2)
2
=
+ 2
- d)
y
x
+ x
x
(
2
3).(2
3)
2
=
y
x
x
- e)
f)
=
y
x x
2 4
1 3
- g) -
y
x 2 x 4
10 3
2
(cid:0) (cid:0) h) (cid:0)
x
5
4
y
x
3
x 6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) i) (cid:0)
=
(
y
+ x 1
1
j)
) 1 � -� x �
� � �
=
y
3 + 2x 1
=
y
k)
+ 2x 1 1 3x
=
y
l) -
2 + - 1 x x 2 - + 1 x x
m)
2x
+ 3x 3
=
y
x 1
- n) -
22x
+ 4x 1
=
y
x 3
2 2x
=
y
- o) -
2x 3
2 x
p) - -
=
y
x 2 x
1 1
x
=
y
- q) -
2 2
x
1
r) -
=
y
x 3 5 + + 2 x
x
1
2
x
1
=
y
- s)
x
+ - x 1
2
y
= + - x 1
t) -
x
1
2
+
+
x
2
=
y
u) -
x
x 2 + 1
v)
5
=
y
x
22 x 2
+ x 4 + 1
2
=
y
- w)
2
x x
+ + x - + x
1 1
2
=
y
x)
2
+ 3 + x
x
x 5
5
y) -
ủ ạ ố Bài 3: Tính đ o hàm c a các hàm s sau:
7
2
=
+
y
x
x
(
)
3
2
2
=
a)
y
x
x
(2
3
+ x 6
1)
= -
y
x
2 3 (1 2 )
- - b)
=
c)
y
x
x
(
2 32 )
2
2
=
y
x
- + x
x
+ + 2 x
(
3 1) (
1)
- d)
+ +
2 = y (x
4 x 1)
e)
=
f)
2 5 y (1 2x )
y
- g)
3 �+ � 2x 1 = � �-� x 1 �
=
y
h)
2 + (x 1) 3 (x 1)
=
y
i) -
2 (x
1 2 + 2x 5)
) 4
=
j) -
( 2 y 3 2x
=
y
- k)
2
5
1 - + x
x
(
1)
k)
x
1
y
x
2
2
(cid:0) (cid:0) l) (cid:0)
y
2
x 5 x 2
x 4 x 3
9 8
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) m) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
x
x
x 32)(21(
43)(
)
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n)
x
x
2(
)
y
2
3)( x
x
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) o) (cid:0) (cid:0)
f
'(4);
'(
)
f a trong đó a là h ng s khác
f x
x
x
= ( ) 3
2
- ằ ố Bài 5: Cho hàm s ố . Tính
3
2
=
=
+
+
0
y
ax
bx
+ cx d
f x ( )
=
=
f x '( )
ứ ủ ạ ố Bài 6: Tính đ o hàm c a hàm s đa th c
y
f x ( )
+ ax b + (a, b, c, d là h ng s ). Tính cx d
2
+
+
ax
c
=
=
f x '( )
ằ ố Bài 7: Cho hàm s ố
y
f x ( )
bx + mx n
ằ ố Bài 8: Cho hàm s ố (a, b, c, m, n là h ng s ). Tính
ể qua đi m B(0;2)
ạ
ấ
ạ
ố ạ ể i đi m x.
ứ ể ớ ố ệ ủ ạ ượ ọ ạ đi m x ng v i i c g i là vi phân c a hàm s f(x) t
ầ ụ
ỏ Ứ ế
0 + Δx) f(x0) ≈ f'(x0)Δx
ứ
ấ
ố ấ
ạ ệ ế ạ ượ ọ c g i là đ o hàm c p ố (1)(x) có đ o hàm thì đ o hàm ạ
ố ượ ọ ủ ệ ạ ố
(1)(x). n u hàm s f ạ (2)(x). ấ c g i là đ o hàm c p hai c a hàm s f(x) và kí hi u là f''(x) hay f ố (2)(x) có đ o hàm thì đ o hàm c a nó đ ủ ủ
ượ ọ ạ ạ ấ c g i là đ o hàm c p ba c a
ạ (3)(x).
