M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN GI
ẢI PH
ƯƠNG TR
ÌNH
PHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI ĐẠI HỌC
C
ÙA THI
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/ng.huubien
Email: ng.huubien@gmail.com
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Bài 1: Giải phương trình
( )
2
1 1
x2 x x
8 2
2 2
1 7
9 .log x x 2 3 .log 2 x 0
2 4
− − − +
− + − − + =
Hướng dẫn
+ Khi gặp phương trình mũ hoặc log, trước hết ta biến đổi theo cơ số nhỏ nhất (ở đây là
cơ số 3), biến đổi phương trình đã cho, ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1 1
x2 x x
8 2
2 2
12x 1 2
4
2 2
x x
1
42
2 2
2x 1 x x
1
x x 2x 1
2
4
2 2
1
x x 4
1 7
9 .log x x 2 3 .log 2 x 0
2 4
1 7
3 .log x x 2 .log 2x 1 0
4
3
3 1 7
.log x x 2 .log 2x 1 0
4
33
7
3 .log x x 2 3 .log 2x 1 0
4
3 .log
− − − +
− −
−
−−
− + −
− +
− + − − + =
⇔ − + − − + =
⇔ − + − − + =
⇔ − + − − + =
⇔
2x 1
2
2 2
1 7 7
x x 3 .log 2x 1
4 4 4

−
− + + = − +
+ Xét hàm số
t
2
7
f (t) 3 .log t
4
= +
, ta thấy
2
2
1 1
x x x 0
t 0
4 2
2x 1 0
− + = − ≥
⇒≥
− ≥
t t
2
7 1
f '(t) 3 .ln 3.log t 3 . 0, t 0
4 t.ln 2
⇒= + + > ∀ ≥
f (t)
⇒
là hàm đồng biến
+ Từ (1)
( )
2 2
1 1
f x x f 2x 1 x x 2x 1
4 4
⇒
− + = −
⇒
− + = −
(2)
+ Xét 2 TH:
2x 1 0;2x 1 0
− ≥ − <
để bỏ dấu GTTĐ ở (2), giải PT (2) ta có ĐS:
1 5
x ;
2 2
=
Bài 2: Giải phương trình
3 2 3
x x 19x 16 3x x 1
+ − − = +
Hướng dẫn
+ ĐK:
x 1
≥ −
+ Nhận thấy biểu thức trong căn ở VP là:
(
)
(
)
3 2
x 1 x 1 x x 1
+ = + − +
nên rất có thể đây là cơ
sở để cho ta phân tích VT của phương trình, thật vậy:
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
3 2 3 2
3 2 2 2
x x 19x 16 x 1 x x 1 18 x 1
x x 19x 16 x 1 x x 1 x x 1 18 x 1
+ − − = + + − + − +
⇔ + − − = + − + + − + − +
+ Phương trình đã cho trở thành:
( )
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2
x 1 x x 1 x x 1 18 x 1 3 x 1 1 x 1 x x 1
+ − + + − + − + = + − + − +
(1)
+ Đặt ẩn phụ
2
a x 1 0
b x x 1 0
= + ≥
= − + ≥
thay vào (1) ta được:
(
)
2 2 2 2 2
a b b 18a 3 a 1 ab
+ − = −
(2)
+ Phương trình (2) muốn giải được thì chỉ còn cách phân tích đa thức thành nhân tử, công
việc phân tích này không phải dễ dàng, chúng ta sẽ dùng mẹo sau để phân tích:
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
- Trước hết ta biến đổi để đưa (2) về phương trình bậc 2 đối với biến là b:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 3 2
a b b 18a 3 a 1 ab a 1 b 3a 3a b 18a 0

+ − = − ⇔ + − − − =
- Phương trình (3) tính được
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
3 2 2 2 2
3a 3a 4 a 1 18a ... 9a a 3
∆ = − + + = = +
⇒
phương trình (3) có 2 nghiệm
(
)
( )
3 2
2
2
3 2
2 2
3a 3a 3a a 3
b 3a b 3a 0
a 1
a b b 12a 0
3a 3a 3a a 3 12a
ba 1 a 1
− + +
= = − =
+
⇔
+ + =
− − +
−
= =
+ +
+ Vậy (2) :
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
a b b 18a 3 a 1 ab b 3a a b b 12a 0
+ − = − ⇔ − + + =
+ Do
2
a b b 12a 0 a b 0
+ + = ⇔ = =
(do
a, b 0
≥
)
2
x 0
x 1 x x 1
x 2
=
⇒+ = − + ⇔
=
+ Thử lại vào PT đã cho thấy x = 0; x = 2 không là nghiệm (loại)
+ Vậy chỉ còn khả năng
b 3a
=
2
x x 1 3 x 1 x 5 33
⇒− + = + ⇔ = ±
Bài 3: Giải phương trình
(
)
(
)
4 3 2 2
4x 13x 9x 16 2x 3x x 3 x 1 8
− + + − + + + − =
Hướng dẫn
+ ĐK
4 3 2
4x 12x 9x 16 0
x 1
− + + ≥
≥
+ Ta biến đổi PT
( ) ( )
( )
2
2 2
2x 3x 16 2x 3x x 1 4 x 1 8
⇔ − + − − − + + − =
+ Đặt
2
a 2x 3x
b x 1
= −
= −
thay vào phương trình ta có:
(
)
(
)
()
( )
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
22
a 16 a b 4 b 8
8
b 4 b
a 16 a
8 a 16 a
b 4 b 16
a 16 a
b 4 b 2
2 b 4 2b a 16 a
2b 16 2b a 16 a