(n)(x) hay y(n), là đ o ạ
ộ ạ
ấ
ứ ấ
0 c a ch t đi m đó là:
ng trình là: s = s(t) ấ ộ ể ể ế i th i đi m t t, v n t c t
0 (hay còn nói: gia t c t
ố ạ ủ ể ờ ộ i th i đi m t i th i đi m t ấ 0) c a m t ch t
ể ươ ể ng trình s = s(t) là:
ấ
ấ III. Vi phân Đ o hàm c p hai, đ o hàm c p cao I. Vi phân ị 1. Đ nh nghĩa Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm t Tích f'(x)Δx, kí hi u df(x) đ ố s gia Δx đã cho: df(x) = f'(x)Δx Vì dx = (x)’Δx = Δx nên ta có: df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx. 2. ng d ng vi phân vào phép tính g n đúng N u l Δx l khá nh ta có: Δy ≈ f'(x0)Δx t c là f(x Suy ra f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)Δx ạ II. Đ o hàm c p hai ị 1. Đ nh nghĩa ả ử ố s hàm s y = f(x) có đ o hàm f'(x). Hàm s f(x) còn đ Gi ộ ủ m t c a hàm s f(x) và kí hi u là f ủ c a nó đ ế n u hàm s f ệ ố hàm s f(x) và kí hi u f'''(x) hay f ổ M t cách t ng quát: ∈ N, n ≥ 2) c a hàm s y = (x), kí hi u là f ố ệ ủ ấ Đ o hàm c p n (n (n)(x) = [f(n1)x]’ ố (n1)(x) t c là: f ộ ủ hàm c p m t c a hàm s f ơ ọ ủ ạ 2. Ý nghĩa c h c c a đ o hàm c p hai ể ể ươ ấ ộ Xét m t ch t đi m chuy n đ ng có ph ủ ờ ậ ố ạ Ta đã bi v(t0) = s'(t0) ờ ờ ạ ố ứ Gia t c t c th i t ớ ộ ể đi m chuy n đ ng v i ph (t0) = s''(t0) ạ 3. Đ o hàm c p cao n(x) Kí hi u: fệ 4. Bài t pậ
Ố
Ứ
Ạ DÙNG CÔNG TH C TÍNH Đ O HÀM CÁC HÀM S SAU:
2
ax
c
y
y
y
1.
2.
3.
ax cx
b d
x x
2 4
3 5
bx nmx
2
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
1
=
2
3
y
y
x
sin
x .3
cos
2
y
4.
5.
6.
(
x
) 21
x
x 1
+
+
x
=
=
y
y
cos x 2
y
7. =
8.
9.
2
3 +
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
x
x x
1
1 1
-
2
+
4
=
=
=
)
=
-
(
)
y
( 3sin 1
x
y
x
tan
y
y
10.
11.
12.
13.
x
1 2 cos
x x
4 3
+
+
=
=
-
y
y
(1
x
20 )
y
14.
15. =
16.
1
1 1
x x
x x
x x
sin sin
cos cos
2
- - -
y
y
t 7
18. =
19. =
x 2
x +
+
sin
x
cosx
1 7. � +� = 5 t y t �
2007 � � �
x
2 a
2
-
y
cosx
cos x 3
y
cot
x
+ x
1
20. =
21. =
22. = tant y t
- 1 3
4
=
-
y
y
x
sin
3
45 cos x
23. = sin(2 sin ) x
24. = y
25.
p� � 6 �
� � �
p
2
=
-
=
y
cos
2sin (
3 )
y
x
3cot
5
26.
cos x 28.
p� x 2 � 3 �
� 27. = y � �
4
4
=
+
=
f x ( )
sin
x
4 cos x
g x ; ( )
cos x . 4
IV. Cho hai hàm s : ố
1 4
ả
CMR: f’(x) = g’(x). Gi
i thích.
2
- -
=
f x '( ) 1
f x ( )
x
2
x
8
ả ấ
ươ
. Gi
i b t ph
ng trình:
.
V. Cho hàm s :ố
ứ
ụ
ạ
ộ
ố
VI. Ch ng minh hàm s sau đây có đ o hàm không ph thu c vào x:
2
=
(cid:0) - -
y
2 cos
x
2 cos
x
2 cos
p 2 cos
x
2 sin
x .
p � � 3 �
� + � �
p � + � 3 �
� + � �
p 2 � � 3 �
� + x � �
2 � + � 3 �
� � �
=
f x ( )
f
p '(
p f ); '(
)
bi
t ế
VII. Tính
cosx cos x . 2
6
3
3
=
2 +
- - -
f x ( )
(3
m x )
2
VIII. Cho hàm s :ố
mx 3
mx 2
- - -
> f x '( ) 0
x
1) Tìm m đ :ể
a)
ệ
ệ
ấ
b)
f x có hai nghi m phân bi '( )
t cùng d u.
ứ
ệ
ằ
ệ
ng h p
t thì các
ườ ợ ệ ứ ộ ậ
f x có hai nghi m phân bi '( ) ớ
ệ
ả
2) Ch ng minh r ng trong tr nghi m này tho mãn h th c đ c l p v i m.
"
Ứ
Ằ
IX. CH NG MINH R NG:
2
thì: (1 x2)y’’ xy' + y = 0
y
1 x
2
(cid:0)
(cid:0)
cos
(cid:0) (cid:0) 1. N u ế
f
f
(
('3)
)
3
xf )(
thì:
.
x 2
4
4
x
1
sin
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2. N u ế (cid:0)
Ạ
Ố
Ủ
X. TÌM Đ O HÀM C P
Ấ n C A CÁC HÀM S SAU:
3
=
=
y
y
y
1.
2.
3.
2
1 x
x
x
3
5
1 5
2
2
x
x 2 9
=
=
=
y
x
y
x
sin 5
x sin sin 5
y
x
2 sin 2
4.
5.
6.