+ − + + =
⇔ + + =
+ −
+ +
⇔ + + =
+ +
⇔ + + =
⇔ + + = + +
⇔ + + = + +
+ Xét hàm số
2
2
t
f (t) t 16 t, t R f '(t) 1 0, t R f (t)
t 16
= + + ∈ ⇒= + > ∀ ∈ ⇒
+
là hàm
đồng biến.
Vậy từ (1)
f (2b) f (a) 2b a
⇒=⇒=
( )
( )
2
2
2
2
2x 3x 0
2 x 1 2x 3x (I)
4 x 1 2x 3x
− ≥
⇒− = − ⇔ − = −
+ Các bạn tự giải hệ (I)
x 2
⇒
=
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
(Chú ý: Ta giải thích cho
f '(t) 0
>
bằng phương pháp phản chứng như sau:
Giả sử
2 2
2 2
t 0
f '(t) 0 t t 16 0 t 16 t
t 16 t
≤
< ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔
+ <
(vô lý)
f '(t) 0
⇒
>
)
Bài 4: Giải phương trình
2
2 7 2 1 8 7 1
+ − = − + − + − +
x x x x x
Hướng dẫn: Đk:
1 7
x
≤ ≤
pt
1 2 1 2 7 ( 1)(7 ) 0
⇔ − − − + − − − − =
x x x x x
1( 1 2) 7 ( 1 2) 0
⇔ − − − − − − − =
x x x x
( 1 2)( 1 7 ) 0
⇔ − − − − − =
x x x
1 2 5
4
1 7
− = =
⇔ ⇔
=
− = −
x x
x
x x
thỏa mãn đk
Bài 5: Giải phương trình:
4 2 2
1 (1 )
x x x x x
+ + + = −
Hướng dẫn: ĐK:
1
0 1
≤ −
≤ ≤
x
x
- TH1: Với x = 0 không phải nghiệm của phương trình
- TH2: Với
0
x
≠
.
* Với
0 1
x
< ≤
Khi đó pt
2 2
2 2
1 1 1 1
1 1 1
x x x x x x x
x x x x
⇔ + + + = − ⇔ + + + = −
Đặt
4 2
2
1 1
2
t x t x
x x
= − ⇒= + −
. Khi đó ta được phương trình :
2
4 2
1
3 1 1( )
2 2 0
t
t t t loai
t t t
≥
+ + = ⇔ ⇔ = −
− + + =
* Với
1
x
≤ −
. Ta có
2
2
1 1
1 1
x x
x x
− + + + = − −
Đặt
4 2
2
1 1
2
t x t x
x x
= − ⇒= + −
. Khi đó ta được
4
3 1 1
t t t
+ = + ⇔ =
⇒
2
1 5
1 0
2
x x x − ±
+ − = ⇔ =
.
So sánh đk ta được nghiệm
1 5
2
x− −
=
.Vậy pt đã cho có nghiệm
1 5
2
x− −
=
Bài 6: Giải phương trình :
(
)
2
3
4 2 10 2 9 37 4x 15 33
x x x
− − − = − −
Hướng dẫn: ĐK:
5
x
≤
. Pt
(
)
(
)
2
3
4 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0
x x x x
⇔ + − + − − + − − =
M
ỘT SỐ DẠNG PH
ƯƠNG TR
ÌNH TH
Ư
ỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
(
)
( )
2
3 3
4 27 9 8(6 2 )
( 3)(4 27) 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
xxx x
x
x x
++
⇔ + + + − =
+ −
− − + −
- TH1
3 0 3
x x
+ = ⇔ = −
(TMPT)
- TH 2.
3
x
≠ −
( )
2
3 3
36 16
4 27 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
⇔ + + − =
+ −
− − + −
( )
2
3
36 16
4 27 0
4 10 2
12 9 37 2
x
x
x
⇔ + + − =
+ −
+ − −
+ Do
5
x
≤
nên
36 16
4.5 27 0
12 4
VT
≤ + + − =
. Đẳng thức xảy ra
5
x
⇔ =
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
3
−
và 5
Bài 7: Giải phương trình
( )
2
4 2 1
log 2 2.8 3.2 1 (*)
2.16 2.4 1
− + = − +
− +
x x
x x x
x x
.
Hướng dẫn:
( )
     
     
  

⇔ − + − − + = − +
⇔ − + + − + = − + + − +
= + ∀ > ⇒= + > ∀ > ⇒+∞
(
)
 
    
    
   



⇔ − + = − +
⇔ − + = − + ⇔ − = −
⇔ − + = ⇔ − + =
− + +
⇔ − − + =
==
− +
⇔ = ⇔ − +
=
+
= −
Bài 8: Giải phương trình:
.16212244
2
−+−=−++
Hướng dẫn: Điều kiện xác định:
.4
≥
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương
đương với:
(
)
2
2
x 4 x 4 (x 4) (x 4) 12 2 x 16 x 4 x 4 x 4 x 4 12
+ + − = + + − − + − ⇔ + + − = + + − −