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) -
Ậ
Ạ
ÔN T P Đ O HÀM
3
=
(
+ 2 x
x
x
ố - - - ạ ) (
) = b y 1 , )
9 2
a y )
2
9
,
2
x
x
2
3
=
+
+
=
Bài 1.Tính đ o hàm các hàm s sau x 2 + x - -
(
d y
x
x
, )
) 2 1 ,
c y )
3 4 ) ( 1
5 3 x
2
5
=
-
= g y
e y )
, )
c 2 x
4 � , � �
3 x
� x � �
3 � � �
3
=
+ 2
-
x
= k y
x
h y )
1, )
2
b � + + a � x � + + 2 x - + x
1 1
-
x 2 2 x Bài 2.Tính đ o hàm các hàm s sau
ố
=
a y )
b)y=
-
20 43x 2
=
c y )
b)y=
ạ 7 x
x 7x5 2 x 3x
x x
x 5 + 3 2 + 1 2 1 2
-
3
=
x
a y )
tan
, b)y=
cos
2
x
=
=
c y )
, d)y cos
sin x
ạ Bài 3. Tính đ o hàm các hàm s sau :
3
=
ố 2 p �-� � x 5 � 6 � � x + x 1
(
)
x
= g y
+ x
e y )
3 sin
, )
2 sin 3
x
1 2 cos 2
=
+
=
+
x
x
-
2
h y ) Bài 4. Tính đ o hàm c p hai c a các hàm s sau : y)a
1 2 tan , ) ạ cos
cot 1 ủ xsin.x
k y ấ y)b
x5sin
,x2
2
ố (cid:0) (cid:0)
y)c
x1
cos
y)d,x
x3sin.x2sin.xsin
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1x2
y)e
.x
cos
,x2
y)g
2
2x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x ng trình
2
/
/
3
2
3
ả ấ ươ Bài 5.Gi i b t ph
xf)a
xf,xg
x2
x
xg,3
x
1
x 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
4
/
xf,0)x(f))b
,
x5 2
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Bài 6.Tính
/
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xg,0g)a (cid:0)
/
/
/
2
2
/
/
/
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f,4f,1f)b xf, x5 16 x 7 (cid:0) (cid:0) x x4 1 4
p
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
(cid:0) 3 3x 2x1x xf,3f,2f,1f)c / (x) =0 , v i m i x ọ ớ ằ ứ Bài 7 .Ch ng minh r ng f p p + x
( a f x
+ x
x
cos
cos
cos
cos
)
3
4
3 4
� � �
2
2
2
+
+
=
-
)
( b f x
x
x
x
cos
cos
cos
)
p � � � � � � � + + x � � � � � � � � � � � � � � � � �
6 p 2 � � 3 �
p 2 � � 3 �
� + � �
-
/(x) =0 , bi
ả t :ế Bài 8.Gi i ph
5
xf)a
x3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ng trình f 64 x
xf)b
cos
x
3
xsin
x3cos 3
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ 60 x x3sin 3
)
x
2
p
-
=
)
f
49 3
/9 f
� � � � 4 � �
x x
3 2 + 2 cos 2 2 sin
- Bài 9. Cho hàm s ố ( f x Bài 10. Cho hàm s ố ( f x . Hãy tính - . Hãy tính 3f/(3)4f(3)4f(11) p � � � � 6 � �
3
2
ế ủ ồ ị ế ươ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ể ạ i đi m ( 1;2) t ố ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s 2
5 = ộ ằ ồ ể ạ i đi m có h nh đ b ng 0. t b y )
ươ ớ
ộ ằ ể
y
ộ ằ ể Bài 11.Vi t ph x y)a x3 + + 2 4 x x + x 2 ế Bài 12.Vi t ph ườ a) Đ ng cong ( C ) y = x ườ b) Đ ng cong ( C ) y=x ế ạ ồ i đi m có h nh đ b ng 1 i đi m có tung đ b ng 4 (cid:0) (cid:0) ườ ộ ằ ể ồ ạ c) Đ ng cong ( C ) i đi m có h nh đ b ng 1 t (cid:0)
ế ớ ế ươ ế ng trình ti p tuy n v i : 3 +x3 t 3 3x2 t ạ x 3 x 1 2 ế ng trình ti p tuy n v i : Bài 13.Vi t ph
1 3
ườ ế ế ế ườ a) Đ ng cong ( C ) y = 3x3 2x2 +3x+1 bi t ti p tuy n song song đ ẳ ng th ng
3 4
2
y= x
x
x
1
y
3 x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ế ế ế ườ ẳ b) Đ ng cong (C ) bi t ti p tuy n song song đ ng th ng 2x +y (cid:0) (cid:0)
x
2
=
y
2 2 x
+ x 1
5=0 - ườ ế ươ ế ủ ế Bài 14. Cho đ ng cong ( C ) . Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( C ) -
t :ế ạ ộ ằ ể ồ bi a) T i đi m có h nh đ b ng 6.
+
y
2
ớ ườ ẳ b) Song song v i đ ng th ng y=3x+29
1 x= 3
ớ ườ c) Vuông góc v i đ ẳ ng th ng
